高中数学必修4优秀课件：1.5 函数y=Asin(wx+φ)的图象(二)(人教A版必修4)

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高一数学必修4课件 1.5y=Asin(ωx+φ)的图象(2)

5、把函数y f ( x )的图像沿x轴向右平移

8
个单位,
1 再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的 , 2 恰好得到y cos x的图像, 求函数f ( x ).
解 : 设y f ( x ),向右平移

8
则得到y f ( x

8
),
1 横坐标缩短为原来的则得到y f ( 2 x ) 2 8 t 由f ( 2 x ) cos x，设t 2 x ，则x 8 8 2 16 t x f ( t ) cos( ) f ( x ) cos( ) 2 16 2 16

.
(2)左右伸缩变换
(3)上下ห้องสมุดไป่ตู้缩变换
2
一、复习回顾由y sin x 到y A sin( x )的图象变换步骤步骤1 步骤2 步骤3 步骤4 步骤5
画出y sin x在0， 2 上的简图
沿 x轴横坐标纵坐标
平行移动伸长或缩短伸长或缩短
得到y sin( x )在长度为2的区间内的简图
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函数表达式。 y/cm E 2 · A ·
O
0.4 B
D. 0.8 · C
1.2 F
x/s
9
10
四、例题分析
例2、已知函数y A sin( x )( A 0, 0, ) 2 在一个周期内的简图(如图)，求其相应的函数表达式，并说明它是由y sin x的图像怎么变换得到的。
(平移个单位)
6
三、针对性练习

高一数学必修4课件：1.5 函数y=Asin的图像2(新人教A版)

第二十三页，编辑于星期日：二十二点十八分。
知识小结
3.通过平移，将函数 y As的in 图x 象变换为 y A的si图n(象x，其) 平移单位是 .
4.若已知函数 y Asin(的x图象)及有关数字特征，则可以求出函数的解析式.
第二十四页，编辑于星期日：二十二点十八分。
课后作业
1.5 函数y Asin(x )的图象
第二课时
第一页，编辑于星期日：二十二点十八分。
复习巩固
1、y sin x y sin(x )
把正弦曲线 y s上in所x 有的点向左（当
＞0时）或向右（当＜0时）平行移动 | |个单位长度而得到.
第二页，编辑于星期日：二十二点十八分。
复习巩固
2、y sin(x ) y sin(x )
把函数 y sin(的x 图象) 上所有点的横
坐标缩短（当＞1时）或伸长（当0
＜＜1时）到原来的倍（纵1坐标不
变）而得到的.
第三页，编辑于星期日：二十二点十八分。
复习巩固
3、y sin(x ) y Asin(x ) 把函数 y sin(图x 象上) 所有点的纵坐标伸长（当＞1时）A或缩短（当0＜
1.函数 y Asin(（xA＞0) ，＞0）的图象，
可以由函数的图y 象si通n x过三次变换而得到，共有6种不同的变换次序.在实际应用中，一般按“左右平移→横向伸缩 →纵向伸缩”的次序进行. 2.用“变换法”作函数y Asin(x的图)象，其作图过程较复杂，不便于操作，在一般情况下，常用“五点法”作图.
1、P58 3、P59 2；
2、学海第11、12课时
第二十五页，编辑于星期日：二十二点十八分。
典例讲评

新课标高中数学人教A版必修四全册课件1.5.2函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)

函数表示一个振动量时：
第五页，编辑于星期日：十三点十八分。
讲授新课 y tan x 3
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时：
A：
第六页，编辑于星期日：十三点十八分。
讲授新课 y tan x 3
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
讲授新课 y tan x 3
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时：
f：
第十页，编辑于星期日：十三点十八分。
讲授新课 y tan x 3
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时：
函数表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置
的最大距离，称为“振幅”.
第七页，编辑于星期日：十三点十八分。
讲授新课 y tan x 3
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时： A：这个量振动时离开平衡位置
的最大距离，称为“振幅”.
A由图象的振幅决定；
由图象的周期决定；
求常用的两种方法：
(1) 平移法；
(2) 代点法.
第二十一页，编辑于星期日：十三点十八分。
课后作业
1. 阅读教材P.49-P.55；
2. 阅读教材P.56练习第3、4题； 3. 《习案》作业十三.
第二十二页，编辑于星期日：十三点十八分。
例2.
第十七页，编辑于星期日：十三点十八分。
讲授新课 y tan x 3
例3. 下图所示的曲线是 y Asin(x ) ( A 0, 0)的图象的一部分，求这个

人教A版高中数学必修4-1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象-课件

三、教学目标
１.知识与能力目标：
理解三个参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ) 图象的影响；揭示函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的变换关系，
２.过程与方法目标：
结合具体函数图象的变化，领会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，通过A、ω、φ变化与函数y=Asin(ωx+φ)图象变换的关系，加深对数形结合思想的理解。
函数.
那么函数 y Asin( x )与函数y=sinx
有什么关系呢?
从解析式上来看函数y=sinx就是函数
y Asin( x )在A=1，ω=1， 0 的情况.
下面就来探索、、A 对函数
y Asin( x )
的图象的影响.
***检测复习***
y sin x, x [0,2 ]的图象
合
函数y=sinx(>0)图象:
作探
究
y=sinx 横坐标变为本来的1/倍 y=sinx
纵坐标不变
小试牛刀
2. 要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将 y=sinx 图象（ B ）
A. 横坐标伸长到本来的3倍，纵坐标不变 B.横坐标缩小到本来的1/3倍，纵坐标不变 C.纵坐标扩大到本来的3倍，横坐标不变 D.纵坐标缩小到本来的1/3倍，横坐标不变
1 sin x 0
2
1 2
0
1 2
0
函数 y 2sin x、y 1 sin x与y sin x 的图象
2
间的变化关系.
y
自
2
主学
1
习
O
3
2
x
2
-1
y 1 sin x
-2

高一数学人教A版必修4第一章1.5 函数y=Asin(wx+j)的图象2课时课件(共63张PPT)

变为原来的
1
w
倍.
3. y=sinx 与 y=Asinx
设 A =2, 画出 y=sinx 和 y=2sinx 的图象.
在 x 坐标相同的情况下,
y
y=2sinx 图象上各点的 y 坐标
2 y=2sinx
是 y=sinx 的 2 倍.
11
将 y=sinx 的图象沿 y 轴方向伸长到原来的 2 倍即得
(1)
y
=
4sin
1 2
x,
xR;
(2) y = 12cos3x, xR;
(3)
y
=
3sin(
2x
+
6
),
xR;
);
(2) y=sin3x;
(4)
y
=
2sin(
2x
4
).
解: (3)
将 y=sinx 的图象向右
平移个单位即得
3
y
=
sin(
x
3
)
的图象.
y
1
11
6
O 543 27 x 1 32 6 3 2 3
练习: (课本55页)
1. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的
简图:
(1) (3)
yy==s12ins(inxx;3
得到
y
=
2sin(
1 3
x
6
)
的图象.
y
2
y
=
2sin(
1 3
x
6
)
1
y
=7sin(3x56
)
13
y
=
sin(
1 3
x

2019年高中数学必修四世纪金榜课件1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)4.教学能手示范课1.5函数y=Asin

3
2
x
3 6 12
2
2
-1
-2 -3
用图象变换法作y=3sin(2x+π/3)的图象的方法步骤(先平后缩):
第1步:y=sinx的图象向左平移π /3个单位长度 y=sin(x+π/3)的图象第2步:y=sin(x+π/3)的图象横倍坐标(缩纵短坐到标原不来变的) 1/2y=sin(2x+ π/3)的图象
(横坐标不变)
y＝sinx的图象各点的纵坐标缩短到原来的1/2y倍＝
(横坐标不变)
1 2
sinx的图象
结论3: y＝Asinx (其中A>0) 的图象可看成是由y＝sinx的图象上的所有点的纵坐标伸长(A>1时) 或缩短 (0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
注:A引起图象的纵向伸缩,它决定函数的最大(最小) 值,我们把A 叫做振幅。
(横坐标不变)即得到y＝4sinx的图象.
例4.用“五点法”画出函数y=3sin(2x+π/3)的简
图解. :
x

7
5
6
12
3
12
6
2x

0

3
2
3
2
2
sin(2x / 3) 0 1
0 -1
0
3sin(2x+π/3y) 0 3
0 -3
0
3
5
62
1

o π
1.5 函数 y Asin(x ) 的图象
物理中简谐振动的相关物理量
y Asin(x )(其中A 0, 0)在简谐

人教A版高中数学高一必修4课件1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象(二)

28
3. 若函数 y ＝ sin(ωx ＋ φ)(x∈R ， ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )
A.ω＝2π，φ＝4π
B.ω＝π3，φ＝π6
C.ω＝4π，φ＝4π
D.ω＝π4，φ＝54π
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
1234
29
解析由所给图象可知，T4＝2，∴T＝8. 又∵T＝2ωπ，∴ω＝4π.
方法一 (单调性法)
∵点(π，0)在递减的那段曲线上，
∴23π＋φ∈[2π＋2kπ，32π＋2kπ](k∈Z). 由 sin(23π＋φ)＝0，得23π＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
23
∴φ＝2kπ＋3π(k∈Z). ∵|φ|<π，∴φ＝π3.
方法二 (最值点法) 将最高点坐标(4π，5)代入 y＝5sin(32x＋φ)，
13
跟踪演练 1 作出函数 y＝32sin13x－3π在长度为一个周期的
闭区间上的图象.
解列表：
X＝13x－π3
x
0
π 2
π
3π 2
2π
π
5π 2
4π
11π 2
7π
y＝32sin13x－3π
0
3 2
0 －32 0
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
14
描点画图(如图所示)：
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
21
跟踪演练2 如图，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0，|φ|<π)的图象，根据图中条件，写出该函数解析式. 解由图象知A＝5.

人教a版必修4学案：1.5函数y=asin(ωx+φ)的图象(2)(含答案)

1.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象(二)自主学习知识梳理1．函数y ＝2.简谐振动在物理学中，常用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[0，＋∞)，其中A >0，ω>0描述做简谐运动的一个振动量．A 就是这个简谐运动的________，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的____________；这个简谐运动的周期是____________，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率f ＝1T＝________，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的__________；__________称为相位；x ＝0时的相位φ称为________．自主探究利用“五点法”作出函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω≠0，φ>0)在一个周期上的图象，要，____________，__________.若设T ＝2πω，则这五个关键点的横坐标依次为________，________，________，________，________.对点讲练知识点一利用五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例1 作出y ＝2.5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象．回顾归纳 “五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0、π2、π、3π2、2π，解出x ，从而确定这五点．变式训练1 作出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4一个周期上的图象．知识点二求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段，求其解析式．回顾归纳由图象求解析式，本质就是“五点法”作图的逆向思维：五点对应．如本题用到五点中的第一、五个点．若图象中有最值点坐标，也可代入解方程求φ，但φ的范围不能太大．变式训练2 若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值分别为________．知识点三正、余弦函数的对称问题例3 如图为函数y 1＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一个周期的图象．(1)写出y 1的解析式；(2)若y 2与y 1的图象关于直线x ＝2对称，写出y 2的解析式； (3)指出y 2的周期、频率、振幅、初相．回顾归纳 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)关于(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0⇔ωx 0＋φ＝k π(k ∈Z )； (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)关于直线x ＝x 0轴对称⇔f (x 0)＝A 或f (x 0)＝－A ⇔ωx 0＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．变式训练3 关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为______(将你认为正确的都填上)．1．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值，最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时取得最小值．课时作业一、选择题1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)为偶函数的条件是( )A ．φ＝π2＋2k π (k ∈Z )B ．φ＝π2＋k π (k ∈Z )C ．φ＝2k π (k ∈Z )D ．φ＝k π(k ∈Z ) 2．函数图象的一部分如图所示，其函数为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 3．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π34．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π65．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5，若对于任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D.12二、填空题6．函数y ＝－3sin ⎝⎛⎫－2x ＋π3 (x ≥0)的初相是________． 7．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 8．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．三、解答题9. 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的递增区间．10．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(二)答案知识梳理 1.2.振幅最大距离 T ＝2πω ω2π次数 ωx ＋φ 初相自主探究⎝⎛⎭⎫－φω，0 ⎝⎛⎭⎫－φω＋π2ω，A ⎝⎛⎭⎫－φω＋πω，0 ⎝⎛⎭⎫－φω＋3π2ω，－A ⎝⎛⎭⎫－φω＋2πω，0 －φω －φω＋T 4 －φω＋T 2 －φω＋34T－φω＋T 对点讲练例1 解令X ＝2x ＋π，则x ＝1⎝⎛⎭⎫X －π.列表：变式训练例2 解方法一以N 为第一个零点，则A ＝－3，T ＝2⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝π，∴ω＝2，此时解析式为y ＝－3sin(2x ＋φ)．∵点N ⎝⎛⎭⎫－π6，0，∴－π6×2＋φ＝0，∴φ＝π3，所求解析式为y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法二由图象知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，P ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点．列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0ω·5π6＋φ＝π解之得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 变式训练2 2，π6解析 ∵图象过点⎝⎛⎭⎫0，12，∴sin φ＝12. 又|φ|<π，∴φ＝π6或5π6.又由“五点法”可得ω×0＋φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6. ∵⎝⎛⎭⎫11π12，0是第五个点，∴ω⎝⎛⎭⎫11π12＋φ＝2π，即ω⎝⎛⎭⎫11π12＋π6＝2π. ∴ω＝2.综上，ω＝2，φ＝π6.例3 解 (1)由图知，A ＝2，T ＝7－(－1)＝8，ω＝2πT ＝2π8＝π4.∴y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∴φ＝π4.∴y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)设P (x ，y )为函数y 2图象上任意一点，则P (x ，y )关于直线x ＝2的对称点P ′为 (4－x ，y )．∵y 1与y 2关于直线x ＝2对称．∴点P ′(4－x ，y )落在y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4上． ∴y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(4－x )＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4x ＋π即y 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. (3)由(2)知y 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. ∴周期T ＝2ππ4＝8；频率f ＝1T ＝18；振幅A ＝2；初相φ＝－π4.变式训练3 ②③解析对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3利用公式得： f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π (k ∈Z )，∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )， ∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心．∴③对；对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．∴④错．课时作业 1．B2．D [由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2. 又x ＝π12时，y ＝1.]3．D [ω＝2π＝2，又f (0)＝2sin φ＝3，∴sin φ＝32.又∵|φ|<π2，∴φ＝π3.]4．D [由图象知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2.且2×7π12＋φ＝k π＋π(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6.]5．B [∵对任意x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立． ∴f (x 1)＝f (x )min ＝－2，f (x 2)＝f (x )max ＝2.∴|x 1－x 2|min ＝T 2＝12×2ππ2＝2.]6．－π3解析由诱导公式可知y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故初相为－π3. 7．x ＝－π6解析令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.∴与y 轴最近的对称轴方程为x ＝－π6.8.5π129．解 (1)由图象可知：A ＝2，T ＝2×(6＋2)＝16，则ω＝2πT ＝2π16＝π8.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ由π8×2＋φ＝π2，得φ＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4.(2)由－π2＋2k π≤π8x ＋π4≤π2＋2k π，得16k －6≤x ≤16k ＋2，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4的递增区间为[16k －k,16k ＋2]，k ∈Z .10．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π， ω＝2πT＝2，sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1， ∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π4. ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)列出x 、y。

高中数学必修4优秀课件：1.5__函数y=Asin(wx+φ)的图象(二)(人教A版必修4)

1 例1. 画出函数 y 2 sin( x )的简图. 3 6
y
3 2 y=sin(x1

6
1 y 2 sin( x ) ③ 3 6
)①
1 y sin( x )② 3 6
2
7 2
o

-１

2
6

y=sinx
13 2
x
-2 -3
1 (画法二)利用“五点法”画函数y 2sin( x )在一个周 3 6 2 期(T 1 6)内的图象.

2
3
6
2 2 3
7
3 5 6 2 3
2
x
-1
规律一、φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
一般地,函数y=sin(x+φ),(φ≠0)的图象,可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当
φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.
思考：函数y f (x）与y f (x b)的图像有何关系？
例2.下图是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题:
(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
(2)从O点算起, 到曲线上的哪一点, 表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ (3)写出这个简谐运动的函数表达式. y/cm 2 A 0.4 E
0.8
1.2
O
B
D
C
F
x/s
解：（1）从图象上可以看到，这个简谐运动的振幅为2cm; 周期0.8s；频率为 5 Hz.
(1)横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到原来的 1 倍，纵坐标不变

高中数学必修四2：1-5函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件

作函数
y sin(x ) 3
及
y
sin(x
4
)
的图象.
1.列表：
5 4 11 7
x
36 3
6
3
x 3
0
2
3 2
2
sin( x ) 0
1
0
3
-1
0
2. 描点、作图：
1y
y sin(x )
3
2
4
O
x
1
y
3
sin(x
)
4
我们来观察
y
sin(x
) 3
,
y sin(x ) 和
4
y sin x
引入课题
我们前面学习根据五点法和图像变换如何画出正弦函数、
余弦函数、正切函数的图像，那么 y Asin(x ) b.
的图像怎么画呢？
探究点1
1.“五点法”画函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象画函数 y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是先找出确定曲线形状时起关键作用的五个点．要强调一下，这五个点应该是使函数取得最大值、最小值及曲线与 x 轴相交的点；找出它们的方法是作变量代换．设 X＝ωx＋φ，由 X 取 0，π2，π，32π，2π 来确定对应的 x 值．
2
的最小值是2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标差的绝对值是3，且图象过点(0,1)，求函数解析式.
课堂练习
函数 y Asin(x ),(A 0, 0, | | )
2
的最小值是2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标差的绝对值是3，且图象过点(0,1)，求函数解析式.
课堂练习
如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一段，它的解析式为

高一数学人教A版必修4课件：1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)

明目标、知重点
跟踪训练2 如图，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象，根据图中条件，写出该函数解析式.
解由图象知A＝5. 由T2＝52π－π＝32π，得T＝3π，
明目标、知重点
∴ω＝2Tπ＝23.∴y＝5sin(23x＋φ). 下面用两种方法求φ：
方法一 (单调性法)
明目标、知重点
思考2 利用“五点法”作出函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)在一个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤.请完成下面的填空.
ωx＋φ 0
π 2
3
π
2π
2π
x
－ωφ
－ωφ＋2πω －ωφ＋ωπ －ωφ＋23ωπ －ωφ＋2ωπ
y
0
A
0
－A
0
明目标、知重点
明目标、知重点
方法二由图象知 A＝ 3，
以 Mπ3，0为第一个零点，P56π，0为第二个零点.
ω·π3＋φ＝0，列方程组ω·56π＋φ＝π，
ω＝2，解得φ＝－23π.
∴所求解析式为 y＝ 3sin2x－23π.
明目标、知重点
明目标、知重点
(2)由图象确定系数ω，φ通常采用两种方法： ①如果图象明确指出了周期的大小和初始值x1(第一个零点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出ω 和φ，或由方程(组)求出. ②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图象确定ω和φ. (3)A的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解A的方程求出.
明目标、知重点
例 3 已知函数 f(x)＝a2sin 2x＋(a－2)cos 2x 的图象关于点π2，0 中心对称，求 a 的值. 解根据函数 f(x)＝a2sin 2x＋(a－2)cos 2x 的图象关于π2，0中心对称，∴fπ2＝2－a＝0，∴a＝2.

人教A版高中数学必修4课件1.5.2函数y=Asinωx+φ的图象二课件

讲授新课 y tan x 3
例1. 下图是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
(2)从O点算起, 到曲线上的哪一点, 表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ (3)写出这个简谐运动的函数表达式.
讲授新课 y tan x 3
函数表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.
T： T 2 往复振动一次所需的时间，
称为“周期”.
讲授新课 y tan x 3
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时：
讲授新课 y tan x 3
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
讲授新课 y tan x 3
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
讲授新课 y tan x 3
f：
讲授新课 y tan x 3
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时：
f ： f 1 单位时间内往返振动 T 2
的次数，称为“频率”.
讲授新课 y tan x 3
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时： A：
讲授新课 y tan x 3
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：

【精编】人教A版高中数学必修四课件：1.5函数y_Asin(ωx+φ)的图象(2)课件课件-精心整理

DF
x/s
C
• 例3：已知函数y＝Asin(ωx＋φ) （A>0,ω>0）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式。
y
3

O
5
x
3
6
3
练习：已知函数 y A cos( x ) （A>0,ω>0, 0 ）的最小值是 -5 ，图象上相
邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经
函数y Asin(x ) 的图象与性质（二）
一、复习回顾
1.y sin x与y Asin(x )图象的关系
2.“五点法”作函数y=sinx简图的步骤，其中“五点”是指什么？
例1：作函数y = 2sin( x1- )的简图。
36
解：列表
Z0 x
2
Sin(Z) 0 y0
4 过点 (0, 5) ，求这个函数的解析式。
2
• 例4．求下列函数的最大值、最小值，以及达到最大值、最小值时x的集合。
• （1）y＝sinx－2
• (2)y＝
4
1Байду номын сангаас
sin x
32
•
(3)y＝1
cos(3x＋

)
2
4
制作不易尽请参考
作业：1.已知函数y Asin(x ) ( A 0, 0) 在一个周期内的图象如右下，求其表达式。
(4)x
周期
频率相位
(5)
初相
例2、某简谐运动图象如图.试根据图象回
答下列问题 :
(1)这个简谐运动的振幅, 周期与频率各是多少;
（２）从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？

高中数学必修四1.5函数y=Asin(wx+φ)的图象上课课件

2
函数y = sin 1 2
x 的周期
T
=
2π 1
=
4π，先作
x0，4π 时的简图。
列表：
2
xy
2x
4
sin 2 x
0
4
2
0 32
4
2
0 y si1n 2x 0
3
x
4
33 2 2 1 x
22
－y1 sin 0x
2 sin 1 x
2
0 0 0
2 3
2 y sin 1 x 1 20
3 4
例６：如图所示，是一个质点的振动图像，根据图像回答下列各问：
（1）振动的振幅___5_c_m_____。（2）振动的频率___5_/4______。（3）振动的周期___0_.8__s____。
课堂小结
由y = sinx 到y = Asin(ωx +)的图象变换，步骤如下：
步骤1 步骤2 步骤3 步骤4 步骤5
6
12
3
12
6
（3）连线：
o
-π
ππ
6 12 3
（4）根据周期性将作出的简图左右扩大。 -3
7π
5π
x
12
6
π
函数 y=sinx（1）向左平移 3
y=sin(x+ π ) 的图象 3
1
（2）横坐标缩短到本来的 2 倍纵坐标不变
y=sin(2x+
π
)
的图象
3
（3）横坐标不变纵坐标伸长到本来的3倍
3
y=sinx
5
5
3
2
x
3
6

人教版高中数学必修4讲义 1.5 函数y=Asin(ωxφ)的图象

1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象1.理解参数A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响；能够将y ＝sin x 的图象进行交换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的图象.(难点)2.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图；能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式.(重点)3.求函数解析式时φ值的确定.(易错点)[基础·初探]教材整理1 φ对函数y ＝sin(x ＋φ)的图象的影响阅读教材P 49～P 50“探索二”以上内容，完成下列问题. y ＝sin x ――→φ>0时，向左平移|φ|个单位长度φ<0时，向右平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ).将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象的解析式是________.【解析】将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 【答案】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 教材整理2 ω(ω>0)对函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响阅读教材P 50“探索二”以下至P 51第六行以上内容，完成下列问题.y ＝sin(x ＋φ)ω>1时，所有点的横坐标缩短到原来1ω,0<ω<1时，所有点的横坐标伸长到原来1ω倍y ＝sin(ωx ＋φ).要得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需将函数y ＝sin x 图象上所有点的横坐标________.【解析】要得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需将函数y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍.【答案】缩短为原来的12倍教材整理3 A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响阅读教材P 51第六行以下至P 53“例1”以上内容，完成下列问题. 1.y ＝sin(ωx ＋φ)――→A >1时，所有点纵坐标伸长到原来的A 倍0<A <1时，所有点纵坐标缩短到原来的A 倍 y ＝A sin(ωx ＋φ).2.正弦曲线到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程： y ＝sin x 的图象――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍所得到的图象的解析式为y ＝12sin x .( )(2)把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，所得图象的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.( ) 【答案】 (1)× (2)×教材整理4 A ，ω，φ的物理意义阅读教材P 54“例2”以上内容，完成下列问题.在y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[0，＋∞)(A >0，ω>0)中，各参数的物理意义.振幅 A 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离周期 T ＝2πω它是物体往复运动一次所需要的时间频率 f ＝1T ＝ω2π 它是单位时间内往复运动的次数相位ωx ＋φ其中φ为初相已知函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋π7，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是________，________，________.【解析】由函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋π7的解析式知，振幅为3，最小正周期为T ＝2πω＝10π，初相为π7.【答案】 10π 3 π7[小组合作型]“五点法”作函数图象及相关问题作出函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 的简图，并说明它与y ＝sin x 的图象之间的关系. 【导学号：00680024】【精彩点拨】列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤，令2x ＋π3取0，π2，π，3π2，2π即可找到五点.【自主解答】列表：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π30 π2 π 3π2 2π 3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 03－3利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 的简图.从图可以看出，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是用下面方法得到的. 法一：⎝⎛⎭⎫x →x ＋π3→2x ＋π3， y ＝sin x的图象――→向左平移π3个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象――→横坐标缩短为原来的12纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象――→横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象. 法二：⎝⎛⎭⎫x →2x →2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2x ＋π3， y ＝sin x 的图象――→横坐标缩短为原来的12倍纵坐标不变y ＝sin 2x的图象――→向左平移π6个单位长度y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象――→横坐标不变纵坐标伸长为原来的3倍y＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象.1.用五点法作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点.2.图象变换方法一是先平移，后伸缩；方法二是先伸缩，后平移.表面上看，两种变换方法中的平移|φ|和⎪⎪⎪⎪φω是不同的，但由于平移时的对象已有变化，所以得到的结果都是一致的.[再练一题]1.作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在x ∈⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的图象. 【解】令X ＝2x －π4，列表如下：X 0 π2 π 3π2 2π xπ83π85π87π89π8y 0 2 0－2三角函数图象之间的变换(1)要得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，只需将y ＝3sin 2x 的图象( ) A.向左平移π4个单位B.向右平移π4个单位C.向左平移π8个单位D.向右平移π8个单位(2)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π4个单位，则所得图象的解析式为( )A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B.y ＝－sin 2x C.y ＝cos 2xD.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 (3)已知函数y ＝f (x )的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位，这样得到的曲线和y ＝2sin x 的图象相同，则函数y ＝f (x )的解析式为________.【精彩点拨】 (1)可利用左右平移时“左加右减”，自变量“x ”的加减来判断； (2)可利用横坐标伸缩到1ω(ω>0)倍时，解析式中“x ”换为“ωx ”；(3)可利用纵坐标变为A (A >0)倍时，解析式中在原表达式前应乘以A . 【自主解答】 (1)y ＝3sin 2x 的图象――→向左平移π8个单位长度y ＝3sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8的图象，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象.(2)由题意y ＝sin x 的图象――→各点横坐标缩小为原来的12纵坐标不变y ＝sin 2x 的图象――→向左平移π4个单位长度y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象. (3)y ＝2sin x 的图象――→向右平移π2个单位长度y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π2――→图象上各点横坐标缩小为原来的12纵坐标不变y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2――→图象上各点纵坐标缩小为原来的14横坐标不变y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2的图象，即f (x )＝－12cos 2x 的图象. 【答案】 (1)C (2)C (3)f (x )＝－12cos 2x三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略：(1)确定函数y ＝sin x 的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行.(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.[再练一题]2.为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象上所有的点：①向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)；②向右平移π6个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)；③向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；④向右平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变).其中正确的是________.【解析】 y ＝sin x ――→向左平移π6个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6――→横坐标伸长到原来的3倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6.【答案】 ③求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式如图1-5-1所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象，确定其中一个函数解析式.图1-5-1【精彩点拨】解答本题可由最高点、最低点确定A ，再由周期确定ω，然后由图象所过的点确定φ.【自主解答】法一：由图象知振幅A ＝3. 又T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT ＝2.又过点⎝⎛⎭⎫－π6，0，则得sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ＝0，得φ＝π3， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法二：由图象知A ＝3，且图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，根据五点作图法原理，有⎩⎨⎧π3·ω＋φ＝π，5π6·ω＋φ＝2π，解得ω＝2，φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法三：由图象，知A ＝3，T ＝π，又图象过点A ⎝⎛⎭⎫－π6，0， ∴所求图象由y ＝3sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到，∴y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解(此时要注意交点在升区间上还是在下降区间上).(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0作为突破口.“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.[再练一题]3.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的部分函数图象如图1-5-2所示.求此函数的解析式.图1-5-2【解】由图象可知A ＝2，T 2＝43－13＝1，∴T ＝2，∴T ＝2πω＝2，∴ω＝π，∴y ＝2sin(πx ＋φ).代入⎝⎛⎭⎫13，2得2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. [探究共研型]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称性探究1 如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴方程？【提示】与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x 轴.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝k π－φω(k ∈Z ).探究2 如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称中心？【提示】与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)图象的对称中心即函数图象与x 轴的交点.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z )成中心对称；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫(2k ＋1)π－2φ2ω，0(k ∈Z )成中心对称.设函数y ＝cos 12πx 的图象位于y 轴右侧的所有对称中心从左依次为A 1，A 2，…，A n ，…，则A 1 009的坐标是________.【精彩点拨】利用y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称中心的坐标即可解出.【尝试解答】因为函数y ＝cos ωx 的图象的对称中心是点⎝⎛⎭⎫π2ω＋k πω，0(k ∈Z )，所以y＝cos 12πx 的图象的对称中心为(2k ＋1,0)(k ∈Z )，所以A 1(1,0)，A 2(3,0)，…，A n (2(n －1)＋1,0)，…，故A 1 009的坐标为(2 017,0).【答案】 (2 017,0)对于y ＝A cos (ωx ＋φ)的图象的对称轴可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )解出，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π±\f(π,2)(k ∈Z )解出.[再练一题]4.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，则以下结论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .【解析】 f ⎝⎛⎭⎫π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－32. f ⎝⎛⎭⎫23π＝3sin ⎝⎛⎭⎫43π－π3＝0，故①错，②正确.令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π，k ∈Z ，故③正确.函数y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图象，故④错.【答案】 ②③1.函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4的振幅和周期分别为( ) A.3,4 B.3，π2C.π2，4 D.π2，3 【解析】由于函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，∴振幅是3，周期T ＝2ππ2＝4. 【答案】 A2.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位，则所得函数图象对应的解析式为( ) 【导学号：00680025】A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3 B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C.y ＝sin 12xD.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6【解析】函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图象，再将此图象向左平移π3个单位，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象，选D.【答案】 D3.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是2π7，初相是π6，则这个函数的表达式是( )A.y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x －π6 B.y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x ＋π6 C.y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x ＋π42 D.y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x －π42 【解析】由已知得A ＝3，T ＝2π7，φ＝π6，ω＝2πT ＝7，所以y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x ＋π6.故选B. 【答案】 B4.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象的一条对称轴是____.(填序号) ①x ＝－π2；②x ＝0；③x ＝π6；④x ＝－π6.【解析】由正弦函数对称轴可知.x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，x ＝k π＋π6，k ∈Z ，k ＝0时，x ＝π6. 【答案】 ③5.已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈R . (1)写出函数f (x )的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值. 【导学号：70512016】【解】 (1)由2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的对称轴方程是x ＝π3＋k2π，k ∈Z ；由2x－π6＝k π，k ∈Z 解得对称中心是⎝⎛⎭⎫π12＋k 2π，0，k ∈Z ；由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z 解得单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z ；由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，解得单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z . (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤56π，∴当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取最小值为－1；当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取最大值为2.。