专题8 应用平面向量解决几何问题-2018年天津高考文科数学分析及相似模拟题训练Word版含解析
2018天津高考文科数学解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）-文科数学2018年天津高考文科数学试卷真题答案&解析天津新东方优能一对一部高中数学组第一部分：试卷整体点评2018年文科数学的出题顺序相比较2017年发生了一些变化。
但是整体难度与去年持平。
首先是选择题部分，8道题目前7题中2017年的概率变为线性规划，其他知识点考察基本一致。
选择压轴题从去年的函数与方程变为向量的数量积问题。
再来看填空部分，与2017年相同的考查知识点有4题，分别是是复数、导数的几何意义、圆的方程、均值不等式。
发生变化的题目是立体几何17年在14~16连续三年三视图的基础上考察外接球体积，有13年题目的非常相似。
18年则是给出立体图形求体积难度有所下降。
填空压轴题方面，17，18两年发生了互换，近年函数与方程作为填空题的最后一题。
值得一提的是回顾14年-18年天津在考察函数与方程的题目方面偏爱一个分段函数结合不等式恒成立问题，此类问题仍然是我们2019年备考的侧重点。
大题方面的顺序发生了变化，不同于16和17两年把三角函数放在15题的位置，18年重新把概率计算放在首位。
三角函数考查内容与去年相一致。
第三题仍然是立体几何，考察线线垂直，异面直线成角，线面角。
第18题数列题考察等差等比数列的基础公式，没有涉及到人们求和方法错位相减、裂项方法，考察难度有弱化趋势。
19，20题的考察内容相比2017年发生互换，尤其注意一点近年的椭圆题目越来越重视运算求解能力，结合一定的平面几何证明。
最后一题的导数前两问考察侧重基础，对于大部分同学是完全有能力拿下的，最后一问的模型也是平时练习中有所涉及，对于学生计算的要求依然很大。
总体来看数列、立体几何小题考察今年有弱化趋势，计算量大仍然是天津卷的特点，请同学们在2019年的备考过程中注意计算的准确性，祝2018年的考生金榜题名。
第二部分：试卷题目解析一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1) 设集合{}{}{}1,2,3,4,1,02,3=|12)，,C 则(==-∈-≤<=A B x R x A B C（A ）{}1,1- （B ）{}0,1 （C ）{}1,0,1- （D ）{}2,3,4 答案：C解析：依题意可知：{}=1,0,1,2,3,4-A B ，)={-1,0,1}(A B C .(2) 设变量,x y 满足约束条件5,24,1,0.+≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩x y x y x y y 则目标函数35=+z x y 的最大值为（A ）6 （B ）19 （C ）21 （D ）45 答案：C解析： 设5+≤x y 与1-+≤x y 的交点为A=5=1+⎧⎨-+⎩x y x y ，解得=2=3⎧⎨⎩x y ，∴（2,3）A 又35=+z x y 是一族斜率为35-的平行线，∴=max 当直线过（2,3）时，z 取得最大值为z 21A . (3) 设∈x R ，则“38>x ”是||2>x 的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 答案：A 解析：38>x 的解集为2>x ，||2>x 的解集为22或><x x ，38||2是∴>>x x的充分不必要条件.(4) 阅读右边的程序框图，运行相应的程序， 若输入N 的值为20，则输出的T 的值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案：B是 输出TT=T +1 是整数？i=2,T=0输入N开始 i=i +1 是 否否解析：=20N ，2,0,10===Ni T i； 203,1,3===N i T i ；4,=i 20=54=N i ； 5,2，输出==i T T .=2∴T(5) 已知13313711log ,(),log 245===a b c ，则,,a b c 的大小关系为（A ）>>a b c （B ）>>b a c （C ）>>c b a （D ）>>c a b 答案：D 解析：37log 2=a ， 1331log =log 55=c ， 又3log x 在+（0，）∞单调递增，3371log log 522∴<<<，即12∴<<<a c ，131()4=b ，函数1()4=x y 的底数小于1，1()4是定义域内单调递减的函数∴=x y ，10311b ()()144∴=<=b 12∴<<<<ac ，即b <<a c(6) 将函数sin(2)5π=+y x 的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（A ）在区间[,]44ππ-上单调递增 （B ）在区间[,0]4π-上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增 （D ）在区间[,]2ππ上单调递减答案：A解析：sin(2)5π=+y x 向右移动10π个单位长度得到sin[2-]105（）ππ=+y x ，即sin 2=y x ，单增区间为：+222()22ππππ-≤≤+∈k x k k Z+()44ππππ-≤≤+∈k x k k Z当0=k 时，函数sin(2)5π=+y x 在区间[,]44ππ-上单调递增.(7) 已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为12和d d 且12+=6d d ，则双曲线方程为（A ）22139-=x y （B ）22193-=x y （C ）221412-=x y （D ）221124-=x y答案：A解析：2==ce a，2=c a ， 在梯形ABCD 中，+2=AC BD FE ,FE 为渐焦距=b ，1226∴+==d d b 3∴=b222+=a b c 2229,12=3,∴==a b c∴22139-=x y (8) 在如图的平面图形中，已知1,2,120,OM ON MON ==∠=，2,BM MA =2CN NA =，则的值为BC OM（A ）-15 （B ）-9 （C ）-6 （D ）0 答案：C解析：如图所示建系，(0,0),(1,0)1,3)-O M N 设(,),(,),(,)A A B B C C A x y B x y C x y2=B M M A(1,)2(1,∴--=-B B A A x y x y1=22=2--⎧∴⎨-⎩B A B Ax x y y ，即=32=2-⎧⎨-⎩B A B A x x y y2=CNNA(1)2(1,∴--=+C CA A x yx y1222--=+⎧⎪∴=-CA C A x x y y 322=--⎧⎪∴⎨=⎪⎩C A C Ax x y y 633=10（-,），（，）∴=BC OM =6∴∙-BC OM二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.(9)i 是虚数单位，复数6712ii+=+ .答案：4i - 解析：67(67)(12)412(12)(12)i i i i i i i ++-==-++- (10)()ln ,()()(1)x f x e x f x f x f ''=已知函数为的导函数，则的值为 . 答案：e解析：'1()(ln )x f x e x x=+ ()'1f e =(11)如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点,,,,E F G H M （如图），则四棱锥M EFGH -的体积为 .答案：13解析：连11AC交11B D于点O ，111111111(1333A BB D D B BDD V AO S -=鬃=? (12) 在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 答案：2220x x y -+=解析：因为圆过（0,0）（2,0）所以圆心在x=1上，设其坐标为（1，b ） 又因为（1,1）在圆上所以10,1r b br =-==22(1)1,x y -+=即2220x x y -+=(13) 1,,360,28a b a b R a b ∈-+=+已知且则的最小值为答案：14解析：31122284a ab b-+=+? (14) [)2122,0,,()3,,22,0,x x a x a R f x x x x a x ⎧++-≤∈=∈-+∞⎨-+->⎩已知函数若对任意()a f x x ≤恒成立，则的取值范围是答案：1[,2]8解析：当2[3,0],22x x x a x ?++-?恒成立2m i n (32)2a x x ?-+= 当2(0,),22x x x a x ??+-?恒成立2max1()28x xa -+?综上，1[,2]8a Î二、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(I)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(II)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率.答案：(I)解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比分别为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的志愿者中分别抽取3人，2人，2人.(II) (i)解：从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},A G ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},B G ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},C G ，{},D E ，{},D F ，{},D G ，{},E F ，{},E G ，{},F G ，共21种.(ii)解：由(I)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},B C ，{},D E ，{},F G ，共5种.所以，事件M 发生的概率5()21P M =. (16)（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，已知bsin cos 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A a B .(I)求角B 的大小；(II)设2, 3.sin(2)求和的值==-a c b A B . 答案：(I)解：在ABC ∆中，由正弦定理,sin sin sin sin 可得==a bb A a B A B，又由bsin cos 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A a B ，得a sin cos 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B a B ，即sin cos 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B B ，可得tan =B ()0，π∈B ，可得=3πB .(II)解：在ABC ∆中，由余弦定理及2,3=3，π==a c B ，有222+2cos 7，故=-==b a c ac B b由bsin cos6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A a B ，可得sin cos ，故=<=A a c A .因此21sin 22sin cos cos 22cos 177===-=AA A A A ，所以， ()11sin 2-sin 2cos cos 2sin 727214=-=-⨯=A B A B A B . (17)(本小题满分13分)如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M 为棱AB 的中点，=2=90，∠AB AD BAD .(I)求证：AD ⊥BC(II)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (III)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值.答案：(I)证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC 平面=ABD AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC .(II)解：取棱AC 的中点N ，连接,MN ND .又 因为M 为棱的中点AB ，故MN ∥BC .所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角.在t ∆R DAM 中，1=AM ，故22=13+DM AD AM 因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC .在t ∆RDAN 中，1=AN ，故=DN .在等腰三角形DMN 中，=1MN ，可得12cos 26∠==MNDMN DM. 所以，异面直线BC 与MD (III)解：连接CM .因为ABC ∆为等边三角形，M为边AB 的中点，故CM ⊥AB ， CM 又因为平面ABC ⊥平面ABD ，而⊂CM 平面ABC ，故CM ⊥平面ABD .所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角.在t ∆R CAD 中，4=.在t ∆R CMD中，sin CDM=∠=CM CD所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为4.(18)(本小题满分13分)设{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S (n N *∈)；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为Tn (n N *∈).已知132435546122.b a a b a a ==+=+=+，b ，b ，b (I) 求n S 和n T ；(II)若12(...)4n n n n S T T T a b ++++=+,求正整数n 的值。
2018年天津高考文科数学(含参考答案)
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8参考公式：·如果事件．h 表示棱柱的高．h 表示棱锥的高.一．.（1|12}x x ∈-≤<R ，则()A B C = （A ）{1,1}-（C ）{1,0,1}-（D ）{2,3,4}（2）设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为（A ）6 （B ）19 （C ）21（D ）45（3）设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（5）已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（A ）a>（6（A （C （7）,A B 两点（A ）23x -（C ）24x -（8）·OM 的值为 （A ）15-（C ）6-（D ）0第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）i 是虚数单位，复数67i12i++=__________．（10）已知函数f (x )=e x ln x ，f?′(x )为f (x )的导函数，则f?′（1）的值为__________． （11）如图，已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱柱A 1–BB 1D 1D 的体积为__________． （12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． （13）已知a ，b ∈R ，且a –3b +6=0，则2a +18b的最小值为__________． （14）已知a ∈R ，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤⎪=⎨-+->⎪⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．三．解答题：本大题共6小题，共80（15）（本小题满分13分）中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，的卫生工作．（i（ii ）设M （16在△ABC ．已知b sin A =a cos(B –π6)． （Ⅰ）求教（Ⅱ）设a （17如图，ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =（Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值． （18）（本小题满分13分）设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6．（Ⅰ）求S n 和T n ；（Ⅱ）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值． （19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为3，||AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM △（20）设函数(f x （I ）若2t =（II ）若d （III . 参考答案（1）C （5）D（9）4–i （12）2x y +三、解答题（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i ）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．（ii ）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种．学@科网 所以，事件M 发生的概率为P （M ）=521． （16）（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理sin sin a b A B =π)6-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tanB（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3 由sin b A a =2cos22cosA =所以，sin(217- （17考13分．=AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ． M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或在Rt △DAM 中，AM =1，故DM AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN =1，故DN ．在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得12cos MNDMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD（Ⅲ）解：连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM 面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面AB D ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，CD ．在Rt △CMD 中，sin CM CDM CD ∠==．所以，直线CD 与平面ABD ． （18（I 因为0q >设等差数列16,d =从而11,a d ==（II 131(222)2n n n T n +++=+++-=由1(n n S T b ++可得1(1)222n n n n n n +++--=+整理得240,n --=解得（19（I||AB =,从而3,2a b ==.所以，椭圆的方程为22194x y +=. （II ）解：设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,).x y --由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =.由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-.当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意.（20，又y =0. f (x故(f '当x （III ）解：曲线y =f (x )与直线y =?(x ?t 2有三个互异的公共点等价于关于x 的方程(x ?t 2+d )(x ?t 2)(x ?t 2?d )+(x ?t 2有三个互异的实数解，令u =x ?t 2，可得u 3+(1?d 2)u =0. 设函数g (x )=x 3+(1?d 2)x ，则曲线y =f (x )与直线y =?(x ?t 2有三个互异的公共点等价于函数y =g (x )有三个零点.()g'x =3x 3+(1?d 2).当d 2≤1时，()g'x ≥0，这时()g'x 在R 上单调递增，不合题意.当d 2>1时，()g'x =0，解得x 1=，x 2.易得，g (x )在(?∞，x 1)上单调递增，在[x 1，x 2]上单调递减，在(x 2，+∞)上单调递增，g (x )的极大值g (x 1)=g (+g (x )若g (x 2若2()0,g x <12||,(d x g -<()y g x =所以d 10)(10,+∞。
专题8 应用平面向量解决几何问题 2021年天津高考理科数学分析及
专题8 应用平面向量解决几何问题 2021年天津高考理科数学分析及专题8应用平面向量解决几何问题-2021年天津高考理科数学分析及专题8应用平面向量解决几何问题【母题原题1】【2021天津，理8】如图，在平面四边形abcd中，ab?bc，ad?cd，?bad?120?，ab?ad?1．若点e为边cd上的动uuuruur点，则ae?be的最小值为（）a．2116b．32c．2516d．3【答案】a点e在cd上，则de??dc?01?，设e?x,y?，则：33x,33322x2,y2,2，即为y?3?,??2?3?3?333?331?3?据此可以得：e??2??2,2，且ae2??2,2??2??,be2??3,2，由数量积的坐标运算法则可得：e??333?，??,2?223?33??31??3ae?be3?，?2??2?222234?2? 2??2??01?，?4121结合二次函数的性质可知，当??时，ae?be取得最小值．故选a．xk/w416整理可以得：ae?be?【名师点睛】谋两个向量的数量弓果三种方法：利用定义；利用向量的座标运算；利用数量内积的几何意义．具体内容应用领域时可以根据未知条件的特征去挑选，同时必须特别注意数量内积运算律的应用领域．【母题原题2】【2021天津，理13】在△abc中，∠a?60?，ab?3，ac?2．若bd?2dc，ae??ac?ab(??r)，且ad?ae??4，则?的值为___________．【答案】311【考点】向量的数量内积【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中ab,ac已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．【母题原题3】【2021天津，理7】未知△abc就是边长为1的等边三角形，点d,e分别就是边ab,bc的中点，相连接de 并缩短至点f，使de?2ef，则af?bc的值为（）a．?58b．18c．14d．118【答案】b【解析】试题分析：设ba?a，bc?b，∴de?1133ac?(b?a)，df?de?(b?a)，22241353532531af?ad?df??a?(b?a)??a?b，∴af?bc??a?b?b，故选b．244444848考点：向量数量内积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言――“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．【母题原题4】【2021天津，理14】在全等梯形abcd中，未知ab//dc,ab?2,bc?1,?abc?60，动点e和f分别在线段bc和dc上，且，be??bc,df?【答案】1dc,则ae?af的最小值为．9?2918221?91?9??1?9??ae?af?ab??bc??ab?bc??ab??bc??1?ab?bc1818??18??当且仅当21172117291?9?19?9??42?1?cos120??218?189?2189?2181821229??即为??时ae?af的最小值为．9?2318dfceab【考点定位】向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式．【名师点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量内积与基本不等式．运用向量的几何运算谋ae,af，彰显了数形融合的基本思想，再运用向量数量内积的定义排序ae?af，彰显了数学定义的运用，再利用基本不等式谋最小值，彰显了数学知识的综合应用领域能力．就是思维能力与计算能力的综合体现．【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查平面向量的线性运算和坐标运算．【命题规律】低考试题对该部分内容考查的主要存有两种：其一为平面向量的线性运算，其二为平面向量的座标运算．【答题模板】解答本类题目，以2021年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：选基底，采用的基底最出色未知向量的模和夹角．本题挑选出ab,ac为基地，未知ab?3，ac?2，且两向量夹角为60．xk$w第二步：借助向量的加法、减法及数乘运算表示出解题需要的有关向量．本题中由于bd?2dc，利用定比分点公式表示ad?012ab?ac，根据已知ae??ac?ab用ab、ac表示ae．32第三步：利用题目所提供的条件（如向量的夹角、模或数量积等）列出向量所满足的要求．本题需要满足条件ac的模和数量内积解题．ad?ae??4，利用ab、第四步：根据建议解方程，谋出来?．【方法总结】1.求向量的模：（求模必先求模方，得出模方勿忘开方）根据公式a?a?a?a，算出模的平方，然后开方得出结论向量的模，同样题目中有时得出某向量的模的大小时，也就是利用向量的模的平方回去解题的．2.谋两个向量的夹角：（点积比模积）利用向量夹角公式cos??22a?ba?b，采用本公式谋夹角时，必须特别注意利用数量积与模的关系．3.求数量积：a?b?abcos?a,b?确认应当采用的一组基地，建议未知基地的模和夹角，利用提、减至、数乘坐运算则表示向量，然后利用数量内积运算展开排序．4.向量的坐标运算创建适度的平面直角坐标系则，写下有关点的座标，利用向量的座标运算公式展开排序．有关向量的座标运算公式：设a?(x1,y1),b?(x2,y2)，（1）a?x12?y12（2）a?b?(x1?x2,y1?y2)（3）?a?(?x1,?y1)（4）a?b?x1x2?y1y2（5）设立向量a,b的夹角为?，则cos??a?ba?b?x1x2?y1y2x?y2121x2?y222（6）非零向量a?b?x1x2?y1y2?0（7）a//b?x1y2?x2y1?0cm?2mb，1．【2021天津市南开中学高三第四次月托福】例如图，在?abc中，过点m的直线分别缴射线ab,于相同的两点p,q，若ap?mab，aq?nac，则m?n?1?的最小值为（）．cqmabpaca．63b．23c．6d．2【答案】d【解析】试题分析：因q,m,p三点共线，故am??ap?(1??)aq??mab?(1??)nac，又am?ac?cm212?ac?cb?ac?ab333，12?(1??)n,??m33，所以12??3，nmm(n?1)?2n242(n?1)??((3n?1)??5)??(4?5)?2当且仅当n?1,m?1时取等号3n?193n?19考点：向量与基本不等式2．【四川南充高级中学2021届高三备考演示】未知平面向量，，当时，的最小值就是（）a．b．c．【答案】cd．在ob上取点d，使得在ab上有动点c，使则故挑选：c．xkw点睛：本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，训练了灵活解决问题和处理问题的能力．3．【宁夏回族自治区银川一中2021届高三考前适应性】已知，，是平面向量，其中的夹角为a．，若b．c．，则d．的最大值为，，且与．（，），，【答案】c。
2018年高考文科数学天津卷及答案解析
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前天津市2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第I 卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高．·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-<R ≤，则()A B C =（ ）A .{1,1}-B .{0,1}C .{1,0,1}-D .{2,3,4}2.设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩≤≤≤≥则目标函数35z x y =+的最大值为 （ ）A .6B .19C .21D .45 3.设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的（ ）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（ ）A .1B .2C .3D .4 5.已知37log 2a =，131()4b =，131log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A .a b c >>B .b a c >>C .c b a >>D .c a b >>6.将函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A .在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B .在区间,04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C .在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D .在区间,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递减毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为（ ）A .22139x y -=B .22193x y -= C .221412x y -=D .221124x y -= 8.在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =，120MON ∠=︒，2BM MA =，2CN NA =则BC OM 的值为（ ）A .-15B .-9C .-6D .0第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i 是虚数单位，复数67i12i+=+ ． 10.已知函数()e x f x lnx =，()f x '为()f x 的导函数，则(1)f '的值为 ． 11.如图，已知正方体1111–ABCD A B C D 的棱长为1，则四棱柱111–A BB D D 的体积为 ．12.在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为 ．13.已知a ，b ∈R ，且–360a b +=，则218a b+的最小值为 ． 14.已知a ∈R ，函数2222,0,()22,0x x a x f x x x a x ⎧++-⎪=⎨-+->⎪⎩≤．若对任意)[3,x ∈-+∞，()||f x x ≤恒成立，则a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作。
2018年天津市高考数学试卷及解析(文科)
2018年天津市高考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、（5分）设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（）A、{﹣1，1}B、{0，1}C、{﹣1，0，1}D、{2，3，4}2、（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A、6B、19C、21D、453、（5分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4、（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A、1B、2C、3D、45、（5分）已知a=log3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系为（）A、a＞b＞cB、b＞a＞cC、c＞b＞aD、c＞a＞b6、（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A、在区间[]上单调递增B、在区间[﹣，0]上单调递减C、在区间[]上单调递增D、在区间[，π]上单调递减7、（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点、设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A、﹣=1B、﹣=1C、﹣=1D、﹣=18、（5分）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（）A、﹣15B、﹣9C、﹣6D、0二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9、（5分）i是虚数单位，复数=、10、（5分）已知函数f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为、11、（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D 的体积为、12、（5分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为、13、（5分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为、14、（5分）已知a∈R，函数f（x）=、若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是、三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15、（13.00分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160、现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动、（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作、（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率、16、（13.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、已知bsinA=acos （B﹣）、（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值、17、（13.00分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2，∠BAD=90°、（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值、18、（13.00分）设{a n}是等差数列，其前n项和为S n（n∈N*）；{b n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T n（n∈N*）、已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6、（Ⅰ）求S n和T n；（Ⅱ）若S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，求正整数n的值、19、（14.00分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B、已知椭圆的离心率为，|AB|=、（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限、若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值、20、（14.00分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列、（Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值；（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，求d 的取值范围、参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、（5分）设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（）A、{﹣1，1}B、{0，1}C、{﹣1，0，1}D、{2，3，4}题目分析：直接利用交集、并集运算得答案、试题解答：解：∵A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，∴（A∪B）={1，2，3，4}∪{﹣1，0，2，3}={﹣1，0，1，2，3，4}，又C={x∈R|﹣1≤x＜2}，∴（A∪B）∩C={﹣1，0，1}、故选：C、点评：本题考查交集、并集及其运算，是基础的计算题、2、（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A、6B、19C、21D、45题目分析：先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y的最大值、试题解答：解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）、当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值、将其代入得z的值为21，故选：C、点评：在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解、也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值、3、（5分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件题目分析：由x3＞8得到|x|＞2，由|x|＞2不一定得到x3＞8，然后结合查充分条件、必要条件的判定方法得答案、试题解答：解：由x3＞8，得x＞2，则|x|＞2，反之，由|x|＞2，得x＜﹣2或x＞2，则x3＜﹣8或x3＞8、即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件、故选：A、点评：本题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是基础题、4、（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A、1B、2C、3D、4题目分析：根据程序框图进行模拟计算即可、试题解答：解：若输入N=20，则i=2，T=0，==10是整数，满足条件、T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5不成立，循环，=不是整数，不满足条件、，i=3+1=4，i≥5不成立，循环，==5是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5成立，输出T=2，故选：B、点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键、5、（5分）已知a=log3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系为（）A、a＞b＞cB、b＞a＞cC、c＞b＞aD、c＞a＞b题目分析：把a，c化为同底数，然后利用对数函数的单调性及1的关系进行比较、试题解答：解：∵a=log 3，c=log=log35，且5，∴，则b=（）＜，∴c＞a＞b、故选：D、点评：本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数式的单调性，是基础题、6、（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A、在区间[]上单调递增B、在区间[﹣，0]上单调递减C、在区间[]上单调递增D、在区间[，π]上单调递减题目分析：由函数的图象平移求得平移后函数的解析式，结合y=Asin（ωx+φ）型函数的单调性得答案、试题解答：解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x、当x∈[]时，2x∈[，]，函数单调递增；当x∈[，]时，2x∈[，π]，函数单调递减；当x∈[﹣，0]时，2x∈[﹣，0]，函数单调递增；当x∈[，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增、故选：A、点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换及其性质，是中档题、7、（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点、设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A、﹣=1B、﹣=1C、﹣=1D、﹣=1题目分析：画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可、试题解答：解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y=，即bx﹣ay=0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF==3，EF==b，所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a=、则双曲线的方程为：﹣=1、故选：A、点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力、8、（5分）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（）A、﹣15B、﹣9C、﹣6D、0题目分析：解法Ⅰ，由题意判断BC∥MN，且BC=3MN，再利用余弦定理求出MN和∠OMN的余弦值，计算•即可、解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN是平行四边形，由题意求得的值、试题解答：解：解法Ⅰ，由题意，=2，=2，∴==2，∴BC∥MN，且BC=3MN，又MN2=OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°=1+4﹣2×1×2×（﹣）=7，∴MN=；∴BC=3，∴cos∠OMN===，∴•=||×||cos（π﹣∠OMN）=3×1×（﹣）=﹣6、解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，知=﹣=3﹣3=﹣3+3，∴=（﹣3+3）•=﹣3+3•=﹣3×12+3×2×1×cos120°=﹣6、故选：C、点评：本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题、二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9、（5分）i是虚数单位，复数=4﹣i、题目分析：根据复数的运算法则计算即可、试题解答：解：====4﹣i，故答案为：4﹣i点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题、10、（5分）已知函数f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为e、题目分析：根据导数的运算法则求出函数f（x）的导函数，再计算f′（1）的值、试题解答：解：函数f（x）=e x lnx，则f′（x）=e x lnx+•e x；∴f′（1）=e•ln1+1•e=e、故答案为：e、点评：本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题、11、（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D 的体积为、题目分析：求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积、试题解答：解：由题意可知四棱锥A1﹣BB1D1D的底面是矩形，边长：1和，四棱锥的高：A1C1=、则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为：=、故答案为：、点评：本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键、12、（5分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）、题目分析：【方法一】根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，写出圆的方程、【方法二】设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程、试题解答：解：【方法一】根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆，其圆心为（1，0），半径为1，则该圆的方程为（x﹣1）2+y2=1、【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=﹣2，E=F=0；∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x=0、故答案为：（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）、点评：本题考查了圆的方程与应用问题，是基础题、13、（5分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为、题目分析：化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可、试题解答：解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0，可得：3b=a+6，则2a+==≥2=，当且仅当2a=、即a=﹣3时取等号、函数的最小值为：、故答案为：、点评：本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值、考查计算能力、14、（5分）已知a∈R，函数f（x）=、若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是[] 、题目分析：根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可、试题解答：解：当x≤0时，函数f（x）=x2+2x+a﹣2的对称轴为x=﹣1，抛物线开口向上，要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则只需要f（﹣3）≤|﹣3|=3，即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）=﹣x2+2x﹣2a，则直线y=x的下方或在y=x上，由﹣x2+2x﹣2a=x，即x2﹣x+2a=0，由判别式△=1﹣8a≤0，得a≥，综上≤a≤2，故答案为：[，2]、点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用分段函数的不等式分别进行转化求解即可、注意数形结合、三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15、（13.00分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160、现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动、（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作、（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率、题目分析：（Ⅰ）利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人、（Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学，利用列举法能求出所有可能结果、（ii）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，利用列举法能求出事件M发生的概率、试题解答：解：（Ⅰ）由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人、（Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21个、（i）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，则事件M包含的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5个基本事件，∴事件M发生的概率P（M）=、点评：本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力、16、（13.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、已知bsinA=acos （B﹣）、（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值、题目分析：（Ⅰ）由正弦定理得bsinA=asinB，与bsinA=acos（B﹣）、由此能求出B、（Ⅱ）由余弦定理得b=，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，cosA=，由此能求出sin（2A﹣B）、试题解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）、∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=、（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==、点评：本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题、17、（13.00分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2，∠BAD=90°、（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值、题目分析：（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，结合面面垂直的性质可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC；（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND，又M为棱AB的中点，可得∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，求解三角形可得异面直线BC与MD所成角的余弦；（Ⅲ）连接CM，由△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，可得CM⊥AB，且CM=，再由面面垂直的性质可得CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角，求解三角形可得直线CD与平面ABD所成角的正弦值、试题解答：（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD ⊥AB，得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC；（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND，∵M为棱AB的中点，故MN∥BC，∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，在Rt△DAM中，AM=1，故DM=，∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC，在Rt△DAN中，AN=1，故DN=，在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos∠DMN=、∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为；（Ⅲ）解：连接CM，∵△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=，又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角、在Rt△CAD中，CD=，在Rt△CMD中，sin∠CDM=、∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为、点评：本题考查异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面垂直等基本知识，考查空间想象能力、运算求解能力与推理论证能力，属中档题、18、（13.00分）设{a n}是等差数列，其前n项和为S n（n∈N*）；{b n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T n（n∈N*）、已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6、（Ⅰ）求S n和T n；（Ⅱ）若S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，求正整数n的值、题目分析：（Ⅰ）设等比数列{b n}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{b n}的通项公式与前n项和可求；等差数列{a n}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式与前n项和公式可得S n；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出T1+T2+……+T n，代入S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，化为关于n的一元二次方程求解正整数n的值、试题解答：解：（Ⅰ）设等比数列{b n}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得q2﹣q﹣2=0、∵q＞0，可得q=2、故，；设等差数列{a n}的公差为d，由b4=a3+a5，得a1+3d=4，由b5=a4+2a6，得3a1+13d=16，∴a1=d=1、故a n=n，；（Ⅱ）由（Ⅰ），可得T1+T2+……+T n==2n+1﹣n﹣2、由S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，可得，整理得：n2﹣3n﹣4=0，解得n=﹣1（舍）或n=4、∴n的值为4、点评：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题、19、（14.00分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B、已知椭圆的离心率为，|AB|=、（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限、若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值、题目分析：（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，即可、（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）、则Q（﹣x1，﹣y1）、由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，x2=5x1，联立方程求出由＞0.，可得k、试题解答：解：（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，∴椭圆的方程为：，（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）、则Q（﹣x1，﹣y1）、∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|=2|PQ|，从而x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，∴x2=5x1，易知直线AB的方程为：2x+3y=6、由，可得＞0、由，可得，⇒，⇒18k2+25k+8=0，解得k=﹣或k=﹣、由＞0、可得k，故k=﹣，点评：本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题、20、（14.00分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列、（Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值；（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，求d 的取值范围、题目分析：（Ⅰ）求出t2=0，d=1时f（x）的导数，利用导数求斜率，再写出切线方程；（Ⅱ）计算d=3时f（x）的导数，利用导数判断f（x）的单调性，求出f（x）的极值；（Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，等价于关于x的方程f（x）+（x﹣t2）﹣6=0有三个互异的实数根，利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的d的取值范围、试题解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），t2=0，d=1时，f（x）=x（x+1）（x﹣1）=x3﹣x，∴f′（x）=3x2﹣1，f（0）=0，f′（0）=﹣1，∴y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣0），即x+y=0；（Ⅱ）d=3时，f（x）=（x﹣t2+3）（x﹣t2）（x﹣t2﹣3）=﹣9（x﹣t2）=x3﹣3t2x2+（3﹣9）x ﹣+9t2；∴f′（x）=3x2﹣6t2x+3﹣9，令f′（x）=0，解得x=t2﹣或x=t2+；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表；x（﹣∞，t2﹣）t2﹣（t2﹣，t2+）t2+（t2+，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调增极大值单调减极小值单调增∴f（x）的极大值为f（t2﹣）=﹣9×（﹣）=6，极小值为f（t2+）=﹣9×=﹣6；（Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，等价于关于x的方程（x﹣t2+d）（x﹣t2）（x﹣t2﹣d）+（x﹣t2）﹣6=0有三个互异的实数根，令u=x﹣t2，可得u3+（1﹣d2）u+6=0；设函数g（x）=x3+（1﹣d2）x+6，则曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有3个互异的公共点，等价于函数y=g（x）有三个不同的零点；又g′（x）=3x2+（1﹣d2），当d2≤1时，g′（x）≥0恒成立，此时g（x）在R上单调递增，不合题意；当d2＞1时，令g′（x）=0，解得x1=﹣，x2=；∴g（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上也单调递增；∴g（x）的极大值为g（x1）=g（﹣）=+6＞0；极小值为g（x2）=g（）=﹣+6；若g（x2）≥0，由g（x）的单调性可知，函数g（x）至多有两个零点，不合题意；若g（x2）＜0，即＞27，解得|d|＞，此时|d|＞x2，g（|d|）=|d|+6＞0，且﹣2|d|＜x1；g（﹣2|d|）=﹣6|d|3﹣2|d|+6＜0，从而由g（x）的单调性可知，函数y=g（x）在区间（﹣2|d|，x1），（x1，x2），（x2，|d|）内各有一个零点，符合题意；∴d的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）、点评：本题主要考查了导数的运算以及导数的几何意义，运用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，是综合题、。
2018年数学真题及解析_2018年天津市高考数学试卷(文科)
2018年天津市高考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5.00分）设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{2，3，4}2．（5.00分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A．6 B．19 C．21 D．453．（5.00分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5.00分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5.00分）已知a=log 3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b6．（5.00分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[]上单调递增B．在区间[﹣，0]上单调递减C．在区间[]上单调递增D．在区间[，π]上单调递减7．（5.00分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5.00分）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（）A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5.00分）i是虚数单位，复数=．10．（5.00分）已知函数f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．11．（5.00分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D 的体积为．12．（5.00分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为．13．（5.00分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为．14．（5.00分）已知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13.00分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．16．（13.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos （B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．17．（13.00分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．18．（13.00分）设{a n}是等差数列，其前n项和为S n（n∈N*）；{b n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T n（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求S n和T n；（Ⅱ）若S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，求正整数n的值．19．（14.00分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．20．（14.00分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．（Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值；（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，求d 的取值范围．2018年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5.00分）设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{2，3，4}【分析】直接利用交集、并集运算得答案．【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，∴（A∪B）={1，2，3，4}∪{﹣1，0，2，3}={﹣1，0，1，2，3，4}，又C={x∈R|﹣1≤x＜2}，∴（A∪B）∩C={﹣1，0，1}．故选：C．【点评】本题考查交集、并集及其运算，是基础的计算题．2．（5.00分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A．6 B．19 C．21 D．45【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y的最大值．【解答】解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，故选：C．【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值．3．（5.00分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x3＞8得到|x|＞2，由|x|＞2不一定得到x3＞8，然后结合查充分条件、必要条件的判定方法得答案．【解答】解：由x3＞8，得x＞2，则|x|＞2，反之，由|x|＞2，得x＜﹣2或x＞2，则x3＜﹣8或x3＞8．即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是基础题．4．（5.00分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【解答】解：若输入N=20，则i=2，T=0，==10是整数，满足条件．T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5不成立，循环，=不是整数，不满足条件．，i=3+1=4，i≥5不成立，循环，==5是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5成立，输出T=2，故选：B．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5．（5.00分）已知a=log 3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】把a，c化为同底数，然后利用对数函数的单调性及1的关系进行比较．【解答】解：∵a=log 3，c=log=log35，且5，∴，则b=（）＜，∴c＞a＞b．故选：D．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数式的单调性，是基础题．6．（5.00分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[]上单调递增B．在区间[﹣，0]上单调递减C．在区间[]上单调递增D．在区间[，π]上单调递减【分析】由函数的图象平移求得平移后函数的解析式，结合y=Asin（ωx+φ）型函数的单调性得答案．【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x．当x∈[]时，2x∈[，]，函数单调递增；当x∈[，]时，2x∈[，π]，函数单调递减；当x∈[﹣，0]时，2x∈[﹣，0]，函数单调递增；当x∈[，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增．故选：A．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换及其性质，是中档题．7．（5.00分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可．【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y=，即bx﹣ay=0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF==3，EF==b，所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a=．则双曲线的方程为：﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．8．（5.00分）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（）A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0【分析】解法Ⅰ，由题意判断BC∥MN，且BC=3MN，再利用余弦定理求出MN和∠OMN的余弦值，计算•即可．解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN是平行四边形，由题意求得的值．【解答】解：解法Ⅰ，由题意，=2，=2，∴==2，∴BC∥MN，且BC=3MN，又MN2=OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°=1+4﹣2×1×2×（﹣）=7，∴MN=；∴BC=3，∴cos∠OMN===，∴•=||×||cos（π﹣∠OMN）=3×1×（﹣）=﹣6．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，知=﹣=3﹣3=﹣3+3，∴=（﹣3+3）•=﹣3+3•=﹣3×12+3×2×1×cos120°=﹣6．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5.00分）i是虚数单位，复数=4﹣i．【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解：====4﹣i，故答案为：4﹣i【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．10．（5.00分）已知函数f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为e．【分析】根据导数的运算法则求出函数f（x）的导函数，再计算f′（1）的值．【解答】解：函数f（x）=e x lnx，则f′（x）=e x lnx+•e x；∴f′（1）=e•ln1+1•e=e．故答案为：e．【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题．11．（5.00分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为．【分析】求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．【解答】解：由题意可知四棱锥A1﹣BB1D1D的底面是矩形，边长：1和，四棱锥的高：A1C1=．则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为：=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．12．（5.00分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）．【分析】【方法一】根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，写出圆的方程．【方法二】设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程．【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆，其圆心为（1，0），半径为1，则该圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=﹣2，E=F=0；∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x=0．故答案为：（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）．【点评】本题考查了圆的方程与应用问题，是基础题．13．（5.00分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为．【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可．【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0，可得：3b=a+6，则2a+==≥2=，当且仅当2a=．即a=﹣3时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值．考查计算能力．14．（5.00分）已知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是[] ．【分析】根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可．【解答】解：当x≤0时，函数f（x）=x2+2x+a﹣2的对称轴为x=﹣1，抛物线开口向上，要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则只需要f（﹣3）≤|﹣3|=3，即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）=﹣x2+2x﹣2a，则直线y=x的下方或在y=x上，由﹣x2+2x﹣2a=x，即x2﹣x+2a=0，由判别式△=1﹣8a≤0，得a≥，综上≤a≤2，故答案为：[，2]．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分段函数的不等式分别进行转化求解即可．注意数形结合．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13.00分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学，利用列举法能求出所有可能结果．（ii）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，利用列举法能求出事件M发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21个．（i）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，则事件M包含的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5个基本事件，∴事件M发生的概率P（M）=．【点评】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．16．（13.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos （B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得bsinA=asinB，与bsinA=acos（B﹣）．由此能求出B．（Ⅱ）由余弦定理得b=，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，cosA=，由此能求出sin（2A﹣B）．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17．（13.00分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，结合面面垂直的性质可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC；（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND，又M为棱AB的中点，可得∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，求解三角形可得异面直线BC与MD所成角的余弦；（Ⅲ）连接CM，由△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，可得CM⊥AB，且CM=，再由面面垂直的性质可得CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角，求解三角形可得直线CD与平面ABD所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC；（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND，∵M为棱AB的中点，故MN∥BC，∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，在Rt△DAM中，AM=1，故DM=，∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC，在Rt△DAN中，AN=1，故DN=，在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos∠DMN=．∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为；（Ⅲ）解：连接CM，∵△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=，又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角．在Rt△CAD中，CD=，在Rt△CMD中，sin∠CDM=．∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面垂直等基本知识，考查空间想象能力、运算求解能力与推理论证能力，属中档题．18．（13.00分）设{a n}是等差数列，其前n项和为S n（n∈N*）；{b n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T n（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求S n和T n；（Ⅱ）若S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，求正整数n的值．【分析】（Ⅰ）设等比数列{b n}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{b n}的通项公式与前n项和可求；等差数列{a n}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式与前n项和公式可得S n；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出T1+T2+……+T n，代入S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，化为关于n的一元二次方程求解正整数n的值．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{b n}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得q2﹣q ﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故，；设等差数列{a n}的公差为d，由b4=a3+a5，得a1+3d=4，由b5=a4+2a6，得3a1+13d=16，∴a1=d=1．故a n=n，；（Ⅱ）由（Ⅰ），可得T1+T2+……+T n==2n+1﹣n ﹣2．由S n+（T1+T2+……+T n）=a n+4b n，可得，整理得：n2﹣3n﹣4=0，解得n=﹣1（舍）或n=4．∴n的值为4．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题．19．（14.00分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，即可．（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，x2=5x1，联立方程求出由＞0.，可得k．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，∴椭圆的方程为：，（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|=2|PQ|，从而x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，易知直线AB的方程为：2x+3y=6．由，可得＞0．由，可得，⇒，⇒18k2+25k+8=0，解得k=﹣或k=﹣．由＞0．可得k，故k=﹣，【点评】本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．20．（14.00分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．（Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值；（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，求d 的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出t2=0，d=1时f（x）的导数，利用导数求斜率，再写出切线方程；（Ⅱ）计算d=3时f（x）的导数，利用导数判断f（x）的单调性，求出f（x）的极值；（Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，等价于关于x的方程f（x）+（x﹣t2）﹣6=0有三个互异的实数根，利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的d的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），t2=0，d=1时，f（x）=x（x+1）（x﹣1）=x3﹣x，∴f′（x）=3x2﹣1，f（0）=0，f′（0）=﹣1，∴y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣0），（Ⅱ）d=3时，f（x）=（x﹣t2+3）（x﹣t2）（x﹣t2﹣3）=﹣9（x﹣t2）=x3﹣3t2x2+（3﹣9）x ﹣+9t2；∴f′（x）=3x2﹣6t2x+3﹣9，令f′（x）=0，解得x=t2﹣或x=t2+；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表；+）∴f（x）的极大值为f（t2﹣）=﹣9×（﹣）=6，极小值为f（t2+）=﹣9×=﹣6；（Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，等价于关于x的方程（x﹣t2+d ）（x﹣t2）（x﹣t2﹣d）+（x﹣t2）﹣6=0有三个互异的实数根，令u=x﹣t2，可得u3+（1﹣d2）u+6=0；设函数g（x）=x3+（1﹣d2）x+6，则曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有3个互异的公共点，等价于函数y=g（x）有三个不同的零点；又g′（x）=3x2+（1﹣d2），当d2≤1时，g′（x）≥0恒成立，此时g（x）在R上单调递增，不合题意；当d2＞1时，令g′（x）=0，解得x1=﹣，x2=；∴g（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上也单调递增；∴g（x）的极大值为g（x1）=g（﹣）=+6＞0；极小值为g（x2）=g（）=﹣+6；若g（x2）≥0，由g（x）的单调性可知，函数g（x）至多有两个零点，不合题意；若g（x2）＜0，即＞27，解得|d|＞，此时|d|＞x2，g（|d|）=|d|+6＞0，且﹣2|d|＜x1；g（﹣2|d|）=﹣6|d|3﹣2|d|+6＜0，从而由g（x）的单调性可知，函数y=g（x）在区间（﹣2|d|，x1），（x1，x2），（x2，|d|）内各有一个零点，符合题意；∴d的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．【点评】本题主要考查了导数的运算以及导数的几何意义，运用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，是综合题．。
2018年高考文科数学天津卷-答案
天津市2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】由于1,0,1,2,},4{3A B =-U ，所以{()1,0,1}A B C -=U I . 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】做出不等式组5,24,1,0x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩≤≤≤≥，所表示的可行域，其是由(00)O ，，(2,0)A ，(3,2)B ，(2,3)C ，(0,1)D 围成的五边形区域（包括边界），对于目标函数35x x y =+；结合图象可知过点C 时取得最大值，最大值为325321⨯+⨯=. 【考点】简单的线性规划 3.【答案】A【解析】由38>解得2x >；由||2x >解得2x <-或2x >，所以“8x >”是“||2x >”的充分而不必要条件。
【考点】不等式的求解、充分必要条件的判定 4.【答案】B【解析】输人2020N i T ===，，，此时10Ni=是整数，则有011213T i =+==+=，，此时不满足条件5i ≥；接下来有203N i =不是整数，则有314i =+=，此时.不满足条件5i ≥；接下来有5N i =是整数，则有112415T i =+==+=，，此时满足条件5i ≥，结束循环，输出2T =. 【考点】算法的程序框图.模拟程序框图的运行 5.【答案】D【解析】根据函数的图象与性质可知13133331711log log 5log log 315244⎛⎫⎛⎫=>>==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则c a b >>. 【考点】代数值的大小比较、函数的图象与性质 6.【答案】A【解析】将函数πsin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度得到ππsin 2sin 2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由ππ2π22π+,22k x k k -+∈Z ≤≤，解得ππππ+,44k x k k -+∈Z ≤≤，当0k =时，则知函数在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增.【考点】三角函数图象的平移变换、三角函数的图象与性质 7.【答案】A【解析】由双曲线的离心率2c e a==，可得2c a =，则知b ，将2x a =代人双曲线222213x y a a -=，可得3y a =±，设点(2,3)(2,3)A d a B a a -，0y +=，可得12d d ====，，所以126d d +=+==，解得a =，故双曲线的方程为22139x y -=. 【考点】双曲线的方程与几何性质、点到直线的距离公式 8.【答案】C【解析】根据题目可得:22((33)3()33()33321cos120=31=6BC OM AC AB OM AN AM OM AN AM OMMN OM ON OM OM ON OM OM =-=-=-==-=-=⨯⨯⨯︒⨯-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u rg g g g u u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u rg g g ） 【考点】平面向量的线性运算与数量积 二、填空题 9.【答案】4i -【解析】由题可得67i (67i)(12i)205i 4i 12i(12i)(12i)5++--===-++-.【考点】复数的四则运算 10.【答案】e【解析】由于()e ln x f x x =则有1()e ln e x x f x x x '=+g ，所以111(1)e ln1e e 1f '=+=g g .【考点】导数及其应用、函数值的求解11.13【答案】 【解析】由题可知四棱锥111A BB D D -，1，则四棱锥111A BB D D -的体为11133V =⨯=. 【考点】空间几何体的性质、空间几何体的体积 12.【答案】2220x y x +-=【解析】由于圆经过三点(0,0)(1,1)(2,0)O A B ，，，可知OAAB ⊥，则知OB 为圆的直径，则圆心(1,0)C ，半径1r =，可得圆的方程为22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=. 【考点】圆的方程13.【答案】14【解析】由于360a b -+=；可得366a -=-，结合基本不等式可得33112222284a a b b --+=+==g ≥，当且仅当322a b -=，即33a b =-=-.【考点】基本不等式14.【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当[]3,0-时，由()||f x x ≤恒成立可得22x x a x ++-≤-即232x x a ++-≤0，结合图象可知99200020a a -+-⎧⎨++-⎩≤≤，解得2a ≤；当·(0,)x ∈+∞时，由()||f x x ≤恒成立可得222x x a x -+-≤，即²20x x a -+≥，结合图象可知2412(1)041a ⨯⨯--⨯≥，解得a 18a ≥；综上分析可得128a ≤≤.【考点】分段函数、函数的图象与性质、不等式恒成立 三、解答题15.【答案】（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（ⅰ）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．（ⅱ）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种． 所以，事件M 发生的概率为5(2)1P M =．【考点】随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识16.【答案】（Ⅰ）解：在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得πsin cos 6a B a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即πsin cos 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tan B(0π)B ∈，，可得π3B =． （Ⅱ）解：在ABC △中，由余弦定理及23π3a c B ===，，，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =．由πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得sin A =．因为a c <，故cos A =sin 22sin cos A A A =，21cos22cos 17A A =-=．所以，11sin(2)sin 2cos cos 2sin 27A B A B A B -=-=-= 【考点】考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识17.【答案】（Ⅰ）由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）解：取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，1AM =，故DM =AD ⊥平面ABC ，故AD AC ⊥． 在Rt △DAN 中，1AN =，故DN =在等腰三角形DMN 中，1MN =，可得12cos MNDMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD（Ⅲ）解：连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB，CM =面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面AB D ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，4CD =．在Rt △CMD中，sin CM CDM CD ∠=． 所以，直线CD 与平面ABD． 【考点】异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识 18.【答案】（I ）解：设等比数列{}n b 的公比为q ，由13212b b b ==+，，可得220q q --=.因为0q >，可得2q =，故12n nb -=.所以122112nn n T -==--.设等差数列{}n a 的公差为d .由435b a a =+，可得134a d +=.由5462b a a =+，可得131316,a d += 从而11,1a d ==，故n a n =，所以(1)2n n n S +=. （II ）解：由（I ），知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=+++-=--L L由12()4n n n n S T T T a b ++++=+L 可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+， 整理得2340,n n --= 解得1n =-（舍），或4n =.所以n 的值为4. 【考点】等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识19.【答案】（I ）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a=，又由222a b c =+，可得23.a b =由||AB ,从而3,2a b ==.所以，椭圆的方程为22194x y +=. （II ）解：设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,).x y -- 由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =. 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =.由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-. 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意. 所以，k 的值为12-.【考点】标准方程和几何性质、直线方程等基础知识，用代数方法研究圆锥曲线的性质，运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力20.【答案】（Ⅰ）解：由已知，可得3()(11))(x f x x x x x +=-=-，故()31f x x '=-，因此(0)0f =，(0)1f '=-，又因为曲线()y f x =在点(0， f (0))处的切线方程为()(0)0(0)f y f x -'-=，故所求切线方程为0x y +=.（Ⅱ）解：由已知可得33222222222222()3 39 3399()()()()().)(f x x t x t x t x t x t x t x t x t t =-+---=---=-+--+故3222363()9x t x t f x =+'--.令()0f x '=，解得2x t =2x t =当x所以函数f (x )的极大值为23((9(f t =-⨯=23(9f t =-⨯=（III ）解：曲线()y f x =与直线2()y x t =---有三个互异的公共点等价于关于x 的方程2222 ()()()()0x t d xt x t d x t -+---+-+有三个互异的实数解，令2u x t =-，可得32()01u d u ++=-.设函数()321()g x x d x =+-+()y f x =与直线2()y x t =---函数()y g x =有三个零点.32()()31g d 'x x =+-.当21d ≤时，()0g'x ≥，这时()g'x 在R 上单调递增，不合题意.当21d >时，()0g'x =，解得1x =，2x =. 易得，g (x )在(−∞，x 1)上单调递增，在[x 1， x 2]上单调递减，在(x 2， +∞)上单调递增，g (x )的极大值1)0(g x g ⎛=> ⎝=.g (x )的极小值32221)9()g g d x -=+=若2()0g x ≥，由g (x )的单调性可知函数()y f x =至多有两个零点，不合题意.若2()0,g x <即322(1)27d->，也就是||d >2||d x >，(||)||0,g d d =+ 且312||,(2||)6||2||0d x g d d d -<-=--+-<，从而由()g x 的单调性，可知函数()y g x =在区间1122(2||,),(,),(,||)d x x x x d -内各有一个零点，符合题意所以d 的取值范围是(,).-∞+∞U【考点】导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，函数思想和分类讨论思想，综合分析问题和解决问题的能力。
2018年天津市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
2018年天津市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5.00分)设集合A＝{1,2,3,4},B＝{－1,0,2,3},C＝{x∈R|－1≤x＜2},则(A∪B)∩C＝( )A.{－1,1}B.{0,1}C.{－1,0,1}D.{2,3,4}2.(5.00分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z＝3x＋5y的最大值为( )A.6B.19C.21D.453.(5.00分)设x∈R,则“x3＞8”是“|x|＞2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(5.00分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为( )A.1B.2C.3D.4,b＝(),c＝log,则a,b,c的大小关系为( )5.(5.00分)已知a＝log3A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b6.(5.00分)将函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )A.在区间[]上单调递增B.在区间[－,0]上单调递减C.在区间[]上单调递增D.在区间[,π]上单调递减7.(5.00分)已知双曲线＝1(a＞0,b＞0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1＋d2＝6,则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝18.(5.00分)在如图的平面图形中,已知OM＝1,ON＝2,∠MON＝120°,＝2,＝2,则的值为( )A.－15B.－9C.－6D.0二.填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5.00分)i是虚数单位,复数＝.10.(5.00分)已知函数f(x)＝e x lnx,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为.11.(5.00分)如图,已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1－BB1D1D的体积为.12.(5.00分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.13.(5.00分)已知a,b∈R,且a－3b＋6＝0,则2a＋的最小值为.14.(5.00分)已知a∈R,函数f(x)＝.若对任意x∈[－3,＋∞),f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是.三.解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13.00分)己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(Ⅱ)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.16.(13.00分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA＝acos(B－). (Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)设a＝2,c＝3,求b和sin(2A－B)的值.17.(13.00分)如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB 的中点,AB＝2,AD＝2,∠BAD＝90°.(Ⅰ)求证：AD⊥BC；(Ⅱ)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(Ⅲ)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.18.(13.00分)设{an }是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn (n∈N*).已知b1＝1,b3＝b2＋2,b4＝a3＋a5,b5＝a4＋2a6.(Ⅰ)求Sn 和Tn；(Ⅱ)若Sn ＋(T1＋T2＋……＋Tn)＝an＋4bn,求正整数n的值.19.(14.00分)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|＝.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线l：y＝kx(k＜0)与椭圆交于P,Q两点,1与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.20.(14.00分)设函数f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.(Ⅰ)若t2＝0,d＝1,求曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(Ⅱ)若d＝3,求f(x)的极值；(Ⅲ)若曲线y＝f(x)与直线y＝－(x－t2)－6有三个互异的公共点,求d的取值范围.2018年天津市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5.00分)设集合A＝{1,2,3,4},B＝{－1,0,2,3},C＝{x∈R|－1≤x＜2},则(A∪B)∩C＝( )A.{－1,1}B.{0,1}C.{－1,0,1}D.{2,3,4}【分析】直接利用交集、并集运算得答案.【解答】解：∵A＝{1,2,3,4},B＝{－1,0,2,3},∴(A∪B)＝{1,2,3,4}∪{－1,0,2,3}＝{－1,0,1,2,3,4},又C＝{x∈R|－1≤x＜2},∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}.故选：C.【点评】本题考查交集、并集及其运算,是基础的计算题.2.(5.00分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z＝3x＋5y的最大值为( )A.6B.19C.21D.45【分析】先画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,分析后易得目标函数z＝3x＋5y的最大值.【解答】解：由变量x,y满足约束条件,得如图所示的可行域,由解得A(2,3).当目标函数z＝3x＋5y经过A时,直线的截距最大,z取得最大值.将其代入得z的值为21,故选：C.【点评】在解决线性规划的小题时,常用“角点法”,其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证,求出最优解.也可以利用目标函数的几何意义求解最优解,求解最值.3.(5.00分)设x∈R,则“x3＞8”是“|x|＞2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由x3＞8得到|x|＞2,由|x|＞2不一定得到x3＞8,然后结合查充分条件、必要条件的判定方法得答案.【解答】解：由x3＞8,得x＞2,则|x|＞2,反之,由|x|＞2,得x＜－2或x＞2,则x3＜－8或x3＞8.即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查充分条件、必要条件及其判定方法,是基础题.4.(5.00分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为( )A.1B.2C.3D.4【分析】根据程序框图进行模拟计算即可. 【解答】解：若输入N ＝20, 则i ＝2,T ＝0,＝＝10是整数,满足条件.T ＝0＋1＝1,i ＝2＋1＝3,i ≥5不成立,循环,＝不是整数,不满足条件.,i ＝3＋1＝4,i ≥5不成立,循环,＝＝5是整数,满足条件,T ＝1＋1＝2,i ＝4＋1＝5,i ≥5成立, 输出T ＝2, 故选：B.【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,根据条件进行模拟计算是解决本题的关键.5.(5.00分)已知a ＝log 3,b ＝(),c ＝log,则a,b,c 的大小关系为( )A.a ＞b ＞cB.b ＞a ＞cC.c ＞b ＞aD.c ＞a ＞b【分析】把a,c 化为同底数,然后利用对数函数的单调性及1的关系进行比较.【解答】解：∵a ＝log 3,c ＝log ＝log 35,且5,∴, 则b ＝()＜,∴c＞a＞b.故选：D.【点评】本题考查对数值的大小比较,考查了指数函数与对数式的单调性,是基础题.6.(5.00分)将函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )A.在区间[]上单调递增B.在区间[－,0]上单调递减C.在区间[]上单调递增D.在区间[,π]上单调递减【分析】由函数的图象平移求得平移后函数的解析式,结合y＝Asin(ωx＋φ)型函数的单调性得答案.【解答】解：将函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y＝sin[2(x－)＋]＝sin2x.当x∈[]时,2x∈[,],函数单调递增；当x∈[,]时,2x∈[,π],函数单调递减；当x∈[－,0]时,2x∈[－,0],函数单调递增；当x∈[,π]时,2x∈[π,2π],函数先减后增.故选：A.【点评】本题考查y＝Asin(ωx＋φ)型函数的图象变换及其性质,是中档题.7.(5.00分)已知双曲线＝1(a＞0,b＞0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1＋d2＝6,则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1【分析】画出图形,利用已知条件,列出方程组转化求解即可. 【解答】解：由题意可得图象如图,CD是双曲线的一条渐近线y＝,即bx－ay＝0,F(c,0),AC⊥CD,BD⊥CD,FE⊥CD,ACDB是梯形,F是AB的中点,EF＝＝3,EF＝＝b,所以b＝3,双曲线＝1(a＞0,b＞0)的离心率为2,可得,可得：,解得a＝.则双曲线的方程为：－＝1.故选：A.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,双曲线方程的求法,考查计算能力.8.(5.00分)在如图的平面图形中,已知OM＝1,ON＝2,∠MON＝120°,＝2,＝2,则的值为( )A.－15B.－9C.－6D.0【分析】解法Ⅰ,由题意判断BC∥MN,且BC＝3MN,再利用余弦定理求出MN和∠OMN的余弦值,计算•即可.解法Ⅱ：用特殊值法,不妨设四边形OMAN是平行四边形,由题意求得的值.【解答】解：解法Ⅰ,由题意,＝2,＝2,∴＝＝2,∴BC∥MN,且BC＝3MN,又MN2＝OM2＋ON2－2OM•ON•cos120°＝1＋4－2×1×2×(－)＝7,∴MN＝；∴BC＝3,∴cos∠OMN＝＝＝,∴•＝||×||cos(π－∠OMN)＝3×1×(－)＝－6.解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形,由OM＝1,ON＝2,∠MON＝120°,＝2,＝2,知＝－＝3－3＝－3＋3,∴＝(－3＋3)•＝－3＋3•＝－3×12＋3×2×1×cos120°＝－6.故选：C.【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题,是中档题.二.填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5.00分)i是虚数单位,复数＝4－i .【分析】根据复数的运算法则计算即可.【解答】解：＝＝＝＝4－i,故答案为：4－i【点评】本题考查了复数的运算法则,属于基础题.10.(5.00分)已知函数f(x)＝e x lnx,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为 e . 【分析】根据导数的运算法则求出函数f(x)的导函数,再计算f′(1)的值.【解答】解：函数f(x)＝e x lnx,则f′(x)＝e x lnx＋•e x；∴f′(1)＝e•ln1＋1•e＝e.故答案为：e.【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题,是基础题.11.(5.00分)如图,已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1－BB1D1D的体积为.【分析】求出四棱锥的底面面积与高,然后求解四棱锥的体积.【解答】解：由题意可知四棱锥A1－BB1D1D的底面是矩形,边长：1和,四棱锥的高：A1C1＝.则四棱锥A1－BB1D1D的体积为：＝.故答案为：.【点评】本题考查几何体的体积的求法,判断几何体的形状是解题的关键.12.(5.00分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为(x－1)2＋y2＝1(或x2＋y2－2x＝0) .【分析】【方法一】根据题意画出图形,结合图形求得圆心与半径,写出圆的方程.【方法二】设圆的一般方程,把点的坐标代入求得圆的方程.【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示,结合图形知经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆,其圆心为(1,0),半径为1,则该圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.【方法二】设该圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,则,解得D＝－2,E＝F＝0；∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＝0.故答案为：(x－1)2＋y2＝1(或x2＋y2－2x＝0).【点评】本题考查了圆的方程与应用问题,是基础题.13.(5.00分)已知a,b∈R,且a－3b＋6＝0,则2a＋的最小值为.【分析】化简所求表达式,利用基本不等式转化求解即可.【解答】解：a,b∈R,且a－3b＋6＝0,可得：3b＝a＋6,则2a＋＝＝≥2＝,当且仅当2a＝.即a＝－3时取等号.函数的最小值为：.故答案为：.【点评】本题考查函数的最值的求法,基本不等式的应用,也可以利用换元法,求解函数的最值.考查计算能力.14.(5.00分)已知a∈R,函数f(x)＝.若对任意x∈[－3,＋∞),f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是[] .【分析】根据分段函数的表达式,结合不等式恒成立分别进行求解即可.【解答】解：当x≤0时,函数f(x)＝x2＋2x＋a－2的对称轴为x＝－1,抛物线开口向上,要使x≤0时,对任意x∈[－3,＋∞),f(x)≤|x|恒成立,则只需要f(－3)≤|－3|＝3,即9－6＋a－2≤3,得a≤2,当x＞0时,要使f(x)≤|x|恒成立,即f(x)＝－x2＋2x－2a,则直线y＝x的下方或在y＝x上, 由－x2＋2x－2a＝x,即x2－x＋2a＝0,由判别式△＝1－8a≤0,得a≥,综上≤a≤2,故答案为：[,2].【点评】本题主要考查不等式恒成立问题,利用分段函数的不等式分别进行转化求解即可.注意数形结合.三.解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13.00分)己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(Ⅱ)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.【分析】(Ⅰ)利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人,2人,2人.(Ⅱ)(i)从抽取的7名同学中抽取2名同学,利用列举法能求出所有可能结果.(ii)设抽取的7名学生中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,利用列举法能求出事件M发生的概率.【解答】解：(Ⅰ)由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人,2人,2人.(Ⅱ)(i)从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21个.(i)设抽取的7名学生中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,则事件M包含的基本事件有：{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5个基本事件,∴事件M发生的概率P(M)＝.【点评】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.16.(13.00分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA＝acos(B－). (Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)设a＝2,c＝3,求b和sin(2A－B)的值.【分析】(Ⅰ)由正弦定理得bsinA＝asinB,与bsinA＝acos(B－).由此能求出B.(Ⅱ)由余弦定理得b＝,由bsinA＝acos(B－),得sinA＝,cosA＝,由此能求出sin(2A－B).【解答】解：(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理得,得bsinA＝asinB,又bsinA＝acos(B－).∴asinB＝acos(B－),即sinB＝cos(B－)＝cosBcos＋sinBsin＝cosB＋,∴tanB＝,又B∈(0,π),∴B＝.(Ⅱ)在△ABC中,a＝2,c＝3,B＝,由余弦定理得b＝＝,由bsinA＝acos(B－),得sinA＝,∵a＜c,∴cosA＝,∴sin2A＝2sinAcosA＝,cos2A＝2cos2A－1＝,∴sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝＝.【点评】本题考查角的求法,考查两角差的余弦值的求法,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.17.(13.00分)如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB 的中点,AB＝2,AD＝2,∠BAD＝90°.(Ⅰ)求证：AD⊥BC；(Ⅱ)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(Ⅲ)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.【分析】(Ⅰ)由平面ABC⊥平面ABD,结合面面垂直的性质可得AD⊥平面ABC,则AD⊥BC；(Ⅱ)取棱AC的中点N,连接MN,ND,又M为棱AB的中点,可得∠DMN(或其补角)为异面直线BC 与MD所成角,求解三角形可得异面直线BC与MD所成角的余弦；(Ⅲ)连接CM,由△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,可得CM⊥AB,且CM＝,再由面面垂直的性质可得CM⊥平面ABD,则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角,求解三角形可得直线CD与平面ABD所成角的正弦值.【解答】(Ⅰ)证明：由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD＝AB,AD⊥AB,得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC；(Ⅱ)解：取棱AC的中点N,连接MN,ND,∵M为棱AB的中点,故MN∥BC,∴∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成角,在Rt△DAM中,AM＝1,故DM＝,∵AD⊥平面ABC,故AD⊥AC,在Rt△DAN中,AN＝1,故DN＝,在等腰三角形DMN中,MN＝1,可得cos∠DMN＝.∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为；(Ⅲ)解：连接CM,∵△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM＝,又∵平面ABC⊥平面ABD,而CM⊂平面ABC,故CM⊥平面ABD,则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角.在Rt△CAD中,CD＝,在Rt△CMD中,sin∠CDM＝.∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.【点评】本题考查异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面垂直等基本知识,考查空间想象能力、运算求解能力与推理论证能力,属中档题.18.(13.00分)设{an }是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn (n∈N*).已知b1＝1,b3＝b2＋2,b4＝a3＋a5,b5＝a4＋2a6.(Ⅰ)求Sn 和Tn；(Ⅱ)若Sn ＋(T1＋T2＋……＋Tn)＝an＋4bn,求正整数n的值.【分析】(Ⅰ)设等比数列{bn }的公比为q,由已知列式求得q,则数列{bn}的通项公式与前n项和可求；等差数列{an}的公差为d,再由已知列关于首项与公差的方程组,求得首项与公差,代入等差数列的通项公式与前n项和公式可得Sn；(Ⅱ)由(Ⅰ)求出T1＋T2＋……＋Tn,代入Sn＋(T1＋T2＋……＋Tn)＝an＋4bn,化为关于n的一元二次方程求解正整数n的值.【解答】解：(Ⅰ)设等比数列{bn }的公比为q,由b1＝1,b3＝b2＋2,可得q2－q－2＝0.∵q＞0,可得q＝2.故,；设等差数列{an }的公差为d,由b4＝a3＋a5,得a1＋3d＝4,由b5＝a4＋2a6,得3a1＋13d＝16,∴a1＝d＝1.故an＝n,；(Ⅱ)由(Ⅰ),可得T1＋T2＋……＋Tn＝＝2n＋1－n－2.由Sn ＋(T1＋T2＋……＋Tn)＝an＋4bn,可得,整理得：n2－3n－4＝0,解得n＝－1(舍)或n＝4.∴n的值为4.【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识,考查数列求和的基本方法及运算能力,是中档题.19.(14.00分)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|＝.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线l：y＝kx(k＜0)与椭圆交于P,Q两点,1与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.【分析】(1)设椭圆的焦距为2c,由已知可得,又a2＝b2＋c2,解得a＝3,b＝2,即可.(Ⅱ)设点P(x1,y1),M(x2,y2),(x2＞x1＞0).则Q(－x1,－y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得x2－x1＝2[x1－(－x1)],x2＝5x1,联立方程求出由＞0.,可得k. 【解答】解：(1)设椭圆的焦距为2c,由已知可得,又a2＝b2＋c2,解得a＝3,b＝2,∴椭圆的方程为：,(Ⅱ)设点P(x1,y1),M(x2,y2),(x2＞x1＞0).则Q(－x1,－y1).∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,∴|PM|＝2|PQ|,从而x2－x1＝2[x1－(－x1)],∴x2＝5x1,易知直线AB的方程为：2x＋3y＝6.由,可得＞0.由,可得,⇒,⇒18k2＋25k＋8＝0,解得k＝－或k＝－.由＞0.可得k,故k＝－,【点评】本题考查了椭圆的方程、几何性质,考查了直线与椭圆的位置关系,属于中档题.20.(14.00分)设函数f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.(Ⅰ)若t2＝0,d＝1,求曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(Ⅱ)若d＝3,求f(x)的极值；(Ⅲ)若曲线y＝f(x)与直线y＝－(x－t2)－6有三个互异的公共点,求d的取值范围.【分析】(Ⅰ)求出t2＝0,d＝1时f(x)的导数,利用导数求斜率,再写出切线方程；(Ⅱ)计算d＝3时f(x)的导数,利用导数判断f(x)的单调性,求出f(x)的极值；(Ⅲ)曲线y＝f(x)与直线y＝－(x－t2)－6有三个互异的公共点,等价于关于x的方程f(x)＋(x－t2)－6＝0有三个互异的实数根,利用换元法研究函数的单调性与极值,求出满足条件的d的取值范围.【解答】解：(Ⅰ)函数f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3),t2＝0,d＝1时,f(x)＝x(x＋1)(x－1)＝x3－x,∴f′(x)＝3x2－1,f(0)＝0,f′(0)＝－1,∴y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y－0＝－1×(x－0), 即x＋y＝0；(Ⅱ)d＝3时,f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3－9)x－＋9t2；∴f′(x)＝3x2－6t2x＋3－9,令f′(x)＝0,解得x＝t2－或x＝t2＋；,t)∴f(x)的极大值为f(t2－)＝－9×(－)＝6,极小值为f(t2＋)＝－9×＝－6；(Ⅲ)曲线y＝f(x)与直线y＝－(x－t2)－6有三个互异的公共点,等价于关于x的方程(x－t2＋d)(x－t2)(x－t2－d)＋(x－t2)－6＝0有三个互异的实数根,令u＝x－t2,可得u3＋(1－d2)u＋6＝0；设函数g(x)＝x3＋(1－d2)x＋6,则曲线y＝f(x)与直线y＝－(x－t2)－6有3个互异的公共点,等价于函数y＝g(x)有三个不同的零点；又g′(x)＝3x2＋(1－d2),当d2≤1时,g′(x)≥0恒成立,此时g(x)在R上单调递增,不合题意；当d2＞1时,令g′(x)＝0,解得x1＝－,x2＝；∴g(x)在(－∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,＋∞)上也单调递增；∴g(x)的极大值为g(x1)＝g(－)＝＋6＞0；极小值为g(x2)＝g()＝－＋6；若g(x2)≥0,由g(x)的单调性可知,函数g(x)至多有两个零点,不合题意；若g(x2)＜0,即＞27,解得|d|＞,此时|d|＞x2,g(|d|)＝|d|＋6＞0,且－2|d|＜x1；g(－2|d|)＝－6|d|3－2|d|＋6＜0, 从而由g(x)的单调性可知,函数y＝g(x)在区间(－2|d|,x1),(x1,x2),(x2,|d|)内各有一个零点,符合题意；∴d的取值范围是(－∞,－)∪(,＋∞).【点评】本题主要考查了导数的运算以及导数的几何意义,运用导数研究函数的单调性与极值的应用问题,是综合题.。
【真题】2018年天津市高考数学(文科)试题含答案解析
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高.一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，，则A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由并集的定义可得：，结合交集的定义可知：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的解析式整理计算即可求得最终结果.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.3. 设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“”的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：，，结果为整数，执行，，此时不满足；，结果不为整数，执行，此时不满足；，结果为整数，执行，，此时满足；跳出循环，输出.本题选择B选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．5. 已知，则的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；本题选择A选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.8. 在如图的平面图形中，已知,则的值为A. B.C. D. 0【答案】C【解析】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征选择，同时要注意数量积运算律的应用．第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2018年普通高等学校招生统一考试文科数学真题及参考答案(天津卷)
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试卷（文史类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )． ·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高． ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-≤<R ，则()AB C =（A ）{1,1}- （B ）{0,1} （C ）{1,0,1}-（D ）{2,3,4}（2）设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为（A ）6 （B ）19 （C ）21（D ）45（3）设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（5）已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c b a >>（D ）c a b >>（6）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 （A ）在区间[,]44ππ-上单调递增 （B ）在区间[,0]4π-上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增 （D ）在区间[,]2ππ上单调递减（7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点．设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为（A ）22139x y -=（B ）22193x y -= （C ）221412x y -=（D ）221124x y -= （8）在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为（A ）15- （B ）9- （C ）6-（D ）0第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2018天津高考文科数学真题答案解析(可编辑)
CN 2 NA ，则 BC OM的值为
（A）-15 答案：C 解析：如图所示建系，
O( 0 , 0 M ), ( 1 ,N 0 ) , ( 1, 3)
（B）-9
（C）-6
（D）0
设 A( xA , yA ), B( xB , yB ), C ( xC , yC )
B M 2 M A
( 1 xB , yB ) 2x( yA , A 1
1 8
1 综上， a Î [ , 2] 8 二、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤. (15)(本小题满分 13 分) 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160,160.现采用分 层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动. (I)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (II)设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽 取 2 名同学承担敬老院的卫生工作. (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ii)设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级” ，求事件 M 发生的概
(ii)解：由(I)，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年 级的是 D，E，来自丙年级的是 F，G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名 同学来自同一年级的所有可能结果为 A,B ，A,C ，B ,C ，D ,E ，F ,G ， 共 5 种. 所以，事件 M 发生的概率 P(M ) (16)（本小题满分 13 分）
.
答案：
1 3
解析：连 A1C1 交 B1 D1 于点 O， VA1- BB1D1D =
1 1 2 鬃 A1O S B1BDD1 = 创 (1? 2) 3 3 2
2018年数学(文科)高考题分类 真题与模拟题 平面向量
F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算7.F1[2018·全国卷Ⅰ] 在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A . 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B . 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C . 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D . 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7.A [解析] 如图,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选A .8.F1、F3[2018·天津卷]在如图1-2的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( )图1-2A .-15B . -9C . -6D . 08.C [解析] 连接MN ,由BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得MN ∥BC ,且BC=3MN ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=3×(1×2×cos 120°-12)=-6.故选C .F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 13.F2[2018·全国卷Ⅲ] 已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ),若c ∥(2a+b ),则λ= . 13.12[解析] 2a+b=(4,2),由c ∥(2a+b )可得14=λ2,即λ=12.20.H8,F2[2018·全国卷Ⅲ] 已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :x 24+y 23=1交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (1,m )(m>0). (1)证明:k<-12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,证明:2|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 20.证明:(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 124+y 123=1,x 224+y 223=1.两式相减,并由y 1-y2x 1-x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23·k=0.由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ,于是k=-34m.由题设得0<m<32,故k<-12. (2)由题意得F (1,0).设P (x 3,y 3),则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0).由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m<0.又点P 在C 上,所以m=34,从而P (1,-32),|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=32. 于是|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1-1)2+y 12=√(x 1-1)2+3(1-x 124)=2-x12.同理|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2-x22. 所以|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4-12(x 1+x 2)=3. 故2|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 12.F2,F4[2018·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l :y=2x 上在第一象限内的点,B (5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点A 的横坐标为 . 12.3 [解析] 因为点A 为直线l :y=2x 上在第一象限内的点,所以可设A (a ,2a )(a>0),则AB 的中点为Ca+52,a ,圆C 的方程为(x-5)(x-a )+y (y-2a )=0.由{(x -5)(x -a)+y(y -2a)=0,y =2x,得D (1,2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-a ,-2a ),CD⃗⃗⃗⃗⃗ =-a -32,2-a ,又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以(5-a )·-a -32+(-2a )(2-a )=0,解得a=3或a=-1.又a>0,所以a=3,则点A 的横坐标为3.F3 平面向量的数量积及应用4.F3[2018·全国卷Ⅱ] 已知向量a ,b 满足|a|=1,a ·b=-1,则a ·(2a-b )= ( ) A . 4 B . 3C . 2D . 04.B [解析] a ·(2a-b )=2a 2-a ·b=2-(-1)=3,故选B .9.F3[2018·北京卷] 设向量a=(1,0),b=(-1,m ).若a ⊥(ma-b ),则m= .9.-1 [解析] ∵a=(1,0),b=(-1,m ),∴ma-b=(m+1,-m ),又∵a ⊥(ma-b ),∴a ·(ma-b )=m+1=0,即m=-1.8.F1、F3[2018·天津卷]在如图1-2的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( )图1-2A . -15B . -9C . -6D . 08.C [解析] 连接MN ,由BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得MN ∥BC ,且BC=3MN ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=3×(1×2×cos 120°-12)=-6.故选C .F4 单元综合 9.F4[2018·浙江卷] 已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b 满足b 2-4e ·b+3=0,则|a-b|的最小值是 ( ) A . √3-1 B . √3+1 C . 2 D . 2-√39.A [解析] 建立平面直角坐标系,设e=(1,0),向量a 与e 的夹角为π3,则向量a 的终点在射线y=√3x (x>0)上.设向量b=(x ,y ),则x 2+y 2-4x+3=0,即(x-2)2+y 2=1,则|a-b|表示圆上任意一点P 到射线y=√3x (x>0)上任意一点A 的距离,显然当A ,P ,C 三点在同一条直线上,即AC 垂直于射线y=√3x (x>0)时,|a-b|取得最小值,最小值为|AC|-1=√3-1,故选A .12.F2,F4[2018·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l :y=2x 上在第一象限内的点,B (5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点A 的横坐标为 . 12.3 [解析] 因为点A 为直线l :y=2x 上在第一象限内的点,所以可设A (a ,2a )(a>0),则AB 的中点为Ca+52,a ,圆C 的方程为(x-5)(x-a )+y (y-2a )=0.由{(x -5)(x -a)+y(y -2a)=0,y =2x,得D (1,2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-a ,-2a ),CD⃗⃗⃗⃗⃗ =-a -32,2-a ,又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以(5-a )·-a -32+(-2a )(2-a )=0,解得a=3或a=-1.又a>0,所以a=3,则点A 的横坐标为3.1.[2018·莱芜期末] 在平行四边形ABCD 中,∠A=60°,AB=2,AD=1,若M ,N 分别是边BC ,CD 上的点(包括端点),且满足|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( )A .[1,3]B .[1,5]C .[2,4]D .[2,5] 1.D[解析] 设|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ,λ∈[0,1],则AM ⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗ )=(AB⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗ )·[AD ⃗⃗⃗ +(1-λ)AB ⃗⃗⃗ ]=(1-λ)AB ⃗⃗⃗ 2+λAD⃗⃗⃗ 2+(1+λ-λ2)AB ⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗ =4(1-λ)+λ+12(1+λ-λ2)×2×1=-λ2-2λ+5∈[2,5],故选D .2.[2018·衡阳八中月考] 设向量a=(1,cos θ)与向量b=(-1,2cos θ)垂直,则sin (5π2+2θ)=( )A . √22B . 1C . 0D . -1 2.C[解析] ∵a ⊥b ,∴-1+2cos 2θ=0,即cos 2θ=12,则sin(5π2+2θ)=cos2θ=2cos 2θ-1=2×12-1=0,故选C . 3.[2018·广元期末] 在△ABC 中,AB=2AC=6,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2,若点P 是△ABC 所在平面内一点,则当PA ⃗⃗⃗⃗ 2+PB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗ 2取得最小值时,AP ⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ = . 3.-9 [解析] ∵BA⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗ 2,∴BA ⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗ -BA ⃗⃗⃗ 2=BA ⃗⃗⃗ ·(BC ⃗⃗⃗ -BA ⃗⃗⃗ )=BA ⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗ =0,∴BA ⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗ .以A 为坐标原点,AB ,AC 所在直线分别为x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则B (6,0),C (0,3).设P (x ,y ),则PA ⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗ 2+PC⃗⃗⃗ 2=x 2+y 2+(x-6)2+y 2+x 2+(y-3)2=3x 2-12x+3y 2-6y+45=3[(x-2)2+(y-1)2+10],∴当x=2,y=1时,PA⃗⃗⃗ 2+PB⃗⃗⃗ 2+PC⃗⃗⃗ 2取得最小值,此时AP⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗ =(2,1)·(-6,3)=-9.。
2018年天津市高考文科数学试题及答案
2018年天津市⾼考⽂科数学试题及答案绝密★启⽤前2018年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（天津卷）数学（⽂史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分，共150分，考试⽤时120分钟。
第Ⅰ卷1⾄2页，第Ⅱ卷3⾄5页。
答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试⽤条形码。
答卷时，考⽣务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的⽆效。
考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。
祝各位考⽣考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每⼩题选出答案后，⽤铅笔将答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊。
如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8⼩题，每⼩题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh.其中S表⽰棱柱的底⾯⾯积，h表⽰棱柱的⾼．·棱锥的体积公式，其中表⽰棱锥的底⾯积，h表⽰棱锥的⾼.⼀．选择题：在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.（1）设集合，，，则（A）（B）（C）（D）（2）设变量满⾜约束条件则⽬标函数的最⼤值为（A）6（B）19（C）21（D）45（3）设，则“”是“”的（A）充分⽽不必要条件（B）必要⽽不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（4）阅读如图所⽰的程序框图，运⾏相应的程序，若输⼊的值为20，则输出的值为（A）1（B）2（C）3（D）4（5）已知，则的⼤⼩关系为（A）（B）（C）（D）（6）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（A）在区间上单调递增（B）在区间上单调递减（C）在区间上单调递增（D）在区间上单调递减（7）已知双曲线的离⼼率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同⼀条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的⽅程为（A）（B）（C）（D）（8）在如图的平⾯图形中，已知,则的值为（A）（B）（C）（D）0第Ⅱ卷注意事项：1．⽤⿊⾊墨⽔的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
专题8 应用平面向量解决几何问题-2018年高考数学(文)母题题源系列(天津专版)(原卷版)
1．【2018天津市南开中学高三第四次月考】如图，在 中， ，过点 的直线分别交射线 于不同的两点 ，若 ， ，则 的最小值为（）．
A． B． C． D．
2．【四川南充高级中学2018届高三考前模拟】已知平面向量 ， ，当 时， 的最小值是（）
A． B． C． D．
3．【宁夏回族自治区银川一中2018届高三考前适应性】已知 ， ， 是平面向量，其中 ， ，且 与 的夹角为 ，若 ，则 的最大值为
15．【福建省福州市2018届高三3月质量检测】如图，在平面四边形 中， ， ，若 ，則 ____________．
（A） （B） （C） （D）
【母题原题4】【2015天津，文13】
在等腰梯形 中，已知 ，动点 和 分别在线段 和 上，且， 则 的最小值为．
【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查平面向量的线性运算和坐标运算．
【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要有两种：其一为平面向量的线性运算，其二为平面向量的坐标运算．
13．【（河北省衡水金卷一模）2018届高三毕业班模拟】已知在直角梯形 中， ， ，若点 在线段 上，则 的取值范围为__________．
14．【吉林省长春市普通高中2018届高三质量监测（三）】已知腰长为 的等腰直角△ 中， 为斜边 的中点，点 为该平面内一动点，若 ，则 的最小值________．
3.求数量积：
确定应使用的一组基地，要求已知基地的模和夹角，利用加、减、数乘运算表示向量，然后利用数量积运算进行计算．
4.向量的坐标运算
建立适当的平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量的坐标运算公式进行计算．
有关向量的坐标运算公式：
设 ，
（1）
【高三数学试题精选】【真题】2018年天津市高考数学(文科)试题(含答案和解释)
【真题】2018年天津市高考数学（文科）试题(含答案和解
释)
5 c
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考式
如果事 A，B 互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．
棱柱的体积式V=Sh 其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．
棱锥的体积式，其中表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高
一．选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1 设集合，，，则
A B
c D
【答案】c。
真题天津市高考数学文科试题含答案和解释
适用精选文件资料分享【真题】 2018 年天津市高考数学（文科）试题( 含答案和解说 )绝密★启用前 2018 年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。
第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3至5 页。
答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题考上，并在规定地点粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务势必答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项： 1 ．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其余答案标号。
2 ．本卷共 8 小题，每题5 分，共 40 分。
参照公式：?假如事件 A ，B 互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B) ． ?棱柱的体积公式 V=Sh. 此中 S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高．?棱锥的体积公式，此中表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 . 一．选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的 . 1. 设会集，，，则 A. B. C. D. 【答案】C【分析】分析：由题意第一进行并集运算，而后进行交集运算即可求得最后结果 . 详解：由并集的定义可得：，联合交集的定义可知： . 本题选择 C选项 . 点睛：本题主要观察并集运算、交集运算等知识，意在观察学生的计算求解能力 . 2. 设变量满足拘束条件则目标函数的最大值为 A. 6 B. 19 C. 21 D. 45【答案】C【解析】分析：由题意第一画出可行域，而后联合目标函数的分析式整理计算即可求得最后结果 . 详解：绘制不等式组表示的平面地域以下列图，联合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处获得最大值，联立直线方程：，可得点 A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为： . 本题选择 C选项 . 3. 设，则“”是“ ”的 A. 充分而不用要条件 B. 必需而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不用要条件【答案】 A【分析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确立两条件的充分性和必需性能否成马上可 . 详解：求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“ ” 是“”的充分而不用要条件 . 本题选择 A选项 . 点睛：本题主要观察绝对值不等式的解法，充分不用要条件的判断等知识，意在观察学生的转变能力和计算求解能力 . 4. 阅读以下列图的程序框图，运转相应的程序，若输入的值为 20，则输出的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D.4【答案】 B 【分析】分析：由题意联合流程图运转程序即可求得输出的数值 . 详解：联合流程图运转程序以下：第一初始化数据：，，结果为整数，履行，，此时不满足；，结果不为整数，履行，此时不满足；，结果为整数，履行，，此时满足；跳出循环，输出 . 本题选择 B 选项 . 点睛：鉴识、运转程序框图和完美程序框图的思路： (1) 要明确程序框图的序次结构、条件结构和循环结构． (2) 要鉴识、运转程序框图，理解框图所解决的实质问题． (3) 依据题目的要求完成解答并考据． 5. 已知，则的大小关系为 A. B. C. D.【答案】 D 【分析】分析：由题意联合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确立a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，，即，，即，综上可得： . 本题选择 D 选项 . 点睛：关于指数幂的大小的比较，我们平时都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不同样，不可以直接利用函数的单调性进行比较．这就一定掌握一些特别方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不一样，则第一考虑将其转变为同底数，而后再依据指数函数的单调性进行判断．关于不一样底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又正确． 6. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递加 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递加 D. 在区间上单调递减【答案】 A 【分析】分析：第一确立平移以后的对应函数的分析式，而后逐个观察所给的选项能否吻合题意即可 . 详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度以后的分析式为： .则函数的单调递加区间满足：，即，令可得函数的一个单调递加区间为，选项 A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项 C，D错误；本题选择 A 选项 . 点睛：本题主要观察三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在观察学生的转变能力和计算求解能力 . 7. 已知双曲线的离心率为 2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点 . 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为 A. B. C. D. 【答案】 A 【分析】分析：由题意第一求得 A,B 的坐标，而后利用点到直线距离公式求得 b 的值，以后求解 a 的值即可确立双曲线方程 . 详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，没关系设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为 . 本题选择 A 选项 . 点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．详尽过程是先定形，再定量，即先确立双曲线标准方程的形式，而后再依据a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值．假如已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可. 8. 在如图的平面图形中，已知 , 则的值为 A. B. C. D. 0 【答案】 C 【分析】分析：连接 MN，联合几何性质和平面向量的运算法规整理计算即可求得最后结果 . 详解：以下列图，连接 MN，由可知点分别为线段上凑近点的三均分点，则，由题意可知：，，联合数目积的运算法规可得： . 本题选择 C选项 . 点睛：求两个向量的数目积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数目积的几何意义．详尽应用时可依据已知条件的特色来选择，同时要注意数目积运算律的应用．第Ⅱ卷注意事项： 1 ．用黑色墨水的钢笔或署名笔将答案写在答题卡上。
2018年天津市高考数学试卷(文科)(解析版)
2018年天津市高考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，C＝{x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C＝（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{2，3，4} 2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+5y的最大值为（）A．6B．19C．21D．453．（5分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b6．（5分）将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[]上单调递增B．在区间[﹣，0]上单调递减C．在区间[]上单调递增D．在区间[，π]上单调递减7．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2＝6，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝18．（5分）在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则的值为（）A．﹣15B．﹣9C．﹣6D．0二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）i是虚数单位，复数＝．10．（5分）已知函数f（x）＝e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．11．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为．12．（5分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为．13．（5分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，则2a+的最小值为．14．（5分）已知a∈R，函数f（x）＝．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．17．（13分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2，∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．18．（13分）设{a n}是等差数列，其前n项和为S n（n∈N*）；{b n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T n（n∈N*）．已知b1＝1，b3＝b2+2，b4＝a3+a5，b5＝a4+2a6．（Ⅰ）求S n和T n；（Ⅱ）若S n+（T1+T2+……+T n）＝a n+4b n，求正整数n的值．19．（14分）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|＝．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．20．（14分）设函数f（x）＝（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．（Ⅰ）若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若d＝3，求f（x）的极值；（Ⅲ）若曲线y＝f（x）与直线y＝﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，求d的取值范围．2018年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【解答】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，∴（A∪B）＝{1，2，3，4}∪{﹣1，0，2，3}＝{﹣1，0，1，2，3，4}，又C＝{x∈R|﹣1≤x＜2}，∴（A∪B）∩C＝{﹣1，0，1}．故选：C．2．【解答】解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．当目标函数z＝3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，故选：C．3．【解答】解：由x3＞8，得x＞2，则|x|＞2，反之，由|x|＞2，得x＜﹣2或x＞2，则x3＜﹣8或x3＞8．即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．故选：A．4．【解答】解：若输入N＝20，则i＝2，T＝0，＝＝10是整数，满足条件．T＝0+1＝1，i＝2+1＝3，i≥5不成立，循环，＝不是整数，不满足条件．，i＝3+1＝4，i≥5不成立，循环，＝＝5是整数，满足条件，T＝1+1＝2，i＝4+1＝5，i≥5成立，输出T＝2，故选：B．5．【解答】解：∵a＝，b＝，c＝，且5，∴，则b＝＜，∴c＞a＞b．故选：D．6．【解答】解：将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sin[2（x﹣）+]＝sin2x．当x∈[]时，2x∈[，]，函数单调递增；当x∈[，]时，2x∈[，π]，函数单调递减；当x∈[﹣，0]时，2x∈[﹣，0]，函数单调递增；当x∈[，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增．故选：A．7．【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y＝，即bx﹣ay＝0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF＝＝3，EF＝＝b，所以b＝3，双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a＝．则双曲线的方程为：﹣＝1．故选：A．8．【解答】解：解法Ⅰ，由题意，＝2，＝2，∴＝＝2，∴BC∥MN，且BC＝3MN，又MN2＝OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°＝1+4﹣2×1×2×（﹣）＝7，∴MN＝；∴BC＝3，∴cos∠OMN＝＝＝，∴•＝||×||cos（π﹣∠OMN）＝3×1×（﹣）＝﹣6．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，知＝﹣＝3﹣3＝﹣3+3，∴＝（﹣3+3）•＝﹣3+3•＝﹣3×12+3×2×1×cos120°＝﹣6．故选：C．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．【解答】解：＝＝＝＝4﹣i，故答案为：4﹣i10．【解答】解：函数f（x）＝e x lnx，则f′（x）＝e x lnx+•e x；∴f′（1）＝e•ln1+1•e＝e．故答案为：e．11．【解答】解：由题意可知四棱锥A1﹣BB1D1D的底面是矩形，边长：1和，四棱锥的高：A1C1＝．则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为：＝．故答案为：．12．【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆，其圆心为（1，0），半径为1，则该圆的方程为（x﹣1）2+y2＝1．【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则，解得D＝﹣2，E＝F＝0；∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x＝0．故答案为：（x﹣1）2+y2＝1（或x2+y2﹣2x＝0）．13．【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，可得：3b＝a+6，则2a+＝＝≥2＝，当且仅当2a＝．即a＝﹣3时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．14．【解答】解：当x≤0时，函数f（x）＝x2+2x+a﹣2的对称轴为x＝﹣1，抛物线开口向上，要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则只需要f（﹣3）≤|﹣3|＝3，即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）＝﹣x2+2x﹣2a，在射线y＝x的下方或在y ＝x上，由﹣x2+2x﹣2a≤x，即x2﹣x+2a≥0，由判别式△＝1﹣8a≤0，得a≥，综上≤a≤2，故答案为：[，2]．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【解答】解：（Ⅰ）由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21个．（i）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，则事件M包含的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5个基本事件，∴事件M发生的概率P（M）＝．16．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得b sin A＝a sin B，又b sin A＝a cos（B﹣）．∴a sin B＝a cos（B﹣），即sin B＝cos（B﹣）＝cos B cos+sin B sin＝cos B+，∴tan B＝，又B∈（0，π），∴B＝．（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b＝＝，由b sin A＝a cos（B﹣），得sin A＝，∵a＜c，∴cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝，∴sin（2A﹣B）＝sin2A cos B﹣cos2A sin B＝＝．17．【解答】（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC；（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND，∵M为棱AB的中点，故MN∥BC，∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，在Rt△DAM中，AM＝1，故DM＝，∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC，在Rt△DAN中，AN＝1，故DN＝，在等腰三角形DMN中，MN＝1，可得cos∠DMN＝．∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为；（Ⅲ）解：连接CM，∵△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM＝，又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角．在Rt△CAD中，CD＝，在Rt△CMD中，sin∠CDM＝．∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．18．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{b n}的公比为q，由b1＝1，b3＝b2+2，可得q2﹣q﹣2＝0．∵q＞0，可得q＝2．故，；设等差数列{a n}的公差为d，由b4＝a3+a5，得a1+3d＝4，由b5＝a4+2a6，得3a1+13d＝16，∴a1＝d＝1．故a n＝n，；（Ⅱ）由（Ⅰ），可得T1+T2+……+T n＝＝2n+1﹣n﹣2．由S n+（T1+T2+……+T n）＝a n+4b n，可得，整理得：n2﹣3n﹣4＝0，解得n＝﹣1（舍）或n＝4．∴n的值为4．19．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2＝b2+c2，解得a＝3，b＝2，∴椭圆的方程为：，（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|＝2|PQ|，从而x2﹣x1＝2[x1﹣（﹣x1）]，∴x2＝5x1，易知直线AB的方程为：2x+3y＝6．由，可得＞0．由，可得，⇒，⇒18k2+25k+8＝0，解得k ＝﹣或k ＝﹣．由＞0．可得k，故k ＝﹣，20．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），t2＝0，d＝1时，f（x）＝x（x+1）（x﹣1）＝x3﹣x，∴f′（x）＝3x2﹣1，f（0）＝0，f′（0）＝﹣1，∴y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0＝﹣1×（x﹣0），即x+y＝0；（Ⅱ）d＝3时，f（x）＝（x﹣t2+3）（x﹣t2）（x﹣t2﹣3）＝﹣9（x﹣t2）＝x3﹣3t2x2+（3﹣9）x ﹣+9t2；∴f′（x）＝3x2﹣6t2x +3﹣9，令f′（x）＝0，解得x＝t2﹣或x＝t2+；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表；，）∴f（x）的极大值为f（t2﹣）＝﹣9×（﹣）＝6，极小值为f（t2+）＝﹣9×＝﹣6；（Ⅲ）曲线y＝f（x）与直线y＝﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，等价于关于x的方程（x﹣t2+d）（x﹣t2）（x﹣t2﹣d）+（x﹣t2）﹣6＝0有三个互异的实数根，令u＝x﹣t2，可得u3+（1﹣d2）u+6＝0；设函数g（x）＝x3+（1﹣d2）x+6，则曲线y＝f（x）与直线y＝﹣（x﹣t2）﹣6有3个互异的公共点，等价于函数y＝g（x）有三个不同的零点；又g′（x）＝3x2+（1﹣d2），当d2≤1时，g′（x）≥0恒成立，此时g（x）在R上单调递增，不合题意；当d2＞1时，令g′（x）＝0，解得x1＝﹣，x2＝；∴g（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上也单调递增；∴g（x）的极大值为g（x1）＝g（﹣）＝+6＞0；极小值为g（x2）＝g（）＝﹣+6；若g（x2）≥0，由g（x）的单调性可知，函数g（x）至多有两个零点，不合题意；若g（x2）＜0，即＞27，解得|d|＞，此时|d|＞x2，g（|d|）＝|d|+6＞0，且﹣2|d|＜x1；g（﹣2|d|）＝﹣6|d|3﹣2|d|+6＜0，从而由g（x）的单调性可知，函数y＝g（x）在区间（﹣2|d|，x1），（x1，x2），（x2，|d|）内各有一个零点，符合题意；∴d的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．。
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专题8 应用平面向量解决几何问题【母题原题1】【2018天津，文8】在如图的平面图形中，已知1,2,120,2,2OM ON MON BM MA CN NA ==∠=︒== ，则BC OM ⋅的值为（ ）A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【答案】C【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 【母题原题2】【2017天津，文14】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC = ，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________． 【答案】311【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．【母题原题3】【2016天津，文7】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为（ ）（A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B 【解析】考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来． 【母题原题4】【2015天津，文13】在等腰梯形ABCD 中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且，1,,9BE BC DF DC λλ== 则AE AF ⋅的最小值为 ．()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅ 的最小值为2918．A【考点定位】向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式．【名师点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式．运用向量的几何运算求,AE AF，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE AF ⋅，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力．是思维能力与计算能力的综合体现．【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查平面向量的线性运算和坐标运算．【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要有两种：其一为平面向量的线性运算，其二为平面向量的坐标运算．【答题模板】解答本类题目，以2018年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：选基底，选用的基底最好已知向量的模和夹角．本题选取,AB AC为基地，已知3AB = ，2AC = ，且两向量夹角为060．第二步：借助向量的加法、减法及数乘运算表示出解题需要的有关向量．本题中由于2BD DC =，利用定比分点公式表示1232AD AB AC =+ ，根据已知AE AC AB λ=- 用AB AC 、 表示AE．第三步：利用题目所提供的条件（如向量的夹角、模或数量积等）列出向量所满足的要求．本题需要满足条件4AD AE ⋅=-，借助AB AC 、的模和数量积解题． 第四步：根据要求解方程，求出λ． 【方法总结】1. 求向量的模：（求模必先求模方，得出模方勿忘开方）根据公式22a a a a =⋅= ，求出模的平方，然后开方得出向量的模，同样题目中有时给出某向量的模的大小时，也是利用向量的模的平方去解题的． 2. 求两个向量的夹角：（点积比模积）利用向量夹角公式cos a ba b θ⋅=⋅，使用本公式求夹角时，要注意利用数量积与模的关系．3. 求数量积：cos ,a b a b a b ⋅=<>确定应使用的一组基地，要求已知基地的模和夹角，利用加、减、数乘运算表示向量，然后利用数量积运算进行计算．4. 向量的坐标运算建立适当的平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量的坐标运算公式进行计算． 有关向量的坐标运算公式：设1122(,),(,)a x y b x y ==，（1）a =（2）1212(,)a b x x y y ±=±±（3）11(,)a x y λλλ=（4）1212a b x x y y ⋅=+（5）设向量,a b 的夹角为θ，则cos a ba bθ⋅==⋅（6）非零向量12120a b x x y y ⊥⇔+=（7）1221//0a b x y x y ⇔-=1．【2018天津市南开中学高三第四次月考】如图，在ABC ∆中，2CM MB =，过点M 的直线分别交射线,AB AC 于不同的两点,P Q ，若AP mAB = ，AQ nAC =，则()1m n +的最小值为（ ）．A ．B ．C ．6D ．2 【答案】D【解析】试题分析：因P M Q ,,三点共线，故n m )1()1(λλλλ-+=-+=，又CMAC AM +=323132+=+=，m n λλ=-=32,)1(31，所以321=+mn ，=+-=+)1(132)1(n n n n m 2)54(92)5134)13((92=+⨯≥+-⨯-⨯n n 当且仅当1,1==mn 时取等号考点：向量与基本不等式2．【四川南充高级中学2018届高三考前模拟】已知平面向量，，当时，的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C在OB上取点D，使得，在AB上有动点C，使（），则，．故选：C．点睛：本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，训练了灵活解决问题和处理问题的能力．3．【宁夏回族自治区银川一中2018届高三考前适应性】已知，，是平面向量，其中，，且与的夹角为，若，则的最大值为A．B．C．D．【答案】C取得最大值+1．故选C。
点睛：（1）本题主要考查平面向量的运算及数量积，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力．(2)解答本题的关键有两点，其一是根据已知条件设出向量，画出图形，再解答．其二是找到的终点的轨迹．4．【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学红卷】在直角梯形中，，同一平面内的两个动点满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B如图所示，则，当三点共线时，点在之间时，取最小值，；当点在之间时，取最大值，，从而的的取值范围是，故选B．点睛：本题主要考查了平面向量的运算，以及圆的最值问题，其中把，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，转化为圆的应用问题求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法以及分析问题、解答问题的能力．5．【甘肃省西北师范大学附属中学2018届高三冲刺诊断】已知向量则A．30°B．45°C．60°D．120°【答案】A点睛：（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．6．【河北省衡水中学2018届高三第十七次模】已知，点在线段上，且的最小值为1，则()的最小值为（）A．B．C．2 D．【答案】B【解析】分析：由可得点O在线段的垂直平分线上，由结合题意可得当C是的中点时最小，由此可得与的夹角为，故的夹角为．然后根据数量积可求得，于是可得所求．详解：∵，∴点O在线段的垂直平分线上．∵点在线段上，且的最小值为1，，当且仅当时等号成立．∴的最小值为3， ∴的最小值为．故选B ．点睛：求解平面向量最值或范围问题的常见方法 (1)利用不等式求最值，解题时要灵活运用不等式．(2)利用函数思想求最值，常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式，然后利用函数思想求最值，有时也常与三角函数知识结合求最值．(3)利用数形结合思想求最值，利用平面向量“形”的特征，挖掘向量的模所表示的几何意义，从图形上观察分析出模的最值．7．【上海市徐汇区2018届高三下学期学习能力诊断】在四边形中，，且·＝0，则四边形是--------（ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形 【答案】A【解析】由题意，根据两个向量相等的定义，由，可知与平行且相等，所以四边形为平行四边形，又，即，亦是平行四边形的对角线互相垂直，因此可判断平行四边形为菱形．8．【山东省聊城市2018届高三第一次模拟】在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ∆所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．-2D ．-1 【答案】C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则()0,2A ．9．【广西南宁市2018届高三（上）9月摸底】已知O 是△ABC 内部一点，0OA OB OC ++= ，2AB AC ⋅=且∠BAC=60°，则△OBC 的面积为（ ）A ．3 B ．12 C ．2D ．23【答案】A【解析】∵0OA OB OC ++= ，∴OA OB OC +=-，∴O 为三角形的重心，∴OBC 的面积为ABC 面积的13，∵2AB AC ⋅= ，∴c o s 2A B A C B A C ⋅∠ ＝，∵60BAC ∠=︒，∴4A B A C ⋅= ，ABC 面积为1sin 2AB AC BAC ⋅∠= ，∴OBC A ． 点睛：此题是个中档题．本题考查向量的平行四边形法则；向量的数量积公式及三角形的面积公式，特别注意已知O 是ABC 内部一点，0OA OB OC ++= O ⇔为三角形ABC 的重心，以及灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．10．【2017-2018上海市杨浦区高三数学一模】设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅= ，0AC AD ⋅= ，0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积，则123S S S ++的最大值是（ ）A ．12B ．2C ．4D ．8 【答案】B∴123S S S ++的最大值是2，故选B 。