行列式按行(列)展开定理共45页
线性代数1.5行列式按行展开定理
(i, j)元 aij外都为零，那么这行列式等于aij与它的代
数余子数的乘积，即 D aij Aij . a11 0 0
证
先证(i,
j)
(1,1)的情形，此时
D
a21
a22
a2n
,
即有D a11M11.
an1 an2 ann
又
A11 (1)11 M11 M11 , a11 a1 j a1n
从而
D a11A11 .
再证一般情形，此时
D 0 aij 0 .
an1 anj ann
把D的行列作如下调换： 把D的第i行依次与第i 1行、第i 2行、 、第1行对 调，这样数aij就调成(1, j)元，调换的次数为i 1. 再把第j列依次与第j 1列、第j 2列、 、第1列调换， 这样数aij就调换成(1,1)元，调换的次数为 j 1 .
1 3
0 1
5 3
,
2 4 1 3
D的(i, j)元的余子式和代数余子式依次记作Mij和Aij，
求 A11 A12 A13 A14及M11 M21 M31 M41.
解：
因为A11 A12 A13 A14等于用1, 1, 1, 1代替
D的第1 行所得的行列式，即
1 a2
1 1 , ai 0
1
1 1 an
10 0 0
1 1 a1 1 1 解：Dn Dn1 1 1 1 a2 1
11
1 1 an
1 1 1
1 a1 0
c c c c a (1） , , (1)
线性代数03-行列式按行(列)展开
1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则， 利用这个法则降阶并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算.
思考 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论 行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一 个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明 我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.
行列式按行(列)展开
a a a a a a a a a
D
xa
xa
c1 c2 cn
[ x ( n 2)a ] 1 x a 1 a
1 a
xa
xa
20
r2 r1 r3 r1 rn r1
1 [ x ( n 2)a ]0 0 0
ak 1 ak 2 akn an 2 ann
右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。
11
综上，得公式
D, （当k i） ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain 0，（当k i） D, （当l j） a1l A1 j a2 l A2 j anl Anj 0，（当l j）
a11 a12 a1n ai 1 0 0
a11 0
a12 a1n ai 2
a11 a12 a1n 0 ain
0 0
an1 an 2 ann
an1 an 2 ann
3 11
7 17 8
按第二列展开
7 25 8 0 3 0 11 5 2
1 ( 1)
2 2
0 3
5 9
5 2
按第二行展开
5 ( 1)
2 3
7 25 3 11
5(77 75) 10
19
例2：
xa a a a
a xa a a 1
a a a a
a a a
( xi a , i 1,2,3,4)
（可以化为箭形行列式）
r2 r1 r3 r1 r3 r1 r4 r1
行列式按行展开
利用矩阵的秩
通过分析系数矩阵的秩和常数项矩阵的秩， 判断方程组的解的情况。当系数矩阵的秩等 于常数项矩阵的秩时，方程组有解；否则无 解。
引入参数法
通过引入参数将原方程组转化为参数方 程组，利用克莱姆法则求解参数方程组 的解，再回代求解原方程组的解。
• 适用性广：该方法适用于任何阶数的行列式，具有普适性。
行列式按行展开的优点与不足
要点一
计算量较大
要点二
难以直接观察行列式性质
对于高阶行列式，按行展开可能涉及大量的计算，导致计 算效率低下。
按行展开后，原行列式的结构和性质可能被掩盖，不利于 进一步分析和研究。
对未来研究的展望
探索更高效的计算方法
利用高斯消元法
通过高斯消元法将原方程组化简为阶 梯形方程组或最简形方程组，从而直 接求解方程组的解。
06 总结与展望
行列式按行展开的优点与不足
简化计算
通过按行展开，可以将一个高阶行列式转化为多个低阶行列式的和，从而简化计算过程。
直观性
按行展开的方法较为直观，易于理解和掌握。
行列式按行展开的优点与不足
行列式按行展开有助于理解行列式的本质和性质，加深对线性代数相关概 念的理解。
02 行列式按行展开的基本原 理
代数余子式的概念
代数余子式定义
在n阶行列式中，把元素$a_{ij}$所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行 列式叫做元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$；记$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$， $A_{ij}$叫做元素$a_{ij}$的代数余子式。
行列式按行展开的公式为：$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$，其中$a_{ij}$是所选行中的元素，$A_{ij}$ 是对应的代数余子式。
行列式按行(列)展开
a21 a22 a2 n 证 当 aij 位于首位时,即 D 即有 D a11 M11 . an1 an 2 ann
又
A11 1
11
M 11 M 11 ,
从而
D a11 A11 .
命题得证
a11 a1 j a1n
下证一般情形, 此时 D 0
aij
0
an1 anj ann
把 D 的第i 行依次与第 i 1 行，第 i 2行，…第1行对调 0 aij 0
得 D 1
i 1
anj
ann
ai 1,1 ai 1, j ai 1,n a n1
D 0
aij
0
中的余子式 M ij .
an1 anj ann
aij anj aij
故 D 1
i j
0
0
于是有 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n aij Mij ,
a n , j 1 0
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2,, n
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
j 1, 2, , n
证 利用行列式的性质四--拆分原理有 a11 a12 a1n D ai 1 0 0 0 ai 2 0 0 0 ain a n1 an 2 ann
课前复习 性质1 行列式与它的转置行列式相等.即 DT D . 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相 同，则此行列式为零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以 同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. 推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则 此行列式为零． 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之 和,则这个行列式等于两个行列式之和. 性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一 数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不 变．
3.行列式按行按列展开解读
( i 1, 2,3).
二、行列式按行（列）展开法则
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与 它对应的代数余子式乘积之和，即
det(aij ) ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
a12 ai2 an2
a1n a11 ain bi1 ann an1
a12 bi2 an2
a1n bin ann
性质5引申若行列式的某一行(列)的元素都是n个数之和 则行列式等于n个行列式之和
同理
ain Asn 0, i s .
a1 j A1t a2 j A2t
anj Ant 0,
j t.
二、行列式按行（列）展开法则
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与 它对应的代数余子式乘积之和，即 或 det(aij ) ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
a11 a21 D a31 a41
a12 a13 a14 a22 a23 a24 , a32 a33 a34 a42 a43 a44
a11 a12 a13 M 44 a21 a22 a23 , a31 a32 a33
A44 1
4 4
M 44 M 44 .
注1: 行列式的每个元素分别对应着一个余子式 与一个代数余子式. 注2: 行列式的某个元素的余子式与代数余子式, 只与该元素的位置有关,与该元素的大小无关.
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
线性代数-行列式按行(列)展开
2
证明 用数学归纳法
x n1 n
11
D2 x1
x2
x2 x1
( xi x j )
2i j1
所以n=2时(1)式成立.
假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行
减去前行的 x1倍：
1 0 Dn 0
1 x2 x1 x2 ( x2 x1 )
1 x3 x1 x3 ( x3 x1 )
行列式按行(列)展开
•对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. •本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高 阶行列式.
一、引言
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
2 35
02 35
2 r2 (2)r110 0
3 7
1
7
2 10 (2)
2
r3 r1
66
0 66
20 (42 12) 1080.
3 5 2 1 例 设 D 1 1 0 5 , D的(i, j) 元的余子式和
1 3 1 3 2 4 1 3
10 0
M11 M21 M34 M41 A11 A21 A31 A41
1 5 2 1
1 5 2 1
1
1
0 5 r4 r3 1
1 0 5
1313
1 31 3
1 4 1 3
0 1 0 0
1 1
2 0
1 5
1 r1 2r3 1
x3
xn
n−1阶范德蒙德行列式
行列式按行(列)展开定理
解
M11 2 2 4 A11 (1)11 M11 4
1 0 M23 3 2 2
A23 (1)23 M 23 2
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个
代数余子式。
4
(二)行列式展开定理
引理 若在n阶行列式D第i行中有一个元素 aij 0，其 余元素全为零，则
D aij Aij
an1
an2
ann
由行列式的性质4及引理，得
11
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 0 ain
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1
0 0 0
ai2 0 0
0 ain
an1 an2 ann
1 0 0 an
解
n 1
a0 i1 ai
0
原式
0
1 11
a1
0
0 a2
0 0
a1a2 an (a0
n i 1
1 ai
)
.
0
0 0 an
31
a1 a1 0 0
0
例14 计算
a2 a2
0
0
0
“全加法”
0 0 0 an an 1 1 1 1 1
n1
解 0 a1 0 0 0
1 1 2
1 1 2
D 1 (1)21 4 3 1 1 (1)23 2 4 1
1 2 2
1 1 2
1 1 1
(1) (1)24 2 4 3
1 1 2
7 2418 1 ,
15
行列式按行展开
a11(a22a33 a23a32 )a12 (a23a31 a21a33 ) a13 (a21a32 a22a31)
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计
算。 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 阶 行列式来计算？
D 1 (1)11 1 3 0 (1)12 1 3 (2) (1)13 1 1
31
2 1
2 1
1 (8) 0 (2)5 18
（2）按第三列展开．
D (2) (1)13 1 1 3 (1)23 1 0 1 (1)33 1 0
a11 a12 a14
a11 a12 a14
1
a 3 3 33
a21
a22
a24 a33 a21
a22
a24
a41 a42 a44
a41 a42 a44
分析
当 aij 位于第1行第1列时,
a11 0
0
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
即有 D a11M11 .（根据P.16例8的结论）
3 1 1 2
例2
计算行列式
5 D
1
3 4
2 0 1 1
1 5 3 3
解 由于D中第三行有一个零元素，并且非零元素中有1， 所以利用行列式的性质，把该行除元素“1”外其余 的非零元素全化为0，然后按第三行展开．
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( j 1, 2, , n)
行列式按行列展开定理
一、 余子式的定义：在n 阶行列式中，把（）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、 代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ij a 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积： ij ij D a A =⋅四、 行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、 克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组：11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D=,22D x D =,…n N D x D = 1111,1122,11,1......................j n j j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。
行列式按行(列)展开定理
a1l A1 j a2l A2 j L
anl Anj
D, 0，
（当l j） （当l j）
注 在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式
并不一定简化计算, 因为把一个n阶行列式换成n个( n
－1)阶行列式的计算并不减少计算量, 只是在行列式中
某一行或某一列含有较多的零时, 应用展开定理才有
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
3
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34
a41 a43 a44
A12 1 12 M12 M12
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 A44 1 44 M44 M44
证 由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和.
9
a11
a12
L
a1n
M MMM
ai1
ai2 L
a in
在行列式 D M M M M
ak1 M
ak 2 M
L
a kn
MM
an1
an2
L
ann
中, 如果令第 i 行的元素等则
ak1 Ai1 ak 2 Ai2 L akn Ain
1
定义1.5 在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第i行和
第 j 列划去后, 余下的 n -1 阶行列式叫做元素 aij的
余子式. 记为 Mij . 称 Aij 1i j Mij 为元素 aij
的代数余子式.
a11 a12 a13 a14
例如
a21 a22 a23 a24 D
意义，但展开定理在理论上是重要的．
第四节行列式按一行（列）展开
第四节行列式按一行(列)展开将高阶行列式化为低阶行列式是计算行列式的又一途径，为此先引进余子式和代数余子式的概念．在n 阶行列式中，划去元素aij 所在的行和列，余下的n-1阶行列式(依原来的排法)，称为元素aij 的余子式，记为Mij.余子式前面冠以符号(-1)i+j ，称为元素aij 的代数余子式，记为Aij ＝（－１）i+j Ｍij.例如四阶行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a 中,元素23a 的余子式和代数余子式分别为11121423313234414244;a a a M a a a a a a =23232323(1)A M M +=-=-引理一个n 阶行列式D ，如果第i 行所有元素除ij a 外全为零，则行列式.ij ij D a A =证先证ij a 位于第1行第1列的情形，此时11212221200,nn n nna a a a D a a a = 这时第三节例4中当k=1时的特殊情形，按第三节例4的结论有11111111D a M a A ==.再证一般情形，此时1111100.j n ij n nj nna a a a D a a a = 我们将D 作如下的调换：把D 的第i 行依次与第i-1行，第i-2行，…，第1行对调，这样数ij a 就调到了第1行第j 列的位置，调换次数为i-1次；再把第j 列依次与第j-1列，第j-2列，…，第1列对调，数ij a 就调到了第1行第1列的位置，调换次数为j-1，总共经过(i-1)+(j-1)次对调，将数ij a 调到第1行第1列的位置，第1行其他元素为零，所得的行列式记为D １，则，而ij a 在D １中的余子式仍然是ij a 在D 中的余子式Mij ，利用前面的结果，有1ij ijD a M =于是1(1)(1)i j i j ij ij ij ijD D a M a A ++=-=-=定理4.1行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即Ｄ＝ai １Ai １＋ai2Ai2＋…+ainAin(i=1,2,…，n),或Ｄ＝a １jA １j ＋a2jA2j ＋…+anjAnj(j=1,2,…，n)．证1112112120000000n i i inn n nn a a a D a a a a a a =++++++++++11121111211112112121212000000,n n n i i in n n nn n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++根据引理有Ｄ＝ai1Ai1＋ai2Ai2＋…+ainAin ＝∑nk=1aikAik(k=1,2,…，n)．类似地，我们可得到列的结论，即Ｄ＝a1jA1j ＋a2jA2j ＋…+anjAnj ＝∑nk=1akjAkj(j=1,2,…，n)．这个定理称为行列式按行(列)展开法则，利用这一法则并结合行列式的性质，可将行列式降阶，从而达到简化计算的目的．例1再解第三节中例1．解25120010371412165927112346122110D -----==---1311126300(1)11311321021013(1)(3)10++--=-=--=-⨯--＝－３×（－１）×（－１）×３＝－９．例2计算行列式11211nnn nna b a b D c d c d =解按第1行展开有111121111000000n n n nn n na b a b D a c d c d d ----=11111211110(1)00000n n nn n n na b a b b c d c d c --+--+⨯-2(1)2(1)2(1)(),n n n n n n n n n n n a d D b c D a d b c D ---=-=-,以此作递推公式，得22(1)11112(2)111111222211111111111()()()()()()()()()(),n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ni i i i i D a d b c D a d b c a d b c D a b a d b c a d b c a d b c c d a d b c a d b c a d b c a d b c --------------==-=--==---=---=-其中记号“∏”表示所有同类型因子的连乘积．例3证明范德蒙(Vandermonde)行列式1222212111112111()nn n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥≥---==-∏（４．１）证用数学归纳法证明．当n=2时，211211()i j n i j D x x x x ≥≥==-∏ (4.1)式成立．假设(4.1)式对n-1阶范德蒙行列式成立，要证(4.1)式对n 阶范德蒙行列式成立．为此，将Dn 降阶，从第n 行开始，后一行减前一行的1x 倍得2131122133112222213311111100()()()0()()()n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------按第1列展开，并提取每一列的公因子，有232131122223111()()()n n n n n n n x x x D x x x x x x x x x ---=---上式右端行列式是n-1阶范德蒙行列式，由归纳假设它等于∏n ≥i ＞j ≥2（xi －xj ），故2131121()()()()().n n i j n i j i j n i j D x x x x x x x x x x ≥≥≥≥=----=-∏∏显然，范德蒙行列式不为零的充要条件是x １，x ２，…，xn 互不相等．由定理4.1还可以得到下述推论．推论行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ai １Aj １+ai ２Aj ２＋…＋ainAjn=0,i ≠j ，或a1iA1j+a2iA2j ＋…＋aniAnj=0,i ≠j ．证作行列式(i ≠j)11121121212ni i ini i in n n nna a a a a a a a a a a a 则除其第j 行与行列式D 的第j 行不相同外，其余各行均与行列式D 的对应行相同．但因该行列式第i 行与第j 行相同，故行列式为零．将其按第j 行展开，便得ai １Aj １+ai ２Aj ２＋…＋ainAjn=0.同理可证a1iA1j+a2iA2j ＋…＋aniAnj=0．将定理4.1与推论综合起来得∑nk=1aikAjk ＝Ｄ，i ＝j,０，i ≠j,或∑nk=1akiAkj ＝Ｄ，i ＝j,０，i ≠j.下面介绍更一般的拉普拉斯(Laplace)展开定理．先推广余子式的概念．定义4.1在一个n 阶行列式D 中，任意取定k 行k 列(k ≤n)，位于这些行与列的交点处的k ２个元素，按原来的顺序构成的k 阶行列式M ，称为行列式D 的一个k 阶子式；而在D 中划去这k 行k 列后余下的元素，按原来的顺序构成的n-k 阶行列式N ，称为k 阶子式M 的余子式．若k 阶子式M 在D 中所在的行、列指标分别为i １，i ２，…，ik 及j １，j ２，…，jk ，则（－１）(i １＋i ２＋…＋ik ）＋（j １＋j ２＋…＋jk ）Ｎ称为k 阶子式M 的代数余子式．如在五阶行列式111213141521222324255152535455a a a a a a a a a a a a a a a 中选定第2、第5行，第1、第4列，则二阶子式21245154a a M a a =的余子式121315323335424345a a a N a a a a a a =而代数余子式为2514(1).N N +++-=*定理4.2(拉普拉斯定理)设在行列式D 中任意选定k(1≤k ≤n-1)行(或列)，则行列式D 等于由这k 行(列)元素组成的一切k 阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和．(不证)例4用拉普拉斯定理计算行列式12140121.10130131D -=解若取第1、第2行，则由这两行组成的一切二阶子式共有246C =个123456121114,,,010*********,,.121121M M M M M M ===-===--其对应的代数余子式为123456130301,,,311113131110,,.010301A A A A A A ==-===-=则由拉普拉斯定理得Ｄ＝Ｍ１Ａ１＋Ｍ２Ａ２＋…＋Ｍ６Ａ６＝（－１）×（－８）－２×（－３）＋１×（－１）＋５×１－６×３＋（－７）×１＝－７．注当取定一行(列)即k=1时，就是按一行(列)展开．从以上计算看到，采用拉普拉斯定理计算行列式一般并不简便，其主要是在理论上的应用．。
第六节 行列式按行(列)展开
依次代替 ai1 , ai2 , ···, ain ，可得
a11 a1n
ai1,1 b1 ai1,1
ai 1, n bn b1 Ai1 b2 Ai2 bn Ain . ai 1,1
an1 ann
类似地，用 b1 , b2 , ···, bn 代替 det(aij)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中的 第 j 列，可得
第六节 行列式按行(列)展开
主要内容
余子式和代数余子式 引理 行列式按行(列)展开法则 三阶行列式的几何意义 行列式的计算方法
一般来说,低阶行列式的计算比高阶行列式 的计算要简便,于是,自然地考虑用低阶行列式来 表示高阶行列式的问题. 本节我们要解决的问题 是, 如何把高阶行列式降为低阶行列式,从而把高 阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算.为了解 决这个问题,先学习余子式和代数余子式的概念.
于用 1 , 1 , 1 , 1 代替a11D 的第 1a1n行所得的行列式，即
五、行列式的计算方法
到现在为止,我们已能计算任意阶的行列式. 行列式的计算是我们这一章的重点,也是同学们必 须掌握的基本技能.
行列式有以下三种计算方法: 1. 直接用定义公式计算; 2. 利用性质化为三角行列式; 3. 利用展开式定理降阶.
在这三种方法中,方法1 主要用于理论分析,
很少用来计算具体的行列式,但对于低阶行列式 (如二阶、三阶)或有很多零元素的高阶行列式,
有时也可用此方法来计算; 方法2 适用于行列式 的阶不确定的高阶行列式的计算; 方法3 主要用
于阶为已知的高阶行列式的计算. 当然在计算一个 行列式时,应根据实际情况灵活选择计算方法.
或 D = a1jA1j + a2jA2j + ···+ anjAnj (j = 1,2, ···,n).
行列式按行展开公式
行列式按行展开公式
行列式的展开公式是在线性代数的范围内，行列式的值代表由它的列向量张成的“立体”的“体积”。
行列式按行展开的定理是拉普拉斯定理的一种简单情况，该行各元素分别乘以相应代数余子式求和，就等于行列式的值。
如果行列式D的第i行各元素与第j行各元素的代数余子式对应相乘后再相加，则当i≠j时，其和为零，行列式依行或依列展开，不仅对行列式计算有重要作用，且在行列式理论中也有重要的应用。
比如：行列式
D=|a11 a12 a13 a14|
|a21 a22 a23 a24|
|a31 a32 a33 a34|
|a41 a42 a43 a44|
a23处在二行三列，从原行列式中划去它所在的行和列各元素，剩下的元素按原位排列构成的新行列式，称为它的余子式。
（是一个比原来行列式低一阶的行列式）
性质：
1、行列互换，行列式不变。
2、把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。
3、如果行列式的某行（列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。
4、如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。
5、如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。
6、把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。
7、对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。
行列式按行列展开定理
1a
a
a
1 xa a
a
D [ x (n 2)a] 1 a x a
a
1a
a
xa
第48页，共48页
26
r2 r1 r3 r1 rn r1
1
0
[ x (n 2)a] 0
a x 2a
0
a 0 x 2a
00
0
[ x (n 2)a]( x 2a)n1
第48页，共48页
a 0 0 x 2a
D 2 (1)11 0 1 0 4 (1)14 5 0 1
232
023
2 2 4 (6 15) 88
9
第48页，共48页
推论 n 阶行列式 D 的任意一行(列)的元素与另一行(列 )对应元素的代数余子式乘积的和等于零. 即
ak1 Ai1 ak 2 Ai2 akn Ain 0, k i. a1k A1i a2k A2i ank Ani 0, k i.
09 2
A2 (1)(134)(234) 2 2
第48页，共48页
39
显然, n 阶行列式D位于某k行的k阶子式有
C
k n
个,
从而D共有
(C
k n
0
a x2 a
1
a x3 a
0
0
0
1
0
0
0
(
x1 x1 a
4 i2
a
4
)
xi a i1
( xi
a)
a x4 a
0 0 1
第48页，共48页
35
二.行列式按某k行(列)展开
定义1.6 在n阶行列式D中任取k行k列(1≤k ≤n),称 位于这些行与列的交叉点处的k2个元素按照其在D 中的 相对位置所组成的k阶行列式N为D的一个k阶子式.
第三节 行列式按行(列)展开
−2 2 −3 −1 4 − 5 c2 − c1 = −4 × 1 1 −1 (−4) × 1 0 0 c3 + c1 8 −2 7 8 − 10 15 = (−4) × (−1)
2 +1
4 −5 = 4 × (60 − 50) = 40 − 10 15
三、行列式按行（列）展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式的乘积之和，即
0
a ⋱ a c ⋰ b d ⋱ ⋰
b
要特别注意按照第一 行展开后剩余的2n-1 阶行列式的写法，并 注意其特点。
+ b ( − 1)1+ 2 n 0 c c 0
d 0
a ⋱ a b D = a × ( −1)1+1 ⋰ c 0 c d ⋱ ⋰
b
0
d 0 0 d
0
a ⋱ a c ⋰ b d ⋱ ⋰
1 2 3 D= 2 0 7 2 3 1
解：第二行（列)有一个零元，可以利用展开定理， 化三阶行列式为2个二阶行列式的计算（这里按照第 2列展开）：
1 2 3 7 3 1+ 2 2 3+ 2 1 D = 2 0 7 = 2 × (−1) + 3 × (−1) 2 1 2 7 2 3 1
= − 2 ( 2 − 14 ) − 3( 7 − 6 ) = 24 − 3 = 21
第三节 行列式按行（列）展开
本节介绍的主要内容 余子式和代数余子式 行(列)只有一个非零元的展开引理 按行（列）展开定理 利用展开定理求范德蒙德行列式 利用展开定理求行列式
一、余子式和代数余子式 余子式 在n阶行列式中，把(i,j)元aij所在的第i行和第j 列划去后，留下的元素按照原来的位置构成的n-1 阶行列式叫做(i,j)元aij的余子式，即作Mij.
行列式性质,按行展开
a11 L = bi 1 L an1
a12 L a1n L L L
a11
a12 L a1n L ci 2 L an 2 L L L L L cin L ann
L bi 2 L bin + ci 1 L L L L an1 an 2 L ann
性质5 将行列式的某一行 列)的所有元素乘以数 后 将行列式的某一行(列 的所有元素乘以数 的所有元素乘以数k后
1
2 0
3 1
4 2 .
【例1】 计算 D = 】
1
3 −1 −1 0 1 2 0 −5
【解】 D = a14 A14 + a24 A24 + a34 A34 + a44 A44
1 2 3 1 0 1 1+ 4 + 2 × ( −1) 2 + 4 3 − 1 − 1 = 4 × ( −1) 3 − 1 − 1 1 2 0 1 2 0 1 2 3 + ( −5) × ( −1)4 + 4 1 0 1 3 −1 −1
【解】
1 −1 0
2
1
1
0
(1) + (3) 0 −1 −1 2 0 −1 −1 2 − D=− − 2×(1) + (4) 0 1 −1 2 −1 2 −1 0 0 3 1 −4
2 1 1 0
1 0
0 0
2
1
−1
0
2
( 2) + ( 3 ) 3 × ( 2) + ( 4) −
−1 −1
0 0
0 −1
加到另一行（ 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变. 的相应元素上，行列式的值不变
1 a 1
2.3-行列式的展开定理
1
2 = −10 (− 2) − 7
6
6
2 6
= 20(− 42 − 12) = −1080.
17
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后 按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数 可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接 计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用．
n12..每i幂j列次1 (从行0)为递某增个到数(nx-1的3 −不x同2 )(方x幂4 − x2 )( xn − x2 ) 3. 结果为后列元素( x减n 去− 前xn列−1 )元素的乘积
23
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
11
x1 x2 Vn ( x1 , x2 , xn ) = x12 x22
n−2
2
3
xn−2 n
( xn − x1 ) ( xi − x j ) n i j 2
n-1阶范德蒙 行列式
27
例4：计算n阶行列式
a1 b b b a2 b Dn = b b a3
b b b , b≠ai, i=1, …,n.
bbb
an
28
解：用加边法，构造行列式， 使得按第一行（列）展开后，等于原行列式
xn−2 n
(
xn
−
x1
)
26
将Vn按第一列展开，并把每列的公因子(xi-x1)提出来，
11
1
Vn = ( x2 − x1 )( x3 − x1 ) ( xn − x1 ) x2
x3
xn
Vn = ( x2 − x1 )( x3 − x1 )
= ( xi − x j ).
行列式按一行列展开
A44 1
4 4
M 44 M 44
注意：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式.
2.行列式按一行（列）展开法则
定理1.3.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即 D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain i 1,2,, n 证明 （先特殊，再一般） 分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理. (1) 假定行列式D的第一行除 a11 外都是 0. a11 0 0
a11 a12 a1n
an1 an 2 ann
an1 an 2
0 0 0 ain an1 an 2 ann ann
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2,, n 证毕.
3 5 3
证明 由定理1.3.1，行列式等于某一行的元素分别与 它们代数余子式的乘积之和.
a11 ai 1 在 D ak 1 an1 a12 ai 2 a1 n ain 中，如果令第 i 行的元素 等于另外一行，譬如第 k
ak 2 akn 行的元素 an 2 ann
由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号，
得
aij 0 0 D ( 1)i j 2 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n anj an , j 1 ann
(1) aij Mij
i j
aij Aij
(3) 一般情形 a11 a12 a1n D ai 1 ai 2 ain an1 an 2 ann
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式 的计算. 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n-1 阶行列式来计算？