4圆的切线的性质及判定定理、弦切角
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P是OA上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q.过 Q作⊙O的切线交OA的延长线于R,.
求证:RP = RQ
B P A R
O
∠AQP= ∠APQ
Q
9 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
3.AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点 为B,OC平行于弦AD.
C
求证:DC是⊙O的切线.
∴OD是△ABC的中位线, ∴OD//AC. 又∵∠DEC = 90º ∴∠ODE = 90º 又∵D在圆周上,
E D C
B A O
∴DE是⊙O是切线..
6 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD 和过C点的切线互相垂直,垂足为D. 求证:AC平分∠DAB.
D C
A
O
B
7 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
习题2.3
1.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的 中点, ⊙O与腰AB相切于点D. 求证:AC与⊙O相切.
D A E
B
O
C
8 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
2.已知:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,
Ｅ
∠BAC = ∠PAC+∠PAB = 90°+∠PAB. 而∠PAB= ∠PCB ∴∠BCE= ∠BAC
O P
综上所述， 猜想成立。
16 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
1.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，另 一边与圆相切的角叫做弦切角。
下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？ C B
l
A
在直线上任取异于A的点B.连OB. B 则在 Rt△ABO 中
OB > OA = r
O
故B在圆外 直线与圆只有一个公共点,是切线.
5 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
例1如图,AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中 点D,DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线. 证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB,
D
3 1 4 2
A
O
B
△COD与△ COB全等
10 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
11 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
在图（１）中，根据圆内接四边形性质，
有∠BCE＝∠Ａ． Ｄ Ｃ Ｅ Ａ
（１） （Ｃ） Ｄ
Ｅ
Ｂ
Ａ
（２）
Ｂ
在图（２）中，ＤＥ是切线时， ∠ＢＣＥ＝∠Ａ仍成立吗？
∠BAC = ∠PAC-∠PAB = 90°-∠PAB. 而∠PAB = ∠PCB
Ｂ
∴∠BCE= ∠BAC
15 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
(3)圆心O在△ABC的外部,作⊙O的直径CP,那么
∠PCE= ∠PAC= 90 °
∵∠BCE = ∠PCE+∠PCB = 90°+∠PCB. C Ａ Ｂ
12 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
猜想：△ABC是⊙O的内接三角形，CE是 ⊙O的切线，则∠BCE =∠A.
C O
Ｅ
C
O
Ｅ
C O
Ｅ
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｂ
13 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
证明: (1)圆心O在△ABC的边BC上
即△ABC为直角三角形
B O
1
A
2
3
E
C
D
20 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
小结
1.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，另一
边与圆相切的角。 2.弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 注意： 一般情况下，弦切角、圆周角、圆心 角都是通过它们所夹的（或所对的）同一 条弧（或等弧）联系起来，因此，当已知 有切线时常添线构建弦切角或添切点处的 半径应用切线的性质求解。
∵CE为切线， ∴ ∠BCE＝90 °
C
E
又∵∠A是半圆上的圆周角，
∴ ∠A＝90 ° ∴ ∠BCE＝∠A A B O
14 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
(2)圆心O在△ABC的内部作⊙O的直径CP,那么
∠PCE= ∠PAC= 90 °
∵∠BCE = ∠PCE-∠PCB = 90°-∠PCB. C O Ａ P Ｅ
切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径
l
A
M
O
推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 思考: 切线的性质定理逆命题是否成立?
4 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
例1.如图已知AB是⊙O的直径,AC是弦,
直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D. 求证:AC平分∠BAD.
思路一:
B O 1 A
2
E
C
D百度文库
19 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
思路二: 连结OC,由切线性质,可得 OC∥AD,于是有∠2=∠3,又由于
∠1=∠3,可证得∠1=∠2
1 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
2 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
三. 圆的切线的性质及判定定理 圆与直线的位置关系:
相交-----有两个公共点 相切-----只有一个公共点 相离-----没有公共点
3 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
×
C
A × B B
A
C
C
√
A
× B C
× A
A
B
17 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
2.弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
几何语言:
D Ｏ Ａ BA切⊙O于A
Ｃ
m
Ｂ
AC是圆O的弦
∠BAC= ∠ADC
18 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
求证:RP = RQ
B P A R
O
∠AQP= ∠APQ
Q
9 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
3.AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点 为B,OC平行于弦AD.
C
求证:DC是⊙O的切线.
∴OD是△ABC的中位线, ∴OD//AC. 又∵∠DEC = 90º ∴∠ODE = 90º 又∵D在圆周上,
E D C
B A O
∴DE是⊙O是切线..
6 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD 和过C点的切线互相垂直,垂足为D. 求证:AC平分∠DAB.
D C
A
O
B
7 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
习题2.3
1.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的 中点, ⊙O与腰AB相切于点D. 求证:AC与⊙O相切.
D A E
B
O
C
8 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
2.已知:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,
Ｅ
∠BAC = ∠PAC+∠PAB = 90°+∠PAB. 而∠PAB= ∠PCB ∴∠BCE= ∠BAC
O P
综上所述， 猜想成立。
16 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
1.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，另 一边与圆相切的角叫做弦切角。
下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？ C B
l
A
在直线上任取异于A的点B.连OB. B 则在 Rt△ABO 中
OB > OA = r
O
故B在圆外 直线与圆只有一个公共点,是切线.
5 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
例1如图,AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中 点D,DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线. 证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB,
D
3 1 4 2
A
O
B
△COD与△ COB全等
10 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
11 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
在图（１）中，根据圆内接四边形性质，
有∠BCE＝∠Ａ． Ｄ Ｃ Ｅ Ａ
（１） （Ｃ） Ｄ
Ｅ
Ｂ
Ａ
（２）
Ｂ
在图（２）中，ＤＥ是切线时， ∠ＢＣＥ＝∠Ａ仍成立吗？
∠BAC = ∠PAC-∠PAB = 90°-∠PAB. 而∠PAB = ∠PCB
Ｂ
∴∠BCE= ∠BAC
15 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
(3)圆心O在△ABC的外部,作⊙O的直径CP,那么
∠PCE= ∠PAC= 90 °
∵∠BCE = ∠PCE+∠PCB = 90°+∠PCB. C Ａ Ｂ
12 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
猜想：△ABC是⊙O的内接三角形，CE是 ⊙O的切线，则∠BCE =∠A.
C O
Ｅ
C
O
Ｅ
C O
Ｅ
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｂ
13 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
证明: (1)圆心O在△ABC的边BC上
即△ABC为直角三角形
B O
1
A
2
3
E
C
D
20 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
小结
1.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，另一
边与圆相切的角。 2.弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 注意： 一般情况下，弦切角、圆周角、圆心 角都是通过它们所夹的（或所对的）同一 条弧（或等弧）联系起来，因此，当已知 有切线时常添线构建弦切角或添切点处的 半径应用切线的性质求解。
∵CE为切线， ∴ ∠BCE＝90 °
C
E
又∵∠A是半圆上的圆周角，
∴ ∠A＝90 ° ∴ ∠BCE＝∠A A B O
14 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
(2)圆心O在△ABC的内部作⊙O的直径CP,那么
∠PCE= ∠PAC= 90 °
∵∠BCE = ∠PCE-∠PCB = 90°-∠PCB. C O Ａ P Ｅ
切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径
l
A
M
O
推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 思考: 切线的性质定理逆命题是否成立?
4 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
例1.如图已知AB是⊙O的直径,AC是弦,
直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D. 求证:AC平分∠BAD.
思路一:
B O 1 A
2
E
C
D百度文库
19 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
思路二: 连结OC,由切线性质,可得 OC∥AD,于是有∠2=∠3,又由于
∠1=∠3,可证得∠1=∠2
1 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
2 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
三. 圆的切线的性质及判定定理 圆与直线的位置关系:
相交-----有两个公共点 相切-----只有一个公共点 相离-----没有公共点
3 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
×
C
A × B B
A
C
C
√
A
× B C
× A
A
B
17 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
2.弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
几何语言:
D Ｏ Ａ BA切⊙O于A
Ｃ
m
Ｂ
AC是圆O的弦
∠BAC= ∠ADC
18 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系