2020届高三文理科数学一轮复习《函数及其表示》专题汇编(教师版)
2020年高考文科数学一轮总复习：函数及其表示
2020年高考文科数学一轮总复习：函数及其表示第1讲 函数及其表示1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．[注意] 函数图象的特征：与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( )(2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (5)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (教材习题改编)函数f (x )＝(x －2)0＋23x ＋1的定义域是( ) A.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，－13 C ．RD.⎝⎛⎭⎫－13，2∪(2，＋∞) 解析：选D.要使函数f (x )有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧x ≠2，3x ＋1>0，所以x >－13且x ≠2，所以函数f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎫－13，2∪(2，＋∞)．故选D. 下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B.对于A.函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B.定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C.函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．(教材习题改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋4），x ≥0，x （x －4），x <0，则f (1)＋f (－3)＝________．解析：f (1)＝1×5＝5，f (－3)＝－3×(－3－4)＝21，故f (1)＋f (－3)＝5＋21＝26. 答案：26若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________． 解析：因为x －4有意义，所以x －4≥0，即x ≥4. 又因为y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2， 所以y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. 所以其值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)求函数的定义域(师生共研)(1)(2019·重庆质量调研(一))函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是( )A ．(2，3)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(2，3)∪(3，＋∞)(2)如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2(3)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域为________．【解析】 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选D.(2)因为－2x ＋a >0，所以x <a 2，所以a2＝1，所以a ＝2.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x <1，即函数g (x )的定义域是[)0，1. 【答案】 (1)D (2)D (3)[)0，1[提醒] 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．1．(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f (x )＝4－4x ＋ln(x ＋4)的定义域为________．解析：要使函数f (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧4－4x ≥0，x ＋4>0，解得－4＜x ≤1，即函数f (x )的定义域为(－4，1]．答案：(－4，1]2．若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. 答案：[0，4]求函数的解析式(师生共研)(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，则f (x )的解析式为________． (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________．(3)若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为________． (4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，则f (x )的解析式为________． 【解析】 (1)(配凑法)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)(换元法)令2x ＋1＝t ，由于x >0，所以t >1且x ＝2t －1，所以f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3.所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3. (4)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ， 所以f (x )＝2x .【答案】 (1)f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2) (2)f (x )＝lg2x －1(x ＞1) (3)f (x )＝x 2－x ＋3 (4)f (x )＝2x求函数解析式的4种方法1．(一题多解)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝________． 解析：法一(换元法)：令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．法三(待定系数法)：因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 答案：x 2－5x ＋9(x ∈R )2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )的解析式为f (x )＝__________．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等的实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，c ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 答案：x 2＋2x ＋1分段函数(多维探究)角度一 求分段函数的函数值(1)(2019·合肥一检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11(2)(2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3【解析】 (1)因为f (1)＝12＋2＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C.(2)由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5 ①， f (－1)＝a －1＋b ＝3 ②，联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2，故选B. 【答案】 (1)C (2)B角度二 分段函数与方程、不等式问题(1)(2018·高考浙江卷改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x <2.则不等式f (x )<0的解集是____________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________．【解析】 (1)不等式f (x )<0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －4<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x 2－4x ＋3<0，即2≤x ＜4或1<x <2，故不等式f (x )<0的解集为(1，4)． (2)当a ≤1时，f (a )＝2a －2＝－3无解；当a >1时，由f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＋1＝8， 解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－2＝－32.【答案】 (1)(1，4) (2)－32分段函数问题的求解策略(1)分段函数的求值问题，首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．(2)对求含有参数的自变量的函数值，如果不能确定自变量的范围，那么应采取分类讨论．(3)解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2D ．－4解析：选B.由题意得f ⎝⎛⎭⎫43＝2×43＝83.f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝f ⎝⎛⎭⎫23＝2×23＝43. 所以f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝4.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝2的x 的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，4 B ．{1，4} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14，4解析：选A.由f (x )＝2得①⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝2，x ≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |＝2，x >0.由①知无解．由②得x ＝14或x ＝4.故选A.3．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤01， x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)解析：选D.当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0所以x <0，故选D.数学抽象——函数的新定义问题以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题．(2019·广东深圳3月模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ； ②g (x )＝x 3； ③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x；④φ(x )＝ln x .其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④ B ．①③④ C ．①④D ．④【解析】 对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ；对于函数h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.【答案】 C本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f (x )的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1，3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.由x 2＋1＝1得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个．2．(2019·石家庄第一次模拟)若定义在R 上的函数f (x )当且仅当存在有限个非零自变量x ，使得f (－x )＝f (x )，则称f (x )为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是( )A ．f (x )＝cos xB ．f (x )＝sin xC ．f (x )＝x 2－2xD ．f (x )＝x 3－2x解析：选D.A 中函数为偶函数，则在定义域内均满足f (x )＝f (－x )，不符合题意；B 中，当x ＝k π(k ∈Z )时，满足f (x )＝f (－x )，不符合题意；C 中，由f (x )＝f (－x )，得x 2－2x ＝x 2＋2x ，解得x ＝0，不符合题意；D 中，由f (x )＝f (－x )，得x 3－2x ＝－x 3＋2x ，解得x ＝0或x ＝±2，满足题意，故选D.[基础题组练]1．函数y ＝1ln （x －1）的定义域为( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(1，2)∪(2，＋∞)D ．(1，2)∪[3，＋∞)解析：选C.由ln(x －1)≠0，得x －1>0且x －1≠1.由此解得x >1且x ≠2，即函数y ＝1ln （x －1）的定义域是(1，2)∪(2，＋∞)．2．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74 B.74C.43 D ．－43解析：选B.令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1， 所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，则满足f (a )≥2的实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)B ．(－1，0)C ．(－2，0)D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析：选D.因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，且f (a )≥2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，2－2a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，2a ＋2≥2，解得a ≤－1或a ≥0.故选D.4．已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x 的定义域为( ) A ．[0，1] B ．[0，2] C ．[1，2]D ．[1，3]解析：选A.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，8－2x ≥0，解得0≤x ≤1.故选A.5．(2019·湖南湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg （1－x ），x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎨⎧lg （1－x ），x <0，－2x ，x ≥0，所以f (－9)＝lg 10＝1，所以f (f (－9))＝f (1)＝－2.。
2020届高考数学一轮复习第二章函数2.1函数及其表示教师用书(PDF,含解析)
难度 易
考点
对数与对数函数 指数的指数函数
考向
解题方法
利用指数函数、对数函数的 直接法
性质比较大小
中
函数图象的识辨
函数图象的识辨
数形结合法
由函数零点求参数
中
函数图象
的取值范围
数形结合法
Hale Waihona Puke 由函数零点求参数难
函数图象
的取值范围
数形结合法
难
函数的综合应用
函数的定义域、单调性
定义法
函数的奇偶性与周
中
函数的定义域
第二章
函数
真题多维细目表
考题
涉分
２０１９ 课标全国Ⅰꎬ３ ５ 分
２０１９ 课标全国Ⅰꎬ５ ５ 分
２０１８ 课标全国Ⅰꎬ９ ５ 分
２０１７ 山东ꎬ１０
５分
２０１７ 山东ꎬ１５
５分
２０１６ 山东ꎬ９
５分
２０１６ 山东ꎬ１５
５分
２０１５ 山东ꎬ１０
５分
２０１５ 山东ꎬ１４
５分
题型 选择题
选择题
选择题
选择题 填空题 选择题 填空题 选择题 填空题
１.已知函数解析式ꎬ函数的定义域是使解析式有意义的自
变量的取值范围ꎬ只需要解不等式( 组) 即可.
２.对于复合函数的定义域问题ꎬ若已知 ｆ( ｘ) 的定义域为[ ａꎬ
ｂ]ꎬ其复合函数 ｆ(ｇ(ｘ))的定义域应由不等式 ａ≤ｇ(ｘ)≤ｂ 解出.
３.实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外ꎬ还应使
体ꎬ结合不等式、 方程考查 函数的 定 义 域、解析式、基本性质等. ２.对分 段 函 数 的 考 查 主 要 考 分 段 函 数 求 值、解与分段函数有关的方程或不等式. ３.幂、指、对函数性质的考查主要是单调性 与奇偶性相结合解决求值、大小比较ꎬ也 可能 与 周 期 性、 对 称 性 等 在 同 一 题 中 出现. ４. 对函数图 象 的 考 查 主 要 有 两 种 形 式: 一 种是识图ꎬ即给出函数解析式识辨图象ꎻ 二是用图ꎬ 即 利 用 函 数 图 象 求 与 零 点 相 关的问题.
2020年高考理科数学一轮总复习：函数及其表示
2020年高考理科数学一轮总复习：函数及其表示第1讲 函数及其表示1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．导师提醒1．树立定义域优先意识函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则． 2．关注两个易错点(1)判断两个函数是否相同，抓住两点：①定义域是否相同；②对应关系是否相同，其中解析式可以化简，但要注意化简过程的等价性．(2)分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数．一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内，各段函数的定义域不可以相交．3．熟记几种常见函数的定义域(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合． (2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合． (4)若f(x)＝x 0，则定义域为{x|x ≠0}． (5)指数函数的底数大于0且不等于1.(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠k π＋π2，k ∈Z .判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |，则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√(教材习题改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案：B下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B.对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.(教材习题改编)函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥06－x ＞0，即－3≤x ＜6.答案：[－3，6)已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2.答案：2若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，5－x 2，x ＞1，则f (f (2))＝________． 解析：由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1，所以f (f (2))＝1. 答案：1函数的定义域(多维探究) 角度一 求函数的定义域(1)(一题多解)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2，3)B ．(2，4]C ．(2，3)∪(3，4]D ．(－1，3)∪(3，6](2)已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域为( ) A ．(－2，0) B ．(－2，2) C ．(0，2)D. ⎝⎛⎭⎫－12，0 【解析】 (1)法一：由函数y ＝f (x )的表达式可知，函数f (x )的定义域应满足条件： 4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3＞0，解得－4≤x ≤4，x ＞2，x ≠3，即函数f (x )的定义域为(2，3)∪(3，4]．法二(特值验证)：易知x ＝3时函数无意义排除B ，x ＝5时4－|x |无意义，排除D ，若令x ＝4，知函数式有意义，故排除A ，选C.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x 2＜1，－1＜x －1＜1，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜2，0＜x ＜2，所以0＜x ＜2，所以函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域为(0，2)，故选C. 【答案】 (1)C (2)C角度二 已知函数的定义域求参数 (1)若函数y ＝ax ＋1ax 2－4ax ＋2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12B.⎝⎛⎭⎫0，12C.⎣⎡⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫0，12 (2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 【解析】 (1)由ax 2－4ax ＋2＞0恒成立，得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝（－4a ）2－4×a ×2＜0，解得0≤a ＜12. (2)因为函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，f （1）＝0，f （2）＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32b ＝－3，所以a ＋b ＝－92.【答案】 (1)D (2)－92函数定义域的求解策略(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a ＜g (x )＜b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得y ＝f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解． [提醒] (1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简． (2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．1．函数f (x )＝1ln （x ＋1）＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，ln （x ＋1）≠0，4－x 2≥0，得－1＜x ≤2，且x ≠0.2．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案：[－1，2]3．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，所以mx 2＋4mx ＋3≠0，所以m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16m 2－12m ＜0，即m ＝0或0＜m ＜34，所以实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，34. 答案：⎣⎡⎭⎫0，34求函数的解析式(师生共研)(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式； (4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．【解】 (1)(配凑法)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2(x ≠0)，且x 2＋1x 2≥2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.(2)(换元法)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x ＞0，所以t ＞1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1，x ＞1. (3)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R .(4)(解方程组法)由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ， ②①×2－②，得，3f (x )＝2x ＋1－2－x .即f (x )＝2x ＋1－2－x3.所以f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3，x ∈R .求函数解析式的4种方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围．1．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， 所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等实根， 所以Δ＝4－4c ＝0， 解得c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.2．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．解：法一(换元法)：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.法二(配凑法)：因为x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， 所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，x ＋1≥1， 即f (x )＝x 2－1，x ≥1.分段函数(多维探究) 角度一 分段函数求值(1)(2019·益阳市、湘潭市联考)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg （1－x ），x ＜0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________．(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3 （x ≥9），f （f （x ＋4））（x ＜9），则f (7)＝________．【解析】 (1)因为函数f (x )＝⎩⎨⎧lg （1－x ），x ＜0，－2x ，x ≥0，所以f (－9)＝lg 10＝1，所以f (f (－9))＝f (1)＝－2. (2)因为7＜9，所以f (7)＝f (f (7＋4))＝f (f (11))＝f (11－3)＝f (8)． 又因为8＜9，所以f (8)＝f (f (12))＝f (9)＝9－3＝6. 即f (7)＝6.【答案】 (1)－2 (2)6 角度二 已知函数值求参数已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x ＞1，且f (a )＝－3，则a ＝________．【解析】 由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x ＞0，所以2a －1＝－1无解；②若a ＞1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＋1＝8，a ＝7.【答案】 7角度三 与分段函数有关的方程、不等式问题(1)(一题多解)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤01， x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)【解析】 (1)法一：当0＜a ＜1时，a ＋1＞1， 所以f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2a ， 所以a ＝14.此时f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1＞1，所以f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6，故选C.法二：因为当0＜x ＜1时，f (x )＝x ，为增函数， 当x ≥1时，f (x )＝2(x －1)，为增函数， 又f (a )＝f (a ＋1)， 所以a ＝2(a ＋1－1)， 所以a ＝14.所以f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝6.(2)法一：①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x ，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1，0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D.法二：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)＜f (2x )． 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)． 故选D.【答案】 (1)C (2)D分段函数问题的求解思路(1)根据分段函数解析式，求函数值的解题思路先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)已知分段函数的函数值，求参数值的解题思路先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，构造关于参数的方程．然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(3)已知分段函数的函数值满足的不等式，求自变量取值范围的解题思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．1．(2019·浙江湖州模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x（x ≤0），log 3x （x ＞0），则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝( ) A ．－2 B ．－3 C ．9D ．－9解析：选C.因为f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：当a ＞0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，无实数解；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，满足条件．答案：－33．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－（x －1）2，x ＞0，则使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－（x －1）2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围是[－4，2]． 答案：[－4，2]分类讨论思想在分段函数中的应用(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．【解析】 当x >0时，f (x )＝2x>1恒成立，当x －12>0，即x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2 x －12>1，当x －12≤0，即0<x ≤12时，f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋12>12，则不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1恒成立．当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋x ＋12＝2x ＋32>1，所以－14<x ≤0.综上所述，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用．总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，亦即应用分类讨论思想解决．1．(2019·福州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x ＞0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A.当a ＞0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a ＞0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.故选A.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7（x ＜0），x （x ≥0），若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：选C.若a ＜0，则f (a )＜1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7＜1⇔⎝⎛⎭⎫12a＜8，解得a ＞－3，故－3＜a ＜0；若a ≥0，则f (a )＜1⇔a ＜1，解得a ＜1，故0≤a ＜1.综上可得－3＜a ＜1.故选C.[基础题组练]1．y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2，0)∪(1，2) B ．(－2，0]∪(1，2) C ．(－2，0)∪[1，2)D ．[－2，0]∪[1，2]解析：选C.要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2＞0，解得x ∈(－2，0)∪[1，2)，即函数的定义域是(－2，0)∪[1，2)． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝x B ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin 2x2cos x ，g (x )＝sin xD ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2解析：选D.A ，B ，C 的定义域不同，所以答案为D.3．(2019·合肥质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11解析：选C.因为f (1)＝12＋2＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C.4．(2019·甘肃张掖诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≥4，f（x ＋1），x ＜4，则f (1＋log 25)的值为( )A.14B.⎝⎛⎭⎫121＋log 25C.12D.120解析：选D.因为2＜log 25＜3，所以3＜1＋log 25＜4，则4＜2＋log 25＜5，则f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝⎛⎭⎫122＋log 25＝14×15＝120，故选D. 5．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A.令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a＝74. 6．已知函数f (x －1)＝xx ＋1，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x ＋1x ＋2B ．f (x )＝xx ＋1C ．f (x )＝x －1xD ．f (x )＝1x ＋2解析：选A.令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，所以f (t )＝t ＋1t ＋2，即f (x )＝x ＋1x ＋2.故选A.7．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D.当x ＜0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.8．(2019·安徽合肥质检)已知函数f (x )满足f (2x )＝2f (x )，且当1≤x ＜2时，f (x )＝x 2，则f (3)＝( )A.98 B.94 C.92D ．9解析：选C.因为f (2x )＝2f (x )，且当1≤x ＜2时，f (x )＝x 2，所以f (3)＝2f ⎝⎛⎭⎫32＝2×⎝⎛⎭⎫322＝92.9．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )＝________． 解析：设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 因为g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，所以g (x )＝3x 2－2x .答案：3x 2－2x10．(2019·安徽合肥质检)已知函数f (x )＝mx 2＋（m －3）x ＋1的值域是[0，＋∞)，则实数m 的取值范围是________．解析：当m ＝0时，函数f (x )＝－3x ＋1的值域是[0，＋∞)，显然成立；当m ＞0时，Δ＝(m －3)2－4m ≥0，解得0＜m ≤1或m ≥9.显然m ＜0时不合题意．综上可知，实数m 的取值范围是[0，1]∪[9，＋∞)．答案：[0，1]∪[9，＋∞)11．(2019·安徽合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．解析：用1x代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， 所以⎩⎨⎧3f （x ）＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1 ①，3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f （x ）＝3x ＋1 ②，①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．答案：f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)12．已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域为________． 解析：因为y ＝f (x ＋1)的定义域为[－2，3]， 所以－1≤x ＋1≤4.由－1≤2x －1≤4，得0≤x ≤52，即y ＝f (2x －1)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，52. 答案：⎣⎡⎦⎤0，52 [综合题组练]1．(创新型)具有性质f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①②解析：选A.对于①，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意； 对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选A.2．(创新型)设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )解析：选A.对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）>0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.3．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________．解析：由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1， 所以f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：74．(应用型)(2019·广东珠海质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f (x )的值域为R ，则必有y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，且1－2a ＋3a ≥0，所以1－2a ＞0，且a ≥－1，解得－1≤a ＜12.答案：[－1，12)。
2020届高考数学(理)一轮复习讲义 2.1 函数及其表示
§2.1函数及其表示1．函数的基本概念(1)函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域函数y＝f(x)，x∈A中，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．(3)确定一个函数的两个要素：定义域和对应法则．2．设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．映射f也可记为：f：A→B，x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)．3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法．4．函数的表示法(1)函数的常用表示方法：列表法、图象法、解析法．(2)分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型．提示(1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.(×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(×)(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(√)(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．(×)(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(×)题组二教材改编2．函数f(x)＝4－xx－1的定义域是________．答案(－∞，1)∪(1,4]3．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠4．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列各对应关系f 不能表示从P 到Q 的函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .答案 ③解析 对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，所以③不是从P 到Q 的函数．5．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝____________. 答案 x 2－1(x ≥0)解析 令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x <1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为___________．答案 (－∞，－2]∪[0,10]解析 ∵f (x )是分段函数，∴f (x )≥1应分段求解．当x <1时，f (x )≥1⇒(x ＋1)2≥1⇒x ≤－2或x ≥0，∴x ≤－2或0≤x <1.当x ≥1时，f (x )≥1⇒4－x －1≥1，即x －1≤3，∴1≤x ≤10.综上所述，x ≤－2或0≤x ≤10，即x ∈(－∞，－2]∪[0,10].题型一 函数的定义域命题点1 求函数的定义域例1 (1)(2018·江苏)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 {x |x ≥2}解析 由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2， 满足x >0，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．(2)函数f (x )＝1x ln x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4的定义域为________________．答案 [－4,0)∪(0,1) 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2>0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x <0或0<x <1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)．(3)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 020]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[－1,2 019]B ．[－1,1)∪(1,2 019]C ．[0,2 020]D ．[－1,1)∪(1,2 020]答案 B解析 使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 020，解得－1≤x ≤2 019，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 019]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 019，x －1≠0， 解得－1≤x <1或1<x ≤2 019.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 019]．引申探究本例(3)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 020]”，改为“函数f (x －1)的定义域为 [0,2 020]”，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________．答案 [－2,1)∪(1,2 018]解析 由函数f (x －1)的定义域为[0,2 020]， 得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 019]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 019，x ≠1， 则－2≤x ≤2 018且x ≠1. 所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 018]． 命题点2 已知定义域求参数的值或范围例2 (1)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.(2)设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析 函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a ,1＋a ]∩[－a ,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. 思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域； ②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域． (3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． 跟踪训练1 (1)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)答案 A解析 函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.(2)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 答案 (0,1]解析 函数的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1＋1x >0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－1，－1≤x ≤1，∴0<x ≤1.(3)记函数f (x )＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B .若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________________． 答案 (－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1解析 由已知得A ＝{x |x <－1或x ≥1}，B ＝{x |(x －a －1)(x －2a )<0}，由a <1得a ＋1>2a ，∴B ＝{x |2a <x <a ＋1}．∵B ⊆A ，∴a ＋1≤－1或2a ≥1，∴a ≤－2或12≤a <1.∴a 的取值范围为a ≤－2或12≤a <1.题型二 求函数的解析式1．若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1 答案 B解析 f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3．定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝________________. 答案 23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1)解析 当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 将x 换成－x ，则－x 换成x ，得 2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1)．思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．题型三 常见函数的值域求下列函数的值域： (1)y ＝3x 2－x ＋2，x ∈[1,3]； (2)y ＝3x ＋1x －2；(3)y ＝x ＋41－x ； (4)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12. 解 (1)(配方法)因为y ＝3x 2－x ＋2＝3⎝⎛⎭⎫x －162＋2312， 所以函数y ＝3x 2－x ＋2在[1,3]上单调递增． 当x ＝1时，原函数取得最小值4； 当x ＝3时，原函数取得最大值26.所以函数y ＝3x 2－x ＋2(x ∈[1,3])的值域为[4,26]． (2)(分离常数法)y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ≠3}．(3)(换元法)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)，所以y ≤5， 所以原函数的值域为(－∞，5]．(4)(均值不等式法) y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12，因为x >12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2，当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y ≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞.思维升华 配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用均值不等式求解．题型四 分段函数命题点1 求分段函数的函数值例3 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (2＋log 32)的值为________．答案154解析 ∵2＋log 31<2＋log 32<2＋log 33，即2<2＋log 32<3，∴f (2＋log 32)＝f (2＋log 32＋1)＝f (3＋log 32)，又3<3＋log 32<4，∴f (3＋log 32)＝33log 213⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝⎝⎛⎭⎫133×3log 213⎛⎫ ⎪⎝⎭＝127×3log 21(3)－＝127×3log 23－＝127×31log 23＝127×12＝154，∴f (2＋log 32)＝154. 命题点2 分段函数与方程、不等式问题例4 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝122或x ＝122-.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22. (2)已知函数f (x )＝13log ,02,0xx x x ⎧⎪⎨⎪⎩＞，≤，若f (a )>12，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，33解析 当a ≤0时，令2a >12，解得－1<a ≤0；当a >0时，令13log a >12，解得0<a <33.∴a ∈(－1,0]∪⎝⎛⎭⎫0，33，即a ∈⎝⎛⎭⎫－1，33. 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练2 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 答案 －34解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ， 解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得 －(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ， 解得a ＝－34，符合题意．综上，a ＝－34.(2)(2018·全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)答案 D解析 方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )即为2－(x ＋1)<2－2x ，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )即1<2－2x ，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D.方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)<f (2x )转化为x ＋1>2x . 此时x ≤－1.当2x <0且x ＋1>0时，f (2x )>1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)<f (2x )． 此时－1<x <0.综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)． 故选D.1．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是()答案 C解析 A 选项中的值域不满足，B 选项中的定义域不满足，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确．2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝x B ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin 2x2cos x ，g (x )＝sin xD ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 答案 D解析 A ，B ，C 的定义域不同，所以答案为D. 3．函数f (x )＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( ) A ．(2，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(2,3) D ．(2,3)∪(3，＋∞)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3x －x 2>0，解得2<x <3，则该函数的定义域为(2,3)，故选C.4．(2018·营口联考)若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[1,2] C ．[10,100] D ．[0，lg 2] 答案 C解析 因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应关系，所以1≤lg x ≤2，故10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．故选C.5．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74 B.74 C.43 D ．－43答案 B解析 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1， 所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.6.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图象，只有选项A 符合条件． 7．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x1＋x 2(x ≠－1) B ．f (x )＝－2x1＋x 2(x ≠－1) C ．f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)D ．f (x )＝－x1＋x 2(x ≠－1) 答案 C解析 令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝(1＋t )2－(1－t )2(1＋t )2＋(1－t )2＝2t1＋t 2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)，故选C. 8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋t )，x <0，3(t －1)x ，x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫12＝6，则f (f (－2))的值为( ) A ．27 B ．243 C.127 D.1243答案 B解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫12＝3×12(1)t －＝6，∴t ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋5)，x <0，3×4x ，x ≥0，∴f (－2)＝log 2[(－2)2＋5]＝log 29>0， f (f (－2))＝f (log 29)＝3×2log 94＝3×22log 92＝3×22log 92＝3×81＝243.故选B.9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 答案 2x ＋7解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝ax ＋5a ＋b ，所以ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17对任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7.10．函数y ＝x 2x 2－x ＋1的值域是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，43 解析 若x ＝0，则y ＝0；若x ≠0，则y ＝1⎝⎛⎭⎫1x 2－⎝⎛⎭⎫1x ＋1＝1⎝⎛⎭⎫1x －122＋34∈⎝⎛⎦⎤0，43. 故所求值域为⎣⎡⎦⎤0，43. 11．(2018·呼和浩特模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2x ，x >0，x 2－x －1，x ≤0，则不等式f (x )≤5的解集为________． 答案 [－2,4]解析 由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2x ，x >0，x 2－x －1，x ≤0，当x >0时，令3＋log 2x ≤5， 即log 2x ≤2＝log 24，解得0<x ≤4； 当x ≤0时，令x 2－x －1≤5， 即(x －3)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤3，∴－2≤x ≤0.∴不等式f (x )≤5的解集为[－2,4]．12．定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________． 答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]； 当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0，若f (f (－2))>f (t )，则实数t 的取值范围是____________．答案 (－4,4)解析 f (－2)＝4，f (4)＝8，不等式f (f (－2))>f (t )可化为f (t )<8.当t <0时，－2t <8，得－4<t <0；当t ≥0时，t 2－2t <8，即(t －1)2<9，得0≤t <4.综上所述，t 的取值范围是(－4,4)．14．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称f (x )为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是____________．(填序号)答案 ①③解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足； 对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足． 综上，满足“倒负”变换的函数是①③.15．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ()1＋x ＋f ()1－x ＝4成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫38＋…＋f ⎝⎛⎭⎫158＝________.答案 30解析 由f ()1＋x ＋f ()1－x ＝4，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫158＝4，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫148＝4， …，f ⎝⎛⎭⎫78＋f ⎝⎛⎭⎫98＝4，又f ⎝⎛⎭⎫88＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫38＋…＋f ⎝⎛⎭⎫158 ＝4×7＋2＝30.16.如图为一木制框架，框架的下部是边长分别为x ，y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4 m 2，设用x 表示y 的表达式为f (x )，则f (x )＝______________.答案 4x －x 4(0<x <4) 解析 由已知x ·y ＋12·x ·12x ＝4， ∴y ＝4x －14x ，即f (x )＝4x －x 4. 又⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，4x －x 4>0，得0<x <4.。
2020高考理科数学一轮复习 第二章 1 第1讲 函数及其表示
第二章 函数概念与基本初等函数
[提醒] (1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简． (2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．
第二章 函数概念与基本初等函数
1．函数 f(x)＝ln（x1＋1）＋ 4－x2的定义域为(
)
A．[－2，0)∪(0，2] B．(－1，0)∪(0，2]
C．[－2，2]
集合 B 的一个函数
A 到集合 B 的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
f：A→B
2. 函数的有关概念
第二章 函数概念与基本初等函数
(1)函数的定义域、值域
在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做
函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的
集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合 B 的子集． (2)函数的三要素：__定__义__域__、___值__域___和__对__应__关__系___．
(3)相等函数：如果两个函数的__定__义__域__和__对__应__关__系___完全一
致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
第二章 函数概念与基本初等函数
3．分段函数 若函数在其定义域的___不__同___子集上，因对应关系不同而分别 用几个__不__同__的__式__子____来表示，这种函数称为分段函数． [注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的 定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
D．(－1，2]
x＋1＞0， 解析：选 B.由ln（x＋1）≠0，得－1＜x≤2，且 x≠0.
4－x2≥0，
第二章 函数概念与基本初等函数
2020版高考数学一轮总复习第二单元函数课时1函数及其表示教案文(含解析)新人教A版
函数及其表示1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．知识梳理1．函数的概念(1)给定两个非空的数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中任何一个数x，在B中都有唯一确定的数y与之对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，此时的x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合C ＝{f(x)|x∈A}叫做函数的值域且C B.(2)函数有三个要素：定义域、值域和对应关系.2．函数的表示列表法：用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法．图象法：用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图象法．解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来，这种方法称为解析法．3．分段函数分段函数的定义：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数称为分段函数．4．映射的概念如果两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素，B 中总有唯一确定的元素y与之对应，就称这种对应是从集合A到集合B的映射．1．函数是一种特殊的映射，映射不一定是函数．从A到B的映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.热身练习 1．考察下列图象：其中能够作为函数图象的是 A ，B ，C .抓住函数的定义进行判断．对每一个x ，都有唯一确定的y 与之对应才构成函数关系，表现在图象上为在定义域范围内与x 轴垂直的直线与图象有且只有1个交点，由此可知，A ，B ，C 都能作为函数图象，D 不能作为函数图象．2．(经典真题)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝ －2 .由f (x )＝ax 3－2x 可得f (－1)＝－a ＋2＝4，所以a ＝－2.3．下列函数中，f (x )与g (x )表示同一函数是(D) A ．f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1 B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2C ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2A 的定义域不同，B 的值域不同，C 的对应法则不同，只有D 的定义域、值域、对应法则都相同．4．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x，x <0，则f [f (－2)]＝(C)A ．－1 B.14C.12D.32因为－2＜0，所以f (－2)＝2－2＝14＞0，所以f (14)＝1－14＝1－12＝12. 5．已知函数满足f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值为(B) A ．－2 B ．6 C ．1 D ．0(方法一)令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，所以f (t )＝(t ＋1)2－3， 所以f (2)＝(2＋1)2－3＝6.(方法二)f (x －1)＝(x －1)2＋2(x －1)－2，所以f (x )＝x 2＋2x －2，所以f (2)＝22＋2×2－2＝6. (方法三)令x －1＝2，则x ＝3，所以f (2)＝32－3＝6.求函数的定义域(1)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)(2)设函数f (x )＝ln 1＋x 1－x ，则函数g (x )＝f (x 2)＋f (1x)的定义域为____________．(1)要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，x ＋1>0，解得x >－1且x ≠1.故函数f (x )的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)． (2)要使f (x )＝ln 1＋x 1－x 有意义，则1＋x1－x >0，所以－1<x <1.则函数g (x )＝f (x 2)＋f (1x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧－1<x2<1，－1<1x <1，所以x ∈(－2，－1)∪(1,2)．(1)C (2)(－2，－1)∪(1,2)求定义域的基本方法：①若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集；②已知函数f (x )的定义域为D ，则f [g (x )]的定义域为满足g (x )∈D 的x 的取值范围．1．(1)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是(D) A ．[－3,1] B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)(2018·重庆模拟)已知函数f (x )的定义域为[－1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (－x )的定义域是(A)A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－1,2]D ．(－2,1](1)要使函数有意义，只需x 2＋2x －3>0， 即(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1. 故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)． (2)因为f (x )的定义域为[－1,2]，要使函数y ＝f (x )＋f (－x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，－1≤－x ≤2，解得－1≤x ≤1.所以y ＝f (x )＋f (－x )的定义域为[－1,1]．求函数的解析式(1)(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x－a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.(2)已知f (1x ＋1)＝x 2＋1x 2＋3x，则f (x )＝___________________________.(1)先利用函数解析式将f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2的左边表示出来，再化简右边，然后利用多项式相等的条件求解即可．因为f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1， 所以f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2) ＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2. 由此可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－3，a 2＋2ab ＝0，a 3＋3a 2＝a 2b .①②③因为a ≠0，所以由②得a ＝－2b ， 代入①式得b ＝1，a ＝－2.(2)令t ＝1x ＋1，则x ＝1t －1(t ≠1)，于是f (t )＝1t －12＋11t －12＋31t －1＝1＋(t －1)2＋3(t －1)＝t 2＋t －1(t ≠1)．所以f (x )＝x 2＋x －1(x ≠1)．(1)－2 1 (2)x 2＋x －1(x ≠1) 求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法：若已知函数类型(如一次函数、二次函数、反比例函数及其他所有形式已知的函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x ＋1)＝ x 2＋2x (x ≥0) .(2)已知函数f (x )是一次函数，且f (8)＝15，f (14)，f (5)，f (2)成等比数列，则f (x )＝ 2x －1 .(1)设u ＝x ＋1≥1，则x ＝(u －1)2，所以f (u )＝(u －1)2＋2(u －1)＝u 2－1， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x (x ≥0)． (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 由f (8)＝15，得8a ＋b ＝15，① 又f (14)，f (5)，f (2)成等比数列， 所以[f (5)]2＝f (2)·f (14)， 得(5a ＋b )2＝(14a ＋b )(2a ＋b a 2＋6ab ＝0.因为a ≠0，所以a ＝－2b ，②由①②得a ＝2，b ＝－1，所以f (x )＝2x －1.分段函数(2017·山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，x －，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f (1a)＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8先由f (a )＝f (a ＋1)求出a ，再求f (1a)．求f (a )和f (a ＋1)时，将a ，a ＋1代入分段函数的哪一个表达式中？这就必须依据分段函数的定义域对a 进行分类讨论．若0<a <1，a ＋1>1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，所以a ＝14，所以f (1a)＝f (4)＝2×(4－1)＝6.若a ≥1，a ＋1>1，由f (a )＝f (a ＋1)得 2(a －1)＝2(a ＋1－1)，此方程无解． 综上，f (1a)＝6.C(1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则． (2)在求分段函数的值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式，自变量的值不确定时，要分类讨论．3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1， x ＞0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是(D)A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)(方法一：利用分段函数分段求解)①当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )，即为2－(x ＋1)＜2－2x，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )，即1＜2－2x，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． (方法二：借助函数图象求解)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1， x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数， 故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1. 当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)＜f (2x )．此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．1．函数的定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，都必须在定义域上进行，求函数的定义域，主要掌握以下两种类型：(1)由解析式给出的函数，根据其定义域求出使函数有意义的自变量的取值范围．其主要依据是：①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数不小于0； ③对数的真数大于0；④指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1.(2)复合函数f [g (x )]的定义域：若f (x )的定义域为D ，则满足g (x )∈D 的x 的集合是f [g (x )]的定义域．2．求函数的解析式主要掌握如下两种方法：(1)给出函数的特征，求函数的解析式，可用待定系数法，如函数是二次函数，可设函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．(2)换元法求解析式，已知f[h(x)]＝g(x)，求f(x)的问题，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元求解．但用换元法时，要注意新元的范围．3．分段函数问题要分段求解．如求分段函数f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后代入相应的关系，当不能确定时，要注意分类讨论．。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《函数及其表示》含答案
第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示知识点一函数与映射的概念1．函数的定义一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x ∈A.2．映射的定义设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(B)A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x ＋1D ．y ＝x 2＋1解析：对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数．2．(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( B )解析：A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0,2]．知识点二 函数的三要素及表示方法1．函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．2．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．3．表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( C )A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2.4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝12.解析：f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12. 知识点三 分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．5．(2019·陕西质量检测)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝|x |sgn x 的图象大致是( C )解析：由符号函数解析式和绝对值运算，可得f (x )＝x ，故选C. 6．函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，|x ＋12|，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为22.解析：因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，|x ＋12|，－2<x ≤0，所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f (12)＝cos π4＝22.1．函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射． 直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图象有0个或1个交点． 2．函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则．3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的思想解决分段函数问题．考向一函数的概念【例1】(1)下列所给图象是函数图象的个数为()A．1 B．2C．3 D．4(2)给出下列命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝x－3＋2－x是一个函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝lg x2与g(x)＝2lg x是同一函数．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】(1)①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．(2)由函数的定义知①正确．因为满足f (x )＝x －3＋2－x 的x 不存在，所以②不正确．又因为y ＝2x (x ∈N )的图象是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点，所以③不正确．又因为f (x )与g (x )的定义域不同，所以④也不正确．【答案】 (1)B (2)A(1)映射只要求第一个集合A 中的每个元素在第二个集合B 中有且只有一个元素与之对应；至于B 中的元素有无原象、有几个原象却无所谓.(2)函数是特殊的映射：当映射f ：A →B 中的A ，B 为非空数集时，即成为函数.(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时游刃有余.有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)，－1 (x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是②③.解析：对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)，－1 (x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1.综上可知，正确的判断是②③. 考向二 函数的定义域【例2】 (1)函数f (x )＝1x ln x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)B ．(－4,0)∪(0,1)C ．[－4,0)∪(0,1)D ．[－4,0)∪(0,1](2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[－1,2 017]B ．[－1,1)∪(1,2 017]C ．[0,2 018]D ．[－1,1)∪(1,2 018]【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2>0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x <0或0<x <1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)，故选C.(2)使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1,2 017]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017，x －1≠0，解得－1≤x <1或1<x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]．【答案】 (1)C (2)B本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0，2 018]”改为“函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]”，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为[－2,1)∪(1,2_016]．解析：由函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]． 得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 017]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 017，x ≠1，则－2≤x ≤2 016且x ≠1.所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]．(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍.(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域.(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解.(1)已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝的定义域为( B )A ．[32，＋∞) B ．[32，2) C ．(32，＋∞)D ．[12，2)(2)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( D )A ．(0，34] B ．(0，34) C ．[0，34]D ．[0，34)(2)要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立． ①当m ＝0时，得到不等式3≠0，恒成立； ②当m ≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(4m )2－4×m ×3<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，m (4m －3)<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m (4m －3)<0.解得0<m <34. 由①②得0≤m <34.故选D. 考向三 函数的解析式【例3】 (1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1B ．2x －1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1(2)已知f (2x －1)＝3－4x ，则f (x )＝________.(3)若函数f (x )对任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝________.【解析】 (1)f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b ，又f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2.即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1.则f (x )＝x ＋1.故选A.(2)法1：(换元法)设t ＝2x －1，则x ＝t ＋12，代入原函数得，f (t )＝3－4×t ＋12＝1－2t ，则f (x )＝1－2x .法2：(配凑法)因为f (2x －1)＝3－4x ＝1＋2(1－2x )＝1－2(2x －1)，所以f (x )＝1－2x .(3)因为2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，所以2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1，则3f (x )＝3x ＋3，所以f (x )＝x ＋1.【答案】 (1)A (2)1－2x (3)x ＋1求函数解析式常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x ＋1)．(2)(2019·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．解析：(1)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x ＋1)．(2)用1x 代替3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x＋1， ①3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)． 考向四 分段函数方向1 求值问题【例4】 (2019·石家庄市模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( ) A ．－2 B ．2 C ．3D ．－3【解析】 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5 ①， f (－1)＝a －1＋b ＝3 ②，联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，x >0，(12)x＋1，x ≤0，则f (－3)＝(12)－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2，故选B.【答案】 B方向2 求参数的取值范围【例5】 (2019·福建福州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x，x >0，则满足f (x 2－2)>f (x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)【解析】 由题意，x >0时，f (x )递增，故f (x )>f (0)＝0，又x ≤0时，x ＝0，故若f (x 2－2)>f (x )，则x 2－2>x ，且x 2－2>0，解得x >2或x <－2，故选C.【答案】 C方向3 分段函数的最值问题【例6】 (2019·江西南昌一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x >1，若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,2)B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[1，＋∞)【解析】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x >1，若x >1，则f (x )＝x ＋1>2，易知y＝2|x －a |在(a ，＋∞)上递增，在(－∞，a )上递减，若a <1，则f (x )在x ＝a 处取得最小值，不符合题意；若a ≥1，则要使f (x )在x ＝1处取得最小值，只需2a －1≤2，解得a ≤2，∴1≤a ≤2.综上可得a 的取值范围是[1,2]．故选C.【答案】 C, (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值． ②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来． (3)分段函数的最值问题依据不同范围的单调性或图象求解．1．(方向1)(2019·福州高三模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( A )A ．－1516 B ．3 C ．－6364或3D ．－1516或3解析：当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.故选A.2．(方向2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤3，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．[－3，3]D ．(－∞，3]解析：令f (a )＝t ，则f (t )≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧t <0，t 2＋2t ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0，－t 2≤3，解得t ≥－3， 则f (a )≥－3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋2a ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－3，解得a ≤3，则实数a 的取值范围是(－∞，3]， 故选D.3．(方向3)(2019·北京西城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，－2≤x ≤c ，1x ，c <x ≤3.若c ＝0，则f (x )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则实数c的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.解析：若c ＝0，由二次函数的性质，可得x 2＋x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞；若f (x )值域为－14，2，∵x ＝－2时，x 2＋x ＝2且x ＝－12时，x 2＋x ＝－14，要使f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则⎩⎨⎧c >0，c 2＋c ≤2，1c ≤2，得12≤c ≤1，实数c 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.看穿取整函数取整函数是指不超过实数x的最大整数，称为x的整数部分，记作[x]或INT(x)，例如[－2.3]＝－3，[3.2]＝3，该函数被广泛应用于数论、绘图和计算机领域．最近几年，取整函数的相关问题在高考中常常以信息题的形式出现，成为高考的一个热点，主要考查取整函数的定义以及其运算性质，今天我们就通过一些例题来研究一下取整函数，希望同学们掌握好这类问题常用的处理方法．对于函数f(x)＝[x]，当0≤x<1时，[x]＝0；当1≤x<2时，[x]＝1；当2≤x<3时，[x]＝2；当3≤x<4时，[x]＝3；……所以函数f(x)＝[x]的图象如图所示：典例1 设[x ]表示不大于实数x 的最大整数，则对任意的实数x ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[x ＋12]＝[x ] C ．[2x ]＝2[x ]D ．[x ]＋[x ＋12]＝[2x ]【解析】 取特殊值进行判断，当x ＝1.1时，[－x ]＝－2，－[x ]＝－1，故A 错误；当x ＝－1.1时，[x ]＝－2，[x ＋12]＝[－0.6]＝－1，故B 错误；当x ＝1.9时，[2x ]＝3,2[x ]＝2，故C 错误．由排除法，故选D.【答案】 D【点评】 本题主要考查新定义问题的探究方法，借助取整函数的定义，取特殊值进行判断．典例2 已知x 为实数，[x ]表示不超过实数x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数【解析】当0≤x<1时，[x]＝0，f(x)＝x－[x]＝x－0＝x；当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x－[x]＝x－1；当2≤x<3时，[x]＝2，f(x)＝x－[x]＝x－2；当3≤x<4时，[x]＝3，f(x)＝x－[x]＝x－3；……当－1≤x<0时，[x]＝－1，f(x)＝x－[x]＝x＋1；当－2≤x<－1时，[x]＝－2，f(x)＝x－[x]＝x＋2；……所以可作出函数f(x)的图象如图所示．由图象可知，f(x)在R上为周期函数，故选D.【答案】 D已知f(x)＝[x[x]]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，若－32≤x≤32，则f(x)的值域为{0,1,2,3}．解析：当x ＝－32时，[－32]＝－2，[x [x ]]＝[－32×(－2)]＝3； 当－32<x <－1时，[x ]＝－2，[x [x ]]＝[－2x ]＝2；当x ＝－1时，[－1]＝－1，[x [x ]]＝[－1×(－1)]＝1； 当－1<x <0时，[x ]＝－1，[x [x ]]＝[－x ]＝0； 当x ＝0时，[0]＝0，[x [x ]]＝[0×0]＝0；当0<x <1时，[x ]＝0，[x [x ]]＝[0]＝0；当x ＝1时，[1]＝1，[x [x ]]＝[1×1]＝1；当1<x <32时，[x ]＝1，[x [x ]]＝[x ]＝1；当x ＝32时，[32]＝1，[x [x ]]＝[32×1]＝1.所以f (x )的值域为{0,1,2,3}．。
2020届高考数学一轮复习：教师用书第三章 函数、导数及其应用1
第三章⎪⎪⎪函数、导数及其应用第一节函数及其表示1．函数与映射的概念 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]1．(2018·台州模拟)下列四组函数中，表示相等函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝x 2B ．f (x )＝(x )2x ，g (x )＝x(x )2C ．f (x )＝1，g (x )＝(x －1)0D ．f (x )＝x 2－9x ＋3，g (x )＝x －3解析：选B 选项A 中，f (x )＝x 2与g (x )＝x 2的定义域相同，但对应关系不同；选项B 中，二者的定义域都为{x |x ＞0}，对应关系也相同；选项C 中，f (x )＝1的定义域为R ，g (x )＝(x －1)0的定义域为{x |x ≠1}；选项D 中，f (x )＝x 2－9x ＋3的定义域为{x |x ≠－3}，g (x )＝x －3的定义域为R .2．若函数y ＝f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤8，x ≠5}，值域为{y |－1≤y ≤2，y ≠0}，则y ＝f (x )的图象可能是( )解析：选B 根据函数的概念，任意一个x 只能有唯一的y 值和它对应，故排除C 项；由定义域为{x |－3≤x ≤8，x ≠5}排除A 、D 两项，故选B.3．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，5－x 2，x ＞1，则f (f (2))＝________. 解析：由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1， 所以f (f (2))＝1. 答案：15．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则f (2)＝________. 解析：∵函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝－a ＋2，∴a ＝－2，即f (x )＝－2x 3－2x ， ∴f (2)＝－2×23－2×2＝－20. 答案：－201．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]1．(2018·嘉兴模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，x 2＋x ，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝________，方程f (x )＝2的解为________．解析：f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫log 212＝f (－1)＝0. 当x ＞0时，log 2x ＝2，得x ＝4；当x ≤0时，x 2＋x ＝2，得x ＝－2或x ＝1(舍去)． 所以f (x )＝2的解为－2或4. 答案：0 －2或42．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________. 解析：令t ＝1x ， ∴x ＝1t .∴f (t )＝1t 2＋5t.∴f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．答案：5x ＋1x 2(x ≠0)考点一 函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2] 解析：选C 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －12x≥0，x ≠0，4－x 2＞0，解得x ∈(－2,0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．2．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3 ]，x 2－1∈[－1,2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2]3．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为________． 解析：若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ， 则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2， 即实数a 的取值范围为[－2,2]． 答案：[－2,2][谨记通法]函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 考点二 求函数的解析式(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )； (4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式． 解：(1)(配凑法)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.(2)(换元法)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x ＞0，所以t ＞1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1，x ＞1.(3)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R .(4)(解方程组法)由f (－x )＋2f (x )＝2x ，① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，②①×2－②，得，3f (x )＝2x ＋1－2－x .即f (x )＝2x ＋1－2－x3.所以f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3.[由题悟法]求函数解析式的4种方法[即时应用]1．已知函数f (x －1)＝xx ＋1，则函数f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x ＋1x ＋2B ．f (x )＝x x ＋1 C ．f (x )＝x －1xD ．f (x )＝1x ＋2解析：选A 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝t ＋1t ＋2，即f (x )＝x ＋1x ＋2.2．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )＝________. 解析：设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .答案：3x 2－2x3．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x .②联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x (x ≠0)．答案：2x －1x(x ≠0)考点三 分段函数(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小． 常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数与方程、不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的函数求值问题1．(2018·浙江五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x ，x ≥0，3x ，x ＜0，则f (－2)＋f (4)＝( )A.109 B.19 C ．87D.7309解析：选B 由题意可得，f (－2)＋f (4)＝3－2＋4－4＝19.角度二：分段函数与方程、不等式问题2．(2018·浙江考前冲刺卷)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ＜1，3x －7，x ≥1，则不等式f (x )＜2的解集为( )A ．(－3,2)B ．(－2,3)C ．(2,3)D ．(－3，－2)解析：选A 当x ＜1时，f (x )＜2可化为log 2(1－x )＜2，即0＜1－x ＜4，解得－3＜x ＜1；当x ≥1时，f (x )＜2可化为3x －7＜2，即3x ＜9，得1≤x ＜2.综上，不等式f (x )＜2的解集为(－3,2)．3．(2019·嘉兴高三基础测试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝________，若f (f (a ))＝1，则实数a 的值为________．解析：∵f ⎝⎛⎭⎫23＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝f (1)＝2.对f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3f (a )－1，f (a )＜1，2f (a )，f (a )≥1，当a ＜23时，f (a )＝3a －1＜1；当23≤a ＜1时，f (a )＝3a －1≥1；当a ≥1时，f (a )＝2a ≥2＞1，∴f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3(3a －1)－1，a ＜23，23a －1，23≤a ＜1，22a，a ≥1，由f (f (a ))＝1，得3(3a －1)－1＝1，∴a ＝59＜23，符合题意；23a －1＝1，a ＝13＜23，舍去；22a ＝1不成立，舍去．故所求实数a 的值为59.答案：259[通法在握]1．分段函数的求值问题的解题思路求分段函数的函数值先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．[演练冲关]1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1＋2x －2，x ≥0，f (x ＋3)，x ＜0，则f (－2 019)＝________.解析：因为当x ＜0时，f (x )＝f (x ＋3)，所以f (－2 019)＝f (－3×673)＝f (0)＝10＋1＋20－2＝0.答案：02．(2018·浙江十校联盟适考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a的值为________．解析：当a ＞0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，无解；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3.答案：－33．(2018·杭州七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，2x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (|a |)，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，－(x －1)2＋1，x ＜0，作出函数f (x )的大致图象如图所示，由图象可知，函数f (x )在R 上单调递增，由f (2－a 2)＞f (|a |)，得2－a 2＞|a |.当a ≥0时，有2－a 2＞a ，即(a ＋2)(a －1)＜0，解得－2＜a ＜1，所以0≤a ＜1；当a ＜0时，有2－a 2＞－a ，即(a －2)(a ＋1)＜0，解得－1＜a ＜2，所以－1＜a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围是(－1,1)．答案：(－1,1)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2019·杭州调研)函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是( ) A ．(2,3) B ．(2，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)解析：选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是(2,3)∪(3，＋∞)．2．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74B ．74C ．43D ．－43解析：选B 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.3．(2018·萧山质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11解析：选C ∵f (1)＝12＋2＝3，∴f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4. 4．已知f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫3x －1＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫－710＝________. 解析：令3x －1＝－710，得x ＝10，∴f ⎝⎛⎭⎫－710＝lg 10＝1. 答案：15．(2018·绍兴模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝________，方程f (f (x ))＝1的解集为____________．解析：∵f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12＜0， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝eln 12＝12. ∵x ＜0时，0＜e x ＜1，x ＝0时，e x ＝1， ∴当f (x )≤0时，由方程f (f (x ))＝1，可得f (x )＝0， 即ln x ＝0，解得x ＝1.当f (x )＞0时，由方程f (f (x ))＝1， 可得ln f (x )＝1，f (x )＝e ， 即ln x ＝e ，解得x ＝e e . 答案：12{1，e e }二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( )A ．－2B ．2C ．－2或2D ． 2解析：选B 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解．所以x 0＝2，故选B.2．(2019·台州模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.3．(2018·金华模拟)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]解析：选C 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x ＞2且x ≠3， ∴3＜x ≤4或2＜x ＜3， 即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．4．(2018·金华联考)若函数f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[0,2 018]B ．[0,1)∪(1,2 018]C ．(1,2 019]D ．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B 由题知，1≤x ＋1≤2 019，解得0≤x ≤2 018，又x ≠1，所以函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是[0,1)∪(1，2 018]．5．(2019·义乌质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f (x )的值域为R ，则必有y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，且1－2a ＋3a ≥0，所以1－2a ＞0，且a ≥－1，解得－1≤a ＜12，故选C. 6．(2018·湖州月考)定义在R 上的函数g (x )满足：g (x )＋2g (－x )＝e x ＋2e x －9，则g (x )＝________.解析：∵g (x )＋2g (－x )＝e x ＋2e x －9， ①∴g (－x )＋2g (x )＝e －x ＋2e －x－9， 即g (－x )＋2g (x )＝2e x ＋1e x －9，②由①②联立解得g (x )＝e x －3. 答案：e x －37．(2018·嘉兴高三测试)已知a 为实数，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x ＜2，log 2(x －2)，x ≥2，则f (2a ＋2)的值为________．解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x ＜2，log 2(x －2)，x ≥2，而2a ＋2＞2，∴f (2a ＋2)＝log 2(2a ＋2－2)＝a . 答案：a8．(2018·稽阳联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x ＋4x －a ，x ＞0，若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12＝12，则a ＝________；若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x ＋4x －a ，x ＞0，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋1＝12， 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋412－a ＝12＋8－a ＝12，得a ＝8. 由y ＝x ＋1，x ≤0，得y ≤1； 由y ＝x ＋4x －a ，x ＞0，得y ≥4－a ， ∵f (x )的值域为R ，∴4－a ≤1，解得a ≥3. 答案：8 [3，＋∞)9．记[x ]为不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[2.3]＝2，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2[x ]－1，x ≥1，x 2＋1，x ＜1，则f (f (－1.2))＝________，f (x )≤3的解集为________． 解析：根据[x ]的定义，得f (f (－1.2))＝f (2.44)＝2[2.44]－1＝3. 当x ≥1时，由f (x )＝2[x ]－1≤3， 得[x ]≤2，所以x ∈[1,3)； 当x ＜1时，由f (x )＝x 2＋1≤3，得－2≤x ＜1.故原不等式的解集为[－2，3)． 答案：3 [－2，3)10．如图，已知A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOC 的面积．解：(1)因为B (1,4)在反比例函数y ＝mx 上，所以m ＝4，又因为A (n ，－2)在反比例函数y ＝m x ＝4x 的图象上，所以n ＝－2，又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 上的点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.所以y ＝4x ，y ＝2x ＋2.(2)因为y ＝2x ＋2，令x ＝0，得y ＝2，所以C (0,2)，所以△AOC 的面积为：S ＝12×2×2＝2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D ．32或－34解析：选B 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B. 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )，x ＜0，－ln x ，x ＞0，若f (m )＞f (－m )，则实数m 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )，x ＜0，－ln x ，x ＞0，当m ＞0时，f (m )＞f (－m )，即－ln m ＞ln m ，即lnm ＜0，解得0＜m ＜1；当m ＜0时，f (m )＞f (－m )，即ln(－m )＞－ln(－m )， 即ln(－m )＞0，解得m ＜－1. 综上可得，m ＜－1或0＜m ＜1. 答案：(－∞，－1)∪(0,1)3．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，∴y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值[小题体验]1．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选B ①y ＝x 12在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，∴y ＝log12(x ＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，∴y ＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2．(2019·绍兴调研)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 解析：由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：33．(2018·丽水模拟)已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x ＞1，－x 2－2x ＋3，x ≤1，则f (f (3))＝________，f (x )的单调递减区间是________．解析：∵f (3)＝log 133＝－1，∴f (f (3))＝f (－1)＝－1＋2＋3＝4.当x ≤1时，f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 对称轴x ＝－1，f (x )在[－1,1]上单调递减，且f (1)＝0， 当x ＞1时，f (x )单调递减，且f (x )＜f (1)＝0， ∴f (x )在[－1，＋∞)上单调递减． 答案：4 [－1，＋∞)1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.3．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [小题纠偏]1．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．答案：[－1,1]，[5,7] 2．函数f (x )＝2x －1在[－6，－2]上的最大值是________，最小值是________． 解析：因为f (x )＝2x －1在[－6，－2]上是减函数，所以当x ＝－6时，f (x )取得最大值－27.当x ＝－2时，f (x )取得最小值－23.答案：－27 －23考点一 函数单调性的判断(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 解：法一：(定义法)设－1＜x 1＜x 2＜1，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1 ＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增． 法二：(导数法)f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2. 当a ＞0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(－1,1)上递减； 当a ＜0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1,1)上递增． 3．判断函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性．解：法一：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1).∵x 1＞－1，x 2＞－1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0， 又x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，即y 1－y 2＞0.∴y 1＞y 2， ∴函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减． 法二：y ＝x ＋2x ＋1＝1＋1x ＋1.∵y ＝x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数， ∴y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数，∴y ＝1＋1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 即函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减． [谨记通法]判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤 (1)定义法，其基本步骤： 取值作差(商)变形确定符号(与1的大小)得出结论(2)导数法，其基本步骤： 求导函数确定符号得出结论考点二 求函数的单调区间(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解：(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0. 画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2＞0，则x ＜1或x ＞2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．[由题悟法]确定函数的单调区间的3种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[即时应用]1．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12 B.⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选D 令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0,1]．因为g (t )＝⎝⎛⎭⎫12t 是减函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递减区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤12，1，即原函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤12，1. 2．(2018·温州十校联考)函数f (x )＝lg(9－x 2)的定义域为________；其单调递增区间为________．解析：对于函数f (x )＝lg(9－x 2)，令t ＝9－x 2＞0，解得－3＜x ＜3，可得函数的定义域为(－3,3)．令g (x )＝9－x 2，则函数f (x )＝lg(g (x ))，又函数g (x )在定义域内的增区间为(－3,0]． 所以函数f (x )＝lg(9－x 2)在定义域内的单调递增区间为(－3,0]． 答案：(－3,3) (－3,0]考点三 函数单调性的应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．[题点全练]角度一：求函数的值域或最值1．(2018·台州三区适应性考试)已知函数f (x )＝2x ＋ax 3＋b sin x (a ＞0，b ＞0)，若x ∈[0,1]时，f (x )的最大值为3，则x ∈[－1,0)时，f (x )的最小值是________．解析：因为函数f (x )＝2x ＋ax 3＋b sin x 在区间[－1,1]上为单调递增函数．所以当x ∈[0,1]时，f (x )的最大值为f (1)＝2＋a ·13＋b sin 1＝3，a ＋b sin 1＝1，当x ∈[－1,0)时，f (x )的最小值为f (－1)＝2－1＋a ·(－1)3＋b sin(－1)＝12－(a ＋b sin 1)＝－12.答案：－12角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c解析：选D 因f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52. 由x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∵1＜2＜52＜e ，∴f (2)＞f ⎝⎛⎭⎫52＞f (e)，∴b ＞a ＞c . 角度三：解函数不等式3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0. ∴－1＜x ＜0或0＜x ＜1.故选C.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫18，13 B.⎣⎡⎦⎤0，13C.⎝⎛⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎦⎤－∞，13 解析：选A 由题意知， ⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，(3a －1)×1＋4a ≥－a ，a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13，a ≥18，a ＞0，所以a ∈⎣⎡⎭⎫18，13，故选A.[通法在握]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)求函数最值(2)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[演练冲关]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)解析：选D 作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知，若f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)解析：选D ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.3．(2017·浙江名校高考联盟联考)若函数f (x )＝a |x ＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________，实数b 的取值范围是________．解析：当a ＞0时，函数f (x )＝a |x ＋b |－1在(－∞，－b ]上是减函数，在(－b ，＋∞)上是增函数，不满足函数f (x )＝a |x ＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数；当a ＝0时，f (x )＝－1，不满足函数f (x )＝a |x ＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数；当a ＜0时，函数f (x )＝a |x ＋b |－1在(－∞，－b ]上是增函数，在(－b ，＋∞)上是减函数，因为函数f (x )＝a |x ＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数，所以a ＜0且－b ≤1，即a ＜0且b ≥－1.答案：(－∞，0) [－1，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·珠海摸底)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2 xD ．y ＝－1x解析：选B 由题知，只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数．2．(2018·绍兴模拟)已知函数f (x )的图象关于(1,0)对称，当x ＞1时，f (x )＝log a (x －1)，且f (3)＝－1，若x 1＋x 2＜2，(x 1－1)(x 2－1)＜0，则( )A ．f (x 1)＋f (x 2)＜0B ．f (x 1)＋f (x 2)＞0C ．f (x 1)＋f (x 2)可能为0D ．f (x 1)＋f (x 2)可正可负解析：选B ∵当x ＞1时，f (x )＝log a (x －1)， f (3)＝log a 2＝－1，∴a ＝12，故函数f (x )在(1，＋∞)上为减函数， 若x 1＋x 2＜2，(x 1－1)(x 2－1)＜0， 不妨令x 1＜1，x 2＞1，则x 2＜2－x 1， f (x 2)＞f (2－x 1)，又∵函数f (x )的图象关于(1,0)对称， ∴f (x 1)＝－f (2－x 1)，此时f (x 1)＋f (x 2)＝－f (2－x 1)＋f (x 2)＞0，故选B.3．已知函数f (x )＝log 4(4－|x |)，则f (x )的单调递增区间是________；f (0)＋4f (2)＝________. 解析：令y ＝log 4u ，其中u ＝4－|x |，且u ＝4－|x |＞0，由于函数y ＝log 4u 是单调递增函数，故要求f (x )的单调递增区间，只需求u ＝4－|x |的单调递增区间，得⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |＞0，x ≤0，解得－4＜x ≤0，所以f (x )的单调递增区间是(－4,0]；易得f (0)＋4f (2)＝log 44＋4log 42＝1＋2＝3.答案：(－4,0] 34．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.答案：145．(2018·杭州十二校联考)设min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x ＜y ，若定义域为R 的函数f (x )，g (x )满足f (x )＋g (x )＝2xx 2＋8，则min{f (x )，g (x )}的最大值为____________．解析：设min{f (x )，g (x )}＝m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤f (x )，m ≤g (x )⇒2m ≤f (x )＋g (x )⇒m ≤xx 2＋8，显然当m 取到最大值时，x ＞0，∴x x 2＋8＝1x ＋8x ≤12 x ·8x＝28，∴m ≤28，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝g (x )，x ＝8x ，x ＞0时等号成立，即m 的最大值是28. 答案：28二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．2．(2018·浙江名校协作体联考)函数y ＝x ＋x 2－2x ＋3的值域为( ) A ．[1＋2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选D 因为函数y ＝x ＋x 2－2x ＋3＝x ＋(x －1)2＋2，所以当x ≥1时，函数为增函数，所以y ≥2＋1；当x ＜1时，设x －1＝t ，则t ＜0，函数y ＝t ＋t 2＋2＋1＝2t 2＋2－t＋1，所以函数在(－∞，0)上为增函数，当t →0时，y →2＋1，当t →－∞时，y →1，所以1＜y ＜2＋1.综上所述，函数y ＝x ＋x 2－2x ＋3的值域为(1，＋∞)．3．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x ＞1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a ＞0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，则二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减， 故有⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，0＜a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.5．(2018·湖州模拟)若f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，则下列不等式正确的是( ) A ．f (sin x )＞f (cos x ) B ．f ⎝⎛⎭⎫x 2＋12＞f (x ) C ．f ⎝⎛⎭⎫13x ＋1≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋1D ．f ⎝⎛⎭⎫13x ＋3－x ≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋2－x解析：选D A ．x ∈⎝⎛⎭⎫π4，1时，sin x ＞cos x ， ∵f (x )在(－1,1)上为减函数， ∴f (sin x )＜f (cos x )，∴该选项错误； B ．x ∈(－1,1)，∴x 2＋12－x ＝12(x －1)2＞0，∴x 2＋12＞x ，且f (x )在(－1,1)上单调递减，∴f ⎝⎛⎭⎫x 2＋12＜f (x )，∴该选项错误；C.13x ＋1－12x ＋1＝2x－3x(3x ＋1)(2x ＋1)＝3x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x －1(3x ＋1)(2x ＋1)，∵x ∈(－1,1)，∴x ∈(－1,0)时，⎝⎛⎭⎫23x＞1， ∴13x＋1＞12x ＋1，且f (x )在(－1,1)上为减函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫13x ＋1＜f ⎝⎛⎭⎫12x ＋1，∴该选项错误；D.13x ＋3－x －12x ＋2－x ＝3x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x －1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫16x (3x ＋3－x )(2x ＋2－x )， ∴①x ∈(－1,0]时，⎝⎛⎭⎫23x －1≥0,1－⎝⎛⎭⎫16x ≤0， ∴13x＋3－x ≤12x ＋2－x. ②x ∈(0,1)时，⎝⎛⎭⎫23x －1＜0,1－⎝⎛⎭⎫16x ＞0， ∴13x＋3－x ＜12x ＋2－x， ∴综上得，13x ＋3－x ≤12x ＋2－x ，∵f (x )为(－1,1)上的减函数，∴f ⎝⎛⎭⎫13x ＋3－x ≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋2－x ，∴该选项正确．6．(2019·金华四校联考)若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x ＜2.又∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎨⎧－a2≤2，a2≤0，∴－4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围是[－4,0]． 答案：[－4,0]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1.画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化． 而f (x )的值域是(－1，＋∞)， f (g (x ))的值域是[0，＋∞)， 因为g (x )是二次函数， 所以g (x )的值域是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)8．若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m ＞0，即m ＜14.若a ＞1，则函数f (x )在[－1,2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m ＜14矛盾；当0＜a＜1时，函数f (x )在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116.所以a ＝14.答案：149．(2018·杭州五校联考)函数y ＝f (x )的定义域为R ，若存在常数M ＞0，使得|f (x )|≥M |x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为“圆锥托底型”函数．(1)判断函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． (2)若f (x )＝x 2＋1是“圆锥托底型”函数，求出M 的最大值．解：(1)函数f (x )＝2x .∵|2x |＝2|x |≥2|x |，即对于一切实数x 使得|f (x )|≥2|x |成立， ∴函数f (x )＝2x 是“圆锥托底型”函数． 对于g (x )＝x 3，如果存在M ＞0满足|x 3|≥M |x |， 而当x ＝M2时，由⎪⎪⎪⎪ M 23≥M ⎪⎪⎪⎪M 2， ∴M2≥M ，得M ≤0，矛盾，∴g (x )＝x 3不是“圆锥托底型”函数．(2)∵f (x )＝x 2＋1是“圆锥托底型”函数，故存在M ＞0，使得|f (x )|＝|x 2＋1|≥M |x |对于任意实数恒成立．∴x ≠0时，M ≤⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |，此时当x ＝±1时，|x |＋1|x |取得最小值2， ∴M ≤2.而当x ＝0时，也成立． ∴M 的最大值等于2. 10．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ， 设0＜x 1＜x 2，则x 1x 2＞0，x 2－x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫a －1x 2－⎝⎛⎭⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立， 设h (x )＝2x ＋1x ，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立． 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1＜x 2， h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－1x 1x 2.因为1＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，所以2－1x 1x 2＞0， 所以h (x 1)＜h (x 2)，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 故a ≤h (1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知减函数f (x )的定义域是实数集R ，m ，n 都是实数．如果不等式f (m )－f (n )＞f (－m )－f (－n )成立，那么下列不等式成立的是( )A ．m －n ＜0B ．m －n ＞0C ．m ＋n ＜0D ．m ＋n ＞0解析：选A 设F (x )＝f (x )－f (－x )，由于f (x )是R 上的减函数，∴f (－x )是R 上的增函数，－f (－x )是R 上的减函数， ∴F (x )是R 上的减函数， ∴当m ＜n 时，有F (m )＞F (n )， 即f (m )－f (－m )＞f (n )－f (－n )成立．因此，当f (m )－f (n )＞f (－m )－f (－n )成立时，不等式m －n ＜0一定成立，故选A. 2．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )＞0，试确定a 的取值范围． 解：(1)由x ＋ax －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0，当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)； 当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}；当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2＞0恒成立，所以g (x )＝x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )＞0， 即x ＋ax －2＞1对任意x ∈[2，＋∞)恒成立． 所以a ＞3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a ＞2.即a 的取值范围为(2，＋∞)．第三节函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[小题体验]1．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x 2－1x ，则f (1)的值是( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A 因为函数f (x )为奇函数，所以f (1)＝－f (－1)＝－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－1(－1)＝－3，故选A.2．(2018·台州月考)偶函数y ＝f (x )在区间[0,4]上单调递减，则有( ) A ．f (－1)＞f ⎝⎛⎭⎫π3＞f (－π) B ．f ⎝⎛⎭⎫π3＞f (－1)＞f (－π) C ．f (－π)＞f (－1)＞f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．f (－1)＞f (－π)＞f ⎝⎛⎭⎫π3解析：选A 由题意得，0＜1＜π3＜π＜4⇒f (－1)＝f (1)＞f ⎝⎛⎭⎫π3＞f (π)＝f (－π)，故选A.3．(2018·金华模拟)已知函数y ＝f (x )为R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－3，则f (6)＝____________，f (f (0))＝________________.解析：∵当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－3， ∴f (6)＝log 2(6＋2)－3＝3－3＝0， f (0)＝1－3＝－2，∵函数y ＝f (x )为R 上的偶函数， ∴f (f (0))＝f (－2)＝f (2)＝2－3＝－1. 答案：0 －11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.2．(2018·宁波模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，a ，x ＝0，g (2x )，x ＜0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________.解析：由题意a ＝f (0)＝0，g (2x )＝f (x )， 所以g (－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－4， 所以f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－25. 答案：0 －25考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f (x )＝4－x 2x 2；(4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)． 解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x1＋x ≥0，所以－1＜x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法)当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )； 当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数． 法二：(图象法)作出函数f (x )的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x 2≠0，所以－2≤x ≤2且x ≠0，所以定义域关于原点对称． 又f (－x )＝4－(－x )2(－x )2＝4－x 2x 2，所以f (－x )＝f (x )．故函数f (x )为偶函数． (4)函数的定义域为R ， 因为f (－x )＋f (x )。
2020届高三文理科数学一轮复习《函数的奇偶性和周期性》专题汇编(教师版)
《函数的奇偶性和周期性》专题一、函数奇偶性相关知识点1．奇函数、偶函数的概念(1)图像关于原点对称的函数叫作奇函数．(2)图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．2．判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1) 定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2) 判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系：若f(－x)＝－f(x)，则这个函数是奇函数；若f(－x)＝f(x)，则这个函数是偶函数3．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．(3)如果奇函数y＝f(x)在原点有定义，则f(0)＝0.(4)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．二、函数周期性相关知识点1．周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．函数周期性的三个常用结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a.(a>0).(4)偶函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(－x＋a)，则T＝2a.(a>0).(5)奇函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(－x＋a)，则T＝4a.(a>0). 题型一函数的奇偶性1．判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝3－x2＋x2－3； (2)f(x)＝(1－x) 1＋x 1－x；(3)f(x)＝lg (1－x2)|x－2|－2； (4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋x，x<0，－x2＋x，x>0.解析： (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， ∴f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由1＋x 1－x≥0得－1≤x <1，所以f (x )的定义域为[－1,1)，所以函数f (x )是非奇非偶函数． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称． ∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg (1－x 2)－x. 又∵f (－x )＝lg [1－(－x )2]x ＝lg (1－x 2)x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数． (4)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．2．下列函数中为奇函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x 解析：A 是奇函数，B 是偶函数，C ，D 是非奇非偶函数．题型二：奇函数、偶函数性质的应用（1求函数解析式；2求参数值）1．已知函数f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为________；解析：当x <0时，－x >0.因为f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，所以f (x )＝f (－x )＝(－x )3＋(－x )＋1＝－x 3－x ＋1.2．已知f (x )＝2x ＋24x －1，若f (ln (a 2＋1＋a ))＝1，则f (ln (a 2＋1－a ))＝________； 解析：f (x )＋f (－x )＝2x ＋24x －1＋2－x ＋24－x －1＝2－2·4x4x －1＝－2， 而ln (a 2＋1＋a )＋ln (a 2＋1－a )＝ln 1＝0，因此f (ln (a 2＋1＋a ))＋f (ln (a 2＋1－a ))＝－2，f (ln (a 2＋1－a ))＝－2－1＝－3. 3．若函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋1e x ＋1为偶函数，则a ＝________.解析：令u (x )＝1－a 2＋1e x ＋1，根据函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋1e x ＋1为偶函数， 可知u (x )＝1－a 2＋1e x ＋1为奇函数，利用u (0)＝1－a 2＋1e 0＋1＝0，可得a 2＝1，所以a ＝1或a ＝－1. 4．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 3(x ＋1)＋a ，则f (－8)＝( )A ．－3－aB ．3＋aC ．－2D ．2解析：由题意得f (0)＝log 31＋a ＝0，所以a ＝0.所以当x ≥0时，f (x )＝log 3(x ＋1)， 又因为f (x )是奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2.5．设函数f (x )，g (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数 解析：对于A ，令h (x )＝f (x )g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，A 错误；对于B ，令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|·g (x )＝h (x )， ∴h (x )是偶函数，B 错误；对于C ，令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，∴h (x )是奇函数，C 正确；对于D ，令h (x )＝|f (x )g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|＝h (x )， ∴h (x )为偶函数，D 错误．6．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为________. 解析：设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0.故选B.7．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，则该函数的最大值为____ 解析：由函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，可得b ＝0，且－1－a ＋2a ＝0，解得a ＝1，所以函数f (x )＝x 2＋1，x ∈[－2,2]，故该函数的最大值为5. 题型三 函数的周期性1．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________解析：因为f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f (x )是周期为6的周期函数，所以f (919)＝f (6×153＋1)＝f (1)，又因为当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，且f (x )是偶函数，所以f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6.2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝1f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x ＋e x ，则f (2018)＝___解析：因为定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝1f (x )，所以f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )， 所以函数f (x )的周期为4.当x ∈[0,2)时，f (x )＝x ＋e x ，所以f (2018)＝f (504×4＋2)＝f (2)＝1f (0)＝10＋e 0＝1. 3．若f (x )是定义在R 上的周期为4的函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，cosπx ，1<x ≤2，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫293＝________. 解析：因为f (x )的周期为4，则f ⎝⎛⎭⎫293＝f ⎝⎛⎭⎫8＋53＝f ⎝⎛⎭⎫53＝cos 5π3＝cos π3＝12， 所以f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫293＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12×⎝⎛⎭⎫1－12＝14. 4．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________．解析：因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数， 且f (0)＝0，则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点有7个．5．已知奇函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，则( )A ．函数f (x )是以2为周期的周期函数B ．函数f (x )是以4为周期的周期函数C ．函数f (x ＋1)是奇函数D ．函数f (x ＋2)是偶函数解析：定义在R 上的函数f (x )是奇函数，则满足f (－x )＋f (x )＝0，即f (－x )＝－f (x )， 又由f (1－x )＝f (1＋x )，则f (x ＋2)＝f [1＋(x ＋1)]＝f [1－(x ＋1)]＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为4.选B题型四 函数性质（单调性、奇偶性、周期性）的综合应用1．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23 解析：A ，由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，且f (x )为偶函数，则由f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13得f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13，所以|2x －1|<13，所以－13<2x －1<13，解得13<x <23.故x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23. 2．已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________解析：因为f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且满足f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (1＋x )＝－f (x －1)，f (x ＋4)＝f (1－(x ＋3))＝f (－x －2)＝－f (x ＋2)＝－f (1－(x ＋1))＝－f (－x )＝f (x )．所以f (x )是周期为4的函数．因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)，因为f (3)＝－f (1)，f (4)＝－f (2)，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，因为f (2)＝f (2－4)＝f (－2)＝－f (2)，所以f (2)＝0，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＝2，3．定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f (x )＝log 12(1－x )， 则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32内是( ) A ．减函数且f (x )>0 B ．减函数且f (x )<0 C ．增函数且f (x )>0 D ．增函数且f (x )<0解析：D ，当x ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，－x ∈⎝⎛⎦⎤0，12.因为当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f (x )＝log 12(1－x )且f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 12(1＋x )，所以f (x )在⎣⎡⎭⎫－12，0上是增函数，当x ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，1＋x ∈⎣⎡⎭⎫12，1，所以log 12 (1＋x )∈(0,1]，－log 12(1＋x )∈[－1,0)．因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，所以函数f (x )的周期是32，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32上的图象与在区间⎝⎛⎭⎫－12，0上的图象相同，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32内是增函数且f (x )<0. 4．函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3.故选D.5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：D ，因为f (x －4)＝－f (x )，则f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝8，f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)，f (80)＝f (0)，又奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，所以f (－25)<f (80)<f (11)．《函数的奇偶性和周期性》课后作业1．已知R 上的奇函数f (x )满足：当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f [f (7)]＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：由题意得，f (7)＝－f (－7)＝－log 28＝－3，f [f (7)]＝f (－3)＝log 24＝2.2．已知f (x )为定义在R 上周期为2的奇函数，当－1≤x <0时，f (x )＝x (ax ＋1)，若f ⎝⎛⎭⎫52＝－1，则a ＝( )A ．6B ．4C ．－1425D ．－6 解析：A ，因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－f ⎝⎛⎭⎫－12＝－⎝⎛⎭⎫－12⎝⎛⎭⎫－12a ＋1＝－1，解得a ＝6.3．已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析： ∵y ＝f (x )＋x 是偶函数，∴f (－x )＋(－x )＝f (x )＋x ，∴f (－x )＝f (x )＋2x ，令x ＝2，则f (－2)＝f (2)＋4＝5，故选D.4．已知f (x )是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f (x －1)≤f (2x )的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，23B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C ．[－1,1] D.⎣⎡⎦⎤13，1 解析：∵f (x )是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数，∴－2b ＋1＋b ＝0，∴b ＝1，∵函数f (x )在[－2b,0]上为增函数，∴函数f (x )在[－2,0]上为增函数，故函数f (x )在[0,2]上为减函数，则由f (x －1)≤f (2x )，可得|x －1|≥|2x |，即(x －1)2≥4x 2，求得－1≤x ≤13，又因为⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －1≤2，－2≤2x ≤2，所以－1≤x ≤13. 故f (x －1)≤f (2x )的解集为⎣⎡⎦⎤－1，13. 5．已知f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2 解析：由题意得f (2 019)＝f (4×505－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－(21＋log 21)＝－2，故选D.6．函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x ，则当x ＞0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x解析：当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝2－x ，又f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝2－x ，即f (x )＝－2－x ，故选C ．7．已知函数f (x )＝2x2x －1＋a 为奇函数，则实数a ＝________. 解析：由题意知f (－1)＝－f (1)，即2－12－1－1＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1＋a ，解得a ＝－12，经检验，符合.8．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x ) C ．12(e －x －e x ) D ．12(e x －e －x ) 解析：由题知f (－x )＋g (－x )＝e －x ，又f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (x )－g (x )＝e －x ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－g (x )＝e －x ，f (x )＋g (x )＝e x ，得g (x )＝e x －e －x 2.故选D. 9．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝_____ 解析：根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3log 22＝－2.10．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋8(a ≠0)是偶函数，则g (x )＝2ax 3＋bx 2＋9x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数解析：选A.因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋8(a ≠0)是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即bx ＝－bx ，得b ＝0.所以g (x )＝2ax 3＋bx 2＋9x ＝2ax 3＋9x ，g (－x )＝2a (－x )3＋9(－x )＝－(2ax 2＋9x )＝－g (x )．所以g (x )为奇函数．故选A.11．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( )A ．(1，3)B ．(－1，1)C ．(－1，0)∪(1，3)D ．(－1，0)∪(0，1)解析：选C.f (x )的图象如图．当x ∈(－1，0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1，0)；当x ∈(0，1)时，由xf (x )>0得x ∈∅.当x ∈(1，3)时，由xf (x )>0得x ∈(1，3)．故x ∈(－1，0)∪(1，3)．12．已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________． 解析：因为f (x ＋2)＝－1f （x ），所以f (x ＋4)＝－1f （x ＋2）＝f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52， 又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝52，所以f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 13．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________． 解析： f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝x x 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43. 14．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，则g (f (－8))＝____ 解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1.15．设函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则f (x )<0的解集是( )A ．{x |－3<x <0或x >3}B ．{x |x <－3或0<x <3}C ．{x |x <－3或x >3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3}解析 ∵f (x )是奇函数，f (－3)＝0，∴f (－3)＝－f (3)＝0，解得f (3)＝0.∵函数f (x )在(0，＋∞)内是增函数，∴当0<x <3时，f (x )<0；当x >3时，f (x )>0.∵函数f (x )是奇函数，∴当－3<x <0时，f (x )>0；当x <－3时，f (x )<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <－3}．故选B.16．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫72＝__解析：由函数f (x )为偶函数可知f (－x ＋1)＝f [－(－x ＋1)]＝f (x －1)，即f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝f (x －1)，则f (x ＋2)＝f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫72－4＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12.17．已知f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln (1＋x )，则当x <0时，f (x )＝________.解析：当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln (1－x )，因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln (1－x )]，所以当x <0时，f (x )＝x 3－ln (1－x )．18．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋3)＝－1f (x )，当1<x ≤3时，f (x )＝cos πx 3，则f (2023)＝________.解析：由已知可得f (x ＋6)＝f ((x ＋3)＋3)＝－1f (x ＋3)＝－1－1f (x )＝f (x )， 故函数f (x )的周期为6.∴f (2023)＝f (6×337＋1)＝f (1)．∵f (x )为偶函数，∴f (1)＝f (－1)，而f (－1＋3)＝－1f (－1)， ∴f (1)＝f (－1)＝－1f (2)＝－1cos 2π3＝2.∴f (2023)＝2. 19．已知定义域为R 的奇函数f (x )，当x >0时，满足f (x )＝⎩⎨⎧ －log 2(7－2x )，0<x ≤32，f (x －3)，x >32，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝( )A ．log 25B ．－log 25C ．－2D ．0解析：由题意得f (1)＝－log 25，f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝log 25，f (3)＝f (0)＝0，f (4)＝f (1)，f (5)＝f (2)，f (6)＝f (3)，…，因为2020＝673×3＋1，所以f (2020)＝f (1)，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝[f (1)＋f (2)＋f (3)]×673＋f (1)＝f (1)＝－log 25.20．函数f (x )＝π2－sin x 3＋|x |的最大值是M ，最小值是m ，则f (M ＋m )的值等于( ) A ．0 B ．2π C ．π D.π2解析：设h (x )＝sin x 3＋|x |，则h (－x )＝－h (x )，所以h (x )是一个奇函数，所以函数h (x )的最大值和最小值的和是0，所以M ＋m ＝π，所以f (M ＋m )＝π2. 21．若f (x )＝ln (e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.解析：因为f (x )＝ln (e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以f (－x )＝ln (e －3x ＋1)－ax ＝ln ⎝⎛⎭⎫1e 3x ＋1－ax ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋e 3x e 3x －ax ＝ln (1＋e 3x )－3x －ax ＝ln (e 3x ＋1)＋ax ，所以－3－a ＝a ，解得a ＝－32. 22．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝1x 2C ．f (x )＝2x ＋2－xD ．f (x )＝－cos x 解析：对于A ，偶函数与单调递减均不满足；对于B ，符合题意；对于C ，不满足单调递减；对于D ，不满足单调递减．23．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54C ． 54D ．3 解析：由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.24．已知f (x )＝e x －e －x 2，则下列正确的是( ) A ．奇函数，在R 上为增函数 B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数解析：A ，定义域为R ，∵f (－x )＝e －x －e x 2＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，∵e x 是R 上的增函数，－e －x 也是R 上的增函数，∴e x －e －x 2是R 上的增函数． 25．f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝_____ 解析：因为f(x ＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T ＝4，又f(x)在R 上是奇函数，所以f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.26．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1) B ．f (1)<f (－2)<f (3) C ．f (－2)<f (1)<f (3) D ．f (3)<f (1)<f (－2) 解析：A ，由题意知f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)，又x ∈[0，＋∞)时，f (x )为减函数，且3>2>1，∴f (3)<f (2)<f (1)，即f (3)<f (－2)<f (1)．27．设函数f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝__解析：依题意得，f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋1＝32.] 28．已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f (x )f (x ). 若g (2)＝3，则g (－2)＝__________. 解析：由题意可得g (2)＝2＋f (2)f (2)＝3，则f (2)＝1，又f (x )是奇函数，则f (－2)＝－1，所以g (－2)＝2＋f (－2)f (－2)＝2－1－1＝－1. 29．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝__________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0.∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋0＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＝212－1＋20－1＝2－1.] 30．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (3)＝3，则f (2 019)的值为( )A ．3B ．0C ．－3D ．±3解析：因为g (－x )＝f (－x －1)，所以－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，所以f (x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (2 019)＝f (3)＝3.31．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上单调递减，则f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数解析：D ，根据题意，∵ f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝ f (x )，∴函数的周期是2；又f (x )在定义域R 上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，∴函数f (x )在[0,1]上是增函数，∴函数f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，∴f (x )在[1,3]上是先减后增的函数．32．已知f (x )是定义域(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)＞0，那么实数m 的取值范围是__________.解析：∵f (x )是定义域(－1,1)的奇函数，∴－1＜x ＜1，f (－x )＝－f (x )．∵f (x )是减函数，∴f (m －2)＋f (2m －3)＞0可转化为f (m －2)＞－f (2m －3)，∴f (m －2)＞f (－2m ＋3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜m －2＜1，－1＜2m －3＜1，m －2＜－2m ＋3∴1＜m ＜53. 33．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3)解析：D ，由偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，得f (x )＝f (|x |)，因为f (x －1)＞0，则f (|x －1|)＞f (2)，即|x －1|＜2，解得－1＜x ＜3，即x 的取值范围是(－1,3)．故选D.34．已知f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－∞，0) D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：A ，∵f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数， ∴f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a ＝0，解得a ＝－1，即f (x )＝lg 1＋x 1－x， 由f (x )＝lg 1＋x 1－x <0，得0<1＋x 1－x<1，解得－1<x <0，故选A. 35．定义在R 上的奇函数f (x )满足：f (x ＋1)＝f (x －1)，且当－1＜x ＜0时，f (x )＝2x －1，则f (log 220)等于( )A.14 B ．－14 C ．－15 D.15解析：D ，∵f (x ＋1)＝f (x －1)，∴函数f (x )是周期为2的周期函数，又∵log 232＞log 220＞log 216，∴4＜log 220＜5，∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝⎛⎭⎫log 254 ＝－f ⎝⎛⎭⎫－log 254.又∵x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x －1，∴f ⎝⎛⎭⎫－log 254＝－15，f (log 220)＝15.故选D. 36．已知函数f (x )＝2x －2－x ，则不等式f (2x ＋1)＋f (1)≥0的解集是________． 解析：根据题意，有f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，又函数f (x )在R 上为增函数，f (2x ＋1)＋f (1)≥0等价于f (2x ＋1)≥－f (1)，即f (2x ＋1)≥f (－1)，所以2x ＋1≥－1，解得x ≥－1，即不等式的解集为[－1，＋∞)．37．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判断f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式．解析：(1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )．又f (x )的定义域为R ，∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]，则f (x )＝f (－x )＝x ；从而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈(0，1)，－x ＋2，x ∈[1，2].。
2020年高考文科数学一轮总复习：函数及其表示
2020年高考文科数学一轮总复习：函数及其表示第1讲 函数及其表示1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．[注意] 函数图象的特征：与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( )(2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (5)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (教材习题改编)函数f (x )＝(x －2)0＋23x ＋1的定义域是( ) A.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，－13 C ．RD.⎝⎛⎭⎫－13，2∪(2，＋∞) 解析：选D.要使函数f (x )有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧x ≠2，3x ＋1>0，所以x >－13且x ≠2，所以函数f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎫－13，2∪(2，＋∞)．故选D. 下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B.对于A.函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B.定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C.函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．(教材习题改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋4），x ≥0，x （x －4），x <0，则f (1)＋f (－3)＝________．解析：f (1)＝1×5＝5，f (－3)＝－3×(－3－4)＝21，故f (1)＋f (－3)＝5＋21＝26. 答案：26若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________． 解析：因为x －4有意义，所以x －4≥0，即x ≥4. 又因为y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2， 所以y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. 所以其值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)求函数的定义域(师生共研)(1)(2019·重庆质量调研(一))函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是( )A ．(2，3)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(2，3)∪(3，＋∞)(2)如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2(3)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域为________．【解析】 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选D.(2)因为－2x ＋a >0，所以x <a 2，所以a2＝1，所以a ＝2.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x <1，即函数g (x )的定义域是[)0，1. 【答案】 (1)D (2)D (3)[)0，1[提醒] 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．1．(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f (x )＝4－4x ＋ln(x ＋4)的定义域为________．解析：要使函数f (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧4－4x≥0，x ＋4>0，解得－4＜x ≤1，即函数f (x )的定义域为(－4，1]．答案：(－4，1]2．若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0， 解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. 答案：[0，4]求函数的解析式(师生共研)(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，则f (x )的解析式为________． (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________．(3)若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为________． (4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，则f (x )的解析式为________． 【解析】 (1)(配凑法)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)(换元法)令2x ＋1＝t ，由于x >0，所以t >1且x ＝2t －1，所以f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3.所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3. (4)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ， 所以f (x )＝2x .【答案】 (1)f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2) (2)f (x )＝lg2x －1(x ＞1) (3)f (x )＝x 2－x ＋3 (4)f (x )＝2x求函数解析式的4种方法1．(一题多解)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝________． 解析：法一(换元法)：令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．法三(待定系数法)：因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 答案：x 2－5x ＋9(x ∈R )2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )的解析式为f (x )＝__________．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等的实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，c ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 答案：x 2＋2x ＋1分段函数(多维探究)角度一 求分段函数的函数值(1)(2019·合肥一检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11(2)(2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3【解析】 (1)因为f (1)＝12＋2＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C.(2)由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5 ①，f (－1)＝a －1＋b ＝3 ②，联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2，故选B. 【答案】 (1)C (2)B角度二 分段函数与方程、不等式问题(1)(2018·高考浙江卷改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x <2.则不等式f (x )<0的解集是____________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________．【解析】 (1)不等式f (x )<0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －4<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x 2－4x ＋3<0，即2≤x ＜4或1<x <2，故不等式f (x )<0的解集为(1，4)． (2)当a ≤1时，f (a )＝2a －2＝－3无解；当a >1时，由f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＋1＝8， 解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－2＝－32.【答案】 (1)(1，4) (2)－32分段函数问题的求解策略(1)分段函数的求值问题，首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．(2)对求含有参数的自变量的函数值，如果不能确定自变量的范围，那么应采取分类讨论．(3)解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2D ．－4解析：选B.由题意得f ⎝⎛⎭⎫43＝2×43＝83.f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝f ⎝⎛⎭⎫23＝2×23＝43. 所以f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝4.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝2的x 的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，4 B ．{1，4} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14，4解析：选A.由f (x )＝2得①⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝2，x ≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |＝2，x >0.由①知无解．由②得x ＝14或x ＝4.故选A.3．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤01， x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)解析：选D.当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0所以x <0，故选D.数学抽象——函数的新定义问题以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题．(2019·广东深圳3月模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ； ②g (x )＝x 3； ③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x；④φ(x )＝ln x .其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④ B ．①③④ C ．①④D ．④【解析】 对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ；对于函数h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.【答案】 C本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f (x )的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1，3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.由x 2＋1＝1得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个．2．(2019·石家庄第一次模拟)若定义在R 上的函数f (x )当且仅当存在有限个非零自变量x ，使得f (－x )＝f (x )，则称f (x )为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是( )A ．f (x )＝cos xB ．f (x )＝sin xC ．f (x )＝x 2－2xD ．f (x )＝x 3－2x解析：选D.A 中函数为偶函数，则在定义域内均满足f (x )＝f (－x )，不符合题意；B 中，当x ＝k π(k ∈Z )时，满足f (x )＝f (－x )，不符合题意；C 中，由f (x )＝f (－x )，得x 2－2x ＝x 2＋2x ，解得x ＝0，不符合题意；D 中，由f (x )＝f (－x )，得x 3－2x ＝－x 3＋2x ，解得x ＝0或x ＝±2，满足题意，故选D.[基础题组练]1．函数y ＝1ln （x －1）的定义域为( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(1，2)∪(2，＋∞)D ．(1，2)∪[3，＋∞)解析：选C.由ln(x －1)≠0，得x －1>0且x －1≠1.由此解得x >1且x ≠2，即函数y ＝1ln （x －1）的定义域是(1，2)∪(2，＋∞)．2．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74 B.74C.43 D ．－43解析：选B.令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1， 所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，则满足f (a )≥2的实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)B ．(－1，0)C ．(－2，0)D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析：选D.因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，且f (a )≥2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，2－2a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，2a ＋2≥2，解得a ≤－1或a ≥0.故选D.4．已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x 的定义域为( ) A ．[0，1] B ．[0，2] C ．[1，2]D ．[1，3]解析：选A.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，8－2x≥0，解得0≤x ≤1.故选A. 5．(2019·湖南湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg （1－x ），x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎨⎧lg （1－x ），x <0，－2x ，x ≥0，所以f (－9)＝lg 10＝1，所以f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－26．若函数f (x )在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．解析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤27．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点． 当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点； 当a ≠0时，Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3. 综上所述，a 的取值范围是[0，3)． 答案：[0，3)8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋1），－2<x <0，2x ＋1，0≤x <2，x 2－1，x ≥2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫－32的值； (2)若f (a )＝4且a >0，求实数a 的值．解：(1)由题意f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＋1＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝2. (2)当0<a <2时，由f (a )＝2a ＋1＝4，得a ＝32.当a ≥2时，由f (a )＝a 2－1＝4得a ＝5或－5(舍)．故a ＝32或 5.[综合题组练]1．(2019·海淀期末)下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x （x >0）.其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.①y ＝3－x 的定义域与值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝⎛⎭⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x （x >0）的定义域和值域均为R .所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B.2．(应用型)(2019·江西南昌一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x >1，若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，2)B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[1，＋∞)解析：选C.若x >1，可得f (x )＝x ＋1>2，因为f (1)是f (x )的最小值，由f (x )＝2|x －a |，可得x >a 时递增，x <a 时递减，若a <1，x ≤1，则f (x )在x ＝a 处取最小值，不符合题意，若a ≥1，x ≤1，则f (x )在x ＝1处取最小值，且2a －1≤2，解得1≤a ≤2，综上可得a 的取值范围是[1，2]．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围为________．解析：由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1. 当a <1时，有3a －1≥1， 所以a ≥23，所以23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，所以a ≥0，所以a ≥1，综上，a ≥23.答案：⎣⎡⎭⎫23，＋∞ 4．(创新型)设函数f (x )的定义域为D ，若对任意的x ∈D ，都存在y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，则称函数f (x )为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝1x －1；③f (x )＝ln(2x ＋3)；④f (x )＝2sin x －1. 其中是“美丽函数”的序号有________．解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x 都存在着y ，使x 所对应的函数值f (x )与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；④中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.答案：②③。
2020届高考数学一轮复习第二章函数2.1函数的概念及其表示教师用书(PDF,含解析)
１.求具体函数的定义域ꎬ一般在高中范围内涉及的有:
( １) 开偶次方时被开方数为非负数ꎻ
( ２) 分式的分母不为零ꎻ
( ３) 零次幂的底数不为零ꎻ
( ４) 对数的真数大于零ꎻ
(５)指数、对数的底数大于零且不等于 １ꎻ
( ６) 实际问题需要考虑使题目本身有意义.
２.求复合函数的定义域一般有两种情况:
(１)已知 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的定义域是 Ａꎬ求 ｙ ＝ ｆ[ ｇ( ｘ)] 的定义域ꎬ可
由 ｇ(ｘ)∈Ａ 求出 ｘ 的范围ꎬ即为 ｙ ＝ ｆ[ｇ(ｘ)]的定义域ꎻ
(２)已知 ｙ ＝ ｆ[ｇ(ｘ)]的定义域是 Ａꎬ求 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的定义域ꎬ可由
ｘ∈Ａ 求 ｇ(ｘ)的范围(即 ｙ ＝ ｇ(ｘ)的值域)ꎬ即为 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的定义域.
(
１)
函数
ｆ(
ｘ)
＝
ｌｇ( ｘ＋１) ｘ－１
的定义域是
( )
Ａ.( －１ꎬ＋∞ )
Ｂ.[ －１ꎬ＋∞ )
Ｃ.( －１ꎬ１) ∪(１ꎬ＋∞ )
Ｄ.[ －１ꎬ１) ∪(１ꎬ＋∞ )
(２) 已知函数 ｆ( ｘ) 的定义域为 ( －１ꎬ０) ꎬ则函数 ｆ( ２ｘ ＋ １) 的
定义域为
( )
Ａ.( －１ꎬ１)
则 ｆ(１) ＋ｇ(１)＝ １ꎬ故选 Ｃ. 解法二:令 ｆ( ｘ)＝ ｘ２ ＋１ꎬｇ( ｘ)＝ －ｘ３ ꎬ显然符合题意ꎬ ∴ ｆ(１) ＋ｇ(１)＝ １２ ＋１－１３ ＝ １.
故选 Ｃ.
( )１
２－２ 已知 ｆ ｘ
＝ １－ｘ ｘꎬ则当 ｘ≠０ 且 ｘ≠１ 时ꎬ ｆ( ｘ) 等于
( )
( ) ｆ(２ｘ＋１)的定义域为
－１ꎬ－ １ ２
2020年高考数学(文)一轮复习讲练测专题2.1 函数及其表示(讲) 含解析
专题2.1 函数及其表示1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).知识点1．函数与映射的概念(1)函数：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)映射：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．知识点2．函数的表示方法(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法．(3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．知识点3．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．知识点4．分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系不同，则这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．知识点5．复合函数一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．考点一求函数的定义域【典例1】【2019年高考江苏】函数y =的定义域是 .【答案】 [-1,7 ]【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤，解得17x -≤≤，故函数的定义域为[-1,7 ].【方法技巧】(1)求具体函数y ＝f (x )的定义域(2)求抽象函数的定义域一般有两种情况：①已知y ＝f (x )的定义域是A ，求y ＝f (g (x ))的定义域，可由g (x )∈A 求出x 的范围，即为y ＝f (g (x ))的定义域； ②已知y ＝f (g (x ))的定义域是A ，求y ＝f (x )的定义域，可由x ∈A 求出g (x )的范围，即为y ＝f (x )的定义域．【变式1】 (2018·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．【答案】{x |x ≥2}【解析】由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，满足x >0，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．考点二 求函数的解析式【典例2】（2019·河北唐山一中模拟）已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式．【答案】f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R. 【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1， 解得a ＝b ＝12. 所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R. 【方法技巧】函数解析式的常见求法(1)配凑法：已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )的问题，往往把右边的g (x )整理或配凑成只含h (x )的式子，然后用x 将h (x )代换．(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f (x )可设为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，其中a ，b ，c 是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a ，b ，c 即可．(3)换元法：已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．(4)解方程组法：已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如f ⎝⎛⎭⎫1x (或f (－x ))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【变式2】（2019·山西省阳泉一中模拟）已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．【答案】f (x )＝2x ＋1－2－x 3，x ∈R. 【解析】由f (－x )＋2f (x )＝2x ，①得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x 3. 故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x 3，x ∈R. 考点三 分段函数求值【典例3】（2019·吉林辽源一中模拟）已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝________. 【答案】9【解析】∵f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9. 【方法技巧】根据分段函数的解析式求函数值：首先确定自变量的取值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．【变式3】(2019·衡阳一中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x ＜4，则f (1＋log 25)＝________.【答案】120【解析】因为2＜log 25＜3，所以3＜1＋log 25＜4，则4＜2＋log 25＜5，则f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝⎛⎭⎫1222+log 5＝14×15＝120. 考点四 求参数或自变量的值(范围)【典例4】(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)【答案】D【解析】 方法一：①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )即为2－(x ＋1)<2－2x ，即－(x ＋1)<－2x ， 解得x <1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解． ③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )即1<2－2x ，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)． ④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意． 综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．故选D.方法二：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0， ∴函数f (x )的图象如图所示．结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＜0，2x ＜0，2x ＜x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x ＜0， ∴x ＜0，故选D.【方法技巧】已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论。
2020届高三文理科数学一轮复习《函数与方程》专题汇编(教师版)
《函数与方程》专题一、相关知识点1．函数的零点(1)函数零点的定义：把函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意点：函数零点的两个易错点(1)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．题型一：函数零点所在区间的判断方法技巧：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法1、下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是()解析：A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图像不连续；D中函数在x轴下方没有图像，故选C.2、已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 3、若函数f (x )＝m ＋⎝⎛⎭⎫13x 的零点是－2，则实数m ＝________．解析：依题意有f (－2)＝m ＋⎝⎛⎭⎫13－2＝0，解得m ＝－9.4、若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12. 5、函数f (x )＝x ＋ln x －3的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：法一：(利用零点存在性定理)因为函数f (x )是增函数，且f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3>0，所以由零点存在性定理得函数f (x )的零点位于区间(2,3)上，故选C.法二：(数形结合)函数f (x )＝x ＋ln x －3的零点所在区间转化为g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f (x )的零点在(2,3)内．故选C.6、函数f (x )＝x 3－x 2－1的零点所在的区间可以是( )A ．(0，1)B ．(－1，0)C ．(1，2)D ．(2，3)解析：函数f (x )＝x 3－x 2－1是连续函数．而f (1)＝1－1－1＝－1<0，f (2)＝8－4－1＝3>0，所以f (1)f (2)<0，所以函数f (x )的零点所在的区间可以是(1，2)．故选C.7、函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(－2，－1)D ．(－1,0)解析：∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－23，f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0， f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0，故选D.8、若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析：∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，选A9、函数f (x )＝ln(2x )－1的零点所在区间是( )A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(0,1)D ．(1,2)解析： f (x )＝ln(2x )－1是(0，＋∞)上的增函数，并且是连续函数，且f (1)＝ln 2－1<0，f (2)＝ln 4－1>0，根据函数零点的存在性定理可得，函数f (x )的零点位于区间(1,2)内．故选D.10、设a 是方程2ln x －3＝－x 的解，则a 在下列哪个区间内( )A ．(0,1)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)解析：选D ；令f (x )＝2ln x －3＋x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上递增，且f (1)＝－2<0， f (2)＝2ln 2－1＝ln 4－1>0，所以函数f (x )在(1, 2)上有零点，即a 在区间(1, 2)内．11、方程⎝⎛⎭⎫13x ＝x 12的解所在的区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，13 B.⎝⎛⎭⎫13，12 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎝⎛⎭⎫23，1 解析：选B ，令函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －x 12，易知函数f (x )为[0，＋∞)上的减函数．又f (0)＝1>0，f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1313－⎝⎛⎭⎫1312>0，f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1312－⎝⎛⎭⎫1212<0，由函数零点的存在性定理可知函数 f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －x 12的零点所在的区间是⎝⎛⎭⎫13，12.即方程⎝⎛⎭⎫13x ＝x 12的解所在的区间是⎝⎛⎭⎫13，12. 12、设函数y ＝log 2x －1与y ＝22－x 的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解析：选C ，令函数f (x )＝log 2x －1－22－x ，则f (2)＝－1，f (3)＝log 23－32＝log 23－log 2(8)>0，因为f (2)f (3)<0，所以函数f (x )在(2,3)上必有零点．又易知函数f (x )为增函数，所以f (x )在(2,3)上有且只有一个零点，所以x 0∈(2,3).13、若函数f (x )＝log 2(x ＋a )与g (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)存在相同的零点，则a 的值为____ 解析：将函数f (x )＝log 2(x ＋a )的零点x ＝1－a ，代入x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)＝0得到(1－a )2－(a ＋1)(1－a )－4(a ＋5)＝0，解得a ＝5或a ＝－2.题型二 函数零点个数的判断方法技巧：判断函数零点个数的方法1、函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C ∵x ∈[0,4]，∴x 2∈[0,16]，当x 2＝0，π2，3π2，5π2，7π2，9π2时f (x )＝0都成立． ∴f (x )的零点个数为6.故选C.2、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0解析：法一：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．法二：函数f (x )的图像如图所示，由图像知函数f (x )共有2个零点．3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：根据题意，令x 2－2x ＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1，即当x ≤0时函数有两个零点；又当x >0时，1＋1x＋3x ＝0无解．故函数只有两个零点．故选C. 4、函数f (x )＝e x ＋x －3在区间(0,1)上的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 由题知函数f (x )是增函数．根据函数的零点存在性定理及f (0)＝－2，f (1)＝e －2>0，可知函数f (x )在区间(0,1)上有且只有一个零点，故选B.5、函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：法一：(定理法)∵f (0)＝－1，f (1)＝12，∴f (0)f (1)<0，故函数f (x )在(0,1)上至少存在一个零点，又∵f (x )为增函数，∴f (x )的零点个数为1.法二：(图象法)令f (x )＝0，得x 12＝⎝⎛⎭⎫12x ，在平面直角坐标系中分别画出函数y ＝x 12与 y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象(图略)，可得交点只有一个，∴函数f (x )的零点只有1个，故选B.6、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2x ＋2x －4，则f (x )的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析： 选B ，因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f ⎝⎛⎭⎫12·f (2)<0，所以当x >0时函数f (x )有1个零点．根据奇函数的对称性可知，当x <0时，函数f (x )也有1个零点．因此函数f (x )一共有3个零点．7、已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)满足f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－1x，x <0，则 y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选B.作出函数f (x )与g (x )的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )有3个零点，故选B.8、方程4sin πx ＝21－x在[－2，4]内根的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．5 D ．8解析：选D 由原方程得2sin πx ＝11－x ，在同一坐标系中作出两函数y ＝2sin πx 和y ＝11－x的图象，如图．由图可知，两函数的图象在[－2,4]上共有8个交点，即原方程在[－2，4]内有8个根．故选D.9、（理科）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2(x ＋1)|，x ∈(－1，3)，4x －1，x ∈[3，＋∞)，则函数g (x )＝f [f (x )]－1的零点个数为( )A ．1B ．3C ．4D ．6 解析：函数g (x )＝f [f (x )]－1的零点个数即f [f (x )]＝1在(－1，＋∞)上的实数解的个数，令f (x )＝1得x 1＝－12，x 2＝1，x 3＝5，作出函数f (x )的大致图象如图所示．由图象可知f (x )＝－12无解，f (x )＝1有3个解，f (x )＝5有1个解．综上所述，函数g (x )＝f [f (x )]－1的零点个数为4，故选C.10、已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )A ．9B ．10C ．11D ．18解析：B ，在坐标平面内画出y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图像如图，由图像可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10.题型三 函数零点的应用方法技巧：由函数零点求参数范围的方法1、已知关于x 的方程x 2＋(k －3)x ＋k 2＝0一根小于1，另一根大于1，则k 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－1,2)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：设f (x )＝x 2＋(k －3)x ＋k 2，则函数f (x )为开口向上的抛物线，且f (0)＝k 2≥0，∴关于x 的方程x 2＋(k －3)x ＋k 2＝0一根小于1，另一根大于1，即函数f (x )的零点位于[0,1)，(1，＋∞)上，故只需 f (1)＜0即可，即1＋k －3＋k 2＜0，解得－2＜k ＜1.2、方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________．解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k ，则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1，2)内时，f (1)·f (2)<0，即(5－k )(10－k )<0，解得5<k <10. 当f (1)＝0时，k ＝5.故k 的取值范围为[5，10)．3、函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )的图像为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0，∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1. 4、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图像有且只有一个交点，作出函数f (x )的图像(如图所示)，结合函数图像可知a ＞1.5、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |2x －1|，x <2，3x －1，x ≥2.方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)解析：选D 画出函数f (x )的大致图象，如图．由方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，可知函数y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，由图象易知，实数a 的取值范围是(0,1)，故选D.6、若函数f (x )＝log 2x ＋x －k (k ∈Z)在区间(2,3)上有零点，则k ＝________.解析：函数f (x )＝log 2x ＋x －k 在(2,3)上单调递增，所以f (2)·f (3)＜0，即(log 22＋2－k )·(log 23＋3－k )＜0，整理得(3－k )(log 23＋3－k )＜0，解得3＜k ＜3＋log 23，而4＜3＋log 23＜5， 因为k ∈Z ，故k ＝4.7、函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3) D ．(0,2)解析：∵函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上是增加的，又函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3，故选C ．8、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( ) A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)解析：函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＝m －x 的根，在同一坐标系中画出函数f (x )和y ＝m －x 的图像，如图所示，由图像知，当m ≤0或m ＞1时方程f (x )＝m －x 有根，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，故选D.9、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)解析：选D.当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0，1]，所以－a ∈(0，1]，即a ∈[－1，0).10、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，1]解析：选A 当x ≤0时，f (x )单调递增，∴f (x )≤f (0)＝1－a ；当x >0时，f (x )单调递增，且f (x )>－a .∵f (x )在R 上有两个零点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≥0，－a <0，解得0<a ≤1. 11、设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)，若当0<a <b 时，f (a )＝f (b )，则1a ＋1b的值为( ) A ．1 B ．2 C.12D.14 解析：选B.因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎨⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x，x ∈（1，＋∞），所以f (x )在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，则1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2. 12、函数f (x )＝ax 2－2x ＋1在区间(－1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3,1) B.⎝⎛⎭⎫34，1 C.⎝⎛⎭⎫－3，34 D ．(－∞，－3)或⎝⎛⎭⎫34，＋∞解析：选B ，根据零点存在性定理及二次函数的图象可知，函数f (x )＝ax 2－2x ＋1在区间(－1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点时，⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)f (1)<0，f (1)f (2)<0，解得34<a <1，故选B.13、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x －94，x ≤0，x －2，x >0.若方程f (x )＝a 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－52，－94∪[－2，＋∞) B ．(－2，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤－52，－94∪(－2，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－52，－94∪(－2，＋∞) 解析：选C 方程f (x )＝a 有两个不相等的实数根等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有两个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，a ∈⎝⎛⎦⎤－52，－94∪(－2，＋∞)．故选C.14、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ＋1，x <0，2，x ≥0，则方程f (1＋x 2)＝f (2x )的解集是________． 解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋1，x <0，2，x ≥0，方程f (1＋x 2)＝f (2x )， ∴当x <0时，2＝e 2x ＋1，解得x ＝0，不成立；当x ≥0时，f (1＋x 2)＝f (2x )＝2，成立．∴方程f (1＋x 2)＝f (2x )的解集是{x |x ≥0}．故答案为{x |x ≥0}．15、（理科）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C 令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．16、函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当－1≤x ≤1时，f (x )＝|x |.若函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象有且仅有4个交点，则a 的取值集合为( )11 / 11 A ．(4,5) B ．(4,6) C ．{5} D ．{6}解析：选C 因为f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )的周期为2.当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |.在同一直角坐标系下作出函数f (x )与g (x )＝log a x 的图象，如图所示．若函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象有且仅有4个交点，则a >1且函数g (x )＝log a x 的图象过点(5,1)，即a ＝5.故选C.17．(理科)对于实数a ，b 定义运算“a ○×b ”：a ○×b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b －a ，a <b ，b 2－a 2，a ≥b .设f (x )＝(2x －3)○× (x －3)，且关于x 的方程f (x )＝k (k ∈R)恰有三个互不相同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围为( )A ．(0,3)B ．(－1,0)C ．(－∞，0)D ．(－3,0)解析：选D ∵a ○×b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b －a ，a <b ，b 2－a 2，a ≥b ，∴f (x )＝(2x －3)○× (x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，x <0，－3x 2＋6x ，x ≥0，其图象如图所示．不妨设x 1<x 2<x 3，由图可得x 1＝－k ，x 2x 3＝13k ， 故x 1x 2x 3＝－13k 2，k ∈(0,3)，∴x 1x 2x 3∈(－3,0)．故选D. 18．(理科)已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个不同的实数根，求实数a 的取值范围． 解析：(1)g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t (t <1)，则原方程化为g (t )＝a 有4个不同的实数根，易知方程f (x )＝t 在(－∞，1)内有2个不同的实数根，则原方程有4个不同的实数根等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，如图，画出函数g (t )的图象，结合图象可知，1≤a <54，即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54.。
2020届高三数学一轮复习导学案教师讲义 第1讲 函数及其表示
第2章函数概念与基本初等函数了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的理解函数的单调性及其几何意义．了解指数函数模型的实际背景．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自了解幂函数的概念．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数第1讲 函数及其表示1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |，则对应关系f 是从A 到B 的映射．( )(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√(教材习题改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案：B(教材习题改编)下列哪个函数与y ＝x 相等( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝2log 2xC ．y ＝x 2D ．y ＝(3x )3解析：选D.y ＝x 的定义域为R ，而y ＝x 2x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，y ＝2log 2x的定义域为{x |x ∈R ，且x >0}，排除A 、B ；y ＝x 2＝|x |的定义域为x ∈R ，对应关系与y ＝x 的对应关系不同，排除C ；而y ＝(3x )3＝x ，定义域与对应关系与y ＝x 均相同，故选D.(教材习题改编)下列对应关系：①A ＝{1，4，9}，B ＝{－3，－2，－1，1，2，3}，f ：x →x 的平方根； ②A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 的倒数； ③A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 2－2；④A ＝{－1，0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数的平方． 其中是A 到B 的映射的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③答案：C已知函数f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝5，则实数a 的值为________． 解析：f (a )＝2a ＋1＝5，所以2a ＋1＝25，所以a ＝12.答案：12(教材习题改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ≥0，x (x －4)，x <0，则f (1)＋f (－3)＝________．解析：f (1)＝1×5＝5，f (－3)＝－3×(－3－4)＝21， 故f (1)＋f (－3)＝5＋21＝26.答案：26函数的定义域(高频考点)函数的定义域是高考命题的重点，多以选择题或填空题的形式直接考查，或与其他知识相结合(如函数的单调性、最值等)隐性考查．主要命题角度有：(1)求函数的定义域；(2)已知函数的定义域求参数的取值范围．[典例引领]角度一 求函数的定义域(1)y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2，0)∪(1，2) B ．(－2，0]∪(1，2) C ．(－2，0)∪[1，2)D ．[－2，0]∪[1，2](2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．【解析】(1)要使函数有意义，必须⎩⎨⎧x －12x≥0，x ≠0，4－x 2>0，所以x ∈(－2，0)∪[1，2)．(2)由⎩⎨⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x <1，即g (x )的定义域是[0，1)．【答案】 (1)C (2)[0，1)若将本例(2)中“函数y ＝f (x )”改为“函数y ＝f (x ＋1)”，其他条件不变，如何求解？ 解：由函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0，2]， 得函数y ＝f (x )的定义域为[1，3]，令⎩⎨⎧1≤2x ≤3，x －1≠0，得12≤x ≤32且x ≠1.所以g (x )的定义域为[12，1)∪(1，32]．角度二 已知函数的定义域求参数的取值范围(1)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a－1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a－1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.(2)因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点． 当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点； 当a ≠0时，Δ＝(2a )2－4·3a ＜0，解得0＜a ＜3. 综上所述，a 的取值范围是[0，3)． 【答案】 (1)[－1，0] (2)[0，3)函数定义域的求解策略(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a ＜g (x )＜b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得y ＝f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解． [注意] (1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简； (2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．[通关练习]1．已知f (x )的定义域是[0，4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是________． 解析：因为f (x )的定义域为[0，4]，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤40≤x －1≤4，即⎩⎨⎧－1≤x ≤31≤x ≤5，所以1≤x ≤3，即函数f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1，3]． 答案：[1，3]2．若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为实数集，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎨⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0， 解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. 答案：[0，4]求函数的解析式[典例引领](1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )； (4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式． 【解】 (1)(配凑法)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.(2)(换元法)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x ＞0，所以t ＞1， 故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1，x ＞1. (3)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R .(4)(解方程组法)由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ， ② ①×2－②，得，3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.所以f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3，x ∈R .求函数解析式的4种方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[注意] 求解析式时要注意新元的取值范围．[通关练习]1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．解：法一：(换元法)设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.法二：(配凑法)因为x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， 所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，x ＋1≥1， 即f (x )＝x 2－1，x ≥1.2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， 所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等实根， 所以Δ＝4－4c ＝0， 解得c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分段函数(高频考点)分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)求分段函数的函数值；(2)已知函数值，求参数的值(或取值范围)； (3)与分段函数有关的方程、不等式问题．[典例引领]角度一 求分段函数的函数值(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是________． (2)已知f (x )＝⎩⎨⎧3sin πx ，x ≤0f (x －1)＋1，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫23的值为________． 【解析】 (1)由题意可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109. (2)f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋1＝－12. 【答案】 (1)109 (2)－12角度二 已知函数值，求参数的值(或取值范围)已知f (x )＝⎩⎨⎧x 12，x ∈[0，＋∞）.|sin x |，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0)若f (a )＝12，则a ＝________． 【解析】 若a ≥0，由f (a )＝12得，a 12＝12，解得a ＝14；若a ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则|sin a |＝12， 解得a ＝－π6.综上可知，a ＝14或－π6.【答案】 14或－π6角度三 与分段函数有关的方程、不等式问题(1)(2017·高考山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是__________．【解析】 (1)法一：当0＜a ＜1时，a ＋1＞1， 所以f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2a ，所以a ＝14.此时f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1＞1，所以f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6，故选C ．法二：因为当0＜x ＜1时，f (x )＝x ，为增函数， 当x ≥1时，f (x )＝2(x －1)，为增函数，又f (a )＝f (a ＋1)， 所以a ＝2(a ＋1－1)， 所以a ＝14.所以f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝6.(2)当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋x －12＋1＞1， 所以x ＞－14，所以－14＜x ≤0；当0＜x ≤12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋x －12＋1＞1恒成立； 当x ＞12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋2x －12＞1恒成立． 综上，x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 【答案】 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－14，＋∞(1)根据分段函数解析式，求函数值的解题思路先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)已知分段函数的函数值，求参数值的解题思路先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，构造关于参数的方程．然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(3)已知分段函数的函数值满足的不等式，求自变量取值范围的解题思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．[通关练习]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12解析：选C ．因为－2＜1，所以f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. 因为log 212＞1， 所以f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6. 所以f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C ．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤0，－log 3x ，x ＞0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )A ．－log 37B ．－34C ．－54D ．－74解析：选D.当a ≤0时，2a －2＝－2无解；当a ＞0时，由－log 3a ＝－2，解得a ＝9，所以f (7－a )＝f (－2)＝2－2－2＝－74.3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x ＜1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是________．解析：f (x )≥1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，(x ＋1)2≥1或⎩⎨⎧x ≥1，4－x －1≥1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，(x ＋1)2≥1，得x ≤－2或0≤x ＜1. 由⎩⎨⎧x ≥1，4－x －1≥1，得1≤x ≤10. 综上所述，x 的取值范围是x ≤－2或0≤x ≤10. 答案：(－∞，－2]∪[0，10]理解函数概念应关注的3个易错点(1)在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．(2)易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．函数解析式的求法求函数解析式常用的方法有：(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．函数定义域的求法求函数的定义域的关键在于列全限制条件并准确求解方程(组)或不等式(组)；对于求含有字母参数的函数的定义域问题，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义．解决分段函数问题应关注4点(1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则；(2)在求分段函数的值f (x 0)时，要先判断x 0属于定义域的哪个子集，再代入相应的关系式；(3)分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值集合的并集；(4)当自变量范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行讨论．1．函数f (x )＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( ) A ．(2，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(2，3)D ．(2，3)∪(3，＋∞)解析：选C ．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3x －x 2＞0，解得2＜x ＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选C ． 2．已知函数f (x )＝x |x |，x ∈R ，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2D ． 2解析：选B ．当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4， 即－x 20＝4，无解． 所以x 0＝2，故选B ．3．(2018·广州综合测试(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤01－log 2x ，x ＞0，则f (f (3))＝( )A ．43B ．23C ．－43D ．－3解析：选A ．因为f (3)＝1－log 23＝log 2 23＜0，所以f (f (3))＝f (log 223)＝2log 223＋1＝2log243＝43，故选A ．4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x1＋x 2B ．f (x )＝－2x1＋x 2C ．f (x )＝2x1＋x 2D ．f (x )＝－x1＋x 2解析：选C ．令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝(1＋t )2－(1－t )2(1＋t )2＋(1－t )2＝2t1＋t 2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x2，故选C ． 5．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74B ．74C ．43D ．－43解析：选B ．令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1 所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A ．因为f (1)＝2，所以f (a )＝－f (1)＝－2， 当a ＞0时，f (a )＝2a ＝－2，无解； 当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－2，所以a ＝－3. 综上，a ＝－3，选A ． 7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，1，x ＜0，则(a ＋b )＋(a －b )·f (a －b )2(a ≠b )的值为( )A ．aB ．bC ．a ，b 中较小的数D ．a ，b 中较大的数解析：选C ．若a －b ＞0，即a ＞b ，则f (a －b )＝－1，则(a ＋b )＋(a －b )·f (a －b )2＝12[(a ＋b )－(a －b )]＝b (a ＞b )；若a －b ＜0，即a ＜b ，则f (a －b )＝1，则(a ＋b )＋(a －b )·f (a －b )2＝12[(a ＋b )＋(a －b )]＝a (a ＜b )．综上，选C ．8．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：选B ．用待定系数法，设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，因为g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，所以g (x )＝3x 2－2x .9．已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域为( ) A ．[－3，7] B ．[－1，4] C ．[－5，5]D ．⎣⎡⎦⎤0，52 解析：选D.因为y ＝f (x ＋1)的定义域为[－2，3]， 所以－1≤x ＋1≤4.由－1≤2x －1≤4，得0≤x ≤52，即y ＝f (2x －1)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，52. 10．(2018·石家庄质量检测(一))设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋n ，x ＜1log 2x ，x ≥1，若f (f (34))＝2，则实数n 为( )A ．－54B ．－13C ．14D ．52解析：选D.因为f (34)＝2×34＋n ＝32＋n ，当32＋n ＜1，即n ＜－12时，f (f (34))＝2(32＋n )＋n＝2，解得n ＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时，f (f (34))＝log 2(32＋n )＝2，即32＋n＝4，解得n ＝52，故选D.11．(2018·石家庄质量检测(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜1x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))＜2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2，1)D ．(1，1＋ln 2)解析：选B ．因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x ＜1时，f (x )＝2e x －1＜2，所以f (f (x ))＜2等价于f (x )＜1，即2e x －1＜1，解得x ＜1－ln 2，所以f (f (x ))＜2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B ．12．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称f (x )为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B ．对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．13．函数f (x )，g (x )分别由下表给出．则f (g (1)) 解析：因为g (1)＝3，f (3)＝1，所以f (g (1))＝1.当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不合题意． 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，符合题意． 当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，不合题意． 答案：1 214．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________． 解析：令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，② 联立①②得f (1)＝2. 答案：215．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0.若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为________．解析：易知a ≠0.由题意得，当a >0时，则－a <0，故a [f (a )－f (－a )]＝a (a 2＋a －3a )>0，化简可得a 2－2a >0，解得a >2或a <0.又因为a >0，所以a >2.当a <0时，则－a >0，故a [f (a )－f (－a )]＝a [－3a －(a 2－a )]>0，化简可得a 2＋2a >0，解得a >0或a <－2，又因为a <0，所以a <－2.综上可得，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)16．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎫18＋f ⎝⎛⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________．解析：由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2， 又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1， 所以f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：71．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝错误!则( ) A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D.当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x ·sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.2．设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )解析：选A ．对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )＞0，f 2(x )，f (x )≤0，当x ＞0时，f (x )＝x ＞0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x ＜0时，f (x )＝x 2＞0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A ．3．已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋34x ＋18，则∑k ＝12 018f ⎝⎛⎭⎫k 2 019的值为( ) A ．0 B ．504.5 C ．1 009D ．2 018解析：选B ．因为f (1－x )＝(1－x )3－32(1－x )2＋34(1－x )＋18＝1－3x ＋3x 2－x 3－32＋3x －32x 2＋34－34x ＋18＝－x 3＋32x 2－34x ＋38，所以f (x )＋f (1－x )＝x 3－32x 2＋34x ＋18－x 3＋32x 2－34x ＋38＝12，所以∑k ＝12 018f ⎝⎛⎭⎫k 2 019＝f ⎝⎛⎭⎫12 019＋f ⎝⎛⎭⎫22 019＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0182 019＝1 009×⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12 019＋f ⎝⎛⎭⎫2 0182 019＝1 009×12＝504.5.故选B ．4．已知定义在D ＝[－4，4]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤02|x －2|，0＜x ≤4，对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为________．解析：作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9.答案：95．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图：6．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0，1]上有表达式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2，2]上的表达式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1，2]时，x －1∈(0，1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1，0)时，x ＋1∈[0，1)， f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2； 当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1，0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12(x －1)2，x ∈（1，2]x 2，x ∈[0，1]－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0）4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1）.。
2020年高三数学第一轮复习教案-函数-第一节 函数及其表示
【典型例题】
考点三分段函数 考向1 求分段函数的函数值
解
【典型例题】
考点三分段函数 考向2 分段函数的含参问题
解
【典型例题】
考点三分段函数 考向3 分段函数的增减性
解
【典题演练】
D
B
D
D
【典题演练】
D
B
【典题演练】
0
【典题演练】
【作 业】
1、完成新数学中的【典例剖析】 2、完成课时作业（四）
第二章 函数
第一节 函数及其表示
【知识必备】
【知识必备】
【典型例题】
考点一函数定义域 考向1 求给定函数解析式的定义域
解
【典型例题】
考点一函数定义域 考向2求抽象函数的定义域
解
【典型例题】
考点二函数的解析式
解
待定系数法
【典型例题】
考点二函数的解析式
解
解函方程
【典型例题】
考点二函数的解析式 解
再见
(浙江专用)2020届高考数学一轮复习第二章函数2.1函数及其表示教师用书(PDF,含解析)
考点一 函数的概念及其表示
高频考点
１．函数的概念 如果 Ａ、Ｂ 都是非空的数集，那么 Ａ 到 Ｂ 的映射 ｆ：Ａ→Ｂ 就叫
做 Ａ 到 Ｂ 的函数，记作 ｙ ＝ ｆ（ ｘ），其中 ｘ∈Ａ，ｙ∈Ｂ．原象的集合 Ａ 叫做函数 ｙ ＝ ｆ（ｘ）的定义域，象的集合 Ｃ⊆Ｂ 叫做函数 ｙ ＝ ｆ（ ｘ） 的 值域．
高频考点
１．如果函数在其定义域的不同子集上，对应关系不同或分 别用几个不同的式子来表示，那么这种表示形式的函数叫做分 段函数．
２．分段函数是指不能用一个统一的解析式表示的函数，它 是一个函数，而不是几个函数，分段函数的连续与间断完全由对 应关系来确定．
对应学生用书起始页码 Ｐ１３
一、求函数定义域的解题策略
第二章
函数
真题多维细目表
考题
涉分
２０１９ 浙江，６
４
２０１９ 浙江，９
４
２０１９ 浙江，１６
４
２０１８ 浙江，５
４
２０１８ 浙江，１１
６
２０１８ 浙江，１５
６
２０１７ 浙江，５
４
２０１７ 浙江，７
４
２０１６ 浙江，１２
６
２０１６ 浙江，１８
１５
２０１５ 浙江，７
５
题型 选择题
选择题
填空题 选择题 填空题 填空题 选择题 选择题 填空题 解答题 选择题
是重点考查． ２．考查方式既有单独考查，又有与其他内容结
合考查，形式多样，但难度以中等为主． ３．以函数性质为主，常以指数函数、对数函
数、分段函数 为载体， 考查函数的 综 合 应用．
８ ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版（ 教师用书）
§ ２．１ 函数及其表示
2020届高考一轮复习文科数学_人教版_资料 第二单元 函数第4讲 函数及其表示 (4)
第7讲函数的奇偶性与周期性1．了解奇偶性及周期性的定义．2．掌握判定一些简单函数的奇偶性的方法．3．会解决涉及奇偶性、周期性、单调性的简单综合问题．知识梳理1．函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的．(1)函数的奇偶性的定义①如果对定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)成立，那么函数f(x)为奇函数．②如果对定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)成立，则函数f(x)为偶函数．显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．周期函数(1)周期函数：对于函数f(x)的定义域内的每一个x，都存在一个非零常数T，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．函数奇偶性的常用结论(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇．2．函数周期性的常用结论对f(x)定义域内的任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|.(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a>0)．(4)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．热身练习1．下列函数为奇函数的是(D) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x |C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －xy ＝x 的定义域为{x |x ≥0}，不具有对称性，故y ＝x 为非奇非偶函数，y ＝|sin x |和y ＝cos x 为偶函数．对于D ，f (x )＝e x －e －x 的定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，故y ＝e x －e －x 为奇函数．2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是(B) A ．－13 B.13C.12 D ．－12因为f (x )＝ax 2＋bx 为偶函数，所以b ＝0，又偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＋2a ＝0， 所以a ＝13，故a ＋b ＝13.3．下列命题中：①若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0； ②偶函数必不是单调函数；③奇函数f (x )与偶函数g (x )的定义域的交集为非空集合，则函数f (x )·g (x )一定是奇函数； ④若函数f (x )的图象关于y 轴对称，则f (x )一定是偶函数． 正确命题的个数有(D) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个①正确，由f (x )是奇函数，有f (0)＝－f (0)，所以f (0)＝0；②正确；③正确；④正确．4．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝ 12 .(方法一)令x >0，则－x <0.所以f (－x )＝－2x 3＋x 2.因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝2x 3－x 2(x >0)． 所以f (2)＝2×23－22＝12.(方法二)f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.5．(2018·红河州二模改编)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝log 2x ，则f (－94)＋f (2)＝ 2 .因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (－94)＝f (－94＋2)＝f (－14)＝－f (14)＝－log 214＝2，f (2)＝f (2＋0)＝f (0)＝0， 所以f (－94)＋f (2)＝2＋0＝2.授课提示：见听课手册P 16判断函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x －1)1＋x1－x； (2)f (x )＝lg1－x1＋x.(1)由1＋x 1－x ≥0，可知定义域为[－1,1)．定义域不关于原点对称，故f (x )是非奇非偶函数． (2)由1－x 1＋x>0，得－1<x <1.定义域(－1,1)关于原点对称，且f (－x )＋f (x )＝lg 1＝0， 所以f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(1)利用定义判断奇偶性的步骤：(2)在运用定义判断奇偶性时，①若表达式较复杂可适当进行化简后判断(不得改变定义域)；②判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．(3)判断函数的奇偶性除定义法外，还要注意如下方法：①图象法：f (x )的图象若关于原点对称，则f (x )为奇函数；若关于y 轴对称，则f (x )为偶函数．②性质法：如“奇±奇”是奇；“偶±偶”是偶；“奇·奇”是偶，“偶·偶”是偶，“奇·偶”是奇等．1．(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0的奇偶性是(A)A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数也是偶函数(2)(经典真题)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝ 1 .(1)(方法一：利用奇偶性的定义判断) 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－(x 2＋x )＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ＝－f (x )．所以对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数． (方法二：用奇偶函数的图象特征判断) 画出y ＝f (x )的图象，如图：其图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数． (2)利用奇偶函数的运算性质转化． 因为y ＝x 是奇函数， 又f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数， 所以y ＝ln(x ＋a ＋x 2)是奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝ln a ＝0，解得a ＝1.奇偶性与单调性的综合应用(经典真题)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A ．(13，1)B ．(－∞，13)∪(1，＋∞)C ．(－13，13)D ．(－∞，－13)∪(13，＋∞)本题主要是考查函数奇偶性、单调性的综合应用，求解的关键是发现函数的奇偶性和单调性．由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2可知f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数， 所以f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔|x |>|2x －1|⇔13<x <1.A(1)本题的求解过程中，既要利用函数的奇偶性，又要利用函数的单调性．求解此类问题要注意利用偶函数的性质f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．(2)掌握如下结论，会给解题带来方便： ①f (x )为偶函数f (x )＝f (|x |)．②若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2．(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是 [－1，12] .因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x＝－x3＋2x－e x＋1e x＝－f(x)，所以f(x)＝x3－2x＋e x－1e x是奇函数．因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)．因为f′(x)＝3x2－2＋e x＋e－x≥3x2－2＋2e x·e－x＝3x2≥0，所以f(x)在R上单调递增，所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，所以－1≤a≤12.奇偶性与周期性的综合应用已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝__________.因为f(x＋2)＝－1f(x)，所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－1f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(105.5)＝f(4×26＋1.5)＝f(1.5)＝f(1.5－4)＝f(－2.5)＝f(2.5)，因为2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.所以f(105.5)＝2.5.2.5(1)本题考查了奇偶性与周期性的综合应用，考查了化归与转化的思想．求解的关键是利用周期性和奇偶性将所求函数值转化为已知区间上的函数值．(2)若对于函数f(x)的定义域内的任一自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1f(x)或f(x＋a)＝－1f(x)(a是常数且a≠0)，则f(x)是一个周期为2|a|的周期函数．3．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(C)A．－50 B．0C．2 D．50因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，所以－f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数及其定义域得f(0)＝0.又因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)＝0，所以f(－2)＝0.又f(1)＝2，所以f(－1)＝－2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.1．函数的奇偶性是在整个定义域内讨论的整体性质，要正确理解奇函数与偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)具备奇偶性的必要不充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称．因此可以利用函数的图象的对称性去判断函数的奇偶性．3．判断函数的奇偶性的最基本的方法是利用定义法：首先判断定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，立即可以判定这个函数既不是奇函数也不是偶函数．若定义域关于原点对称，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数式进行化简，或应用定义的等价形式f(－x)＝±f(x)f(x)±f(－x)＝f(－x)f(x)＝±1 (f(x)≠0)．4．奇偶性常常和单调性、周期性结合进行考查，具体求解时，要紧扣奇偶性、周期性的概念，充分利用化归与转化的思想方法．。
课标专用2020届高考数学一轮复习第二章函数2.1函数及其表示教师用书文PDF含解析20190812291
２．通性通 法依然是解决 本章试题的 第 一 选择．
０５ 核心素养 数学运算、逻辑推理、直观想象．
０６ 命题趋势 １．高考对 本 章 的 考 查 是 基 础 与 能 力 并 重， 必然是重点考查内容． ２．考查形式 既 有 单 独 考 查， 又 有 与 其 他 内 容结合， 命 题 形 式 多 样， 但 难 度 以 中 等 为主． ３．以函数的性质为主，常以指数函数、对数 函数为载体，考查实际应用问题．
逻辑推理
①分段函数 ②指数函数的图象与 性质 ③对数函数的图象与 性质
求分段函数的函数值
代入 法 或 数 形 结 数学运算
合法
直观想象
命题规律与趋势
０１ 考查内容 １． 从近几年 高 考 考 题 分 析， 本 章 考 查 内 容 丰富，主要 考 查 函 数 的 有 关 概 念， 函 数 性 质，指数函数与对数函数，函数的图象及其 应用，函数零点． ２． 函数与方 程 思 想， 数 形 结 合 思 想 也 是 高 考的热点．
对应学生用书起始页码 Ｐ１３
一、求函数的定义域
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２０１５ 课标Ⅰ，１０
５分
题型 选择题 选择题 填空题 选择题 选择题
选择题
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《函数及其表示》专题一、函数相关知识点 1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 二、定义域相关知识点1．常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≠k π＋π2，k ∈Z .2．方法技巧：（1）根据具体的函数解析式求定义域的策略已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． （2）求抽象函数的定义域的策略(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． 3．求函数定义域应注意的问题(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．题型一 对函数概念的理解1．下列f (x )与g (x )表示同一函数的是________．(1)f (x )＝x 2－1与g (x )＝x －1·x ＋1； (2)f (x )＝x 与g (x )＝x 3＋xx 2＋1；(3)y ＝x 与y ＝(x )2； (4)f (x )＝x 2与g (x )＝3x 3. 答案：(2)2．下列函数中，与y ＝x 相同的函数是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝lg 10xC ．y ＝x 2xD ．y ＝(x －1)2＋1解析：选B 选项A ，y ＝x 2＝|x |与y ＝x 的对应法则和值域不同，不是相同函数；选项B ，y ＝lg 10x＝x ，是相同函数；选项C ，y ＝x 2x＝x (x ≠0)与y ＝x 的定义域不同；选项D ，函数的定义域不相同，不是相同函数． 3．与函数y ＝10lg(x－1)的图象相同的函数是( )A ．y ＝x －1B ．y ＝|x －1|C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －12D ．y ＝x 2－1x ＋1解析：选C 函数y ＝10lg(x －1)的定义域为{x |x >1}．y ＝x －1与y ＝|x －1|的定义域都为R ，故排除A ，B ；y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，故排除D ；y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －1x －12的定义域为{x |x >1}，解析式可化简为y ＝x －1，因此正确.4．下列所给图象是函数图象的为解析：③④题型二 具体函数定义域1．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为_____________________ 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2. 定义域为[0,2)∪(2，＋∞)2．函数f (x )＝ln (x ＋3)1－2x的定义域是( )A ．(－3,0)B ．(－3,0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3,0)解析：∵f (x )＝ln (x ＋3)1－2x，∴要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0， 解得－3<x <0，即函数的定义域为(－3,0)．故选A. 3．函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10 ]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：选D要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋9x ＋10≥0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为(1,2)∪(2,10].4．函数y ＝lg (1－x 2)2x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1] C.⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，1 D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选C 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12，所以函数y ＝lg (1－x 2)2x 2－3x －2的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <－12或－12<x <1. 5．若函数f (x )＝x －2a ＋ln(b －x )的定义域为[2,4)，则a ＋b ＝解析：要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ≥0，b －x >0，解不等式组得⎩⎨⎧x ≥2a ，x <b .∵函数f (x )＝x －2a ＋ln(b －x )的定义域为[2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，∴a ＋b ＝1＋4＝5..题型三 抽象函数的定义域1．已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫x －12的定义域是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，1 B.⎣⎡⎦⎤12，2 C.⎣⎡⎦⎤12，32 D.⎣⎡⎦⎤1，32 解析：由题意得⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，∴⎩⎨⎧－12≤x ≤32，12≤x ≤52，，∴12≤x ≤32.故选C.2．函数f (x ＋1)的定义域是[－1,1]，则函数f (log 12x )的定义域为________．解析：∵f (x ＋1)的定义域是[－1,1]，∴f (x )的定义域是[0,2]．令0≤log 12x ≤2，解得14≤x ≤1，∴函数f (log 12x )的定义域为⎣⎡⎦⎤14，1.3．设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝⎛⎭⎫x 2的定义域为( )A ．[1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4)解析：选B ∵函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x 有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2－x ≥0，解得1<x ≤2，∴函数的f (x )定义域为(1,2]，∴1<x2≤2，解得x ∈(2,4]，则函数f ⎝⎛⎭⎫x 2的定义域为(2,4]. 4．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数y ＝f (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域是________．解析：∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f (x ＋1)的定义域为(－1，＋∞)，要使函数 y ＝f (x ＋1)－x 2－3x ＋4有意义，则－x 2－3x ＋4>0，∴－4<x <1，∴函数y ＝f (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为(－1,1)．题型四 已知函数定义域求参数1．若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4]解析：由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上可得0≤m ≤4. 2．已知函数y ＝1kx 2＋2kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________．解析：当k ＝0时，y ＝13，满足条件；当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧k >0，4k 2－12k <0，得0<k <3.综上，0≤k <3.题型五 求函数解析式相关知识点：求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法．(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．1．已知f (x )是一次函数，满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ，依题设得3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23. 2．已知x ≠0，函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (x )＝________. 解析：f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2，所以f (x )＝x 2＋2. 3．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (x )＝32x ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.4．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x ＋3，则f (x )的解析式为________________． 解析：由题意设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，ab ＋b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故所求解析式为f (x )＝－2x －3或f (x )＝2x ＋1. 5．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )的解析式为________________． 解析：法一：设t ＝x ＋1(t ≥1)，则x ＝(t －1)2，∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．6．已知f (0)＝1，对任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，则f (x )的解析式为__ 解析：令x ＝0，得f (－y )＝f (0)－y (－y ＋1)＝1＋y 2－y ，∴f (y )＝y 2＋y ＋1，即f (x )＝x 2＋x ＋1. 7．若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是______________ 解析：令t ＝3x ＋2，则x ＝t －23，所以f (t )＝9×t －23＋8＝3t ＋2.所以f (x )＝3x ＋2.8．若函数f (1－2x )＝1－x 2x2(x ≠0)，则f ⎝⎛⎭⎫12＝ 解析：由于f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，则当1－2x ＝12时，x ＝14，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1－116116＝15. 9．已知f (1－cos x )＝sin 2x ，则f (x 2)的解析式为________________________． 解析：因为f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ，令1－cos x ＝t ，t ∈[0,2]，则cos x ＝1－t ， 所以f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．则f (x 2)＝－x 4＋2x 2，x ∈[－2，2]． 10．已知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋x ，则f (x )的解析式为________________． 解析：由f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )＋1x， 联立得⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋x ， ①f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )＋1x， ②①＋②×2得f (x )＝x ＋4f (x )＋2x ，则f (x )＝－23x －13x .11.若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．解析：由图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.12．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N|1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为____________．解析：∵x ＝1,2,3,4,5，∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7.∴f (x )的值域为{－1,1,3,5,7}．题型六 分段函数求值问题1．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f (x ＋2)，x ≤0，则f (－5)＝________.解析：f (－5)＝f (－5＋2)＝f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝2×1＝2.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是________． 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109. 3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，45x ，x >2.若f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析：当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8，即x 20＝6，∴x 0＝－6或x 0＝6(舍去)；当x 0>2时，f (x 0)＝45x 0＝8，∴x 0＝10.综上可知，x 0＝－6或x 0＝10.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝解析：由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①；f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝ ⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，1－log 2x ，x >0，则f (f (3))＝解析：因为f (3)＝1－log 23＝log 223<0，所以f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫log 223＝222log +13＝224log 3＝43. 6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≥2，log 2x ，x <2，若f (m )＝7，则实数m 的值为解析： ①当m ≥2时，由f (m )＝7得m 2－2＝7，解得m ＝3或m ＝－3(舍去)，则m ＝3； ②当m <2时，由f (m )＝7得log 2m ＝7，解得m ＝27>2，舍去．综上可得，实数m 的值是3.7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，5－x 2，x >1，则f (f (2))＝ 解析：由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1，所以f (f (2))＝1.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a x ，x ≤1，log a(2x ＋4)，x >1，且f (1)＝6，则f (2)＝解析：由题意，得f (1)＝3a ＝6，解得a ＝2，所以f (2)＝log 2(2×2＋4)＝log 28＝3.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0，若f (a )＝3，则f (a －2)＝解析：若a >0，则f (a )＝log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2，则f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516；若a ≤0，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不合题意．综上f (a －2)＝－1516.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 020)＝解析：由442＝1 936,452＝2 025可得1，2，3，…， 2 020中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 020)＝44.11．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log22－x，x<1，2x －1，x≥1，则f(－2)＋f(log212)＝解析：∵－2<1，∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝122＝6.∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.题型七 分段函数与方程、不等式问题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于解析：当a >0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，无实数解；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，满足条件.2．函数f (x )＝⎩⎨⎧12x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )≤a ，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≥0时，由f (a )＝12a －1≤a ，解得a ≥－2，即a ≥0；当a <0时，由f (a )＝1a ≤a ，解得－1≤a ≤1，即－1≤a <0.综上所述，实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D 当a ≥0时，不等式可化为a (a 2＋a －3a )>0， 即a 2＋a －3a >0，即a 2－2a >0，解得a >2或a <0(舍去)；当a <0时，不等式可化为a (－3a －a 2＋a )>0，即－3a －a 2＋a <0，即a 2＋2a >0， 解得a <－2或a >0(舍去)．综上，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，－log 3(x －1)，x ≥2，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(1,2) B.⎝⎛⎭⎫－∞，43 C.⎝⎛⎭⎫1，43 D ．[2，＋∞) 解析：选A 当x <2时，不等式f (x )>1即e x －1>1，∴x －1>0，∴x >1，则1<x <2；当x ≥2时，不等式f (x )>1即－log 3(x －1)>1，∴0<x －1<13，∴1<x <43，此时不等式无解．综上可得，不等式的解集为(1,2).5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2， 即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.。