第37-38节 梁的应力计算与强度校核(二)
梁的应力计算公式全部解释
梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。
在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。
梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。
梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。
在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。
下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。
1. 弯曲应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。
弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。
其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。
弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。
2. 剪切应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。
剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。
其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。
剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。
3. 轴向应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。
轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。
梁的应力和强度计算
梁的应力和强度计算1.梁的基本假设梁的基本假设包括：梁材料是均匀各向同性的，梁截面是平面截面，梁的纵向伸缩变形可以忽略，梁的横向收缩变形可以忽略，梁截面平面保持平直。
2.梁的受力分析在进行梁的应力和强度计算之前，需要对梁的受力进行分析。
常见的梁的受力包括弯曲、剪切和轴向拉压等。
2.1弯曲弯曲是梁的一种主要受力状态，发生在梁受到弯矩作用时。
对于弯曲受力的梁，可以运用梁弯曲理论进行应力和强度计算。
常见的梁弯曲理论包括欧拉-伯努利梁理论和延性梁理论。
2.2剪切剪切是梁的另一种重要受力状态，发生在梁上部分截面受到剪力作用时。
剪切力引起梁截面上的剪应力，可以通过剪切变形理论进行计算。
2.3轴向拉压轴向拉压发生在梁上部分截面受到轴向拉力或压力作用时。
轴向拉力或压力引起梁截面上的轴向应力，可以通过轴向变形理论进行计算。
3.梁的应力分析根据梁的基本假设和受力分析，可以进行梁的应力分析。
梁的应力分析包括黄金区和非黄金区的判断、应力分布的计算和强度设计的确定。
3.1黄金区和非黄金区判断黄金区是指梁截面上应力最大的区域，通常位于材料的纤维处。
在黄金区内，应力达到梁材料的屈服强度。
非黄金区则是指其他区域，应力小于屈服强度。
3.2应力分布计算根据梁的受力和应力分析，可以计算出梁截面上的应力分布。
应力分布的计算可以通过梁的几何形状、外力和边界条件以及材料的性质来确定。
常见的应力分布包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力等。
4.梁的强度设计梁的强度设计是根据计算得到的应力分布进行的。
根据材料的强度，可以确定梁的尺寸和形状，以满足梁的极限状态和使用状态的要求。
总结起来，梁的应力和强度计算是梁力学中的基本问题，包括梁的受力分析、应力分布计算和强度设计等内容。
通过合理的计算和设计，可以确保梁的安全和可靠性，提高结构的性能。
梁的应力及强度计算
梁的应力及强度计算梁是一种常见的结构元件，用于承受或分配荷载。
在设计和分析梁的过程中，计算梁的应力及强度是非常重要的。
本文将详细介绍梁的应力及强度计算方法。
首先，梁的应力定义为单位面积上的力，用公式表示为：σ=M*y/I其中，σ表示梁的应力，M表示梁的弯矩，y表示距离中性轴的垂直距离，I表示梁的截面惯性矩。
梁的应力通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力。
弯曲应力是由于弯曲力引起的应力，计算公式为：σ_b=M*y/I其中，σ_b表示弯曲应力。
剪切应力是由于纵向剪力引起的应力，计算公式为：τ=V*Q/(b*t)其中，τ表示剪切应力，V表示纵向剪力，Q为形状系数，b为梁的宽度，t为梁的厚度。
轴向应力是由于轴向力引起的应力，计算公式为：σ_a=N/A其中，σ_a表示轴向应力，N表示轴向力，A表示梁的截面积。
梁的强度是指在给定的荷载下梁能够承受的最大应力。
在计算梁的强度时，通常需要将不同种类的应力进行合并。
弯曲强度是指梁在弯曲荷载下的抗弯矩能力。
根据材料的弯曲性能和形状，可以采用破坏理论或变形理论计算梁的弯曲强度。
剪切强度是指梁在剪切荷载下的抗剪切能力。
根据材料的剪切性能和梁的几何形状，可以计算出梁的剪切强度。
轴向强度是指梁在轴向荷载下的抗轴向力能力。
轴向强度的计算通常基于材料的抗拉性能。
在进行梁的应力及强度计算时，还需要考虑其他因素，如材料的弹性模量、断裂韧性和安全系数等。
总之，梁的应力及强度计算是结构设计和分析中必不可少的一部分。
通过合理的计算方法，可以确保梁在荷载下的正常工作和安全使用。
梁的应力和强度计算
z dA dM z y dA
dM y
( Stresses in Beams) 将应力表达式代入(1)式，得
FN
A
E
y
dA 0
E
A
ydA 0
待解决问题：
中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
S z ydA 0 A
y M y zE dA 0 A
中性轴通过横截面形心
伽利略（G.Galiieo, 1564-1642）的研究中认为： 弯曲应力是均匀分布的 （《两门新科学的对话》1638 年出版 ） ， 因而得不到正确的公式，大科学家有时 也弄错。
( Stresses in Beams)
C C
Z 中性轴
Z
y
压
C M M
y 拉
C
Z
Z 两部分。
?
( Stresses in Beams)
横截面的 对称轴
横截面
y σ Eε E ρ
M
中性层
中性轴
1、中性轴的位置（Location of the neutral axis) 2、中性层的曲率半径 (Curvature radius of the neutral surface)
?
中性轴
( Stresses in Beams)
强度条件（strength condition)：
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1、数学表达式（mathematical formula)
max
M max [ ] W
2、强度条件的应用(application of strength condition)
M max (1) 强度校核 [ ] W M max (2)设计截面 W [ ] (3)确定许可核载 M max W [ ]
梁的应力计算课件
高性能计算机的应用
云计算 随着云计算技术的发展，未来将更多地使用云计算资源进 行梁的应力计算。云计算资源具有高计算能力和可扩展性， 可以处理大规模的计算任务。
并行计算 并行计算可以同时处理多个计算任务，提高计算效率。未 来将发展更高效的并行算法，以更快地计算梁的应力响应。
高性能GPU加速 高性能GPU可以加速数值计算过程。未来将更多地使用 GPU加速技术，提高梁的应力计算的效率。
边界元法
边界积分方程
根据弹性力学的基本方 程，建立梁的边界积分 方程。
边界元离散
将梁的边界离散化为多 个小的单元。
单元应力计算
对每个单元进行应力计 算，得到每个单元的应 力分布。
整体应力合成
将所有单元的应力进行 合成，得到整个梁的应 力分布。
梁的应力计算实例
04
简支梁的应力计算
计算跨中截面
在跨中截面处，弯矩为零，因此可以计算出该截面的应力。需要使用挠曲线近似 法或弹性力学公式进行计算。
梁的应力计算课件
目录
• 梁的应力概述 • 梁的应力计算原理 • 梁的应力计算方法 • 梁的应力计算实例 • 梁的应力计算中的问题和挑战 • 梁的应力计算的未来发展
梁的应力概述
01
梁的应力定义
正应力
梁横截面上的内力，垂直于横截 面且指向材料内部。
剪应力
梁横截面上的内力，与横截面相 切且垂直于指向材料内部的直线。
简支边界
当梁的两端简支时，两端的位移和转角均不受限 制，但梁的跨中位置会产生较大的弯曲应力。
材料非线性的影响
弹性非线性
材料在弹性阶段内的应力-应变关系是非线性的，需要考虑这种非线性对梁的应力分布的影响。
塑性非线性
梁的应力和强度计算
剪切应力的计算步骤和实例
实例 1. 一根简支梁，跨度为$L$，在跨中受到集中力$F$的作用。求该梁的剪切应力。
2. 一根连续梁，跨度为$L$，在中间支座受到集中力$F$的作用。求该梁的剪切应力。
05
梁的强度计算
强度计算的原理和方法
极限应力法
根据梁的极限应力进行计算，确保梁在承受最大 载荷时不会发生断裂或屈服。
实例
假设有一根简支梁，跨度为L，承受均布载荷q，截面面积为A。根据正应力的计算公式，可以得出正应力的大小 为σ=q*L/2A。如果已知梁的材料和截面尺寸，可以通过查找或试验得到材料的屈服强度或极限强度，并与计算 出的正应力进行比较，以判断梁的强度是否满足要求。
04
梁的剪切应力计算
剪切应力的定义和计算公式
建立梁的力学模型
根据梁的几何形状、材料属性和载荷条件， 建立相应的力学模型。
强度校核
将计算得到的最大应力与材料的许用应力进 行比较，判断是否满足强度要求。
强度计算的注意事项和限制条件
材料属性
了解所用材料的机械性能，如弹性模 量、泊松比、屈服强度等。
支承条件
考虑梁的实际支承条件，如固定、简 支或滑动支承，对计算结果的影响。
剪切应力
在梁的剪切区域，由于相邻截面发生相对错动而产生的应力。
计算公式
剪切应力的大小与作用在剪切面上的外力成正比，与剪切面的面积成反比。公式为：$tau = frac{F}{A}$， 其中$tau$为剪切应力，$F$为作用在剪切面上的外力，$A$为剪切面的面积。
剪切应力的分布和影响
分布
剪切应力在梁的剪切面上是均匀分布的，但在剪切区域之外，由于弯曲应力的存在，剪 切应力会发生变化。
梁的应力和强度计算
梁的强度计算有哪些内容
梁的强度计算是梁设计中的重要环节，主要包括以下几个方面：
抗弯强度计算：梁在弯曲载荷作用下，会产生弯曲变形。
为了确保梁的安全使用，需要计算其抗弯强度。
抗弯强度通常通过材料力学中的弯曲应力公式进行计算，公式中考虑了载荷大小、梁的截面尺寸和材料属性等因素。
剪切强度计算：梁在剪切载荷作用下，会产生剪切变形。
剪切强度同样需要考虑载荷大小、梁的截面尺寸和材料属性等因素。
在某些情况下，剪切强度可能成为梁设计的关键因素，因此需要进行精确计算。
局部强度计算：在梁的某些部位，如支座、集中载荷作用点等，可能存在应力集中的现象。
这些部位的局部强度需要单独进行计算，以确保梁在这些部位不会发生破坏。
稳定性计算：在某些情况下，梁可能会受到稳定性问题的影响。
例如，当梁的长度过长或者截面尺寸过小，或者受到侧向载荷的作用时，都可能导致梁的失稳。
因此，在梁的设计过程中，需要进行稳定性计算，以确保梁在使用过程中保持稳定。
疲劳强度计算：对于承受循环载荷的梁，如车辆、飞机等结构中的梁，需要考虑疲劳强度。
疲劳强度与材料的疲劳性能、载荷的大小和循环次数等因素有关。
在疲劳强度计算中，通常采用疲劳极限公式或者疲劳曲线进行计算。
综上所述，梁的强度计算涉及多个方面，包括抗弯强度、剪切强度、局部强度、稳定性和疲劳强度等。
在进行梁的设计时，需要根据具体情况选择合适的计算方法和控制标准，以确保梁的安全使用。
梁的应力和强度计算
将应力表达式代入(2)式，得
E
E
y
A
yzdA 0
FN dA
A
0 (1)
I yz A yzdA 0
M yE dA
A
M y
自然满足
Mz
zdA 0 (2)
A
将应力表达式代入(3)式，得
ydA M(3)
A
y
M
E
A
y dA
2
M
E
Iz
z dA dM z y dA
dM y
( Stresses in Beams) 将应力表达式代入(1)式，得
FN
A
E
y
dA 0
E
A
ydA 0
待解决问题：
中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
S z ydA 0 A
y M y zE dA 0 A
中性轴通过横截面形心
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力FS 内力 切应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力(normal stresses )，
弯矩M
正应力
又有 切应力(shear Stresses)
( Stresses in Beams)
纯弯曲（pure bending)
强度条件（strength condition)：
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1、数学表达式（mathematical formula)
max
M max [ ] W
2、强度条件的应用(application of strength condition)
梁应力强度计算
第五章 平面弯曲梁的强度
内容： 梁的应力、强度计算
τ→FS
z
dA
FS y
σ→M
M
z
dA
dA
y
M =∫yσσd
A
§5.1 梁的正应力
一、纯弯曲梁横截面上的正应力
F
F
a
l
a
FS F
M
x
F Fa
x
FS M
纯弯曲梁
Me
l
x
Me
450×0.03 2×45×10－9
=150
MPa
（－）
习题5-13 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A、B两点间长度
Δl=27×10－3mm，材料的E=200GPa。试求梁截面上的弯矩M。
解：
50
5
M
AB
M
●
●
ε=
Δl l
=
27×10－3 50
=5.4×10－4
σ=Eε=200×109×5.4×10－4=108MPa
BC段： d2 ≥ 3
32×455×103 π140×106
= 321 mm
取: d1=250mm d2=322mm
例11. 已知：[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，
试选工字钢梁的型号。
解： Fsmax=6kN
1.σ计算：
σmax =
M max Wz
≤ [σ]
M max = 8 kN • m
=
1 2
qab+
1 8
qb2
=
0.02375q
N
•
m
梁的强度校核概论
梁的强度校核概论梁的强度校核是结构工程中非常重要的一项计算工作。
梁作为承载结构的一部分，其强度的合理校核是保证结构安全可靠的基础。
本文将介绍梁的强度校核的概论，包括梁的受力特点、梁的强度计算方法和梁的强度校核的应用。
首先，我们来了解一下梁的受力特点。
梁一般是承受横向荷载和纵向荷载的结构件，其主要受力状态有弯曲、剪切和轴力。
在梁受外力作用下，会引起梁的弯曲变形和内力产生。
因此，梁的强度校核主要包括对弯曲承载力、剪切承载力和轴力承载力的校核。
其次，我们介绍一下梁的强度计算方法。
梁的强度计算主要依据结构力学的基本原理和材料力学的基本公式进行。
对于弯曲承载力的计算，常用弯曲应力与弯曲应变之间的线性关系，根据弯矩引起的应力和截面形状来计算梁的弯曲承载力。
对于剪切承载力的计算，一般采用材料剪切破坏准则来进行，根据剪应力和截面形状来计算梁的剪切承载力。
对于轴力承载力的计算，一般考虑材料的抗拉和抗压性能来计算梁的轴力承载力。
最后，我们来看一下梁的强度校核的应用。
梁的强度校核主要用于结构设计和结构施工中。
在结构设计中，需要根据设计荷载和计算结果对梁的强度进行校核，以保证结构的安全可靠。
在结构施工中，需要对梁的材料和截面形状进行检查和评定，以保证梁的强度满足设计要求。
此外，在梁的细部构造和连接设计中，也需要根据梁的强度校核结果进行合理的设计和选择。
总之，梁的强度校核是结构工程中非常重要的一项计算工作。
通过对梁的受力特点、强度计算方法和强度校核的应用进行了解，可以更好地理解和应用梁的强度校核。
在实际工程中，还需要根据具体的结构要求和设计规范进行具体的强度校核工作，以确保梁的安全可靠。
梁的正应力强度计算.
§7-2 梁的正应力强度计算一、最大正应力在强度计算时，必须算出梁的最大正应力。
产生最大正应力的截面，称为危险截面。
对于等直梁，弯矩最大的截面就是危险截面。
危险截面上的最大应力处称为危险点，它发生在距中性轴最远的上、下边缘处。
对于中性轴是截面对称轴的梁，最大正应力的值为：maxmax max zM y I σ=令zz maxI W y =，则 maxmax zM W σ=式中z W 称为抗弯截面系数，是一个与截面形状和尺寸有关的几何量。
常用单位是m 3或mm 3。
z W 值越大，max σ就越小，它也反映了截面形状及尺寸对梁的强度的影响。
对高为h 、宽为b 的矩形截面，其抗弯截面系数为：32z z max /12/26I bh bh W y h ===对直径为d 的圆形截面，其抗弯截面系数为：43z z max /64/232I d d W y d ππ===对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如图7-9所示的T 形截面梁，在正弯矩M 作用下梁下边缘处产生最大拉应力，上边缘处产生最大压应力，其值分别为：+1max z My I σ=2maxzMy I σ-=令z 11I W y =、z 22IW y =，则有： +max 1M W σ=max2M W σ-=maxσ-图7-9二、正应力强度条件为了保证梁能安全地工作，必须使梁截面上的最大正应力max σ不超过材料的许用应力，这就是梁的正应力强度条件。
现分两种情况表达如下：1、材料的抗拉和抗压能力相同，其正应力强度条件为：maxmax z[]M W σσ=≤ 2、材料的抗拉和抗压能力不同，应分别对拉应力和压应力建立强度条件：+maxmax 1[]M W σσ+=≤ max max2[]MW σσ--=≤ 根据强度条件可解决有关强度方面的三类问题：1）强度校核：在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸（即已知[]σ、z W ）以及所受荷载（即已知max M ）的情况下，可以检查梁是否满足正应力强度条件。
梁的应力及强度计算
梁的应力及强度计算一、梁的基本概念梁是指在两个支点上支承荷载并能够产生弯曲的长条形结构。
根据材料的不同，梁可以分为钢梁、混凝土梁等。
计算梁的应力和强度需要了解以下几个基本概念：1.荷载：梁承受的力或力矩称为荷载。
荷载可以是集中力、均布力、集中力矩等多种形式。
2.弯矩：梁在受力作用下产生的弯曲效应称为弯矩。
弯矩大小与荷载和梁的几何特性有关。
3.应力：梁内部产生的力与横截面积之比称为应力。
应力可以分为弯曲应力、切应力、正应力等多种形式。
4.强度：梁材料的最大承受能力称为强度。
强度可以用来评估梁的安全性。
二、计算梁的应力梁的弯曲应力是梁内部最重要的应力之一、梁的弯曲应力随着距离中心越远而越大，有最大值和最小值。
计算梁的弯曲应力需要以下步骤：1.确定荷载和荷载点：首先要确定梁所受的各种荷载，包括集中力、均布力等，以及荷载点的位置。
2.画剪力和弯矩图：根据已知的荷载和支座条件，可以绘制梁的剪力和弯矩图。
剪力图表示横截面上剪力的大小和方向，弯矩图表示横截面上弯矩的大小和方向。
3.计算弯曲应力：根据梁的几何尺寸和荷载信息，可以计算出梁上任意截面处的弯曲应力。
根据梁的几何形状和弯矩分布，可以使用弹性力学理论进行计算。
4.判断应力的安全性：计算得到的弯曲应力应与材料的抗弯强度进行比较，以判断梁的安全性。
如果弯曲应力小于抗弯强度，则梁在弯曲方面是可靠的。
三、计算梁的强度梁的强度是指梁材料的最大承载能力。
计算梁的强度需要以下步骤：1.确定梁材料的特性：了解梁材料的力学性质，包括抗弯强度、抗压强度、抗拉强度等。
这些特性可以从材料的标准和试验中获取。
2.根据荷载计算弯矩：根据梁所受的荷载和支座条件，计算出梁上各点的弯曲弯矩。
弯矩大小和分布决定了梁的强度。
3.计算截面的几何特性：根据梁的几何形状，计算出梁截面的相关几何特性，包括截面面积、惯性矩、截面模量等。
这些参数在计算强度时起关键作用。
4.判断强度的安全性：根据弯矩和截面几何特性，计算出梁的强度。
梁的应力及强度计算
Q图
-
2KN
y2=32.8mm由弯矩图可知上部受拉，下部受压
最大拉应力在上边缘
1KNm
s l max
M maxy1 IZ
1106 15.2 25.6 104
59.4MPa 拉
M图
最大压应力在下边缘
s ymax
M maxy2 IZ
1106 32.8 25.6 104
128.1MPa压
23
9 104
:3
144 104
:
4
3
642
2
104
3 72 : 3 144 : 3 64
结论：矩形截面最省料；圆形截面用料最多。
Z
Z
习题8-44
2、横截面上：在与中性轴平行的一条直线上的各点应力相 等。
3、截面上与中性轴距离最远的点应力最大。
横截面上正应力的画法：
M 0
M 0
M
M
smax
smax
第九章 梁的应力及强度计算
公式适用范围： ①弹性范围—正应力小于比例极限； ②精确适用于纯弯曲梁； ③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公 式的误差不大。
20kNm
20kNm
-
-
50 2003 50 200 94.6 1502
12 102106 mm4
+
20kNm
10kN/m
CA 2m
40kN
D 2m 2m
10kN/m
BE 2m
Q图
20kN
20kN
+
+
-
20kN
梁的应力和强度计算
例7-2.2 T 字形截面的铸铁梁受力 如图，铸铁的[sL]=30MPa，
1m
[sy]=60 MPa，其截面形心位于G
点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？ 解：画弯矩图并求危面内力
2.5kNm A1 G y1
A3
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
28
M
qL2/8
x
+
q=3.6kN/m
求最大应力并校核强度
M max 6M max 6 4050 s max 2 Wz bh 0.12 0.182
qL 2
Q
6.25MPa 7MPa [s ]
+
–
qL 2
x
FS max 1.5 5400 t max 1.5 A 0.12 0.18 0.375MPa 0.9MPa [t ]
例7.2.1 受均布载荷作用的简支
梁如图所示，试求： （1）1—1截面上1、2两点的 正应力； （2）此截面上的最大正应力；
（3）全梁的最大正应力；
（4）已知E=200GPa，求1—1 截面的曲率半径。
qL2 8
+ M
120 y
z
M1 Mmax
x
解：画M图求截面弯矩
qLx qx2 M1 ( ) 2 2
t max
S
z max
bI z
22
圆形截面梁
最大剪应力仍发生在中性轴上:
t max
FS S z max bI z
t max
4 FS 3 A
Iz—圆形截面对中性轴的惯性矩； b — 截面中性轴处的宽度； Sz*—中性轴一侧半个圆形截面对中性轴的静矩
工程力学--梁的应力及强度计算
课时授课计戈I」教学过程： 复习：1、复习刚架的组成及特点。
2、复习平面静定刚架内力图的绘制过程。
新 课：第九章 梁的应力及强度计算 第一节 纯弯曲梁横截面上的正应力一、纯弯曲横梁截面上的正应力计算公式平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩 弯曲称为纯弯曲。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察现象：（1） 变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁 轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；（2） 梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的 纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
2、假设M 而无剪力Q = 0,这种m橫截囱中性层(1)平面假设：梁变形后，横截面仍保持为平面，只是绕某一轴旋转了一个角度，且仍与变形后的梁轴曲线垂直。
中性层：梁纯弯曲变形后，在凸边的纤维伸长，凹边的纤维缩短，纤维层中必有一层既不伸长也不缩短，这一纤维层称为中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
中性轴将横截面分为两个区域——拉伸区和压缩区。
注意：中性层是对整个梁而言的；中性轴是对某个横截面而言的。
中性轴通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。
(2)纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。
各纵向纤维只产生单向的拉伸或压缩。
3、推理纯弯曲梁横截面上只存在正应力，不存在剪应力。
二、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由胡克定律可知通过上式可知横截面上正应力的分布规律，即横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴之间的距离成正比，也就是正应力沿截面高度呈线性分布，而中性轴上各点的正应力为零。
中性轴4三、纯弯曲横梁截面上正应力计算公式梁在纯弯曲时的正应力公式：My式中：c ――梁横截面上任一点的正应力;M ――该点所在横截面的弯矩；y ——所求正应力点到中性轴的距离。
正应力的单位为：Pa 或MPa ,工程上常用MPa公式表明：梁横截面上任一点的正应力c 与截面上的弯矩 M 和该点到中性轴的距离成正比，而与截面对中性轴的惯性矩IZ 成反比。
梁的强度计算
ab
e
f
(c)
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（三）静力学关系：
N d0 E y d0—中性轴Z必通过形心
My zdA 0E zyd0 A ; —中性轴是截面的形心主轴 M z yd AM E y2d AM
1 M ; —纯弯曲梁的变形计算公式 M Ez
z
M
o
dA
y
可得正应力计算公式：
My
z
dN
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第三节 梁的强度计算
为了保证梁在外力作用下能安全正常工作，必须限制梁内的 最大应力不超过材料的许用应力。由此建立梁的强度条件并进行 梁的强度计算。
等直梁的危险截面危险点为最大弯矩截面上下边缘处各点。
一、梁的正应力强度条件：
max
Mmax Iz
ymax
令Wz
Iz ; ymax
max
(2)C截面的正应力强度校核:
M
图
3 .0 k N m
4 .8 k N m
m axM W 2 C3.4 7MP ＞ aσ［ ］m axM W 1 C2.05MP ＜ aσ［ ］
(3)D截面的正应力强度校核:
m axM W 1 D3.27MP ＞ aσ［ ］m axM W 2 D5.53MP ＜ aσ［ ］
0 .2 m
M ma 9 x.8 k.m N ;W zM ma x 1 9 ..8 6 5 1 13 60 0 6c 23 m 8( a )
枕木
2m
h b
h1c8,m b1c3m
(2)校核剪应力强度
P 0 .2 m
P 1 .6 m
0 .2 m
Q ma 4 x k9.m N ;ma x 1 .5Q A 3 .1M 4＞ P］ a［ ( b ) l= 2 m
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梁的应力计算及强度校核
(一) 梁的强度计算 1．梁的正应力强度条件： (1)塑性材料梁
(2)脆性材料梁(通常采用与中性轴不对称的截面形状)
式中W1、W2分别为针对计算受拉区和受压区正应力的抗 弯截面系数。
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梁的应力计算及强度校核
2．梁的剪应力强度条件：
(1)一般形式：
(2)简化形式： k为截面形状系数。矩形、圆形、圆环形和工字形截面 的k值分别为1.5、4/3、2、1； A为横截面面积。但对于工字形截面，A为其腹板部分的 面积。
工程力学
第七章 梁的应力计算及强度校核之 剪应力与强度校核
பைடு நூலகம்
王晓平
梁的应力计算及强度校核
知识目标：
1．梁横截面剪应力作用形式、分布规律及最大剪应力的 计算方法。 2．梁的强度计算方法和提高梁弯曲强度的主要措施。
能力目标：
应用强度条件解决梁的强度计算问题。
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三、梁横截面上的剪应力
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矩形截面梁横截面上的最大剪应力计算公式
由公式 轴上)处，t = tmax，且
知，在y = 0(即中性
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2．非矩形截面梁横截面最大剪应力
一般公式 对于工程中较为常见的圆形、圆环形、工字形截面梁，其 横截面最大剪应力计算公式分别为 圆形截面 圆环形截面 工字形
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梁的应力计算及强度校核
【例5-8】图a所示矩形截面悬臂梁的截面尺寸为高度 h=20cm,宽度b=10cm，许用正应力和许用剪应力分别为 [s]=40MPa，[t]=12MPa。试校核此梁的强度。
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【例5-9】 工字形截面外伸梁如图a所示，已知材料的许 用正应力和许用剪应力分别为[s]=160MPa，[t]=100MPa 。试为此梁选定工字钢型号。
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如果梁是由型钢构成，则查附表3得到d、Ix、Sx后，由下 式计算其最大剪应力：
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【例5-7】 计算图5-36(a)所示矩形截面简支梁危险截面
上的最大剪应力。图中的截面尺寸为mm。
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四、梁的强度计算 在梁的强度计算中，除下面指出的几种特殊形式的梁必须 注意其剪应力强度问题外，通常是以正应力作为控制条件 ，而对剪应力只作(或不作)强度校核。 几种特殊形式的梁是： (1)高跨比较大的短粗梁，或在支座附近有较大集中荷载 作用的梁； (2)自行焊接的组合截面钢梁； (3)木梁(顺纹方向)。
1．矩形截面梁横截面上剪应力计算公式 矩形截面梁横截面上的剪应力计算公式基于以下两条假 定： (1)假定横截面上剪应力的方向都与该截面上剪力的方 向相同。 (2)假定距中性轴等距离处各点的剪应力相等。
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矩形截面上任意点剪应力计算公式为
由此可见，矩形截面梁横截面上的剪应力沿截面高度成抛 物线分布
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