广东省广州市第一中学高中数学 1.3.2球的体积与表面积导学案(无答案)新人教版必修2

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高中数学《球的体积和表面积》导学案

1.3.2 球的体积和表面积课前自主预习知识点球的体积和表面积1.球的体积如果球的半径为R ，那么它的体积V ＝□143πR 3. 2.球的表面积如果球的半径为R ，那么它的表面积S ＝□24πR 2.1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)决定球的大小的因素是球的半径．( )(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( )(3)球的体积V 与球的表面积S 的关系为V ＝R 3S .( )答案 (1)√ (2)√ (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)表面积为4π的球的半径是________．(2)直径为2的球的体积是________．(3)(教材改编，P 28，T 3)已知一个球的体积为43π，则此球的表面积为_______．答案 (1)1 (2)4π3 (3)4π3.(教材改编，P 27，例4)若球的过球心的圆面圆周长是c ，则这个球的表面积是( )A.c 24πB.c 22πC.c 2π D ．2πc 2答案 C课堂互动探究探究1 球的体积与表面积例1 (1)已知球的直径为6 cm ，求它的表面积和体积；(2)已知球的表面积为64π，求它的体积；(3)已知球的体积为5003π，求它的表面积．解 (1)∵直径为6 cm ，∴半径R ＝3 cm.∴表面积S 球＝4πR 2＝36π(cm 2)，体积V 球＝43πR 3＝36π(cm 3)．(2)∵S 球＝4πR 2＝64π，∴R 2＝16，即R ＝4.∴V 球＝43πR 3＝43π×43＝2563π.(3)∵V 球＝43πR 3＝5003π，∴R 3＝125，R ＝5.∴S 球＝4πR 2＝100π.拓展提升求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了. 【跟踪训练1】 (1)两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________．(2)已知球的大圆周长为16π cm ，求这个球的表面积．答案 (1)364π3 (2)见解析解析 (1)设大、小两球半径分别为R ，r ，则由题意可得⎩⎨⎧ R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，∴⎩⎨⎧ R ＝4，r ＝3.∴它们的体积和为43πR 3＋43πr 3＝364π3.(2)设球的半径为R cm ，由题意可知2πR ＝16π，解得R ＝8，则S 球＝4πR 2＝256π(cm 2).探究2 球的三视图例2 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．解由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.该几何体的体积为V ＝23＋12×43π×13＝8＋2π3.拓展提升(1)由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．(2)求解表面积和体积时，要避免重叠和交叉.【跟踪训练2】某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π 答案 C解析由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，根据体积公式可得组合体的体积为12×43π×33＋13π×32×4＝30π.探究3 球的截面问题例3 一平面截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π解析利用截面圆的性质先求得球的半径长．如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝2，O′M＝1，∴OM＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V＝4＝43π.3π×(3)3答案B拓展提升球的截面的性质(1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．(2)利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.【跟踪训练3】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为()A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1372π3 cm 3D.2048π3 cm 3答案 A解析如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5，∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3).【跟踪训练4】球的表面积为400π，一个截面的面积为64π，则球心到截面的距离为________．答案 6解析如图，由已知条件知球的半径R ＝10，截面圆的半径r ＝8，∴球心到截面的距离h ＝R 2－r 2＝6.探究3 球的组合体问题例4 设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2解析作出图形的轴截面如图所示，点O 即为该球的球心，线段AB 即为长方体底面的对角线，长度为a 2＋(2a )2＝5a ，线段BC 即为长方体的高，长度为a ，线段AC 即为长方体的体对角线，长度为a 2＋(5a )2＝6a ，则球的半径R ＝AC 2＝62a ，所以球的表面积S ＝4πR 2＝6πa 2.答案 B[条件探究] 将本例中长方体改为棱长为a 的正四面体，则球的表面积如何求？解如图，过A 作底面BCD 的垂线，垂足为E ，则E 为△BCD 的中心，连接BE .∵棱长为a ，∴BE ＝32a ×23＝33a .∴在Rt △ABE 中，AE ＝a 2－a 23＝63a .设球心为O ，半径为R ，则(AE －R )2＋BE 2＝R 2，∴R ＝64a ，∴S 球＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫64a 2＝32πa 2. 拓展提升1.正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a 2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．2.长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r 2＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(2)．3．正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球的半径R 的关系为：2R ＝62a .【跟踪训练5】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πa 2B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 答案 B解析由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.【跟踪训练6】球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．答案932或332解析①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球的半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r2－⎝⎛⎭⎪⎫r22＝3r2，高为3r2.该圆锥的体积为13×π×⎝⎛⎭⎪⎫3r22×3r2＝38πr3，球的体积为43πr3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr343πr3＝932.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332.1.球的有关性质(1)用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝R2－r2.(2)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球的半径，被不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆．2.与球有关的组合体与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的轴截面．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合体，通常作出它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”“接点”作出轴截面．课堂达标自测1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6答案 A解析由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，所以球的半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．4πB ．8πC ．12πD ．20π答案 D解析由该几何体的三视图知，它是由一个球和一个圆柱组成，S 表＝S 球＋S 圆柱＝4π×12＋π×22×2＋2π×2×2＝4π＋8π＋8π＝20π.3.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A.1倍 B ．2倍 C.95倍 D.74倍答案 C解析设最小球的半径为r ，则另外两个球的半径分别为2r,3r ，其表面积分别为4πr 2,16πr 2,36πr 2，故最大球是其余两个球的表面积之和的36πr 24πr 2＋16πr2＝95倍. 4.一个距离球心为3的平面截球所得的圆面面积为π，则球的体积为________．答案 32π3解析设所得的圆面的半径为r ，球的半径为R ，则由π＝πr2，得r＝1，又r2＋(3)2＝R2，∴R＝2.∴V＝43πR3＝32π3.5.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线的性质知，当球在容器内时，水深CP为3r，水面的半径AC为3r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝13π·(3r)2·3r－4 3πr3＝53πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积是V′＝13π·⎝⎛⎭⎪⎫33h2·h＝19πh3，由V＝V′，得h＝315r.即容器中水的深度为315r.课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1.已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等，则球O 的半径为( )A.24πB.6πC. 324πD. 36π答案 D解析设球O 的半径为r ，则43πr 3＝23，解得r ＝ 36π.2.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A.8π3 B.32π3 C ．8π D.82π3答案 C 解析设球的半径为R ，则截面圆的半径为R 2－1， ∴截面圆的面积为S ＝π(R 2－1)2＝(R 2－1)π＝π，∴R 2＝2，∴球的表面积S ＝4πR 2＝8π.3.一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3、4、5，则它的外接球的表面积是( )A.202π B ．252π C ．50π D ．200π答案 C解析因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角(如图所示)，而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球．设此三棱锥的外接球的半径为r ，则有(2r )2＝32＋42＋52＝50，即4r 2＝50，故它的外接球的表面积是S ＝4πr 2＝50π.4.某几何体的三视图如图所示，根据图中数据可知该几何体的体积为( )A.4π3B.15π3C.4π3－15π3D.4π3＋15π3答案 D解析由三视图可得，该几何体的上部是一个球，球的直径为2，则V 球＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝4π3，该几何体的下部是一个圆锥，圆锥的底面直径为2，高为15，则V 圆锥＝π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫222×15＝15π3，所以该几何体的体积为V 球＋V 圆锥＝4π3＋15π3.5.一个球与一个正三棱柱(底面为等边三角形，侧棱与底面垂直)的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为32π3，那么这个正三棱柱的体积是( )A.96 3 B ．16 3 C ．24 3 D ．483答案 D解析设正三棱柱的底面边长为a ，则球的半径R ＝33×12a ＝36a ，正三棱柱的高为33a .又V 球＝43πR 3＝4π3×(3)363a 3＝32π3.∴a ＝4 3.∴V 柱＝34×(43)2×33×43＝48 3.二、填空题6．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.答案 4解析设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4 cm.7.已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M .若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．答案 16π解析由题意得圆M 的半径r ＝3，又球心到圆M 的距离为R 2，由勾股定理得R 2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22，R ＝2，则球的表面积为16π.8.已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若这两个正四棱锥的体积之比为1∶2，则该球的表面积为________．答案 36π解析 ∵两正四棱锥有公共底，且体积比为1∶2，∴它们的高之比为1∶2，设高分别为h,2h ，球的半径为R ，则h ＋2h ＝3h ＝2R ，∴R ＝32h ，又∵底面边长为4，∴R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32h 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22＋(22)2，解得h ＝2，∴R ＝3，∴S 球＝4πR 2＝36π.三、解答题9.如图是一个几何体的三视图(单位：cm)，试画出它的直观图，并计算这个几何体的体积与表面积．解这个几何体的直观图如图所示．因为V 长方体＝10×8×15＝1200(cm 3)，又V 半球＝12×43πR 3＝12×4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π12(cm 3)，所以所求几何体的体积为V ＝V 长方体＋V 半球＝1200＋125π12(cm 3)．因为S 长方体全＝2×(10×8＋8×15＋10×15)＝700(cm 2)，S 半球＝12×4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25π2， S 半球底＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25π4，故所求几何体的表面积 S 表面积＝S 长方体全＋S 半球－S 半球底＝700＋25π4(cm 2).B 级：能力提升练10.在半径为15的球O 内有一个底面边长为123的内接正三棱锥A－BCD，求此正三棱锥的体积．解①如图甲所示的情形，显然OA＝OB＝OC＝OD＝15.设H 为△BCD的中心，则A，O，H三点在同一条直线上．∵HB＝HC＝HD＝23×32×123＝12，∴OH＝OB2－HB2＝9，∴正三棱锥A－BCD的高h＝9＋15＝24.又S△BCD＝34×(123)2＝1083，∴V三棱锥A－BCD＝13×1083×24＝864 3.②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A－BCD的高h′＝15－9＝6，S△BCD＝1083，∴V三棱锥A－BCD＝13×1083×6＝216 3.综上，此正三棱锥的体积为8643或216 3.。

高中数学《球的体积和表面积》问题导学案

1.3.2《球的体积和表面积》问题导读——评价单
【学习目标】
1．知识与技能：了解球的体积与表面积公式，会用求的体积和表面积公式来解决实际生活中的问题
2．过程与方法：以球的体积和表面积公式为载体，增强学生的直观感知，加深类比思想、转化思想、整体思想的认识;在公式的利用中，提高学生分析问题、解决问题的能力。

3．情态与价值：通过利用球的体积与表面积公式解决实际问题，增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野，培养空间想象能力，发展逻辑思维能力，增强辩证唯物主义观点。

【学习重点】球的体积和表面积公式的形式及应用。

【学习难点】应用球的体积和表面积公式来解决实际问题。

．
【预习评价】
（一）（自主预习思考，学生上课前填好空）
1、球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？
设球的半径为R，则球的体积V=，表面积S=。

（注：这两个公式以后可以证明）
2、如果一个球的表面积变为原来的2倍，那么它的半径变为原来的__________倍，体积变为原来的________倍．
（二）（相互交流大胆质疑）
3、如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
2；
（1）球的体积等于圆柱体积的
3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.。

高中数学1.3.2 球的表面积与体积优秀教案

§球的体积和外表积班级姓名小组【学习目标】；1、通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的根本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和〞2、能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题3、培养学生的空间思维能力和空间想象能力教学重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的根本思想方法教学难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成【导学流程】一、了解感知阅读教材P27－28，答复：1．球的体积球的半径为R，那么它的体积V＝ .2．球的外表积球的半径为R，那么它的外表积S＝ .3．与球的关的组合体问题(1)假设一个长方体内接于一个半径为R的球，则2R＝a2＋b2＋c2(a、b、c 分别为长方体的长、宽、高)，假设正方体内接于球，则2R＝3a(a为正方体的棱长)；(2)半径为R的球内切于棱长为a的正方体的每个面，则2R＝a.[知识拓展]对球的外表积与体积公式的几点认识：(1)从公式看，球的外表积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故外表积和体积是关于R的函数．(2)由于球的外表不能展开成平面，所以，球的外表积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的外表积公式的推导方法是不一样的．(3)球的外表积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．二、深入学习4、一个球的体积为36πcm3，则此球的外表积为________．5、(1)火星的直径约为地球直径的一半，地球的体积约是火星体积的多少倍？(2)木星的外表积约为地球外表积的120倍，木星的体积约是地球体积的多少倍？6、某个几何体的三视图如下图(单位：m)(1)求该几何体的外表积；(2)求该几何体的体积．常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何的特殊位置，比方中心、对角线的中点等．(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点〞和“接点〞，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．(3)此类问题的具体解题流程：7、(20xx·全国高考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的外表积为( )A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2。

数学必修2导学案1.3.2球的体积和表面积

研卷知古今；藏书教子孙。

1.3.2球的体积和表面积一、学习目标:知识与技能:⑴通过对球的体积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法，知道祖暅原理。

⑵能运用球的公式灵活解决实际问题。

培养空间想象能力。

过程与方法:通过球的体积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式的方法，情感与价值观:通过学习，使我们对球的表面积、体积公式的推导方法有了一定的了解，提高空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二、学习重难点:学习重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

学习难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三、使用说明及学法指导:1、限定45分钟完成，认真阅读教材内容，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。

2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。

3、小班完成A,B,C 全部内容；实验班完成B 级以上；平行班完成A~B.（其中A 、B 级问题自主完成；C 级问题可由合作探究方式完成）四、知识链接:什么是球？球的半径？球的直观图怎样画？球的半径，截面圆的半径，球心与截面圆心的距离间有何关系？五、学习过程:B 问题1：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？（阅读32页了解球的体积的推导即可，球的表面积的推导不要求了解）B 问题2：球的表面积的公式怎样？球的体积怎样？A 例1：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。

求证：（1）球的体积等于圆柱的体积的32；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积；A 例2：已知：钢球直径是5cm,求它的体积.B (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)六、达标训练一、选择题A1一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（） A. 3π B. 4π C. 2π D. πB2．在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（）A B C DB3正方体的全面积为a ,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（） A.3aπ; B.2aπ; C.a π2; D.a π3.B4已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于（）（A）（B（C（D二、填空题A5、球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的倍.B6、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为cm3.B7、长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。

[精品]新人教A版必修二高中数学1.3.2球体的体积和表面积导学案

1. 3.2 球的体积和表面积【教学目标】（1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

（2）培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

【教学重难点】重点：球的体积和面积公式的实际应用难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。

【教学过程】一、教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。

教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积334R π=球Ｖ，表面积Ｓ＝４πR 2二、典例例1．一种空心钢球的质量是732πg ，外径是5cm ，求它的内径.（钢密度9g/cm 3）求空心钢球的体积。

解析：利用“体积=质量/密度”及球的体积公式334R π=球Ｖ解：设球的内径为r,由已知得球的体积V=732π/9(cm 3)由V=(4/3) π(53-r 3)得r=4(cm)点评：初步应用球的体积公式变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________( 34)例2 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。

（答案：2500π）解析：利用轴截面解决解：设球的半径为R,球心到较大截面的距离为x则R2=x2+202,R2=(x+9)2+72解得x=15,R=25所以球的表面积Ｓ＝2500π点评：数形结合解决实际问题变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。

（答案50π）【板书设计】一、球的面积和体积公式二、例题例1变式1例2变式2【作业布置】P30 1、21.3.2 球的体积和表面积课前预习学案一．预习目标：记忆球的体积、表面积公式二．预习内容：1.3.2课本内容思考：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标：应用球的体积与表面积公式的解决实际问题学习重点：球的体积和面积公式的实际应用学习难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。

广东省广州市第一中学高中数学 1.3.2球的体积与表面积

1.3.2 球的体积与表面积【学习目标】1、掌握球的体积、表面积公式．2、能会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养学生应用数学的能力．重、难点：球的体积、表面积公式及应用【课前导学】阅读必修2课本P27～28的内容后回答下列问题：1、球的体积：半径为R 的球，其体积V =球___________________2、球的表面积：球面不可展开，半径为R 的球，其表面积S =球面________________ 3、球的截面及其性质：（1）用一个平面去截一个球，截面是圆面。

其中，球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球的半径，被不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆。

（2）球心与截面圆圆心的连线与截面的位置关系是。

4、边长为a 正三角形的外接圆的半径为。

【预习自测】1、将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的倍。

2、已知某球的体积与表面积的数值相等，则此球的半径数值为_______________。

3、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是2cm ，则球的表面积为，体积为。

【典例探究】例1、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径：求证：(1)球的体积等于圆柱体积的23； (2)球的表面积等于圆柱的侧面积。

例2、设正方体的棱长为a ，球半径为R ：①若球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。

如图，截面图为正方形EFGH 的内切圆，则_________=R②若球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，则_________=R③若正方体的八个顶点都在球面上，如图，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，则_________=R例3、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．【总结与提升】熟练掌握球的体积、表面积公式及其应用。

广东省广州市第一中学高中数学1.3.1柱、锥、台体的体

1.1 空间几何体的表面积与体积（一） —— 柱、锥、台体的体积【学习目标】1、了解柱、锥、台的体积计算公式；2. 能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.【课前导学】阅读课本P25～27的内容，然后完成下列任务：1、棱长为a 的正方体的体积V=_______；长、宽和高分别为a 、b 、c 的长方体的其体积为V=________ 底面半径为r 高为h 的圆柱的体积V=_____________；由此推广到一般柱体的体积公式为___________.【预习自测】1．一个长方体的三个面的面积分别为6,3,2，则这个长方体的体积为（）A ．6B ．6C ．3D ．322．Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的体积_____ 3．圆台的上、下底面半径分别为2,4，母线长为13，则这个圆台的体积V= 。

【典例探究】例1、在△ABC 中,32,,1202AB BC ABC ==∠=°,若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，求所形成的旋转体的体积.变式：如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）A ．1B ．21C ．31D ．61例2、有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g /cm 3）六角螺帽共重5.8 kg ，已知底面是正六边形，边长为12 mm ，内孔直径为10 mm ，高为10 mm ，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）【反馈检测】1．圆柱的高增大为原来的3倍，底面直径增大为原来的2倍，则圆柱的体积增大为原来的（）.A.6倍B.9倍C.12倍D.16倍2．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（）A ．πB ．π2C ．π3D ．π43．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为32，则这个正三棱锥的体积是（）A ．427B ．49C ．4327D ．439 4．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（）A ．334000cm B ．338000cmC ．32000cmD ．34000cm5．教材P28、3将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则此椎体的体积与剩下的几何体体积的比为6.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一底边长为8、高为4的等腰Δ，侧视图是一底边长为6、高为4的等腰Δ。

1.3.2 球的体积和表面积我上课用教案

教学关键
深刻理解公式，增强空间思维能力和空间想象能力.
教学方法
教师主导启发，学生主体参与.
例子的多样性、观察的开放性给学生的探究提供了一定的创新空间.
教学手段
黑板与多媒体的有机整合展示，帮助学生更容易找寻其中的规律，获得更大的创新空间.
项目
内容
师生活动
理论依据或意图
教
学
过
程
一
激发情感引导探索
插入乒乓球队员图片，分析大球时代的到来，带来的技术的变更，其主要原因是——球半径的改变带来球的表面积和体积的改变.
引例2.把直径为5cm的钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
引例3．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积。
引例4.将一个气球放入一个棱长为4cm的正方体框架内，不断冲气使其与正方体各棱都相切，且球保持不变形，求气球的表面积和体积.
是.则其体积之比是.
例1.结论：
（1）若三球半径之比为，则其表面积之比是，其体积之比是
（2）若三球体积之比为a:b:c，则三球表面积之比，半径之比为
例2.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
求证:(1)球的体积等于圆柱体积的三分之二；
(2)球的表面积与圆柱的侧面积.
教师由大屏幕给出问题，分小组解答，展开比赛。
极性．增强爱国情感，激发学生为国富民强而勤奋学习
的精神.
情感目标：培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学
生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神．
美育目标：数学的形体美在立体几何上表现得淋漓尽致.
教学重点
球的体积和表面积公式的掌握与运用.

高一数学：1.3.2《球的体积和表面积》教案新人教版

第三课时 1.3.2 球的体积和表面积教学要求：了解球的表面积和体积计算公式；能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题. 教学重点：运用公式解决问题.教学难点：运用公式解决问题.教学过程：一、复习准备：提问：柱、锥、台的体积计算公式？圆柱、圆锥的侧面积、表面积计算公式？二、讲授新课：1. 教学球的表面积及体积计算公式：① 讨论：大小变化的球，其体积、表面积与谁有关？② 给出公式：24R S π=球面，334R V π=球（R 为球的半径） →讨论：公式的特点；球面是否可展开为一个平面图形？（证明的基本思想是：“分割→求体积和→求极限→求得结果”，以后的学习中再证明球的公式）③练习：一个气球的半径扩大2倍，那么它的表面积、体积分别扩大多少倍？ ④出示例1：圆柱的底面直径与高都等于球的直径.（1）求球的体积与圆柱体积之比；（2）证明球的表面积等于圆柱的侧面积.讨论：圆柱与球的位置关系？（相切） → 几何量之间的关系（设球半径R ，则…） → 师生共练 → 小结：公式的运用. → 变式：球的内切圆柱的体积2. 体积公式的实际应用：① 课本练习P28面2、3题②出示例2：一种空心钢球的质量是142g ，外径是5.0cm ，求它的内径. （钢密度7.9g/cm3）讨论：如何求空心钢球的体积？→ 列式计算 → 小结：体积应用问题.③有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R 的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.三、巩固练习：（因时间而定）1. 如果球的体积是V球，它的外切圆柱的体积是V圆柱，外切等边圆锥的体积是V圆锥，求这三个几何体体积之比.2. 如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。

五、作业《习案》第七课时。

高中数学第一章空间几何体第三节球的表面积与体积导学案(无答案)新人教版必修2

——————————新学期新成绩新目标新方向——————————
第一章第三节球的表面积与体积
三维目标
1．了解球的表面积和体积公式；
2. 能运用球的表面积和体积公式解决简单实际问题.
__________________________________________________________________________ ______
目标三导学做思1
问题1. 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，冰淇淋会从杯子溢出吗？请说明理由．
【学做思2】
1.一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
2.已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且
2AB BC CA ===，求球的表面积.
3.有三个球123O O O 、、,球1O 切于正方体的各面,球2O 切于正方体的各侧棱,球3
O 过正方体的各顶点,求这三个球的表面积以及体积之比.
*4.已知球的半径为R ，在球内作一个内接圆柱，当这个圆柱底面半径为何值时，它的侧面积最大，并求出最大值。

A
B
C
D
O R
r
O 1
达标检测
1.如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.
2.表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积.
===，
3. 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、P B、PC两两垂直且PA PB PC a
求这个球的体积.。

广东省广州市第一中学高中数学 1.3.1柱、锥、台体的体积导学案(无答案)新人教版必修2

1.1 空间几何体的表面积与体积（一） —— 柱、锥、台体的体积【学习目标】1、了解柱、锥、台的体积计算公式；2. 能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.【课前导学】阅读课本P25～27的内容，然后完成下列任务：1、棱长为a 的正方体的体积V=_______；长、宽和高分别为a 、b 、c 的长方体的其体积为V=________ 底面半径为r 高为h 的圆柱的体积V=_____________；由此推广到一般柱体的体积公式为___________. 几何体柱体(棱柱、圆柱) 椎体(棱锥、圆锥)台体(棱台、圆台) 体积公式【预习自测】1．一个长方体的三个面的面积分别为6,3,2，则这个长方体的体积为（）A ．6B ．6C ．3D ．322．Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的体积_____3．圆台的上、下底面半径分别为2,4，母线长为13，则这个圆台的体积V= 。

【典例探究】例1、在△ABC 中,32,,1202AB BC ABC ==∠=°,若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，求所形成的旋转体的体积.变式：如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）A ．1B ．21C ．31D ．61C B A例2、有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g /cm 3）六角螺帽共重5.8 kg ，已知底面是正六边形，边长为12 mm ，内孔直径为10 mm ，高为10 mm ，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）【反馈检测】1．圆柱的高增大为原来的3倍，底面直径增大为原来的2倍，则圆柱的体积增大为原来的（）.A.6倍B.9倍C.12倍D.16倍2．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（） A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π43．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为32，则这个正三棱锥的体积是（）A ．427B ．49C ．4327D ．439 4．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（）A ．334000cm B ．338000cmC ．32000cmD ．34000cm5．教材P28、3将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则此椎体的体积与剩下的几何体体积的比为6.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一底边长为8、高为4的等腰Δ，侧视图是一底边长为6、高为4的等腰Δ。

高中数学第一章1.3.2球的体积和表面积导学案新人教A

1.3.2 球的体积和表面积问题导学一、球的表面积与体积活动与探究1(1)已知球的直径为8 cm ，求它的表面积和体积； (2)已知球的表面积为144π，求它的体积；(3)已知球的体积为5003π，求它的表面积．迁移与应用1．两个球的体积之比为1∶27，那么两个球的表面积之比为( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3 D ．1∶12．三个球的半径比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两球体积和的( ) A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．8倍(1)与球的体积、表面积有关的问题就是与球的半径有关的问题，设出球的半径或求出球的半径，一切问题都迎刃而解．(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方，两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．二、球的截面问题活动与探究2已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积和体积．迁移与应用已知过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心的距离等于球半径的32倍，且AC ＝8，BC ＝6，AB ＝10，求球的表面积与球的体积．设球的截面圆上一点A ，球心为O ，截面圆心为O 1，则△AO 1O 是以O 1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．三、有关几何体的外接球与内切球活动与探究3有三个球，第一个球内切于正方体；第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．迁移与应用1．长方体的一个顶点上三条棱的长分别为3,4,5，且它的八个顶点都在同一个球面上，求这个球的表面积．2．在球面上有四个点A ，B ，C ，P ，且PA ，PB ，PC 两两垂直，PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝a ．求球的体积．(1)球内接长方体的体对角线长等于球的直径．(2)注意“迁移与应用2”的解法：补形法的应用，即遇到类似问题时，可补形为一个长方体，利用长方体的外接球求解．当堂检测1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．22倍 C ．2倍 D ．32倍2．设正方体的表面积为24 cm 2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( )A ．6π cm 3B ．6 cm 3C ．83π cm 3D ．43π cm 3 3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72π B．48π C．30π D．24π 4．球的大圆的面积为9π，则该球的表面积为__________．5．已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，求这两个截面间的距离．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．课前预习导学【预习导引】 43πR 3 4πR 2 预习交流提示：设球的半径为R ，则43πR 3＝36π，所以R ＝3，所以球的表面积S ＝4πR2＝36π．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：根据条件，求出球的半径，再代入公式求解．解：(1)∵球的直径为8 cm ，∴半径R ＝4 cm ．∴表面积S 球＝4πR 2＝64π(cm 2)，体积V 球＝43πR 3＝2563π(cm 3)．(2)∵S 球＝4πR 2＝144π，∴R ＝6．∴V 球＝43πR 3＝43π×63＝288π．(3)∵V 球＝43πR 3＝500π3，∴R ＝5．∴S 球＝4πR 2＝4π×52＝100π．迁移与应用 1．A 2．C活动与探究2 思路分析：利用截面圆的半径、球的半径以及球心与截面圆心的连线构成的直角三角形求解．解：如图是球的轴截面．设以r 1为半径的截面面积为5π，以r 2为半径的截面面积为8π，O 1O 2=1，球的半径为R ，则πr 12=5π，πr 22=8π，∴r 12=5，r 22=8．∴OO 1=2221=5R r R --， OO 2=2222=8R r R --．∴O 1O 2=OO 1－OO 2=2258R R ---=1，移项得R 2－5＝1＋R 2－8，两边平方并化简得R 2－8＝1． ∴R 2＝9，R ＝3，∴球的表面积S 球＝4π×32＝36π，球的体积V 球＝43π×33＝36π．迁移与应用解：如图，设球的半径为R ，球心为O ，截面圆心为O 1，则OO 1＝32R ．在△ABC 中，∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴O 1是AB 的中点，即O 1B ＝5．又OO 21＋O 1A 2＝OA 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2＋52＝R 2， ∴R 2＝100，R ＝10．∴球的表面积S 球＝4πR 2＝4π×102＝400π，球的体积V 球＝43πR 3＝43π×103＝4 0003π．活动与探究3 解：作出截面图，分别求出三个球的半径．设正方体的棱长为a ．(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个正方形面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，有2r 1＝a ，r 1＝a2，所以S 1＝4πr 12＝πa 2．(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心取正方体的对角面为截面，如图②，有2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2．(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心取正方体的对角面为截面，如图③，所以2r 3＝3a ，r 3＝32a ，所以S 3＝4πr 32＝3πa 2．图③综上知S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3．迁移与应用 1．解：设球半径为R ，∵长方体的一个顶点上三条棱的长分别为3,4,5，∴2R ＝32＋42＋52＝52．∴R ＝522．∴S 球表面积＝4πR 2＝4π×504＝50π．2．解：以PA ，PB ，PC 为棱作一长方体，则该长方体内接于球．设长方体的对角线长为l ，球半径为R ，则l ＝a 2＋(2a )2＋a 2＝2a ．所以R ＝a ．所以V 球＝43πa 3．【当堂检测】1．B 2．D 3．C 4．36π5．解：当两个截面在球心同一侧时，其轴截面如图甲．由题意知O 1A ＝3，O 2B ＝4，又OA ＝OB ＝5，由勾股定理得OO 1＝4，OO 2＝3．∴O 1O 2＝1．当两个截面在球心两侧时，其轴截面如图乙．同理可得OO 1＝4，OO 2＝3， ∴O 1O 2＝7．∴这两个截面间的距离为1或7．。

高中数学 (1.3.2 球的体积和表面积)示范教案新人教A版必修2.doc

1.3.2 球的体积和表面积整体设计教学分析本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点.三维目标掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培养转化与化归的数学思想方法. 重点难点教学重点：球的表面积和体积公式的应用. 教学难点：关于球的组合体的计算. 课时安排约1课时教学过程导入新课思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务（中国）有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11 380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积. 推进新课新知探究球的半径为R ，它的体积和表面积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R ，那么S=4πR 2,V=334R π.注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明. 应用示例思路1例1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：图1（1）球的体积等于圆柱体积的32；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形. 证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R. 则有V 球=334R π，V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3，所以V 球=圆柱V 32.（2）因为S 球=4πR 2，S 圆柱侧=2πR·2R=4πR 2，所以S 球=S 圆柱侧. 点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征. 变式训练1.如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.图2解：设球的半径为R ，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=a 2,又∵4πR 2=324π,∴R=9.∴AC=28''22=-CC AC .∴a=8.∴S 表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.2有一种空心钢球，质量为142 g,测得外径（直径）等于5 cm ，求它的内径（钢的密度为7.9 g/cm 3，精确到0.1 cm ）.解：设空心球内径（直径）为2x cm,则钢球质量为7.9·［3334)25(34x ππ-∙］=142, ∴x 3=14.349.73142)25(3⨯⨯⨯-≈11.3,∴x≈2.24,∴直径2x≈4.5.答：空心钢球的内径约为4.5 cm.例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m 、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）?图3活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积.解：圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×1×3=9.3(m 2), 半球形物体的表面积为S 2≈2×3.1×(21)2≈1.6(m 2), 所以S 1+S 2≈9.3+1.6=10.9(m 2). 10.9×150≈1 635(朵).答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力. 变式训练有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R 的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决. 解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，图4圆锥底面半径r=R R330tan =︒,圆锥母线l=2r=R 32，圆锥高为h=r 3=3R ，∴V 水=334332πππ=-R h r ·3R 2·3R 333534R R ππ=-，球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=R 3,设上底面半径为r′，则高h′=(r -r′)tan60°=)'3(3r R -,∴'3353h R ππ=(r 2+r′2+rr′),∴5R 3=)3'3')('3(322R Rr r r R ++-, ∴5R 3=)'33(333r R -，解得r′=6331634R R =, ∴h′=(3123-)R.答：容器中水的高度为(3123-)R.思路2例 1 （2006广东高考，12）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.活动：学生思考长方体和球的结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形. 分析：画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径R=233，则该球的表面积为S=4πR 2=27π. 答案：27π点评：本题主要考查简单的组合体和球的表面积.球的表面积和体积都是半径R 的函数.对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键. 变式训练1.（2006全国高考卷Ⅰ，理7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16πB.20πC.24πD.32π分析：由V=Sh ，得S=4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R=642221222=++，所以球的表面积为S=4πR 2=24π. 答案：C2.（2005湖南数学竞赛，13）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为_____________.分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为a 22，于是球的半径为a 42，V=3242a π. 答案：3242a π 3.（2007天津高考，理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___________. 分析：长方体的对角线为14321222=++，则球的半径为214,则球的表面积为4π(214)2=14π. 答案：14π例2 图5是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？图5活动：学生思考杯里的水将下降的原因，通过交流和讨论得出解题思路.因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20 cm 的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度. 解：因为圆锥形铅锤的体积为2)26(31⨯⨯π×20=60π（cm 3），设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为x 2)220(π=100πx （ cm 3）. 所以有60π=100πx ，解此方程得x=0.6（ cm ）. 答：杯里的水下降了0.6 cm.点评：本题主要考查几何体的体积问题，以及应用体积解决实际问题的能力.明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键.解实际应用题的关键是建立数学模型.本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积.明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键. 变式训练1.一个空心钢球，外直径为12 cm ，壁厚0.2 cm ，问它在水中能浮起来吗？（钢的密度为7.9 g/cm 3）和它一样尺寸的空心铅球呢？（铅的密度为11.4 g/cm 3）分析：本题的关键在于如何判断球浮起和沉没，因此很自然要先算出空心钢球的体积，而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积，从而算出空心钢球的质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会沉没. 解：空心钢球的体积为V 钢=348.53463433πππ=⨯-⨯×20.888≈87.45(cm 3)， ∴钢的质量为m 钢=87.45×7.9=690.86(g). ∵水的体积为V 水=34π×63=904.32(cm 3)， ∴水的质量为m 水=904.32×1=904.32(g)＞m 钢.∴钢球能浮起来，而铅球的质量为m 铅=87.45×11.4=996.93(g)＞m 水. ∴同样大小的铅球会沉没.答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没.2.（2006全国高中数学联赛试题第一试，10）底面半径为1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm 3.分析：设四个实心铁球的球心为O 1、O 2、O 3、O 4，其中O 1、O 2为下层两球的球心，A 、B 、C 、D 分别为四个球心在底面的射影，则ABCD 是一个边长为22 cm 的正方形，所以注水高为(1+22) cm.故应注水π(1+22)-4×)2231()21(343+=ππ cm 3. 答案：（31+22）π 知能训练1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（） A.1倍 B.2倍 C.59倍 D.47倍分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r ，则另两个为2r 、3r ，所以各球的表面积分别为4πr 2、16πr 2、36πr 2，5916436222=+rr r πππ（倍）. 答案：C2.（2006安徽高考，理9）表面积为32的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（） A.32π B.3π C.32π D.322π 分析：此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8×32432=a 知，a=1，则此球的直径为2.答案：A3.（2007北京西城抽样，文11）若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________.分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为2234+=5，所以球的表面积是4π×52=100π. 答案：100π4.某街心花园有许多钢球（钢的密度是3）,每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的，请你计算出它的内径（π取3.14,结果精确到1 cm ）.解：由于外径为50 cm 的钢球的质量为7.9×3)250(34⨯π≈516 792(g), 街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000＜516 792,所以钢球是空心的.设球的内径是2x cm ，那么球的质量为7.9·［3334)250(34x ππ-∙］=145 000, 解得x 3≈11 240.98,x≈22.4,2x≈45(cm).答：钢球是空心的，其内径约为45 cm.5.（2007海南高考，文11）已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO⊥底面ABC ，AC=r 2,则球的体积与三棱锥体积之比是（）A.πB.2πC.3πD.4π 分析：由题意得SO=r 为三棱锥的高，△ABC 是等腰直角三角形，所以其面积是21×2r×r=r 2,所以三棱锥体积是33132r r r =⨯⨯，又球的体积为343r π，则球的体积与三棱锥体积之比是4π.答案：D点评：面积和体积往往涉及空间距离，而新课标对空间距离不作要求，因此在高考试题中其难度很低，属于容易题，2007年新课标高考试题就体现了这一点.高考试题中通常考查球、三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算.我们应高度重视这方面的应用. 拓展提升问题：如图6，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A —BEFD 与三棱锥A —EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（）图6A.S 1＜S 2B.S 1＞S 2C.S 1=S 2D.S 1,S 2的大小关系不能确定探究：如图7，连OA 、OB 、OC 、OD ，则V A —BEFD =V O —ABD ＋V O —ABE ＋V O —BEFD +V O —ADF ，V A —EFC =V O —AFC ＋V O —AEC ＋V O —EFC ，又V A —BEFD =V A —EFC ，而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S △ABD ＋S △ABE ＋S BEFD +S △ADF =S △AFC ＋S △AEC ＋S △EFC ，又面AEF 是公共面，故选C.图7答案：C 课堂小结本节课学习了：1.球的表面积和体积.2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：（1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.（2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高. 注意球没有高的结构特征.（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段.（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识.（5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题. 作业课本本节练习 1、2、3.设计感想本节教学结合高考要求，主要是从组合体的角度来讨论球的表面积和体积.值得注意的是其中的题目没有涉及球的截面问题（新课标对球的截面不要求），在实际教学中，教师不要增加球的截面方面的练习题，那样会增加学生的负担.。

2019高中数学1.3.2《球的体积和表面积》导学案

1.3.2《球的体积和表面积》一、自主探究预习课本P23-28，回答下列问题，完成课本P27练习1、2题，P28练习1、2、3题.问题1.直棱柱的侧面积表面积是什么？如何求多面体的表面积？侧面积是什么？表面积公式？直棱柱的侧面展开图如图所示，那么它的侧面积怎么计算？问题2.正棱锥的侧面积正棱锥的侧面展开图如图所示，那么棱锥的侧面积该如何计算？问题3.正棱台的侧面积正棱台的侧面展开图如图所示，那么棱台的侧面积该如何计算？问题4.圆柱的表面积圆柱的侧面展开图如图所示，若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积是多少？表面积是多少？问题5.圆锥的表面积圆锥的侧面展开图为一个扇形，如图所示，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积是多少？表面积是多少？问题6.圆台的表面积圆台的侧面展开图如图所示，若圆台的上、下底面半径分别为'r，r，母线长为l，则圆台的侧面积是多少？表面积是多少？问题7.体积的定义是什么？柱体、椎体、台体的体积公式各是什么？问题8.球的体积和表面积如果球的半径为R，那么它的表面积是多少？体积是多少?二、合作探究例1. 六棱台的上、下底面均是正六边形，边长分别是8cm 和18cm ，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为13cm ，求它的表面积.例2.如图所示,在底面半径为2，母线长为4的圆柱，求圆柱的表面积和体积.例3.如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =90，∠ADC =135,5AB =,CD =2AD =，求四边形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周得到的几何体的表面积及体积.例例4.在球内有相距1cm 的两个平行截面，截面面积分别是25cm π和28cm π，球心不在截面之间，求球的表面积.例5.若三个球的表面积之比是1:2:3，求它们的体积之比.三、巩固检测1.如图所示，底面为菱形的直棱柱1111ABCD A B C D 的两个对角面11ACC A 和11BDD B 的面积为6和8，求棱柱的侧面积.2. 如图所示，一个正四棱台两底面边长分别为m 、n ，侧面积等于两个底面积之和，求这个棱台的高.3.如图所示，三棱锥的顶点为P ，PA ，PB ，PC 为三条侧棱，且PA ，PB ，PC 两两互相垂直，又2,3,4,PA PB PC ===求三棱锥P ABC -的体积V .4.已知三角形ABC 的边长分别是3,4,5,AC BC AB ===，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的体积.（自助餐）5.如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠090ABC =，,2,AD a BC a == ∠060DCB =，在平面ABCD 内，过C 作l ⊥,CB 以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周，求旋转体的表面积.反思与总结： _ __________________________________________________________________________.。