福建省高考数学秘籍18法 三角函数 新课标 人教版
重难点专题18 三角函数中w取值范围问题八大题型汇总(原卷版) 备战2024年高考数学重难点突破
题型8新定义 (9)已知函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)，在[x 1,x 2]上单调递增（或递减），求ω的取值范围第一步：根据题意可知区间[x 1,x 2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x 2-x 1≤12T =πω，求得0<ω≤πx 2-x 1.第二步：以单调递增为例，利用[ωx 1+φ,ωx 2+φ]⊆[―π2+2kπ,π2+2kπ]，解得ω的范围；第三步：结合第一步求出的ω的范围对k 进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围.结合图象平移求ω的取值范围1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数=平移后的函数.2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
()f x ()g x ()f x ()g x y x ()f x ()g x三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T，相邻的对称轴和对2，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期称中心之间的“水平间隔”为T4性，进而可以研究ω的取值。
三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.ππ。
(福建专用)2021高考数学一轮复习课时规范练18同角三角函数的基本关系及诱导公式理新人教A版
课时标准练18 同角三角函数的根本关系及诱导公式一、根底稳固组1.sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,那么以下不等关系中必定成立的是()A.sin θ<0,cos θ>0B.sin θ>0,cos θ<0C.sin θ>0,cos θ>0D.sin θ<0,cos θ<02.假设cos(3π-x)-3cos=0,那么tan x等于()A.-B.-2C. D.3.锐角α满足5α的终边上有一点P(sin(-50°),cos 130°),那么α的值为() °B.44°C.26°D.40°4.等于()A.sin 2-cos 2B.sin 2+cos 2C.±(sin 2-cos 2)D.cos 2-sin 25.sin+cos-tan=()A.0B.C.1D.-6.α为锐角,且tan(π-α)+3=0,那么sin α的值是 ()A. B.C. D.7.sin(π-α)=-2sin,那么sin α·cos α等于()A. B.-C.或-D.-8.cos,且-π<α<-,那么cos等于()A. B.-C. D.-〚导学号21500718〛9.sin α+2cos α=0,那么2sin αcos α-cos2α的值是.10.假设f(cos x)=cos 2x,那么f(sin 15°)= .11.α为第二象限角,那么cos α+sin α=.12.k∈Z,那么的值为.二、综合提升组13.假设3sin α+cos α=0,那么的值为()A. B.C. D.-214.sin θ=,cos θ=,其中θ∈,那么以下结论正确的选项是()A.3≤m≤9B.3≤m<5C.m=0或m=8D.m=815.角α和β的终边关于直线y=x对称,且β=-,那么sin α等于()A.-B.C.-D.16.cos=a(|a|≤1),那么cos+sin的值是.三、创新应用组17.在北京召开的国际数学家大会会标如下图,它是由4个一样的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,假设直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是,那么sin2θ-cos2θ的值为()A.1B.-C. D.-〚导学号21500719〛18.函数f(x)=a sin+b tan(a,b为常数,x∈R).假设f(1)=1,那么不等式f(31)>log2x的解集为.课时标准练18同角三角函数的根本关系及诱导公式1.B∵sin(θ+π)<0,∴-sin θ<0,即sin θ>0.∵cos(θ-π)>0,∴-cos θ>0,即cos θ<0.应选B.2.D∵co s(3π-x)-3cos=0,∴-cos x+3sin x=0,∴tan x=,应选D.3.B点P(sin(-50°),cos 130°)化简为P(cos 220°,sin 220°),因为0°<α<90°,所以5α=220°,所以α=44°.应选B.4.A=|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2.5.A原式=sin+cos-tan=sin+cos-tan-1=0.6.B由tan(π-α)+3=0得tan α=3,即=3,sin α=3cos α,所以sin2α=9(1-sin2α),10sin2α=9,sin2α=又因为α为锐角,所以sin α=7.B∵sin(π-α)=-2sin,∴sin α=-2cos α,∴tan α=-2.∴sin α·cos α==-,应选B.8.D∵cos=sin,又-π<α<-,-α<∴cos=-=-9.-1由得tan α=-2,所以2sin αcos α-cos2α==-1.10.-f(sin 15°)=f(cos 75°)=cos 150°=cos(180°-30°)=-cos 30°=-11.0原式=cos +sin=cos +sin因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以cos +sin =-1+1=0,即原式等于0.12.-1当k=2n(n∈Z)时,原式====-1.当k=2n+1(n∈Z)时,原式====-1.综上,原式=-1.13.A3sin α+cos α=0⇒cos α≠0⇒tan α=-14.D因为,所以sin θ=0,①cos θ=0,②且=1,整理,得=1,即5m2-22m+25=m2+10m+25,即4m(m-8)=0,解得m=0或m=8.又m=0不满足①②两式,m=8满足①②两式,故m=8.15.D终边在直线y=x上的角为kπ+(k∈Z),因为角α和β的终边关于直线y=x对称,所以α+β=2kπ+(k∈Z).又β=-,所以α=2kπ+(k∈Z),即得sin α=16.0∵cos=cos=-cos=-a,sin=sin=cos=a,∴cos+sin=0.17.B设直角三角形中较小的直角边长为x,∵小正方形的面积是,∴小正方形的边长为,直角三角形的另一直角边长为x+,又大正方形的面积是1,∴x2+=12,解得x=,∴sin θ=,cos θ=,∴sin2θ-cos2θ==-,应选B. 18.(0,2)由f(31)=a sin+b tan=a sin+b tan=f(1)=1,那么f(31)>log2x,即1>log2x,解得0<x<2.。
高考数学 热点题型和提分秘籍 专题18 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 理(含解析)新人教
2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题18 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用 理（含解析）新人教A 版【高频考点解读】1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．【热点题型】题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 【解析】列表，并描点画出图象：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 01 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32－2【提分秘籍】作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图法，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．【举一反三】设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【解析】 (1)∵T ＝2πω＝π，ω＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝32，∴sin φ＝－32，又－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表：2x －π3－π30 π2 π 32π 53π x 0 π6 512π 23π 1112π π f (x )121－112图象如图．题型二利用三角函数图象求其解析式例2、(1)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝( )A ．－23B ．－12 C.23 D.12(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．【答案】 (1)C (2)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3【解析】 (1)由三角函数图象得T 2＝11π12－7π12＝π3，即T ＝2π3，所以ω＝2πT＝3.又x ＝7π12是函数单调增区间中的一个零点，所以3×7π12＋φ＝3π2＋2k π，解得φ＝－π4＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，得A ＝223，所以f (x )＝223cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，所以f (0)＝223·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝23.【提分秘籍】已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的X 围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．【举一反三】(1)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )A ．－32 B ．－62C. 3 D ．－ 3 (2)函数f (x )＝A sin(ω＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为______．【答案】 (1)D (2)1 【解析】所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝2，0＜φ＜π，解得φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.题型三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质应用【例3】已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．【解析】因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z.所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z. 【提分秘籍】解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【举一反三】已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值．【解析】＝2cos 2x ＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x －2sin 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x .令π4－2x ＝2k π＋π2(k ∈Z)，y 有最大值22， 所以当x ＝－k π－π8(k ∈Z)时，y 有最大值2 2.【高考风向标】【2015高考某某，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B 【解析】【2015高考某某，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ．【2015高考某某，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512π B.3π C.4π D.6π【答案】D. 【解析】【2015高考某某，理17】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+π2 π3π2 2πxπ35π6 sin()A x ωϕ+55-．．．．．．．．．．．式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值. 【答案】（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：x ωϕ+0 π2 π 3π2 2πxπ12π37π125π6 13π12sin()A x ωϕ+50 5-且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6.（2014·某某卷）为了得到函数y ＝sin (2x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin 2x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为y ＝sin(2x ＋1)＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，所以为得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图像，只需要将y ＝sin 2x 的图像向左平行移动12个单位长度．（2014·某某卷）若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．【答案】3π8【解析】（2014·卷）设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 【答案】π 【解析】结合图像得T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，即T ＝π.（2014·某某卷）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解析】方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.（2014·某某卷）若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 【答案】D 【解析】（2014·某某卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)某某验室这一天的最大温差．(2)若要某某验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？【解析】（2014·某某卷）已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值． 【解析】(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为－1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f （π）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，知cos θ≠0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a sin θ＝0，（2a sin θ－1）sin θ－a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝3sin πx m，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值X 围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【答案】C 【解析】（2014·某某卷）已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．【解析】(1)由题意知，f (x )＝＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.（2014·某某卷）函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B ．π C．2π D．4π 【答案】B【解析】已知函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的周期为T ＝2πω，故函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.（2014·某某卷）已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【解析】(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z.（2014·某某卷）已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．【解析】(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14， 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.（2014·某某卷）为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位【答案】C 【解析】（2014·某某卷）已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 【解析】(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.【高考押题】1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为 ( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π【答案】 D【解析】 最小正周期为T ＝2π12＝4π.2．将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ． y ＝sin 2x ＋2C ．y ＝cos 2xD ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 【答案】A【解析】 将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位得到y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＝sin2x ＋1，再向下平移1个单位得到y ＝sin 2x ，故选A.3．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象 ( ) A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位【答案】A【解析】∵y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4 ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位即可得到y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象，故选A. 4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3【答案】A 【解析】5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 【答案】D【解析】 将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则y＝f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ．此函数为偶函数，周期为2π.由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝cosπ2＝0，所以y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0对称，故选D. 6．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝______．【答案】22即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝sin π4＝22.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________．【答案】sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6【解析】8．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 【答案】π 【解析】9．已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a 的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期；(2)在坐标系上作出f (x )在[0，π]上的图象．【解析】 (1)f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a ＝4cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a 的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)列表：x0 π6 5π12 2π3 11π12 π 2x ＋π6π6π2π3π22π13π6f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 12 0 －2 0 1画图如下：10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)某某验室这一天的最大温差；(2)若要某某验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 【解析】所以在10时至18时实验室需要降温．。
2022新高考数学高频考点题型归纳18诱导公式与同角三角函数基本关系式(学生版)
13．(1)求证：tan2αsin 2α=tan2α-sin2α；
(2)已知tan2α=2tan2 β+1，求证：2sin2α=sin2β+1．
14．在ΔABC中，若sin(2π－A)＝－ sin(π－B )， cosA＝－ cos(π－B)，求ΔABC的三个内角．
（2020·武汉市新洲区第一中学高一期末）在平面直角坐标系 中，以 轴非负半轴为始边作角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于 A， 两点，已知点A， 的横坐标分别为 ， ．
（1）求 的值；
（2）化简并求 的值．
对点训练1.（2021·河南高一期中（文））（1）已知角 的终边经过点 ，化简并求值： ；
函数名改变符号看象限
记忆规律： 奇变偶不变，符号看象限．
2． 运用诱导公式求任意角的三角函数的步骤（☆☆☆）
(1) 把求任意角的三角函数值化为求0°~360°角的三角函数值；
(2) 把求0°~360°角的三角函数值化为求0°~90°角的三角函数值；
(3) 求0°~90°角的三角函数值．
3. 同角三角函数的基本关系（☆☆☆）
例 2-3（ 和差积商相互转换）
（2019·山东高三期末（理））已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
对点训练1.（2021·山西临汾市·高三二模（理））已知 ，且 ，则 ________．
对点训练2. （2021·全国高一专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例2-4（平方与根式处理）
对点训练1.（2020·新课标Ⅰ）已知 ，且 ，则 （ ）
A B.
C. D.
对点训练2.【多选题】若 ，且 为锐角，则下列选项中正确的有（）
【高考数学】2018年高考数学(人教理科)总复习(福建专用)配套课件：第四章 三角函数、解三角形 4.6
sin α=
2 ������ 1-tan2 2 cos α= ������; 1+tan2 2 ������ 2tan2 tan α= ������. 1-tan2 2
������ 1+tan2
;
考情概览备考定向
必备知识预案自诊
关键能力学案突破
-3-
知识梳理
考点自测
1
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1. 判断下列结论是否正确, 正确的画“√”, 错误的画“×”. (1)y=3sin x+4cos x 的最大值是 7. (2)当 α 是第一象限角时,sin =
考点自测
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5
4.函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为
.
关闭
∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin [(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ) =sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ
4co s 2 sin 2 -co s 2 cos
������ 2 ������ 2 ������ 2 ������ 2
=
.
=cos ·
2
=
-cos · cos ������ cos
������ 2
.
������ π 2 2
因为 0<θ<π,所以 0< < . 所以 cos >0,
2 ������
高考数学秘籍18法解析几何问题的题型与方法试题
高考数学秘籍18法解析几何问题的题型与方法制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、知识整合高考中解析几何试题一般一共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，一共计30分左右，考察的知识点约为20个左右。
其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考察。
选择题和填空题考察直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的根底知识。
解答题重点考察圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考察直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的．．．根本知识和向量的根本方法．．．．．．．．．．．．，这一点值得强化。
1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据条件，纯熟地选择恰当的方程形式写出直线的方程，纯熟地进展直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式〔组〕表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目的函数、可行解、可行域、最优解等根本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，理解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3． 理解“曲线的方程〞、“方程的曲线〞的意义，理解解析几何的根本思想，掌握求曲线的方程的方法.4．掌握圆的HY 方程：222)()(r b y a x =-+-〔r ＞0〕，明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径纯熟地写出圆的HY 方程，能从圆的HY 方程中纯熟地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进展一般方程和HY 方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕，明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的断定方法.5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的HY 方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种HY 方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的HY 方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线〔双曲线的渐近线〕等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的HY 方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的断定方法.二、近几年高考试题知识点分析2021年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18．1％；2021年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考察几乎囊括了该局部的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．1．选择、填空题1．1 大多数选择、填空题以对根底知识、根本技能的考察为主，难度以容易题和中档题为主〔1〕对直线、圆的根本概念及性质的考察例1 〔04〕以点(1，2)为圆心，与直线4x +3y -35=0相切的圆的方程是_________．〔2〕对圆锥曲线的定义、性质的考察 例2〔04〕点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的间隔 是〔A 〕26 〔B 〕23 〔C 〕3 〔D 〕2 1．2 局部小题表达一定的才能要求才能，注意到对学生解题方法的考察 例3〔04文〕假设过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的局部有交点，那么k 的取值范围是〔A〕0k << 〔B〕0k <<〔C〕0k <<〔D 〕05k <<2．解答题 解析几何的解答题主要考察求轨迹方程以及圆锥曲线的性质．以中等难度题为主，通常设置两问，在问题的设置上有一定的梯度，第一问相比照拟简单． 例4(04〕椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F 〔-m,0〕(m 是大于0的常数).〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M.假设=，求直线l 的斜率．此题第一问求椭圆的方程，是比拟容易的，对大多数同学而言，是应该得分的；而第二问，需要进展分类讨论，那么有一定的难度，得分率不高．解：〔I 〕设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a by a x 由，得 ,21,==a c m c 所以m b m a 3,2==. 故所求的椭圆方程是1342222=+my m x 〔II 〕设Q 〔Q Q y x ,〕，直线),0(),(:km M m x k y l 则点+=当),,0(),0,(,2km M m F QF MQ -=由于时由定比分点坐标公式，得 ,62.139494,)3,32(.31210,32212022222±==+-=++=-=+-=k mm k m m km m Q km km y m m x Q Q 解得所以在椭圆上又点0(2)()2,2,1212Q Q m km MQ QF x m y km +-⨯-=-==-==---当时. 于是.0,134422222==+k mm k m m 解得 故直线l 的斜率是0，62±.例5〔04全国文科Ⅰ〕设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y a x 与直线相交于两个不同的点A 、B .〔I 〕求双曲线C 的离心率e 的取值范围：〔II 〕设直线l 与y 轴的交点为P ，且5.12PA PB =求a 的值. 解：〔I 〕由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y a x y 并整理得 〔1－a 2〕x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率01,2(2,).e a a a e e e ==<<≠∴>≠+∞且即离心率的取值范围为〔II 〕设)1,0(),,(),,(12211P y x B y x A .125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得 由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，2222222222172522289,.,,121121160170,.13a a a x x x aa a a a =-=--=--->=所以消去得由所以 例6〔04全国文科Ⅱ〕给定抛物线C ：,42x y =F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点.〔Ⅰ〕设l 的斜率为1，求OB OA 与夹角的大小； 〔Ⅱ〕设]9,4[,∈=λλ若AF FB ，求l 在y 轴上截距的变化范围.解：〔Ⅰ〕C 的焦点为F 〔1，0〕，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为.1-=x y 将1-=x y 代入方程x y 42=，并整理得 .0162=+-x x设),,(),,(2211y x B y x A 那么有 .1,62121==+x x x x.31)(2),(),(212121212211-=++-=+=⋅=⋅x x x x y y x x y x y x OB OA.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+⋅+=x x x x x x y x y x OB OA.41143||||),cos(-=⋅=OB OA OB OA OB OA 所以OB OA 与夹角的大小为.41143arccos -π 〔Ⅱ〕由题设AF FB λ= 得 ),,1(),1(1122y x y x --=-λ即⎩⎨⎧-=-=-.1212),1(1y y x x λλ 由②得21222y y λ=， ∵ ,4,4222121x y x y == ∴.122x x λ=③联立①、③解得λ=2x ，依题意有.0>λ ∴),2,(),2,(λλλλ-B B 或又F 〔1，0〕，得直线l 方程为 ),1(2)1()1(2)1(--=--=-x y x y λλλλ或当]9,4[∈λ时，l 在方程y 轴上的截距为,1212---λλλλ或 由 ,121212-++=-λλλλλ 可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴ ,431234,341243-≤--≤-≤-≤λλλλ 直线l 在y 轴上截距的变化范围为].34,43[]43,34[⋃--从以上3道题我们不难发现，对解答题而言，椭圆、双曲线、抛物线这三种圆①②锥曲线都有考察的可能，而且在历年的高考试题中往往是交替出现的，以为例，01年考的是抛物线，02年考的是双曲线，03年考的是求轨迹方程〔椭圆〕，04年考的是椭圆．三、热点分析与2021年高考预测1．重视与向量的综合在04年高考文科12个新课程卷中，有6个的解析几何大题与向量综合，主要涉及到向量的点乘积〔以及用向量的点乘积求夹角〕和定比分点等，因此，与向量综合，仍是解析几何的热点问题，预计在05年的高考试题中，这一现状仍然会持续下去．例7〔02年新课程卷〕平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两点A 〔3，1〕，B 〔－1，3〕，假设点C 满足OB OA OC βα+=，其中α、β∈R，且α＋β=1，那么点C 的轨迹方程为〔A 〕〔x －1〕2＋〔y －2〕2=5〔B 〕3x ＋2y －11=0 〔C 〕2x －y =0 〔D 〕x ＋2y －5=0例8〔04〕点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x PB PA y x P =⋅满足，那么点P 的轨迹是〔A 〕圆〔B 〕椭圆 〔C 〕双曲线 〔D 〕抛物线2．考察直线与圆锥曲线的位置关系几率较高 在04年的15个文科试题〔含新、旧课程卷〕中，全都“不约而同〞地考察了直线和圆锥曲线的位置关系，因此，可以断言，在05年高考试题中，解析几何的解答题考察直线与圆锥曲线的位置关系的概率仍然会很大．3．与数列相综合 在04年的高考试题中，、、解析几何大题与数列相综合，此外，03年的卷也曾出现过此类试题，所以，在05年的试题中仍然会出现类似的问题．例9〔04年卷〕如图，ΔOBC 的在个顶点坐标分别为〔0,0〕、〔1,0〕、〔0,2〕,设P 为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的坐标为(x n,y n ), .2121++++=n n n n y y y a 〔Ⅰ〕求321,,a a a 及n a ; 〔Ⅱ〕证明;,414*+∈-=N n y y n n 〔Ⅲ〕假设记,,444*+∈-=N n y y b nn n 证明{}n b 是等比数列. 解：(Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ，所以2321===a a a ，又由题意可知213+++=n n n y y y ， ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++ ∴{}n a 为常数列.∴.,21*∈==N n a a n(Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得,124121=++++n n n y y y 又∵2214++++=n n n y y y ，∴.414n n y y -=+ 〔Ⅲ〕∵)41()41(44444841n n n n n y y y y b ---=-=+++- )(41444n n y y --=+,41n b -= 又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列. 4．与导数相综合 近几年的新课程卷也非常注意与导数的综合，如03年的文科试题、04年的文理科试题，都分别与向量综合．例10〔04年文理科试题〕如图，过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P 〔0,m 〕(m>0)作直线与抛物线交于A,B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
福建高考数学复习三角函数解三角形4.6三角恒等变换课件理新人教A版 (2)
cos α=11+-ttaann22���2���2������;
tan α=12-ttaann2���2������2���.
-3-
知识梳理 考点自测
12345
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.
()
(2)当 α 是第一象限角时,sin���2��� = 1-c2os������.
=sin 2αcosπ4-cos 2αsinπ4=-175√02.
答案
-21-
考点1 考点2 考点3
解题心得1.解决“给角求值”问题的一般思路:“给角求值”问题一 般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察 非特殊角与特殊角总有一定的关系,解题时,要利用观察得到的关 系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.
2sin12s(i1n02°0-3°0°)=-122ssiinn2200°°=-4. (2)原式
= -2si n2������co s2������+12
2sin
π 4
-������
co s 2
π 4
-������
cos
π 4
-������
=2sin12(π14 --���s���i
n 2 2������ cos
1
+
3 4
=
√27,
∴sicnos���2���-���π4���
=(cos
������+sin ������)(cos √22(sin ������-cos
������-sin ������)
������
)=-√2(sin
福建省高考数学秘籍18法 排列组合二项式定理和概率 新课标 人教版
福建省高考数学秘籍18法 排列组合二项式定理和概率一、知识整合 二、考试要求：1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. 2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题. 5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.6．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.7．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.8．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率. Ⅰ、随机事件的概率例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2， (9)10种，正确的结果有1种，其概率为6101，随意按下6个数字相当于随意按下610个，随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一，其概率是6101.(2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为101. 例2 一个口袋内有m 个白球和n 个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）解 设事件I 是“从m 个白球和n 个黑球中任选3个球”，要对应集合I 1，事件A 是“从m 个白球中任选2个球，从n 个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I 1)=123)(,n m nm CC A Card C⋅=+，于是P(A)=3121)()(nm nm C C C I Card A Card +⋅=. Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.解 （1）从20件产品中任取3件的取法有320C ，其中恰有1件次品的取法为15215C C 。
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福建省高考数学秘籍18法 三角函数高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。
因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。
以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。
一、知识整合1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin()y A x ωϕ=+的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．二、高考考点分析2020年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。
主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。
如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。
第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。
如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。
第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。
如分段函数值，求复合函数值域等。
三、方法技巧1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
四、例题分析 例1．已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
例2．求函数21sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。
解：设sin cos )[4πt x x x =+=+∈，则原函数可化为22131()24y t t t =++=++，因为[t ∈，所以当t =时，max 3y =12t =-时，min 34y =，所以，函数的值域为3[34y ∈，。
例3．已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。
（1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合； （2）证明：函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称。
解：22()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--2sin 22cos 2)4πx x x =-=- (1)所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈， 所以，当2242ππx k π-=+，即38πx k π=+时，()f x最大值为；(2)证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称，只要证明对任意x R ∈，有()()88ππf x f x --=-+成立，因为())]2)28842ππππf x x x x --=---=--=-，())]2)28842ππππf x x x x -+=-+-=-+=-，所以()()88ππf x f x --=-+成立，从而函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称。
例4． 已知函数y=21cos 2x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2x －1)+ 41+43（2sinx ·cosx ）+1=41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+45=21sin(2x+6π)+45 所以y 取最大值时，只需2x+6π=2π+2k π,（k ∈Z ），即 x=6π+k π,（k ∈Z ）。
所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6π+k π,k ∈Z}（2）将函数y=sinx 依次进行如下变换：（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移6π，得到函数y=sin(x+6π)的图像； （ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6π)的图像；（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数y=21sin(2x+6π)的图像； （iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+45的图像。
综上得到y=21cos 2x+23sinxcosx+1的图像。
说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。
这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx 的齐次式，降幂后最终化成y=22b a +sin (ωx+ϕ)+k 的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。
本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx ≠0时，y=x x x x x 222cos sin cos sin 23cos 21+++1=xx 2tan 1tan 2321+++1 化简得：2(y －1)tan 2x －3tanx+2y －3=0∵tanx ∈R ，∴△=3－8(y －1)(2y －3) ≥0,解之得：43≤y ≤47∴y max =47，此时对应自变量x 的值集为{x|x=k π+6π,k ∈Z}例5．已知函数.3cos 33cos 3sin )(2x x x x f += （Ⅰ）将f(x)写成)sin(φω+x A 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（Ⅱ）如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2=ac ，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函数f(x)的值域.解：23)332sin(2332cos 2332sin 21)32cos 1(2332sin 21)(++=++=++=πx x x x x x f（Ⅰ）由)332sin(π+x =0即z k k x z k k x ∈-=∈=+πππ213)(332得即对称中心的横坐标为z k k ∈-，π213（Ⅱ）由已知b 2=a c，，，，，，231)332sin(31)332sin(3sin |295||23|953323301cos 21212222cos 22222+≤+<∴≤+<∴->-≤+<≤<<≤∴=-≥-+=-+=πππππππππππx x x x x ac ac ac ac ac c a ac b c a x Θ 即)(x f 的值域为]231,3(+. 综上所述，]3,0(π∈x ， )(x f 值域为]231,3(+. 说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。
例6．在ABC V 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos 3cos C a cB b-=， (1)求sin B 的值；(2)若b =，且a=c ，求ABC V 的面积。
解：(1)由正弦定理及cos 3cos C a c B b -=，有cos 3sin sin cos sin C A CB B-=， 即sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-，所以sin()3sin cos B C A B +=，又因为A B C π++=，sin()sin B C A +=，所以sin 3sin cos A A B =，因为sin 0A ≠，所以1cos 3B =，又0B π<<，所以sin 3B ==。
(2)在ABC V 中，由余弦定理可得222323a c ac +-=，又a c =， 所以有22432243a a ==，即，所以ABC V 的面积为211sin sin 22S ac B a B ===例7．已知向量2(2cos sin )(sin cos )(3)a ααb ααx a t b =-=+-r r r r r ，2，=，，， y ka b =-+r r r ，且0x y ⋅=r r，(1)求函数()k f t =的表达式；(2)若[13]t ∈-，，求()f t 的最大值与最小值。
解：(1)24a =r ，21b =r ，0a b ⋅=r r ，又0x y ⋅=r r，所以22222[(3)]()(3)[(3)]0x y a t b ka b ka t b t k t a b ⋅=+-⋅-+=-+-+--⋅=rrrrr r rrrr ，所以31344k t t =-，即313()44k f t t t ==-； (2)由(1)可得，令()f t 导数233044t -=，解得1t =±，列表如下：而(1)(1)(3)222f f f -==-=，，，所以max min ()()22f t f t ==-，。