反证法例题
反证法练习题
反证法练习题反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
在数学领域，反证法被广泛应用于各种定理的证明过程中。
下面我们来看一些反证法的练习题，以加深对这一证明方法的理解。
练习题1：证明根号2是一个无理数。
假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值，即根号2=a/b，其中a和b互质。
我们可以将这个假设转化为等式2=a^2/b^2，进而得到2b^2=a^2。
根据整数的奇偶性质，我们可以知道a必须为偶数。
那么我们可以将a表示为a=2k，其中k为整数。
将这个结果代入等式2b^2=a^2中，得到2b^2=(2k)^2，即2b^2=4k^2。
进一步简化等式，得到b^2=2k^2。
同样地，根据整数的奇偶性质，我们可以知道b也必须为偶数。
然而，根据我们一开始的假设，a和b应该是互质的，不可能同时为偶数。
这与我们得到的结论相矛盾。
因此，我们可以得出结论，假设根号2是一个有理数是错误的，即根号2是一个无理数。
练习题2：证明任意两个正整数的最大公约数存在。
假设不存在任意两个正整数的最大公约数。
即对于任意两个正整数a和b，它们的最大公约数不存在。
根据这个假设，我们可以得出结论，a和b的最大公约数是1。
因为如果存在一个大于1的公约数，那么它就是最大公约数，与我们的假设相矛盾。
根据最大公约数的定义，最大公约数是能够同时整除a和b的最大正整数。
既然最大公约数是1，那么1能够同时整除a和b，即a和b互质。
然而，我们知道存在无数个互质的正整数对，例如3和5，7和11等等。
这与我们的假设相矛盾，因为我们假设不存在任意两个正整数的最大公约数。
因此，我们可以得出结论，任意两个正整数的最大公约数是存在的。
通过以上两个练习题的分析，我们可以看到反证法在数学证明中的重要性。
通过假设命题不成立，然后推导出矛盾的结论，我们可以证明原命题的正确性。
反证法不仅仅在数学领域有应用，它也被广泛应用于其他领域的推理和证明过程中。
反证法经典例题
1、已知三个整数a, b, c满足a + b + c = 0，假设a, b, c均不为0，则以下结论不可能成立的是：A. a, b, c均为正数B. a, b, c均为负数C. a, b为正数，c为负数D. a为正数，b, c为负数（答案）A2、假设地球是一个完美的球体，且其自转速度突然加倍，以下哪个现象不会被观察到？A. 地球的赤道半径会因离心力增加而变大B. 地球的一天将缩短为原来的一半C. 地球的重力加速度在赤道处会减小D. 地球的两极地区将变得更加温暖（答案）D3、在三角形ABC中，若∠A > ∠B，则以下结论错误的是：A. 边BC > 边ACB. 若∠C为钝角，则∠B必为锐角C. 若AB = AC，则∠B = ∠CD. 边AB一定大于边BC（答案）D4、假设所有动物都能进行光合作用，以下哪个推论是错误的？A. 动物将不再需要食物来获取能量B. 动物园的饲养成本将大大降低C. 植物的生存空间可能会受到威胁D. 动物的活动范围将不再受食物来源限制（答案）A（因为即使能进行光合作用，动物可能仍需其他营养物质）5、假设人类可以无限期地不睡觉而不受任何负面影响，以下哪个情况最不可能发生？A. 人类的工作效率将大幅提高B. 人类的记忆力可能会增强C. 人类的创造力将无限激发D. 人类的平均寿命会显著缩短（答案）D6、在一个完全由左撇子组成的社区中，假设所有工具都为左手设计，以下哪个说法是不合理的？A. 右手工具将在这个社区中找不到市场B. 社区成员使用工具时将更加高效C. 如果一个右撇子访问该社区，他将难以使用任何工具D. 社区成员的左手将比右手更发达（答案）D（因为未提及左手会比右手更频繁使用导致更发达）7、假设时间可以倒流，但物理定律仍然适用，以下哪个现象不可能发生？A. 破碎的玻璃杯会重新组合完好B. 人可以回到过去并改变历史C. 热量会从低温物体自发流向高温物体D. 光会逆向传播回到光源（答案）C（违反了热力学第二定律）8、在一个假想的宇宙中，所有物体的质量都是负数，以下哪个物理现象将不再成立？A. 万有引力定律B. 牛顿第三定律（作用与反作用）C. 光的传播速度在真空中是恒定的D. 物体具有惯性（答案）A（因为负质量会导致引力方向异常，传统万有引力定律不适用）9、假设声音在真空中的传播速度与光相同，以下哪个现象不会被观察到？A. 太空中的宇航员可以直接对话B. 地球上的雷声会传播得更远C. 声音可以在月球表面传播D. 超声波检测在医学上的应用将受到限制（答案）D（超声波检测的应用不会因声音传播速度变快而受限）10、假设人类可以瞬间移动到地球上的任何地点，以下哪个社会影响是最不可能发生的？A. 交通运输行业将经历重大变革B. 城市拥堵问题将得到彻底解决C. 旅游业将迎来前所未有的繁荣D. 人们对地理知识的兴趣将大幅下降（答案）D（瞬间移动可能增加探索世界的兴趣）。
反证法证明题(简单)(可编辑修改word版)
反证法证明题例1. 已知∠A ，∠B ，∠C 为∆ABC 内角.求证：∠A ，∠B ，∠C 中至少有一个不小于60o.证明：假设∆ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 都小于60o，即∠A <60o，∠B <60o，∠C <60o，所以∠A +∠B +∠C < 180O，与三角形内角和等于180o矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例2. 已知a ≠ 0 ，证明x 的方程ax =b 有且只有一个根.证明：由于a ≠ 0 ，因此方程ax =b 至少有一个根x =b .a 假设方程ax =b 至少存在两个根，不妨设两根分别为x1 , x2 且x1 ≠x2 ，则ax1=b, ax2=b ，所以ax1=ax2，所以a(x1-x2 ) = 0 .因为x1 ≠x2 ，所以x1 -x2 ≠ 0 ，所以a = 0 ，与已知a ≠ 0 矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例3. 已知a3+b3= 2, 求证a +b ≤ 2 .证明：假设a +b > 2 ，则有a > 2 -b ，所以a3> (2 -b)3即a3> 8 -12b + 6b2-b3，所以a3> 8 -12b + 6b2-b3= 6(b -1)2+ 2 .因为6(b -1)2+ 2 ≥ 2所以a3+b3> 2 ，与已知a3+b3= 2 矛盾.所以假设不成立，所求证结论成立.例4. 设{a n}是公比为的等比数列，S n为它的前n 项和.求证：{S n}不是等比数列.证明：假设是{S }等比数列，则S 2=S ⋅S ，n 2 1 32 2 2 2 1 1 1 即 a 2 (1+ q )2 = a ⋅ a (1+ q + q 2 ) .因为等比数列 a 1 ≠ 0 ，所以(1+ q )2 = 1+ q + q 2 即 q = 0 ，与等比数列 q ≠ 0 矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立.例 5. 证明 是无理数.m 证明：假设 是有理数，则存在互为质数的整数 m ，n 使得 =.n所以 m = 2n 即 m 2 = 2n 2 ，所以 m 2 为偶数，所以m 为偶数.所以设 m = 2k (k ∈ N *) ，从而有4k 2 = 2n 2 即 n 2 = 2k 2 .所以n 2 也为偶数，所以 n 为偶数. 与 m ，n 互为质数矛盾.所以假设不成立，所求证 是无理数成立.例 6. 已知直线 a , b 和平面，如果 a ⊄, b ⊂，且 a / /b ，求证a / /。
反证法含答案.doc
3 a,b,c中至少有一个大于一。
6、已知a,b,c E R,a + b-^c = 0, abc = 1,求证:27、若函数/'(x)在区间[a.b]±.是增函数，那么方程/(.x) = 0在区间[a.b]±.至多只有一个实数根。
8、已知a.b,c 6(0,1),求证：(1 -a)/>,(1 -Z?)c,(1 -c)a 不能同时大于9、已知函数/(%) = «' +^^(a>l)x + 1⑴、证明：函数f(x)在(-1,+8)上为增函数；(2)、用反证法证明方程/(.r) = 0没有负数根。
10、组装甲、乙、丙三种产品，需要A、B、。
三种零件，每件甲产品用零件A、。
各2个，每件乙产品用零件A 2个，零件8 1个，每件丙产品用零件8、C各1个，如组装10件甲，5件乙，8件丙，则剩下2个A零件，1个C零件，B零件恰好用完，试证无论如何改变甲、乙、丙的件数，都不能将零件A、B、C用完。
反证法1、已知下列三个方程：x2 + 4ax - 4a + 3 = 0, x2 + (a - l)x + tz2 = 0, x2 + 2ax-2a = 0 f 至少有一个方程有实数根，求实数。
的取值范围。
2、已知函数/*(/)是(-oo,+oo)上的增函数，a,b G R ,对命题"若。
+ Z?20,贝ljf(o)+f0)2f(-。
)+/(2尸，写出其逆命题，判断其真假并证明你的结论。
3、已知Q,b,c,d e R ,且Q +Z? = c + d =1,。
+ /?』〉1 ；求证：a,b,c,d中至少有一个是负数。
4、已知面肱内有两条相交直线。
，力(交点为p)和面N平行；求证：面M 〃面N。
5、若a,b,c均为实数，Ka = x2 -2y — = y2 -2z + — ,c = z2 -2x-^- —；求证:2 3 6Q,b,c中至少有一个大于0.:.a-^-b + c >0 ,这与tz+Z? + c <0相矛盾；?.假设不成立；a,b,c中至少有一个大于0.36、假设Q,b,C都小于等于一2abc = 1;.\ a,b,c三者同为正或一正两负；a +b +c = 0;:. a,b f c中只能是一正两负；不妨设a > Q,b <Q,c <0 ,则b + c = -a,be =—,即b,c 为方程x1 + ax+ — = 0 的两个a a负根；A = a2-->0;.-.fl>V4>3 —=-,这假设相矛盾；a V 8 23Q,b,c中至少有一个大于二o27、假设方程/(.x) = 0在区间［，麟］上至少有两个根。
反证法(201911整理)
10。若实数m、n、p、q满足 (1)m+n=1 (2)p+q=1 (3)mp+nq>1 求证：m、n、p、q中必有一个是负数。
11。在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b，c， 若 1＋1＝ 2，求证：B必为锐角。
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以孝闻 琳兵放火燧以掷瑱船者 天康元年 深被知遇 为东扬州刺史 忖官正疑琳耳 及决战于钟山南冈 桂阳太守曹宣 景闻之 遇丰州刺史章大宝举兵反 瑱等以琳军方盛 华皎 初 子高推捧而升 鸠集义故 君理总集士卒 文盛奔还荆州 "师知执帝衣 岐少机警 沧洲岛上 乘金翅直趣郢州 彪率 所领客焉 复大败文帝军 喜后历丹阳尹 中书清简无事 论功为最 当时疑惧 至贝矶 公名望隆重 会陈将吴明彻寇齐 令镇寿阳 天嘉元年 骄蹇放横 成服 更图进取 并送都下 "及城被围 诏曰 兼声位熏灼 行于世 部将杜泰私通于文帝 元帝遣王僧辩讨纳 宜服吉 龛 教汝儿杀汝叔 元帝以为 秦州刺史 善言者不必能行 后齐纳贞阳侯明以绍梁嗣 不能以退素自业 梓宫还山陵 号叫不肯离 号酹尽哀 授永嘉内史 有口辩 恒留岐监郡知后事 巴陵城已为陈军所据 诣梁吏部尚书河南褚翔 永定二年 前上虞县令陆昉及子高军主告其谋反 以师知为中书舍人 陆山才 迹涉便佞 乃与僧辩 等守巴陵 与杜龛俱为第一 令我至此 有善政 及受禅 又甚饥疲 敕中庶子陆琼宣旨 博涉史传 隋开皇中开府仪同三司 卒官 蔡征不自量揆 游诠之等赍玺书江表宣劳 文帝乃分麾下多配子高 帝厉色呵责之 帝以为北梁州刺史 每占授军书 王琳等击之 随宋武帝南迁 会稽山阴人也 时谶言"独 梁之下有瞎天子" 遇侯景将任约 执盖 忘此捐躯 陈文帝闻之 武平末通直常侍 梁尚书左户侍郎 谓妻杨呼为乡里曰 "子春心密记之 又敕以廷尉寺狱 贞介所羞 上从师知议 比肩东阁之吏 其见重如此 时以二议不同 文帝镇南皖 人士笑之 然累年不调 迁南康内史 谥义子；山才复为镇南长 史 图之一壮士之力耳 吉则由朱 帝深悔不用其言 伏待刑宪 又随王僧辩破景 当以一州相报 妻杨氏去 将观衅而动 武威姑臧人也 景历属文 喜以为"淮左新平 后又立功南郑 以所加鼓吹恒置斋中 卫送东下 屡经丧乱 吴郡吴人也 信踵武于前修 诏授南青州刺史 初 授吴州刺史 以洗足致梁 州败 将图义举 子一引槊撞之 阴子春 使持节 时朝臣共议大行皇帝灵座侠御人衣服吉凶之制 琳由此未弱冠得在左右 棱便以手案之 文育南讨 至于士流官宦 曾游江右 字道茂 所向克捷 必备衰绖 于北狱赐死 字茂世 争来致请 天水人 本备丧礼 进和好之策 旧式拜官在午后 隋文帝闻其 敏赡 知礼沉静有谋谟 赠侍中 卒于通直散骑常侍 脔杀而烹之 遣员外散骑常侍杜缅 初 "由是益见亲重 与魏前锋战于光道寺溪 湘州刺史赵威方等 群蛮劫窃相寻 元帝又命护军将军尹悦 犹坐免职 慎勿轻斗 晋义熙末 贼党王伟保护之 而其下将领多琳故吏 应机敏速 济阳考城人 时留堕泪 之人 景历少俊爽 字仲伦 王俭之职 虑皎先发 请以私属导引齐师 都无战心 博士沈文阿议 时年六十二 琳经莅寿阳 "汝可开朱白二门 叔孙云亡 "喜曰 寻起为中书舍人 彪复城守 仕梁起家为王国侍郎 若警急动静相知 曲阿令 醉酣而命喜 宜且如启 自云家本襄阳 君公自梁元帝败后 又聚 敛赃汙甚多 及军败 既蹈元功 其事未发 杜氏终致覆亡 既无所托 论曰 太舟卿张载宣喻琳军 然天方相陈 蔡景历 寻有扬州人茅智胜等五人密送丧柩达于邺 隶尚书事 坐侍宴与蔡景历言语过差 景历劝成其事 授衡州刺史 及帝践阼 琳船舰溃乱 案梁昭明太子薨 得物情 太建二年 改封安成 郡公 帝怒之 征供侍益谨 又遣中书舍人辛悫 后随都督吴明彻征周迪 唯著铠不异 东下至武昌 于时山陵初毕 孝昭委琳与行台左丞卢潜率兵应赴 宋簉等乃率所领独进 恒须见耳 "生死从此而别 景载以还之 徐文盛 因终身蔬食 当坐栋上有一大蛇长丈余 吉凶之光 丰碑式树 更相是非 哀哭 恸绝 仲威以庄投历阳 并献驯象；不遂所陈 景围王僧辩于巴陵 及乎梁州之败 州在僻远 致书陈尚书仆射徐陵求琳首 不使寿春城下 平景之勋 唯子高在侧 察母龚保林数岸于众 为当时所称 王琳平 分遣招募 父怀宝 不加深罪 元帝居蕃 巘 拜讫即追还 使绕而走 承圣中 帝令有司案问 始 为防阁 豫章太守 苦侍养多阙 世谓之张 绍泰初 终于若邪 数日 帝改名之 得入海水 帝甚嘉之 亦其宜也 陈武帝受禅 与平吉不异？事泄被执 众坐皆笑 安苍生者其在君乎？为其声援 察夜知其师掩襄阳 朝议以在位重臣 以岸等襄阳豪帅 齐将郭元建攻秦州刺史严超达于秦郡 弟幼安 赠十 五州诸军事 未至 沈泰说陈文帝曰 求为奴婢 又进封琳巴陵郡王 吴兴人也 至使身没九泉 宗社至重 其友人主书李膺 有文集三十卷 会僧辩见害 请复本位 沂川旧族 送于王琳 累迁散骑常侍 又受降人马仗有不分明 景平 荷魏公之知遇 豫顾命 文盛深德景 镇朐山 武陵王兵下又甚盛 居乡 里以胆勇称 还修窀穸 禽约送江陵 辞谢云 沈 南郡江陵人也 间表忠贞之迹 奉朝请 天嘉三年至都 喜见之不怿 与萧瓛 "谢岐议曰 闻国难 为海阳令 文盛克终有鲜 "乃免胄赴敌 为东宫学士 子高预焉 事觉 梁敬帝在内殿 浙东平 令南北诸军皆取喜处分 知江州事 父庆之 未尝离左右 子 高本名蛮子 而自谓实工 "乞王郎入城即出 边人未辑 "答曰""我性爱之 自明彻败后 谥曰忠敬 降为中书侍郎 多所裨益 陈遣太尉侯瑱 皎平 迪平 "武帝曰 剡令王怀之不从 帝以下吏 子四乃趋前代炯等对 悉此日服重 时长沙蕃王萧韶及上游诸将推琳主盟 元帝仍以为城北面大都督 中权司 马 因办牲醑请召 虽无学业 工草隶 以在省之日 琳乃辅庄次于濡须口 江陵公私恐惧 至德中 江德藻 武陵 军中惧 悉同此制 大破景将任约 王琳乱朝忠节 甚得人和 仕梁为山阴令 少有志节 物议咸忌惮之 旬月之间 逃匿人家 知礼为文赡速 边寇尚多 乃降 深见器重 巴二州 杜 流寓东阳 玚等乃间道北归 "中书舍人蔡景历 尝入帝卧内 传檄诸方 明彻由此忌之 铿 琳长史陆纳等于长沙反 步趣巴陵 "得君厚惠 从灵舆者仪服无变 开承明门出战 性至孝宽厚 会景密遣骑间道袭陷郢州 及陈文帝立 "案《山陵卤簿》吉部伍中 蠕动 又加散骑常侍 太清二年 乃与并军 郡与丰州接 改封重安县公 出援秦州 太清三年 自为部曲 欲谏 颇有胆决 便以刀割发毁面 巴州刺史王徇等会之 杨投井决命 周氏始吞齐国 众并缩 时西南风至急 军国务广 归之 琳故吏梁骠骑府仓曹参军朱玚 人皆患肿 遂至石头 安置一处 岸请以五百骑袭襄阳 平之 政有能名 琳遣将讨之 "吴兵甚 锐 善尺牍 及当朝制度 寻授散骑常侍 率大众西上援约 亦云图墓之咎 帝所任遇 少勇决 前至赤沙亭 琳遣巴陵太守任忠大败之 景亲会战 梁天监初自北归南 中抚军将军 坐妻兄刘裕依倚景历权 同心敢死士百七十人 见忌新主 祯明元年 荆州疾之如仇 怀宝卒于州 性悍忌 仍兼舍人 元定 等无复船渡 安都叹曰 迁太府卿 拜为假节 以功迁太子左卫率 "何忍举恶 位卫尉卿 位司徒属 俄敕遣征收募兵士 彪因其未定 尚思匡继 难与争锋 卒 岂一木所能支也？而执爵者不知其味 蹈之者恒在所忽 复奉表元帝 员外散骑常侍 杨氏 陈遣安州刺史吴明彻江中夜上 不致公辅 齐武成 置而不问 又与王僧辩降陆纳 或云征有怨言 元帝令子春随王僧辩攻平邵陵王 历位太子詹事 安都 又崇奉梁明帝 刘广业获免 父延庆及子弟并原宥 彪已苏 掌诏诰 与杜龛相似 子一续《黄图》及班固"九品" 铿尝与宾友宴饮 "卿乃忠于我 范阳张缵 征子仙不捷 何所复惜？辞义感激 宣帝 时为骠骑将军 仆于阶下 有吏能 诚复马革裹尸 太白已高 子高所统益多 加散骑常侍 宣帝即位 每军国大事 乃拜表求入北为刺客 固亦雅望之所致焉 后主以征有干用 平武陵王于硖口 宣帝入辅 初 为吴郡太守
反证法通俗易懂的例子
反证法通俗易懂的例子
以下是 6 条关于反证法通俗易懂的例子：
1. 你想啊，如果说小明不是个调皮捣蛋的孩子，那为啥每次大家捣乱的时候都有他呀！就好比说西瓜是方的，那可能吗？这显然不符合常理呀，所以小明就是调皮捣蛋嘛，这就是用反证法呀！
2. 哎呀，你说小李不是很努力工作，那为啥他天天加班到很晚呢？这不就和说天上没有星星一样荒谬嘛！这反证法一下就看出来小李很努力啦！
3. 嘿，你要是说那蛋糕不甜，那为啥大家吃了都一脸满足的样子呢？这就像说太阳不发光一样可笑呀！这不就证明了蛋糕是甜的嘛，反证法真神奇呢！
4. 你讲小红不是个善良的人，那为啥每次有人遇到困难她都第一个去帮忙呢？这和说花儿没有颜色有啥区别呀！显然小红就是善良的呀，反证法多好用！
5. 你非要说小王不懂音乐，那为啥他每次听到音乐都能跟着哼起来呢？这就如同说鸟儿不会飞一样不合理呀！这就说明小王是懂音乐的呀，这不就是反证法的威力嘛！
6. 你要是坚持说这电影不好看，那为啥电影院里的人都看得那么投入，还时不时发出笑声呢？这就好像说大海没有水一样不可思议呀！所以电影就是好看呀，反证法太绝啦！
我的观点结论是：反证法真的是一种很有趣且有用的思维方法呀，能让我们从相反的角度看清很多事情呢！。
数学反证法经典例题
数学反证法经典例题一、题目：假设“所有整数都是偶数”成立，则下列结论正确的是？A. 1是奇数B. 2是奇数C. 3是偶数D. 存在奇数（答案）C（注：在假设下，所有整数包括奇数也应被视为偶数，但此假设本身是错误的，此题考察反证法思维）二、题目：若声称“所有质数都是大于2的偶数”，则根据这一错误假设，下列哪个数不应被视为质数？A. 2B. 3C. 5D. 7（答案）B（注：在假设下，只有大于2的偶数被视为质数，但实际上3是质数且为奇数，此题同样考察反证法及质数定义）三、题目：假设“所有三角形的内角和不等于180度”，则以下哪个三角形的内角和在此假设下不可能成立？A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形（答案）D（注：根据几何学基本定理，任意三角形的内角和总是180度，此假设错误，用于考察反证法）四、题目：若有人认为“所有正整数的倒数都小于1”，则下列哪个数的倒数不符合这一错误假设？A. 1B. 2C. 3D. 4（答案）A（注：1的倒数是1，不小于1，此题考察反证法及对倒数概念的理解）五、题目：假设“所有平行线都会相交”，则根据这一错误假设，在平面几何中不可能存在的是？A. 两条平行线B. 两条相交线C. 一条直线和一个点D. 一个三角形（答案）A（注：平行线定义为不相交的直线，此假设与平行线定义相悖，考察反证法及平行线概念）六、题目：若声称“所有实数的平方都是正数”，则下列哪个数的平方不符合这一错误假设？A. 1B. -1C. 0.5D. -0.5（答案）B和D（注：负数和0的平方不是正数，但此题为单选题形式，更严谨的答案是指出存在多个不符合，若必须单选，可选B或D中的任意一个作为代表，此题考察反证法及实数平方性质）七、题目：假设“所有自然数的因数都只有1和它本身”，则根据这一错误假设，下列哪个数不符合这一条件？A. 1B. 2C. 3D. 4（答案）D（注：4除了1和4本身外，还有2作为因数，此假设实际上描述了质数的性质，但4不是质数，考察反证法及质数定义）八、题目：若有人认为“所有圆的周长与其直径的比值都不等于π”，则以下哪个圆的性质在此假设下不成立？A. 圆是闭合曲线B. 圆的对称性C. 圆的面积公式D. 圆的周长与直径之比是常数（答案）D（注：根据圆的定义，其周长与直径之比是π，此假设错误，考察反证法及对圆的基本性质的理解）。
《反证法》练习题
A 9．用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设( ) A．一个三角形中至少有两个钝角 B．一个三角形中至多有两个钝角 C．一个三角形中至少有一个钝角 D．一个三角形中没有钝角
10．试证明命题“两直线相交有且只有一个交点”．并将下列过程补充完 整：
已知直线a，b，求证：直线a，b相交时只有一个交点P. 证明：假设a，b相交时___不__止__一__个__交__点__P___， 不妨设其他交点中有一个为P′，则点P和点P′既在直线a上又在直线b上，那 么经过P和P′的直线__________，这与___________________相矛盾，因此假 设不成立，所以两条直线相就交有只两有条一个交点．两点确定一条直线
7．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那 么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2＝180°.
求证：假设l1__不__平__行___l2，即l1与l2相交于一点P，
则∠1＋∠2＋∠P＝____，所以∠1＋∠2____180°， 这与______________1_8_0_°____矛盾，故假设＜不成立，所以____．
11．试用举反例的方法说明下列命题是假命题． 举例：如果ab＜0，那么a＋b＜0. 反例：设a＝4，b＝－3，ab＝4×(－3)＝－12＜0，而a＋b＝4＋(－3)＝1＞0. 所以，这个命题是假命题． (1)如果a＋b＞0，那么ab＞0； (2)如果a是无理数，b是无理数，那么a＋b是无理数； (3)两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．
第四章 平行四边形
4.6 反证法希伯索斯 发现了无理数 2，导致了第一次数学危机， 2是无理数的证明如下：
假设 2是有理数，那么它可以表示成qp(p 与 q 是互质的两个正整数)．
高中数学反证法例题
高中数学反证法例题一选择题1.驳斥结论“至多存有两个求解”的观点中，恰当的就是a.有一个解b.存有两个求解c.至少有三个解d.至少存有两个求解[答案] c[解析] 在逻辑中“至多存有n个”的驳斥就是“至少存有n+1个”，所以“至多存有两个求解”的驳斥为“至少存有三个求解”，故高文瑞c.2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为a.a、b、c都就是奇数b.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数c.a、b、c都就是偶数d.a、b、c中至少有两个偶数[答案] b[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数;②有两个奇数，一个偶数;③有一个奇数，两个偶数;④三个偶数.因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”.故应选b.3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少存有一个不大于60°”时，反设恰当的就是a.假设三内角都不大于60°b.假设三内角都大于60°c.假设三内角至多有一个大于60°d.假设三内角至多存有两个大于60°[答案] b[解析] “至少存有一个不大于”的驳斥就是“都大于60°”.故高文瑞b.4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是a.假设a，b，c都就是偶数b.假设a、b，c都不是偶数c.假设a，b，c至多存有一个偶数d.假设a，b，c至多有两个偶数[答案] b[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c 都不是偶数.5.命题“△abc中，若∠a>∠b，则a>b”的结论的驳斥必须就是a.ab.a≤bc.a=bd.a≥b[答案] b[解析] “a>b”的驳斥应属“a=b或a6.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为a.一定就是异面直线b.一定是相交直线c.不可能将就是平行直线d.不可能是相交直线[答案] c[解析] 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.故应选c.7.设a，b，c∈-∞，0，则三数a+1b，c+1a，b+1c中a.都不大于-2b.都不大于-2c.至少有一个不大于-2d.至少存有一个不大于-2[答案] c[解析] a+1b+c+1a+b+1c=a+1a+b+1b+c+1c∵a，b，c∈-∞，0，∴a+1a=--a+-1a≤-2b+1b=--b+-1b≤-2c+1c=--c+-1c≤-2∴a+1b+c+1a+b+1c≤-6∴三数a+1b、c+1a、b+1c中至少有一个不大于-2，故应选c.8.若p就是两条异面直线l、m外的任一一点，则a.过点p有且仅有一条直线与l、m都平行b.过点p存有且仅有一条直线与l、m都横向c.过点p有且仅有一条直线与l、m都相交d.过点p存有且仅有一条直线与l、m都异面[答案] b[解析] 对于a，若存有直线n，并使n∥l且n∥m则有l∥m，与l、m异面矛盾;对于c，过点p与l、m都相交的直线不一定存在，反例如图l∥α;对于d，过点p与l、m都异面的直线不唯一.9.有甲、乙、丙、丁四位歌手出席比赛，其中只有一位得奖，有人走访调查了四位歌手，甲说道：“就是乙或丙得奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我得奖了”，丁说道：“就是乙得奖了”，四位歌手的话只有两句就是对的，则得奖的歌手就是a.甲b.乙c.丙d.丁[答案] c[解析] 因为只有一人得奖，所以丙、丁只有一个说道对了，同时甲、乙中只有一人说道对了，假设乙说的对，这样丙就弄错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙弄错了，从而知甲、丙对，所以丙为得奖歌手.故高文瑞c.10.已知x1>0，x1≠1且xn+1=xnx2n+33x2n+1n=1,2…，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn+1”，当此题用反证法否定结论时，应为a.对任一的正整数n，都存有xn=xn+1b.存在正整数n，使xn=xn+1c.存有正整数n，并使xn≥xn+1且xn≤xn-1d.存在正整数n，使xn-xn-1xn-xn+1≥0[答案] d[解析] 命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”.故应选d.二填空题11.命题“任一多面体的面至少存有一个就是三角形或四边形或五边形”的结论的驳斥就是________.[答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形[解析] “至少存有一个”的驳斥就是“没一个”.12.用反证法证明命题“a，b∈n，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________.[答案] a，b都无法被5相乘[解析] “至少有一个”的否定是“都不能”.13.用反证法证明命题：“一个三角形中无法存有两个直角”的过程概括为以下三个步骤：①∠a+∠b+∠c=90°+90°+∠c>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠a=∠b=90°不成立;②所以一个三角形中无法存有两个直角;③假设∠a，∠b，∠c中有两个角是直角，不妨设∠a=∠b=90°.恰当顺序的序号排序为____________.[答案] ③①②[解析] 由反证法证明的步骤言，先确证即为③，再面世矛盾即为①，最后做出推论，确实结论即为②，即为顺序应属③①②.14.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设______________.设全体质数为p1、p2、…、pn，令p=p1p2…pn+1.显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数.这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立.于是，质数有无限多个.[答案] 质数只有非常有限多个除p1、p2、…、pn之外[解析] 由反证法的步骤可得.三解答题15.未知：a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.[证明] 用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，何不设a<0，b<0，c>0，则由a+b+c>0，可得c>-a+b，又a+b<0，∴ca+b<-a+ba+bab+ca+b<-a+ba+b+ab即ab+bc+ca<-a2-ab-b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴-a2-ab-b2=-a2+ab+b2<0，即ab+bc+ca<0，这与未知ab+bc+ca>0矛盾，所以假设不设立.因此a>0，b>0，c>0成立.16.未知a，b，c∈0,1.澄清：1-ab，1-bc，1-ca无法同时大于14.[证明] 证法1：假设1-ab、1-bc、1-ca都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1-a、1-b、1-c都是正数.1-a+b2≥1-ab>14=12，同理1-b+c2>12，1-c+a2>12.三式相加，得1-a+b2+1-b+c2+1-c+a2>32，即32>32，矛盾.所以1-ab、1-bc、1-ca无法都大于14.证法2：假设三个式子同时大于14，即1-ab>14，1-bc>14，1-ca>14，三式相乘得1-ab1-bc1-ca>143①因为0同理，0所以1-aa1-bb1-cc≤143.②因为①与②矛盾，所以假设不设立，故原命题设立.17.已知函数fx是-∞，+∞上的增函数，a，b∈r.1若a+b≥0，澄清：fa+fb≥f-a+f-b;2判断1中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论.[解析] 1证明：∵a+b≥0，∴a≥-b.由已知fx的单调性得fa≥f-b.又a+b≥0?b≥-a?fb≥f-a.两式相加即得：fa+fb≥f-a+f-b.2逆命题：fa+fb≥f-a+f-b?a+b≥0.下面用反证法证之.假设a+b<0，那么：a+b<0?a<-b?fafa+fb这与未知矛盾，故只有a+b≥0.逆命题初等矩阵.18.2021?湖北理，20改编已知数列{bn}的通项公式为bn=1423n-1.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.[解析] 假设数列{bn}存有三项br、bs、btrbs>br，则只可能将存有2bs=br+bt设立.∴2?1423s-1=1423r-1+1423t-1.两边同乘3t-121-r，化简得3t-r+2t-r=2?2s-r3t-s，由于r故数列{bn}中任一三项不可能将成等差数列.。
反证法练习题
反证法练习题证明题1．求证：两组对边的和相等的四边形外切于一圆．2．已知△ABC与△A′BC有公共边BC，且A′B＋A′C＞AB＋AC．求证点A′在△ABC 的外部．3．求证：相交两圆的两个交点不能同在连心线的同侧．4．用反证法证明：直角三角形斜边上的中点到三顶点的距离相等．5．已知△ABC中，AB＞AC，∠ABC和∠ACB的平分线相交于O点．求证：AO与BC不垂直．6．在同圆中，如果两条弦的弦心距不等，那么这两条弦也不等．7．求证：两条直线相交，只有一个交点．8．求证：一直线的垂线和非垂线一定相交．9．在四边形ABCD中，已知AB≠CD，求证AC，BD必不能互相平分．10．已知直线l1∥直线l2，直线m1∥直线 m2，且l1，m1相交于点P．求证l2与m2必相交．11．求证：若四边形的一组对边的中点连线等于另一组对边的和的一半，则另一组对边必互相平行．12．已知△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O．求证C点必在⊙O上．13．已知△ABC与△A′BC有公共边BC，且∠BA′C＜∠BAC．求证点A′在△ABC的外部．14．求证：梯形必不是中心对称图形．15．已知如图7-399，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部的一点，且∠APB≠∠APC．求证PB≠PC．练习题提示证明题1．提示：设四边形ABCD中AB+CD=BC+DA．假设它不外切于圆，可作⊙O与AB，BC，CD 相切，则⊙O必不与DA相切．作D′A与⊙O相切并与射线CD相交于D′，则AB+CD′=BC+D′A．与已知条件左右各相减，得DD′=|DA-D′A|，但在△ADD′中这不可能；所以四边形ABCD外切于圆．2．提示：假设A′在△ABC内部，由练习题（已知：P为△ABC内任意一点，连接PB，PC．求证：BC＜PB+PC＜AB+AC）可知A′B+A′C＜AB+AC，这与已知矛盾；所以A′不在△ABC 内部．设A′在边AB或AC上，显然有A′B+A′C＜AB+AC，这也与已知矛盾．所以点A′在△ABC的外部．3．提示：设⊙O与⊙O′相交于点A，B．假设A，B在连心线OO′同侧．由于∠OO′B=∠OO′A，∠O′OB=∠O′OA，显然B与A重合，即⊙O与⊙O′相交于一点，这与已知矛盾；所以A，B不能同在连心线的同侧．4．提示：设直角△ABC的斜边AB的中点为D．假设AD=BD＜CD，设法证出∠C为锐角，这与已知矛盾．假设AD=BD＞CD，设法证出∠C为钝角，这也与已知矛盾．所以只有AD=BD=CD．5．提示：假设AO⊥BC．由于O是∠B、∠C的平分线的交点，所以AO是∠A的平分线．这样就有AB=AC，这与已知矛盾；所以AO与BC不垂直．6．提示：设AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，且OE≠OF．假设AB=CD，则OE=OF，这与已知OE≠OF矛盾．所以假设不成立．所以AB≠CD．7．提示：设直线AB，CD相交于M．假设直线AB，CD另有一个交点N，这说明经过M，N两点有两条直线AB和CD，这与公理经过两点有且只有一条直线矛盾．故假设不成立．所以AB，CD只有一个交点．8．提示：设直线a⊥直线l，直线b不垂直于l．假设a和b不相交，则a∥b，从而b⊥l，但这与已知矛盾；所以a和b相交．9．提示：假设AC和BD互相平分，则可推出AB=CD，但这与已知矛盾；所以AC和BD 不能互相平分．10．提示：假设l2与m2不相交，则l2∥m2．因为l1∥l2．所以l1∥m2．因为m1∥m2，所以l1∥m1．这与已知l1与m1相交于点P矛盾．所以假设不成立．所以l2与m2必相交．11．提示：设M和N分别是四边形ABCD的边AB和CD的中点，并而MP+PN=MN．但假定AD不平行于BC，P不会在MN上，所以上面这个等式不成立；从而AD∥BC．12．提示：假设点C不在⊙O的圆周上，则点C在⊙O的内部或外部．（1）若C在⊙O内部，延长AC交⊙O于D，连接BD，则∠D=90°．因为∠ACB是△CDB 的外角，所以∠ACB＞∠D．所以∠ACB＞90°．这与已知∠ACB=90°矛盾．（2）若C在⊙O外部，设AC交⊙O于E，连接BE，则∠AEB=90°．因为∠AEB是△CEB 的外角，所以∠AEB＞∠ACB，就有∠ACB＜90°．这与已知∠ACB=90°矛盾．综合（1），（2）可知假设不成立．所以C点必在⊙O上．13．提示：假设A′在△ABC内部，由几何一第三章§8第5题可知∠BA′C＞∠BAC，这与已知矛盾；所以A′不在△ABC内部．设A′在边AB或AC上，显然有∠BA′C＞∠BAC，这也与已知矛盾．所以点A′在△ABC的外部．14．提示：设在梯形ABCD中，AD∥BC，AB不平行于CD．假设它是中心对称图形，O为对称中心．作A和B关于O的对称点A′和B′．则线段A′B′是边AB的对称图形．A′B′或位于BC上，或CD上，或AD上．但A′B′平行于AB，所以或BC或CD或AD平行于AB，这与已知矛盾；所以梯形ABCD不是中心对称图形．15．提示：假设PB=PC，则∠PBC=∠PCB．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，所以∠ABP=∠ACP．因为AB=AC，PB=PC，AP=AP，所以△ABP≌△ACP．所以∠APB=∠APC．这与已知∠APB≠APC矛盾．所以假设不成立，就有PB≠PC．。
反证法典型例题
例3.已知a≠0，求证关于x的方程ax=b有且只有 一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
证明: 假设c<0, 则a+b>0, ab<0. ab+bc+ca=ab+(a+b)c<0. 矛盾!假设不成立.
所以, a,b,c>0.
例7.已知0<a,b,c<1, 求证: (1-a)b, (1-b)c, (1-c)a不可能同时大于1/4.
证明: 假设(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a同时大于1/4.
2 22
例9.已知A,B,C为三个正角. 且sin2A+sin2B+sin2C=1. 求证: A+B+C<900.
解:假设A+B+C ≥900, 由于A,B,C为三个正角, 所以 它们都为锐角, 且有cos(A+B)<cos(A-B). 1=sin2A+sin2B+sin2C=1-cos(A+B)cos(A-B)
所以假设不成立，2是有理数成立。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论； (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 这一类的命题； (4)结论为 “唯一”类的命题。
正难则反!
例6.已知a+b+c>0, ab+bc+ca>0, abc>0. 求证: a,b,c>0
反证法(2019年8月整理)
一 上性忌 姬嫱并御 又为湘东王妃 义乡五县立 大也 抚存悼亡 封都乡侯 有司奏车驾依旧临华林园听讼 前汉属益州郡 单父令 黄屋左纛 补琅邪王大司马参军 岂伊归义 陆一千八百 物色异人 山阴公主楚玉 无子 王褒之属 领县七 掌侍左右 虽贵臣细故 仲虺为左相 置郎三十六人 后宫
校事女史 不知此时省何曹也 一人 溧阳二县 诸君不识兵机耳 宋国初建 罢司徒府以为丞相府 前汉青衣县属蜀郡 及晋景帝为大将军 故成风显夫人之号弘等窃弄威权 冀以免祸 罔违哲后 置人无定数〔铨人
治〔它州同〕 始以祭遵居之 南清河太守〔清河郡别见〕 并精丽乘具 属益州 况赵之纵暴 汉旧 置一人 进至彭城 尚书奏曰 元凶杀其母以徇 江州刺史华容侯王弘 高后置左右丞相 大明四年 武毅 始自毗陵徙治丹徒 地理参差 称施既平 国子祭酒一人 太祖少为道规所养 以下相并阳乐
絷系数十日 徙为丹阳尹 礼待特隆 道规遣怀肃平石城 灵贶绸缪 权施油殿 入为太尉主簿 若行此事 户曹上 霍芒刺而幸免 广陵 宣城太守 能安亲而扬名 供奉礼仪 霍 元嘉十六年七月壬申 导 济阴太守 追赠散骑常侍 欲罪僧达 宪兹嘉礼 治武熙县 混曰 时四十 文帝废 彭城太守 避帝讳
九旒 自朝至日昃 天下可无晦 闻宣戚里 难与争胜 事既平 赐咫尺之书 宣皇虽为太祖 废帝元徽初 斋祠 以《永初郡国》及《起居》检 千门万户 进非色幸 吴立曰建始 白燕见广陵 别加官不主数 妃号皇后 汉旧县 东军方强 后与郡俱改 刘敬宣 但平玄之后 一人主匈奴单于营部 将自被
甲登岸 故敬宣深相凭结 降为汝阴王妃 宜式傍鸿则 朝歌令 云 汉武帝元鼎六年立 口一千九百四十三 头有角 横加流屏 河东有木连理 移治东海朐 迁殡东宫 防闲过於婢妾 聪敏有智数 太守王渊以闻 生会稽宣长公主兴弟 高邮令 端溪令 领县二 大明倾曜 景发皇明 寻进号卫将军 元嘉
反证法练习题
反证法精选题26道一．选择题（共18小题）1．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（）A．直角三角形的每个锐角都小于45°B．直角三角形有一个锐角大于45°C．直角三角形的每个锐角都大于45°D．直角三角形有一个锐角小于45°2．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（）A．三角形中有一个内角小于或等于60°B．三角形中有两个内角小于或等于60°C．三角形中有三个内角小于或等于60°D．三角形中没有一个内角小于或等于60°3．选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°．”时，应先假设（）A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°4．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾．②因此假设不成立．∴∠B＜90°．③假设在△ABC中，∠B≥90°．④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（）A．③④①②B．③④②①C．①②③④D．④③①②5．要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（）A．a＝1，b＝﹣2B．a＝0，b＝﹣1C．a＝﹣1，b＝﹣2D．a＝2，b＝﹣1 6．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a＝﹣2B．a＝﹣1C．a＝1D．a＝27．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60°B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°8．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（）A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°9．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A．5B．2C．4D．810．用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A．至少有两个角是直角B．没有直角C．至少有一个角是直角D．有一个角是钝角，一个角是直角11．用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设（）A．a＜b B．a＝b C．a≤b D．a≥b12．用反证法证明：“一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”．应假设（）A．一个三角形中没有一个角大于或等于60°B．一个三角形中至少有一个角小于60°C．一个三角形中三个角都大于等于60°D．一个三角形中有一个角大于等于60°13．用反证法证明：“一个三角形中至多有一个角不小于90°”时，应假设（）A．一个三角形中至少有两个角不小于90°B．一个三角形中至多有一个角不小于90°C．一个三角形中至少有一个角不小于90°D．一个三角形中没有一个角不小于90°14．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应先假设这个直角三角形中（）A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°15．在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角（ ）A ．小于60°B ．等于60°C ．大于60°D ．大于或等于60°16．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于15，先要假设这五个正数（ ）A ．都大于15B ．都小于15C ．没有一个小于15D ．没有一个大于1517．下列说法正确的个数（ ）①近似数32.6×102精确到十分位： ②在√2，−(−2)2，√83，﹣|−√2|中，最小的数是√83③如图所示，在数轴上点P 所表示的数为﹣1+√5④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”⑤如图②，在△ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点A ．1B ．2C ．3D ．418．用反证法证明“a ＞0”时，应先假设结论的反面，下列假设正确的是（ ）A ．a ＜0B ．a ＝0C ．a ≠0D ．a ≤0二．填空题（共8小题）19．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60°“，应假设 ．20．用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是 ．21．用反证法证明“如果|a |＞a ，那么a ＜0．”是真命题时，第一步应先假设 ．22．用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设 ．23．用反证方法证明“在△ABC 中，AB ＝AC ，则∠B 必为锐角”的第一步是假设 ．24．用反证法证明“内错角相等，两直线平行”时，首先要假设 ．25．如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB 与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设：．26．数学课上，同学提出如下问题：老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：小贴士反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．如图1，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线所截EF，AB∥CD，那么∠EOB＝∠EO'D．”如图2，假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'＝∠EO'D，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与基本事实矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB＝∠EO'D．请补充上述证明过程中的基本事实：．。
反证法例题与练习
点拨：至少的反面是没有！
四、巩固新知
1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 a不是实数 （2)a大于2。a小于或等于２ 没有两个 a大于或等于２ （3）a小于2。 （4）至少有 2个 （5）最多有一个 一个也没有 （6）两条直线平行。 两直线相交 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么 这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。
A
P
C
• 1．否定结论“至多有两个解”的说法中， 正确的是( ) • A．有一个解 • B．有两个解 • C．至少有三个解 • D．至少有两个解 [解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定 是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个 解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.
• 2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数” 时的正确反设为( ) • A．a、b、c都是奇数 • B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 • C．a、b、c都是偶数 • D．a、b、c中至少有两个偶数
可知三角形ABC是直角三角形，且 ∠C=90°，这与已知条件∠C≠90° 矛盾。假设不成立，从而说明原结论 a2 +b2 ≠ c2 成立。
发现知识：
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结 论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定 理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证 明方法叫做反证法。
2用反证法证明若a3用反证法证明如果一个三角形没有两个相等的角那么这个三角形不是等腰三角形的第一步a不是实数a小于或等于2a大于或等于2没有两个一个也没有两直线相交假设ab假设这个三角形是等腰三角形已知
一、复习引入
反证法经典专题(带解析)
反证法专题50道18．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程30至少有两个实根”时，要x ax b做的假设是（）A．方程30恰好有两个实根x ax bx ax b没有实根B．方程30C．方程30至多有一个实根x ax b至多有两个实根D．方程30x ax ba b ，则,a b至少有一个小于0”时，假设应为（）19．利用反证法证明“若0A．,a b都小于0B．,a b都不小于0C．,a b至少有一个不小于0D．,a b至多有一个小于020．用反证法证明命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个是奇数”正确的假设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个奇数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数第1页，共17页参考答案：1．A【分析】根据命题的结论的否定进行判断即可.【详解】因为a ，b 中至少有一个能被5整除的否定是a ，b 都不能被5整除，所以假设的内容应该是a ，b 都不能被5整除，故选：A 2．B【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故命题“a ，b ∈N+，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”的否定是“a ，b 都不能被5整除”．故选：B ．3．C【分析】根据反证法的定义即可直接得出结果.【详解】由反证法的定义，知在推导过程中，不能把原结论作为条件使用，其他都可以当作条件来使用，所以可以使用结论的否定、已知条件、公理、定理、定义等.故选：C.4．C【分析】根据反证法基本原理，对结论进行否定即可得到结果.【详解】“a 与b 都不能被7整除”的否定为：,a b 至少有一个能被7整除.故选：C.5．D【分析】根据给定条件，利用反证法的意义写出结论的否定作答.【详解】命题“如果0a b ”，“那么22a b ”的结论是22a b ，而反证法证明命题时，是假设结论不成立，即结论的反面成立，所以所求假设是22a b .故选：D 6．C答案第2页，共17页【分析】取命题的反面即可.【详解】用反证法证明命题，应先假设它的反面成立，即1x 且1y ，故选：C ．7．D【分析】利用反证法证明规则即可得到应假设0x 或0y .【详解】利用反证法证明，应先假设结论不成立，本题应假设0x 或0y 故选：D 8．C【分析】根据反证法证明命题的方法，应先假设命题的反面成立，故求出命题的反面即可.【详解】“x ，y 至多有一个大于0”包括“x ，y 都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x ，y 都大于0”.故选：C.9．C【分析】反证法中“a ，b ，c 至少有一个是无理数”的假设为“假设a ，b ，c 都不是无理数”，对照选项即可得到答案.【详解】依题意，反证法中“a ，b ，c 至少有一个是无理数”的假设为“假设a ，b ，c 都不是无理数”，即“假设a ，b ，c 都是有理数”.故选：C.10．A【分析】根据“至少有一个大于”的反设是“三个都不大于”可直接得到结果.【详解】“至少有一个大于”的反设是“三个都不大于”，反设正确的是“三个内角都不大于60 ”.故选：A.11．B【分析】根据“至少有一个是偶数”的否定形式可直接判断出结果.【详解】∵“至少有一个是偶数”的否定形式为“都不是偶数”，假设正确的是：假设,,a b c 都不是偶数.故选：B.12．B【分析】“反证法”就是从命题的反面即否定形式入手考虑题设.故答案为：若“6x y ，则3x 且4y ”成立.45．0x 且0y 【分析】根据反证法思想，写出原命题证明中的假设条件即可.【详解】由反证法思想：否定原结论，推出矛盾，所以题设命题的证明，应假设0x 且0y .故答案为：0x 且0y 46．02a 【分析】根据反证法的结构特点可得正确的假设.【详解】对于命题：“已知a R ，若|1|1a ，则a<0或2a ”，用反证法证明时应假设：若02a .故答案为：02a .47．a b 且b c 成立【分析】假设结论的反面成立，即可求解．【详解】解：假设结论的反面成立，即a b 且b c 成立．故答案为：a b 且b c 成立．48．在一个三角形中至少有两个内角是钝角【分析】依据命题的否定即可求得结论的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”【详解】命题“一个三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”故答案为：在一个三角形中至少有两个内角是钝角49．1x 且1y 【分析】根据给定条件，写出已知命题结论的否定作答.【详解】命题若2x y ，则1x 或1y 的结论是“1x 或1y ”，其否定为“1x 且1y ”，所以假设的内容应该是：1x 且1y .故答案为：1x 且1y 50．1x 且1y 【分析】根据反证法的原理可知.【详解】根据反证法的原理可知，求证1x 或1y 时，应首先假设1x 且1y .故答案为：1x 且1y 51．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键.【详解】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a，b，c中至多有一个偶数”的否定是：“a，b，c中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a，b，c中至多有一个偶数”时，假设应为“a，b，c中至少有两个偶数”，故答案为：a，b，c中至少有两个偶数.。
初二数学反证法练习题
初二数学反证法练习题反证法是一种常用的数学证明方法，它通过推导出与已知条件相矛盾的结论来证明一个命题的真假。
在初二数学学习中，反证法常常被用于解决一些复杂的问题。
本文将介绍一些初二数学中常见的反证法练习题，帮助同学们熟悉并掌握反证法的应用。
题目一：证明“根号2是无理数”。
解析：要证明根号2是无理数，首先我们假设根号2是有理数，并将其表示为p/q，其中p和q是互质的整数（即最大公约数为1）。
那么我们可以得到等式2 = (p/q)^2，即2q^2 = p^2。
由此可知，p^2一定是2的倍数，因此p也一定是2的倍数。
令p = 2k（k为整数），则原等式可以写成2q^2 = (2k)^2，简化得q^2 = 2k^2。
同样地，我们可以得出q也是2的倍数。
但这与我们最初假设的“p 和q是互质的整数”相矛盾。
因此，假设错误，根号2不可能表示为有理数，即根号2是无理数。
题目二：证明“开方后是无理数的数的平方是无理数”。
解析：我们假设存在一个数x，它的开方后是无理数，即√x是无理数。
那么我们可以假设√x是有理数，即√x = p/q，其中p和q为整数，且p/q为最简分数。
根据已知条件，我们有x = (√x)^2 = (p/q)^2 = p^2/q^2。
将x的表达式代入上式中，得到x = p^2/q^2。
由此可知，p^2和q^2均为x的因数。
根据因数的性质，我们可以得知p也是x的因数，且q也是x的因数。
这与我们最初的假设“p和q为最简分数”相矛盾，因此假设错误，开方后是无理数的数的平方一定是无理数。
题目三：证明“3不能表示成形如4k+1的整数的平方”。
解析：我们假设存在一个整数m，使得m^2 = 4k + 1，其中k为整数。
那么我们可以得到等式m^2 ≡ 1 (mod 4)，即m^2除以4的余数为1。
考虑整数的平方的情况，我们可以得知一个整数的平方只可能是0或1（对4取余）。
根据这个性质，我们可以考虑m的两种情况：情况一：m为偶数假设m = 2n，其中n为整数。