05.2017年上海高三数学二模分类汇编：数列与极限
2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷(解析版)
2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．（4分）函数y＝的定义域是．2．（4分）若关于x，y的方程组有无数多组解，则实数a＝．3．（4分）若“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为．4．（4分）已知复数z 1＝3+4i，z2＝t+i（其中i为虚数单位），且是实数，则实数t 等于．5．（4分）若函数（a＞0，且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是．6．（4分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣2x+y的最小值为．7．（5分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上至少存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是．8．（5分）已知向量，，如果∥，那么的值为．9．（5分）若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是．10．（5分）若将函数f（x）＝的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是．11．（5分）三棱锥P﹣ABC满足：AB⊥AC，AB⊥AP，AB＝2，AP+AC＝4，则该三棱锥的体积V的取值范围是12．（5分）对于数列{a n}，若存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T＝a n成立，则称数列{a n}是以T为周期的周期数列．设b1＝m（0＜m＜1），对任意正整数n都有若数列{b n}是以5为周期的周期数列，则m的值可以是．（只要求填写满足条件的一个m值即可）二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A．B．C．D．14．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π15．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．4x±3y＝0D．3x±4y＝0 16．（5分）如图所示，∠BAC＝，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD＝1，点P 是圆M及其内部任意一点，且（x，y∈R），则x+y的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，D，E，F分别是A1B1，CC1，BC的中点．（1）求证：AE⊥DF；（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C，a cos A，c cos B成等差数列．（1）求角A的大小；（2）若，b+c＝6，求的值．19．（14分）如果一条信息有n（n＞1，n∈N）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为p1，p2，…，p n，则称H＝f（p1）+f（p2）+…f（p n）（其中f （x）＝﹣x log a x，x∈（0，1））为该条信息的信息熵．已知．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为A1，A2，…，A n）参加，若当k＝1，2，…，n﹣1时，选手A k获得冠军的概率为2﹣k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式．20．（16分）设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE恒过一个定点．21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数g（x）＝3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）＝1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），都有．2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．（4分）函数y＝的定义域是[0，2]．【解答】解：要使函数有意义需2x﹣x2≥0解得0≤x≤2故答案为：[0，2]2．（4分）若关于x，y的方程组有无数多组解，则实数a＝2．【解答】解：根据题意，若关于x，y的方程组有无数多组解，则直线ax+y﹣1＝0与直线4x+ay﹣2＝0重合，则有＝＝，解可得a＝2，故答案为：2．3．（4分）若“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为﹣1．【解答】解：因x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，又“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2﹣2x﹣3＞0”，反之不成立．则a的最大值为﹣1．故答案为：﹣1．4．（4分）已知复数z 1＝3+4i，z2＝t+i（其中i为虚数单位），且是实数，则实数t等于．【解答】解：∵z1＝3+4i，z2＝t+i，∴＝（3+4i）（t﹣i）＝3t+4+（4t﹣3）i，∵是实数，∴4t﹣3＝0，得t＝．故答案为：．5．（4分）若函数（a＞0，且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是．【解答】解：∵函数f（x）（a＞0且a≠1）是R上的减函数，∴0＜a＜1，且3a﹣0≥a0+1＝2，∴≤a＜1．故答案为：．6．（4分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣2x+y的最小值为﹣4．【解答】解：由约束条件作出可行域如图所示，，联立方程组，解得B（3，2），化目标函数z＝﹣2x+y为y＝2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为z＝﹣2×3+2＝﹣4．故答案为：﹣4．7．（5分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上至少存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是[3，7]．【解答】解：∵圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4，∴圆心C（4，3），半径r＝2；设点P（a，b）在圆C上，则＝（a+m，b），＝（a﹣m，b）；∵∠APB＝90°，∴（a+m）（a﹣m）+b2＝0；即m2＝a2+b2；∴|OP|＝，∴|OP|的最大值是|OC|+r＝5+2＝7，最小值是|OC|﹣r＝5﹣2＝3；∴m的取值范围是[3，7]．故答案为[3，7]．8．（5分）已知向量，，如果∥，那么的值为．【解答】解：∵向量，，∥，∴cos（+α）•4﹣1•1＝0，求得cos（+α）＝，即sin（﹣﹣α）＝，即sin（﹣α）＝，∴＝1﹣2＝1﹣2•＝，故答案为：．9．（5分）若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是．【解答】解：∵任何三点不共线，∴共有＝56个三角形．8个等分点可得4条直径，可构成直角三角形有4×6＝24个，所以构成直角三角形的概率为＝，故答案为．10．（5分）若将函数f（x）＝的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是．【解答】解：∵将函数f（x）＝的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数解析式为：f（x）＝|sin[ω（x+）﹣]|＝|sin[ωx+（﹣）]|，∵当﹣＝时，即ω＝6k+时，f（x）＝|sin（ωx+）|＝|﹣cos（ωx）|＝|cos（ωx）|，f（x）为偶函数．∵ω＞0，∴当k＝0时，ω有最小值．故答案为：．11．（5分）三棱锥P﹣ABC满足：AB⊥AC，AB⊥AP，AB＝2，AP+AC＝4，则该三棱锥的体积V的取值范围是（0，]【解答】解：∵AP+AC＝4，∴AP•AC≤（）2＝4，设∠P AC＝θ，则0＜θ＜π，∴S△P AC＝AP•AC•sinθ≤2sinθ≤2，∴0＜S△P AC≤2．∵AB⊥AC，AB⊥AP，∴AB⊥平面P AC，∴V＝S△P AC•AB＝S△P AC，∴0＜V≤．故答案为：．12．（5分）对于数列{a n}，若存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T＝a n成立，则称数列{a n}是以T为周期的周期数列．设b1＝m（0＜m＜1），对任意正整数n都有若数列{b n}是以5为周期的周期数列，则m的值可以是﹣1．（只要求填写满足条件的一个m值即可）【解答】解：取m＝﹣1＝b1，则b2＝＝，b3＝，b4＝+1，b5＝，b6＝﹣1，满足b n+5＝b n．故答案为：﹣1．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：C、D中函数周期为2π，所以错误当时，，函数为减函数而函数为增函数，故选：A．14．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π【解答】解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为S＝4π×12+π×12×2+2π×1×3＝12π故选：D．15．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．4x±3y＝0D．3x±4y＝0【解答】解：双曲线的右焦点到左顶点的距离为a+c，右焦点到渐近线距离为b，所以有：a+c＝2b，由4x±3y＝0得，取a＝3，b＝4，则c＝5，满足a+c＝2b．故选：C．16．（5分）如图所示，∠BAC＝，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD＝1，点P 是圆M及其内部任意一点，且（x，y∈R），则x+y的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：连接MA，MD，则∠MAD＝，MD⊥AD，∵AD＝1，∴MD＝，MA＝2，∵点P是圆M及其内部任意一点，∴2﹣≤AP≤2+，且当A，P，M三点共线时，x+y取得最值，当AP取得最大值时，以AP为对角线，以AB，AC为邻边方向作平行四边形AA1PB1，则△APB1和△AP A1是等边三角形，∴AB1＝AA1＝AP＝2+，∴x＝y＝2+，∴x+y的最大值为4+2，同理可求出x+y的最小值为4﹣2．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，D，E，F分别是A1B1，CC1，BC的中点．（1）求证：AE⊥DF；（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．【解答】解：（1）以A为坐标原点、AB为x轴、AC为y轴、AA1为z轴建立如图的空间直角坐标系．由题意可知A（0，0，0），D（0，1，2），E（﹣2，0，1），F（﹣1，1，0），故，…（4分）由，可知，即AE⊥DF．…（6分）（2）设是平面DEF的一个法向量，又，故由解得故．…（9分）设AE与平面DEF所成角为θ，则，…（12分）所以AE与平面DEF所成角为，点A到平面DEF的距离为．…（14分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C，a cos A，c cos B成等差数列．（1）求角A的大小；（2）若，b+c＝6，求的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由b cos C，a cos A，c cos B成等差数列，可得b cos C+c cos B＝2a cos A，…（2分）故sin B cos C+sin C cos B＝2sin A cos A，所以sin（B+C）＝2sin A cos A，…（4分）又A+B+C＝π，所以sin（B+C）＝sin A，故sin A＝2sin A cos A，又由A∈（0，π），可知sin A≠0，故，所以．…（6分）（另法：利用b cos C+c cos B＝a求解）（2）在△ABC中，由余弦定理得，…（8分）即b2+c2﹣bc＝18，故（b+c）2﹣3bc＝18，又b+c＝6，故bc＝6，…（10分）所以＝…（12分）＝c2+b2+bc＝（b+c）2﹣bc＝30，故．…（14分）19．（14分）如果一条信息有n（n＞1，n∈N）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为p1，p2，…，p n，则称H＝f（p1）+f（p2）+…f（p n）（其中f （x）＝﹣x log a x，x∈（0，1））为该条信息的信息熵．已知．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为A1，A2，…，A n）参加，若当k＝1，2，…，n﹣1时，选手A k获得冠军的概率为2﹣k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式．【解答】解：（1）由，可得，解之得a＝2．…（2分）由32种情形等可能，故，…（4分）所以，答：“谁被选中”的信息熵为5．…（6分）（2）A n获得冠军的概率为，…（8分）当k＝1，2，…，n﹣1时，，又，故，…（11分），以上两式相减，可得，故，答：“谁获得冠军”的信息熵为．…（14分）20．（16分）设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE恒过一个定点．【解答】解：（1）由AP⊥OP，可知k AP•k OP＝﹣1，又A点坐标为（﹣a，0），故，可得a＝1，…（2分）因为椭圆M过P点，故，可得，所以椭圆M的方程为．…（4分）（2）AP的方程为，即x﹣y+1＝0，由于Q是椭圆M上的点，故可设，…（6分）所以…（8分）＝当，即时，S△APQ取最大值．故S△APQ的最大值为．…（10分）（3）直线AD方程为y＝k1（x+1），代入x2+3y2＝1，可得，，又x A＝﹣1，故，，…（12分）同理可得，，又k1k2＝1且k1≠k2，可得且k1≠±1，所以，，，直线DE的方程为，…（14分）令y＝0，可得．故直线DE过定点（﹣2，0）．…（16分）（法二）若DE垂直于y轴，则x E＝﹣x D，y E＝y D，此时与题设矛盾．若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为x＝ty+s，将其代入x2+3y2＝1，可得（t2+3）y2+2tsy+s2﹣1＝0，可得，…（12分）又，可得，…（14分）故，可得s＝﹣2或﹣1，又DE不过A点，即s≠﹣1，故s＝﹣2．所以DE的方程为x＝ty﹣2，故直线DE过定点（﹣2，0）．…（16分）21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数g（x）＝3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）＝1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），都有．【解答】解：（1）对于函数，当t＞0，s＞0时，，又，所以f1（s）+f1（t）＜f1（s+t），故是“L函数”．…（2分）对于函数，当t＝s＝1时，，故不是“L函数”．…（4分）（2）当t＞0，s＞0时，由g（x）＝3x﹣1+a（3﹣x﹣1）是“L函数”，可知g（t）＝3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，又3t﹣1＞0，可得a＜3t对一切正数t恒成立，所以a≤1．…（6分）由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，即3t（3s﹣1）﹣（3s﹣1）+a（3﹣s﹣1）（3﹣t﹣1）＝（3s﹣1）（3t﹣1）+a（3﹣s﹣1）（3﹣t﹣1）＝（3s﹣1）（3t﹣1）+a•3﹣s﹣t（3s﹣1）（3t﹣1）＞0，故（3s﹣1）（3t﹣1）（3s+t+a）＞0，又（3t﹣1）（3s﹣1）＞0，故3s+t+a＞0，由3s+t+a＞0对一切正数s，t恒成立，可得a+1≥0，即a≥﹣1．…（9分）综上可知，a的取值范围是[﹣1，1]．…（10分）（3）由函数f（x）为“L函数”，可知对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），令s＝t，可知f（2s）＞2f（s），即，…（12分）故对于正整数k与正数s，都有，…（14分）对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），可得，又f（1）＝1，所以，…（16分）同理，故．…（18分）。
2017年-上海各区-数学高三二模试卷和答案
宝山2017二模一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.若集合{}|0A x x =>，{}|1B x x =<，则A B ⋂=____________2.已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z =____________ 3.函数()sin cos cos sin x x f x x x=的最小正周期是____________4.已知双曲线()2221081x y a a -=>的一条渐近线方程3y x =，则a =____________ 5.若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为____________6.已知,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是____________7.直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是____________8.已知函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是()1f x -，则12f -1⎛⎫= ⎪⎝⎭____________9.设多项式()()()()23*11110,nx x x x x n N ++++++++≠∈的展开式中x 项的系数为n T ，则2limnn T n →∞=____________10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p =____________11.设向量()(),,,m x y n x y ==-，P 为曲线()10m n x ⋅=>上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为____________12.设1210,,,x x x 为1,2,,10的一个排列，则满足对任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为____________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14.如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）A. ①②③④B.①③C. ①④D.②④15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12,l l 同侧，且P 到12,l l 的距离分别为1，3.点,M N 分别在12,l l 上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 916.若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设()()20x f x x xλ+=>，若对于任意()2,6t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是（ ）A. (]0,2B. (]1,2C. []1,2D. []1,4三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是线段BC 、1CD 的中点. （1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点()(),00T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求抛物线方程，并证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[](),m n D m n ⊆<，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n 则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）已知()()2112,0f x a R a a a x=+-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（这里,a k 均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k ； （2）若11,2a k ==-，求n S ; （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T,R 若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界.（1）设121|,21x xA y y x R ⎧⎫-==∈⎨⎬+⎩⎭、21|sin 2A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知()2f x x u =+，记()()()()()()11,2,3,n n f x f x f x f f x n -===.若m R ∈，1,4u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，且(){}*|n B f m n N =∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a 、b 、c 均为正数，将()2a b -、()2b c -、()2c a -中的最小数记为d ，是否存在正数()0,1λ∈，使得λ为有界集合222{|,dC y y a b c ==++a 、b 、c 均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由.宝山区答案1.(0,1)2.13. π4.35. 5.16. 37. 28. 19.1210. 0.03 11.212.512 13. B14. C15.A16.A17. （1） （2）arctan 218.（1）24y x =，证明略（2）2)(t),(0t 2)d t ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩19. （1）证明略（2）12a或32a 20. （1）12k =（2）2(21,),(2,)n n n k k N S n n k k N **⎧-=-∈=⎨=∈⎩ （3）25k =-21.（1）1A 为有界集合，上界为1；2A 不是有界集合 （2）14u =，11,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ （3）15λ=解析：（2）设()()011,,,1,2,3,...n n a m a f m a f a n -====，则()n n a f m =∵()2114a f m m u ==+≥，则222111111024a a a a u a u ⎛⎫-=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭且211111024n n n n n a a a u a a ---⎛⎫-=-+-≥⇒≥ ⎪⎝⎭若(){}*|N n B f m n =∈为有界集合，则设其上界为0M ，既有*0,N n a M n ≤∈∴()()()112211112211......n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ------=-+-++-+=-+-++-+2222121111111...242424n n a u a u a u m u --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212111111...22244n n a a a m n u u n u u --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-++-+≥-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦若0n a M ≤恒成立，则014n u u M ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭恒成立，又11044u u ≥⇒-≥ ∴14u =，∴()214f x x =+ 设12m λ=+（i ）0λ>，则()22101011112422a a f m m a a λλλ⎛⎫⎛⎫-=-=++-+=⇒>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴111...2n n a a a m ->>>>>记()()212g x f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则当1212x x >>时，()()12g x g x >∴()()()2111110n n n n n g a f a a a a g m a a λ----=-=->=-=∴()211n a a n λ>+-，若0na M ≤恒成立，则0λ=，矛盾。
2017年上海市黄浦区高考数学二模试卷Word版含解析
2017年上海市虹口区高考数学二模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B=．2．复数所对应的点在复平面内位于第象限．3．已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则=．4．若方程组无解，则实数a=．5．若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a=．6．已知双曲线，它的渐近线方程是y=±2x，则a的值为．7．在△ABC中，三边长分别为a=2，b=3，c=4，则=．8．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）=0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是．9．函数f（x）=，如果方程f（x）=b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=．10．三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．11．在直角△ABC中，，AB=1，AC=2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．12．无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有个．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l215．已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零 B．一定大于零 C．一定小于零 D．正负都有可能16．已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（本大题满分76分）17．如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．18．已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）=．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（﹣，）有解．19．已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．21．对于定义域为R的函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：（1）求f{f[f（0）]}；）都在函数y=f（x）的（2）数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y=f（x）=Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．2017年上海市虹口区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B={2，3，4} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】解关于B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}={x|1＜x＜5}，则A∩B={2，3，4}；故答案为：{2，3，4}．2．复数所对应的点在复平面内位于第四象限．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i所对应的点在复平面内位于第四象限．故答案为：四．3．已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则=4．【考点】6F：极限及其运算；85：等差数列的前n项和．【分析】由题意，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n+=n2，即可求极限．【解答】解：由题意，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n+=n2，∴==4，故答案为：4．4．若方程组无解，则实数a=±2．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据题意，若方程组无解，则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，由直线平行的判定方法分析可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，方程组无解，则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，则有a×a=2×2，且a×2≠2×3，即a2=4，a≠3，解可得a=±2，故答案为：±2．5．若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a=1．【考点】DB：二项式系数的性质．=x r a7﹣r，令r=6，则=7，【分析】（x+a）7的二项展开式的通项公式：T r+1解得a．=x r a7﹣r，【解答】解：（x+a）7的二项展开式的通项公式：T r+1令r=6，则=7，解得a=1．故答案为：1．6．已知双曲线，它的渐近线方程是y=±2x，则a的值为2．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为：y=±ax，结合题意中渐近线方程可得a=2，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在x轴上，其渐近线方程为：y=±ax，又有其渐近线方程是y=±2x，则有a=2；故答案为：2．7．在△ABC中，三边长分别为a=2，b=3，c=4，则=．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求cosA，cosB，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA，sinB的值，即可利用二倍角的正弦函数公式化简求值得解．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，b=3，c=4，∴cosA==，可得：sinA==，cosB==，sinB==，∴===．故答案为：．8．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）=0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是[0，5] ．【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值=5，直线l过P时，d取得最小值0，可得结论．【解答】解：由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值=5，直线l过P时，d取得最小值0，∴d的取值范围[0，5]，故答案为[0，5]．9．函数f（x）=，如果方程f（x）=b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=4．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出f（x）的图象，由题意可得y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，计算即可得到所求和．【解答】解：作出函数f（x）=的图象，方程f（x）=b有四个不同的实数解，等价为y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，可得x1+x2=0，x3+x4=4，则x1+x2+x3+x4=4．故答案为：4．10．三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，且边长相等．根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．利用体积法，求其高，即可得主视图的高．可得主视图的面积【解答】解：由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，（如图：SAB，SBC，SAC）且边长相等为，其体积为V==根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．其面积为：．设主视图的高OS=h，则=．∴h=．主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，其高为．∴得面积S=．故答案为11．在直角△ABC中，，AB=1，AC=2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0），M（，），（0＜θ＜），由已知可得，则λ+2μ=，即可求解．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0）M（，）（0＜θ＜），∵，∴（．∴，则λ+2μ=，∴当θ=时，λ+2μ最大值为，故答案为：12．无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有91个．【考点】8E：数列的求和．【分析】根据数列递推公式可得a10=S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，分类讨论即可求出答案．【解答】解：a10=S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，若S10≠S9，则有A102=10×9=90种，若S10=S9，则有a10=0，根据分类计数原理可得，共有90+1=91种，故答案为：91二、选择题（每小题5分，满分20分）13．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义进行判断即可．【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac成立，若a=b=c=0，满足b2=ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的充分不必要条件，故选：A．14．l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l2【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：若l1∥α，l2∥α，则有l1∥l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1∥α或l1⊂α，故B、C错误；如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2∥α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2∥a，∴l1⊥l2，故D正确．故选：D．15．已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零 B．一定大于零 C．一定小于零 D．正负都有可能【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】先判断奇偶性和单调性，先由单调性定义由自变量的关系得到函数关系，然后三式相加得解．【解答】解：函数，f（﹣x）=﹣f（x），函数f（x）是奇函数，根据同增为增，可得函数f（x）是增函数，∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3x3＞﹣x1，∴f（x1）＞f（﹣x2，f（x2）＞f（﹣x3），f（x3）＞f（﹣x1）∴f（x1）+f（x2）＞0，f（x2）+f（x3）＞0，f（x3）+f（x1）＞0，三式相加得：f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0，故选：B．16．已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据点M（a，b）与点N（1，0）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，可以画出点M（a，b）所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个命题得结论．【解答】解：∵点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5=0的两侧，∴（3a﹣4b+5）（3×0+4+5）＜0，即3a﹣4b+5＜0，故①错误；当a＞0时，a+b＞，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x﹣4y+5=0的距离为d，则d=，则a2+b2＞4，故③错误；当a＞0且a≠1时，表示点M（a，b）与P（1，﹣1）连线的斜率．∵当a=0，b=时，=，又直线3x﹣4y+5=0的斜率为，故的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B．三、解答题（本大题满分76分）17．如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点建立空间坐标系，求出，的坐标，利用向量的夹角公式得出AD，EF的夹角；，代入体积公式计算．（2）证明AE⊥平面DEF，求出AE和S△DEF【解答】解：（1）以A为坐标原点，AB、AC、AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．依题意有D（2，2，4），A（0，0，0），E（2，2，0），F（0，4，2），所以．设异面直线AD、EF所成角为α，则==，所以，即异面直线AD、EF所成角的大小为．（2）∵AB=AC=4，AB⊥AC，∴，，DE=AA1=4，==4，∴S△DEF由E为线段BC的中点，且AB=AC，∴AE⊥BC，又BB1⊥面ABC，∴AE⊥BB1，∴AE⊥面BB1C1C，∴，∴三棱锥D﹣AEF的体积为．18．已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）=．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（﹣，）有解．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】（1）利用奇函数的定义，结合x∈（0，）时，f（x）=，求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）分类讨论，利用函数的解析式，可得结论．【解答】解：（1）设，则，∵f（x）是奇函数，则有…∴f（x）=…（2）设，令t=tanx，则t＞0，而．∵1+t＞1，得，从而，∴y=f（x）在的取值范围是0＜y＜1．…又设，则，由此函数是奇函数得f（x）=﹣f（﹣x），0＜f（﹣x）＜1，从而﹣1＜f（x）＜0．…综上所述，y=f（x）的值域为（﹣1，1），所以m的取值范围是（﹣1，1）．…19．已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）根据求和公式列方程求出q，代入通项公式即可；（2）对a进行讨论，判断{b n}的单调性和首项的符号，从而得出T n的最值．【解答】解：（1）∵，∵q≠1，∴．整理得q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1（舍去）．∴．（2）b n=log a a n=（n﹣5）log a2．1）当a＞1时，有log a2＞0，数列{b n}是以log a2为公差，以﹣4log a2为首项的等差数列，∴{b n}是递增数列，∴T n没有最大值．由b n≤0，得n≤5．所以（T n）min=T4=T5=﹣10log a2．2）当0＜a＜1时，有log a2＜0，数列{b n}是以log a2为公差的等差数列，∴{b n}是首项为正的递减等差数列．∴T n没有最小值．令b n≥0，得n≤5，（T n）max=T4=T5=﹣10log a2．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由，代入椭圆方程即可求得椭圆C上的点M的“伴随点”N 的轨迹方程；（2）由题意，求得椭圆的方程，根据向量的坐标运算，即可求得的取值范围；（3）求得椭圆方程，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据向量数量积的坐标求得3+4k2=2m2，弦长公式及点到直线的距离公式，即可求得△OAB的面积，直线l的斜率不存在时，设方程为x=m，代入椭圆方程，即可求得△OAB的面积．【解答】解：（1）设N（x，y）由题意，则，又，∴，从而得x2+y2=1…（2）由，得a=2．又，得．…∵点M（x0，y0）在椭圆上，，，且，•=（x，y0）（，）=+=x02+，由于，的取值范围是[，2]（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则；1）当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0；有①…由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x1x2+4y1y2=0；整理得：②将①式代入②式得：3+4k2=2m2，…3+4k2＞0，则m2＞0，△=48m2＞0，又点O到直线y=kx+m的距离，丨AB丨==×=×，∴…2）当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（﹣2＜m＜2）联立椭圆方程得；代入3x1x2+4y1y2=0，得，解得m2=2，从而，=丨AB丨×d=丨m丨丨y1﹣y2丨=，S△OAB综上：△OAB的面积是定值．…21．对于定义域为R的函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：（1）求f{f[f（0）]}；（2）数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N*，点（x n，x n）都在函数y=f（x）的+1图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y=f（x）=Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．【考点】H2：正弦函数的图象；3O：函数的图象．【分析】（1）根据复合函数的性质，由内往外计算可得答案．）都在函数y=f（x）的图象上，带入，化简，不难发现函（2）根据点（x n，x n+1数y是周期函数，即可求解x1+x2+…+x4n的值．（3）根据表中的数据，带入计算即可求解函数的解析式．【解答】解：（1）根据表中的数据：f{f[f（0）]}=f（f（3））=f（﹣1）=2．）都在函数y=f（x）的图象上，（2）由题意，x1=2，点（x n，x n+1=f（x n）即x n+1∴x2=f（x1）=f（2）=0，x3=f（x2）=3，x4=f（x3）=﹣1，x5=f（x4）=2∴x5=x1，∴函数y是周期为4的函数，故得：x1+x2+…+x4n=4n．（3）由题意得由（1）﹣（2）∴sin（ω+φ）=sin（﹣ω+φ）∴sinωcosφ=0．又∵0＜ω＜π∴sinω≠0．∴cosφ=0而0＜φ＜π∴从而有．∴2A2﹣4A+2﹣2A2+3A=0．∴A=2．b=1，∵0＜ω＜π，∴．∴．此函数的最小正周期T==6，f（6）=f（0）=3∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=6，∴①当n=2k（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）=f（1）+f（2）+…+f（6k）=k[f（1）+f（2）+…+f（6）]=6k=3n．②当n=2k﹣1（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）=f（1）+f（2）+…+f（6k）﹣f（6k﹣2）﹣f（6k﹣1）﹣f（6k）=k[f（1）+f（2）+…+f（6）]﹣5=6k﹣5=3n ﹣2．2017年5月22日。
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2017届第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科2017．4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设全集{}1,2,3,4U =，集合{}2|540,A x x x x Z =-+<∈，则U C A =____________．2. 参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的曲线的焦点坐标为____________．3. 已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围是____________．4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()3n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=____________．5. 若*1()(4,)2nx n n N x+≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =_____． 6. 把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）7. 若行列式124cossin 022sin cos822x xx x 中元素4的代数余子式的值为12，则实数x 的取值集合为____________．8. 满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是____________．9. 已知函数2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k的取值范围是____________．10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．11. 如图：在ABC ∆中，M 为BC 上不同于,B C 的任意一点，点N 满足2AN NM =u u u r u u u u r ．若AN x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则229x y +的最小值为____________．12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”． 已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. “1x >”是“11x<”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ）（A ）21斛 （B ）34斛 （C ）55斛 （D ）63斛15. 将函数1y x=-的图像按向量(1,0)a =r 平移，得到的函数图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像的所有交点的横坐标之和等于（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）816. 过椭圆221(4)4x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）（A ）一条射线 （B ）两条射线 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线N A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AD ==． （1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）若点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ．18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数41()2x xm f x ⋅+=是偶函数．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围．19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且:3:1BC AB =．一架无人机在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得030APB ∠=，090BPC ∠=．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）FEBA P20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F 、，它们在y 轴右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=u u u u r u u u u r r．将直线AB 左侧的椭圆部分（含A ,B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A ,B 两点）记为曲线2W ．以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)p p P x y ，交2W 于点(,)M M M x y (点M 在第一象限),设此时F 1=1m F P ⋅u u u r.（1）求2W 的方程; （2）证明:1p x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系; （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求1MF N ∆的面积S 的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）现有正整数构成的数表如下： 第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5 …… …… ……第k 行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,⋯,直至按原序抄写第1k -行,最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第n 个数记作n a (如11a =,21a =,32a =,41a =,⋯,73a =,⋯,14153,4,a a ==L )．（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；（3）令123n n S a a a a =++++L ，求2017S 的值．参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. {}1,42. (1,0)3. []1,34. 15. 86. 7107. |2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8. 2- 9. 5(,1)9 10. 8800 11. 25 12. 1二、 选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. A 15. D 16. C 三、 解答题 17、解：（1）以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)P A B C D ,--------2分所以，(2,2,2),(2,0,0)PC AB =-=u u u r u u u r,--------4分设,PC AB u u u r u u ur的夹角为α，则cos 3PC AB PC AB α⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 分 所以，,PC AB u u u r u u u r 的夹角为arccos 3，即异面直线PC 与AB 所成角的大小为分 （2）因为点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，可得(0,1,0)E ，(1,1,1)F ，所以(1,0,1)EF =u u u r，--------8分 又(0,2,0)BC =u u u r ，(2,2,2)PC =-u u u r，--------10分计算可得0,0EF PC EF BC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，--------12分所以，,EF PC EF BC ⊥⊥，又PC BC C =I ，所以EF ⊥平面PBC .--------14分18、(1) 因为函数41()2x xm f x ⋅+=是定义域为R 的偶函数，所以有()()f x f x -=，-2分即414122x x x xm m --⋅+⋅+=， 即44122x x x xm m +⋅+=， ------------------------------4分 故m =1. -----------------------------------------6分(2)241()0,3102x xf x k +=>+>，且22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，故原不等式等价于22131()k k f x >+在(,0)-∞上恒成立，--------------------8分又x ∈(,0)-∞，所以()()2,f x ∈+∞， -------------------------------------10分 所以110,()2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，----------------------------11分 从而221312k k ≥+，----------------------------12分 因此，1,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. -------------------------------------------------------------------14分19、(1)在APB ∆中，由正弦定理，得1sin sin 2AP AB ABABP APB==∠∠，-----------2分 在BPC ∆中，由正弦定理，得sin sin 1CP BC BCCBP CPB ==∠∠，-----------4分 又31BC AB =，sin sin ABP CBP ∠=∠，--------------------------------------------6分故23AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分C B A P(2)由:3:1BC AB =得AC =400，且0120APC ∠=， ------------------------------9分 由(1)，可设AP =2x ，则CP =3x ， ---------------------------------------------10分 在APC ∆中，由余弦定理，得160000=(2x )2+(3x )2-2(2x )(3x )cos1200，------12分 解得x19=， 即无人机到丙船的距离为CP =3x275≈米. ----14分 20、解：（1）由条件，得2(1,0)F ，根据220F A F B +=u u u u r u u u u r r知，F 2、A 、B 三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称， 故AB 所在直线为x =1，从而得(1,2A，(1,2B -.--------------2分 所以，221112a b-=,又因为2F 为双曲线的焦点，所以221a b +=， 解得2212a b ==. ---------------------------------------------------------------3分因此，2W 的方程为2211122x y -=(1x >). ------------4分 (2) 由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )，得1F P u u u r =(x p +1,y p )，1F M u u u u r=(x M +1,y M )，由条件，得1(1)M p M p x m x y my +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即1M p Mp x mx m y my =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， ---------------5分由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )分别在曲线1W 和2W 上，有2222122(1)2()1p p p p x y mx m my ⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩，消去y p ，得2234(1)140p p m x m m x m +-+-= (*) ---------------7分将1m 代入方程(*)，成立，因此(*)有一根1p x m=,结合韦达定理得另一根为143p m x m -=，因为1m >,所以143p mx m-=<-1，舍去. 所以，1p x m=. -----------------------------------------------------8分 从而P 点坐标为(1m)，所以，直线2PF的斜率2PF k =，-------------------------------------9分由1M p x mx m m =+-=,得M (m所以，直线2MF的斜率2MF k =.--------------------10分因此，2MF 与2PF 斜率之和为零. ---------------------------------11分（3）由(2)知直线2PF 与2NF 关于x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P 与点N 关于x 轴对称，故N (m 1,1m-212-m ), -----------------------------12分 因此，S=21⨯|F 1F 2|(|y M |+|y N |)=21⨯2(212-m +m 1212-m ) =212-m +2211m -，-----------14分 因为S 在()1,+∞上单调递增, ----------------------------------15分 所以,S的取值范围是)+∞.----------------------------------------------------16分21、解：（1）当2k ≥时，1211k k t t t t -=+++L ，----------------------------------------------------------------2分 1121k k t t t t +=+++L ，于是1k k k t t t +-=，即12k k t t +=，又2112,1t t t ==， ---------------------3分所以12k k t -=，故21122221k kk T -=++++=-L . ---------------4分（2）由12k k t -=得第8行中共有27=128个数，所以，第8行中的数超过73个，-------6分70773*******n T =+=-+=，-----7分从而，020073n a a a ==，由26-1=63<73，27-1=127>73，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知7310a a ==2，--------------------------------------------------------9分所以，02n a =.--------------------------------------------------------------10分（3）由于数表的前n 行共有21n -个数，于是，先计算21n S -.方法一：在前21n-个数中，共有1个n ，2个1n -，22个2n -，……，2n -k个k ，……，2n-1个1， ---------------------------------------------------12分 因此21n S -=n ×1+(n -1)×2+…+ k ×2n -k +…+2×2n -2+1×2n -1 则2×21n S -=n ×2+(n -1)×22+…+ k ×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n两式相减，得21n S -=n -+2+22+…+2n-1+2n ＝2n+1-n -2. ------------15分方法二：由此数表构成的过程知，121212n n S S n ---=+，---------------12分 则21n S -+n +2=2(121n S --+n +1)，即数列{21n S -+n +2}是以S 1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列, 所以21n S -+n +2＝4×2n-1，即21n S -=2n+1-n -2. ------------------------------15分 S 2017=1021S -+S 994 -----------------------------------------------------------------16分=1021S -+921S -+S 483=1021S -+921S -+821S -+S 228＝1021S -+921S -+821S -+721S -+S 101 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+S 38 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+521S -+S 7=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5)=3986. ------------------------------------------------------------------------18分。
2017年上海市崇明区高考数学二模试卷(解析版)
．
12．（5 分）已知△ABC 是边长为 的正三角形，PQ 为△ABC 外接圆 O 的一条直径，M
为△ABC 边上的动点，则
的最大值是
．
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题
纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．】
13．（5 分）一组统计数据 x1，x2，x3，x4，x5 与另一组统计数据 2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，
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18．（14 分）设 F1、F2 分别为椭圆 C：
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点 A 为椭圆
C 的左顶点，点 B 为椭圆 C 的上顶点，且|AB|＝ ，△BF1F2 为直角三角形． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 y＝kx+2 与椭圆交于 P、Q 两点，且 OP⊥OQ，求实数 k 的值． 19．（14 分）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域 ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在 点 F（0，5）是双曲线
的一个焦点，则 m＝
．
5．（4 分）已知正四棱锥的底面边长是 2，侧棱长是 ，则该正四棱锥的体积为
．
6．（4 分）若实数 x，y 满足
，则目标函数 z＝2x﹣y 的最大值为
．
7．（5 分）若
的二项展开式中各项的二项式系数的和是 64，则 n＝
（1）已知函数 f（x）＝sin（x+ ），试判断 f（x）是否为“M 类函数”？并说明理由；
（2）设 f（x）＝2x+m 是定义在[﹣1，1]上的“M 类函数”，求实数 m 的最小值；
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2017年上海市普陀区高考数学二模试卷含详解
2017年上海市普陀区高考数学二模试卷一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．（4分）计算：（1+）3=．2．（4分）函数f（x）=log2（1﹣）的定义域为．3．（4分）若＜α＜π，sinα=，则tan=．4．（4分）若复数z=（1+i）•i2（i表示虚数单位），则=．5．（4分）曲线C：（θ为参数）的两个顶点之间的距离为．6．（4分）若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为（结果用最简分数表示）．7．（5分）若关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则实数m 的取值范围是．8．（5分）若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125π，则此圆锥的高为．9．（5分）若函数f（x）=log22x﹣log2x+1（x≥2）的反函数为f﹣1（x）．则f﹣1（3）=．10．（5分）若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，则球O的表面积为．11．（5分）设a＜0，若不等式sin2x+（a﹣1）cosx+a2﹣1≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是．12．（5分）在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC的面积为1，则•+2的最小值为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）动点P在抛物线y=2x2+1上移动，若P与点Q（0，﹣1）连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为（）A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x2 14．（5分）若α、β∈R，则“α≠β”是“tanα≠tanβ”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥βD．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β16．（5分）关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；（2）求异面直线A1C与DE所成的角（结果用反三角函数表示）．18．（14分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=时，f（x）取得最大值．（1）计算f（）的值；（2）设g（x）=f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．19．（14分）某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（单位：元）（1）试用含有v、ω的代数式表示P；（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．20．（16分）已知椭圆T：+=1，直线l经过点P（m，0）与T相交于A、B 两点．（1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求证：P必为Γ的焦点；（2）设m＞0，若点D在Γ上，且|PD|的最大值为3，求m的值；（3）设O为坐标原点，若m=，直线l的一个法向量为=（1，k），求△AOB 面积的最大值．21．（18分）已知数列{a n}（n∈N*），若{a n+a n+1}为等比数列，则称{a n}具有性质P．（1）若数列{a n}具有性质P，且a1=a2=1，a3=3，求a4、a5的值；（2）若b n=2n+（﹣1）n，求证：数列{b n}具有性质P；（3）设c1+c2+…+c n=n2+n，数列{d n}具有性质P，其中d1=1，d3﹣d2=c1，d2+d3=c2，若d n＞102，求正整数n的取值范围．2017年上海市普陀区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．（4分）计算：（1+）3=1．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】根据题意，对（1+）3变形可得（1+）3=（+++1），由极限的意义计算可得答案．【解答】解：根据题意，（1+）3==（+++1）=1，即（1+）3=1；故答案为：1．【点评】本题考查极限的计算，需要牢记常见的极限的化简方法．2．（4分）函数f（x）=log2（1﹣）的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：1﹣＞0，解得：x＞1或x＜0，故答案为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．3．（4分）若＜α＜π，sinα=，则tan=3．【考点】GW：半角的三角函数．【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，再利用半角公式求得tan的值．【解答】解：若＜α＜π，sinα=，则cosα=﹣=﹣，∴tan==3，故答案为：3．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．4．（4分）若复数z=（1+i）•i2（i表示虚数单位），则=﹣1+i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】先化简，再根据共轭复数的定义即可求出【解答】解：z=（1+i）•i2=﹣1﹣i，∴=﹣1+i，故答案为：﹣1+i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算以及共轭复数，是基础的计算题．5．（4分）曲线C：（θ为参数）的两个顶点之间的距离为2．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；34：方程思想；5S：坐标系和参数方程．【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（±1，0），由两点间距离公式计算可得答案．【解答】解：曲线C：，其普通方程为x2﹣y2=1，则曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（±1，0），则则两个顶点之间的距离为2；故答案为：2．【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，涉及双曲线的几何性质，关键是将曲线的参数方程化为普通方程．6．（4分）若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】先求出基本事件总数n=52×52，再求出两张牌都是K包含的基本事件个数m=4×4，由此能求出两张牌都是K的概率．【解答】解：从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，在放回抽取的情形下，基本事件总数n=52×52，两张牌都是K包含的基本事件个数m=4×4，∴两张牌都是K的概率为p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想，是基础题．7．（5分）若关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则实数m 的取值范围是[1，] ．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】33：函数思想；4R：转化法．【分析】由题意，关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，转化为函数y=sin（x+）与函数y=m的图象有交点问题．【解答】解：由题意，sinx+cosx﹣m=0，转化为：sinx+cosx=m，设函数y=sin （x+）x∈[0，]上，则x+∈[，]∴sin（x+）∈[]∴函数y=sin（x+）的值域为[1，]关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则函数y=m的值域为[1，]，即m∈[1，]故答案为：[1，]．【点评】本题考查了方程有解问题转化为两个函数的交点的问题．属于基础题．8．（5分）若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125π，则此圆锥的高为5．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，利用体积为125π，建立方程，即可求出此圆锥的高．【解答】解：设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，∵体积为125π，∴=125π，∴h=5．故答案为：5．【点评】本题考查圆锥体积的计算，考查方程思想，比较基础．9．（5分）若函数f（x）=log22x﹣log2x+1（x≥2）的反函数为f﹣1（x）．则f﹣1（3）=4．【考点】4R：反函数．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】由题意，log22x﹣log2x+1=3，根据x≥2，即可得出结论．【解答】解：由题意，log22x﹣log2x+1=3，∵x≥2，∴x=4，故答案为4．【点评】本题考查对数方程，考查反函数的概念，正确转化是关键．10．（5分）若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，则球O的表面积为20π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由余弦定理求出BC=2，利用正弦定理得∠ABC=90°．从而△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，进而能求出球O的半径R，由此能求出球O 的表面积．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，∴BC==2，∴AC2=BC2+AB2，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，∴球O的半径R==，∴球O的表面积S=4πR2=20π．故答案为：20π．【点评】本题考查三棱锥、球、勾股定理等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．11．（5分）设a＜0，若不等式sin2x+（a﹣1）cosx+a2﹣1≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是a≤﹣2．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】不等式进行等价转化为关于cosx的一元二次不等式，利用二次函数的性质和图象列不等式组求得答案．【解答】解；不等式等价于1﹣cos2x+acosx+a2﹣1﹣cosx≥0，恒成立，整理得﹣cos2x+（a﹣1）cosx+a2≥0，设cosx=t，则﹣1≤t≤1，g（t）=﹣t2+（a﹣1）t+a2，要使不等式恒成立需：求得a≥1或a≤﹣2，而a＜0故答案为：a ≤﹣2．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，二次函数的性质．注重了对数形结合思想的运用和问题的分析．12．（5分）在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 的中点，M 是直线DE 上的动点，若△ABC 的面积为1，则•+2的最小值为 ．【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】35：转化思想；41：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】由三角形的面积公式，S △ABC =2S △MBC ，则S △MBC =，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则•+2，利用导数求得函数的单调性，即可求得则•+2的最小值； 方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得•+2的最小值．【解答】解：∵D 、E 是AB 、AC 的中点，∴A 到BC 的距离=点A 到BC 的距离的一半， ∴S △ABC =2S △MBC ，而△ABC 的面积1，则△MBC 的面积S △MBC =，S △MBC =丨MB 丨×丨MC 丨sin ∠BMC=，∴丨MB 丨×丨MC 丨=． ∴•=丨MB 丨×丨MC 丨cos ∠BMC=． 由余弦定理，丨BC 丨2=丨BM 丨2+丨CM 丨2﹣2丨BM 丨×丨CM 丨cos ∠BMC ， 显然，BM 、CM 都是正数，∴丨BM 丨2+丨CM 丨2≥2丨BM 丨×丨CM 丨，∴丨BC 丨2=丨BM 丨2+丨CM 丨2﹣2丨BM 丨×丨CM 丨cos ∠BMC=2×﹣2×．．∴•+2≥+2×﹣2×=，方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，∴cos∠BMC=时，取得最小值为，•+2的最小值是，方法二：令y=，则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则sin（∠BMC+α）=2，tanα=，则sin（∠BMC+α）=≤1，解得：y≥，•+2的最小值是，故答案为：．【点评】本题考查了向量的线性运算、数量积运算、辅助角公式，余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）动点P在抛物线y=2x2+1上移动，若P与点Q（0，﹣1）连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为（）A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x2【考点】J3：轨迹方程．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设PQ中点为（x，y），进而根据中点的定义可求出M点的坐标，然后代入到曲线方程中得到轨迹方程．【解答】解：设PQ中点为M（x，y），则P（2x，2y+1）在抛物线y=2x2+1上，即2（2x）2=（2y+1）﹣1，∴y=4x2．故选：B．【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．14．（5分）若α、β∈R，则“α≠β”是“tanα≠tanβ”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据正切函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若“α≠β”，则“tanα≠tanβ”不成立，不是充分条件，反之也不成立，比如α=，β=，故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查正切函数的性质，是一道基础题．15．（5分）设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥βD．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，知：在A中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题．16．（5分）关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数【考点】GS：二倍角的三角函数；H7：余弦函数的图象．【专题】15：综合题；35：转化思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．【分析】先化简函数，再利用余弦函数的图象与性质，即可得出结论．【解答】解：y=sin2x=（1﹣os2x）=﹣cos2x+∴函数的最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数，故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简，考查余弦函数的图象与性质，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；（2）求异面直线A1C与DE所成的角（结果用反三角函数表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】（1）由题意画出图形，取AD中点G，连接FG，BG，可证四边形B1BGF 为平行四边形，得BG∥B1F，再由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，得BG∥DE，BG=DE，从而得到B1F∥DE，且B1F=DE，进一步得到四边形B1EDF为平行四边形，再由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，得到四边形B1EDF是菱形；（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，然后利用空间向量求异面直线A1C与DE所成的角．【解答】（1）证明：取AD中点G，连接FG，BG，可得B1B∥FG，B1B=FG，∴四边形B1BGF为平行四边形，则BG∥B1F，由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，BG=DE，则B1F∥DE，且B1F=DE，∴四边形B1EDF为平行四边形，由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，∴四边形B1EDF是菱形；（2）解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），E（1，，0），∴，，∴cos＜＞==．∴异面直线A1C与DE所成的角为arccos．【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求异面直线所成角，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=时，f（x）取得最大值．（1）计算f（）的值；（2）设g（x）=f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】首先，根据已知得到f（x）=sin（x+θ），然后根据最值建立等式，得到a=b，再化简函数f（x）=asin（x+），（1）将代入解析式求值；（2）求出g（x）解析式，利用奇偶函数定义判断奇偶性．【解答】解：由已知得到f（x）=sin（x+θ），又x=时，f（x）取得最大值．所以a=b，f（x）=asin（x+），所以（1）f（）=asin（3π）=0；（2）g（x）为偶函数．理由：设g（x）=f（﹣x）=asin（﹣x）=acosx，所以函数g（﹣x）=g（x），为偶函数．【点评】本题考查了三角函数的性质以及奇偶性的判定；属于基础题．19．（14分）某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（单位：元）（1）试用含有v、ω的代数式表示P；（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）分析题意，找出相关量之间的不等关系，（2）求出x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域，要求走得最经济，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数p与直线截距的关系，进而求出最优．【解答】解：（1）由题意得：x=，4≤v≤20，y=，30≤ω≤100，∴P=100+3（5﹣）+（8﹣）=123﹣﹣，其中，4≤v≤20，30≤ω≤100，（2）由（1）可得2.5≤x≤12.5，3≤y≤10，①由于汽车、乘船所需的时间和应在9至14小时之间，∴9≤x+y≤14 ②因此满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分目标函数p=100+3（5﹣x）+（8﹣y）=123﹣3x﹣y，当x=11，y=3时，p 最小，此时，p=123﹣33﹣3=87【点评】本题考查不等式关系的建立，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（16分）已知椭圆T：+=1，直线l经过点P（m，0）与T相交于A、B两点．（1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求证：P必为Γ的焦点；（2）设m＞0，若点D在Γ上，且|PD|的最大值为3，求m的值；（3）设O为坐标原点，若m=，直线l的一个法向量为=（1，k），求△AOB 面积的最大值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用两点之间距离公式，即可求得m的值，由椭圆的方程，即可求得焦点坐标，即可求证P必为Γ的焦点；（2）利用两点之间的距离公式，根据二次函数的单调性，当x0=﹣2时，取最大值，代入即可求得m的值；（3）求得直线AB的方程，代入方程，由韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，利用基本不等式的性质，即可求得△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）证明：由椭圆焦点F（±1，0），由|PC|==2，解得：m=±1，∴P点坐标为（±1，0），∴P必为Γ的焦点；（2）设D（x0，y0），y02=3（1﹣），|PD|2=（x0﹣m）2+y02=﹣2mx0+m2+3，﹣2≤x0≤2，有函数的对称轴x0=4m＞0，则当x0=﹣2时，取最大值，则|PD|2=1+4m+m2+3=9，m2+4m﹣5=0，解得：m=1或m=﹣5（舍去），∴m的值1；（3）直线l的一个法向量为=（1，k），则直线l的斜率﹣，则直线l方程：y﹣0=﹣（x﹣），整理得：ky+x﹣=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（3k2+4）y2﹣6ky﹣3=0，则y1+y2=，y1y2=﹣，丨AB丨=•=，则O到直线AB的距离d=，则△AOB面积S=×丨AB丨×d=××==≤=，当且仅当=，即k2=，取等号，∴△AOB面积的最大值．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．21．（18分）已知数列{a n}（n∈N*），若{a n+a n+1}为等比数列，则称{a n}具有性质P．（1）若数列{a n}具有性质P，且a1=a2=1，a3=3，求a4、a5的值；（2）若b n=2n+（﹣1）n，求证：数列{b n}具有性质P；（3）设c1+c2+…+c n=n2+n，数列{d n}具有性质P，其中d1=1，d3﹣d2=c1，d2+d3=c2，若d n＞102，求正整数n的取值范围．【考点】8B：数列的应用．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）{a n+a n+1}为等比数列，由a1=a2=1，a3=3，可得{a n+a n+1}的公比为2，可得a n+a n+1=2n，进而得出a4、a5的值；（2）证明{b n+b n+1}是以公比为2的等比数列，即可得出结论；（3）求出d n+d n+1=2n，利用d n＞102，求正整数n的取值范围．【解答】解：（1）{a n+a n+1}为等比数列，∵a1=a2=1，a3=3，∴a1+a2=1+1=2，a2+a3=1+3=4，∴{a n+a n+1}的公比为2，∴a n+a n+1=2n，∴a3+a4=23=8，即a4=5，∴a4+a5=24=16，即a5=11；（2）∵b n=2n+（﹣1）n，∴b n+b n+1=2n+（﹣1）n+2n+1+（﹣1）n+1=3•2n，∴{b n+b n+1}是以公比为2的等比数列，∴数列{b n}具有性质P．（3）∵c1+c2+…+c n=n2+n，∴c1+c2+…+c n﹣1=（n﹣1）2+n﹣1，∴c n=2n，∵d1=1，d3﹣d2=c1=2，d2+d3=c2=4，∴d2=1，d3=3，∵数列{d n}具有性质P，由（1）可得，d n+d n+1=2n，∴d4=5，d5=11，d6=21，d7=43，d8=85，d9=171，∵d n＞102，∴正整数n的取值范围是[9，+∞）．【点评】本题考查新定义，考查等比数列的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
上海市浦东新区2017届高考数学二模试卷 含解析 精品
2017年上海市浦东新区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．已知集合，集合B={y |0≤y ＜4}，则A ∩B= ．2．若直线l 的参数方程为，t ∈R ，则直线l 在y 轴上的截距是 ．3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为 ．4．抛物线的焦点和准线的距离是 ．5．已知关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵为，则3x ﹣y= ．6．若三个数a 1，a 2，a 3的方差为1，则3a 1+2，3a 2+2，3a 3+2的方差为 ． 7．已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是 ．8．函数，的单调递减区间是 ．9．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，则= ．10．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：①f （x ）+f （2﹣x ）=0；②f （x ）﹣f （2﹣x ）=0；③在[﹣1，1]上的表达式为，则函数f （x ）与的图象在区间[﹣3，3]上的交点的个数为 ．11．已知各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），且a 1=a 10，则首项a 1所有可能取值中最大值为 ．12．已知平面上三个不同的单位向量，，满足•==，若为平面内的任意单位向量，则||+|2|+3||的最大值为 ．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13．若复数满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数在平面上对应的图形是（）A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段14．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）（3）C．（1）（3）（2）D．（2）（4）（1）15．已知2sinx=1+cosx，则=（）A．2 B．2或C．2或0 D．或016．已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），则a4的取值范围是（）A．（3，8）B．（2，16）C．（4，8）D．三、解答题（共5小题，满分80分）17．（14分）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点．（1）求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．18．（14分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为S2；试求出S1的最大值和S2（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好．19．（18分）已知双曲线，其右顶点为P．（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为=（1，﹣1），若在双曲线C上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值．20．（16分）若数列{A n}对任意的n∈N*，都有（k≠0），且A n≠0，则称数列{A n}为“k级创新数列”．（1）已知数列{a n}满足且，试判断数列{2a n+1}是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，若b1=10，求数列{b n}的前n 项积T n；（3）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），令，在（2）的条件下，记数列{c n}的通项，求证：c n+2=c n+1+c n，n∈N*．21．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若函数sin[g（x）]是奇函数，则称g（x）为正弦奇函数．已知f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f （0）=0．（1）已知g（x）是正弦奇函数，证明：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；（2）若f（a）=，f（b）=﹣，求a+b的值；（3）证明：f（x）是奇函数．2017年上海市浦东新区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．已知集合，集合B={y|0≤y＜4}，则A∩B=[2，4）．【考点】1E：交集及其运算．【分析】先求出集合A，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：由≥0，解得x≥2或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞），集合B={y|0≤y＜4}=[0，4），则A∩B=[2，4），故答案为：[2，4），【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．若直线l的参数方程为，t∈R，则直线l在y轴上的截距是1．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】令x=0，可得t=1，y=1，即可得出结论．【解答】解：令x=0，可得t=1，y=1，∴直线l在y轴上的截距是1．故答案为1．【点评】本题考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，比较基础．3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为8π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r，进而利用侧面积的计算公式计算即可．【解答】解：由题意，底面的半径r=2，∴该圆椎的侧面积S=π×2×4=8π，故答案为：8π．【点评】熟练掌握圆锥的轴截面的性质和侧面积的计算公式是解题的关键．4．抛物线的焦点和准线的距离是2．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】首先将化成开口向上的抛物线方程的标准方程，得到系数2p=4，然后根据公式得到焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，最后可得该抛物线焦点到准线的距离．【解答】解：化抛物线为标准方程形式：x2=4y∴抛物线开口向上，满足2p=4∵=1，焦点为（0，）∴抛物线的焦点坐标为（0，1）又∵抛物线准线方程为y=﹣，即y=﹣1∴抛物线的焦点和准线的距离为d=1﹣（﹣1）=2故答案为：2【点评】本题以一个二次函数图象的抛物线为例，着重考查了抛物线的焦点和准线等基本概念，属于基础题．5．已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则3x﹣y=5．【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．【分析】根据增广矩阵求得二元一次方程组，两式相加即可求得3x﹣y=5．【解答】解：由二元一次方程组的增广矩阵为，则二元一次方程组为：，两式相加得：3x﹣y=5，∴3x﹣y=5，故答案为：5．【点评】本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．6．若三个数a1，a2，a3的方差为1，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差为9．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】根据所给的三个数字的方差的值，列出方差的表示式要求3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差值，只要根据原来方差的表示式变化出来即可．【解答】解：∵三个数a1，a2，a3的方差为1，设三个数的平均数是，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的平均数是3+2有1=∴3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差是+]==9故答案为：9．【点评】本题考查方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．7．已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是0.98．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两人各向A目标射击一次，射手甲或射手乙击中A目标的概率．【解答】解：射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，甲、乙两人各向A目标射击一次，射手甲或射手乙击中A目标的概率：p=1﹣（1﹣0.9）（1﹣0.8）=0.98． 故答案为：0.98．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式、对立事件概率计算公式的合理运用．8．函数，的单调递减区间是．【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】函数=﹣sin （x ﹣），将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．【解答】解：由函数=﹣sin （x ﹣），令x ﹣，k ∈Z得： +2kπ≤x ≤，∵，当k=0时，可得单调递减区间为．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．9．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，则=．【考点】8J ：数列的极限．【分析】先表示出S n ，a n ，即可求出极限的值．【解答】解：由于数列{a n }是公差为2的等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则S n =na 1+n （n ﹣1）•2=n （n +a 1﹣1）， a n =a 1+（n ﹣1）•2=2n +a 1﹣2，则==．故答案为：．【点评】本题主要考察极限及其运算．解题的关键是要掌握极限的实则运算法则和常用求极限的技巧！10．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x）﹣f（2﹣x）=0；③在[﹣1，1]上的表达式为，则函数f（x）与的图象在区间[﹣3，3]上的交点的个数为6．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】先根据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f（x）和g（x）的部分图象，由图象观察交点的个数．【解答】解：∵①f（x）+f（2﹣x）=0，②f（x）﹣f（﹣2﹣x）=0，∴f（x）图象的对称中心为（1，0），f（x）图象的对称轴为x=﹣1，结合③画出f（x）和g（x）的部分图象，如图所示，据此可知f（x）与g（x）的图象在[﹣3，3]上有6个交点．故答案为：6．【点评】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图象交点个数等问题，属于中档题．11．已知各项均为正数的数列{a n}满足（2a n+1﹣a n）（a n+1a n﹣1）=0（n∈N*），且a1=a10，则首项a1所有可能取值中最大值为16．【考点】8H ：数列递推式．【分析】各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），可得a n +1=a n ，或a n +1a n =1．又a 1=a 10，a 9a 10=1，应该使得a 9取得最小值．再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），∴a n +1=a n ，或a n +1a n =1．又a 1=a 10，a 9a 10=1，应该使得a 9取得最小值．根据a n +1=a n ，可得数列{a n }为等比数列，公比为．取a 9=a 1×，a 1＞0．又a 9=，∴=28，解得a 1=24=16． ∴a 1的最大值是16． 故答案为：16．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知平面上三个不同的单位向量，，满足•==，若为平面内的任意单位向量，则||+|2|+3||的最大值为 5 ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由向量投影的定义可得当++与共线时，取得最大值，再根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：||+|2|+3||=||+2||+3||，其几何意义为在的投影的绝对值与在上投影的绝对值的2倍与在上投影的绝对值的倍的3和，当++与共线时，取得最大值．∵•==，∴=﹣∴（||+|2|+3||）2=||2+4||2+9||2+4||+6||+12||=1+4+9+2+3+6=25，max故||+|2|+3||的最大值为5，故答案为：5．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13．若复数满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数在平面上对应的图形是（）A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】|z+i|+|z﹣i|=2，在复平面上，复数z对应的点Z的集合表示的是：到两个定点E（0，﹣1），F（0，1）的距离之和为定值2的点的集合，而|EF|=2，即可得出结论．【解答】解：|z+i|+|z﹣i|=2，在复平面上，复数z对应的点Z的集合表示的是：到两个定点E（0，﹣1），F（0，1）的距离之和为定值2的点的集合，而|EF|=2，因此在复平面上，满足|z+i|+|z﹣i|=2的复数z对应的点Z的集合表示的是：线段，∴复数在平面上对应的图形是线段．故选：D．【点评】本题考查了复平面上的两点间的距离公式及其复数的几何意义、点的集合，属于基础题．14．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）（3）C．（1）（3）（2）D．（2）（4）（1）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据几何体的直观图得到三视图．【解答】解：由于几何体被切去一个角，所以正视图、俯视图以及侧视图的矩形都有对角线；关键放置的位置得到C；故选C．【点评】本题考查了几何体的三视图；属于基础题．15．已知2sinx=1+cosx，则=（）A．2 B．2或C．2或0 D．或0【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】推导出cot==，由此能求出结果．【解答】解：∵cot===，2sinx=1+cosx，∴当cosx=﹣1时，sinx=0，无解；当cosx≠﹣1时，cot==2．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数关系式、二倍角公式、降幂公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．16．已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），则a4的取值范围是（）A．（3，8）B．（2，16）C．（4，8）D．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设公比为q，根据a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），可得可得q的取值范围，再利用a4=a3q，即可得出．【解答】解：设公比为q，则∵a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），∴∴③÷②：1＜q＜4④③÷①：或q＞⑤由④⑤可得：＜q＜4∴a4=a3q，∴a4∈．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分80分）17．（14分）（2017•浦东新区二模）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点．（1）求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；L*：球面距离及相关计算．【分析】（1）求出球心角，即可求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求出平面ABC的法向量，即可求直线CD与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）由题意，cos∠COD==，∴∠COD=，∴D，C两点在球O上的球面距离为；（2）A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），重心坐标为（，，），∴平面ABC的法向量为=（，，），∵=（0，﹣，﹣），∴直线CD与平面ABC所成角的正弦=||=，∴直线CD与平面ABC所成角的大小为．【点评】本题考查球面距离，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（14分）（2017•浦东新区二模）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为S2；试求出S1的最大值和S2（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）设OP=a，OQ=b，则12=a2+b2﹣2abcos，再利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．（2）方案一：设OA=x（0＜x＜1），则OB=1﹣x．则S1=（1﹣x）sin∠AOB，利用基本不等式的性质即可得出最大值．方案二：设半径r（0＜r＜1），则=1．解得r=．可得S2=+，即可比较出S1与S2的大小关系．【解答】解：（1）设OP=a，OQ=b，则12=a2+b2﹣2abcos≥2ab+ab，可得ab，当且仅当时取等号．S=absin≤=．∴当且仅当时，养殖场△POQ的面积最大，（平方千米）（2）方案一：设OA=x（0＜x＜1），则OB=1﹣x．则S1=（1﹣x）sin∠AOB≤=，当且仅当x=时取等号．∴（平方千米），方案二：设半径r（0＜r＜1），则=1．解得r=．∴S2=+≈0.144（平方千米）∴S1＜S2，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好．【点评】本题考查了基本不等式的性质、三角形面积计算公式、余弦定理、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（18分）（2017•浦东新区二模）已知双曲线，其右顶点为P．（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为=（1，﹣1），若在双曲线C上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值．【考点】KM：直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程；（2）求出与直线l平行，且与双曲线消去的直线方程，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，P（2，0），双曲线的渐近线方程为y=±x，P到渐近线的距离d==，∴圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=；（2）由题意，直线l的斜率为1，设与直线l平行的直线方程为y=x+m，代入双曲线方程整理可得x2+8mx+4m2+12=0，△=64m2﹣4（4m2+12）=0，可得m=±1，与直线l：y=x+2的距离分别为或，即d=或【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查圆的方程，考查直线与双曲线位置关系的运用，属于中档题．20．（16分）（2017•浦东新区二模）若数列{A n}对任意的n∈N*，都有（k≠0），且A n≠0，则称数列{A n}为“k级创新数列”．（1）已知数列{a n}满足且，试判断数列{2a n+1}是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，若b1=10，求数列{b n}的前n 项积T n；（3）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），令，在（2）的条件下，记数列{c n}的通项，求证：c n+2=c n+1+c n，n∈N*．【考点】8I：数列与函数的综合．【分析】（1）数列{2a n+1}是“2级创新数列”，下面给出证明：，可得a n+1+1=+1=≠0，即可证明．（2）正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，．b n===…==．又b1=10，利用指数的运算性质可得数列{b n}的前n项积T n=．（3）α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），可得β2﹣β﹣1=0，α2﹣α﹣1=0．在（2）的条件下，记数列{c n}的通项=βn﹣1×=．【解答】（1）解：数列{2a n+1}是“2级创新数列”，下面给出证明：∵，∴2a n+1+1=+1=≠0，∴数列{2a n+1}是“2级创新数列”．（2）解：∵正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，∴．∴b n====…==．又b 1=10，∴数列{b n }的前n 项积T n =b n b n ﹣1•…•b 1==．（3）证明：α，β是方程x 2﹣x ﹣1=0的两个实根（α＞β）， ∴β2﹣β﹣1=0，α2﹣α﹣1=0．在（2）的条件下，记数列{c n }的通项=βn ﹣1×=βn ﹣1×=．∴c n +2=．c n +1+c n =+．∴c n +2﹣（c n +1+c n ）==0．∴c n +2=c n +1+c n ．【点评】本题考查了数列递推关系、指数的运算性质、一元二次风吹草动根与系数的关系、作差法，考查了推理能力、计算能力，属于中档题．21．（18分）（2017•浦东新区二模）对于定义域为R 的函数g （x ），若函数sin [g （x ）]是奇函数，则称g （x ）为正弦奇函数．已知f （x ）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，f （0）=0．（1）已知g （x ）是正弦奇函数，证明：“u 0为方程sin [g （x ）]=1的解”的充要条件是“﹣u 0为方程sin [g （x ）]=﹣1的解”；（2）若f （a ）=，f （b ）=﹣，求a +b 的值；（3）证明：f （x ）是奇函数． 【考点】3P ：抽象函数及其应用．【分析】（1）根据正弦奇函数的定义，结合充要条件的定义，分别证明必要性和充分性，可得结论；（2）由f （x ）是单调递增的正弦奇函数，f （a ）=，f （b ）=﹣，可得a ，b互为相反数，进而得到答案．（3）根据f （x ）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，f （0）=0得到：f （﹣x）=﹣f（x），可得结论．【解答】证明（1）∵g（x）是正弦奇函数，故sin[g（x）]是奇函数，当：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”时，sin[g（u0）]=1，则sin[g（﹣u0）]=﹣1，即“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；故：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的必要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；当：“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”时，sin[g（﹣u0）]=﹣1，则sin[g（u0）]=1，即“u0为方程sin[g（x）]=1的解”；故：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充分条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；综上可得：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；解：（2）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，f（a）=，f（b）=﹣，则sin[f（a）]+sin[f（b）]=1﹣1=0，则a=﹣b，则a+b=0证明：（3）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f（0）=0．故sin[f（﹣x）]+sin[f（x）]=0，即sin[f（﹣x）]=﹣sin[f（x）]=sin[﹣f（x）]，f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的奇偶性，函数的单调性，充要条件，难度中档．。
2017年上海市高考数学·二模汇编 函数
2017届高中数学·二模汇编 函数一、填空题1、已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是()1f x -，则12f -1⎛⎫= ⎪⎝⎭____________2、已知函数()f x x x a=-，若对任意[]12,3x ∈，[]22,3x ∈，12x x ≠，恒有1212()()()22x x f x f x f ++>，则实数a 的取值范围为___________． 3、对于给定的实数0k >，函数xkx f =)(的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围是_________．4、设()f x 是定义在R 上的奇函数, 当0x >时,3()2xf x =-. 则不等式()5f x <-的解为________. 5、设函数()||||a f x x x a =+-. 当a 在实数范围内变化时, 在圆盘221x y +≤内, 且不在任一()a f x 的图像上的点的全体组成的图形的面积为_________.6、已知函数2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是____________．7、设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”． 8、已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．9、已知()21xf x =-，则1(3)f-=10、若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 11、函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 12、若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f -，则)3(1-f=13、已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()(2)0f x f x +-=；②()(2)0f x f x ---=；③ 在[1,1]-上表达式为[1,0]()1,(0,1]x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与122,0()log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图像在区间[3,3]-上的交点的个数为14、若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是15、设)(x f 为R 上的奇函数．当0≥x 时，b x x f x++=22)( (b 为常数)，则)1(-f 的值为____16、设)(1x f-为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)1(1f ________ 17、若2131)(--=xx x f ，则满足0)(>x f 的x 的取值范围是_______18、设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数（如2]32.2[=，5]76.4[-=-），对于给定的*N ∈n ，定义)1][()1()1][()1(+--+--=x x x x x n n n C x n ，其中),1[∞+∈x ，则当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈3,23x 时，函数xC x f 10)(=的值域是_______________19、函数y 的定义域是 ．20、若函数3 (0),() 1 (0)x x a x f x a x -+<⎧=⎨+≥⎩(a >0,且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是21、函数21()(2)1xx f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x +++=22、设点()9,3在函数()()()log 10,1a f x x a a =->≠的图像上，则()f x 的反函数()1f x -=________．二、填空题1、若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设()()20x f x x xλ+=>，若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m的对称点”，则实数λ的取值范围是（ ）A. (]0,2B. (]1,2C. []1,2D. []1,42、若()f x 为奇函数，且0x 是()xy f x e =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点 （ ）A ．()1xy f x e =+ B ．()1x y f x e-=--C ．()1x y f x e =-D ．()1xy f x e =-+3、对于定义在R 上的函数()f x , 若存在正常数,a b , 使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立, 则称()f x 是“控制增长函数”。
2017年上海市高考数学·二模汇编 数列
2017届高中数学·二模汇编 数列一、填空题1、设多项式()()()()23*11110,nx x x x x n N ++++++++≠∈的展开式中x 项的系数为n T ，则2limnn T n →∞=____________2、设1210,,,x x x 为1,2,,10的一个排列，则满足对任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为____________ 3、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()3n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=_________4、已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S = ．5、计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .6、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=7、已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++--=*()n N ∈，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为8、已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =___．9、各项均不为零的数列}{n a 的前n 项和为n S ． 对任意*N ∈n ，)2,(11++-=n n n n a a a m 都是直线kx y =的法向量．若n n S ∞→lim 存在，则实数k 的取值范围是______10、已知xx x f +-=11)(，数列}{n a 满足211=a ，对于任意*N ∈n 都满足)(2n n a f a =+，且0>n a ，若1820a a =，则20172016a a +的值为_________11、=++++∞→nn n n n 3232lim11_______________． 12、设等差数列}{n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，公差为d ．若数列{}nS 也是公差为d 的等差数列，则}{na 的通项公式为=n a ___________13、对于数列{}n a ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是以T 为周期的周期数列．设1(01)b m m =<<，对任意正整数n 都有 111)1(01) (n n n n n b b b b b +->⎧⎪=⎨<⎪⎩≤，，若数列{}n b 是以5为周期的周期数列，则m的值可以是 ．(只要求填写满足条件的一个m 值即可)14、无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n 都有{}12310,,,,n S k k k k ∈，则10a 的可能取值最多．．有 个．15、已知{}n a 为等差数列，若16a =，350a a +=，则数列{}n a 的通项公式为_______16、已知数列{}n a 是无穷等比数列，它的前n 项的和为n S ，该数列的首项是二项式71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的x 的系数，公比是复数iz 311+=的模，其中i 是虚数单位，则n n S ∞→lim =_____．二、填空题1、设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（ ）（A ）512 （B ）256 （C ）255 （D ）64 2、设等差数列{}n a 的公差为d , 0d ≠. 若{}n a 的前10项之和大于其前21项之和, 则 （ ）(A) 0d <(B) 0d > (C) 160a <(D)160a >3、已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（ ） A. (3,8) B. (2,16) C. (4,8)D.三、解答题1、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-（*n N ∈）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1122++-=n n n b b ，81=b ，n T 是数列{}nb 的前n 项和，求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n T T ≥恒成立； （3）设11(1)(1)n n n n a c a a ++=++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意*n N ∈均有n R λ<恒成立，求λ的最小值．2、已知数列{}n a 是首项等于116且公比不为1的等比数列，n S 是它的前n 项和，满足325416S S =-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设log n a n b a =(0a >且1)a ≠，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最值．3、如果一条信息有n 1,)n n >∈N （种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为12,,,n p p p ，则称H =12()()()n f p f p f p ++（其中()f x =log ,a x x -(0,1)x ∈）为该条信息的信息熵．已知11()22f =． （1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小； （2）某次比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A ）参加，若当1,2,k =,1n -时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，求“谁获得冠军”的信息熵H 关于n 的表达式．4、已知()y f x =是R 上的奇函数，(1)1f -=-，且对任意(),0x ∈-∞，()11x f x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭都成立． (1) 求12f ⎛⎫-⎪⎝⎭、13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2) 设1()()n a f n n*=∈N ，求数列{}n a 的递推公式和通项公式；(3) 记121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++，求1limn n nT T +→∞的值．5、给定数列}{n a ，若满足a a =1（0>a 且1≠a ），对于任意的*,N ∈m n ，都有m n m n a a a ⋅=+，则称数列}{n a 为指数数列．（1）已知数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为123-⋅=n n a ，nn b 3=，试判断}{n a ，}{n b 是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列}{n a 满足：21=a ，42=a ，n n n a a a 2312-=++，证明：}{n a 是指数数列； （3）若数列}{n a 是指数数列，431++=t t a （*N ∈t ），证明：数列}{n a 中任意三项都不能构成等差数列．6、若数列{}n A 对任意的*n N ∈，都有1k n n A A +=(0)k ≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”.（1）已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=+且112a =，试判断数列{}21n a +是否为“2级创新数列”，并说明理由； （2）已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积n T ；（3）设α、β是方程210x x --=的两个实根()αβ>，令k βα=，在（2）的条件下，记数列{}n c 的通项1log n n n b n c T β-=⋅，求证：21n n n c c c ++=+，*n N ∈.7、数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（这里,a k 均为实数）（1）若{}n a 是等差数列，求k ； （2）若11,2a k ==-，求n S ; （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.8、已知数列}{n a 中，11=a ，a a =2，)(21+++=n n n a a k a 对任意*N ∈n 成立，数列}{n a 的前n 项和为n S ．（1）若}{n a 是等差数列，求k 的值； （2）若1=a ，21-=k ，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列}{n a 是公比不为1的等比数列且任意相邻三项m a ，1+m a ，2+m a 按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．9、设数列{}n a 满足4n n a A B n =⋅+⋅, 其中,A B 是两个确定的实数, 0B ≠.(1) 若1A B ==, 求{}n a 的前n 项之和; (2) 证明:{}n a 不是等比数列; (3) 若12a a =, 数列{}n a 中除去开始的两项之外, 是否还有相等的两项? 并证明你的结论.10、现有正整数构成的数表如下：第一行： 1第二行： 1 2第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5…… …… ……第k 行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,⋯,直至按原序抄写第1k -行,最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第n 个数记作n a (如11a =,21a =,32a =,41a =,⋯,73a =,⋯,14153,4,a a ==)．（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；（3）令123n n S a a a a =++++，求2017S 的值．11、已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值；（2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ； （3）设=+++n c c c 21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.12、对于数列{}n a ，定义12231n n n T a a a a a a +=+++，*n N ∈．(1) 若n a n =，是否存在*k N ∈，使得2017k T =？请说明理由；(2) 若13a =，61nn T =-，求数列{}n a 的通项公式； (3) 令21*112122,n n n n T T n b T T T n n N +--=⎧=⎨+-≥∈⎩，求证：“{}n a 为等差数列”的充要条件是“{}n a 的前4项为等差数列，且{}n b 为等差数列”．13、某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入)(n g 是生产时间n 个月的二次函数kn n n g +=2)(（k 是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．（1）求前8个月的累计生产净收入)8(g 的值；（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．14、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，91-=a ，2a 为整数，且对任意*N ∈n 都有5S S n ≥．（1）求}{n a 的通项公式；（2）设341=b ，⎩⎨⎧-+-=+为偶数为奇数n b n a b n n n n ,)2(,,1（*N ∈n ），求}{n b 的前n 项和n T ； （3）在（2）的条件下，若数列}{n c 满足)N ()21()1(*5122∈-++=++n b b c n a n n n n λ．是否存在实数λ，使得数列}{n c 是单调递增数列．若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．。
2017年上海市崇明区高考数学二模试卷含详解
2017年上海市崇明区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．（4分）函数y=1﹣2sin2（2x）的最小正周期是．2．（4分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x＜0}，则∁U A=．3．（4分）若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．4．（4分）设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m=．5．（4分）已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．6．（4分）若实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为．7．（5分）若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=，展开式中的常数项为．（用数字作答）8．（5分）数列{a n}是等比数列，前n项和为S n，若a1+a2=2，a2+a3=﹣1，则=．9．（5分）若函数f（x）=4x+2x+1的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则g（3）=．10．（5分）甲与其四位朋友各有一辆私家车，甲的车牌尾数是0，其四位朋友的车牌尾数分别是0，2，1，5，为遵守当地4月1日至5日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案总数为．11．（5分）已知函数f（x）=，α∈[0，2π）是奇函数，则α=．12．（5分）已知△ABC是边长为的正三角形，PQ为△ABC外接圆O的一条直径，M为△ABC边上的动点，则的最大值是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．（5分）一组统计数据x1，x2，x3，x4，x5与另一组统计数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，2x5+3相比较（）A．标准差相同B．中位数相同C．平均数相同D．以上都不相同14．（5分）“|b|＜2是“直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（5分）若等比数列{a n}的公比为q，则关于x，y的二元一次方程组的解的情况下列说法正确的是（）A．对任意q∈R（q≠0），方程组都有唯一解B．对任意q∈R（q≠0），方程组都无解C．当且仅当时，方程组有无穷多解D．当且仅当时，方程组无解16．（5分）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论中正确的个数是（）①对于一切x∈（﹣∞，1）都有f（x）＞0；②存在x＞0使xa x，b x，c x不能构成一个三角形的三边长；③若△ABC为钝角三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．A．3个B．2个C．1个D．0个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（14分）在三棱锥C﹣ABO中，OA、OB、OC所在直线两两垂直，且OA=OB，CA与平面AOB所成角为60°，D是AB中点，三棱锥C﹣ABO的体积是．（1）求三棱锥C﹣ABO的高；（2）在线段CA上取一点E，当E在什么位置时，异面直线BE与OD所成的角为arccos？18．（14分）设F1、F2分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆C的左顶点，点B为椭圆C的上顶点，且|AB|=，△BF1F2为直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线y=kx+2与椭圆交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求实数k的值．19．（14分）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知AB=18米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为θ．（1）若θ=60°，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1°）（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？20．（16分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（﹣x0）=﹣f（x0），则称f（x）为“M类函数”．（1）已知函数f（x）=sin（x+），试判断f（x）是否为“M类函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在[﹣1，1]上的“M类函数”，求实数m的最小值；（3）若f（x）=为其定义域上的“M类函数”，求实数m的取值范围．21．（18分）已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．（1）若p=1，写出a4的所有值；（2）若数列{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（3）若p=，且{a2n}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．﹣12017年上海市崇明区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．（4分）函数y=1﹣2sin2（2x）的最小正周期是．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；H1：三角函数的周期性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期【解答】解：函数y=1﹣2sin2（2x）化简可得：y=1﹣2（）=cos4x．∴最小正周期T=，故答案为．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用．比较基础．2．（4分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x＜0}，则∁U A=[0，1）．【考点】1F：补集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】由已知条件我们易求出集合A，再根据补集的定义，易求出C U A．【解答】解：∵集合A={x|x≥1}∪{x|x＜0}={x|x≥1，或x＜0}∴C U A={x|0≤x＜1}=[0，1）故答案为：[0，1）【点评】本题考查的知识点是补集及其运算，其中求出满足条件的集合A是解答的关键．3．（4分）若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由z+i=，得=，则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4．（4分）设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m=16．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的焦点坐标判断双曲线的焦点位置是解决本题的关键，利用双曲线标准方程中的分母与焦点非零坐标的关系，列出关于m的方程，通过解方程求出m的值．【解答】解：由于点F（0，5）是双曲线的一个焦点，故该双曲线的焦点在y轴上，从而m＞0．从而得出m+9=25，解得m=16．故答案为：16．【点评】本题考查双曲线标准方程中的分母几何意义的认识，考查双曲线焦点位置与方程的关系、考查学生对双曲线中a，b，c关系式的理解和掌握程度，考查学生的方程思想和运算能力，属于基本题型．5．（4分）已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=AC=．在直角三角形POA中，PO===1．所以VP﹣ABCD=•SABCD•PO=×4×1=．故答案为：．【点评】本题考查正四棱锥的体积的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查数形结合思想等，是中档题．6．（4分）若实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为2．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=2x﹣y过点A时，z取得最大值，由：可得A（3，4）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值：2×3﹣4=2．故答案为：2；【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7．（5分）若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=6，展开式中的常数项为15．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】首先由二项式系数的性质列式求得n值，再写出二项展开式的通项并整理，由x得指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由题意知：2n=64，即n=6；则，由．令3﹣，得r=2．∴展开式中的常数项为．故答案为：6；15．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．8．（5分）数列{a n}是等比数列，前n项和为S n，若a1+a2=2，a2+a3=﹣1，则=．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式可得a1，q，再利用=即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=2，a2+a3=﹣1，∴q=﹣，a1（1﹣）=2，解得a1=4．则==．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）若函数f（x）=4x+2x+1的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则g（3）=0．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据反函数的性质即可求出．【解答】解：函数f（x）=4x+2x+1的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，∴4x+2x+1=3，设2x=t，则t2+2t﹣3=0，解得t=1或t=﹣2（舍去），即2x=1，解得x=0故答案为：0【点评】本题考查了反函数的定义与性质，属于基础题．10．（5分）甲与其四位朋友各有一辆私家车，甲的车牌尾数是0，其四位朋友的车牌尾数分别是0，2，1，5，为遵守当地4月1日至5日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案总数为64．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；34：方程思想；5O：排列组合．【分析】根据题意，分2步进行分析：先安排奇数日的出行，由分步计数原理可得情况数目，再安排偶数日出行，分两种情况讨论即安排甲和不安排甲的车，将其相加可得此时的情况数目；由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，4月1日至5日，有3天奇数日，2天偶数日；分2步进行分析：①、安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23=8种，②、安排偶数日出行，分两种情况讨论，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其它车，有2×2=4种，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22=4种，共计4+4=8，根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有8×8=64，故答案为：64．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步和分类计数原理，关键是掌握如何分步讨论和分类分析．11．（5分）已知函数f（x）=，α∈[0，2π）是奇函数，则α=．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】利用查奇函数的定义、诱导公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=﹣f（x），设x＞0，则﹣x2+cos（﹣x+α）=﹣x2﹣sin（x+）∴cos（﹣x+α）=﹣sin（x+）=cos（x﹣）∵α∈[0，2π），∴α=；故答案为．【点评】本题主要考查奇函数的定义、诱导公式，属于基础题．12．（5分）已知△ABC是边长为的正三角形，PQ为△ABC外接圆O的一条直径，M为△ABC边上的动点，则的最大值是3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】32：分类讨论；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．【分析】以边AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，对点M的取值情况分三种情形进行讨论，再运用数量积的坐标表示和二次函数的最值求法，求其最大值．【解答】解：【方法一】以边AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示；∵正三角形ABC的边长为2，∴A（﹣，0），B（，0），C（0，3），P（0，﹣1），Q（0，3），当点M在边AB上时，设点M（x0，0），则﹣≤x0≤，∵=（x0，1），=（﹣x0，3），∴•=﹣x02+3，∵﹣≤x0≤，∴x0=0时，•取得最大值为3；当点M在边BC上时，直线BC的斜率为﹣，直线BC的方程为：x+y﹣3=0，设点M（x0，3﹣x0），则0≤x0≤，∵=（x0，4﹣x0），=（﹣x0，x0），∴•=﹣4x02+4x0，∵0≤x0≤，∴x0=0时，•取得最大值为0；当点M在边AC上时，直线AC的斜率为，∴直线AC的方程为：x﹣y+3=0，设点M（x0，3+x0），则﹣≤x0≤0，∵=（x0，4+x0），=（﹣x0，﹣x0），∴•=﹣4x02﹣4x0，∵﹣≤x0≤0，∴当x0=﹣时，•取得最大值为3；综上，的最大值为3．【方法二】•=（+）•（+）=•+•+•+•=4+•（﹣）+•=4+•≤4﹣1=3．故答案为：3．【点评】本题重点考查了平面向量的基本运算、数量积的运算性质等知识，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．（5分）一组统计数据x1，x2，x3，x4，x5与另一组统计数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，2x5+3相比较（）A．标准差相同B．中位数相同C．平均数相同D．以上都不相同【考点】BB：众数、中位数、平均数．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数、方差、标准差和中位数，写出数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，2x5+3的平均数、方差、标准差和中位数即可．【解答】解：设数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为，方差为s2，标准差为s，中位数为x3；则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，2x5+3的平均数为2+3，方差为4s2，标准差为2s，中位数为2x3+3；∴它们的平均数不相同，标准差不同，中位数也不同．故选：D．【点评】本题考查了数据的平均数、方差、标准差和中位数的应用问题，是基础题．14．（5分）“|b|＜2是“直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】由直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交，可得＜2，解出即可判断出．【解答】解：圆x2+y2﹣4y=0配方为：x2+（y﹣2）2=4，可得圆心C（0，2），半径R=2．若直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交，则＜2，解得﹣2＜b＜6，因此“|b|＜2是“直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）若等比数列{a n}的公比为q，则关于x，y的二元一次方程组的解的情况下列说法正确的是（）A．对任意q∈R（q≠0），方程组都有唯一解B．对任意q∈R（q≠0），方程组都无解C．当且仅当时，方程组有无穷多解D．当且仅当时，方程组无解【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】由等比数列{a n}的公比为q，得到=，由此利用两直线平行与重合的性质能求出结果．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为q，∴=，∴当≠2，即q时，关于x，y的二元一次方程组无解；当且仅当，即q=时，方程组有无穷多解．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查等比数列、直线平行等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是基础题．16．（5分）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论中正确的个数是（）①对于一切x∈（﹣∞，1）都有f（x）＞0；②存在x＞0使xa x，b x，c x不能构成一个三角形的三边长；③若△ABC为钝角三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】3T：函数的值．【专题】38：对应思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】①利用指数函数的性质以a．b．c构成三角形的条件进行证明；②可以举反例进行判断；③利用函数零点的存在性定理进行判断．【解答】解：对于①，a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c，∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜＜1，0＜＜1，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）=a x+b x﹣c x=c x[+﹣1]＞c x•（+﹣1）=c x•＞0，∴①正确；对于②，令a=2，b=3，c=4，则a，b，c可以构成三角形，但2a2=8，b2=9，c2=16却不能构成三角形，∴②正确；对于③，c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0，∵f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0，∴由根的存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即∃x∈（1，2），使f（x）=0，∴③正确；综上，正确命题的个数为3个．故选：A．【点评】本题考查了函数零点的存在性定理，指数函数的性质，以及余弦定理的应用问题，是综合题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（14分）在三棱锥C﹣ABO中，OA、OB、OC所在直线两两垂直，且OA=OB，CA与平面AOB所成角为60°，D是AB中点，三棱锥C﹣ABO的体积是．（1）求三棱锥C﹣ABO的高；（2）在线段CA上取一点E，当E在什么位置时，异面直线BE与OD所成的角为arccos？【考点】L3：棱锥的结构特征；LM：异面直线及其所成的角．【专题】13：作图题；14：证明题；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）根据OA、OB、OC所在直线两两垂直，可得平面AOC，平面OCB，平面AB0是两两垂直．且OA=OB，CA与平面AOB所成角为60°，求解OC就是三棱锥C﹣ABO的高．（2）由题意，OA⊥OB，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出C，D的坐标，设出E的坐标，BE与OD所成的角为θ，利用异面直线BE与OD 所成的角为arccos，求出E的坐标即可【解答】解：（1）OA、OB、OC所在直线两两垂直，即OC⊥OA，OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB∴∠CAO就是CA与平面AOB所成角，∴∠CAO=60°设OA=OB=a，则∴．∴a=1，所以三棱锥C﹣ABO的高．（2）由题意，OA⊥OB，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，设，则，设BE与OD所成的角为θ，则．∴或λ=﹣1（舍去）所以当E是线段CA中点时，异面直线BE与OD所成的角为．【点评】本题考查了线面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（14分）设F1、F2分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆C的左顶点，点B为椭圆C的上顶点，且|AB|=，△BF1F2为直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线y=kx+2与椭圆交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求实数k的值．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用勾股定理a2+b2=3，利用焦点三角形为直角三角形可知b=c，结合b2+c2=a2可求出，进而可知椭圆C的方程；（2）通过联立直线与椭圆方程，消去y可得关于x的一元二次方程，利用直线与椭圆有交点可知，进而结合韦达定理及OP⊥OQ对于的向量内积为零，计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知，所以a2+b2=3，因为△BF1F2为直角三角形，所以b=c，又b2+c2=a2，所以，所以椭圆方程为：．（2）由，得：（1+2k2）x2+8kx+6=0，由△=（8k）2﹣4（1+2k2）•6＞0，得：，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，因为OP⊥OQ，所以=，所以k2=5，满足，所以．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（14分）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知AB=18米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为θ．（1）若θ=60°，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1°）（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？【考点】HT：三角形中的几何计算；J9：直线与圆的位置关系．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5B：直线与圆．【分析】（1）利用正弦定理，即可求解；（2）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建平面直角坐标系，求出Q的轨迹方程，即可得出结论．【解答】解：（1）△AEQ中，AQ=2EQ，∠AEQ=120°…（2分）由正弦定理，得：所以…（4分）所以所以应在矩形区域ABCD内，按照与夹角为25.7°的向量方向释放机器人乙，才能挑战成功…（6分）（2）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建平面直角坐标系，设Q（x，y）（y≥0）…（8分）由题意，知AQ=2EQ，所以所以（x﹣3）2+y2=36（y≥0）…（11分）即点Q的轨迹是以（3，0）为圆心，6为半径的上半圆在矩形区域ABCD内的部分所以当AD≥6米时，能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲…（14分）【点评】本题考查轨迹方程，考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（16分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（﹣x0）=﹣f（x0），则称f（x）为“M类函数”．（1）已知函数f（x）=sin（x+），试判断f（x）是否为“M类函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在[﹣1，1]上的“M类函数”，求实数m的最小值；（3）若f（x）=为其定义域上的“M类函数”，求实数m的取值范围．【考点】3T：函数的值；5B：分段函数的应用．【专题】23：新定义；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由f（﹣x）=﹣f（x），得：，解得，可得结论；（2）若f（x）=2x+m是定义在[﹣1，1]上的“M类函数”，则存在实数x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）=﹣f（x0），即方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解，进而可得实数m的最小值；（3）若f（x）=为其定义域上的“M类函数”，则存在实数x0，满足f（﹣x0）=﹣f（x0），进而可得实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（﹣x）=﹣f（x），得：…（1分）所以…（3分）所以存在满足f（﹣x0）=﹣f（x0）所以函数是“M类函数”…（4分）（2）因为f（x）=2x+m是定义在[﹣1，1]上的“M类函数”，所以存在实数x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）=﹣f（x0），即方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解，…（5分）令…（6分）则因为在上递增，在[1，2]上递减…（8分）所以当或t=2时，m取最小值…（9分）（3）由x2﹣2mx＞0对x≥2恒成立，得m＜1…（10分）因为若f（x）=为其定义域上的“M类函数”所以存在实数x0，满足f（﹣x0）=﹣f（x0）①当x0≥2时，﹣x0≤﹣2，所以，所以因为函数是增函数，所以m≥﹣1…（12分）②当﹣2＜x0＜2时，﹣2＜﹣x0＜2，所以﹣3=3，矛盾…（13分）③当x0≤﹣2时，﹣x0≥2，所以，所以因为函数是减函数，所以m≥﹣1…（15分）综上所述，实数m的取值范围是[﹣1，1）…（16分）【点评】本题考查的知识点是分段函数的定义，新定义“M类函数”，正确理解新定义“M类函数”的含义，是解答的关键．21．（18分）已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．（1）若p=1，写出a4的所有值；（2）若数列{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．（3）若p=，且{a2n﹣1【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．分别取n=1，2，3即可得出．（2）因为数列{a n}是递增数列，所以．可得，根据a1，2a2，3a3成等差数列，可得4a2=a1+3a3，解出即可得出．}是递增数列，所以a2n+1﹣a2n﹣1＞0，可得（a2n+1﹣a2n）+（a2n﹣（3）因为{a2n﹣1a2n﹣1）＞0，但，可得|a2n+1﹣a2n|＜|a2n﹣a2n﹣1|．可得．因为{a2n}是递减数列，同理可得a2n+1﹣a2n＜0，进而得到，．【解答】解：（1）由a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．a4有可能的值为﹣2，0，2，4…（4分）（2）因为数列{a n}是递增数列，所以．而a1=1，所以…（6分）又a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2=a1+3a3…（8分）所以3p2﹣p=0．解得或p=0=a n，这与{a n}是递增数列矛盾，所以…（10分）当p=0时，a n+1（3）因为{a2n}是递增数列，所以a2n+1﹣a2n﹣1＞0，﹣1﹣a2n）+（a2n﹣a2n﹣1）＞0①所以（a2n+1﹣a2n|＜|a2n﹣a2n﹣1|②但，所以|a2n+1由①，②知，a2n﹣a2n﹣1＞0，所以③…（13分）因为{a2n}是递减数列，同理可得a2n+1﹣a2n＜0所以④由③，④知，…（16分）所以a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=所以数列{a n}的通项公式为…（18分）【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、绝对值的性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2017年上海市嘉定区高考数学二模试卷含答案解析
2017年上海市嘉定区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有 题，满分 分，第 ～ 题每题 分，第 ～ 题每题 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．．函数⍓♦♓⏹ （ ⌧）﹣ 的最小正周期是．．设♓为虚数单位，复数，则 ．．设♐﹣ （⌧）为的反函数，则♐﹣ （ ） ．． ．．若圆锥的侧面积是底面积的 倍，则其母线与轴所成角的大小是． ．设等差数列 ♋⏹❝的前⏹项和为 ⏹，若 ，则 ．．直线（♦为参数）与曲线（→为参数）的公共点的个数是．．已知双曲线 与双曲线 的焦点重合， 的方程为，若 的一条渐近线的倾斜角是 的一条渐近线的倾斜角的 倍，则 的方程为． ．若，则满足♐（⌧）＞ 的⌧的取值范围是．．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品✌，乙组研发新产品 ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为．．设等差数列 ♋⏹❝的各项都是正数，前⏹项和为 ⏹，公差为♎．若数列也是公差为♎的等差数列，则 ♋⏹❝的通项公式为♋⏹ ．．设⌧∈ ，用☯⌧表示不超过⌧的最大整数（如☯，☯﹣﹣ ），对于给定的⏹∈☠✉，定义 ，其中⌧∈☯， ∞），则当时，函数♐（⌧） 的值域是．二、选择题（本大题共有 题，满分 分，每题 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．．命题❽若⌧，则⌧ ﹣ ⌧❾的逆否命题是（）✌．若⌧≠ ，则⌧ ﹣ ⌧≠ ．若⌧ ﹣ ⌧，则⌧ ．若⌧ ﹣ ⌧，则⌧≠ ．若⌧ ﹣ ⌧≠ ，则⌧≠．如图，在正方体✌﹣✌ 中， 、☜是✌的三等分点，☝、☠是 的三等分点，☞、☟分别是 、 ☠的中点，则四棱锥✌ ﹣☜☞☝☟的左视图是（）✌． ． ． ．．已知△✌是边长为 的等边三角形， 、 是△✌内部两点，且满足，，则△✌的面积为（）✌． ． ． ．．已知♐（⌧）是偶函数，且♐（⌧）在☯， ∞）上是增函数，若♐（♋⌧）≤♐（⌧﹣ ）在上恒成立，则实数♋的取值范围是（）✌．☯﹣ ， ．☯﹣ ， ．☯﹣ ， ．☯﹣ ， 三、解答题（本大题共有 题，满分 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．．在△✌中，内角✌， ， 的对边分别为♋，♌，♍，已知♋﹣♌，♍，♦♓⏹✌♦♓⏹．（♊）求△✌的面积；（♋）求♦♓⏹（ ✌﹣ ）．．如图，在长方体✌﹣✌ 中，✌， ，✌✌ ，平面↑截长方体得到一个矩形☜☞☝☟，且✌ ☜ ☞，✌☟☝．（ ）求截面☜☞☝☟把该长方体分成的两部分体积之比；（ ）求直线✌☞与平面↑所成角的正弦值．．如图，已知椭圆 ：（♋＞♌＞ ）过点，两个焦点为☞ （﹣ ， ）和☞ （ ， ）．圆 的方程为⌧ ⍓ ♋ ．（ ）求椭圆 的标准方程；（ ）过☞ 且斜率为 （ ＞ ）的动直线●与椭圆 交于✌、 两点，与圆 交于 、✈两点（点✌、 在⌧轴上方），当 ✌☞ ， ☞ ， ✌成等差数列时，求弦 ✈的长．．如果函数⍓♐（⌧）的定义域为 ，且存在实常数♋，使得对于定义域内任意⌧，都有♐（⌧♋） ♐（﹣⌧）成立，则称此函数♐（⌧）具有❽（♋）性质❾．（ ）判断函数⍓♍☐♦⌧是否具有❽（♋）性质❾，若具有❽（♋）性质❾，求出所有♋的值的集合；若不具有❽（♋）性质❾，请说明理由；（ ）已知函数⍓♐（⌧）具有❽（ ）性质❾，且当⌧≤ 时，♐（⌧） （⌧❍） ，求函数⍓♐（⌧）在区间☯， 上的值域；（ ）已知函数⍓♑（⌧）既具有❽（ ）性质❾，又具有❽（ ）性质❾，且当﹣ ≤⌧≤ 时，♑（⌧） ⌧，若函数⍓♑（⌧）的图象与直线⍓☐⌧有 个公共点，求实数☐的值．．给定数列 ♋⏹❝，若满足♋ ♋（♋＞ 且♋≠ ），对于任意的⏹，❍∈☠✉，都有♋⏹❍ ♋⏹❿♋❍，则称数列 ♋⏹❝为指数数列．（ ）已知数列 ♋⏹❝， ♌⏹❝的通项公式分别为，，试判断 ♋⏹❝， ♌⏹❝是不是指数数列（需说明理由）；（ ）若数列 ♋⏹❝满足：♋ ，♋ ，♋⏹ ♋⏹﹣ ♋⏹，证明： ♋⏹❝是指数数列；（ ）若数列 ♋⏹❝是指数数列，（♦∈☠✉），证明：数列 ♋⏹❝中任意三项都不能构成等差数列．年上海市嘉定区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有 题，满分 分，第 ～ 题每题 分，第 ～ 题每题 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．．函数⍓♦♓⏹ （ ⌧）﹣ 的最小正周期是．【考点】☟：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为⍓✌♍☐♦（▫⌧）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，【解答】解：函数⍓♦♓⏹ （ ⌧）﹣ ，化简可得：⍓﹣♍☐♦⌧﹣ ﹣♍☐♦⌧；∴最小正周期❆．故答案为．设♓为虚数单位，复数，则 ．【考点】✌：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数 ﹣♓，则 ．故答案为： ．．设♐﹣ （⌧）为的反函数，则♐﹣ （ ） ．【考点】 ：反函数．【分析】根据反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答】解：的反函数，其反函数♐﹣ （⌧），反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即．可得：⌧，∴♐﹣ （⌧） ．故答案为 ．． ．【考点】 ☺：数列的极限．【分析】通过分子分母同除 ⏹，利用数列极限的运算法则求解即可．【解答】解： ．故答案为： ．．若圆锥的侧面积是底面积的 倍，则其母线与轴所成角的大小是 ．【考点】 ✋：直线与平面所成的角．【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得●，进而解母线与底面所成角，然后求解母线与轴所成角即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为 ，母线长为●，则：，其底面积：底面积 ⇨⇨●⇨●，其侧面积：侧面积∵圆锥的侧面积是其底面积的 倍，∴●，故该圆锥的母线与底面所成的角→有，♍☐♦→ ，∴→，母线与轴所成角的大小是： ．故答案为： ．．设等差数列 ♋⏹❝的前⏹项和为 ⏹，若 ，则 ．【考点】 ：等差数列的前⏹项和．【分析】 ，可得 （♋ ♎） （♋ ♎），化为：♋ ♎．再利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵ ，∴ （♋ ♎） （♋ ♎），化为：♋ ♎．则 ．故答案为：．．直线（♦为参数）与曲线（→为参数）的公共点的个数是 ．【考点】✈：圆的参数方程；✈☺：直线的参数方程．【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，再将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（ ， ），半径❒，求出圆心到直线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有 个公共点，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线的参数方程为，则其普通方程为⌧⍓﹣ ，曲线的参数方程为，则其普通方程为（⌧﹣ ） （⍓﹣ ） ，该曲线为圆，且圆心坐标为（ ， ），半径❒，圆心到直线⌧⍓﹣ 的距离♎ ❒，则圆（⌧﹣ ） （⍓﹣ ） 与直线⌧⍓﹣ 相切，有 个公共点；故答案为： ．．已知双曲线 与双曲线 的焦点重合， 的方程为，若 的一条渐近线的倾斜角是 的一条渐近线的倾斜角的 倍，则 的方程为．【考点】 ：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，然后求解即可．【解答】解：双曲线 与双曲线 的焦点重合， 的方程为，焦点坐标（± ， ）．双曲线 的一条渐近线为：⍓，倾斜角为 ，的一条渐近线的倾斜角是 的一条渐近线的倾斜角的 倍，可得 的渐近线⍓．可得，♍，解得♋，♌，所求双曲线方程为：．故答案为：．．若，则满足♐（⌧）＞ 的⌧的取值范围是（ ， ∞）．【考点】 ☜：其他不等式的解法．【分析】由已知得到关于⌧的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之．【解答】解：由♐（⌧）＞ 得到即，所以，解得⌧＞ ；故⌧的取值范围为（ ， ∞）；故答案为：（ ， ∞）；．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品✌，乙组研发新产品 ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为．【考点】 ：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件✌且事件 为事件✌的对立事件，则事件 为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．则 （ ） （ ﹣）（ ﹣） ，再根据对立事件的概率之间的公式可得 （✌） ﹣ （ ） ，故至少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．．设等差数列 ♋⏹❝的各项都是正数，前⏹项和为 ⏹，公差为♎．若数列也是公差为♎的等差数列，则 ♋⏹❝的通项公式为♋⏹ ．【考点】 ：等差数列的通项公式．【分析】由题意可得： ⏹ ⏹♋ ♎．♋⏹＞ （⏹﹣ ）♎，化简⏹≠ 时可得：♋ （⏹﹣ ）♎ ♎﹣♎．分别令⏹， ，解出即可得出．【解答】解：由题意可得： ⏹ ⏹♋ ♎．♋⏹＞ ．（⏹﹣ ）♎，可得： ⏹ ♋ （⏹﹣ ） ♎ （⏹﹣ ）♎．∴⏹♋ ♎♋ （⏹﹣ ） ♎ （⏹﹣ ）♎．⏹≠ 时可得：♋ （⏹﹣ ）♎ ♎﹣♎．分别令⏹， ，可得：♋ ♎ ♎﹣♎，♋ ♎ ♎﹣♎．解得♋ ，♎．∴♋⏹ （⏹﹣ ） ．故答案为：．．设⌧∈ ，用☯⌧表示不超过⌧的最大整数（如☯，☯﹣ ﹣ ），对于给定的⏹∈☠✉，定义 ，其中⌧∈☯， ∞），则当时，函数♐（⌧） 的值域是．【考点】 ：函数与方程的综合运用．【分析】分类讨论，根据定义化简 ⌧⏹，求出 ⌧ 的表达式，再利用函数的单调性求出 ⌧ 的值域．【解答】解：当⌧∈☯， ）时，☯⌧，∴♐（⌧） ，当⌧∈☯， ）时，♐（⌧）是减函数，∴♐（⌧）∈（ ，）；当⌧∈☯， ）时，☯⌧，∴♐（⌧） ，当⌧∈☯， ）时，♐（⌧）是减函数，∴♐（⌧）∈（ ， ；∴当时，函数♐（⌧） 的值域是，故答案为：．二、选择题（本大题共有 题，满分 分，每题 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．．命题❽若⌧，则⌧ ﹣ ⌧❾的逆否命题是（）✌．若⌧≠ ，则⌧ ﹣ ⌧≠ ．若⌧ ﹣ ⌧，则⌧ ．若⌧ ﹣ ⌧，则⌧≠ ．若⌧ ﹣ ⌧≠ ，则⌧≠ 【考点】 ：四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若⌧ ﹣ ⌧≠ ，则⌧≠故选：．如图，在正方体✌﹣✌ 中， 、☜是✌的三等分点，☝、☠是 的三等分点，☞、☟分别是 、 ☠的中点，则四棱锥✌ ﹣☜☞☝☟的左视图是（）✌． ． ． ．【考点】☹：简单空间图形的三视图．【分析】确定 个顶点在面 上的投影，即可得出结论．【解答】解：✌ 在面 上的投影为点 ，☜在面 的投影为点☝，☞在面 上的投影为点 ，☟在面 上的投影为点☠，因此侧视图为选项 的图形．故选．已知△✌是边长为 的等边三角形， 、 是△✌内部两点，且满足，，则△✌的面积为（）✌． ． ． ．【考点】 ✞：向量在几何中的应用．【分析】以✌为原点，以 的垂直平分线为⍓轴，建立直角坐标系．由于等边三角形△的边长为 ，可得 ， 的坐标，再利用向量的坐标运算和数乘运算可得，，利用△✌的面积公式即可得出．【解答】解：以✌为原点，以 的垂直平分线为⍓轴，建立直角坐标系．∵等边三角形△的边长为 ，∴ （﹣ ，﹣ ）， （ ，﹣ ），由足 ☯（﹣ ，﹣ ） （ ，﹣ ） （ ，﹣）， （ ，﹣） （ ， ） （，﹣），∴△✌的面积为 ❿ ×× ，故选：✌．．已知♐（⌧）是偶函数，且♐（⌧）在☯， ∞）上是增函数，若♐（♋⌧）≤♐（⌧﹣ ）在上恒成立，则实数♋的取值范围是（）✌．☯﹣ ， ．☯﹣ ， ．☯﹣ ， ．☯﹣ ， 【考点】 ☠：奇偶性与单调性的综合．【分析】因为偶函数在对称区间上单调性相反，根据已知中♐（⌧）是偶函数，且♐（⌧）在（ ， ∞）上是增函数，易得♐（⌧）在（﹣∞， ）上为减函数，又由若时，不等式♐（♋⌧）≤♐（⌧﹣ ）恒成立，结合函数恒成立的条件，求出时♐（⌧﹣ ）的最小值，从而可以构造一个关于♋的不等式，解不等式即可得到实数♋的取值范围．【解答】解：∵♐（⌧）是偶函数，且♐（⌧）在（ ， ∞）上是增函数，∴♐（⌧）在（﹣∞， ）上为减函数，当时，⌧﹣ ∈☯﹣，﹣ ，故♐（⌧﹣ ）≥♐（﹣ ） ♐（ ），若时，不等式♐（♋⌧）≤♐（⌧﹣ ）恒成立，则当时， ♋⌧≤ 恒成立，∴﹣ ≤♋⌧≤ ，∴≤♋≤ ，∴﹣ ≤♋≤ ，故选 ．三、解答题（本大题共有 题，满分 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．．在△✌中，内角✌， ， 的对边分别为♋，♌，♍，已知♋﹣♌，♍，♦♓⏹✌♦♓⏹．（♊）求△✌的面积；（♋）求♦♓⏹（ ✌﹣ ）．【考点】☝☹：三角函数中的恒等变换应用．【分析】解法一：（✋）由已知及正弦定理可求♋，♌的值，由余弦定理可求♍☐♦，从而可求♦♓⏹，即可由三角形面积公式求解．（✋✋）由余弦定理可得♍☐♦✌，从而可求♦♓⏹✌，♦♓⏹✌，♍☐♦✌，由两角差的正弦公式即可求♦♓⏹（ ✌﹣ ）的值．解法二：（✋）由已知及正弦定理可求♋，♌的值，又♍，可知△✌为等腰三角形，作 ⊥✌于 ，可求 ，即可求三角形面积．（✋✋）由余弦定理可得♍☐♦，即可求♦♓⏹，由（✋）知✌⇒ ✌﹣ ⇨﹣ ．从而♦♓⏹（ ✌﹣ ） ♦♓⏹（⇨﹣ ） ♦♓⏹，代入即可求值．【解答】解：解法一：（✋）由♦♓⏹✌♦♓⏹⇒♋♌．又∵♋﹣♌，∴♋，♌．♍☐♦ ．♦♓⏹ ．♋♍♦♓⏹ ．∴△✌（✋✋）♍☐♦✌ ．♦♓⏹✌ ．♦♓⏹✌♦♓⏹✌♍☐♦✌×．♍☐♦✌♍☐♦ ✌﹣♦♓⏹ ✌﹣．∴♦♓⏹（ ✌﹣ ） ♦♓⏹✌♍☐♦﹣♍☐♦✌♦♓⏹．解法二：（✋）由♦♓⏹✌♦♓⏹⇒♋♌．又∵♋﹣♌，∴♋，♌．又♍，可知△✌为等腰三角形．作 ⊥✌于 ，则 ．．∴△✌（✋✋）♍☐♦ ．♦♓⏹ ．由（✋）知✌⇒ ✌﹣ ⇨﹣ ．∴♦♓⏹（ ✌﹣ ） ♦♓⏹（⇨﹣ ） ♦♓⏹♦♓⏹♍☐♦×× ．．如图，在长方体✌﹣✌ 中，✌， ，✌✌ ，平面↑截长方体得到一个矩形☜☞☝☟，且✌ ☜ ☞，✌☟☝．（ ）求截面☜☞☝☟把该长方体分成的两部分体积之比；（ ）求直线✌☞与平面↑所成角的正弦值．【考点】 ✋：直线与平面所成的角；☹☞：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（ ）由题意，平面↑把长方体分成两个高为 的直四棱柱，转化求解体积推出结果即可．（ ）解法一：作✌⊥☜☟，垂足为 ，证明☟☝⊥✌，推出✌⊥平面☜☞☝☟．通过计算求出✌．✌☞，设直线✌☞与平面↑所成角为→，求解即可．解法二：以 ✌、 、 所在直线分别为⌧轴、⍓轴、 轴建立空间直角坐标系，求出平面↑一个法向量，利用直线✌☞与平面↑所成角为→，通过空间向量的数量积求解即可．【解答】（本题满分，第 小题满分，第 小题满分 分）解：（ ）由题意，平面↑把长方体分成两个高为 的直四棱柱，，⑤，⑤所以，．⑤（ ）解法一：作✌⊥☜☟，垂足为 ，由题意，☟☝⊥平面✌ ✌ ，故☟☝⊥✌，所以✌⊥平面☜☞☝☟． ⑤，）因为，，所以△✌☜☟因为☜☟，所以✌． ⑤又，⑤设直线✌☞与平面↑所成角为→，则．⑤所以，直线✌☞与平面↑所成角的正弦值为． ⑤解法二：以 ✌、 、 所在直线分别为⌧轴、⍓轴、 轴建立空间直角坐标系，则✌（ ， ， ），☟（ ， ， ），☜（ ， ， ），☞（ ， ， ），⑤故，，⑤设平面↑一个法向量为，则即所以可取． ⑤设直线✌☞与平面↑所成角为→，则． ⑤所以，直线✌☞与平面↑所成角的正弦值为． ⑤．如图，已知椭圆 ：（♋＞♌＞ ）过点，两个焦点为☞ （﹣ ， ）和☞ （ ， ）．圆 的方程为⌧ ⍓ ♋ ．（ ）求椭圆 的标准方程；（ ）过☞ 且斜率为 （ ＞ ）的动直线●与椭圆 交于✌、 两点，与圆 交于 、✈两点（点✌、 在⌧轴上方），当 ✌☞ ， ☞ ， ✌成等差数列时，求弦 ✈的长．【考点】 ☟：直线与圆锥曲线的综合问题； ：椭圆的标准方程； ☹：直线与椭圆的位置关系．【分析】（ ）求出♍，设椭圆 的方程为，将点代入，解得♋ ，然后求解椭圆 的方程．（ ）由椭圆定义， ✌☞ ✌☞ ， ☞ ☞ ，通过 ✌☞ ， ☞ ， ✌成等差数列，推出． 设 （⌧ ，⍓ ），通过解得 ，然后求解直线方程，推出弦 ✈的长即可．【解答】（本题满分，第 小题满分，第 小题满分 分）解：（ ）由题意，♍，⑤设椭圆 的方程为，将点代入，解得♋ （舍去），⑤所以，椭圆 的方程为． ⑤（ ）由椭圆定义， ✌☞ ✌☞ ， ☞ ☞ ，两式相加，得 ✌✌☞ ☞ ，因为 ✌☞ ， ☞ ， ✌成等差数列，所以 ✌✌☞ ☞ ，于是 ☞ ，即． ⑤设 （⌧ ，⍓ ），由解得，⑤（或设，则，解得，，所以）．所以，，直线●的方程为，即，⑤圆 的方程为⌧ ⍓ ，圆心 到直线●的距离，⑤此时，弦 ✈的长． ⑤．如果函数⍓♐（⌧）的定义域为 ，且存在实常数♋，使得对于定义域内任意⌧，都有♐（⌧♋） ♐（﹣⌧）成立，则称此函数♐（⌧）具有❽（♋）性质❾．（ ）判断函数⍓♍☐♦⌧是否具有❽（♋）性质❾，若具有❽（♋）性质❾，求出所有♋的值的集合；若不具有❽（♋）性质❾，请说明理由；（ ）已知函数⍓♐（⌧）具有❽（ ）性质❾，且当⌧≤ 时，♐（⌧） （⌧❍） ，求函数⍓♐（⌧）在区间☯， 上的值域；（ ）已知函数⍓♑（⌧）既具有❽（ ）性质❾，又具有❽（ ）性质❾，且当﹣ ≤⌧≤ 时，♑（⌧） ⌧，若函数⍓♑（⌧）的图象与直线⍓☐⌧有 个公共点，求实数☐的值．【考点】 ：函数与方程的综合运用．【分析】（ ）根据题意可知♍☐♦（⌧♋） ♍☐♦（﹣⌧） ♍☐♦⌧，故而♋⇨， ∈☪；（ ）由新定义可推出♐（⌧）为偶函数，从而求出♐（⌧）在☯， 上的解析式，讨论❍与☯， 的关系判断♐（⌧）的单调性得出♐（⌧）的最值；（ ）根据新定义可知♑（⌧）为周期为 的偶函数，作出♑（⌧）的函数图象，根据函数图象得出☐的值．【解答】解：（ ）假设⍓♍☐♦⌧具有❽（♋）性质❾，则♍☐♦（⌧♋） ♍☐♦（﹣⌧） ♍☐♦⌧恒成立，∵♍☐♦（⌧⇨） ♍☐♦⌧，∴函数⍓♍☐♦⌧具有❽（♋）性质❾，且所有♋的值的集合为 ♋♋⇨， ∈☪❝．（ ）因为函数⍓♐（⌧）具有❽（ ）性质❾，所以♐（⌧） ♐（﹣⌧）恒成立，∴⍓♐（⌧）是偶函数．设 ≤⌧≤ ，则﹣⌧≤ ，∴♐（⌧） ♐（﹣⌧） （﹣⌧❍） （⌧﹣❍） ．①当❍≤ 时，函数⍓♐（⌧）在☯， 上递增，值域为☯❍ ，（ ﹣❍） ．②当时，函数⍓♐（⌧）在☯，❍上递减，在☯❍， 上递增，⍓❍♓⏹ ♐（❍） ，，值域为☯，（ ﹣❍） ．③当时，⍓❍♓⏹ ♐（❍） ，，值域为☯，❍ ．④❍＞ 时，函数⍓♐（⌧）在☯， 上递减，值域为☯（ ﹣❍） ，❍ ．（ ）∵⍓♑（⌧）既具有❽（ ）性质❾，即♑（⌧） ♑（﹣⌧），∴函数⍓♑（⌧）偶函数，又⍓♑（⌧）既具有❽（ ）性质❾，即♑（⌧） ♑（﹣⌧） ♑（⌧），∴函数⍓♑（⌧）是以 为周期的函数．作出函数⍓♑（⌧）的图象如图所示：由图象可知，当☐时，函数⍓♑（⌧）与直线⍓☐⌧交于点（ ， ）（ ∈☪），即有无数个交点，不合题意．当☐＞ 时，在区间☯， 上，函数⍓♑（⌧）有 个周期，要使函数⍓♑（⌧）的图象与直线⍓☐⌧有 个交点，则直线在每个周期内都有 个交点，且第 个交点恰好为，所以．同理，当☐＜ 时，．综上，．．给定数列 ♋⏹❝，若满足♋ ♋（♋＞ 且♋≠ ），对于任意的⏹，❍∈☠✉，都有♋⏹❍ ♋⏹❿♋❍，则称数列 ♋⏹❝为指数数列．（ ）已知数列 ♋⏹❝， ♌⏹❝的通项公式分别为，，试判断 ♋⏹❝， ♌⏹❝是不是指数数列（需说明理由）；（ ）若数列 ♋⏹❝满足：♋ ，♋ ，♋⏹ ♋⏹﹣ ♋⏹，证明： ♋⏹❝是指数数列；（ ）若数列 ♋⏹❝是指数数列，（♦∈☠✉），证明：数列 ♋⏹❝中任意三项都不能构成等差数列．【考点】 ：数列的应用．【分析】（ ）利用指数数列的定义，判断即可；（ ）求出 ♋⏹❝的通项公式为，即可证明： ♋⏹❝是指数数列；（ ）利用反证法进行证明即可．【解答】（ ）解：对于数列 ♋⏹❝，因为♋ ♋ ≠♋ ❿♋ ，所以 ♋⏹❝不是指数数列． ⑤对于数列 ♌⏹❝，对任意⏹，❍∈☠✉，因为，所以 ♌⏹❝是指数数列． ⑤（ ）证明：由题意，♋⏹﹣♋⏹ （♋⏹﹣♋⏹），所以数列 ♋⏹﹣♋⏹❝是首项为♋ ﹣♋ ，公比为 的等比数列． ⑤所以．所以，，即 ♋⏹❝的通项公式为（⏹∈☠✉）． ⑤所以，故 ♋⏹❝是指数数列． ⑤（ ）证明：因为数列 ♋⏹❝是指数数列，故对于任意的⏹，❍∈☠✉，有♋⏹❍ ♋⏹❿♋❍，令❍，则，所以 ♋⏹❝是首项为，公比为的等比数列，所以，． ⑤假设数列 ♋⏹❝中存在三项♋◆，♋❖，♋♦构成等差数列，不妨设◆＜❖＜♦，则由 ♋❖ ♋◆ ♋♦，得，所以 （♦）♦﹣❖（♦）❖﹣◆ （♦）♦﹣◆ （♦）♦﹣◆，⑤当♦为偶数时， （♦）♦﹣❖（♦）❖﹣◆是偶数，而（♦）♦﹣◆是偶数，（♦）♦﹣◆是奇数，故 （♦）♦﹣❖（♦）❖﹣◆ （♦）♦﹣◆ （♦）♦﹣◆不能成立； ⑤当♦为奇数时， （♦）♦﹣❖（♦）❖﹣◆是偶数，而（♦）♦﹣◆是奇数，（♦）♦﹣◆是偶数，故 （♦）♦﹣❖（♦）❖﹣◆ （♦）♦﹣◆ （♦）♦﹣◆也不能成立．⑤所以，对任意♦∈☠✉， （♦）♦﹣❖（♦）❖﹣◆ （♦）♦﹣◆ （♦）♦﹣◆不能成立，即数列 ♋⏹❝的任意三项都不成构成等差数列． ⑤。
2017年上海市虹口区高考数学二模试卷(解析版)
2017年上海市虹口区高考数学二模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．（4分）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B＝．2．（4分）复数所对应的点在复平面内位于第象限．3．（4分）已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则＝．4．（4分）若方程组无解，则实数a＝．5．（4分）若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a＝．6．（4分）已知双曲线，它的渐近线方程是y＝±2x，则a的值为．7．（5分）在△ABC中，三边长分别为a＝2，b＝3，c＝4，则＝．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）＝0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是．9．（5分）函数f（x）＝，如果方程f（x）＝b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4＝．10．（5分）三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．11．（5分）在直角△ABC中，，AB＝1，AC＝2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．12．（5分）无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有个．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（5分）l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l215．（5分）已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零B．一定大于零C．一定小于零D．正负都有可能16．（5分）已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5＝0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4三、解答题（本大题满分76分）17．（14分）如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB＝AC ＝4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．18．（14分）已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）＝．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）＝m在（﹣，）有解．19．（14分）已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．20．（16分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M 及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a＝2，b＝时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．21．（18分）对于定义域为R的函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表：（1）求f{f[f（0）]}；（2）数列{x n}满足x1＝2，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y＝f（x）＝A sin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．2017年上海市虹口区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．（4分）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∩B＝{2，3，4}．【解答】解：A＝{1，2，3，4}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}＝{x|1＜x＜5}，则A∩B＝{2，3，4}；故答案为：{2，3，4}．2．（4分）复数所对应的点在复平面内位于第四象限．【解答】解：复数＝＝﹣i所对应的点在复平面内位于第四象限．故答案为：四．3．（4分）已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n，则＝4．【解答】解：由题意，a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S n＝n+＝n2，∴＝＝4，故答案为：4．4．（4分）若方程组无解，则实数a＝±2．【解答】解：根据题意，方程组无解，则直线ax+2y＝3与直线2x+2y＝2平行，则有a×a＝2×2，且a×2≠2×3，即a2＝4，a≠3，解可得a＝±2，故答案为：±2．5．（4分）若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a＝1．【解答】解：（x+a）7的二项展开式的通项公式：T r+1＝x r a7﹣r，令r＝6，则＝7，解得a＝1．故答案为：1．6．（4分）已知双曲线，它的渐近线方程是y＝±2x，则a的值为2．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在x轴上，其渐近线方程为：y＝±ax，又有其渐近线方程是y＝±2x，则有a＝2；故答案为：2．7．（5分）在△ABC中，三边长分别为a＝2，b＝3，c＝4，则＝．【解答】解：在△ABC中，∵a＝2，b＝3，c＝4，∴cos A＝＝，可得：sin A＝＝，cos B＝＝，sin B＝＝，∴＝＝＝．另法：＝＝＝＝．故答案为：．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）＝0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是[0，5]．【解答】解：由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值＝5，直线l过P时，d取得最小值0，∴d的取值范围[0，5]，故答案为[0，5]．9．（5分）函数f（x）＝，如果方程f（x）＝b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4＝4．【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，方程f（x）＝b有四个不同的实数解，等价为y＝f（x）和y＝b的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，可得x1+x2＝0，x3+x4＝4，则x1+x2+x3+x4＝4．故答案为：4．10．（5分）三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．【解答】解：由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，（如图：SAB，SBC，SAC）且边长相等为，其体积为V＝＝根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．其面积为：．设主视图的高OS＝h，则＝．∴h＝．主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，其高为．∴得面积S＝．故答案为11．（5分）在直角△ABC中，，AB＝1，AC＝2，M是△ABC内一点，且，若，则λ+2μ的最大值．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0）M（，）（0＜θ＜），∵，∴（．∴，则λ+2μ＝，∴当θ＝时，λ+2μ最大值为，故答案为：12．（5分）无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有91个．【解答】解：a10＝S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，若S10≠S9，则有A102＝10×9＝90种，若S10＝S9，则有a10＝0，根据分类计数原理可得，共有90+1＝91种，故答案为：91二、选择题（每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2＝ac成立，若a＝b＝c＝0，满足b2＝ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l2【解答】解：若l1∥α，l2∥α，则有l1∥l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1∥α或l1⊂α，故B、C错误；如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2∥α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2∥a，∴l1⊥l2，故D正确．故选：D．15．（5分）已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定等于零B．一定大于零C．一定小于零D．正负都有可能【解答】解：函数，f（﹣x）＝﹣f（x），函数f（x）是奇函数，根据同增为增，可得函数f（x）是增函数，∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3x3＞﹣x1，∴f（x1）＞f（﹣x2，f（x2）＞f（﹣x3），f（x3）＞f（﹣x1）∴f（x1）+f（x2）＞0，f（x2）+f（x3）＞0，f（x3）+f（x1）＞0，三式相加得：f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0，故选：B．16．（5分）已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5＝0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5＝0的两侧，∴（3a﹣4b+5）（3×0+4+5）＜0，即3a﹣4b+5＜0，故①错误；当a＞0时，a+b＞，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x﹣4y+5＝0的距离为d，则d＝，则a2+b2＞4，故③正确；当a＞0且a≠1时，表示点M（a，b）与P（1，﹣1）连线的斜率．∵当a＝0，b＝时，＝，又直线3x﹣4y+5＝0的斜率为，故的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B．三、解答题（本大题满分76分）17．（14分）如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB＝AC ＝4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段CC1的中点为F．（1）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．【解答】解：（1）以A为坐标原点，AB、AC、AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．依题意有D（2，2，4），A（0，0，0），E（2，2，0），F（0，4，2），所以．设异面直线AD、EF所成角为α，则＝＝，所以，即异面直线AD、EF所成角的大小为．（2）∵AB＝AC＝4，AB⊥AC，∴，，DE＝AA1＝4，∴S△DEF＝＝4，由E为线段BC的中点，且AB＝AC，∴AE⊥BC，又BB1⊥面ABC，∴AE⊥BB1，∴AE⊥面BB1C1C，∴，∴三棱锥D﹣AEF的体积为．18．（14分）已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，）时，f（x）＝．（1）求f（x）在区间（﹣，）上的解析式；（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）＝m在（﹣，）有解．【解答】解：（1）设，则，∵f（x）是奇函数，则有…（4分）∴f（x）＝…（7分）（2）设，令t＝tan x，则t＞0，而．∵1+t＞1，得，从而，∴y＝f（x）在的取值范围是0＜y＜1．…（11分）又设，则，由此函数是奇函数得f（x）＝﹣f（﹣x），0＜f（﹣x）＜1，从而﹣1＜f（x）＜0．…（13分）综上所述，y＝f（x）的值域为（﹣1，1），所以m的取值范围是（﹣1，1）．…（14分）19．（14分）已知数列{a n}是首项等于且公比不为1的等比数列，S n是它的前n项和，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．【解答】解：（1）∵，∵q≠1，∴．整理得q2﹣3q+2＝0，解得q＝2或q＝1（舍去）．∴．（2）b n＝log a a n＝（n﹣5）log a2．∴数列{b n}是以log a2为公差，以﹣4log a2为首项的等差数列，∴T n＝﹣4n log a2+log a2＝•log a2．1）当a＞1时，有log a2＞0，数列{b n}是以log a2为公差，以﹣4log a2为首项的等差数列，∴{b n}是递增数列，∴T n没有最大值．由b n≤0，得n≤5．所以（T n）min＝T4＝T5＝﹣10log a2．2）当0＜a＜1时，有log a2＜0，数列{b n}是以log a2为公差的等差数列，∴{b n}是首项为正的递减等差数列．∴T n没有最小值．令b n≥0，得n≤5，（T n）max＝T4＝T5＝﹣10log a2．20．（16分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M 及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a＝2，b＝时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．【解答】解：（1）设N（x，y）由题意，则，又，∴，从而得x2+y2＝1…（3分）（2）由，得a＝2．又，得．…（5分）∵点M（x0，y0）在椭圆上，，，且，•＝（x0，y0）（，）＝+＝x02+，由于，的取值范围是[，2]（8分）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则；1）当直线l的斜率存在时，设方程为y＝kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）＝0；有①…（10分）由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x1x2+4y1y2＝0；整理得：②将①式代入②式得：3+4k2＝2m2，…（12分）3+4k2＞0，则m2＞0，△＝48m2＞0，又点O到直线y＝kx+m的距离，丨AB丨＝＝×＝×，∴…（14分）2）当直线l的斜率不存在时，设方程为x＝m（﹣2＜m＜2）联立椭圆方程得；代入3x1x2+4y1y2＝0，得，解得m2＝2，从而，S△OAB＝丨AB丨×d＝丨m丨丨y1﹣y2丨＝，综上：△OAB的面积是定值．…（16分）21．（18分）对于定义域为R的函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表：（1）求f{f[f（0）]}；（2）数列{x n}满足x1＝2，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，求x1+x2+…+x4n；（3）若y＝f（x）＝A sin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N*）．【解答】解：（1）根据表中的数据：f{f[f（0）]}＝f（f（3））＝f（﹣1）＝2．（2）由题意，x1＝2，点（x n，x n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，即x n+1＝f（x n）∴x2＝f（x1）＝f（2）＝0，x3＝f（x2）＝3，x4＝f（x3）＝﹣1，x5＝f（x4）＝2∴x5＝x1，∴函数y是周期为4的函数，故得：x1+x2+…+x4n＝4n．（3）由题意得由（1）﹣（2）∴sin（ω+φ）＝sin（﹣ω+φ）∴sinωcosφ＝0．又∵0＜ω＜π∴sinω≠0．∴cosφ＝0而0＜φ＜π∴从而有．∴2A2﹣4A+2﹣2A2+3A＝0．∴A＝2．b＝1，∵0＜ω＜π，∴．∴．此函数的最小正周期T＝＝6，f（6）＝f（0）＝3∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝6，∴①当n＝2k（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）＝f（1）+f（2）+…+f（6k）＝k[f（1）+f（2）+…+f（6）]＝6k＝3n．②当n＝2k﹣1（k∈N*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）＝f（1）+f（2）+…+f（6k）﹣f（6k﹣2）﹣f（6k﹣1）﹣f（6k）＝k[f（1）+f（2）+…+f（6）]﹣5＝6k﹣5＝3n﹣2．。
2017年上海市奉贤区高考数学二模试卷 有答案
2017年上海市奉贤区高考数学二模试卷一、填空题（第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分，满分54分）1．函数f（x）=cos（﹣x）的最小正周期是．2．若关于x，y的方程组无解，则a= ．3．已知{a n}为等差数列，若a1=6，a3+a5=0，则数列{a n}的通项公式为．4．设集合A={x||x﹣2|≤3}，B={x|x＜t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范围是．5．设点（9，3）在函数f（x）=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）= ．6．若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．7．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y﹣6=0，圆C的参数方程为，则圆心C到直线l的距离为．8．双曲线=1的左右两焦点分别是F1，F2，若点P在双曲线上，且∠F1PF2为锐角，则点P的横坐标的取值范围是．9．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为．10．已知数列{a n}是无穷等比数列，它的前n项的和为S n，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则= ．11．已知实数x、y满足方程（x﹣a+1）2+（y﹣1）2=1，当0≤y≤b（b∈R）时，由此方程可以确定一个偶函数y=f（x），则抛物线的焦点F到点（a，b）的轨迹上点的距离最大值为．12．设x1、x2、x3、x4为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6，则这样的排列有个．二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分）13．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞014．若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（x）e x+1 B．y=f（﹣x）e﹣x﹣1 C．y=f（x）e x﹣1 D．y=f（﹣x）e x+115．矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm．将其按图（1）的方法分割，并按图（2）的方法焊接成扇形；按图（3）的方法将宽BC 2等分，把图（3）中的每个小矩形按图（1）分割并把4个小扇形焊接成一个大扇形；按图（4）的方法将宽BC 3等分，把图（4）中的每个小矩形按图（1）分割并把6个小扇形焊接成一个大扇形；…；依次将宽BC n等分，每个小矩形按图（1）分割并把2n个小扇形焊接成一个大扇形．当n→∞时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为（）A．小于B．等于C．大于D．大于1.616．如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．O是△ABC的外心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，则OD：OE：OF等于（）A．a：b：c B．C．sinA：sinB：sinC D．cosA：cosB：cosC三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO=2．（1）求异面直线PC与OE所成的角的大小；（2）求二面角P﹣AC﹣E的大小．18．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．19．如图，半径为1的半圆O上有一动点B，MN为直径，A为半径ON延长线上的一点，且OA=2，∠AOB的角平分线交半圆于点C．（1）若，求cos∠AOC的值；（2）若A，B，C三点共线，求线段AC的长．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，b1=8，T n是数列{b n}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N*均有T k≥T n恒成立；（3）设，R n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*均有R n＜λ恒成立，求λ的最小值．21．已知椭圆E：，左焦点是F1．（1）若左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上．求椭圆E的方程；（2）过原点且斜率为t（t＞0）的直线l1与（1）中的椭圆E交于不同的两点G，H，设B1（0，1），A1（2，0），求四边形A1GB1H的面积取得最大值时直线l1的方程；（3）过左焦点F1的直线l2交椭圆E于M，N两点，直线l2交直线x=﹣p（p＞0）于点P，其中p是常数，设，，计算λ+μ的值（用p，a，b的代数式表示）．2017年上海市奉贤区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分，满分54分）1．函数f（x）=cos（﹣x）的最小正周期是2π．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】化函数f（x）=cos（﹣x）=sinx，写出它的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=cos（﹣x）=sinx∴f（x）的最小正周期是2π．故答案为：2π．2．若关于x，y的方程组无解，则a= 1 ．【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据题意，分析可得：若方程组无解，则直线ax+y=1与直线x+y=2平行，由直线平行的判定方法分析可得=≠，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，关于x，y的方程组无解，则直线ax+y=1与直线x+y=2平行，则有=≠，解可得a=1，故答案为：1．3．已知{a n}为等差数列，若a1=6，a3+a5=0，则数列{a n}的通项公式为a n=8﹣2n ．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=6，a3+a5=0，∴2×6+6d=0，解得d=﹣2．∴a n=6﹣2（n﹣1）=8﹣2n．故答案为：a n=8﹣2n．4．设集合A={x||x﹣2|≤3}，B={x|x＜t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出关于A的不等式，根据集合的关系求出t的范围即可．【解答】解：A={x||x﹣2|≤3}={x|﹣1≤x≤5}，B={x|x＜t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范是：t≤﹣1；故答案为：（﹣∞，﹣1]．5．设点（9，3）在函数f（x）=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）= 2x+1 ．【考点】4R：反函数．【分析】根据点（9，3）在函数f（x）=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象上，求解出a，把x用y表示出来，把x与y互换可得f（x）的反函数f﹣1（x）．【解答】解：点（9，3）在函数f（x）=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象上，∴log a（9﹣1）=3，可得：a=2，则函数f（x）=y=log2（x﹣1）那么：x=2y+1．把x与y互换可得：y=2x+1∴f（x）的反函数f﹣1（x）=2x+1．故答案为：2x+1．6．若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为 3 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．7．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y﹣6=0，圆C的参数方程为，则圆心C到直线l的距离为．【考点】QK：圆的参数方程．【分析】求出圆的普通方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：圆C的参数方程为，普通方程为x2+（y﹣2）2=4，圆心为（0，2），半径为2，∴圆心C到直线l的距离为=，故答案为．8．双曲线=1的左右两焦点分别是F1，F2，若点P在双曲线上，且∠F1PF2为锐角，则点P的横坐标的取值范围是（，+∞）∪（﹣∞，﹣）．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出∠F1PF2为直角时P的坐标，可得∠F1PF2为锐角时点P的横坐标的取值范围【解答】解：不妨以P在双曲线右支为例由PF1⊥PF2，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16，又|PF1|﹣|PF2|=2，①两边平方得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=4，∴|PF1||PF2|=6，②联立①②解得：|PF2|=，由焦半径公式得|PF2|==ex﹣a，即可得点P的横坐标为，根据对称性，则点P的横坐标的取值范围是（））．故答案为：是（））9．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为28π．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合而成，其表面积等于圆柱+圆锥在减去重叠或者多余的部分．【解答】解：由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合而成：其表面积等于圆锥侧面积+圆柱侧面+圆柱底面积．圆锥S侧=πrl=8π，圆柱侧面+圆柱底面积=4×2πr+πr2=16π+4π=20π，∴该几何体的表面积为28π．故答案为28π．10．已知数列{a n}是无穷等比数列，它的前n项的和为S n，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则= 70 ．【考点】8J：数列的极限．【分析】由题意，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数=35，公比是复数的模，即可求出极限．【解答】解：由题意，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数=35，公比是复数的模，∴==70，故答案为70．11．已知实数x、y满足方程（x﹣a+1）2+（y﹣1）2=1，当0≤y≤b（b∈R）时，由此方程可以确定一个偶函数y=f（x），则抛物线的焦点F到点（a，b）的轨迹上点的距离最大值为．【考点】K8：抛物线的简单性质；3J：偶函数；IR：两点间的距离公式．【分析】由题设条件当0≤y≤b（b∈R）时，由此方程可以确定一个偶函数y=f（x），可知方程（x﹣a+1）2+（y﹣1）2=1，关于y轴成轴对称，故有﹣a+1=0，又由圆的几何特征及确定一个偶函数y=f（x）知，y的取值范围是，由此可以求出b的取值范围，由此点（a，b）的轨迹求知，再由抛物线的性质求得其焦点坐标为（0，﹣），最大距离可求【解答】解：由题意可得圆的方程一定关于y轴对称，故由﹣a+1=0，求得a=1由圆的几何性质知，只有当y≤1时，才能保证此圆的方程确定的函数是一个偶函数，故0＜b≤1由此知点（a，b）的轨迹是一个线段，其横坐标是1，纵坐标属于（0，1]又抛物线故其焦点坐标为（0，﹣）由此可以判断出焦点F到点（a，b）的轨迹上点的距离最大距离是=故答案为12．设x1、x2、x3、x4为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6，则这样的排列有9 个．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】利用和值为6，分解为4个非负数的和，最大值为3，最小值为0，列出所有情况即可．【解答】解：x1、x2、x3、x4为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6，可得4个数的和为6，共有，0+0+3+3=6；1+1+1+3=6；0+1+2+3=6；1+1+2+2=6；所有x1、x2、x3、x4分别为：0+0+3+3=6；类型有：4，2，3，1；1+1+1+3=6；类型有：2，3，4，1；4，1，2，3；0+1+2+3=6；类型有：4，1，3，2；4，2，1，3；3，2，4，1；2，4，3，1；1+1+2+2=6；类型有：2，4，1，3；3，1，4，2；共9种．故答案为：9．二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分）13．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0【考点】71：不等关系与不等式．【分析】x，y∈R，且x＞y＞0，可得：，sinx与siny的大小关系不确定，＜，lnx+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论．【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则，sinx与siny的大小关系不确定，＜，即﹣＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．故选：C．14．若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（x）e x+1 B．y=f（﹣x）e﹣x﹣1 C．y=f（x）e x﹣1 D．y=f（﹣x）e x+1【考点】52：函数零点的判定定理；3L：函数奇偶性的性质．【分析】由x0是y=f（x）﹣e x的一个零点知f（x0）﹣=0，再结合f（x）为奇函数知f（﹣x0）+=0，从而可得f（﹣x0）+1==0．【解答】解：∵x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，∴f（x0）﹣=0，又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x0）=﹣f（x0），∴﹣f（﹣x0）﹣=0，即f（﹣x0）+=0，故f（﹣x0）+1==0；故﹣x0一定是y=f（x）e x+1的零点，故选：A．15．矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm．将其按图（1）的方法分割，并按图（2）的方法焊接成扇形；按图（3）的方法将宽BC 2等分，把图（3）中的每个小矩形按图（1）分割并把4个小扇形焊接成一个大扇形；按图（4）的方法将宽BC 3等分，把图（4）中的每个小矩形按图（1）分割并把6个小扇形焊接成一个大扇形；…；依次将宽BC n等分，每个小矩形按图（1）分割并把2n个小扇形焊接成一个大扇形．当n→∞时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为（）A．小于B．等于C．大于D．大于1.6【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】当n无限大时，扇形的半径应该无限接近10，而扇形的弧长应该无限接近8+8=16，那么圆心角=16×180÷π÷10≈92°，即可得出结论．【解答】解：将宽BC n等分，当n无限大时，扇形的半径应该无限接近10，而扇形的弧长应该无限接近8+8=16，那么圆心角=16×180÷π÷10≈92°，因此n无限大时，大扇形的圆心角应该大于90°．故选C．16．如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．O是△ABC的外心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，则OD：OE：OF等于（）A．a：b：c B．C．sinA：sinB：sinC D．cosA：cosB：cosC【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】作出△ABC的外接圆，连接OA、OB、OC，由垂径定理和圆周角定理可得∠B=∠AOC=∠AOE，同理可知∠A=∠BOD、∠C=∠AOF，若设⊙O的半径为R，可用R分别表示出OD、OE、OF，进而可得到它们的比例关系．【解答】解：如图，连接OA、OB、OC；∵∠BOC=2∠BAC=2∠BOD，∴∠BAC=∠BOD；同理可得：∠BOF=∠BCA，∠AOE=∠ABC；设⊙O的半径为R，则：OD=R•cos∠BOD=R•cos∠A，OE=R•cos∠AOE=R•cos∠B，OF=R•cos∠BOF=R•cos∠C，故OD：OE：OF=cos∠A：cos∠B：cos∠C，故选D．三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO=2．（1）求异面直线PC与OE所成的角的大小；（2）求二面角P﹣AC﹣E的大小．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）方法（1）根据中点条件可以证明OE∥AC，∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角；解△PCA可得异面直线PC与OE所成的角方法（2）如图，建立空间直角坐标系，，E （1，1，0）利用向量的夹角公式可得异面直线PC与OE所成的角（2）、方法（1）、求出平面APC的法向量，平面ACE的法向量，利用向量法求解．方法（2）、取AC中点为D，连接PD，OD，可得二面角P﹣AC﹣E的平面角即为∠PDO解Rt△PDO，可得二面角P﹣AC﹣E的大小【解答】解：（1）证明：方法（1）∵PO是圆锥的高，∴PO⊥底面圆O，根据中点条件可以证明OE∥AC，得∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角；所以异面直线PC与OE所成的角是（1）方法（2）如图，建立空间直角坐标系，，E（1，1，0）∴，，，设与夹角θ，异面直线PC与OE所成的角．（2）、方法（1）、设平面APC的法向量，∴，平面ACE的法向量，设两平面的夹角α，则，所以二面角P﹣AC﹣E的大小是arccos．方法（2）、取AC中点为D，连接PD，OD，又圆锥母线PA=AC，∴PD⊥AC，∵底面圆O上OA=OC∴OD⊥AC，又E为劣弧CB的中点，即有E∈底面圆O，∴二面角P﹣AC﹣E的平面角即为∠PDO，∵C为半圆弧AB的中点，∴∠AOC=90°又直径，∴，∵PO⊥底面圆O且OD⊂底面圆O，∴PO⊥OD，又∴△Rt△PDO中，，∴所以二面角P﹣AC﹣E的大小是arccos．18．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【解答】解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得当0＜x≤40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=﹣6x2+384x﹣40；当x＞40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=∴W=；（2）当0＜x≤40时，W=﹣6x2+384x﹣40=﹣6（x﹣32）2+6104，∴x=32时，W max=W（32）=6104；当x＞40时，W=≤﹣2+7360，当且仅当，即x=50时，W max=W（50）=5760∵6104＞5760∴x=32时，W的最大值为6104万美元．19．如图，半径为1的半圆O上有一动点B，MN为直径，A为半径ON延长线上的一点，且OA=2，∠AOB的角平分线交半圆于点C．（1）若，求cos∠AOC的值；（2）若A，B，C三点共线，求线段AC的长．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）若，利用向量的数量积公式，即可求cos∠AOC的值；（2）若A，B，C三点共线，可得，利用余弦定理，即可求线段AC的长．【解答】解：（1）设∠AOC=θ，，∴=4+1×2×cos（π﹣2θ）+1×2×cos（π﹣θ）+cosθ=﹣4cos2θ﹣cosθ+6∴﹣4cos2θ﹣cosθ+6=3，∴（舍去）（2）A，B，C三点共线，所以∴∴AC2=1+4﹣2×1×2×cosθ=2，∴．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，b1=8，T n是数列{b n}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N*均有T k≥T n恒成立；（3）设，R n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*均有R n＜λ恒成立，求λ的最小值．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）利用已知条件推出a n+1=2a n，数列{a n}为等比数列，公比q=2，求出通项公式．（2）推出，方法一：通过T1＜T2＜T3＜T4=T5＞T6＞推出结果．方法二利用错位相减法求和，当1≤n ＜4，T n+1＞T n，当n=4，T4=T5，当n＞4时，T n+1＜T n，综上，当且仅当k=4或5时，均有T k≥T n．（3）利用裂项求和，通过对任意n∈N*均有成立，求解即可．【解答】（本小题满分13分）解：（1）由S n=2a n﹣2，得S n+1=2a n+1﹣2两式相减，得a n+1=2a n+1﹣2a n∴a n+1=2a n数列{a n}为等比数列，公比q=2又S1=2a1﹣2，得a1=2a1﹣2，a1=2∴（2），方法一当n≤5时，≥0因此，T1＜T2＜T3＜T4=T5＞T6＞…∴对任意n∈N*均有T4=T5≥T n，故k=4或5．方法二（两式相减，得，=（6﹣n）•2n+1﹣12，，当1≤n＜4，T n+1＞T n，当n=4，T4=T5，当n＞4时，T n+1＜T n，综上，当且仅当k=4或5时，均有T k≥T n（3）∵∴=∵对任意n∈N*均有成立，∴，所以λ的最小值为．21．已知椭圆E：，左焦点是F1．（1）若左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上．求椭圆E的方程；（2）过原点且斜率为t（t＞0）的直线l1与（1）中的椭圆E交于不同的两点G，H，设B1（0，1），A1（2，0），求四边形A1GB1H的面积取得最大值时直线l1的方程；（3）过左焦点F1的直线l2交椭圆E于M，N两点，直线l2交直线x=﹣p（p＞0）于点P，其中p是常数，设，，计算λ+μ的值（用p，a，b的代数式表示）．【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上．列出方程组求解a，b可得椭圆方程．（2）设直线l1的方程y=tx，联立，求解，，，推出四边形A1GB1H的面积，求出最大值，然后求解直线方程．（3）设直线l2的方程y=k（x+c）交椭圆b2x2+a2y2﹣a2b2=0于M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，结合题设，，求解λ+μ即可．【解答】（本小题满分13分）解：（1）左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上．∴，所以椭圆方程（2）设直线l1的方程y=tx联立，可以计算，，∴，∴，所以直线l1的方程是（3）设直线l2的方程y=k（x+c）交椭圆b2x2+a2y2﹣a2b2=0于M（x1，y1），N（x2，y2），（b2+a2k2）x2+2a2k2cx+a2k2c2﹣a2b2=0，直线l2交直线x=﹣p（p＞0）于点P，根据题设，，得到（x1+p，y p）=λ（﹣c﹣x1，0﹣y1），（x1+p，y p）=λ（﹣c﹣x2，0﹣y2），得，==﹣=﹣==λ+μ的值为：结论。
上海市17高三第二次模拟数学理试题分类汇编：数列有答案
上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：数列一、填空、选择题1、(崇明县2016届高三二模)若数列{}n a 是首项为1，公比为32a -的无穷等比数列，且{}na 各项的和为a ，则a 的值是 ．2、(奉贤区2016届高三二模)无穷等比数列首项为1，公比为()0q q >的等比数列前n 项和为n S ，则lim 2n n S →∞=， 则q =________．3、(虹口区2016届高三二模)在正项等比数列{}na中，132341,,3a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞+++=___________.4、(黄浦区2016届高三二模)已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1(,22,1,2,3,)k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值为5、(静安区2016届高三二模)已知数列{}n a 满足181a =，1311log ,2,(*)3,21n n n a a n k a k N n k ---+=⎧=∈⎨=+⎩，则数列{}na的前n 项和n S 的最大值为.6、(闵行区2016届高三二模)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22|2016|n S n a n =+-(0a >)，则使得1n n a a +≤(n ∈*N 学科网)恒成立的a 的最大值为 .7、(浦东新区2016届高三二模)已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-⋅+，*n N∈，则这个数列的前n 项和nS =___________． 8、(徐汇、金山、松江区2016届高三二模)在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________．9、(徐汇、金山、松江区2016届高三二模)对于给定的正整数n 和正数R ，若等差数列123,,,a a a 满足22121n a a R ++≤，则21222341n n n n S a a a a ++++=++++的最大值为__________________．10、(杨浦区2016届高三二模)已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：174a a =，则数列2{log }na 的前7项之和为 .11、(闸北区2016届高三二模)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，13n n a S +=，则下列关于{}na 的论断中正确的是( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，但不会是等比数列D ．可能是等比数列，但不会是等差数列12、(长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模)已知各项均为正数的数列}{n a满足23n n =+L (*N ∈n )，则12231n a a a n +++=+L ___________． 13、(崇明县2016届高三二模)下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题： (1)数列{}n a 是递增数列； (2)数列{}n n a 是递增数列；(3)数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列； (4)数列{}3n a nd +是递增数列． 其中的真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．314、(奉贤区2016届高三二模)若数列{}n a 前n 项`和nS 满足()2*1212,n n S S n n n N -+=+≥∈，且1ax =，{}n a 单调递增，则x 的取值范围是_______．15、(浦东新区2016届高三二模)任意实数,a b ，定义00ab ab a b aab b≥⎧⎪⊗=⎨<⎪⎩，设函数2()log f x x x =⊗（）.数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()2f a f a f a f a f a a +++++=L ，则1a =_______．二、解答题1、(崇明县2016届高三二模)已知数列{}n a 与{}n b 满足11*(),n n n n a a b b n N λ++-=-∈．(1)若123,1,2n b n a λ=-==，求数列{}n a 的通项公式；(2)若111,2a b ==，且数列{}n b 是公比等于2的等比数列，求λ的值，使数列{}n a 也是等比数列；(3)若1*,,n na b n N λλ==∈，且(1,0)λ∈-，数列{}n a 有最大值M 与最小值m ，求M m的取值范围．2、(奉贤区2016届高三二模)数列{}n a ，{}n b 满足1111221111122n n n n n na ab b a b ++⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅+⋅⎪⎩，0,011>>b a .(1)求证：{}n n b a ⋅是常数列； (2)若{}na是递减数列，求1a 与1b 的关系； (3)设114,1a b ==，当2n ≥时，求n a 的取值范围.3、(虹口区2016届高三二模)设数列{}n a的前n 项和为,nS 且2(1)().n n n S a S n N *-=∈(1)求123S S S 、、的值，并求出nS 及数列{}n a 的通项公式；(2)设121(1)(1)(),n n n n b n a a n N +*+=-+⋅∈求数列{}n b 的前n 项和.n T (3)设(1)(),n n c n a n N *=+⋅∈在数列{}n c 中取出(,3)m m N m *∈≥为常数项，按照原来的顺序排成一列，构成等比数列{}n d .若对任意的数列{}n d ，均有123,m d d d d M ++++≤试求M 的最小值.4、(黄浦区2016届高三二模)已知数列{}n a 的通项公式为12()()n a n k n k =--，其中12,k k Z ∈；(1)试写出一组12,k k Z ∈的值，使得数列{}n a 中的各项均为正数； (2)若11k =、*2k N ∈，数列{}n b 满足n n a b n=，且对任意*m N ∈(3)m ≠，均有3m b b <，写出所有满足条件的2k 的值；(3)若120k k <<，数列{}n c 满足||n n n c a a =+，其前n 项和为n S ，且使0i j c c =≠*(,,)i j N i j ∈<的i 和j 有且仅有4组，1S 、2S 、…、n S 中至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求12,k k 的最小值；5、(静安区2016届高三二模)已知数列{}n a 满足n n n a a 331+=-(*∈≥N n n ,2)，首项31=a ．(1)求数列{}na 的通项公式； (2)求数列{}na 的前n 项和n S ；(3)数列{}nb满足n a bn n3log =，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n b b 的前n 项和为n T ，A 是△ABC 的内角，若nT A A 43cos sin >对于任意n N *∈恒成立，求角A 的取值范围．6、(闵行区2016届高三二模)已知n ∈*N ，数列{}na、{}n b 满足:11n n a a +=+，112n n nb b a +=+，记24n n nc a b =-．(1)若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (2)证明：数列{}n c 是等差数列；(3)定义2()n n n f x x a x b =++，证明：若存在k ∈*N ，使得k a 、k b 为整数，且()k f x 有两个整数零点，则必有无穷多个()n f x 有两个整数零点．7、(浦东新区2016届高三二模)数列{}n a 满足：112,2n n n a a a λ+==+⋅，且123,1,a a a +成等差数列，其中*n N ∈。
【上海市普陀区】2017届高三下学期质量调研(二模)数学试卷-答案
1) ，其中 d1
3
2
1 1 36
dn 2n
1 3
1 6
(
1 2
)n1
，即
dn
2n
(1)n1 3
dm 103 2m (1)m1 3 000
①若 m 为偶数，则 m log23 001，即 m 12 ；
②若 m 为奇数，则 m log2 2 099 ，即 m 13 ； 综上①②可得， m 的取值范围是 m 13 且 m N* ．
P 100 3(5 x) (8 y) 100 3(5 50) (8 300)
v
所以 P 123 150 300 （其中 4 v 20,30 100 ） v
（2） P 100 3(5 x) (8 y) 123 (3x y)
则
B1
(1,
0,1)
，
E
(1,
1 2
,
0)
，
D(0,1,
0)
，
F
(0,
1 2
,1)
DE
(1,
1 2
, 0)
，
FB1
(1,
1 2
, 0)
所以 DE FB1 ，即 DE∥FB1 且 DE FB1 ，故四边形 B1EDF 是平行四边形
又因为
B1E
(0,
1 2
,
1)
，所以
|
B1E
||
1 ������3
=
1
+
0
+
0 + 0 = 1；故填 1．
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2017年高三二模汇编——数列与数学归纳法(1)
中学生VIP 成长教育顾问12017高三二模汇编——数列与数学归纳法一、填空题1（2017宝山长宁金山青浦二模9）设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T lim n →∞= ．【参考答案】122（2017普陀二模1） 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .【参考答案】13（2017奉贤二模3）已知为等差数列，若，，则数列的通项公式为________． 【参考答案】n a =82n -；4（2017虹口二模3）已知首项为1公差为2的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则2()lim n n na S →∞= ． 【参考答案】45（2017嘉定二模4）=++++∞→nn n n n 3232lim11_______________． 【参考答案】 36（2017嘉定二模6）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若3535=a a ，则=35S S___________． {}n a 16a =350a a +={}n a中学生VIP 成长教育顾问2【参考答案】25 7（2017静安二模7）各项均不为零的数列}{n a 的前n 项和为n S ． 对任意*N ∈n ，)2,(11++-=n n n n a a a m 都是直线kx y =的法向量．若n n S ∞→lim 存在，则实数k 的取值范围是________．【参考答案】()()+∞-∞-,01, ；8（2017徐汇二模4）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()3n n S a n N =-∈，则lim nn S →∞=____________． 【参考答案】 1 9（2017徐汇二模5）若*1()(4,)2nx n n N x+≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =_____． 【参考答案】 810（2017崇明二模8）数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，若122a a +=，231a a +=-，则lim n n S →∞= ▲ ．【参考答案】：8311（2017浦东二模9）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1lim nn n n S a a →∞+=____________．【参考答案】1412（2017虹口二模12）无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n 都有{}12310,,,,n S k k k k ∈，则10a 的可能取值最多．．有 个． 【参考答案】 91中学生VIP 成长教育顾问313（2017黄浦二模12）对于数列{}n a ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T na a +=成立，则称数列{}n a 是以T 为周期的周期数列．设1(01)b m m =<<，对任意正整数n 都有111)1(01) (n n n n nb b b b b +->⎧⎪=⎨<⎪⎩≤，，若数列{}n b 是以5为周期的周期数列，则m 的值可以是 ．(只要求填写满足条件的一个m 值即可)21）． 14（2017嘉定二模11）设等差数列}{n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，公差为d ．若数列{}nS 也是公差为d 的等差数列，则}{na 的通项公式为=na_____________．【参考答案】412-n 15（2017静安二模11）已知x x x f +-=11)(，数列}{n a 满足211=a ，对于任意*N ∈n 都满足)(2n n a f a =+，且0>n a ，若1820a a =，则20172016a a +的值为_________．【参考答案】212-． 16（2017闵行二模12）已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =___． 【参考答案】1009 17 （2017浦东二模11）已知各项均为正数的数列{}n a 满足：()()()11210N n n n n a a a a n *++--=∈，且110a a =,则首项1a 所有可能取值中的最大值为____________． 【参考答案】16中学生VIP 成长教育顾问418（2017松江二模12）已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S = ． 【参考答案】 1009二、选择题19（2017崇明二模15）若等比数列{}n a 的公比为q ，则关于,x y 的二元一次方程组132421a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩的解的情况下列说法正确的是（ ） (A)对任意(0)q R q ∈≠，方程组都有唯一解 (B)对任意(0)q R q ∈≠，方程组都无解 (C)当且仅当12q =时，方程组有无穷多解 (D)当且仅当12q =时，方程组无解 【参考答案】：C20（2017奉贤二模15）矩形纸片ABCD 中，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ．将其按图（1）的方法分割，并按图（2）的方法焊接成扇形；按图（3）的方法将宽BC 2等分，把图（3）中的每个小矩形按图（1）分割并把4个小扇形焊接成一个大扇形；按图（4）的方法将宽BC3等分，把图（4）中的每个小矩形按图（1）分割并把6个小扇形焊接成一个大扇形；……；依次将宽BC n 等分，每个小矩形按图（1）分割并把n 2个小扇形焊接成一个大扇形．当n ∞→时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为 （ ）A ．小于2π B ．等于2π C ．大于2π D ．大于6.1B（1）CQ（4）CB……（3）BC B （2）A (D )C中学生VIP 成长教育顾问5【参考答案】 C21 （2017虹口二模13）已知a ，b ，c 都是实数，则“a ，b ，c 成等比数列”是“2b a c =⋅的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件【参考答案】A22 （2017浦东二模16）已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围 是（ ）A 、()3,8；B 、()2,16；C 、()4,8；D 、()22,16． 【参考答案】D23 （2017徐汇二模14）《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ）（A ）21斛 （B ）34斛 （C ）55斛 （D ）63斛 【参考答案】A24（2017杨浦二模14）设等差数列{}n a 的公差为d , 0d ≠. 若{}n a 的前10项之和大于其前21项之和, 则 ( )中学生VIP 成长教育顾问6(A) 0d < (B) 0d > (C) 160a < (D) 160a >【参考答案】C 三、解答题25（2017宝山二模20）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由． 【参考答案】（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，…………2/即121()2n n n a a a ++=+，…………………………………………………………………………3/故12k =．……………………………………………………………………………4/ （2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--，211()n n n n a a a a ++++=-+， 故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+．…………………………………………5/所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n n S a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；………………………7/当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++中学生VIP 成长教育顾问711(2)22n n -=+⨯-=-． ………………9/综上，()()2212n nn k S nn k -=-⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）．……………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+ ⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ………………………………14/③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m m m aa a a a +-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，．………………………………………………………15/综上，存在实数k满足题意，25k =-．…………………………………………………………………16/26（2017崇明二模21）已知数列{}n a 满足111,,*nn n a a a p n N +=-=∈．（1）若1p =，写出4a 所有可能的值；（2）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值；中学生VIP 成长教育顾问8（3）若12p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式． 【参考答案】：（1）4a 有可能的值为-2024，，，...............................................................4分（2）因为数列{}n a 是递增数列，所以11.n n n n n a a a a p ++-=-=而11a =，所以2231,1a p a p p =+=++.............................................6分又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+.....................................8分所以230p p -=.解得13p =或0p =当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，所以13p =...........10分 （3）因为{}21n a -是递增数列，所以2+1210n n a a -->，所以()()2+122210n n n n a a a a --+-> ①但2211122n n -<，所以2+12221n n n n a a a a --<- ② 由①，②知，2210n n a a -->，所以()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭③......13分因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<所以()21221221122n nn n n a a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭④由③，④知，中学生VIP 成长教育顾问9()1112n n nna a ++--==.............................................................16分所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()()()11211111111412111222233212n n nnnn -+-----=+-++=+=+⋅+ 所以数列{}n a 的通项公式为()1141332nn n a --=+⋅...........................................18分 27（2017奉贤二模20）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-（*n N ∈）． （1）求{}na 的通项公式；（2）设1122++-=n n n b b ，81=b ，n T 是数列{}nb 的前n 项和，求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n T T ≥恒成立； （3）设11(1)(1)n n n n a c a a ++=++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意*n N ∈均有n R λ< 恒成立，求λ的最小值．【参考答案】（1）由22n n S a =-，得1122n n S a ++=- 两式相减，得1122n n n a a a ++=-∴ 12n n a a += 2分 数列{}na 为等比数列，公比2q =又1122S a =-，得1122a a =-，12a =∴ 2nn a = 2分（2）1122++-=n n n b b 11122n nn nb b ++=- 1分中学生VIP 成长教育顾问10()()111122n n b b n =+-⨯-，()25n n b n =- 2分 方法一当5n ≤时，()25nn b n =-0≥ 1分因此，1234T T T T <<< >>=65T T 1分 ∴ 对任意*n N ∈均有45n T T T =≥，故4k =或5。
01.2017年上海高三数学二模分类汇编：集合与命题
1（2017虹口二模）. 集合{1,2,3,4}A =，{|(1)(5)0}B x x x =--<，则AB = 1（2017静安二模）. 已知集合{|ln 0}A x x =>，{|23}x B x =<，则A B =1（2017徐汇二模）. 设全集{1,2,3,4}U =，集合2{|540,}A x x x x Z =-+<∈，则U C A = 1（2017宝山二模）. 已知集合{|0}A x x =>，集合{|1}B x x =<，则A B =1（2017长宁二模）. 已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，集合{|2,}B x x x R =<∈，则AB = 2（2017崇明二模）. 若全集U R =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥<，则UC A = 2（2017松江二模）. 已知集合{||1|1}M x x =+≤，{1,0,1}N =-，则MN = 2（2017闵行二模）. 已知集合{||1|1}M x x =+≤，{1,0,1}N =-，则M N = 3（2017黄浦二模）. 若“2230x x -->”是“x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为4（2017奉贤二模）. 设集合{||2|3}A x x =-≤，{|}B x x t =<，若AB =∅，则实数t 的取值范围是5（2017杨浦二模）. 集合2{1,3,}A a =，集合{1,2}B a a =++，若B A A =，则实数a =12（2017静安二模）. 已知,a b R ∈，则“33log log a b >”是“11()()22a b <”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件13（2017嘉定二模）. 命题“若1=x ，则0232=+-x x ”的逆否命题是（ ）A. 若1≠x ，则0232≠+-x xB. 若0232=+-x x ，则1=xC. 若0232=+-x x ，则1≠xD. 若0232≠+-x x ，则1≠x13（2017长宝二模）. 设a 、b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件13（2017徐汇二模）. “1x >”是“11x<”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要13（2017闵松二模）. 设a 、b 分别是两条异面直线1l 、2l 的方向向量，向量a 、b 的夹角的取值范围为A ，1l 、2l 所成的角的取值范围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的（ ）条件A. 充要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分也不必要14（2017普陀二模）. 若α、R β∈，则“βα≠”是“βαtan tan ≠”成立的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要。
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1（2017普陀二模）. 计算：31lim(1)n n→∞+=3（2017虹口二模）. 已知首项为1公差为2的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则2()lim n n na S →∞= 3（2017奉贤二模）. 已知{}n a 为等差数列，若16a =，350a a +=，则数列{}n a 的通项公式为4（2017嘉定二模）. 1123lim 23n n nnn ++→∞+=+ 4（2017徐汇二模）. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213n n S a =-*()n N ∈，则lim n n S →∞=6（2017嘉定二模）. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3535=a a ，则=35S S7（2017静安二模）. 各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，11(,2)n n n n m a a a ++=-都是直线y kx =的法向量，若lim n n S →∞存在，则实数k 的取值范围是8（2017崇明二模）. {}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，若122a a +=，251a a +=-，则lim n n S →∞=9（2017浦东二模）. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=10（2017奉贤二模）. 已知数列{}n a 是无穷等比数列，它的前n 项的和为n S ，该数列的首项是二项式71()x x+展开式中的x的系数，公比是复数z =的模（i 是虚数单位），则lim n n S →∞=11（2017浦东二模）. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++--=*()n N ∈，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为11（2017嘉定二模）. 设等差数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，公差为d ，若数列也是公差为d 的等差数列，则{}n a 的通项公式为=n a 11（2017静安二模）. 已知1()1x f x x -=+，数列{}n a 满足112a =，对于任意*n N ∈都满足2()n n a f a +=，且0n a >，若2018a a =，则20162017a a +=12（2017虹口二模）. 无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n 都有{}12310,,,,n S k k k k ∈，则10a 的可能取值最多有 个12（2017闵行/松江二模）. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项i a 、j a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =12（2017黄浦二模）. 对于数列{}n a ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是以T 为周期的周期数列，设1b m =(01)m <<，对任意正整数n 有11,11,01n n n n nb b b b b +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，若数列{}n b 是以5为周期的周期数列，则m 的值可以是 （只要求填写满足条件的一个m 值即可）13（2017虹口二模）. 已知a 、b 、c 都是实数，则“a 、b 、c 成等比数列”是“2b a c =⋅”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14（2017杨浦二模）. 设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ≠，若{}n a 的前10项之和大于其前21项之和，则（ ）A. 0d <B. 0d >C. 160a <D. 160a >16（2017浦东二模）. 已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（ ）A. (3,8)B. (2,16)C. (4,8)D.19（2017虹口二模）. {}n a 是首项为116且公比不为1的等比数列，n S 是它的前n 项和，满足325416S S =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设log n a n b a =(0a >且1)a ≠，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最值；20（2017杨浦二模）. 设数列{}n a 满足4nn a A B n =⋅+⋅，其中A 、B 是两个确定的实数，0B ≠.（1）若1A B ==，求{}n a 的前n 项之和； （2）证明：{}n a 不是等比数列；（3）若12a a =，数列{}n a 中除去开始的两项之外，是否还有相等的两项？证明你的结论.20（2017浦东二模）. 若数列{}n A 对任意的*n N ∈，都有1k n n A A +=(0)k ≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”.（1）已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=+且112a =，试判断数列{}21n a +是否为“2级创 新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积n T ； （3）设α、β是方程210x x --=的两个实根()αβ>，令k βα=，在（2）的条件下，记 数列{}n c 的通项1log n n n b n c T β-=⋅，求证：21n n n c c c ++=+，*n N ∈.20（2017嘉定二模）. 如果函数)(x f y =的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有)()(x f a x f -=+成立，则称此函数)(x f 具有“)(a P 性质”； （1）判断函数x y cos =是否具有“)(a P 性质”，若具有“)(a P 性质”，求出所有a 的值的 集合；若不具有“)(a P 性质”，请说明理由；（2）已知函数)(x f y =具有“)0(P 性质”，且当0≤x 时，2)()(m x x f +=，求函数)(x f y =在区间[0,1]上的值域；（3）已知函数)(x g y =既具有“)0(P 性质”，又具有“)2(P 性质”，且当11≤≤-x 时，()||g x x =，若函数)(x g y =的图像与直线y px =有2017个公共点，求实数p 的值；20（2017静安二模）. 已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，19a =-，2a 为整数，且对任意*n N ∈有5n S S ≥.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设143b =，1,21(2),2n n n n a n k b b n k+=-⎧⎪=⎨-+-=⎪⎩，*n N ∈，求{}n b 的前n 项和n T ； （3）在（2）的条件下，若数列{}n c 满足52211(1)()2n a n n n n c b b λ++=++-，*n N ∈，是否存 在实数λ，使得{}n c 是单调递增数列，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，说明理由.20（2017奉贤二模）. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-（*n N ∈）；（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1122++-=n n n b b ，81=b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n T T ≥恒成立；（3）设11(1)(1)n n n n a c a a ++=++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意*n N ∈均有n R λ<恒成立，求λ的最小值；21（2017长宁/宝山二模）. 已知数列{}n a 中，11a =，2a a =，+12()n n n a k a a +=+对任意*n N ∈成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值； （2）若1a =，12k =-，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列且任意相邻三项m a 、1m a +、2m a +按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.21（2017松江二模）. 对于数列{}n a ，定义12231n n n T a a a a a a +=+++，*n N ∈；（1）若n a n =，是否存在*k N ∈，使得2017k T =？请说明理由；（2）若13a =，61nn T =-，求数列{}n a 的通项公式；（3）令21*112122,n n n nT T n b T T T n n N+--=⎧=⎨+-≥∈⎩，求证：“{}n a 为等差数列”的充要条件是“{}n a 的前4项为等差数列，且{}n b 为等差数列”；21（2017徐汇二模）. 现有正整数构成的数表如下： 第一行：1 第二行：1 2 第三行：1 1 2 3第四行：1 1 2 1 1 2 3 4第五行：1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5 …… …… ……第k 行：先抄写第1行，接着按原序抄写第2行，然后按原序抄写第3行，…，直至按原序 抄写第1k -行，最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1、2，接着按原序抄写第三行的数1、1、2、3，最后添上数4）将按照上述方式写下的第n 个数记作n a （如11a =，21a =，32a =，41a =，…，73a =， …，143a =，154a =，…）（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；（3）令123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+，求2017S 的值.21（2017崇明二模）. 已知数列{}n a 满足11a =，1||nn n a a p +-=，*n N ∈；（1）若1p =，写出4a 所有可能的值；（2）若数列{}n a 是递增数列，且1a 、22a 、33a 成等差数列，求p 的值； （3）若12p =，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式；21（2017闵行二模）. 已知()y f x =是R 上的奇函数，(1)1f -=-，且对任意(,0)x ∈-∞，1()()1x f x f x x =-都成立. （1）求1()2f -、1()3f -的值；（2）设1()n a f n=*()n N ∈，求数列{}n a 的递推公式和通项公式；（3）记121321n n n n n T a a a a a a a a --=+++⋅⋅⋅+，求1lim n n n TT +→∞的值.21（2017普陀二模）. 已知数列{}n a （*n N ∈），若1{}n n a a ++为等比数列，则称{}n a 具有性质P ；（1）若数列{}n a 具有性质P ，且121a a ==，33a =，求4a 、5a 的值； （2）若()nnn b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设212n c c c n n +++=+，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围；21（2017嘉定二模）. 给定数列}{n a ，若满足a a =1（0>a 且1≠a ），对于任意的*,n m N ∈，都有m n m n a a a ⋅=+，则称数列{}n a 为指数数列；（1）已知数列{}n a ，}{n b 的通项公式分别为123-⋅=n n a ，nn b 3=，试判断}{n a ，}{n b 是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列}{n a 满足：21=a ，42=a ，n n n a a a 2312-=++，证明：}{n a 是指数数列； （3）若数列}{n a 是指数数列，431++=t t a （*t N ∈），证明：数列}{n a 中任意三项都不能 构成等差数列；。