05.2017年上海高三数学二模分类汇编：数列与极限

1（2017普陀二模）. 计算：3

1lim(1)n n

→∞

+=

3（2017虹口二模）. 已知首项为1公差为2的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则

2()lim n n n

a S →∞= 3（2017奉贤二模）. 已知{}n a 为等差数列，若16a =，350a a +=，则数列{}n a 的通项公式为

4（2017嘉定二模）. 11

23lim 23n n n

n

n ++→∞+=+ 4（2017徐汇二模）. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213

n n S a =-*

()n N ∈，则lim n n S →∞=

6（2017嘉定二模）. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

3535=a a ，则=3

5S S

7（2017静安二模）. 各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，

11(,2)n n n n m a a a ++=-都是直线y kx =的法向量，若lim n n S →∞

存在，则实数k 的取值范围是

8（2017崇明二模）. {}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，若122a a +=，251a a +=-，则

lim n n S →∞

=

9（2017浦东二模）. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1

lim

n

n n n S a a →∞+=

10（2017奉贤二模）. 已知数列{}n a 是无穷等比数列，它的前n 项的和为n S ，该数列的首项是二项式7

1

()x x

+展开式中的x

的系数，公比是复数z =的模（i 是虚数单位），

则lim n n S →∞

=

11（2017浦东二模）. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0

n n n n a a a a ++--=*()n N ∈，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为

11（2017嘉定二模）. 设等差数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，公差为d ，若数

列也是公差为d 的等差数列，则{}n a 的通项公式为=n a 11（2017静安二模）. 已知1()1x f x x -=

+，数列{}n a 满足11

2

a =，对于任意*n N ∈都满足2

()n n a f a +=，且0n a >，若2018a a =，则20162017a a +=

12（2017虹口二模）. 无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n 都有

{}12310,,,,n S k k k k ∈，则10a 的可能取值最多有 个

12（2017闵行/松江二模）. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，

如果从{}n a 中任取两项i a 、j a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =

12（2017黄浦二模）. 对于数列{}n a ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是以T 为周期的周期数列，设1b m =(01)m <<，对任意正整数n 有

1

1,1

1

,01n n n n n

b b b b b +->⎧⎪

=⎨<≤⎪⎩，若数列{}n b 是以5为周期的周期数列，则m 的值可以是 （只要求填写满足条件的一个m 值即可）

13（2017虹口二模）. 已知a 、b 、c 都是实数，则“a 、b 、c 成等比数列”是“2b a c =⋅”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

14（2017杨浦二模）. 设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ≠，若{}n a 的前10项之和大于其前21项之和，则（ ）

A. 0d <

B. 0d >

C. 160a <

D. 160a >

16（2017浦东二模）. 已知等比数列1a 、

2a 、3a 、4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（ ）

A. (3,8)

B. (2,16)

C. (4,8)

D.

19（2017虹口二模）. {}n a 是首项为1

16

且公比不为1的等比数列，n S 是它的前n 项和，满足325416

S S =-

. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设log n a n b a =(0a >且1)a ≠，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最值；

20（2017杨浦二模）. 设数列{}n a 满足4n

n a A B n =⋅+⋅，其中A 、B 是两个确定的实数，

0B ≠.

（1）若1A B ==，求{}n a 的前n 项之和； （2）证明：{}n a 不是等比数列；

（3）若12a a =，数列{}n a 中除去开始的两项之外，是否还有相等的两项？证明你的结论.

20（2017浦东二模）. 若数列{}n A 对任意的*n N ∈，都有1k n n A A +=(0)k ≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”.

（1）已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=+且11

2

a =，试判断数列{}21n a +是否为“2级创 新数列”，并说明理由；

（2）已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积n T ； （3）设α、β是方程210x x --=的两个实根()αβ>，令k β

α

=，在（2）的条件下，记 数列{}n c 的通项1

log n n n b n c T β

-=⋅，求证：21n n n c c c ++=+，*n N ∈.

20（2017嘉定二模）. 如果函数)(x f y =的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有)()(x f a x f -=+成立，则称此函数)(x f 具有“)(a P 性质”； （1）判断函数x y cos =是否具有“)(a P 性质”，若具有“)(a P 性质”，求出所有a 的值的 集合；若不具有“)(a P 性质”，请说明理由；

（2）已知函数)(x f y =具有“)0(P 性质”，且当0≤x 时，2

)()(m x x f +=，求函数

)(x f y =在区间[0,1]上的值域；

（3）已知函数)(x g y =既具有“)0(P 性质”，又具有“)2(P 性质”，且当11≤≤-x 时，

()||g x x =，若函数)(x g y =的图像与直线y px =有2017个公共点，求实数p 的值；

20（2017静安二模）. 已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，19a =-，2a 为整数，且对任意

*n N ∈有5n S S ≥.

（1）求{}n a 的通项公式； （2）设143b =

，1,21

(2),2n n n n a n k b b n k

+=-⎧⎪=⎨-+-=⎪⎩，*n N ∈，求{}n b 的前n 项和n T ； （3）在（2）的条件下，若数列{}n c 满足52211

(1)()2

n a n n n n c b b λ++=++-，*n N ∈，是否存 在实数λ，使得{}n c 是单调递增数列，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，说明理由.

20（2017奉贤二模）. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-（*n N ∈）；