高数第五章

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专升本高数第一轮--第五章--概率论初步

解设A {一级品}, B {合格品} 80 (1) P( B) 0.8 100 (2)因凡是一级品必是合格品, 所以AB A, 则P( AB) P( A)
0.3, 故
P( AB) 0.3 P( A | B) 0.375 P( B) 0.8
例3 假设我国人口中能活75岁的概率为0.8,活到100岁以上的概率为0.2.有一个已经活到75岁的老人,问能活100岁以上的概率.
定理1 若事件A与B相互独立, 则事件 A与B, A与B, A与B相互独立.
例3 某企业招工时需要进行三项考核,这三项考核的通过率分别为0.6,0.8,0.85,求招工时的淘汰率.
解设A, B, C分别表示通过一, 二, 三项考核, 它们是相互独立的, 事件
ABC表示被录取, 而 ABC表示被淘汰, 则有
概率并无影响,即
P( B | A) P( B)
一般地, 事件A, B满足条件 P( AB) P( A) P( B) 那么称事件A与事件B是相互独立的事件 . A与事件B相互独立, 则有 P( A | B) P( A), P( B | A) P( B)
可以把两个事件的相互独立怀推广到有限个事件的情形,即如果事件A1 , A2 ,, An相互独立, 则有P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An ) (!反之不成立)
第五章概率论初步
第一节随机事件
一、随机现象与随机试验在自然界和生活中发生的种种现象,按其发生的可能性来划分,大体上可分为两类:一类称为必然现象,即在一定条件下某种结果必然会发生;另一类称为随机现象,即在一定条件下,某种结果可能会生,也可能不发生.
例1 用手向上抛一块石子,必然下落. 例2 纯水在一个大气压下,100C时必然沸腾. 例3 向桌面上抛掷一枚硬币,可能性(有国徽的一面)向上,也

高等数学第5章知识点总结

高等数学第5章知识点总结第5章二重积分（一）概念1. 二重积分的概念设二元函数f(x,y)在闭区域D上有界，把闭区域D分成n个小区域，记作ΔDi ,ΔSi为第i 个小区域的面积,ξi (i=1,2,3,…,n) 取在Di上的任一点，则二重积分的极限∬f(x,y)dA=lim n->∞ Σf(ξi)ΔSi（i=1,2,3,…,n）当这极限存在时，称其为在D上的二重积分，记作∬f(x,y)dA2. 二重积分的几何意义二重积分∬f(x,y)dA 表示把函数f(x,y)在闭区域D上的值与ΔS之积相加，其中ΔS是D上的微小面积。

即表示在闭区域D上f(x,y)在ΔS上的平均值与ΔS的面积之积的和。

3. 二重积分的计算法（1）累次积分法先对y积分，再对x积分。

（2）二次积分法先对x,y积分都在一起进行。

（3）极坐标法根据二重积分的边界条件，将直角坐标系转换为极坐标系。

（二）性质1. 线性性质若函数f(x,y)和g(x,y)在区域D上有界，则∬[f(x,y)+g(x,y)]dA = ∬f(x,y)dA + ∬g(x,y)dA2. 积分域的可加性若函数f(x,y)在区域D1和区域D2上有界，则∬f(x,y)dA = ∬f(x,y)dA1 + ∬f(x,y)dA23. 面积性质若函数f(x,y)在区域D上恒为1，则∬f(x,y)dA = S(D)（三）二重积分的应用1. 计算面积当f(x,y)=1时，二重积分∬1dA表示在闭区域D上的面积。

2. 计算质量、重心、转动惯量在力学中，可以利用二重积分计算平面薄片的质量、重心和转动惯量。

3. 计算电荷、电场在电磁学中，可以利用二重积分来计算平面薄片上的电荷、电荷分布和电场分布。

（四）二重积分的换元法1. 极坐标换元2. 线性换元3. 一般换元注：该知识点总结仅包括了高等数学第5章的基本内容，如需更多详细知识，请查阅相关资料。

大一高数上 PPT课件第五章.

[a, b] — —积分
.
∫a f ( x )dx = I = lim ∑ f (ξ i )∆xi λ → 0 i =1
注：
）积分仅与被积函数及积分区间有关，（1）积分仅与被积函数及积分区间有关，
与积分变量的字母的选择无关. 而与积分变量的字母的选择无关 .
b
n
∫a f ( x )dx = ∫a f ( t )dt = ∫a f ( u)du
2
i =1
i =1
exdx 练习利用定义计算定积分 ∫
0
1
解 f ( x) = e x 在 [0,1]上连续，故f(x)在[0,1]上可积上连续，上可积. 上连续在上可积等分，将 [0,1]n 等分，左侧取点 i −1 i −1 1 ξi = , ∆x i = f (ξ i ) = e n n n 1 2 n −1 n 1 0 ∑ f (ξ i )∆xi = n [e + e n + e n + L + e n ] i =1 1 等比数列求和 1 1 1 − (e n )n = ( e − 1) n = ⋅ 1 1 n en − 1 1 − en 1
∑
i =1 n
n
f (ξ i )∆xi = ∑ ξ i ∆xi = ∑ xi2∆xi ,
2
n
n
1 n 2 1 n( n + 1)(2n + 1) i 1 = i = 3⋅ = ∑ ⋅ 3∑ n 6 n n i =1 i =1 n 1 1 1 = 1 + 2 + , λ → 0 ⇔ n → ∞ 6 n n n 1 1 1 1 1 2 2 ∫0 x dx = lim ∑ ξ i ∆xi = lim 6 1 + n 2 + n = 3 . n→ ∞ λ → 0 i =1

高等数学第五章

解令 x a tan t dx a sec2 tdt
t
2
,
2
x
1 2
a
2
dx
a
1 secLeabharlann tasec2
tdt
sectdt ln(sec t tan t) C
(,0) 内则具有形如 ln(x) C 的原函数．
把 x 0及 x 0内的结果合起来,可写作
1 x
dx
ln
|
x
|
C
.
第二节不定积分的基本积分公式与性质
一、基本积分表二、不定积分的性质
一、基本积分表
(1) kdx kx C ( k 是常数);
(2) x dx x 1 C
1
( R, 1) ;
1
(12) 1 x2 dx arctanx C ;
(13)
1
1
x
2
dx
arcsin
x
C
;
二、不定积分的性质
性质 1
(1) f (x)dx f (x) 或 d f (x)dx f (x)dx ；
(2) f (x)dx f (x) C 或 d f (x) f (x) C ．
xdx
1 2
dx 2
；
1 dx 2d x
x
；
1 x
dx
d
ln
x
；
1 x2
dx
d
1 x
；
e xdx dex ；
sin xdx d cosx ； cosxdx d sin x ；
sec2 xdx d (tan x) ； csc2 dx d cot x ；
1 1 x2
dx

第五章积分 5-1 定积分的概念与基本性质

性质 4 若 f (x) 是 [a, b] 上的连续函数, 则 | f (x) | 也是 [a, b] 上的连续函数, 从而可积, 且
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.

高等数学第五章

2) 取近似(以“粗”代“精”) 由于f(x)在[a，b]上连续变化，在很小一段区间上它的变化不大，近似于不变. 因此我们可以在每个小区间[xi－1，xi] (i=1，2，…，n)上，用其中某一点ξi处的函数值f(ξi)为高作小矩形近似代替同一小区间上的小曲边梯形，这样得到的小矩形的面积就可以看作是同一小区间上的小曲边梯形面积的近似值，即
图5-1
显而易见，由任何光滑曲线围成的图形可分解为若干个曲边梯形(图5-1(d))．因此，只要掌握了曲边梯形面积的求法，就可以求出由任意光滑曲线围成的图形的面积．
现在，我们来求由任意曲线y=f(x)，直线x=a，x=b，y=0 围成的曲边梯形的面积S(图5-2). 为了方便，不妨假定f(x)>0.
有小区间的长度都趋于零, 同时份数n无限增多, 即n→∞), 上面
和式的极限就是曲边梯形的面积，即
n
S lim 0 i1
f
i
xi
2. 变速直线运动的路程我们知道，当物体作匀速直线运动时，其路程等于速度乘以时间．如果物体作变速直线运动，即速度v是时间t的函数，记v=v(t). 那么物体在时间段[T1，T2]上运动的路程s，显然不能简单地用速度乘以时间来计算，这样的路程究竟该如何计算呢？我们采用上述方法分析如下： 1) 分割在时间段[T1，T2]中任意插入n－1个分点
ΔSi≈f(ξi)Δxi (i=1，2，…，n)
3) 求和(合“零”为“整”)
将n个小矩形面积加起来，即为曲边梯形AabB的面积的
近似值，即
n
n
S Si f i xi
i 1
i 1
显然，小曲边梯形分得越小，近似程度就越高．
4) 取极限(去“粗”取“精”)

高等数学基础第五章

高等数学基础
第五章不定积分
主讲:
不定积分
不定积分的概念与性质换元积分法分部积分法
退出
5.1不定积分的概念与性质— 原函数与不定积分的概念
返回
5.1不定积分的概念与性质— 原函数与不定积分的概念
返回
5.1不定积分的概念与性质— 不定积分的性质
返回
5.1不定积分的概念与性质— 基本积分公式表Biblioteka 返回5.3 分部积分法
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本章结束
请选择: 重学一遍退出
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5.1不定积分的概念与性质— 不定积分的两个基本运算法则
返回
5.1不定积分的概念与性质— 直接积分法
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5.2换元积分法— 第一类换元积分法（凑微分法）
返回
5.2换元积分法— 第二类换元积分法
返回
5.2换元积分法— 第二类换元积分法
返回
5.2换元积分法— 第二类换元积分法
返回
5.3 分部积分法

考研数学之高等数学讲义第五章（考点知识点+概念定理总结）

82 第五章向量代数与空间解析几何§5.1 向量代数(甲)内容要点内容要点一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、向量概念二、向量概念®a ＝®i x +®j y +®k z坐标()z y x ,,模®a ＝222z y x ++ 方向角g b a ,,方向余弦g b a cos ,cos ,cosa cos ＝222zy x x ++ ；b cos ＝222zy x y ++ ；g cos ＝222zy x z ++三、向量运算三、向量运算设®a ()11,1,z y x ；®b ()22,2,z y x ；®c ()33,3,z y x 1．加（减）法加（减）法®a ±®b ＝()2121,21,z z y y x x ±±± 2．数乘数乘 ()111,,z y x a l l l l =®3．数量积（点乘）（ⅰ）定义®a ·®b =®a®b ÷øöçèæ®®Ðb a ,cos （ⅱ）坐标公式®a ·®b =21x x +21y y +21z z （ⅲ）重要应用®a ·®b =0Û®a ^®b4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义®a ´®b ＝®®ba ÷øöçèæ®®Ðb a ,sin ®a ´®b 与®a 和®b 皆垂直，且®a ，®b ，®a ´®b 构成右手系构成右手系83（ⅱ）坐标公式®a ´®b =222111z y x z y x k j i®®®（ⅲ）重要应用®a ´®b =®0Û®a ，®b 共线共线5、混合积、混合积（ⅰ）定义（ⅰ）定义（®a ，®b ，®c ）＝（®a ´®b ）·®c （ⅱ）坐标公式（®a ，®b ，®c ）=333222111z y x z y x z y x （ⅲ）÷øöçèæ®®®c b a ,,表示以®a ，®b ，®c 为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积§5.2 平面与直线（甲）内容要点（甲）内容要点一、一、空间解析几何空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。

高等数学第五章课后习题答案

班级姓名学号1 第五章定积分1．证明定积分性质：òò=b abadxx f kdx x kf )()(（k 是常数）. 证：òåòå=D =D ==®=®banii ban ii x kf x kf x f k x f k)()(lim )(lim )(1010x x l l 2．估计下列积分值：（1）dxx )sin 1(4542ò+p p解：令x x f 2sin 1)(+=，则02sin cos sin 2)(===x x x x f ‘得驻点：,,221p p==x x 由23)4(,23)4(,1)(,2)2(====p p p pf f f f ，得2)(max ,1)(min ==x f x f 由性质，得pp p p2)(454££òdx x f （2）ò333arctan xdxx 解：令x x x f arctan )(=，01arctan )(2>++=xxx x f ‘，所以)(x f 在]333[，上单调增加，p p33)(max ,36)(min ==\x f x f ，）（）（33333arctan 33336333-££-\òp pxdx x ，即pp32a r c t a n 9333££òx d x x班级班级姓名姓名学号学号3．比较下列积分值的大小：．比较下列积分值的大小：（1）dx x ò12与dxx ò13解：当10££x 时，有23x x £，且23x x -不恒等于0，0312>-\òdx x x ）（，即，即 dxx dxx òò>1212。

（2）ò6pxdx 与ò6sin pxdx解：当60p££x 时，有x x £sin ，且x x sin -不恒等于0，0sin 10>-\òdx x x ）（，即，即 dx x dx x òò>1010sin 。

《高等数学》课件第五章

证:
于是
所以
例6. 若f (x)在[0 , 1] 上连续,证明
解: (1) 记
并由此计算
则
即
例7. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：
01
02
周期的周期函数
03
则有
并由此计算
01
定理2.
02
则
二、定积分的分部积分法
例8. 计算
证: 令
01
为正偶数
02
为大于1的正奇数
2.
右端
试证
分部积分
再次分部积分
= 左端
解:
将 [0,1] n 等分, 分点为
可积的必要条件:
定理3.
注
01
注. 当n 较大时, 此值可作为的近似值
02
01
02
03
两端分别相加, 得
得
即
[注] 利用
例2. 用定积分表示下列极限:
解:
2
( k 为常数)
3
证:
1
(设所列定积分都存在)
4
= 右端
四、定积分的性质
证: 当
时,
因
在
上可积 ,
得
3) 近似和.
取极限.
令
则曲边梯形面积
01
02
03
设某物体作直线运动,
01
且
02
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
03
解决步骤:
04
大化小.
05
将它分成
06
在每个小段上物体经
07
常代变.
08
得
09
已知速度
10
个小段

高数课件第五章

1 1 1 第n天截下的杖长总和为 X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
1 、数列的定义
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列 ,简称数列 .其中的每个数称为数列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n }.

xn 1 ( 1)
n 1
1 1 n n
1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000
只要 n 1000时,
1 有 xn 1 , 1பைடு நூலகம்00
1 1 给定 , 只要 n 10000时, 有 x n 1 , 10000 10000
lim x n a ,
n
或 x n a ( n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 1.不等式 x n a 刻划了x n与a的无限接近;
2. N与任意给定的正数有关.
N定义 : lim x n a
n
0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
第五节数列的极限
一、数列的概念
割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
播放
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R

正 6 2 n 1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为 X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和为 X 2 2 ; 2 2

高等数学课后习题及参考答案(第五章)

高等数学课后习题及参考答案（第五章）习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分:(1)xdx ba ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10.解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n ni i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. (2)取分点为n i x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n n n .3. 利用定积分的几何意义说明下列等式: (1)1210=⎰xdx ; (2)41102π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ;(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L nn n H L n Hi n H L x L x P n ni n ni i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1.证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ;(4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21arctan )(xx x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx , 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2,41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上 f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ;(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=b a ba dx x g dx x f )()(, 则在[ab ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx dy x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0;当4π=x 时, 224sin =='πy .2. 求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t ,t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+xy ttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y , 于是ye x dx dy cos -=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0.因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x x dtt dxd cos sin 2)cos(π.解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ )cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-= )sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(.(2)⎰+2142)1(dx xx ;解852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ;解94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+=.(4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+ax a dx 3022;解aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.(7)⎰-1024x dx ;解60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx .(8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 01301221224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=.(9)⎰---+211e xdx ; 解1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .(10)⎰402tan πθθd ;解4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |;解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx xπππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. (12)⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 2111)(2x x x x x f . 解38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ;(2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ;(4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k kk k x k k kxdxcos 1cos 1=+-=ππk kk k(3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ;(2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k .(3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k .9. 求下列极限: (1)xdt t xx ⎰→020cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 (1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)22222200022)(2lim)(limx xt x t x xt xt x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→222220202lim2limx xt x x x xt x xedte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式,并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ,316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解当x <0时,00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ;当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x-=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x a dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ.于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=.由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内)]()([1)(≤--='ξf x f a x x F .习题5-31. 计算下列定积分:(1)⎰+πππ2)3sin(dx x ;解 0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.(4)⎰-πθθ03)sin 1(d ; 解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰262cos ππudu ;解2626262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-202022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .(7)dy y ⎰--22228;解⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dy y dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .(8)⎰-121221dx xx ;解41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 12424224212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx x x 令.(9)⎰-adx x a x 0222; 解⎰⎰⎰=⋅⋅=-2024202202222sin4cos cos sin sin ππtdt a tdt a t a t a t a x dx x a xa令164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰. (10)⎰+31221xxdx ;解⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. (11)⎰--1145xxdx ;解61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x x xdx 令. (12)⎰+411xdx ;解)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x x dx 令.(13)⎰--14311x dx ;解2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(11111210210021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.(14)⎰-axa xdx 20223;解)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.(15)dt te t ⎰-1022;解2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e etd e dt tet t t .(16)⎰+21ln 1e x x dx; 解)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx .(17)⎰-++02222x x dx;解 2)1arctan(1arctan )1arctan()1(112202022022π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .(18)⎰-222cos cos ππxdx x ;解32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 22322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--223cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-222223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 20230223202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x (20)⎰+π02cos 1dx x .解22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππxxdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰-224cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x . (3)⎰--2121221)(arcsin dx xx ;解⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 解因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .3. 证明:⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aa adx x dx x022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(. 证明令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb bbdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bb bb dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 证明令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=b a ba ab dt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba badx x b a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.6. 证明:⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dxx dx. 证明令t x 1=, 则dt tdx 21-=, 当x =x 时x t 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+11121122211)1(1111xx xdt t dt t tx dx , 而 ⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111,所以 ⎰⎰+=+1112211x xxdx x dx.7. 证明:⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.证明令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 8. 证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.证明 ⎰⎰⎰+=ππππ2020sin sin sin xdx xdx xdx nn n,而⎰⎰⎰⎰==---=2020202sin sin ))((sin sinπππππππxdx tdt dt t t x xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关.证明已知f (x +l )=f (x ). ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala ll la ll a a adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令,所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 证明设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x xx ===---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x x x -=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ; 解11011010101021--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e e e dx e xe xde dx xe xx x x x .(2)⎰e xdx x 1ln ; 解)1(414121121ln 21ln 21ln 21220212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e x e dx x x x x xdx xdx x ee e e e.(3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数); 解⎰⎰⎰+-=-=ωπωπωπωπωωωωωωω20202020cos 1cos 1cos 1sin tdt tt t td tdt t 220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t.(4)⎰342sin ππdx xx;解34343434342sin ln 4313cot cot cot sin ππππππππππππxxdx xx x xd dx x x++⋅-=+-=-=⎰⎰⎰23ln 21)9341(+-=π.(5)⎰41ln dx x x; 解 ⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx xx x x x xd dx xx )12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰10arctan xdx x ;解x d x x x x xdx xdx x ⎰⎰⎰+⋅-==1022102102101121arctan 21arctan 21arctan214)41(218)arctan (218)111(21810102-=--=--=+--=⎰πππππx x x d x. (7)⎰202cos πxdx e x ; 解⎰⎰⎰-==202202202202sin 2sin sin cos ππππxdx e xe x d e xdx e x x x x⎰⎰⎰-+=-+=+=202202202202cos 42cos 4cos 2cos 2πππππππxdx e e xdx e xe e x d e e x x xx所以)2(51cos 202-=⎰ππe xdx e x ,于是(8)⎰212log xdx x ; 解⎰⎰⎰⋅-==212212221222122ln 121log 21log 21log dx x x x x xdx xdx x2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π02)sin (dx x x ; 解⎰⎰⎰-=-=ππππ02302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416⎰⎰-=⋅+-=xxd xdx x xx 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x .(10)⎰edx x 1)sin(ln ; 解法一 ⎰⎰⋅=101sin ln )sin(ln dt e t tx dxx te令.因为⎰⎰⎰-==⋅10101010cos sin sin sin tdt e te tde dt e t t tt t⎰⎰--⋅=-⋅=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t , 所以 )11cos 1sin (21sin 10+⋅-⋅=⎰e e tdt e t .因此)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. 解法二⎰⎰⎰-⋅=⋅⋅-⋅=e e eedx x e dx x x x x x dx x 1111)cos(ln 1sin 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰⋅⋅-⋅-⋅=e edx x x x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin ⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin , 故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e . (11)dx x e e⎰1|ln |; 解⎰⎰⎰⎰⎰-++-=+-=eee eee e e dx dx xx x x dx x dx x dx x 1111111111ln ln ln ln |ln |)11(2)1()11(1ee e e e -=---++-=.(12)⎰-1022)1(dx xm (m 为自然数); 解⎰⎰+=-2011022cos sin )1(πtdt t x dx xm m 令.根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m325476 34121 2214365 34121)1(1022π. (13)⎰=π0sin xdx x J m m (m 为自然数). 解因为⎰⎰⎰⎰-=----=ππππππππ0000sin sin )1)((sin )(sin tdt t tdt dt t t t x xdx x mm m m 令,所以 ⎰⎰⎰⎰=⋅===20200sin sin 22sin 2sin πππππππxdx xdx xdx xdx x J m m mmm (用第8题结果).根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n , ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m 325476 45231 2214365 452312ππ.习题5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解因为1]1111[21][21ch 2)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt e pt pt ωωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx .(7)dx xx ⎰-121;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-22)1(x dx;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102xx x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx发散. (9)⎰-211x xdx ;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 38231=-+--=+→x x x . (10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k k k x k x d x x x dx ;当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时,k k kkk x kx d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散. 当k >1时, 令k kk x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点,同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx xx x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰b a dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限:(1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim 101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n n n p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→10ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰xx x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f ax x axa ax ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim )(lim )(lim a af x xf dt t f a x dt t f x dt t f a x x xaa x xa a x x a a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则). (5)1)(arctan lim 22+⎰+∞→x dtt xx .解4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim 22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx xx d x dx ;解计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx xxdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111p x dx p p. 证明 p pp p p p px x x x x x x ->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111pxdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba ba ba ba dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222。

高等数学第五章

高等数学（一）
广东水利电力职业技术学院数学教学部张静华
第五章定积分
第一节定积分的概念和性质第二节定积分的计算
⒈ 牛顿 — 莱布尼兹公式 ⒉ 定积分的换元积分法 ⒊ 定积分的分部积分法 ⒋ 分段函数的定积分 ⒌ 积分上限函数
第三节广义积分
第一节
一、实例：曲边梯形的面积
y
定积分的概念和性质
⑴ 分割：将 [ a , b ] 分成 n 个小区间 [ x i 1 , x i ]
( i 1, 2 , … , n )
小区间的长度 x i x i x i 1
y f ( x) 0
⑵ 取近似 A i f ( i ) x i ⑶ 求和
n n
A A i f ( i ) x i
y
y f ( x)
f (x) dx A
A
o
b a
a
b
x
在闭区间 [a, b] 上，若函数 f ( x) 0 ，则 a f ( x ) d x 在几何上表示由曲线 y f ( x) ，直线 x a ， x b 和 x 轴所围成的
b
曲边梯形（在 x 轴下方）的面积的相反数。
定积分的几何意义（2）
y
f (x) dx A
a b
b a
o
x
A
y f ( x)
在闭区间 [a, b] 上，若函数 f( x ) 有正有负，则 a f ( x ) d x 在几何上表示曲线 y f ( x) 在 x 轴上方图形的面积与在 x 轴下下方图形的面积的代数和：
定积分的几何意义（3）
插入 n - 1 个分点
a x 0 x1 x 2 … xn 1 xn b

同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用

第五章定积分及其应用本章开始讨论积分学中的另一个基本问题：定积分.首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义,之后讨论它的性质与计算方法.最后，来讨论定积分的应用问题.第1节定积分的概念与性质定积分问题举例曲边梯形的面积曲边梯形设函数)(x f y =在区间[]b a ,上非负、连续由直线0,,===y b x a x 及曲线)(x f y =所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧)(x f y =称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是在区间[]b a ,中任意插入若干个分点（图5-1）,1210b x x x x x a n n =<<<<<=-Λ把[]b a ,分成n 个小区间[],,10x x [],,21x x [],,32x x [],,,1n n x x -Λ它们的长度依次为.,,,1122011--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x Λ 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点,i ξ 以[]i i x x ,1-为底、)(i f ξ为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形，n i ,,3,2,1Λ=，把这样得到的n 个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值即 ∑=∆=∆++∆+∆≈ni i i n n x f x f x f x f A 12211.)()()()(ξξξξΛ求曲边梯形的面积的精确值显然分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值因此要求曲边梯形面积A 的精确值只需无限地增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零记{},,,,m ax 21n x x x ∆∆∆=Λλ于是上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零相当于令.0→λ所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 1.)(lim ξλ图5-11.1.2 变速直线运动的路程设物体作直线运动已知速度)(t v v =是时间间隔[]21,T T 上t 的连续函数且,0)(≥t v 计算在这段时间内物体所经过的路程S求近似路程我们把时间间隔[]21,T T 分成n 个小的时间间隔i t ∆ 在每个小的时间间隔i t ∆内物体运动看成是均速的其速度近似为物体在时间间隔i t ∆内某点i τ的速度)(i v τ 物体在时间间隔i t ∆内运动的路程近似为.)(i i i t v s ∆=∆τ把物体在每一小的时间间隔i t ∆内运动的路程加起来作为物体在时间间隔[]21,T T 内所经过的路程S 的近似值具体做法是在时间间隔[]21,T T 内任意插入若干个分点,21210T t t t t t T n n i =<<<<<=-Λ[]21,T T 分成n 个小段 [][][],,,,,,12110n n t t t t t t -Λ各小段时间的长依次为.,,,1122011--=∆-=∆-=∆n n n t t t t t t t t t Λ相应地在各段时间内物体经过的路程依次为.,,,21n s s s ∆∆∆Λ在时间间隔[]i i t t ,1-上任取一个时刻),(1i i i i t t <<-ττ 以i τ时刻的速度)(i v τ来代替[]i i t t ,1-上各个时刻的速度得到部分路程i s ∆的近似值即).,,2,1()(n i t v s i i i Λ=∆=∆τ于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值即∑=∆≈ni ii t v S 1)(τ 求精确值记{},,,,m ax 21n t t t ∆∆∆=Λλ当0→λ时取上述和式的极限即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni ii t v S 10)(lim τλ定积分的概念抛开上述问题的具体意义抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括就抽象出下述定积分的定义定义设函数)(x f y =在[]b a ,上有界在[]b a ,中任意插入若干个分点,1210b x x x x x a n n =<<<<<=-Λ把区间[]b a ,分成n 个小区间[],,10x x [],,21x x [],,32x x [],,,1n n x x -Λ各小段区间的长依次为.,,,1122011--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x Λ在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一个点,i ξ作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积),,2,1()(n i x f i i Λ=∆ξ并作出和∑=∆=ni ii x f S 1)(ξ记{},,,,m ax 21n x x x ∆∆∆=Λλ如果不论对[]b a ,怎样分法也不论在小区间[]i i x x ,1-上点,i ξ怎样取法只要当0→λ时和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分记作⎰ba dx x f )( 即∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 1)(lim )(ξλ其中)(x f 叫做被积函数 dx x f )(叫做被积表达式x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b叫做积分上限[]b a ,叫做积分区间根据定积分的定义曲边梯形的面积为⎰=badxx f A )(变速直线运动的路程为dt t v S T T )(21⎰=说明(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关而与积分变量的记法无关即⎰⎰⎰==ba ba ba duu f dt t f dx x f )()()((2)和∑=∆n i i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和(3)如果函数)(x f 在[]b a ,上的定积分存在我们就说)(x f 在区间[]b a ,上可积函数)(x f 在[]b a ,上满足什么条件时 )(x f 在[]b a ,上可积呢定理1 设)(x f 在区间[]b a ,上连续则f (x ) 在[]b a ,上可积定理2 设)(x f 在区间[]b a ,上有界且只有有限个间断点则)(x f 在[]b a ,上可积定积分的几何意义设)(x f 是[]b a ,上的连续函数，由曲线)(x f y =及直线0,,===y b x a x 所围成的曲边梯形的面积记为A .由定积分的定义易知道定积分有如下几何意义：（1）当0)(≥x f 时，A dx x f b a =⎰)( （2）当0)(≤x f 时，A dx x f b a-=⎰)(（3）如果)(x f 在[]b a ,上有时取正值，有时取负值时，那么以[]b a ,为底边，以曲线 )(x f y =为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于x 轴的上方或下方.这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图所示，有321)(A A A dx x f b a+-=⎰其中321,,A A A 分别是图5-2中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.图5-2例1. 利用定义计算定积分dxx 210⎰解把区间[0 1]分成n 等份分点和小区间长度分别为ni x i =(i 1 2n1) nx i 1=∆(i 1 2 n )取),,,2,1(n i niiΛ==ξ作积分和 ∑∑∑===⋅=∆=∆ni in i i i ni i n ni x x f 121211)()(ξξ)12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n ni )12)(11(61n n ++=因为n1=λ 当0→λ时∞→n 所以31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ图5-3例2 用定积分的几何意义求⎰-10)1(dxx解函数x y -=1在区间[]1,0上的定积分是以x y -=1为曲边以区间[]1,0为底的曲边梯形的面积因为以x y -=1为曲边以区间[]1,0为底的曲边梯形是一直角三角形其底边长及高均为1所以211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x图5-4例3利用定积分的几何意义，证明21112π=-⎰-dx x .证明令]1,1[,12-∈-=x x y，显然0≥y ，则由21x y -=和直线1,1=-=x x ，0=y 所围成的曲边梯形是单位圆位于x 轴上方的半圆.如图5-5所示. 因为单位圆的面积π=A ，所以半圆的面积为2π. 由定积分的几何意义知：21112π=-⎰-dx x .图5-5定积分的性质两点规定(1)当b a =时 0)(=⎰ba dx x f (2)当b a>时 ⎰⎰-=ab ba dx x f dx x f )()(性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即⎰⎰⎰±=±ba ba ba dxx g dx x f dx x g x f )()()]()([证明:⎰±badx x g x f )]()([∑=→∆±=ni i i i x g f 10)]()([lim ξξλ∑∑=→=→∆±∆=ni i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ⎰⎰±=bab adxx g dx x f )()(性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面即⎰⎰=ba b a dxx f k dx x kf )()(这是因为∑⎰=→∆=ni i i b ax kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→bani i i dxx f k x f k )()(lim 10ξλ性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即⎰⎰⎰+=bcca ba dxx f dx x f dx x f )()()(这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性值得注意的是不论c b a ,,的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=bc c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(成立例如当c b a <<时由于 ⎰⎰⎰+=cb ba ca dxx f dx x f dx x f )()()(于是有⎰⎰⎰-=cb ca ba dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=bc c a dxx f dx x f )()(性质4 如果在区间[]b a ,上f (x ) 1 则ab dx dx ba b a -==⎰⎰1性质5 如果在区间[]b a ,上 f (x )则⎰≥ba dx x f 0)((ab )推论1 如果在区间[]b a ,上 f (x )g (x ) 则⎰⎰≤b a ba dx x g dx x f )()((ab )这是因为g (x )f (x )0 从而⎰⎰⎰≥-=-ba ba ba dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(所以⎰⎰≤b a ba dxx g dx x f )()(推论2 ⎰⎰≤b abadx x f dx x f |)(||)(|(ab )这是因为|f (x )| f (x ) |f (x )|所以⎰⎰⎰≤≤-ba b a b a dxx f dx x f dx x f |)(|)(|)(|即⎰⎰≤babadx x f dx x f .)(|)(|性质6 设M 及m 分别是函数)(x f 在区间[]b a ,上的最大值及最小值则⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()((a b )证明因为 mf (x ) M所以⎰⎰⎰≤≤ba ba ba Mdxdx x f mdx )(从而⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续则在积分区间[]ba ,上至少存在一个点使下式成立⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ这个公式叫做积分中值公式证明由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(各项除以a b - 得⎰≤-≤ba Mdx x f ab m )(1再由连续函数的介值定理在[]b a ,上至少存在一点使⎰-=ba dxx f ab f )(1)(ξ于是两端乘以a b -得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ注意不论b a <还是ba > 积分中值公式都成立并且它的几何意义是:由曲线)(x f y =,直线b x a x ==,和x 轴所围成曲边梯形的面积等于区间],[b a 上某个矩形的面积,这个矩形的底是区间],[b a ,矩形的高为区间],[b a 内某一点ξ处的函数值)(ξf ，如图5-6所示.图5-6习题 5-11.利用定积分的概念计算下列积分. （1）()axb dx +⎰01; （2）a dx x 01⎰ (a >0).2.说明下列定积分的几何意义，并指出它们的值. （1）dx x ⎰+1)12(；（2）dx x r rr ⎰--22；（3）dx x ⎰3；（4）dx x ⎰--3329.3.不经计算比较下列定积分的大小（1）dx x⎰12与dx x ⎰13; （2）dx x ⎰40sin π与dx x ⎰40cos π;（3）dx x ⎰1与dx x ⎰+10)1ln(; （4）dx x ⎰10与dx x ⎰12.4.设)(x f 为区间[]b a ,上单调增加的连续函数，证明：))(()())((a b b f dx x f a b a f ba-≤≤-⎰5.用定积分定义计算极限)21(lim 22222nn nn n n n n ++++++∞→Λ微积分基本公式变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动在t 时刻所经过的路程为)(t S 速度为),0)()(()(≥'==t v t S t v v 则在时间间隔[]21,T T 内物体所经过的路程S 可表示为)()(12T S T S -及dtt v TT )(21⎰ 即)()()(1221T S T S dt t v T T -=⎰上式表明速度函数)(t v 在区间[]21,T T 上的定积分等于)(t v 的原函数)(t S 在区间[]21,T T 上的增量这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢积分上限函数及其导数定义设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续并且设x 为[]b a ,上的一点我们把函数)(x f 在部分区间[]x a ,上的定积分dx x f xa )(⎰称为积分上限的函数它是区间[]b a ,上的函数记为dxx f x xa)()(⎰=Φ 或dtt f x xa)()(⎰=Φ定理1 如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续则函数dt t f x xa)()(⎰=Φ在[]b a ,上具有导数并且它的导数为)()()(x f dt t f dxd x xa ==Φ'⎰)(b x a ≤≤ 证明若),(b a x ∈取x ∆使).,(b a x x ∈∆+)()(x x x Φ-∆+Φ=∆Φdt t f dt t f xa xx a)()(⎰⎰-=∆+ dt t f dt t f axxx a)()(⎰⎰+=∆+xf dt t f xx x∆==⎰∆+)()(ξ应用积分中值定理有,)(x f ∆=∆Φξ其中ξ在x 与x x ∆+之间0→∆x 时 x →ξ 于是),()(lim )(lim lim00x f f f x x x x ===∆∆Φ→→∆→∆ξξξ即)()(x f x =Φ'若a x =取0>∆x 则同理可证)()(a f x =Φ'+ 若b x= 取0<∆x 则同理可证)()(b f x =Φ'-推论如果)(x ϕ可导，则)()]([])([])([)()(x x f dt t f dt t f dx d x x a x aϕϕϕϕ'='=⎰⎰更一般的有[][]).()()()()()()(x x f x x f dt t f x x ψψϕϕϕψ'-'=⎰例1 计算tdt e dxd x tsin 0⎰-. 解 tdt e dx d x t sin 0⎰-=]sin [0'⎰-tdt e x t=x e x sin -. 例2 求极限42sin limxtdt x x ⎰→.解因为0lim4=→x x ，⎰⎰==→20sin sin lim x x tdt tdt ，所以这个极限是型的未定式，利用洛必达法则得42sin limx tdt x x ⎰→=32042sin lim x x x x ⋅→=2202sin lim xx x → =220sin lim 21x x x → =21. 例3 设)(x f 在[)+∞,0内连续且0)(>x f 证明函数⎰⎰=xxdtt f dt t tf x F 00)()()(在),0(+∞内为单调增加函数证明)()( 0x xf dt t tf dx d x =⎰)()(0x f dt t f dx d x =⎰ 故2000))(()()()()()(⎰⎰⎰-='xxxdt t f dtt tf x f dt t f x xf x F 200))(()()()(⎰⎰-=xxdt t f dt t f t x x f按假设当x t<<0时,0)()(,0)(>->t f t x t f 所以0)(0>⎰dt t f x)()(0>-⎰dt t f t x x从而),0(0)(>>'x x F 这就证明了)(x F 在),0(+∞内为单调增加函数定理2 如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续则函数dt t f x xa)()(⎰=Φ就是)(x f 在[]b a ,上的一个原函数定理的重要意义一方面肯定了连续函数的原函数是存在的另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系牛顿莱布尼茨公式定理3 如果函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间[]b a ,上的一个原函数则)()()(a F b F dx x f ba -=⎰此公式称为牛顿莱布尼茨公式也称为微积分基本公式证明已知函数)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数又根据定理2积分上限函数dt t f x xa)()(⎰=Φ也是)(x f 的一个原函数于是有一常数C 使).()()(b x a C x x F ≤≤=Φ-当a x =时有C a a F =Φ-)()(，而0)(=Φa ，所以)(a F C = 当b x =时)()()(a F b b F =Φ-所以)()()(a F b F b -=Φ 即)()()(a F b F dx x f ba -=⎰ 为了方便起见可把)()(a F b F -记成b ax F )]([ 于是)()()]([)(a F b F x F dx x f ba ba -==⎰该公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系例4 计算⎰102dxx解由于331x 是2x 的一个原函数所以31031131]31[33103102=⋅-⋅==⎰x dx x例5 计算2311x dx+⎰-解由于x arctan 是211x +的一个原函数所以 31231][arctan 1--=+⎰x x dx)1arctan(3arctan --=πππ127)4 (3 =--=例6 计算⎰--121dxx解1212|]|[ln 1----=⎰x dx x ln 1ln 2ln 2例7 求dx x ⎰--312.解dx x ⎰--312=⎰⎰⎰⎰---+-=-+-21322132)2()2(|2||2|dx x dx x dx x dx x=322212)221()212(x x x x -+--=2129+=5.例8 计算正弦曲线ysin x 在[0 ]上与x 轴所围成的平面图形的面积解这图形是曲边梯形的一个特例它的面积 ππ0]cos [sin x xdx A -==⎰(1)(1)2习题5-21.设0()d xf x t t =⎰，求2()4f π'；2.设30()cos d xf x x t t =⎰，求()f x ''；3.求下列函数的导数（1）dt e x f xt ⎰-=0)(；（2）dt t x f x ⎰+=121)(；（3）dt t f ⎰=θθθcos sin )(；（4）dt t x f x ⎰+=221)(.4.计算下列导数（1）2220d d d x t t e t x ⎰；（2）22d d 1x x t x t +⎰；（3）220d ()sin d d x t x t t x -⎰. 5.求下列极限（1）)cos(1)sin(lim11t dtt xx ππ+⎰→；（2）dtte dt e xt xt x ⎰⎰→02222)(lim.6.计算下列定积分（1）dx x x )1(212-+⎰；（2）dx x x )2(210+⎰；（3）dx x⎰211；（4）dx x ⎰πcos ；（5）dx x ⎰π20sin ；（6）10e d x x ⎰；（7）dx x ⎰-1)cos 32(; （8）dx x⎰1100; （9）dx x x ⎰+-12211; （10）dx x ⎰+π2cos 1; （11）dx x x ⎰+41)1(; （12）dx x⎰+331211; （13）dx x⎰-210211; （14）1100d xx ⎰; （15）dx x x x ⎰-+++012241133;（16）dx x e ⎰---+2111; （17）dx x ⎰402tan π; （18）10max{,1}d x x x -⎰8．设()21,11,12x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，求()20d f x x ⎰.定积分的计算定积分的换元积分法定理假设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续函数)(t x ϕ=满足条件(1);)(,)(b a ==βϕαϕ(2) )(t ϕ在[]βα, （或[]αβ,）上具有连续导数且其值域不越出[]ba ,则有dtt t f dx x f ba )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰这个公式叫做定积分的换元公式证明由假设知)(x f 在区间[]b a ,上是连续因而是可积的 [])()(t t fϕϕ'在区间[]βα, (或[]αβ,)上也是连续的因而是可积的假设)(x F 是)(x f 的一个原函数则).()()(a F b F dx x f ba-=⎰另一方面因为[]{}[][])()()()()(t t f t t F t F ϕϕϕϕϕ'=''=' 所以F [(t )]是[])()(t t f ϕϕ'的一个原函数从而[]dt t t f ⎰'βαϕϕ)()([][]).()()()(a F b F F F -=-=αϕβϕ因此dtt t f dx x f ba )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰例1 求dx xx ⎰+301.解令t x =+1，则12-=t x ，tdt dx 2=，当0=x 时，1=t ，当3=x 时，2=t ，于是dx xx ⎰+301=tdt tt 21212⋅-⎰=dt t ⎰-212)1(2=213]31[2t t -=38例2 求dx e x ⎰-2ln 01.解令t e x =-1，则)1ln(2t x +=，dt t tdx 212+=，当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t ，于是dx e x⎰-2ln 01=dt t t t ⎰+⋅10212=dt t t ⎰+102212=dt t )111(2102⎰+- =10]arctan [2t t -=22π-.例3 计算⎰-adx x a 022(a >0)解令t a x sin =，则t a t a a x a cos sin 22222=-=-，.cos tdt a dx = 当0=x时0=t 当a x =时2π=t⎰⎰⋅-=20sin 022cos cosπtdt a t a dx x a ta x a令⎰⎰+==2022022)2cos 1(2cos ππdt t atdt a220241]2sin 21[2a t t a ππ=+=例4 计算xdxx sin cos 520⎰π解:令,cos x t =则当0=x 时1=t 当2π=x 时0=txxd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ61]61[ 106105015cos ===-⎰⎰=t dt t dt t tx 令或x xd xdx x cos cos sin cos 52052⎰⎰-=ππ610cos 612cos 61]cos 61[66206=+-=-=ππx例5 计算⎰-π53sin sin dxx x解dx x x dx x x |cos |sin sin sin 230053⎰⎰=-ππ⎰⎰-=πππ2232023cos sin cos sin xdx x xdx x⎰⎰-=πππ2232023sin sin sin sin x xd x xd54)52(52]sin 52[]sin 52[2252025=--=-=πππx x提示 |cos |sin )sin1(sin sin sin 232353x x x x x x =-=-在]2 ,0[π上,cos cos x x =在] ,2[ππ上.cos cos x x -=例6 计算dx x x ⎰++40122解令,12t x =+则212-=t x ， ,tdt dx =当0=x 时1=t 当4=x 时3=t⎰⎰⎰+=⋅+-++=+312312124)3(21221 122dt t tdt t t dx x x t x 令322)]331()9327[(21]331[21313=+-+=+=t t例7设)(x f 在区间],[a a -上连续，证明：（1）如果)(x f 为奇函数，则⎰-=a a dx x f 0)(；（2）如果)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=a aadx x f dx x f 0)(2)(.证明由定积分的可加性知x d x f x d x f x d x f a aaa⎰⎰⎰+=--0)()()(，对于定积分⎰-0)(adxx f ，作代换tx -=，得⎰-0)(adx x f =⎰--0)(adt t f =⎰-adt t f 0)(=⎰-a dx x f 0)(，所以⎰⎰⎰-+-=aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(=⎰-+adx x f x f 0)]()([（1）如果)(x f 为奇函数，即)()(x f x f -=-，则0)()(=-+x f x f ，于是⎰-=aadx x f 0)(.（2）如果)(x f 为偶函数，即)()(x f x f =-，)(2)()()()(x f x f x f x f x f =+=-+，于是⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(.例8 若)(x f 在[]1,0上连续证明 (1)⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdxx f dx x f (2)⎰⎰=πππ00)(sin 2)(sin dxx f dx x xf证明 (1)令tx -=2π 则dt t f dx x f )]2[sin()(sin 0220--=⎰⎰πππ⎰⎰⎰==-=20202)(cos )(cos )]2[sin(ππππdxx f dt t f dt t f(2)令t x -=π则⎰⎰---=0)][sin()()(sin ππππdt t f t dx x xf ⎰⎰-=--=πππππ00)(sin )()][sin()(dt t f t dt t f t⎰⎰-=πππ0)(sin )(sin dt t tf dt t f ⎰⎰-=πππ0)(sin )(sin dxx xf dx x f所以⎰⎰=πππ00)(sin 2)(sin dx x f dx x xf例9 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥=-01 cos 11)(2x xx xe x f x 计算⎰-41)2(dxx f解设t x =-2 则;dt dx =当1=x 时1-=t当4=x 时2=t⎰⎰⎰⎰---++==-200121412cos 11)()2(dt te dt t dt t f dx x f t 212121tan ]21[]2[tan 420012+-=-=---e e t t定积分的分部积分法设函数)()(x v x u 、在区间[]b a ,上具有连续导数)()(x v x u ''、由v u v u uv '+'=')(得v u uv v u '-='式两端在区间[]b a ,上积分得vdx u uv dx v u ba ba ba '-='⎰⎰][ 或vduuv udv bab a ba⎰⎰-=][这就是定积分的分部积分公式分部积分过程][][⋅⋅⋅='-=-=='⎰⎰⎰⎰vdx u uv vdu uv udv dx v u ba ba ba ba ba ba例10 计算xdx arcsin 21⎰解xdx arcsin 21⎰x xd x x arcsin ]arcsin[210210⎰-=dx x x 22101621--⋅=⎰π)1(1121122221x d x --+=⎰π212]1[12x -+=π12312-+=π例11 计算⎰1dxe x解令t x = 则⎰⎰=10102tdt e dx e t x ⎰=102t tde ⎰-=1010 2 ][2dt e te t t 2][2210 =-=t e e例12求⎰21ln xdx x .解⎰21ln xdx x =⎰212)(ln 21x xd =)(ln 21ln 21212212x d x x x ⎰-=⎰-21212ln 2xdx =212412ln 2x -=432ln 2-.例13求⎰πsin xdx x .解 ⎰πsin xdx x =⎰-πcos x xd =⎰+-ππ0cos cos xdx x x=ππ0sin x +=π.例14 设⎰=20sin πxdx I n n 证明(1)当n 为正偶数时22143231π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n(2)当n 为大于1的正奇数时 3254231⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n证明 ⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n ⎰--+-=2012 01sin cos ]sin[cos ππx xd x x n n⎰--=2022sin cos )1(πxdx x n n ⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdx n xdx n n n(n 1)I n2(n 1)I n由此得 21--=n n I n n I02214342522232212I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=112325432421222122I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+而2200ππ==⎰dx I 1sin 201==⎰πxdx I因此22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m 32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m定积分的近似计算虽然牛顿——莱布尼兹公式解决了定积分的计算问题，但它的使用是有一定局限性的。

高等数学第五章

一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线 y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
x 轴与两条直线 x a 、
y
y f ( x)
A?
o
a b
x b 所围成.
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
因为 f ( x ) 在区间[0,1] 上连续，且 f ( x ) 0
所以ln f ( x ) 在[0,1]上有意义且可积 ,
i 1 1 ln f ( x )dx lim ln f 0 n i 1 n n
n
故 lim n
n
1 f n
在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
y
o a
x1
x i 1 i x i
x n 1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， ( i ) 为高的小矩形面积为 f
Ai f ( i )xi
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
当分割无限加细,即小区间的最大长度
某时刻的速度
（2）求和
s v ( i )t i
i 1
n
（3）取极限 max{t1 , t 2 ,, t n } 路程的精确值 s lim v ( i )t i
0 i 1
n
二、定积分的定义
定义设函数 f ( x ) 在[a , b] 上有界， [a , b]中任意插入在

高数第五章定积分及其应用(第129-163页,共35页张勇)

129第五章定积分及其应用§5.1 学习的要求1. 理解定积分的概念及几何意义，了解可积的条件．2. 掌握定积分的基本性质．3. 理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法．4. 熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式．5. 掌握定积分的换元积分法和分部积分法6. 理解无穷区间的广义积分，掌握其计算方法．7. 熟练掌握定积分求平面图形面积和掌握平面图形绕坐标轴旋转所成的旋转体体积 8. 会用定积分求变力直线做功和不均匀细棒的质量．§5.2内容提要一、定积分的概念（一）定积分的概念定义设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义，用任一组分点： 01....a x x =<<,i n x x b <<<=把区间],[b a 分成n 个小区间),...3,2,1](,[1n i x x i i =-在每个小区],[1i i x x -上任意取一点i ξi i i x x ≤≤-ξ1() 用函数值)(i f ξ与该区间的长度1--=∆i i i x x x 相乘,作和式i ni i x f ∑=∆1)(ξ 如果不论对区间],[b a 采取何种分法及i ξ如何选取,当 {}0(max (1)i x x x i n ∆→∆=∆≤≤)时，和式的极限存在，则称函数)(x f 在],[b a 上可积,此极限称为函数在区间],[b a 上的定积分(简称积分).记为dx x f ba)(⎰，即1()()limnbiiai x f x dx f x ξ=∆→=∆∑⎰，其中变量x 称为积分变量,)(x f 称为被积函数,dx x f )(称为被积表达式b a ,分别称为积分下限和积分上限, ],[b a 称为积分区间.⎰badx x f )( 是一个常量(b a ,为常数)，其值只与被积函数和积分上下限有关,与积分变量用什么字母无关.(二).几何意义 1. 若)(x f ≥0,定积分⎰ba dx x f )(表示曲线)(x f y =,直线x =a 和x =b 以及x 轴所围成的曲边梯形的面积. 2. 若)(x f ≤0,定积分⎰badx x f )(表示相应曲边梯形面积的负值.(三) 定积分存在定理定理如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上的定积分必定存在. 二、定积分的性质130 性质1 若],,[b a x ∈恒有)(x f =1，则有⎰⎰-==⋅bab aa b dx dx 1．性质2 ⎰ba dx x f )(=-⎰abdx x f )(．性质3 ⎰=badx x kf )(⎰badx x f k )( （k 是常数）性质4⎰⎰⎰±=±b ab abadx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121推论1 112[()()]()()()bb bbn n aaaaf x f x dx f x dx f x dx f x dx ±±=±±±⎰⎰⎰⎰性质5 ],[b a c ∈∀,则⎰badx x f )(=⎰c adx x f )(+⎰bcdx x f )(推论2 c b a ,,为任意的常数⎰badx x f )(=⎰c adx x f )(+⎰bcdx x f )(.性质6(积分中值定理) 若函数)(x f 在],[b a 上连续,则至少存在一点ξ()b a ,(∈ξ),使⎰badx x f )(=))((a b f -ξ三、牛顿—莱布尼茨公式 (一) 积分上限函数1. 定义设)(x f 在],[b a 上连续,],,[b a x ∈则)(t f 在],[x a 上可积 , 即⎰xadt t f )(存在,因此⎰xadt t f )(是上限x 的函数,记为()x φ=⎰xadt t f )(，称)(x φ为积分上限函数(或变上限积分) ．2.积分上限函数的导数设)(x f 在],[b a 上连续, )(x φ在],[b a 上可导,则⎰∈==xa b a x x f dt t f dxd x ].,[),()()('φ )(x φ就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数．(二)牛顿—莱布尼茨公式定理如果函数()F x 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的任一原函数, 则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰,这个公式称为牛顿—莱布尼茨公式,也称为微积分学基本定理. 公式表明:一个连续函数在区间],[b a 上的定积分等于它的任一原函数在区间],[b a 上的增量.四. 定积分的换元法和分部积分法 (一) 定积分的换元法设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,令)(t x φ=,如果 (1) )(t φ在[βα,]上连续,当],[βα∈t 时, )(t φ的值不超出],[b a ,且有连续导函数)('t φ；(2) b a ==)(,)(βφαφ，则⎰badx x f )(=⎰βαφφdx t t f )('))((．用)(t x φ=进行变换时,积分限也要随之换成新变量t 的积分限,不必像不定积分那样将变量还原.131(二)定积分的分部积分法设函数),(x u )(x v 在],[b a 上具有连续的一阶导数 ),('),('x v x u 则''bb aaba uv dx u vdx uv =-⎰⎰；或bbaaba udv vdu uv =-⎰⎰ ．(三)偶，奇函数在对称区间],[a a -上的积分(1)当)(x f 是],[a a -上连续的偶函数时，⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(；(2)当)(x f 是],[a a -上连续的奇函数时，⎰-=aadx x f 0)(．五．广义积分(反常积分)(一) 无穷区间上的积分(无穷积分)定义设)(x f 在区间[,)a +∞上连续,取b a >,若极限lim ()bab f x dx →∞⎰,则称此极限值为 )(x f 在),[+∞a 上的广义积分,记作 ⎰+∞adx x f )(=lim ()bab f x dx →∞⎰；(1)类似地,可以定义如下反常积分⎰∞-bdx x f )(=lim()baa f x dx →-∞⎰； (2)⎰-∞∞-dx x f )(=⎰∞-cdx x f )(+⎰+∞cdx x f )(lim()caa f x dx →-∞=⎰+lim()bcb f x dx →+∞⎰， (3)其中c 为任何实数；当(1)(2)(3)式右端极限存在时,反常积分收敛,否则是发散的. (二) 无界函数的积分定义设)(x f 在],(b a 上连续,且lim ()x af x +→=∞，取0>ε若极限0lim ()ba f x dxεε+→⎰存在,则称此极限为无界函数)(x f 在],[b a 上的广义积分,记作⎰badx x f )(=0lim ()ba f x dx εε++→⎰．类似地,可定义在x b =附近无界函数()f x 的反常积分⎰b adx x f )(=0lim ()b af x dx εε-→⎰，以及在(a ,b )内一点x c =附近无界函数()f x 的反常积分⎰badx x f )(=⎰c adx x f )(+⎰bcdx x f )(=0lim ()c af x dx εε-→⎰+0lim ()bc f x dx εε++→⎰．六定积分的应用(二) 定积分的元素法.(1) 任取],[b a 上的代表性的小区间[,]x x dx + ,作出欲求量Q 在此小区间上增量Q ∆的近似值即微元： dx x f dQ )(= .(2)求积分，Q =⎰badx x f )(.注:关键是找出微元,例如求面积要找出“面积微元”,求体积要找出“体积微元”等. (三)定积分的几何应用1)平面图形的面积(1)直角坐标系下的面积公式①由曲线(),()(()())y f x y g x f x g x ==≥与)(,b a b x a x <==所围成的图形面积132 S=⎰-badx x g x f )]()([；②由曲线 (),()(()())x y x y y y φϕφϕ==≥与)(,d c d y c y <==所围成的图形面积[()()]dcs y y dy φϕ=-⎰.(2)极坐标系下的面积,求立体的体积由曲线],,[),(βαθθ∈=r r 与两条射线βθαθ==, 所围成的曲边扇形的面积 21()2s r d βαθθ=⎰. 2)已知平行截面的面积,求立体的体积设某立体由一曲面和垂直于x 轴的两个平面 b x a x ==,围成，用垂直于x 轴的平面去截这个立体，若截面面积()A x (b x a ≤≤)是已知的连续函数,则该立体体积()baV A x dx =⎰．3)旋转体的体积①连续曲线))((b x a x f y ≤≤=与b x a x =-,及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积⎰=bax dx x f V )(2π②连续曲线))((d y c y x ≤≤=φ与d y c y ==,及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体体积⎰=dcy dy y V )(2φπ．（三）定积分在物理上的应用 1.变力沿直线作功变力)(x f 作用于物体,使物体由点a x =移动到b x =,)(x f 在],[b a 上连续,由微元法，任取],[b a 上的小区间[,],x x dx +其上的变力)(x f 近似看着常数,得功元素dx x f dw )(=，以a 到b 求定积分,得所求的功 w =⎰badx x f )(．2.非均匀直线细棒的质量.直线细棒的线密度为∈=x x ),(ρρ],[b a ,在],[b a 上由微元法,任取],[b a 上的小区间[,],x x dx +其上的密度近似看着常数,得质量元素 dx x dm )(ρ=，从a 到b 求定积分,得到所求的直线细棒的质量m =⎰badx x )(ρ．3. 非均匀细棒的转动惯量细棒AB 的方程为,b kx y +=密度∈=x x ),(ρρ],[b a ,任取],[b a 上的小区间],[dx x x +,视该小区间上密度与],[dx x x +对应的细棒段CD 到转轴x 轴的距离y 为常数,得转动惯量微元dx x b kx k dx x k ydI x )()(1)(12222ρρ++=+=转动惯量为 ⎰++=bax dx x b kx k I )()(122ρ§5.3基本例题及分析133例1.比较下列积分的大小关系.(1)⎰21sin dx x x 与⎰212)sin (dx x x ； (2)⎰⎰++1010)1ln(1dx x dx xx 与．分析在积分上下限都相同的情况下，积分大小由被积函数的大小决定．比较两个函数的大小可以根据函数本身的图形关系、利用单调函数的定义等方法来判断.解 (1)当0x >时sin x x <，当1<x <2时,有1sin >x x ，即有 ,sin )sin (2xx x x > 则⎰⎰<21212)sin (sin dx x x dx x x . (2) 令0)0(),1ln(1)(=+-+=F x x xx F ，,)1(11)1(1)('22x xx x x F +-=+-+= 当0x >时,0)('<x F 时,()F x 单调下降,0)0()(,0=<>F x F x ，即)1l n (1x xx+<+，则⎰⎰+<+1010)1ln(11dx x dx x ．例2.估计积分1214xe ⎰的值.解当]21,41[∈x 时, x y =单增, x y arcsin=单增, u e y =是单增,所以x xe x f y arcsin )(==在]21,41[也是单增的,因此)21()()41(f x f f <<,由641111(),()4422f e f e ππ==，得 6411()42e f x e ππ<<，同时积分得42141681)(161ππe dx x f e <<⎰. 例3.设)(x f 在a x =处连续,求极限ax dt t f xaax -⎰→)(lim．分析 x a →时，分子趋向()aaf t dt ⎰（=0），所以是型极限，一般对变上限积分很常用“(())()xaf t dt f x '=⎰”这种运算方式，所以很自然想到用洛必达法则求解.解这是型未定式，用洛必达法则求解. 原式=)(1)(lim)'())((lim'a af x xf a x dt t tf ax xa ax ==-→→⎰.134 例 4. 设)(x f 在 ],[b a 上连续,且)(x f >0,证明：方程⎰⎰=+xaxbdt t f dt t f 0)(1)( 在区间),(b a 内恰有一个根.分析证明根的存在可以考虑零点定理：连续函数的端点函数值符号相反则函数至少有一个零点（即函数值为0的点），如果函数是单调函数，则只能有一次穿过x 轴.本例中出现变上限积分，一般要用到它的导数，注意变上限积分函数的自变量由变上限确定.证设 )(x F =⎰⎰+xaxbdt t f dt t f )(1)(,由于)(x f 连续, )(x f >0,则)(1x f 连续,所以)(x F 在],[b a 上也连续.又因为11()0,()()0()()ab b b a a F a dt dt F b f t dt f t f t ==-<=>⎰⎰⎰，由零点定理可知, )(x F =0在),(b a 内至少有一个根.又.0)(1)()('>+=x f x f x F 则)(x F 在],[b a 上单增，()0F x =在 ],[b a 上最多有一个根,由上述证明可知：)(x F 在),(b a 内恰好有一个根.例5. 计算下列积分 (1)⎰94sin dx xx ； (2)⎰2052sin cos πxdx x ；(3)⎰-adx x a x222(a >0)； (4) ⎰---1221x x dx ；(5)⎰-+1)1ln(e dx x ； (6)⎰-+223)cos (sin ππdx x x .分析（1）题出现了复合函数和其中间变量的导数，比较明显是用凑微分法；另外也项，可以尝试第二换元法.（2）题先用倍角公式化简后明显是用凑微分法的情形.（32xdx -的组成，所以用第二换元法的三角代换法．（4）题同（3）题，另外注意到和(arcsin )x '=.（5）题是幂函数乘对数函数的积分，显然用分部积分．（6）题的上下限是对称区间，根据奇偶函数在对称区间的积分来做.解:(1)法一:,21x d dx x=⎰⎰-=-==949494)3cos 2(cos 2cos 2sin 2sin xx d x dx xx .法二:(用第二换元法). 令,2,,2tdt dx t x x t === 当x =4时, t =2;当x =9时t =3,则93332422sin 22sin 2cos 2(cos 2cos3)t tdt tdt tt ===-=-⎰⎰⎰.(2)原式=2⎰⎰=-=-=2020276672cos 72cos cos 2sin cos πππx x xd xdx x .135(3)令tdt a dx t t a x cos ),20(,sin =≤≤=π,当x =0时, t =0;当x =a 时, t =2π,则22422220(sin )(cos )(cos )sin cos axa t a t a t dt at tdt ππ==⎰⎰⎰4422201cos 4sin 2442a a t tdt dt ππ-==⎰⎰4420sin 4()8416a t a t ππ=-=.(4)法一:用第二换元积分法,令sec ,sec tan x t dx t tdt ==，当2-=x 时,π32=t ;当1-=x 时, t =π,则⎰⎰⎰---=-=-=-12323223)1()tan (sec tan sec 1πππππdt dt t t t t x x dx . 法二:运用恒等变形和凑微分法. 当[2,1],x ∈--x =-1()x'==,令1u x =，则1121/----=⎰⎰11/2arcsin ()263u πππ--==---=-. (5)1111ln(1)ln(1)(1)[(1)ln(1)](1)ln(1)e e e e x dx x d x x x x d x ----+=++=++-++⎰⎰⎰11001(1)11e e e x dx e x x --=-+=-=+⎰ . (6)积分区间关于点对称, x 3sin 是奇函数,x 3cos 是偶函数.原式=/2/232/2/2sin cos 02cos 2xdx xdx xdx πππππ--+=+=⎰⎰⎰.例6.求证(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰．分析等式两边被积函数均含有)(sin x f ,注意到sin()sin t t π-=，如果t x -=π，其上下限互换了，并注意到定积分与积分变量用什么符号无关.证令t x -=π，,dt dx -=,当0=x 时, t =π;当x =π时, t =0.00(sin )()(sin())()()(sin )xf x dx t f t dt t f t dt ππππππ=---=--⎰⎰⎰=()(sin )(sin )(sin )t f t dt f t dt tf t dt πππππ-=-⎰⎰⎰,而定积分与积分变量无关,得⎰⎰=ππ00)(sin )(sin dx x xf dt t tf ，整理得⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf .例7.计算⎰∞-0sin xdx e x ．136 分析被积函数的指数函数乘正弦函数，两次同型的分部积分就可以解出原函数．本题是广义积分，其实就是先求定积分，然后取上限或下限的极限.解:由不定积分⎰⎰---+-=xdxe x e xdx e x x x cos sin sin =dx x e x e x e xx x )sin (cos sin -+-----⎰，则⎰++-=--c x x e dx ex x)cos (sin 21sin ,⎰⎰∞-∞→-=00sin lim sin b xb x xdx e xdx e . 则 0lim[(/2)(sin cos )]x bb e x x -→∞-+=2/1)2/12cos sin (lim =++-∞→b b eb b 则⎰∞-0sin xdx e x 收敛,其值为1/2.例8.求曲线24x y -=与直线x =4, x 轴, y 轴在区间[0,4]上围成图形的面积S . 解S =42424222330224(4)(4)(4(34)16x dx x dx x dx x x x x -=-+-=-+-=⎰⎰⎰.例9.求由曲线θ2cos 22=r 所围成图形在r =1内的面积.分析本题没有明确指出极坐标下θ的变化范围，那么肯定要根据已知条件找出来，注意2r >0. 题意是求两个图形围成的图形面积，而r =1是一个半径为1的圆，它和曲线一定要相交，所以首先要求出交点，从而确定积分的限.解由 θ2cos 22=r 0≥ ,则 cos20θ≥,2,2244ππππθθ-≤≤-≤≤.令 {22cos21r r θ==，得6πθ±= ,交点(1,6π±).由于对称性,先计算第一象限内的部分.当6/0πθ<<时, r =1 ,阴影部分面积⎰⎰===660211212121πππθθd d r A ；当46πθπ<<时,,2cos 22θ=r 阴影部分的面积为2442661112cos 2(1222A r d d ππππθθθ===⎰⎰323)(421-+=+=πA A A .例10.求由曲线22x y -=与直线0),0(=≥=x x x y . 围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积.分析两曲线围成图形的旋转体体积可以看成大的旋转体去掉小的旋转体，曲线绕x 轴旋转，任意点x 处的截面半径是()r y f x ==,旋转体体积微元是22()y dx f x dx ππ=.解解方程组{22y xy x ==-且x 0≥,得x =1.则所求旋转体的体积为111222240(2)(45)x V x dx x dx x x dx πππ=--=-+⎰⎰⎰137=π513058(4)23515x x x π-+=例11.自地面垂直向上发射火箭,火箭质量为m , 试计算将火箭发射到距离地面高度为h 处所做的功.解:设地球质量M ,半径为R ,坐标原点在地心,地球对于r 点处火箭的引力大小为2rMmGf = (r 是地心到火箭的距离) ．火箭从r 处到dr r +处. 引力近似看成不变,为2)(rMmG r f =, 则功元素为dr r f dW )(=，2111()()()R R R R RRRRhhhhMm W dW f r dr Gdr GMm GMm r rR R h++++====-=-+⎰⎰⎰．§5.4 教材习题选解习题 5-11、判断题（1）定积分⎰ba x f )(由被积函数)(x f 与积分区间],[b a 确定．（√）（2）定积分⎰b a dx x f )(是x 的函数．（×）（3）若⎰=b adx x f 0)(，则0)(=x f ．（×）（4）定积分⎰badx x f )(在几何上表示相应曲边梯形面积的代数和．（√）2、选择题（根据右图（见教材P122图）写出答案）：（1）⎰=bdx x f 0)(（B ）；（A ）21A A +；（B ）21A A -；（C ）12A A +；（D ）231A A A -+．（2）⎰=dcC dx x f )()(；（A ）32A A +；（B ）32A A -；（C ）23A A -；（D ）213A A A -+．（3）⎰=d dx x f 0)(（C ）．（A ）321A A A ++；（B ）321A A A -+；（C ）321A A A +-；（D ）213A A A +-．习题 5-21、判断题（1）⎰⎰=2112)()(dx x f dx x f ；（×）138 （2）当c x f =)(时，⎰⎰+=11)()(a adx x f dx x f ；（√）（3）⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(只对非零常数k 成立；（×）（4）⎰⎰⎰±=±bababadx x f k dx x f k dx x f k x f k )()()]()([22112211；（√）(5)⎰⎰⎰--+=ππππππ2339929sin sin sin xdx xdx xdx ． (√)2、已知⎰=10341dx x ，⎰=10231dx x ，⎰=1021xdx ，⎰=201cos πxdx ，⎰=201sin πxdx ，求定积分：（1）130(421)x x dx ++⎰；（2）120(2)x dx +⎰；（3）11(3)3x dx +⎰；（4）130(1)x dx +⎰；（5）220sin 2x dx π⎰；（6）20(sin cos )a x b x dx π+⎰．解（1）⎰⎰⎰⎰=+⨯+⨯=++=++101010103331212414124)124(dx xdx dx x dx x x ；（2）⎰⎰⎰⎰⎰=+⨯+=++=++=+1010*******2231642143144)44()2(dx xdx dx x dx x x dx x ；（3）⎰⎰⎰=+=⨯+⨯=+=+101010611629131213313)313(dx xdx dx x ；（4）⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=+++=+10101010123231333)133()1(dx xdx dx x dx x dx x x x dx x419121331341=+⨯+⨯+=；（5）2222200001cos 11111sin cos (2)22222224x x dx dx dx xdx ππππππ-==-=⨯-=-⎰⎰⎰⎰；（6）⎰⎰⎰+=⨯+⨯=+=+2020211cos sin )cos sin (πππb a b a xdx b xdx a dx x b x a ．3、设)(x f 和)(x g 在],[b a 上连续，且)()(0x g x f ≤≤试用定积分的几何意义说明⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(．解令)()()(x f x g x h -=，则在],[b a 上，≥)(x h 0，()0b ah x dx ∴≥⎰，即⎰⎰⎰≥-=-b a b a badx x f dx x g dx x f x g 0)()())()((，()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰．4、用第3题的结论比较定积分的大小：（1）⎰21xdx 与⎰212dx x ；（2）⎰43ln xdx 与⎰432)(ln dx x ；（3）⎰20πxdx 与⎰20sin πxdx ；（4）⎰10sin xdx 与⎰12sin xdx ．139解（1）在[1，2]上，x x >2，⎰⎰<∴21212dx x xdx ．(2) 在[3，4]上，ln 1x >，知2ln (ln )x x <∴⎰43ln xdx <⎰432)(ln dx x ．(3) 在]20[π，上，x x x f sin )(-=，'()1cos 0f x x =-≥，即()f x 在]2,0[π是增函数，显然在]20[π，上，当0=x 时，)(x f 取到最小值0，即在]20[π，上0sin )(≥-=x x x f ，有sin x x ≤，则220sin xdx xdx ππ>⎰⎰．（4）在[0，1]上，0sin 1x <<，2sin sin x x >⎰⎰>∴1012sin sin xdx xdx ．习题 5-31、判断题（1）当⎰=Φxadt t f x )()(时，)()('x f x =Φ；（√）（2）对任意函数)(x f 有⎰-=baa Fb F dx x f )()()(；（×）（3）⎰=--122)11(πdx x；（×）（4）0sin 20=⎰kxdx π．（√）2、计算定积分（2）)0()13(211>+-⎰+a dx x x x a ；（3）⎰+2142)1(dx xx ；（4）4dx +⎰； (5)⎰+33121x dx ； (6)⎰--212121xdx ； (7)⎰>+a a x a dx 3022)0(； (8)⎰-4221x dx； (9)⎰-1024xdx ； (10)⎰-+++11241133dx x x x ；（11）⎰23sin πxdx ；（12）dx x |sin |20⎰π；（13）⎩⎨⎧>-≤=1,121,)(2x x x x x f ，求⎰20)(dx x f ；（14）⎰+π0)cos 3sin 2(dx x x ；（15）⎰402tan πxdx ；（16）⎰++212123dx xx x ；（17）⎰+π02)2cos (dx xe x ．140 解（2）1211(3)a x x dx x +-+⎰1123|)|ln 2(++-=a x x x0211)1ln(2)1()1(23-+-+++-+=a a a)1ln(22523++++=a a a a ．(3) ⎰+2142)1(dx x x 8212463)3131(3183138)3131(2133==--⨯-=-=-x x ．(4) ⎰⎰+=+=+94942232194)2132()()1(x x dx x x dx x x)1621832()81212732(⨯+⨯-⨯+⨯= 6145621110)8316()28118(=+=+-⨯=．(5) ⎰+33121xdx663arctan 331πππ=-==x ．(6)⎰--212121x dx 3)6(6arcsin 2121πππ=--==-x． (7)220dx a x +aa a xaa 3031arctan130ππ=-⋅==． (8)⎰-4221x dx 5ln 213ln 31ln 2153ln 21|11|ln 2142-=-=+-=x x ． (9) ⎰-1024xdx60arcsin 21arcsin 2arcsin 10π=-==x ． (10) ⎰-+++11241133dx x x x ⎰-++++-+=112222143)1(3)1(3dx x x x x x ⎰⎰⎰--+++++=1111222141)1(23x dx x x d dx 1111211113arctan 4)1ln(233----++-=x x x x 2604[()]2444πππ=-++--=-．(11)⎰23sin πxdx⎰=---=-=-=2020203232)10()10(31cos cos 31)(cos )1(cos πππx x x d x ．141(12)dx x |sin |20⎰π⎰⎰+-=-=ππππππ0202cos cos sin sin xx xdx xdx4)11()11(=+++=．(13) ⎰⎰⎰=-+=-+=-+=21212121032312)02(31)(3)12()(x x x dx x dx x dx x f ．(14)⎰+π)cos 3sin 2(dx x x ⎰⎰+-=+=ππππ0sin 3cos 2cos 3sin 2x x xdx xdx4)00(3)11(2=-++=(15)⎰402tan πxdx ⎰-=-=-=4040241)(tan )1(sec οππx x dx x ．(16)⎰++212123dx xxx 42121)2t t t dt =++)13253(2)222322453(2)3253(22135++-+⋅+⋅=++=t t t1568215142-=． (17) ⎰+π02)2cos (dx x e x ⎰⎰++=ππ002cos 1dx x dx e x 12)00(21)02()1(sin 2121000-+=-+-+-=++=πππππππe e x x e x．3、设k 为正整数，证明：（1）sin 0kxdx ππ-=⎰；（2）⎰-=ππ0cos kxdx ．证明：（1）⎰⎰---=---=-==ππππππππ0))cos((cos 1cos 1)(sin 1sin k k k kx k kx kxd k kxdx ；（2）⎰⎰---=--===ππππππππ0))sin((sin 1sin 1)(cos 1cos k k k kx k kx kxd k kxdx ．4、设某公司拟在市场推出一种新产品，据市场预测，产品最终可占有全国市场的4%，即每年可销售480万元，产品刚上市时大家陌生，故开始时达不到预测数，若收益函数变化率])1(11[480)('3+-=t t R （万元/年），问第二年的收益为多少？第三年呢？解第二年的收益为：⎰⎰+-=21213])1(11[480)('dt t dt t R32446]4121191212[480])1(121[480212=⋅--⋅+=+⋅+=t t （万），第三年的收益为：142 ⎰⎰+-=32323])1(11[480)('dt t dt t R 31468]91212161213[480])1(121[480212=⋅--⋅+=+⋅+=t t （万）．习题 5-41、判断题：（1）定积分换元时要交换上、下限；（×）（2）⎰-=++2232110)2)(cos 1(ππdx x x x ；（√）（3）222sin 4cos x u udu π=⎰⎰；（√）（4）dx xdx x e e +-=+⎰⎰--11)1ln(11；（×）（5）⎰-=--124)1(πdx x ．（√）2、计算定积分（1）⎰+2024t dt；（2）⎰+10431dx x x ；（3）dt t t ⎰-211；（4）31e ⎰；（5）21211cos dt t tππ⎰；（6）⎰203cos sin πxdx x ；（7）⎰+ωπϕω02)(sin dt t ；（8）⎰-222cos cos ππxdx x ；（9）222)1(x xdx+⎰；（10）⎰-121dx x ；（11）⎰>-2022)0(a a xa dx．解(1)⎰+224t dt ⎰⎰===40402821sec 4)tan 2(tan 2πππdu u u d u t ． (2) ⎰+10431dx x x ⎰=+=++=1014442ln 41)1ln(411)1(41x x x d ． (3) dt tt ⎰-21121122220011(1)2111u u u d u du t u u u =+-+==+++⎰⎰ 22arctan 22)111(21010102π-=-=+-=⎰u u du u ．(4)31e⎰222221122221111111()2222t t t t t t d e t e dt dt tx etet e-----=⋅=====⋅⎰⎰⎰．143(5)22111cos dt t t ππ⎰2121111cos ()sin sin sin 12d t t t ππππππ=-=-=-=-⎰． (6)⎰203cos sin πxdx x ⎰=-===2204341)01(41sin 41)(sin sin ππxx xd ． (7)20sin ()tdt πωωϕ+⎰1cos 2()2tdt πωωϕ-+=⎰11cos 2()(2())24t t d t ππωωωϕωϕω=-++⎰ 011sin 2()[sin(22)sin 2]24242t πωπππωϕπϕϕωωωωω=-+=-+-=． (8) ⎰-222cos cos ππxdx x 222222sin 213sin 61)cos 3(cos 21ππππππ---+=+=⎰x x dx x x 32)11(21)11(61=++--=． (9) 2220)1(x xdx +⎰222201(1)(1)2x d x -=++⎰52)151(211121202=--=+-=x ． (10) ⎰-1021dx x ⎰⎰⎰+===202022022cos 1cos )(sin cos sin πππdu u udu u ud u x 42sin 414)2(2cos 4121202020πππππ=+=+=⎰u u ud u ． 969323 (11)20a ⎰⎰⎰===60606cos )sin (sin πππdu u a u a d ua x ． 3、计算定积分：（1）10xxe dx -⎰；（2）0sin t tdt π⎰；（3）120arcsin xdx ⎰；（4）1arctan x xdx ⎰； (5)⎰202cos πxdx e x ； (6)⎰π2sin xdx x ．解(1) 11111102()1xx xx xxe dx xdx e xee dx e ee ------=-=-+=--=-⎰⎰⎰；(2)00sin (cos )cos cos sin t tdt td t t ttdt tπππππππ=-=-+=+=⎰⎰⎰．(3)111122220001arcsin arcsin (arcsin )26xdx x xxd x π=-=⋅-⎰⎰⎰112222011(1)(1)1122122122x d x πππ-=++-=+⋅+-⎰．144 (4) 211112220000111arctan arctan (arctan )22821x dx x xdx x x x d x x π=-=-+⎰⎰⎰ 112001111(1)[arctan )]8218242dx x x x πππ=--=--=-+⎰． (5)⎰22cos πxdx e x ⎰⎰-==202022022)(sin sin )(sin πππx x x e xd x e x d e⎰⎰⎰-+=+=-=202020220222)(cos 2cos 2)(cos 2sin 2πππππππx xxxe xd x e e x d e e xdx e e22024cos x e e xdx ππ=--⎰，⎰-=∴202)2(51cos πx x e xdx e ． (6)⎰π2sin xdx x ⎰⎰+-=-=πππ22cos 2cos )(cos xdx x x x x d x222202(sin )2sin 2sin 2cos 4xd x x xxdx xππππππππ=+=+-=+=-⎰⎰．4、求定积分（1）⎰--+12511x dx ；（2）⎰-10221dt t t ；（3）⎰414ln dx xx ；（4）11ln e x dx x +⎰；（5）⎰-ππxdx x 34sin ；（6）⎰-+11231)1cos (dx x x ．解(1) ⎰--+12511x dx 6ln 51)1ln 6(ln 51|511|ln 51511)511(511212=-=+=++=----⎰x x x d ．(2) ⎰-1221dt t t ⎰⎰⋅=⋅=202022)cos (sin )(sin cos sin sin ππdu u u u ud u u t 222220000111cos 411sin 2cos 444288u udu du u udu ππππ-===-⎰⎰⎰201sin 4163216u πππ=-=． (3) ⎰414ln dx xx 2222221111ln 1()ln ln 4t d t tdt t t t dt t t ==-⎰⎰ 12ln 22ln 221-=-=t ．(4) 11ln ex dx x +⎰2211113(1ln )(1ln )(1ln )[(11)1]222e e x d x x =++=+=+-=⎰．145(5) ⎰-ππxdx x 34sin 0=（奇函数）．(6)⎰-+11231)1cos (dx x x ⎰⎰⎰--=+=+=11111231220)cos (dx dx dx x x （奇函数）． 5、证明在区间],[a a -上，若)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(．证明00()()()aa a af x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰，对0()()af x d x -⎰，令x u =-，有00()()()()()()()()()()aaaaaf x d x f u d u f u d u f u d u f u d u -=--=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰，又因为积分与变量形式无关，知()()()()aaf u d u f x d x =⎰⎰，从而⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(．6、设k 为自然数，试证：（1）2cos kxdx πππ-=⎰；（2）2sin kxdx πππ-=⎰．证明（1）⎰⎰⎰----+=+=ππππππππkxdx x dx kx kxdx 2cos 212122cos 1cos 2111cos 2(2)sin 2(00)444kxd kx kxk kkππππππππ--=+=+=+-=⎰．（2）21cos 211sin cos 2222kx kxdx dx xkxdx ππππππππ-----==-⎰⎰⎰ ⎰--=--=-=-=ππππππππ)00(412sin 41)2(2cos 41k kx k kx kxd k ．7、证明：⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dx x dx ．证明 1211111112212211()1111111x t x x x x x d dx t t dt dt x t t t t==-=-+=+++⎰⎰⎰⎰ 11221111x xdt dx t x ==++⎰⎰．（积分与变量形式无关，只与积分上下限和函数有关）习题 5-51、某河床的横断面如下图所示（图形见教材P134），为了计算最大排洪量，需要计算它的横断面的面积，试根据图示的测量数据（单位：m ）用梯形法计算其横断面面积．解26.67277279.529.55.225.21.121.10(4)(36+++++++++++≈⎰dx x f146 )22.222.21.421.46.6++++++)2.21.46.6779.55.21.1(4+++++++= 6.145=（2m ）． 2、用矩形法，梯形法与抛物线法近似计算定积分⎰21xdx ，以求2ln 的近似值（取10=n ，被积函数值取四位小数）．解取10=n ，分点为：10=x ，1.11=x ，2.12=x ，…，9.19=x ，210=x 且101=∆x矩形法：用外接矩形21(1 3.4595+2.7282)0.7187710x ≈+=⎰，或者用内接矩形211(0.5 3.4595+2.7282)0.6687710dx x ≈+=⎰梯形法：2111( 1.5000 3.4595+2.7282)0.6938102dx x ≈⨯+=⎰，抛物线法：211(1.50002 2.72824 3.4595)0.69316*5dx x ≈+⨯+⨯=⎰．习题 5-61、计算反常积分（1）41x dx ⎰∞+；（2）dx e ax-+∞⎰0（0a >）；（3）⎰∞+a dx x x ln （0a >）；（4）⎰∞+∞-++222x x dx ；（5）⎰-121x xdx ；（6）⎰-e x x dx 12)(ln 1；（7）xdx e xsin 0-+∞⎰；（8）⎰242cos ππx dx ．解(1)41x dx ⎰∞+31)1lim (3131331341=--=-==--+∞→∞+--∞+⎰b x dx x b ．147(2) dx eax-+∞⎰ae e a e aax d e a ab b axax 1)lim (11)(1000=--=-=--=-+∞→∞+--∞+⎰．(3) ⎰∞+adx x x ln +∞=-===+∞→∞+∞+⎰)ln ln lim (21ln 21)(ln ln 222a b x x xd b aa （发散）．(4) ⎰∞+∞-++222x x dx∞+∞-∞+∞-+=+++=⎰)1arctan(1)1()1(2x x x dlim arctan(1)lim arctan(1)a b a b →+∞→-∞=+-+πππ=--=)2(2．(5)⎰-121x xdx101)1(1lim 211)1(21201022=-+---=---=+→⎰εεxx d ． (6)⎰-ex x dx 12)(ln1101(ln )lim arcsin(ln )122ee x x εεππ+→-===-=⎰．(7)xdx e xsin 0-+∞⎰(cos )cos cos ()xxx e d x e xxd e +∞+∞+∞---=-=-+⎰⎰00lim cos cos 0(sin )a x a e a e e d x +∞--→+∞=-+-⎰01sin sin xx e xxde +∞+∞--=-+⎰xdx e e b e x bb sin 0sin sin lim 10-∞+-+∞→⎰-+-=xdx e x sin 10-+∞⎰-=，21sin 0=∴-∞+⎰xdx e x ． (8) ⎰242cos ππx dx 2242004sec lim tan lim tan()12xdx x πππεπεεπε++-→→===--=+∞⎰（发散）． 2、求分开数值为1C 的两个相反电荷所需要的能量，假定正负电荷开始相距1m ，将一个电荷移动至另一个电荷的无穷远处．解设两个相反电荷的横坐标分别为0，1，则将2C 移至无穷远处所需能量为2221111()(lim ()1)a C k dx kC kC kC x xa+∞+∞→+∞=-=-+=⎰．习题 5-71、判断题（1）微元dx x f dA )(=是所求量A 在任意微小区间].[dx x x +上部分量A ∆的近似值；（√）148 （2）由曲线2x y =与3x y =围成图形面积为⎰-=13)(dx x x A ；（×）（3）由曲线3x y =与x y =在[0，1]上围成图形绕y 轴旋转所得旋转体体积⎰-=126)(dy y y V ππ；（√）（4）)(x f y =在任意微小区间],[dx x x +上的弧微分为21y ds '+=．（×） 2、将阴影部分的面表用定积分表示出来（图形见教材P144）：解（4）令223x x =+，有(1)(3)0x x +-=，∴两曲线交点横坐标为1-=a ，3=b ，∴ ⎰--+=312)32(dx x x A ．4、求由曲线围成图形的面积（1）xy 1=与直线x y =及2=x ；（2）x e y =，xe y -=与直线1=x ；（3）x y ln =，2ln =y ，7ln =y ，0=x ；（4）22,4y x x y =+=；（5）2x y =与直线x y =及x y 2=．解(1) ⎰-=---=-=-=212122ln 23)021(2ln 2|)|ln 2()1(x x dx x x A ．(2) 21)11(1)()(11-+=+-+=+=-=⎰--e e e e e e dx e e A xxxx(3) 由ln y x =，有yx e =，则⎰=-===7ln 2ln 7ln 2ln 527yy edy e A ．(4) 由242y y =-有2280y y +-=，即(2)(4)0y y -+=，解得两曲线交点纵坐标为4-=a ，2=b ，从而2232244(4)(4)18226y y y A y dx y --=--=--=⎰．(5) 显然2x y =与x y =交点横坐标为0，1，2x y =与x y 2=交点横坐标为0，2，⎰⎰⎰⎰-+=-+-=1021102122)2()2()2(dx x x xdx dx x x dx x x A67)311()384(21)3(2213212=---+=-+=x x x ．5、求由曲线围成图形的面积：（1）θρcos 2=，0=θ，6πθ=；（2）)cos 1(2θρ+=a ，0=θ，πθ2=．解(1) 266001(2cos )(1cos 2)2A d d ππθθθθ==+⎰⎰66011sin 2262264ππππθθ=+=+⋅=+．149(2) θθθθθππd a d a A )cos cos 21(2)]cos 1(2[212202220++=+=⎰⎰ 2203cos 22(2cos )22a d πθθθ=++⎰ππθθθπ222026)003(2)42sin sin 223(2a a a =++=++=．6、求曲线围成图形绕指定轴旋转所得旋转体的体积：（1）042=+-y x ，0=x 及0=y ，绕x 轴；（2）42-=x y ，0=y 绕x 轴；（3）12222=+by a x ，绕x 轴；（4）x y =2，y x =2，绕y 轴；（5）x y sin =，x y cos =及x 轴上的线段]2,0[π绕x 轴旋转．解(1) 因为 dx x dV 2)42(+=π，所以3222222(24)4(44)4(24)3x V x dx x x dx x x πππ---=+=++=++⎰⎰8324(88)33ππ=--+-=．(2) 因为 dx x dV 22)4(-=π，所以dx x x V )168(2422+-=⎰-π2235)16385(-+-=x x x ππ15512=．(3) 因为 2222(1)x dV y dx b dx aππ==-，所以a aa a x a xb dx a x b V ---=-=⎰)31()1(322222ππ234ab π=．(4) 因为 dy y y dy y dy y dV )()()(4222-=-=πππ，所以2514013()()02510y y V y y dy πππ=-=-=⎰．(5) 因为 xdx dV 2sin π=，]4,0[π∈x ，xdx dV 2cos π=，]2,4[ππ∈x ，224204sin cos V xdx xdx πππππ=+⎰⎰4(1cos 2)2x dx ππ=-⎰)2(4)2cos 1(224-=++⎰πππππdx x ．7、有一铸铁件，它是由三条线：抛物线2110y x =，11012+=x y 与直线10=y 围成的图形，绕y 轴旋转而成的旋转体，算出它的重量（长度单位是厘米(cm)，铁的比重是7.8g/cm 3）．。

高等数学第五章

乘，再作和式
n
f (i )x．i
i 1
1 定积分的概念
高等数学第五章. 第一节
第 15 页
如果不论对区间[a，b]采用何种分法及如何选取，当

0（

max
1剟i n
xi
边梯形分成n个小曲边梯形，如图所
示，每个小曲边梯形的面积记为
A（i i 1，2，，n）．
1 定积分的概念
高等数学第五章. 第一节
第7 页
2.取近似性用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积．在小区间[xi1，xi ]上任取一
点（i i 1，2，，n），作以[xi1，xi ]为底，f (i )为高的小矩形，用小矩形的
图（1）
(a)
(b)
(c)
1 定积分的概念
高等数学第五章. 第一节
第5 页
（1）问题分析：矩形面积的计算公式是：面积=底高．
解决思路：设想利用矩形近似代替曲边梯形，为了减少误差，首先，
把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，如图（1）所示；其次，用小矩形
的面积近似代替小曲边梯形的面积，分割越细，所得的近似值越接近于精
i 1
4.取极限
n
令

max
1剟i n

xi
，当分点n无限增多且

0时，和式
i 1
f
(i
) xi的极限就是
曲边梯形的面积A，即
n
A

lim
0 i1
f
(i
) x．i
1 定积分的概念
高等数学第五章. 第一节
第9 页
引例2 变速直线运动的路程
设一物体作变速直线运动，其速度v是时间t的连续函数，即v v(t， ) 求物体在时刻t T1到t T2间所走的路程s．

高等数学基础第五章

4x3dx x4 C
(2)因为 (ex C) ex ，故ex C 是e x 的所有原函数，于是有 exdx ex C

(1) 0dx C
(2) 1dx dx x C
(3)
x dx 1 x1 C ( 1) 1
xdx

1 cos2
x
dx

tan
x

C
(10)

csc2
x

1 sin2
x
dx

cot
x

C
(11) sec x tan xdx sec x C
(12) csc x cot xdx csc x C
(13)
1 dx arcsin x C 1 x2
(14)
线有无限多条，它们中的任何一条，都可以通过将积分曲线 y F(x)沿y 轴
方向平行移动而得到，所以一个函数f (x) 的不定积分的图形就是其全部积分曲线所构成的曲线族(如图5-1)。

例2 已知某曲线在任意点处的切线斜率为2x，且曲线过点(0,1)，求该曲线的
1
1 x2
dx arctan x C
二、不定积分的性质和几何意义
1. 不定积分的性质
性质1 ( f (x)dx) f (x) 或 d f (x)dx f (x)dx 性质2 F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C
性质3 （f (x) g(x)）dx f (x)dx g(x)dx
f xdx F x C
其中称为积分号，f (x) 称为被积函数，f xdx 称为被积表达式，x 称为积分

高数第五章

专升本高数第一轮--第五章--概率论初步

高等数学第5章知识点总结

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同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用

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