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FEATURES OF THE TOPIC
MERCURY
Mercury is the closest planet to the Sun and the smallest one in the Solar System
MARS
Despite being red, Mars is a cold place, not hot. It’s full of iron oxide dust
System
MARS
Despite being red, Mars is a cold place, not hot. It’s
full of iron oxide dust, giving the planet its
reddish cast
SATURN
Saturn is the ringed planet. It’s a gas giant, composed mostly of hydrogen and helium
System
Saturn is the ringed one. It’s a gas giant,
composed mostly of hydro farthest planet from the Sun and the fourth-largest in our
ASSIGNMENT
Mercury is the closest planet to the Sun, and Neptune is the farthest one. Calculate the distance between these two planets
THANKS!
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数学程序设计基础ch算法PPT课件
• 由基本结构所构成的算法属于“结构 化”的算法
• 它不存在无规律的转向，只在本基本 结构内才允许存在分支和向前或向后 的跳转。
第35页/共64页
扩展：
• 只要具有上述四个特点的都可以 作为基本结构。可以自己定义基 本结构，并由这些基本结构组成 结构化程序。
此图符合基本结构的特点
第36页/共64页
S2：若y不能被4整除，则输出y “不是闰年”。然后 转到S6
S3：若y能被4整除，不能被100整除，则输出y “是 闰年”。然后转到S6
S4：若y能被100整除，又能被400整除，输出y“是闰 年”，否则输出“不是闰年”。 然后转到S6。
S5: 输出y “不是闰年”。
S6：y+1 → y
S7：当y≤2500时，转S2继续执行，如y＞2500，算
法停止。
第11页/共64页
以上算法中每做一步 都分别分离出一些 范围(巳能判定为闰 年或非闰年)，逐步 缩小范围，直至执 行S5时，只可能是 非闰年。
“其它” 包括能被4 整除，又能被100整 除，而不能被400整 除的那些年份(如 1990) 是非闰年。
第12页/共64页
例2.4 求
1
1 2
1 3
第二章
• 主要内容： • 算法的概念和简单算法举例(1学时) • 算法的表示(1.5学时)
• 传统流程图、N-S结构化流程图、伪代码……
• 结构化程序设计方法(0.5学时)
第1页/共64页
2.1 算法的概念
广义地说，为解决一个问题而采取的方法和步
骤，就称为“算法”。
对同一个问题，可有不同的解题方法和步骤。
S5：i+1→i
S6：如果i≤n-1，返回S3。否则打印 n “是素数”。然后
• 它不存在无规律的转向，只在本基本 结构内才允许存在分支和向前或向后 的跳转。
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扩展：
• 只要具有上述四个特点的都可以 作为基本结构。可以自己定义基 本结构，并由这些基本结构组成 结构化程序。
此图符合基本结构的特点
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S2：若y不能被4整除，则输出y “不是闰年”。然后 转到S6
S3：若y能被4整除，不能被100整除，则输出y “是 闰年”。然后转到S6
S4：若y能被100整除，又能被400整除，输出y“是闰 年”，否则输出“不是闰年”。 然后转到S6。
S5: 输出y “不是闰年”。
S6：y+1 → y
S7：当y≤2500时，转S2继续执行，如y＞2500，算
法停止。
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以上算法中每做一步 都分别分离出一些 范围(巳能判定为闰 年或非闰年)，逐步 缩小范围，直至执 行S5时，只可能是 非闰年。
“其它” 包括能被4 整除，又能被100整 除，而不能被400整 除的那些年份(如 1990) 是非闰年。
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例2.4 求
1
1 2
1 3
第二章
• 主要内容： • 算法的概念和简单算法举例(1学时) • 算法的表示(1.5学时)
• 传统流程图、N-S结构化流程图、伪代码……
• 结构化程序设计方法(0.5学时)
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2.1 算法的概念
广义地说，为解决一个问题而采取的方法和步
骤，就称为“算法”。
对同一个问题，可有不同的解题方法和步骤。
S5：i+1→i
S6：如果i≤n-1，返回S3。否则打印 n “是素数”。然后
ch10 Mathematica 基础及其应用
3
图10-2 Mathematica 9笔记本界面。
4
笔记本界面是最常用的方式。选择图 10-2 的笔 记本界面后，通过创建交互式的文件与 Mathematica交互，初始文件名为:未命名-1.nb， 用户可以选择:文件|保存 来重新命名。
在笔记本中输入命令，然后按下 shift+Enter 使 Mathematica 处 理输入的命令。 处理输入后，Mathematica将用In[n]:=标记输入，并用Out[n]= 标记对应的运算结果。In[n]:=和Out[n]=是系统自动添加的， 并不需要输入，其中 n 为自动编号，也可以在输入结束时 直接点击鼠标右键选择计算单元来代替按键Shift+Enter。
21
列表元素可以单独使用，通过列表索引的方式 来获取单个元素，其方法为在列表后加 [[n]] ， 表示取出列表的第n个元素。例如
In[6]:=v[[2]] Out[6]=6.5 In[7]:=v[[2]]=0 Out[7]=0 In[8]:=v Out[8]={5,0,4.3}
22
10.3.4 表达式
20
例如
In[1]:={3,5,1} Out[1]={3,5,1} In[2]:={3,5,1}^2+1 Out[2]={10,26,2} In[3]:=Sin[%]//N Out[3]={-0.544021,0.762558,0.909297} In[4]:=v={5,6.5,4.3} Out[4]={5,6.5,4.3} In[5]:=v/(v-1) Out[5]={5/4,1.18182,1.30303}
例如当上式x=3、y=2时，计算表达式的值
In[5]:= t/.{x->3,y->2} Out[5]=8
图10-2 Mathematica 9笔记本界面。
4
笔记本界面是最常用的方式。选择图 10-2 的笔 记本界面后，通过创建交互式的文件与 Mathematica交互，初始文件名为:未命名-1.nb， 用户可以选择:文件|保存 来重新命名。
在笔记本中输入命令，然后按下 shift+Enter 使 Mathematica 处 理输入的命令。 处理输入后，Mathematica将用In[n]:=标记输入，并用Out[n]= 标记对应的运算结果。In[n]:=和Out[n]=是系统自动添加的， 并不需要输入，其中 n 为自动编号，也可以在输入结束时 直接点击鼠标右键选择计算单元来代替按键Shift+Enter。
21
列表元素可以单独使用，通过列表索引的方式 来获取单个元素，其方法为在列表后加 [[n]] ， 表示取出列表的第n个元素。例如
In[6]:=v[[2]] Out[6]=6.5 In[7]:=v[[2]]=0 Out[7]=0 In[8]:=v Out[8]={5,0,4.3}
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10.3.4 表达式
20
例如
In[1]:={3,5,1} Out[1]={3,5,1} In[2]:={3,5,1}^2+1 Out[2]={10,26,2} In[3]:=Sin[%]//N Out[3]={-0.544021,0.762558,0.909297} In[4]:=v={5,6.5,4.3} Out[4]={5,6.5,4.3} In[5]:=v/(v-1) Out[5]={5/4,1.18182,1.30303}
例如当上式x=3、y=2时，计算表达式的值
In[5]:= t/.{x->3,y->2} Out[5]=8
2021_2022学年新教材高中数学第10章复数10.2.1复数的加法与减法课件新人教B版必修第四册
解：(1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)(－1＋ 2i)＋(1＋ 2i)＝(－1＋1)＋( 2＋ 2)i＝2 2i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋ (4b－3)i.
题型二 复数加减运算的几何意义 例 2 设O→Z1及O→Z2分别与复数 z1＝5＋3i 及复数 z2＝4＋i 对 应，试计算 z1＋z2，并在复平面内作出O→Z1＋O→Z2. 状元随笔 利用加法法则求 z1＋z2，利用复数的几何意义 作出O→Z1＋O→Z2.
例 3 已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．
状元随笔 利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的
思想解题．
【解】 方法一：设 w＝z－3＋4i， ∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i. 又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1. 可知 w 对应的点的轨迹是 以(－4,5)为圆心，1 为半径 的圆． 如 图 (1) 所示， ∴|w|max ＝ 41＋1，|w|min＝ 41－1.
状元随笔 复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，
完全可以按照合并同类项的方法进行．
【解】 (1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i. (2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i. (3)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (4)原式＝(－2a＋5bi)＋5i＝－2a＋(5b＋5)i.
知识点二 复数代数形式的加法运算律
交换律 结合律
z1＋z2＝____z_2_＋__z_1 ___ (z1＋z2)＋z3＝__z_1＋__(_z_2_＋__z3_)_
知识点三 复数加减法的几何意义
1．复数加法的几何意义 如图，设复数 z1，z2 对应向量分别为O→Z1，O→Z2，四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，则与 z1＋z2 对应的向量是O→Z.
数学高等代数第五版精品PPT课件
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a A ；或
者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A； 或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
反证之明，设若xxA(AB B)C，( A那 C么) x，那A且么 xxBACB 或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC，中C的之B一 C. 若，x所以B 不，论那哪么一因
种为情x形都A 有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A； 或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
反证之明，设若xxA(AB B)C，( A那 C么) x，那A且么 xxBACB 或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC，中C的之B一 C. 若，x所以B 不，论那哪么一因
种为情x形都A 有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
北师大数学课件
CHAPTER 04
微积分部分
导数与微分
导数的定义
导数描述了函数在某一点的切 线斜率，是函数局部变化率的
一种度量。
导数的计算
通过求极限的方法，可以计算 出函数的导数，进而分析函数 的单调性、极值和拐点等性质 。
微分的概念
微分是函数在某一点附近的小 增量，是导数在实际问题中的 应用。
微分的计算
通过微分公式和链式法则，可 以近似计算函数的增量，从而 在近似计算和误差估计中得到
CHAPTER 03
概率与统计
概率论基础
概率定义与性质
概率是描述随机事件发生可能性 大小的数值，具有规范性、确定
性和非负性。
古典概型
古典概型是概率论中最简单、最直 观的概率模型之一，适用于等可能 事件的概率计算。
条件概率与独立性
条件概率描述了一个事件在另一个 事件发生的条件下的概率，而独立 性则描述了两个事件之间的相互关 系。
其收敛性。
CHAPTER 05
数学史与数学文化
中国古代数学的发展
要点一
总结词
中国古代数学的发展源远流长，经历了多个阶段，为世界 数学史做出了重要贡献。
要点二
详细描述
中国古代数学的发展可以追溯到商周时期，随着时间的推 移，数学逐渐发展壮大。在春秋战国时期，出现了《周髀 算经》等重要著作。秦汉时期，数学开始与天文学相结合 ，出现了《九章算术》等著作。宋元时期，中国数学发展 达到了巅峰，出现了许多杰出的数学家和著作，如祖冲之 的圆周率计算、秦九韶的《数书九章》等。
应用。
定积分与不定积分
01
02
03
04
定积分的定义
定积分描述了一个函数与一个 区间之间的面积，是积分的一
《基础数学(第3册)》教学课件 第10章 复数
解 如图所示，2+3i用点A(2，3)表 示；-2i用点B(0，-2)表示；3用点 C(3，0)来表示；0用点O(0，0)表 示．
10.1 复数的概念及几何表示
10.1.2 复数的几何表示
例5 在复平面内，作出表示下列复数的向量： 2+2i，-3-2i，-4，2i，2-2i．
10.1 复数的概念及几何表示
解
z1 z2 (5 6i) (3 4i) (5 3) (6 4)i 8 2i
复数z1，z2，z1+z2在复平面上所对应的向 量如图所示．
10.2 复数的四则运算
10.2.2 复数的乘、除法
设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，规定： z1 z2 (a bi)(c di) ac bci adi bdi2 (ac bd ) (ad bc)i ．
10.1 复数的概念及几何表示
10.1.1 复数的概念
实数(b 0)
复数(
z
a
bi
(a
，b
R))
虚数(b
0)
纯虚数(a 0) 非纯虚数(a
0)
．
全体复数组成的集合叫做复数集，用字母C表示． 实数集R是复数集C的真子集.
10.1 复数的概念及几何表示
10.1.1 复数的概念
如果两个复数a+bi与c+di(a，b，c，d∈R)的实部与虚部分别相等，则称 这两个复数相等，即
10.2 复数的四则运算
10.2.1 复数的加、减法
复数的加法满足交换律和结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有
z1 z2 z2 z1 (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )
10.2 复数的四则运算
10.1 复数的概念及几何表示
10.1.2 复数的几何表示
例5 在复平面内，作出表示下列复数的向量： 2+2i，-3-2i，-4，2i，2-2i．
10.1 复数的概念及几何表示
解
z1 z2 (5 6i) (3 4i) (5 3) (6 4)i 8 2i
复数z1，z2，z1+z2在复平面上所对应的向 量如图所示．
10.2 复数的四则运算
10.2.2 复数的乘、除法
设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，规定： z1 z2 (a bi)(c di) ac bci adi bdi2 (ac bd ) (ad bc)i ．
10.1 复数的概念及几何表示
10.1.1 复数的概念
实数(b 0)
复数(
z
a
bi
(a
，b
R))
虚数(b
0)
纯虚数(a 0) 非纯虚数(a
0)
．
全体复数组成的集合叫做复数集，用字母C表示． 实数集R是复数集C的真子集.
10.1 复数的概念及几何表示
10.1.1 复数的概念
如果两个复数a+bi与c+di(a，b，c，d∈R)的实部与虚部分别相等，则称 这两个复数相等，即
10.2 复数的四则运算
10.2.1 复数的加、减法
复数的加法满足交换律和结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有
z1 z2 z2 z1 (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )
10.2 复数的四则运算
数学软件Mathematica简介PPT课件
!p
Not运算
P&&q
And运算
P||q
Or运算
Xor[e]
Exclusive or运算
基本代数运算（太多，不介绍）
方程求解
• Solve是Mathematica的通用求解命令，它 不但能求出精确的数值解或代数解，还可 求出复数解。
• 基本格式： • Solve[eqn,x] 解方程eqn，其中x为变量 • Solve[{eqn1,eqn2,…},{x,y, …}] 解方程组
• 如果你的计算机的内存足够大,Mathemateic 可以表示任意长度的精确实数，而不受所用的计 算机字长的影响。整数与整数的计算结果仍是精 确的整数或是 有理数。例如：2的100次方是一 个31位的整数
数值运算
• 精确运算
• Mathematica进行计算时总是首先判别是否能
进行精确运算，若能，则进行精确运算。一般
• 一个表达式只有准确无误，方能得出正确结果。
• 如果输入了不合语法规则的表达式，系统会显示 出错信息，并且不给出计算结果。
• 学会看系统出错信息能帮助我们较快找出错误， 提高工作效率。
• 完成各种计算后，点击File->Exit退出，如果文件 未存盘，系统提示用户存盘，文件名以“.nb”作 为后缀，称为Notebook文件。以后想使用本次保 存的结果时可以通过File->Open菜单读入，也可 以直接双击它，系统自动调用Mathematica将它 打开.
• 近似计算示例1
• 近似计算示例2
• 例 已知 ysin(πx)3x21,求 x1时的函数值。
4
• 例 解代数方程x3-2x-1=0.
• 解 在Mathematica中解方程的函数为Solve[]和 FindRoot[]，输入
Mathematic PPT
2.3.3 随机数函数
随机数函数
名称
Random[ ] Random[Real,xmax] Random[Real,{xmin,xmax}] Random[Complex] Random[Complex,{zmin,zmax}] Random[type,range,n] Random[Integer] Random[Integer,imin,imax] SeedRandom[ ] SeedRandom[s]
复变量的数值函数
名称 x+yI Re[z] Im[z] Conjugate[z] Abs[z] Arg[z] 意义 定义复数x+yI 定义复数 求复数z的实部 求复数 的实部 求复数z的虚部 求复数 的虚部 求复数z的共轭 求复数 的共轭 求复数z的模 求复数 的模 求复数z的幅角主值 求复数 的幅角主值
关于机器精度的函数
名称 $MachinePrecision MachineNumberQ[x] 意义 获得计算机系统的机器精度 判断x是否为机器精度数 判断 是否为机器精度数 是—True；否—False ；
2.2 变量
2.2.1 变量及其定义
在变量名中不能包含空格和标点符号 在Mathematica中，对于一次使用后不想保 中 留的变量，建议使用Clear[]函数立即清除 留的变量，建议使用 函数立即清除
离散数学中常用，可以组合利用上面介绍的组合函数， 离散数学中常用，可以组合利用上面介绍的组合函数， 产生各种各样的组合表
2.3.6 初等超越函数
初等超越函数
名称
Exp[x] Log[x] Log[b,x] Sin[z],Cos[z],Tan[z],Csc[z],Sec[z],Cot[z] ArcSin[z], ArcCos[z], ArcTan[z], ArcCsc[z], ArcSec[z], ArcCot[z] Sinh[z],Cosh[z],Tanh[z],Csch[z],Sech[z],Coth[z] ArcSinh[z], ArcCosh[z], ArcTanh[z], ArcCsch[z], ArcSech[z], ArcCoth[z]
Ch数据类型及其运算PPT课件
14
第14页/共171页
判断实数常量的步骤
• 当有E/e的时候，E/e后面必须是一个整数； • 无论有没有E/e,考虑E/e前面的内容，只能有四种格式：
• (1)[符号]整数 • (2)[符号]整数. • (3)[符号]整数.小数 • (4)[符号].小数
15
第15页/共171页
课堂练习
• 指出下列内容哪些是C语言的整型常量，哪些是实型常量，哪些两者都不是。
9
第9页/共171页
长整型整数和无符号整数的表
示
✓ long 型整数：在整型常数后加字母 L 或 l，即为long 型整型常数。
例如：0L、132L 等。
✓ 不带符号的整型：在整型常数后加 字母 U 或 u，即为 unsigned 型整 型常数。例如：1U、122U 等。
✓ 不带符号的 long 型整数：在整型
键盘上的特殊字符采用转义字符
22
第22页/共171页
9与‘9’的差别
int n = 9; char c=‘9’;
9
变量 n
57
变量 c
23
第23页/共171页
字符常量可以参与整数的运算
24
第24页/共171页
字符变量
//
97
变量 c1
98
变量 c2
25
第25页/共171页
char与unsigned short等价
八进制 (以0开头) 0473
0763L
0342U
045UL
十六进制 (以0x开头) 0x45F
0x533AL
0x23CU
0x83ECUL
后缀对应的浮点数类型 [digits][.digits] [digits][.digits]E|e[+|-]digits
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判断实数常量的步骤
• 当有E/e的时候，E/e后面必须是一个整数； • 无论有没有E/e,考虑E/e前面的内容，只能有四种格式：
• (1)[符号]整数 • (2)[符号]整数. • (3)[符号]整数.小数 • (4)[符号].小数
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课堂练习
• 指出下列内容哪些是C语言的整型常量，哪些是实型常量，哪些两者都不是。
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长整型整数和无符号整数的表
示
✓ long 型整数：在整型常数后加字母 L 或 l，即为long 型整型常数。
例如：0L、132L 等。
✓ 不带符号的整型：在整型常数后加 字母 U 或 u，即为 unsigned 型整 型常数。例如：1U、122U 等。
✓ 不带符号的 long 型整数：在整型
键盘上的特殊字符采用转义字符
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9与‘9’的差别
int n = 9; char c=‘9’;
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变量 n
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变量 c
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字符常量可以参与整数的运算
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字符变量
//
97
变量 c1
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变量 c2
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char与unsigned short等价
八进制 (以0开头) 0473
0763L
0342U
045UL
十六进制 (以0x开头) 0x45F
0x533AL
0x23CU
0x83ECUL
后缀对应的浮点数类型 [digits][.digits] [digits][.digits]E|e[+|-]digits
ch-集合映射与函数PPT课件
2008年9月24
南京航空航天大学 理学院 数学系
20
例如,设A 1,2,3,4, B 3,4,5,6, 则
A∪B 1,2,3,4,5,6, A∩B 3,4, A B 1,2.
B关于A 余(补)集 CAB A \ B ( 其中B A ) 注 研究某个问题时所考虑的对象的全体
称为 全集或基本集,并用 X 表示,并把差积 X A 特别称为A的 余集或补集.记作 AC .
高等数学 ------ 研究对象为变量，运动和辩证法 进入了数学。
• 学数学最好的方法是做数学
2008年9月24
南京航空航天大学 理学院 数学系
9
两点说明：
（1）考试内容以课堂上讲的为范围，在第12周 前后会安排一次期中考试；
（2）每次课后均布置作业，希望大家认真完成。
2008年9月24
南京航空航天大学 理学院 数学系
2008年9月24
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高等数学 工科数学分析 数学分析
计算
计算为主、 证明兼顾
证明
2008年9月24
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高等数学的性质与作用
高等数学是数学的一个分支，是数学的基础理 论课之一，它是理工科大学生必修的数学基础理论 课程，也是学习后续数学的必修课程，还是学习其 它专业的必修课。
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•实数集的一些重要性质
(1) 四则（有理）运算封闭性：
实数全体对加、减、乘、除运算封闭
(2) 有序性：任意两实数a,b必满足下述三个关系之一：
a b, a b, a b (3) 稠密性：
任意两个不相等实数之间还有另一个实数， 所以任意两个实数之间必存在无穷多实数.
信安数学10
d = q ⋅ ord ( a ) + r,0 < r < ord (a )
m m
从而
a = a (a
r r
ordm ( a )
)
q
≡ a ≡ 1(mod m)
d
这与 ord m (a ) 的最小性矛盾。故 ord m ( a ) | d 。证毕。 推论 1
m
设 m > 1 是整数， a 是与 m 互素的正整数，则
s d s
ord ( a) = s ⋅ t 矛盾，所以正整数 t 是使得 ( a ) ≡ 1(mod m)
成立的最小的正整数 d ，即 ord m (a ) = t 。
p −1 例 7 设 p 是一个奇素数， 并且 也是一个奇素数， a 是 设 2
与 p 互素的正整数， 如果 a ≡ 1, a ≡ 1, a / /
2
(1,2) = 1， ord (1) = 1，所以 1 是模 2 的原根。
例 2 设整数 m = 7 ，这时 ϕ (7 ) = 6 。我们有
a
m
1
2 3
3 6
4 3
5 6
6 2
ord (a ) 1
因此，3，5 是模 7 的原根，但 2，4，6 不是模 7 的原根。 例 3 设整数 m = 14 = 2 ⋅ 7 ，这时 ϕ (14) = 6 。我们有
的充分必要条件是
ord ( a ) | d
m
证明 充分性 设 ord m ( a ) | d ，那么存在整数 k 使得
d = k ⋅ ord (a )
m
因此，我们有
a = (a
d
ord m ( a )
) ≡ 1(mod m)
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