数学课件：1-3-2 球的体积和表面积

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高中数学1.3.2球的体积和表面积课件新人教A版必修)

3 4 3 解析： V＝ Sh＝ πr h＝ πR ， R＝ 64× 27＝ 12. 3
2
答案：12
能力提升 7．(2009 年中山市学业水平测试)把一个铁制的底面半径为 r，高为 h 的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为 ( C ) 2 3 2 2 r h rh rh rh (A) (B) (C) (D) 2 4 4 2
球的截面问题【例 1】已知球的两平行截面的面积为 5π 和 8π，它们位于球心的同一侧，且相距为 1，求这个球的表面积和体积．
思路点拨：要求球的表面积和体积，只需求出球的半径，因此要抓住球的截面这个条件．
解：如图所示，设以 r1 为半径的截面面积为 5π，圆心为 O1 ，以 r2 为半径的截面面积为 8π，圆心为 O2， O1 O2＝ 1，球的半径为 R，设 OO2＝ x，可得下列关系式： 2 2 2 2 2 2 r2 ＝ R － x ， πr2 ＝ π(R － x )＝ 8π， r1 2 ＝ R2－ (x＋ 1)2，πr1 2＝ π[R2－ (x＋ 1)2 ]＝ 5π， ∴ R2－ x2＝ 8， R2 －(x＋ 1)2＝ 5，解得 R＝ 3. 球的表面积为 S＝ 4πR2＝ 4π× 32＝ 36π， 4 3 4 3 球的体积为 V＝ πR ＝ π× 3 ＝ 36π. 3 3 有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面当中圆的有关问题解决，此题要注意分截面在球心的同侧和两侧讨论．
2．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 ( B ) (A)25π (B)50π (C)125π (D)以上都不对
解析：长方体的体对角线是球的直径，体对角线长 l＝ 32＋ 42＋ 52＝ 5 2，2R＝ 5 2，R 5 2 2 ＝， S＝ 4πR ＝ 50π. 2

高一数学人教A版必修二课件：1.3.2 球的体积和表面积

多得10分,是考试中最不该失分的地方.
一二三
知识精要典题例解迁移应用
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表面积之比为
()
A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1
答案:A
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两
球体积和的( ) A.1倍B.2倍 C.3倍 D.8倍
答案:C
一二三
知识精要典题例解迁移应用
一二三
知识精要思考探究典题例解迁移应用
三、有关几何体的外接球与内切球与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要
明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
一二三
知识精要思考探究典题例解迁移应用
1.若一正方体边长为 a,则该正方体的内切球与外接球半径与 a
∴表面积 S 球=4πR2=64π(cm2),
体积 V 球=43πR3=2536π(cm3).
(2)∵S 球=4πR2=144π,∴R=6. ∴V 球=43πR3=43π×63=288π. (3)∵V 球=43πR3=5030π,∴R=5. ∴S 球=4πR2=4π×52=100π.
一二三
知识精要典题例解迁移应用
有什么关系? 提示:该正方体内切球直径应等于边长,所以半径 r=��2��,该正方体
外接球直径应等于正方体的体对角线长,所以半径 R= 23a. 2.若从球面上一点出发的三条弦两两垂直,其长分别为 a,b,c,则
该球的半径 R 与 a,b,c 有怎样的关系?
提示:从球面上一点出发的三条弦两两垂直,则以这三条弦为棱
��球
=
2 5πℎ2 4πℎ 2

人教版高中数学必修二课件：1-3-2球的表面积和体积

球外接于正方体
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上。
例题讲解
例4：已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，
O
OO R , ABC是正三角形，
圆柱 S 2r(r l) r r
圆台 S (r2 r 2 rl rl)
r 0 圆锥 S r(r l)
各面面积之和
复习旧知
柱体、锥体、台体的体积
柱体 V Sh
S S'
台体V 1 (S SS S)h
3
S' 0
锥体 V 1 Sh
①V 4 R3
3
②S 4R2
练习二
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是__1_: 2___2.
4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是__1_:_3__4.
课堂小结
了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割→求近似和→化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法—极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；熟练掌握球的体积、表面积公式：
一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢满杯子吗？
解：由图可知，半球的半径为4
半球的体积为 4 π43= 256 π
3
3
圆锥的体积为 1 πR2×12= 192 π
3
3

高一数学课件：球的体积和表面积

□ 1.球的体积
如果球的半径为 R，那么它的体积 V＝
1 43πR3 .
2.球的表面积
□ 如果球的半径为 R，那么它的表面积 S＝ 2 4πR2 .
4
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1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．( √ ) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( √ ) (3)球的体积 V 与球的表面积 S 的关系为 V＝R3S.( √ )
S＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π. 该几何体的体积为 V＝23＋12×43π×13＝8＋23π.
15
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拓展提升
(1)由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．
6
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3.(教材改编，P27，例 4)若球的过球心的圆面圆周长是 c，
则这个球的表面积是( )
c2 A.4π
c2 B.2π
c2 C. π
D．2πc2
7
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探究 2 球的三视图例 2 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．

学高一数学1.3.2球的体积和表面积2必修2

【规律方法】球的轴截面(球的过直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．
变式 1 用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的
截面面积为 π，则球的体积为( )
A.332π
B.83π
长为 l，上、下底面半径分别为 r1、r2，
在 Rt△BOC 中，
r1r2＝R2，r1＋r2＝l
①
依题意，有πl4rπ1＋R2r2＝34
②
将①代入②，得r14＋Rr222＝34⇔
(r1＋r2)2＝136R2
③
这时球体积与圆台体积分别为
V 球＝43πR3，V 台＝13πh(r21＋r1r2＋r22)
变式 3 (2010 年高考课标全国卷)设长方体的长、
宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则
该球的表面积为( )
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
解析：由于长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，则长方体的体对角线长为 2a2＋a2＋a2＝ 6a.又长方体外接球的直径 2R 等于长方体的体对角线，∴2R＝ 6 a.∴S 球＝4πR2＝6πa2.
则根据长方体的对角线性质，得(2R)2＝a2 ＋a2＋(2a)2，
即 4R2＝6a2，所以 R＝ 26a. 从而 V 半球＝23πR3＝23π( 26a)3＝ 26πa3，V 正方体＝a3. 因此 V ∶ 半球 V ＝正方体 26πa3∶a3＝ 6π∶2.
【规律方法】解决与球有关的组合体问题，可通过画过球心的截面来分析．例如，底面半径为r，高为h的圆锥内部有一球O，且球与圆锥的底面和侧面均相切．过球心O 作球的截面，如图所示，则球心是等腰 △ABC的内接圆的圆心，AB和AC均是圆锥的母线，BC是圆锥底面直径，D是圆锥底面的圆心．

优化课堂2016秋数学人教A版必修2课件：1.3.2 球的体积和表面积

第一章空间几何体
(1)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆． (2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠或交叉．
即
4R2＝6a2，所以
R＝
6 2 a.
从而 V 半球＝23πR3＝23π 26a3＝ 26πa3，V 正方体＝a3.
因此 V 半球∶V ＝正方体 26πa3∶a3＝ 6π∶2.
栏目导引
第三十一页，编辑于星期日：六点三十分。
第一章空间几何体
栏目导引
第三十二页，编辑于星期日：六点三十分。
第一章空间几何体
第一章空间几何体
栏目导引
第二十一页，编辑于星期日：六点三十分。
第一章空间几何体
(2)设内切球 O1 的半径为 r，因为△SAB 的周长为 2×(12 2＋4 2)＝32 2，所以12r×32 2＝12×8 2×16.所以 r＝4. 所以内切球 O1 的体积 V 球＝43πr3＝2536π.
栏目导引
第二十八页，编辑于星期日：六点三十分。
第一章空间几何体
1．把一个铁制的底面半径为 r，高为 h 的实心圆锥熔化后铸成
一个铁球，则这个铁球的半径为( )
A.r
h 2
B．r24h
3 r2h C. 4
D．r22h
解析：选 C.因为13πr2h＝43πR3，所以 R＝
3
r2h 4.
栏目导引
栏目导引
第十六页，编辑于星期日：六点三十分。

高中数学：1.3.2《球的表面积和体积》课件(新人教A版必修2)

答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1 :
4 倍.
4.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1 : 2 2 .
高中数学பைடு நூலகம்1.3.2《球的表面积和体积》课件（新人教A版必修2）
1.3.2球的表面积和体积
球
人类的家－－地球
人类未来的家－－火星
探索火星的航天飞船
实际问题
如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？
实际问题
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？
3
影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是球的半径.
知识小结 1.球的体积和表面积的推导方法：分割求近似和
化为准确和
2.影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是球的半径.
球的体积已知球的半径为R,用V表示球的体积.
A A
r3
B2
O
O
C2
r2
r1
r1
2R 2 R 2 2 R R, r2 R ( ) , r3 R ( ) . n n
2
2
球的体积 A
ri
O
R ( i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面的半径：
ri R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
提出问题

2020版人教A数学必修2：1.3.2 球的体积和表面积

解析:(1)根据几何体的三视图,得该几何体是后部为半径等于2的半球体,前部为正方体,棱长为2;所以该几何体的表面积是S=4×22+2π·22+ 22π=16+12π.故选C. 答案:(1)C
(2)如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为
.
解析:(2)由三视图可知该几何体是一个组合体,上半部分是半径为 1 的球的
(D)3 倍
解析:设小球半径为 1,则大球的表面积 S 大=36π,S 小+S 中=20π, 36π = 9 . 20π 5
解得 R= 6 ;所以外接球的体积为 V = 外接球 4π ×( 6 )3=8 6 π.故选 B
答案:(1)B
3
(2)(2018·广东靖远县高一期末)在三棱锥 S-ABC 中,SA=BC= 41 ,SB=AC=5,
SC=AB= 34 ,则三棱锥 S-ABC 外接球的表面积为
.
解析:(2)将三棱锥补成一个长、宽、高分别为a,b,c的长方体,
以AB,BD和CD为棱,把三棱锥A-BCD补充为长方体, 则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球,且长方体的对角线是外接球的直径; 所以(2R)2=AB2+BD2+CD2=1+2+1=4,所以外接球O的表面积为4πR2=4π. 故选D. 答案:(1)D
(2)(2018·安徽六安高一期末)球内切于正方体的六个面,正方体的棱长为
(A) 9 π +12 2
(C)9π +42
(B) 9 π +18 2
(D)36π +18
解析:(1)由三视图可得这个几何体是由上面一个直径为 3 的球,下面一个底面为正方形且边长为 3,高为 2 的长方体所构成的几何体,则其体积为:

【课件】球的表面积和体积课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出.
例题讲解
4. 一个长、宽、高分别为80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000
cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球. 如果木球的三分之二在
水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出.
3
由题意知 V水槽 80 60 55 264000(cm ).
4 3
R 2
V球
这是我生平最
∴
3 3 .
V圆柱 2 R
3 即球与圆柱的体积之比为2:3. 得意的定理
问题2 球的表面积与圆柱的侧面积之比呢？与圆柱的表面积呢？
S球 = 4πR2
S圆柱 = 2πR×2R=4πR2
球的体积是圆柱体积的 2/3 ，圆柱容球
球的表面积也是圆柱全面积的2/3
.
课堂练习
解：作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体D
的体对角线长，即
A
4 R 1 2 3 14.
2
∴ 球的表面积为 S球 4 R 14 .
2
2
2
2
D
C
A
•
O
O
B
结论：长方体外接球的直径等于长方体的体对角线.
R=

l

=
2 2 2
√a +b +c

(a,b,c是长方体的棱长)
第八章
立体几何初步
8.3.3 球表面积和体积
引入
圆柱
圆锥
• O'
h
圆台
r'• O'
S
l
h
r •O
2πr
l

人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)

3
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.

必修2课件：1-3-2 球的体积和表面积

15 3π
15 B. 3 π
D.43π＋
15 3π
[答案] D
第一章 1.3 1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[解析] 由三视图知此几何体为一个球和一个圆锥，V＝V 球＋V圆锥＝43×π×13＋13π×12× 15＝43π＋ 315π，故选D.
第一章 1.3 1.3.2
第一章 1.3 1.3.2
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[解析] 由三视图知，此几何体是一个半径为1的半球和一个棱长为2的正方体组成，
(1)S＝S半球＋S正方体表面积－S圆＝12×4π×12＋6×2×2－π×12 ＝24＋π(m2)
(2)V＝V半球＋V正方体＝12×43π×13＋23 ＝8＋23π(m3)
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(1)已知球的直径为6cm，求它的表面积和体积． (2)已知球的表面积为64π，求它的体积． [分析] 借助公式，求出球的半径，再根据表面积或体积公式求解．
第一章 1.3 1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
第一章 1.3 1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[解析] 由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线为 2a2＋a2＋a2 ＝ 6 a，又长方体的外接球的直径2R等于长方体的体对角线，所以2R＝ 6a，则S球＝4πR2 ＝4π 26a2＝6πa2.
学法指导求球的表面积与体积的方法：
(1)把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝

1-3-2 球的体积和表面积

一、选择题1．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于 ( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] D2．半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是( ) A ．22R 3B.43πR 3C.893R 3 D.39R 3[答案] C3．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R [答案] D4．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( ) A.6π6 B.π2 C.2π2 D.3π[答案] A[解析] 由6a 2＝4πR 2得a R ＝2π3，∴V 1V 2＝a 343πR3＝34π⎝⎛⎭⎪⎫2π33＝6π6.5．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是( )A ．6:5B ．5:4C ．4:3D ．3:2[答案] D[解析] 设球的半径为R ，则圆柱的高h ＝2R ，底面的半径也为R ，∴S 柱S 球＝2πR 2＋4πR 24πR 2＝32. 6．(2012～2013山东临清中学高一第三次月考试题)已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．20 2B ．25 2C ．50πD ．200π [答案] C[解析] 长方体的体对角线即为球的直径，∴2R ＝32＋42＋52，∴R ＝522，S 球＝4πR 2＝50π.7．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π[答案] D[解析] 本题是三视图还原为几何体的正投影问题．．．．．，考查识图能力，空间想像能力．由题设可知，该几何体是圆柱的上面有一个球，圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，∴该几何体的表面积为2π×1×3＋2π×12＋4π×12＝12π.8．64个直径都为a4的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a 的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则( )A ．V 甲>V 乙且S 甲>S 乙B ．V 甲<V 乙且S 甲<S 乙C ．V 甲＝V 乙且S 甲>S 乙D ．V 甲＝V 乙且S 甲＝S 乙[答案] C[解析] 计算得V 甲＝16πa 3，S 甲＝4πa 2，V 乙＝16πa 3，S 乙＝πa 2，∴V 甲＝V 乙，且S 甲>S 乙．二、填空题9．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积和是原来整球表面积的________倍．[答案] 32[解析] S 球＝4πR 2,2S 半＝(2πR 2＋πR 2)×2＝6πR 2， 2S 半S 球＝6πR 24πR 2＝32. 10．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为________．[答案] 3:1:2[解析] V 柱＝πR 2×2R ＝2πR 3， V 锥＝13πR 2×2R ＝2π3R 3， V 球＝43πR 3. V 柱:V 锥:V 球＝3:1:2.11．已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等，则球O 的半径为________．[答案] 36π[解析] 设球O 的半径为r ，则43πr 3＝23，解得r ＝36π12．(2010·湖北高考)圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.[答案] 4[解析] 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4.三、解答题13．(2012～2013·福建厦门高一检测)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，求该几何体的表面积和体积．[解析]由三视图可知此几何体是半径为2的半球． S ＝12×4πR 2＋πR 2＝12π， V ＝43πR 3×12＝163π.14．一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形．圆柱形部分的高为h cm ，半径为r cm.试管的容量为108π cm 3，半球部分容量为全试管容量的16.(1)求r 和h ；(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口4 cm 处，求水的体积．[解析] (1)∵半球部分容量为全试管容量的16， ∴半球部分与圆柱体部分容量比为15，即15＝43πr 3×12πr 2×h∴h ＝103r ，43πr 3×12＝108π×16 ∴r ＝3(cm)，h ＝10(cm)． (2)V ＝43πr 3×12＋πr 2×(h －4) ＝43π×33×12＋π×32×6＝72π(cm 3)．15．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S 1、S 2、S 3，试比较它们的大小．[解析] 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底面半径为r ，则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2.由题意知，43πR 3＝a 3＝πr 2·2r ， ∴R ＝334πa ，r ＝312πa ，∴S 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫334πa 2＝4π·3916π2a 2＝336πa 2， S 3＝6π⎝⎛⎭⎪⎪⎫312πa 2＝6π·314π2a 2＝354πa 2， ∴S 2<S 3.又6a 2>332πa 2＝354πa 2，即S 1>S 3. ∴S 1、S 2、S 3的大小关系是S 2<S 3<S 1.16．(2012－2013·杭州高二检测)如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，冰淇淋会从杯子溢出吗？请计算说明理由．[解析] V 球＝12×43πR 3＝1283π， V 锥＝13πR 2h ＝π×42×10×13＝1603π， 1283π<1603π ∴不会溢出．。

高中数学必修二1.3.2《球的体积和表面积》课件

函数即S＝4πR2.
3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑
球的轴截面．
一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积． [提示] 因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论．
[解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1， OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7. 同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202，在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得 x＝15.
设球O的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别是3和4，求圆台的体积．
[错解] 如图，由球的截面的性质知，球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1＝ 52－32＝4，d2＝ 52－42＝3. ∴圆台的高为 d1－d2＝h＝4－3＝1. ∴圆台的体积为 V＝13πh(r21＋r22＋r1r2) ＝13×π×1×(32＋42＋3×4)＝337π.
答案：D
探究点三球的表面积和体积的实际应用
球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛，特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解决问题的例子更是普遍．
如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？ [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可先设出圆锥的高，再求其侧面积．

球的表面积和体积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

与球有关的切、接问题
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球
若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球
正方体与球的切接问题
①正方体的内切球
②正方体的棱切球
O•
O•
③正方体的外接球
球的面积
第一步：分割
球面被分割成n个网格，连接球心O和每个小网格的顶点。
O
Si
O
Vi
设“小锥体”的体积为： Vi 则球的体积为：
V V1 V2 V3 ..果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。
hi 的值就趋向于球的半径R
Vi
1 3
Si
R
Si
R
O Vi
V
则43πR3＝43π，故 R＝1，由
3a＝2R＝2，所以
a＝
2 ，所以正方 3
体的表面积为
S＝6a2＝6×
232＝8.]
5．已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的
一半，且 AB＝BC＝CA＝2，则球的表面积为________．
64 9π
[设截面圆心为 O′，球心为 O，连接 O′A，
球的截面问题
性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面；性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面．性质3: 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系:
r R2 d2
O1
球的截面问题
【例 2】 (1)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1. 球心 O 到
平面 α 的距离为 2，则此球的体积为( )
2．将本例(1)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为 3，高为 8，则球的表面积为________．

课件6：§1.3 第2课时球的体积和表面积

[归纳总结] 对球的表面积与体积公式的几点认识：
(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有惟一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．
(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．
(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．
[答案] C
4．已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB＝ 18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积.
解 ∵AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5 ∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°. 又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心也即是Rt△ABC的外接圆的圆心 ∴斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)．设O′C＝r，OC＝R，则球半径R，截面圆半径r
§1.3 第2课时球的体积和表面积
【自主预习学案】
[情景引入]
观察下面的几何体，你能求出它们的体积和表面积吗？
[新知导学]
1．球的体积球的半径为R，那么它的体积V＝____43_π_R_3___． 2．球的表面积球的半径为R，那么它的表面积S＝____4_π_R_2____． 3．与球有关的组合体问题 (1)若一个长方体内接于一个半径为 R 的球，则 2R＝ a2＋b2＋c2(a、b、c 分别为长方体的长、宽、高)，若正方体内接于球，则 2R＝ 3a(a 为正方体的棱长)； (2)半径为 R 的球内切于棱长为 a 的正方体的每个面，则 2R＝a．
3．若一个球的体积扩大到原来的 27 倍，则它的表面积扩大到原来的( )
A．3 倍
B．3 3倍

高中数学人教版必修二：1.3.2《球的体积与表面积》课件

D1
C1
A1
B1
表面积为 4 ( 3 a) 2 3 a 2 2
典例展示
由三视图求几何体的体积和表面积 2r
例5.（2015年新课标I）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如 r 图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则r=（）（ A） 1 （ B） 2 （ C） 4 （ D） 8
正视图
侧视图
1 （ A） 8 1 （ C） 6
1 （B） 7 1 （ D） 5
俯视图
【解析】由三视图得，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，截去四面体 A A1B1D1，如图所示，设正方体棱长为 a 则 VA A B D
1 1 1
D1
C1
A1
B1
【答案】D
1 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 5
2 V球 = V柱 3
与球组合的组合体的表面积和体积
两个几何体相切: 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.
典例展示
例3.求棱长为
a 的正方体的内切球的体积和表面积.
D1 A1 C1
分析：正方体的中心为球的球心，正方体的棱长为球的直径。
【解析】正方体的内切球的直径为
4 3 所以球的体积为 a . 3
1 3 5 3 故剩余几何体体积为 a a a 6 6
3
1 1 3 1 3 a a 3 2 6
一、基本知识
柱体、锥体、台体、球的表面积展开图
圆柱 S 2r (r l ) 圆台S (r2 r 2 rl rl )
圆锥 S r (r l )

高中数学同步讲义必修二——第一章 1.3.2 球的体积和表面积

1.3.2 球的体积和表面积学习目标 1.掌握球的表面积和体积公式.2.能解决与球有关的组合体的计算问题．知识点球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.1．球的表面积等于它的大圆面积的2倍．( × )2．两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.( × ) 3．球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．( √ )类型一球的体积和表面积例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积．解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.反思与感悟 (1)公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件． (2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方．跟踪训练1 (1)两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3D.8∶27(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．答案 (1)B (2)32解析 (1)由两球的体积之比为8∶27，可得半径之比为2∶3，故表面积之比是4∶9.(2)设大球的半径为R ，由题意得 43πR 3＝2×43π×13，得R ＝32. 类型二球的截面及切接问题命题角度1 球的截面问题例2 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3答案 A解析如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42， ∴R ＝5.∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)．反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.跟踪训练2 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的表面积为________．答案 12π解析用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为2，已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为3，所以球的表面积为4π(3)2＝12π. 命题角度2 与球有关的切、接问题例3 (1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.4π3 B.2π3 C.3π2 D.π6 答案 A解析由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为______．答案 9π解析设长方体共顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×⎝⎛⎭⎫322＝9π. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练3 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3D ．1∶9(2)表面积为433的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )A.23π B.13π C.23π D.223π答案 (1)C (2)A解析 (1)设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×⎝⎛⎭⎫123∶43π×⎝⎛⎭⎫323＝1∶3 3.(2)如图所示，将正四面体补形成一个正方体．设正四面体的棱长为a .∵正四面体的表面积为433，∴4×34a 2＝433，解得a ＝233，∴正方体的棱长是63，又∵球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R ， ∴2R ＝63×3， ∴R ＝22， ∴球的体积为43π·⎝⎛⎭⎫223＝23π，故选A.1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12答案 A解析设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3.2．一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A ．64π B.64π3 C ．32π D.32π3 答案 D解析设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π. 3．如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )A ．4 cmB ．3 cmC ．2 cmD ．1 cm答案 B解析由题意可得，设球的半径为r ，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，∴3×43πr 3＝πr 2(6r －6)，解得r ＝3，故选B.4．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析设两球半径分别为R 1，R 2，且R 1>R 2，则4π(R 21－R 22)＝48π，2π(R 1＋R 2)＝12π，所以R 1－R 2＝2.5．正方体的外接球的体积是其内切球的体积的______倍．答案 3 3解析设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32. ∴外接球的体积为43π×⎝⎛⎭⎫323，内切球的体积为43π×⎝⎛⎭⎫123，∴外接球的体积是内切球的体积的33倍．1．球的体积和表面积公式设球的半径为R (1)体积公式：V ＝43πR 3.(2)表面积公式：S ＝4πR 2.2．用一个平面截球所得截面的特征 (1)用一个平面去截球，截面是圆面． (2)球心和截面圆心的连线垂直于截面．(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 以及截面的半径r ，有下面的关系r ＝R 2－d 2.3．常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．一、选择题1．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析设两球的半径分别为R ，r (R ＞r )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧43πR 3＋43πr 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2，r ＝1，∴R －r ＝1.2．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A.32，32B.43，1C.32，1 D.43，43答案 A解析设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ， ∴V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3，则V 圆柱V 球＝2πR 343πR 3＝32， S 圆柱S 圆＝6πR 24πR 2＝32. 3．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(8＋162) cm 2 C ．(4＋82) cm 2 D ．(16＋322) cm 2 答案 B解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4 cm ，正四棱柱的底面对角线长为2 2 cm ， ∴正四棱柱的高为16－8＝2 2 cm ，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋16 2 (cm 2)，故选B.4．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.4163π3cm 3答案 C解析如图，根据题意，OO 1＝4 cm ，O 1A ＝3 cm ， ∴OA ＝R ＝OO 21＋O 1A 2＝5(cm)，故球的体积V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选C.5．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为( ) A ．4π(r ＋R )2 B ．4πr 2R 2 C ．4πRr D ．π(R ＋r )2答案 C解析方法一如图，设球的半径为r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r .由勾股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝Rr .故球的表面积为S 球＝4πr 21＝4πRr .方法二如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连接OA ，OB ，则在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高．由相似三角形的性质得OF 2＝BF ·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1＝Rr ，故球的表面积为S 球＝4πRr .6．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( ) A ．S 正方体>S 球 B ．S 正方体<S 球 C ．S 正方体＝S 球 D ．无法确定答案 A解析设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3，∴a ＝3V ，R ＝33V 4π，∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝3216V 2，S 球＝4πR 2＝336πV 2<3216V 2.7．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( ) A.32π3 B ．4π C ．2π D.43π 答案 D解析 ∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，∴正四棱柱的体对角线的长为1＋1＋(2)2＝2.又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，∴球的半径R ＝1. 故球的体积为V ＝43πR 3＝43π.二、填空题8．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析设球的半径为R ，则 V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3， V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 柱∶V 锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.9．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53 cm ，则这个铁球的表面积为________cm 2.答案 100π解析设该铁球的半径为r ，则由题意得43πr 3＝π×102×53，解得r ＝5，∴这个铁球的表面积S ＝4π×52＝100π(cm 2)．10．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．答案 3π4 解析由题意得，该圆柱底面圆周半径r ＝12－⎝⎛⎭⎫122＝32. ∴该圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝π⎝⎛⎭⎫322×1＝3π4. 11．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为________．答案 3∶2⎝⎛⎭⎫或32解析如图，△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O ，由题意知AD ＝3OE ，则OA ＝2OE ，设OE ＝r ，则OA ＝2r ，AD ＝3r ，在Rt △AEO 中，sin ∠EAO ＝12，又∵0°<∠EAO <90°，∴∠EAO ＝30°.在Rt △ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝BD 3r ＝33，BD ＝3r . 则AB ＝AD 2＋BD 2＝(3r )2＋(3r )2＝23r ，圆锥的侧面积为π×BD ×AB ＝6πr 2，球的表面积为4πr 2，∴所求的比值为6πr 2∶4πr 2＝3∶2.12．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AC ＝3，AB ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．答案 132解析可将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形到长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1中如图所示，则BC 1为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的外接球的直径，∴BC 1＝32＋42＋122＝13，∴球O 的半径为132. 三、解答题13．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球，求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥的内切球的体积．解 (1)如图作轴截面，则等腰三角形CAB 内接于⊙O ，⊙O 1内切于△ABC .设⊙O 的半径为R ，由题意，得43πR 3＝972π，所以R 3＝729，R ＝9，所以CE ＝18.已知CD ＝16，所以ED ＝2.连接AE ，因为CE 是直径，所以CA ⊥AE ，所以CA 2＝CE ·CD ＝18×16＝288，所以CA ＝122，因为AB ⊥CD ，所以AD 2＝CD ·DE ＝16×2＝32，所以AD ＝42，S 圆锥侧＝π×42×122＝96π.(2)设内切球O 1的半径为r ，因为△ABC 的周长为2×(122＋42)＝322，所以S △ABC ＝12r ·322＝12×82×16，解得r ＝4，所以内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563π. 四、探究与拓展14．已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________．答案 9π解析如图，是过长方体的一条体对角线AB 的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x ，y ，z ，则由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝3，yz ＝5，zx ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1，z ＝ 5.所以球的半径R ＝12AB ＝12x 2＋y 2＋z 2＝32，所以S 球＝4πR 2＝9π. 15．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个项点，求这三个球的表面积之比．解设正方体棱长为a ，三个球的半径依次为R 1，R 2，R 3，则有2R 1＝a ，R 1＝a 2，2a ＝2R 2，R 2＝22a ，3a ＝2R 3，R 3＝32a ，所以R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶ 3. 所以S 1∶S 2∶S 3＝R 21∶R 22∶R 23＝1∶2∶3.即这三个球的表面积之比为1∶2∶3.。

球的表面积和体积(第2课时) 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册

A.64
64
B.
3
C.32
).
32
D.
3
答案：D.
解：设球的半径为，则由题意可知42 = 16，故 = 2.
4
3
所以球的体积 = 3 =
32
.故选D.
3
练习
例1.(2)已知球的体积为
500
，则它的表面积为_____.
3
答案：100.
4
解：设球的半径为，由已知得 3
如图所示.在∆1 中，1 = 5 ，1 = 2 ，
∴球的半径 = =
4
3
22 + ( 5)2 = 3()，
∴球的体积 = × 33 = 36(3 ).故选B.
练习
例2.(2)已知一个球内有相距9 的两个平行截面，它们的面积分别为49 2 和
性质知1 //2 ，且1 ，2 为两截面圆的圆心，则1 ⊥ 1 ，
2 ⊥ 2 .设球的半径为，
∵ ∙ 2 2 = 49，∴2 = 7 .同理，得1 = 20 .
设1 = ，则2 = (9−) .
在∆1 中，2 = 2 + 400.在∆2 中，2 = (9−)2 +49，
2
=
3
，
3
=
1
，所以球的半径
2
3
1
7 2
2
2
) +( ) = ，故球
3
2
12
=
42
=
= 满足
7
2 .故选B.
3
练习
例3.(2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该
圆锥的体积和此球体积的比值为________.