第一章 第二讲 矩阵及初等变换_2-19_

第二讲 矩阵及初等变换
在上一讲中， 我们简单介绍了 n 元线性方程组的求解过程是如何用数表的形式来表达的 思想，这种既能简化求解方程组的过程又使得求解形式简单明了的数表，我们称之为矩阵。 矩阵是线性代数中重要的概念之一，它的理论与方法在数学、经济、工程技术等方面都有较 广泛的应用。著名的列昂节夫投入—产出模型就是利用矩阵这一数学工具建立起来的。因此 掌握矩阵这一数学工具是非常必要的。 本讲的主要内容就是给出矩阵的概念及运算性质， 为下一步更好地利用矩阵理论与方法 讨论线性方程组提供有力的理论支撑。
ij m× n ij m× n
(a )
ij m×n =
(b )
ij m× n
则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B 。 每个元素都是 0 的矩阵叫做零矩阵，用 O 表示，要注意的是行列不同的零矩阵不相
m× n
等。如
0 0 ≠ ( 0 0 0 )1×3 0 0 2×2
ij m× n ij m× n ij m×n ij
1 −1
a11 a21 AX = ... am1
a12 a22 ... am 2
... a1n x1 b1 ... a2 n x2 b2 = =b ... ... ⋮ ⋮ ... amn xn bn
1 例 2.5 设 A = 0

3 1
，求所有与 A 可交换的矩阵 B .
11 21
x 解：因为 AB = BA ，所有 B 应为 2 × 2 矩阵.可设 B = x
AB
x12 x22
，则
1 ＝ 0
3 x11 x 1 21
x12 x22
s ij i1 1 j i2 2 j is sj ik kj k =1 ij
a11 a12 a21 a22
a13 a23
，现设空调、电视机、冰箱每台的销售价分别为 d 若记单位售价和单位利润的矩阵为 B ，则
11
11
, d 21 , d 31
；每台的利润
分别为 d
12
, d 22 , d 32 .
称 阵
1 0 0 1
为二阶单位矩阵，记 E .相应有三阶单位阵
2
1 0 0 E3 = 0 1 0 0 0 1
以及 n 阶单位矩
1 0 En = ⋮ 0
0 ⋯ 0 1 0 0 ⋮ ⋯ ⋮ m×n
定义 2.3 设 A = ( a ) , B = (b ) ，令 C = (c ) = (a 矩阵 B 的和. 记作 C = A + B . 记 − A = ( −a ) ，称（－ A ）是矩阵 A 的负矩阵. 则有
ij m×n
+ bij ) m×n
，称 C 为矩阵 A 与
注：定义 2.2 和定义 2.3 的条件是要求两 的条件是要求两矩阵的行和列要相同。我们把 2 个同行同列的 矩阵叫作同型矩阵 矩阵叫作同型矩阵。 叫作同型矩阵。 1 −2 1 0 例 2.2 设 + X = ，求 X . 3 5 0 1
m m× n m× n m× n n m× n
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a x + a x + ... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ...... am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm
d11 B = d 21 d 31
12
d12 d 22 . d32
如设两厂的该季度的总销售价分别为 m
m 总利润的矩阵为 M ，则 M = m
11 21
, m21
；总利润分别为 m
, m22 .
若记总销售价和
m12 m22
，其中
m11 = a11d11 + a12 d 21 + a13 d 31 m21 = a21d11 + a22 d 21 m12 = a11d12 + a12 d 22
1.2.1 矩阵的概念 矩阵的概念
定义 2.1 由 m × n 个数 a （ i=1,2,⋯,m ； j =1,2,⋯ n ）排成了 m 行 n 列的矩形数表
i j
a11 a21
⋮
a12 a22
⋮
⋯ a1n ⋯ a2 n ⋯ ⋮
称其为 m 行 n 列矩阵，记作
am1
am 2 ⋯ amn
a11 a21 ⋮ am1
显然不是任意 2 个矩阵都能相乘。只有 A 的列数等于 B 的行数 AB 才有意义.本例 中 B 有 2 列，A 有 3 行，所以 BA 无意义.
m× s s× n
由此可知当 AB 存在时， BA 未必存在，即使 BA 存在，也不一定有 AB=BA ，即矩阵 乘法一般不满足交换律.如果 AB = BA ，称 A与B 可交换。
m× n m×n
ij m×n
m× n
ij m× n
2×3

2×3
2
行 2 列矩阵
例 2.1 例：给个具体的矩阵表示实例
1.2.2 矩阵的运算
2 1 B2×2 = −1 6 2×2
。
矩阵也有加、减、数乘、乘法等基本运算法则，以及转置运算等.由于矩阵是个数表， 所以它的运算法则与数之间的运算法则有本质上的区别。下面我们先给出矩阵的基本的运 算. 定义 2.2 若两个行列相同的矩阵 A = ( a ) , B = (b ) 其对应元素相等，即
x21 = 0, x11 = x22 a 阵为 B = 0

解方程组，得
，取 x
11
= x22 = a, x12 = b
（ a, b 为任意常数）.于是，所有与 A 可交换的矩
b a
（ a, b 为任意常数）.
矩阵的基本运算具有下列性质 （1）结合律： A( BC ) = ( AB)C ， k ( AB) = (kA) B = A(kB) ； （2）分配律：左乘 A( B + C ) = AB + AC ，右乘 ( B + C ) A = BA + CA ； （3） E A = A ， A E = A . 例 2.6 用矩阵的运算形式表示线性方程组

a 解 由题意 X 是 2 行 2 列矩阵，可令 X = c
A − B = A + − B = (aij − bij )m×n
（ ）

b d
，则
a b 1 0 1 −2 0 2 = − = . c d 0 1 3 5 −3 −4
求 AB .
解: 由定义 2.5 ，
（−1 ） （−1 ） （−1 ） × + 0 ×1 1× 1 + × 2 1 −1 1× 0 + ） （−1 ） = 2 × 0 + 1× （ − 1）（ + −1 × 1 2 × 1 + 1× 2 + × 0 = −2 4 （−1 1 −1 ） ） × 0 + 0 × 2 + 1× 1 （ − 1 × 1 + 0 × 2 + 1× 0
k k l k +l k l kl k k k
个
，A
2
= A1 A1 ... Ak +1 = Ak A1
，
，其中
例 2.7 设
1 −1 −1 −1 −1 1 −1 −1 A= −1 −1 1 −1 −1 −1 −1 1
2 100
，求 A
2 50
100
.
解： ∵ A = 4E ， ∴ A = ( A ) = (4E ) = 4 E . 设有 n 次多项式 f ( x) = a + a x + a x + ⋯ + a x 及 n 阶方阵 A，令
s× n
定义 2.5 设 A = ( a )
i j m× s
, B = ( bi j )
，那么 A 与 B 的乘积为记 C = (c
i j m× n
)
，即
C = AB = (ci j ) m×n
其中 c = a b + a b + ... + a b = ∑ a b (i = 1, 2...m; j = 1, 2...n) 即，用左边矩阵 A 的第 i 行元素与右边矩阵 B 的第 j 列元素对应相乘再相加后，得 C 中 元素 c . 例 2.3 设某家电公司两分厂 2012 年第四季度空调、电视机、冰箱的产量矩阵已表示为
； +a d ； +a d ；
23 31 13 32
m22 = a21d12 + a22 d 22 + a23 d32 .
按产量、单价、总价间的关系，称 M 为 A 、 B 的乘积也是自然的.
例 2.4 设
1 −1 0 0 1 A 3×3 = 2 1 −1 , B 3×2 = −1 2 . −1 0 1 1 0 1 −1 0 0 1 AB = 2 1 −1 −1 2 = −1 0 1 1 0
定义 2.4 非零数 k 与矩阵 A = ( a ) 的乘积记作 kA ，规定 kA ＝ ( ka ) . 即，非零常数 即，非零常数 k 与矩阵 A 乘积等于用 k 乘以 A 的每一个元素。换句话说，当 A 中每一 个元素都有相同公因子 k 时，才能把 k 提出 A 外。