平面法向量在立体几何中的应用

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立体几何中的利器——平面法向量

子里形成正确概念有极大的帮助。但是还有部分同学对波的叠实验应使现象明显。让每一个学生，别是最后一排学生都看特加原理难以理解，又缺乏想象力，此笔者又用计算机模拟制作得清楚。因此，师应想办法把一些细微的现象进行放大，一为教把了一条直线上两传播方向相反的两列波的叠加，十分形象直些在水平面上进行的演示 “ 格 ” 转化成竖直平面上让学生观可定，
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评述：利用法向量解立体几何题，以克服平面的垂线难作、可
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角难找、难画等难点，要评估综合几何法与向量法在解决立图但几综合问题时的优劣，根据题目特点灵活使用．而恰当的建系是
由：
Ｌｎ１３・
一
ｏ求出满足方程组的可
一
线面垂直：以法向量为载体，化为求平面法向量与直线所转
个解，而求出平面的在的向量平行从
个法向量．
例２如图，四棱柱ＡＣＡＢＣＤ中，面边长为２，．正ＢＤ— 。。．．底侧棱长为４Ｅ，，Ｆ分别为棱ＡＢＢ、Ｃ的中点．
意创设有悖 “ 理 ” 常的奇妙情景来激发学生求知的内驱力。⑧ 实验要险．当学生想象中的实验结果会引起不良后果（损坏东如参考文献

法向量在立体几何中的应用分类解析

法向量在立体几何中的应用分类解析一、法向量在解决立体几何问题方面用着广泛的应用，下面我们就来详细总结下法向量在立体几何方面的各种应用吧。

1.用法向量证明空间几何中的平行关系⑴线线平行。

设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈.⑵线面平行。

设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=.⑶面面平行。

若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=.2. 用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直。

设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=. ⑵线面垂直设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若0,.0a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则 ⑶面面垂直若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ⋅=.3. 利用向量求空间角。

⑴求异面直线所成的角已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BDθ⋅=⑵求直线和平面所成的角求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ，则θ为ϕ的余角或ϕ的补角的余角.即有：cos s .in a u a uϕθ⋅==⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.如图：求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角：如果θ是锐角，则cos cos m n m nθϕ⋅==，即arccosm n m nθ⋅=；如果θ是钝角，则cos cos m nm nθϕ⋅=-=-，即arccos m n m n θ⎛⎫⋅ ⎪=-⎪⎝⎭. 4. 利用向量求空间距离点A 到平面α的距离（1）.若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，平面α的法向量为n ，则P 到平面α的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值.即cos ,d MP n MP=n MP MP n MP⋅=⋅n MP n⋅=(2). 直线a 与平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。

法向量在立体几何中的应用总

法向量在立体几何中的应用（一）
1．向量法求夹角
直线a 与直线b 所成的角就是直线a 与b 的方向向量的夹角或补角。

2．向量法求线面角
如图，PA 是平面α的斜线，n
为平面α的法向量，设PA 与平面α所成的角是θ，
则sin AP n
AP n
θ=
3．法向量证明线面平行、面面平行和面面垂直
（1）已知n 为平面α的法向量，a 为平面α外直线a 的方向向量，若a n ⊥
，则//a α；（2）已知1n 、2n 分别为平面α、β的法向量，若12//n n ，则//αβ；若12n n ⊥
，则αβ⊥
法向量在立几中的应用（三）——求二面角的平面角
1．法向量求二面角的平面角
如图，平面α、β的法向量分别为1n 、2n
，则二面角的平面角θ与两个法向量的夹角12,n n α=<>
之间的关系为θα=或θπα=-
法向量在立体几何中的应用（二）
1．法向量求点面距
如图，PA 为平面α的一条斜线，n
为平面α的法向量，则 ()
cos 0AP n AO OP n OP n OP n OP n =+===
⇒ A P n OP n =
即点P 到平面α的距离公式为AP n d n
=
θ
3．异面直线的距离
如图，异面直线a 、b 的距离可以转化为两平行平面α、β的距离，n
为同时与a 、
b 的方向向量垂直的向量（即法向量）
，因此异面直线a 、b 的距离为 EF n d n =
其中，E 、F 分别为异面直线a 、b 上的任意点。

法向量的应用

法向量在立几中的应用随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些空间想象能力较差的同学提供了机遇。

利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计算问题，尤其在求二面角和点到面的距离时，法向量有着它独有的优势−−不用作图而直接计算。

以下举例说明法向量在立几中的一些应用。

一法向量的有关概念如果一个向量所在直线垂直于平面，则该向量是平面的一个法向量。

二法向量的主要作用 1 证明线面平行取和直线平行的向量，验证该向量和法向量的点积是否为零。

2 证明面面垂直验证两个平面的法向量的点积是否为零。

3 求直线和直线所成的角利用两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。

4 求直线和平面所成的角如图，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则∠PAO 为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ易得|2sin(|sin -=πθ|cos ||cos ||cos |====5 求点到平面的距离如图点P 为平面外一点，点A一点，平面的法向量为n,过点P 作平面线PO ，记PA 和平面α所成的角为θ到平面的距离||||||sin ||||PA n PA n PA PA PO d ∙=∙===θ6 求二面角的大小如图在二面角βα--l 中n 1和n 2分别为平面α和β的法向量若二面角βα--l记二面角βα--l 的大小为θ，若该二面角为锐二面角则=θ或-=πθ(依据两平面法向量的方向而定)，但总有|cos ||cos |=θ=||2121n n ∙所以此时||arccos 2121n n ∙=θ若二面角βα--l 为钝二面角则=θ或-=πθ(依据两平面法向量的方向而定)，但总有|||cos |=θ=2121所以此时||arccos2121n n ∙-=πθ三法向量的求法如图，在正方体ABCD-A 1B !C 1D 1中G 、E 、F 分别为AA 1、AB 、BC 的中点，求平面GEF 的法向量。

空间向量在立体几何中的应用-立体几何

(4)若平面α的一个法向量为m，P是α外一
点，A是α内任一点，则点P到α的距离d= | PA·m | .
|m|
考点一用向量证明平行、垂直问题
如图，在四棱锥P—ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面 ABCD为矩形，且PA=AD， E,F分别为线段AB,PD的中点.求证：
(1) AF∥平面PEC;
相等或互补 .
5.空间的距离
(1)一个点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离.
(2)已知直线l平行平面α，则l上任一点到α的距离都相等，且叫做l到α的距离.
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(3)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段 .两平行平面的任两条公垂线段的长都相等，公垂线段的长度叫做两平行平面的距离，也是一个平面内任一点到另一个平面的距离.
EC=(
a
22 ,1,0),∴AF=
1
2 EP+
1 EC,
2
2
2
又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 11
∴AF·PD=(0, 2, 2)·(0,1,-1)=0, AF·CD=(0, 1 , 1 )·(-a,0,0)=0,
22 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D,
∴m⊥n.
∴平面ADE⊥平面A1D1F.
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考点二用向量求线线角与线面角如图所示，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°. (1)求DP与CC′所成角的大小； (2)求DP与平面AA ′ D′D所成角的大小
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解. 返回目录

平面几何中的向量与立体几何体的位置关系

平面几何中的向量与立体几何体的位置关系在平面几何中，向量与立体几何体的位置关系是一个重要的研究领域。

向量是平面几何的基础概念，而立体几何体则是空间中的实体物体。

在这篇文章中，我们将探讨向量与立体几何体之间的关系，并探索它们在几何学中的应用。

一、向量的定义与性质向量是由大小和方向决定的量，用有向线段表示。

在二维平面中，向量通常由两个坐标表示，分别为横坐标和纵坐标。

例如，向量AB可以表示为(1,2)。

向量的性质包括加法、减法、数量乘法、数量除法等。

二、向量的运算在平面几何中，向量的运算是基本操作之一。

向量的加法是指将两个向量按照一定的规则相加，得到一个新的向量。

向量的减法和数量乘法也是类似的操作。

通过向量的运算，我们可以获得两个向量之间的关系，例如平行、垂直等。

三、向量的模与方向角向量的模表示向量的大小，而方向角表示向量与横轴之间的夹角。

向量的模可以使用勾股定理计算，方向角可以使用三角函数计算。

通过向量的模与方向角，我们可以准确地描述向量在平面中的位置与方向。

四、向量的应用在几何学中，向量有着广泛的应用。

例如，我们可以使用向量来表示线段，通过线段的向量运算可以得到线段的长度、方向等信息。

此外，向量还可以用来表示平面中的直线和曲线，通过向量的性质可以判断直线的平行、垂直关系，计算曲线的斜率等。

五、向量与立体几何体的位置关系在立体几何中，向量与几何体的位置关系是一个研究的重点。

通过向量的表示，我们可以描述几何体在空间中的方位与位置。

例如，我们可以通过指定一个点和一个向量来表示一条直线，通过两个向量来表示一个平面。

通过向量的运算，可以判断几何体之间的相对位置，例如平面与平面的交角、直线与平面的垂直关系等。

六、应用实例例如，我们可以通过向量的运算来计算一个立方体的体积。

假设立方体的一条边长为a，我们可以将其表示为向量OA，其中O是立方体的一个顶点。

那么立方体的体积可以表示为V=a^3，其中a是向量的模。

再例如，我们可以通过向量的运算来判断一个平面是否位于一个平行六面体的底面上。

数学与应用数学专业毕业论文-向量在立体几何中的应用

向量在立体几何中的应用摘要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.装关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用订线ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving become programmed.Keywords：Vector; solid geometry; proof; calculation; use目录摘要 (Ⅰ)ABSTRACT (Ⅰ)1 向量方法在研究几何问题中的作用 (1)2 向量方法解决证明问题的直接应用 (2)2.1平行问题 (2)2.1.1证明两直线平行 (2)2.1.2证明线面平行 (3)2.2垂直问题 (4)2.2.1证明两直线垂直 (4)2.2.2证明线面垂直 (4)2.2.3证明面面垂直 (5)2.3处理角的问题 (6)2.3.1求异面直线所成的角 (6)2.3.2求线面角 (7)2.3.3求二面角 (8)3 向量方法解决度量问题的直接应用 (10)3.1两点间的距离 (10)3.2点与直线距离 (10)3.3点到面的距离 (11)3.4求两异面直线的距离 (11)3.5求面积 (12)3.6求体积 (13)4 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用 (14)5 向量在立体几何中应用的教学反思 (21)5.1对比综合法与向量法的利弊 (21)5.2向量法解决立体几何问题的步骤 (22)5.3向量法能解决所有立体几何问题吗 (22)参考文献 (23)1 向量方法在研究几何问题中的作用]1[向量是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担.向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所成角等.用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.2 向量方法解决证明问题的直接应用2.1平行问题]2[2.1.1证明两直线平行b a CD AB b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ. 知),(),,(2211y x CD y x AB ==，则有b a y x y x //1221⇒=. 例 1 已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足，求证：OA//BD.证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，k j i ,,为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设),,(z y x BD =，∵α⊥BD ，∴j BD i BD ⊥⊥,∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x i BD ，0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x ，∴),0,0(z =∴k z BD =，又知O 、B 为两个不同的点，∴OA BD //.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.2.1.2证明线面平行1、线∉a 面α，a B A ∈,，面α的法向量为n ，α//0AB n AB n AB ⇔⊥⇔=⋅. 方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行.2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e a ⇔+=.例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ,求证:PQ ∥平面BCE.证明：设λ=，∵AP = FQ, ∴λ=，∴FQ AF PA PQ ++==λλ++-=λλλλ+-+--=)1(λλ-+∴//PQ 平面BCE.方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行.2.1.3面面平行1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ，βαλ//⇔=.方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.2、不重合的两平面α与β，面α的法向量为，若βαβ//⇔⊥.方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行.2.2垂直问题]3[2.2.1证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为a 和b ，则有b a b a ⊥⇒=⋅0. 例3 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB //CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点.证明：PE ⊥BC证明：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则(1,0,0),(0,1,0)A B设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>，则 )0,2,21(),0,,0(m E m D ，可得)0,1,(),,2,21(-=-=m n m ，因为0022m m PE BC ⋅=-+=，所以 PE BC ⊥.2.2.2证明线面垂直直线l 的方向向量为]4[，平面α的方向向量为，则有αλ⊥⇒⋅=l . 例4，如图，m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,，求证：α⊥l .证明：在α内作任一直线g ，分别在g n m l ,,,上取非零向量g n m l ,,,. 因为m 与n 相交，所以向量n m ,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使n y m x g +=将上式两边与向量l 作数量积，得n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅，因为 0,0=⊥=⊥n l m l ，所以0=⋅g l ，所以g l ⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以α⊥l .方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直. 2.2.3证明面面垂直1、不重合的平面α与β的法向量分别为m 和n ，则有βα⊥⇔=⋅0n m . 方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.2、平面β的法向量为n ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点（1）求证：AD ⊥D 1F ；(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法.证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2)D 1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)(1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-m n gα l AB C DA 1B 1C 1D 1z y∴ 1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F（2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE = ，|1|5D F = 设AE 与D 1F 的夹角为θ，则θcos =055)2(10012|F D ||AE |FD AE 11=-⨯+⨯+⨯=⋅所以D 1F ⊥AE ，由（1）知D 1F ⊥AD ，又AD ∩AE=A ，∴D 1F ⊥平面AED ，∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示.2.3处理角的问题]5[2.3.1求异面直线所成的角a,b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有CD AB CDAB CD AB ⋅⋅=〉〈=,cos cos θ.例6 如图所示,三棱锥A-BCD,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz,∵AB=BC=2BD,设BD=1则AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0))2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DCBC AB设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→, 则00.11=⇒=→→z n AB030.111=+-⇒=→→y x n BC取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→n 设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→则00.22=⇒=→→y n DC020.222=+⇒=→→z x n DA取法向量)1,0,2(-=→n cos<→→21,n n >=5151040131001)2(32221-=++⨯++⨯+⨯+-⨯=⋅→→→→n n n n 515arccos,21->=∴<→→πn n 互补平面角与二面角><--∴→→21,n n D AC B , 515arccos的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）.2.3.2求线面角设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈m 是面α的法向量，则有〉〈=m AB ,cos sin β.例7如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90，侧棱AA 1＝2，D 、E分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；D D A 1C 1B 1z E解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，)2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)31,32,32(a a G ， ∵ ()2,,333a a GE =---，()0,2,1BD a =-，032322=-=⋅a ， ∴1=a ，()112,,333GE =---，()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD的法向量，且32,cos 1==〉〈GE B A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32. 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.2.3.3求二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如右图所示），则 ① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n ⋅=θ方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n ⋅=θ.例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．解如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -，依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）. ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=A ，面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ，设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a QD n a a a Q A n ⎩⎨⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =，令a 1=1，则)2,1,1(2=n ，∴66611,cos 21=⨯=>=<n n ，二面角的平面角为锐角，∴二面角A —A 1D —Q 的大小为66arccos. 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令11-=a ，则)2,1,1(2---=n ，∴66,cos 21->=<n n ，∴二面角A —A 1D —Q 的大小是><21,n n 66arccos-=π的补角66arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.O （A 1z3 向量方法解决度量问题的直接应用3.1两点间的距离]6[两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点()()11112222,,,,,P x y z P x y z ，则()()()22212212121d PP x x y y z z ==-+-+-例1 在三棱锥S ABC -中，面SAC ⊥面ABC ，SA AC ⊥，BC AC ⊥6SA =,21,8AC BC ==，求SB 的长. 分析如图，本题可以用几何法求出SB ，但需要证明若用向量法，注意到SA ，AC ，BC 之间的关系.建立以A 点为原点的空间直角坐标系.则无须证明就有如下巧解.解如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,21,0,0,0,6A B S ，所以()()()222080216011SB SB ==-+-+-=.本题用向量法巧妙地把与SB 有关元素的位置关系转化为相应向量是SB 的数量关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决.3.2点与直线距离]7[如图求得向量AP 在向量AB 的射影长为d , 则点P 到直线AB 22AP d -例2 设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA 垂直平面外的一点，直线PA 垂直平面ABCD ，AB =3，BC =4，PA =1 求点P 到直线BP 的距离. 解()()29BP BD BA AP BC BA AB ⋅=+⋅+==BD5所以BP 在BD 上的射影长为95，又10BP =，所以点P 到直线BD 的距离3.3点到面的距离任取一点α∈Q 得m PQ ,是平面α的法向量，则有：点P 到平面α的距离mm PQ d ⋅=（向量PQ 在法向量m 的投影的长度）.方法思路：求出平面的任一法向量m （方程组可求），在平面内任取一点Q 与点P 得一向量转化为PQ 在法向量的投影长度，套公式.3.4求两异面直线的距离知b a ,是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，找一向量与两异面直线都垂直的向量m ，则两异面直线的距离mm AC d ⋅=例3如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形 B B A A ''是矩形，。

法向量在立体几何中的应用.

法向量在立体几何中的应用查宝才（扬州市新华中学，江苏 225002）向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。

将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。

下面就向量中的一种特殊向量——法向量，结合近几年的高考题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。

1 法向量的定义1.1 定义1 如果一个非零向量n 与平面α垂直，则称向量n 为平面α的法向量。

1.2 定义2 任意一个三元一次方程：0=+++D Cz By Ax ，222(C B A ++)0≠都表示空间直角坐标系内的一个平面，其中),,(C B A n =为其一个法向量。

]1[事实上，设点),,(0000z y x P 是平面α上的一个定点，),,(C B A n =是平面α的法向量，设点),,(z y x P 是平面α上任一点，则总有n P P ⊥0。

∴ 00=⋅n P P ，故 0),,(),,(000=---⋅z z y y x x C B A ，即 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ， ∴ 0000=---++Cz By Ax Cz By Ax ，……① 设 000Cz By Ax D ---=，则 ① 式可化为0=+++D Cz By Ax )0(222≠++C B A ，即为点P 的轨迹方程。

从而，任意一个三元一次方程：0=+++D Cz By Ax )0(222≠++C B A ，都表示一个平面的方程，其法向量为),,(C B A =。

2 法向量在立体几何中的应用 2.1 利用法向量可处理线面角问题设θ为直线l 与平面α所成的角，ϕ为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角，则有θπϕ-=2（图1）或θπϕ+=2（图2）图1 图2特别地 0=ϕ时，2πθ=，α⊥l ；2πϕ=时，0=θ，α⊆l 或α//l例1（2003年, 新课程、江苏、辽宁卷高考题）如图3，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，ο90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面上的射影是ABD ∆的重心G 。

立体几何中的向量直线的方向向量和平面的法向量

l
给定一点A和一个向量 n,那么过点A, 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
几点注意：
n
1.法向量一定是非零向量;
A 2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量 n是平面的法向量，向量 m 是
与平面平行或在平面内，则有
nm 0
例 1:在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求
证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
见，取z=1较合理。其实平面的法向量不
（ x，y，z）(2, 2,1) 0，
是惟一的。
（x，y，z）(4,5,3) 0,
即24xx
2y 5y
z0 ,
3z 0
取z
1，得
x y
1 2 1
n (1 , 1,1), | n | 3
2
2
求平面ABC的单位法向量为
(1，- 2，2）
3 33
证：设正方体棱长为 1，
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系 D xyz ，则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) DB1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ， AD1 (1,0,1) DB1 AC 0，所以 DB1 AC ,同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A
1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ；线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直1 2 n1 n2 n1 n2 0.
若e (a1,b1,c1), n (a2,b2,c2),则
l e // n e n a1 a2,b1 b2,c1 c2.

浅谈向量在立体几何中的应用

浅谈向量在立体几何中的应用
立体几何学研究的是几何元素的三维构成，其中的向量起着至关重要的作用。

向量可以用来表示方向及大小。

它们能够描述立体几何中的各种元素，如点、线、面及体积等。

因此，向量在立体几何中的应用是非常广泛的。

首先，向量可以用来描述平面和专面上的点、线、面等立体几何元素。

对于点，可以使用一个标量来描述它在空间中的位置。

对于线来说，可以使用一个向量来描述它的方向及长度。

对于面来说，可以使用一个二维向量来描述面的法向量及面积。

此外，向量也可以用来描述立体几何中的平移、旋转、折叠等变换。

比如，使用倾斜向量来描述物体的平移和旋转。

这样，可以用数学表达式来快速描述空间变换，从而实现坐标变换。

此外，在立体几何学中，还有一种重要的概念叫做“定义域”，它是指一个几何物体定义出来之后，用来描述物体细节的特殊几何元素。

而向量可以用来描述这种特殊几何元素的位置及大小，一般情况下，这些特殊几何元素是由一组向量来表示的。

最后，向量在描述立体几何中的各个元素的功能上，可以说是十分重要的。

向量可以用来表示空间中物体的位置，物体的变换，定义域中的特殊几何元素等。

向量可以给出许多关于空间变换和特殊几何元素的定义，从而使立体几何学更加完善，为现代科学发展做出了重大贡献。

总之，向量在立体几何中是十分重要的一环，它可以用来描述各
种立体几何元素，并可以用来描述空间变换及定义域中的特殊元素。

向量既可以作为立体几何中的重要数学工具，也可以是科学研究的有力帮手。

由此可见，在立体几何中，向量是十分重要的。

向量法解决立体几何问题总结

向量法解决立体几何问题总结
向量法是一种解决立体几何问题的有效方法。

通过使用向量的性质和运算，可以简化复杂的几何关系，找到简单且准确的解决办法。

以下是一些向量法解决立体几何问题的总结：
1. 建立坐标系：通过建立适当的坐标系，可以将立体几何问题转化为平面几何问题，从而更容易处理和求解。

2. 向量的线性运算：利用向量的加法、减法和数量乘法，可以求解直线的交点、线段的中点等问题。

3. 向量的数量积：使用向量的数量积，可以计算出向量的长度、判断向量的夹角大小，从而解决立体几何问题中涉及角、直线的垂直和平行关系。

4. 点和直线向量表示：通过将平面上的点和直线用向量表示，可以简化问题，将几何关系转化为向量运算，从而更方便求解。

5. 三角函数和向量：利用三角函数与向量的关系，可以计算出向量在某个方向上的分量，进而求解垂直、平行关系以及向量的投影等问题。

6. 平面方程与向量：通过将平面的方程转化为向量的形式，可以更容易地判断点与平面的关系，求解平面的交点等问题。

总的来说，向量法在解决立体几何问题时具有简单、直观、可
靠的优势。

通过合理运用向量的性质和运算，能够快速解决各种立体几何问题。

法向量的应用

解：（1）以 C为原点，CA所在直线为 x 轴建立空间直角坐标系，设 AC 的长为 a ，则 A(a ， 0 ， 0) ， B(0 ， a ， 0) ， D(0 ， 0 ， 1), A A1(a，0，2) x
x
D E GC B y
由于E在面ABD内的射影为G点所以GE面ABD a a 2 又 DA (a,0,1) AB (a, a,0) GE ( , , ) 6 6 3 z 由 AB GE 0及DA GE 0 a2 2 C1 0 6 3 (a,0,2) 可得 2 2 解得a=2 A1 B1 a a 0
6 1 4 1 3
B
2
(0,1,0) D
C
y A
x
B
N (2,0,0)
例 2 (2003 年高考江苏卷 ) 如图，在直三棱柱 ABC － A1B1C1 中，底面是等腰直角三角形， ACB=90o ，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G。 z (1) 求A1B与平面ABD所成角的大小 C1 (2) 求点A1到平面AED的距离。A B1 1
E D
n2
F
C
n1 n2
E
A B
n1
D
C
A
B
6 求点到平面的距离如图 , 点 P 为平面外一点，点 A 为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面的垂线 PO，记PA和平面所成的角为，则点P到平面的距离
d | PO | | PA | sin | n PA | | PA | | n || PA | | n PA | |n|
1 1 2 a a 2 ∴ GE ( , , ) ( , , ) 3 3 3 6 6 3

论向量在立体几何和平面解析几何中的应用

论向量在立体几何和平面解析几何中的应用平面向量的运用作为中学数学的重要教学内容之一，具有几何与代数的双重性质，向量工具为数学问题的解决提供了新的有效方法与思路。

同时向量也是中学数学课堂改革过程中的重要举措。

在解决立体几何与平面解析几何问题时运用平面向量法能够帮助学生更加明晰代数与几何之间的联系，培养学生的数学思维。

因此，教师应积极转变传统几何法的解题模式，贯彻“数形结合”的数学教学理念，为学生学习论证与度量问题扫清障碍。

向量立体几何平面解析几何在数学中，向量即具有方向、大小且遵循平行四边形法则的量，根据向量方向与大小的不同，可以将其分为固定向量与自由向量。

将向量法应用在立体几何与平面解析几何的问题中是一种很好的思路与方法，学生通过利用向量代数的方法能够有效避免思维障碍，将逻辑推理的难度降低，利用坐标运算法及“数形结合”的数学思维提高解题效率。

1 向量概述1.1 概念求向量差：通过将两个向量的始点重合，将减向量的终点作为始点，将被减向量的终点作为终点，两点之间的差即两向量之间的差。

1.3 向量与实数的积向量与实数的乘积仍表示向量，零向量与任何向量及实数的积均为零向量。

1.4 向量的坐标运算向量表示的有向线段的终点坐标与始点坐标的差即向量的坐标，两个向量的坐标之和则为向量和的坐标，同样的，两个向量的坐标之差就为向量差的坐标2 平面向量法在立体几何和平面解析几何中的应用2.1运用图形，建立数形结合思维在解决立体几何问题的过程中，利用传统的解题方法，即综合推理法，由于立体几何中的角度、距离等问题具有较强的技巧性，需要学生具有极强的逻辑推理思维能力以及抽象的空间想象力，并且此类题目没有一成不变的规律，从而使得学生智力受到了很大考验，在思考问题时面临很大挑战。

这个时候就需要运用数形结合的思维来处理这些问题。

在数学教学和实际应用中，我们都要培养学生的空间想象能力，并将这种能力应用于立体几何问题解决中去。

学生建立好空间概念，画好正确的立体图形是解决立体几何问题的第一步。

平面向量与立体几何的应用

平面向量与立体几何的应用一、简介平面向量和立体几何是数学中重要的概念和工具，广泛应用于物理学、工程学和计算机图形等领域。

本文将探讨平面向量和立体几何在实际问题中的应用。

二、平面向量的应用1. 平面向量的表示平面向量可以由坐标表示，也可以由大小和方向表示。

在几何问题中，通常使用大小和方向表示平面向量，可以方便地进行运算和分析。

2. 平面向量的加法和减法平面向量的加法和减法可以用几何方法和分量法进行计算。

在物理学中，平面向量的加法和减法常用于求合力和分解力的问题。

3. 平面向量的数量积和向量积平面向量的数量积可以用于计算向量的夹角和判断两个向量是否垂直。

向量积可以用于计算面积、判断点与线的位置关系等问题。

4. 平面向量在图形设计中的应用平面向量在图形设计和计算机图形中有广泛的应用。

例如，通过向量的加法和减法可以进行图形的平移、旋转和缩放；通过向量的数量积可以计算图形的面积和判断图形的位置关系。

三、立体几何的应用1. 空间直线和平面的表示空间直线可以由两个点或者一点和一个方向向量表示。

空间平面可以由三个不共线的点或者一个点和两个方向向量表示。

2. 空间点与直线、平面的位置关系在立体几何中，经常需要判断一个点与直线或者平面的位置关系。

可以通过计算点到直线或者平面的距离来判断位置关系。

3. 空间直线和平面的交点求空间直线和平面的交点是立体几何中常见的问题。

可以通过解方程组或者利用向量运算来求解交点的坐标。

4. 立体几何在几何体表面积和体积计算中的应用立体几何的一个重要应用是计算几何体的表面积和体积。

通过划分为平面图形或者使用向量法，可以求解复杂几何体的表面积和体积。

四、实际问题中的应用举例1. 物体运动的分析物体运动的分析常常涉及到向量和几何的应用。

通过建立坐标系和运动方程，可以计算物体的位移、速度和加速度。

2. 工程结构的设计在工程结构的设计中，平面向量和立体几何的应用十分重要。

例如，在桥梁的设计中，需要计算桥墩和桥梁的位置关系以及桥面的斜率。

向量与立体几何的联系

向量与立体几何的联系向量是现代数学中的一个重要概念，它在多个数学分支中都有广泛应用，包括几何学。

立体几何是研究空间内的物体形状和相互关系的一门学科。

在立体几何的研究过程中，向量可以用来描述物体的位置、方向和变换等信息。

本文将探讨向量与立体几何之间的联系，从不同角度展示它们之间的紧密关系。

1. 向量的定义与表示向量可以看作是具有大小和方向的量，它可以用来表示二维或三维空间中的位置或方向。

在二维空间中，向量可以用一个有序的数对表示，如(2, 3)。

在三维空间中，向量可以用一个有序的数组表示，如(1, 2, 3)。

向量还可以用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

2. 向量与点的关系在立体几何中，点通常被用来表示物体的位置。

而向量可以用来描述点与点之间的相对位置关系。

给定两个点A和B，可以通过向量AB 来表示从点A指向点B的方向和距离。

在立体几何分析中，向量的终点就代表点的位置，向量的大小和方向则表示点的位移和方向。

3. 向量的运算与几何应用在立体几何中，向量的运算可以用来描述物体的平移、旋转和缩放等变换。

向量的加法和减法可以用来实现平移操作，通过将点的位置向量进行加减运算可以得到平移后的新的位置。

向量的乘法可以用来实现旋转和缩放操作，通过对点的位置向量进行乘法运算可以实现绕某个中心点的旋转和缩放变换。

4. 向量与直线的关系在立体几何中，直线是一个非常基本的概念。

向量可以用来描述直线的方向和位置。

通过两个点的位置向量之差可以得到直线的方向向量，从而确定直线。

同时，向量的线性组合可以表示直线上的其他点的位置向量。

通过向量的点乘运算还可以计算点到直线的距离。

5. 向量与平面的关系在立体几何中，平面是由三个不共线的点确定的。

向量可以用来描述平面的法向量和位置。

通过三个点的位置向量可以获得平面的法向量，从而确定平面的朝向和方程。

通过点与平面的关系可以计算点到平面的距离。

同时，向量的线性组合可以表示平面上的其他点的位置向量。

平面向量在立体几何中的应用

平面向量在立体几何中的应用立体几何是几何学中的一个重要方向，它是研究空间中的物体的形态、大小和位置关系的学科。

而平面向量是空间几何学中的一个基本概念，它在立体几何中也有很重要的应用。

下面我将从距离、角度、点和面积四个方面介绍平面向量在立体几何中的应用。

一、距离平面向量在立体几何中最常见的应用之一就是计算空间中两点之间的距离。

对于空间中的两个点P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2)，它们之间的距离可以用如下公式来计算：|PQ| = sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)其中|PQ|表示P和Q之间的距离。

如果我们用向量来表示P和Q，则可以将公式改写成如下形式：|PQ| = |→PQ| = sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)此处的|→PQ|表示从P指向Q的向量。

二、角度除了距离，平面向量还可以用来计算空间中向量之间的夹角。

设两个非零向量→a和→b，它们之间的夹角θ用下面的公式来计算：θ = arccos((→a·→b)/(∥→a∥∥→b∥))其中，'·'表示向量的点积，'∥→a∥'表示向量→a的模长（即向量的长度）三、点空间中的点可以用向量表示。

例如，对于点P(x,y,z)，我们可以用向量→OP=<x,y,z>来表示它。

对于空间中给定的三个点A、B、C和一个普通点P，我们可以使用向量来判断P是否在ABC三角形内部。

具体方法是：将A、B、C三点看作向量，再将P点看作三条边组成的三角形的顶点向量，通过向量的叉积计算出向量→AP和→AB，→AP和→AC，→AP和→BC的方向，如果三个向量的方向都一致，那么P就在ABC三角形内部。

四、面积平面向量在立体几何中还可以用来计算三角形的面积。

设三角形ABC的顶点坐标分别为A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)。

平面向量与立体几何体

平面向量与立体几何体一、平面向量的概念及基本性质平面向量是指在平面上有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。

平面向量具有以下基本性质：1. 向量的模：向量的模表示向量的大小，记作|AB|，其中A和B分别表示向量的起点和终点。

向量的模可以通过平行四边形法则计算得到。

2. 向量的方向角：指向量与某个基准方向之间的夹角，通常用α表示。

方向角的取值范围是0°到360°。

3. 向量的方向余弦：是指向量与x轴正方向夹角的余弦值，记作cosα。

4. 向量的加法和减法：向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后将两个向量的终点相接，新得到的向量即为两个向量的和。

向量的减法表示将减去的向量反向后与被减向量相加。

5. 向量的数量积：向量的数量积又称为内积或点积，表示两个向量之间的乘积，结果是一个标量。

向量的数量积计算公式为：A·B =|A|·|B|·cosθ，其中θ表示A与B之间的夹角。

二、平面向量在立体几何体中的应用平面向量在立体几何体中有着广泛的应用，可以用于描述平面上的图形、计算面积和体积等。

1. 平面上的图形：利用平面向量可以方便地描述平面上的图形。

以三角形为例，设三角形的三个顶点分别为A、B、C，利用向量表示法可以得到向量AB、BC、CA。

根据向量的性质，若三个向量满足向量AB+BC+CA=0，则表示这三个向量所对应的三角形是一个闭合图形。

2. 平面图形的面积：平面上的图形的面积可以利用向量的数量积来计算。

以平行四边形为例，设平行四边形的两个边向量为A、B，夹角为θ，则平行四边形的面积可以表示为S = |A|·|B|·sinθ。

3. 立体几何体的体积：平面向量在计算立体几何体的体积时也扮演重要角色。

以长方体为例，设长方体的三个相邻边分别为a、b、c，可以得到长方体的体积V = |a·(b×c)|，其中×表示向量的叉积。