第一章 第二讲 矩阵及初等变换_2-19_
矩阵的初等变换与初等矩阵52页PPT

第二章 矩阵的运算
14
例如,
1 0 1 0 4
A
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4c1c2
1 0
0 c 5 4 c 1 3 c 2 3 c 3 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 4 4
0 0 0
1 0 0
x1 1
B4
对应方程组为
x2
0
x 3 0
第二章 矩阵的运算
12
矩阵B3 和B4 都称为行阶梯形 . 矩阵 特点:
(1)、可划出 一条阶梯线,线 的下方全为零;
(2)、每个台 阶 只有一行,
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
A
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元,即非零行的第一个非 零元.
A
r42r10
r2 r1
0 0
1 1 0
3 3 0
2 2 0
4 6 2
4 10 6
第二章 矩阵的运算
17
r3 r2
3 0
r4 r3
0 0
2 1 0 0
3 3 0 0
4 2 0 0
5 4 2 0
9
4 6 0
(行阶梯形矩 阵)
2 2×1
x1
2x2 x3 x2 2x3 0
1
3 1 x2 3x3 0
1
2 (B2 )
3
第二章 矩阵的运算
2
3 2
x1
初等变换与初等矩阵课件

0 0 0
3 0 0
2 0 0
1
0
0
1 0 0 0
c2
1 3
c3 2c2
c4 c2
0 0
1 0
0 0
0 0
I2 O
O O
,
0 0 0 0
最后一个分块矩阵称为矩阵C1的等价标准形矩阵, 简称标准形,分块矩阵的左上角的单位阵的阶数恰9
好等于行阶梯形(或行最简形)矩阵中非零行的行
1 0 2 0 0 1
0 2 3 1 0 1
1 0 2 0 0 1
1 0 2 0 0 1
r2 3r3
r1 r3
0
1
6
0
1
3
r3 2r2
0
1
6
0
1
3
0 2 3 1 0 1
0 0 9 1 2 5
1
r3
1 9
r2 6r3
0
r1 2r3
0
0 1 0
0 0 1
2
9 2 3 1 9
如果A是可逆矩阵,我们可以用初等行变换的方法
求A1B:
A1 A, B I, A1B ,
32
或用初等列变换的方法求BA1:
A
B
A1
I BA1
.
例2.27 求矩阵X,使AX B,其中
1 2 3 2 5
A
2
3
2 4
1 3
,
B
3 4
1 3
.
解 对分块矩阵 A, B施行初等行变换:
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2
第二次课:第一章第二节 矩阵的初等变换

转置矩阵:把矩阵A的行换成同序数的列得到 转置矩阵 T 的新矩阵,记作:A 或 A′ 即 若
a11 a A = 21 L am1 a12 a22 L am2 L L L L
a21 a1n a12 a22 T a2n A = L L L amn m×n a a 1n 2n
1 2 3 4 A = 3 1 2 0 4 5 1 2
×(-4)
×2
1 2 6 4 3 1 4 0 = B 4 5 2 2
1 2 3 0 3 1 2 −12 = B 4 5 1 −14
1 2 3 4 A = 3 1 2 0 4 5 1 2
A→B
等 变 初 行 换 初等变换 等 变 初 列 换
初等变换将一个矩阵变为另一个矩阵
A→B A→个矩阵具有如下特征, 行阶梯形矩阵:如果一个矩阵具有如下特征,则称之为阶
矩阵: 梯(形) 矩阵: (1)零行 即元素全为零的行) 零行( (1)零行(即元素全为零的行)位于全部非零行的下方 如果矩阵有非零行的话); (如果矩阵有非零行的话); (2)非零行的首非零元 即位于最左边的非零元素) 非零行的首非零元( (2)非零行的首非零元(即位于最左边的非零元素)的列下 标随其行下标的递增而严格递增。 标随其行下标的递增而严格递增。 例如 矩阵:
11
则: a
L L L L
am1 am2 L amn n×m
注 : T中 i行 j列 元 意 A 第 第 的 素 = A中 j行 i列 元 aji 第 第 的 素
例如:
A= −1 2 0 1 2 −3
则:
−1 1 T A = 2 2 0 − 3
0 0 A= L 0
线性代数课件 矩阵的初等变换

第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列,得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k ),得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点:左上角为一个单 位矩阵,其他位置上的元素全 都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算,应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列; 2. 以数 k 0 乘某行或某列; 3. 以数 k 乘某行(列)加到另一行(列)上去.
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B, 就称矩阵 A 与 B 等价,记作A ~ B.
等价关系的性质:
(1)自反性 A A;
(2)对称性 若 A B , 则 B A; (3)传递性 若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵:
特点: (1)可划出一 条阶梯线,线的 下方全为零; (2)每个台阶 只有一行,
对应的元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”).
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换.
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同.
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
《矩阵的初等变换》课件

《矩阵的初等变换》PPT 课件
矩阵的初等变换,简要介绍了初等行变换、初等列变换、矩阵的行等价与列 等价、初等矩阵的定义与性质、矩阵的初等变换与线性方程组、应用举例: 高斯消元法,最后总结结论与要点。
初等行变换
1
加倍某行
将某行的所有元素乘以非零数k.
2
行交换
交换两行的位置.
3
行加减
将一行的倍数加到另一行或将一行的倍数加到另一行的倍数上.
2 性质
初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵,初等矩阵 的乘积仍是初等矩阵.
矩阵的初等变换与线性方程组系数矩阵可以通过矩
增广矩阵
2
阵的初等变换进行简化.
线性方程组对应的增广矩阵可以通过矩
阵的初等变换进行简化.
3
解的表示
矩阵的初等变换可以标记线性方程组的 解的个数和性质.
应用举例:高斯消元法
步骤
通过一系列初等变换将线性方程组化为阶梯形或简 化阶梯形,进而求解方程组的解.
示例
通过高斯消元法解决实际问题,如计算机图形学中 的求交问题.
结论及要点
结论
矩阵的初等变换能够简化矩阵的形式,标记线性方程组的性质和解的个数.
要点
掌握初等行变换和初等列变换的定义、性质和应用,理解矩阵的初等变换与线性方程组的关 系.
初等列变换
加倍某列
将某列的所有元素乘以非零数k.
列交换
交换两列的位置.
列加减
将一列的倍数加到另一列或将一列的倍数加到另一列的倍数上.
矩阵的行等价与列等价
行等价
两个矩阵之间可以通过一系列初等行变换互相转化.
列等价
两个矩阵之间可以通过一系列初等列变换互相转化.
初等矩阵的定义与性质
线性代数-矩阵的初等变换

求解未知量
根据行最简形式的矩阵,直接求解出未知量 的值。
案例分析:具体求解过程展示
案例一
01
简单线性方程组求解过程展示,包括构造增广矩阵、进行初等
变换和求解未知量等步骤。
案例二
02
复杂线性方程组求解过程展示,涉及更多未知量和更复杂的增
广矩阵,展示如何利用初等变换求解该类问题。
案例三
03
含参数线性方程组求解过程展示,通过引入参数,展示如何对
含参数的线性方程组进行求解和分析。
04 初等变换在矩阵秩计算中 应用
矩阵秩定义及性质
矩阵秩定义:矩阵A中不等 于0的子式的最大阶数称为
矩阵A的秩,记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩是非负的,且等于 其行秩或列秩。
若矩阵A可逆,则r(A)=n, 其中n为A的阶数。
若矩阵A为0矩阵,则 r(A)=0。
初等变换与矩阵的等价关系
通过初等变换,我们可以得到与原矩阵等价的矩阵。这种等价关系在线性代数中具有重要意义,它揭示了矩 阵之间的一种本质联系。
初等变换在求解线性方程组中的应用
通过对方程组的增广矩阵进行初等变换,我们可以将方程组化为简化阶梯形式,从而方便地求出方程组的解。
对未来研究方向和趋势展望
深入研究初等变换的 性质和应用
条件
01
非零行的首非零元为1;
02
首非零元所在列的其他元素全 为零。
03
性质
最简形矩阵是唯一的;
对于任意行阶梯形矩阵,总可
04
05
以通过初等行变换化为最简形
矩阵。
06
行阶梯形与最简形矩阵,二者都可以通过初等行变换得到。
区别
行阶梯形矩阵只要求非零行的首非零元所在列的上三角元素全为零,而最简形矩阵还要求非零行的首非零元为1, 且所在列的其他元素全为零。因此,最简形矩阵比行阶梯形矩阵具有更简洁的形式。
矩阵及其初等变换

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 (3) 1 0 1 1 1 0 2 0 1 1 1 0 .
16
理学院数学科学系
20 17 12 A 30 20 10 4 80 68 48 B 4 A 120 80 40
17
理学院数学科学系
数与矩阵的乘法运算规则
( ) A ( A) ( ) A A A
4
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a11 a21 A a m1
a12 aLeabharlann 2 am 2 a1n a2n amn
这 mn 个数称为矩阵A的元素,简称为元,数 a ij 位于矩 阵的第i行第j列,称为矩阵的(i,j)元.以数 a ij 为(i,j)元的矩 阵可简记作 ( a ij ) 或 ( a ij ) m n . m n 矩阵A也记作 Am n . 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为 复矩阵. 矩阵的记号是在数表外加上括弧,与行列式的记号(在 数表外加上双竖线)是不同的,这是两个不同的概念. 矩阵的行数和列数不一定相等.
22
理学院数学科学系
特别注意-乘积不可交换
AB乘积一般不可以交换, (1) A21 , B13 , AB为 2 3矩阵,但BA无意义; (2) A23 , B3 2 , AB和BA均有意义,但AB为2阶矩阵, BA为3阶矩阵.
若 AB BA, 则称矩阵 A、B 乘积可交换. 由于矩阵不可交换,所以矩阵乘法分为左乘和右乘.
10
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例1.3 n个变量 x1 , x2 ,, xn 与m个变量之间的 y1 , y2 ,, ym 关系式
第一章 第二讲 矩阵及矩阵初等变换2

第二讲 矩阵及初等变换(4节)在上一讲中,我们简单介绍了n 元线性方程组的求解过程是如何用数表的形式来表达的思想,这种既能简化求解方程组的过程又使得求解形式简单明了的数表,我们称之为矩阵。
矩阵是线性代数中重要的概念之一,它的理论与方法在数学、经济、工程技术等方面都有较广泛的应用。
著名的列昂节夫投入—产出模型就是利用矩阵这一数学工具建立起来的。
因此掌握矩阵这一数学工具是非常必要的。
本讲的主要内容就是给出矩阵的概念及运算性质,为下一步更好地利用矩阵理论与方法讨论线性方程组提供有力的理论支撑。
1.2.1矩阵的概念定义2.1 由m n ⨯个数i j a (=1,2,,i m ;=1,2,j n )排成了m 行n 列的矩形数表111212122212n n m m m na a a a a a a a a称其为m 行n 列矩阵,记作111212122212n nm m m n m na a a a a a a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
其中称ij a 是矩阵的第i 行第j 列元素。
矩阵常用大写字母m n A ⨯,m n B ⨯… ...表示,或简记m n A ⨯=()ij m n a ⨯,m n B ⨯=()ij m n b ⨯… … 等.注意:矩阵的行数m 与列数n 可以不相等,行列相同的矩阵称为方阵. 例如 2行3列矩阵 232310-2=25-3A ⨯⨯⎛⎫⎪⎝⎭ , 2行2列矩阵 222221=16B ⨯⨯⎛⎫⎪-⎝⎭。
例2.1例:给个具体的矩阵表示实例1.2.2矩阵的运算矩阵也有加、减、数乘、乘法等基本运算法则,以及转置运算等.由于矩阵是个数表,所以它的运算法则与数之间的运算法则有本质上的区别。
下面我们先给出矩阵的基本的运算.定义2.2 若两个行列相同的矩阵()(),ij ij m nm nA aB b ⨯⨯==其对应元素相等,即()ijm na ⨯=()ij m nb ⨯则称矩阵A 与B 相等,记作A B =。
矩阵 初等变换

矩阵初等变换矩阵初等变换:线性代数中的重要工具一、引言矩阵初等变换是线性代数中的重要工具,它通过对矩阵进行一系列特定的操作,可以改变矩阵的性质和形态。
矩阵初等变换在解线性方程组、求逆矩阵、求特征值等问题中具有广泛的应用。
二、矩阵初等变换的定义矩阵初等变换是指对矩阵进行一系列的行变换或列变换,使得矩阵的性质发生改变。
矩阵初等变换包括三种类型:交换两行(列)、某一行(列)乘以非零常数、某一行(列)乘以非零常数加到另一行(列)上。
三、矩阵初等变换的作用1. 解线性方程组利用矩阵初等变换可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵,从而可以方便地求解方程组的解。
通过对矩阵进行初等变换,可以使得方程组的系数矩阵变为单位矩阵或对角矩阵,从而可以直接得到方程组的解。
2. 求逆矩阵矩阵初等变换也可以用来求解矩阵的逆。
通过对矩阵进行一系列的初等变换,可以将原矩阵转化为单位矩阵,同时对应的初等变换作用于单位矩阵上,从而得到原矩阵的逆矩阵。
3. 求特征值和特征向量对于给定的矩阵,通过对其进行一系列的初等变换,可以将矩阵转化为对角矩阵,对角线上的元素即为矩阵的特征值。
同时,通过初等变换得到的矩阵与原矩阵具有相同的特征向量。
四、矩阵初等变换的性质1. 可逆性矩阵初等变换是可逆的,即对矩阵进行初等变换后再进行逆变换,可以得到原矩阵。
2. 保持行(列)线性关系矩阵初等变换保持行(列)之间的线性关系不变,即对矩阵进行初等变换后,矩阵的行(列)之间的线性组合关系保持不变。
3. 保持秩不变矩阵初等变换不改变矩阵的秩,即对矩阵进行初等变换后,矩阵的秩保持不变。
5. 矩阵初等变换的运算规律矩阵初等变换具有一些运算规律,包括交换律、结合律和分配律。
六、矩阵初等变换的应用举例1. 解线性方程组的应用通过对系数矩阵进行初等变换,可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵,从而可以方便地求解方程组的解。
例如,对于如下线性方程组:2x + 3y = 74x + 5y = 9可以通过矩阵初等变换将其转化为如下形式:1 0 | a0 1 | b从而可以直接得到解x=a、y=b。
矩阵的初等变换共15页

1 2
2 9
1 1 2 7
9442
r
0001
1 1 0 0
2 1 0 0
1 1 1 0
0043
r
01 00
0 1 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
43 03
❖行最简形矩阵与线性方程组的解
所有行等价的矩阵组成的一个集合 集合中矩阵所对应
的线性方程组都是同解的 其中行最简形矩阵所对应的线性
方程组是最简单的 而且是最容易求解的
此标准形由m, n, r三个数完全确定,其中r就是行阶 梯形矩阵中非零行的行数.
所有与矩阵 A等价的矩阵组成的一个集合, 称为一个等价类,标准形 F是这个等价类中最简 单的矩阵.
注:1.一个矩阵的行(列)最简形矩阵是唯一确定的。
2.对于任何矩阵Amn 总可经过有限次初等行变换
把他变为行阶梯形和行最简形
4 4 9
与
x3 x2 x3
4
x4
3 3
0 0
其解为
xx21
x3 x3
4 3
x4 3
其 x3 为自由未知数
x
x1 x2 x3 x4
c4 c3
c 3
c
1
1
1
0
4
3
0
3
其中c为任意常数
.
❖矩阵初等变换举例
~ ~
2 1 4 3
1 1
6 6
❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上
线性代数培训课件3-矩阵的初等变换与线性方程组培训

定义 如果一个矩阵的左上角为单位矩阵,
其他位置的元素都为零, 则称这个矩阵为标准形
矩阵.
线性代数培训课件-矩阵的初等变换与线性方程组培训
第一节 矩阵的初等变换
21
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变
换化为行最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变
换化为标准形矩阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
线性代数培训课件-矩阵的初等变换与线性方程组培训
线性代数培训课件-矩阵的初等变换与线性方程组培训
矩阵的初等变换与线性方程组 3
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的 概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有 非零解的充要条件和非齐次线性方程组有解的充 要条件, 并介绍用初等变换解线性方程组的方法.
线性代数培训课件-矩阵的初等变换与线性方程组培训
行阶梯形矩
阵的特点: 阶梯 线下方的元素全 为零; 每个台阶 只有一行, 台阶 数即是非零行的 行数, 阶梯线的 竖线(每段竖线 的长度为一行) 后面的第一个元 素为非零元,也 就是非零行的第 一个非零元.
第一节 矩阵的初等变换
19
2. 重要结论
定理 每一个矩阵都可以经过单纯的初等行
变换化为行阶梯形矩阵. 这个定理我们不作证明,下面通过几个具体的
3. 两个矩阵等价的几何意义
线性代数培训课件-矩阵的初等变换与线性方程组培训
第一节 矩阵的初等变换
17
四、行阶梯形矩阵
1. 定义 满足下面两个条件的矩阵称为 行阶梯形矩阵:
(i) 非零行(元素不全为零的行)的标号小于 零行(元素全为零的行)的标号;
(ii) 设矩阵有 r 个非零行,第 i 个非零行的第 一个非零元素所在的列号为 ti (i = 1, 2, ···, r ), 则
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在上一讲中, 我们简单介绍了 n 元线性方程组的求解过程是如何用数表的形式来表达的 思想,这种既能简化求解方程组的过程又使得求解形式简单明了的数表,我们称之为矩阵。 矩阵是线性代数中重要的概念之一,它的理论与方法在数学、经济、工程技术等方面都有较 广泛的应用。著名的列昂节夫投入—产出模型就是利用矩阵这一数学工具建立起来的。因此 掌握矩阵这一数学工具是非常必要的。 本讲的主要内容就是给出矩阵的概念及运算性质, 为下一步更好地利用矩阵理论与方法 讨论线性方程组提供有力的理论支撑。
ij m× n ij m× n
(a )
ij m×n =
(b )
ij m× n
则称矩阵 A 与 B 相等,记作 A = B 。 每个元素都是 0 的矩阵叫做零矩阵,用 O 表示,要注意的是行列不同的零矩阵不相
m× n
等。如
0 0 ≠ ( 0 0 0 )1×3 0 0 2×2
ij m× n ij m× n ij m×n ij
1 −1
a11 a21 AX = ... am1
a12 a22 ... am 2
... a1n x1 b1 ... a2 n x2 b2 = =b ... ... ⋮ ⋮ ... amn xn bn
1 例 2.5 设 A = 0
3 1
,求所有与 A 可交换的矩阵 B .
11 21
x 解:因为 AB = BA ,所有 B 应为 2 × 2 矩阵.可设 B = x
AB
x12 x22
,则
1 = 0
3 x11 x 1 21
x12 x22
s ij i1 1 j i2 2 j is sj ik kj k =1 ij
a11 a12 a21 a22
a13 a23
,现设空调、电视机、冰箱每台的销售价分别为 d 若记单位售价和单位利润的矩阵为 B ,则
11
11
, d 21 , d 31
;每台的利润
分别为 d
12
, d 22 , d 32 .
称 阵
1 0 0 1
为二阶单位矩阵,记 E .相应有三阶单位阵
2
1 0 0 E3 = 0 1 0 0 0 1
以及 n 阶单位矩
1 0 En = ⋮ 0
0 ⋯ 0 1 0 0 ⋮ ⋯ ⋮ m×n
定义 2.3 设 A = ( a ) , B = (b ) ,令 C = (c ) = (a 矩阵 B 的和. 记作 C = A + B . 记 − A = ( −a ) ,称(- A )是矩阵 A 的负矩阵. 则有
ij m×n
+ bij ) m×n
,称 C 为矩阵 A 与
注:定义 2.2 和定义 2.3 的条件是要求两 的条件是要求两矩阵的行和列要相同。我们把 2 个同行同列的 矩阵叫作同型矩阵 矩阵叫作同型矩阵。 叫作同型矩阵。 1 −2 1 0 例 2.2 设 + X = ,求 X . 3 5 0 1
m m× n m× n m× n n m× n
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a x + a x + ... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ...... am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm
d11 B = d 21 d 31
12
d12 d 22 . d32
如设两厂的该季度的总销售价分别为 m
m 总利润的矩阵为 M ,则 M = m
11 21
, m21
;总利润分别为 m
, m22 .
若记总销售价和
m12 m22
,其中
m11 = a11d11 + a12 d 21 + a13 d 31 m21 = a21d11 + a22 d 21 m12 = a11d12 + a12 d 22
1.2.1 矩阵的概念 矩阵的概念
定义 2.1 由 m × n 个数 a ( i=1,2,⋯,m ; j =1,2,⋯ n )排成了 m 行 n 列的矩形数表
i j
a11 a21
⋮
a12 a22
⋮
⋯ a1n ⋯ a2 n ⋯ ⋮
称其为 m 行 n 列矩阵,记作
am1
am 2 ⋯ amn
a11 a21 ⋮ am1
显然不是任意 2 个矩阵都能相乘。只有 A 的列数等于 B 的行数 AB 才有意义.本例 中 B 有 2 列,A 有 3 行,所以 BA 无意义.
m× s s× n
由此可知当 AB 存在时, BA 未必存在,即使 BA 存在,也不一定有 AB=BA ,即矩阵 乘法一般不满足交换律.如果 AB = BA ,称 A与B 可交换。
m× n m×n
ij m×n
m× n
ij m× n
2×3
2×3
2
行 2 列矩阵
例 2.1 例:给个具体的矩阵表示实例
1.2.2 矩阵的运算
2 1 B2×2 = −1 6 2×2
。
矩阵也有加、减、数乘、乘法等基本运算法则,以及转置运算等.由于矩阵是个数表, 所以它的运算法则与数之间的运算法则有本质上的区别。下面我们先给出矩阵的基本的运 算. 定义 2.2 若两个行列相同的矩阵 A = ( a ) , B = (b ) 其对应元素相等,即
x21 = 0, x11 = x22 a 阵为 B = 0
解方程组,得
,取 x
11
= x22 = a, x12 = b
( a, b 为任意常数).于是,所有与 A 可交换的矩
b a
( a, b 为任意常数).
矩阵的基本运算具有下列性质 (1)结合律: A( BC ) = ( AB)C , k ( AB) = (kA) B = A(kB) ; (2)分配律:左乘 A( B + C ) = AB + AC ,右乘 ( B + C ) A = BA + CA ; (3) E A = A , A E = A . 例 2.6 用矩阵的运算形式表示线性方程组
a 解 由题意 X 是 2 行 2 列矩阵,可令 X = c
A − B = A + − B = (aij − bij )m×n
( )
b d
,则
a b 1 0 1 −2 0 2 = − = . c d 0 1 3 5 −3 −4
求 AB .
解: 由定义 2.5 ,
(−1 ) (−1 ) (−1 ) × + 0 ×1 1× 1 + × 2 1 −1 1× 0 + ) (−1 ) = 2 × 0 + 1× ( − 1)( + −1 × 1 2 × 1 + 1× 2 + × 0 = −2 4 (−1 1 −1 ) ) × 0 + 0 × 2 + 1× 1 ( − 1 × 1 + 0 × 2 + 1× 0
k k l k +l k l kl k k k
个
,A
2
= A1 A1 ... Ak +1 = Ak A1
,
,其中
例 2.7 设
1 −1 −1 −1 −1 1 −1 −1 A= −1 −1 1 −1 −1 −1 −1 1
2 100
,求 A
2 50
100
.
解: ∵ A = 4E , ∴ A = ( A ) = (4E ) = 4 E . 设有 n 次多项式 f ( x) = a + a x + a x + ⋯ + a x 及 n 阶方阵 A,令
s× n
定义 2.5 设 A = ( a )
i j m× s
, B = ( bi j )
,那么 A 与 B 的乘积为记 C = (c
i j m× n
)
,即
C = AB = (ci j ) m×n
其中 c = a b + a b + ... + a b = ∑ a b (i = 1, 2...m; j = 1, 2...n) 即,用左边矩阵 A 的第 i 行元素与右边矩阵 B 的第 j 列元素对应相乘再相加后,得 C 中 元素 c . 例 2.3 设某家电公司两分厂 2012 年第四季度空调、电视机、冰箱的产量矩阵已表示为
; +a d ; +a d ;
23 31 13 32
m22 = a21d12 + a22 d 22 + a23 d32 .
按产量、单价、总价间的关系,称 M 为 A 、 B 的乘积也是自然的.
例 2.4 设
1 −1 0 0 1 A 3×3 = 2 1 −1 , B 3×2 = −1 2 . −1 0 1 1 0 1 −1 0 0 1 AB = 2 1 −1 −1 2 = −1 0 1 1 0
定义 2.4 非零数 k 与矩阵 A = ( a ) 的乘积记作 kA ,规定 kA = ( ka ) . 即,非零常数 即,非零常数 k 与矩阵 A 乘积等于用 k 乘以 A 的每一个元素。换句话说,当 A 中每一 个元素都有相同公因子 k 时,才能把 k 提出 A 外。