高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教案(含解析)北师大版选修2_2
高中数学 4.3 定积分的简单应用(二) 教案 北师大选修2-2
4.3 定积分的简单应用教学过程：（一）练习1．求定分3-⎰x ．2．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？ 31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S 3．你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰ba dx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负二、新课（一）例题选讲：例1．讲解教材例题例2．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。
练习：1．如右图，阴影部分面积为（ B ）A ．[()()]b a f x g x -⎰d xB ．[()()][()()]c b a c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d xC ．[()()][()()]b b a c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．[()()]b a g x f x +⎰d x2．求抛物线y = – x 2 + 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0（二）变速直线运动的路程1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间[a ，b ]上的 定积分 ，即⎰=ba dt t v s )(． 2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是()dt t ⎰-53sin 3．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s所走过的路程为 325 ． （三）变力作功1．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W = F （b —a ）．2．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的 功W =⎰b a dx x F )(． 练习：1．教材练习2．一物体在力F (x ) =10(02)34(2)x x x ≤≤⎧⎨+>⎩（单位：N ）的作用下沿与力F (x )做功为（ B ） A ．44J B ．46J C ．48J D ．50J3．证明：把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W = G ·()Mmh k k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径． 证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力f 为f = G ·122m m r ，其中G 为引力常数． 则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·2()Mm k x +故该物体从地面升到h 处所做的功为0()h W f x =⎰d x =20()h Mm G k x ⋅+⎰·d x = GMm 201()h k x +⎰ d (k + 1) = GMm 01()|h k x -+ =11()()Mnh GMm k G k h k k h -+=⋅++． 三、课堂小结：1．了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求曲边图形的面积3．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
4.3定积分的简单应用 教案(高中数学选修2-2 北师大版)
§3 定积分的简单应用3．1平面图形的面积3．2简单几何体的体积(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现并归纳曲边图形面积的求法以及发现并归纳简单旋转几何体体积的求法；(2)简单运用定积分解决某些与面积、体积有关的问题．2．过程与方法通过举例引导学生解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积、旋转体体积的过程中，体会积分思想在生活中的应用．3．情感、态度与价值观(1)通过对定积分的应用的探究学习，经历数学的探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识；(2)通过本节的运用实践，体会“分割——近似代替——求和——求极限”这一积分思想在实际生活中的应用，体会化归转化思想的运用以及用数学的思维方式解决问题，认识世界，进而领会数学的价值．●重点难点重点：应用定积分解决平面图形的面积、简单旋转几何体的体积等问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值．难点：将实际问题化归为定积分问题以及这一过程体现的思想方法．教学时从学生最近发展区切入，让学生思考不规则图形的面积、体积可通过分割的方法化为规则或近似规则图形来求解．结合具体问题深入剖析，并详细写出过程，让学生深刻体验积分过程，从而化解难点．引导学生在具体问题的求解过程中，发现方法，形成规律，尤其平面图形面积的求法及步骤，让学生在应用定积分的过程中更深入地理解定积分及其作用，以强化重点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、求简单旋转几何体的体积．解决这些问题的关键是将它们化归为定积分问题，前者主要是分割，而后者则要经历一个积分过程，需要学生通过思考、分析、归纳后结合定积分的定义求解．故本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在具体问题的导引下，学生通过独立探究、合作交流，揭示规律，形成方法．●教学流程创设情境，提出问题：如何求平面图形的面积？如何求旋转体的体积？⇒引导学生通过分割，将问题转化为定积分来解决.⇒通过引导学生回答问题，弄清平面图形面积、旋转体体积求解的一般思路.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握平面图形面积求解的方法和步骤.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握旋转体体积的求法和步骤.⇒通过例3及其变式训练，提高学生综合运用知识解决问题的能力.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.会用定积分求平面图形的面积．(重点)2.会用定积分求简单几何体的体积．(重点)3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法．(难点)平面图形的面积S ，则S ＝⎠⎛abf (x )d x －⎠⎛a bg (x )d x .简单旋转几何体的体积 x 轴旋转而成，设在区间[a，b ]上点x 处垂直x 轴的截面面积为A (x )＝πf 2(x )，则体积为V ＝⎠⎛ab πf 2(x )d x .求平面图形的面积求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．【思路探究】 解答本题可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区间，然后分段利用公式求解．【自主解答】 画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x 及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ， 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S ＝⎠⎛01[x －(－13x )]d x ＋⎠⎛13[(2－x )－(－13x )]d x＝⎠⎛01(x ＋13x )d x ＋⎠⎛13(2－x ＋13x )d x＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136.1．正确画出图形，合理分割图形是解决本题的关键．2．求所围成的图形的面积时，先画出草图，确定所求面积是哪部分；其次是求解方程组得到交点的横坐标，从而确定积分上、下限．其中，有些所求面积可以分成两部分面积的差(和)的形式，要视情况而定．将本例条件中的“y ＝－13x ”换成“x 轴”，其他不变．【解】 画出草图如图解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点为(1,1)，∴S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝23x 32|10＋(2x －12x 2)|21 ＝23＋(2×2－12×22－2×1＋12×1) ＝76.求由曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．【思路探究】 所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到，再利用定积分求解即可．【自主解答】 曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形如图阴影部分所示．设所求旋转体的体积为V ，根据图像可以看出V 等于曲线y ＝2x ，直线x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 1)减去曲线y ＝12x 2，直线x ＝2与x轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 2)．V 1＝⎠⎛02π(2x )2d x ＝2π⎠⎛02x d x ＝2π·12x 2|20＝4π，V 2＝⎠⎛02π(12x 2)2d x ＝π4⎠⎛02x 4d x ＝π4×15x 5|20＝8π5，所以V ＝V 1－V 2＝4π－8π5＝12π5.1．两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积是两个体积的差，即：V ＝π⎠⎛abf 2(x )d x －π⎠⎛a b g 2(x )d x，而不能写成V ＝π⎠⎛ab [f (x )－g (x )]2d x .2．求简单旋转体的体积时，首先要画出平面图形，分析旋转体的形状，再利用体积的定积分表达式V ＝π⎠⎛ab f 2(x )d x求解．设平面图形由[0，π2]上的曲线y ＝sin x 及直线y ＝12，x ＝π2围成，求此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．【解】 先画草图．设f (x )＝sin x ，x ∈[0，π2]，g (x )＝12.则f (x )与g (x )的交点为(π6，12)．V ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π[sin 2x －(12)2]d x ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π(1－cos 2x 2－14)d x＝⎠⎜⎜⎛π6π2π(14－12cos 2x )d x ＝π(14x －14sin 2x )⎪⎪⎪π2π6＝π212＋3π.积为112，试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．【思路探究】 设出切点坐标，写出切线方程，利用定积分可列方程，解方程求得切点坐标，进一步求出切线方程．【自主解答】 设切点A (x 0，x 20)，切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．令y ＝0，得x＝x 02，如图，∴S ＝⎠⎜⎛0x02x 2d x ＋⎠⎜⎛x 02x 0 [x 2－(2x 0x －x 20)]d x ＝112x 30. ∴112x 30＝112，x 0＝1.∴切点A 的坐标为(1,1)，切线方程为y ＝2x －1.1．本题中求面积S 时，易错误地写成S ＝∫x 00⎠⎛0x 0 [x 2－(2x 0x －x 20)]d x .错误原因是没能分割好图形．2．关于导数与积分的综合题，要充分利用导数的几何意义，求切线的斜率或方程，利用定积分的几何意义求面积，进而解决问题．已知抛物线y ＝－x 2a＋2x (a >0)，过原点的直线l 平分由抛物线与x 轴所围成的封闭图形的面积，求l 的方程．【解】 如图所示，设l 的方程为y ＝kx ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝－x 2a ＋2x ， 得交点O ，P 的坐标分别为(0,0)，(2a －ak,2ak －ak 2)．由题意得⎰2a －ak0(－x 2a ＋2x －kx )d x ＝12⎰2a 0(－x 2a＋2x )d x ，解得k ＝2－34，故所求l 的方程为y ＝(2－34)x .不能合理分割致误由y 轴，直线x ＝2和曲线y ＝2－x 2及y ＝x 围成的图形的面积为( ) A.23 B ．－23C ．3D ．－3。
北师大版高中数学选修2-2第四章定积分-定积分的简单应用三利用定积分求简单几何体的体积课件05184
（3）求和； (4)逼近。
V＝
1
4xdx2
2019/7/19
0
o
y2 4x
x=1 x
变式练习1、求曲线 y e x ，直线 x 0 ，x 1
x 与 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋 2
转体的体积。
答案：
2
(e
1)
；
例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一
由曲线 y f (x)，直线
xa,xb及 x
x 轴所围成的曲边梯形绕
轴旋转而成的旋转体体积为
V
b
[
f
(x)]2d.x其侧面积为
a
求S侧 体 积2 的a 过bf程(x就)1 是对[f定'(x积)]2分dx概念的进一步理解过
程，总结求旋转体体积公式步骤如下：1．先求
出 y f 2019/7/19 x 的表达式；2．代入公式
个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一 周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。
2019/7/19
分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将 其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。则 A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB 绕X轴旋转一周形成的。
重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的 旋转体的体积问题； 难点；数学模型的建立及被积函数的确定。 四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学20过19/7程/19
（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积 的方法是什么？(2)、定积分的几何意义是 什么？（3）、微积分基本定理是什么？ （二）新课探析
解：将其轴载面按下图位置放
置，并建立如图的坐标系。则
北师大版数学高二4.3 定积分的简单应用(一) 教案 (北师大选修2-2)
4.3 定积分的简单应用教学过程：一．知识回顾1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？二．新知探究（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
练习：计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积.例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S.分析：首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点．四．拓展提高2x y =y x= A B C D O求曲线],[sin32π∈=xxy 与直线,,32π==xx x轴所围成的图形面积。
五．归纳总结总结：1、定积分的几何意义是：axxfyba==与直线上的曲线在区间)(],[、xbx以及=轴所围成的图形的面积的代数和，即轴下方轴上方－xxbaSSdxxf=⎰)(.因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数］［０ π2,sin∈=xxy的图像与x轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.2、求曲边梯形面积的方法与步骤：（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：x型区域：①由一条曲线）其中0≥=)()((xfxfy与直线)(,babxax<==以及x轴所围成的曲边梯形的面积：⎰b a dxxfS)(＝（如图（1））；②由一条曲线）其中0≤=)()((xfxfy与直线)(,babxax<==以及x轴所围成的曲边梯形的面积：⎰⎰babadxxfdxxfS)()(＝－＝（如图（2））；③由两条曲线）其中，)()()(()(xgxfxgyxfy≥==与直线)(,babxax<==图（1）图（2）图（3）所围成的曲边梯形的面积：⎰b a dxxgxfS|)()(|－＝（如图（3））；六．作业设计y )(xfy=)(xgy=abxy)(xfy=a bxy)(xfy=a b x1、必做题：P58练习（1）（2）；P60A 组1；2、选做题：P60B 组3。
高中数学第四章定积分4.3定积分的简单应用课件北师大版选修2_2
������
名师点拨
Hale Waihona Puke ������ ������
f(x)dx,
������ ������
|f(x)|dx 与
������ ������
������ ������
������(������) d������ 的异同.
B.V=π D.V=π
1 0 1 0
[12-(x2)2]dx (12-x2)dx
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在题后的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)任何曲线 y=f(x)及 x=a,x=b 与 x 轴围成的平面图形的面积都 可 ������ 以表示为 ������ f(x)dx. ( × )
直线y=x-4与x轴的交点为(4,0), 因此,所求图形的面积为S=S1+S2
8 4 8 = 0 √2������ dx+ 4 √2������d������- (������-4) d������ 4 2√2 3 4 2√2 3 8 1 40 = ������ 2 |0 + ������ 2 |4 − (x-4)2|8 = . 4 3 3 2 3
§4.3 定积分的简单应用
学 习 目 标 思 维 1.能用求定积分的方法 求 由已知曲线所围成的 平面图形的面积. 2.能用 求定积分的方法 求简单的几何体的体积. 3.注意 平面图形的面积 及几何体的体积与定积 分的内在联系与区别. 4.要学会 使用数形结合 和转化思想解决问题.
脉
络
1.一般地,设由曲线 y=f(x),y=g(x)以及直线 x=a,x=b 所围成的平面 ������ ������ 图形(如图)的面积为 S,则 S= ������ f(x)dx- ������ g(x)dx.
北师版高中数学选修2-2课后习题版 第四章 §3 定积分的简单应用
第四章DISIZHANG定积分§3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为( )A.∫ba f(x)dx B.|∫f(x)badx|C.∫ba|f(x)|dx D.以上都不对f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,∫baf(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,∫baf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=∫ba[f(x)-g(x)]dx求出的是( )S=∫ba[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D.3.如图,由函数f(x)=e x-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.e 2-e 2D.e2-2e+1S=∫21f(x)dx=∫21(e x-e)dx=(e x-e·x)|12=e2-2e.4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为( )A.28π3B.32π C.4π3D.3πV=∫21π·(2x)2dx=π∫214x2dx=4π·13x3|12=4π3(8-1)=28π3.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17{y=√x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=∫1(√x-x)dx=(23x 32-x 22)|01=23−12=16.故所求概率为S 阴影S 正方形=161=16.6.曲线y=cos x (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积为 .解析由图可知,曲线y=cosx (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积S=∫3π2π2cos xdx=-sin xπ23π2=(-sin3π2)−(-sin π2)=2.7.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x 以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为 . ∫113(3-1x )dx+∫31(3-x)dx=(3x-lnx)|131+(3x -12x 2)|13=3-(1-ln 13)+(9-12×32)−(3-12)=4-ln3.8.计算由y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{y 2=x ,y =x 2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=∫10(√x -x2)dx,又因为(23x 32-13x 3)'=x 12-x 2,所以S=(23x 32-13x 3)|01=23−13=13.9.求由曲线y=x 2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组{y =x 2+4,y =5x ,得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=∫1(x 2+4-5x)dx+∫41(5x-x 2-4)dx=(13x 3+4x -52x 2)|01+(52x 2-13x 3-4x)|14=13+4-52+52×42-13×43-4×4-52+13+4=193.10.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.{y 2=2x ,y =4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x 作为积分变量,由图可得S=S A 1+S A 2.在A 1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2x ,下部分方程为y=-√2x ,所以S A 1=∫2[√2x -(-√2x )]dx=2√2∫20x 12dx=2√2·23x 32|02=163.S A 2=∫82[4-x-(-√2x )]dx =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383.所以S=163+383=18.方法二:∵y 2=2x,∴x=12y 2. 由y=4-x.得x=4-y,∴S=∫2-4(4-y -12y 2)dy=(4y -12y 2-16y 3)|-42=18.B 组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S 1=1,S 2=3,S 3=32,则∫2-32f(x)dx 等于( )A.112B.12C.-12D.72∫2-32f(x)dx=∫-1-32f(x)dx+∫1-1f(x)dx+∫21f(x)dx=S 1-S 2+S 3=1-3+32=-12.2.设直线y=1与y 轴交于点A,与曲线y=x 3交于点B,O 为原点,记线段OA,AB 及曲线y=x 3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一点P,已知点P 取在△OAB 内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为( )A.13B.14C.15D.16{y =1,y =x 3,解得{x =1,y =1. 则曲边梯形OAB 的面积为∫1(1-x 3)dx=(x -14x 4) 01=1-14=34.∵在Ω内随机取一个点P,点P 取在△OAB 内的概率等于23, ∴点P 取在阴影部分的概率等于1-23=13,∴图中阴影部分的面积为34×13=14.故选B.3.如图所示,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k 的值为 .y=x-x 2与x 轴两交点横坐标为0,1,∴抛物线与x 轴所围成图形的面积为S=∫1(x-x 2)dx=(x 22-x 33)|01=16,抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的两交点横坐标为0,1-k.∴S 2=∫1-k0(x-x 2-kx)dx=(1-k2x 2-x33)|01-k =16(1-k)3.又∵S=16,∴(1-k)3=12.∴k=1-√123=1-√432. 1-√4324.由直线y=x 和曲线y=x 3(x≥0)所围成的平面图形,绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .{y =x ,y =x 3(x ≥0),得{x =0,y =0,或{x =1,y =1.故所求体积V=∫1πx 2dx-∫10πx 6dx=π∫10x 2dx-π∫1x 6dx=π(13x 3|01-17x 7|01)=π(13-17)=4π21.5.已知函数f(x)=x 3-x 2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积.(1,2)为曲线f(x)=x 3-x 2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3×12-2×1+1=2,∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图.由{y =x 2,y =2x可得交点A(2,4). 又S △AOB =12×2×4=4,g(x)=x 2与直线x=2,x 轴围成的区域的面积S=∫20x 2dx=13x3|02=83,∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为S'=S △AOB -S=4-83=43.。
高中数学第四章定积分章末小结教案(含解析)北师大版选修2_2
第四章 定积分
章末小结
一、定积分
1．定积分的概念：
⎠⎛a
b
f (x )d x 叫函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分． 2．定积分的几何意义：
当f (x )≥0时，⎠⎛a b f (x )d x 表示的是 y ＝f (x )与直线x ＝a ，x ＝b 和x 轴所围成的曲边梯
形的面积．
3．定积分的性质：
(1)∫b a 1d x ＝b －a . (2)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a b
f (x )d x .
(3)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a b g (x )d x .
(4)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x .
定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形．
二、微积分基本定理 1．如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则⎠⎛a b f (x )d x ＝F (x ) ⎪⎪⎪
b a ＝F (b )－F (a )．
2．利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数的一个原函数．求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此，应熟练掌握一些常见函数的导数公式．
三、定积分的简单应用
定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的体积，解题步骤为：
①画出图形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．③确定被积函数．④写出平面图形面积或旋转体体积的定积分表达式．⑤运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积．。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
2
练习：用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3所 围成的图形面积
x + 3 dx - x
3 3 0 0
2
- x + 3 dx
-x
3 0
2
+ 3x dx
14
（四）、小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值． ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取逼近 化整为零
S S 1 S 2 f ( x )dx g ( x )dx
a a b b
S1 y f ( x ) d x g( )
a
b
S2
b
g ( x ) dx
a
O
a a
b x
10
性质1.
（三）、定积分的基本性质
b b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
1
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽 车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于 几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概 念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解 掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单 的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意 义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
b
(x )d x f f (x x f c f )d x x(x 。 a f(xf )d x (x )da)dx(x)dfx(x(xa)df。 )d x c a
a a c
b
c
c
b
b b
高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用教案(含解析)北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-
3定积分的简单应用如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )围成． 问题2：你能求得其面积吗？如何求？提示：能，先求由x ＝a ，x ＝b 和y ＝f (x )围成的曲边梯形面积S 1＝⎠⎛a bf (x )d x ，再求由x ＝a ，x ＝b 和y ＝g (x )围成的曲边梯形面积S 2＝⎠⎛a bg (x )d x ，则所求阴影部分面积为S 1－S 2.平面图形的面积一般地，设由曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面图形的面积为S ，则S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a bg (x )d x ，f (x )≥g (x )．定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．不分割型图形面积的求解[例1] 2[思路点拨] 画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题． [精解详析]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3，5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛－32(－x ＋2)d x －⎠⎛－32(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪2－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪2－3＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫－253＝1256. [一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形； (2)求交点，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示；(5)用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．1．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1C.32D. 3解析：选D 结合函数图像可得所求的面积是定积分 ⎠⎜⎜⎛π3－π3cos x d x ＝sin x⎪⎪⎪⎪π3－π3＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3. 2．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4解析：选D 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛024x －x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪2＝4.3．计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成的图形的面积S.解：作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3得交点的横坐标x ＝0，x ＝1，因此所求图形面积为S ＝⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 3d x ＝23x 32⎪⎪⎪1－14x 4⎪⎪⎪1＝23－14＝512. 分割型图形面积的求解[例2][思路点拨] 作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限．[精解详析] 作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，(舍去)，故B(1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C(3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎜⎛131⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x d x ＋⎠⎛13 (3－x )d x ＝(3x －ln x ) ⎪⎪⎪⎪113＋⎝⎛⎭⎪⎫3x －12x 2⎪⎪⎪31＝4－ln 3.[一点通] 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．4．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(如下图中的阴影部分)的面积是( )A ．1 B.π4C.322D ．22－2解析：选 D S ＝⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )dx ＋⎠⎜⎜⎛π4π2(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cosx )⎪⎪⎪⎪π40－(cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝(2－1)－(1－2)＝22－2.5．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A(1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，得B(2,4)，如图所示所求面积为S ＝⎠⎛012xdx －⎠⎛01xdx ＋⎠⎛122xdx －⎠⎛12x 2dx＝⎠⎛01(2x －x )dx ＋⎠⎛12(2x －x 2)dx ＝⎠⎛01xdx ＋⎠⎛12(2x －x 2)dx＝12x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪21＝76. 简单几何体的体积的求解[例3] 求抛物线y ＝2x 2与直线x ＝a (a >0)及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的几何体的体积．[精解详析] 由a >0，各曲线围成的平面图形如图阴影部分所示，V ＝⎠⎛0 a π(2x 2)2dx ＝4π⎠⎛0 ax 4dx＝4π·15x 5⎪⎪⎪a＝45πa 5. [一点通] 求旋转体的体积的步骤：①建立平面直角坐标系．②确定旋转曲线函数f(x )．③确定积分上、下限a ，b.④计算体积V ＝⎠⎛a bπf 2(x )dx .6．y ＝sin x (0≤x ≤π)和x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为( )A ．π2B ．4π2C.13π2D.π22解析：选D V ＝π∫π0sin 2xdx ＝π⎠⎛0 π1－cos 2x 2dx＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －sin 2x 2⎪⎪⎪π＝π22.7．给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，则它的体积为________．解析：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则BC 的方程：y ＝a .则该旋转体即圆柱的体积为：⎠⎛0aπ×a 2dx ＝πa 2x ⎪⎪⎪a＝πa 3.答案：πa 31．求由曲线围成的图形的面积时，若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上、下限．2．由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b(a <b)以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为V ＝π⎠⎛a bf 2(x )dx .1．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积是( ) A ．4π B.5π2C ．3πD ．2π解析：选D 如图，求曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成图形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y ＝0，y ＝1，x ＝0，x ＝2π围成的矩形的面积．故选D.2．如果用1 N 的力能将弹簧拉长1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 JD ．0.28 J解析：选A 设F (x )＝kx ，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，则k ＝100.W ＝⎠⎛00.06100xdx ＝50x 2⎪⎪⎪0.06＝0.18 (J )．3．曲线y ＝x 2＋2x 与直线x ＝－1，x ＝1及x 轴所围成图形的面积为( ) A ．2 B.83 C.43D.23解析：选A S ＝－⎠⎛－10(x 2＋2x )dx ＋⎠⎛0 1 (x 2＋2x )dx＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2⎪⎪⎪－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2⎪⎪⎪1＝23＋43＝2. 4.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17解析：选C 阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪10＝16，故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝16，故选C.5.如图是一个质点做直线运动的v t 图像，则质点在前6 s 内的位移为________ m .解析：直线OA 的方程为y ＝34x ，直线AB 的方程为y ＝－32x ＋9，故质点在前6 s 内的位移为⎠⎛0434x dx ＋⎠⎛46⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋9d x ＝38x 2⎪⎪⎪40＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x 2＋9x ⎪⎪⎪64＝6＋3＝9(m )．答案：96.如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x 与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e )，所以阴影部分的面积为2(e ×1－⎠⎛01e x dx )＝2e －2e x⎪⎪⎪1＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式， 得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2. 答案：2e27．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积．解：由y ′＝－2x ＋4得在点A ，B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6得两直线交点坐标为C(2,2)，∴S＝S △ABC －⎠⎛13(－x 2＋4x －3)dx＝12×2×2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋2x 2－3x ⎪⎪⎪31＝2－43＝23.8．已知抛物线y ＝x 2－2x 与直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a的值．解：作出y ＝x 2－2x 的图像，如图所示． ①当a <0时，S ＝⎠⎛a 0(x 2－2x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a ＝－a 33＋a 2＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0. ∵a <0，∴a ＝－1.②当a ＝0时，不符合题意． ③当a >0时，若0<a ≤2，则S ＝－⎠⎛0a(x 2－2x )dx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a＝a 2－13a 3＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0. ∵a >0，∴a ＝2. 若a >2，不合题意， 综上a ＝－1或2.。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
y f (x)
a
b
x
5
积分上限
a f ( x )dx I
积分下限
b
lim f (i )xi
n i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
6
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a
(3)
b
b
b
f (t)dt a
a
b
f(u)du。
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
a f(x)dx - b f (x)dx
7
(二)、定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分a f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
1
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽 车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于 几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概 念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解 掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单 的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意 义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
ba Sn f (i )x f (i ) n i 1 i 1 如果 x 无限接近于 0（亦即 n ） 上述和式 S n 时， 无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区
n n
间 [ a, b] 上的定积分。记为： S
b
a
f ( x )dx
高中数学 第四章《定积分》教案 北师大版选修2-2
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》全部教案§1定积分概念第一课时曲边梯形的面积一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。
二、教学重难点： 重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 1、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。
那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。
本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2、新课探析问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例题：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．xxx 11yyy把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章 定积分的概念 第三课时参考教案
定积分的概念第三课时一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景 ；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义． 二、教学重难点：重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景复习：1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． （二）、新课探析 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n x x ==-=D =邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ??）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =ò，其中-ò积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，[,]a b －积分区间，()f x dx －被积式。
说明：（1）定积分()ba f x dx ò是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n ??时）记为()baf x dx ò，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x x -Î；③求和：1()ni i b af n x =-å；④取极限：()1()l i mnbi naib af x dx f n x =-=åò （3）曲边图形面积：()ba S f x dx =ò；变速运动路程21()t tS v t dt =ò；变力做功()baW F r dr =ò2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ³，那么定积分()ba f x dx ò表示由直线,(),0x a x b a b y ==?和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()baf x dx ò的几何意义。
高中数学第四章定积分4.3定积分的简单应用课件北师大版选修22
答案(dá àn):±3
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∴V=π
π
= a2
4
π
= a2
4
思维(sīwéi)
辨析
0
2
y dx=π
+ 2
2
0 4
2
2
'=e +2+e ,
2
2
(e +2+e )dx
2 -2
(e -e ) + 2 |0
2
2 -2
(e -e ) + 2 .
2
反思感悟简单旋转体的体积求解步骤
积为(
1
1
由直线 x= ,x=2,曲线 y= 以及 x 轴所围成图形的面
2
)
15
A.
4
17
B.
4
1
C. ln 2
2
解析:如图所示,所围成图形的面积为 S=
1
2
=ln 2-ln =2ln 2.
答案(dá àn):D
第四页，共21页。
D.2ln 2
2 1
1
2
dx=ln
x|
2
1
2
【做一做2】 由y=x2,x=0和y=1所围成的平面图形绕x轴旋转一周
§4.3 定积分(jīfēn)的简单应用
第一页，共21页。
学 习 目 标
思 维
1.能用求定积分的方法
求由已知曲线所围成的
平面图形的面积.
2.能用求定积分的方法
求简单的几何体的体积.
3.注意平面图形的面积
及几何体的体积与定积
高中数学第四章定积分4.3定积分的简单应用教案北师大版选修2
定积分的简单应用一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2、掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
二、教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算在物理中应用。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：（1）、求曲边梯形的思想方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？（二）、定积分的应用【定积分在物理中应用】1、求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()ba s v t dt =⎰例 1。
一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．解：由速度一时间曲线可知： 3,010,()30,10401.590,4060.t t v t t t t ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：104060010403[30( 1.590)s tdt dt t dt =++-+⎰⎰⎰ 210402600104033|30|(90)|1350()24t t t t m =++-+= 答：汽车在这 1 min 行驶的路程是1350m .2．变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .探究如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x ）所作的功W 呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()ba W F x dx =⎰例2．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx , 其中常数 k 是比例系数．由变力作功公式，得到220011|()22l l W kxdx x kl J ===⎰答：克服弹力所作的功为212kl J . 例3．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站B 开往站，电车开出ts 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C 点的速度为24m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为（24-1.2t ）m/s ，在B 点恰好停车，试求（1）A 、C 间的距离；（2）B 、D 间的距离；（3）电车从A 站到B 站所需的时间。
高中数学 第四章 定积分教案 北师大版选修22
定积分一、教学目标：1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题。
二、学法指导：1、重点理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；3、重点掌握定积分的计算方法。
三、重点与难点：重点：理解并且掌握定积分算法；难点：利用定积分的几何意义解决问题。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学过程 （一）、知识闪烁1、 解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对 自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的 ，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于 时，过剩估计值和不足估计值都趋于 ；误差趋于 。
2、定积分的定义思想：（1） (2) (3) (4) ; 3 、()1limniin i f x ξ→∞=∆∑= ；其中⎰叫做a 叫做b 叫做 ()f x 叫 ;4、()baf x dx ⎰的几何意义 ；在x 轴上方的面积取 ，在x 轴下方的面积取()baf x dx ⎰的几何意义 ；()ba f x dx ⎰的几何意义 ； ()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰的关系 ；计算()baf x dx ⎰时，若在],a b ⎡⎣上()0f x ≥则()baf x dx ⎰= 若在],a b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰= 若在],a c ⎡⎣上()0f x ≥，],c b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰=5、定积分的性质：1b adx ⎰= ()bakf x dx ⎰= ()()ba f x g x dx ±⎡⎤⎣⎦⎰=（定积分对积分区间的可加性）()baf x dx ⎰=6、如果连续函数()f x 是函数()F x 的导函数，即()f x = ，则有()baf x dx ⎰=它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨公式，()F x 是()f x 的 7、计算定积分()baf x dx ⎰= =()()F b F a -8、若()f x 在[],a a -上连续，且是偶函数，则有()aaf x dx -=⎰若()f x 在[],a a -上连续，且是奇函数，()aaf x dx -=⎰（二）、方法点拨：1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求出定积分。
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3定积分的简单应用如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )围成． 问题2：你能求得其面积吗？如何求？提示：能，先求由x ＝a ，x ＝b 和y ＝f (x )围成的曲边梯形面积S 1＝⎠⎛a bf (x )d x ，再求由x ＝a ，x ＝b 和y ＝g (x )围成的曲边梯形面积S 2＝⎠⎛a bg (x )d x ，则所求阴影部分面积为S 1－S 2.平面图形的面积一般地，设由曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面图形的面积为S ，则S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a bg (x )d x ，f (x )≥g (x )．定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．不分割型图形面积的求解[例1][思路点拨] 画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题． [精解详析]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝－3，y＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝0，所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3，5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S＝⎠⎛－32(－x＋2)d x－⎠⎛－32(x2－4)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x－12x2⎪⎪⎪2－3－⎝⎛⎭⎪⎫13x3－4x⎪⎪⎪2－3＝252－⎝⎛⎭⎪⎫－253＝1256.[一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)求交点，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5)用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．1．由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为( ) A.12B．1C.32D. 3解析：选D 结合函数图像可得所求的面积是定积分⎠⎜⎜⎛π3－π3cos x d x＝sin x⎪⎪⎪⎪π3－π3＝32－⎝⎛⎭⎪⎫－32＝ 3.2．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A．2 2 B．4 2C．2 D．4解析：选D 由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛24x－x3d x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x2－14x4⎪⎪⎪2＝4.3．计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成的图形的面积S.解：作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x3得交点的横坐标x ＝0，x ＝1，因此所求图形面积为S ＝⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 3d x ＝23x 32⎪⎪⎪1－14x 4⎪⎪⎪1＝23－14＝512. 分割型图形面积的求解[例2][思路点拨] 作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限．[精解详析] 作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，(舍去)，故B(1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C(3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎜⎛131⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x d x ＋⎠⎛13 (3－x )d x ＝(3x －ln x ) ⎪⎪⎪⎪113＋⎝⎛⎭⎪⎫3x －12x 2⎪⎪⎪31＝4－ln 3.[一点通] 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．4．由曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝π2所围成的平面图形(如下图中的阴影部分)的面积是( )A．1 B.π4C.322D．22－2解析：选 D S＝⎠⎜⎛π4(cos x－sin x)dx＋⎠⎜⎜⎛π4π2(sin x－cos x)d x＝(sin x＋cosx)⎪⎪⎪⎪π4－(cos x＋sin x)⎪⎪⎪⎪π2π4＝(2－1)－(1－2)＝22－2.5．求由曲线y＝x2和直线y＝x及y＝2x所围成的平面图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y＝x2，y＝x，得A(1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y＝x2，y＝2x，得B(2,4)，如图所示所求面积为S＝⎠⎛12xdx－⎠⎛1xdx＋⎠⎛122xdx－⎠⎛12x2dx＝⎠⎛1(2x－x)dx＋⎠⎛12(2x－x2)dx＝⎠⎛1xdx＋⎠⎛12(2x－x2)dx＝12x2⎪⎪⎪1＋⎝⎛⎭⎪⎫x2－13x3⎪⎪⎪21＝76.简单几何体的体积的求解[例3] 2x轴旋转一周得到的几何体的体积．[精解详析] 由a >0，各曲线围成的平面图形如图阴影部分所示，V ＝⎠⎛0 a π(2x 2)2dx ＝4π⎠⎛0 ax 4dx＝4π·15x 5⎪⎪⎪a＝45πa 5. [一点通] 求旋转体的体积的步骤：①建立平面直角坐标系．②确定旋转曲线函数f(x )．③确定积分上、下限a ，b.④计算体积V ＝⎠⎛a bπf 2(x )dx .6．y ＝sin x (0≤x ≤π)和x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为( )A ．π2B ．4π2C.13π2D.π22解析：选D V ＝π∫π0sin 2xdx ＝π⎠⎛0 π1－cos 2x 2dx ＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －sin 2x 2⎪⎪⎪π＝π22.7．给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，则它的体积为________．解析：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则BC 的方程：y ＝a .则该旋转体即圆柱的体积为：⎠⎛0 aπ×a 2dx ＝πa 2x ⎪⎪⎪a＝πa 3.答案：πa 31．求由曲线围成的图形的面积时，若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上、下限．2．由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b(a <b)以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为V ＝π⎠⎛a bf 2(x )dx .1．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积是( ) A ．4π B.5π2C ．3πD ．2π解析：选D 如图，求曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成图形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y ＝0，y ＝1，x ＝0，x ＝2π围成的矩形的面积．故选D.2．如果用1 N 的力能将弹簧拉长1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 JD ．0.28 J解析：选A 设F (x )＝kx ，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，则k ＝100.W ＝⎠⎛00.06100xdx ＝50x 2⎪⎪⎪0.06＝0.18 (J )．3．曲线y ＝x 2＋2x 与直线x ＝－1，x ＝1及x 轴所围成图形的面积为( ) A ．2 B.83 C.43D.23解析：选A S ＝－⎠⎛－10(x 2＋2x )dx ＋⎠⎛0 1 (x 2＋2x )dx＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2⎪⎪⎪－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2⎪⎪⎪1＝23＋43＝2. 4.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17解析：选C 阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪10＝16，故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝16，故选C.5.如图是一个质点做直线运动的v t 图像，则质点在前6 s 内的位移为________ m .解析：直线OA 的方程为y ＝34x ，直线AB 的方程为y ＝－32x ＋9，故质点在前6 s 内的位移为⎠⎛0434x dx ＋⎠⎛46⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋9d x ＝38x 2⎪⎪⎪40＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x 2＋9x ⎪⎪⎪64＝6＋3＝9(m )．答案：96.如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x 与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e )，所以阴影部分的面积为2(e ×1－⎠⎛01e x dx )＝2e －2e x ⎪⎪⎪1＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式， 得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2. 答案：2e27．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积． 解：由y ′＝－2x ＋4得在点A ，B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6得两直线交点坐标为C(2,2)，∴S＝S △ABC －⎠⎛13(－x 2＋4x －3)dx＝12×2×2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋2x 2－3x ⎪⎪⎪31＝2－43＝23.8．已知抛物线y ＝x 2－2x 与直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a的值．解：作出y ＝x 2－2x 的图像，如图所示． ①当a <0时，S ＝⎠⎛a 0(x 2－2x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a＝－a 33＋a 2＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0. ∵a <0，∴a ＝－1.②当a ＝0时，不符合题意． ③当a >0时，若0<a ≤2，则S ＝－⎠⎛0a(x 2－2x )dx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a＝a 2－13a 3＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0. ∵a >0，∴a ＝2. 若a >2，不合题意， 综上a ＝－1或2.。