例析分类讨论思想在圆中的应用

219457521_分类讨论思想在高中数学解题中的应用

分类讨论思想在高中数学解题中的应用陈燕飞(昆山陆家高级中学ꎬ江苏苏州２１５０００)摘㊀要:分类讨论是数学学科的重要思想之一ꎬ每年高考题都会涉及到分类讨论思想的考查ꎬ是高中数学教学的重点.为提高学生的分类讨论思想能力ꎬ促进其解题能力及数学学习成绩的提升ꎬ教学实践中应采用理论讲解和习题巩固相结合的教学方法ꎬ指导学生在不同题型中的应用分类讨论思想.关键词:分类讨论思想ꎻ高中数学ꎻ解题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１８－００１１－０３收稿日期:２０２３－０３－２５作者简介:陈燕飞(１９７７.９－)ꎬ男ꎬ江苏省如皋人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀分类讨论思想在高中数学解题中有着广泛的应用ꎬ不同习题分类讨论的切入点及讨论标准存在差异ꎬ因此ꎬ教学实践中应为学生做好解题示范ꎬ注意预留空白 ꎬ要求学生认真揣摩分类讨论的标准与过程ꎬ做好方法的归纳㊁整理ꎬ以便理解与掌握分类讨论法.１解答三角函数习题三角函数题中产生分类讨论的情况主要有周期㊁相位㊁图象的不确定等ꎬ解题时应从这些不确定的对象入手ꎬ运用已知条件尽可能的将不确定对象的范围进一步精确ꎬ通过分类讨论尝试推导出矛盾ꎬ从而解决问题.例１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｃｏｓ(ωｘ＋φ)(ω>０ꎬωɪＮ∗ꎬ０<φ<π)图象上Ａ的坐标为(π２４ꎬ０)ꎬ一条对称轴为直线ｘ＝π６.当ｆ(ｘ)在区间(π６ꎬπ３)上单调ꎬ则φ的值为(㊀㊀).Ａ.π６㊀㊀㊀Ｂ.π４㊀㊀㊀Ｃ.π３㊀㊀㊀Ｄ.２π３解析㊀由ｆ(ｘ)在区间(π６ꎬπ３)上单调ꎬ可得π３－π６＝π６ɤＴ２ꎬ即ꎬ１２ˑ２πωȡπ６ꎬ解得０<ωɤ６.因点Ａ在函数ｆ(ｘ)图象上ꎬ且直线ｘ＝π６为函数ｆ(ｘ)图象的一条对称轴ꎬ则π６－π２４＝π８.当π８＝Ｔ４ꎬ此时Ｔ＝２πω＝π２ꎬ解得ω＝４满足题意ꎻ当π８＝３Ｔ４ꎬ此时Ｔ＝２πω＝π６ꎬ解得ω＝１２不满足题意ꎻ综上可得ｆ(ｘ)＝ｃｏｓ(４ｘ＋φ)ꎬ因直线ｘ＝π６为其一条对称轴ꎬ则４ˑπ６＋φ＝ｋπꎬｋɪＺꎬφ＝ｋπ－２π３ꎬｋɪＺꎬ又由０<φ<πꎬ则φ＝π３ꎬ选择Ｃ.１１点评㊀根据函数ｆ(ｘ)在给定区间的单调性ꎬ确定其周期范围ꎬ再运用周期公式得出ω的范围.结合图象中的已知点㊁对称轴进行分类讨论ꎬ看计算出的ω是否在解得的范围内ꎬ得出最终结果.２解答解三角形习题解三角形常用的知识点有正弦㊁余弦定理ꎬ但在运算的过程中可能会出现多种情况ꎬ此时需进行分类讨论.分类讨论的依据有三角形的内角的分类ꎬ边的分类等.分类讨论中ꎬ若某种情况能推出矛盾ꎬ则应舍去该种情况ꎻ如不能推出矛盾ꎬ则该种情况成立.例２㊀在钝角әＡＢＣ中ＡꎬＢꎬＣ对应边ａꎬｂꎬｃꎬ其中ａ>ｂꎬａ＝６ꎬ且满足３ｓｉｎＢ－３ｓｉｎＣ＝ｃｏｓＡꎬｃｏｓ２Ａ＝－７９ꎬ则әＡＢＣ的面积为(㊀㊀).Ａ.４㊀㊀㊀Ｂ.８㊀㊀㊀Ｃ.４２㊀㊀㊀Ｄ.８２解析㊀由ａ＝６ꎬ３ｃｏｓＢ－３ｃｏｓＣ＝ｃｏｓＡ以及正弦定理得到:３ｂ－３ｃ＝ａ＝６ꎬ则ｂ－ｃ＝２①ꎻ又由ｃｏｓ２Ａ＝２ｃｏｓ２Ａ－１ꎬｃｏｓ２Ａ＝－７９ꎬ得到ｃｏｓＡ＝ʃ１３.当ｃｏｓＡ＝１３时ꎬ由余弦定理得到:ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡꎬ即ꎬ３６＝ｂ２＋ｃ２－２３ｂｃ＝(ｂ－ｃ)２＋４３ｂｃ＝４＋４３ｂｃꎬ即ꎬｂｃ＝２４②ꎻ由①②得到ｂ＝６ꎬｃ＝４ꎬ不符合题意ꎬ舍去ꎻ当ｃｏｓＡ＝－１３时ꎬｃｏｓＡ＝１－ｃｏｓ２Ａ＝２２３ꎬ由余弦定理得到:４＋８３ｂｃ＝３６ꎬ此时ｂｃ＝１２ꎬ由①得到ꎬｂ＝１＋１３ꎬｃ＝－１＋１３ꎬ满足ａ>ｂꎬ则ＳәＡＢＣ＝１２ｂｃｃｏｓＡ＝１２ˑ１２ˑ２２３＝４２ꎬ选择Ｃ项.点评㊀根据题干中给出的等式ꎬ运用正弦定理进行转化得出ｃｏｓＡ的值有两个ꎻ分别对两个值讨论ꎬ发现ｃｏｓＡ＝１３不符合题意ꎬ而ｃｏｓＡ＝－１３符合题意ꎬ在ｃｏｓＡ＝－１３的条件下计算出әＡＢＣ的面积即可.３解答导数习题导数是高中数学中最易考查分类讨论思想的知识[１].分类讨论常出现对函数求导后ꎬ因参数值的不确定性ꎬ导致函数在不同区间的单调性不同.对参数分类讨论过程中ꎬ判断得出的参数值或范围是否符合题意.例３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｘｅｘ＋１ꎬｇ(ｘ)＝ａ(ｅｘ－１)ꎬ当ｘ>０时ꎬ有ｆ(ｘ)ȡｇ(ｘ)ꎬ则实数ａ能取到的最大整数为(㊀㊀).Ａ.１㊀㊀㊀㊀Ｂ.２㊀㊀㊀㊀Ｃ.３㊀㊀㊀㊀Ｄ.４解析㊀令ｈ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｇ(ｘ)＝ｘｅｘ＋１－ａ(ｅｘ－１)＝(ｘ－ａ)ｅｘ＋ａ＋１ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝(ｘ－ａ＋１)ｅｘ.当ａɤ１时ꎬｈᶄ(ｘ)>０在(０ꎬ＋ɕ)上恒成立ꎬ此时ꎬｈ(ｘ)单调递增ꎬ要想满足题意只需ｈ(０)ȡ０ꎬ此时ｈ(０)＝１满足题意.当ａ>１时ꎬ令ｈᶄ(ｘ)＝０ꎬ解得ｘ＝ａ－１ꎬ则当０<ｘ<ａ－１时ｈᶄ(ｘ)<０ꎬｈ(ｘ)单调递减ꎻ当ｘ>ａ－１时ꎬｈᶄ(ｘ)>０ꎬｈ(ｘ)单调递增ꎻｈ(ｘ)ｍｉｎ＝ｈ(ａ－１)＝－ｅａ－１＋１＋ａꎬ要想满足题意只需－ｅａ－１＋１＋ａȡ０ꎬ即１＋ａȡｅａ－１.当ａ＝２时.３>ｅ成立ꎻ当ａ＝３时４>ｅ２不成立.综上分析ꎬ实数ａ能取到的最大整数为２ꎬ故选择Ｂ项.点评㊀求参数ａ能取到的最大整数ꎬ需将问题转化为恒成立问题ꎬ而恒成立对应求函数的最值ꎬ因此ꎬ分类讨论主要围绕求函数的最值展开ꎬ期间需灵活应用导数知识.４解答数列习题数列习题中分类讨论常出现的情况有公差和公比的不确定性㊁通项公式的不确定性等ꎬ尤其对于部２１分数列需将偶数项与奇数项的通项公式分开考虑ꎬ运算时应搞清楚奇㊁偶项的内在联系ꎬ保证推理的严谨性与正确性.例４㊀已知数列{ａｎ}中ａ１ɪＺꎬａｎ＋１＋ａｎ＝２ｎ＋３ꎬ前ｎ项的和为Ｓｎꎬ若Ｓ１３＝ａｍꎬ则正整数ｍ＝(㊀㊀).Ａ.９９㊀㊀㊀Ｂ.１０３㊀㊀㊀Ｃ.１０７㊀㊀㊀Ｄ.１９８解析㊀由ａｎ＋１＋ａｎ＝２ｎ＋３得到ａｎ＋１－(ｎ＋１)－１＝－(ａｎ－ｎ－１)ꎬ则数列{ａｎ－ｎ－１}为公比１的等比数列ꎬ则ａｎ－ｎ－１＝(－１)ｎ－１(ａ１－２)ꎬ由数列{ａｎ}前ｎ项的和为Ｓｎ得到:Ｓ１３＝ａ１＋(ａ２＋ａ３)＋＋(ａ１２＋ａ１３)＝ａ１＋２(２＋４＋＋１２)＋３ˑ６＝ａ１＋１０２.当ｎ为奇数时ａ１－２＋ｎ＋１＝ａ１＋１０２ꎬ解得ｍ＝１０３ꎻ当ｎ为偶数时ꎬ－(ａ１－２)＋ｎ＋１＝ａ１＋１０２ꎬｍ＝２ａ１＋９９由ａ１ɪＺꎬ则ｍ＝２ａ１＋９９只能为奇数ꎬ此时无解.综上分析ｍ＝１０３ꎬ选择Ｂ项.点评㊀数列的的通项公式中含有(－１)ｎ－１ꎬ导致数列的偶数项与奇数项的值不同ꎬ因此ꎬ需将其分开进行考虑ꎬ推理㊁计算出符合题意的结果.５解答圆锥曲线习题圆锥曲线是高中数学一个重难点ꎬ圆锥曲线习题中产生分类讨论的情况多种多样ꎬ尤以直线与圆锥曲线的关系不确定时为讨论的切入点ꎬ讨论过程中为减少运算量ꎬ提高运算效率ꎬ应认真观察图形ꎬ注重几何性质的应用.例５㊀已知Ｆ１ꎬＦ２为双曲线Ｃ:ｘ２－ｙ２ｂ２＝１(ｂ>０)的左㊁右焦点ꎬ过点Ｆ２的直线和双曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ当әＡＢＦ１为等边三角形ꎬ则ｂ的所有取值的积为(㊀㊀).Ａ.２㊀㊀㊀Ｂ.３㊀㊀㊀Ｃ.２２㊀㊀㊀Ｄ.２３解析㊀(１)当过点Ｆ２的直线和双曲线相交的情境如图１时ꎬ设｜ＡＦ２｜＝ｍ(ｍ>ｃ－１)ꎬ则由双曲线定义可得｜ＡＦ１｜＝｜ＡＦ２｜＋２ａ＝ｍ＋２ꎬ由әＡＢＦ１为等边三角形ꎬ可得｜ＡＦ１｜＝｜ＢＦ１｜＝｜ＡＢ｜＝ｍ＋２ꎬ可得｜ＢＦ２｜＝２ꎬ由双曲线的性质可得｜ＢＦ１｜－｜ＢＦ２｜＝｜ＡＢ｜－｜ＢＦ２｜＝ｍ＝２ꎬ则｜ＡＦ２｜＝｜ＢＦ２｜ꎬ则ＡＢʅＦ１Ｆ２ꎬ则２ｃ＝４ｃｏｓ３０ʎ＝２３ꎬ则ｃ＝３ꎬｂ＝２ꎻ图１㊀例５题解析(１)㊀㊀㊀㊀㊀图２㊀例５题解析(２) (２)当过点Ｆ２的直线和双曲线相交的情境如图２时ꎬ设｜ＢＦ２｜＝ｎ(ｎ>ｃ－１)ꎬ则｜ＢＦ１｜＝｜ＢＦ２｜＋２ａ＝ｎ＋２ꎬ由әＡＢＦ１为等边三角形ꎬ可得｜ＡＦ１｜＝｜ＢＦ１｜＝｜ＡＢ｜＝ｎ＋２ꎬ｜ＡＦ２｜＝２ｎ＋２ꎬ又由｜ＡＦ２｜－｜ＡＦ１｜＝２ｎ＋２－(ｎ＋２)＝２ꎬ解得ｎ＝２ꎬ则｜ＡＦ１｜＝４ꎬ｜ＡＦ２｜＝６ꎬ则әＡＦ１Ｆ２中由余弦定理可得｜Ｆ１Ｆ２｜２＝｜ＡＦ１｜２＋｜ＡＦ２｜２－２｜ＡＦ１｜ＡＦ２｜｜ｃｏｓ６０ʎ＝２７ꎬ则ｃ＝７ꎬ此时ꎬｂ＝６.结合以上两种情境可得ｂ的所有取值的积为２ˑ６＝２３ꎬ选择Ｄ项.点评㊀对于情况一ꎬ等边әＡＢＦ１位置较为特殊ꎬ可借助双曲线和等边三角形性质构建线段之间的关系求解.对于情况二ꎬ则需应用余弦定理进行运算.综上所述ꎬ应用分类讨论思想解答数学题时ꎬ应明确为何要进行分类讨论ꎬ分类讨论的依据是什么ꎬ怎样对分类讨论的结果进行合理取舍ꎬ等[２].解题教学中ꎬ为使学生掌握技巧㊁把握思路ꎬ既要展示经典例题ꎬ又要加强专题训练ꎬ启发学生的同时ꎬ帮助其积累丰富经验ꎬ增强应用能力.参考文献:[１]俞洁.高中数学问题中的分类讨论思想例谈[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(０３):３５－３６.[２]顾宣峰.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].高中数理化ꎬ２０２１(Ｓ１):２０.[责任编辑:李㊀璟]３１。

七年级数学教学中分类讨论思想的应用分析

七年级数学教学中分类讨论思想的应用分析1. 引言1.1 研究背景随着教育理念的不断发展，传统的死记硬背已经不能满足学生的需求，而分类讨论思想的引入能够激发学生的学习兴趣，培养他们的自主学习能力。

通过将知识进行分类整合和讨论，学生可以更好地掌握知识结构，形成系统性的思维方式。

研究七年级数学教学中分类讨论思想的应用，既是对传统教学方法的一种完善和改进，也是为了更好地促进学生的全面发展。

通过对分类讨论思想在七年级数学教学中的具体应用和效果进行深入研究和探讨，可以为今后的教学实践提供有益的借鉴和指导。

1.2 研究意义数目统计等。

感谢理解！2. 正文2.1 七年级数学教学中的分类讨论思想七年级数学教学中的分类讨论思想是指在教学过程中将知识按照不同的特征进行分类，并通过讨论、比较和分析来帮助学生更深入地理解知识。

这种思想在数学教学中具有重要的作用，可以提高学生的思维能力、逻辑思维能力和问题解决能力。

在七年级数学教学中，分类讨论思想可以通过分类整理知识点，对于学生更好地理解数学概念和方法起到促进作用。

通过将知识点分门别类，帮助学生看清知识之间的联系和区别，从而提高他们对数学内容的整体把握能力。

分类讨论思想也能够激发学生的学习兴趣，开拓他们的思维，培养他们的分析问题和解决问题的能力。

通过在教学中灵活运用分类讨论思想，教师可以调动学生学习的积极性，帮助他们更深入地掌握数学知识，提高他们的学习效果。

分类讨论思想也可以培养学生的自主学习能力和团队合作精神，为他们未来的学习打下良好的基础。

七年级数学教学中的分类讨论思想不仅可以提高教学效果，还可以促进学生的全面发展。

教师应该在实践中不断总结经验，不断改进教学方法，以更好地发挥分类讨论思想的作用，为学生提供更高质量的数学教育。

2.2 分类讨论思想在数学教学中的应用分类讨论思想是指在教学过程中对知识进行分类比较和讨论，通过将不同概念进行归类、比较和分析，帮助学生更好地理解和掌握知识。

聚焦直线方程与圆的方程中的数学思想

聚焦直线方程与圆的方程中的数学思想作者：吴函来源：《中学生数理化·自主招生》2020年第01期直线与圆是高中数学的重要内容之一，在直线与圆的解题中蕴含着重要的数学思想，如函数与方程思想、分类讨论思想、化归与转化思想等。

下面例析直线与圆中的数学思想的具体应用。

一、函数与方程思想例1 过点P（2，1）作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B，当PA·PB取得最小值时，求直线l的方程。

解：显然直线的斜率存在且k<0，设直线l的方程为y-l=k（x-2）（k<0）。

令y=0，得令x=0，得B（O，1-2k）。

所以当且仅当k=-1时取等号。

所以直线l的方程为x+y-3=0。

点评：先根据条件设出直线的方程，再根据题目条件建立PA - PB的目标函数，最后利用二次函数求出该函数的最小值，从而解决问题。

二、分类讨论思想例2 讨论直线l：：3x+4y+m=0与圆C：x2+y2=2x=O的位置关系。

解：先求得圆C的圆心为C（l，O）和半径x=l，再求得圆心C到直线l的距离d=最后按，三种情况讨论直线与圆相交、相切、相离时m的取值范围。

当即-82时，直线与圆相离。

点评：对含有参数的数学问题进行求解时，要注意运用分类讨论的数学思想，分类要正确、严密，做到不重、不漏。

三、转化与化归思想例3 已知m∈R，直线和圆C（1）求直线l斜率的取值范围。

（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为1/2的两段圆弧？为什么？解：（1）直线l的方程可化为斜率，即当k=0时，m=O;当k≠O时，由△≥O，得，即综上可得k的取值范围是（2）不能。

由（1）知l的方程为y=圆C的圆心为圆心C到直線l的距离，由，得l，故。

从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦对应的圆心角小于120°，所以l不能将圆C分割成弧长的比值为1/2的两段弧。

点评：本题中利用圆的几何性质，把弧的长度比转化为角度的范围，体现了转化与化归思想。

完整)初一数学分类讨论思想例题分析及练习

完整)初一数学分类讨论思想例题分析及练习分类讨论思想是一种解题方法，在数学中常用于处理条件或结论不唯一确定、有多种可能情况的问题。

在数学研究中，分类讨论思想是一种重要的思想方法之一，常见于中高档次题。

本文将介绍初一一年常见的分类讨论问题，并强调分类讨论中的三个注意事项：确定何时使用分类讨论思想、注意分类标准的统一性、并检验分类结果是否合题意。

在分类讨论的问题中，需要注意以下三个重要事项：首先，要确定何时使用分类讨论思想，通常是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”。

其次，分类讨论需要注意分类标准的统一性，避免出现重复或遗漏的情况。

最后，分类讨论中最容易出错的是“讨论有重漏”和“讨论之后不检验是否合题意”。

举例来说，解绝对值问题通常有三种情况：化简、类似于“解方程”和使用绝对值的几何意义解题。

在解方程|x-1|=2时，需要注意解往往不止一个，需关注绝对值为正数的数有两个。

另外，比较大小的问题可以通过作差法来解决，如比较1+a和1-a的大小，需要分类讨论a的正负情况，得出结论1+a>1-a 或1+a<1-a。

总之，分类讨论思想是数学研究中的一种重要思想方法，能够帮助我们处理复杂的问题，但需要注意分类标准的统一性和结果的合题意。

当a大于0时，1+a大于1-a；当a等于0时，1+a等于1-a；当a小于0时，1+a小于1-a。

已知线段AB长度为6cm，点C在直线AB上，且AC等于2cm，求BC的长度。

因为点C的位置不能确定，所以需要画一个示意图来帮助理解。

根据示意图，有两种情况：当点C 在AB之间时，BC等于AB减去AC，即4cm；当点C在BA 的延长线上时，BC等于AB加上AC，即8cm。

一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩下4个角、5个角或3个角。

已知△ABC的周长为20cm，AB等于AC，其中一边的长度是另一边的长度的2倍。

要求求出BC的长度。

设AB等于AC等于x。

根据题意，列出x+x+0.5x=20的方程，解得x等于8cm，因此BC等于0.5x，即4cm。

数学思想在直线和圆的方程中的应用

Ｃ１，Ｃ２，则ＯＣ１＝ＯＣ２＝! ２，可见当动圆的圆心在线段Ｃ１Ｃ２上时，圆与两直线有公共点，所以ａ的取值范围是：｛ａ│－ ! ２ ≤ａ≤ ! ２｝．
（２）由图可知：当ａ＝ ! ２时，圆与两直线相切，
数学思想
名师点金
数学思想在直线和圆的
河南胡银伟
方程中的应用
数学思想作为一条主线始终贯穿于数学的学习之中，且各个知识板块的内容都有数学思想的指导，直线和圆的方程自然也不例外．本文结合几个例题浅析几种数学思想在直线和圆的方程中的应用．
一、函数与方程的思想
函数的思想，是建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使得问题解决；方程的思想，是建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或运用方程的性质去分析问题，从而使得问题解决．
次方等于１３０３２１，２１的四次方等于１９４４８１，都不合题意．最后只剩下一个１８，是不是正确答案呢？
验算一下，１８的立方等于５８３２，四次方等于１０４９７６，恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字，多
么完美的组合！
方已经是五位数了，所以维纳的年龄最多是２１岁；同样道理，１８的四次方是六位数，而１７的四次方
则是五位数了，所以维纳的年龄至少是１８岁．这样，维纳的年龄只可能是１８、１９、２０、２１这四个数中
的一个．
剩下的工作就是“ 一一筛选 ”了．２０的立方是８０００，有３个重复数字０，不合题意．同理，１９的四

“解析几何”中常用的数学思想方法

“解析几何”中常用的数学思想方法数学思想是数学的灵魂，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略．《解析几何》内容中蕴含着丰富的数学思想，例谈如下：1.数形结合的思想数形结合是研究曲线与方程的最重要的思想方法．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.例1．如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM =,试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：ＰＭ＝PN 2,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，结合图形由勾股定理转化为：)1(212221-=-PO PO ,设P(x ,y ),由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O 1（-2，0），O 2（2，0），由已知：ＰＭ＝PN 2,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x ,y ）则（x +2）2+y 2-1=2[(x -2)2+y 2-1]，即33)6(22=+-y x综上所述，所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）． 2.分类讨论的思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

例2．在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值。

圆中的分类讨论导学案.doc

课题：圆中的分类讨论问题一、明确目标：1、完整解决圆中一题两解的问题；2、掌握分类讨论问题解答的基本方法二、自主学习，认真准备：1、已知点P到。

0的最近距离为3cm,最远距离为13cm,则。

的半径为cm .2、A、B是。

0上的两点，旦匕A0B=136。

，C是。

0上不与A、B重合的任意一点，则ZACB的度数是.3、半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为刀，那么这条弦所对的圆周角的度数等于o4、©0的半径r=5,直线1上有一点P,旦0P=5,则直线1与。

0的位置关系是o5、若相切两圆的半径为3和5,则圆心距d=三、展示交流：1、上述题目考查了那些知识点？2、在解答中应该注意什么问题？四、例题分析：思路指导：先独立思考，画出符合题意的图形，再进行解答1、已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cin,求下水道中水的最大深度.点拨：由于的不确定而分类讨论2.已知半径为4和2龙的两圆相交，公共弦长为4,则两圆的圆心距为点拨：由于相交两圆圆心与公共弦的位置的不确定而分类讨论3、已知。

的直径AB = 2,过点A有两条弦AC=0, AD=/,求匕CAD的度数.O A MBA点拨：由于两弦与直径位置关系的不确定而分类讨论4、关于直线与圆的关系分类讨论：（1）如图，在平而直角坐标系中，OC 的直径AB=12,圆心C 点的坐标为（-8, 0）, OC 以每秒2个单位长度的速度从C 沿x 轴正半轴方向运动.当t 为何值时，CDC 与y 轴相切？ v5、如图，点A, B 在直线MN 上，AB=11厘米，OA, （DB 的半径均为1厘米.OA 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，OB 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r = l + t （tNO ）.（1）试写出点A, B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式；（2）问点A 出发后多少秒两圆四、课堂小结：五、达标检测：1、若两圆内切，一圆半径为8,圆心距d 二3,则另一圆的半径r=2、 A ABC 是。

分类讨论思想的简单应用

分类讨论思想的简单应用思想分类讨论是指将某一思想按照某种标准进行分类，以便更好地理解和应用这一思想。

思想分类讨论的简单应用涉及到对某一思想进行分析、比较、总结和归纳，以便更好地理解和应用这一思想。

本文将围绕思想分类讨论的简单应用展开讨论，以期对读者有所帮助。

思想分类讨论的简单应用是对某一思想进行分析。

对某一思想进行分析，可以帮助我们更好地理解这一思想的内涵和外延，以及其与其它思想之间的关系。

对于马克思主义思想，我们可以通过对其社会历史背景、基本原理和实践应用进行分析，更好地理解这一思想的内在逻辑和价值取向。

在实际生活和工作中，我们可以通过思想分类讨论的简单应用，更好地理解和应用各种思想，提升自我认知和自我修养。

在管理实践中，我们可以通过对不同领导思想的分析、比较、总结和归纳，更好地理解员工心理和行为动因，制定更科学的管理策略和方法，提高管理效能和员工满意度。

在社会治理中，我们可以通过对不同政治思想的分析、比较、总结和归纳，更好地理解社会需求和公共利益，制定更可行的政策和措施，提高社会治理效果和人民福祉。

在文化交流中，我们可以通过对不同文化思想的分析、比较、总结和归纳，更好地理解彼此差异和共通之处，促进文明互鉴和民族交流，增进世界和平和发展。

思想分类讨论的简单应用是一种思维工具和方法论，可以帮助我们更好地理解和应用各种思想，提升个人素养和社会能力。

通过对某一思想进行分析、比较、总结和归纳，我们可以更清晰地认识其内涵和外延，更准确地把握其核心观点和实践路径，更有效地运用其理论思想和实践经验。

希望本文所述能够对读者有所启发，并在实际生活和工作中产生积极意义。

【2000字】希望本文所述能够对读者有所启发，并在实际生活和工作中产生积极意义。

【2000字】。

圆中的分类讨论

圆中的分类讨论由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。

如：点与圆的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外；两条弦的位置关系，可能在某一条直径的同侧，也可能在直径的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。

因此，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论思想。

一、点与圆的位置关系不唯一性例1.若所在⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（）。

（A）（B）（C）或（D）a+b或a－b 分析：P可能在圆内，也可能在圆外。

图1—1 图1—2⑴P在圆内时。

如图1—1。

连接O、P所在的直线交⊙O于A、B。

则PA=a，PB=b 直径AB=PA+PB=a+b，半径OA=OB=AB=（a+b）⑵P在圆外时。

如图1—2。

此时直径AB=PA－PB=a－b，半径OA=OB=AB=（a－b）由⑴⑵可知，应选（C）。

二、弦与弦的位置关系不唯一性例2.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（）。

（A）7cm （B）8cm （C）7cm或1cm （D1cm分析：弦AB与CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。

图2—1 图2—2⑴弦AB与CD在圆心的同侧。

如图2—1。

过O作弦AB的垂线，交AB于M，交CD于N。

连接OB，OD。

∵AB∥CD，OM⊥AB，ON⊥CD由垂径定理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm 在Rt△BMO中，OM==4cm，同理ON=3cm∴MN= OM－ON=4－3=1 cm⑵弦AB与CD在圆心的异侧。

如图2—2。

此时，MN=OM+ON=4+3=7cm 故选（C）。

例3．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度数。

分析：弦AC与弦AD可能在直径AB的同侧，可能在直径AB的异侧。

⑴弦AC与弦AD在直径AB的同侧。

分类讨论问题

分类讨论问题【简要分析】分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于因存在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决．分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．【典型考题例析】例1：已知直角三角形两边x、y的长满足240x-=，则第三边长为．例2：⊙O的半径为5㎝，弦AB∥∥CD，AB=6㎝，CD=8㎝，则AB和CD的距离是（）（A）7㎝（B）8㎝（C）7㎝或1㎝（D）1㎝例3：如图2-4-2，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动．当DM= 时，△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似．例4：如图2-4-3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=900，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形？题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证．【提高训练12】1．已知等腰△ABC的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC≌△A´B´C´，则△A´B´C´中一定有一定有条边等于（）A．7㎝B．2㎝或7㎝C．5㎝D．2㎝或7㎝2．已知⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，那么以P这圆心，且与⊙O相切的圆的半径一定是（）A．1或5 B．1 C．5 D．1或则3．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t小时两车相距50千米，则t的值是（）A．2或2．5 B．2或10 C．10或12．5 D．2或12．5４．已知点Ｐ是半径为２的⊙Ｏ外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作了长为的弦AB，连续PB，则PB的长为5．在直角坐标系xoy中，一次函数2y=+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）苈以原点O这圆心的圆与直线AB切于点C，求切点C的坐标．（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【提高训练12参考答案】1．D 2．A 3．A 4．2或5（1）3（2）满足条件的2点P存在，它的坐标是或或或((4(4---。

初中几何分类讨论问题经典题例析

初中数学分类讨论问题经典题例析(几何部分)山东省沂水县四十里镇第二初级中学（276406）张荣建在几何计算中，根据题设条件常常可以做出形状不同的独立图形，因而必须针对不同图形进行分类求解。

1、三角形形状不确定时，需考虑三角形是锐角三角形还是钝角三角形、三角形的高在三角形内还是三角形外等情况画出不同图形，分别求解。

经典题1、已知△ABC 的AB=32,AC=2,BC 边上的高AD=3，求BC 长。

分析：三角形的高AD 与AB 、AC 的关系不确定，符合条件的图形有图1和图2，所以要在两个图形中分别求解。

解：在图1中，∵A D ⊥BC,∴BD=3)3(22222=-=-AD AB ，CD=1)3(22222=-=-AD AC ，∴BC=BD+CD=4。

在图2中，同理求得：BD=3，CD=1，BC=BD-CD=3-1=2。

经典题2、平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，A E ：CE=2：3，AB=5，BE=3.求平行四边形的面积。

解：符合条件的图形有两个，如图3和图4，在图3中，∵AB=5，BE=3，∴ＡＥ＝４，∵A E ：CE=2：3，∴ＣＥ＝６，∴平行四边形的面积为()36436=⨯+。

在图４中，∵AB=5，BE=3，∴ＡＥ＝４，∵A E ：CE=2：3，∴ＣＥ＝６，∴平行四边形的面积为()12436=⨯-。

经典题３、已知△ABC 的AB=32,AC=2, BC 边上的高AD=3，有一个正方形的一边在已知△ABC 的AB 边上，另外两个顶点分别在AC 和BC 上，求这个正方形的面积。

分析：正方形与三角形的位置关系有两种情况，如图５和图６，所以要在两个图形中分别求解。

解：由经典题1，BC=4或BC=2,当BC=4时，∵()2222216232BC AC AB ==+=+，∴△ABC 为直角三角形，所以图５符合题意，设正方形边长为x ，∵G E ∥AB ，∴3132323422232+=∴-=∴-=∴=x x ，x ，x x ，CA CE AB GE ，即正方形边长为3132+。

例析与圆有关的分类讨论

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例析与圆有关的分类讨论
作者：曹经富
来源：《数理化学习·初中版》2013年第09期
在近几年的各类考试中，分类讨论思想方法深受命题者的青睐与关注.分类讨论是根据数
学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想.它能训练人的思
维条理性和严密性.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，而圆作为初中阶段最核心最重要的内容，越来越被作为呈现知识、能力和思想的载体.为此，让我
们结合有关试题，一同的感受圆中的分类讨论思想，体验它的魅力.
一、与圆有关的点
点评：解决动态问题的关键是动中化静，整体地把握两圆之间的位置与相关数量之间关系相互转化，寻找出变量关系式，抓住运动变化过程中暂时静止的某一瞬间，运用数学分类讨论思想进行操作与分析，便会发现解题的思路、方法.
[江西省安福县城关中学（343200）]。

分类讨论思想的简单应用

分类讨论思想的简单应用分类讨论思想是一种基本的逻辑思维方式，通过对事物进行分类、比较、归纳等操作，以达到更加清晰地认识和理解事物的目的。

在日常生活中，分类讨论思想被广泛应用于各个领域，比如科学研究、教育教学、社会管理等。

本文将通过几个简单的例子，来阐述分类讨论思想在实际生活中的应用。

一、科学研究领域在科学研究领域，分类讨论思想被广泛应用于问题的分析和解决过程中。

比如在生物学研究中，科学家们常常通过对物种进行分类，来研究它们的生态习性、遗传特征以及进化规律。

通过对不同物种进行分类，科学家们可以更加清晰地了解它们之间的相似性和差异性，从而为相关领域的研究提供基础数据。

二、教育教学领域在教育教学领域，分类讨论思想也发挥着重要的作用。

比如在学前教育中，老师们常常通过对颜色、形状、大小等进行分类讨论，来帮助幼儿建立基本的认知能力。

通过对事物进行分类讨论，幼儿可以更加清晰地认识和理解事物的特征和规律，从而培养其观察和思维能力。

三、社会管理领域在社会管理领域，分类讨论思想也被广泛应用。

比如在公共安全管理中，有关部门常常通过对不同类型的安全隐患进行分类讨论，来制定相应的管理措施和预案。

通过对安全隐患进行分类讨论，有关部门可以更加清晰地了解各类安全隐患的特征和规律，从而更加有针对性地采取预防和处理措施。

在城市规划管理中，分类讨论思想也被广泛应用。

比如在规划城市交通系统时，城市规划者们常常通过对不同类型的交通需求进行分类讨论，来优化交通系统的布局和设计。

通过对交通需求进行分类讨论，城市规划者们可以更加清晰地了解市民的出行特点和需求，从而制定更加科学合理的规划方案。

分类讨论思想在初中数学教学中的应用

分类讨论思想在初中数学教学中的应用分类讨论是数学中常用的思维方法和解题策略，也是初中数学教学中广泛应用的思想之一。

分类讨论思想是将问题的不同情况分别进行讨论，找到各种情况下的共性和特殊性，最终得出结论。

在初中数学教学中，分类讨论思想不仅能够帮助学生深入理解各种数学知识点，而且能够培养学生的分析和综合能力，提高学生的解题水平。

一、灵活化运用分类讨论分类讨论思想在初中数学教学中能够灵活应用，使学生更加深入地了解数学知识点。

例如，在初中数学中，方程解题常常会用到分类讨论思想。

以二元一次方程为例，如何列方程是解题的关键，通过分类讨论思想，可以灵活地列方程。

例如：已知二元一次方程 $\begin{cases} x-y=5 \\ xy=12 \end{cases}$ ，求 $x$ 与 $y$ 的值。

解：我们可以采用分类讨论的思想来解此题：设 $x$ 与 $y$ 是方程的两个解，则有以下两种情况：1）当 $y=3$ 时，$x=8$；2）当 $y=-4$ 时，$x=-1$。

这样就得到了方程的两个解，而且此方法具有普适性，对于其他的二元一次方程同样适用。

同时，在分析问题的时候，我们可以将每个情况都进行细致的分析，把问题考虑周全，这对于学生的解题思路和方法的形成也是非常有帮助的。

二、升华积累经验分类讨论思想在初中数学教学中还能够升华和积累学生的经验。

分类讨论思想是一种理性思维方法，通过不同的分类和讨论，分析问题的性质和规律，从而形成自己的解题思路和方法，提高解题水平。

在初中数学教学中，我们应当将分类讨论思想融入到平时的教学中，从具体案例出发，鼓励学生自行分析和解决问题，提升自主思考的能力。

例如，在初中数学中，解不等式也常常会用到分类讨论思想。

在解题中，应当注重理性思考和对公式的掌握，但是更重要的是在平时的训练中通过分类讨论的方法，不断积累解题的经验和思路，并将其运用到其他的数学知识点中。

通过这种方法，不仅能够巩固学生的数学基础，而且能够提高学生的解题能力和创新能力。

例析求解直线与圆的方程问题的思想方法

x=
57
专题指导数学 ·
% 2 姨 2 -sinθ 圯sinθ± % 5 d%cosθ= % 2 ，所以姨1+5d · 姨姨 % 姨 5 |cosθ|
%
（θ±φ ）（θ±φ ） sin = 姨 2 .由sin =
%
%
姨
%
得d≥ 姨 ≤1， 2 5 1+5d
2
%
5
.
5 当 d 达到最小值姨时， sin （θ ± φ） =1 ，从而 5 π π 3π 并由此解得θ= 或θ= φ=± ， . 4 4 4 即a=b=1或a=b=-1.以下同解法一. 转化三：判别式法求最值由d= bd+5d2， ① 将a2=2b2-1代入 ①式，整理得2b2±4 姨 5 bd +5d2+ 1=0. ② 把它看作b的一元二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即Δ=8 （5d2-1 ）得5d2≥1，所以d≥ 姨 5 . ≥0， 5 将d= 姨 5 代入②，得2b2±4b+2=0，解得b=±1. 5 从而r2=2b2=2，由|a-2b|=1，知a与b同号. a=±1，
b ，在② k1
% % 1 当且仅当（姨 2 -1 ），即|t|= 姨 2 +1 |t|= % （姨 2 -1 ） |t| 时， d达到最小值.此时可求得a=b=1或a=b=-1. 2 由于r2=2b2，故r= 姨 2 .于是所求圆的方程是：（） x-1 + %
2 2 2 （y-1 ）（x+1 ）（y+1 ） =2或 + =2. a b ， 2 2k1 转化二：三角代换求最值设 MN 中点的坐标为（x，），则有 y 圯 b a % |a-2b| y= + 令姨 2 b=secθ，则 d= a=tanθ， 0≤ θ＜2π， = % 2 2k1 姨5

例析分类讨论思想在圆中的应用

例析分类讨论思想在圆中的应用由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；既具有对称任意性，又具有旋转不变性，因此往往给解题带来一定的复杂性．为了避免在求解与圆有关的问题时出现漏解，本文将分类讨论思想在圆中的应用作相关归纳与分析，供同学们学习时参考．一、点与圆的位置关系不唯一性例1 已知点P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，点C 是⊙O 上的任意一点(不与A ，B 重合)．若∠APB=50°，求∠ACB 的度数．分析解题时若对点C 位置理解不透，容易出现漏解的情况，须注意针对分点C 在优弧与劣弧两种情况分类讨论．解析如图1，连结OA 、OB ，∵P A ，PB 是⊙O 的两条切线，∴∠PAO=∠PBO=90°．∵∠APB=50°。

∴在四边形PA OB 中，∠AOB=360°一∠PA O 一∠APB 一∠PBO=130°．①若点C 在优弧AB 上，则∠ACB=12∠ AOB=65°； ②若点C 在劣弧AB 上，则∠ACB=12×(360°-130 °)=115°． ∴∠ACB 的度数为65°或115°．变式已知点P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，点C 是⊙O 上的任意一点(不与A ，B 重合)．若∠APB=n °，求∠A CB 的度数．二、弦与弦的位置关系不唯一性例2 在半径为1的⊙O 中，弦BAC 的度数．分析此题主要考查的是垂径定理和勾股定理，初学者多数只会做出一个解，要么求得15°，要么求得75°．实际上应全面考虑两弦与圆心的位置，分弦AB 与CD 在圆心O 的两侧与同侧两种情况讨论．解析如图2，分别作O D ⊥AB ，O E ⊥A C ，垂足分别是D 、E ．∵OD ⊥AB ，OE ⊥A C ，∴AD=BD=2，AE=BE ，∴cos ∠DAO=AD AOcos ∠AEO = AE AO =2，∴∠DA O=45°，∠AEO=30°．当AB 与CD 在圆心O 的两侧时，∠BA C=∠BAO+∠CAO=75°；当AB 与CD 在圆心O 的同侧时，∠BA C=∠BAO-∠CAO=15°，∴∠BAC 的度数为15°或75°．变式如图3，已知AB 是⊙O 的直径，AB=2，弦在图中画出弦AD ，使AD=1，并求∠CAD 的度数．三、弦与它所对圆周角的不唯一性例3 圆的一条弦长等于它的半径，求这条弦所对的圆周角的度数．分析多数学生只是求出30。

例析初一数学中的分类讨论问题

例析初一数学中的分类讨论问题
分类讨论作为一种教学方式，是初中阶段数学教学中最重要的教学形式之一，其教学内容涉及几何、基本运算、有理数与无理数等。

分类讨论能让学生们深入地探究数学知识，例如，以几何中关于根据两个点之间的距离来推断出一条直线上的其他点，它其实是在分类讨论中被提出并进行更深入分析来加深学习的一个重点问题。

在初一数学中，分类讨论是学生将学习到的数学知识联系起来、思考回答问题的一种非常重要的教学方式。

通过分类讨论的方式，学生们可以将之前学习过的内容，按照类别联系起来，例如：初一数学中，物体绕着图形旋转时发生的变化情况，这种现象其实是多类问题的总称，包括椭圆、圆形、抛物线等，分类讨论是通过将其进行分类分析，再根据每类的特点来提出正确的结论的一个重点。

另外，也可以将初一数学学习的数与比联系起来，即“分式”，这一概念也是分类讨论的重点，学生们可以将概念分为一元分式、二元分式以及分式运算等几大类，根据不同类别的情况，来推断出正确的结果。

因此，分类讨论是学习初一数学最重要的教学设计之一，它涉及到从数学概念到数学应用的多个方面，有利于学生提升数学素养以及科学思维能力。

同时，分类讨论还可以激发学生们学习数学的兴趣，增强学生们对数学学科的钟爱之情，从而拥有一个深刻而系统的数学知识体系。