2017上海高三数学二模难题教师版

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上海市杨浦区2017届高考数学二模试卷(详解版)

2017年上海市杨浦区高考数学二模试卷一、填空题1．（4分）三阶行列式中，5的余子式的值是．2．（4分）若实数ω＞0，若函数f（x)=cos(ωx）+sin（ωx）的最小正周期为π，则ω=．3．（4分）已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为．4．（4分）设向量=（2，3）,向量=（6,t），若与夹角为钝角,则实数t的取值范围为．5．（4分)集合A={1，3,a2｝,集合B=｛a+1，a+2}，若B∪A=A,则实数a=．6．（4分）设z1、z2是方程z2+2z+3=0的两根，则｜z1﹣z2|=．7．设f（x）是定义在R上的奇函数,当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则不等式f（x)＜﹣5的解为．8．若变量x、y满足约束条件,则z=y﹣x的最小值为．9．小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为．10．设A是椭圆+=1（a＞0）上的动点，点F的坐标为（﹣2,0）,若满足|AF｜=10的点A有且仅有两个，则实数a的取值范围为．11．已知a＞0，b＞0,当（a+4b）2+取到最小值时，b=．12．设函数f a（x）=|x｜+｜x﹣a|，当a在实数范围内变化时，在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一f a(x）的图象上的点的全体组成的图形的面积为．二、选择题13．设z∈C且z≠0，“z是纯虚数”是“z2∈R”的(）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．设等差数列｛a n}的公差为d，d≠0，若｛a n}的前10项之和大于其前21项之和，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a16＜0 D．a16＞015．如图，N、S是球O直径的两个端点，圆C1是经过N和S点的大圆，圆C2和圆C3分别是所在平面与NS垂直的大圆和小圆，圆C1和C2交于点A、B，圆C1和C3交于点C、D，设a、b、c分别表示圆C1上劣弧CND的弧长、圆C2上半圆弧AB的弧长、圆C3上半圆弧CD的弧长，则a、b、c的大小关系为（）A．b＞a=c B．b=c＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a16．对于定义在R上的函数f(x），若存在正常数a、b，使得f（x+a）≤f(x)+b 对一切x∈R均成立,则称f（x）是“控制增长函数”,在以下四个函数中：①f （x)=x2+x+1；②f（x）=; ③f（x）=sin（x2）；④f（x）=x•sinx．是“控制增长函数"的有（）A．②③B．③④C．②③④D．①②④三、解答题17．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=4，P、Q分别是棱BC与B1C1的中点．(1）求异面直线D1P和A1Q所成角的大小；(2）求以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积．18．（14分）已知函数f（x）=．（1)判断函数f(x）的奇偶性,并证明；(2）若不等式f（x）＞log9（2c﹣1）有解，求c的取值范围．19．（14分)如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P 点在弧BC上,现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直,街道PR与AC垂直，线段RQ表示第三条街道．(1）如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因,三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元,问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）20．（16分）设数列｛a n｝满足a n=A•4n+B•n，其中A、B是两个确定的实数，B ≠0．（1)若A=B=1，求{a n｝的前n项之和;（2）证明：{a n}不是等比数列;（3）若a1=a2，数列｛a n}中除去开始的两项之外,是否还有相等的两项？证明你的结论．21．（18分)设双曲线Γ的方程为x2﹣=1,过其右焦点F且斜率不为零的直线l1与双曲线交于A、B两点,直线l2的方程为x=t，A、B在直线l2上的射影分别为C、D．（1）当l1垂直于x轴，t=﹣2时，求四边形ABDC的面积;（2）当t=0，l1的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限时，试比较和1的大小,并说明理由；(3）是否存在实数t∈（﹣1，1），使得对满足题意的任意直线l1，直线AD和直线BC的交点总在x轴上，若存在，求出所有的t的值和此时直线AD与BC交点的位置；若不存在，说明理由．2017年上海市杨浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．三阶行列式中，5的余子式的值是﹣12．【考点】OU：特征向量的意义．【分析】去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值．【解答】解:由题意，去掉5所在行与列得:=﹣12故答案为﹣12．【点评】本题以三阶行列式为载体，考查余子式，关键是理解余子式的定义．2．若实数ω＞0，若函数f(x)=cos(ωx）+sin（ωx）的最小正周期为π，则ω=2．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性，求得ω的值．【解答】解:实数ω＞0，若函数f（x）=cos（ωx)+sin(ωx)=sin（ωx+）的最小正周期为π,∴=π,∴ω=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．3．已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台)．【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，高为1，∴母线长l为:=，∴圆锥的侧面积为:πrl=π×1×=π,故答案为：π．【点评】题考查了圆锥的侧面积的计算,正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．4．设向量=（2，3）,向量=(6，t），若与夹角为钝角，则实数t的取值范围为（﹣∞，﹣4）．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】由题意可得＜0，且、不共线,即，由此求得实数t的取值范围．【解答】解：若与夹角为钝角，向量=（2，3），向量=（6，t）,则＜0,且、不共线，∴，求得t＜﹣4，故答案为：（﹣∞，﹣4）．【点评】本题主要考查两个向量的数量公式，两个向量共线的性质，属于基础题．5．集合A={1，3，a2},集合B=｛a+1，a+2｝，若B∪A=A，则实数a=2．【考点】18:集合的包含关系判断及应用．【分析】根据并集的意义，由A∪B=A得到集合B中的元素都属于集合A，列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值．【解答】解：由A∪B=A,得到B⊆A，∵A=｛1,3，a2},集合B={a+1,a+2},∴a+1=1，a+2=a2，或a+1=a2，a+2=1，或a+1=3,a+2=a2，或a+1=a2，a+2=3，解得：a=2．故答案为2．【点评】此题考查了并集的意义,以及集合中元素的特点．集合中元素有三个特点，即确定性，互异性，无序性．学生做题时注意利用元素的特点判断得到满足题意的a的值．6．设z1、z2是方程z2+2z+3=0的两根，则|z1﹣z2｜=2．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】求出z,即可求出|z1﹣z2|．【解答】解:由题意，z=﹣1±i，∴|z1﹣z2|=｜2i|=2，故答案为2．【点评】本题考查复数的运算与球模,考查学生的计算能力，比较基础．7．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时,f（x）=2x﹣3，则不等式f（x)＜﹣5的解为（﹣∞，﹣3)．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x＜0的解析式，讨论x＞0，x＜0，x=0,解不等式即可．【解答】解:若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f(x）=2x﹣3，∴当﹣x＞0时，f（﹣x)=2﹣x﹣3，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x)=2﹣x﹣3=﹣f(x),则f（x）=﹣2﹣x+3，x＜0,当x＞0时，不等式f(x）＜﹣5等价为2x﹣3＜﹣5即2x＜﹣2，无解，不成立；当x＜0时，不等式f（x)＜﹣5等价为﹣2﹣x+3＜﹣5即2﹣x＞8,得﹣x＞3，即x＜﹣3；当x=0时,f（0）=0，不等式f(x）＜﹣5不成立，综上,不等式的解为x＜﹣3．故不等式的解集为(﹣∞，﹣3）．故答案为（﹣∞，﹣3）．【点评】本题主要考查不等式的解集的求解,根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．8．若变量x、y满足约束条件，则z=y﹣x的最小值为﹣4．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案．【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得A（8，4),化目标函数z=y﹣x,得y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过点A（8，4）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，再求出小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3包含的基本事件个数m=2×6+6×4﹣2×4=28，由此能求出小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率．【解答】解：小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子,两人相互独立地进行,基本事件总数n=6×6=36，小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3包含的基本事件个数:m=2×6+6×4﹣2×4=28，∴小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为：p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．设A是椭圆+=1（a＞0）上的动点，点F的坐标为(﹣2，0），若满足｜AF|=10的点A有且仅有两个，则实数a的取值范围为8＜a＜12．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意，F是椭圆的焦点，满足|AF|=10的点A有且仅有两个，可得a ﹣2＜10＜a+2,即可得出结论．【解答】解：由题意，F是椭圆的焦点，∵满足｜AF|=10的点A有且仅有两个，∴a﹣2＜10＜a+2，∴8＜a＜12，故答案为：8＜a＜12．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．11．已知a＞0，b＞0，当(a+4b）2+取到最小值时，b=．【考点】7F:基本不等式．【分析】根据基本不等式，，a=4b时取等号，进而得出，进一步可求出a=1,时，取到最小值，即求出了此时的b的值．【解答】解:∵a＞0，b＞0；∴，当a=4b时取“=”；∴（a+4b)2≥16ab；∴=8，当，即，a=1时取“=”；此时，b=．故答案为：．【点评】考查基本不等式，注意基本不等式等号成立的条件，不等式的性质．12．设函数f a(x)=｜x|+|x﹣a|,当a在实数范围内变化时，在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一f a（x）的图象上的点的全体组成的图形的面积为．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，分析可得函数f a（x）=｜x｜+|x﹣a|（当a在实数范围内变化）的图象，进而可得在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一f a（x）的图象上的点单位圆的，由圆的面积公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数f a（x）=|x｜+｜x﹣a|，当a变化时，其图象为在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一f a（x）的图象上的点单位圆的,则其面积S=×π=；故答案为：．【点评】本题考查函数的图象，关键是分析函数f a(x）=｜x｜+|x﹣a|（当a在实数范围内变化)的图象．二、选择题13．设z∈C且z≠0,“z是纯虚数"是“z2∈R”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】z∈C且z≠0，“z是纯虚数”⇒“z2∈R"，反之不成立,例如取z=2．即可判断出结论．【解答】解：∵z∈C且z≠0，“z是纯虚数”⇒“z2∈R”，反之不成立，例如取z=2．∴“z是纯虚数”是“z2∈R”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算法则、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．设等差数列｛a n}的公差为d,d≠0，若{a n}的前10项之和大于其前21项之和，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a16＜0 D．a16＞0【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由｛a n｝的前10项之和大于其前21项之和，得到a1＜﹣15d，由此得到a16=a1+15d＜0．【解答】解：等差数列{a n}的公差为d，d≠0，∵｛a n｝的前10项之和大于其前21项之和，∴10a1+＞21a1+d，∴11a1＜﹣165d，即a1＜﹣15d,∴a16=a1+15d＜0．故选:C．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．15．如图，N、S是球O直径的两个端点，圆C1是经过N和S点的大圆，圆C2和圆C3分别是所在平面与NS垂直的大圆和小圆，圆C1和C2交于点A、B，圆C1和C3交于点C、D，设a、b、c分别表示圆C1上劣弧CND的弧长、圆C2上半圆弧AB的弧长、圆C3上半圆弧CD的弧长，则a、b、c的大小关系为（)A．b＞a=c B．b=c＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】L*:球面距离及相关计算．【分析】分别计算a，b，c,即可得出结论．【解答】解：设球的半径为R，球心角∠COD=2α，则b=πR，a=2αR,∵CD＜AB,∴c＜b,∵CD=2Rsinα，∴c=2πRsinα，∵0＜α＜，∴=＞1，∴c＞a,∴b＞c＞a,故选D．【点评】本题考查球中弧长的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键．16．对于定义在R上的函数f(x）,若存在正常数a、b,使得f(x+a)≤f（x）+b对一切x∈R均成立，则称f(x）是“控制增长函数"，在以下四个函数中：①f（x）=x2+x+1；②f（x）=；③f（x)=sin(x2)；④f（x）=x•sinx．是“控制增长函数"的有(）A．②③B．③④C．②③④D．①②④【考点】3T:函数的值．【分析】假设各函数为“控制增长函数",根据定义推倒f（x+a）≤f(x）+b恒成立的条件，判断a，b的存在性即可得出答案．【解答】解：对于①，f(x+a)≤f（x）+b可化为:（x+a)2+（x+a）+1≤x2+x+1+b，即2ax≤﹣a2﹣a+b，即x≤对一切x∈R均成立，由函数的定义域为R,故不存在满足条件的正常数a、b,故f（x)=x2+x+1不是“控制增长函数";对于②,若f（x）=是“控制增长函数”，则f（x+a）≤f（x）+b可化为:≤+b,∴｜x+a｜≤｜x|+b2+2b恒成立，又｜x+a｜≤|x｜+a，∴|x|+a≤|x|+b2+2b，∴≥，显然当a＜b2时式子恒成立,∴f（x）=是“控制增长函数”;对于③，∵﹣1≤f（x）=sin（x2）≤1，∴f（x+a)﹣f（x）≤2，∴当b≥2时，a为任意正数,使f（x+a）≤f（x）+b恒成立，故f（x）=sin（x2）是“控制增长函数”；对于④，若f（x）=xsinx是“控制增长函数”，则（x+a）sin（x+a）≤xsinx+b恒成立，∵（x+a）sin（x+a)≤x+a,∴x+a≤xsinx+b≤x+b,即a≤b，∴f（x）=xsinx是“控制增长函数"．故选C．【点评】本题考查了新定义的理解，函数存在性与恒成立问题研究，属于中档题．三、解答题17．（14分)（2017•杨浦区二模）如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4,P、Q 分别是棱BC与B1C1的中点．(1）求异面直线D1P和A1Q所成角的大小；（2）求以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）以D为原点，DA,DC，DD1为x，y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线D1P和A1Q所成角．（2）以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积V=．【解答】解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1为x,y，z轴，建立空间直角坐标系，则D1（0，0，4），P（2，4，0）,A1（4,0,4）,Q（2，4,4），=(2，4，﹣4)，=(﹣2,4,0）,设异面直线D1P和A1Q所成角为θ，则cosθ===，∴θ=arccoa．∴异面直线D1P和A1Q所成角为arccos．(2）∵==8，PQ⊥平面A1D1Q，且PQ=4,∴以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积:V===．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查四面体的体积的求法，是中档题,考查推理论证能力、运算求解能力,考查转化化归思想、数形结合思想．18．（14分）（2017•杨浦区二模）已知函数f（x）=．(1）判断函数f(x）的奇偶性，并证明；（2）若不等式f（x）＞log9(2c﹣1）有解,求c的取值范围．【考点】3K：函数奇偶性的判断．【分析】（1）利用奇函数的定义，即可得出结论；(2）f（x）===﹣+∈（﹣，），不等式f（x）＞log9（2c﹣1）有解,可得＞log9（2c﹣1），即可求c的取值范围．【解答】解：(1）函数的定义域为R，f（x）==,f（﹣x）==﹣f（x），∴函数f(x）是奇函数；（2）f（x）===﹣+∈（﹣,）∵不等式f（x）＞log9（2c﹣1）有解,∴＞log9（2c﹣1），∴0＜2c﹣1＜3,∴．【点评】本题考查奇函数的定义，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．19．（14分）（2017•杨浦区二模）如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直，街道PR与AC垂直,线段RQ表示第三条街道．（1）如果P位于弧BC的中点,求三条街道的总长度；（2)由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）【考点】HU：解三角形的实际应用；HS：余弦定理的应用．【分析】（1）由P为于∠BAC的角平分线上，利用几何关系，分别表示丨PQ 丨,丨PR丨，丨RQ丨，即可求得三条街道的总长度；(2）设∠PAB=θ，0＜θ＜60°,根据三角函数关系及余弦定理，即可求得丨PQ丨,丨PR丨，丨RQ丨，则总效益W=丨PQ丨×300+丨PR丨×200+丨RQ丨×400，利用辅助角公式及正弦函数的性质,即可求得答案．【解答】解：(1）由P位于弧BC的中点,在P位于∠BAC的角平分线上，则丨PQ丨=丨PR丨=丨PA丨sin∠PAB=2×sin30°=2×=1,丨AQ丨=丨PA丨cos∠PAB=2×=，由∠BAC=60°,且丨AQ丨=丨AR丨,∴△QAB为等边三角形，则丨RQ丨=丨AQ丨=,三条街道的总长度l=丨PQ丨+丨PR丨+丨RQ丨=1+1+=2+；(2）设∠PAB=θ，0＜θ＜60°，则丨PQ丨=丨AP丨sinθ=2sinθ，丨PR丨=丨AP丨sin（60°﹣θ）=2sin（60°﹣θ）=cosθ﹣sinθ,丨AQ丨=丨AP丨cosθ=2cosθ,丨AR丨=丨AP丨cos（60°﹣θ）=2cos（60°﹣θ）=cosθ+sinθ由余弦定理可知：丨RQ丨2=丨AQ丨2+丨AR丨2﹣2丨AQ丨丨AR丨cos60°, =(2cosθ）2+（cosθ+sinθ)2﹣2×2cosθ（cosθ+sinθ）cos60°，=3,则丨RQ丨=,三条街道每年能产生的经济总效益W，W=丨PQ丨×300+丨PR丨×200+丨RQ 丨×400=300×2sinθ+（cosθ﹣sinθ）×200+400=400sinθ+200cosθ+400，=200（2sinθ+cosθ)+400，=200sin(θ+φ）+400,tanφ=,当sin（θ+φ）=1时，W取最大值，最大值为200+400≈1222,三条街道每年能产生的经济总效益最高约为1222万元．【点评】本题考查三角函数的综合应用，考查余弦定理,正弦函数图象及性质，辅助角公式，考查计算能力,属于中档题．20．（16分）（2017•杨浦区二模）设数列{a n｝满足a n=A•4n+B•n,其中A、B是两个确定的实数，B≠0．(1)若A=B=1，求｛a n}的前n项之和；（2)证明:{a n}不是等比数列;（3）若a1=a2，数列{a n}中除去开始的两项之外,是否还有相等的两项？证明你的结论．【考点】8E:数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1)运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和；（2）运用反证法，假设{a n}是等比数列，由定义，设公比为q，化简整理推出B=0与题意矛盾,即可得证；(3）数列{a n}中除去开始的两项之外,假设还有相等的两项，由题意可得B=﹣12A，构造函数f（x）=4x﹣12x，x＞0，求出导数和单调性，即可得到结论．【解答】解：（1）由a n=4n+n，可得{a n｝的前n项之和为（4+42+…+4n）+（1+2+…+n）=+n（n+1）=(4n﹣1）+（n2+n）；（2）证明：假设｛a n｝是等比数列，即有=q(q为公比),即为Aq•4n+Bq•n=A•4n+1+B•（n+1），即Aq=4A，Bq=B，B=0，解得q=4，B=0，这与B≠0矛盾,则{a n}不是等比数列；（3）若a1=a2,数列{a n｝中除去开始的两项之外，假设还有相等的两项，设为a k=a m,（k，m不相等），由a1=a2，可得4A+B=16A+2B,即B=﹣12A．则a n=A•4n+B•n=A（4n﹣12•n)，即有A(4k﹣12•k)=A（4m﹣12•m),即为4k﹣12•k=4m﹣12•m，构造函数f（x）=4x﹣12x，x＞0，f′(x)=4x ln4﹣12,由f′（x)=0可得x0=log4∈(1，2),当x＞x0时,f′（x）＞0,f（x）递增，故数列{a n}中除去开始的两项之外，再没有相等的两项．【点评】本题考查数列的求和方法:分组求和,考查等比数列和等差数列的求和公式，同时考查反证法的运用，以及构造函数法,考查化简整理的运算能力,属于中档题．21．(18分）（2017•杨浦区二模）设双曲线Γ的方程为x2﹣=1，过其右焦点F且斜率不为零的直线l1与双曲线交于A、B两点，直线l2的方程为x=t，A、B 在直线l2上的射影分别为C、D．（1)当l1垂直于x轴，t=﹣2时，求四边形ABDC的面积；（2)当t=0，l1的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限时,试比较和1的大小，并说明理由；（3）是否存在实数t∈（﹣1,1），使得对满足题意的任意直线l1，直线AD和直线BC的交点总在x轴上，若存在，求出所有的t的值和此时直线AD与BC交点的位置；若不存在，说明理由．【考点】KC：双曲线的简单性质．（1）由双曲线Γ的方程为x2﹣=1,可得c==2,可得右焦点F（2,0）．当【分析】l1垂直于x轴，t=﹣2时,由双曲线的对称性可得：四边形ABDC为矩形．即可得出面积．（2)作出右准线MN：x=．e==2．分别作AC⊥MN,垂足为M；BD⊥MN，垂足为N．利用双曲线的第二定义可得：=,==．（3)存在实数t∈(﹣1,1),t=时,定点．下面给出证明分析：设直线AB的方程为：y=k(x﹣2）,A（x1，k（x1﹣2）），B（x2，k（x2﹣2))．则C（t，k（x1﹣2）），D（t,k（x2﹣2）)．直线方程与双曲线方程联立化为：（3﹣k2）x2+4k2x ﹣4k2﹣3=0，分别得出:直线AD与BC的方程，进而得出．【解答】解：（1）由双曲线Γ的方程为x2﹣=1，可得c==2，可得右焦点F(2，0)．当l1垂直于x轴，t=﹣2时，由双曲线的对称性可得：四边形ABDC为矩形．代入双曲线可得：22﹣=1，焦点y=±3．∴四边形ABDC的面积S=4×6=24．(2）作出右准线MN：x=．e==2．分别作AC⊥MN，垂足为M；BD⊥MN，垂足为N．则==+．===．∵｜AF｜＞｜FB|，∴＜．∴＜1．（3)存在实数t∈（﹣1，1），t=时，定点．下面给出证明:设直线AB的方程为：y=k（x﹣2）,A(x1，k（x1﹣2）），B（x2，k（x2﹣2））．则C（t，k（x1﹣2）），D（t，k（x2﹣2)）．联立，化为：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，可得x1+x2=，x1•x2=．直线AD的方程为:y﹣k(x1﹣2）=(x﹣x1），令y=0，解得x=．直线BC的方程为：y﹣k（x2﹣2)=（x﹣x2）,令y=0，解得x=．由=，可得：（2+t）（x1+x2)﹣2x1•x2﹣4t=0．∴（2+t）•﹣2•﹣4t=0．化为:t=，不妨取k=1，则2x2+4x﹣7=0,解得x=．不妨取x1=，x2=．定点的横坐标x===．∴定点坐标．【点评】本题考查了双曲线的第二定义、直线与双曲线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

【教师版本】2017二模客观难题分析

目录　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　２１．　虹口．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　３２．　黄浦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　４３．　杨浦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　５４．　奉贤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　６５．　长宁金山青浦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　７６．　浦东．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　８７．　闵行．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　９８．　普陀　９．　徐汇．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１０　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１１１０．　静安．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１２１１．　崇明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１３１２．　松江．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１３１３．　嘉定．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１４１４．　宝山．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１６１５奉贤区：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１８１６普陀区：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１９１７杨浦区：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　２０１８闵行区．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　２２１９黄浦区　２０宝山区．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　２３　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　２５２１浦东新区　2017年上海市高三二模数学填选难题解析2017-4-251. 虹口11. 在直角△ABC 中，2A π∠=，1AB =，2AC =，M 是△ABC 内一点，且12AM =，若AM AB AC λµ=+ ，则2λµ+的最大值为【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，问题可以简化，(0,0)A 、(0,1)B 、(2,0)C 、(cos ,sin )M θθ(0,)2πθ∈，11(cos ,sin )22AM θθ= ，AB AC λµ+(0,1)(2,0)(2,)λµµλ=+=，112sin cos )22242πλµθθθ+=+=+≤. 12. 无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n 都有12310{,,,,}n S k k k k ∈ ，则10a 的可能取值最多．．有个【解析】若910S S =，100a =；若910S S ≠，在12310{,,,,}k k k k 中有序任取2个作为9S 和10S ，10109a S S =−，有21090P =种取法；所以综上最多有91个16. 已知点(,)M a b 与点(0,1)N −在直线3450x y −+=的两侧，给出以下结论： ①3450x y −+>；② 当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③ 221a b +>； ④ 当0a >且1a ≠时，11b a +−的取值范围是93(,)(,)44−∞−+∞ . 正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】① ∵将(0,1)N −代入304(1)50×−×−+>，∴将(,)M a b 代入3450x y −+<；② ∵(,)M a b 取不到点5(0,)4，∴没有最小值；③ ||MO 大于点O 到直线3450x y −+=的距离1d =，∴221a b +>；④ 可看作点(,)M a b 与点(1,1)−连线的斜率，数形结合可知斜率范围为93(,)(,)44−∞−+∞ ；③④正确，选B2. 黄浦11. 三棱锥P ABC −满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是【解析】1233APC APC V S AB S ∆∆=⋅⋅=，12APC S AC AP ∆≤⋅⋅∵4AP AC +=≥，∴4AC AP ⋅≤，122APC S AC AP ∆≤⋅⋅≤，∴4(0,]3V ∈12. 对于数列{}n a ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是以T 为周期的周期数列，设1b m =(01)m <<，对任意正整数n 有11,11,01n n n n nb b b b b +−> = <≤ ，若数列{}n b 是以5为周期的周期数列，则m 的值可以是（只要求填写满足条件的一个m 值即可）【解析】1b m =，21b m =，311b m=−. 观察可得12m =不符（1）当1(0,)2m ∈，412b m=−；（2）当1(,1)2m ∈，41m b m =−； ① 1(0,)3m ∈，513b m =−； ② 11[,)32m ∈，512m b m =−；③ 1(,1)2m ∈，5211m b m −=−； a. 当1(0,)4m ∈，614b m =−；614b m m=−=，解得2m ，舍去负值 b. 当11[,)43m ∈，613m b m m ==−，解得0m =，舍去 c. 当11[,)32m ∈，63112m b m m −==−，解得12m −=，舍去负值 d. 当12(,]23m ∈，6121m b m m −==−，解得m =，舍去 e. 当2(,1)3m ∈，6321m b m m−==−，解得1m −，舍去负值综上，2m =−或m =1m =16. 如图所示，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且AP xAD y AE =+ (,)x y R ∈，则x y +取值范围是（）A. [1,4+B. [4−+C. [1,2+D. [2+【解析】如图所示，当P 点位于右图位置时，x y +最大，此时2MA =，MD MP ==2AP AH AG ===，∴2x y ==，4x y +=+P 位于线段MA与M 的交点时，可得最小值4x y +=−，综上，选B.3. 杨浦11. 已知0a >，0b >，当21(4)a b ab++取到最小值时，b = 【解析】2221111(4)16888168a b a b ab ab ab ab ab ab ab ab++=+++≥++=+≥，当1164ab ab ==且4a b =时等号成立，即1a =，14b = 12. 设函数()||||a f x x x a +−，当a 在实数范围内变化时，在圆盘221x y +≤内，且不在任一()a f x 的图像上的点的全体组成的图形的面积为【解析】根据题意，()||||||a f a a a a a +−，即当a 在实数范围内变化时，图像一个分段点为(,||)a a ，该点轨迹为||y x =，∴结合图像可得图像面积为34π16. 对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正常数a 、b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x R ∈均成立，则称()f x 是“控制增长函数”，在以下四个函数中：① 2()1f x x x =++；② ()f x =；③ 2()sin()f x x =；④ ()sin f x x x =⋅. 是“控制增长函数”的有（）A. ②③B. ③④C. ②③④D. ①②④【解析】① 2()()2f x a f x a x a a R +−=++∈，不成立；② 存在1a =，1b =，使得不等式(1)()1f x f x +−≤恒成立；③ 存在2b =，使得()()2f x a f x +−≤恒成立；③ 存在存在2a π=，2b π=，使得(2)()(2)sin(2)sin 2sin 2f x f x x x x x x πππππ+−=++−=≤ 恒成立；故选C.4. 奉贤11. 已知实数x 、y 满足方程22(1)(1)1x a y −++−=，当0y b ≤≤()b R ∈时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =−的焦点F 到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为【解析】根据题意，∵偶函数，∴1a =，∵是一个函数，∴[0,1]b ∈，即点(,)a b 的轨迹是一条线段，抛物线的焦点1(0,)2F −，数形结合可知，焦点F 到(1,1)12. 设1x 、2x 、3x 、4x 为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足 1234|1||2||3||4|6x x x x −+−+−+−=，则这样的排列有个【解析】若11x =，2x 、3x 、4x 共有6种排列，一一代入，没有符合的情况；若12x =，2x 、3x 、4x 有6种排列，符合情况的有2431、2413、2341三种排列；若13x =，2x 、3x 、4x 有6种排列，符合情况的有3142、3241两种排列；若14x =，2x 、3x 、4x 有6种排列，符合情况的有4123、4132、4213、4231四种排列；综上，符合条件的排列共有9个16. 如图，在△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，O 是△ABC 的外心，OD BC ⊥ 于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于（）A. ::a b cB. 111::a b cC. sin :sin :sin A B CD. cos :cos :cos A B C【解析】如右图所示，::::cos 1:cos 2:cos 3OD OE OF OD OE OF OB OC OA==∠∠∠，根据圆的性质，112BOC A ∠=∠=∠，同理2B ∠=∠，3C ∠=∠，故选D5. 长宁金山青浦11. 已知函数()||f x x x a =−，若对任意1[2,3]x ∈，2[2,3]x ∈，12x x ≠，恒有 1212()()()22x x f x f x f ++>，则实数a 的取值范围为【解析】根据题意，()||f x x x a =−在[2,3]上为上凸函数（图像上表现为在[2,3]上的函数图象在两区间端点连线的上方），数形结合可得3a ≥12. 对于给定的实数0k >，函数()k f x x=的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围是【解析】根据题意，即函数图像上至少有一点到原点的距离小于2，∵2222k x k x+≥，2<，解得(0,2)k ∈. 或者数形结合，这个距离原点最近的点在y x =上，代入2<，解得(0,2)k ∈.16. 设1x 、2x 、…、10x 为1、2、…、10的一个排列，则满足对任意正整数m 、n ，且 110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（）A. 512B. 256C. 255D. 64【解析】直接思考这个问题会有难度，我们可以改变一些条件，试着从简单开始① 比如前9个数字固定排列为1、2、3、4、5、6、7、8、9，那么最后一个数字只能是10，这时候符合条件的排列个数为1；② 放宽条件，比如前8个数字固定排列为1、2、3、4、5、6、7、8，那么最后2个数字可以是9、10，也可以是10、9，符合条件的排列个数为2；③ 再放宽条件，比如前7个数字固定排列为1、2、3、4、5、6、7，那么最后3个数字可以是8、9、10，或8、10、9，或9、8、10，或10、9、8，符合条件的排列个数为4； ……，继续放宽条件，当前6个数字固定排列为1、2、3、4、5、6时，符合的有8个；规律出来了，以此类推下去，……，当前2个数字固定为1、2时，符合的有72个，当第一个数字固定为1时，符合的有82个，当这列数全排列时，符合的有92个.6. 浦东11. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++−−=*()n N ∈，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为【解析】根据题意，112n n a a +=或11n na a +=，取极端情况，1982a a =，81019112a a a a === ∴2812a =，41216a ==.12. 已知平面上三个不同的单位向量a 、b 、c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单位向量，则||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅ 的最大值为【解析】如图构造，1()2a ，(0,1)b =，1)2c = ，设(cos ,sin )e θθ= ，根据题意，||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅=11sin |2|sin |3|sin |22θθθθθ−+++，要取得最大，∴||2||3||3sin a e b e c e θθ⋅+⋅+⋅=+≤.16. 已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（）A. (3,8)B. (2,16)C. (4,8)D. 【解析】33221(1,4)a q a a a ==⋅∈，233111(2,)a q a a a ==⋅∈+∞，综上，q ∈，∴43a a q =⋅∈，故选D.7. 闵行11. 已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P ′，向量 AQ OP ′= ，O 是坐标原点，则||PQ 的取值范围是【解析】设(cos ,sin )P θθ′，∵OQ OA AQ OA OP ′=+=+ ，∴Q 坐标为(cos 1,sin 1)θθ++，∵(sin ,cos )P θθ，∴222||(cos 1sin )(sin 1cos )PQ θθθθ=+−++−22(sin cos )242sin 2[2,6]θθθ=−+=−∈∴||PQ的取值范围是.12. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项 i a 、j a ，当i j <时，j i a a −仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =【解析】∵递增，∴1232017a a a a <<<⋅⋅⋅<，∵当i j <时，j i a a −仍是数列{}n a 中的项， ∴213141201710a a a a a a a a <−<−<−<⋅⋅⋅<−，且1j a a −都是数列{}n a 中的项， ∴201712016a a a −=、201612015a a a −=、…、211a a a −=，∴{}n a 是首项为1a ，公差为1a 的等差数列，根据201711201620171a a d a =+==，可得112017a d ==，∴20171009S =.16. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：① 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数；② 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数；③ 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数；④ 若函数()y f x =存在反函数1()y f x −=，且函数1()()y f x f x −=−有零点，则函数()y f x x =−也有零点.其中正确的命题共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】① ∵()y f x =是奇函数，∴()()f x f x −=−，∴(())(())(())f f x f f x f f x −=−=−，∴①正确；②()()f x T f x +=，(())(())f f x T f f x +=，②正确；③ 当x 增大，()f x 减小，(())f f x 增大，∴③错误；④ 反例如图所示，④错误；故①②正确，选B.8. 普陀11. 设0a <，若不等式22sin (1)cos 10x a x a +−+−≥对于任意的R x ∈恒成立，则a 的取值范围是【解析】由22sin (1)cos 10x a x a +−+−≥得22cos (1)cos 0x a x a −+−+≥，设cos t x =，即22()(1)0f t t a t a =+−−≤对[1,1]t ∈−恒成立，∴22(1)40a a ∆=−+>，2(1)110f a a −=+−−≤，2(1)110f a a =+−−≤，0a <，综上解得2a ≤−.12. 在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点. 若△ABC 的面积为1，则2MB MC BC ⋅+ 的最小值为【解析】取BC 中点F ，12MB MF FB MF BC =+=− ， 12MC MF FC MF BC =+=+ ，∴2MB MC BC ⋅+= 2222213||||44MF BC BC MF BC MF BC −+=+≥⋅∵11||||22MBC MF BC S ∆⋅≥= ，即||||1MF BC ⋅≥ ，∴2MB MC BC ⋅+≥ .16. 关于函数2sin y x =的判断，正确的是（）A. 最小正周期为2π，值域为[1,1]−，在区间[,]22ππ−上是单调减函数 B. 最小正周期为π，值域为[1,1]−，在区间[0,]2π上是单调减函数 C. 最小正周期为π，值域为[0,1]，在区间[0,]2π上是单调增函数 D. 最小正周期为2π，值域为[0,1]，在区间[,]22ππ−上是单调增函数【解析】21cos 2sin 2x yx −=，T π=，排除A 、D ，2sin 0y x =≥，排除B ，故选C. 9. 徐汇11. 如图：在△ABC 中，M 为BC 上不同于B 、C 的任意一点，点N 满足2AN NM = ，若AN xAB y AC =+ ，则229x y +的最小值为【解析】23AN xAB y AC AM =+= ，∴3322AM xAB y AC =+ ，∵B 、M 、C 三点共线，∴33122x y +=，即23x y +=，∴222222299()1012435x y x x x x +=+−=−+≥. 12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”，已知定义域为[,]a b 的函数2()|3|h x x =−，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”， ()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a −=【解析】∵()f x 、()g x 、()h x 都是单调函数，且根据题意，(())f h x 与()f x 值域相同，(())h g x 与()h x 值域相同，∴()[,]g x a b ∈，∵()f x 与()g x 互为反函数，∴()f x 定义域为[,]a b ，∴()[,]h x a b ∈，∴()h x 的定义域和值域均为[,]a b ，根据数形结合，a 、b 为 23x x=−两解，∴1a =，2b =，1b a −=.16. 过椭圆2214x y m m +=−(4)m >右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（）A. 一条射线B. 两条射线C. 双曲线的一支D. 抛物线【解析】数形结合，设椭圆左焦点为F ′，FQ 中点为P ，联结OP 、F Q ′，∴OP 是中位线， ∴2()2()2F Q FQ PO PF PO PA ′−=−=−=，这符合双曲线的定义，故选C.10. 静安10. 若适合不等式2|4||3|5x x k x −++−≤的x 最大值为3，则实数k 的值为【解析】当3x =时，2|4||3|5x x k x −++−=，即|3|5k −=，∴8k =，2k =−. ① 当8k =，2|48||3|5x x x −++−≤，即243|3|0x x x −++−≤，若3x >，则230x x −≤，得03x ≤≤，不符，若3x ≤，2560x x −+≤，解得23x ≤≤， ∴8k =时，不等式的解为23x ≤≤，符合题意.② 当2k =−，2|42||3|5x x x −−+−≤，找个反例即可，4x =符合不等式，但大于3， ∴2k =−不符，综上，8k =. 11. 已知1()1xf x x−=+，数列{}n a 满足112a =，对于任意*n N ∈都满足2()n n a f a +=，且0n a >，若2018a a =，则20162017a a += 【解析】∵2018a a =，∴18181811a a a −=+，解得20181a a ==，同理22242016a a a ==⋅⋅⋅=1=−. 根据112a =，∴313a =，∴512a =，713a =，…，可归纳出4112k a +=，4313k a += ∴20174504112a a ×+==，∴20162017a a +11122−+=−15. 曲线C 为：到两定点(2,0)M −、(2,0)N 的距离乘积为常数16的动点P 的轨迹，以下结论： ① 曲线C 经过原点；② 曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称；③ △MPN 的面积不大于8；④ 曲线C 在一个面积为60的矩形范围内. 其中正确的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【解析】① 设原点为O ，22416OM ON ⋅=×=≠，∴不经过原点；② 列出轨迹的表达16=，可知若点(,)P x y 在曲线上，代入1(,)P x y −、 2(,)P x y −、3(,)P x y −−，方程均成立，∴既关于x 轴对称，也关于y 轴对称，关于原点对称； ③ 11sin 822SPM PN P PM PN =⋅⋅∠≤⋅=；④ 当0x =时，y =±，当0y =时，x =±，由点(±±构成的矩形面积为60>；∴只有③正确，故选B.【附】16= 的精确图像11. 崇明11. 已知函数22sin(),0()3cos(),0x x x f x x x x πα ++> = −++<，[0,2)απ∈是奇函数，则α= 【解析】当0x >，则0x −<，∵()()f x f x −=−，∴2()cos()f x x x α−=−+−+，2()sin()3f x x x π−=−−+，∴5cos()sin()sin()cos()336x x x x πππα−+=−+=−−=+，即5cos()cos()6x x πα−=+在定义域上恒成立，∴526k παπ=−+，∴76πα=. 12. 已知△ABC是边长为PQ 为△ABC 外接圆O 的一条直径，M 为 △ABC 边长的动点，则PM MQ ⋅的最大值是【解析】()()PM MQ PO OM MO OQ ⋅=+⋅+22()()PO OM PO OM PO OM =+⋅−=− ，∵边长为O 半径为2，即24PM MQ OM ⋅=− ，OM 最小值为1 即PM MQ ⋅的最大值是316. 设函数()x x x f x a b c =+−，其中0c a >>，0c b >>，若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，则下列结论：① 对于一切(,1)x ∈−∞都有()0f x >；② 存在0x >使x xa 、x b 、x c 不能构成一个三角形的三边长；③ 若△ABC 为钝角三角形，存在(1,2)x ∈，使()0f x =. 其中正确的个数为（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个【解析】① ()[()()1]x x x ab f xc c c =+−，设()()()1x x a b g x cc =+−，可知(0,1)ac∈，(0,1)b c ∈，∴()g x 单调递减，当1x <，()(1)10a bg x g c c>=+−>，∴()0f x >，正确； ② 举反例，令2a =，3b =，4c =，存在3x =，3333234⋅+<，不能构成三角形； ③ △ABC 为钝角三角形，∴2220a b c +−<，即(2)0f <，∵0a b c +−>，即(1)0f >， ∴()f x 在(1,2)上必有零点，正确. 综上所述，正确个数为3个，选A.12. 松江11. 如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q 为小圆上的点，则PA PQ ⋅的取值范围是【解析】结合向量数量积的几何意义，PA PQ ⋅ 等于||PA 乘以PQ 在PA方向上的投影，∵2OP =，1OA =，∴||PA =PA PQ PA PB ⋅=⋅=1)3+=+，如右图，投影最小，1)3PA PQ PA PC ⋅=⋅−=−∴取值范围为[3. 12题、16题同闵行12题、16题13. 嘉定11. 设等差数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，公差为d . 若数列也是公差为d 的等差数列，则}{n a 的通项公式为n a =【解析】1(1)2nn n S na d −=+，也是等差数列，∴22n dS n ==，d =，∴12d =或0（舍），1124d a ==，∴124n n a =−. 12. 设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2.32]2=，[ 4.76]5−=−），对于给定的*n ∈N ，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x −−+=−−+ ，其中[1,)x ∈+∞，则当3[,3)2x ∈时，函数xC x f 10)(=的值域是【解析】当3[,2)2x ∈，[]1x =，101020(5,]3xC x =∈；当[2,3)x ∈，[]2x =，1090(1)xC x x =−， (1)[2,6)x x −∈，∴90(15,45](1)x x ∈−；综上，值域为20(5,](15,45]3.16. 已知()f x 是偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，若(1)(2)f ax f x +≤−在1[,1]2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A. [2,1]−B. [2,0]−C. [1,1]−D. [1,0]− 【解析】由题得，|1|2ax x +≤−在1[,1]2x ∈时恒成立，设()|1|g x ax =+，()2h x x =−，()g x 恒过定点(0,1)，数形结合可知，只需满足(1)(1)g h ≤，即|1|1a +≤， ∴[2,0]a ∈−，故选B.14. 宝山11. 设向量(,)m x y = ，(,)n x y =− ，P 为曲线1m n ⋅=(0)x >上的一个动点，若点P 到直线10x y −+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为【解析】1m n ⋅= 即221x y −=(0)x >，根据题意，实数λ的最大值即直线1y x =+与一条渐近线y x =之间的距离，∴d =，即λ最大值为2.12题同长宁16题15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 两侧，且P 到1l 、2l 距离分别为1、3，点M 、N 分别在1l 、2l 上，||8PM PN += ，则PM PN ⋅ 的最大值为（）A. 15B. 12C. 10D. 9【解析】取MN 中点O ，222()()16PM PN PO OM PO ON PO OM OM ⋅=+⋅+=−=− ，∵1l 、2l 之间距离为2，∴2OM 最小值为1，即PM PN ⋅的最大值为15，选A.16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m −=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设2()x f x xλ+=(0)x >，若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ取值范围是（） A. (0,2] B. (1,2] C. [1,2] D. [1,4] 【解析】()()f t m f t m +=−，∴t m t m t mt mλλ++=−++−，2mt mt mλλ=−−+，化简得：22t m λ=−，即220m t λ=−>恒成立，2t λ<，∴02λ<≤，选A. 本题如果理解了题意，可以从图像角度秒解如图所示，A 、B 为两对称点，满足()()f t m f t m +=−，线段AB 中垂线为x t =t < 即2t λ<，∴02λ<≤15奉贤区：11、已知实数y x ,满足方程1)1(122=−++−y a x ）（，当)(0R b b y ∈≤≤时，由此方程可以确定一个偶函数，则抛物线221x y −=的焦点F 到点),(b a 的轨迹上点的距离最大值为 .解析：根据偶函数的对称性很容易得出：10−=a ，1=a ；根据函数的概念容易得出：[]0,1∈b ，很容易求出结果。

2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷(解析版)

2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．（4分）函数y＝的定义域是．2．（4分）若关于x，y的方程组有无数多组解，则实数a＝．3．（4分）若“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为．4．（4分）已知复数z 1＝3+4i，z2＝t+i（其中i为虚数单位），且是实数，则实数t 等于．5．（4分）若函数（a＞0，且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是．6．（4分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣2x+y的最小值为．7．（5分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上至少存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是．8．（5分）已知向量，，如果∥，那么的值为．9．（5分）若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是．10．（5分）若将函数f（x）＝的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是．11．（5分）三棱锥P﹣ABC满足：AB⊥AC，AB⊥AP，AB＝2，AP+AC＝4，则该三棱锥的体积V的取值范围是12．（5分）对于数列{a n}，若存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T＝a n成立，则称数列{a n}是以T为周期的周期数列．设b1＝m（0＜m＜1），对任意正整数n都有若数列{b n}是以5为周期的周期数列，则m的值可以是．（只要求填写满足条件的一个m值即可）二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A．B．C．D．14．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π15．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．4x±3y＝0D．3x±4y＝0 16．（5分）如图所示，∠BAC＝，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD＝1，点P 是圆M及其内部任意一点，且（x，y∈R），则x+y的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，D，E，F分别是A1B1，CC1，BC的中点．（1）求证：AE⊥DF；（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C，a cos A，c cos B成等差数列．（1）求角A的大小；（2）若，b+c＝6，求的值．19．（14分）如果一条信息有n（n＞1，n∈N）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为p1，p2，…，p n，则称H＝f（p1）+f（p2）+…f（p n）（其中f （x）＝﹣x log a x，x∈（0，1））为该条信息的信息熵．已知．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为A1，A2，…，A n）参加，若当k＝1，2，…，n﹣1时，选手A k获得冠军的概率为2﹣k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式．20．（16分）设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE恒过一个定点．21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数g（x）＝3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）＝1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），都有．2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．（4分）函数y＝的定义域是[0，2]．【解答】解：要使函数有意义需2x﹣x2≥0解得0≤x≤2故答案为：[0，2]2．（4分）若关于x，y的方程组有无数多组解，则实数a＝2．【解答】解：根据题意，若关于x，y的方程组有无数多组解，则直线ax+y﹣1＝0与直线4x+ay﹣2＝0重合，则有＝＝，解可得a＝2，故答案为：2．3．（4分）若“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为﹣1．【解答】解：因x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，又“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2﹣2x﹣3＞0”，反之不成立．则a的最大值为﹣1．故答案为：﹣1．4．（4分）已知复数z 1＝3+4i，z2＝t+i（其中i为虚数单位），且是实数，则实数t等于．【解答】解：∵z1＝3+4i，z2＝t+i，∴＝（3+4i）（t﹣i）＝3t+4+（4t﹣3）i，∵是实数，∴4t﹣3＝0，得t＝．故答案为：．5．（4分）若函数（a＞0，且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是．【解答】解：∵函数f（x）（a＞0且a≠1）是R上的减函数，∴0＜a＜1，且3a﹣0≥a0+1＝2，∴≤a＜1．故答案为：．6．（4分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣2x+y的最小值为﹣4．【解答】解：由约束条件作出可行域如图所示，，联立方程组，解得B（3，2），化目标函数z＝﹣2x+y为y＝2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为z＝﹣2×3+2＝﹣4．故答案为：﹣4．7．（5分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上至少存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是[3，7]．【解答】解：∵圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4，∴圆心C（4，3），半径r＝2；设点P（a，b）在圆C上，则＝（a+m，b），＝（a﹣m，b）；∵∠APB＝90°，∴（a+m）（a﹣m）+b2＝0；即m2＝a2+b2；∴|OP|＝，∴|OP|的最大值是|OC|+r＝5+2＝7，最小值是|OC|﹣r＝5﹣2＝3；∴m的取值范围是[3，7]．故答案为[3，7]．8．（5分）已知向量，，如果∥，那么的值为．【解答】解：∵向量，，∥，∴cos（+α）•4﹣1•1＝0，求得cos（+α）＝，即sin（﹣﹣α）＝，即sin（﹣α）＝，∴＝1﹣2＝1﹣2•＝，故答案为：．9．（5分）若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是．【解答】解：∵任何三点不共线，∴共有＝56个三角形．8个等分点可得4条直径，可构成直角三角形有4×6＝24个，所以构成直角三角形的概率为＝，故答案为．10．（5分）若将函数f（x）＝的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是．【解答】解：∵将函数f（x）＝的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数解析式为：f（x）＝|sin[ω（x+）﹣]|＝|sin[ωx+（﹣）]|，∵当﹣＝时，即ω＝6k+时，f（x）＝|sin（ωx+）|＝|﹣cos（ωx）|＝|cos（ωx）|，f（x）为偶函数．∵ω＞0，∴当k＝0时，ω有最小值．故答案为：．11．（5分）三棱锥P﹣ABC满足：AB⊥AC，AB⊥AP，AB＝2，AP+AC＝4，则该三棱锥的体积V的取值范围是（0，]【解答】解：∵AP+AC＝4，∴AP•AC≤（）2＝4，设∠P AC＝θ，则0＜θ＜π，∴S△P AC＝AP•AC•sinθ≤2sinθ≤2，∴0＜S△P AC≤2．∵AB⊥AC，AB⊥AP，∴AB⊥平面P AC，∴V＝S△P AC•AB＝S△P AC，∴0＜V≤．故答案为：．12．（5分）对于数列{a n}，若存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T＝a n成立，则称数列{a n}是以T为周期的周期数列．设b1＝m（0＜m＜1），对任意正整数n都有若数列{b n}是以5为周期的周期数列，则m的值可以是﹣1．（只要求填写满足条件的一个m值即可）【解答】解：取m＝﹣1＝b1，则b2＝＝，b3＝，b4＝+1，b5＝，b6＝﹣1，满足b n+5＝b n．故答案为：﹣1．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：C、D中函数周期为2π，所以错误当时，，函数为减函数而函数为增函数，故选：A．14．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π【解答】解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为S＝4π×12+π×12×2+2π×1×3＝12π故选：D．15．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．4x±3y＝0D．3x±4y＝0【解答】解：双曲线的右焦点到左顶点的距离为a+c，右焦点到渐近线距离为b，所以有：a+c＝2b，由4x±3y＝0得，取a＝3，b＝4，则c＝5，满足a+c＝2b．故选：C．16．（5分）如图所示，∠BAC＝，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD＝1，点P 是圆M及其内部任意一点，且（x，y∈R），则x+y的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：连接MA，MD，则∠MAD＝，MD⊥AD，∵AD＝1，∴MD＝，MA＝2，∵点P是圆M及其内部任意一点，∴2﹣≤AP≤2+，且当A，P，M三点共线时，x+y取得最值，当AP取得最大值时，以AP为对角线，以AB，AC为邻边方向作平行四边形AA1PB1，则△APB1和△AP A1是等边三角形，∴AB1＝AA1＝AP＝2+，∴x＝y＝2+，∴x+y的最大值为4+2，同理可求出x+y的最小值为4﹣2．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，D，E，F分别是A1B1，CC1，BC的中点．（1）求证：AE⊥DF；（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．【解答】解：（1）以A为坐标原点、AB为x轴、AC为y轴、AA1为z轴建立如图的空间直角坐标系．由题意可知A（0，0，0），D（0，1，2），E（﹣2，0，1），F（﹣1，1，0），故，…（4分）由，可知，即AE⊥DF．…（6分）（2）设是平面DEF的一个法向量，又，故由解得故．…（9分）设AE与平面DEF所成角为θ，则，…（12分）所以AE与平面DEF所成角为，点A到平面DEF的距离为．…（14分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C，a cos A，c cos B成等差数列．（1）求角A的大小；（2）若，b+c＝6，求的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由b cos C，a cos A，c cos B成等差数列，可得b cos C+c cos B＝2a cos A，…（2分）故sin B cos C+sin C cos B＝2sin A cos A，所以sin（B+C）＝2sin A cos A，…（4分）又A+B+C＝π，所以sin（B+C）＝sin A，故sin A＝2sin A cos A，又由A∈（0，π），可知sin A≠0，故，所以．…（6分）（另法：利用b cos C+c cos B＝a求解）（2）在△ABC中，由余弦定理得，…（8分）即b2+c2﹣bc＝18，故（b+c）2﹣3bc＝18，又b+c＝6，故bc＝6，…（10分）所以＝…（12分）＝c2+b2+bc＝（b+c）2﹣bc＝30，故．…（14分）19．（14分）如果一条信息有n（n＞1，n∈N）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为p1，p2，…，p n，则称H＝f（p1）+f（p2）+…f（p n）（其中f （x）＝﹣x log a x，x∈（0，1））为该条信息的信息熵．已知．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为A1，A2，…，A n）参加，若当k＝1，2，…，n﹣1时，选手A k获得冠军的概率为2﹣k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式．【解答】解：（1）由，可得，解之得a＝2．…（2分）由32种情形等可能，故，…（4分）所以，答：“谁被选中”的信息熵为5．…（6分）（2）A n获得冠军的概率为，…（8分）当k＝1，2，…，n﹣1时，，又，故，…（11分），以上两式相减，可得，故，答：“谁获得冠军”的信息熵为．…（14分）20．（16分）设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE恒过一个定点．【解答】解：（1）由AP⊥OP，可知k AP•k OP＝﹣1，又A点坐标为（﹣a，0），故，可得a＝1，…（2分）因为椭圆M过P点，故，可得，所以椭圆M的方程为．…（4分）（2）AP的方程为，即x﹣y+1＝0，由于Q是椭圆M上的点，故可设，…（6分）所以…（8分）＝当，即时，S△APQ取最大值．故S△APQ的最大值为．…（10分）（3）直线AD方程为y＝k1（x+1），代入x2+3y2＝1，可得，，又x A＝﹣1，故，，…（12分）同理可得，，又k1k2＝1且k1≠k2，可得且k1≠±1，所以，，，直线DE的方程为，…（14分）令y＝0，可得．故直线DE过定点（﹣2，0）．…（16分）（法二）若DE垂直于y轴，则x E＝﹣x D，y E＝y D，此时与题设矛盾．若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为x＝ty+s，将其代入x2+3y2＝1，可得（t2+3）y2+2tsy+s2﹣1＝0，可得，…（12分）又，可得，…（14分）故，可得s＝﹣2或﹣1，又DE不过A点，即s≠﹣1，故s＝﹣2．所以DE的方程为x＝ty﹣2，故直线DE过定点（﹣2，0）．…（16分）21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数g（x）＝3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）＝1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），都有．【解答】解：（1）对于函数，当t＞0，s＞0时，，又，所以f1（s）+f1（t）＜f1（s+t），故是“L函数”．…（2分）对于函数，当t＝s＝1时，，故不是“L函数”．…（4分）（2）当t＞0，s＞0时，由g（x）＝3x﹣1+a（3﹣x﹣1）是“L函数”，可知g（t）＝3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，又3t﹣1＞0，可得a＜3t对一切正数t恒成立，所以a≤1．…（6分）由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，即3t（3s﹣1）﹣（3s﹣1）+a（3﹣s﹣1）（3﹣t﹣1）＝（3s﹣1）（3t﹣1）+a（3﹣s﹣1）（3﹣t﹣1）＝（3s﹣1）（3t﹣1）+a•3﹣s﹣t（3s﹣1）（3t﹣1）＞0，故（3s﹣1）（3t﹣1）（3s+t+a）＞0，又（3t﹣1）（3s﹣1）＞0，故3s+t+a＞0，由3s+t+a＞0对一切正数s，t恒成立，可得a+1≥0，即a≥﹣1．…（9分）综上可知，a的取值范围是[﹣1，1]．…（10分）（3）由函数f（x）为“L函数”，可知对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），令s＝t，可知f（2s）＞2f（s），即，…（12分）故对于正整数k与正数s，都有，…（14分）对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），可得，又f（1）＝1，所以，…（16分）同理，故．…（18分）。

2017年上海市普陀区高考数学二模试卷含详解

2017年上海市普陀区高考数学二模试卷一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．（4分）计算：（1+）3=．2．（4分）函数f（x）=log2（1﹣）的定义域为．3．（4分）若＜α＜π，sinα=，则tan=．4．（4分）若复数z=（1+i）•i2（i表示虚数单位），则=．5．（4分）曲线C：（θ为参数）的两个顶点之间的距离为．6．（4分）若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为（结果用最简分数表示）．7．（5分）若关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则实数m 的取值范围是．8．（5分）若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125π，则此圆锥的高为．9．（5分）若函数f（x）=log22x﹣log2x+1（x≥2）的反函数为f﹣1（x）．则f﹣1（3）=．10．（5分）若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，则球O的表面积为．11．（5分）设a＜0，若不等式sin2x+（a﹣1）cosx+a2﹣1≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是．12．（5分）在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC的面积为1，则•+2的最小值为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）动点P在抛物线y=2x2+1上移动，若P与点Q（0，﹣1）连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为（）A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x2 14．（5分）若α、β∈R，则“α≠β”是“tanα≠tanβ”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥βD．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β16．（5分）关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；（2）求异面直线A1C与DE所成的角（结果用反三角函数表示）．18．（14分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=时，f（x）取得最大值．（1）计算f（）的值；（2）设g（x）=f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．19．（14分）某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（单位：元）（1）试用含有v、ω的代数式表示P；（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．20．（16分）已知椭圆T：+=1，直线l经过点P（m，0）与T相交于A、B 两点．（1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求证：P必为Γ的焦点；（2）设m＞0，若点D在Γ上，且|PD|的最大值为3，求m的值；（3）设O为坐标原点，若m=，直线l的一个法向量为=（1，k），求△AOB 面积的最大值．21．（18分）已知数列{a n}（n∈N*），若{a n+a n+1}为等比数列，则称{a n}具有性质P．（1）若数列{a n}具有性质P，且a1=a2=1，a3=3，求a4、a5的值；（2）若b n=2n+（﹣1）n，求证：数列{b n}具有性质P；（3）设c1+c2+…+c n=n2+n，数列{d n}具有性质P，其中d1=1，d3﹣d2=c1，d2+d3=c2，若d n＞102，求正整数n的取值范围．2017年上海市普陀区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．（4分）计算：（1+）3=1．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】根据题意，对（1+）3变形可得（1+）3=（+++1），由极限的意义计算可得答案．【解答】解：根据题意，（1+）3==（+++1）=1，即（1+）3=1；故答案为：1．【点评】本题考查极限的计算，需要牢记常见的极限的化简方法．2．（4分）函数f（x）=log2（1﹣）的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：1﹣＞0，解得：x＞1或x＜0，故答案为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．3．（4分）若＜α＜π，sinα=，则tan=3．【考点】GW：半角的三角函数．【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，再利用半角公式求得tan的值．【解答】解：若＜α＜π，sinα=，则cosα=﹣=﹣，∴tan==3，故答案为：3．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．4．（4分）若复数z=（1+i）•i2（i表示虚数单位），则=﹣1+i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】先化简，再根据共轭复数的定义即可求出【解答】解：z=（1+i）•i2=﹣1﹣i，∴=﹣1+i，故答案为：﹣1+i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算以及共轭复数，是基础的计算题．5．（4分）曲线C：（θ为参数）的两个顶点之间的距离为2．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；34：方程思想；5S：坐标系和参数方程．【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（±1，0），由两点间距离公式计算可得答案．【解答】解：曲线C：，其普通方程为x2﹣y2=1，则曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（±1，0），则则两个顶点之间的距离为2；故答案为：2．【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，涉及双曲线的几何性质，关键是将曲线的参数方程化为普通方程．6．（4分）若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】先求出基本事件总数n=52×52，再求出两张牌都是K包含的基本事件个数m=4×4，由此能求出两张牌都是K的概率．【解答】解：从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，在放回抽取的情形下，基本事件总数n=52×52，两张牌都是K包含的基本事件个数m=4×4，∴两张牌都是K的概率为p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想，是基础题．7．（5分）若关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则实数m 的取值范围是[1，] ．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】33：函数思想；4R：转化法．【分析】由题意，关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，转化为函数y=sin（x+）与函数y=m的图象有交点问题．【解答】解：由题意，sinx+cosx﹣m=0，转化为：sinx+cosx=m，设函数y=sin （x+）x∈[0，]上，则x+∈[，]∴sin（x+）∈[]∴函数y=sin（x+）的值域为[1，]关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则函数y=m的值域为[1，]，即m∈[1，]故答案为：[1，]．【点评】本题考查了方程有解问题转化为两个函数的交点的问题．属于基础题．8．（5分）若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125π，则此圆锥的高为5．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，利用体积为125π，建立方程，即可求出此圆锥的高．【解答】解：设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，∵体积为125π，∴=125π，∴h=5．故答案为：5．【点评】本题考查圆锥体积的计算，考查方程思想，比较基础．9．（5分）若函数f（x）=log22x﹣log2x+1（x≥2）的反函数为f﹣1（x）．则f﹣1（3）=4．【考点】4R：反函数．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】由题意，log22x﹣log2x+1=3，根据x≥2，即可得出结论．【解答】解：由题意，log22x﹣log2x+1=3，∵x≥2，∴x=4，故答案为4．【点评】本题考查对数方程，考查反函数的概念，正确转化是关键．10．（5分）若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，则球O的表面积为20π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由余弦定理求出BC=2，利用正弦定理得∠ABC=90°．从而△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，进而能求出球O的半径R，由此能求出球O 的表面积．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，∴BC==2，∴AC2=BC2+AB2，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，∴球O的半径R==，∴球O的表面积S=4πR2=20π．故答案为：20π．【点评】本题考查三棱锥、球、勾股定理等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．11．（5分）设a＜0，若不等式sin2x+（a﹣1）cosx+a2﹣1≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是a≤﹣2．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】不等式进行等价转化为关于cosx的一元二次不等式，利用二次函数的性质和图象列不等式组求得答案．【解答】解；不等式等价于1﹣cos2x+acosx+a2﹣1﹣cosx≥0，恒成立，整理得﹣cos2x+（a﹣1）cosx+a2≥0，设cosx=t，则﹣1≤t≤1，g（t）=﹣t2+（a﹣1）t+a2，要使不等式恒成立需：求得a≥1或a≤﹣2，而a＜0故答案为：a ≤﹣2．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，二次函数的性质．注重了对数形结合思想的运用和问题的分析．12．（5分）在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 的中点，M 是直线DE 上的动点，若△ABC 的面积为1，则•+2的最小值为．【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】35：转化思想；41：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】由三角形的面积公式，S △ABC =2S △MBC ，则S △MBC =，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则•+2，利用导数求得函数的单调性，即可求得则•+2的最小值；方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得•+2的最小值．【解答】解：∵D 、E 是AB 、AC 的中点，∴A 到BC 的距离=点A 到BC 的距离的一半， ∴S △ABC =2S △MBC ，而△ABC 的面积1，则△MBC 的面积S △MBC =，S △MBC =丨MB 丨×丨MC 丨sin ∠BMC=，∴丨MB 丨×丨MC 丨=． ∴•=丨MB 丨×丨MC 丨cos ∠BMC=．由余弦定理，丨BC 丨2=丨BM 丨2+丨CM 丨2﹣2丨BM 丨×丨CM 丨cos ∠BMC ，显然，BM 、CM 都是正数，∴丨BM 丨2+丨CM 丨2≥2丨BM 丨×丨CM 丨，∴丨BC 丨2=丨BM 丨2+丨CM 丨2﹣2丨BM 丨×丨CM 丨cos ∠BMC=2×﹣2×．．∴•+2≥+2×﹣2×=，方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，∴cos∠BMC=时，取得最小值为，•+2的最小值是，方法二：令y=，则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则sin（∠BMC+α）=2，tanα=，则sin（∠BMC+α）=≤1，解得：y≥，•+2的最小值是，故答案为：．【点评】本题考查了向量的线性运算、数量积运算、辅助角公式，余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）动点P在抛物线y=2x2+1上移动，若P与点Q（0，﹣1）连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为（）A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x2【考点】J3：轨迹方程．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设PQ中点为（x，y），进而根据中点的定义可求出M点的坐标，然后代入到曲线方程中得到轨迹方程．【解答】解：设PQ中点为M（x，y），则P（2x，2y+1）在抛物线y=2x2+1上，即2（2x）2=（2y+1）﹣1，∴y=4x2．故选：B．【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．14．（5分）若α、β∈R，则“α≠β”是“tanα≠tanβ”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据正切函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若“α≠β”，则“tanα≠tanβ”不成立，不是充分条件，反之也不成立，比如α=，β=，故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查正切函数的性质，是一道基础题．15．（5分）设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥βD．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，知：在A中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题．16．（5分）关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数【考点】GS：二倍角的三角函数；H7：余弦函数的图象．【专题】15：综合题；35：转化思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．【分析】先化简函数，再利用余弦函数的图象与性质，即可得出结论．【解答】解：y=sin2x=（1﹣os2x）=﹣cos2x+∴函数的最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数，故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简，考查余弦函数的图象与性质，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；（2）求异面直线A1C与DE所成的角（结果用反三角函数表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】（1）由题意画出图形，取AD中点G，连接FG，BG，可证四边形B1BGF 为平行四边形，得BG∥B1F，再由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，得BG∥DE，BG=DE，从而得到B1F∥DE，且B1F=DE，进一步得到四边形B1EDF为平行四边形，再由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，得到四边形B1EDF是菱形；（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，然后利用空间向量求异面直线A1C与DE所成的角．【解答】（1）证明：取AD中点G，连接FG，BG，可得B1B∥FG，B1B=FG，∴四边形B1BGF为平行四边形，则BG∥B1F，由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，BG=DE，则B1F∥DE，且B1F=DE，∴四边形B1EDF为平行四边形，由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，∴四边形B1EDF是菱形；（2）解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），E（1，，0），∴，，∴cos＜＞==．∴异面直线A1C与DE所成的角为arccos．【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求异面直线所成角，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=时，f（x）取得最大值．（1）计算f（）的值；（2）设g（x）=f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】首先，根据已知得到f（x）=sin（x+θ），然后根据最值建立等式，得到a=b，再化简函数f（x）=asin（x+），（1）将代入解析式求值；（2）求出g（x）解析式，利用奇偶函数定义判断奇偶性．【解答】解：由已知得到f（x）=sin（x+θ），又x=时，f（x）取得最大值．所以a=b，f（x）=asin（x+），所以（1）f（）=asin（3π）=0；（2）g（x）为偶函数．理由：设g（x）=f（﹣x）=asin（﹣x）=acosx，所以函数g（﹣x）=g（x），为偶函数．【点评】本题考查了三角函数的性质以及奇偶性的判定；属于基础题．19．（14分）某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（单位：元）（1）试用含有v、ω的代数式表示P；（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）分析题意，找出相关量之间的不等关系，（2）求出x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域，要求走得最经济，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数p与直线截距的关系，进而求出最优．【解答】解：（1）由题意得：x=，4≤v≤20，y=，30≤ω≤100，∴P=100+3（5﹣）+（8﹣）=123﹣﹣，其中，4≤v≤20，30≤ω≤100，（2）由（1）可得2.5≤x≤12.5，3≤y≤10，①由于汽车、乘船所需的时间和应在9至14小时之间，∴9≤x+y≤14 ②因此满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分目标函数p=100+3（5﹣x）+（8﹣y）=123﹣3x﹣y，当x=11，y=3时，p 最小，此时，p=123﹣33﹣3=87【点评】本题考查不等式关系的建立，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（16分）已知椭圆T：+=1，直线l经过点P（m，0）与T相交于A、B两点．（1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求证：P必为Γ的焦点；（2）设m＞0，若点D在Γ上，且|PD|的最大值为3，求m的值；（3）设O为坐标原点，若m=，直线l的一个法向量为=（1，k），求△AOB 面积的最大值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用两点之间距离公式，即可求得m的值，由椭圆的方程，即可求得焦点坐标，即可求证P必为Γ的焦点；（2）利用两点之间的距离公式，根据二次函数的单调性，当x0=﹣2时，取最大值，代入即可求得m的值；（3）求得直线AB的方程，代入方程，由韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，利用基本不等式的性质，即可求得△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）证明：由椭圆焦点F（±1，0），由|PC|==2，解得：m=±1，∴P点坐标为（±1，0），∴P必为Γ的焦点；（2）设D（x0，y0），y02=3（1﹣），|PD|2=（x0﹣m）2+y02=﹣2mx0+m2+3，﹣2≤x0≤2，有函数的对称轴x0=4m＞0，则当x0=﹣2时，取最大值，则|PD|2=1+4m+m2+3=9，m2+4m﹣5=0，解得：m=1或m=﹣5（舍去），∴m的值1；（3）直线l的一个法向量为=（1，k），则直线l的斜率﹣，则直线l方程：y﹣0=﹣（x﹣），整理得：ky+x﹣=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（3k2+4）y2﹣6ky﹣3=0，则y1+y2=，y1y2=﹣，丨AB丨=•=，则O到直线AB的距离d=，则△AOB面积S=×丨AB丨×d=××==≤=，当且仅当=，即k2=，取等号，∴△AOB面积的最大值．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．21．（18分）已知数列{a n}（n∈N*），若{a n+a n+1}为等比数列，则称{a n}具有性质P．（1）若数列{a n}具有性质P，且a1=a2=1，a3=3，求a4、a5的值；（2）若b n=2n+（﹣1）n，求证：数列{b n}具有性质P；（3）设c1+c2+…+c n=n2+n，数列{d n}具有性质P，其中d1=1，d3﹣d2=c1，d2+d3=c2，若d n＞102，求正整数n的取值范围．【考点】8B：数列的应用．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）{a n+a n+1}为等比数列，由a1=a2=1，a3=3，可得{a n+a n+1}的公比为2，可得a n+a n+1=2n，进而得出a4、a5的值；（2）证明{b n+b n+1}是以公比为2的等比数列，即可得出结论；（3）求出d n+d n+1=2n，利用d n＞102，求正整数n的取值范围．【解答】解：（1）{a n+a n+1}为等比数列，∵a1=a2=1，a3=3，∴a1+a2=1+1=2，a2+a3=1+3=4，∴{a n+a n+1}的公比为2，∴a n+a n+1=2n，∴a3+a4=23=8，即a4=5，∴a4+a5=24=16，即a5=11；（2）∵b n=2n+（﹣1）n，∴b n+b n+1=2n+（﹣1）n+2n+1+（﹣1）n+1=3•2n，∴{b n+b n+1}是以公比为2的等比数列，∴数列{b n}具有性质P．（3）∵c1+c2+…+c n=n2+n，∴c1+c2+…+c n﹣1=（n﹣1）2+n﹣1，∴c n=2n，∵d1=1，d3﹣d2=c1=2，d2+d3=c2=4，∴d2=1，d3=3，∵数列{d n}具有性质P，由（1）可得，d n+d n+1=2n，∴d4=5，d5=11，d6=21，d7=43，d8=85，d9=171，∵d n＞102，∴正整数n的取值范围是[9，+∞）．【点评】本题考查新定义，考查等比数列的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2017年上海市闵行区七宝中学高考数学二模试卷(解析版)

2017年上海市闵行区七宝中学高考数学二模试卷一.填空题1．（3分）若集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|2x＞1}，则A∪B＝．2．（3分）若a为实数，则，则|1+ai|＝．3．（3分）函数的最小正周期为．4．（3分）将满足的封闭图形绕y轴旋转一周所得的几何体的主观图面积为．5．（3分）多项式的展开式中，x2项的系数为．6．（3分）已知等差数列{a n}满足a4＝a2+a1，则＝．7．（3分）A盒中有3张足球票和3张篮球票，B盒中有2张足球票和4张篮球票，甲盒A 中任意抽取一张票，乙从B盒中任取抽取一张票，则两人至少抽到一张足球票的概率为．8．（3分）方程9x+m•3x+m﹣1＝0有唯一解，则实数m的取值范围是．9．（3分）记椭圆的左右焦点分别为F1，F2，斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F2（1，0），且与椭圆在第一象限交于点P，∠PF1F2＝15°则椭圆的长轴长为．10．（3分）若函数f（x）＝|x|﹣1+ax（x∈R）存在反函数，则a的取值范围是．11．（3分）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2﹣ax，对于不相等的实数x1，x2，设，都有现有如下命题：①对于不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有m＝n；④存在实数a，对任意不相等的实数x1，x2，都有m＝n，其中所有的真命题是．12．（3分）在△ABC中，内角A＜B＜C，记，则的取值范围为．二.选择题13．（3分）已知两条直线“”是“直线l 1与直线l2的夹角为60°”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＜0B．a＞0，b＞0，c＜0C．a＜0，b＞0，c＞0D．a＞0，b＜0，c＞015．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个非零向量，与x轴正半轴的夹角分别为和，向量满足＝，则与x轴正半轴夹角取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，）16．（3分）已知函数，集合A＝{x|f（x）＝k，n∈N}，若不相等的实数a，b∈A且都有a+b∈Z，则满足条件的a，b（不考虑a，b的顺序）的组数为（）A．36B．58C．62D．74三.简答题17．某小区打造休闲场地，将一块直角三角形空地ABC用一条长为16m的道路MN分成两部分（点M在边AB上）．分别种植花卉和铺设草坪，其中花卉面积为S1，草坪面积为S2，且S1≤S2，已知AB＝32m，AC＝24m，∠A＝90°，求S1的最大值（本题中道路都指线段）．18．如图，把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的高度为3，矩形的对角线和三棱柱的侧棱BB1，CC1的交点记为E，F．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求三棱柱中异面直线AE与A1F所成角的大小．19．函数f（x）对任意的x∈R满足：f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+2）＝f（x），当x∈（0，1）时，．（1）求出函数在R上零点；（2）求满足不等式f（sinθ）＞﹣f（cosθ）的实数θ的范围．20．已知双曲线的左右顶点分别为A，B，A（﹣2，0）．直线l：x＝1和两条渐近线交于点E，F，点E在第一象限且，P是双曲线上的任意一点．（1）求双曲线的标准方程；（2）是否存在点P使得△OEP为直角三角形？若存在，求出点P的个数；（3）直线P A，PB与直线l分别交于点M，N，证明：以MN为直径的圆必过定点．21．已知n位数满足下列条件：①各个数字只能从集合{1，2，3，4}中选取；②若其中有数字4，则在4的前面不含2．将这样的n位数的个数记为a n．（1）求a2，a3；（2）探究a n+1与a n之间的关系，求出数列{a n}的通项公式；（3）对于每个正整数k，在a k与a k+1之间插入2k﹣1个得到一个新数列{b n}，设S n是数列{b n}的前n项和，试探究S n＝2017能否成立？写出你探究得到的结论并给出证明．2017年上海市闵行区七宝中学高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）若集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|2x＞1}，则A∪B＝{x|x＞﹣1}．【解答】解：集合A＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，则A∪B＝{x|x＞﹣1}．故答案为：{x|x＞﹣1}．2．（3分）若a为实数，则，则|1+ai|＝．【解答】解：由，得（a+）i＝2i，即a+＝2．解得a＝1．∴|1+ai|＝|1+i|＝．故答案为：．3．（3分）函数的最小正周期为π．【解答】解：∵＝2﹣2sin x cos x＝2﹣sin2x．∴最小正周期T＝＝π．故答案为：π．4．（3分）将满足的封闭图形绕y轴旋转一周所得的几何体的主观图面积为8．【解答】解：将满足的封闭图形绕y轴旋转一周所得的几何体是圆锥，圆锥的底面半径为：2，高为4，几何体的主视图图是等腰三角形，面积为：＝8．故答案为：8．5．（3分）多项式的展开式中，x2项的系数为56．【解答】解：∵多项式＝（1+）•（x7+7x6+21x5+35x4+35x3+21x2+7x+1），故展开式中x2项的系数为21+35＝56，故答案为：56．6．（3分）已知等差数列{a n}满足a4＝a2+a1，则＝2．【解答】解：等差数列{a n}满足a4＝a2+a1，设公差为d，则a1+3d＝2a1+d，可得d＝a1，通项公式：a n＝a1+（n﹣1）d＝a1+a1（n﹣1），S n＝na1+＝na1+，则＝＝＝＝＝2．故答案为：2．7．（3分）A盒中有3张足球票和3张篮球票，B盒中有2张足球票和4张篮球票，甲盒A 中任意抽取一张票，乙从B盒中任取抽取一张票，则两人至少抽到一张足球票的概率为．【解答】解：A盒中有3张足球票和3张篮球票，B盒中有2张足球票和4张篮球票，甲盒A中任意抽取一张票，乙从B盒中任取抽取一张票，则两人至少抽到一张足球票的概率为：p＝1﹣＝．故答案为：．8．（3分）方程9x+m•3x+m﹣1＝0有唯一解，则实数m的取值范围是{m|m＜1}．【解答】解：令t＝3x，方程9x+m•3x+m﹣1＝0化为t2+mt+m﹣1＝0，方程9x+m•3x+m﹣1＝0有唯一解，等价于t2+mt+m﹣1＝0只有1个正数解，可得：m﹣1＜0或，解得m＜1．故答案为：{m|m＜1}．9．（3分）记椭圆的左右焦点分别为F1，F2，斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F2（1，0），且与椭圆在第一象限交于点P，∠PF1F2＝15°则椭圆的长轴长为．【解答】解：斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F2（1，0），则直线的倾斜角为45°，则∠PF1F2＝135°，∵∠PF1F2＝15°，∴∠F1PF2＝30，∴sin15°＝sin（45°﹣30°）＝由正弦定理可得＝＝，∴|PF1|＝2c，|PF2|＝（﹣）c，∴2a＝|PF1|+|PF2|＝（+）c＝，故答案为：+．10．（3分）若函数f（x）＝|x|﹣1+ax（x∈R）存在反函数，则a的取值范围是a＞1或a ＜﹣1．【解答】解：函数f（x）＝|x|﹣1+ax存在反函数，当x＞0时，f（x）＝（1+a）x﹣1，a＞﹣1时，递增；a＜﹣1减；当x＜0时，f（x）＝（a﹣1）x﹣1，a＞1递增；a＜1递减，综上可得a＞1或a＜﹣1时，f（x）在R上存在反函数，故答案为：a＞1或a＜﹣1．11．（3分）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2﹣ax，对于不相等的实数x1，x2，设，都有现有如下命题：①对于不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有m＝n；④存在实数a，对任意不相等的实数x1，x2，都有m＝n，其中所有的真命题是①④．【解答】解：对于①，任取x1≠x2，则，①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，）单调递减，在（，+∞）单调递增，可取x1＝0，x2＝a，则，②错误；对于③，由①知，m＝2，＝x2﹣a，则m＝n不恒成立，③错误；对于④，由①知，m＝2，由③知，n＝x1+x2﹣a，若m＝n，则x1+x2﹣a＝2，只需x1+x2＝a+2即可，④正确．故答案为：①④．12．（3分）在△ABC中，内角A＜B＜C，记，则的取值范围为（1，）．【解答】解：内角A＜B＜C，可得a＜b＜c，则＞1，＞1，则＝min{，}，当≤，可得min{，}＝，由＞≥，即1+＞，即有（）2﹣﹣1＜0，解得1＜＜；当＞，可得min{，}＝，由＜＜，即﹣1＜，即有（）2﹣﹣1＜0，解得1＜＜，综上可得的取值范围为（1，）．故答案为：（1，）．二.选择题13．（3分）已知两条直线“”是“直线l 1与直线l2的夹角为60°”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：直线l2：x﹣y+1＝0，化为：y＝x+1，可得斜率为，倾斜角为60°．由直线l1与直线l2的夹角为60°，可得直线l1的倾斜角为0°或120°．∴﹣m＝0或﹣m＝tan120°，解得m＝0，或．∴”是“直线l1与直线l2的夹角为60°”的充分不必要条件．故选：B．14．（3分）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＜0B．a＞0，b＞0，c＜0C．a＜0，b＞0，c＞0D．a＞0，b＜0，c＞0【解答】解：由x+b≠0得x≠﹣b，由﹣b＞0得b＜0，排除B，C，f（0）＝＞0，则c＜0，排除D，由f（x）＝0得ax2+c＝0，即ax2＝﹣c，∵f（x）＝0有两个根，则a＞0，故选：A．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个非零向量，与x轴正半轴的夹角分别为和，向量满足＝，则与x轴正半轴夹角取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：由得，即与x轴正半轴的夹角的取值范围应在向量，与x轴正半轴的夹角之间，由于非零向量，与x轴正半轴的夹角分别为和，∴向量，与x轴正半轴的夹角范围是（，）∴与x轴正半轴的夹角的取值范围是（，）故选：B．16．（3分）已知函数，集合A＝{x|f（x）＝k，n∈N}，若不相等的实数a，b∈A且都有a+b∈Z，则满足条件的a，b（不考虑a，b的顺序）的组数为（）A．36B．58C．62D．74【解答】解：函数，集合A＝{x|f（x）＝k，k∈N}，若k＝0，可得x＝1，4，6，8，10，12，14，16，18；若k＝1可得x＝，，，，，，，，；若k＝2可得x＝，5，9，13，17；若不相等的实数a，b∈A且都有a+b∈Z，则k＝0有＝36个；k＝1有5×4＝20个；k＝2有＝6个．综上可得，共有36+20+6＝62．故选：C．三.简答题17．某小区打造休闲场地，将一块直角三角形空地ABC用一条长为16m的道路MN分成两部分（点M在边AB上）．分别种植花卉和铺设草坪，其中花卉面积为S1，草坪面积为S2，且S1≤S2，已知AB＝32m，AC＝24m，∠A＝90°，求S1的最大值（本题中道路都指线段）．【解答】解：如图设BN＝x，BM＝y，∵AB＝32m，AC＝24m，∠A＝90°，∴cos，sin，S1＝，在△BMN中，由余弦定理得，，162，∴xy≤40×16．∴S1＝≤192，故S1的最大值为192．18．如图，把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的高度为3，矩形的对角线和三棱柱的侧棱BB1，CC1的交点记为E，F．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求三棱柱中异面直线AE与A1F所成角的大小．【解答】解：（1）∵把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的高度为3，∴正三棱柱的底面边长为2，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V＝S△ABC×AA1＝＝3．（2）∵矩形的对角线和三棱柱的侧棱BB1，CC1的交点记为E，F，∴CF＝4，BE＝2，以A为原点，在平面ABC中过A作AB的垂线为x轴，以AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），E（0，2，2），A1（0，0，6），F（，1，4），（0，2，2），＝（），设三棱柱中异面直线AE与A1F所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝arccos，∴三棱柱中异面直线AE与A1F所成角为arccos．19．函数f（x）对任意的x∈R满足：f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+2）＝f（x），当x∈（0，1）时，．（1）求出函数在R上零点；（2）求满足不等式f（sinθ）＞﹣f（cosθ）的实数θ的范围．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，则有f（0）＝0，又由f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，当x∈（0，1）时，，该区间上不存在零点，又由函数f（x）为奇函数，则当x∈（﹣1，0）时，f（x）也不存在零点，当x＝﹣1时，f（﹣1+2）＝f（﹣1）＝f（1）又f（﹣1）＝﹣f（1），即f（﹣1）＝f（1）＝﹣f（1），则f（﹣1）＝f（1）＝0，即在区间[﹣1，1]上的零点为﹣1，1，0，又由函数f（x）是周期为2的周期函数，则f（x）在R的零点为x＝k，即{x|x＝k，k∈Z}（2）根据题意，f（x）为奇函数，则不等式f（sinθ）＞﹣f（cosθ）等价为f（sinθ）＞f（﹣cosθ），当﹣1＜x＜1时，函数的导数f′（x）＝＝＞0，即函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，则此时不等式等价为sinθ＞﹣cosθ，则不等式的解集为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z，20．已知双曲线的左右顶点分别为A，B，A（﹣2，0）．直线l：x＝1和两条渐近线交于点E，F，点E在第一象限且，P是双曲线上的任意一点．（1）求双曲线的标准方程；（2）是否存在点P使得△OEP为直角三角形？若存在，求出点P的个数；（3）直线P A，PB与直线l分别交于点M，N，证明：以MN为直径的圆必过定点．【解答】解：（1）由题意可得a＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±x，可得E（1，），F（1，﹣），即有＝2，解得b＝2，双曲线的方程为﹣＝1；（2）由E（1，），OE的斜率为，与OE垂直的直线的斜率为﹣，可得以O为直角顶点的P有两个；以E为直角顶点的P有两个；以P为直角顶点，则P在以OE为直径的圆上，圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2＝1，联立双曲线的方程﹣＝1，无实数解，综上可得满足题意的点P的个数为4；（3）证明：设P（m，n），可得3m2﹣n2＝12，由P，A，M三点共线可得k P A＝k AM，即＝，可得y M＝；由P，B，N三点共线可得k PB＝k BN，即＝，可得y N＝，即有MN的中点为（1，），|MN|＝||，即有MN为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2＝（）2，化为（x﹣1）2+y2+y﹣9＝0，由y＝0且（x﹣1）2＝9，可得x＝4或x＝﹣2，即以MN为直径的圆必过定点（﹣2，0），（4，0）．21．已知n位数满足下列条件：①各个数字只能从集合{1，2，3，4}中选取；②若其中有数字4，则在4的前面不含2．将这样的n位数的个数记为a n．（1）求a2，a3；（2）探究a n+1与a n之间的关系，求出数列{a n}的通项公式；（3）对于每个正整数k，在a k与a k+1之间插入2k﹣1个得到一个新数列{b n}，设S n是数列{b n}的前n项和，试探究S n＝2017能否成立？写出你探究得到的结论并给出证明．【解答】解：（1）先考虑两位数，若个位数为1或2或3，则每种情况下，十位上都有4种选择；若个位数为4，则十位数上有3种选择．所以，a2＝3×4+3＝15；接下来考虑三位数，若个位数是1或2或3，每种情况下符合条件的数字都有a2个；若个位数字为4，则百位和十位都不能选2，每个数位上都有三种选择，此时，有32＝9种．因此，a3＝3a2+9＝3×15+9＝54；（2）若个位数为1或2或3，则每种情况符合条件的都有a n种情况；若个位数为4，则前面n个数位上，每个数位上只能选择1、2、3种的某一个，共有3n种情况．a1＝4，综上所述，，且a1＝4．在等式的两边同时除以3n+1，可得，即，所以，数列{}是以为首项，以为公差的等差数列，所以，，∴；（3）由a n＝（n+3）•3n﹣1，可得a1＝4，a2＝15，a3＝54，a4＝189，a5＝648，a6＝2187，显然S36＝4+15+54+189+648+×（1+2+4+8+16）＝920＜2017，S37＝3107＞2017，故S n＝2017不能成立．。

2017年上海市静安区高考数学二模试卷含详解

2017年上海市静安区高考数学二模试卷一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）已知集合A={x|lnx＞0}，B={x|2x＜3}，则A∩B=．2．（5分）若实数x，y满足约束条件则z=x+3y的最大值等于．3．（5分）已知展开式中x3的系数为84，则正实数a的值为．4．（5分）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．5．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则：f（﹣1）=．6．（5分）设P，Q分别为直线（t为参数）和曲线C：（θ为参数）的点，则|PQ|的最小值为．7．（5分）各项均不为零的数列{a n}的前n项和为S n．对任意n∈N*，都是直线y=kx的法向量．若存在，则实数k 的取值范围是．8．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是．9．（5分）设a＞0，若对于任意的x＞0，都有，则a的取值范围是．10．（5分）若适合不等式|x2﹣4x+k|+|x﹣3|≤5的x的最大值为3，则实数k的值为．11．（5分）已知，数列{a n}满足，对于任意n∈N*都满足a n+2=f（a n），且a n＞0，若a20=a18，则a2016+a2017的值为．二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.12．（5分）已知a，b∈R，则“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．（5分）已知复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．i B．﹣1C．1D．﹣i14．（5分）当时，方程的根的个数是（）A．1B．2C．3D．415．（5分）曲线C为：到两定点M（﹣2，0）、N（2，0）距离乘积为常数16的动点P的轨迹．以下结论正确的个数为（）（1）曲线C一定经过原点；（2）曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；（3）△MPN的面积不大于8；（4）曲线C在一个面积为60的矩形范围内．A．0B．1C．2D．3三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（10分）如图，等腰Rt△AOB，OA=OB=2，点C是OB的中点，△AOB绕BO 所在的边逆时针旋转一周．（1）求△ABC旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S；（2）设OA逆时针旋转至OD，旋转角为θ，且满足AC⊥BD，求θ．17．（14分）设函数．（1）求函数y=f（x）的最大值和最小正周期；（2）设A、B、C为△ABC的三个内角，若，，求sinA．18．（15分）某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入g（n）是生产时间n个月的二次函数g（n）=n2+kn（k是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．（1）求前8个月的累计生产净收入g（8）的值；（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．19．（18分）设点F1、F2是平面上左、右两个不同的定点，|F1F2|=2m，动点P 满足：．（1）求证：动点P的轨迹Γ为椭圆；（2）抛物线C满足：①顶点在椭圆Γ的中心；②焦点与椭圆Γ的右焦点重合．设抛物线C与椭圆Γ的一个交点为A．问：是否存在正实数m，使得△AF1F2的边长为连续自然数．若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．20．（18分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣9，a2为整数，且对任意n∈N*都有S n≥S5．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，（n∈N*），求{b n}的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，若数列{c n}满足．是否存在实数λ，使得数列{c n}是单调递增数列．若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．2017年上海市静安区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）已知集合A={x|lnx＞0}，B={x|2x＜3}，则A∩B=（1，log23）．【考点】1E：交集及其运算．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5J：集合．【分析】分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={x|lnx＞0}={x|x＞1}，B={x|2x＜3}={x|x＜log23}，则A∩B=（1，log23）；故答案为：（1，log23）．【点评】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2．（5分）若实数x，y满足约束条件则z=x+3y的最大值等于12．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，利用数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得最大值．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立方程组，解得：A（3，3），化目标函数z=x+3y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最大，对应z最大；此时z=3+3×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查了简单的线性规划与数形结合的解题思想方法，是基础题．3．（5分）已知展开式中x3的系数为84，则正实数a的值为2．【考点】DA：二项式定理．【专题】34：方程思想；35：转化思想；5P：二项式定理．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：通项公式T r=x7﹣r=（﹣a）r x7﹣2r，+1令7﹣2r=3，解得r=2．∴84=（﹣a）2，a＞0，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题．【分析】先判断出此题是古典概型；利用排列、组合求出随机取出2个球的方法数及取出的2个球颜色不同的方法数；利用古典概型概率公式求出值．【解答】解：从中随机取出2个球，每个球被取到的可能性相同，是古典概型从中随机取出2个球，所有的取法共有C52=10所取出的2个球颜色不同，所有的取法有C31•C21=6由古典概型概率公式知P=故答案为【点评】本题考查利用排列、组合求完成事件的方法数、考查利用古典概型概率公式求事件的概率．5．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则：f（﹣1）=﹣3．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；41：有理数指数幂及根式．【专题】11：计算题．【分析】由f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），知f（0）=1+b=0，解得b=﹣1所以当x＜0时，f（x）=﹣2﹣x+2x+1，由此能求出f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），∴f（0）=1+b=0，解得b=﹣1∴f（x）=2x+2x﹣1．当x＜0时，﹣f（x）=2﹣x+2（﹣x）﹣1，∴f（x）=﹣2﹣x+2x+1，∴f（﹣1）=﹣2﹣2+1=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查函数性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意奇函数的性质的灵活运用．6．（5分）设P，Q分别为直线（t为参数）和曲线C：（θ为参数）的点，则|PQ|的最小值为．【考点】QJ：直线的参数方程．【专题】35：转化思想；4Q：参数法；5S：坐标系和参数方程．【分析】将直线（t为参数）和曲线C：（θ为参数）化为普通方程，利用圆心到直线的距离d减去半径r，可得|PQ|的最小值．【解答】解：由题意，曲线C：，消去参数θ：可得曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=5．直线（t为参数），消去参数t，可得直线的普通方程为：2x+y﹣6=0．由曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=5．可知圆心为（1，﹣2），半径r=．那么：圆心到直线的距离d==可得|PQ|的最小值为：d﹣r==；故答案为：【点评】本题主要考查了参数方程化为普通方程，以及利用平面几何知识解决最值问题．7．（5分）各项均不为零的数列{a n}的前n项和为S n．对任意n∈N*，都是直线y=kx的法向量．若存在，则实数k 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．【考点】8J：数列的极限．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意，数列的公比q满足0＜|q|＜1，对任意n∈N*，都是直线y=kx的法向量，则k=﹣=﹣+•，由此，即可求出实数k的取值范围．【解答】解：由题意，数列的公比q满足0＜|q|＜1，∵对任意n∈N*，都是直线y=kx的法向量，∴k=﹣=﹣+•，∴k∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），故答案为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．【点评】本题考查数列的极限，考查向量知识的运用，属于中档题．8．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的两对角线的交点，则PO⊥面ABCD，PO交MN于E，过A作直线l∥BD，则l⊥EA，l⊥AO，可得∠EAO 为所求二面角的平面角，即可得出结论．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的两对角线的交点，则PO⊥面ABCD，PO交MN于E，则PE=EO，又BD⊥AC，∴BD⊥面PAC，过A作直线l∥BD，则l⊥EA，l⊥AO，∴∠EAO为所求二面角的平面角．又EO=AO=a，AO=a，∴AE=a∴cos∠EAO=．∴截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是．【点评】本题考查截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值，考查学生的计算能力，正确作出二面角的平面角是关键．9．（5分）设a＞0，若对于任意的x＞0，都有，则a的取值范围是[）．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】由对于任意的x＞0，都有，转化为，求出a 的取值【解答】解：对于任意的x＞0，都有，得到，因为，所以，解得a；故答案为：[）．【点评】本题考查了恒成立的问题以及利用基本不等式求最值．10．（5分）若适合不等式|x2﹣4x+k|+|x﹣3|≤5的x的最大值为3，则实数k的值为8．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】35：转化思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】原不等式等价于|x2﹣4x+k|﹣x+3≤5，设x2﹣5x+k﹣2=0 的根分别为x1和x2，x1＜x2，x2﹣3x+k+2=0的根分别为x3和x4，x3＜x4．则分x2=3 和x4=3 两种情况，分别求得k的值．【解答】解：因为x的最大值为3，故x﹣3＜0，原不等式等价于|x2﹣4x+k|﹣x+3≤5，即﹣x﹣2≤x2﹣4x+k≤x+2，则x2﹣5x+k﹣2≤0且x2﹣3x+k+2≥0解的最大值为3，设x2﹣5x+k﹣2=0 的根分别为x1和x2，x1＜x2，x2﹣3x+k+2=0的根分别为x3和x4，x3＜x4．则x2=3，或x4=3．若x2=3，则9﹣15+k﹣2=0，k=8，若x4=3，则9﹣9+k+2=0，k=﹣2．当k=﹣2时，原不等式无解，检验得：k=8 符合题意，故答案为：8．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．11．（5分）已知，数列{a n}满足，对于任意n∈N*都满足a n+2=f （a n），且a n＞0，若a20=a18，则a2016+a2017的值为．【考点】8I：数列与函数的综合．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；54：等差数列与等比数列．【分析】确定数列的周期为4，求出a2017=，a2016=﹣1，即可得出结论．=f（a n），且a n＞0，【解答】解：由题意，，a n+2∴a3=，a5=，a7=，a9=，…，∴a2017=，=f（a n），∴a n+4=f（a n+2），∴a n+4==a n，即数列的周期为4∵a n+2a20=a18=t，则t=，∴t2+2t﹣1=0，∵t＞0，∴t=﹣1，∴a2016=﹣1，∴a2016+a2017==，故答案为：．【点评】本题考查数列与函数的综合，考查数列的周期性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.12．（5分）已知a，b∈R，则“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；4Q：指数函数与对数函数的关系．【专题】11：计算题．【分析】根据对数函数的性质由“log3a＞log3b”可得a＞b＞0，然后根据指数函数的性质由“（）a＜（）b，可得a＞b，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：∵a，b∈R，则“log3a＞log3b”∴a＞b＞0，∵“（）a＜（）b，∴a＞b，∴“log3a＞log3b”⇒“（）a＜（）b，反之则不成立，∴“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b的充分不必要条件，故选：A．【点评】此题主要考查对数函数和指数函数的性质与其定义域，另外还考查了必要条件、充分条件和充要条件的定义．13．（5分）已知复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．i B．﹣1C．1D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】34：方程思想；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z满足（i是虚数单位），∴1+z=i﹣iz，∴z====i．则z的虚部为1．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）当时，方程的根的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】作出两函数图象，求出当直线与函数相切时的斜率，根据斜率判断交点个数．【解答】解：作出y=与y=k（x+1）的函数图象，如图所示：显然当k＞0时，两图象在（﹣∞，0）上必有一交点，设y=k（x+1）与y=相切，切点坐标为（x0，y0），则，解得k=，x0=1，y0=1．∴当0时，直线y=k（x+1）与y=有两个交点，∴直线y=k（x+1）与y=有三个交点．故选：C．【点评】本题考查了方程解与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．15．（5分）曲线C为：到两定点M（﹣2，0）、N（2，0）距离乘积为常数16的动点P的轨迹．以下结论正确的个数为（）（1）曲线C一定经过原点；（2）曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；（3）△MPN的面积不大于8；（4）曲线C在一个面积为60的矩形范围内．A．0B．1C．2D．3【考点】J3：轨迹方程．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（x，y），则•=16，对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：设P（x，y），则•=16，（1）（0，0）代入，方程不成立，即曲线C一定经过原点，不正确；（2）以﹣x代替x，﹣y代替y，方程成立，即曲线C关于x、y轴对称，不正确；（3）x=0，y=，△MPN的最大面积==4＜8，故正确；（4）令y=0，可得x=±2，曲线C在一个面积为4=16的矩形范围内，不正确．故选：B．【点评】本题考查轨迹方程，考查曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（10分）如图，等腰Rt△AOB，OA=OB=2，点C是OB的中点，△AOB绕BO 所在的边逆时针旋转一周．（1）求△ABC旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S；（2）设OA逆时针旋转至OD，旋转角为θ，且满足AC⊥BD，求θ．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）利用体积、表面积公式，即可求△ABC旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S；（2）如图建立空间直角坐标系，利用AC⊥BD，，即可求θ．【解答】解：（1）；（3分）S==2π（2）（3分）（2）如图建立空间直角坐标系，得A（2，0，0），C（0，0，1），B（0，0，2）由三角比定义，得D（2cosθ，2sinθ，0），（1分）则，，，（2分），得，θ∈[0，2π），（2分）所以，．﹒﹒（1分）【点评】本题考查旋转体的体积V和表面积S，考查向量方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（14分）设函数．（1）求函数y=f（x）的最大值和最小正周期；（2）设A、B、C为△ABC的三个内角，若，，求sinA．【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式和正弦型函数的性质，即可求函数的最小正周期和最大值，（2）根据，，求解出出C，即可得sinA的值．【解答】解：（1）函数．化简可得：==．∴函数y=f（x）的最大值为，最小正周期T==π；（2）由，得，∵0＜C＜π，∴0＜C＜∴解得，．∴△ABC是直角三角形．因此，．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．18．（15分）某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入g（n）是生产时间n个月的二次函数g（n）=n2+kn（k是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．（1）求前8个月的累计生产净收入g（8）的值；（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据g（3）计算k，再计算g（5）和g（5）﹣g（4），于是g（8）=g（5）+3[g（5）﹣g（4）]；（2）求出投资前后前n个月的总收入，列不等式解出n的范围即可．【解答】解：（1）据题意g（3）=32+3k=309，解得k=100，∴g（n）=n2+100n，（n≤5）第5个月的净收入为g（5）﹣g（4）=109万元，所以，g（8）=g（5）+3×109=852万元．（2）g（n）=即﹒若不投资改造，则前n个月的总罚款3n+=n2+2n，令g（n）﹣500+100＞70n﹣（n2+2n），得：g（n）+n2﹣68n﹣400＞0．显然当n≤5时，上式不成立；当n＞5时，109n﹣20+n2﹣68n﹣400＞0，即n（n+41）＞420，又n∈N，解得n≥9．所以，经过9个月投资开始见效．【点评】本题考查了分段函数的应用，数列求和，属于中档题．19．（18分）设点F1、F2是平面上左、右两个不同的定点，|F1F2|=2m，动点P 满足：．（1）求证：动点P的轨迹Γ为椭圆；（2）抛物线C满足：①顶点在椭圆Γ的中心；②焦点与椭圆Γ的右焦点重合．设抛物线C与椭圆Γ的一个交点为A．问：是否存在正实数m，使得△AF1F2的边长为连续自然数．若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合．【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据题意，分2种情况讨论：①点P、F1、F2构成三角形，②点P、F1、F2不构成三角形，每种情况下分析可得|PF1|+|PF2|=4m，由椭圆的定义分析可得答案；（2）根据题意，由（1）可得，动点P的轨迹方程，分析可得抛物线的焦点坐标，假设存在满足条件的实数m，结合椭圆与抛物线的性质分析可得m的值，即可得答案．【解答】解：（1）证明：根据题意，分2种情况讨论：若点P、F1、F2构成三角形，又由，则．整理得，即|PF1|+|PF2|=4m（4m＞2m＞0）．若点P、F1、F2不构成三角形，即P、F1、F2三点共线；也满足|PF1|+|PF2|=4m（4m＞2m＞0）．所以动点P的轨迹为椭圆．（2）根据题意，由（1）可得，动点P的轨迹方程为．抛物线的焦点坐标为（m，0）与椭圆的右焦点F2重合．假设存在实数m，使得△AF1F2的边长为连续自然数．因为|PF1|+|PF2|=4m=2|F1F2|，不妨设||AF1|=2m+1，．由抛物线的定义可知|AF2|=2m﹣1=x A+m，解得x A=m﹣1，设点A的坐标为（m﹣1，y A），整理得7m2﹣22m+3=0，解得或m=3．所以存在实数m=3，使得△AF1F2的边长为连续自然数．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系；关键是掌握椭圆的几何性质．20．（18分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣9，a2为整数，且对任意n∈N*都有S n≥S5．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，（n∈N*），求{b n}的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，若数列{c n}满足．是否存在实数λ，使得数列{c n}是单调递增数列．若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】38：对应思想；4C：分类法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据条件S n≥S5可知{a n}前5项为负数或0，第6项后为整数，列出不等式得出d，即可得出通项公式；（2）n为偶数时，．利用此性质再根据n的奇偶性计算T n；﹣c n＞0，分离参数得出λ关于n的不等式，根据数列的单调性得出（3）令c n+1λ的最值即可得出λ的取值范围．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，由题意得，∴，∵a2∈Z，即﹣9+d是整数，∴d=2﹒∴a n=﹣9+2（n﹣1）=2n﹣11．（2）当n为偶数时，．①当n为奇数时（n≥3），T n=b1+（b2+b3）+（b4+b5）+…+（b n﹣1+b n）==．当n=1时也符合上式．②当n为偶数时，﹒∴﹒（3），假设{c n}是单调递增数列，则对任意n∈N*都成立，当n为奇数时，，令f（n）=﹣•42n，则f（n）单调递减，∴f（n）≤f（1）=﹣，∴﹒当n为偶数时，，令g（n）=•42n，则g（n）单调递增，∴g（n）≥g（2）=，∴λ＜．综上：．【点评】本题考查了等差数列的性质，数列的求和，数列单调性的判断，属于中档题．。

2017年上海市虹口区高考数学二模试卷含详解

2017年上海市虹口区高考数学二模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B=．2．（4分）复数所对应的点在复平面内位于第象限．3．（4分）已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则=．4．（4分）若方程组无解，则实数a=．5．（4分）若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a=．6．（4分）已知双曲线，它的渐近线方程是y=±2x，则a的值为．7．（5分）在△ABC中，三边长分别为a=2，b=3，c=4，则=．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）=0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是．9．（5分）函数f（x）=，如果方程f（x）=b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=．10．（5分）三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．11．（5分）在直角△ABC中，，AB=1，AC=2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．12．（5分）无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有个．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（5分）l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l215．（5分）已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零B．一定大于零C．一定小于零D．正负都有可能16．（5分）已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4三、解答题（本大题满分76分）17．（14分）如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．18．（14分）已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）=．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（﹣，）有解．19．（14分）已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．20．（16分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．21．（18分）对于定义域为R的函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：x﹣2﹣1012345y02320﹣102（1）求f{f[f（0）]}；（2）数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y=f（x）=Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．2017年上海市虹口区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B={2，3，4} ．【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4R：转化法；5J：集合．【分析】解关于B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}={x|1＜x＜5}，则A∩B={2，3，4}；故答案为：{2，3，4}．【点评】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2．（4分）复数所对应的点在复平面内位于第四象限．【考点】A5：复数的运算．【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i所对应的点在复平面内位于第四象限．故答案为：四．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（4分）已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则=4．【考点】6F：极限及其运算；85：等差数列的前n项和．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n+=n2，即可求极限．【解答】解：由题意，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n+=n2，∴==4，故答案为：4．【点评】本题考查等差数列的通项与求和，考查极限的计算，比较基础．4．（4分）若方程组无解，则实数a=±2．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】根据题意，若方程组无解，则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，由直线平行的判定方法分析可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，方程组无解，则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，则有a×a=2×2，且a×2≠2×3，即a2=4，a≠3，解可得a=±2，故答案为：±2．【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及方程与直线的关系以及直线平行的判定方法，注意关于x、y的二元一次方程组无解等价于两直线平行．5．（4分）若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a=1．【考点】DA：二项式定理．【专题】34：方程思想；35：转化思想；5P：二项式定理．=x r a7﹣r，令r=6，则=7，解【分析】（x+a）7的二项展开式的通项公式：T r+1得a．【解答】解：（x+a）7的二项展开式的通项公式：T r=x r a7﹣r，+1令r=6，则=7，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（4分）已知双曲线，它的渐近线方程是y=±2x，则a的值为2．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为：y=±ax，结合题意中渐近线方程可得a=2，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在x轴上，其渐近线方程为：y=±ax，又有其渐近线方程是y=±2x，则有a=2；故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的渐近线方程计算方法．7．（5分）在△ABC中，三边长分别为a=2，b=3，c=4，则=．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】由已知利用余弦定理可求cosA，cosB，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA，sinB的值，即可利用二倍角的正弦函数公式化简求值得解．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，b=3，c=4，∴cosA==，可得：sinA==，cosB==，sinB==，∴===．另法：====．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）=0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是[0，5] ．【考点】IT：点到直线的距离公式．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5B：直线与圆．【分析】由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值=5，直线l过P时，d取得最小值0，可得结论．【解答】解：由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值=5，直线l过P时，d取得最小值0，∴d的取值范围[0，5]，故答案为[0，5]．【点评】本题考查求d的取值范围，正确运用点到直线的距离公式是关键．9．（5分）函数f（x）=，如果方程f（x）=b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=4．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】作出f（x）的图象，由题意可得y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，计算即可得到所求和．【解答】解：作出函数f（x）=的图象，方程f（x）=b有四个不同的实数解，等价为y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，可得x1+x2=0，x3+x4=4，则x1+x2+x3+x4=4．故答案为：4．【点评】本题考查函数方程的转化思想，考查数形结合思想方法以及对称性的运用，考查运算能力，属于中档题．10．（5分）三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】35：转化思想；45：等体积法．【分析】由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，且边长相等．根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．利用体积法，求其高，即可得主视图的高．可得主视图的面积【解答】解：由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，（如图：SAB，SBC，SAC）且边长相等为，其体积为V==根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．其面积为：．设主视图的高OS=h，则=．∴h=．主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，其高为．∴得面积S=．故答案为【点评】本题考查了三视图与空间几何体的体积和表面积的计算，考虑空间想象能力，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．（5分）在直角△ABC中，，AB=1，AC=2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5A：平面向量及应用．【分析】建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0），M（，），（0＜θ＜），由已知可得，则λ+2μ=，即可求解．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0）M（，）（0＜θ＜），∵，∴（．∴，则λ+2μ=，∴当θ=时，λ+2μ最大值为，故答案为：【点评】本题考查向量的线性运算，平面向量的基本定理及其意义，建立坐标系，利用坐标运算，是一种常见的处理技巧，属于中档题．12．（5分）无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有91个．【考点】8E：数列的求和．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列；5O：排列组合．【分析】根据数列递推公式可得a10=S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，分类讨论即可求出答案．【解答】解：a10=S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，若S10≠S9，则有A102=10×9=90种，若S10=S9，则有a10=0，根据分类计数原理可得，共有90+1=91种，故答案为：91【点评】本题考查了数列的递推公式和分类计数原理，考查了学生的转化能力，属于中档题二、选择题（每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义进行判断即可．【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac成立，若a=b=c=0，满足b2=ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的定义是解决本题的关键．14．（5分）l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l2【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】2A：探究型；38：对应思想；48：分析法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：若l1∥α，l2∥α，则有l1∥l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1∥α或l1⊂α，故B、C错误；如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2∥α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2∥a，∴l1⊥l2，故D正确．故选：D．【点评】本题考查空间中的线面关系，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．15．（5分）已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零B．一定大于零C．一定小于零D．正负都有可能【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】先判断奇偶性和单调性，先由单调性定义由自变量的关系得到函数关系，然后三式相加得解．【解答】解：函数，f（﹣x）=﹣f（x），函数f（x）是奇函数，根据同增为增，可得函数f（x）是增函数，∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3x3＞﹣x1，∴f（x1）＞f（﹣x2，f（x2）＞f（﹣x3），f（x3）＞f（﹣x1）∴f（x1）+f（x2）＞0，f（x2）+f（x3）＞0，f（x3）+f（x1）＞0，三式相加得：f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0，故选：B．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的定义，关键是通过变形转化到定义模型．16．（5分）已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】根据点M（a，b）与点N（1，0）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，可以画出点M（a，b）所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个命题得结论．【解答】解：∵点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，∴（3a﹣4b+5）（3×0+4+5）＜0，即3a﹣4b+5＜0，故①错误；当a＞0时，a+b＞，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x﹣4y+5=0的距离为d，则d=，则a2+b2＞4，故③正确；当a＞0且a≠1时，表示点M（a，b）与P（1，﹣1）连线的斜率．∵当a=0，b=时，=，又直线3x﹣4y+5=0的斜率为，故的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，线性规划的简单应用，考查数学转化思想方法，是中档题．三、解答题（本大题满分76分）17．（14分）如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）以A为原点建立空间坐标系，求出，的坐标，利用向量的夹角公式得出AD，EF的夹角；，代入体积公式计算．（2）证明AE⊥平面DEF，求出AE和S△DEF【解答】解：（1）以A为坐标原点，AB、AC、AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．依题意有D（2，2，4），A（0，0，0），E（2，2，0），F（0，4，2），所以．设异面直线AD、EF所成角为α，则==，所以，即异面直线AD、EF所成角的大小为．（2）∵AB=AC=4，AB⊥AC，∴，，DE=AA1=4，==4，∴S△DEF由E为线段BC的中点，且AB=AC，∴AE⊥BC，又BB1⊥面ABC，∴AE⊥BB1，∴AE⊥面BB1C1C，∴，∴三棱锥D﹣AEF的体积为．【点评】本题考查了异面直线所成的角，棱锥的体积计算，属于中档题．18．（14分）已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）=．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（﹣，）有解．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）利用奇函数的定义，结合x∈（0，）时，f（x）=，求f （x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）分类讨论，利用函数的解析式，可得结论．【解答】解：（1）设，则，∵f（x）是奇函数，则有…（4分）∴f（x）=…（7分）（2）设，令t=tanx，则t＞0，而．∵1+t＞1，得，从而，∴y=f（x）在的取值范围是0＜y＜1．…（11分）又设，则，由此函数是奇函数得f（x）=﹣f（﹣x），0＜f（﹣x）＜1，从而﹣1＜f（x）＜0．…（13分）综上所述，y=f（x）的值域为（﹣1，1），所以m的取值范围是（﹣1，1）．…（14分）【点评】本题考查奇函数的定义，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】38：对应思想；4C：分类法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据求和公式列方程求出q，代入通项公式即可；（2）对a进行讨论，判断{b n}的单调性和首项的符号，从而得出T n的最值．【解答】解：（1）∵，∵q≠1，∴．整理得q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1（舍去）．∴．（2）b n=log a a n=（n﹣5）log a2．∴数列{b n}是以log a2为公差，以﹣4log a2为首项的等差数列，∴T n=﹣4nlog a2+log a2=•log a2．1）当a＞1时，有log a2＞0，数列{b n}是以log a2为公差，以﹣4log a2为首项的等差数列，∴{b n}是递增数列，∴T n没有最大值．由b n≤0，得n≤5．所以（T n）min=T4=T5=﹣10log a2．2）当0＜a＜1时，有log a2＜0，数列{b n}是以log a2为公差的等差数列，∴{b n}是首项为正的递减等差数列．∴T n没有最小值．令b n≥0，得n≤5，（T n）max=T4=T5=﹣10log a2．【点评】本题考查了等比数列，等差数列的性质，数列求和，属于中档题．20．（16分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由，代入椭圆方程即可求得椭圆C上的点M的“伴随点”N 的轨迹方程；（2）由题意，求得椭圆的方程，根据向量的坐标运算，即可求得的取值范围；（3）求得椭圆方程，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据向量数量积的坐标求得3+4k2=2m2，弦长公式及点到直线的距离公式，即可求得△OAB的面积，直线l的斜率不存在时，设方程为x=m，代入椭圆方程，即可求得△OAB的面积．【解答】解：（1）设N（x，y）由题意，则，又，∴，从而得x2+y2=1…（3分）（2）由，得a=2．又，得．…（5分）∵点M（x0，y0）在椭圆上，，，且，•=（x0，y0）（，）=+=x02+，由于，的取值范围是[，2]（8分）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则；1）当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0；有①…（10分）由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x1x2+4y1y2=0；整理得：②将①式代入②式得：3+4k2=2m2，…（12分）3+4k2＞0，则m2＞0，△=48m2＞0，又点O到直线y=kx+m的距离，丨AB丨==×=×，∴…（14分）2）当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（﹣2＜m＜2）联立椭圆方程得；代入3x1x2+4y1y2=0，得，解得m2=2，从而，S△OAB=丨AB丨×d=丨m丨丨y1﹣y2丨=，综上：△OAB的面积是定值．…（16分）【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于难题．21．（18分）对于定义域为R的函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：x﹣2﹣1012345 y02320﹣102（1）求f{f[f（0）]}；（2）数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y=f（x）=Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；H2：正弦函数的图象．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法．【分析】（1）根据复合函数的性质，由内往外计算可得答案．（2）根据点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，带入，化简，不难发现函数y是周期函数，即可求解x1+x2+…+x4n的值．（3）根据表中的数据，带入计算即可求解函数的解析式．【解答】解：（1）根据表中的数据：f{f[f（0）]}=f（f（3））=f（﹣1）=2．（2）由题意，x1=2，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，=f（x n）即x n+1∴x2=f（x1）=f（2）=0，x3=f（x2）=3，x4=f（x3）=﹣1，x5=f（x4）=2∴x5=x1，∴函数y是周期为4的函数，故得：x1+x2+…+x4n=4n．（3）由题意得由（1）﹣（2）∴sin（ω+φ）=sin（﹣ω+φ）∴sinωcosφ=0．又∵0＜ω＜π∴sinω≠0．∴cosφ=0而0＜φ＜π∴从而有．∴2A2﹣4A+2﹣2A2+3A=0．∴A=2．b=1，∵0＜ω＜π，∴．∴．此函数的最小正周期T==6，f（6）=f（0）=3∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=6，∴①当n=2k（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）=f（1）+f（2）+…+f（6k）=k[f（1）+f（2）+…+f（6）]=6k=3n．②当n=2k﹣1（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）=f（1）+f（2）+…+f（6k）﹣f（6k﹣2）﹣f（6k﹣1）﹣f（6k）=k[f（1）+f（2）+…+f（6）]﹣5=6k﹣5=3n ﹣2．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，求出解析式是解决本题的关键．属于中档题．。

2017年上海市崇明区高考数学二模试卷含详解

2017年上海市崇明区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．（4分）函数y=1﹣2sin2（2x）的最小正周期是．2．（4分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x＜0}，则∁U A=．3．（4分）若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．4．（4分）设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m=．5．（4分）已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．6．（4分）若实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为．7．（5分）若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=，展开式中的常数项为．（用数字作答）8．（5分）数列{a n}是等比数列，前n项和为S n，若a1+a2=2，a2+a3=﹣1，则=．9．（5分）若函数f（x）=4x+2x+1的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则g（3）=．10．（5分）甲与其四位朋友各有一辆私家车，甲的车牌尾数是0，其四位朋友的车牌尾数分别是0，2，1，5，为遵守当地4月1日至5日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案总数为．11．（5分）已知函数f（x）=，α∈[0，2π）是奇函数，则α=．12．（5分）已知△ABC是边长为的正三角形，PQ为△ABC外接圆O的一条直径，M为△ABC边上的动点，则的最大值是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．（5分）一组统计数据x1，x2，x3，x4，x5与另一组统计数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，2x5+3相比较（）A．标准差相同B．中位数相同C．平均数相同D．以上都不相同14．（5分）“|b|＜2是“直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（5分）若等比数列{a n}的公比为q，则关于x，y的二元一次方程组的解的情况下列说法正确的是（）A．对任意q∈R（q≠0），方程组都有唯一解B．对任意q∈R（q≠0），方程组都无解C．当且仅当时，方程组有无穷多解D．当且仅当时，方程组无解16．（5分）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论中正确的个数是（）①对于一切x∈（﹣∞，1）都有f（x）＞0；②存在x＞0使xa x，b x，c x不能构成一个三角形的三边长；③若△ABC为钝角三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．A．3个B．2个C．1个D．0个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（14分）在三棱锥C﹣ABO中，OA、OB、OC所在直线两两垂直，且OA=OB，CA与平面AOB所成角为60°，D是AB中点，三棱锥C﹣ABO的体积是．（1）求三棱锥C﹣ABO的高；（2）在线段CA上取一点E，当E在什么位置时，异面直线BE与OD所成的角为arccos？18．（14分）设F1、F2分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆C的左顶点，点B为椭圆C的上顶点，且|AB|=，△BF1F2为直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线y=kx+2与椭圆交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求实数k的值．19．（14分）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知AB=18米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为θ．（1）若θ=60°，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1°）（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？20．（16分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（﹣x0）=﹣f（x0），则称f（x）为“M类函数”．（1）已知函数f（x）=sin（x+），试判断f（x）是否为“M类函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在[﹣1，1]上的“M类函数”，求实数m的最小值；（3）若f（x）=为其定义域上的“M类函数”，求实数m的取值范围．21．（18分）已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．（1）若p=1，写出a4的所有值；（2）若数列{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（3）若p=，且{a2n}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．﹣12017年上海市崇明区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．（4分）函数y=1﹣2sin2（2x）的最小正周期是．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；H1：三角函数的周期性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期【解答】解：函数y=1﹣2sin2（2x）化简可得：y=1﹣2（）=cos4x．∴最小正周期T=，故答案为．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用．比较基础．2．（4分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x＜0}，则∁U A=[0，1）．【考点】1F：补集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】由已知条件我们易求出集合A，再根据补集的定义，易求出C U A．【解答】解：∵集合A={x|x≥1}∪{x|x＜0}={x|x≥1，或x＜0}∴C U A={x|0≤x＜1}=[0，1）故答案为：[0，1）【点评】本题考查的知识点是补集及其运算，其中求出满足条件的集合A是解答的关键．3．（4分）若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由z+i=，得=，则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4．（4分）设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m=16．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的焦点坐标判断双曲线的焦点位置是解决本题的关键，利用双曲线标准方程中的分母与焦点非零坐标的关系，列出关于m的方程，通过解方程求出m的值．【解答】解：由于点F（0，5）是双曲线的一个焦点，故该双曲线的焦点在y轴上，从而m＞0．从而得出m+9=25，解得m=16．故答案为：16．【点评】本题考查双曲线标准方程中的分母几何意义的认识，考查双曲线焦点位置与方程的关系、考查学生对双曲线中a，b，c关系式的理解和掌握程度，考查学生的方程思想和运算能力，属于基本题型．5．（4分）已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=AC=．在直角三角形POA中，PO===1．所以VP﹣ABCD=•SABCD•PO=×4×1=．故答案为：．【点评】本题考查正四棱锥的体积的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查数形结合思想等，是中档题．6．（4分）若实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为2．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=2x﹣y过点A时，z取得最大值，由：可得A（3，4）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值：2×3﹣4=2．故答案为：2；【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7．（5分）若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=6，展开式中的常数项为15．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】首先由二项式系数的性质列式求得n值，再写出二项展开式的通项并整理，由x得指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由题意知：2n=64，即n=6；则，由．令3﹣，得r=2．∴展开式中的常数项为．故答案为：6；15．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．8．（5分）数列{a n}是等比数列，前n项和为S n，若a1+a2=2，a2+a3=﹣1，则=．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式可得a1，q，再利用=即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=2，a2+a3=﹣1，∴q=﹣，a1（1﹣）=2，解得a1=4．则==．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）若函数f（x）=4x+2x+1的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则g（3）=0．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据反函数的性质即可求出．【解答】解：函数f（x）=4x+2x+1的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，∴4x+2x+1=3，设2x=t，则t2+2t﹣3=0，解得t=1或t=﹣2（舍去），即2x=1，解得x=0故答案为：0【点评】本题考查了反函数的定义与性质，属于基础题．10．（5分）甲与其四位朋友各有一辆私家车，甲的车牌尾数是0，其四位朋友的车牌尾数分别是0，2，1，5，为遵守当地4月1日至5日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案总数为64．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；34：方程思想；5O：排列组合．【分析】根据题意，分2步进行分析：先安排奇数日的出行，由分步计数原理可得情况数目，再安排偶数日出行，分两种情况讨论即安排甲和不安排甲的车，将其相加可得此时的情况数目；由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，4月1日至5日，有3天奇数日，2天偶数日；分2步进行分析：①、安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23=8种，②、安排偶数日出行，分两种情况讨论，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其它车，有2×2=4种，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22=4种，共计4+4=8，根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有8×8=64，故答案为：64．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步和分类计数原理，关键是掌握如何分步讨论和分类分析．11．（5分）已知函数f（x）=，α∈[0，2π）是奇函数，则α=．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】利用查奇函数的定义、诱导公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=﹣f（x），设x＞0，则﹣x2+cos（﹣x+α）=﹣x2﹣sin（x+）∴cos（﹣x+α）=﹣sin（x+）=cos（x﹣）∵α∈[0，2π），∴α=；故答案为．【点评】本题主要考查奇函数的定义、诱导公式，属于基础题．12．（5分）已知△ABC是边长为的正三角形，PQ为△ABC外接圆O的一条直径，M为△ABC边上的动点，则的最大值是3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】32：分类讨论；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．【分析】以边AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，对点M的取值情况分三种情形进行讨论，再运用数量积的坐标表示和二次函数的最值求法，求其最大值．【解答】解：【方法一】以边AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示；∵正三角形ABC的边长为2，∴A（﹣，0），B（，0），C（0，3），P（0，﹣1），Q（0，3），当点M在边AB上时，设点M（x0，0），则﹣≤x0≤，∵=（x0，1），=（﹣x0，3），∴•=﹣x02+3，∵﹣≤x0≤，∴x0=0时，•取得最大值为3；当点M在边BC上时，直线BC的斜率为﹣，直线BC的方程为：x+y﹣3=0，设点M（x0，3﹣x0），则0≤x0≤，∵=（x0，4﹣x0），=（﹣x0，x0），∴•=﹣4x02+4x0，∵0≤x0≤，∴x0=0时，•取得最大值为0；当点M在边AC上时，直线AC的斜率为，∴直线AC的方程为：x﹣y+3=0，设点M（x0，3+x0），则﹣≤x0≤0，∵=（x0，4+x0），=（﹣x0，﹣x0），∴•=﹣4x02﹣4x0，∵﹣≤x0≤0，∴当x0=﹣时，•取得最大值为3；综上，的最大值为3．【方法二】•=（+）•（+）=•+•+•+•=4+•（﹣）+•=4+•≤4﹣1=3．故答案为：3．【点评】本题重点考查了平面向量的基本运算、数量积的运算性质等知识，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．（5分）一组统计数据x1，x2，x3，x4，x5与另一组统计数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，2x5+3相比较（）A．标准差相同B．中位数相同C．平均数相同D．以上都不相同【考点】BB：众数、中位数、平均数．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数、方差、标准差和中位数，写出数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，2x5+3的平均数、方差、标准差和中位数即可．【解答】解：设数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为，方差为s2，标准差为s，中位数为x3；则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，2x5+3的平均数为2+3，方差为4s2，标准差为2s，中位数为2x3+3；∴它们的平均数不相同，标准差不同，中位数也不同．故选：D．【点评】本题考查了数据的平均数、方差、标准差和中位数的应用问题，是基础题．14．（5分）“|b|＜2是“直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】由直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交，可得＜2，解出即可判断出．【解答】解：圆x2+y2﹣4y=0配方为：x2+（y﹣2）2=4，可得圆心C（0，2），半径R=2．若直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交，则＜2，解得﹣2＜b＜6，因此“|b|＜2是“直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）若等比数列{a n}的公比为q，则关于x，y的二元一次方程组的解的情况下列说法正确的是（）A．对任意q∈R（q≠0），方程组都有唯一解B．对任意q∈R（q≠0），方程组都无解C．当且仅当时，方程组有无穷多解D．当且仅当时，方程组无解【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】由等比数列{a n}的公比为q，得到=，由此利用两直线平行与重合的性质能求出结果．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为q，∴=，∴当≠2，即q时，关于x，y的二元一次方程组无解；当且仅当，即q=时，方程组有无穷多解．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查等比数列、直线平行等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是基础题．16．（5分）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论中正确的个数是（）①对于一切x∈（﹣∞，1）都有f（x）＞0；②存在x＞0使xa x，b x，c x不能构成一个三角形的三边长；③若△ABC为钝角三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】3T：函数的值．【专题】38：对应思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】①利用指数函数的性质以a．b．c构成三角形的条件进行证明；②可以举反例进行判断；③利用函数零点的存在性定理进行判断．【解答】解：对于①，a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c，∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜＜1，0＜＜1，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）=a x+b x﹣c x=c x[+﹣1]＞c x•（+﹣1）=c x•＞0，∴①正确；对于②，令a=2，b=3，c=4，则a，b，c可以构成三角形，但2a2=8，b2=9，c2=16却不能构成三角形，∴②正确；对于③，c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0，∵f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0，∴由根的存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即∃x∈（1，2），使f（x）=0，∴③正确；综上，正确命题的个数为3个．故选：A．【点评】本题考查了函数零点的存在性定理，指数函数的性质，以及余弦定理的应用问题，是综合题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（14分）在三棱锥C﹣ABO中，OA、OB、OC所在直线两两垂直，且OA=OB，CA与平面AOB所成角为60°，D是AB中点，三棱锥C﹣ABO的体积是．（1）求三棱锥C﹣ABO的高；（2）在线段CA上取一点E，当E在什么位置时，异面直线BE与OD所成的角为arccos？【考点】L3：棱锥的结构特征；LM：异面直线及其所成的角．【专题】13：作图题；14：证明题；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）根据OA、OB、OC所在直线两两垂直，可得平面AOC，平面OCB，平面AB0是两两垂直．且OA=OB，CA与平面AOB所成角为60°，求解OC就是三棱锥C﹣ABO的高．（2）由题意，OA⊥OB，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出C，D的坐标，设出E的坐标，BE与OD所成的角为θ，利用异面直线BE与OD 所成的角为arccos，求出E的坐标即可【解答】解：（1）OA、OB、OC所在直线两两垂直，即OC⊥OA，OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB∴∠CAO就是CA与平面AOB所成角，∴∠CAO=60°设OA=OB=a，则∴．∴a=1，所以三棱锥C﹣ABO的高．（2）由题意，OA⊥OB，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，设，则，设BE与OD所成的角为θ，则．∴或λ=﹣1（舍去）所以当E是线段CA中点时，异面直线BE与OD所成的角为．【点评】本题考查了线面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（14分）设F1、F2分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆C的左顶点，点B为椭圆C的上顶点，且|AB|=，△BF1F2为直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线y=kx+2与椭圆交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求实数k的值．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用勾股定理a2+b2=3，利用焦点三角形为直角三角形可知b=c，结合b2+c2=a2可求出，进而可知椭圆C的方程；（2）通过联立直线与椭圆方程，消去y可得关于x的一元二次方程，利用直线与椭圆有交点可知，进而结合韦达定理及OP⊥OQ对于的向量内积为零，计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知，所以a2+b2=3，因为△BF1F2为直角三角形，所以b=c，又b2+c2=a2，所以，所以椭圆方程为：．（2）由，得：（1+2k2）x2+8kx+6=0，由△=（8k）2﹣4（1+2k2）•6＞0，得：，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，因为OP⊥OQ，所以=，所以k2=5，满足，所以．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（14分）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知AB=18米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为θ．（1）若θ=60°，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1°）（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？【考点】HT：三角形中的几何计算；J9：直线与圆的位置关系．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5B：直线与圆．【分析】（1）利用正弦定理，即可求解；（2）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建平面直角坐标系，求出Q的轨迹方程，即可得出结论．【解答】解：（1）△AEQ中，AQ=2EQ，∠AEQ=120°…（2分）由正弦定理，得：所以…（4分）所以所以应在矩形区域ABCD内，按照与夹角为25.7°的向量方向释放机器人乙，才能挑战成功…（6分）（2）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建平面直角坐标系，设Q（x，y）（y≥0）…（8分）由题意，知AQ=2EQ，所以所以（x﹣3）2+y2=36（y≥0）…（11分）即点Q的轨迹是以（3，0）为圆心，6为半径的上半圆在矩形区域ABCD内的部分所以当AD≥6米时，能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲…（14分）【点评】本题考查轨迹方程，考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（16分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（﹣x0）=﹣f（x0），则称f（x）为“M类函数”．（1）已知函数f（x）=sin（x+），试判断f（x）是否为“M类函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在[﹣1，1]上的“M类函数”，求实数m的最小值；（3）若f（x）=为其定义域上的“M类函数”，求实数m的取值范围．【考点】3T：函数的值；5B：分段函数的应用．【专题】23：新定义；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由f（﹣x）=﹣f（x），得：，解得，可得结论；（2）若f（x）=2x+m是定义在[﹣1，1]上的“M类函数”，则存在实数x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）=﹣f（x0），即方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解，进而可得实数m的最小值；（3）若f（x）=为其定义域上的“M类函数”，则存在实数x0，满足f（﹣x0）=﹣f（x0），进而可得实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（﹣x）=﹣f（x），得：…（1分）所以…（3分）所以存在满足f（﹣x0）=﹣f（x0）所以函数是“M类函数”…（4分）（2）因为f（x）=2x+m是定义在[﹣1，1]上的“M类函数”，所以存在实数x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）=﹣f（x0），即方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解，…（5分）令…（6分）则因为在上递增，在[1，2]上递减…（8分）所以当或t=2时，m取最小值…（9分）（3）由x2﹣2mx＞0对x≥2恒成立，得m＜1…（10分）因为若f（x）=为其定义域上的“M类函数”所以存在实数x0，满足f（﹣x0）=﹣f（x0）①当x0≥2时，﹣x0≤﹣2，所以，所以因为函数是增函数，所以m≥﹣1…（12分）②当﹣2＜x0＜2时，﹣2＜﹣x0＜2，所以﹣3=3，矛盾…（13分）③当x0≤﹣2时，﹣x0≥2，所以，所以因为函数是减函数，所以m≥﹣1…（15分）综上所述，实数m的取值范围是[﹣1，1）…（16分）【点评】本题考查的知识点是分段函数的定义，新定义“M类函数”，正确理解新定义“M类函数”的含义，是解答的关键．21．（18分）已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．（1）若p=1，写出a4的所有值；（2）若数列{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．（3）若p=，且{a2n﹣1【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．分别取n=1，2，3即可得出．（2）因为数列{a n}是递增数列，所以．可得，根据a1，2a2，3a3成等差数列，可得4a2=a1+3a3，解出即可得出．}是递增数列，所以a2n+1﹣a2n﹣1＞0，可得（a2n+1﹣a2n）+（a2n﹣（3）因为{a2n﹣1a2n﹣1）＞0，但，可得|a2n+1﹣a2n|＜|a2n﹣a2n﹣1|．可得．因为{a2n}是递减数列，同理可得a2n+1﹣a2n＜0，进而得到，．【解答】解：（1）由a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．a4有可能的值为﹣2，0，2，4…（4分）（2）因为数列{a n}是递增数列，所以．而a1=1，所以…（6分）又a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2=a1+3a3…（8分）所以3p2﹣p=0．解得或p=0=a n，这与{a n}是递增数列矛盾，所以…（10分）当p=0时，a n+1（3）因为{a2n}是递增数列，所以a2n+1﹣a2n﹣1＞0，﹣1﹣a2n）+（a2n﹣a2n﹣1）＞0①所以（a2n+1﹣a2n|＜|a2n﹣a2n﹣1|②但，所以|a2n+1由①，②知，a2n﹣a2n﹣1＞0，所以③…（13分）因为{a2n}是递减数列，同理可得a2n+1﹣a2n＜0所以④由③，④知，…（16分）所以a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=所以数列{a n}的通项公式为…（18分）【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、绝对值的性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2017年上海市奉贤区高考数学二模试卷有答案

2017年上海市奉贤区高考数学二模试卷一、填空题（第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分，满分54分）1．函数f（x）=cos（﹣x）的最小正周期是．2．若关于x，y的方程组无解，则a= ．3．已知{a n}为等差数列，若a1=6，a3+a5=0，则数列{a n}的通项公式为．4．设集合A={x||x﹣2|≤3}，B={x|x＜t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范围是．5．设点（9，3）在函数f（x）=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）= ．6．若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．7．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y﹣6=0，圆C的参数方程为，则圆心C到直线l的距离为．8．双曲线=1的左右两焦点分别是F1，F2，若点P在双曲线上，且∠F1PF2为锐角，则点P的横坐标的取值范围是．9．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为．10．已知数列{a n}是无穷等比数列，它的前n项的和为S n，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则= ．11．已知实数x、y满足方程（x﹣a+1）2+（y﹣1）2=1，当0≤y≤b（b∈R）时，由此方程可以确定一个偶函数y=f（x），则抛物线的焦点F到点（a，b）的轨迹上点的距离最大值为．12．设x1、x2、x3、x4为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6，则这样的排列有个．二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分）13．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞014．若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（x）e x+1 B．y=f（﹣x）e﹣x﹣1 C．y=f（x）e x﹣1 D．y=f（﹣x）e x+115．矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm．将其按图（1）的方法分割，并按图（2）的方法焊接成扇形；按图（3）的方法将宽BC 2等分，把图（3）中的每个小矩形按图（1）分割并把4个小扇形焊接成一个大扇形；按图（4）的方法将宽BC 3等分，把图（4）中的每个小矩形按图（1）分割并把6个小扇形焊接成一个大扇形；…；依次将宽BC n等分，每个小矩形按图（1）分割并把2n个小扇形焊接成一个大扇形．当n→∞时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为（）A．小于B．等于C．大于D．大于1.616．如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．O是△ABC的外心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，则OD：OE：OF等于（）A．a：b：c B．C．sinA：sinB：sinC D．cosA：cosB：cosC三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO=2．（1）求异面直线PC与OE所成的角的大小；（2）求二面角P﹣AC﹣E的大小．18．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．19．如图，半径为1的半圆O上有一动点B，MN为直径，A为半径ON延长线上的一点，且OA=2，∠AOB的角平分线交半圆于点C．（1）若，求cos∠AOC的值；（2）若A，B，C三点共线，求线段AC的长．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，b1=8，T n是数列{b n}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N*均有T k≥T n恒成立；（3）设，R n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*均有R n＜λ恒成立，求λ的最小值．21．已知椭圆E：，左焦点是F1．（1）若左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上．求椭圆E的方程；（2）过原点且斜率为t（t＞0）的直线l1与（1）中的椭圆E交于不同的两点G，H，设B1（0，1），A1（2，0），求四边形A1GB1H的面积取得最大值时直线l1的方程；（3）过左焦点F1的直线l2交椭圆E于M，N两点，直线l2交直线x=﹣p（p＞0）于点P，其中p是常数，设，，计算λ+μ的值（用p，a，b的代数式表示）．2017年上海市奉贤区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分，满分54分）1．函数f（x）=cos（﹣x）的最小正周期是2π．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】化函数f（x）=cos（﹣x）=sinx，写出它的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=cos（﹣x）=sinx∴f（x）的最小正周期是2π．故答案为：2π．2．若关于x，y的方程组无解，则a= 1 ．【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据题意，分析可得：若方程组无解，则直线ax+y=1与直线x+y=2平行，由直线平行的判定方法分析可得=≠，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，关于x，y的方程组无解，则直线ax+y=1与直线x+y=2平行，则有=≠，解可得a=1，故答案为：1．3．已知{a n}为等差数列，若a1=6，a3+a5=0，则数列{a n}的通项公式为a n=8﹣2n ．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=6，a3+a5=0，∴2×6+6d=0，解得d=﹣2．∴a n=6﹣2（n﹣1）=8﹣2n．故答案为：a n=8﹣2n．4．设集合A={x||x﹣2|≤3}，B={x|x＜t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出关于A的不等式，根据集合的关系求出t的范围即可．【解答】解：A={x||x﹣2|≤3}={x|﹣1≤x≤5}，B={x|x＜t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范是：t≤﹣1；故答案为：（﹣∞，﹣1]．5．设点（9，3）在函数f（x）=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）= 2x+1 ．【考点】4R：反函数．【分析】根据点（9，3）在函数f（x）=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象上，求解出a，把x用y表示出来，把x与y互换可得f（x）的反函数f﹣1（x）．【解答】解：点（9，3）在函数f（x）=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象上，∴log a（9﹣1）=3，可得：a=2，则函数f（x）=y=log2（x﹣1）那么：x=2y+1．把x与y互换可得：y=2x+1∴f（x）的反函数f﹣1（x）=2x+1．故答案为：2x+1．6．若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为 3 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．7．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y﹣6=0，圆C的参数方程为，则圆心C到直线l的距离为．【考点】QK：圆的参数方程．【分析】求出圆的普通方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：圆C的参数方程为，普通方程为x2+（y﹣2）2=4，圆心为（0，2），半径为2，∴圆心C到直线l的距离为=，故答案为．8．双曲线=1的左右两焦点分别是F1，F2，若点P在双曲线上，且∠F1PF2为锐角，则点P的横坐标的取值范围是（，+∞）∪（﹣∞，﹣）．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出∠F1PF2为直角时P的坐标，可得∠F1PF2为锐角时点P的横坐标的取值范围【解答】解：不妨以P在双曲线右支为例由PF1⊥PF2，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16，又|PF1|﹣|PF2|=2，①两边平方得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=4，∴|PF1||PF2|=6，②联立①②解得：|PF2|=，由焦半径公式得|PF2|==ex﹣a，即可得点P的横坐标为，根据对称性，则点P的横坐标的取值范围是（））．故答案为：是（））9．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为28π．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合而成，其表面积等于圆柱+圆锥在减去重叠或者多余的部分．【解答】解：由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合而成：其表面积等于圆锥侧面积+圆柱侧面+圆柱底面积．圆锥S侧=πrl=8π，圆柱侧面+圆柱底面积=4×2πr+πr2=16π+4π=20π，∴该几何体的表面积为28π．故答案为28π．10．已知数列{a n}是无穷等比数列，它的前n项的和为S n，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则= 70 ．【考点】8J：数列的极限．【分析】由题意，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数=35，公比是复数的模，即可求出极限．【解答】解：由题意，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数=35，公比是复数的模，∴==70，故答案为70．11．已知实数x、y满足方程（x﹣a+1）2+（y﹣1）2=1，当0≤y≤b（b∈R）时，由此方程可以确定一个偶函数y=f（x），则抛物线的焦点F到点（a，b）的轨迹上点的距离最大值为．【考点】K8：抛物线的简单性质；3J：偶函数；IR：两点间的距离公式．【分析】由题设条件当0≤y≤b（b∈R）时，由此方程可以确定一个偶函数y=f（x），可知方程（x﹣a+1）2+（y﹣1）2=1，关于y轴成轴对称，故有﹣a+1=0，又由圆的几何特征及确定一个偶函数y=f（x）知，y的取值范围是，由此可以求出b的取值范围，由此点（a，b）的轨迹求知，再由抛物线的性质求得其焦点坐标为（0，﹣），最大距离可求【解答】解：由题意可得圆的方程一定关于y轴对称，故由﹣a+1=0，求得a=1由圆的几何性质知，只有当y≤1时，才能保证此圆的方程确定的函数是一个偶函数，故0＜b≤1由此知点（a，b）的轨迹是一个线段，其横坐标是1，纵坐标属于（0，1]又抛物线故其焦点坐标为（0，﹣）由此可以判断出焦点F到点（a，b）的轨迹上点的距离最大距离是=故答案为12．设x1、x2、x3、x4为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6，则这样的排列有9 个．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】利用和值为6，分解为4个非负数的和，最大值为3，最小值为0，列出所有情况即可．【解答】解：x1、x2、x3、x4为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6，可得4个数的和为6，共有，0+0+3+3=6；1+1+1+3=6；0+1+2+3=6；1+1+2+2=6；所有x1、x2、x3、x4分别为：0+0+3+3=6；类型有：4，2，3，1；1+1+1+3=6；类型有：2，3，4，1；4，1，2，3；0+1+2+3=6；类型有：4，1，3，2；4，2，1，3；3，2，4，1；2，4，3，1；1+1+2+2=6；类型有：2，4，1，3；3，1，4，2；共9种．故答案为：9．二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分）13．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0【考点】71：不等关系与不等式．【分析】x，y∈R，且x＞y＞0，可得：，sinx与siny的大小关系不确定，＜，lnx+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论．【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则，sinx与siny的大小关系不确定，＜，即﹣＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．故选：C．14．若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（x）e x+1 B．y=f（﹣x）e﹣x﹣1 C．y=f（x）e x﹣1 D．y=f（﹣x）e x+1【考点】52：函数零点的判定定理；3L：函数奇偶性的性质．【分析】由x0是y=f（x）﹣e x的一个零点知f（x0）﹣=0，再结合f（x）为奇函数知f（﹣x0）+=0，从而可得f（﹣x0）+1==0．【解答】解：∵x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，∴f（x0）﹣=0，又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x0）=﹣f（x0），∴﹣f（﹣x0）﹣=0，即f（﹣x0）+=0，故f（﹣x0）+1==0；故﹣x0一定是y=f（x）e x+1的零点，故选：A．15．矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm．将其按图（1）的方法分割，并按图（2）的方法焊接成扇形；按图（3）的方法将宽BC 2等分，把图（3）中的每个小矩形按图（1）分割并把4个小扇形焊接成一个大扇形；按图（4）的方法将宽BC 3等分，把图（4）中的每个小矩形按图（1）分割并把6个小扇形焊接成一个大扇形；…；依次将宽BC n等分，每个小矩形按图（1）分割并把2n个小扇形焊接成一个大扇形．当n→∞时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为（）A．小于B．等于C．大于D．大于1.6【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】当n无限大时，扇形的半径应该无限接近10，而扇形的弧长应该无限接近8+8=16，那么圆心角=16×180÷π÷10≈92°，即可得出结论．【解答】解：将宽BC n等分，当n无限大时，扇形的半径应该无限接近10，而扇形的弧长应该无限接近8+8=16，那么圆心角=16×180÷π÷10≈92°，因此n无限大时，大扇形的圆心角应该大于90°．故选C．16．如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．O是△ABC的外心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，则OD：OE：OF等于（）A．a：b：c B．C．sinA：sinB：sinC D．cosA：cosB：cosC【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】作出△ABC的外接圆，连接OA、OB、OC，由垂径定理和圆周角定理可得∠B=∠AOC=∠AOE，同理可知∠A=∠BOD、∠C=∠AOF，若设⊙O的半径为R，可用R分别表示出OD、OE、OF，进而可得到它们的比例关系．【解答】解：如图，连接OA、OB、OC；∵∠BOC=2∠BAC=2∠BOD，∴∠BAC=∠BOD；同理可得：∠BOF=∠BCA，∠AOE=∠ABC；设⊙O的半径为R，则：OD=R•cos∠BOD=R•cos∠A，OE=R•cos∠AOE=R•cos∠B，OF=R•cos∠BOF=R•cos∠C，故OD：OE：OF=cos∠A：cos∠B：cos∠C，故选D．三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO=2．（1）求异面直线PC与OE所成的角的大小；（2）求二面角P﹣AC﹣E的大小．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）方法（1）根据中点条件可以证明OE∥AC，∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角；解△PCA可得异面直线PC与OE所成的角方法（2）如图，建立空间直角坐标系，，E （1，1，0）利用向量的夹角公式可得异面直线PC与OE所成的角（2）、方法（1）、求出平面APC的法向量，平面ACE的法向量，利用向量法求解．方法（2）、取AC中点为D，连接PD，OD，可得二面角P﹣AC﹣E的平面角即为∠PDO解Rt△PDO，可得二面角P﹣AC﹣E的大小【解答】解：（1）证明：方法（1）∵PO是圆锥的高，∴PO⊥底面圆O，根据中点条件可以证明OE∥AC，得∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角；所以异面直线PC与OE所成的角是（1）方法（2）如图，建立空间直角坐标系，，E（1，1，0）∴，，，设与夹角θ，异面直线PC与OE所成的角．（2）、方法（1）、设平面APC的法向量，∴，平面ACE的法向量，设两平面的夹角α，则，所以二面角P﹣AC﹣E的大小是arccos．方法（2）、取AC中点为D，连接PD，OD，又圆锥母线PA=AC，∴PD⊥AC，∵底面圆O上OA=OC∴OD⊥AC，又E为劣弧CB的中点，即有E∈底面圆O，∴二面角P﹣AC﹣E的平面角即为∠PDO，∵C为半圆弧AB的中点，∴∠AOC=90°又直径，∴，∵PO⊥底面圆O且OD⊂底面圆O，∴PO⊥OD，又∴△Rt△PDO中，，∴所以二面角P﹣AC﹣E的大小是arccos．18．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【解答】解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得当0＜x≤40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=﹣6x2+384x﹣40；当x＞40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=∴W=；（2）当0＜x≤40时，W=﹣6x2+384x﹣40=﹣6（x﹣32）2+6104，∴x=32时，W max=W（32）=6104；当x＞40时，W=≤﹣2+7360，当且仅当，即x=50时，W max=W（50）=5760∵6104＞5760∴x=32时，W的最大值为6104万美元．19．如图，半径为1的半圆O上有一动点B，MN为直径，A为半径ON延长线上的一点，且OA=2，∠AOB的角平分线交半圆于点C．（1）若，求cos∠AOC的值；（2）若A，B，C三点共线，求线段AC的长．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）若，利用向量的数量积公式，即可求cos∠AOC的值；（2）若A，B，C三点共线，可得，利用余弦定理，即可求线段AC的长．【解答】解：（1）设∠AOC=θ，，∴=4+1×2×cos（π﹣2θ）+1×2×cos（π﹣θ）+cosθ=﹣4cos2θ﹣cosθ+6∴﹣4cos2θ﹣cosθ+6=3，∴（舍去）（2）A，B，C三点共线，所以∴∴AC2=1+4﹣2×1×2×cosθ=2，∴．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，b1=8，T n是数列{b n}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N*均有T k≥T n恒成立；（3）设，R n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*均有R n＜λ恒成立，求λ的最小值．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）利用已知条件推出a n+1=2a n，数列{a n}为等比数列，公比q=2，求出通项公式．（2）推出，方法一：通过T1＜T2＜T3＜T4=T5＞T6＞推出结果．方法二利用错位相减法求和，当1≤n ＜4，T n+1＞T n，当n=4，T4=T5，当n＞4时，T n+1＜T n，综上，当且仅当k=4或5时，均有T k≥T n．（3）利用裂项求和，通过对任意n∈N*均有成立，求解即可．【解答】（本小题满分13分）解：（1）由S n=2a n﹣2，得S n+1=2a n+1﹣2两式相减，得a n+1=2a n+1﹣2a n∴a n+1=2a n数列{a n}为等比数列，公比q=2又S1=2a1﹣2，得a1=2a1﹣2，a1=2∴（2），方法一当n≤5时，≥0因此，T1＜T2＜T3＜T4=T5＞T6＞…∴对任意n∈N*均有T4=T5≥T n，故k=4或5．方法二（两式相减，得，=（6﹣n）•2n+1﹣12，，当1≤n＜4，T n+1＞T n，当n=4，T4=T5，当n＞4时，T n+1＜T n，综上，当且仅当k=4或5时，均有T k≥T n（3）∵∴=∵对任意n∈N*均有成立，∴，所以λ的最小值为．21．已知椭圆E：，左焦点是F1．（1）若左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上．求椭圆E的方程；（2）过原点且斜率为t（t＞0）的直线l1与（1）中的椭圆E交于不同的两点G，H，设B1（0，1），A1（2，0），求四边形A1GB1H的面积取得最大值时直线l1的方程；（3）过左焦点F1的直线l2交椭圆E于M，N两点，直线l2交直线x=﹣p（p＞0）于点P，其中p是常数，设，，计算λ+μ的值（用p，a，b的代数式表示）．【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上．列出方程组求解a，b可得椭圆方程．（2）设直线l1的方程y=tx，联立，求解，，，推出四边形A1GB1H的面积，求出最大值，然后求解直线方程．（3）设直线l2的方程y=k（x+c）交椭圆b2x2+a2y2﹣a2b2=0于M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，结合题设，，求解λ+μ即可．【解答】（本小题满分13分）解：（1）左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上．∴，所以椭圆方程（2）设直线l1的方程y=tx联立，可以计算，，∴，∴，所以直线l1的方程是（3）设直线l2的方程y=k（x+c）交椭圆b2x2+a2y2﹣a2b2=0于M（x1，y1），N（x2，y2），（b2+a2k2）x2+2a2k2cx+a2k2c2﹣a2b2=0，直线l2交直线x=﹣p（p＞0）于点P，根据题设，，得到（x1+p，y p）=λ（﹣c﹣x1，0﹣y1），（x1+p，y p）=λ（﹣c﹣x2，0﹣y2），得，==﹣=﹣==λ+μ的值为：结论。

【数学】上海市金山区2017届高考二模试卷(解析版)

上海市金山区2017届高考数学二模试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={x|x＞﹣1，x∈R}，集合B={x|x＜2，x∈R}，则A∩B=．2．（4分）已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i为虚数单位），则|z|=．3．（4分）函数f（x）=的最小正周期是．4．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a=．5．（4分）若圆柱的侧面展开图是边长为4cm的正方形，则圆柱的体积为cm3（结果精确到0.1cm3）6．（4分）已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是．7．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是．8．（5分）已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）=．9．（5分）设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为T n，则=．10．（5分）生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=．11．（5分）已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．12．（5分）对于给定的实数k＞0，函数f（x）=的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为1，则k的取值范围是．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（5分）如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④15．（5分）如图，AB为圆O的直径且AB=4，C为圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）•的最小值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣116．（5分）设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为（）A．512 B．256 C．255 D．64三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

上海市闵行区2017届高考数学二模试卷(解析版)

2017年上海市闵行区高考数学二模试卷一、填空题（本题共12小题，满分54分）1．方程log3（2x+1）=2的解是．2．已知集合M={x||x+1|≤1}，N=﹣{﹣1，0，1}，那么M∩N=．3．若复数z1=a+2i，a2=2+i（i是虚数单位），且z1z2为纯虚数，则实数a=．4．直线（t为参数）对应的普通方程是．5．若（x+2）n=x n+ax n﹣1+…+bx+c（n∈N*，n≥3），且b=4c，则a的值为．6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是7．若函数f（x）=2x（x+a）﹣1在区间[0，1]上有零点，则实数a的取值范围是．8．在约束条件|x+1|+|y﹣2|≤3下，目标函数z=x+2y的最大值为．9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这么学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是．10．已知椭圆x2+=1（0＜b＜1），其左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=2c．若此椭圆上存在点P，使P到直线x=的距离是|PF1|与|PF2|的等差中项，则b的最大值为．11．已知定点A（1，1）、动点P在圆x2+y2=1上，点P关于直线y=x的对称点为P′，向量=，O是坐标原点，则||的取值范围是．12．已知递增数列{a n}共有2017项，且各项均不为零，a2017=1，如果从{a n}中任取两项a i，a j，当i＜j时，a j﹣a i仍是数列{a n}中的项，则数列{a n}的各项和S2017=．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设、分别是两条异面直线l1、l2的方向向量，向量、的夹角的取值范围为A．l1、l2所成的角的取值范围为B，则“a∈A”是“a∈B”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件14．将函数y=sin（x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为15．某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额=车票收入﹣支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（）A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）C．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）16．设函数y=f（x）的定义域是R，对于以下四个命题：（1）若y=f（x）是奇函数，则y=f（f（x））也是奇函数；（2）若y=f（x）是周期函数，则y=f（f（x））也是周期函数；（3）若y=f（x）是单调递减函数，则y=f（f（x））也是单调递减函数；（4）若函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=f（x）﹣f﹣1（x）有零点，则函数y=f（x）﹣x也有零点．其中正确的命题共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题（本大题共5小题，共76分）17．（14分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰三角形，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，M是侧棱CC1上一点，设MC=h．（1）若BM⊥A1C，求h的值；（2）若h=2，求直线BA1与平面ABM所成的角．18．（14分）设函数f（x）=2x，函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于y 轴对称．（1）若f（x）=4g（x）+3，求x的值；（2）若存在x∈[0，4]，使不等式f（a+x）﹣g（﹣2x）≥3成立，求实数a的取值范围．19．（14分）如图所示，∠PAQ是某海湾旅游区的一角，其中∠PAQ=120°，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在直线海岸AP和AQ上分别修建观光长廊AB和AC，其中AB是宽长廊，造价是800元/米；AC是窄长廊，造价是400元/米；两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC上靠近点B 的三等分点D处建一个观光平台，并建水上直线通道AD（平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．（1）若规划在三角形ABC区域内开发水上游乐项目，要求△ABC的面积最大，那么AB和AC的长度分别为多少米？（2）在（1）的条件下，建直线通道AD还需要多少钱？20．（16分）设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于不同两点A 、B ，与圆（x ﹣5）2+y 2=r 2（r ＞0）相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．（1）若△AOB 是正三角形（O 为坐标原点），求此三角形的边长；（2）若r=4，求直线l 的方程；（3）试对r ∈（0，+∞）进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（只需直接写出结果）21．（18分）已知y=f （x ）是R 上的奇函数，f （﹣1）=﹣1，且对任意x ∈（﹣∞，0），f （x ）=f （）都成立．（1）求f （﹣）、f （﹣）的值；（2）设a n =f （）（n ∈N*），求数列{a n }的递推公式和通项公式；（3）记T n =a 1a n +a 2a n ﹣1+a 3a n ﹣2+…+a n a 1，求的值．2017年上海市闵行区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本题共12小题，满分54分）1．方程log3（2x+1）=2的解是x=4．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】把对数方程化为指数方程，进而解出．【解答】解：方程log3（2x+1）=2化为：2x+1=32，解得x=4．经过验证满足条件．∴原方程的解为：x=4．故答案为：x=4．【点评】本题考查了对数方程化为指数方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合M={x||x+1|≤1}，N=﹣{﹣1，0，1}，那么M∩N={﹣1，0} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据绝对值不等式的解法求出集合M，进而根据交集的定义求出其交集可得答案．【解答】解：分析可得，M为不等式|x+1|≤1的解集，则M={x|﹣2≤x≤0}，N={﹣1，0，1}，故集合M∩N={﹣1，0}，故答案为：{﹣1，0}．【点评】本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，再求集合的交集，属于基础题．3．若复数z1=a+2i，a2=2+i（i是虚数单位），且z1z2为纯虚数，则实数a=1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数z1=a+2i，a2=2+i（i是虚数单位），且z1z2=（a+2i）（2+i）=2a﹣2+（4+a）i为纯虚数，∴2a﹣2=0，4+a≠0，解得实数a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．直线（t为参数）对应的普通方程是x+y﹣1=0．【考点】QJ：直线的参数方程．【分析】利用加减消元法消去参数t，即可得到直线的普通方程．【解答】解：两个方程相加得x+y﹣1=0，故答案为：x+y﹣1=0．【点评】本题考查了参数方程与普通方程的转化，属于基础题．5．若（x+2）n=x n+ax n﹣1+…+bx+c（n∈N*，n≥3），且b=4c，则a的值为16．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用（x+2）n=x n+ax n﹣1+…+bx+c（n∈N*，n≥3），可得：c=2n，b=2n﹣1=n•2n﹣1，又b=4c，解得n．即可得出a．【解答】解：由（x+2）n=x n+ax n﹣1+…+bx+c（n∈N*，n≥3），可得：c=2n，b=2n﹣1=n•2n﹣1，又b=4c，∴n•2n﹣1=4×2n，解得n=8．∴a==16．故答案为：16．【点评】本题考查了二项式定理的展开式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是4π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】观察三视图．得到这个几何体为圆锥，圆锥的高为6，底面圆的直径为4，再利用勾股定理计算出母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式求解．【解答】解：这个几何体为圆锥，圆锥的高为6，底面圆的直径为4，所以圆锥的母线长==2，所以该几何体的侧面积=•4π•2=4π．故答案为：4π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．7．若函数f（x）=2x（x+a）﹣1在区间[0，1]上有零点，则实数a的取值范围是[﹣，1] ．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=2x（x+a）﹣1在区间[0，1]上有零点⇔方程x+a=在区间[0，1]上有解．⇔函数y=x+a，y=的图象在区间[0，1]上有交点．如图在同一坐标系内画出函数y=x+a，y=的图象，结合图象可得【解答】解：函数f（x）=2x（x+a）﹣1在区间[0，1]上有零点⇔方程x+a=在区间[0，1]上有解．⇔函数y=x+a，y=的图象在区间[0，1]上有交点．如图在同一坐标系内画出函数y=x+a，y=的图象，结合图象可得：0+a≤（）0，且1+a≥（）1⇒﹣≤a≤1实数a的取值范围是[﹣，1]故答案为：[﹣，1]，【点评】本题考查了函数的零点，函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．8．在约束条件|x+1|+|y﹣2|≤3下，目标函数z=x+2y的最大值为9．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【解答】解：由z=x+2y得y=x+z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=x由图象可知当直线经过点A（﹣1，5）时，直线在y轴的截距最大，此时z也最大，代入目标函数z=﹣1+2×5=9，即目标函数的最大值为9；故答案为：9．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这么学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是．【考点】CF：几何概型．【分析】这名学生在上学路上，在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这么学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯是指事件“这名学生在第一个路口没有遇到红灯，且在乙路口遇到红灯”，从而可求概率．【解答】解：在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这么学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯，即第一个路口遇到绿灯，第二个路口遇到红灯，由相互独立事件的同时发生得到所以概率为；故答案为：．【点评】本题以实际问题为载体，考查相互独立事件的概率，考查学生分析解决问题的能力．10．已知椭圆x2+=1（0＜b＜1），其左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=2c．若此椭圆上存在点P，使P到直线x=的距离是|PF1|与|PF2|的等差中项，则b的最大值为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆上存在点P，使P到直线x=的距离是|PF1|与|PF2|的等差中项，求出P的横坐标，进而可得c的范围，即可得出结论．【解答】解：设P（x，y），则∵椭圆上存在点P，使P到直线x=的距离是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴|PF1|+|PF2|=2（﹣x）=2a，∴x=﹣a，∴﹣a≤﹣a≤a，∴≤2a=2，∴c，∴1﹣b2≥，∵0＜b＜1，∴0＜b≤．∴b的最大值为．故答案为．【点评】本题考查椭圆的定义，等差中项的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知定点A（1，1）、动点P在圆x2+y2=1上，点P关于直线y=x的对称点为P′，向量=，O是坐标原点，则||的取值范围是[，] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】用坐标表示出||，利用直线与圆的位置关系，即可求出||的取值范围．【解答】解：设P（x，y），则P′（y，x），∵=，∴Q（y+1，x+1），∴=（y﹣x+1，x﹣y+1），∴||=，设t=x﹣y，则∵x2+y2=1，∴≤1，∴|t|，∴||=∈[，]．故答案为[，]．【点评】本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．已知递增数列{a n}共有2017项，且各项均不为零，a2017=1，如果从{a n}中任取两项a i，a j，当i＜j时，a j﹣a i仍是数列{a n}中的项，则数列{a n}的各项和S2017= 1009．【考点】8E：数列的求和．【分析】递增数列{a n}共有2017项，且各项均不为零，a2017=1，可得0＜a1＜a2＜…＜a2016＜a2017=1，又a1＜0，可得1﹣a1＞1，因此0＜a2017﹣a2016＜a2017﹣a2015＜…＜a2017﹣a1＜1，根据上述每项均在数列{a n}中，可得a2017﹣a2016=a1，a2017﹣a2015=a2，…，a2017﹣a1=a2016．进而得出答案．【解答】解：∵递增数列{a n}共有2017项，且各项均不为零，a2017=1，∴0＜a1＜a2＜…＜a2016＜a2017=1，若a1＜0，则1﹣a1＞1，∴0＜a2017﹣a2016＜a2017﹣a2015＜…＜a2017﹣a1＜1，且上述每项均在数列{a n}中，∴a2017﹣a2016=a1，a2017﹣a2015=a2，…，a2017﹣a1=a2016．即a2016+a1=a2015+a2=…=a1+a2016=a2017=1．数列{a n}的各项和2S2017=2017+1．S2017=1009．故答案为：1009．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设、分别是两条异面直线l1、l2的方向向量，向量、的夹角的取值范围为A．l1、l2所成的角的取值范围为B，则“a∈A”是“a∈B”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别求出A、B的范围根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：向量、的夹角的取值范围为A，故A∈[0，π]，l1、l2所成的角的取值范围为B，则B=[0，]，故“a∈A”是“a∈B”必要不充分条件，故选：C．【点评】本题考查了角的范围，考查集合的包含关系，是一道基础题．14．将函数y=sin（x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将x=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．【解答】解：将x=代入得：t=sin=，进而求出平移后P′的坐标，将函数y=sin（x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=±+2kπ，k∈Z，则s=±+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，难度中档．15．某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额=车票收入﹣支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（）A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）C．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）【考点】3O：函数的图象．【分析】设目前函数为y=kx﹣b，得出建议后的函数，比较建议前后的斜率与截距即可得出答案．【解答】解：设目前车票价格为k，支出费用为b，则y=kx﹣b（k＞0），若按建议（I）减少支出费用，设减少后的支出费用为b1（b1＜b），则y=kx﹣b1，∴图①反映了建议（I）；若提高车票价格，设提高后的车票价格为k1（k1＞k），则y=k1x﹣b，∴图③反映了建议（II）．故选B．【点评】本题考查了函数图象的变换，属于中档题．16．设函数y=f（x）的定义域是R，对于以下四个命题：（1）若y=f（x）是奇函数，则y=f（f（x））也是奇函数；（2）若y=f（x）是周期函数，则y=f（f（x））也是周期函数；（3）若y=f（x）是单调递减函数，则y=f（f（x））也是单调递减函数；（4）若函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=f（x）﹣f﹣1（x）有零点，则函数y=f（x）﹣x也有零点．其中正确的命题共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】3K：函数奇偶性的判断．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：（1）若y=f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），∴f（f（﹣x））=f（﹣f（x））=﹣f（f（x）），也是奇函数，正确；（2）若y=f（x）是周期函数，则f（x+T）=f（x），f（f（x+T））=f（f（x））也是周期函数，正确；（3）若y=f（x）是单调递减函数，则y=f（f（x））是单调递增函数，不正确；（4）若函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=f（x）﹣f﹣1（x）有零点，即y=f（x）与y=f﹣1（x）有交点，则函数y=f（x）﹣x也有零点，正确．故选C．【点评】本题考查函数的性质，考查反函数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共76分）17．（14分）（2017•松江区二模）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰三角形，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，M是侧棱CC1上一点，设MC=h．（1）若BM⊥A1C，求h的值；（2）若h=2，求直线BA1与平面ABM所成的角．【考点】MI：直线与平面所成的角；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用=0，求h的值；（2）求出平面ABM的一个法向量，利用夹角公式，求直线BA1与平面ABM所成的角．【解答】解：（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B（2，0，0），M（0，2，h），A1（0，0，4），C（0，2，0）=（﹣2，2，h），=（0，2，﹣4）由BM⊥A1C得，=0，即2×2﹣4h=0解得h=1；（2）M（0，2，2），=（2，0，0），=（0，2，2），=（﹣2，0，4），设平面ABM的一个法向量为=（x，y，z），则，取=（0，1，﹣1），设直线BA1与平面ABM所成的角为θ，则sinθ=||=，∴直线BA1与平面ABM所成的角为arcsin．【点评】本题考查棱柱的结构特征，直线与平面所成的角，考查转化思想，计算能力，是中档题．18．（14分）（2017•松江区二模）设函数f（x）=2x，函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）若f（x）=4g（x）+3，求x的值；（2）若存在x∈[0，4]，使不等式f（a+x）﹣g（﹣2x）≥3成立，求实数a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；3T：函数的值．【分析】（1）依题意知2x=4•2﹣x+3，整理得：22x﹣3•2x﹣4=0，解之即可求得x 的值；（2）由f（a+x）﹣g（﹣2x）≥3得2a+x﹣22x≥3，移项可得2a+x≥22x+3⇒2a≥2x+3•2﹣x，利用基本不等式可得2x+3•2﹣x≥2，当且仅当2x=3•2﹣x，即x=log43时取等号，继而可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=4g（x）+3得2x=4•2﹣x+3．…2分整理得：22x﹣3•2x﹣4=0，所以2x=4或2x=﹣1（舍）．…4分所以x=2．…6分（2）由f（a+x）﹣g（﹣2x）≥3得2a+x﹣22x≥3…8分即2a+x≥22x+3⇒2a≥2x+3•2﹣x…10分而2x+3•2﹣x≥2，当且仅当2x=3•2﹣x，即x=log43∈[0，4]时取等号，…12分所以2a≥2，所以a≥1+log23．…14分【点评】本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与函数与方程思想，考查基本不等式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•松江区二模）如图所示，∠PAQ是某海湾旅游区的一角，其中∠PAQ=120°，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在直线海岸AP和AQ上分别修建观光长廊AB和AC，其中AB是宽长廊，造价是800元/米；AC是窄长廊，造价是400元/米；两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个观光平台，并建水上直线通道AD（平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．（1）若规划在三角形ABC区域内开发水上游乐项目，要求△ABC的面积最大，那么AB和AC的长度分别为多少米？（2）在（1）的条件下，建直线通道AD还需要多少钱？【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）设AB=xm，AC=ym，则800x+400y=1200000，即2x+y=3000，表示面积，利用基本不等式，可得结论；（2）利用向量方法，求出AD，即可得出结论．【解答】解：（1）设AB=xm，AC=ym，则800x+400y=1200000，即2x+y=3000，S△ABC====281250m3，当且仅当2x=y，即x=750m，y=1500m时等号成立，∴△ABC的面积最大，那么AB和AC的长度分别为750米和1500米；（2）在（1）的条件下，=+，∴==250000，∴||=500，∴1000×500=500000元，即建直线通道AD还需要50万元．【点评】本题考查三角形中面积的求法，考查向量知识的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20．（16分）（2017•松江区二模）设直线l与抛物线y2=4x相交于不同两点A、B，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点．（1）若△AOB是正三角形（O为坐标原点），求此三角形的边长；（2）若r=4，求直线l的方程；（3）试对r∈（0，+∞）进行讨论，请你写出符合条件的直线l的条数（只需直接写出结果）【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（1）若△AOB是正三角形（O为坐标原点），求出A的坐标，即可求此三角形的边长；（2）若r=4，设直线l：x=ky+b，分类讨论，即可求直线l的方程；（3）根据直线与圆的位置关系，可得结论．【解答】解：（1）设△AOB的边长为a，则A（a，），∴，∴；（2）设直线l：x=ky+b，k=0时，x=1，x=9符合题意；k≠0时，方程联立可得y2﹣4ky﹣4b=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4k，x1+x2=4k2+2b，∴M（2k2+b，2k），∵k AB•k OM=﹣1，∴k OM==﹣k，∴b=3﹣2k2，∴△=16（k2+b）＞0，∴0＜k2＜3，∵4=r==2，∴k2=3∉（0，3），舍去，综上所述，直线l的方程为x=1，x=9；（3）2＜r＜4时，直线l有4条；r∈（0，2]∪[4，5）时，2条；r∈[5，+∞），1条．【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（18分）（2017•闵行区二模）已知y=f（x）是R上的奇函数，f（﹣1）=﹣1，且对任意x∈（﹣∞，0），f（x）=f（）都成立．（1）求f（﹣）、f（﹣）的值；（2）设a n=f（）（n∈N*），求数列{a n}的递推公式和通项公式；（3）记T n=a1a n+a2a n﹣1+a3a n﹣2+…+a n a1，求的值．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）对等式f（x）=f（），令x=﹣1，则f（﹣1）=﹣，可得，f（﹣）=﹣．令x=﹣，可得f（﹣）=﹣2=2，解得．=a n，利（2）令x=﹣，则=﹣n，=，可得a n+1用a n=••…••a1，即可得出a n．（3）T n=a1a n+a2a n﹣1+a3a n﹣2+…+a n a1=++…+==．进而得出．【解答】解：（1）对等式f（x）=f（），令x=﹣1，则f（﹣1）=﹣=﹣1，可得=1，∴f（﹣）=﹣=﹣1．令x=﹣，可得f（﹣）=﹣2=2=﹣1，解得=﹣．=a n，（2）令x=﹣，则=﹣n，∴=，∴a n+1又a 1=f （1）=﹣f （1）=1．∴a n =••…••a 1=•…•1×1=．∴a n =．（3）T n =a 1a n +a 2a n ﹣1+a 3a n ﹣2+…+a n a 1=++…+==．∴T n +1=．∴==0．【点评】本题考查了函数关系式、数列递推关系、“累乘求积“方法、排列与组合计算公式、二项式定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

【教师版本】2017上海高三数学二模难题的副本

2017年上海市高三二模数学填选难题解析2017-4-251. 虹口11. 在直角△ABC 中，2A π∠=，1AB =，2AC =，M 是△ABC 内一点，且12AM =，若AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，则2λμ+的最大值为【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，问题可以简化，(0,0)A 、(0,1)B 、(2,0)C 、(cos ,sin )M θθ(0,)2πθ∈，11(cos ,sin )22AM θθ=u u u u r ，AB AC λμ+u u u r u u u r(0,1)(2,0)(2,)λμμλ=+=，112sin cos )22242πλμθθθ+=+=+≤.12. 无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n 都有12310{,,,,}n S k k k k ∈L ，10a 的可能取值最多．．有_____ 个【解析】若910S S =，100a =；若910S S ≠，在12310{,,,,}k k k k L 中有序任取2个作为9S 和10S ，10109a S S =-，有21090P =种取法；所以综上最多有91个16. 已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450x y -+>；② 当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③ 221a b +>；④ 当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞U .正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】① ∵将(0,1)N -代入304(1)50⨯-⨯-+>，∴将(,)M a b 代入3450x y -+<；② ∵(,)M a b 取不到点5(0,)4，∴没有最小值；③ ||MO 大于点O 到直线3450x y -+=的距离1d =，∴221a b +>； ④ 可看作点(,)M a b 与点(1,1)-连线的斜率，数形结合可知斜率范围为93(,)(,)44-∞-+∞U ；③④正确，选B2. 黄浦11. 三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是【解析】1233APC APC V S AB S ∆∆=⋅⋅=，12APC S AC AP ∆≤⋅⋅∵4AP AC +=≥，∴4AC AP ⋅≤，122APC S AC AP ∆≤⋅⋅≤，∴4(0,]3V ∈12. 对于数列{}n a ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是以T 为周期的周期数列，设1b m =(01)m <<，对任意正整数n 有11,11,01n n n n nb b b b b +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，若数列{}n b 是以5为周期的周期数列，则m 的值可以是（只要求填写满足条件的一个m 值即可）【解析】1b m =，21b m =，311b m =-. 观察可得12m =不符（1）当1(0,)2m ∈，412b m =-；（2）当1(,1)2m ∈，41m b m =-；① 1(0,)3m ∈，513b m =-； ② 11[,)32m ∈，512m b m =-；③ 1(,1)2m ∈，5211m b m -=-；a. 当1(0,)4m ∈，614b m =-；614b m m =-=，解得2m =，舍去负值b. 当11[,)43m ∈，613mb m m==-，解得0m =，舍去c. 当11[,)32m ∈，63112m b m m-==-，解得m =d. 当12(,]23m ∈，6121mb m m -==-，解得m =，舍去 e. 当2(,1)3m ∈，6321m b m m-==-，解得1m =，舍去负值综上，2m =或m =1m = 16. 如图所示，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且AP x AD y AE =+u u u r u u u r u u u r(,)x y R ∈，则x y +取值范围是（）A. [1,4+B. [4-+C. [1,2+D. [2-+【解析】如图所示，当P 点位于右图位置时，x y +最大，此时2MA =，MD MP ==2AP AH AG ===，∴2x y ==+，4x y +=+P 位于线段MA 与M e 的交点时，可得最小值4x y +=- B.3. 杨浦11. 已知0a >，0b >，当21(4)a b ab++取到最小值时，b = 【解析】2221111(4)16888168a b a b ab ab ab ab ab ab ab ab ++=+++≥++=+≥，当1164ab ab==且4a b =时等号成立，即1a =，14b =12. 设函数()||||a f x x x a =+-，当a 在实数范围内变化时，在圆盘221x y +≤内，且不在任一()a f x的图像上的点的全体组成的图形的面积为【解析】根据题意，()||||||a f a a a a a =+-=，即当a 在实数范围内变化时，图像一个分段点为(,||)a a ，该点轨迹为||y x =，∴结合图像可得图像面积为34π 16. 对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正常数a 、b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x R ∈均成立，则称()f x是“控制增长函数”，在以下四个函数中：① 2()1f x x x =++；② ()f x = 2()sin()f x x =；④()sin f x x x =⋅.是“控制增长函数”的有（）A. ②③B. ③④C. ②③④D. ①②④ 【解析】① 2()()2f x a f x ax a a R +-=++∈，不成立；② 存在1a =，1b =，使得不等式(1)()1f x f x +-≤恒成立；③ 存在2b =，使得()()2f x a f x +-≤恒成立；③ 存在2a π=，2b π=，使得(2)()(2)sin(2)sin 2sin 2f x f x x x x x x πππππ+-=++-=≤恒成立；故选C.4. 奉贤11. 已知实数x 、y 满足方程22(1)(1)1x a y -++-=，当0y b ≤≤()b R ∈时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =-的焦点F 到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为【解析】根据题意，∵偶函数，∴1a =，∵是一个函数，∴[0,1]b ∈，即点(,)a b 的轨迹是一条线段，抛物线的焦点1(0,)2F -，数形结合可知，焦点F 到(1,1)距离最远，为212. 设1x 、2x 、3x 、4x 为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足1234|1||2||3||4|6x x x x -+-+-+-=，则这样的排列有个【解析】若11x =，2x 、3x 、4x 共有6种排列，一一代入，没有符合的情况；若12x =，2x 、3x 、4x 有6种排列，符合情况的有2431、2413、2341三种排列；若13x =，2x 、3x 、4x 有6种排列，符合情况的有3142、3241两种排列；若14x =，2x 、3x 、4x 有6种排列，符合情况的有4123、4132、4213、4231四种排列；综上，符合条件的排列共有9个16. 如图，在△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，O 是△ABC 的外心，OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于（）A. ::a b cB.111::a b cC. sin :sin :sin A B CD. cos :cos :cos A B C【解析】如右图所示，::::cos 1:cos 2:cos 3OD OE OFOD OE OF OB OC OA==∠∠∠，根据圆的性质， 112BOC A ∠=∠=∠，同理2B ∠=∠，3C ∠=∠，故选D5. 长宁金山青浦11. 已知函数()||f x x x a =-，若对任意1[2,3]x ∈，2[2,3]x ∈，12x x ≠，恒有1212()()()22x x f x f x f ++>，则实数a 的取值范围为【解析】根据题意，()||f x x x a =-在[2,3]上为上凸函数（图像上表现为在[2,3]上的函数图象在两区间端点连线的上方），数形结合可得3a ≥ 12. 对于给定的实数0k >，函数()kf x x=的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围是【解析】根据题意，即函数图像上至少有一点到原点的距离小于2，∵2222k x k x+≥，2<，解得(0,2)k ∈. 或者数形结合，这个距离原点最近的点在y x =上，代入2<，解得(0,2)k ∈.16. 设1x 、2x 、…、10x 为1、2、…、10的一个排列，则满足对任意正整数m 、n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（）A. 512B. 256C. 255D. 64【解析】直接思考这个问题会有难度，我们可以改变一些条件，试着从简单开始① 比如前9个数字固定排列为1、2、3、4、5、6、7、8、9，那么最后一个数字只能是10，这时候符合条件的排列个数为1；② 放宽条件，比如前8个数字固定排列为1、2、3、4、5、6、7、8，那么最后2个数字可以是9、10，也可以是10、9，符合条件的排列个数为2；③ 再放宽条件，比如前7个数字固定排列为1、2、3、4、5、6、7，那么最后3个数字可以是8、9、10，或8、10、9，或9、8、10，或10、9、8，符合条件的排列个数为4；……，继续放宽条件，当前6个数字固定排列为1、2、3、4、5、6时，符合的有8个；规律出来了，以此类推下去，……，当前2个数字固定为1、2时，符合的有72个，当第一个数字固定为1时，符合的有82个，当这列数全排列时，符合的有92个.6. 浦东11. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++--=*()n N ∈，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为【解析】根据题意，112n n a a +=或11n n a a +=，取极端情况，1982a a =，81019112a a a a ===∴2812a =，41216a ==. 12. 已知平面上三个不同的单位向量a r 、b r 、c r 满足12a b b c ⋅=⋅=r r r r ，若e r 为平面内的任意单位向量，则||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅r r r r r r的最大值为【解析】如图构造，1()2a =r ，(0,1)b =r，1)2c =r ，设(cos ,sin )e θθ=r ，根据题意，||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅=r r r r r r11|sin |2|sin |3|sin |2222θθθθθ-+++，要取得最大，∴||2||3||3sin a e b e c e θθ⋅+⋅+⋅=+≤r r r r r r16. 已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（） A. (3,8) B. (2,16) C. (4,8)D. 【解析】33221(1,4)a q a a a ==⋅∈，233111(2,)a q a a a ==⋅∈+∞，综上，q ∈，∴43a a q =⋅∈，故选D.7. 闵行11. 已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP '=u u u r u u u r，O 是坐标原点，则||PQ uuu r的取值范围是【解析】设(cos ,sin )P θθ'，∵OQ OA AQ OA OP '=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，∴Q 坐标为(cos 1,sin 1)θθ++，∵(sin ,cos )P θθ，∴222||(cos 1sin )(sin 1cos )PQ θθθθ=+-++-u u u r22(sin cos )242sin 2[2,6]θθθ=-+=-∈ ∴||PQ uuu r的取值范围是.12. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项i a 、j a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =【解析】∵递增，∴1232017a a a a <<<⋅⋅⋅<，∵当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项， ∴213141201710a a a a a a a a <-<-<-<⋅⋅⋅<-，且1j a a -都是数列{}n a 中的项， ∴201712016a a a -=、201612015a a a -=、…、211a a a -=，∴{}n a 是首项为1a ，公差为1a 的等差数列，根据201711201620171a a d a =+==，可得112017a d ==，∴20171009S =. 16. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题： ① 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； ② 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数； ③ 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数；④ 若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点. 其中正确的命题共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】① ∵()y f x =是奇函数，∴()()f x f x -=-， ∴(())(())(())f f x f f x f f x -=-=-，∴①正确； ②()()f x T f x +=，(())(())f f x T f f x +=，②正确； ③ 当x 增大，()f x 减小，(())f f x 增大，∴③错误； ④ 反例如图所示，④错误；故①②正确，选B.8. 普陀11. 设0a <，若不等式22sin (1)cos 10x a x a +-+-≥对于任意的R x ∈恒成立，则a 的取值范围是【解析】由22sin (1)cos 10x a x a +-+-≥得22cos (1)cos 0x a x a -+-+≥，设cos t x =，即22()(1)0f t t a t a =+--≤对[1,1]t ∈-恒成立，∴22(1)40a a ∆=-+>，2(1)110f a a -=+--≤，2(1)110f a a =+--≤，0a <，综上解得2a ≤-.12. 在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点. 若△ABC 的面积为1，则2MB MC BC ⋅+u u u r u u u u r u u u r 的最小值为【解析】取BC 中点F ，12MB MF FB MF BC =+=-u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r，12MC MF FC MF BC =+=+u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r，∴2MB MC BC ⋅+=u u u r u u u u r u u u r2222213|||44MF BC BC MF BC MF BC -+=+≥⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r∵11||||22MBC MF BC S ∆⋅≥=u u u u r u u u r ，即||||1MF BC ⋅≥u u u u r u u u r ，∴2MB MC BC ⋅+≥u u u r u u u u r u u u r16. 关于函数2sin y x =的判断，正确的是（）A. 最小正周期为2π，值域为[1,1]-，在区间[,]22ππ-上是单调减函数B. 最小正周期为π，值域为[1,1]-，在区间[0,]2π上是单调减函数C. 最小正周期为π，值域为[0,1]，在区间[0,]2π上是单调增函数D. 最小正周期为2π，值域为[0,1]，在区间[,]22ππ-上是单调增函数【解析】21cos2sin 2xy x -==，T π=，排除A 、D ，2sin 0y x =≥，排除B ，故选C. 9. 徐汇11. 如图：在△ABC 中，M 为BC 上不同于B 、C 的任意一点，点N 满足2AN NM =u u u ru u u u r，若AN xAB y AC =+u u u ru u u ru u u r，则229x y +的最小值为【解析】23AN xAB y AC AM =+=u u u r u u u r u u u ru u u u r ，∴3322AM xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r ，∵B 、M 、C 三点共线，∴33122x y +=，即23x y +=，∴222222299()1012435x y x x x x +=+-=-+≥.12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”，已知定义域为[,]a b 的函数2()|3|h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”， ()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -= 【解析】∵()f x 、()g x 、()h x 都是单调函数，且根据题意，(())f h x 与()f x 值域相同，(())h g x 与()h x 值域相同，∴()[,]g x a b ∈，∵()f x 与()g x 互为反函数，∴()f x 定义域为[,]a b ，∴()[,]h x a b ∈，∴()h x 的定义域和值域均为[,]a b ，根据数形结合，a 、b 为23x x=-两解，∴1a =，2b =，1b a -=. 16. 过椭圆2214x y m m +=-(4)m >右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（）A. 一条射线B. 两条射线C. 双曲线的一支D. 抛物线【解析】数形结合，设椭圆左焦点为F '，FQ 中点为P ，联结OP 、F Q '，∴OP 是中位线，∴2()2()2F Q FQ PO PF PO PA '-=-=-=，这符合双曲线的定义，故选C.10. 静安10. 若适合不等式2|4||3|5x x k x -++-≤的x 最大值为3，则实数k 的值为【解析】当3x =时，2|4||3|5x x k x -++-=，即|3|5k -=，∴8k =，2k =-. ① 当8k =，2|48||3|5x x x -++-≤，即243|3|0x x x -++-≤，若3x >，则230x x -≤，得03x ≤≤，不符，若3x ≤，2560x x -+≤，解得23x ≤≤， ∴8k =时，不等式的解为23x ≤≤，符合题意.② 当2k =-，2|42||3|5x x x --+-≤，找个反例即可，4x =符合不等式，但大于3，∴2k =-不符，综上，8k =.11. 已知1()1x f x x -=+，数列{}n a 满足112a =，对于任意*n N ∈都满足2()n n a f a +=，且0n a >，若2018a a =，则20162017a a +=【解析】∵2018a a =，∴18181811a a a -=+，解得20181a a ==，同理22242016a a a ==⋅⋅⋅=1=. 根据112a =，∴313a =，∴512a =，713a =，…，可归纳出4112k a +=，4313k a +=∴20174504112a a ⨯+==， ∴20162017a a +=11122-+=15. 曲线C 为：到两定点(2,0)M -、(2,0)N 的距离乘积为常数16的动点P 的轨迹，以下结论： ① 曲线C 经过原点；② 曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称；③ △MPN 的面积不大于8；④ 曲线C 在一个面积为60的矩形范围内. 其中正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】① 设原点为O ，22416OM ON ⋅=⨯=≠，∴不经过原点；②列出轨迹的表达式，16=，可知若点(,)P x y 在曲线上，代入1(,)P x y -、 2(,)P x y -、3(,)P x y --，方程均成立，∴既关于x 轴对称，也关于y 轴对称，关于原点对称；③ 11sin 822S PM PN P PM PN =⋅⋅∠≤⋅=；④ 当0x =时，y =±0y =时，x =±，由点(±±构成的矩形面积为60>；∴只有③正确，故选B.【附】16=的精确图像11. 崇明11. 已知函数22sin(),0()3cos(),0x x x f x x x x πα⎧++>⎪=⎨⎪-++<⎩，[0,2)απ∈是奇函数，则α=【解析】当0x >，则0x -<，∵()()f x f x -=-，∴2()cos()f x x x α-=-+-+，2()sin()3f x x x π-=--+，∴5cos()sin()sin()cos()336x x x x πππα-+=-+=--=+，即5cos()cos()6x x πα-=+在定义域上恒成立，∴526k παπ=-+，∴76πα=. 12. 已知△ABC 是边长为PQ 为△ABC 外接圆O 的一条直径，M 为△ABC 边长的动点，则PM MQ ⋅u u u u r u u u u r的最大值是【解析】()()PM MQ PO OM MO OQ ⋅=+⋅+u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r 22()()PO OM PO OM PO OM =+⋅-=-u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，∵边长为O 半径为2，即24PM MQ OM ⋅=-u u u u r u u u u r u u u u r ，OM 最小值为1 即PM MQ ⋅u u u u r u u u u r的最大值是316. 设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>，若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，则下列结论：① 对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；② 存在0x >使x xa 、x b 、x c 不能构成一个三角形的三边长；③ 若△ABC 为钝角三角形，存在(1,2)x ∈，使()0f x =. 其中正确的个数为（） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个【解析】① ()[()()1]x x x a b f x c c c =+-，设()()()1x x a b g x c c =+-，可知(0,1)a c ∈，(0,1)bc ∈，∴()g x 单调递减，当1x <，()(1)10a bg x g c c>=+->，∴()0f x >，正确；② 举反例，令2a =，3b =，4c =，存在3x =，3333234⋅+<，不能构成三角形；③ △ABC 为钝角三角形，∴2220a b c +-<，即(2)0f <，∵0a b c +->，即(1)0f >，∴()f x 在(1,2)上必有零点，正确. 综上所述，正确个数为3个，选A.12. 松江11. 如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q 为小圆上的点，则PA PQ ⋅u u u r u u u r的取值范围是【解析】结合向量数量积的几何意义，PA PQ ⋅u u u r u u u r 等于||PA u u u r 乘以PQ uuu r 在PA u u u r方向上的投影，∵2OP =，1OA =，∴||PA =u u u r ，如中图所示，投影最大，PA PQ PA PB ⋅=⋅=u u u r u u u r1)3+=+，如右图，投影最小，1)3PA PQ PA PC ⋅=⋅==-u u u r u u u r[3+.12题、16题同闵行12题、16题13. 嘉定11. 设等差数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，公差为d . 若数列也是公差为d 的等差数列，则}{n a 的通项公式为n a =【解析】1(1)2n n n S na d -=+，也是等差数列，∴22n dS n ==d =，∴12d =或0（舍），1124d a ==，∴124n n a =-. 12. 设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2.32]2=，[ 4.76]5-=-），对于给定的*n ∈N ，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x --+=--+L L ，其中[1,)x ∈+∞，则当3[,3)2x ∈时，函数xC x f 10)(=的值域是【解析】当3[,2)2x ∈，[]1x =，101020(5,]3xC x =∈；当[2,3)x ∈，[]2x =，1090(1)xC x x =-，(1)[2,6)x x -∈，∴90(15,45](1)x x ∈-；综上，值域为20(5,](15,45]3U .16. 已知()f x 是偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，若(1)(2)f ax f x +≤-在1[,1]2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A. [2,1]-B. [2,0]-C. [1,1]-D. [1,0]- 【解析】由题得，|1|2ax x +≤-在1[,1]2x ∈时恒成立，设()|1|g x ax =+，()2h x x =-，()g x 恒过定点(0,1)，数形结合可知，只需满足(1)(1)g h ≤，即|1|1a +≤，∴[2,0]a ∈-，故选B.14. 宝山11. 设向量(,)m x y =u r ，(,)n x y =-r ，P 为曲线1m n ⋅=u r r(0)x >上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为【解析】1m n ⋅=u r r即221x y -=(0)x >，根据题意，实数λ的最大值即直线1y x =+与一条渐近线y x =之间的距离，∴2d ==，即λ12题同长宁16题15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 两侧，且P 到1l 、2l 距离分别为1、3，点M 、N 分别在1l 、2l 上，||8PM PN +=u u u u r u u u r，则PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（）A. 15B. 12C. 10D. 9【解析】取MN 中点O ，222()()16PM PN PO OM PO ON PO OM OM ⋅=+⋅+=-=-u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r ，∵1l 、2l 之间距离为2，∴2OM u u u u r 最小值为1，即PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为15，选A.16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设2()x f x xλ+=(0)x >，若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ取值范围是（）A. (0,2]B. (1,2]C. [1,2]D. [1,4]11 / 11 【解析】()()f t m f t m +=-，∴t m t m t m t m λλ++=-++-，2m t m t m λλ=--+，化简得：22t m λ=-，即220m t λ=->恒成立，2t λ<，∴02λ<≤，选A.本题如果理解了题意，可以从图像角度秒解如图所示，A 、B 为两对称点，满足()()f t m f t m +=-，线段AB 中垂线为x t =t <即2t λ<，∴02λ<≤。

2017上海市黄浦区高三二模数学试题及答案

2
1 ，可得 a 1 ， …………………………… 2 分
因为椭圆
M
过
P 点，故
1 +
1
2
1 ，可得
2
b
1 ，
4 4b
3
所以椭圆 M 的方程为 x2
y2 1
1．
…………………………… 4 分
3
（2） AP 的方程为 y 0 1 0 2
x 1 ，即 x y 1 0 ， 1
1 2
由于 Q 是椭圆 M 上的点，故可设
如果一条信息有 n（n 1,n N) 种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发
生的概率分别为 p1, p2 , , pn ，则称 H f ( x) x loga x, x (0,1) ）为该条信息的信息熵．已知
f ( p1) 1
f( ) 2
f ( p2 ) 1
． 2
f ( pn ) （其中
（2）设 n ( x, y,1) 是平面 DEF 的一个法向量，
又 DF ( 1,0, 2)，EF (1,1, 1) ，
O
y
x
n DF x 2 0,
x 2,
故由
解得
故 n ( 2,3,1) ．………… 9 分
n EF x y 1 0,
y 3,
设 AE 与平面 DEF 所成角为，则 sin
| n AE | | n | | AE |
2
所以 AB + AC
( AB+ AC )2
2
AB
2
AC
2AB AC
| AB |2 | AC |2 2 | AB | | AC | cos A ………………… 12 分 c2 b2 bc ( b c)2 bc 30 ，

2017届上海市浦东新区高考数学二模试卷(解析版)

2017年上海市浦东新区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．已知集合，集合B={y|0≤y＜4}，则A∩B=．2．若直线l的参数方程为，t∈R，则直线l在y轴上的截距是．3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为．4．抛物线的焦点和准线的距离是．5．已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则3x﹣y=．6．若三个数a1，a2，a3的方差为1，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差为．7．已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是．8．函数，的单调递减区间是．9．已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，则=．10．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x）﹣f（2﹣x）=0；③在[﹣1，1]上的表达式为，则函数f（x）与的图象在区间[﹣3，3]上的交点的个数为．11．已知各项均为正数的数列{a n}满足（2a n+1﹣a n）（a n+1a n﹣1）=0（n∈N*），且a1=a10，则首项a1所有可能取值中最大值为．12．已知平面上三个不同的单位向量，，满足•==，若为平面内的任意单位向量，则||+|2|+3||的最大值为．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13．若复数满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数在平面上对应的图形是（）A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段14．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）（3）C．（1）（3）（2）D．（2）（4）（1）15．已知2sinx=1+cosx，则=（）A．2 B．2或C．2或0 D．或016．已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），则a4的取值范围是（）A．（3，8）B．（2，16）C．（4，8）D．三、解答题（共5小题，满分80分）17．（14分）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点．（1）求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．18．（14分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为S2；试求出S1的最大值和S2（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好．19．（18分）已知双曲线，其右顶点为P．（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为=（1，﹣1），若在双曲线C上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值．20．（16分）若数列{A n}对任意的n∈N*，都有（k≠0），且A n≠0，则称数列{A n}为“k级创新数列”．（1）已知数列{a n}满足且，试判断数列{2a n+1}是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，若b1=10，求数列{b n}的前n项积T n；（3）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），令，在（2）的条件下，记数列{c n}的通项，求证：c n+2=c n+1+c n，n∈N*．21．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若函数sin[g（x）]是奇函数，则称g（x）为正弦奇函数．已知f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f（0）=0．（1）已知g（x）是正弦奇函数，证明：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；（2）若f（a）=，f（b）=﹣，求a+b的值；（3）证明：f（x）是奇函数．2017年上海市浦东新区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．已知集合，集合B={y|0≤y＜4}，则A∩B=[2，4）．【考点】1E：交集及其运算．【分析】先求出集合A，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：由≥0，解得x≥2或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞），集合B={y|0≤y＜4}=[0，4），则A∩B=[2，4），故答案为：[2，4），【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．若直线l的参数方程为，t∈R，则直线l在y轴上的截距是1．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】令x=0，可得t=1，y=1，即可得出结论．【解答】解：令x=0，可得t=1，y=1，∴直线l在y轴上的截距是1．故答案为1．【点评】本题考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，比较基础．3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为8π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r，进而利用侧面积的计算公式计算即可．【解答】解：由题意，底面的半径r=2，∴该圆椎的侧面积S=π×2×4=8π，故答案为：8π．【点评】熟练掌握圆锥的轴截面的性质和侧面积的计算公式是解题的关键．4．抛物线的焦点和准线的距离是2．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】首先将化成开口向上的抛物线方程的标准方程，得到系数2p=4，然后根据公式得到焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，最后可得该抛物线焦点到准线的距离．【解答】解：化抛物线为标准方程形式：x2=4y∴抛物线开口向上，满足2p=4∵=1，焦点为（0，）∴抛物线的焦点坐标为（0，1）又∵抛物线准线方程为y=﹣，即y=﹣1∴抛物线的焦点和准线的距离为d=1﹣（﹣1）=2故答案为：2【点评】本题以一个二次函数图象的抛物线为例，着重考查了抛物线的焦点和准线等基本概念，属于基础题．5．已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则3x﹣y=5．【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．【分析】根据增广矩阵求得二元一次方程组，两式相加即可求得3x﹣y=5．【解答】解：由二元一次方程组的增广矩阵为，则二元一次方程组为：，两式相加得：3x﹣y=5，∴3x﹣y=5，故答案为：5．【点评】本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．6．若三个数a1，a2，a3的方差为1，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差为9．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】根据所给的三个数字的方差的值，列出方差的表示式要求3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差值，只要根据原来方差的表示式变化出来即可．【解答】解：∵三个数a1，a2，a3的方差为1，设三个数的平均数是，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的平均数是3+2有1=∴3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差是+]==9故答案为：9．【点评】本题考查方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．7．已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是0.98．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两人各向A目标射击一次，射手甲或射手乙击中A目标的概率．【解答】解：射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，甲、乙两人各向A目标射击一次，射手甲或射手乙击中A目标的概率：p=1﹣（1﹣0.9）（1﹣0.8）=0.98．故答案为：0.98．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式、对立事件概率计算公式的合理运用．8．函数，的单调递减区间是．【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】函数=﹣sin（x﹣），将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．【解答】解：由函数=﹣sin（x﹣），令x﹣，k∈Z得： +2kπ≤x≤，∵，当k=0时，可得单调递减区间为．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．9．已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，则=．【考点】8J：数列的极限．【分析】先表示出S n，a n，即可求出极限的值．【解答】解：由于数列{a n}是公差为2的等差数列，S n是{a n}的前n项和，则S n=na1+n（n﹣1）•2=n（n+a1﹣1），a n=a1+（n﹣1）•2=2n+a1﹣2，则==．故答案为：．【点评】本题主要考察极限及其运算．解题的关键是要掌握极限的实则运算法则和常用求极限的技巧！10．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x）﹣f（2﹣x）=0；③在[﹣1，1]上的表达式为，则函数f（x）与的图象在区间[﹣3，3]上的交点的个数为6．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】先根据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f（x）和g（x）的部分图象，由图象观察交点的个数．【解答】解：∵①f （x ）+f （2﹣x ）=0，②f （x ）﹣f （﹣2﹣x ）=0， ∴f （x ）图象的对称中心为（1，0），f （x ）图象的对称轴为x=﹣1，结合③画出f （x ）和g （x ）的部分图象，如图所示，据此可知f （x ）与g （x ）的图象在[﹣3，3]上有6个交点．故答案为：6．【点评】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图象交点个数等问题，属于中档题．11．已知各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），且a 1=a 10，则首项a 1所有可能取值中最大值为 16 ．【考点】8H ：数列递推式．【分析】各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），可得a n +1=a n ，或a n +1a n =1．又a 1=a 10，a 9a 10=1，应该使得a 9取得最小值．再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），∴a n +1=a n ，或a n +1a n =1．又a 1=a 10，a 9a 10=1，应该使得a 9取得最小值．根据a n +1=a n ，可得数列{a n }为等比数列，公比为．取a 9=a 1×，a 1＞0．又a 9=，∴=28，解得a 1=24=16． ∴a 1的最大值是16．故答案为：16．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知平面上三个不同的单位向量，，满足•==，若为平面内的任意单位向量，则||+|2|+3||的最大值为5．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由向量投影的定义可得当++与共线时，取得最大值，再根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：||+|2|+3||=||+2||+3||，其几何意义为在的投影的绝对值与在上投影的绝对值的2倍与在上投影的绝对值的倍的3和，当++与共线时，取得最大值．∵•==，∴=﹣∴（||+|2|+3||）2=||2+4||2+9||2+4||+6||+12||=1+4+9+2+3+6=25，max故||+|2|+3||的最大值为5，故答案为：5．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13．若复数满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数在平面上对应的图形是（）A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】|z+i|+|z﹣i|=2，在复平面上，复数z对应的点Z的集合表示的是：到两个定点E（0，﹣1），F（0，1）的距离之和为定值2的点的集合，而|EF|=2，即可得出结论．【解答】解：|z+i|+|z﹣i|=2，在复平面上，复数z对应的点Z的集合表示的是：到两个定点E（0，﹣1），F（0，1）的距离之和为定值2的点的集合，而|EF|=2，因此在复平面上，满足|z+i|+|z﹣i|=2的复数z对应的点Z的集合表示的是：线段，∴复数在平面上对应的图形是线段．故选：D．【点评】本题考查了复平面上的两点间的距离公式及其复数的几何意义、点的集合，属于基础题．14．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）（3）C．（1）（3）（2）D．（2）（4）（1）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据几何体的直观图得到三视图．【解答】解：由于几何体被切去一个角，所以正视图、俯视图以及侧视图的矩形都有对角线；关键放置的位置得到C；故选C．【点评】本题考查了几何体的三视图；属于基础题．15．已知2sinx=1+cosx，则=（）A．2 B．2或C．2或0 D．或0【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】推导出cot==，由此能求出结果．【解答】解：∵cot===，2sinx=1+cosx，∴当cosx=﹣1时，sinx=0，无解；当cosx≠﹣1时，cot==2．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数关系式、二倍角公式、降幂公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．16．已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），则a4的取值范围是（）A．（3，8）B．（2，16）C．（4，8）D．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设公比为q，根据a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），可得可得q的取值范围，再利用a4=a3q，即可得出．【解答】解：设公比为q，则∵a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），∴∴③÷②：1＜q＜4④③÷①：或q＞⑤由④⑤可得：＜q＜4∴a4=a3q，∴a4∈．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分80分）17．（14分）（2017•浦东新区二模）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点．（1）求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；L*：球面距离及相关计算．【分析】（1）求出球心角，即可求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求出平面ABC的法向量，即可求直线CD与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）由题意，cos∠COD==，∴∠COD=，∴D，C两点在球O上的球面距离为；（2）A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），重心坐标为（，，），∴平面ABC的法向量为=（，，），∵=（0，﹣，﹣），∴直线CD与平面ABC所成角的正弦=||=，∴直线CD与平面ABC所成角的大小为．【点评】本题考查球面距离，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（14分）（2017•浦东新区二模）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为S2；试求出S1的最大值和S2（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）设OP=a，OQ=b，则12=a2+b2﹣2abcos，再利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．（2）方案一：设OA=x（0＜x＜1），则OB=1﹣x．则S1=（1﹣x）sin∠AOB，利用基本不等式的性质即可得出最大值．方案二：设半径r（0＜r＜1），则=1．解得r=．可得S2=+，即可比较出S1与S2的大小关系．【解答】解：（1）设OP=a，OQ=b，则12=a2+b2﹣2abcos≥2ab+ab，可得ab，当且仅当时取等号．S=absin≤=．∴当且仅当时，养殖场△POQ的面积最大，（平方千米）（2）方案一：设OA=x（0＜x＜1），则OB=1﹣x．则S1=（1﹣x）sin∠AOB≤=，当且仅当x=时取等号．∴（平方千米），方案二：设半径r（0＜r＜1），则=1．解得r=．∴S2=+≈0.144（平方千米）∴S1＜S2，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好．【点评】本题考查了基本不等式的性质、三角形面积计算公式、余弦定理、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（18分）（2017•浦东新区二模）已知双曲线，其右顶点为P．（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为=（1，﹣1），若在双曲线C上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值．【考点】KM：直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程；（2）求出与直线l平行，且与双曲线消去的直线方程，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，P（2，0），双曲线的渐近线方程为y=±x，P到渐近线的距离d==，∴圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=；（2）由题意，直线l的斜率为1，设与直线l平行的直线方程为y=x+m，代入双曲线方程整理可得x2+8mx+4m2+12=0，△=64m2﹣4（4m2+12）=0，可得m=±1，与直线l：y=x+2的距离分别为或，即d=或【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查圆的方程，考查直线与双曲线位置关系的运用，属于中档题．20．（16分）（2017•浦东新区二模）若数列{A n}对任意的n∈N*，都有（k≠0），且A n≠0，则称数列{A n}为“k级创新数列”．（1）已知数列{a n}满足且，试判断数列{2a n+1}是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，若b1=10，求数列{b n}的前n项积T n；（3）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），令，在（2）的条件下，记数列{c n }的通项，求证：c n +2=c n +1+c n ，n ∈N *．【考点】8I ：数列与函数的综合．【分析】（1）数列{2a n +1}是“2级创新数列”，下面给出证明：，可得a n +1+1=+1=≠0，即可证明．（2）正数数列{b n }为“k 级创新数列”且k ≠1，．b n ===…==．又b 1=10，利用指数的运算性质可得数列{b n }的前n 项积T n =．（3）α，β是方程x 2﹣x ﹣1=0的两个实根（α＞β），可得β2﹣β﹣1=0，α2﹣α﹣1=0．在（2）的条件下，记数列{c n }的通项=βn ﹣1×=．【解答】（1）解：数列{2a n +1}是“2级创新数列”，下面给出证明：∵，∴2a n +1+1=+1=≠0，∴数列{2a n +1}是“2级创新数列”．（2）解：∵正数数列{b n }为“k 级创新数列”且k ≠1，∴．∴b n ====…==．又b 1=10，∴数列{b n }的前n 项积T n =b n b n ﹣1•…•b 1==．（3）证明：α，β是方程x 2﹣x ﹣1=0的两个实根（α＞β）， ∴β2﹣β﹣1=0，α2﹣α﹣1=0．在（2）的条件下，记数列{c n }的通项=βn ﹣1×=βn ﹣1×=．∴c n +2=．c n +1+c n =+．∴c n +2﹣（c n +1+c n ）==0．∴c n +2=c n +1+c n ．【点评】本题考查了数列递推关系、指数的运算性质、一元二次风吹草动根与系数的关系、作差法，考查了推理能力、计算能力，属于中档题．21．（18分）（2017•浦东新区二模）对于定义域为R的函数g（x），若函数sin[g（x）]是奇函数，则称g（x）为正弦奇函数．已知f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f（0）=0．（1）已知g（x）是正弦奇函数，证明：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；（2）若f（a）=，f（b）=﹣，求a+b的值；（3）证明：f（x）是奇函数．【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】（1）根据正弦奇函数的定义，结合充要条件的定义，分别证明必要性和充分性，可得结论；（2）由f（x）是单调递增的正弦奇函数，f（a）=，f（b）=﹣，可得a，b互为相反数，进而得到答案．（3）根据f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f（0）=0得到：f（﹣x）=﹣f（x），可得结论．【解答】证明（1）∵g（x）是正弦奇函数，故sin[g（x）]是奇函数，当：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”时，sin[g（u0）]=1，则sin[g（﹣u0）]=﹣1，即“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；故：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的必要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；当：“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”时，sin[g（﹣u0）]=﹣1，则sin[g（u0）]=1，即“u0为方程sin[g（x）]=1的解”；故：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充分条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；综上可得：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；解：（2）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，f（a）=，f（b）=﹣，则sin[f（a）]+sin[f（b）]=1﹣1=0，则a=﹣b，则a+b=0证明：（3）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f（0）=0．故sin[f（﹣x）]+sin[f（x）]=0，即sin[f（﹣x）]=﹣sin[f（x）]=sin[﹣f（x）]，f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的奇偶性，函数的单调性，充要条件，难度中档．。

【上海市普陀区】2017届高三下学期质量调研(二模)数学试卷-答案

1) ，其中 d1
3
2
1 1 36
dn 2n

1 3

1 6

(
1 2
)n1
，即
dn

2n
(1)n1 3
dm 103 2m (1)m1 3 000
①若 m 为偶数，则 m log23 001，即 m 12 ；
②若 m 为奇数，则 m log2 2 099 ，即 m 13 ；综上①②可得， m 的取值范围是 m 13 且 m N* ．
P 100 3(5 x) (8 y) 100 3(5 50) (8 300)
v

所以 P 123 150 300 （其中 4 v 20,30 100 ） v
（2） P 100 3(5 x) (8 y) 123 (3x y)
则
B1
(1,
0,1)
，
E
(1,
1 2
,
0)
，
D(0,1,
0)
，
F
(0,
1 2
,1)
DE

(1,
1 2
, 0)
，
FB1

(1,
1 2
, 0)
所以 DE FB1 ，即 DE∥FB1 且 DE FB1 ，故四边形 B1EDF 是平行四边形
又因为
B1E

(0,
1 2
,
1)
，所以
|
B1E
||
1 ��3
=
1
+
0
+
0 + 0 = 1；故填 1．

2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷含详解

2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[ 1．（4分）函数y=的定义域是．2．（4分）若关于x，y的方程组有无数多组解，则实数a=．3．（4分）若“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为．4．（4分）已知复数z1=3+4i，z2=t+i（其中i为虚数单位），且是实数，则实数t等于．5．（4分）若函数（a＞0，且a≠1）是R上的减函数，则a 的取值范围是．6．（4分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=﹣2x+y的最小值为．7．（5分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2=4和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m ＞0），若圆C上至少存在一点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是．8．（5分）已知向量，，如果∥，那么的值为．9．（5分）若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是．10．（5分）若将函数f（x）=的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是．11．（5分）三棱锥P﹣ABC满足：AB⊥AC，AB⊥AP，AB=2，AP+AC=4，则该三棱锥的体积V的取值范围是12．（5分）对于数列{a n}，若存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}是以T为周期的周期数列．设b1=m（0＜m＜1），对任意正整数n都有若数列{b n}是以5为周期的周期数列，则m的值可以是．（只要求填写满足条件的一个m值即可）二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A．B．C．D．14．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π15．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y=0B．x±2y=0C．4x±3y=0D．3x±4y=0 16．（5分）如图所示，∠BAC=，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且（x，y∈R），则x+y的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，D，E，F 分别是A1B1，CC1，BC的中点．（1）求证：AE⊥DF；（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC，acosA，ccosB成等差数列．（1）求角A的大小；（2）若，b+c=6，求的值．19．（14分）如果一条信息有n（n＞1，n∈N）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为p1，p2，…，p n，则称H=f（p1）+f（p2）+…f（p n）（其中f（x）=﹣xlog a x，x∈（0，1））为该条信息的信息熵．已知．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为A1，A2，…，A n）参加，若当k=1，2，…，n﹣1时，选手A k获得冠军的概率为2﹣k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n 的表达式．20．（16分）设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2=1，求证：直线DE恒过一个定点．21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）=1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k ∈N*），都有．2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[ 1．（4分）函数y=的定义域是[0，2] ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】11：计算题．【分析】令被开方数大于等于0，求出x的范围，即为定义域．【解答】解：要使函数有意义需2x﹣x2≥0解得0≤x≤2故答案为：[0，2]【点评】本题考查求函数的定义域时开偶次方根时，要保证被开方数大于等于0．定义域的形式一定是集合或区间．2．（4分）若关于x，y的方程组有无数多组解，则实数a=2．【考点】IG：直线的一般式方程与直线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】根据题意，若关于x，y的方程组有无数多组解，则直线ax+y﹣1=0与直线4x+ay﹣2=0重合，分析可得==，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若关于x，y的方程组有无数多组解，则直线ax+y﹣1=0与直线4x+ay﹣2=0重合，则有==，解可得a=2，故答案为：2．【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及直线的方程与直线的关系，注意关于x、y的二元一次方程组有无数多组解等价于两直线重合．3．（4分）若“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为﹣1．【考点】1C：集合关系中的参数取值问题；29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题．【分析】因x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，又“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2﹣2x﹣3＞0”，反之不成立，由此可求出a 的最大值．【解答】解：因x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，又“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2﹣2x﹣3＞0”，反之不成立．则a的最大值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．4．（4分）已知复数z1=3+4i，z2=t+i（其中i为虚数单位），且是实数，则实数t等于．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；38：对应思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得t的值．【解答】解：∵z1=3+4i，z2=t+i，∴=（3+4i）（t﹣i）=3t+4+（4t﹣3）i，∵是实数，∴4t﹣3=0，得t=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．5．（4分）若函数（a＞0，且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的单调性得到关于a的不等式组，从而可解得a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）（a＞0且a≠1）是R上的减函数，∴0＜a＜1，且3a﹣0≥a0+1=2，∴≤a＜1．故答案为：．【点评】本题考查函数单调性的性质，由题意得到3a﹣0≥a0=1是关键，也是难点所在，属于中档题．6．（4分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=﹣2x+y的最小值为﹣4．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，利用数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图所示，，联立方程组，解得B（3，2），化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为z=﹣2×3+2=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了简单的线性规划问题与数形结合的解题思想方法，是基础题．7．（5分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2=4和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m ＞0），若圆C上至少存在一点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是[3，7] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5B：直线与圆．【分析】根据题意，得出圆C的圆心C与半径r，设点P（a，b）在圆C上，表示出=（a+m，b），=（a﹣m，b）；利用∠APB=90°，求出m2，根据|OP|表示的几何意义，得出m的取值范围．【解答】解：∵圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2=4，∴圆心C（4，3），半径r=2；设点P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b）；∵∠APB=90°，∴（a+m）（a﹣m）+b2=0；即m2=a2+b2；∴|OP|=，∴|OP|的最大值是|OC|+r=5+2=7，最小值是|OC|﹣r=5﹣2=3；∴m的取值范围是[3，7]．故答案为[3，7]．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线与圆的应用问题，是综合性题目．8．（5分）已知向量，，如果∥，那么的值为．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】利用两个向量共线的性质，诱导公式，求得sin（﹣α）的值，再利用二倍角公式求得=1﹣2的值．【解答】解：∵向量，，∥，∴cos（+α）•4﹣1•1=0，求得cos（+α）=，即sin（﹣﹣α）=，即sin（﹣α）=，∴=1﹣2=1﹣2•=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，诱导公式，二倍角公式的应用，属于基础题．9．（5分）若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5I：概率与统计．【分析】确定基本事件总数，求出构成直角三角形的个数，即可求得概率．【解答】解：∵任何三点不共线，∴共有=56个三角形．8个等分点可得4条直径，可构成直角三角形有4×6=24个，所以构成直角三角形的概率为=，故答案为．【点评】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件总数，求出构成直角三角形的个数是关键．10．（5分）若将函数f（x）=的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得f（x），由﹣=时，即ω=6k+时f（x）为偶函数，从而可求实数ω的最小值．【解答】解：∵将函数f（x）=的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数解析式为：f（x）=|sin[ω（x+）﹣]|=|sin[ωx+（﹣）]|，∵当﹣=时，即ω=6k+时，f（x）=|sin（ωx+）|=|﹣cos（ωx）|=|cos（ωx）|，f（x）为偶函数．∵ω＞0，∴当k=0时，ω有最小值．故答案为：．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．11．（5分）三棱锥P﹣ABC满足：AB⊥AC，AB⊥AP，AB=2，AP+AC=4，则该三棱锥的体积V的取值范围是（0，]【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】利用基本不等式求出AP•AC 的范围，得出△PAC 的面积的范围，代入棱锥的体积公式得出答案．【解答】解：∵AP +AC=4， ∴AP•AC ≤（）2=4，设∠PAC=θ，则0＜θ＜π， ∴S △PAC =AP•AC•sinθ≤2sinθ≤2， ∴0＜S △PAC ≤2． ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AP ， ∴AB ⊥平面PAC ， ∴V=S △PAC •AB=S △PAC ， ∴0＜V ≤．故答案为：．【点评】本题考查了棱锥的体积计算，线面垂直的判定定理，属于中档题． 12．（5分）对于数列{a n }，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有a n +T =a n 成立，则称数列{a n }是以T 为周期的周期数列．设b 1=m （0＜m ＜1），对任意正整数n 都有若数列{b n }是以5为周期的周期数列，则m 的值可以是 ﹣1 ．（只要求填写满足条件的一个m 值即可）【考点】81：数列的概念及简单表示法；8H ：数列递推式．【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】取m=﹣1=b 1，经过验证满足b n +5=b n ．【解答】解：取m=﹣1=b 1，则b 2==，b 3=，b 4=+1，b 5=，b 6=﹣1，满足b n +5=b n ．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A．B．C．D．【考点】H5：正弦函数的单调性；HA：余弦函数的单调性；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】48：分析法．【分析】先根据周期排除C，D，再由x的范围求出2x+的范围，再由正余弦函数的单调性可判断A和B，从而得到答案．【解答】解：C、D中函数周期为2π，所以错误当时，，函数为减函数而函数为增函数，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣周期性、单调性．属基础题．三角函数的基础知识的熟练掌握是解题的关键．14．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题．【分析】由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，依次求表面积即可．【解答】解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为S=4π×12+π×12×2+2π×1×3=12π故选：D．【点评】本题考查学生的空间想象能力，是基础题．15．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y=0B．x±2y=0C．4x±3y=0D．3x±4y=0【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】可用筛选，由4x±3y=0得，取a=3，b=4，则c=5，满足a+c=2b．【解答】解：双曲线的右焦点到左顶点的距离为a+c，右焦点到渐近线距离为b，所以有：a+c=2b，由4x±3y=0得，取a=3，b=4，则c=5，满足a+c=2b．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．16．（5分）如图所示，∠BAC=，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且（x，y∈R），则x+y的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．【分析】连接MA，MD，求出圆M的半径MD和MA，得出AP的最值，根据等边三角形的性质即可得出x+y的最值．【解答】解：连接MA，MD，则∠MAD=，MD⊥AD，∵AD=1，∴MD=，MA=2，∵点P是圆M及其内部任意一点，∴2﹣≤AP≤2+，且当A，P，M三点共线时，x+y取得最值，当AP取得最大值时，以AP为对角线，以AB，AC为邻边方向作平行四边形AA1PB1，则△APB1和△APA1是等边三角形，∴AB1=AA1=AP=2+，∴x=y=2+，∴x+y的最大值为4+2，同理可求出x+y的最小值为4﹣2．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，D，E，F 分别是A1B1，CC1，BC的中点．（1）求证：AE⊥DF；（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）以A为坐标原点、AB为x轴、AC为y轴、AA1为z轴建立如图的空间直角坐标系．求出相关的坐标，利用向量的数量积为0，证明，推出AE⊥DF．（2）求出平面DEF的一个法向量，设AE与平面DEF所成角为θ，利用向量的数量积求解AE与平面DEF所成角，然后求解点A到平面DEF的距离．【解答】解：（1）以A为坐标原点、AB为x轴、AC为y轴、AA1为z轴建立如图的空间直角坐标系．由题意可知A（0，0，0），D（0，1，2），E（﹣2，0，1），F（﹣1，1，0），故，…（4分）由，可知，即AE⊥DF．…（6分）（2）设是平面DEF的一个法向量，又，故由解得故．…（9分）设AE与平面DEF所成角为θ，则，…（12分）所以AE与平面DEF所成角为，点A到平面DEF的距离为．…（14分）【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与直线垂直的判定方法，考查空间想象能力以及计算能力．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC，acosA，ccosB成等差数列．（1）求角A的大小；（2）若，b+c=6，求的值．【考点】83：等差数列的性质；HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形；5A：平面向量及应用．【分析】（1）由等差数列的性质，三角函数恒等变换的应用化简可得sinA=2sinAcosA，结合sinA≠0，故求得cosA，即可得解A的值．（2）由已知及余弦定理得bc=6，利用平面向量数量积的运算即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由bcosC，acosA，ccosB成等差数列，可得bcosC+ccosB=2acosA，…（2分）故sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA，所以sin（B+C）=2sinAcosA，…（4分）又A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，故sinA=2sinAcosA，又由A∈（0，π），可知sinA≠0，故，所以．…（6分）（另法：利用bcosC+ccosB=a求解）（2）在△ABC中，由余弦定理得，…（8分）即b2+c2﹣bc=18，故（b+c）2﹣3bc=18，又b+c=6，故bc=6，…（10分）所以=…（12分）=c2+b2+bc=（b+c）2﹣bc=30，故．…（14分）【点评】本题主要考查了等差数列的性质，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，平面向量数量积的运算在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）如果一条信息有n（n＞1，n∈N）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为p1，p2，…，p n，则称H=f（p1）+f（p2）+…f（p n）（其中f（x）=﹣xlog a x，x∈（0，1））为该条信息的信息熵．已知．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为A1，A2，…，A n）参加，若当k=1，2，…，n﹣1时，选手A k获得冠军的概率为2﹣k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n 的表达式．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5M：推理和证明．【分析】（1）由，可得，解之得a=2，由32种情形等可能，故，即可求“谁被选中”的信息熵的大小；（2），利用错位相减法，可得结论．【解答】解：（1）由，可得，解之得a=2．…（2分）由32种情形等可能，故，…（4分）所以，答：“谁被选中”的信息熵为5．…（6分）（2）A n获得冠军的概率为，…（8分）当k=1，2，…，n﹣1时，，又，故，…（11分），以上两式相减，可得，故，答：“谁获得冠军”的信息熵为．…（14分）【点评】本题考查新定义，考查数列知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（16分）设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2=1，求证：直线DE恒过一个定点．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合；KL：直线与椭圆的综合．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用AP⊥OP，可知k AP•k OP=﹣1，A点坐标为（﹣a，0），得a，求出b，然后求解椭圆方程．（2）求出AP的方程x﹣y+1=0，通过Q是椭圆M上的点，故可设，然后利用三角形的面积求解最大值即可．（3）直线AD方程为y=k1（x+1），代入x2+3y2=1，求出D、E坐标，得到直线DE 的方程，利用直线系得到定点坐标．（法二）若DE垂直于y轴，则x E=﹣x D，y E=y D，此时与题设矛盾．若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为x=ty+s，将其代入x2+3y2=1，利用韦达定理结合斜率关系推出DE的方程为x=ty﹣2，推出直线DE过定点（﹣2，0）．【解答】解：（1）由AP⊥OP，可知k AP•k OP=﹣1，又A点坐标为（﹣a，0），故，可得a=1，…（2分）因为椭圆M过P点，故，可得，所以椭圆M的方程为．…（4分）（2）AP的方程为，即x﹣y+1=0，由于Q是椭圆M上的点，故可设，…（6分）所以…（8分）=取最大值．当，即时，S△APQ故S的最大值为．…（10分）△APQ（3）直线AD方程为y=k1（x+1），代入x2+3y2=1，可得，，又x A=﹣1，故，，…（12分）同理可得，，又k1k2=1且k1≠k2，可得且k1≠±1，所以，，，直线DE的方程为，…（14分）令y=0，可得．故直线DE过定点（﹣2，0）．…（16分）（法二）若DE垂直于y轴，则x E=﹣x D，y E=y D，此时与题设矛盾．若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为x=ty+s，将其代入x2+3y2=1，可得（t2+3）y2+2tsy+s2﹣1=0，可得，…（12分）又，可得，…（14分）故，可得s=﹣2或﹣1，又DE不过A点，即s≠﹣1，故s=﹣2．所以DE的方程为x=ty﹣2，故直线DE过定点（﹣2，0）．…（16分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力．21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）=1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k ∈N*），都有．【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据定义逐一判断即可，利用特殊值，举出反例；（2）根据定义可知g（t）=3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，可得a≤1，由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，得出a≥﹣1，最后求出a的范围；（3）根据定义，令s=t，可知f（2s）＞2f（s），即，故对于正整数k 与正数s，都有，进而得出结论．【解答】解：（1）对于函数，当t＞0，s＞0时，，又，所以f1（s）+f1（t）＜f1（s+t），故是“L函数”．…（2分）对于函数，当t=s=1时，，故不是“L函数”．…（4分）（2）当t＞0，s＞0时，由g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）是“L函数”，可知g（t）=3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，又3t﹣1＞0，可得a＜3t对一切正数t恒成立，所以a≤1．…（6分）由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，即3t（3s﹣1）﹣（3s﹣1）+a（3﹣s﹣1）（3﹣t﹣1）=（3s﹣1）（3t﹣1）+a（3﹣s﹣1）（3﹣t﹣1）=（3s﹣1）（3t﹣1）+a•3﹣s﹣t（3s﹣1）（3t﹣1）＞0，故（3s﹣1）（3t﹣1）（3s+t+a）＞0，又（3t﹣1）（3s﹣1）＞0，故3s+t+a＞0，由3s+t+a＞0对一切正数s，t恒成立，可得a+1≥0，即a≥﹣1．…（9分）综上可知，a的取值范围是[﹣1，1]．…（10分）（3）由函数f（x）为“L函数”，可知对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），令s=t，可知f（2s）＞2f（s），即，…（12分）故对于正整数k与正数s，都有，…（14分）对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），可得，又f（1）=1，所以，…（16分）同理，故．…（18分）【点评】本题考查了新定义函数的理解和应用新定义函数解决实际问题，综合性强，难度较大．。

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2017年上海市高三二模数学填选难题解析2017-4-251. 虹口11. 在直角△ABC 中，2A π∠=，1AB =，2AC =，M 是△ABC 内一点，且12AM =，若AM AB AC λμ=+，则2λμ+的最大值为【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，问题可以简化，(0,0)A 、(0,1)B 、(2,0)C 、(cos ,sin )M θθ(0,)2πθ∈，11(cos ,sin )22AM θθ=，AB AC λμ+(0,1)(2,0)(2,)λμμλ=+=，112sin cos )22242πλμθθθ+=+=+≤. 12. 无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n 都有12310{,,,,}n S k k k k ∈，10a 的可能取值最多．．有_____ 个【解析】若910S S =，100a =；若910S S ≠，在12310{,,,,}k k k k 中有序任取2个作为9S 和10S ，10109a S S =-，有21090P =种取法；所以综上最多有91个16. 已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450x y -+>；② 当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③ 221a b +>；④ 当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞.正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】① ∵将(0,1)N -代入304(1)50⨯-⨯-+>，∴将(,)M a b 代入3450x y -+<；② ∵(,)M a b 取不到点5(0,)4，∴没有最小值；③ ||MO 大于点O 到直线3450x y -+=的距离1d =，∴221a b +>； ④ 可看作点(,)M a b 与点(1,1)-连线的斜率，数形结合可知斜率范围为93(,)(,)44-∞-+∞；③④正确，选B 2. 黄浦11. 三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是【解析】1233APC APC V S AB S ∆∆=⋅⋅=，12APC S AC AP ∆≤⋅⋅∵4AP AC +=≥，∴4AC AP ⋅≤，122APC S AC AP ∆≤⋅⋅≤，∴4(0,]3V ∈12. 对于数列{}n a ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是以T 为周期的周期数列，设1b m =(01)m <<，对任意正整数n 有11,11,01n n n n nb b b b b +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，若数列{}n b 是以5为周期的周期数列，则m 的值可以是（只要求填写满足条件的一个m 值即可）【解析】1b m =，21b m =，311b m =-. 观察可得12m =不符（1）当1(0,)2m ∈，412b m =-；（2）当1(,1)2m ∈，41m b m =-；① 1(0,)3m ∈，513b m =-； ② 11[,)32m ∈，512m b m =-；③ 1(,1)2m ∈，5211m b m -=-；a. 当1(0,)4m ∈，614b m =-；614b m m =-=，解得2m =，舍去负值b. 当11[,)43m ∈，613mb m m==-，解得0m =，舍去c. 当11[,)32m ∈，63112m b m m-==-，解得m =d. 当12(,]23m ∈，6121m b m m -==-，解得2m =，舍去 e. 当2(,1)3m ∈，6321m b m m-==-，解得1m =，舍去负值综上，2m =或m =1m = 16. 如图所示，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且AP x AD y AE =+(,)x y R ∈，则x y +取值范围是（）A. [1,4+B. [4-+C. [1,2+D. [2-+【解析】如图所示，当P 点位于右图位置时，x y +最大，此时2MA =，MD MP ==2AP AH AG ===，∴2x y ==+，4x y +=+P 位于线段MA 与M 的交点时，可得最小值4x y +=- B.3. 杨浦11. 已知0a >，0b >，当21(4)a b ab++取到最小值时，b = 【解析】2221111(4)16888168a b a b ab ab ab ab ab ab ab ab ++=+++≥++=+≥，当1164ab ab==且4a b =时等号成立，即1a =，14b =12. 设函数()||||a f x x x a =+-，当a 在实数范围内变化时，在圆盘221x y +≤内，且不在任一()a f x 的图像上的点的全体组成的图形的面积为【解析】根据题意，()||||||a f a a a a a =+-=，即当a 在实数范围内变化时，图像一个分段点为(,||)a a ，该点轨迹为||y x =，∴结合图像可得图像面积为34π 16. 对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正常数a 、b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x R ∈均成立，则称()f x是“控制增长函数”，在以下四个函数中：① 2()1f x x x =++；② ()f x = 2()sin()f x x =；④()sin f x x x =⋅.是“控制增长函数”的有（）A. ②③B. ③④C. ②③④D. ①②④ 【解析】① 2()()2f x a f x ax a a R +-=++∈，不成立；② 存在1a =，1b =，使得不等式(1)()1f x f x +-≤恒成立；③ 存在2b =，使得()()2f x a f x +-≤恒成立；③ 存在2a π=，2b π=，使得(2)()(2)sin(2)sin 2sin 2f x f x x x x x x πππππ+-=++-=≤恒成立；故选C.4. 奉贤11. 已知实数x 、y 满足方程22(1)(1)1x a y -++-=，当0y b ≤≤()b R ∈时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =-的焦点F 到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为【解析】根据题意，∵偶函数，∴1a =，∵是一个函数，∴[0,1]b ∈，即点(,)a b 的轨迹是一条线段，抛物线的焦点1(0,)2F -，数形结合可知，焦点F 到(1,1)12. 设1x 、2x 、3x 、4x 为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足1234|1||2||3||4|6x x x x -+-+-+-=，则这样的排列有个【解析】若11x =，2x 、3x 、4x 共有6种排列，一一代入，没有符合的情况；若12x =，2x 、3x 、4x 有6种排列，符合情况的有2431、2413、2341三种排列；若13x =，2x 、3x 、4x 有6种排列，符合情况的有3142、3241两种排列；若14x =，2x 、3x 、4x 有6种排列，符合情况的有4123、4132、4213、4231四种排列；综上，符合条件的排列共有9个16. 如图，在△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，O 是△ABC 的外心，OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于（） A. ::a b c B.111::a b cC. sin :sin :sin A B CD. cos :cos :cos A B C【解析】如右图所示，::::cos 1:cos 2:cos 3OD OE OFOD OE OF OB OC OA==∠∠∠，根据圆的性质， 112BOC A ∠=∠=∠，同理2B ∠=∠，3C ∠=∠，故选D5. 长宁金山青浦11. 已知函数()||f x x x a =-，若对任意1[2,3]x ∈，2[2,3]x ∈，12x x ≠，恒有1212()()()22x x f x f x f ++>，则实数a 的取值范围为【解析】根据题意，()||f x x x a =-在[2,3]上为上凸函数（图像上表现为在[2,3]上的函数图象在两区间端点连线的上方），数形结合可得3a ≥ 12. 对于给定的实数0k >，函数()kf x x=的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围是【解析】根据题意，即函数图像上至少有一点到原点的距离小于2，∵2222k x k x+≥，2<，解得(0,2)k ∈. 或者数形结合，这个距离原点最近的点在y x =上，代入2<，解得(0,2)k ∈.16. 设1x 、2x 、…、10x 为1、2、…、10的一个排列，则满足对任意正整数m 、n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（）A. 512B. 256C. 255D. 64【解析】直接思考这个问题会有难度，我们可以改变一些条件，试着从简单开始① 比如前9个数字固定排列为1、2、3、4、5、6、7、8、9，那么最后一个数字只能是10，这时候符合条件的排列个数为1；② 放宽条件，比如前8个数字固定排列为1、2、3、4、5、6、7、8，那么最后2个数字可以是9、10，也可以是10、9，符合条件的排列个数为2；③ 再放宽条件，比如前7个数字固定排列为1、2、3、4、5、6、7，那么最后3个数字可以是8、9、10，或8、10、9，或9、8、10，或10、9、8，符合条件的排列个数为4； ……，继续放宽条件，当前6个数字固定排列为1、2、3、4、5、6时，符合的有8个；规律出来了，以此类推下去，……，当前2个数字固定为1、2时，符合的有72个，当第一个数字固定为1时，符合的有82个，当这列数全排列时，符合的有92个.6. 浦东11. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++--=*()n N ∈，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为【解析】根据题意，112n n a a +=或11n n a a +=，取极端情况，1982a a =，81019112a a a a ===∴2812a =，41216a ==. 12. 已知平面上三个不同的单位向量a 、b 、c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单位向量，则 ||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为【解析】如图构造，31(,)22a =-，(0,1)b =，31(,)22c =，设(cos ,sin )e θθ=，根据题意，||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅=11sin |2|sin |3|sin |22θθθθθ-+++，要取得最大，∴||2||3||23cos 3sin a e b e c e θθ⋅+⋅+⋅=+≤16. 已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（） A.(3,8) B. (2,16) C. (4,8) D. 【解析】33221(1,4)a q a aa ==⋅∈，233111(2,)a q a a a ==⋅∈+∞，综上，q ∈，∴43a a q =⋅∈，故选D.7. 闵行11. 已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP '=，O 是坐标原点，则||PQ 的取值范围是【解析】设(cos ,sin )P θθ'，∵OQ OA AQ OA OP '=+=+， ∴Q 坐标为(cos 1,sin 1)θθ++，∵(sin ,cos )P θθ，∴222||(cos 1sin )(sin 1cos )PQ θθθθ=+-++-22(sin cos)242sin 2[2,6]θθθ=-+=-∈∴||PQ 的取值范围是.12. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项i a 、j a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =【解析】∵递增，∴1232017a a a a <<<⋅⋅⋅<，∵当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项， ∴213141201710a a a a a a a a <-<-<-<⋅⋅⋅<-，且1j a a -都是数列{}n a 中的项， ∴201712016a a a -=、201612015a a a -=、…、211a a a -=，∴{}n a 是首项为1a ，公差为1a 的等差数列，根据201711201620171a a d a =+==，可得112017a d ==，∴20171009S =. 16. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题： ① 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； ② 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数； ③ 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数；④ 若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点. 其中正确的命题共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】① ∵()y f x =是奇函数，∴()()f x f x -=-， ∴(())(())(())f f x f f x f f x -=-=-，∴①正确； ②()()f x T f x +=，(())(())f f x T f f x +=，②正确； ③ 当x 增大，()f x 减小，(())f f x 增大，∴③错误； ④ 反例如图所示，④错误；故①②正确，选B.8. 普陀11. 设0a <，若不等式22sin (1)cos 10x a x a +-+-≥对于任意的R x ∈恒成立，则a 的取值范围是【解析】由22sin (1)cos 10x a x a +-+-≥得22cos (1)cos 0x a x a -+-+≥，设cos t x =，即22()(1)0f t t a t a =+--≤对[1,1]t ∈-恒成立，∴22(1)40a a ∆=-+>，2(1)110f a a -=+--≤，2(1)110f a a =+--≤，0a <，综上解得2a ≤-.12. 在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点. 若△ABC 的面积为1，则2MB MC BC ⋅+的最小值为【解析】取BC 中点F ，12MB MF FB MF BC =+=-， 12MC MF FC MF BC=+=+，∴2MB MC BC ⋅+=22222133||||44MF BC BC MF BC MF BC -+=+≥⋅∵11||||22MBC MF BC S ∆⋅≥=，即||||1MF BC ⋅≥，∴23MB MC BC ⋅+≥16. 关于函数2sin y x =的判断，正确的是（） A. 最小正周期为2π，值域为[1,1]-，在区间[,]22ππ-上是单调减函数 B. 最小正周期为π，值域为[1,1]-，在区间[0,]2π上是单调减函数C. 最小正周期为π，值域为[0,1]，在区间[0,]2π上是单调增函数D. 最小正周期为2π，值域为[0,1]，在区间[,]22ππ-上是单调增函数【解析】21cos2sin 2xy x -==，T π=，排除A 、D ，2sin 0y x =≥，排除B ，故选C. 9. 徐汇11. 如图：在△ABC 中，M 为BC 上不同于B 、C 的任意一点，点N 满足2AN NM =，若AN xAB y AC =+，则229x y +的最小值为【解析】23AN xAB y AC AM =+=，∴3322AM xAB y AC =+，∵B 、M 、C 三点共线，∴33122x y +=，即23x y +=，∴222222299()1012435x y x x x x +=+-=-+≥.12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”，已知定义域为[,]a b 的函数2()|3|h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”， ()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -= 【解析】∵()f x 、()g x 、()h x 都是单调函数，且根据题意，(())f h x 与()f x 值域相同，(())h g x 与()h x 值域相同，∴()[,]g x a b ∈，∵()f x 与()g x 互为反函数，∴()f x 定义域为[,]a b ，∴()[,]h x a b ∈，∴()h x 的定义域和值域均为[,]a b ，根据数形结合，a 、b 为23x x=-两解，∴1a =，2b =，1b a -=. 16. 过椭圆2214x y m m +=-(4)m >右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（）A. 一条射线B. 两条射线C. 双曲线的一支D. 抛物线【解析】数形结合，设椭圆左焦点为F '，FQ 中点为P ，联结OP 、F Q '，∴OP 是中位线，∴2()2()2F Q FQ PO PF PO PA '-=-=-=，这符合双曲线的定义，故选C.10. 静安10. 若适合不等式2|4||3|5x x k x -++-≤的x 最大值为3，则实数k 的值为【解析】当3x =时，2|4||3|5x x k x -++-=，即|3|5k -=，∴8k =，2k =-. ① 当8k =，2|48||3|5x x x -++-≤，即243|3|0x x x -++-≤，若3x >，则230x x -≤，得03x ≤≤，不符，若3x ≤，2560x x -+≤，解得23x ≤≤， ∴8k =时，不等式的解为23x ≤≤，符合题意.② 当2k =-，2|42||3|5x x x --+-≤，找个反例即可，4x =符合不等式，但大于3，∴2k =-不符，综上，8k =.11. 已知1()1x f x x -=+，数列{}n a 满足112a =，对于任意*n N ∈都满足2()n n a f a +=，且0n a >，若2018a a =，则20162017a a +=【解析】∵2018a a =，∴18181811a a a -=+，解得20181a a ==，同理22242016a a a ==⋅⋅⋅=1=. 根据112a =，∴313a =，∴512a =，713a =，…，可归纳出4112k a +=，4313k a +=∴20174504112a a ⨯+==，∴20162017a a +=11122-+=15. 曲线C 为：到两定点(2,0)M -、(2,0)N 的距离乘积为常数16的动点P 的轨迹，以下结论： ① 曲线C 经过原点；② 曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称；③ △MPN 的面积不大于8；④ 曲线C 在一个面积为60的矩形范围内. 其中正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】① 设原点为O ，22416OM ON ⋅=⨯=≠，∴不经过原点；②列出轨迹的表达式，16=，可知若点(,)P x y 在曲线上，代入1(,)P x y -、 2(,)P x y -、3(,)P x y --，方程均成立，∴既关于x 轴对称，也关于y 轴对称，关于原点对称；③ 11sin 822S PM PN P PM PN =⋅⋅∠≤⋅=；④ 当0x =时，y =±0y =时，x =±，由点(±±构成的矩形面积为60>；∴只有③正确，故选B.【附】16=的精确图像11. 崇明11. 已知函数22sin(),0()3cos(),0x x x f x x x x πα⎧++>⎪=⎨⎪-++<⎩，[0,2)απ∈是奇函数，则α=【解析】当0x >，则0x -<，∵()()f x f x -=-，∴2()cos()f x x x α-=-+-+，2()sin()3f x x x π-=--+，∴5cos()sin()sin()cos()336x x x x πππα-+=-+=--=+，即5cos()cos()6x x πα-=+在定义域上恒成立，∴526k παπ=-+，∴76πα=.PM MQ ⋅的最大值是【解析】()()PM MQ PO OM MO OQ ⋅=+⋅+22()()PO OM PO OM PO OM =+⋅-=-，∵边长为O 半径为2，即24PM MQ OM ⋅=-，OM 最小值为1 即PM MQ ⋅的最大值是316. 设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>，若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，则下列结论：① 对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；② 存在0x >使x xa 、x b 、x c 不能构成一个三角形的三边长；③ 若△ABC 为钝角三角形，存在(1,2)x ∈，使()0f x =. 其中正确的个数为（） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个【解析】① ()[()()1]x x x a b f x c c c =+-，设()()()1x x a b g x c c =+-，可知(0,1)a c ∈，(0,1)bc ∈，∴()g x 单调递减，当1x <，()(1)10a bg x g c c>=+->，∴()0f x >，正确；② 举反例，令2a =，3b =，4c =，存在3x =，3333234⋅+<，不能构成三角形；③ △ABC 为钝角三角形，∴2220a b c +-<，即(2)0f <，∵0a b c +->，即(1)0f >，∴()f x 在(1,2)上必有零点，正确. 综上所述，正确个数为3个，选A.12. 松江11. 如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q 为小圆上的点，则PA PQ ⋅的取值范围是【解析】结合向量数量积的几何意义，PA PQ ⋅等于||PA 乘以PQ 在PA 方向上的投影，∵2OP =，1OA =，∴||3PA =，如中图所示，投影最大，PA PQ PA PB ⋅=⋅=1)3+=+，如右图，投影最小，1)3PA PQ PA PC ⋅=⋅==-[3+.12题、16题同闵行12题、16题13. 嘉定11. 设等差数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，公差为d . 若数列也是公差为d 的等差数列，则}{n a 的通项公式为n a =【解析】1(1)2n n n S na d -=+，也是等差数列，∴22n dS n =2=，公差相同，∴2d =，∴12d =或0（舍），1124d a ==，∴124n n a =-.12. 设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2.32]2=，[ 4.76]5-=-），对于给定的*n ∈N ，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x --+=--+，其中[1,)x ∈+∞，则当3[,3)2x ∈时，函数xC x f 10)(=的值域是【解析】当3[,2)2x ∈，[]1x =，101020(5,]3xC x =∈；当[2,3)x ∈，[]2x =，1090(1)xC x x =-，(1)[2,6)x x -∈， ∴90(15,45](1)x x ∈-；综上，值域为20(5,](15,45]3. 16. 已知()f x 是偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，若(1)(2)f ax f x +≤-在1[,1]2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A. [2,1]-B. [2,0]-C. [1,1]-D. [1,0]- 【解析】由题得，|1|2ax x +≤-在1[,1]2x ∈时恒成立，设()|1|g x ax =+，()2h x x =-，()g x 恒过定点(0,1)，数形结合可知，只需满足(1)(1)g h ≤，即|1|1a +≤，∴[2,0]a ∈-，故选B.14. 宝山11. 设向量(,)m x y =，(,)n x y =-，P 为曲线1m n ⋅=(0)x >上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为【解析】1m n ⋅=即221x y -=(0)x >，根据题意，实数λ的最大值即直线1y x =+与一条渐近线y x =之间的距离，∴d ==λ最大值为212题同长宁16题15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 两侧，且P 到1l 、2l 距离分别为1、3，点M 、N 分别在1l 、2l 上，||8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（）A. 15B. 12C. 10D. 9【解析】取MN 中点O ，222()()16PM PN PO OM PO ON PO OM OM ⋅=+⋅+=-=-，∵1l 、2l 之间距离为2，∴2OM 最小值为1，即PM PN ⋅的最大值为15，选A.1116. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设2()x f x xλ+=(0)x >，若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ取值范围是（）A. (0,2]B. (1,2]C. [1,2]D. [1,4]【解析】()()f t m f t m +=-，∴t m t m t m t m λλ++=-++-，2m t m t m λλ=--+，化简得：22t m λ=-，即220m t λ=->恒成立，2t λ<，∴02λ<≤，选A.本题如果理解了题意，可以从图像角度秒解如图所示，A 、B 为两对称点，满足()()f t m f t m +=-，线段AB 中垂线为x t =t <即2t λ<，∴02λ<≤。