Banach空间二阶非线性常微分方程周期边值问题的解

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二阶阶微分方程的解法及应用课件

分方程转化为关于参数的常微分方程，从而求解。
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通过引入参数，将微分方程转化为关于参数的常微分方程。这种方法适用于具有特定形式的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程的解与某个参数有关时。通过求解关于参数的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。

Banach空间中二阶三点系统边值问题正解的存在性

（）＝ “ ７）Ｔ（７
（）：Ｏ（／ＴｄｒＵ）
算子４：Ｄ— Ｄ严格集压缩，Ａ在Ｄ中必存在不动则
本文在Ｃ［，ｔＥ］中研究系统式（）若ｌ ∈ ，１，Ｚ，
正解的存在性。设（，Ｉ・｝）是Ｂｎｃ『Ｉａａｈ空间，Ｐ
正解当且仅当（，） ∈ Ｃ［，１ＺＪＰ］×Ｃ［，ＪＰ］是下列
引理１
设Ｍ ∈ Ｃ．Ｅ［，］等度连续的有界集，，
Ｉｏ
【＝『（ｓ（，ｓ））ｎ）ｓ（ｄ（，ｇｕ）ｓＧ
（２）
则Ｏ（／Ｍ）＝Ｏ（Ｊ）＝ｍｘ∈ ｌ（ｔ）ＩｔＭ（）ａｃ』ｌＭ（）Ｉ，
（（）ｔＪｔ：ｄ ∈Ｈ ≤ Ｉ（（）ｄ。）Ｈｆ）ｔ
引理３
相对紧。
（ｓｏｉｒｅ） ∈ＣＪＥ］是相对ＡｃｌＡｚｌＨ — ａ［，
究了Ｂｎｃａａｈ空间二阶三点系统边值问题：
Ｍ－ｔ（）＋厂，ｔ）＝０，（ｔ∈ ［，］０Ｔ
则称满足于系统式（）的，系统式（）正解。１为１
锥。由锥ｃ，引入Ｃ［，中的半序： ≤ ［Ｐ］．Ｅ］，ｙＶｔ，ｔ甘 ∈．（）≤Ｙｔ。文Ｅ，ＪＥ］中有界集，（）本Ｃ［，
的非紧性测度分别用（），・・，（）表示，素的范元
⑥
２１ＳｉＴｃ．ｎｎ．００ｃ．ｅｈＥｇｇ

Banach空间含间断项的二阶非线性脉冲积-微分方程周期边值问题

（＝ｆＭ）Ｎ（））Ｎ（（ｆ（一一（一ｚｆ））７ｆ））
，：—Ｅｘ＝）（，（分别表示ｘｔ＝处的右Ｅ．Ｉ一）Ａｔ）（）（）ｔ在ｔ极限与左极限．ｘ＝ ’ ） ’） ’ 分别表示ｘｔｔｋＡ ’ （一（（））【 ‘ ，在＝处的（）ｔ
ｘＯ＝（）（ａ，） ’）（）（： ’ ．ｏｎ引理２设 ∈Ｐ（，）常数Ｍ＞，Ⅳ ｑＮ ≥ ，２（＝… ，）．，Ｅ，ｃ０ｌ２００１ｍ２一
存在，ｌ …ｍ，。ＥＩ＝ｋ，ｌＣＪ）ｍ＝２Ｐ（￣Ｉ，间）Ｉ１．
’
。
（一）“ ） “ ）（一（）（）（｝
＝
一
１（１（
（）１
ｋ＝１２ … ，，，，
其（＝中Ｇ）
是线性脉冲ＰＶ：ＢＰ
一
（＝（， ’）（，０口（＝ ’）））０口
其中， ∈ ．，｛ｎ０ｔ …＜ａ：ｘｘｘ￣，：，０ｘＥｔ＝ｏ】＜Ｉ＜．ＪＥＥＥ， —￡Ｍ，ＩＥ，，＜ｆ＾
ｋｃＤＲ）Ｄ｛，Ｅｘ，２）ｈＣＪＪＲ） ∈ （，，＝（ｓＪＪｆ，Ｅ（，ｆ）ｘ
本文设Ｅ恒为半序Ｂｎｃａａｈ空间，其半序由Ｅ中的锥Ｐ导出．令Ｐ，）｛ｌＪ＊，ｔＣＵＥ＝ｘ：－Ｅ在＃ｔ处连续，ｔｔ处左连续，．（） ’ ）ｘ－在＝ｔ），（（ ’
科技创新
２１￣５（０２月上）ｌ科技创新与应用

Banach空间中分数阶微分方程边值问题的解

Banach空间中分数阶微分方程边值问题的解
魏家豪
【期刊名称】《理论数学》
【年(卷),期】2017(007)002
【摘要】应用不动点定理以及格林函数的性质,在Banach空间中得到了一类带有P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性结果。

【总页数】12页(P78-88)
【作者】魏家豪
【作者单位】[1]潍坊(上海)新纪元学校,山东潍坊
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.Banach空间中一类分数阶微分方程边值问题 [J], 董琪翔;毋光先;李姣
2.Banach空间一类非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性 [J], 陈艳丽;宋卫信;黎虹;张锋
3.Banach空间分数阶微分方程边值问题正解的存在性 [J], 张凯斌;陈鹏玉
4.有序Banach空间分数阶微分方程边值问题正解的存在性 [J], 梁秋燕
5.Banach空间分数阶微分方程边值问题解的存在性与唯一性 [J], 陈艳丽;黎虹;宋卫信;张锋
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二阶常微分方程边值问题数值方法

其中 p( x),q( x)为,r已( x知) 函数，则由常微分方程的理论知，通过
变量替换总可以消去方程中的项，不妨y设变换后的方程为
y( x) q( x) y( x) r( x)
y(a) ,
y(b)
则近似差分方程成离散差分方程为
yi 1
2 yi h2
yi 1
qi
yi
ri
其中 qi q( xi ), ri r( xi ), i 1,2, , n. y0 ,
第一边界问题：
y0 , yn1
(8.9)
第二边界问题：
y1 y0 h , yn1 yn h
(8.10)
第三边界问题：
y1 (1 0h) y0 1h,
(1 0h) yn1 yn 1h
(8.11)
若 f ( x, y,是y) 的y线, y性函数时，f 可写成
f (x, y, y) p(x) y( x) q( x) y(x) r( x)
以
y
为待定参数。
0
对第三类边界问题，仍可转化为考虑初值问题(8.5)，取
y0 ,
y0 1 0 y0 ，以 y为0 待定参数。
8.2 有限差分法
将区间[a,b]进行等分：
h
ba, n1
xi
a ih, i 0,1,
,n 1,
设在
x xi , i 0,1, , n 1处的数值解为。 yi 用中心差分近似微分，即
而且还有误差估
计：
Ri
y( xi )
yi
M 24
h2
(
xi
a)(b xi )
其中 M max y(4。) ( x)
x[a ,b]

Banach空间含间断项的二阶非线性脉冲微分方程终值问题

ｗｉｔｈＤｉｓｃｏｎｉｎｔｕｏｕｓＴｅｒｍｓｉｎＢａｇｓｈｅｎｇＤａｉＢｉｎｘｉａｎｇ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＣｅｎｔｒａｌＳｏｕｔｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ，Ｈｕｎａｎ４１００７５，Ｃｈｉｎａ）
ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｍｐｕｌｓｉｖｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａ［ｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｔｅｍｓｒｉｎＢａｎａｃｈｓｐａｃｅｒｅａｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ，ａｎｄｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅ
国家自然科学基金（Ｎｏｌ１２７１３７１）资助项目收稿日期：２０１３年８月２５日
２
数学理论与应用
” （ｔ）＝ｔ，，），ｔ∈．，，ｔ ≠ｔＺｉｘＩＺｉｘＩ＝Ｉｋ（（ｔ）），ｋ＝１，２， …
一
（１）
＝Ｉｋ（ｘ（ｔ），（ｔｋ）），ｋ：１，２， …
，（ ∞）＝：
（ｏ。）＝
其中，： ∈ Ｅ，Ｊ＝［０， ∞），０＜ｔ１＜ｔ２＜ … ＜ｔ＾＜… ＜＋。。，ｋ＝１，２，・・：．，×ＥＸＥ－＋Ｅ，：ＥＥ，：ＥＸＥ— Ｅ，（不假定，厶，，连续），Ｉ＝（￡）一（ｔ一）．

配置法解常微分方程边值问题

配置法解常微分方程边值问题概述边值问题是微分方程求解中的一类重要问题，它所涉及的方程在给定区域的边界上给出了一些附加条件。

配置法（Shooting Method）是一种常用的数值方法，用于求解常微分方程边值问题。

本文将详细介绍配置法的原理、步骤以及实现过程，并通过一个具体的例子来说明该方法的应用。

原理配置法的基本思想是将边值问题转化为一个初值问题，并通过调整初值，使得模拟的曲线满足边界条件。

假设我们有一个二阶线性常微分方程：y″(x)=f(x,y,y′)其中f(x,y,y′)是连续函数，我们希望求解满足边值条件y(a)=A和y(b)=B 的解。

首先，我们可以通过参数化引入一个新变量t，将二阶方程转化为一阶方程组：y′(x)=v(x)v′(x)=f(x,y,v)其中v(x)是y′(x)的新表示。

现在我们将问题转化为求解一阶方程组在给定初值条件y(a)=A和v(a)=p下的解，在x=b处满足边界条件y(b)=B。

步骤配置法的求解过程一般可以分为以下步骤：1.给定区间[a,b]，初值条件y(a)=A和y(b)=B，以及初始猜测p0。

2.使用一个合适的数值方法（如龙格-库塔方法）求解一阶方程组，可以得到y(x;p0)。

3.判断y(b;p0)是否与B接近。

如果接近，则停止迭代。

4.如果y(b;p0)与B相差较大，调整初始猜测p0。

5.根据调整后的初始猜测p i，重复步骤2到4，直到y(b;p i)接近B。

实例分析下面我们以一个具体的例子来说明配置法的应用。

考虑边值问题：y″(x)+y(x)=0, y(0)=1,y(π/2)=2将该边值问题转化为初值问题，我们可以引入新变量v(x)，得到方程组：y′(x)=v(x)v′(x)=−y(x)首先，我们进行初值猜测，假设p0=−1。

使用数值方法（如龙格-库塔方法）求解方程组，可以得到y(x;p0)：x y(x; p_0) v(x; p_0)0.00 1.000 -1.0000.10 0.950 -1.0950.20 0.803 -1.1800.30 0.577 -1.2460.40 0.296 -1.2860.50 -0.004 -1.2950.60 -0.305 -1.2690.70 -0.625 -1.2030.80 -0.918 -1.0930.90 -1.147 -0.9351.00 -1.289 -0.7251.10 -1.336 -0.4611.20 -1.285 -0.1431.30 -1.143 0.1951.40 -0.922 0.5531.50 -0.641 0.9131.60 -0.326 1.2661.70 0.014 1.6051.80 0.369 1.9241.90 0.7112.2172.00 1.014 2.478可以看到，当p0=−1时，y(π/2;p0)=1.014，与边界条件y(π/2)=2相差较远。

Banach空间非线性二阶奇异微分方程m点边值问题

Banach空间非线性二阶奇异微分方程m点边值问题谭静静;张克梅【摘要】应用非紧性测度的性质和广义凝聚映像的Sadovskii不动点定理,获得了Banach空间中一类含有一阶导数的非线性二阶奇异微分方程m点边值问题解的存在性结果. 首先给出一些定义和引理, 然后定义两个新的Banach空间和不动点算子, 通过证明算子A的连续有界,以及证明((AV)(t))/(1+t), (AV)′(t)是等度连续的,该文得到边值问题(5)至少存在一个解.【期刊名称】《曲阜师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(036)002【总页数】12页(P23-34)【关键词】边值问题;不动点定理;锥;非紧性测度【作者】谭静静;张克梅【作者单位】曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市;曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市【正文语种】中文【中图分类】O175.8;O175.15非线性微分方程的边值问题是微分方程领域中一类重要问题.特别地,多点边值问题在物理、生物等领域有着广泛的应用,其解的存在性引起了许多学者的关注,见文献[1-3]及其所附文献.文献[4]研究了二阶三点边值问题的解的存在性,其中f∈C([0,∞),[0,∞)),b(t)∈C([0,1],[0,∞))且ϖt0∈[0,1],使得b(t0)>0.作者主要利用该问题相应的Green函数,将其转化为Hamm erstein型积分方程,借助锥上的不动点指数理论,得到了边值问题正解的存在性与多重性的结果.文[5]研究了二阶m点边值问题的正解的存在性,其中f∈C([0,1]×[0,∞)×R,[0,∞)),0<ξ<ξ2<…<ξm-2<1,βiΕ0(i=该文主要是应用格林函数及其性质和不动点定理[5],得到了边值问题(2)至少存在3个正解的结果(当边界条件为此结果仍然成立).近些年来,在抽象空间中研究常微分方程边值问题成为一个新的重要理论分支,就笔者所知,在抽象空间中研究多点边值问题解的存在性的文献尚不多见.最近,文献[6]在抽象空间中研究了边值问题的正解的存在性,其中θ是E的零元,非线性项f不依赖于一阶导数项x′(t),f在t=0,x=θ处是奇异的.作者通过构造一个特殊的锥,利用严格集压缩算子的不动点指数理论,得到了其正解的存在性结果.对于这个问题,文献[7]应用M˚nch不动点定理,也得到了同样的结果.文献[8]研究了边值问题的解的存在性,f∈C[I×E×E,E],I=[0,1],0<α<1,1<η<本文考虑非线性项非奇异的情况.受以上文献的启发,本文主要研究Banach空间E中二阶m点边值问题非平凡解的存在性,其中θ是E的零元,f∈C[I×E×E,E],f(t,θ,θ)≠θ,I=[0,1],h:(0,1)→R连续且h(t)在t=0,1两点奇异.显然本文所讨论的边值问题比上述问题更加广泛,在纯量空间中,此结果仍然成立.为了证明本文主要结果,下面给出一些定义和引理.定义1.1 (对偶锥)令P是Banach空间E中的一个锥,f是E上的有界线性泛函,如果对于Πx∈P, f(x)Ε0,称f(x)是非负的,把所有的非负的f的集合记作P3,P3就是P的对偶锥.定义1.2 (非紧性测度)设E是实Banach空间,使每个Si的直径d(Si)Φδ},称α(S)是S的非紧性测度.定义1.3 (严格集压缩映像)设E1和E2是实Banach空间,D<E1,设A:D→E2连续,有界,(i)如果存在常数kΕ0,使对任何有界集S<D,都满足α(A(S))Φkα(S),则称A为D上的k2集压缩映像.特别k <1时的k2集压缩映像称为严格集压缩映像.(ii)如果对任何非相对紧的有界集S<D,都满足α(A(S))< α(S),则称A是D上的凝聚映像. 显然若A是严格集压缩映像,则A一定是凝聚映像.引理1.1[7] 若H<C[I,E]有界且等度连续,那么α(H(t))在I上连续,并且这里I=[a,b],H(t)={x(t);x∈H},t∈I,αc(·),α(·)分别表示H在C[I,E]和E中的非紧性测度.引理1.2 (Sadovskii)令D是Banach空间E中的有界凸闭集(D不一定有内点),A:D→D是凝聚映像,则A在D中必具有不动点.关于锥的定义及性质可参见文献[15].显然,C1[I,E]<C[I,E],DC1[I,E]<FC[I,E].本文分别记空间E,C[I,E],FC[I,E],DC1[I,E]中的有界子集的非紧性测度为αE(·),αC(·),αF(·),αD(·).为方便起见,我们列出下面几个条件.事实上,由(H1)知(1)‖f(s,u(s),u′(s))‖Φ[(1+s)a(s)+b(s)]‖u‖D+c(s).(2)a(t),b(t),c(t)∈C[0,1]且非负,所以它们在[0,1]上有界.令a(t)ΦM1,b(t)ΦM2,c(t)ΦM3,对Πt∈I,取?M=m ax{M1,M2,M3}.又V有界,ϖM′>0,Πu∈V满足‖u‖DΦM′,有因为t是任意的,所以所以由引理2.4和(24)-(25),得到A是Ω到Ω的严格集压缩映像,显然A是凝聚映像.由引理1.2知A在Ω中至少有一个不动点,即边值问题(5)在DC1[I,E]上至少有一个非平凡解.参考文献:[1]L iu B,W uW,L iu L,etal.Positive so lution for singu lar second order three2pointboundary value p roblem s[J].Non linearA 2nalysis,2007,66:275622760.[2]L iu B.Positive so lutionsof non linear r2pointboundary valueproblem[J].App lM ath Comput,2004,155:1792203.[3]Chen SH,Hu H,Chen L,etal.Existence resu lts for n2pointboundary value problem of second ordero rdinary differentialequa2 tions[J].ComputApp lM ath,2005,180:4252432.[4]王淑丽,刘进生.二阶三点边值问题的正解[J].数学物理学报,2008,28A(2):3732382.[5]Yang L iu,Shen Chun2fang,L iu X i2ting.Existence of three postive so lutions for som e second order M 2pointboundary value p rob2 lem[J].A ctaM athm aticalApp lication Sinica,English Series,2008,24(2):2532264. [6]刘衍生.Banach空间中非线性奇异微分方程边值问题的正解[J].数学学报,2004,47(1):.[7]Cui Yujun,Zou Yum ei.Positive so lution of non liner singu lar boundary value problem s in abstract spaces[J].Non linerAnalysis 2008,69:2872294.[8]Chen Haibo,L i Peiluan.Existence of so lutionsof three2point boundary value p roblem s in Banach spaces[J].M athem atical and ComputerM odelling,2009,49:7802788.[9]Lakshm ikantham V,Leela S.NonlinearD ifferen tial Equations in Abstract Spaces[M].Pergamon,Oxford,1981.[10]Guo D,Lakshm ikantham V,L in X.Nonlinear Integral Equations inAbstractSpaces[M].KluwerA cadem ic,Dord recht,1996.[11]L iu B.Positive so lutionsof a non linear three2pointboundary value problem[J].App lM ath Comput,2002,132:11228.[12]L iu Y.Boundary value problem s for second order differential equations on unbounded dom ains in a Banach space[J].App l M ath Comput,2003,135:5692584.[13]Guo D,Lakshm ikantham V.Nonlinear Problem s in AbstractCones[M].New York:A cadem ic Press,1988.[14]Deim ling K.Non linear FunctionalAnalysis[M].Berlin:Sp ringer,1985.[15]郭大钧.非线性泛函分析[M].第2版.济南:山东科技出版社,2001.[16]杨义涛,孟凡伟.抽象空间中二阶三点边值问题正解的存在性[J].曲阜师范大学学报(自然科学版),2009,35(3): 15218.。

banach空间中高阶常微分方程周期边值问题的解的存在性

banach空间中高阶常微分方程周期边值问题的解的存在性自十九世纪末以来，微分方程一直是数学研究的热点之一。

如今，高阶常微分方程周期边值问题的解的存在性是这一领域的重要研究课题。

本文将回顾Banach空间中高阶常微分方程周期边值问题的解的存在性的研究现状，并对其解的存在性特征进行详细分析和探讨。

首先，本文将解释Banach空间的定义及其在数学中的意义。

Banach空间定义是指向量空间的定义，它是一个高维的实拓扑空间，可以用单位球体和标准度量来定义，它定义了一种新的相似性，可以在几何上看到拓扑结构。

Banach空间可以用来分析高阶常微分方程周期边值问题，因为它可以表示和描述向量空间中的解的存在性问题，包括解的可求性。

其次，本文将介绍高阶常微分方程周期边值问题的定义及其在数学中的意义。

它是指当微分方程的阶数大于3时，方程的边界值问题的解的存在性。

它是一个复杂的方程，考虑的参量包括多项式的系数，高阶微分项的系数，方程的边界值，空间的几何结构，时间变量的变化等等。

通过对Banach空间的分析，可以有效的求解高阶常微分方程周期边值问题，从而获得解的存在性。

第三，本文将介绍Banach空间中解的存在性的理论特征。

当Banach空间成为一个有限个相连区域时，即可以用一个完整的空间来定义空间，则可以把边界条件转化为空间的拓扑状况，从而求得一般的解的存在性。

如果空间的拓扑状况是复杂的，则可以用有限元法和拓扑方法来求取解的存在性。

最后，本文将总结Banach空间中高阶常微分方程周期边值问题的解的存在性的研究现状。

现在，可以用Banach空间分析来解决高阶常微分方程周期边值问题，但是在实际应用中，由于Banach空间构造较为复杂，存在计算难度高的问题。

因此，研究人员还需要通过开发更高效的计算方法，如基于有限元法和拓扑方法的计算算法，以期解决高阶常微分方程周期边值问题的解的存在性问题。

总之，Banach空间是一种新的相似性，可以用来分析高阶常微分方程周期边值问题的解的存在性。

非线性常微分方程边值问题的求解

非线性常微分方程边值问题的求解作者：张孟来源：《课程教育研究》2017年第29期【摘要】本文研究了一类非线性常微分方程边值问题的求解，由于常微分方程与实际应用问题联系密切，文中结合了一种特定的物理现象，以此为背景建立运动微分方程，然后给出了三类边界条件，最后对有限变形问题进行求解，得到了其非平凡解。

【关键词】非线性常微分方程边值求解【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）29-0133-02一、运动微分方程的导出首先引入Lagrange空间和Euler空间，前者代表物体变形前占有的空间，后者表示物体变形后占有的空间。

物体在Lagrange空间中所占的区域被称为初始构型，记为Ω0，物体在Euler 空间中所占的区域被称为现时构形，记为Ω。

对于连续介质中任意给定的物质点，它在初始构型中的物质坐标（X1，X2，X3）是确定不变的，它在现时构形中的位置坐标（x1，x2，x3）随着变形的不同而不同。

x=x（X，t）X=X（x，t）由运动方程（1）和（2），可得dx=FdX，dX=F■dx方程（3）也可表示为：dxk=xk，KdXK方程（3）中F是式（1）的雅克比矩阵，被称为变形梯度张量，是一个二阶张量，并且有：F=■或者F■=■=xk，K对F进行分解，可以得到F的如下所示极分解表达式：F=RU=VR其中，R是一个正交张量；U和V表示的是伸长部分，它们是对称正定张量，有相同的特征值。

由（6）式可以推出C=U■=F■F，B=V■=FF■其中，C称为右柯西-格林变形张量或者Green变形张量，B被称为左柯西-格林变形张量或Finger变形张量。

两个变形张量具有三个相同的主不变量：I■=trC=trB=λ■■+λ■■+λ■■，I■=λ■■λ■■+λ■■λ■■+λ■■λ■■，I■=λ■■λ■■λ■■变形后的线元dx、面元da和体元dv分别为dx=FdX，dxk=Xk，KdXK，da=JF■dA，da■=JX■dA■，dv=JdV.其中，J=det|F|。

几类差分方程周期边值问题研究

几类差分方程周期边值问题研究几类差分方程周期边值问题研究引言：差分方程是数学中的一种常见形式，它描述了相邻点之间的离散关系。

差分方程在各个领域都有广泛的应用，特别是在物理学、生物学和经济学等领域中，差分方程的周期边值问题一直是研究的焦点。

本文将介绍几类常见的差分方程周期边值问题，并探讨其研究方法和应用。

一、线性差分方程的周期边值问题对于形如x_n+1 = ax_n + b的线性差分方程，其中a和b为常数，周期边值问题是研究如何确定x的周期解以及边界条件的问题。

通过对差分方程进行变换，可以得到形如x_n+1 =cx_n-1的差分方程，其中c为常数。

对于这种形式的差分方程，可以采用特征根法求解周期边值问题。

即先求出差分方程的特征方程，并根据特征方程的根的性质确定解的形式。

二、非线性差分方程的周期边值问题非线性差分方程的周期边值问题较为复杂，需要采用不同的方法进行求解。

首先，可以尝试将非线性差分方程转化为线性形式，进而利用线性差分方程的求解方法解决问题。

若转化不成功，则需要运用其他数学工具，如微分方程的离散化方法或迭代方法，来逼近解的形式。

三、混合差分方程的周期边值问题混合差分方程由线性差分方程和非线性差分方程的组合形成，是一类综合了两者特点的差分方程。

对于混合差分方程的周期边值问题，可以利用线性差分方程和非线性差分方程的求解方法进行处理。

首先，将混合差分方程划分为线性和非线性两个部分，并分别求解。

然后，将两个部分的解进行组合，得到混合差分方程的周期边值解。

四、应用实例差分方程周期边值问题在实际应用中有广泛的应用。

以物理学中的振动问题为例，差分方程可以模拟物体的振动过程。

对于一些具有周期性振动的系统，如弹簧振子或钟摆，可以建立相应的差分方程模型。

通过求解差分方程的周期边值问题，可以得到系统的周期解和边界条件，从而更好地理解和控制物体的振动行为。

结论：差分方程周期边值问题是差分方程研究的重要内容，它在物理学、生物学和经济学等领域有广泛的应用。

Banach空间二阶非线性微分方程的终值问题

Banach空间二阶非线性微分方程的终值问题
周友明
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2004(021)006
【摘要】本文利用半序理论研究Banach空间中二阶非线性微分方程终值问题最小解和最大解的存在性,并将所得结果应用于无穷维微分方程的终值问题.
【总页数】7页(P953-958,930)
【作者】周友明
【作者单位】江苏技术师范学院基础部,江苏,常州,213015
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.Banach空间中一阶非线性微分方程组的终值问题解的存在性 [J], 张海燕
2.Banach空间含间断项的二阶非线性脉冲微分方程终值问题 [J], 鲍龙生;戴斌祥
3.Banach空间二阶脉冲积微分方程终值问题 [J], 石漂漂;王文霞
4.Banach空间二阶积分-微分方程终值问题极值解 [J], 胡松林
5.Banach空间中一阶非线性脉冲微分方程终值问题解的存在性 [J], 张海燕
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常微分方程的周期解

常微分方程的周期解常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODEs）是数学中重要的研究对象之一，它描述了自变量只有一个的函数与其导数之间的关系。

常微分方程的周期解是在一定区间内呈现循环性质的解。

本文将介绍常微分方程的周期解及其相关概念和性质。

1. 基本概念常微分方程的周期解是指在定义域上存在一个正数T，使得函数解在任意整数倍的T时均相等。

即对于方程dy/dx = f(x,y)，存在一个T，使得f(x+T, y) = f(x, y)。

这个T被称为周期。

2. 周期解的存在性对于线性的常微分方程，周期解的存在性可以通过特征方程解得。

而对于非线性的方程，周期解的存在性更为复杂。

常用的方法包括Poincaré-Bendixson定理、Lyapunov函数等。

这些方法可以用于证明常微分方程存在周期解的充分条件。

3. 周期解的稳定性周期解的稳定性是指当初值相同时，系统能否趋向于周期解。

稳定性可以分为Lyapunov稳定和渐近稳定两种。

Lyapunov稳定是指当初值足够接近周期解时，系统解也足够接近周期解。

而渐近稳定是指当初值足够接近周期解时，系统解最终趋向于周期解。

稳定性定理为我们提供了判断周期解稳定性的方法。

4. 周期解的分类根据周期解的性质，可以将其分为简单周期解和复杂周期解。

简单周期解是指系统解在一个周期内不重复，而复杂周期解则存在多个周期点。

周期解的分类对于研究系统的动力学行为具有重要意义。

5. 周期解的应用周期解的应用广泛存在于科学和工程的各个领域。

在生物学中，周期解可用于描述生物体内的生物钟和生物节律。

在物理学中，周期解可用于描述振动系统如弹簧振子的周期性运动。

在工程学中，周期解可用于研究控制系统的稳定性和可控性等问题。

综上所述，常微分方程的周期解是指在一定区间内呈现循环性质的解，其存在性和稳定性是常微分方程理论中的重要问题。

周期解的分类和应用使其具有广泛的应用前景。

二阶常微分方程边值问题的数值解法

摘要本文主要研究二阶常微分方程边值问题的数值解法。

对线性边值问题，我们总结了两类常用的数值方法，即打靶法和有限差分方法，对每种方法都列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这两类方法的优缺点进行了细致的比较。

关键字：常微分方程边值问题；打靶法；差分法；ABSTRACTThis article mainly discusses the numerical methods for solving Second-Order boundary value problems for Ordinary Differential Equations. On the one hand, we review two types of commonly used numerical methods for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. For each method, we give both the exact calculating steps , we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example.Key words：Boundary-Value Problems for Ordinary Differential Equations；Shooting Method；Finite Difference Method；目录第一章引言................................................................................................................... - 1 -第二章二阶线性常微分方程.................................................................................. - 2 -2.1试射法（“打靶”法） ............................................................................................ - 3 -2.1.1简单的试射法............................................................................................ - 3 -2.1.2 基于叠加原理的试射法........................................................................... - 4 -2.2 有限差分法......................................................................................................... - 10 -2.2.1 有限差分逼近的相关概念...................................................................... - 11 -2.2.2 有限差分方程的建立............................................................................. - 13 -2.2.3 其他边值条件的有限差分方程............................................................. - 14 -2.2.4 有限差分方程的解法............................................................................. - 16 -第三章二阶非线性微分方程........................................................ 错误!未定义书签。

二阶非线性周期边值问题的正解

（）２如果ｉｆｌｉ＞Ｏ并且对任何ｕＫ及任何 ≥ １ｎｌｌ，ＴＥＯ都有ＡｕＴ ≠ ，则（Ｋ，Ｋ）．Ｔ，，一０
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２问题（）１的等价形式与Ｇｒｅｅｎ函数估计
引理２Ｃ若线性周期边值问题
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第３５卷
２１０１年
为证明定理１需要用到引理．，
引理１。设Ｅ是ＢｎｃＥａａｈ空间，是Ｅ中的锥，Ｋ—Ｋ是全连续算子．ＫＴ：（）１如果对任何Ｅ８及任何０ ≤ １有ａｕ，Ｋ＜都Ｔ ≠Ｕ则（Ｋ，Ｋ）；Ｔ，，一１
ｆ（）＋（）￡＋（）一ｆｔ“ ）０＜ｔ２，（，（），＜ｎ
１（）（７，（）一（７．０一２）ｏ２）ｚ￡ｃｃ
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二阶非线性周期边值问题出现在物理及应用数学领域中［８，们对此进行研究，论含单参数的二１］人－讨
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１问题假设
（）（于［，ｃ× ｏ＋。）Ｈ１）０２］Ｅ，。非负连续，０ｌ厂￡）ｔ厂，７且＜（ “ｄ＜＋。；，。
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二阶非线性周期边值问题的正解

二阶非线性周期边值问题的正解自古以来，数学家们就对于复杂的二阶非线性周期边值问题充满着研究热情，但由于其复杂性，一直以来都没有能够得到普遍正解的方法，而出现过的解法又都是解决特定问题的特殊解。

近年来，数学家们新发展出一种方法，能够普适地解决各种类型的二阶非线性周期边值问题，这一技术可以被称为“二阶非线性周期边值问题的正解”。

首先，为了解决二阶非线性周期边值问题，我们要将它转化为一个解析问题。

一般来说，这种问题能够被表示为以下基本公式：$$frac{d^2y}{dt^2}+p(t)frac{dy}{dt}+q(t)y=f(t)$$ 其中，y代表待求解的函数，p(t)和q(t)是给定的正则函数，f(t)是给定的非负函数。

我们可以通过整理上述公式，将其转换为一个端值问题，即：Φ(t)x(t)=F(t)其中，Φ(t)是自回归移动平均矩阵，x(t)是待确定的函数，F(t)是给定的函数。

接下来我们需要解决的是Φ(t)x(t)=F(t)，这是一个基于移动平均的线性方程组，其中的变量是x(t)，公式的右边F(t)是一个给定的具有特定结构的非负函数。

根据矩阵的性质，我们可以将其转化成一种正解，即：Φ(t)x(t)=Φ(t)Φ^{-1}(t)f(t)此外，通过使用高斯消元法可以计算出Φ^{-1}(t)，以及求出f(t)，从而最终得到x(t)的正解。

另外，す研究还表明，二阶非线性周期边值问题往往可以通过采用分片法来解决。

分片法是将定积分拆分成若干小积分，再对每一小积分求解，最后求出总定积分的解。

相比于其他数值解法，分片法具有准确、便于操作等优点，故可以更加简便地解决二阶非线性周期边值问题。

综上，二阶非线性周期边值问题的正解是复杂的，但通过这种方法，可以更加简便地解决各类问题。

通过转换成具有特定结构的线性方程组，利用高斯消元法可以获得正解；另外，利用分片法也可以有效地求解二阶非线性周期边值问题。

拟定的此法能够更加方便、准确地解决各类该类问题。