上海市宝山区2017届高三二模数学试卷及答案

合集下载

上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区2017-2018学年高三数学二模试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设集合A={x||x|＜2，x∈R}，B={x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}，则A∩B=．2．已知i为虚数单位，复数z满足=i，则|z|= ．3．设a＞0且a≠1，若函数f（x）=a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是．4．计算：= ．5．在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2=0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．6．已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ= ．7．定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2=2px （p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为．9．已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为．10．在（x2+）6（k为实常数）的展开式中，x3项的系数等于160，则k= ．11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是．12．已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=n2+3n（n∈N+），则= ．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为．14．对于函数f（x）=，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．“sinα=0”是“cosα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16．下列正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l217．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．18．已知直线l：y=2x+b与函数y=的图象交于A，B两点，记△OAB的面积为S（O为坐标原点），则函数S=f（b）是（）A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增B．偶函数且在（0，+∞）上单调递增C．奇函数且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减三、解答题（共5小题，满分60分）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点；（1）求证：AC⊥平面BCC1B1；（2）求异面直线B1D与AC所成角的大小．20．已知函数f （x ）=sin2x+cos2x ﹣1（x ∈R ）；（1）写出函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若f （B ）=0， =，且a+c=4，试求b 的值．21．定义在D 上的函数f （x ），若满足：对任意x ∈D ，存在常数M ＞0，都有|f （x ）|≤M 成立，则称f （x ）是D 上的有界函数，其中M 称为函数f （x ）的上界：（1）设f （x ）=，判断f （x ）在上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出f （x ）的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g （x ）=1+a•（）x +（）x 在．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x||x|＜2，x ∈R}={x|﹣2＜x ＜2}， B={x|x 2﹣4x+3≥0，x ∈R}={x|x≥3或x≤1}，则A∩B={x|﹣2＜x≤1}，故答案为：（﹣2，1]．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足=i ，则|z|= 1 ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设出z=a+bi ，得到1﹣a ﹣bi=﹣b+（a+1）i ，根据系数相等得到关于a ，b 的方程组，解出a ，b 的值，求出z ，从而求出z 的模．【解答】解：设z=a+bi ，则==i ，∴1﹣a ﹣bi=﹣b+（a+1）i ，∴，解得，故z=﹣i，|z|=1，故答案为：1．3．设a＞0且a≠1，若函数f（x）=a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（3，1）．【考点】反函数．【分析】由于函数f（x）=a x﹣1+2经过定点（1，3），再利用反函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=a x﹣1+2经过定点（1，3），∴函数f（x）的反函数的图象经过定点P（3，1），故答案为：（3，1）．4．计算：= ．【考点】极限及其运算．【分析】先利用排列组合公式，将原式化简成的形式，再求极限．【解答】解：===．故答案为：．5．在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2=0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．【考点】用定积分求简单几何体的体积．【分析】由题意此几何体的体积可以看作是：V=，求出积分即得所求体积．【解答】解：由题意可知：V=，∴V=π（y3﹣），=．故答案为．6．已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ= ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知等式化简可得sinθ（2cosθ+1）=0，结合范围θ∈（，π），解得cosθ=﹣，利用同角三角函数基本关系式可求tanθ，利用二倍角的正切函数公式可求tan2θ的值．【解答】解：∵sin2θ+sinθ=0，⇒2sinθcosθ+sinθ=0，⇒sinθ（2cosθ+1）=0，∵θ∈（，π），sinθ≠0，∴2cosθ+1=0，解得：cosθ=﹣，∴tanθ=﹣=﹣，∴tan2θ==．故答案为：．7．定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件判断函数的单调性和函数的零点，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：当x≥0时，由f（x）=2x﹣4=0得x=2，且当x≥0时，函数f（x）为增函数，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（x）≤0等价为f（|x|）≤f（2），即|x|≤2，即﹣2≤x≤2，即不等式的解集为，故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2=2px （p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为y2=4x ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出线段OA的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到抛物线方程．【解答】解：∵点A（1，1），依题意我们容易求得直线的方程为x+y﹣1=0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p=2，从而得到抛物线C的方程为：y2=4x．故答案为：y2=4x．9．已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为﹣6 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，﹣2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（﹣2，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣2）﹣2=﹣6．故答案为：﹣6．10．在（x2+）6（k为实常数）的展开式中，x3项的系数等于160，则k= 2 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1=k r x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r．即可得出．【解答】解：T r+1=（x2）6﹣r=k r x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3．∴T4=x3，∴20k3=160，解得k=2．故答案为：2．11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有取法，其中以这三点为顶点的三角形的面积S=的三角形共有24个，由此能求出结果．【解答】解：从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有取法，其中以这三点为顶点的三角形的面积S=的三角形如图中的△ABC，这类三角形共有24个∴P（S=）==．故答案为：．12．已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=n2+3n（n∈N+），则= 2n2+6n ．【考点】数列的求和．【分析】通过a1+a2+…+a n=n2+3n与a1+a2+…+a n﹣1=（n﹣1）2+3（n﹣1）作差，进而计算可知a n=2（n+1），分别利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：∵a1+a2+…+a n=n2+3n，∴当n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1=（n﹣1）2+3（n﹣1），两式相减得：a n=（n2+3n）﹣=2（n+1），又∵a1=1+3=4满足上式，∴a n=2（n+1），=4+4n，∴=4n+4•=2n2+6n，故答案为：2n2+6n．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30} ．【考点】集合的表示法；计数原理的应用．【分析】甲最终的得分为27分，可得：甲答对了10道题目中的9道，由于甲和乙都解答了所有的试题，甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．由于他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，即可得出分数．如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题，则乙也一定答错，即可得出．【解答】解：∵甲最终的得分为27分，∴甲答对了10道题目中的9道，∵甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．∵甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙可得30分或27分．如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题，则乙也一定答错，此时乙可得24分．综上可得：乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30}．故答案为：{24，27，30}．14．对于函数f（x）=，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a的值为﹣4 ．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的定义域与值域相同，故可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，故比较二区间的端点得出参数满足的方程解方程求参数即可．【解答】解：若a＞0，由于ax2+bx≥0，即x（ax+b）≥0，∴对于正数b，f（x）的定义域为：D=（﹣∞，﹣]∪．由于此时max=f（﹣）=，故函数的值域 A=．由题意，有﹣=，由于b＞0，所以a=﹣4．故答案为：﹣4．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．“sinα=0”是“cosα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由sinα=0可得α=kπ（k∈Z），即可判断出结论．【解答】解：sinα=0可得α=kπ（k∈Z），∴cosα=±1，反之成立，∴“sinα=0”是“cosα=1”的必要不充分条件．故选：B16．下列正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l2【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据各选项条件举出反例．【解答】解：对于A，若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1与l2可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误．对于B，若直线l与平面α相交于O点，在交点两侧各取A，B两点使得OA=OB，则A，B到平面α的距离相等，但直线l与α不平行，故B错误．对于C，当直线l⊂α或l∥α时，直线l与平面α所成的角为0，当l⊥α时，直线l与平面α所成的角为，故C错误．对于D，由定理“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知D正确．故选：D．17．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：由题意可得•=0，可得|+|==，（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos＜（+，＞=0，即为||=cos＜+，＞，当cos＜+，＞=1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．18．已知直线l：y=2x+b与函数y=的图象交于A，B两点，记△OAB的面积为S（O为坐标原点），则函数S=f（b）是（）A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增B．偶函数且在（0，+∞）上单调递增C．奇函数且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据条件求出AB的长度以及O到AB的距离，从而求出三角形OAB的面积函数，根据函数的表达式即可得到结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由2x+b=，即2x2+bx﹣1=0，则，则|AB|=，圆心到直线2x﹣y+b=0的距离d=，∴△OAB的面积S==，∴S=f（b）=，则函数f（b）为偶函数，当b＞0时，y=和都为增函数，∴当b＞0时，f（b）=为增函数．故选：B．三、解答题（共5小题，满分60分）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点；（1）求证：AC⊥平面BCC1B1；（2）求异面直线B1D与AC所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知推导出AC⊥BC，CC1⊥AC，由此能证明AC⊥平面BCC1B1．（2）以C为原点，直线CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1D与AC所成角的大小．【解答】证明：（1）∵底面△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，∴AC⊥BC，∵CC1⊥平面A1B1C1，∴CC1⊥AC，∵CC1∩BC=C，∴AC⊥平面BCC1B1．解：（2）以C为原点，直线CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1），=（2，﹣2，﹣1），=（﹣2，0，0），设异面直线B1D与AC所成角为θ，则cosθ===．∴．∴异面直线B1D与AC所成角的大小为arccos．20．已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣1（x∈R）；（1）写出函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0， =，且a+c=4，试求b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用两角和的正弦化简，由周期公式求得周期，再由相位在正弦函数的增区间内求得x的范围求得f（x）单调递增区间；（2）把f（B）=0代入函数解析式，求得B，展开数量积=，求得ac的值，结合a+c=4，利用余弦定理求得b的值．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+cos2x﹣1=．∴T=；由，得．∴函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z；（2）由f（B）==0，得．∴或，k∈Z．∵B是三角形内角，∴B=．而=ac•cosB=，∴ac=3．又a+c=4，∴a2+c2=（a+c）2﹣2ac=16﹣2×3=10．∴b2=a2+c2﹣2ac•cosB=7．则b=．21．定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界：（1）设f（x）=，判断f（x）在上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出f（x）的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）=1+a•（）x+（）x在上是增函数；从而可得|f（x）|≤1，从而求得；（2）由题意知﹣3≤1+a•（）x+（）x≤3在上是增函数；故f（﹣）≤f（x）≤f（）；即﹣1≤f（x）≤，故|f（x）|≤1，故f（x）是有界函数；故f（x）的所有上界的值的集合是．22．设椭圆Г：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B 到F的距离等于焦距：（1）求椭圆Г的标准方程；（2）设C、D是四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P是椭圆Г上任意一点，若，求证：m2+n2为定值；（3）过点F的直线l与椭圆Г交于不同的两点M、N，且满足于△BFM与△BFN的面积的比值为2，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆Г的标准方程．（2）求出C（2，），D（﹣2，），设P（x0，y0），则，由已知=，得=1，由此能证明m2+n2=为定值．（3）=2等价于=2，设l：y=k（x﹣1），由，得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0，由此利用韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆Г：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，∴，解得a=2，b=，∴椭圆Г的标准方程为．证明：（2）∵C、D是四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，∴C（2，），D（﹣2，），设P（x0，y0），则，由已知=，得，∴=1，∴m2+n2=为定值．解：（3）=2等价于=2，当直线l的斜率不存在时， =1，不合题意，故直线l的斜率存在，设l：y=k（x﹣1），由，消去x，得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，由=2，得=﹣2，则，，∴3+4k2=8，k=，∴直线l的方程为y=．23．已知数列{a n}、{b n}满足：a，a n+b n=1，b；（1）求b1、b2、b3、b4；（2）求证：数列{}是等差数列，并求{b n}的通项公式；（3）设S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1，若不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；数列递推式．【分析】（1）通过已知条件代入计算即得结论；（2）通过两边同时减1并取倒数，利用a n+b n=1化简可知数列{}是等差数列，进而计算可得结论；（3）通过（2）可知b n=，进而裂项可知a n a n+1=﹣，并项相加可知S n=，进而问题转化为求的最小值，计算即得结论．【解答】（1）解：依题意，b1=1﹣a1=1﹣=，b2===，a2=1﹣b2=1﹣=，==，a3=1﹣b3=1﹣=，==；（2）证明：∵，a n+b n=1，∴b n+1﹣1=﹣1=﹣1=，两边同时取倒数，得： ==﹣1=﹣1=﹣1=﹣1，∴数列{}是等差数列，又∵==﹣4，∴=﹣4﹣（n﹣1）=﹣（n+3），∴数列{b n}的通项公式b n=1﹣=；（3）解：由（2）可知b n=，∴a n=1﹣b n=，a n a n+1==﹣，∴S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1=﹣+﹣+…+﹣=﹣=，∵不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，∴不等式4a•＜对任意n∈N*恒成立，∴a＜=1+，∵随着n的增大而减小，且=0，∴a≤1．2016年6月24日。

2017宝山数学二模分析

8、计算： 2a b =
2
▲ .
【分析】（七年级上学期）完全平方公式【答案】 2a b 4a 2 4ab b2
2
1
9、计算： x 2
x3
▲ .
【分析】（七年级下学期）分数指数幂运算【答案】 x 2 x 2 x 2 10、方程 x x 0 的解是 ▲ . 【分析】（八年级下学期）无理方程【答案】 x x 0 x x x x 2 x1 0 或 x2 1 （舍去） 11、如果正比例函数 y k 1 x 的图像经过原点和第一、第三象限，那么 k 【分析】（八年级上学期）正比例函数图像性质【答案】 k 1 0 k 1 12、二次函数 y x 2 2 x 的图像的对称轴是直线 ▲ . 【分析】（九年级上学期）二次函数图像性质【答案】 x
C
【分析】（八年级上学期）角平分线的尺规作图、角平分线+平行线=等腰三角形【答案】 AB AE 3 DE BC AE 5 3 2 17、已知一条长度为 10 米的斜坡两端的垂直高度差为 6 米，那么该斜坡的坡角度数约为 ▲ . （备用数据： tan 31 = cot 59 0.6 ， sin 37 = cos 53 0.6 ）【分析】（九年级上学期）解直角三角形——坡角【答案】 tan
3 x
E
A B
将 A 1, n 代入 y x 4 ，得 A 1, 3 ，那么反比例函数为 y
y x 4 （2）联立方程组： 3 y x
求得： B 3,1
O
F
x
1 1 S△ABO S△OEF 2S△OAE 4 4 2 4 1 4 2 2

2017届中考数学二模测试题(上海市宝山区含答案)

2017届中考数学二模测试题(上海市宝山区含答案)2016-2017学年第二学期九年级二模数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．5的相反数是（▲） (A) 2；(B)�5； (C)5； (D) ． 2．方程实数根的个数是（▲） (A)0； (B)1；(C)2； (D)3．3．下列函数中，满足y的值随x的值增大而增大的是（▲） (A) ；(B) ； (C) ； (D) ． 4．某老师在试卷分析中说：参加这次考试的41位同学中,考121分的人数最多，虽然最高的同学获得了满分150分，但是十分遗憾最低的同学仍然只得了56分，其中分数居第21位的同学获得116分。

这说明本次考试分数的中位数是（▲） (A)21；(B)103； (C)116； (D)121． 5．下列命题为真命题的是（▲） (A)有两边及一角对应相等的两三角形全等；(B) 两个相似三角形的面积比等于其相似比； (C) 同旁内角相等； (D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 6．如图1，△ABC中，点D、F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥ ，EF∥CD，那么一定有（▲） (A) ； (B) ；(C) ； (D) ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7．计算：▲ ． 8．计算： =▲ ． 9．计算：= ▲ ． 10．方程的解是▲ ． 11．如果正比例函数的图像经过原点和第一、第三象限，那么▲ ． 12．二次函数图像的对称轴是直线▲ ． 13．一枚（形状为正方体的）骰子可以掷出1、2、3、4、5、6这六个数中的任意一个，用这个骰子随机掷出的一个数替代二次根式中的字母x，使该二次根式有意义的概率是▲ . 14．为了解某中学九年级学生的上学方式，从该校九年级全体300名学生中，随机抽查了60名学生，结果显示有5名学生“骑共享单车上学”.由此，估计该校九年级全体学生中约有___▲ 名学生“骑共享单车上学”． 15．已知在△ABC中，点M、N分别是边AB、AC的中点，如果，，那么向量= ▲ （结果用、表示）． 16．如图2，在□ABCD中，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE 的长为_________. 17．已知一条长度为10米的斜坡两端的垂直高度差为6米，那么该斜坡的坡角度数约为▲ （备用数据：）． 18．如图3，E、F分别为正方形ABCD的边AB、AD上的点，且 AE=AF，联接EF，将△AEF绕点A逆时针旋转45°，使E 落在E ，F落在F ，联接BE 并延长交DF 于点G，如果 AB= ，AE=1，则DG= ▲ .三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）化简，再求值：，其中．20．（本题满分10分）解方程组：21．(本题满分10分) 如图4，在△ABC中，∠B＝45°，点D为△ABC 的边AC上一点，且AD：CD=1:2．过D作DE AB于E，C作CF AB于F，联接BD，如果AB=7，BC= 、求线段CF和BE的长度．22．(本题满分10分，每小题满分各5分) 如图5，由正比例函数沿轴的正方向平移4个单位而成的一次函数的图像与反比例函数（）在第一象限的图像交于A（1，n）和B两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△ABO的面积．23．（本题满分12分，每小题满分各6分) 如图6，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，（1）求证：CF ＝2AF；（2）求tan∠CFD的值．24. （本题满分12分，每小题满分各4分) 如图7，已知直线与x 轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C. （1）求抛物线的解析式；（2）点M是上述抛物线上一点，如果△ABM和△ABC相似，求点M的坐标；（3）连接AC，求顶点D、E、F、G在△ABC各边上的矩形DEFC 面积最大时，写出该矩形在AB边上的顶点的坐标．25. （本题满分14分，每小题满分分别为5分、5分、4分) 如图8，在△ABC中，∠ACB为直角，AB=10，°，半径为1的动圆Q的圆心从点C出发，沿着CB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点B出发，沿着BA方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PB长为半径的⊙P 与AB、BC的另一个交点分别为E、D，连结ED、EQ．（1）判断并证明ED与BC的位置关系，并求当点Q与点D重合时t的值；（2）当⊙P和AC相交时，设CQ为，⊙P被AC 截得的弦长为，求关于的函数；并求当⊙Q过点B时⊙P被AC截得的弦长；（3）若⊙P与⊙Q相交，写出t的取值范围．2016-2017学年第二学期期中考试九年级数学试卷评分参考一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、B； 2、A； 3、B； 4、C； 5、D； 6、B；二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、； 8、； 9、； 10、； 11、； 12、；13、； 14、25； 15、； 16、2； 17、37； 18、 . 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：原式= (3)分= ……………………………………………3分= ……………………………………………2分当时，原式= ............2分说明：分式的通分、加法、约分、二次根式分母有理化等每一步各2---3分，代入（或约分或分母有利化方法不限）得出答案可以分别为1分． 20．解： =0， (2)分则原方程可化为：……………………4分解这些方程组得：……………………4分说明：知道通过因式分解降次2-分，上下两两组合和解得答案各4-分，每一个答案可以分别为1分． 21.解：∵CF⊥AB，∠B＝45°，BC= ，∴在RT△BCF中，CF= ，……………2分∴ BF=BC = ………………………2分∵AB=7，∴AF= AB ………………………1分∵DE⊥ AB ，∴DE∥CF，...........................1分∴AE：EF=AD：CD=1：2，...........................2分∴EF=2，∴BE=6 (2)分 22.解：（1）题意易得一次函数的解析式为：，………1分∵点在直线上，∴ ，∴点…………1分将代入反比例函数，……………………1分得，反比例函数的解析式为：. ………………………2分 (2) 由题意易得方程组解得：、……………………2分∴设一次函数和y轴的交点为N，与x轴交于点M，. 易知：M（4,0），点N（0，4）， NA：AB：BM=1：2：1 ……………2分∴S …………………………1分 23.解：(1) ∵ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∠D=90°, ………………2分∴△AEF∽△CBF，……………………………1分∵E是AD边的中点，∴AF：CF=AE：BC=1：2……………………………2分∴CF＝2AF；……………………………1分 (2) 过D作DH⊥A C于H，∵BE⊥AC，∴DH∥BE ……………………………2分∴AF：FH=AE：ED=1：1 ∴AF=FH=HC 设AF= ，则AH=2CH= …………………………………1分∵∠DAH=∠CDH=90°-∠ADH 易知：Rt△ADH∽Rt△DCH，∴ BF= ……………………………2分∴tan∠CFD=t …………………………………1分 24.解：(1) 由题意：直线与x轴交于点B（4,0），……………………1分与y轴交于点C点C（0，-2），…………………………1分将点B（4,0）代入抛物线易得……………………1分∴所求抛物线解析式为：…………………………1分(2) ∵ , ∴△ABC为直角三角形，∠BCA=90°…………1分∵点M是上述抛物线上一点∴不可能有MB 与AB或者MA与AB垂直…1分当△ABM和△ABC相似时，一定有∠AMB=90° △BAM≌△ABC……1分此时点M的坐标为：M（3，-2）(3)∵△ABC为直角三角形，∠BCA=90° 当矩形DEFG只有顶点D 在AB上时，显然点F与点 C重合时面积最大，如图1，设CG＝x，∵DG∥BC，∴△AGD∽△ACB. ∴AG：AC＝DG∶BC，即∴DG＝2(5－x) ∴S矩形DEFG＝－2(x－52) ＋52 即x＝时矩形DEFG的面积有最大值，当矩形DEFG有两个顶点D、E在AB上时，如图2， CO交GF 于点H，设DG＝x，则OH＝x，CH＝2－x，∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴GF∶AB＝CH∶CO，即GF∶5＝(2－x)∶2，解得GF＝52(2－x)．∴S矩形DEFG＝x•52(2－x)＝－52(x－1)2＋52，即当x＝1时矩形DEFG的面积同样有最大值，综上所述，无论矩形DEFG有两个顶点或只有一个顶点在AB上，其最大面积相同…2分当矩形一个顶点在AB上时， GD＝2(5－x)＝5，AG＝52，∴AD＝52， OD＝AD－OA＝32，∴D(32，0)．………………………1分当矩形DEFG有两个顶点D、E在AB上时，∵DG＝1，∴DE＝，∵DG∥OC，∴△ADG∽△AOC，∴AD∶AO＝DG∶OC，解得AD＝12，∴OD＝12， OE＝52－12＝2，∴D(－12，0)，E(2，0)．………………………1分综上所述，满足题意的矩形在AB边上的顶点的坐标为D(32，0)或D(－12，0)、E(2，0) ． 25. 解：（1）连接PD，∵B、E、D都在⊙P上∴PB=PD，∠PBD=∠PDB，PD=PE，∠PDE=∠PED …………………1分∵△BDE的内角和为180° ∴∠BDE=∠BDP+∠PDE=90°，∴即：DE⊥BC …………1分∵∠BCA=90°，° ∴DE∥CA，∴△BDE∽△BCA，............1分∴ 设CQ=CD=t，BD=5-t，BE=2t ............1分代入有解得： (1)分∴当时Q与D重合，（2）设⊙P和AC相交于 M、N， BP=CQ=x，AP=AB-BP=10-x过点P作PH⊥AC于点H ...1分在Rt△APH中，易知：PH= ............1分在Rt△PHN中，易知：HN= = (1)分…………1分当⊙Q经过B点时，（如图） CQ=CB�QB=4，将代入得：…………1分（3）当Q⊙P与⊙Q外切时，如图，易知此时∠QBP=60°，BQ=5-t，PQ=t+1，BP=t ，…………2分∵从此时起直至停止运动，⊙P与⊙Q都处于相交位置: ∴⊙P与⊙Q相交时t的取值范围为：…………2分。

2017学年上海市全区二模数学19-22题专题汇编-教师版

精锐教育辅导讲义宝山区：19．（本题满分10分）化简，再求值：22482++-x x ，其中5=x ．解：原式=4)2(24822--+-x x x …………………………3分 =4422-+x x ……………………………………………3分 =22-x……………………………………………2分当5=x 时，原式=452252+=-…………2分说明：分式的通分、加法、约分、二次根式分母有理化等每一步各2---3分，代入（或约分或分母有利化方法不限）得出答案可以分别为1分．20．（本题满分10分）{16222=+-y xy x 0922=-y x 解方程组：解：0)4)(4(16222=--+-=-+-y x y x y xy x)3)(3(922y x y x y x -+=-=0， ………………………2分则原方程可化为：……………………4分解这些方程组得：……………………4分说明：知道通过因式分解降次2-分，上下两两组合和解得答案各4-分，每一个答案可以分别为1分．21．(本题满分10分)如图4，在△ABC 中，∠B ＝45°，点D 为△ABC 的边AC 上一点，且AD ：CD=1:2．过D 作DE ⊥AB 于E ，C 作CF ⊥AB 于F ，联接BD ，如果AB =7，BC= 24、求线段CF 和BE 的长度．解：∵CF ⊥AB ，∠B ＝45°，BC= 24，∴在RT △BCF 中，C F=42224sin =⋅=⋅B BC ，……………2分 ∴ BF=BC B cos ⋅=42224=⋅………………………2分 ∵AB=7，∴AF= AB 3=-BF ………………………1分 ∵DE ⊥ AB ，∴DE ∥CF ， ………………………1分 ∴AE ：EF=AD ：CD=1：2， ………………………2分 ∴EF=2， ∴BE=6 ………………………2分图4CA BFD E22．(本题满分10分，每小题满分各5分)如图5，由正比例函数x y -=沿y 轴的正方向平移4个单位而成的一次函数b x y +-= 的图像与反比例函数xky =（0≠k ）在第一象限的图像交于A （1，n ）和B 两点．（1）求一次函数b x y +-=和反比例函数的解析式；（2）求△ABO 的面积．解：（1）题意易得一次函数b x y +-=的解析式为：4+-=x y ，………1分∵点),1(n A 在直线4+-=x y 上，∴3=n ，∴点)3,1(A …………1分将)3,1(A 代入反比例函数xky =， ……………………1分得3=k ，反比例函数的解析式为：xy 3=. ………………………2分(2) 由题意易得方程组解得： )3,1(A 、)1,3(B ……………………2分∴设一次函数4+-=x y 和y 轴的交点为N ，与x 轴交于点M ，. 易知：M （4,0），点N （0，4）， NA ：AB ：BM=1：2：1 ……………2分 ∴S 4442142=⋅⋅⋅==∆∆NOM ABO S …………………………1分崇明区：19．（本题满分10分）计算：()21231227312tan 601-⎛⎫++-+ ⎪︒+⎝⎭图5解：原式=3423431++-+-………………………………………………8分 =332+ ………………………………………………………………2分20．（本题满分10分）解方程组：2234021x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩解：由①得：40x y -=，0x y += ………………………………………2分原方程组可化为4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩ …………………………………2分解得原方程组的解为112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2211x y =-⎧⎨=⎩ ………………………………………6分21．（本题满分10分，其中每小题各5分）已知ABC ∆中，AD BC ⊥，垂足为D ，且4AD =，以AD 为直径作圆O ，交AB 边于点G ，交AC 边于点F ，如果点F 恰好是»AD 的中点．（1）求CD 的长度；（2）当3BD =时，求BG 的长度．解：（1）AD BC ⊥Q 90ADB ADC ∠=∠=︒∴∵点F 是»AD 的中点，OF 是半径 OF AD ⊥∴ 90AOF ∠=︒∴ …………………………………………1分ABCDGFO（第21题图）AOF ADC ∠=∠∴ …………………………………………………………1分 ∴OF CD ∥ …………………………………………………………………1分∴12OF AO CD AD == ……………………………………………………………1分 ∵OF OA =,4AD =∴4CD = ……………………………………………………………………1分（2）过点O 作OH AG ⊥，垂足为H∵在O e 中，OH AG ⊥ ∴2AG AH = …………………………1分∵90ADB ∠=︒ ∴222AD BD AB +=∵3BD =，4AD = ∴5AB =………………………………………1分∵ 在Rt △ABD 中，4cos 5AD BAD AB ∠== 在Rt △AOH 中，4cos 25AH AH BAD AO ∠===∴85AH = …………………………………………………………………1分∴1625AG AH == …………………………………………………………1分∴169555BG =-= …………………………………………………………1分22．（本题满分10分）在一条笔直的公路上有AB 两地，小明骑自行车从A 地去B 地，小刚骑电动车从B 地去A 地然后立即原路返回到B 地，如图是两人离B 地的距离y (千米)和行驶时间x (小时)之间的函数图像．请根据图像回答下列问题：（1）AB 两地的距离是，小明行驶的速度是；（2）若两人间的距离不超过3千米时，能够用无线对讲机保持联系，那么小刚从A 地原路返回到 B 地途中，两人能够用无线对讲机保持联系的 x 的取值范围是．（1）30千米；15千米/时 (3)y (千米) x (小时) 3012（第22题图）①② （2）95x ≤≤2 ………………………………………………………………………4分虹口区：19．（本题满分10分）先化简，再求值：22244()22x x x x x x ++÷---，其中5x =．解：原式=2244(2)x x xx x x ++-÷-………………………………………………………（3分） 22(2)(2)x x x x x +-=⋅- ……………………………………………………………（2分） 22x x +=- ………………………………………………………………………（2分）把5x =代入，原式=5294552+=+-……………………………………………（3分）20．（本题满分10分）解方程组：22430,221.x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩解：由①得：()(3)0x y x y --=，∴ 0x y -=或30x y -= …………………………………………………………（2分）将它们与方程②分别组成方程组，得：0,221;x y x y -=⎧⎨+=⎩ 30,221.x y x y -=⎧⎨+=⎩ …………………………………………………（4分）分别解这两个方程组，得原方程组的解为117,7;x y =⎧⎨=⎩ 229,3.x y =⎧⎨=⎩． …………………………………………（4分）（代入消元法参照给分）21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两外切，AB=10，BC=21，4sin 5B =．（1）求AC 的长；（2）求⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径．Ax （吨） y （元） O 30 7010 20 第22题图解：（1）过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D∵4sin 5B =∴3cos 5B =………………………………………………（1分）在Rt △ABD 中，3cos 1065BD AB B =⋅=⨯=……………………………（1分） 4sin 1085AD AB B =⋅=⨯=………………………………（1分）∴CD =21-6=15在Rt △ACD 中，222281517AC AD CD =+=+= ……………………（2分）（2）设⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径长分别为x 、y 、z ∵⊙A 、⊙B 、⊙C 两两外切∴AB=x+y ，BC=y+z ，AC=x+z ………………………………………………（2分）根据题意得10,21,17.x y y z x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解得3,7,14.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩…………………………………（3分）∴⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径长分别为3、7、14．22．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）某市为鼓励市民节约用水，自来水公司按分段收费标准收费，下图反映的是每月水费 y （元）与用水量x （吨）之间的函数关系．（1）当用水量超过10吨时，求y 关于x 的函数解析式（不写定义域）；（2）按上述分段收费标准，小聪家三、四月份分别交水费38元和27元，问四月份比三月份节约用水多少吨？解：（1）设函数解析式为y ＝kx ＋b （0k ≠）………………………………………（1分）由题意得：30107020k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得：410k b =⎧⎨=-⎩……………………（2分） ∴y 与x 之间的函数解析式为410y x =-． ……………………………（1分）（2）把y =38代入410y x =-得38410x =- 解得x ＝12 ………………………………………………（2分）当0≤x ≤10时，设函数解析式为y ＝k’x （0k ≠）由题意得3010'k = 解得k’=3∴函数解析式为y ＝3x ………………………………………………………（2分）把y=27代入y ＝3x ，得27=3x 解得x =9…………………………………………………………（1分） ∴ 12-9=3答：四月份比三月份节约用水3吨． ……………………………………………（1分）黄埔区：19．（本题满分10分）计算：()()12017122212sin 30--+-+--︒.解：原式= ()()112221-++-+ —————————————————（8分）=3—————————————————————————————（2分）20．（本题满分10分）解方程：21416222+=---+x x x x .解：()21622-=-+x x ———————————————————————（3分）01032=-+x x ————————————————————————（2分）21=x ，52-=x ————————————————————————（2分）经检验，21=x 是增根，——————————————————————（1分）所以，原方程的根为5-=x .———————————————————（2分）21．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =15°，D 是边AB 的中点，DE ⊥AB 交AC 于点E . （1）求∠CDE 的度数；EDCBA（2）求CE ∶EA .解：（1）在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，∴DC =DA ，———————————————————————————（2分） ∴∠DCA =∠DAC =15°， —————————————————————（1分） ∴∠BDC =30°. ————————————————————————（1分）又DE ⊥AB ，即∠BDE =90°.∴∠CDE =60°. ————————————————————————（1分）（2）过点C 作DE 的垂线，垂足为F （如图）. ———————————（1分）设AD =2a ，则CD =AD =2a ，—————————————————————（1分）在△CDF 中，∠CFD =90°，∠CDF =60°.∴CF =a 3.———————————————————————————（1分）又DE ⊥AB ，∴CF ∥AB ，———————————————————————————（1分） ∴CE ∶EA =CF ∶AD =3∶2. ———————————————————（1分）22．（本题满分10分）小明家买了一台充电式自动扫地机，每次完成充电后，在使用时扫地机会自动根据设定扫地时间，来确定扫地的速度（以使每次扫地结束时尽量把所储存的电量用完），下图是“设定扫地时间”与“扫地速度”之间的函数图像（线段AB ），其中设定扫地时间为x 分钟，扫地速度为y 平方分米/分钟. （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）现在小明需要扫地机完成180平方米的扫地任务，他应该设定的扫地时间为多少分钟？Oxy 100 20500100B AEDCBAF所以：03=-y x 或0=+y x . ·································································· 2分原方程组可以化为：⎩⎨⎧=-=-032y x y x ，（Ⅰ）与⎩⎨⎧=+=-02y x y x ，（Ⅱ） ·························· 2分解（Ⅰ）得⎩⎨⎧==1,3y x ；解（Ⅱ）得⎩⎨⎧-==1,1y x ················································ 2+2分所以，原方程组的解为：⎩⎨⎧==;1,311y x 与⎩⎨⎧-==.1,122y x ················································· 2分21．（本题满分10分，每小题5分）将大小相同，形状也相同的三个菱形按照图4的方式拼接在一起（其中，点B 、C 、F 、G 在同一条直线上），3=AB .联结AG ，AG 与EF 相交于点P . （1）求线段EP 的长；（2）如果︒=∠60B ，求△APE 的面积.解：（1）由题意得四边形ABGH 、ABFE 是平行四边形. ································ 1分 ∴ AE ∥FG . ···················································································· 1分∴FGAEFP EP =. ······················································································· 1分将6=AE ，3=FG 代入，得 2=FP EP ，即32=EF EP ································· 1分又∵四边形ABFE 是平行四边形，3=AB ，∴3==AB EF .∴2=EP . ··········· 1分（2）过点P 作AE PH ⊥，垂足为H （如图4）. ········································ 1分 ∵四边形ABFE 是平行四边形，︒=∠60B ，∴︒=∠=∠60B PEH . ············ 1分在Rt△PEH 中，︒=∠90PHE ，︒=∠60PEH ，2=EP ，∴323260sin =⨯=︒⋅=EP PH . ······················································ 2分 ∴△APE 的面积为33362121=⨯⨯=⋅PH AE . ··············· 1分22．（本题满分10分，第（1）小题6分；第（2）小题4分）ABCD 图4FE GHP A BC D图4FE GHPH解：原式=21])2)(2()2)(3(3[+÷-+--++x x x x x x x ……………………………………（3分） =)2(])2)(2()2)(2(2[+⋅-+--++x x x xx x x ……………………………………（2分）=22-x ．…………………………………………………………………………（2分）当32321+=-=x 时，…………………………………………………………（1分）原式=32=332．……………………………………………………………………（2分）20．（本题满分10分）解方程：.1521=-++x x解：1152+-=-x x ，………………………………………………………………（1分）112152+++-=-x x x ，…………………………………………………………（2分） x x -=+712．………………………………………………………………………（1分） 2144944x x x +-=+，………………………………………………………………（2分） 045182=+-x x ，……………………………………………………………………（1分） 15,321==x x ，………………………………………………………………………（1分）经检验：15,321==x x 都是增根，………（1分）所以原方程无解．…………（1分）21．（本题满分10分，每小题满分5分）已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △BCD 中，∠ABC =∠BCD =90°，BD 与AC 相交于点E ， AB =9，53cos =∠BAC ，125tan =∠DBC .求：（1）边CD 的长；（2）△BCE 的面积．EACD（第21题图）∴ 123a a=。

2018年宝山区高三二模数学试卷及答案(精校版)

P 3P 4P 2P 1O宝山区2017学年度第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 2．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 3．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分．)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1. 设全集U R =，若集合{}012A =，，，{}12B x x =-<<，则=)(B C A U ． 2. 设抛物线的焦点坐标为(10)，，则此抛物线的标准方程为．3. 某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为．1.68，1.71，1. 73，1.63，1.81，1.74，1.66，1.78，则这组数据的中位数是（米）． 4. 函数f x sin xcos x ()244=的最小正周期为． 5. 已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为．6. 若线性方程组的增广矩阵为12122c c ⎛⎫⎪⎝⎭、解为13x y =⎧⎨=⎩，则12c c += ． 7. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）． 8. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若n n a lim a a a 245()→∞=+++，则q = ．9. 若事件A 、B 满足142()()()255P A P B P AB ===，，，则()()P AB P AB -= ． 10. 设奇函数f x ()的定义域为R ，当x 0>时，m f x x x2()1=+-（这里m 为正常数）．若f x m ()2≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围为．11. 如图，已知O 为矩形P P P P 1234内的一点，满足OP 14=，OP 35=，P P 137=，则42OP OP ⋅的值为．12. 将实数x y z ，，中的最小值记为{}min x y z ，，．在锐角ΔPOQ 中，60POQ ∠=，1PQ =，点T 在ΔPOQ 的边上或内部运动，且{}TO min TP TO TQ =，，，由T 所组成的图形为M .设ΔPOQ 、M 的面积为ΔPOQ S 、M S ，若:()1:2M ΔPOQ M S S S -=，则M S = ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. “sinx 12=”是“6x π=”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 14. 在x x62()-的二项展开式中，常数项等于（）（A ）160- （B ）160 （C ）150- （D ）150 15. 若函数()f x （x R ∈）满足(1)f x -+、(1)f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是（）（A ）()f x -为奇函数（B ）()f x -为偶函数（C ）(3)f x +为奇函数（D ）(3)f x +为偶函数16. 对于数列12x x ，，，若使得0n m x ->对一切n N *∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”．设函数f x x sinx ()=+（x R ∈）及数列 ,,21y y ，且()1006y y y R =∈，若()111()()()()22n n n n n n n f y y y y n N f y y y ππ-*+-≥⎧⎪=∈⎨+-<⎪⎩，则当01y =时，下列结论正确的应为（）（A ）数列12y y ，，的“准最大项”存在，且为2π. （B ）数列12y y ，，的“准最大项”存在，且为3π. （C ）数列12y y ，，的“准最大项”存在，且为4π. （D ）数列12y y ，，的“准最大项”不存在.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，AD 3=，PA AB 4==，点E 在侧棱PA 上，且AE 1=，F 为侧棱PC 的中点．（1）求三棱锥E ABD -的体积；（2）求异面直线CE 与DF 所成角的大小．18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．设1z +为关于x 的方程20x mx n ++=（m n R ∈，）的虚根，i 为虚数单位．（1）当z i 1=-+时，求m n ，的值；（2）若n 1=，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围．19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分某渔业公司最近开发出的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点．研究表明：用该项技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为()g x （单位：千克/年），养殖密度为x （0x >）（单位：尾/立方分米）．当x 不超过4（尾/立方分米）时，()g x 的值恒为2（千克/年）；当420x ≤≤时，()g x 是x 的一次函数，且当x 达到20（尾/立方分米）时，因养殖空间受限等原因，()g x 的值为0（千克/年）．（1）当020x <≤时，求函数()g x 的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数()()f x x g x =⋅的最大值．20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分6分．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x y 2212723+=的右焦点为双曲线C ：x y a b22221-= （0a >，0b >）的右顶点，直线x y 210++=与C 的一条渐近线平行．（1）求C 的方程；（2）如图，1F 、2F 为C 的左、右焦点，动点P x y 00()，（y 01≥）在C 的右支上，且F PF 12∠的平分线与x 轴、y 轴分别交于点(0)M m ，（m 55<<、N ，试比较m 2的大小，并说明理由；（3）在（2）的条件下，设过点1F 、N 的直线l 与C 交于D 、E 两点，求ΔF DE 2面积的最大值．21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分．设()()k t f x ，kx tx+=（这里k ，t ，x R ∈，且0x ≠）．（1）若(12)(22)(13)(1)()(3)f f x f ，，，，，成等差数列，求x 的值；（2）已知(01)1()n f x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，（n N *∈）是公比为32的等比数列，x x N 15*∈，，是否存在正整数u ，使得41x u ≥，且45(1)x u ≤+？若存在，试求出u 的值，若不存在，请说明理由；（3）如果存在正常数M ，使得n y M ≤对一切n N *∈成立，那么称数列{}n y 有界.已知0a >，m 为正偶数，数列{}n x 满足10x b =<，且1()1()n b a m nx f x +=，（n N *∈），证明：数列{}n x 有界的充要条件是120m ab -+≥.宝山二模参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分）二、选择题（本大题共有4题，满分20分）三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．解：（1）依题意，可知EA 为点E 到底面ABCD 的距离，故所求的体积为E ABD V -13ΔABDS EA =⋅⋅2=．（2）以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，易得P (004)，，，C (430)，，，D (030)，，，E (001)，，，故F 3(22)2，，，CE (431)=--，，，DF 3(22)2=-，，，设异面直线CE 与DF 所成的角为θ，则cos θCE DF CE DF⋅=⋅31066=，02π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，θ，31066∴=θ 因此，异面直线CE 与DF 所成角的大小为31066．18．解：（1）由已知可得i 、i -均为关于x 的方程20x mx n ++=（m n R ∈，）的虚根，故由韦达定理，得()()01m i i n i i ⎧-=+-=⎪⎨=⋅-=⎪⎩，即01m n =⎧⎨=⎩.（2）依题意得1z +也是方程210x mx ++=（m R ∈）的虚根，所以 ()111z z +⋅+=，即 11z +=，题号123456答案 {}2 y x 24= 1. 72 4π 4π 9题号 7 8 9 10 11 12答案 1688 512- 310 [)2+∞， 4- 312 题号 13 14 15 16答案 B A C B因此，P 为圆11z +=上的点，由复数几何意义可知516max PQ =+=，514min PQ =-=，从而，PQ 的取值范围是[]46，．19．解：（1）由题意可知：当04x <≤时，()2g x =；当420x ≤≤时，设()g x kx b =+，由已知得42200k b k b ⋅+=⎧⎨⋅+=⎩，解得1852k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故函数**2(04)()15(420)82x x N g x x x x N ⎧<≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩，，. （2）易得*2*2(04)()15(420)82x x x N f x x x x x N ⎧<≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩，，，当04x <≤时，()2f x x =，故()(4)f x f ≤8=；当420x ≤≤时，()f x 21582x x =-+，故()f x ≤(10)f 12.5=．综上，()f x 的最大值为12.5．20．解：（1）椭圆2212723x y +=的右焦点为C 的右顶点，∴a 2=，又x y 210++=与C 的一条渐近线平行，得b 1=，故双曲线C 的方程为x y 2214-=．（2）依题意可得1(0)F、20)F ，则直线PF 1：y x x y 000(0-=，直线PF 2：y x x y 000(0-=，点M 在F PF 12∠的平分线上，∴=，又m <<y 01≥，∴=（※），注意到22114x y =-≥，且动点P 在C 的右支上，故x 0≥．利用y x 2200(++x 202)2=+，y x 2200(+x 202)2=-，（※）可化为：=，解得x m04=，最后，结合x 0≥m ≤．（3）由（2）知：直线PM ：000044()()x y y x x x -=-，∴N y 01(0)-，，从而，直线l：y x =，由x y y x 2214⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得y y y y 2200(54)1010-++=，注意到Δy 2080160=+>，设11()D x y ，，22()E x y ，，则y y y y y y y 0121222001015454+=-=--，，∴y y 12-=0=，故ΔF DES 2F F y y 121212=⋅⋅-0== 显然当y 201154=-即y 01=时，ΔF DE S 2取得最大值，此时点N 的坐标为(01)-，． 21．解：（1）由已知可得(12)(1)3f =，，(22)22()x f x x+=，，(13)(3)f ，2=，(12)(22)(13)(1)()(3)f f x f ，，，，，成等差数列，∴(22)(12)(13)2()(1)(3)f x f f =+，，，，即22232x x+⋅=+，解得4x =. （2）设正整数u 满足题设要求，则45132x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，15x x N *∈，，∴412x k=⋅（k N *∈），从而453x k =⋅.由41x u ≥可得2u ≤ （※）；由45(1)x u ≤+可得13u +≥（※※）；消去k 得1u +32u ≥⋅，解得2u ≤，再由（※※）得1u +3≥，得2u ≥，这样，便有2u =. 或这样：由（※）、（※※）消去u得1≥，所以1k ≥，注意到k N *∈，故1k =，于是由（※）、（※※）可得2u ≤，2u ≥，从而2u =.（3）易得1mn n x ax b +=+（n N *∈）．充分性：设120m ab -+≥，即12m ab -≥-，则由0b <，且120m ab -+≥可得m ab b b +≤- （※※※）.现用数学归纳法证明：数列{}n x 的每一项都落在区间[]b b -，中. （10）当1n =时，[]1x b b b =∈-，，结论成立；（20）假设当n k =时，结论成立，即 []k x b b ∈-，⇔k b x b ≤≤-，那么，当1n k =+时，因为0b <，且m 为正偶数，所以，0m mk x b ≤≤，又0a >，并利用（※※※），便得m mk b ax b ab b b ≤+≤+≤-，即1k b x b +≤≤-⇔[]1k x b b +∈-，，这就是说，当1n k =+时，结论也成立.综上，数列{}n x 的每一项都落在区间[]b b -，中，因而，数列{}n x 有界. 必要性：假设120m ab -+<，即12m ab -<-，则由0b <且m 为正偶数，可得1()2m a b --> （※※※※）.注意到0m ab b b +>->，且0a >，故()()0m m m m a ab b b a b b ab b b ++>-+=+>->，即3210x x b b x >>->>=，进而4323m m x ax b ax b x =+>+=，即43x x >，于是，43210x x x b x >>>->>，……………利用函数m ax b+在(0)x ∈+∞，上递增，可知：113210n n n x x x x x b x +->>>>>>>->>，即数列{}n x 单调递增，并且从第二项起的每一项都大于b -.对于23n =，，，利用（※※※※）便有211()m mn n n n x x a x x +++-=-123243111111()()m m m m m n n n n n n n n n n a x x x x x x x x x x -----+++++=-+++++11()m n n na x x mx -+>-⋅11()()m n n am b x x -+>--12()n n m x x +>-1n n x x +>-，即 211n n n n x x x x +++->-（23n =，，），这表明，数列{}n x 中相邻两项的差距总体呈现出越来越大，与数列{}n x 有界矛盾！所以，假设不成立，即 120m ab -+≥成立.综上，数列{}n x 有界的充要条件是120m ab -+≥.。

上海市宝山区2017届中考数学二模试卷(含解析)

2017年上海市宝山区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1．5的相反数是（）A．2 B．﹣5 C．5 D．2．方程3x2﹣2x+1=0实数根的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．下列函数中，满足y的值随x的增大而增大的是（）A．y=﹣2x B．y=x﹣3 C．y= D．y=x24．某老师在试卷分析中说：参加这次考试的41位同学中，考121分的人数最多，虽然最高的同学获得了满分150分，但是十分遗憾最低的同学仍然只得了56分，其中分数居第21位的同学获得116分．这说明本次考试分数的中位数是（）A．21 B．103 C．116 D．1215．下列命题为真命题的是（）A．由两边及一角对应相等的两三角形全等B．两个相似三角形的面积比等于其相似比C．同旁内角相等D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形6．如图，△ABC中，点D、F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有（）A．DE2=AD•AE B．AD2=AF•AB C．AE2=AF•AD D．AD2=AE•AC二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）7．计算：﹣÷= ．8．计算：（2a﹣b）2= ．9．计算：x•= ．10．方程x+=0的解是．11．如果正比例函数y=（k﹣1）x的图象经过原点和第一、第三象限，那么k ．12．二次函数y=x2﹣2x的图象的对称轴是直线．13．一枚（形状为正方体的）骰子可以掷出1、2、3、4、5、6这六个数中的任意一个，用这个骰子随机掷出的一个数替代二次根式中的字母x，使该二次根式有意义的概率是．14．为了解某中学九年级学生的上学方式，从该校九年级全体300名学生中，随机抽查了60名学生，结果显示有5名学生“骑共享单车上学”．由此，估计该校九年级全体学生中约有名学生“骑共享单车上学”．15．已知在△ABC中，点M、N分别是边AB、AC的中点，如果=， =，那么向量= （结果用、表示）．16．如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC 于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为．17．已知一条长度为10米的斜坡两端的垂直高度差为6米，那么该斜坡的坡角度数约为（备用数据：tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos53°≈0.6）18．如图，E、F分别为正方形ABCD的边AB、AD上的点，且AE=AF，连接EF，将△AEF绕点A逆时针旋转45°，使E落在E1，F落在F1，连接BE1并延长交DF1于点G，如果AB=2，AE=1，则DG= ．三、解答题（本大题共7小题，共78分）19．（10分）化简，再求值： +，其中x=．20．（10分）解方程组．21．（10分）如图，在△ABC中，∠B=45°，点D为△ABC的边AC上一点，且AD：CD=1：2，过D作DE⊥AB于E，C作CF⊥AB于F，连接BD，如果AB=7，BC=4，求线段CF和BE的长度．22．（10分）如图，由正比例函数y=﹣x沿y轴的正方向平移4个单位而成的一次函数y=﹣x+b的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．（1）求一次函数y=﹣x+b和反比例函数的解析式；（2）求△ABO的面积．23．（12分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，（1）求证：CF=2AF；（2）求tan∠CFD的值．24．（12分）如图，已知直线y=x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是上述抛物线上一点，如果△ABM和△ABC相似，求点M的坐标；（3）连接AC，求顶点D、E、F、G在△ABC各边上的矩形DEFG面积最大时，写出该矩形在AB边上的顶点的坐标．25．（14分）如图，在△ABC中，∠ACB为直角，AB=10，∠A=30°，半径为1的动圆Q的圆心从点C出发，沿着CB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点B出发，沿着BA方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PB长为半径的⊙P与AB、BC的另一个交点分别为E、D，连结ED、EQ．（1）判断并证明ED与BC的位置关系，并求当点Q与点D重合时t的值；（2）当⊙P和AC相交时，设CQ为x，⊙P被AC截得的弦长为y，求y关于x的函数；并求当⊙Q过点B时⊙P被AC截得的弦长；（3）若⊙P与⊙Q相交，写出t的取值范围．2017年上海市宝山区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1．5的相反数是（）A．2 B．﹣5 C．5 D．【考点】14：相反数．【分析】依据相反数的定义解答即可．【解答】解：5的相反数是﹣5．故选：B．【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2．方程3x2﹣2x+1=0实数根的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】AA：根的判别式．【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=﹣8＜0，由此即可得出原方程无解．【解答】解：∵在方程3x2﹣2x+1=0中，△=（﹣2）2﹣4×3×1=﹣8＜0，∴方程3x2﹣2x+1=0没有实数根．故选A．【点评】本考查了根的判别式，熟练掌握“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．3．下列函数中，满足y的值随x的增大而增大的是（）A．y=﹣2x B．y=x﹣3 C．y= D．y=x2【考点】G4：反比例函数的性质；F5：一次函数的性质；H3：二次函数的性质．【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质考虑4个选项的单调性，由此即可得出结论．【解答】解：A、在y=﹣2x中，k=﹣2＜0，∴y的值随x的值增大而减小；B、在y=x﹣3中，k=1＞0，∴y的值随x的值增大而增大；C、在y=中，k=1＞0，∴y的值随x的值增大而减小；D、二次函数y=x2，当x＜0时，y的值随x的值增大而减小；当x＞0时，y的值随x的值增大而增大．故选B．【点评】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质以及二次函数的性质，解题的关键是根据函数的性质考虑其单调性．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉各类函数的性质及其图象是解题的关键．4．某老师在试卷分析中说：参加这次考试的41位同学中，考121分的人数最多，虽然最高的同学获得了满分150分，但是十分遗憾最低的同学仍然只得了56分，其中分数居第21位的同学获得116分．这说明本次考试分数的中位数是（）A．21 B．103 C．116 D．121【考点】W4：中位数．【分析】根据中位数的定义解答即可得．【解答】解：由题意知，共有41为同学的数学成绩，∴其中位数为第21名同学的成绩，即中位数为116，故选：C．【点评】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，是解题的关键．5．下列命题为真命题的是（）A．由两边及一角对应相等的两三角形全等B．两个相似三角形的面积比等于其相似比C．同旁内角相等D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形【考点】O1：命题与定理．【分析】利用三角形全等的判定、相似三角形的性质、平行线的性质及平行四边形的判定分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、由两边及夹角对应相等的两三角形全等，故错误，是假命题；B、两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，故错误，是假命题；C、两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题；D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故正确，是真命题，故选D．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形全等的判定、相似三角形的性质、平行线的性质及平行四边形的判定，难度不大．6．如图，△ABC中，点D、F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有（）A．DE2=AD•AE B．AD2=AF•AB C．AE2=AF•AD D．AD2=AE•AC【考点】S9：相似三角形的判定与性质．【分析】先证明△ADE∽△ABC得到AD：AB=AE：AC，再证明△AEF∽△ACD得到AF：AD=AE：AC，则AD：AB=AF：AD，然后利用比例的性质得到AD2=AF•AB．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=AE：AC，∵EF∥CD，∴△AEF∽△ACD，∴AF：AD=AE：AC，∴AD：AB=AF：AD，∴AD2=AF•AB．故选B．【点评】本题考查了相似三角形的判定于性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时利用相似比表示线段之间的关系．二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）7．计算：﹣÷= ﹣．【考点】1D：有理数的除法．【分析】原式利用除法法则变形，计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣×3=﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键．8．计算：（2a﹣b）2= 4a2﹣4ab+b2．【考点】4C：完全平方公式．【分析】原式利用完全平方公式展开即可得到结果．【解答】解：原式=4a2﹣4ab+b2，故答案为：4a2﹣4ab+b2【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．计算：x•= x2．【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数幂．【分析】原式利用分数指数幂，以及平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：原式=•x=x2．故答案为：x2【点评】此题考查了实数的运算，以及分数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．方程x+=0的解是0 ．【考点】AG：无理方程．【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x=x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．【解答】解：原方程变形为：x=x2即x2﹣x=0∴（x﹣1）x=0∴x=0或x=1∵x=1时不满足题意．∴x=0．故答案为：0．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法和平方法．11．如果正比例函数y=（k﹣1）x的图象经过原点和第一、第三象限，那么k ＞1 ．【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据正比例函数的性质进行选择即可．【解答】解：∵正比例函数y=（k﹣1）x的图象经过原点和第一、第三象限，∴k﹣1＞0，∴k＞1，故答案为＞1．【点评】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．12．二次函数y=x2﹣2x的图象的对称轴是直线x=1 ．【考点】H3：二次函数的性质．【分析】先把二次函数y=x2﹣2x写成顶点坐标式y=（x﹣1）2﹣1，进而写出图象的对称轴方程．【解答】解：∵y=x2﹣2x，∴y=（x﹣1）2﹣1，∴二次函数的图象对称轴为x=1．故答案为x=1．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是把二次函数写出顶点坐标式，此题难度不大．13．一枚（形状为正方体的）骰子可以掷出1、2、3、4、5、6这六个数中的任意一个，用这个骰子随机掷出的一个数替代二次根式中的字母x，使该二次根式有意义的概率是．【考点】X4：概率公式；72：二次根式有意义的条件．【分析】据二次根式中被开方数的取值范围即二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案．【解答】解：∵1、2、3、4、5、6这十个数中，只有x=3，4，5，6时，二次根式中的字母x使所得二次根式有意义，∴二次根式有意义的概率是： =．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式以及二次根式有意义的条件，得出具体符合题意的值是解题关键．14．为了解某中学九年级学生的上学方式，从该校九年级全体300名学生中，随机抽查了60名学生，结果显示有5名学生“骑共享单车上学”．由此，估计该校九年级全体学生中约有25 名学生“骑共享单车上学”．【考点】V5：用样本估计总体．【分析】用样本中“骑共享单车上学”的人数所占比例乘以总人数300即可得．【解答】解：根据题意，估计该校九年级全体学生中“骑共享单车上学”的人数为300×=25名，故答案为：25．【点评】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．15．已知在△ABC中，点M、N分别是边AB、AC的中点，如果=， =，那么向量= （﹣）（结果用、表示）．【考点】LM：*平面向量；KX：三角形中位线定理．【分析】由=， =，利用三角形法则求解即可求得，又由在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案．【解答】解：∵ =， =，∴=﹣=﹣．又∵点M、N分别是边AB、AC的中点，∴==（﹣）．故答案是：（﹣）．【点评】此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质．注意掌握三角形法则的应用．16．如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC 于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为 2 ．【考点】L5：平行四边形的性质．【分析】根据作图过程可得得BE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠AEB=∠CBE，证出AE=AB=3，即可得出DE的长．，【解答】解：根据作图的方法得：BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=5，∴∠AEB=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3，∴DE=AD﹣AE=5﹣3=2；故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AE=AB是解决问题的关键．17．已知一条长度为10米的斜坡两端的垂直高度差为6米，那么该斜坡的坡角度数约为37°（备用数据：tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos53°≈0.6）【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】根据题意求出斜坡的坡角的正弦，计算即可．【解答】解：斜坡的坡角的正弦值为： =0.6，则斜坡的坡角度数约为37°，故答案为：37°．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．18．如图，E、F分别为正方形ABCD的边AB、AD上的点，且AE=AF，连接EF，将△AEF绕点A逆时针旋转45°，使E落在E1，F落在F1，连接BE1并延长交DF1于点G，如果AB=2，AE=1，则DG= ．【考点】R2：旋转的性质；LE：正方形的性质．【分析】连接AC、F1E1、DE1，F1E1交AD于M，延长BE1交DF1于H，如图，先利用正方形的性质得到∠DAC=∠BAC=45°，再根据旋转的性质得∠E1AE=∠FAF1=45°，AE1=AF1=AE=AF=1，于是可判断点E1在AC上，△AE1F1为等腰直角三角形，再证明E1F1∥AB，作E1N⊥AB于N，计算出BE1=，易证得△ABE1≌△ADE1≌△ADF1得到DE1=DF1=BE1=，∠ABH=∠ADH，接着利用面积法计算出E1H=，然后计算出HF1=，所以DH=DF1﹣HF1=．【解答】解：连接AC、F1E1、DE1，F1E1交AD于M，延长BE1交DF1于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAC=∠BAC=45°，∵△AEF绕点A逆时针旋转45°，∴∠E1AE=∠FAF1=45°，AE1=AF1=AE=AF=1，∴点E1在AC上，△AE1F1为等腰直角三角形，∴∠AE1F1=45°，E1F1=，AM=，∴E1F1∥AB，DM=，作E1N⊥AB于N，如图，AN=E1N=，∴BE=AB﹣AN=2﹣=，∴BE1==，易证得△ABE1≌△ADE1≌△ADF1，∴DE1=DF1=BE1=，∠ABH=∠ADH，∴∠DHB=∠DAB=90°，∵DM•E1F1=•E1H•DF1，∴E1H==，在Rt△HF1E1中，HF1==，∴DH=DF1﹣HF1=．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质．三、解答题（本大题共7小题，共78分）19．（10分）（2017•宝山区二模）化简，再求值： +，其中x=．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】首先化简+，然后把x=代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．【解答】解： +=+==当x=时，原式==2+4【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．20．（10分）（2017•宝山区二模）解方程组．【考点】AF：高次方程．【分析】由于组中的两个高次方程都能分解为两个一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个一元一次方程，重新组合成二元一次方程组，求出的四个二元一次方程组的解就是原方程的解．【解答】解：由①，得（x﹣y）2=16，所以x﹣y=4或x﹣y=﹣4．由②，得（x+3y）（x﹣3y）=0，即x+3y=0或x﹣3y=0所以原方程组可化为：，，，解这些方程组，得，，，．所以原方程组的解为：，，，．【点评】本题考查了二元二次方程组的解法．解决本题的关键是利用完全平方公式、平方差公式化二元二次方程组为四个一元一次方程组．21．（10分）（2017•宝山区二模）如图，在△ABC中，∠B=45°，点D为△ABC的边AC上一点，且AD：CD=1：2，过D作DE⊥AB于E，C作CF⊥AB于F，连接BD，如果AB=7，BC=4，求线段CF和BE的长度．【考点】S4：平行线分线段成比例；T7：解直角三角形．【分析】根据等腰直角三角形的性质求出CF、BF，根据平行线分线段成比例定理求出EF，计算即可．【解答】解：∵CF⊥AB，∠B=45°，BC=4，∴CF=BF=4，∴AF=AB﹣BF=3，∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE∥CF，∴==，∴EF=2，∴BE=EF+BF=6．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．22．（10分）（2017•宝山区二模）如图，由正比例函数y=﹣x沿y轴的正方向平移4个单位而成的一次函数y=﹣x+b的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．（1）求一次函数y=﹣x+b和反比例函数的解析式；（2）求△ABO的面积．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；Q3：坐标与图形变化﹣平移．【分析】（1）根据“上加下减”即可求出一次函数的解析式，将x=1代入一次函数解析式中求出n值，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式；（2）联立一次函数与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组求出点B的坐标，设直线y=﹣x+4与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M、N的坐标，根据三角形的面积结合S△AOB=S△MON﹣S△AON﹣S△BOM即可求出△ABO的面积．【解答】解：（1）∵正比例函数y=﹣x沿y轴的正方向平移4个单位得到一次函数y=﹣x+b，∴一次函数的解析式为y=﹣x+4．∵点A（1，n）在直线y=﹣x+4上，∴n=3，∴A（1，3）．∵点A（1，3）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，∴k=1×3=3，∴反比例函数的解析式为y=．（2）联立一次函数与反比例函数解析式成方程组，，解得：，，∴B（3，1）．设直线y=﹣x+4与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，∴M（4，0），N（0，4），∴S△AOB=S△MON﹣S△AON﹣S△BOM=×4×4﹣×4×1﹣×4×1=4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征找出点A的坐标；（2）利用分割图形求面积法求出△ABO的面积．23．（12分）（2017•宝山区二模）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，（1）求证：CF=2AF；（2）求tan∠CFD的值．【考点】LB：矩形的性质；S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．【分析】（1）由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，得出对应边成比例，即可得出结论；（2）作DH⊥AC于H，证出DH∥BE，得出比例式AF：FH=AE：ED=1：1，AF=FH=HC，设AF=a，则AH=2a，CH=a，证明△ADH∽△DCH，得出对应边成比例求出DH=a，再由三角函数定义即可得出答案．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE=AD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴BC=2AE，△AEF∽△CBF，∴AF：CF=AE：BC=1：2，∴CF=2AF；（2）解：作DH⊥AC于H，如图所示：∵BE⊥AC，∴DH∥BE，∴AF：FH=AE：ED=1：1，∴AF=FH=HC，设AF=a，则AH=2a，CH=a，∵∠DAH=∠CDH=90°﹣∠ADH，∠AHD=∠DHC=90°，∴△ADH∽△DCH，∴，即，解得：DH=a，∴tan∠CFD==．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数，平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．24．（12分）（2017•宝山区二模）如图，已知直线y=x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是上述抛物线上一点，如果△ABM和△ABC相似，求点M的坐标；（3）连接AC，求顶点D、E、F、G在△ABC各边上的矩形DEFG面积最大时，写出该矩形在AB边上的顶点的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）先求得点B和点C的坐标，然后将B（4，0）代入抛物线的解析式求得b的值即可；（2）先求得抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性求得点A的坐标，依据勾股定理的逆定理可判定△ABC为直角三角形，且∠BCA=90°，则△ABM≌△ABC，则点M与点C关于x=对称；（3）此题应分两种情况考虑：①矩形有两个顶点在AB边上（设这两点为D、E），首先设出DG的长为m，利用相似三角形△CFG∽△CBA得到的比例线段，可求得GF的表达式，进而可根据矩形的面积公式求出关于矩形的面积和m的函数关系式，根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的m值，从而确定出矩形的四顶点的坐标；②矩形有一个顶点在AB边上（设为D），此时C、F重合，方法同①，首先设DE=n，由△ADG∽△ABC求出DG的长，进而根据矩形的面积公式得到关于矩形的面积和n的函数关系式，从而根据函数的性质求得矩形的最大面积和对应的n值，进而确定矩形的四个顶点坐标．【解答】解：（1）把x=0代入直线的解析式得：y=﹣2，∴C（0，﹣2）．将y=0代入直线的解析式得：0=x﹣2，解得x=4，∴B（4，0）．将点B（4，0）代入抛物线的解析式得：8+4b﹣2=0，解得b=﹣，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．（2）∵抛物线的对称轴为x=，B（4，0），∴A（﹣1，0）．∴AB=5，AC==，BC==4．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC为直角三角形，且∠BCA=90°．∵M为抛物线上的一点，∴不可能由MB⊥AB或MA⊥AB．∴当△ABM和△ABC相似时，一定有∠AMB=90°．∴△BAM≌△ABC．∴点M的坐标为（3，﹣2）．（3）①如图①所示，矩形DEFG中D、E在AB边上．设DG=EF=m；由于FG∥x轴，则△CGF∽△CAB， =，解得FG=5﹣m；故矩形的面积S=DG•FG=（5﹣m）m=﹣m2+5m，即S=﹣（m﹣1）2+，故m=1时，矩形的面积最大为2.5；此时D（﹣，0），E（2，0），G（﹣，﹣1），F（2，﹣1）；②如图②所示，矩形DEFG中，F、C重合，D在AB边上．设DE=CG=n，同①可得： =即DG=2﹣2n；故矩形的面积S=DE•DG=（2﹣2n）n=﹣2（n﹣）2+，即当n=时，矩形的最大面积为2.5；此时BD=5×=，OD=OB﹣BD=，即D（，0）；综上所述，矩形的最大面积为2.5，此时矩形在AB边上的顶点坐标为（﹣，0），（2，0）或（，0）．【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定、矩形面积的计算方法、二次函数最值的应用等知识，要注意（3）题中，矩形的摆放方法有两种，不要漏解25．（14分）（2017•宝山区二模）如图，在△ABC中，∠ACB为直角，AB=10，∠A=30°，半径为1的动圆Q的圆心从点C出发，沿着CB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点B出发，沿着BA方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PB长为半径的⊙P与AB、BC的另一个交点分别为E、D，连结ED、EQ．（1）判断并证明ED与BC的位置关系，并求当点Q与点D重合时t的值；（2）当⊙P和AC相交时，设CQ为x，⊙P被AC截得的弦长为y，求y关于x的函数；并求当⊙Q过点B时⊙P被AC截得的弦长；（3）若⊙P与⊙Q相交，写出t的取值范围．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，可知∠BDE=∠BCA=90°，由此即可证明；（2）如图3中，设⊙P和AC相交于M、N．BP=CQ=t，AP=AB﹣BP=10﹣t，过点P作PH⊥AC 于H．在Rt△APH中，由∠A=30°，推出PH=AP=（10﹣t），在Rt△PHN中，NH==，推出MN=2MH=，即y=，由此即可角问题．（3）当⊙P与⊙Q外切时，如图4中，作PH⊥BC于H．易知此时∠QBP=60°，BQ=5﹣t，PQ=t+1，BP=t，在Rt△PHQ中，利用勾股定理即可列出方程解决问题．【解答】解：（1）结论：DE⊥BC．理由如下：如图1中，∵BE是直径，∴∠BDE=90°，∴DE⊥BC，∵∠BCA=90°，∠A=30°，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴==，如图2中，当C、D重合时，设CQ=CD=t，则BD=5﹣t，BE=2t，∴=，∴t=．∴当t=时，Q与D重合．（2）如图3中，设⊙P和AC相交于M、N．BP=CQ=t，AP=AB﹣BP=10﹣t，过点P作PH⊥AC于H．在Rt△APH中，∵∠A=30°，∴PH=AP=（10﹣t），在Rt△PHN中，NH==，MN=2MH=，即y=，当⊙O经过点B点时，CQ=CB﹣QB=4，将t=代入得到，MN=2，（3）当⊙P与⊙Q外切时，如图4中，作PH⊥BC于H．易知此时∠QBP=60°，BQ=5﹣t，PQ=t+1，BP=t，∵在Rt△PBH中，BH=PB=t．PH=t，在Rt△PHQ中，PH2+QH2=PQ2，∴（t）2+（5﹣t）2=（t+1）2，整理得2t2﹣17t+24=0，解得t=或（舍弃）∵从此时起到停止运动，⊙P与⊙Q都处于相交位置，∴⊙P与⊙Q相交时，t的取值范围为＜t≤5．【点评】本题考查圆综合题、勾股定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、两圆相切的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．。

2017年宝山区高考数学二模试卷含答案

2017年宝山区高考数学二模试卷含答案一、填空题〔本大题共有12题，总分值54分，第16题每题4分，第712题每题5分〕考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.{}|0A x x =>，{}|1B x x =<，则A B ⋂=____________z1z i ⋅=+〔i 为虚数单位〕，则z =____________3.函数()sin cos cos sin x x f x x x=的最小正周期是____________()2221081x y a a -=>的一条渐近线方程3y x =，则a =____________ 4的正方形，则圆柱的体积为____________,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是____________7.直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩〔t 为参数〕与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕的交点个数是____________()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是()1f x -，则12f -1⎛⎫= ⎪⎝⎭____________ ()()()()23*11110,nx x x x x n N ++++++++≠∈的展开式中x 项的系数为n T ，则2limnn T n →∞=____________，在第一、第二道工序中产生的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立，假设经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p =____________()(),,,m x y n x y ==-，P 为曲线()10m n x ⋅=>上的一个动点，假设点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为____________12.设1210,,,x x x 为1,2,,10的一个排列，则满足对任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为____________二、选择题〔本大题共有4题，总分值20分，每题5分〕每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的〔〕 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14.如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC 在该正方体各个面上的射影可能是〔〕A. ①②③④B.①③C. ①④D.②④15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12,l l 同侧，且P 到12,l l 的距离分别为,M N 分别在12,l l 上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为〔〕A. 15B. 12C. 10D. 916.假设存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设()()20x f x x xλ+=>，假设对于任意()2,6t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是〔〕A. (]0,2B. (]1,2C. []1,2D. []1,4三、解答题〔本大题共有5题，总分值76分〕解答以下各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.〔此题总分值14分，第1小题总分值8分，第2小题总分值6分〕如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是线段BC 、1CD 的中点. 〔1〕求异面直线EF 与1AA 所成角的大小；〔2〕求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小.18.〔此题总分值14分，第1小题6分，第2小题8分〕已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点()(),00T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.〔1〕求抛物线方程，并证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；〔2〕假设P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.19.〔此题总分值14分，第1小题6分，第2小题8分〕对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[](),m n D m n ⊆<，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n 则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”.〔1〕求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；〔2〕已知()()2112,0f x a R a a a x=+-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围.20.〔此题总分值16分，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分〕数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .〔这里,a k 均为实数〕〔1〕假设{}n a 是等差数列，求k ；〔2〕假设11,2a k ==-，求n S ; 〔3〕是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？假设存在，求出所有k 的值；假设不存在，请说明理由.21.〔此题总分值18分，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分〕设T,R 假设存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界.〔1〕设121|,21x xA y y x R ⎧⎫-==∈⎨⎬+⎩⎭、21|sin 2A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；〔2〕已知()2f x x u =+，记()()()()()()11,2,3,n n f x f x f x f f x n -===.假设m R ∈，1,4u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，且(){}*|n B f m n N =∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；〔3〕设a 、b 、c 均为正数，将()2a b -、()2b c -、()2c a -中的最小数记为d ，是否存在正数()0,1λ∈，使得λ为有界集合222{|,dC y y a b c==++a 、b 、c 均为正数}的上界，假设存在，试求λ的最小值；假设不存在，请说明理由.参考答案1.(0,1)2.13. π4.35. 6. 3 7. 2 8. 19. 1210. 0.03 11.217. 〔1〕〔2〕arctan 218.〔1〕24y x =，证明略〔2〕2)(t),(0t 2)d t ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩19. 〔1〕证明略〔2〕12a或32a 20. 〔1〕12k =〔2〕2(21,),(2,)n n n k k N S n n k k N **⎧-=-∈=⎨=∈⎩ 〔3〕25k =-21.〔1〕1A 为有界集合，上界为1；2A 不是有界集合〔2〕14u =，11,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 〔3〕15λ=解析：〔2〕设()()011,,,1,2,3,...n n a m a f m a f a n -====，则()n n a f m =∵()2114a f m m u ==+≥，则222111111024a a a a u a u ⎛⎫-=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭且211111024n n n n n a a a u a a ---⎛⎫-=-+-≥⇒≥ ⎪⎝⎭假设(){}*|N n B f m n =∈为有界集合，则设其上界为0M ，既有*0,N n a M n ≤∈∴()()()112211112211......n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ------=-+-++-+=-+-++-+2222121111111...242424n n a u a u a u m u --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212111111...22244n n a a a m n u u n u u --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-++-+≥-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦假设0n a M ≤恒成立，则014n u u M ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭恒成立，又11044u u ≥⇒-≥ ∴14u =，∴()214f x x =+ 设12m λ=+〔i 〕0λ>，则()22101011112422a a f m m a a λλλ⎛⎫⎛⎫-=-=++-+=⇒>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴111...2n n a a a m ->>>>>记()()212g x f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则当1212x x >>时，()()12g x g x >∴()()()2111110n n n n n g a f a a a a g m a a λ----=-=->=-=∴()211n a a n λ>+-，假设0na M ≤恒成立，则0λ=，矛盾。

宝山区2017学年度第一学期期末高三数学质量监测试卷

宝山区2017学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；2．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；3．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分．)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1.设集合，则．2.．3.函数的最小正周期为．4.不等式的解集为．5.若（其中为虚数单位），则．6.若从五个数中任选一个数，则使得函数在上单调递增的概率为．（结果用最简分数表示）7.在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则常数项的值等于．8.半径为的圆内接三角形的面积是，角所对应的边依次为，则的值为．9.已知抛物线的顶点为坐标原点，双曲线的右焦点是的焦点．若斜率为，且过的直线与交于两点，则．10.直角坐标系内有点，将绕轴旋转一周，则所得几何体的体积为．11.给出函数，，这里，若不等式（）恒成立，为奇函数，且函数恰有两个零点，则实数的取值范围为．12.若（，）个不同的点满足：，则称点按横序排列．设四个实数使得成等差数列，且两函数图象的所有交点、、按横序排列，则实数的值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.关于的二元一次方程组的增广矩阵为（）（）（）（）（）14.设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（）（）充分非必要条件（）必要非充分条件（）充要条件（）既非充分又非必要条件15.若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（）（）（）（）（）16.称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积．设：数列甲：为递增数列，且（）；数列乙：满足（）．则在甲、乙的所有内积中（）（）当且仅当时，存在个不同的整数，它们同为奇数；（）当且仅当时，存在个不同的整数，它们同为偶数；（）不存在个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数；（）存在个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．如图，在长方体中，已知，，为棱的中点．（1）求四棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的正切值．18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分已知函数．（1）求在上的单调递减区间；（2）设的内角所对应的边依次为，若且，求面积的最大值，并指出此时为何种类型的三角形．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．设数列及函数（），（）．（1）若等比数列满足，，求数列的前（）项和；（2）已知等差数列满足（均为常数，，且），（）．试求实数对，使得成等比数列．20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分6分．设椭圆：（）过点，且直线过的左焦点．（1）求的方程；（2）设为上的任一点，记动点的轨迹为，与轴的负半轴，轴的正半轴分别交于点，的短轴端点关于直线的对称点分别为．当点在直线上运动时，求的最小值；（3）如图，直线经过的右焦点，并交于两点，且，在直线上的射影依次为，．当绕转动时，直线与是否相交于定点？若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由．21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分．设，且．（1）已知（），求的值；（2）设（）与均不为零，且（）．若存在，使得，求证：；（3）若（），（）．是否存在，使得数列满足（为常数，且）对一切正整数均成立？若存在，试求出所有的；若不存在，请说明理由．。

上海市宝山区高考数学二模试卷解析版

当 k＜0 时，k＜- ．
可得|k|＞．
故选：A．求得双曲线的渐近线方程，结合图象可得直线的斜率 k 的范围．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查数形结合思想方法，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由向量
，其中 a2+b2=c2+d2=1，知：
在 A 中，设 z 轴正方向的方向向量 =（0，0，t），
8. 设 z∈C，且
，其中 i 为虚数单位，则|z|=______．
9. 在（1-x）5（1+x3）的展开式中，x3 的系数为______．（结果用数值表示）
10. 在平面直角坐标系中，已知点
，若
为平面区域
上一个动
点，则
的取值范围是______.
11. 将半径为 1 和 2 的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是 __________.
18. 已知
．
（1）若
，求 f（x）的取值范围；
（2）设△ABC 的三边分别是 a 页，共 14 页
19. 对年利率为 r 的连续复利，要在 x 年后达到本利和 A，则现在投资值为 B=Ae-rx，e 是自然对数的底数．如果项目 P 的投资年利率为 r=6%的连续复利．（1）现在投资 5 万元，写出满 n 年的本利和，并求满 10 年的本利和；（精确到 0.1 万元）（2）一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金，若每年初一次性给项目 P 投资 2 万元，那么，至少满多少年基金共有本利和超过一百万元？（精确到 1 年）
1.【答案】B
答案和解析
【解析】解：当 n=1 时，左边= = ，右边= = ，
当 n=2 时，左边= = ，右边= = ，

2017届上海各区高三数学二模试卷汇总

第 33 页共 57 页
第 34 页共 57 页
第 35 页共 57 页
第 36 页共 57 页
第 37 页共 57 页
第 38 页共 57 页
第 39 页共 57 页
第 40 页共 57 页
第 41 页共 57 页
第 42 页共 57 页
第 43 页共 57 页
第 44 页共 57 页
第 45 页共 57 页
第 46 页共 57 页
第 47 页共 57 页
第 48 页共 57 页
第 49 页共 57 页
第 50 页共 57 页
第 51 页共 57 页
第 52 页共 57 页
第 53 页共 57 页Fra bibliotek第 54 页共 57 页
2017 届上海各区高三数学二模试卷汇总
第 1 页共 57 页
第 2 页共 57 页
第 3 页共 57 页
第 4 页共 57 页
第 5 页共 57 页
第 6 页共 57 页
第 7 页共 57 页
第 8 页共 57 页
第 9 页共 57 页
第 10 页共 57 页
第 55 页共 57 页
第 56 页共 57 页
第 57 页共 57 页
第 11 页共 57 页
第 12 页共 57 页
第 13 页共 57 页
第 14 页共 57 页
第 15 页共 57 页
第 16 页共 57 页
第 17 页共 57 页
第 18 页共 57 页
第 19 页共 57 页
第 20 页共 57 页

高考数学《函数》专题复习

函数一、17届一模一、填空、选择题1、（宝山区2017届高三上学期期末）若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为2、（崇明县2017届高三第一次模拟）设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤，则((1))f f -= ．3、（虹口区2017届高三一模）定义{}()f x x =（其中{}x 表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{}2.13=，{}44=．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）．①(2)2()f x f x =； ②若12()()f x f x =，则121x x -<； ③任意12,x x R ∈，1212()()()f x x f x f x +≤+；④1()()(2)2f x f x f x ++=．.A ①② .B ①③ .C ②③ .D ②④4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）已知函数()y f x =是奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)f x x =+．若函数()y g x =是()y f x =的反函数，则(3)g -= ．5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）已知)(x g y =与)(x h y =都是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数，且当0>x 时，⎩⎨⎧>-≤<=.1),1(,10,)(2x x g x x x g ，x k x h 2log )(=（0>x ），若)()(x h x g y -=恰有4个零点，则正实数k 的取值范围是【】A ．]1,21[；B ．]1,21(；C ．]2log ,21(3；D ．]2log ,21[3．6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）函数()1f x =的反函数是_____________．7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有()*f n N ∈，且()()3f f n n =恒成立，则()()20171999f f -=____________．8、（普陀区2017届高三上学期质量调研）函数x x f 2log 1)(+=（1≥x ）的反函数=-)(1x f .9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两墙的距离分别是4m 和(012)am a <<，不考虑树的粗细．现用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ．设此矩形花圃的最大面积为u ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数()u f a =（单位2m ）的图像大致是……………………（）.A ．B ．C ．D ．10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知函数()1xf x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f -=▲ ．11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）若函数22,0(),0xx f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为(],1-∞，则实数m 的取值范围是____________12、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）若函数2()log 1x af x x -=+的反函数的图像过点(2,3)-，则a =________．13、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）若函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图像经过点)1,4(，则实数=a __________．14、（崇明县2017届高三第一次模拟）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A ．tan y x =B ．3xy =C ．13y x =D ．lg y x =15、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）已知函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，则函数()y f x =-与()1y f x -=-的图像（）． A ．关于y 轴对称 B ．关于原点对称C ．关于直线0x y +=对称D ．关于直线0x y -=对称16、（普陀区2017届高三上学期质量调研）设∈m R ，若函数()11)(32+++=mx x m x f 是偶函数，则)(x f 的单调递增区间是 .17、（普陀区2017届高三上学期质量调研）方程()()23log 259log 22-+=-x x 的解=x .18、（普陀区2017届高三上学期质量调研）已知定义域为R 的函数)(x f y =满足)()2(x f x f =+，且11<≤-x 时，21)(x x f -=；函数⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,lg )(x x x x g ，若)()()(x g x f x F -=，则[]10,5-∈x ，函数)(x F 零点的个数是 .19、（奉贤区2017届高三上学期期末）方程1lg )3lg(=+-x x 的解=x ____________ 20、（金山区2017届高三上学期期末）函数()2xf x m =+的反函数为1()y fx -=，且1()y f x -=的图像过点(5,2)Q ，那么m =二、解答题1、（崇明县2017届高三第一次模拟）设12()2x x af x b+-+=+（,a b 为实常数）．（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数；（2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ，都有2()33f x c c <-+成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由．2、（虹口区2017届高三一模）已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在2,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ，并求()g a 的值域．3、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得(2)f t +()(2)f t f =+．（1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由；（2）若2()lg2af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围；（3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈．4、（静安区2017届向三上学期期质量检测）设集合|)({x f M a =存在正实数a ，使得定义域内任意x 都有)}()(x f a x f >+．(1) 若22)(x x f x-=，试判断)(x f 是否为1M 中的元素，并说明理由；(2) 若341)(3+-=x x x g ，且a M x g ∈)(，求a 的取值范围； (3) 若),1[),(log )(3+∞∈+=x xkx x h （R ∈k ），且2)(M x h ∈，求)(x h 的最小值．5、（普陀区2017届高三上学期质量调研）已知∈a R ，函数||1)(x a x f += （1）当1=a 时，解不等式x x f 2)(≤；（2）若关于x 的方程02)(=-x x f 在区间[]1,2--上有解，求实数a 的取值范围.6、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）已知函数2()2(0)f x x ax a =->. (1)当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<；(2)对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0 ()]M a ，上，不等式|()|5f x ≤恒成立. 求出()M a 的解析式；(3)函数()y f x =在[ 2]t t +，的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值.7、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知函数21()(21x xa f x a ⋅-=+为实数) ．（1）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的1x ≥ ，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围.8、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）某创业团队拟生产A 、B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比（如图1），B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）．（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A 、B 两种产品的利润()f x 、()g x 表示为投资额x 的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A 、B 两种产品的生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？参考答案：一、填空、选择题1、解析：1＋log 8a ＝4，log 8a ＝3，化为指数：3a ＝8，所以，a ＝221log y x =+，即：12y x -=，所以反函数为12x y -=2、－23、C4、－75、C6、()()211(1)fx x x -=-≥ 7、548、【解析】∵x ≥1，∴y=1+2log x ≥1，由y=1+2log x ，解得x=2y ﹣1，故f ﹣1（x ）=2x ﹣1（x ≥1）．故答案为：2x ﹣1（x ≥1）． 9、B 10、211、01m <≤ 12、2a =13、【解析】函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图象经过点（4，1），即函数a x x f ++=)1(log )(2的图象经过点（1，4）， ∴4=log 2（1+1）+a ∴4=1+a ， a=3．故答案为：3． 14、C 15、D16、【解析】由题意：函数()11)(32+++=mx x m x f 是偶函数，则mx=0，故得m=0，那么：f （x ）=23x +1，根据幂函数的性质可知：函数f （x ）的单点增区间为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）． 17、【解析】由题意可知：方程log 2（9x ﹣5）=2+log 2（3x ﹣2）化为：log 2（9x ﹣5）=log 24（3x ﹣2）即9x ﹣5=4×3x ﹣8 解得x=0或x=1；x=0时方程无意义，所以方程的解为x=1．故答案为1． 18、【解析】定义域为R 的函数y=f （x ）满足f （x +2）=f （x ），可得f （x ）的周期为2， F （x ）=f （x ）﹣g （x ），则令F （x ）=0，即f （x ）=g （x ），分别作出y=f （x ）和y=g （x ）的图象，观察图象在[﹣5，10]的交点个数为14．x ＝0时，函数值均为1，则函数F （x ）零点的个数是15．故答案为：15．19、5 20、1二、解答题1、解：（1）证明：511212)1(2-=++-=f ，412121)1(=+-=-f ，所以)1()1(f f -≠-，所以)(x f 不是奇函数............................3分（2）)(x f 是奇函数时，)()(x f x f -=-，即bab a x x x x ++--=++-++--112222对定义域内任意实数x 都成立即0)2(2)42(2)2(2=-+⋅-+⋅-b a ab b a x x ，对定义域内任意实数x 都成立...........................................5分所以⎩⎨⎧=-=-042,02ab b a 所以⎩⎨⎧-=-=21b a 或⎩⎨⎧==21b a ．经检验都符合题意........................................8分（2）当⎩⎨⎧==21b a 时，121212212)(1++-=++-=+x x x x f ，因为02>x ，所以112>+x ，11210<+<x，所以21)(21<<-x f .......................................10分而4343)23(3322≥+-=+-c c c 对任何实数c 成立；所以可取D =R 对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立........12分当⎩⎨⎧-=-=21b a 时，)0211212212)(1≠-+-=---=+x x f xx x （，所以当0>x 时，21)(-<x f ；当0<x 时，21)(>x f .............14分1）因此取),0(+∞=D ，对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立． 2）当0<c 时，3332>+-c c ，解不等式321121≤-+-x 得：75log 2≤x ．所以取]75log ,(2-∞=D ，对任何属于D 的x 、c ，都有33)(2+-<c c x f 成立.....16分2、解：（1）由二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞，得0a >且41604ac a-=，解得4ac =．……………………2分(1)4f a c =+-，(1)4f a c -=++，0a >且0c >，从而(1)(1)f f -≠，(1)(1)f f -≠-，∴此函数是非奇非偶函数．……………………6分（2）函数的单调递增区间是2,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．设1x 、2x 是满足212x x a >≥的任意两个数，从而有21220x x a a->-≥，∴222122()()x x a a ->-．又0a >，∴222122()()a x a x a a ->-，从而22212424()()a x c a x c a a a a-+->-+-，即22221144ax x c ax x c -+>-+，从而21()()f x f x >，∴函数在2,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增．……………………10分（3）2()4f x ax x c =-+，又0a >，02x a=，[)1,x ∈+∞ 当021x a =≥，即02a <≤时，最小值0()()0g a f x == 当021x a =<，即2a >时，最小值4()(1)44g a f a c a a==+-=+-综上，最小值002()442a g a a a a <≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩……………………14分当02a <≤时，最小值()0g a = 当2a >时，最小值4()4(0,)g a a a=+-∈+∞ 综上()y g a =的值域为[0,)+∞……………………16分3、解：（1）当()32f x x =+时，方程(2)()(2)38310f t f t f t t +=+⇔+=+ ……2分此方程无解，所以不存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+，故()32f x x =+不属于集合M ． ……………………………4分（2）由2()lg2af x x =+属于集合M ，可得方程22lg lg lg (2)226a a ax x =++++有实解22[(2)2]6(2)a x x ⇔++=+有实解2(6)46(2)0a x ax a ⇔-++-=有实解，………7分若6a =时，上述方程有实解；若6a ≠时，有21624(6)(2)0a a a ∆=---≥，解得1212a -≤+故所求a的取值范围是[1212-+． ……………………………10分（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+⇔+2222(2)244x x b x bx b ++=+++⇔32440x bx ⨯+-=， ………………12分令()3244x g x bx =⨯+-，则()g x 在R 上的图像是连续的，当0b ≥时，(0)10g =-<，(1)240g b =+>，故()g x 在(0,1)内至少有一个零点；当0b <时，(0)10g =-<，11()320bg b =⨯>，故()g x 在1(,0)b内至少有一个零点；故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解，所以对任意实数b ，都有()f x M ∈． ………………………16分 4、解：（1）∵1)0()1(==f f ， ∴1)(M x f ∉. ……………………………4分（2）由0413341)(41)()()(32233>-++=++--+=-+a a x a ax x a x x a x x g a x g …2分 ∴0)41(12934<--=∆a a a a ， ……………………………3分故 1>a . ……………………………1分（3）由0)(log ]2)2[(log )()2(33>+-+++=-+xkx x k x x h x h , ………………1分即：)(log ]2)2[(log 33xkx x k x +>+++∴ 022>+>+++xkx x k x 对任意),1[+∞∈x 都成立∴ 3113)2(2<<-⇒⎩⎨⎧-><⇒⎩⎨⎧->+<k k k xk x x k ……………………………3分当01≤<-k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分当10<<k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分当31<≤k 时，)2(log )()(3min k k h x h ==. ……………………………1分综上：⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<-+=.31),2(log ,11),1(log )(33min k k k k x h ……………………………1分5、【解】（1）当1=a 时，||11)(x x f +=，所以x x f 2)(≤x x 2||11≤+⇔……（*） ①若0>x ，则（*）变为，0)1)(12(≥-+x x x 021<≤-⇔x 或1≥x ，所以1≥x ；②若0<x ，则（*）变为，0122≥+-xx x 0>⇔x ，所以φ∈x 由①②可得，（*）的解集为[)+∞,1。

2017年上海市宝山区高考数学二模试卷含详解

2017年上海市宝山区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-4题每小题4分，第7-12小题，每小题4分，共60分）1．（4分）若集合A={x|x＞0}，B={x|x＜1}，则A∩B=．2．（4分）已知复数z满足i•z=1+i（i为虚数单位），则|z|=．3．（4分）函数f（x）=的最小正周期是．4．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程y=3x，则a=．5．（4分）已知一个圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则该圆柱的体积为．6．（4分）已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是．7．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是．8．（5分）已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）=．9．（5分）设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为T n，则=．10．（5分）生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=．11．（5分）设向量=（x，y），=（x﹣y），P为曲线•=1（x＞0）上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为．12．（5分）设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为．二、选择题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（5分）如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④15．（5分）如图，在同一平面内，点P位于两平行直线l1、l2两侧，且P到l1，l2的距离分别为1，3，点M，N分别在l1，l2上，|+|=8，则•的最大值为（）A．15B．12C．10D．916．（5分）若存在t∈R与正数m，使F（t﹣m）=F（t+m）成立，则称“函数F （x）在x=t处存在距离为2m的对称点”，设f（x）=（x＞0），若对于任意t∈（，），总存在正数m，使得“函数f（x）在x=t处存在距离为2m的对称点”，则实数λ的取值范围是（）A．（0，2]B．（1，2]C．[1，2]D．[1，4]三、解答题（本题共5题，70分）17．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点．（1）求异面直线EF与AA1所成角的大小；（2）求直线EF与平面AA1B1B所成角的大小．18．（14分）已知抛物线y2=2px（p＞0），其准线方程为x+1=0，直线l过点T（t，0）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：•的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．19．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D（m＜n），同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]则称函数f（x）是区间[m，n]上的“保值函数”．（1）求证：函数g（x）=x2﹣2x不是定义域[0，1]上的“保值函数”；（2）已知f（x）=2+﹣（a∈R，a≠0）是区间[m，n]上的“保值函数”，求a的取值范围．20．（16分）数列{a n}中，已知a1=1，a2=a，a n+1=k（a n+a n+2）对任意n∈N*都成立，数列{a n}的前n项和为S n．（这里a，k均为实数）（1）若{a n}是等差数列，求S n；（2）若a=1，k=﹣，求S n；（3）是否存在实数k，使数列{a n}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项a m，a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．21．（18分）设T⊊R，若存在常数M＞0，使得对任意t∈T，均有|t|≤M，则称T为有界集合，同时称M为集合T的上界．（1）设A1={y|y=，x∈R}，A2={x|sinx＞}，试判断A1、A2是否为有界集合，并说明理由；（2）已知f（x）=x2+u，记f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣1（x））（n=2，3，…），若m∈R，u∈[，+∞），且B={f n（m）|n∈N*}为有界集合，求u的值及m 的取值范围；（3）设a，b，c均为正数，将（a﹣b）2、（b﹣c）2、（c﹣a）2中的最小值记为d，是否存在正数λ∈（0，1），使得λ为有界集合C={y|，a、b、c均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．2017年上海市宝山区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-4题每小题4分，第7-12小题，每小题4分，共60分）1．（4分）若集合A={x|x＞0}，B={x|x＜1}，则A∩B={x|0＜x＜1} ．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={x|x＞0}，B={x|x＜1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）已知复数z满足i•z=1+i（i为虚数单位），则|z|=1．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由i•z=1+i，得=，则|z|=．故答案为：1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．（4分）函数f（x）=的最小正周期是π．【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】33：函数思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据行列式的计算法则，化简f（x），求出f（x）的最小正周期．【解答】解：函数f（x）==sin2x﹣cos2x=﹣cos2x；∴f（x）的最小正周期是：T==π．故答案为：π．【点评】本题考查了行列式的运算与三角函数的化简问题，是基础题．4．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程y=3x，则a=3．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±x，结合题意可得=3，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线﹣=1，则其渐近线方程为y=±x，又由题意，双曲线﹣=1的一条渐近线方程y=3x，则有=3，解可得a=3；故答案为：3．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用标准方程表示出渐近线方程．5．（4分）已知一个圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则该圆柱的体积为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题．【分析】由圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，知该圆柱的高h=4，底面周长2πr=4，底面半径r=，由此能求出该圆柱的体积．【解答】解：∵圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，∴该圆柱的高h=4，底面周长2πr=4，底面半径r=，∴该圆柱的体积V=．故答案为：．【点评】本题考查圆柱的体积的求法，解题时要认真审题，注意圆柱的侧面展开图的灵活运用．6．（4分）已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是3．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】先作出不等式组对应的区域，由图形判断出最优解，代入目标函数计算出最大值即可【解答】解：由已知不等式组得到平面区域如图：目标函数z=2x+y变形为y=﹣2x+z，此直线经过图中B时在y轴截距最大，由得到B（1，1），所以z的最大值为2+1=3；故答案为：3．【点评】本题考查简单线性规划，解题的重点是作出正确的约束条件对应的区域，根据目标函数的形式及图象作出正确判断找出最优解．7．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是2．【考点】QJ：直线的参数方程；QL：椭圆的参数方程．【专题】17：选作题；34：方程思想；4G：演绎法；5S：坐标系和参数方程．【分析】直线与曲线的参数方程，化为普通方程，联立可得13x2﹣18x﹣27=0，即可得出结论．【解答】解：直线（t为参数）与曲线（θ为参数），普通方程分别为x+y﹣1=0，=1，联立可得13x2﹣18x﹣27=0，△=（﹣18）2﹣4×13×（﹣27）＞0，∴交点个数是2，故答案为：2．【点评】本题考查直线的参数方程与普通方程的转化，考查方程思想，比较基础．8．（5分）已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）=﹣1．【考点】4R：反函数．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】由题意，x≤0，2x=，求出x，即可得出结论．【解答】解：由题意，x≤0，2x=，∴x=﹣1，∴f﹣1（）=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查分段函数，考查反函数，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为T n，则=．【考点】8J：数列的极限；DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分析可得，f（x）=（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n中x的系数分别为1、C21、C31、…C n1，进而可求得则T n，代入，计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n中x的系数分别为1、C21、C31、…C n1，则T n=1+C21+C31+…+C n1=1+2+3+…+n=；则，故答案为．【点评】本题考查二项式的系数性质、数列求和与极限的计算，有一定难度，要灵活运用这几方面知识．10．（5分）生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=0.03．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式列出方程组，能求出p的值．【解答】解：∵生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，∴由题意得：（1﹣0.01）（1﹣p）=0.9603，解得p=0.03．故答案为：0.03．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．11．（5分）设向量=（x，y），=（x﹣y），P为曲线•=1（x＞0）上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出•得出双曲线x2﹣y2=1（x＞0），根据双曲线的渐近线与直线x﹣y+1=0平行，转化为λ的最大值是直线x﹣y+1=0与渐近线的距离，求出即可．【解答】解：向量=（x，y），=（x﹣y），∴•=x2﹣y2=1（x＞0），又双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，由点P到直线x﹣y+1=0的距离大于λ恒成立，∴λ的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即λ的最大值为=．故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的性质与应用问题，也考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题．12．（5分）设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为512．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；32：分类讨论；35：转化思想；5O：排列组合．【分析】利用归纳推理求出n的最大值分别为2，3，4时的排列个数，然后推出本题的结果．【解答】解：如果n=2时，满足题意的排列个数是2，即1，2或2，1；即21．如果n的最大值为3，则排列个数为4；分别为：1，2，3；2，1，3；1，3，2；3，2，1；4个．即22．如果n的最大值为4，则满足题意的排列个数为8；分别为：1，2，3，4；2，1，3，4；2，1，4，3；1，3，2，4；1，2，4，3，；3，1，2，4；1，4，3，2；4，3，2，1；共8个，即23．如果n的最大值为5，则满足题意的排列个数为16；分别为：1，2，3，4，5；2，1，3，4，5；2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；2，1，5，4，3；1，2，4，3，5；1，2，3，5，4；1，2，5，4，3；1，3，2，4，5；1，3，2，5，4；1，4，3，2，5；1，5，4，3，2；3，2，1，4，5；3，2，1，5，4；4，3，2，1，5；5，4，3，2，1；即24．…所以：设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为：29=512．故答案为：512．【点评】本题考查排列组合的数据应用，归纳推理的应用，解题的关键是：1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的理解，本题是难题．二、选择题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】由a＞1且b＞3，⇒a+b＞4；反之不成立，例如取a=﹣1，b=6．即可判断出结论．【解答】解：由a＞1且b＞3，⇒a+b＞4；反之不成立，例如取a=﹣1，b=6．∴“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④【考点】LA：平行投影及平行投影作图法．【专题】15：综合题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P、A 在各个面上的投影，再把它们连接起来，即，△PAC在该正方体各个面上的射影．【解答】解：由题意知，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的中心，则从上向下投影时，点P的影子落在对角线AC上，故△PAC在下底面上的射影是线段AC，是第一个图形；当从前向后投影时，点P的影子应落在侧面CDC1D1的中心上，A点的影子落在D 上，故故△PAC在面CDC1D1上的射影是三角形，是第四个图形；当从左向右投影时，点P的影子应落在侧面BCB1C1的中心上，A点的影子落在B 上，故故△PAC在面CDC1D1上的射影是三角形，是第四个图形．故选：C．【点评】本题主要考查了平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图得关键点，如顶点等，再一次连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完成．15．（5分）如图，在同一平面内，点P位于两平行直线l1、l2两侧，且P到l1，l2的距离分别为1，3，点M，N分别在l1，l2上，|+|=8，则•的最大值为（）A．15B．12C．10D．9【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．【分析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量、，根据|+|=8求出•的解析式，再求其最大值．【解答】解：由点P位于两平行直线l1，l2的同侧，且A到l1，l2的距离分别为1，3，可得平行线l1、l2间的距离为2；以直线l2为x轴，以过点P且与直线l2垂直的直线为y轴，建立坐标系，如图所示：由题意可得点P（0，﹣1），直线l1的方程为y=2，设点M（a，0）、点N（b，2），∴=（a，1）、=（b，3），∴+=（a+b，4）；∵|+|=8，∴（a+b）2+16=64，∴a+b=4，或a+b=﹣4；当a+b=4时，•=ab+3=a（4﹣a）+3=﹣a2+4a+3，它的最大值为﹣+4×2+3=15；当a+b=﹣3时，=ab+3=a（﹣4﹣a）+3=﹣a2﹣4a+3，它的最大值为﹣﹣4×（﹣2）+3=15；综上可得，的最大值为15．故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及向量坐标形式的运算问题，是综合题．16．（5分）若存在t∈R与正数m，使F（t﹣m）=F（t+m）成立，则称“函数F （x）在x=t处存在距离为2m的对称点”，设f（x）=（x＞0），若对于任意t∈（，），总存在正数m，使得“函数f（x）在x=t处存在距离为2m的对称点”，则实数λ的取值范围是（）A．（0，2]B．（1，2]C．[1，2]D．[1，4]【考点】3T：函数的值．【专题】23：新定义；35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】哟题意可得代入函数式，化简整理，可得λ=t2﹣m2有解，结合函数f（x）可得λ＞0（否则单调），求得m的范围，即可得到所求范围．【解答】解：若对于任意t∈（，），总存在正数m，使得“函数f（x）在x=t处存在距离为2m的对称点”，则对于任意t∈（，），=有解，即=有解，即1=有解，即λ=t2﹣m2有解，∵f（x）=（x＞0）具有对称性，故λ＞0，即有m＜t，即有0＜m≤，由于t∈（，），故t2﹣m2∈（0，2]．故选：A．【点评】本题考查新定义的理解和运用，注意运用对勾函数的性质，以及恒成立思想的运用，不等式的性质，属于中档题．三、解答题（本题共5题，70分）17．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点．（1）求异面直线EF与AA1所成角的大小；（2）求直线EF与平面AA1B1B所成角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5G：空间角．【分析】建立如图所示的坐标系，利用向量方法，即可求出所求角．【解答】解：（1）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则E（1，2，0），F（0，1，1），A（2，0，0），A1（2，0，2），∴=（﹣1，﹣1，1），=（0，0，2），∴异面直线EF与AA1所成角的余弦值为|=，∴异面直线EF与AA1所成角的大小为arccos；（2）平面AA1B1B的法向量为（1，0，0），∴直线EF与平面AA1B1B所成角的正弦值为||=，∴直线EF与平面AA1B1B所成角的大小为arcsin．【点评】本题考查空间角，考查向量方法的运用，正确求出向量的坐标是关键．18．（14分）已知抛物线y2=2px（p＞0），其准线方程为x+1=0，直线l过点T（t，0）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：•的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．【专题】35：转化思想；41：向量法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可知p=2，求得抛物线方程，当直线斜率存在时，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得•的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）利用点到直线的距离公式及二次函数的性质即可求得|PT|的最小值，求得d（t）的解析式．【解答】解：（1）由题意可知：准线方程x=﹣1，则﹣=﹣1，则p=2，∴抛物线的标准方程为：y2=4x，证明：若直线l的斜率不存在，则其方程为x=t，代入y2=4x得，A（t，2），B （t，﹣2），则•=t2﹣4t，则若直线l的斜率存在，设其斜率为（k≠0），则l的方程为x=my+t，联立，整理得：y2﹣4ky﹣4t=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4k，y1y2=﹣4t，x1x2=（my1+t）（my2+t）=m2y1y2+mt（y1+y2）+t2=t2．•=x1x2+y1y2=t2﹣4t，综上，•的值t2﹣4t与直线l倾斜角的大小无关；（2）设P（x，2），则丨PT丨2=（x﹣t）2+（2﹣0）2=x2﹣2（t﹣2）x+t2，（x＞0），由二次函数的性质可知：当对称轴x=t﹣2＜0，即0＜t＜2时，当x=0时，丨PT 丨取最小值，最小值为t，当t﹣2≥0时，即x=t﹣2时，取最小值，丨PT丨取最小值，最小值为2，d（t）的解析式，d（t）=．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查二次函数的性质，考查计算能力，属于中档题．19．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D（m＜n），同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]则称函数f（x）是区间[m，n]上的“保值函数”．（1）求证：函数g（x）=x2﹣2x不是定义域[0，1]上的“保值函数”；（2）已知f（x）=2+﹣（a∈R，a≠0）是区间[m，n]上的“保值函数”，求a的取值范围．【考点】34：函数的值域；3H：函数的最值及其几何意义．【专题】15：综合题；33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数单调性的定义以及“保值函数”的定义判断即可；（2）由f（x）的定义域和值域都是[m，n]，问题等价于方程a2x2﹣（2a2+a）x+1=0有两个不等的实数根，根据根的判别式判断即可；【解答】解：（1）证明：g（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，x∈[0，1]时，g（x）∈[﹣1，0]，根据函数g（x）不是定义域[0，1]上的“保值函数”．（2））由f（x）的定义域和值域都是[m，n]得f（m）=m，f（n）=n，因此m，n是方程2+﹣=x的两个不相等的实数根，等价于方程a2x2﹣（2a2+a）x+1=0有两个不等的实数根，即△=（2a2+a）2﹣4a2＞0，解得a＞或a＜﹣．【点评】本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于综合题．20．（16分）数列{a n}中，已知a1=1，a2=a，a n+1=k（a n+a n+2）对任意n∈N*都成立，数列{a n}的前n项和为S n．（这里a，k均为实数）（1）若{a n}是等差数列，求S n；（2）若a=1，k=﹣，求S n；（3）是否存在实数k，使数列{a n}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项a m，a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】15：综合题；33：函数思想；4C：分类法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知求得公差，再由等差数列前n项和求得答案；=k（a n+a n+2），可得a n+2+a n+1=﹣（a n+1+a n），a n+3+a n+2=﹣（2）把k=﹣代入a n+1+a n+1）=a n+1+a n，然后分n为奇数和偶数求得S n；（a n+2（3）设数列{a n}是等比数列，则它的公比q==a，得到为等差中项，a m为等差中项，然后分若a m+1为等差中项三类求解得答案．和a m+2【解答】解：（1）∵a1=1，a2=a，且a n+1=k（a n+a n+2），∴1+n（a﹣1）=k[1+（n﹣1）（a﹣1）+1+（n+1）（a﹣1）]，解得k=．=；（2）由a=1，k=﹣，得，+a n+1=﹣（a n+1+a n），a n+3+a n+2=﹣（a n+2+a n+1）=a n+1+a n，∴a n+2当n是偶数时，S n=a1+a2+a3+a4+…+a n﹣1+a n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）=（a1+a2）=n．当n是奇数时，S n=a1+a2+a3+a4+…+a n﹣1+a n=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a n﹣1+a n）=a1+（a2+a3）=a1+[﹣（a1+a2）]=1﹣（n﹣1）=2﹣n，n=1也适合上式，综上可得，S n=；（3）设数列{a n}是等比数列，则它的公比q==a，∴，为等差中项，则2a m+1=a m+a m+2，①若a m+1即2a m=a m﹣1+a m+1，解得：a=1，不合题意；②若a m为等差中项，则2a m=a m+1+a m+2，即2a m﹣1=a m+a m+1，化简得：a2+a﹣2=0，解得a=﹣2（舍1）；k==﹣；为等差中项，则2a m+2=a m+1+a m，③若a m+2即2a m+1=a m+a m﹣1，化简得：2a2﹣a﹣1=0，解得a=﹣；k==﹣．综上可得，满足要求的实数k有且仅有一个，k=﹣．【点评】本题考查数列递推式，考查满足条件的实数值的求法，考查数列的前n 项和公式的求法，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用，是中档题．21．（18分）设T⊊R，若存在常数M＞0，使得对任意t∈T，均有|t|≤M，则称T为有界集合，同时称M为集合T的上界．（1）设A1={y|y=，x∈R}，A2={x|sinx＞}，试判断A1、A2是否为有界集合，并说明理由；（2）已知f（x）=x2+u，记f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣1（x））（n=2，3，…），若m∈R，u∈[，+∞），且B={f n（m）|n∈N*}为有界集合，求u的值及m 的取值范围；（3）设a，b，c均为正数，将（a﹣b）2、（b﹣c）2、（c﹣a）2中的最小值记为d，是否存在正数λ∈（0，1），使得λ为有界集合C={y|，a、b、c均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】23：新定义；32：分类讨论；4C：分类法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）利用不等式和函数的单调性求出集合A1、A2表示的区间，从而得出结论；（2）判断f n（m）的单调性，利用不等式的传递性和不等式恒成立得出μ，对m 与的大小关系进行讨论，判断集合B的有界性；（3）设c＜b＜a，对a﹣b，b﹣c的大小关系进行讨论，利用不等式的性质得出d与a2+b2+c2的关系，从而得出集合C的上界．【解答】解：（1）y==1﹣＜1，又y=在R上是增函数，且x→﹣∞时，y→﹣1，∴||＜1，∴A1={y|y=，x∈R}是有界集合，上界为1；由sinx得2kπ+＜x＜2kπ+，即A2={x|2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z}，∴对任意一个t∈A2，都有一个t1=t+2π∈A2，故A2不是有界集合．（2）f n（x）﹣f n﹣1（x）=f n﹣12（x）﹣f n﹣1（x）+μ=（f n﹣1（x）﹣）2+μ﹣≥0，∴f n（x）≥f n﹣1（x），又f1（x）=x2+u≥，∴f n（x）≥，∵B={f n（m）|n∈N*}为有界集合，∴存在常数M使得f n（m）≤M，又f n（m）=f n（m）﹣f n﹣1（m）+f n﹣1（m）﹣f n﹣2（m）+f n﹣2（m）+…+f2（m）﹣f1（m）+f1（m）=（f n﹣1（m）﹣）2+μ﹣+（f n﹣2（m）﹣）2+μ﹣+…+（f1（m）﹣）2+μ﹣+m2+μ=（f n﹣1（m）﹣）2+（f n﹣2（m）﹣）2+…+（f1（m）﹣）2+m2+n（μ﹣）+μ≥n（μ﹣）+μ，∴n（μ﹣）+μ≤M恒成立，又μ≥，∴μ=，∴f（x）=x2+．设m=，（i）若λ＞0，则f1（m）﹣m=m2+﹣m=（）2+﹣（）=λ2＞0，∴f1（m）＞m，∴f n（m）＞f n﹣1（m）＞f n﹣2（m）＞…＞f2（m）＞f1（m）＞m，令g（x）=f（x）﹣x=（x﹣）2，则g（x）在（，+∞）上单调递增，∴f（f n（m））﹣f n﹣1（m）＞f（m）﹣m=λ2，﹣1即f n（m）＞f n﹣1（m）+λ2＞f n﹣2（m）+2λ2＞…＞f1（m）+（n﹣1）λ2=m2++（n ﹣1）λ2．∵f n（m）≤M恒成立，∴λ2=0，矛盾．（ii）若λ=0，由（i）可知f n（m）=f n﹣1（m）=f n﹣2（m）=…＞=f2（m）=f1（m）=m=，显然B={f n（m）|n∈N*}={}为有界集合，符合题意；（iii）若λ＜0，同理可得f1（m）﹣m=m2+﹣m=（）2+﹣（）=λ2，∴f1（m）=m+λ2=+λ2，若f1（m）即+λ2，解得λ＜﹣1或λ＞0（舍），由（i）知m不可能大于，故λ＜﹣1不成立．若λ=﹣1，则m=﹣，f n（m）=f n﹣1（m）=f n﹣2（m）=…＞=f2（m）=f1（m）=m2+=，由（ii）可知符合题意；若﹣1＜λ＜0，则λ2+λ=（）2﹣∈（﹣，0），∴f1（m）=m+λ2=∈（，），∴存在λ1∈（﹣1，0）使得f1（m）=+λ1，存在λ2∈（﹣1，0）使得f2（m）=+λ2，以此类推，存在λn∈（﹣1，0），使得f n（m）=，此时，＜f1（m）＜f2（m）＜f3（m）＜…＜f n（m）＜，显然B═{f n（m）|n∈N*}为有界集合，符合题意．综上，λ∈[﹣1，0]，∴m的范围是[﹣，]．（3）假设c＜b＜a，（i）若b=，则d=（）2，此时，a2+b2+c2=a2+c2+（）2=（a﹣c）2+（）2+3ac=5d+3ac，∴=﹣×=﹣×=，而=∈（0，1），∴y==∈（0，）．∴λmin=．（ii）若a﹣b≥b﹣c，即a≥2b﹣c时，d=（b﹣c）2，此时5d﹣（a2+b2+c2）=5（b﹣c）2﹣（a2+b2+c2）≤5（b﹣c）2﹣（2b﹣c）2﹣b2﹣c2=﹣6bc+3c2＜0，∴＜，（iii）若a﹣b≤b﹣c，即0＜a＜2b﹣c＜2b时，d=（a﹣b）2，此时5d﹣（a2+b2+c2）=5（a﹣b）2﹣（a2+b2+c2）=4a2﹣10ab+4b2﹣c2=2（a﹣2b）（2a﹣b）﹣c2＜0，∴＜，综上，0＜y＜，∴存在λ=，使得λ为有界集合C={y|，a、b、c均为正数}的上界．【点评】本题考查了对新定义的理解与应用，函数最值计算与不等式的应用，分类讨论思想，属于难题．。

上海市宝山区高2020届高2017级高三下学期二模考试数学试题及参考答案解析

上海市宝山区2020届高三二模数学试卷一:填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分) 1.已知复数z 满足()2020124z i i +=-(其中,i 为虚数单位),则z =______.【参考答案】12i - 【试题解析】根据复数乘方运算法则41n i =*()n N ∈可得结果.【详细解答】因为()2020124z i i +=-,所以45052424121()2i iz i i --===-+, 故答案为:12i -本题考查了复数的乘方运算公式41n i =*()n N ∈,属于基础题.2.函数()arcsin 1y x =+的定义域是______. 【参考答案】[]2,0- 【试题解析】根据反正弦函数的定义域列不等式可解得结果. 【详细解答】由111x -≤+≤得20x -≤≤, 所以函数()arcsin 1y x =+的定义域是[]2,0-. 故答案为:[]2,0-本题考查了反正弦函数的定义域,属于基础题.3.计算行列式的值,0123=______. 【参考答案】2- 【试题解析】根据行列式的计算公式计算可得答案.【详细解答】0123=03122⨯-⨯=-, 故答案为:2-本题考查了二阶行列式的计算,属于基础题.4.已知双曲线C :22221x y a b -=(0a >,0b >)的实轴与虚轴长度相等,则C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的渐近线方程是______. 【参考答案】y x =± 【试题解析】根据实轴与虚轴的定义可得a b =,根据双曲线的渐近线方程可得答案. 【详细解答】依题意得22a b =,即a b =,所以C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的渐近线方程是b y x x a =±=±.故答案为:y x =±本题考查了双曲线的实轴,虚轴,渐近线,属于基础题. 5.已知无穷数列()23n na =-,*n N ∈,则数列{}n a 的各项和为______.【参考答案】12- 【试题解析】用定义可得数列{}n a 是首项为23-,公比为13-的等比数列,利用公式11a S q =-计算可得答案.【详细解答】因为()23n na =-,所以12233a ==--, 1121(3)23(3)n n nna a ++-==--,所以数列{}n a 是首项为23-,公比q 为13-的等比数列,所以数列{}n a 的各项和为121311213a S q -===--+.故答案为:12-本题考查了无穷等比数列的各项和的公式,属于基础题. 6.一个圆锥的表面积为π,母线长为56,则其底面半径为______. 【参考答案】23【试题解析】设圆锥的底面半径为r ,根据256rr πππ+=可解得结果. 【详细解答】设圆锥的底面半径为r ,则底面周长为2r π,底面积为2r π, 侧面展开图扇形的半径为56,弧长为2r π,扇形的面积为1552266r r ππ⨯⨯=, 所以256r r πππ+=,解得23r =. 故答案为:23本题考查了圆锥的表面积,考查了扇形的面积公式,属于基础题.7.某种微生物的日增长率r ,经过n 天后其数量由0p 变化为p ,并且满足方程0r np p e ⋅=,实验检测,这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位,则增长率r =______.(精确到1%) 【参考答案】25% 【试题解析】依题意列出方程714.86 2.58r e =⨯,改为对数式后,利用计算器可解得结果. 【详细解答】依题意有714.86 2.58r e =⨯,所以714.865.762.58re =≈, 所以7ln5.76 1.75r ≈≈,所以25%r =. 故答案为:25%本题考查了指数式化对数式,考查了利用计算器求近似值,属于基础题.8.已知12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为第6项,则常数项为______.【参考答案】638- 【试题解析】根据第6项为常数项,由通项公式可得10n =,再由通项公式即可解得结果. 【详细解答】由通项公式得5556511()2n n T T C x x -+==⋅⋅-=55101()2n n C x --⋅为常数项, 所以100n -=,即10n =,所以556101()2T C =-638=-. 故答案为:638-本题考查了二项展开式的通项公式的应用,属于基础题.9.某医院ICU 从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫,则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是______. 【参考答案】710【试题解析】记3名男医生分别为,,A B C ,2名女医生分别为,a b ,利用列举法列出所有基本事件,得到所有基本事件的种数和所求事件包含的基本事件个数,再利用古典概型的概率公式计算可得结果. 【详细解答】记3名男医生分别为,,A B C ,2名女医生分别为,a b , 则从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫的所有基本事件为:(,)A B ,(A,C),(A,a),(A,b),(,)B C ,(,a)B ,(,b)B ,(C,a),(C,b),(,)a b 共10种, 其中至少有1位女医生的有(A,a),(A,b),(,a)B ,(,b)B ,(C,a),(C,b),(,)a b 共7种, 根据古典概型的概率公式可得选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是710. 故答案为:710. 本题考查了利用列举法求古典概型的概率,使用列举法是解题关键,属于基础题.10.已知方程210x tx ++=(t R ∈)的两个虚根是1x ,2x ,若21x x -=,则t =______.【参考答案】【试题解析】根据虚根成对定理可设1x a bi =+,2x a bi =-(),a b ∈R ,代入21x x -=可解得b =,根据韦达定理可得122x x a t +==-,22121x x a b =+=,将2b =±代入可解得2a =±,2t a =-=【详细解答】因为方程210x tx ++=(t R ∈)的两个虚根是1x ,2x , 所以240t =-<,解得22t -<<,由虚根成对定理可设1x a bi =+,2x a bi =-(),a b ∈R ,所以122x x a t +==-,22121x x a b =+=,因为21x x -=,所以||a bi a bi +-+=,所以|2|bi =所以2b =±, 所以22112a b =-=,所以2a =±,所以2t a =-=,满足22t -<<, 故答案为:.本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理,考查了韦达定理,复数的模长公式,属于基础题.11.已知O 是坐标原点,点()1,1A -,若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点,则⋅OA OM 的取值范围是______. 【参考答案】[]0,2 【试题解析】因为⋅OA OM (1,1)(,)x y x y =-⋅=-+,令目标函数为z x y =-+,作出可行域,根据图形得到最优解即可得到结果.【详细解答】因为⋅OA OM (1,1)(,)x y x y =-⋅=-+,令目标函数为z x y =-+, 作出可行域,如图:由图可知,最小值最优解为(1,1),最大值最优解为(0,2), 所以02z ≤≤,即⋅OA OM 的取值范围是[]0,2. 故答案为:[]0,2本题考查了平面向量的数量积的坐标表示,考查了线性规划求函数的最值,属于基础题. 12.已知平面向量,,a b e 满足||1e =,1a e ⋅=,1b e ⋅=-,||4a b -=,则a b ⋅的最小值为_____ 【参考答案】-4 【试题解析】设(1,0)e =,11(,)ax y ,22(,)b x y =,由1a e ⋅=,1b e ⋅=-可求12,x x ,再代入||4a b -=,可得1223y y =±由此表示出21221(3)4a b y y y ⋅=-+=-,从而可求出最小值. 【详细解答】设(1,0)e =,11(,)a x y ,22(,)b x y =,由1a e ⋅=,1b e ⋅=-得:1211x x =⎧⎨=-⎩,又||4a b -=,则22216a a b b -⋅+=,解得:1223y y =±22122221123(3)4a b y y y y y ⋅=-+=-+±=-,故a b ⋅的最小值为-4. 故答案为:-4.本题考查平面向量的坐标表示,考查了向量在几何中的应用,建立坐标系表示出每个向量是常用的基本手段,属中档题.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分) 13.抛物线24y x =的准线方程是( ) A.2x =- B.1x =-C.18y =-D.116y =-【参考答案】D 【试题解析】将抛物线方程化标准形式,可得18p =,进一步可得准线方程. 【详细解答】由24y x =可得214x y =,所以18p =, 所以准线方程为1216p y =-=-. 故选:D本题考查了抛物线方程的标准形式,考查了抛物线的准线方程,属于基础题. 14.设函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线4x π=对称,则a 的值为()B. C.1 D.-1【参考答案】C 【试题解析】根据对称轴可知()02f f π⎛⎫=⎪⎝⎭,代入可求得结果. 【详细解答】()f x 关于直线4x π=对称 ()02f f π⎛⎫∴=⎪⎝⎭,则sin 0cos0sin cos 22a a ππ+=+ 1a经检验,满足题意,本题正确选项:C本题考查函数对称性的应用,在已知对称轴的情况下,通常采用特殊值的方式来进行求解. 15.用数学归纳法证明()()()1351211nnn n -+-+⋅⋅⋅+--=-,*n N ∈成立.那么,“当1n =时,命题成立”是“对*n N ∈时,命题成立”( )A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【参考答案】B 【试题解析】根据必要不充分条件的定义可得结论.【详细解答】“当1n =时,命题成立”不能推出“对*n N ∈时,命题成立”, “对*n N ∈时,命题成立”可以推出“当1n =时,命题成立”,所以“当1n =时,命题成立”是“对*n N ∈时,命题成立”的必要不充分/ 故选:B本题考查了必要不充分条件的概念,关键是掌握必要不充分条件的概念,属于基础题. 16.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,对任意两个不相等的正数1x ,2x 都有()()2112120x f x x f x x x -<-,则函数()(),00,0f x x g x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩( )A.是偶函数,且在()0,∞+上单调递减B.是偶函数,且在()0,∞+上单调递增C.是奇函数,且单调递减D.是奇函数,且单调递增【参考答案】A 【试题解析】利用()f x 是定义在R 上的奇函数,根据偶函数的定义可得()g x 为偶函数,设120x x >>,则120x x ->,根据()()211212x f x x f x x x -<-可得2112()()0x f x x f x -<,所以121212()()()()f x f x g x g x x x -=-211212()()x f x x f x x x -=0<,根据定义可得函数()g x 在()0,∞+上单调递减.【详细解答】因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-, 所以当0x ≠时,()()()()---===--f x f x g x g x x x,当0x =时,()()0g x g x -==,所以x∈R 时,恒有()()g x g x -=,即()g x 为偶函数, 当0x >时,()()f x g x x=,设120x x >>,则120x x ->, 由()()2112120x f x x f x x x -<-可知2112()()0x f x x f x -<,则121212()()()()f x f x g x g x x x -=-211212()()x f x x f x x x -=, 因为120,0x x >>,所以120x x >, 又2112()()0x f x x f x -<,所以12()()0g x g x -<,即12()()<g x g x ,由减函数的定义可知,函数()g x 在()0,∞+上单调递减. 故选:A本题考查了利用定义判断函数奇偶性,考查了利用定义判断函数的单调性,属于基础题. 三.解答题(本大题共5题,共76分)17.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,90ACB ∠=︒,22AB AC ==,D 是AB 的中点.(1)若三棱柱111ABC A B C -的体积为33求三棱柱111ABC A B C -的高(2)若12C C =,求二面角111D B C A --的大小【参考答案】(1)6(2)17【试题解析】(1)求出底面积后,根据棱柱的体积公式可求得棱柱的高；(2)以C 为原点,CA 为x 轴,CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系,利用平面的法向量可求得结果. 【详细解答】(1)由题意,求得3BC =,所以11322ABC S AC BC =⨯=△, 由133V S CC =⨯=柱, 解得16CC =.(2)以C 为原点,CA 为x 轴,CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立如图所示的坐标系:则13,,022D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,()13,2B ,()10,0,2C ,113,222DB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,113,222DC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭, 设平面11C B D 的法向量为(),,n x y z =,则由1100DB n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得340340x z x z ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩,取1z =,则4x =,0y =,所以,平面11C B D 的一个法向量为()4,0,1n =, 平面111A B C 的一个法向量为()0,0,1m =, 记二面角111D B C A --为θ,则cos 001160117n m n mθ⋅===++⋅++⋅所以17θ=本题考查了棱柱的体积公式,考查了二面角的向量求法,正确建立空间直角坐标系是求二面角的关键,属于中档题.18.已知函数()()2x f x ωϕ=+,()2g x x ω=,0>ω,[)0,ϕπ∈,它们的最小正周期为π(1)若()y f x =是奇函数,求()f x 和()g x 在[]0,π上的公共递减区间D (2)若()()()h x f x g x =+的一个零点为6x π=-,求()h x 的最大值【参考答案】(1),42D ππ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(2)()max h x 【试题解析】(1)根据周期求出2ω=,根据()y f x =是奇函数,求出0ϕ=,再求出()f x 和()g x 在[]0,π上的递减区间,然后求其交集即可得到结果；(2)将点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭代入()0h x =,可得6π=ϕ,再化简()h x 得()h x =23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,可得最大值.【详细解答】(1)由2||T ππω==,以及0>ω得2ω=,又()y f x =是奇函数,所以(0)f =0ϕ=,所以k ϕπ=,k Z ∈, 又[)0,ϕπ∈,所以0ϕ=,在[]0,π上,()2f x x =的递减区间是13,44D ππ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, ()2g x x =的递减区间是10,2D π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 所以12,42D D D ππ⎡⎤=⋂=⎢⎥⎣⎦.(2)()()sin 2cos 2h x x x ϕ=++⎤⎦,把点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin cos 033ππϕ⎤⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦, 即1sin 32πϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 又因为[)0,ϕπ∈,2,333πππϕ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭,所以36ππϕ-=-,所以6π=ϕ,所以()1sin 2cos 2sin 2262h x x x x x π⎫⎤⎛⎫=++=⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因而()max h x =本题考查了正弦型函数的周期公式,考查了函数的奇函数性质,考查了函数的单调性,考查了函数的零点,考查了函数的最值,属于中档题.19.据相关数据统计,2019年底全国已开通5G 基站13万个,部分省市的政府工作报告将“推进5G 通信网络建设”列入2020年的重点工作,今年一月份全国共建基站3万个.(1)如果从2月份起,以后的每个月比上一个月多建设2000个,那么,今年底全国共有基站多少万个.(精确到0.1万个)(2)如果计划今年新建基站60万个,到2022年底全国至少需要800万个,并且,今后新建的数量每年比上一年以等比递增,问2021年和2022年至少各建多少万个オ能完成计划？(精确到1万个) 【参考答案】(1)62.2万个,(2)2021年181万个,2022年547万个【试题解析】(1)今年每月建设基站的数量构成一个等差数列,首项为3万个,公差为0.2万,根据等差数列的求和公式可得今年建设基站的个数,再加上去年基站的个数即可得到答案；(2)依题意,每年新建基站的数量构成等比数列,设公比为q (1)q >,根据题意列式260606080013q q ++≥-,可得12q ≥,再求出60q 和260q 即可得到答案. 【详细解答】(1)依题意,今年每月建设基站的数量构成一个等差数列,首项为3万个,公差为0.2万, 所以今年一共建设基站12113120.249.22⨯⨯+⨯=万个, 所以今年底全国共有基站1349.2+62.2=万个.(2)依题意,每年新建基站的数量构成等比数列,设公比为q (1)q >,则260606080013q q ++≥-,即2727060q q +-≥,解得12q ≥,所以37160603018130q≥⨯-≈万个, 2237116060()302q ≥⨯-547≈万个.所以2021年至少新建181万个基站,2022年至少新建547万个基站オ能完成计划.本题考查了数列建模,考查了等差数列的求和公式和等比数列的通项公式,考查了运算求解能力,属于中档题.20.已知直线l:y kx m=+和椭圆Γ:22142x y+=相交于点()11,A x y,()22,B x y(1)当直线l过椭圆Γ的左焦点和上顶点时,求直线l的方程(2)点)2,1C在Γ上,若0m=,求ABC面积的最大值:(3)如果原点O到直线l的距离是33,证明:AOB为直角三角形.【参考答案】(1) 2y x=+ (2)22证明见解析【试题解析】(1)由椭圆方程得左焦点和上顶点坐标,代入直线方程可得结果；(2)联立直线与椭圆方程可得,A B的坐标,可得弦长||AB,求出点C到直线AB的距离。