切线性质定理证明过程,证明圆的切线的几种方法
(完整)圆切线证明的方法
切线证明法切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ,点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证:DC 是⊙O 的切线．思路:要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可． 证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ,弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．图1图2证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证:AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质--与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】 如图1,B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ,∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？解：AC 是⊙O 的切线． 理由：连接OC , ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．图3 OABCD2 31∵∠COD是△BOC的外角,∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D,∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2,已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径,D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明:连接OC,则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ,∴AE∥CO,又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC，OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE,AD。
专题 证明圆的切线的常用方法(六大题型)(解析版)
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题证明圆的切线的常用的方法★★★方法指引：证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”.类型一：有公共点：连半径，证垂直●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与A ，B 不重合），CD ⊥AB ，且CD ＝AB ，连接CB ，与⊙O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使得EF ＝EC ．求证：EF 是⊙O 的切线；【分析】连接OF ，根据垂直定义可得∠CDB ＝90°，从而可得∠B +∠C ＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC ，从而可得∠OFB +∠EFC ＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE ＝90°，即可解答；【解答】证明：连接OF ，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠B +∠C ＝90°，∵OB ＝OF ，EF ＝EC ，∴∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，∵OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线：【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式1-1】（2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．求证：BD是⊙O的切线；【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DG∥BC，∴∠AGE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠AEG＝90°，又∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB，∴∠D+∠DEB＝90°，∴∠DBE＝90°，∴AB⊥BD，∵AB为直径，∴BD与⊙O相切；【点评】此题考查了切线的判定，垂径定理，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定．【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．【分析】利用切线的判定定理证明∠OCE＝90°即可得出结论．【解答】证明：∵CA平分∠ECD，∴∠ECA＝∠DCA．∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∴∠ECA+∠CAD＝90°．∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，∴∠ECA+∠ACO＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥EC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，熟练应用圆的切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求证：MN是半圆的切线．（2）求证：FD＝FG．【分析】（1）欲证明MN是半圆的切线，只需证得∠MAB＝90°，即MA⊥AB即可；（2）根据圆周角定理推论得到∠ACB＝90°，由DE⊥AB得到∠DEB＝90°，则∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，又D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，得到∠3＝∠5，于是∠1＝∠4，利用对顶角相等易得∠1＝∠2，则有FD＝FG．【解答】证明：（1）如图，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即∠MAB＝90°，∴MA⊥AB．∴MN是半圆的切线．（2）∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，而DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，∵D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，∴∠3＝∠5，∴∠1＝∠4，而∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴FD＝FG．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点，并且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定．【变式1-4】如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC＝PB ＝6，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．（3）延长PB、DE相交于点F，证明△PED≌△PEF（ASA），由全等三角形的性质得出PD＝PF＝10，DE ＝EF，求出DF的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∵∠EDB＝∠EPB，∠BOE＝∠EDB+∠DEO，∠BOE＝∠EPB+∠OBP，∴∠OBP＝∠DEO＝90°，∴OB⊥PB，∴PB为⊙O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB＝6，DB＝8，根据勾股定理得：PD=10，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴PC＝PB＝6，∴DC＝PD﹣PC＝10﹣6＝4；在Rt△CDO中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2＝r2+42，解得：r＝3，则圆的半径为3．（3）延长PB、DE相交于点F，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴OP平分∠CPB，∴∠DPE＝∠FPE，∵PE⊥DF，∴∠PED＝∠PEF＝90°，又∵PE＝PE，∴△PED ≌△PEF （ASA ），∴PD ＝PF ＝10，DE ＝EF ，∴BF ＝PF ﹣PB ＝10﹣6＝4，在Rt △DBF 中，DF==∴BE =12DF =【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．●●【典例二】 如图，△ABC 是直角三角形，点O 是线段AC 上的一点，以点O 为圆心，OA 为半径作圆．O 交线段AB 于点D ，作线段BD 的垂直平分线EF ，EF 交线段BC 于点．（1）若∠B ＝30°，求∠COD 的度数；（2）证明：ED 是⊙O 的切线．【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠A ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA ＝∠A ＝60°，于是得到∠COD ＝∠ODA +∠A ＝120°；（2）根据线段垂直平分线的性质得到∠EDB ＝∠B ＝30°，求得ED ⊥DO ，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】（1）解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，∵OD ＝OA，∴∠COD＝∠ODA+∠A＝120°；（2）证明：∵EF垂直平分BD，∴∠EDB＝∠B＝30°，∴∠EDO＝180°﹣∠EDB﹣∠ODA＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴ED⊥DO，∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2-1】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°=60°，求得∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，求得∠EDA＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：连接OD，∵AC=CD=DB，∴∠BOD=13×180°=60°，∵CD=DB，∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式2-2】如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据圆周角定理的推论得到∠ABC＝90°，根据角平分线的性质求出∠DBE＝45°，根据圆周角定理得到∠DOC，根据平行线的性质求出∠ODE＝90°，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝45°，∴∠DOC＝2∠DBE＝90°，∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠DOC＝90°，∴DE是⊙O的切线；【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理以及正方形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．【变式2-3】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，∠OAC＝60°．（1）求∠AOC的度数；（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S△PAC=PC为⊙O的切线；【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，则∠AOC＝60°；（2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质得出∠PCA＝30°，进而得出答案；【解答】（1）解：在△OAC中，∵OA＝OC＝4，∠OAC＝60°，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°；（2）证明：过点C作CD⊥AO于点D，∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO，∴AD＝DO=12OA＝2，∠ACO＝60°，∴CD∵S △PAC ＝∴12PA •CD ＝∴PA ＝4，∴PA ＝AC ，∴∠P ＝∠PCA =12∠OAC ＝30°，∴∠PCO ＝∠PCA +∠ACO ＝30°+60°＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 为⊙O 的切线．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，切线的判定，熟练掌握相关的性质和判定是解决问题的关键．【变式2-4】（2023•门头沟区二模）如图，AB 是⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于E ，点F 在CD 上，且AF ＝DF ，连接AD ，BC ．（1）求证：∠FAD ＝∠B（2）延长FA 到P ，使FP ＝FC ，作直线CP ．如果AF ∥BC ．求证：直线CP 为⊙O 的切线．【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理可得∠ACD ＝∠ACD ＝∠B ，根据等腰三角形的性质可得∠FAD＝∠FDA，进而可得∠FAD＝∠B；（2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，进而得到∠CFP＝60°，再利用等边三角形的性质可得∠PCO＝60°+30°＝90°，由切线的判定方法可得结论．【解答】证明：（1）如图，连接AC，∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，∴AC=AD，∴∠ACD＝∠ACD＝∠B，∵AF＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，∴∠FAD＝∠B；（2）如图，连接OC，∵AF∥BC，∴∠FAB＝∠B，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA，∵∠AED＝90°，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，∴∠CFP＝60°，∵FP＝FC，∴△CFP是等边三角形，∴∠PCF＝60°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°，∴∠OCD＝30°，∴∠PCO＝60°+30°＝90°，即OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理是正确解答的前提．●●【典例三】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，延长EC ，AB 交于点F ，∠ECD ＝∠BCF ．求证：CE 为⊙O 的切线；【分析】连接OC ，BD ，可推出EF ∥BD ，进而可证CD =BC ，进而得出CE 为⊙O 的切线；【解答】证明：如图1，连接OC ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵CE ⊥AE，∴∠E＝∠ADB，∴EF∥BD，∴∠ECD＝∠CDB，∠BCF＝∠CBD，∵∠ECD＝∠BCF，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD=BC，∴半径OC⊥EF，∴CE为⊙O的切线；【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线判定，解决问题的关键是作合适的辅助线．【变式3-1】（2022秋•阿瓦提县校级期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【分析】连接OD，根据OA＝OB，CD＝BD，得出OD∥AC，∠ODE＝∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴CD＝BD，∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°．∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型．【变式3-2】已知，如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）连接CD，如图，根据圆周角定理，由BC为直径得到∠BDC＝90°，然后根据等腰三角形的性质得AD＝BD；（2）连接OD，先得到OD为△ABC的中位线，再根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线．【解答】（1）证明：连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴AD＝BD，即点D是AB的中点；（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，∵AD＝BD，OC＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．【变式3-3】如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠B＝30°，CD＝4，求线段AB的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，而∠OAD＝∠ODA，则∠ODA＝∠CAD，于是判断OD∥AC，由于∠C＝90°，所以∠ODB＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由∠B＝30°得到∠BAC＝60°，则∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝Rt△ABC中，根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AB＝【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，DC＝4，∴AC=＝在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．【变式3-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE＝∠DEA＝90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，有AD＝2DE；在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，有BD＝2AD＝4DE，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°．∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，∴∠BDE＝120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°．∴∠ABD＝∠EAD＝30°．∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．【点评】此题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，构造出直角三角形是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．●●【典例四】（2022•城关区一模）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．求证：PC是⊙O的切线；【分析】可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线；【解答】解：如图，连接OC、BC，∵⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．∴OC=OB=6，OP=OB+BP=6+4=10，∴OC2+PC2=62+82=100，OP2=102=100，∴OC2+PC2=OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；【点评】本题考查圆的切线的判定和勾股定理逆定理，利用勾股定理的逆定理证明垂直是解决问题的关键．【变式4-1】如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线.【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可.【解答】证明:连接AB，∵AD⊥BD，且BD=2AD=8 ，∴AB为直径，AB2 =82+42 =80，∵CD=2，AD=4 ，∴AC2 =22 ＋42=20，∵CD＝2，BD=8,∴BC=102=100，∴AC2+AB2=CB2，∴∠BAC=90° ，∴AC是⊙O的切线【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形.【变式4-2】如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【分析】先根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，再利用勾股定理计算出AB、AC，接着利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，所以AC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∵BD ＝2AD ＝8，∴AD ＝4，在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2+BD 2＝42+82＝80，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝42+22＝20，∵BC 2＝（2+8）2＝10，∴AC 2+AB 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，∵AB 为直径，∴AC 是⊙O 的切线．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理．●●【典例五】（2022•鄞州区校级开学）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上的两点，连接BC ，DC ，BC ＝CD ，CE ⊥DA 交DA 的延长线于点E ．求证：CE 是⊙O 的切线；【分析】连接OD ，OC ，证得△COD ≌△COB ，可得∠OCD ＝∠BCO ，从而得到∠ADC ＝∠DCO ，进而得到DA ∥CO ，利用切线的判定定理即可求证；【解答】证明：连接OD ，OC，如图，在△COD和△COB中，OD=OBOC=OC，CD=CB∴△COD≌△COB（SSS），∴∠OCD＝∠BCO，∵CO＝BO，∴∠B＝∠BCO，∵∠B＝∠ADC，∴∠ADC＝∠DCO．∴DA∥CO，∴∠E+∠ECO＝180°．∵CE⊥EA，∴∠E＝90°．∴∠ECO＝90°，∴EC⊥CO，∵CO是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．【变式5-1】如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．求证：CD是⊙O的切线；【分析】连接OD，利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；【解答】证明：如图，连接OD．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，OC=OC∠COD=∠COB，OD=OB∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；【点评】此题考查了切线的判定和性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式5-2】（2022秋•新抚区期末）如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD 交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线．【分析】连接OC、BE，根据矩形性质和圆半径相等，推出∠CDE＝∠AEO，进而得到OP＝CP，然后根据OB∥CD，可以推出∠COE＝∠BOC，最后通过证明△BOC≌△EOC即可求解．【解答】证明：如图：连接OC、BE，OE，CD交于点P，∵四边形OBCD是矩形，∴OB∥CD，∠OBC＝90°，OB＝CD，∵OB∥CD，∴∠A＝∠CDE，∵在⊙O中，OA＝OB＝OE，∴OE＝CD，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∴∠CDE＝∠AEO，∴DP＝PE，∵OE＝CD，∴OP＝CP，∴∠COE＝∠DCO，∵OB∥CD，∴∠DCO＝∠BOC，∴∠COE＝∠BOC，在△BOC和△EOC中，OB=OECO=CO，∠BOC=∠COE∴△BOC≌△EOC（SAS），∴∠CEO＝∠OBC＝90°，∴CE⊥OE，又∵OE为⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．【变式5-3】（2022•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC交⊙O于点P，若AP BF＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AF，根据菱形的性质得到∠ACF＝∠ACE，根据全等三角形的性质得到∠AFC＝∠AEC，推出OA⊥AE，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BP，根据圆周角定理得到∠APB＝90°，求得AC＝2AP＝【解答】（1）证明：连接AF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACF＝∠ACE，在△ACF与△ACE中，CF=CE∠ACF=∠ACEAC=AC，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠AFC＝∠AEC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵AB∥DC，∴∠BAE+∠AEC＝90°，∴∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接BP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AB＝CB，AP=∴AC＝2AP＝设⊙O的半径为R，∵AC2﹣CF2＝AF2，AB2﹣BF2＝AF2，∴2−(2R−1)2=(2R)2−12，∴R=32（负值舍去），∴⊙O的半径为3 2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．类型二：无公共点：作垂直，证半径●●【典例六】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．【变式6-1】如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案．【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴ON为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键．【变式6-2】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．（1）求证：OB与⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论；（2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=95，最后由勾股定理求出CE即可．【解答】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：∵⊙D与OA相切于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB与⊙D相切；（2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=5，∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE×DE，∴EG=OE×DEOD=4×35=125，∴DG===9 5，∴CG＝CD+DG＝3+95=245，∴CE=【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线．【变式6-3】如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE＝OA即可证得结论．（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，继而可得出半径．【解答】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9﹣4＝5，∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD+BC＝4+9＝13，在Rt△DFC中，DC2＝DF2+FC2，∴DF=12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6．【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质．【变式6-4】（2022秋•清原县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O 经过点C 且与AB 边相切于点E ，∠FAC =12∠BDC ．（1）求证：AF 是⊙O 的切线；（2）若BC ＝6，AB ＝10，求⊙O 的半径长．【分析】（1）作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，证明AC 是∠FAB 的平分线，进而根据OH ＝OE ，OE ⊥AB ，可得AF 是⊙O 的切线；（2）勾股定理得出AC ，设⊙O 的半径为r ，则OC ＝OE ＝r ，进而根据切线的性质，在Rt △OEA 中，勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：如图，作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD =AD =12AB ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∵∠BDC ＝∠CAD +∠ACD ＝2∠CAD ，又∵∠FAC =12∠BDC ，∴∠FAC ＝∠CAD ，即AC 是∠FAB 的平分线，∵点O 在AC 上，⊙O 与AB 相切于点E ，∴OE ⊥AB ，且OE 是⊙O 的半径，∴OH ＝OE ，OH 是⊙O 的半径，∴AF 是⊙O 的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC==8，∵BE，BC是⊙O的切线，∴BC＝BE＝6，∴AE＝10﹣6＝4设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，∴16+r2＝（8﹣r）2，∴r＝3．∴⊙O的半径长为3．【点评】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．1.如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝BE，点P在BA的延长线上，连接AE交⊙O于点D，过点D作PC⊥BE垂足为点C．求证：PC与⊙O相切；【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BEA，∠BAE＝∠ODA，等量代换得到∠ODA＝∠BEA，证明OD∥BE，根据平行线的性质得到PC⊥OD，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵OA＝OD，∴∠BAE＝∠ODA，∴∠ODA＝∠BEA，∴OD∥BE，∵PC⊥BE，∴PC⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴PC与⊙O相切；【点评】本题考查的是切线的判定、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是BC的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．【分析】（1）连接OD，如图，先利用垂径定理得到OD⊥BC，再根据平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）先根据圆周角定理得到∠B＝90°，则∠ACB＝45°，再根据平行线的性质得到∠E＝45°，则可判断△ODE 为等腰直角三角形，于是可求出OE，然后计算OE﹣OC即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°，∵BC∥DE，∴∠E＝45°，而∠ODE＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴OE=＝∴CE＝OE﹣OC＝5．【点评】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的性质．3．（2023•东城区校级模拟）如图，⊙O的半径OC与弦AB垂直于点D，连接BC，OB．（1）求证：2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）分别延长BO、CO交⊙O于点E、F，连接AF，交BE于G，过点A作AM⊥BC，交BC延长线于点M，若G是AF的中点，求证：AM是⊙O的切线．【分析】（1）先根据垂径定理得到AC=BC，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠ABC，然后利用互余关系得∠BOD+∠OBD＝90°，从而得到结论；（2）如图，连接OA，根据垂径定理得到BE⊥AF，再根据圆周角定理得到∠CAF＝90°，则可判断BE ∥AC，所以∠ABE＝∠BAC，接着证明∠BAO＝∠CBA得到OA∥BC，根据平行线的性质得到AM⊥OA，然后根据切线的判断方法得到结论．【解答】证明：（1）∵OD⊥AB，∴AC=BC，∠ODB＝90°，∴∠BOC＝2∠ABC，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）如图，连接OA，∵G是AF的中点，∴BE⊥AF，∵CF为直径，∴∠CAF＝90°，∴CA⊥AF，∴BE∥AC，∴∠ABE＝∠BAC，∴AC=BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO，∴∠BAO＝∠CBA，∴OA∥BC，∵AM⊥BC，∴AM⊥OA，而OA为⊙O的半径，∴AM是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理．4．（2022•思明区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC 延长线于点E，若BC平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，由条件可以证明OB∥DE，从而证明OB⊥BE；（2）由垂径定理求出AD长，从而由勾股定理可求AC长．【解答】（1）证明：连接OB，∵″OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCE＝∠OCB，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵AC是⊙O直径，∴AD⊥DE，∵BE∥AD，∴BE⊥DE，∴OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE是⊙O切线；（2）解：延长BO交AD于F，∵∠D＝∠DEB＝∠EBF＝90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BF⊥AD，DF＝BE＝3，∴AD＝2DF＝6，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝62+22＝40，∴AC＝∴⊙O【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，用到的知识点较多，关键是熟练掌握知识点，并能灵活应用．5．（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由AC＝AB，根据等边对等角得到一对角相等，再由OD＝OB，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得OD与AC平行，又EF垂直于AC，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到EF与OD也垂直，可得EF为圆O的切线；（2）连接AD，由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，即AD与BC垂直，又AC＝AB，根据三线合一得到D为BC中点，由BC求出CD的长，再由AC的长，利用勾股定理求出AD的长，三角形ACD的面积有两种求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出DE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，且BC＝6，∴CD＝BD=12BC＝3，在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD=4，又S△ACD =12AC•ED=12AD•CD，即12×5×ED=12×4×3，∴ED=12 5．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法．6．（2023•宁德模拟）如图，OM 为⊙O 的半径，且OM ＝3，点G 为OM 的中点，过点G 作AB ⊥OM 交⊙O 于点A ，B ，点D 在优弧AB 上运动，将AB 沿AD 方向平移得到DC ；连接BD ，BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）如图2，当点D 在MO 延长线上时，求证：BC 是⊙O 的切线．【分析】（1）连接AO ，BO ，先根据特殊角的正弦值可得∠OAG ＝30°，再根据等腰三角形的性质可得∠OAG ＝∠OBG ＝30°，从而可得∠AOB ＝120°，然后根据圆周角定理即可得；（2）连接AO ，BO ，CO ，先证出四边形ABCD 是平行四边形，再根据等边三角形的判定与性质可得AB ＝AD ，根据菱形的判定可得四边形ABCD 是菱形，根据菱形的性质可得CB ＝CD ，然后根据SSS 定理证出△COB ≌△COD ，根据全等三角形的性质可得∠OBC ＝∠ODC ＝90°，最后根据圆的切线的判定即可得证．【解答】（1）解：如图1，连接AO ，BO ．∵点G 为OM 的中点，且OM ＝3，∴OG =12OM =32，OA ＝OB ＝OM ＝3，∵AB ⊥OM ，在Rt △AOG 中，OG =12OA ．∴∠OAG ＝30°，又∵OA ＝OB ，∴∠OAG＝∠OBG＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠ADB=12∠AOB=60°．（2）证明：如图2，连接AO，BO，CO，由平移得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OM⊥AB，点D在MO延长线上，∴DM⊥CD，∵OA＝OB，AB⊥OM，∴AG＝BG，∴DM垂直平分AB，∴AD＝BD，∵∠ADB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，在△COB和△COD中，CB=CDOB=ODOC=OC，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠OBC＝∠ODC＝90°，又∵OB是⊙O的半径，。
圆的切线的性质及判定定理完整版课件
证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB,
∴OD是△ABC的中位线,
C
∴OD//AC.
又∵∠DEC=90º ∴∠ODE=90º 又∵D在圆周上,
∴DE是⊙O是切线..
E D
B
A
O
例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和 过C点的切线互相垂直,垂足为D.
求证:AC平分∠DAB.
证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线,
C
2.已知:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA 上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q.过Q作⊙O的切 线交OA的延长线于R,.
求证:RP=RQ
B
PA
O
R
Q
∠AQO= ∠APQ
3.AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC 平行于弦AD. 求证:DC是⊙O的切线.
C
D
3
1
42
A
∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD, ∴OC//AD.由此得 ∠ACO=∠CAD. ∵OC=OA. ∴ ∠CAO=∠ACO.
D C
A
O
B
∴ ∠CAD=∠CAO. 故AC平分∠DAB.
习题2.3
1.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O与腰AB相切于点D.
求证:AC与⊙O相切.
A
E D
B
O
推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
思考: 切线的性质定理逆命题是否成立?
切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
在直线上任取异于A的点B.
l
A
B
连OB.
则在Rt△ABO中
OB>OA=r
切线证明(共5篇)
切线证明〔共5篇〕第1篇：证明切线的方法证明切线的方法证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进展分析^p 。
〔1〕圆和直线的唯一公共点，方法是：连半径，证垂直〔比拟常用〕。
〔2〕圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂直，证半径。
例如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。
DE是圆O的切线吗？分析^p ：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直。
DE是切线。
证明：连接OD。
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C。
又∵OB＝OD，∴∠B＝∠1。
∴∠1＝∠C。
而DE⊥AC，∴∠C＋∠2＝90°。
∴∠1＋∠2＝90°。
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。
∴DE是圆O的切线。
AB第2篇：证明圆的切线方法证明圆的切线方法我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、假设直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC. 又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒ ⌒∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF〔SAS〕. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒ ⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE，∴∠E=∠1. ∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OD，∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C.∴OD∥AC. ∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切D 证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,C ∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用及图上.例4 如图，：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD，∴OB=BC=BD. ∴OC⊥CD. ∴DC是⊙O的切线.D 说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.证明：连结OC∵OA2=OD·OP，OA=OC，∴OC2=OD·OP， OCOP.ODOC 又∵∠1=∠1，∴△OCP∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD⊥AB，∴∠OCP=900. ∴PC是⊙O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.分析^p ：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.证明：取FG中点O，连结OC. ∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心. ∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4. ∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE〔SAS〕∴∠4=∠1，∠1=∠3. ∵∠2+∠3=900, ∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC. ∴CE与△CFG的外接圆相切二、假设直线l与⊙O没有的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB. ∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. 又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF〔AAS〕∴DF=DE. ∴F在⊙D上. ∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC 与⊙D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例8 ：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，假设∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900，∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900.∴∠1=∠5. ∴Rt△AOC∽Rt△BDO.∴ACOC.OBODACOC.OAODO ∵OA=OB，∴ 又∵∠CAO=∠COD=900，∴△AOC∽△ODC，∴∠1=∠2. 又∵OA⊥AC，OE⊥CD, ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线.证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD 于E，延长DO交CA延长线于F. ∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD〔AAS〕∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.∵AC与⊙O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO⊥BD.∵BD 与⊙O相切于B，∴AO的延长线必经过点B.∴AB是⊙O的直径.∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，∴OF∥AC，∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF，∴OF1CD CF.2∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.第3篇：圆的切线方程公式证明:圆的方程为:(xb)² = r², 圆上一点P(x0, y0) 解:圆心C(a, b)直线CP的斜率:k1 = (y0a)因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 =a) / (y0y0 = k2 (xy0 = [- (x0b)] (xx0)(x0y0)(y0ax +ax0 + y0yx0²a)² + (y02ax0 + a² + y1²x0²2by0 + a²+ b²ax + ax0 + y0y2by0 + a² + b²axyba)(xb)(y(x0 + D/2) / (y0 + E/2)根据点斜式, 求得切线方程：yx0)yx0)整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2Ey0/2 -x0²x0²Dx0/2a)² + (yMC²)(根据勾股定理)= √ [(x0b)²MC²)(根据勾股定理)= √ [ (x0 + D/2)² + (y0 + E/2)² - ((√(D²+E²-4F))/2)² ](半径:r=(√(D²+E²-4F)) / 2)= √ (x0² + y0² + Dx0 + Ey0 + F)第4篇：切线的两种证明方法浅谈切线的两种证明方法在中学学习圆的时候，我们学过切线的断定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
证明圆的切线的七种常用方法
证明圆的切线的七种常用方法类型1、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1.如图，⊙O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线.方法2、特殊角计算法证垂直2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD =5，求⊙O 的直径.方法3、等角代换法证垂直3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O交AB于点E . 求证：DE是⊙O 的切线.方法4、平行线性质法证垂直4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A ，B ，C在以O为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB，分别交AB，AO 的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°，点B是︵AC的中点.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)求证：CF=OC；(3)若⊙O的半径是6，求DC的长.AB POCACBPD OAEBDOCA O F ECDB方法5、全等三角形法证垂直5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF .求证：BF 是⊙O 的切线.类型2、无公共点：作垂直，证半径方法6、角平分线性质法证半径6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线；(2)求线段AC 的长.方法7、全等三角形法证半径7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切.A OBCD F A B C D EA OB C D。
圆的切线的性质与证明
中考数学专题训练（附详解）圆的切线性质与证明二、方法的剖析与提炼例1.如图，ABAC分别是。
0的切线和割线，且/C=45 ,Z BDA=60 , CD= ,6，则切线AB的长是【解析】（根据切线AB和/ C=45得弦切角/ AB[=45° ,这样在AA BD中就有两个特殊角分别是45度和60度，然后过点A作AM L BD得两个特殊三角形即等腰直角三角形和含30度的直角三角形，这样特殊三角形的三边关系，在设AB=x时，其它边AD和AC就可以用x的代数式表示出来，最后带人切割线定理得到的等式AB=AD?A（就可得到方程，最后求方程解得AB的长度。
）【解答】解：过点A作AM L BD与点M••• AB为圆0的切线•••/ ABD MC=45vZ BDA=60 •••/ BAD=75，/ DAM=30，/ BAM=45设AB=,则碍在直角△ AM中, AD=牛由切割线定理得：AB=AD?AC知刊申+解得：x i=6, X2=0 （舍去）故AB=6故答案是：6【解法】过点A作AM L BD与点M,在直角△ AMD中,AD就可以利用AB表示出来，然后依据切割线定理，即可得到一个关于AB的方程, 即可求解。
【解释】在几何中求线段的长或角度的具体度数，往往会采用方程思想，体现数学中重要的数形结合思想。
故本题就采用了其中的常用方法方程思想，那么就需设未知数，抓住题意构造等式，而本题构造等式的突破口就是想到切割线定理，然后想办法利用题目中剩余的条件，把该等式中的相关量都用未知数的代数式表示好，并代入得方程就可解决本题。
例 2.（2020 贺州）如图,AB,BC,CD分别与O O 相切于E,F,G.且AB//CD.BO=6cm, CO=8cm.GD中考数学专题训练(附详解)(1)求证：B0丄CQ(2)求BE和CG的长.【解析】(1)由题目中的AB//CD得/ABC+Z BCD=180，再结合题目条件根据切线长定理得B0平分/ ABC, CO平分/ DCB然后根据角平分线的性质易得/ OBC+Z OCB=9C P,从而得到Z BOC=90,所以BOX CO.(2)根据切线长定理得BE=BF,GC=(再结合第(1)题的结论得RT A BCQ把切点和圆心O 相连，易证RT A BOF^ RT A BCO相似，根据相似三角形对应边成比例求得BF的长,即BE的长.CG的长可由BC-BF得至鷹【解答】(1)证明：：AB / CD•••Z ABC+Z BCD=180o• Z BOC=90, • BO X CO.(2)解：连接OF,贝U OF X BC,oo• BF=3. 6cm, CG=CF=6 4cm.【解法】利用平行线和角平分线的性质完成第(1)题的证明，利用直角三角形的勾股定理和相似三角形对应边成比例的性质完成求解。
圆的切线垂直于过切点的半径反证法
圆的切线垂直于过切点的半径反证法一、引言在数学中，证明一个定理或命题的方法有多种，其中反证法是一种常用而且有效的证明方法。
本文将以圆的切线垂直于过切点的半径这一主题为例，深入探讨该定理的证明过程，并从简到繁地阐述这一数学概念。
二、基本概念在开始正式证明之前，让我们先了解一下圆的基本概念。
圆是平面几何中的一个基本图形，由平面内到圆心距离等于半径的所有点构成。
而切线则是与圆相切且只在切点处与圆相交的直线。
在这个基础上，我们将要证明的定理是：圆的切线垂直于过切点的半径。
三、定理证明1. 我们先来假设圆的切线并不垂直于过切点的半径，即存在一条切线与过切点的半径不垂直的情况。
2. 在这种情况下，根据几何知识，我们知道如果一条直线与另一条直线垂直，那么它们之间的夹角应该是90度。
3. 根据我们的假设，如果切线不垂直于过切点的半径，那么它与半径之间将存在一个夹角，而这是与我们熟知的几何性质相矛盾的。
4. 经过以上推理，我们得出了一个矛盾，即假设的切线与过切点的半径不垂直的情况与我们所知的几何性质相矛盾。
5. 我们可以推断出原先的假设是错误的，即圆的切线必须垂直于过切点的半径。
通过反证法的推理，我们成功地证明了圆的切线垂直于过切点的半径这一定理。
这种证明方法既简洁又能够很好地帮助我们理解数学定理的本质。
四、回顾与总结通过本文的讨论，我们重新审视了圆的切线垂直于过切点的半径这一数学概念，并采用了反证法的证明方法。
在证明过程中，我们从最基本的概念出发，逐步推导，最终得出了正确的结论。
通过这种方式，我们不仅加深了对该定理的理解，还提高了我们的数学推理能力。
五、个人观点作为一个数学爱好者，我深深地认识到数学证明的重要性。
通过不断地练习和思考，我们可以更深入地理解数学定理，并培养自己的逻辑推理能力。
在今后的学习和工作中，我将继续努力，不断提高自己的数学素养。
六、结语通过本文的撰写，我深入地探讨了圆的切线垂直于过切点的半径这一数学定理，并运用了反证法进行了证明。
圆的切线垂直于过切点的半径反证法
圆的切线垂直于过切点的半径反证法圆的切线垂直于过切点的半径反证法引言：在几何学中，圆是一个令人着迷的对象，我们可以通过研究它的性质和特征来进一步理解几何学的原理和概念。
其中一个有趣的性质是，圆的切线与半径在切点处相互垂直。
本文将利用反证法来证明这一性质。
一、什么是反证法？反证法是一种证明方法，它通过假设某个命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而说明原命题为真。
反证法在数学证明中经常被使用，它是一种强有力的工具，能够帮助我们理解和解决各种问题。
二、圆的切线垂直于半径的性质我们先来阐述一下圆的切线垂直于半径的性质。
在一个圆上，如果有一条切线与半径相交，那么它们的交点一定在圆上，并且它们的切点的切线与半径在切点处垂直。
也就是说，切线与半径的夹角是直角。
三、证明现在，我们来使用反证法来证明这个性质。
假设存在一个圆，在其切点处的切线与半径不垂直。
也就是说，切线与半径的夹角不是直角。
1. 如果切线与半径的夹角是锐角或钝角，我们可以通过构造两个垂直的辅助线来得到矛盾。
2. 如果切线与半径的夹角是锐角，我们可以通过构造一个过切点的直径来得到矛盾。
这条直径与切线相交于一点，而根据锐角的性质，切线必然与直径的延长线相交，从而与圆的性质相悖。
3. 如果切线与半径的夹角是钝角，同样可以构造一个过切点的直径，并得到矛盾。
这次，切线与直径的延长线相交，而根据钝角的性质，切线必然与直径的延长线相交，从而与圆的性质相悖。
通过以上两种情况的分析，我们可以得出结论：不存在切线与半径在切点处的夹角不是直角的情况，即圆的切线与半径在切点处相互垂直。
四、个人观点和理解圆的切线垂直于过切点的半径这一性质，是圆形几何学中的重要定理之一。
通过使用反证法，我们得以深入探究这一性质，并能够充分理解其背后的原理和逻辑。
反证法在数学证明中扮演着重要的角色，它不仅是一种解决问题的方法，更是一种思维方式。
通过运用反证法，我们可以激活自己的逻辑思考，并培养出一种批判性思维的能力。
切线的判定定理
切线的判定定理切线判定有两种方法，分属于几个类型。
切线的判定方法1：明确切点时，连接圆心和切点，再证垂直．题型一：已知角平分线，证切线的方法。
例：如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若OE=√3cm，AC=2√13cm，求DC的长（结果保留根号）．方法指导：∵AC平分∠BAD ∴∠BAC=∠DAC ∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA ∴∠DAC=∠OCA ∴OC∥AD∵AD⊥DC ∴OC⊥CD ∴DC是⊙O的切线题型二：利用圆的半径相等和互余定理，证切线。
例：如图在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB，分别交于点D、E，且∠CBD=∠A；（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的长．方法指导：连接OD。
∵OA＝OD ∴∠A＝∠ADO ∵∠CBD=∠A ∴∠ADO＝∠CBD ∵∠C=90°∴∠CBD+∠CDB＝90°∴∠ADO+∠CBD＝90°∴BD与⊙O相切。
1．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：PA是⊙O 的切线；（2）若OC/AC=2/3，且OC=4，求PA的长和tanD的值．2．如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC=1/2，AD=3，求直径AB的长．题型三：已知垂径定理，证切线的方法。
例：已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于E，CE=DE，过B作BF∥CD，交AC的延长线于点F，求证：BF是⊙O的切线．方法指导：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CE=DE∴AB⊥CD∵BF∥CD ∴AB⊥BF ∴BF是⊙O的切线．题型四：已知直角三角形斜边的中线，证切线的方法。
证明圆的切线的七种常用方法-圆的切线证明7种方法
证明圆的切线的七种常用方法证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法1、连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”2、作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”类型一、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆⊙O上一点，PC＝8，PB ＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．方法2、特殊角计算法证垂直2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求∠P的度数；（2）求证：P A是⊙O的切线；（3）若PD＝5，求⊙O的直径．方法3、等角代换法证垂直3、如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E 。
求证：DE 是⊙O 的切线；方法4、平行线性质法证垂直4、如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ．且︒=∠30E ，点B 是的中点（1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）求证CF=OC（2）若半圆O 的半径为6，求DC 的长．方法5 全等三角形法证垂直5、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF ，求证：BF 是⊙O 的切线。
A B O D CF类型二、无公共点：做垂直，证半径方法6 角平分线的性质法证半径6．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB ＝5，EB ＝2．（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）求线段AC 的长．方法7 全等三角形法证半径7．已知四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，CD BC AD =+，以AB 为直径的⊙O 。
切线长定理公式及证明
切线长定理公式及证明一、引言在数学中，切线是曲线上的一条特殊直线，它与曲线仅在一个点相切。
切线长定理是描述切线与半径的关系的重要定理，它可以帮助我们计算切线的长度。
本文将介绍切线长定理的公式及其证明过程。
二、切线长定理公式设直径为d的圆上的一条切线与半径的交点距离圆心的距离为x，则切线的长度L可以由以下公式表示：L = 2√(xd)三、切线长定理的证明为了证明切线长定理，我们首先需要了解一些基本的几何概念和性质。
1. 切线的定义与性质：在圆上的一点的切线是与该点相切且仅与该点相切的直线。
切线与半径垂直。
2. 平行四边形的性质：对于平行四边形，对角线互相平分。
现在开始证明切线长定理。
证明：设O为圆心，A为圆上的一点，C为切点，OB为半径，CD为切线。
由于切线与半径垂直，所以∠CDO为直角。
由平行四边形的性质可知，OD平分BC，即BO=OC。
设切点到圆心的距离为x，则BD=2x。
根据勾股定理，可以得到：BC^2 = BO^2 + OC^2(2x)^2 = x^2 + d^24x^2 = x^2 + d^23x^2 = d^2x^2 = d^2/3x = √(d^2/3)x = d/√3再根据切线长公式可以得到：L = 2√(xd)L = 2√(d * d/√3)L = 2√(d^2/√3)L = 2 * d/√3L = (2√3/3) * d切线长定理得到证明。
四、应用举例切线长定理在几何问题的解决中有很多应用，我们来看一个例子。
例：已知圆的直径为10 cm，求切线的长度。
解：根据切线长定理，可以直接套用公式，得到：L = (2√3/3) * dL = (2√3/3) * 10L ≈ 11.54 cm所以，切线的长度约为11.54 cm。
五、总结切线长定理是描述切线与半径的关系的重要定理，它可以帮助我们计算切线的长度。
通过证明过程，我们可以看到切线长定理的推导过程是基于几何性质和勾股定理的。
切线长定理在解决几何问题中有广泛的应用，可以帮助我们快速计算切线的长度。
切线知识点总结
切线知识点总结一、切线的定义切线是指在几何图形中，与该图形的曲线或曲面相切的直线。
具体来说，在平面上，如果一条直线与一个圆相交，且相交点只有一个，那么这条直线就是圆的切线；在三维空间中，如果一个平面与一个曲面相切，那么这个平面就是曲面的切平面，切平面与曲面交线称为曲面的切线。
二、切线的判定在平面几何中，判断一条直线是否为圆的切线可以采用如下两种方法：1. 使用切线判定定理进行判定。
切线判定定理指出，一条直线与一个圆相切的充分必要条件是这条直线与圆的圆心之间的距离等于圆的半径，即直线与圆的圆心的距离刚好等于圆的半径时，这条直线就是圆的切线。
2. 使用直线方程和圆的方程进行判定。
设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r², 如果直线的方程为y=kx+m，那么当直线与圆的方程联立时，求得的交点满足系统方程同时成立，那么直线就是圆的切线。
在空间中，判断一个平面是否为曲面的切平面也可以采用相似的方法进行判定。
三、切线的性质1. 切线和圆相切于圆上的点处互相垂直。
如果直线与圆相切于圆上的点处，那么这条直线与圆的切点处的切线互相垂直。
2. 切线与半径的夹角是直角。
在圆的切点处，切线和半径的夹角是90度。
3. 切线的斜率等于曲线在切点处的导数。
在函数的图像中，切线的斜率等于曲线在切点处的导数值。
四、切线的求解1. 在平面几何中，求解一个直线与一个圆的切点位置可以采用切线判定定理，根据直线与圆的方程，通过联立方程求解直线与圆的交点，求得的交点就是切点的位置。
2. 在空间几何中，求解一个平面与一个曲面的切线可以采用类似的方法，根据平面与曲面的方程，求解平面与曲面的交线即可得到曲面的切线。
五、切线的应用1. 在几何学中，切线经常用于证明几何性质，如证明两个圆相切、证明曲线的凹凸性等；2. 在物理学中，切线常用于描述运动过程中的速度、加速度等；3. 在工程学中，切线常用于计算曲线的斜率、弧长等。
证明圆的切线方法
证明圆的切线方法圆的切线是指与圆相切且经过切点的直线。
证明圆的切线有多种方法，下面将详细介绍三种常用的方法。
方法一：使用勾股定理证明切线长度与切点到圆心距离的关系。
设圆的圆心为O，切点为A，切线与圆的交点为B。
我们需要证明OA⊥AB。
1.根据勾股定理，可知直角三角形OAB成立。
因为OA为半径，AB为切线，所以OA⊥AB取证。
2.为了得到与切线相垂直的线段，我们取切点A为起点，用圆心O为终点，连接AO。
3.连接OB。
4.观察△OAB和△OBA，它们有共边OA，且OO相等且共线，所以两个三角形是全等三角形。
5.根据全等三角形的性质可知，∠OAB=∠OBA，又∠OAB为直角，所以∠OBA也是直角。
6.根据直角三角形的定义可知，线段OB⊥AB。
因此，我们证明了圆的切线与半径的垂直。
方法二：使用割线定理证明切线的长度。
设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线与圆的交点为B，圆上的一点为C。
1.连接OA、OB、OC。
2.观察△OAB和△OAC，它们有共边OA，且∠OAB为直角，所以两个三角形是相似三角形。
3.根据相似三角形的性质可知，AB/OB=OA/OC。
4.由于直角三角形中，OA=r，所以AB/OB=r/OC。
5.由于OA⊥AB，所以∠OAB=90°，所以∠OCB也是直角。
6.根据直角三角形的定义可知，线段OC⊥CB。
由于OC⊥AB，且OC⊥CB，所以线段AB⊥CB。
因此，我们证明了圆的切线与半径的垂直。
方法三：使用割线与切线的交角性质证明切线的存在性。
设圆上的一点为P，切点为A，切线与圆的交点为B。
1.连接OA、OP。
2.观察△OAP，根据三角形内角和定理可知∠OAP+∠OPA+∠POA=180°。
3.∠POA为平行于弧PA的圆心角，根据圆心角的定义可知∠POA=1/2×弧PA。
4.切线与弦的夹角等于相应弧所对的圆心角的一半，所以∠APB=1/2×弧PA。
5.因为直线和平行线有关的几何性质之一是，被两条平行线截取的弦上的两个圆心角相等。
圆正切线几种证法
圆正切线几种证法圆的切线是指圆上某点处的直线，这条直线只有一个交点与圆相切。
圆正切线是圆与其外部一点的切线，圆的正切线有多种证法。
下面将介绍几种不同的证法。
证法一：切线定理证法圆的切线定理是指直径与切线相垂直。
根据这个定理，我们可以通过证明直径与切线相垂直的关系来证明圆的正切线。
首先，我们设圆的直径为AB，切线上的切点为C。
通过证明角ACB为直角可以证明切线是圆的正切线。
根据几何学性质，我们可以得知，半径与切线的交点与圆心的连线垂直。
因此，我们可以得到角ACB为直角的结论，证明该切线是圆的正切线。
证法二：切线与半径的垂直证法根据几何学知识，圆的切线与半径的关系是相互垂直。
我们可以通过证明切线与半径相垂直来证明圆的正切线。
设圆的半径为OA，切线上的切点为B。
我们可以利用垂直平分线的性质来证明切线与半径的垂直关系。
由于切线只有一个交点与圆相切，我们可以得知，切线与半径的交点为直角。
因此，我们可以得到切线与半径相垂直的结论，证明该切线是圆的正切线。
证法三：正切线的判定证法正切线的判定是指判断一个直线是否为圆的正切线。
我们可以通过判断一个直线是否满足成为圆的正切线的条件来证明圆的正切线。
首先，我们需要确定圆的切点和切线的位置关系，根据切线与圆的位置关系可以判断该直线是否为圆的正切线。
如果直线与圆只有一个交点且与交点处的切线垂直，那么该直线就是圆的正切线。
通过以上几种不同的证法，我们可以得知圆的正切线有多种不同的证法。
无论采用哪种证法，都需要运用几何学的基本性质和定理来完成证明。
掌握了这些证法，我们可以更好地理解圆的切线性质，提高我们的几何学水平。
半代入法求圆的切线证明
半代入法求圆的切线证明1.引言准备编写文章1.1 概述部分的内容。
在这一部分，我们将简要介绍半代入法求圆的切线证明的背景和要点。
概述：在几何学中，我们经常遇到需要求解圆的切线问题。
而半代入法是一种常用的数学方法，用于推导和证明圆的切线方程。
通过使用这种方法，我们可以轻松地得出切线方程，从而解决各种与圆的切线相关的数学问题。
本文将详细介绍半代入法的原理和步骤，并阐述其在求解圆的切线问题中的有效性。
通过掌握和应用这一方法，读者将能够更好地理解和解决与圆的切线相关的几何难题。
文章结构：本文将分为三个主要部分。
首先，我们将介绍半代入法的原理和步骤，这将为后续的内容打下基础。
其次，我们将详细阐述半代入法在求解圆的切线问题中的基本思想和具体步骤。
最后，我们将对半代入法求圆的切线的有效性进行评估，并对整个文章进行总结。
目的：本文的目的是全面介绍半代入法在求解圆的切线问题中的应用。
通过阐述其原理、步骤和基本思想，我们旨在帮助读者掌握这一数学方法，并能够灵活应用于实际问题中。
这就是文章1.1 概述部分的内容。
接下来，我们将继续编写文章的其他部分。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构展开对半代入法求圆的切线的证明进行讨论：1. 引言：首先对半代入法求圆的切线的背景和意义进行概述，介绍半代入法在几何证明中的应用以及本文的研究目标。
2. 正文：2.1 半代入法的原理和步骤：详细介绍半代入法的基本原理和具体步骤，包括如何使用半代入法求解几何问题以及相应的推导方法。
2.2 半代入法求圆的切线的基本思想：阐述半代入法求解圆的切线的基本思想，包括如何利用已知的圆心、半径和切点等信息，通过半代入的方法得到切线的方程和证明过程。
同时，附上具体的实例进行说明。
3. 结论：3.1 半代入法求圆的切线的有效性：对半代入法求解圆的切线的有效性进行分析和论证，包括讨论该方法的适用范围、其优点和局限性，并通过实例验证其有效性。
3.2 结论总结：总结本文的主要观点和证明过程，强调半代入法求解圆的切线的重要性和实用性，并对进一步应用和研究的发展方向提出展望。
切线长定理(用)
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
则有
x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
解得
r＝
a＋b－c
2
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的 内切圆的半径 r＝ 或r＝
拓展应用
练习5.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点D,试判断△AED的 形状,并说明理由.
拓展应用
练习5.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点D,试判断△AED的 形状,并说明理由.
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
。
2
A
3
B
C
例1
已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
A
O
C
D
P
B
E
解：
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
M
试一试
A
P
O
。
B
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.
CA=CB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
切割线定理推导过程
切割线定理推导过程
切割线定理是几何学中关于圆的一个重要定理。
它描述的是从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系。
具体来说，切割线定理表明，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
以下是对切割线定理的详细推导过程。
首先，我们设定一个圆和从圆外一点P引出的切线PT和割线PAB，其中T为切点，A 和B为割线与圆的交点。
我们的目标是证明PT的平方等于PA与PB的乘积，即PT^2=PA*PB。
为了证明这个定理，我们可以利用相似三角形的性质。
首先，连接AT和BT，由于∠PTB 和∠PAT都是弦切角，所以它们相等。
同时，∠APT和∠TPB是公共角，所以它们也相等。
因此，根据两角对应相等的三角形相似的性质，我们可以得出△PBT与△PTA相似。
由于△PBT与△PTA相似，所以它们的对应边之间的比例相等。
即，PB/PT=PT/AP。
将这个比例式进行交叉相乘，我们可以得到PT^2=PB*PA。
这就是我们要证明的切割线定理。
此外，切割线定理还有一个推论，即从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
这个推论的证明过程与切割线定理的证明过程类似，也是利用相似三角形的性质进行推导。
总的来说，切割线定理及其推论是圆的重要性质，它们在解决与圆相关的问题时非常有用。
通过理解和掌握切割线定理及其推论的证明过程，我们可以更深入地理解几何学的原理和方法。
三圆的切线的性质及判定定理
三圆的切线的性质及判定定理[对应学生用书P25]1．切线的性质(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 如图，已知AB 切⊙O 于A 点，则OA ⊥AB .(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． (3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．圆的切线的判定方法(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线． (2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． (3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线．其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的．[说明] 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线．[对应学生用书P25]圆的切线的性质[例1] 如图，已知∠C ＝90°，点O 在AC 上，CD 为⊙O 的直径，⊙O 切AB于E ，若BC ＝5，AC ＝12.求⊙O 的半径．[思路点拨] ⊙O 切AB 于点E ，由圆的切线的性质，易联想到连接OE 构造Rt △OAE ，再利用相似三角形的性质，求出⊙O 的半径．[解] 连接OE ，∵AB 与⊙O 切于点E ， ∴OE ⊥AB ，即∠OEA ＝90°. ∵∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴Rt △ACB ∽Rt △AEO ， ∴OE BC ＝AOAB. ∵BC ＝5，AC ＝12，∴AB ＝13， ∴OE 5＝12－OE 13，∴OE ＝103.即⊙O 的半径为103.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．1．如图，AB 切⊙O 于点B ，延长AO 交⊙O 于点C ，连接BC .若∠A ＝40°，则∠C ＝( )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°解析：连接OB ，因为AB 切⊙O 于点B ，所以OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°，所以∠AOB＝50°.又因为点C 在AO 的延长线上，且在⊙O 上， 所以∠C ＝12∠AOB ＝25°.答案：B2.如图，已知P AB 是⊙O 的割线，AB 为⊙O 的直径．PC 为⊙O 的切线，C 为切点，BD ⊥PC 于点D ，交⊙O 于点E ，P A ＝AO ＝OB ＝1.(1)求∠P 的度数； (2)求DE 的长． 解：(1)连接OC .∵C 为切点，∴OC ⊥PC ，△POC 为直角三角形． ∵OC ＝OA ＝1，PO ＝P A ＋AO ＝2， ∴sin ∠P ＝OC PO ＝12.∴∠P ＝30°.(2)∵BD ⊥PD ，∴在Rt △PBD 中， 由∠P ＝30°，PB ＝P A ＋AO ＋OB ＝3， 得BD ＝32.连接AE .则∠AEB ＝90°，∴AE ∥PD . ∴∠EAB ＝∠P ＝30°，∴BE ＝AB sin 30°＝1，∴DE ＝BD －BE ＝12.[例2] 已知D 是△ABC ADB ＝60°，求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．[思路点拨]连接OB ，OC ，OD →∠BOD ＝90°→ ∠OBC ＝∠OCB ＝30°→∠ABO ＝90°→结论. [证明] 如图，连接OB ，OC ，OD ，OD 交BC 于E . ∵∠DCB 是BD 所对的圆周角， ∠BOD 是BD 所对的圆心角，∠BCD ＝45°， ∴∠BOD ＝90°.∵∠ADB 是△BCD 的一个外角， ∴∠DBC ＝∠ADB －∠ACB ＝60°－45°＝15°， ∴∠DOC ＝2∠DBC ＝30°， 从而∠BOC ＝120°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°. 在△OEC 中，因为∠EOC ＝∠ECO ＝30°， ∴OE ＝EC ，在△BOE 中，因为∠BOE ＝90°，∠EBO ＝30°. ∴BE ＝2OE ＝2EC ， ∴CE BE ＝CD DA ＝12， ∴AB ∥OD ，∴∠ABO ＝90°， 故AB 是△BCD 的外接圆的切线．要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外，还有圆心到直线的距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂线是常用辅助线．3．本例中，若将已知改为“∠ABD ＝∠C ”，怎样证明：AB 是△BCD 的外接圆的切线． 证明：作直径BE ，连接DE ， ∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BDE ＝90°， ∴∠E ＋∠DBE ＝90°. ∵∠C ＝∠E ，∠ABD ＝∠C ， ∴∠ABD ＋∠DBE ＝90°. 即∠ABE ＝90°.∴AB 是△BCD 的外接圆的切线．4.如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sin B ＝12，∠D ＝30°.(1)求证：AD 是⊙O 的切线． (2)若AC ＝6，求AD 的长． 解：(1)证明：如图，连接OA ， ∵sin B ＝12，∴∠B ＝30°，∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°， ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOC ＝90°， ∴AD 是⊙O 的切线． (2)∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝AC ＝6， ∵∠OAD ＝90°，∠D ＝30°， ∴AD ＝3AO ＝6 3.圆的切线的性质和判定的综合考查[例3] 如图，AB 为⊙O 的直径，D 是BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于点F .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝3，⊙O 的半径为5，求BF 的长． [思路点拨] (1)连接OD ，证明OD ⊥DE ； (2)作DG ⊥AB . [证明] (1)连接OD ，∵D 是BC 中点， ∴∠1＝∠2. ∵OA ＝OD ，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠3. ∴OD ∥AE .∵DE ⊥AE ，∴DE ⊥OD ，即DE 是⊙O 的切线． (2)过D 作DG ⊥AB ， ∵∠1＝∠2，∴DG ＝DE ＝3. 在Rt △ODG 中，OG ＝52－32＝4， ∴AG ＝4＋5＝9.∵DG ⊥AB ，FB ⊥AB ，∴DG ∥FB . ∴△ADG ∽△AFB . ∴DG BF ＝AG AB. ∴3BF ＝910.∴BF ＝103.对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果．5.如图，已知两个同心圆O ，大圆的直径AB 交小圆于C 、D ，大圆的弦EF 切小圆于C ，ED 交小圆于G ，若小圆的半径为2，EF ＝43，试求EG 的长．解：连接GC ，则GC ⊥ED . ∵EF 和小圆切于C ， ∴EF ⊥CD ，EC ＝12EF ＝2 3.又CD ＝4，∴在Rt △ECD 中， 有ED ＝EC 2＋CD 2 ＝(23)2＋42＝27.由射影定理可知EC 2＝EG ·ED ， ∴EG ＝EC 2ED ＝(23)227＝677.6．如图，以Rt △ABC 直角边AC 上一点O 为圆心，OC 为半径的⊙O 与AC 的另一个交点为E ，D 为斜边AB 上一点且在⊙O 上，AD 2＝AE ·AC .(1)证明：AB 是⊙O 的切线； (2)若DE ·OB ＝8，求⊙O 的半径． 解：(1)证明：连接OD ，CD ，∵AD 2＝AE ·AC ， ∴AD AE ＝ACAD.又∵∠DAE ＝∠DAC ， ∴△DAE ∽△CAD ，∴∠ADE ＝∠ACD . ∵OD ＝OC ，∴∠ACD ＝∠ODC ， 又∵CE 是⊙O 的直径，∴∠ODE ＋∠CDO ＝90°，∴∠ODA ＝90°， ∴AB 是⊙O 的切线． (2)∵AB ，BC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥DC ，∴DE ∥OB ，∴∠CED ＝∠COB ， ∵∠EDC ＝∠OCB ，∴△CDE ∽△BCO ， ∴DE CO ＝CEBO，DE ·OB ＝2R 2＝8， ∴⊙O 的半径为2.[对应学生用书P27]一、选择题1．下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案：C2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于D .AB ＝6，BC ＝8，则BD 等于( )A ．4B ．4.8C ．5.2D ．6解析：∵AB 是⊙O 的直径，∴BD ⊥AC . ∵BC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BC . ∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10. ∴BD ＝AB ·BCAC ＝4.8.答案：B3.如图，CD 切⊙O 于B ，CO 的延长线交⊙O 于A ，若∠C ＝36°，则∠ABD 的度数是( )A ．72°B ．63°C ．54°D ．36°解析：连接OB .∵CD 为⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90°. ∵∠C ＝36°，∴∠BOC ＝54°. 又∵∠BOC ＝2∠A ，∴∠A ＝27°， ∴∠ABD ＝∠A ＋∠C ＝27°＋36°＝63°. 答案：B4．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若AD ＝DC ，则sin ∠ACO 等于( )A.1010 B.210 C.55D.24 解析：连接BD ，则BD ⊥AC .∵AD ＝DC ，∴BA ＝BC ， ∴∠BCA ＝45°.∵BC 是⊙O 的切线，切点为B ， ∴∠OBC ＝90°.∴sin ∠BCO ＝OB OC ＝OB 5OB ＝55，cos ∠BCO ＝BC OC ＝2OB 5OB ＝255.∴sin ∠ACO ＝sin(45°－∠BCO ) ＝sin 45°cos ∠BCO －cos 45°sin ∠BCO ＝22×255－22×55＝1010. 答案：A 二、填空题5．如图，已知∠AOB ＝30°，M 为OB 边上一点，以M 为圆心、2为半径作⊙M .若点M 在OB 边上运动，则当OM ＝________时，⊙M 与OA 相切．解析：若⊙M与OA相切，则圆心M到直线OA的距离等于圆的半径2.过M作MN⊥OA于点N，则MN＝2.在Rt△MON中，∵∠MON＝30°，∴OM＝2MN＝2×2＝4.答案：46．已知P A是圆O的切线，切点为A，P A＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1.则圆O 的半径R＝________.解析：AB＝AP2－PB2＝ 3.由AB2＝PB·BC，∴BC＝3，Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝2 3.∴R＝ 3.答案： 37．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝________，DC＝________.解析：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.又∠DCA＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠DCA＝∠OCB，∵OC＝3，BC＝3，∴△OCB是正三角形．∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°.∴∠DAC＝30°.在Rt△ACB中，AC＝AB2－BC2＝33，DC＝AC sin 30°＝32 3.答案：30°33 2三、解答题8.如图所示，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，PD是⊙O的切线，P是切点，∠D＝30 °.求证：P A＝PD.证明：如图，连接OP，∵PD是⊙O的切线，P为切点．∴PO⊥PD.∵∠D＝30°，∴∠POD＝60°.又∵OA＝OP，∴∠A＝∠APO＝30°.∴∠A＝∠D.∴P A＝PD.9.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E.求证：(1)DE⊥AC；(2)BD2＝CE·CA.证明：(1)连接OD，AD.∵DE是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DE.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又AB＝AC，∴BD＝DC.∴OD∥AC.∴DE⊥AC.(2)∵AD⊥BC，DE⊥AC，∴△CDE∽△CAD.∴CDCA＝CECD.∴CD2＝CE·CA.∴BD＝DC.∴BD2＝CE·CA.10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠DBC＝30°，DE＝1 cm，求BD的长．解：(1)证明：连接OA.∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.∴∠OAD＝∠EDA.∴OA∥CE.∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠OAE＝∠DEA＝90°.∴AE⊥OA.∴AE是⊙O的切线．(2)∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°.∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°.∴∠BDE＝120°.∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°.∴∠ABD＝∠EAD＝30°.在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE.在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE.∵DE的长是1 cm，∴BD的长是4 cm.。
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切线性质定理证明过程，证明圆的切线的几种方法
切线长度定理:从圆外的一点引向圆的两条切线长度相等，圆心与此点的连线平分两条切线的夹角。
证明圆的切线的性质定理
我们大多数情况下用反证法来证明切线的性质定理：
假设圆O的切线l与OA不垂直，作OM垂直于l于M，因“垂线段短”，故OA＞OM，即圆心到切线的距离小于半径，这与“切线到圆心的距离等于半径”矛盾，故直线l与圆O一定垂直。
圆的切线的性质
切线的主要性质有以下几点：
1、切线和圆唯有一个公共点；
2、切线和圆心的距离等于圆的半径；
3、切线垂直于经过切点的半径；
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
6、从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
以上内容是圆的切线的性质定理及其证明方法。
掌握和熟悉这一重要内容和核心考点，对考生处理数学几何问题很有帮助。
为此，考生必须努力学习。
连接圆心和切点，按照直线与圆相切的定义，可证切线与过切点的半经垂直
证明圆的切线的迅速方式？
1、已知条件中直线与圆若有公共点，且存在连接公共点的半径，可直接按照“经过直径的一端,还垂直于这条直径的直线是圆的切线”来证明。
口诀是“见半径，证垂直”。
2、条件中若给出了直线和圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，则连结公共点和圆心，然后按照“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“连半径，证垂直”。
3、已知条件若没有给出了直线和圆的公共点，则过圆心向这条直线引垂线，然后按照“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“作垂直，证半径”。
如何证明圆的切线？
切线的判定定理:通过半径外端并垂直于该半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理:圆的切线垂直于通过切点的半径。
根据这两个定理，我们可以得到证明圆的切线在大多数情况下的思路。
1、连半径，证垂直
2、作垂线，证半径
圆如何正切线？
相切圆有四种方法:1。
平行线法；2.直接法；3.间接法；4.三角形同余法。
1.平行线法
我们清楚角平分线+平行线会出现等腰三角形，而在圆中有这样的常识：圆中有角平分线大多数情况下会出现平行线。
2.直接法
按照常理，要证明切线，先把圆心和切点连起来，再证明垂直度。
3.间接法
主要是按照平角来处理问题。
4.三角形全等法。
先找到切点，然后连接半径，马上正垂直完全就能够了，圆的切线就是这三要素
圆的切线定理和判断定理？
圆的切线定理：若直线L与圆C相切于点P，则直线L在点P 处的斜率 k= -1/斜率（L的斜率）
圆的判断定理：设ΔABC的外接圆O，连AO，BO，CO，交BC，AC，AB于D，E，F，则有：AD，BE，CF交于一点I。
这当中，点I被称为三角形ΔABC的垂心。