湖南省大联考2012师大附中高三4次月考政治试卷答案
湖南师大附中2025届高三月考数学(三)试卷及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学时量:120分钟满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}0,1,2,3的真子集个数是()A .7B .8C .15D .162.“11x -<”是“240x x -<”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知角α的终边上有一点P 的坐标是)4,3(a a ,其中0a ≠,则sin2α=()A .43B .725C .2425D .2425-4.设向量a,b 满足+=-=a b a b ,则⋅a b 等于()A .B .2C .5D .85.若无论θ为何值,直线sin cos 10y x θθ⋅+⋅+=与双曲线2215x y m -=总有公共点,则m的取值范围是()A.1m ≥B .01m <≤C .05m <<,且1m ≠D .1m ≥,且5m ≠6.已知函数()2f x 的图象关于原点对称,且满足()()130f x f x ++-=,且当()2,4x ∈时,()()12log 2f x x m =--+,若()()2025112f f -=-,则m 等于()A .13B .23C .23-D .13-7.已知正三棱台111ABC A B C -所有顶点均在半径为5的半球球面上,且AB =11A B =()A .1B .4C .7D .1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天,他走进一家酒馆,看见一层层垒起的酒坛,不禁想到:“怎么求这些酒坛的总数呢?”经过反复尝试,沈括提出对于上底有ab 个,下底有cd 个,共n 层的堆积物(如图所示),可以用公式()()()2266n nS b d a b d c c a ⎡⎤=++++-⎣⎦求出物体的总数,这就是所谓的“隙积术”,相当于求数列()()(),11,2ab a b a +++.()()()2,,11b a n b n cd ++-+-= 的和.若由小球堆成的上述垛积共7层,小球总个数为238,则该垛积最上层的小球个数为()A .2B .6C .12D .20二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,则下列正确的是()A .02024a =B .20240120243a a a +++= C .012320241a a a a a -+-++= D .12320242320242024a a a a -+--=- 10.对于函数()sin cos f x x x =+和()sin cos 22g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,下列说法中正确的有()A .()f x 与()g x 有相同的零点B .()f x 与()g x 有相同的最大值点C .()f x 与()g x 有相同的最小正周期D .()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴11.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点,抛物线C 在点A 处的切线与直线2y =-交于点N ,作NM AP ⊥交AB 于点M ,则()A .5OA OB ⋅=-B .直线MN 恒过定点C .点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠D .AB MN选择题答题卡题号1234567891011得分答案三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数12,z z 的模长为1,且21111z z +=,则12z z +=_____.13.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知5,4a b ==,()31cos 32A B -=,则sin B =_____.14.若正实数1x 是函数()2e e x f x x x =--的一个零点,2x 是函数()g x =()()3e ln 1e x x ---的一个大于e 的零点,则()122e ex x -的值为_____.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)现有某企业计划用10年的时间进行技术革新,有两种方案:贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加25%的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年,贷款10年后一次性还本付息(年末结息),若银行贷款利息均按10%的复利计算.(1)计算10年后,A 方案到期一次性需要付银行多少本息?(2)试比较A B 、两方案的优劣.(结果精确到万元,参考数据:10101.1 2.594,1.259.313≈≈)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为等腰梯形,22AD AB BC ==2=.点P 在底面的射影点Q 在线段AC 上.(1)在图中过A 作平面PCD 的垂线段,H 为垂足,并给出严谨的作图过程;(2)若2PA PD ==.求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.已知函数()()e sin cos ,x f x x x f x =+-'为()f x 的导数.(1)证明:当0x ≥时,()2f x '≥;(2)设()()21g x f x x =--,证明:()g x 有且仅有2个零点.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点为12,F F P、为椭圆C 上一动点,设12F PF ∠θ=,当23πθ=时,12F PF ∆.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点(M N M 、在,B N 之间),若Q 为椭圆C上一点,且OQ OM ON =+,①求OBM OBNSS ∆∆的取值范围;②求四边形OMQN 的面积.飞行棋是大家熟悉的棋类游戏,玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出6点时,飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子,直至显示点数不是6点.飞机起飞后,飞行步数即骰子向上的点数.(1)求甲玩家第一轮投掷中,投掷次数X 的均值()()1(k E X kP k ∞===∑()1lim n n k kP k ∞→=⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎭∑;(2)对于两个离散型随机变量,ξη,我们将其可能出现的结果作为一个有序数对,类似于离散型随机变量的分布列,我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布:(记()()()()()(1211,,mni i i j j j i j i p x p x p x y p y p y p x ξη========∑∑,)j y .)ξη1x 2x ...n X 1y ()11,p x y ()21,p x y ...()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y ...()2,n p x y ()22p y ...⋯⋯...⋯...my ()1,m p x y ()2,m p x y ...(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x ...()1n p x 1若已知i x ξ=,则事件{}j y η=的条件概率为{}j i P y x ηξ===∣{}{}()()1,,j i i j i i P y x p x y P x p x ηξξ====.可以发现i x ηξ=∣依然是一个随机变量,可以对其求期望{}{}()111mi j j i j i E x y P y x p x ηξηξ===⋅===∑∣∣.()1,mj i j j y p x y =∑(i )上述期望依旧是一个随机变量(ξ取值不同时,期望也不同),不妨记为{}E ηξ∣,求{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦∣;(ii )若修改游戏规则,需连续掷出两次6点飞机才能起飞,记0ξ=表示“甲第一次未能掷出6点”,1ξ=表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”,2ξ=表示“甲第一次第二次均掷出6点”,η为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数,求E η.炎德・英才大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学参考答案题号1234567891011答案C A C B B D A B BC ACD BC一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】集合{}0,1,2,3共有42115-=(个)真子集.故选C .2.A 【解析】解不等式240x x -<,得04x <<,解不等式11x -<,得02x <<,所以“11x -<”是“240x x -<”的充分不必要条件.3.C 【解析】根据三角函数的概念,2442sin cos 2tan 24tan ,sin23311tan 25y a x a αααααα======+,故选C .4.B 【解析】()()()22111911244⎡⎤⋅=+--=-=⎣⎦a b a b a b .5.B 【解析】易得原点到直线的距离1d ==,故直线为单位圆的切线,由于直线与双曲线2215x y m -=总有公共点,所以点()1,0±必在双曲线内或双曲线上,则01m <≤.6.D 【解析】依题意函数()f x 的图象关于原点对称,所以()f x 为奇函数,因为()()()133f x f x f x +=--=-,故函数()f x 的周期为4,则()()20251f f =,而()()11f f -=-,所以由()()2025112f f -=-可得()113f =,而()()13f f =-,所以()121log 323m --=,解得13m =-.7.A 【解析】上下底面所在外接圆的半径分别为123,4r r ==,过点112,,,A A O O 的截面如图:22222121534,543,1OO OO h OO OO =-==-∴=-=,故选A .8.B 【解析】由题意,得6,6c a d b =+=+,则由()()()772223866b d a b d c c a ⎡⎤++++-=⎣⎦得()()7[26212(6b b a b b a ++++++6)]()762386a a ++-=,整理得()321ab a b ++=,所以773aba b +=-<.因为,a b 为正整数,所以3ab =或6.因此有6,3a b ab +=⎧⎨=⎩或5,6.a b ab +=⎧⎨=⎩而63a b ab +=⎧⎨=⎩无整数解,因此6ab =.故选B .二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.BC 【解析】对于A :令0x =,则01a =,故A 错误;对于B :令1x =,则20240120243a a a +++= ,故B 正确;对于C :令1x =-,则012320241a a a a a -+-++= ,故C 正确;对于D ,由()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,两边同时求导得()20232202312320242024212232024x a a x a x a x ⨯⨯+=++++ ,令1x =-,则12320242320244048a a a a -++-=- ,故D 错误.故选BC .10.ACD 【解析】()()32sin ,2sin 2sin 4244f x x g x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()0f x =,则,4x k k ππ=-+∈Z ;令()0g x =,则3,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的零点是相同的,故选项A 正确.()f x 的最大值点是()2,,4k k g x ππ+∈Z 的最大值点是32,4k k ππ-+∈Z ,两个函数的最大值虽然是相同的,但最大值点是不同的,故选项B 不正确.由正弦型函数的最小正周期为2πω可知()f x 与()g x 有相同的最小正周期2π,故选项C 正确.曲线()y f x =的对称轴为,4x k k ππ=+∈Z ,曲线()y g x =的对称轴为5,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的图象有相同的对称轴,故选项D 正确.故选ACD.设直线AB 的方程为2y tx =+(斜率显然存在),221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,联立22,4,y tx x y =+⎧⎨=⎩消去x 整理可得2480x tx --=,由韦达定理得12124,8x x t x x +==-,A .22121212124,84444x x y y OA OB x x y y =⋅=⋅=+=-+=- ,故A 错误;B .抛物线C 在点A 处的切线为21124x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,当2y =-时,11121244282222x x x x x t x x =-=-=+=-,即()2,2N t -,直线MN 的方程为()122y x t t +=--,整理得xy t=-,直线MN 恒过定点(0,0),故B 正确;C .由选项B 可得点M 在以线段OP 为直径的圆上,点O 除外,故点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠,故C 正确;D.222t MN +==,AB =则()2221412222t AB MNt +⎫==+,,m m =≥则12ABm MN m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设()1,f m m m m =-≥,则()2110f m m=+>',当m ≥,()f m 单调递增,所以()min f m f==,故D 错误.故选BC .三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.1【解析】设()()12i ,,i ,z a b a b z c d c d =+∈=+∈R R ,因为21111z z +=,所以2122111z zz z z z +=.因为11221,1z z z z ==,所以121z z +=,所以()()i i i 1a b c d a c b d -+-=+-+=,所以1,0a c b d +=+=,所以()()12i 1z z a c b d +=+++=.13.74【解析】在ABC 中,因为a b >,所以A B >.又()31cos 32A B -=,可知A B-为锐角且()sin 32A B -=.由正弦定理,sin 5sin 4A aB b ==,于是()()()5sin sin sin sin cos cos sin 4B A A B B A B B A B B ⎡⎤==-+=-+-⎣⎦.将()cos A B -及()sin AB -的值代入可得3sin B B =,平方得2229sin 7cos 77sin B B B ==-,故7sin 4B =.14.e 【解析】依题意得,1211e e 0x x x --=,即()()12311122e e ,0,e ln 1e 0x x x x x x -=>---=,即()()3222e ln 1e ,e x x x --=>,()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--,()()()()()()211ln 111112212e e ln 1e ,e e ln 1e e x x x x x x x x -+++⎡⎤∴-=--∴-=--⎣⎦,又22ln 1,ln 10,x x >->∴ 同构函数:()()1e e ,0x F x x x +=->,则()()312ln 1e F x F x =-=,又()()111e e e e e 1e x x x x F x x x +++=-+=-+',00,e e 1,e 10x x x >∴>=∴-> ,又()()1e 0,0,x x F x F x +>'>∴单调递增,()()()3122212222e ln 1e e ln 1,e e e ex x x x x x ---∴=-∴===.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】(1)A 方案到期时银行贷款本息为()1010110%26⨯+≈(万元).……(3分)(2)A 方案10年共获利:()()1091.2511125%125%33.31.251-+++++=≈- (万元),……(5分)到期时银行贷款本息为()1010110%25.9⨯+≈(万元),所以A 方案净收益为:33.325.97-≈(万元),……(7分)B 方案10年共获利:()()101010.31 1.3190.310123.52⨯-⨯++++⨯=⨯+= (万元),……(9分)到期时银行贷款本息为()()()()101091.11.11110%110%110%17.51.11-++++++=≈- (万元),……(11分)所以B 方案净收益为:23.517.56-≈(万元),……(12分)由比较知A 方案比B 方案更优.……(13分)16.【解析】(1)连接PQ ,有PQ ⊥平面ABCD ,所以PQ CD ⊥.在ACD 中,2222cos 54cos AC AD CD AD CD ADC ADC ∠∠=+-⋅⋅=-.同理,在ABC 中,有222cos AC ABC ∠=-.又因为180ABC ADC ∠∠+= ,所以()1cos ,0,1802ADC ADC ∠∠=∈ ,所以60ADC ∠= ,3AC =故222AC CD AD +=,即AC CD ⊥.又因为,,PQ AC Q PQ AC ⋂=⊂平面PAC ,所以CD ⊥平面PAC .CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面PAC .……(5分)过A 作AH 垂直PC 于点H ,因为平面PCD ⊥平面PAC ,平面PCD ⋂平面PAC PC =,且AH ⊂平面PAC ,有AH ⊥平面PCD .……(7分)(2)依题意,22AQ PA PQ DQ =-=.故Q 为,AC BD 的交点,且2AQ ADCQ BC==.所以2222326,333AQ AC PQ PA AQ ===-.过C 作直线PQ 的平行线l ,则,,l AC CD 两两垂直,以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系,则:()()36131,0,0,0,,0,3,0,,,03322D P A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()326232613261,0,0,0,,0,,,,,3333263CD CP AP BP ⎛⎛⎛===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .设平面PCD 的法向量为(),,x y z =m ,则()0,0,3CD x CP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩m m取()0,=-m .同理,平面PAB的法向量)1=-n ,1cos<,3⋅>==m n m n m n ……(14分)故所求锐二面角余弦值为13.……(15分)17.【解析】(1)由()e cos sin x f x x x =++',设()e cos sin x h x x x =++,则()e sin cos x h x x x '=-+,当0x ≥时,设()()e 1,sin x p x x q x x x =--=-,()()e 10,1cos 0x p x q x x ''=-≥=-≥ ,()p x ∴和()q x 在[)0,∞+上单调递增,()()()()00,00p x p q x q ∴≥=≥=,∴当0x ≥时,e 1,sin x x x x ≥+≥,则()()()e sin cos 1sin cos sin 1cos 0x h x x x x x x x x x '=-+≥+-+=-++≥,∴函数()e cos sin x h x x x =++在[)0,∞+上单调递增,()()02h x h ∴≥=,即当0x ≥时,()2f x '≥.……(7分)(2)由已知得()e sin cos 21x g x x x x =+---.①当0x ≥时,()()()e cos sin 220,x g x x x f x g x ≥''=++-=-∴ 在[)0,∞+上单调递增,又()()010,e 20g g πππ=-<=->∴ 由零点存在定理可知,()g x 在[)0,∞+上仅有一个零点.……(10分)②当0x <时,设()()2sin cos 0e x x xm x x --=<,则()()2sin 10exx m x '-=≤,()m x ∴在(),0∞-上单调递减,()()01m x m ∴>=,()e cos sin 20,e cos sin 20x x x x g x x x '∴++-<∴=++-<,()g x ∴在(),0∞-上单调递减,又()()010,e 20g g πππ-=-<-=+> ,∴由零点存在定理可知()g x 在(),0∞-上仅有一个零点,综上所述,()g x 有且仅有2个零点.……(15分)18.【解析】(1)设()00,,P x y c 为椭圆C 的焦半距,12122F PF p S c y ∆=⋅⋅,00y b <≤ ,当0y b =时,12F PF S 最大,此时()0,P b 或()0,P b -,不妨设()0,P b ,当23πθ=时,得213OPF OPF π∠∠==,所以c =,又因为12F PF S bc ∆==,所以1,b c ==从而2,a =∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.……(3分)(2)由题意,直线l 的斜率显然存在.设()()1122: 2.,,,l y kx M x y N x y =+.……(4分)1112OBM S OB x x ∆∴=⋅=,同理,2OBN S x ∆=.12OBM OBN S xS x ∆∆∴= (6))联立()22222,141612044y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩,……(8分)()()()22223164121416430,4k k k k ∴∆=-⨯⨯+=->∴>.……(9分)又121212221612,0,,1414k x x x x x x k k-+==>∴++ 同号.()()2222122121212216641421231414k x x x x k k x x x x kk-⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴===+++.()22212122364641616,4,,42143331434x x k k x x k k ⎛⎫>∴=∈∴<++< ⎪⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭ .令()120x x λλ=≠,则116423λλ<++<,解得()()11,11,3,,11,333OBM OBN S S λ∆∆⎛⎫⎛⎫∈∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .……(12分)(3)()1212,,OQ OM ON Q x x y y =+∴++.且四边形OMQN 为平行四边形.由(2)知()12121222164,41414k x x y y k x x k k-+=∴+=++=++,22164,1414kQ k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭.而Q 在椭圆C 上,2222164441414k k k -⎛⎫⎛⎫∴+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.化简得2154k =.……(14分)∴线段161219357115224MN ==⋅+,……(15分)O到直线MN的距离d == (16))OMQN 574S MN d ∴=⋅=四边形.……(17分)19.【解析】(1)()115,1,2,3,66k P X k k -⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭ ,所以()()215111,1,2,3,,5126666nk n k k k P X k k kP k n =⎛⎫⋅====⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭∑ ,记211112666n n S n =⨯+⨯++⨯ ,则2311111126666n n S n +=⨯+⨯++⨯ .作差得:1211111511111111661666666556616nn n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-⨯=-⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ,所以()16111661,555566556n nn n n k n S kP k S n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+==-+⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑.故()()()116616lim lim 5565nn n n k k E X kP k kP k n ∞∞∞→→==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑.……(6分)(2)(i ){}E ηξ∣所有可能的取值为:{},1,2,,i E x i n ηξ== ∣.且对应的概率{}{}()()()1,1,2,,i i i p E E x p x p x i n ηξηξξ====== ∣∣.所以{}{}()()()()()111111111,,,nnmn m i i j i j i j i j i i j i j i E E E x p x y p x y p x y p x y p x ηξηξ=====⎛⎫⎡⎤==⋅=⋅= ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∣∣又()()()()21111111,,,nmmnmn mj i j j i j j i j j j i j j i j i j y p x y y p x y y p x y y p y E η=======⎛⎫⋅=⋅==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑,所以{}E E E ηξη⎡⎤=⎣⎦∣.……(12分)(ii ){}{}{}12355101,;12,;22,63636E E p E E p E p ηξηηξηη==+===+====∣∣,{}()()5513542122636363636E E E E E ηηξηηη⎡⎤==++++⨯=+⎣⎦∣,故42E η=.……(17分)。
湖南省长沙市湖南师大附中教育集团 2023-2024学年九年级上学期期中联考道德与法治试题(含答案)
2024届九年级第二次质量调研检测道德与法治试题注意事项：1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6．本学科为闭卷考试，全卷共两道大题，考试时量60分钟，满分100分，一、选择题（本大题共有12小题，每小题4分，共48分。
每小题只有一个选项符合题意，请将答案填涂在答题卡对应的位置，1．2023年是我国改革开放45周年。
改革开放以来，我国书写了精彩的“中国故事”，创造了发展的“中国奇迹”，塑造了崭新的“中国形象”。
你了解的改革的主要内容包括（ ）①实行家庭联产承包责任制②承认了民营经济的合法地位③开启了商品价格改革④设立了经济特区和开放沿海城市A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④2．初中生小丽说：“我上学不用交学杂费，也不用交课本费，妈妈说我赶上了好时代。
”这说明我国（ ）A．教育公平取得进展，城乡教育均衡发展B．教育改革全面推进，教育质量稳步提升C．政治权利得到保障，教育强国已经实现D．义务教育得到普及，文化事业加快发展3．2023年，从强调重要民生商品和能源保供稳价，到把稳就业提高到战略高度通盘考虑，再到部署防汛抗洪抢险救灾工作，保障和改善民生频登国常会“议事桌”。
这说明政府（ ）①奉行“为人民服务”的宗旨②重视增强人民的幸福感、获得感③致力于满足人民群众精神需求④始终为人民谋民生之利、解民生之忧A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④4．某中学九年级同学围绕“创新改变生活”这一学习主题搜集了相关资料，对其解读正确的是（ ）相关资料知识链接①中国式现代化、高质量发展等热词在不同领域产生了系列的思想体系知识的创新提供新的思想和方法②在智能显示屏上一按，播种机就可完成播种、浇水、覆土等工序技术的创新促进生产力的发展③国家不断完善养老保险制度、医疗保障政策制度的创新促进公平正义、推动社会进步④坐高铁“刷脸”进站，下馆子“扫码”预约，商务谈判放在“云端’道路的创新推动中国发展进步，为中华民族伟大复兴提供强大动力和保障A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④5．同学们围绕“共享发展”的话题展开了讨论。
湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期月考(四)物理试卷
湖南师大附中 2024 届高三月考试卷(四)物理本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量 75 分钟,满分100分。
第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1. 物理思想和方法是研究物理问题的重要手段，如图所示，为了观察桌面的微小形变，在一张大桌子上放两个平面镜M和N，让一束光依次被这两面镜子反射，最后射到墙上，形成一个光点。
当用力F 压桌面时，光点的位置会发生明显变化，通过光点位置的变化反映桌面的形变。
这个实验中主要用到的思想方法与下列哪个实验用到的思想方法相同A.卡文迪什通过扭称实验测量万有引力常量B.伽利略斜面实验探究物体下落规律C.实验探究圆周运动的向心力大小的表达式D.实验探究力的合成规律2. 近日电磁弹射微重力实验装置启动试运行，该装置采用电磁弹射系统，在很短时间内将实验舱竖直向上加速到20m/s后释放。
实验舱在上抛和下落回释放点过程中创造时长达4s的微重力环境，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（）A．微重力环境是指实验舱受到的重力很小B．实验舱上抛阶段处于超重状态，下落阶段处于失重状态C．实验舱的释放点上方需要至少20m高的空间D．实验舱在弹射阶段的加速度小于重力加速度3. 春节期间人们都喜欢在阳台上挂一些灯笼来作为喜庆的象征。
如图所示，由六根等长的轻质细绳悬挂起五个质量相等的灯笼1、2、3、4、5，中间的两根细绳BC 和CD的夹角θ=120°,下列选项中正确的是A.绳AB 与绳BC 的弹力大小之比为√3:1B. MA 的拉力为单个灯笼重力的2.5 倍C. MA 与竖直方向的夹角为15°D.绳MA 与绳AB 的弹力大小之比为√3:14. 电影中的太空电梯非常吸引人。
现假设已经建成了如图所示的太空电梯，其通过超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间站连接在一起，它们随地球同步旋转。
湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期第六次月考语文试卷Word版含答案
大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（六）语文命题、审题：湖南师大附中高三语文备课组注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1~5题。
材料一：“雅正”是儒家文化的重要道德理想和文艺批评标准，也是中国古典美学中的重要范畴，其审美内涵体现了中华民族独特的美学精神。
历代文人大都提倡以“雅”为美的文艺创作思想和评判标准。
曹丕把“辞义典雅”作为最高的审美标准；刘勰将文章分成八种基本风格，其中居于首位的即为“典雅”；王昌龄把诗分为五种风格，其中“古雅”也是位列第二；南宋诗词评论家张炎极力提倡“雅正”的审美标准和审美理想；南宋诗论家严羽也提出“去俗求雅”的审美追求。
“求雅”的审美旨趣一直是中国古典美学中一个不可或缺的重要主题。
这种“求雅”思想也是中国古代语言使用规范的基本理念和核心思想，被汉语言文字学学者戴昭铭概括为“雅正”的语言规范观，追求一种从现实语文生活中提炼而成的理想化的语文标准，具有一种语文审美的倾向，即力求维护一种被认为是正确的、好的、合乎标准的语文形式，它概括和体现了我国古代优良的语文传统。
“雅”与“俗”相对，一直是中国传统社会中两种不同的文化形态，二者从来都相伴相生，不可分割，在历史上也一直存在此消彼长的状况。
近几十年来，社会语言俗化现象非常普遍，这是当今语言生活主体平民化、草根化的某种结果，也是社会自由开放的表现。
但是，言语行为的“俗雅”要区分人群和场合，不能全民皆俗，不能全方位皆俗，应该给“雅语”留下一定的时空语境，在社会大潮中，需要有一种高境界的审美追求，需要“雅”的言语行为规范理想。
湖南师范大学附属中学2024届高三上学期月考(二)数学试题
B．若
AF
5 ，则 AOF 4
的面积为 1 8
C．若直线 AB 过点 F ，则 2x1 x2 的最小值为
2 2
D．若
OA
OB
1 4
，则直线
AB
恒过定点
1 2
,
0
12．如图，矩形 ABCD 中， AB 4, BC 2, E 为边 AB 的中点，沿 DE 将V ADE 折起，点
A 折至 A1处 A1 平面 ABCD, P,Q 分别在线段 CE 和侧面 A1DE 上运动，且 PQ 2 ，若
能够减轻环境的污染．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干
时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和
混合动力型车．今年初投入了电力型公交车 128 辆，混合动力型公交车 400 辆；计划以 后电力型车每年的投入量比上一年增加 50%，混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆． (1)求经过 n 年，该市被更换的公交车总数 S (n) ； (2)若该市计划 7 年内完成全部更换，求 a 的最小值．
A． 的最小值为 1 16
C．
1
1 4
的最小值为
4
B． 的最大值为 1
D．
1
1 4
的最大值为
16
二、多选题
9．已知 i 为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数
z
1 i 1i
，则
z 30
1
B．若复数 z 满足 z 1 z i ，则复平面内 z 对应的点 Z 在一条直线上
C．若 x2 1 x2 3x 2 i 是纯虚数，则实数 x 1
x 1, ex, x
x
1 1 ，若
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考历史试题+答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）历史时量：75分钟满分：100分第I卷选择题（共48分）一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题意的）1．岭南石峡遗址已发掘64座大小不一的墓葬，出土遗物三千余件。
有出七成套的木作工具石锛和石凿，数百件实战用的石镞、石钺；还有礼器如琮、璧等，玉琮与良渚一带相近。
据此可推断，该遗址A.已出现掌握贵重礼器的祭司阶层B.处于石器时代向国家迈进的阶段C.有直接或间接远距离的商品交换D.农业生产水平得到一定程度发展2．图1、2所示文物均被学界命名为“蜻蜓眼玻璃器”。
据此可知图1古埃及玻璃器（前＋4世纪）图2曾侯乙墓玻璃器（战国）A.社会分工发生了进一步细化B.战国手工制造水平超过古埃及C.玻璃器的生产中心发生转移D.玻璃器是中外文明交流的物证3．《史记·儒林列传》记载，“家人子”（宫侍女）出身的窦太后喜好黄老之学，召辕固生问老子书，辕固生答“家人言耳”太后大怒，命他去刺野猪，幸得景帝帮助才脱困。
这一记载最能印证汉初A.无为而治思想发生动摇B.弃道崇儒思想开始抬头C.社会等级意识仍然强烈D.皇权独尊遭受外戚挑战4．王莽改制，根据周朝办法造大钱，后又相继发行契刀、错刀、宝货等货币，民间仍用五铢钱。
王莽下诏：“敢非井田、挟五铢钱者为惑众，投诸四裔以御魑魅。
”可见当时A.制度变革获得法律保障B.币制由复杂走向简单C.托古改制重视民众基础D.政府的货币信用不足5．《公羊传》记载：“桓何以贵？母贵也。
母贵则子何以贵？子以母贵，母以子贵。
”然而汉武帝却在立幼子为太子后杀其生母，北魏时期道武帝将子贵母死立为定制。
这一转变的目的在于A.提高三纲五常的地位B.促进华夏认同C.推动少数民族封建化D.加强集权统治6．唐太宗审查《氏族志》时，认为山东崔氏“世代衰微，全无冠盖”，不配第一等。
他指示“不须论数世以前，止取今日官爵高下作等级”，新修订的《氏族志》以皇族为首，外戚次之，崔干被降为第三等。
2023—2024学年湘豫名校联考高三下学期第四次模拟考试数学试卷
2023—2024学年湘豫名校联考高三下学期第四次模拟考试数学试卷一、单选题(★★★) 1. 在复数范围内方程的两个根分别为，，则（）A．1B．C．D．(★★) 2. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 3. 已知椭圆与矩形的四条边都相切，若，，则的离心率为（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知，则（）A．B．C．D．(★★★) 5. 在某次游戏中，甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0.5，0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（）A．B．C．D．(★★) 6. 如图，，和，分别是函数图象的两个最低点和两个最高点，若四边形的面积为，且在区间上是单调函数，则实数的最大值是（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知函数，则满足的x的取值范围为（）A．B．C．D．(★★) 8. 中国古代建筑中重要的构件之一——柱（俗称“柱子”多数为木造，属于大木作范围，其中，瓜棱柱是古建筑木柱的一种做法，即木柱非整根原木，而是多块用榫卯拼合而成．宁波保国寺大殿的瓜棱柱，一部分用到了“包镶式瓜棱柱”形式，即在一根木柱周围，根据需要再用若干根一定厚度的木料包镶而成的柱子，图1为“包镶式瓜棱柱”，图2为此瓜棱柱的横截面图，中间大圆木的直径为，外部八根小圆木的直径均为，所有圆木的高度均为，且粗细均匀，则中间大圆木与一根外部小圆木的体积之比为（）A．B．C．3D．二、多选题(★★★) 9. 已知为实数，随机变量，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知四棱锥的底面ABCD是边长为4的正方形，P A⊥平面ABCD，且，E，F，G分别为PB，PD，BC的中点，点Q是线段P A上靠近点P的四等分点，则（）A．平面PCDB．直线FG与AB所成的角为30°C．D．经过E，F，G的平面截四棱锥所得到的截面图形的面积为(★★★★) 11. 已知抛物线，点为上一点，直线l与交于B，C两点（异于A点），与x轴交于M点，直线AC与AB的倾斜角互补，则（）A．线段BC中点的纵坐标为B．直线l的倾斜角为C．当时，M点为的焦点D．当直线l在y轴上的截距小于3时，△ABC的面积的最大值为三、填空题(★★)12. 已知向量，，若在上的投影向量为，则的值为 ______ ．(★★★) 13. 设是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，则 ______ ．(★★★★) 14. 已知函数的图象在区间内的最高点对应的坐标为，则集合中元素的个数为 ______ ．四、解答题(★★★) 15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)证明：；(2)若，△ABC的面积为，求b．(★★★) 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，和均为等腰直角三角形，且，．(1)证明：平面平面；(2)设，，若平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值．(★★★) 17. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子次，第次抛掷落地时朝上的点数记为，．(1)若，记出现为奇数的次数为，求随机变量的分布列和期望；(2)若，求事件“”的概率．(★★★★★) 18. 已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，过上一点作的两条渐近线的平行线，分别交轴于，两点，且，内切圆的圆心到轴的距离为．(1)求的标准方程；(2)（ⅰ）设点为上一点，试判断直线与C的位置关系，并说明理由；（ⅱ）设过点的直线与交于，两点（异于的两顶点），在点，处的切线交于点，线段的中点为，证明：，，三点共线．(★★★★★) 19. 在平面直角坐标系中，定义：如果曲线和上分别存在点，关于轴对称，则称点和点为和的一对“关联点”．(1)若上任意一点的“关联点”为点，求点所在的曲线方程和的最小值；(2)若上任意一点的“关联点”为点，求的最大值；(3)若和在区间上有且仅有两对“关联点”，求实数的取值范围．。
湖南省湖南师大附中、长沙市一中等六校2014届高三下学期4月联考试题 理综 含答案
湖南省2014届高三六校联考理科综合能力试题(含答案)时量：150分钟满分：300分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第33—40题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
可能用到的相对原子质量：H～l C～12 O～16 Cu～64第I卷选择题（共126分）一、选择题（本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列关于细胞中化学元素和化合物说法错误的是A．活细胞中，数量最多的元素是HB．鸟嘌呤和胞嘧啶数量越多的DNA分子越稳定C．氨基酸、多肽链和蛋白质一般都含有氨基和羧基D．构成淀粉、纤维素和糖原的单体都相同2．真核细胞中具有某些结构，能显著增大膜面积，有利于酶的附着以提高代谢效率。
下列不属于此类结构的是A．神经细胞的树突B．线粒体的嵴C．甲状腺细胞的内质网D．叶绿体的基粒3．利用麦芽酿造啤酒时，麦芽中多酚氧化酶（PPO）的作用会降低啤酒质量。
下图为不同pH和温度对PPO活性影响的曲线，有关叙述错误的是A．PPO催化多酚类物质的生化反应B．相同温度时，pH 7．8的酶促反应产物比pH 8．4的少C．在制备麦芽过程中应将反应条件控制在温度80℃、pH 8．4D．高于90℃，若PPO发生热变性，一定温度范围内温度越高变性越快4．下列关于细胞的生命历程的说法正确的是A．具有细胞结构的生物都有细胞分化现象B．人体衰老的红细胞自由水含量降低，细胞核体积增大C．人体中被病原体感染的细胞和衰老细胞的清除，都需要通过细胞凋亡实现D．细胞的癌变、衰老都是基因程序性突变的结果5．下列有关生物变异的叙述中，正确的是A．基因重组导致杂合子Aa自交后代出现性状分离B．三倍体西瓜、四倍体西瓜的培育原理是染色体畸变，它们与二倍体西瓜属同一物种C．基因重组和染色体结构变异都可能引起DNA碱基序列的改变D．花药离体培养过程中，基因重组、基因突变和染色体畸变均有可能发生6．科学家在细胞外液渗透压和钾离子浓度相同的条件下进行了用含有不同钠离子浓度的细胞外液对离体枪乌贼神经纤维电位变化影响的实验，结果如右图。
湖南省湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期第六次月考物理试卷及答案
振动频率均为２ Ｈｚ，其波速跟水深关系为ｖ＝√ｇｈ，式中ｈ为两区域水的最大深度。当ｔ＝１ｓ
时，Ｏ点开始向上振动。已知Ａ、Ｂ区域水波的振幅均为５ｃｍ，水深ｈｇ＝１．６ｍ，Ｏ、Ｍ间距离为
３ ｍ，Ｏ、Ｎ间距离为６ｍ。重力加速度ｇ＝１０ ｍ／ｓ２，则下列说法正确的是
Ａ．ｈ？：ｈｇ＝９：１６
Ｂ．Ａ、Ｂ两区域水波的波长之比为４：３
直起跳拦截，起跳后手离地面的高度为３．３ｍ，球越过乙时
队友
乙
速度沿水平方向，且恰好未被拦截。球的质量为０．６ ｋｇ，
甲
重力加速度为１０ ｍ／ｓ２，以地面为零势能面，忽略空气阻
力，则
Ａ．甲传球时，球与乙的水平距离为６ｍ
Ｂ．队友接球前瞬间，球的速度一定为１０ ｍ／ｓ
Ｃ．队友接球前瞬间，球的机械能一定为３９ Ｊ
平行，Ａ、Ｂ恰好都处于静止状态。已知Ａ、Ｂ两物体与斜面体间 ×３７°
５３℃
的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为ｇ，ｓｉｎ ５３°＝０．８，ｃｏｓ ５３°
＝０．６。现剪断轻绳，若斜面体始终处于静止状态，下列说法正确的是
Ａ．μ＝１６
Ｂ．剪断轻绳后，Ａ、Ｂ都能沿斜面加速下滑 Ｃ．剪断轻绳后，斜面体对地面的压力大于（Ｍ＋５ｍ）ｇ
达ｃｆ时速度为ｖ？＝２ ｍ／ｓ
Ｄ．若棒ａｂ在ｘ＝－０．３２ｍ处释放且初速度为ｖ＝４ｍ／ｓ，同时Ｕ形框解除锁定，则在棒ａｂ
与框发生完全非弹性碰撞后ｅｄ棒的最大位移ｘｍ＝２ ｍ
第Ⅱ卷
三、实验题（共２题，每空２分，共１６分）
１１．（８分）实验小组用如图１所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。
（１）将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是
Ｃ．ｔ＝１．５ｓ时，Ｏ点经平衡位置向上振动
炎德 英才大联考湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考地理试卷(二) Word版含解析
炎德·英才大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（二）地理本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量75分钟，满分100分。
第I 卷选择题（共48分）一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）宁夏西海固是国家重点扶贫区域，该区域生态环境差，贫困人口多，扶贫措施以生态移民为主，北部闽宁镇成为移民首选地。
通过生态移民，西海固成功实现脱贫，闽宁产业也实现了多元化，主要以菌类、葡萄酒、光伏、电子装配等为主。
下图是西海固、闽宁镇区位略图。
据此完成下面小题。
1. 生态移民对西海固的积极意义是（ ）A. 优化居住条件B. 改善人口结构C. 减轻生态压力D. 增加劳务收入2. 闽宁成为移民首选地的自然因素是（ ）A 地形和水源 B. 地形和降水 C. 气温和水源 D. 气温和降水3. 闽宁实现产业多元化的有利条件是（ ）①自然环境优美②劳动力数量多③产业协作基础好④银川辐射作用强A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】1. C2. A3. D 【解析】【1题详解】生态移民是将生态环境严重破坏地区的部分人口迁出，从而减轻生态压力，C 项正确；生态移民可以改善迁移者的居住条件，但不是能改善西海固的居住条件，A错误；生态移民为整体搬迁，对人口结构影响较.小，B错误；不会增加西海固的劳务收入，D错误。
所以选C。
【2题详解】闽宁地形平坦，有黄河经过，因此闽宁成为移民首选地的自然因素是地形和水源，A正确；该地降水较少，B错误；区域气温差异较小，气温不是影响移民的主要因素，CD错误。
所以选A。
【3题详解】自然环境不是影响产业多元化的主要因素，①错误；闽宁接收生态移民，获得大量劳动力，②正确；闽宁经济发展水平较低，产业协作基础较差，③错误；距离银川较近，受银川的辐射作用较强，④正确。
所以选D。
【点睛】生态移民亦称环境移民系指原居住在自然保护区、生态环境严重破坏地区、生态脆弱区以及自然环境条件恶劣、基本不具备人类生存条件的地区的人口，搬离原来的居住地，在另外的地方定居并重建家园的人口迁移。
湖南省湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期月考物理试题(二)及参考答案
炎德·英才大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（二）物理得分：________本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共10页。
时量75分钟，满分100分。
第I 卷一、单项选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．在力学发展的过程中，许多物理学家的科学发现推动了物理学的进步。
对以下几位物理学家所作科学贡献的表述中，与事实不相符的是（ ）A ．伽利略首先建立平均速度、瞬时速度和加速度等描述运动的概念B ．胡克提出如果行星的轨道是圆形，太阳与行星间的引力与距离的平方成反比C ．卡文迪什是测量地球质量的第一人D ．伽利略根据理想斜面实验，直接得出自由落体运动是匀变速直线运动2．甲、乙两个物体初始时刻在同一位置，运动图像分别为图中实线和虚线，两个图像均为14圆弧，圆弧的半径均为a ，横纵坐标表示的物理意义未知，下列说法正确的是（ ）A ．若实线和虚线分别为甲、乙的运动轨迹，则甲、乙的速率相同B ．若y 表示速度，x 表示时间，则x a =时甲、乙间的距离为22a πC ．若y 表示加速度，x 表示时间，则x a =时甲、乙间的距离为22a πD ．若y 表示位移，x 表示时间，则甲、乙的平均速度相同 3．如图所示，质量为m 、长为L 的均匀杆AB 一端靠在墙上，用细绳CD 拴杆于D 点，图中AD 等于13L ，37DCA α∠==°，53CAD β∠==°，此时杆处于平衡状态，sin 370.6°=，cos370.8°=。
那么以下说法正确的是（ ）A ．在图中杆A 端所受摩擦力的方向可能沿墙面向下B ．在图中杆与墙壁间的最小动摩擦因数min 118µ= C ．在图中杆A 端所受墙壁对杆的力一定沿杆方向D ．如果改变细线的位置而不改变夹角α和β，杆A 端所受的摩擦力不可能为零4．如图所示，在粗糙的斜面上用一个滑块将轻质弹簧压缩后由静止释放，滑块沿斜面上滑的距离为1x 时脱离弹簧，上滑的距离为2x 时速度变为0且不再下滑，用k E 表示滑块的动能，1p E 表示滑块的重力势能（以斜面底端为零势能参考面），2p E 表示弹簧的弹性势能，E 表示滑块的机械能，则以上各种能量随滑块上滑的距离x 的图像中，可能正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在信息技术迅猛发展的今天，光盘是存储信息的一种重要媒介。
湖南师范大学附属中学2024届高三上学期月考(一)数学试题
A． an 为等差数列
B．an 为等比数列
C．Sn 为等差数列
D．Sn 为等比数列
6．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精
含量不得超过 0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量
迅速上升到 0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末
D． 1 108
二、多选题 9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 a b ，且 1 1 ，则 ab 0 ab
C．若 c a b 0 ，则 a b ca cb
B．若 a b 0 ，则 a2 ab b2 D．若 a b c 0 ，则 a a c
b bc
10．设正方体 ABCD A1B1C1D1 中，A1B1 ，BB1 ，BC 的中点分别为 E ，F ，G ，则（ ）
与 x 轴的交点为 E ，求VABE 的面积的最大值.
22．已知函数 f x x aex 1 ，g x ax ln x x e2 a R ，设 max ,m n 表示 m ，
n 的最大值，设 F x max f x, g x .
(1)讨论 f x 在 0, 上的零点个数；
(2)当 x 0 时 F x 0 ，求 a 的取值范围.
术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数 m ，满足以上两个条件，若
存在，求出 m 的范围；若不存在，说明理由．
21．已知椭圆
C
的中心在坐标原点，两焦点
F1
，F2
在
x
轴上，离心率为
1 2
，点
P
在
C
上，
且△PF1F2 的周长为 6.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
2024-2025学年湖南师范大学附属中学高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （ ）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b + 在向量b 上投影向量为（ ）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈⎥⎝⎦11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．销售量千张经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．.参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ya y bxx x x nx====---==---∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （ ）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =-≤≤=-<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ⋂=<<∣，故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =-+，再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i 3i z +=-+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z -+--+-+====-+++-，所以z ==.故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b +在向量b 上的投影向量为（ ）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=-+⋅=== 所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b b b +⋅==- .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =-=∴=-=-，()767732212S ⨯∴=⨯-+⨯=，故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22μσ=⨯==，()()(),0.750.547p k P k X k p μσμσ=-≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p =≈，()()900.510.5470.2265P X ≥=⨯-=，∴该校及格人数为0.22651200272⨯≈（人），故选：B ．6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay -=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ⨯>，可得2222299a b c a b ->=+，即22224555a b c a >=-，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝.故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x ==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞-]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共36分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=︒，90EMG ∴∠=︒，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f ⎛⎫⎛⎫=+⨯=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确.故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++-=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =-=∑，可得D 错误.【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x -=-=-，且()()()00,21g f x g x =++-=，即()()21f x g x +-=①，用x -替换()()21f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=②，由①+②得()()222f x f x ++-=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++-=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++-=+=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+-，则()()()()882121g x f x f x g x +=++-=+-=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =-=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180-【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅-，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +-的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅-=-，得2x y 的系数为180-.故答案为：180-．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ''-=，因此可得()()2f x f x '>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x '->，所以()()2f x f x '>.构造函数()()2x f x h x =e ，则()()()22xf x f x h x '-'=e，所以当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞--上小于零，在()1,0-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为：()()1,01,-⋃+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.【答案】⎡⎢⎣【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λμ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ⎛ ⎝，其中π,0,3BOC θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，由(),R OC OA OB λμλμ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλμ⎛=+⎝，整理得1cos sin 2λμθθ+==，解得cos λμθ==，则ππcos cos ,0,33λμθθθθθ⎛⎫⎡⎤+==+=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，ππ2ππ,,sin 3333θθ⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦所以λμ⎡+∈⎢⎣.方法二：设k λμ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λμ=+=；当点C 运动到AB的中点时，k λμ=+==，所以λμ⎡+∈⎢⎣故答案为：⎡⎢⎣四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =-，所以2π3C =．【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB ==所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin B ADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABC ACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,-∞-+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα--=='+⋅+，由1111ln 10e e e a f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x ='+，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．【小问2详解】由（1）知min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．函数()g x 的导函数()()1exg x k x -=-'①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=-，使得()()12111e 1e k g x g f x k ⎛⎫=-=-<-<-≤ ⎪⎝⎭，即()()120f x g x -≥，符合题意．②若()0,0k g x ==，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x -<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x '<在(),1∞-上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ek g x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞--⋃+．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ⋂=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E -，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ-=-，所以,2,1x y z λλλ===-，即(),2,1F λλλ-．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==-=-，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即2020a b a b c +=⎧⎨+-=⎩，，取()1,2,3m =--，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅====整理得2620λλ-=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==⨯=，所以抛物线1C 的方程是2y x =.设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥-=-=≥，所以当232ι=时，线段PQ.【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a --=--，即()21y a x a a b-=-+，即()0x a b y ab -++=.直线()21:111a DM y x a --=--，即()10x a y a -++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r -+-+-=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r -+-+-=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，22224224,11r r a b ab r r --∴+==--代入方程()0x a b y ab -++=得()()222440x y r x y +++---=，220,440,x y x y ++=⎧∴⎨++=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=-⎩∴直线MN 恒过定点()0,1-.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43259 2.682.76 2.70.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑.（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni i i i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====---==---∑∑∑∑.【答案】（1）673220710001200y t =+ （2）433774n n P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得 2.2100.4 2.49y ⨯-==新，12345678959t ++++++++==新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t ==⎛⎫⎛⎫=-⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t ==⎛⎫- ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =-⨯=，所以6732207ˆ60001200y t =+.【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12111313,444416P P ==⨯+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n ---+=+≥，又由2131331141644P P +=+⨯=，所以134n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n -+=≥所以1434(2)747n n P P n --=--≥，又因为1414974728P -=-=-，所以数列47n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为928-，公比为34-的等比数列，故143)74n n P --=-，所以1934433(()2847774n n n P -=--+=+-.【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=-⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14.②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε-=⋅-=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
2024届湖南师范大学附属中学高三上学期月考卷(四)数学及答案
湖南师大附中2024届高三月考试卷（四）数学审题人：高三备课组时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12i z =+，其中i 为虚数单位，则复数2z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A.(4,5)- B.(4,3)C.(3,4)- D.(5,4)）2.若随机事件A ，B 满足1()3P A =，1()2P B =，3()4P A B = ，则(|)P A B =（ ）A.29B.23C.14D.168.设{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αβα+=，则（ ）A.22παβ+=B.22παβ-=C.22πβα-=D.22πβα+=5.若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，则下列结论中正确的是（ ）A.01a = B.480a =C.50123453a a a a a a +++++= D.()()10024135134a a a a a a -++++=6.函数1()2cos[(2023)]|1|f x x x π=++-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（ ）A.2B.4C.6D.87.点M 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若PQM △是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A.(0,2B.⎛ ⎝C.⎫⎪⎪⎭D.(2-8.已知函数22,0,()4|1|4,0,x x f x x x ⎧=⎨-++<⎩…若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（ ）A.{2,1,0,1}-- B.{2,1,0}-- C.{1,0,1}- D.{2,1}-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、9.已.知双曲线C过点且渐近线为y x =，则下列结论正确的是（ ）A.C 的方程为2213x y -= B.CC.曲线2e1x y -=-经过C 的一个焦点D.直线10x --=与C 有两个公共点10.已知向量a ，b满足|2|||a b a += ，20a b a ⋅+= 且||2a = ，则（ ）A.||8b = B.0a b += C.|2|6a b -=D.4a b ⋅= 11.如图、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是其侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点P 是线段1CC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点P ，M ，使得二面角M DC P --大小为23πB.存在点P ，M ，使得平面11B D M 与平面PBD 平行C.当P 为棱1CC的中点且PM =时，则点M 的轨迹长度为23πD.当M 为1A D 中点时，四棱锥M ABCD -12.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +…和()G x kx b +…恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数2()f x x =（x ∈R ），1()g x x=（0x <），()2eln h x x =（e 2.718≈），则下列选项正确的是（ ）A.()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增B.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为–4C.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4,1]-D.()f x 和()h x之间存在唯一的“隔离直线”ey =-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f +'=___________.14.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，sin ACF ∠=，则DEF △的面积为___________.15.已知数列{}n a 的首项132a =，且满足1323n n n a a a +=+.若123111181n a a a a ++++< ，则n 的最大值为___________.16.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则|1||A F EF +的最小值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数2()2cos 2xf x x m ωω=++（0ω>）的最小值为–2.（1）求函数()f x 的最大值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位长度，可得函数()y g x =的图象，且函数()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的最大值.18.（12分）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A 采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B 采取领先3局者获胜。
湖南师大附中2024届高三月考作文题----找回消失的附近;不能让附近的消失
湖南师大附中2024届高三月考作文题----找回消失的附近；不能让附近的消失【真题回放】（来源：大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（二））阅读下面的材料，根据要求写作。
互联网的普及，新技术的发展，让人们更好地关注远方的资讯，但也可能造成“附近的消失”。
这句话引发了你怎样的联想与思考？请写一篇文章。
要求：选准角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭；不得泄露个人信息；不少于800字。
【详解】本题考查学生的写作能力。
这是一道引语式的材料作文题。
“附近”的本意是地理空间上离某地不远的地方，也可指距离心灵等虚化空间上不远的地方。
所谓“附近的消失”，是人们对“附近”的感觉、了解、认知等的缺失，而不是“附近”在事实上的消失。
比如：距离你家最近的菜市场在哪里？你父母在工作中有什么烦恼？你身边有哪些需要帮助的人？“附近”意味着个体之间具有互渗性和连通性，而“附近的消失”则意味着互渗性和连通性的断裂。
前面提到的三类“附近”，既有充满人间烟火气的菜市场，也有血浓于水的父母，还有需要帮助的人们，关乎物质存在，更关乎内在精神。
此类“附近的消失”比比皆是，考生可以根据自己的感悟和思考写出“附近的消失”的独特性。
明确文体，叙事、议论皆可。
“附近的消失”的现象并非凭空产生，与时代发展的一些客观因素有关，又具有较强的主观性。
客观上：①互联网等新兴交流媒介的普及让人们对远方有了更多的好奇，时代的快节奏发展会让人们更多地憧憬远方的目标；②现代社会关系往往由分工、兴趣及其他原因联结而成，一般都冲破了传统的地域概念。
主观上：①人们大多对自我存在过度关注；②有一颗不满足于当下而渴望远方的不安之心；③或接受了很多关于突破自我、走向远方的励志教育和文化濡染。
而这一切因素，往往更易出现在作为新技术、新时代主角儿的青年人群中。
事实上，“附近的消失”的原因是复杂、多层的，考生可以进行追因分析。
作为一种现象，“附近的消失”需要进行多方位分析。
湖南省名校联盟2023届高三下学期4月联考政治试卷
②优化了政府服务流程，提升了社会治理效能
③拓宽了民生诉求渠道，变革了社会管理模式
④增强了人民的获得感，提高了办事的便捷度
A.①③B.①④C.②③D.②④
7.小区群众的烦心事、矛盾集中的揪心事……都被单元长们及时收集摆到联合议事会的“桌面”上来，近年来，某社区充分发挥单元长的基层治理“触角”作用，延伸基层治理体系“末梢”，打磨出了基层管理的得力“绣花针”。发挥单元长在基层社会治理中的作用（）
①小明可向该企业劳动争议调解委员会申请调解
② 维护合法权益，小明可直接向当地法院起诉
③企业应申请仲裁，强行解除与小明的劳动合同
④若小明同意解除劳动关系，企业应给予经济补偿
A.①②B.①④C.②③D.③④
15.从世界范围看，许多二战后独立的国家或是照搬西方现代化模式，或是谋求“依附”发展，被迫丧失独立性，最终不仅没有成功走上现代化道路，反而陷入各种发展的“陷阱”。中国式现代化打破了西方现代化的“一元定式”，让现代化道路选择从“单选”变为“多选”，给其他发展中国家走向现代化带来借鉴。可见，中国探索现代化道路（）
①満足了被保险人更高层次的医保需求
②有效弥补了多层次医疗保障体系缺口
③降低了居民高额的医疗保险费用负担
④为参保人提供更高层次医疗费用报销
A.②→①→③→④B.③→④→②→①C.②→④→③→①D.③→②→①→④
6.“湘易办”是湖南全力打造的全省统一的企业、群众、公务人员“掌上办事”的总人口、优化营商环境的总平台、建设数字政府的总引擎。该平台共设置“首页、服务、资讯、我的”4个板块，能为个人提供全周期的办事和生活服务、为企业提供全流程的惠企服务。“湘易办”的推出（）
中非经贸往来日益密切，基础设施合作逐步深化。中国已经连续14年保持非洲最大贸易伙伴国地位，2022年中非贸易额突破2600亿美元。中国对非投资显著增长，仅2021年1—9月，中国对非全行业直接投资25.9亿美元，同比增长9.9%。中非合作论坛成立以来，中国企业为非洲新增和升级铁路超过1万公里，公路近10万公里，桥梁近千座，港口近百个，累计创造就业岗位超过450万个。
湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期月考数学试题(五)含答案解析
大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（五）数学一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}2,,1,9A a a B =-=-，若{}1,1,9A B ⋃=-，则=a （）A .3B.1C.-1D.-32.已知复数231ii 2i iz -=--，则z 的虚部为（）A.-1B.12-C.12D.13.二项式741x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（）A .7- B.21- C.7D.214.已知函数()()()321222xxa x a x f x --+-=+为偶函数，则=a （）A.2B.1C.1- D.2-5.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，直线33y x a =+与C 交于,A B 两点，且BF x ⊥轴，则C 的离心率为（）A.B.C.2D.36.已知函数()cos ln f x x a x =+在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则a 的最小值为（）A.π8 B.π4 C.π2D.π7.已知31sin cos ,cos sin 33αβαβ+=-=-，则()cos 22αβ-=（）A.4781B.4781-C.1781D.1781-8.在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1n a n -，公差为1n-的等差数列的前n项，记构成的新数列为{}n b ，若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（）A.252-B.-13C.272- D.-14二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知S 为圆锥的顶点，AB 为该圆锥的底面圆O 的直径，45,SAB C ∠= 为底面圆周上一点，60,BAC SC ∠==，则（）A.该圆锥的体积为π3B.AC =C.该圆锥的侧面展开图的圆心角大于180D.二面角A BC S --10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，直线y x =+经过C 的一个焦点和一个顶点，且与C 交于,A B 两点（点A 在第三象限），则（）A.2a b =B.2ABF △的周长为8C.83AB =D.以2AF 为直径的圆过点B11.若函数()()ln 0cf x ax b x a x=+-≠在x c =处取得极值，则（）A.240b ac ->B.ac b +为定值C.当0<a 时，()f x 有且仅有一个极大值D.若()f x 有两个极值点，则1x a=是()f x 的极小值点12.今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（）A.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为47B.在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为1314C.甲获得奖品的概率为2449D.若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量()1,1a =- ，向量b 满足22b a b -= ，则⋅= a b __________.14.已知正三棱台的上､和为__________.15.已知直线10x y -+=与圆()22:8C x m y -+=交于,A B 两点，则满足“ABC的面积为”的m 的一个值为__________.16.已知函数()()sin (0,0,0π)f x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分图象如图所示，且32MN =，则不等式()1f x ≥+[]0,4上的解集为__________.四､解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1tan tan 3B C =.（1）求222c b a-的值；（2）若a =，且ABC的周长为3，求边b 上的高.18.记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且113a =，()231nn n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n a b a S ++=-，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：38n T ≥.19.为检验预防某种疾病的A B ､两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种A B ､疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为[]0,100)，统计如下：该项医学指标[)0,25[)25,50[)50,75[]75,100接种A 疫苗人数10m+105030m-接种B 疫苗人数10m-304020m+个别数据模糊不清，用含字母()m m ∈N 的代数式表示.（1）为检验该项医学指标在[)0,50内的是否需要接种加强针，先从医学指标在[)25,50的志愿者中，按接种A B ､疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断.从这8人中随机抽取4人调研医学指标低的原因，记这4人中接种B 疫苗的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针.请先完成下面的22⨯列联表，若根据小概率0.025α=的独立性检验，认为接种A B ､疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求m 的最大值.疫苗抗体合计抗体弱抗体强A 疫苗B 疫苗合计附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.250.0250.005x α1.3235.0247.87920.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC =，点D 为11B C 上一点，且1CD BC ⊥.（1）证明：1AC 平面1A BD ；（2）若AC AB =，求直线CD 与平面1A BD 所成角的正弦值.21.已知抛物线E 的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过()()12312,1,2,2,1,4A A A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭三点中的两点.（1）求抛物线E 的方程；（2）设O 为坐标原点，E 的焦点为F ，过F 的直线BC 与E 交于,B C 两点，过F 的直线PQ 与E 交于,P Q 两点，点,P B 都在第二象限，记直线,BC PQ 的倾斜角分别为,αβ，且90αβ-=.若直线PB 与直线CQ 交于点M ，不同于点M 的点N 满足MN y ⊥轴，当ON PQ 时，设,NBC OBC 的面积分别为,m n ，求m nmn-的取值范围.22.已知函数()()2ln 2f x a x x a x =---.（1）求函数()f x 的极值；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()1212,x x x x <为()f x 的两个零点，证明：()()211f x f x ''>-.大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（五）数学一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}2,,1,9A a a B =-=-，若{}1,1,9A B ⋃=-，则=a （）A.3 B.1C.-1D.-3【答案】B 【解析】【分析】由{}{}1,1,9,1,9A B B ⋃=-=-，得到1A ∈求解.【详解】解：因为{}{}1,1,9,1,9A B B ⋃=-=-，所以1A ∈，当21a =时，1a =±，根据元素的互异性可知，1a =；当1a -=时，1a =-，不满足元素的互异性，舍去，故选：B.2.已知复数231ii 2i iz -=--，则z 的虚部为（）A.-1 B.12-C.12D.1【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法的运算法则、复数乘方的法则，结合共轭复数和复数虚部的定义进行求解即可.【详解】因为()()()2231i 1i 1i 12i 11ii 2i i i 2i 21i 1i 42z -----=====---+++-所以1i 2z =，所以z 的虚部为12，故选：C.3.二项式741x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（）A.7- B.21- C.7D.21【答案】A 【解析】【分析】根据二项式通项公式进行求解即可.【详解】二项式741x ⎫-⎪⎭的通项公式为()14147317741C C 1rrrr rrr T x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令1414013rr -=⇒=，所以常数项为()17C 17⋅-=-，故选：A4.已知函数()()()321222xxa x a x f x --+-=+为偶函数，则=a （）A.2B.1C.1- D.2-【答案】B 【解析】【分析】结合偶函数定义与指数幂的运算计算即可得.【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，即()()()()323212122222xx xxa x a x a x a x ----+--+-=++，整理得()3210a x -=恒成立，所以()210a -=，则1a =.故选：B.5.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，直线33y x a =+与C 交于,A B 两点，且BF x ⊥轴，则C 的离心率为（）A.B.C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据题意直线过双曲线的左顶点得(),0A a -，再由BF x ⊥求出2,b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后利用点B 也在直线上得到2c a =，从而求解.【详解】易知直线33y x a =+经过C 的左顶点(),0A a -，设(),0F c -，因为BF x ⊥轴，所以22221c y a b -=，解得2b y a =-，或2b y a =（舍去），所以点B 坐标为2,b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则233b c a a -=-+，整理得2233ac a b -=，所以22233ac a c a -=-，即22320c ac a -+=，解得c a =（舍去），或2c a =，所以C 的离心率为2ce a==，故C 正确.故选：C.6.已知函数()cos ln f x x a x =+在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则a 的最小值为（）A.π8 B.π4 C.π2D.π【答案】C 【解析】【分析】由题意可得()0f x '≥在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即sin ≥a x x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，设()πsin ,0,2g x x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，利用导数求出max ()g x 可得答案.【详解】()sin sin 0-'=-+=≥a a x x f x x x x在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即sin ≥a x x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，设()πsin ,0,2g x x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()sin cos 0'=+>g x x x x ，所以()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()max π()2g x g x <=，所以π2a ≥，则a 的最小值为π2.故选：C.7.已知31sin cos ,cos sin 33αβαβ+=-=-，则()cos 22αβ-=（）A.4781 B.4781-C.1781D.1781-【答案】D 【解析】【分析】分别将3sin cos 3αβ+=和1cos sin 3αβ-=-分别平方相加求出sin cos cos sin αβαβ-，然后逆用正弦两角差公式并结合倍角公式从而求解.【详解】由sin cos 3αβ+=得，221sin cos 2sin cos 3αβαβ++=，由1cos sin 3αβ-=-得，221cos sin 2cos sin 9αβαβ+-=，两式相加得，()422sin cos cos sin 9αβαβ+-=，则()7sin 9αβ-=-，所以()()22717cos 2212sin 12981αβαβ⎛⎫-=--=-⨯-=- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：D.8.在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1nan -，公差为1n-的等差数列的前n 项，记构成的新数列为{}n b ，若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（）A.252-B.-13C.272-D.-14【答案】A 【解析】【分析】根据题意，得到数列{}n b 中n a 及其后面n 项的和为n S ，()()1112n n n n S n a n+=+-求解.【详解】解：数列{}n b 为：1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n------- ，1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n n n+----- ，设n a 及其后面n 项的和为n S ，则()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=-，所以数列{}n S 是以1为首项，公差为12-的等差数列.所以{}n b 前65项的和为1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-，故选：A.二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知S 为圆锥的顶点，AB 为该圆锥的底面圆O 的直径，45,SAB C ∠=为底面圆周上一点，60,BAC SC ∠== ，则（）A.该圆锥的体积为π3B.AC =C.该圆锥的侧面展开图的圆心角大于180D.二面角A BC S --【答案】AC 【解析】【分析】求得该圆锥的体积判断选项A ，求得AC 的长度判断选项B ，求得该圆锥的侧面展开图的圆心角判断选项C ，求得二面角A BC S --的正切值判断选项D.【详解】如图，因为45SAB ∠= ，所以SAB △为等腰直角三角形，又SC =，则SA SB ==，所以2AB ==，则1r AO SO ===，所以该圆锥的体积为21ππ,A 33V r SO =⋅=正确；易知ABC 为直角三角形，且90ACB ∠= ，又60BAC ∠= ，则30ABC ∠= ，所以11,B 2AC AB ==错误；该圆锥的侧面展开图为一扇形，其弧长为2πl =，扇形半径为R SA ==，设扇形圆心角为α，所以πlRα==>，所以该圆锥的侧面展开图的圆心角大于180,C 正确；取BC 的中点D ，连接,SD OD ，则,SD BC OD ⊥为ABC 的中位线，所以11,22OD BC OD AC ⊥==，所以ODS ∠为二面角A BC S --的平面角，易知SOD 为直角三角形，所以tan 2,D SOODS OD∠==错误.故选：AC .10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，直线y x =+经过C 的一个焦点和一个顶点，且与C 交于,A B 两点（点A 在第三象限），则（）A.2a b =B.2ABF △的周长为8C.83AB =D.以2AF 为直径的圆过点B【答案】BCD 【解析】【分析】根据条件求出,,a b c 的值，判定A 错误；由椭圆定义可得2ABF △的周长为8，判定B 正确；联立方程组求出(2,3A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，可得83AB =，判定C 正确；2221212BF BF F F +=，所以1290F BF ∠= ，判定D 正确.【详解】易知直线y x =+经过C的焦点()1F和顶点(B ，所以b c ==，则a ==2，所以,A a =错误；由椭圆的定义可知，2ABF △的周长为48,B a =正确；由上可知C 的方程为22142x y +=，由221,42x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得120,x x ==，则(,3A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以8,C 3AB ==正确；由12122,BF BF F F ===得，2221212BF BF F F +=，所以1290F BF ∠= ，则以2AF 为直径的圆过点,D B 正确.故选：BCD .11.若函数()()ln 0cf x ax b x a x=+-≠在x c =处取得极值，则（）A.240b ac ->B.ac b +为定值C.当0<a 时，()f x 有且仅有一个极大值D.若()f x 有两个极值点，则1x a=是()f x 的极小值点【答案】ABC 【解析】【分析】求导()22ax bx cf x x++='，由题意可知，x c =是方程20ax bx c ++=的一个变号实数根，则Δ0>，即可判断A ；由20ac bc c ++=判断B ；当a<0时，可得，当()0,x c ∈时()0f x ¢>，当(),x c ∈+∞时()0f x '<，即可判断C ；将1b ac =--代入20ax bx c ++=整理得()10x x c a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则方程有不相等的实数根1a 与c ，分类讨论，结合极值点的定义可判断D.【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，则0x c =>，()222b c ax bx cf x a x x x++=++='，由题意可知，x c =是方程20ax bx c ++=的一个变号实数根，则2Δ40b ac =->，故A 正确；由20ac bc c ++=得，1ac b +=-，故B 正确；当a<0时，因为0c >，所以函数2y ax bx c =++开口向下，且与x 轴正半轴只有一个交点，当()0,x c ∈时，()0f x ¢>，当(),x c ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在()0,c 上单调递增，在(),c +∞上单调递减，则()f x 有且仅有一个极大值，故C 正确；将1b ac =--代入20ax bx c ++=整理得()10x x c a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则方程有不相等的实数根1a 与c ，即1c a≠，当10c a <<时，()10,,x c a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ 时，()10,,f x x c a ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭'时，()0f x '<，所以()f x 在()10,,,c a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则1x a=是()f x 的极大值点，x c =是()f x 的极小值点，当10c a <<时，()10,,x c a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ 时，()0f x ¢>；当1,x c a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在()10,,,c a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则x c =是()f x 的极大值点，1x a=是()f x 的极小值点，故D 错误，故选：ABC.12.今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（）A.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为47B.在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为1314C.甲获得奖品的概率为2449D.若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小【答案】ACD【解析】【分析】设出事件后，结合条件概率与全概率公式逐个计算即可得.【详解】设A 红，A 黄，A 绿，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，设B 红表示再抽到的小球的颜色是红的事件，在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：()()()24477277P B A P B A P A ⨯===红黄红黄黄∣，故A 正确；在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：()()()()()()23211377724287P A B P A B P A B P B A P A P A ⨯+⨯+====红红红红绿黄红红红红∣，故B 错误；由题意可知，()()()()()32234,,,,77777P A P A P A P B A P B A =====红红红红绿黄黄∣∣，()12P B A =红绿∣，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：P =()()()()()()P A P B A P A P B A P A P B A +⋅+⋅红红红红红绿绿黄黄∣∣∣3324212477777249=⨯+⨯+⨯=，故C 正确；因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，则()()()()3349377248P A P B A P A B P B ⋅==⨯⨯=红红红红红红∣∣，()()()()2449177243P A P B A P A B P B ⋅===红黄黄红黄红∣∣，()()()()21497722424P A P B A P A B P B ⋅===红绿绿红绿红∣∣，所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球的机会最小，故D 正确.故选：ACD.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量()1,1a =- ，向量b 满足22b a b -= ，则⋅= a b __________.【答案】12##0.5【解析】【分析】由22b a b -=平方求解.【详解】解：由()1,1a =- ，得a = 由22b a b -= ，得222444b a b a b -⋅+= ，则242a b a ⋅== ，所以12a b ⋅= .故答案为：1214.已知正三棱台的上､和为__________.【答案】4【解析】【分析】根据正三棱台的性质及题中条件分别求出侧面的高h 和正三棱台的高H ，然后利用棱台体积公式即可求解.【详解】设该正三棱台侧面的高为h ，由题意可知，12h +⋅=h =该正三棱台的上底面的面积为21322⨯⨯=下底面的面积为213273224⨯⨯=，设正三棱台的高为H ，则1H ==，故该正三棱台的体积为11344V =+⨯=⎝.故答案为：4.15.已知直线10x y -+=与圆()22:8C x m y -+=交于,A B 两点，则满足“ABC 的面积为”的m 的一个值为__________.【答案】1（或3-，或1-±）【解析】【分析】由ABC 的面积为，得到60ACB ∠= 或120ACB ∠= ，进而得到圆心C 到直线AB 的距离为d =d =.【详解】解：由ABC 的面积为(21sin 2ACB ⨯∠=，解得3sin 2ACB ∠=，则60ACB ∠= 或120ACB ∠= ，易知圆心C 到直线AB 的距离为d =或d ==，或=，解得1m =-±1m =或3m =-.故答案为：1(或3-，或1-±)16.已知函数()()sin (0,0,0π)f x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分图象如图所示，且32MN =，则不等式()1f x ≥+[]0,4上的解集为__________.【答案】51,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据函数的最高点和最低点，结合函数的零点、正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】由图可知，3,1,A B A B +=⎧⎨-+=-⎩解得2,1A B ==，由图可知，12sin +12sin 2ϕϕ=⇒=，又0πϕ<<，所以π6ϕ=或5π6ϕ=，当π6ϕ=时，()π2sin 16f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为0ω>，所以当0x >时，显然有ππ66x ω+>，因此函数先是增函数，显然不符合图象，当5π6ϕ=时，()5π2sin 16f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为0ω>，所以当0x >时，显然有5π5π66x ω+>，因此函数先是减函数，符合图象特征，令()15π5π15π7π2sin 10sin 2π66266f x x x x k ωωω⎛⎫⎛⎫=++=⇒+=-⇒+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，或()25π11π2πZ 66x k k ω+=-∈，因为32MN =，所以212π32π4π3239x x ωωω-=⇒⋅=⇒=，即()4π5π2sin 196f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由()4π5π4π5π12sin 11sin ,96962f x x x ≥⎛⎫⎛⎫≥+⇒++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以有()()π4π5π3π921932π2πZ Z 4964216216m m m x m m x m +≤+≤+∈⇒-≤≤-∈，因为[]0,4x ∈，所以令1m =，则有9219351692162161616x x -≤≤-⇒≤≤，而[]0,4x ∈，所以51416x ≤≤，故答案为：51,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数的单调性确定ϕ的值.四､解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1tan tan 3B C =.（1）求222c b a -的值；（2）若a =，且ABC 的周长为3，求边b 上的高.【答案】（1）12（2）2【解析】【分析】（1）根据题意，得到3sin cos sin cos B C C B =，结合正弦、余弦定理，求得2224()2c b a -=，即可求解；（2）根据题意得到3b c +=，结合（1）得到1c b -=，联立方程组求得2,1c b ==，再由余弦定cos A 的值，利用sin h c A =，即可求解.【小问1详解】解：由1tan tan 3B C =，可得sin sin cos 3cos B CB C =，所以3sin cos sin cos B C C B =，又由正弦定理和余弦定理，可得222222322a b c a c b b c ab ac +-+-⋅=⋅，整理得2224()2c b a -=，所以22212c b a -=.【小问2详解】解：由a =，且ABC 的周长为3，可得3b c +=，又由（1）可知，222123c b a -==，即()()3c b c b +-=，所以1c b -=，联立方程组31b c c b +=⎧⎨-=⎩，解得2,1c b ==，所以22222212(6)1cos 22124b c a A bc +-+-===-⨯⨯，则15sin 4A ===，所以边b 上的高为1515sin 242h c A ==⨯=.18.记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且113a =，()231nn n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n a b a S ++=-，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：38n T ≥.【答案】（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由()231nn n S a =-退位相减可得13n n a a -=，又10,a ≠可得113n n a a -=，继而可知数列{}n a 为等比数列，则通项可求；（2）由（1）可得1n a +、1n S +继而可求n b ，并将其裂项再求和，即可证明不等式.【小问1详解】因为()231nn n S a =-，所以，当2n ≥时，()111231n n n S a ---=-，两式相减得，()()111223131nn n n n n S S a a ----=---，化简可得()()1133310nn n n a a -----=，所以130n n a a --=，即13n n a a -=，又110,3a =≠可得113n n a a -=，所以数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，可得1111333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】由（1）可知，1113n n a ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，1113311112313nn n S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-所以1111123n n S ++⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则()1111131********n n n n n n n a b a S ++++⎛⎫⎪⎝⎭==-⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，111=111133nn +-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，123n n T b b b b =++++ 12231111111111111111111333333n n +=-+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，1312113n +=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为118139n +⎛⎫-≥⎪⎝⎭，所以1198113n +≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，则38n T ≥.19.为检验预防某种疾病的A B ､两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种A B ､疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为[]0,100)，统计如下：该项医学指标[)0,25[)25,50[)50,75[]75,100接种A 疫苗人数10m+105030m-接种B 疫苗人数10m-304020m+个别数据模糊不清，用含字母()m m ∈N 的代数式表示.（1）为检验该项医学指标在[)0,50内的是否需要接种加强针，先从医学指标在[)25,50的志愿者中，按接种A B ､疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断.从这8人中随机抽取4人调研医学指标低的原因，记这4人中接种B 疫苗的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针.请先完成下面的22⨯列联表，若根据小概率0.025α=的独立性检验，认为接种A B ､疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求m 的最大值.疫苗抗体合计抗体弱抗体强A 疫苗B 疫苗合计附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.250.0250.005x α1.3235.0247.879【答案】（1）分布列见解析，()3E X =（2）列联表见解析，2【解析】【分析】（1）由抽样调查性质可得抽取接种A B 、疫苗人数，计算出X 的所有可能取值的对应概率可得分布列，由分布列可计算期望；（2）结合2χ的计算公式计算出对应m 的范围即可得.【小问1详解】从医学指标在[)25,50的志愿者中，按接种A B 、疫苗分层抽取8人中，接种A 疫苗有2人，接种B 疫苗有6人，由题意可知，X 可能取值为2,3,4，()()()221304262626444888C C C C C C 3432,34C 14C 7C 14P X P X P X =========，X 的分布列为：X234P31447314则()343234314714E X =⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】22⨯列联表如下：疫苗抗体合计抗体弱抗体强A 疫苗20m +80m -100B 疫苗40m-60m+100合计60140200则()()()()()222200804060202101001001406021m m m m m χ⎡⎤---++-⎣⎦==⨯⨯⨯，由题意可知，()20.025210 5.02421m x -≥=，整理得，()21052.752m -≥，解得2m ≤或18,m m ≥∈N ，又100,m m -≥∈N ，则10,m m ≤∈N ，所以2,m m ≤∈N ，故m 的最大值为2.20.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC =，点D 为11B C 上一点，且1CD BC ⊥.（1）证明：1AC 平面1A BD ；（2）若AC AB =，求直线CD 与平面1A BD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）223【解析】【分析】（1）利用空间向量的线性运算与数量积运算法则求得D 为1B C 的中点，再利用线面平行的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法求出直线CD 与平面1A BD 所成角的正弦值，从而求解.【小问1详解】设()11101C D tC B t =≤≤ ，则11111CD CC C D CC tC B =+=+ ，1111111111C B C B B B C B C C C B CC =+=+=- ，所以()()()221111111111111··1·CD C B CC tC B C B CC t CC C B CC tC B =+-=--+ ，因为11111,,2CD BC CC C B BC ⊥⊥=，所以()()21210t AA -=，解得12t =，则点D 为1B C 的中点.连接1AB ，设11A B AB E = ，连接DE ，因为四边形11ABB A 为矩形，所以E 为1AB 的中点，在11AB C △中，DE 为中位线，所以DE 1AC ，又1AC ⊄平面1,A BD DE ⊂平面1A BD ，所以1AC 平面1A BD ..【小问2详解】取BC 的中点O ，连接,OD OA ，则DO 1BB ，所以OD BC ⊥，由AC AB =可知，AO BC ⊥，易知四边形1AA DO 为平行四边形，又1AA ⊥平面ABC ，所以DO ⊥平面ABC ，所以DO OA ⊥.以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OD 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，如图，设1(0),(0)OA m m BC a =>==>，所以1,CC a BC ==，则()()1220,,,,0,0,0,0,,,0,022A m a B a D a C a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1220,,0,,0,,0,22DA m DB a a DC a a ⎛⎫⎛⎫==--=⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面1A BD 的一个法向量为(),,n x y z =r，由10,0,DA n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,0,2my ax az =⎧⎪⎨--=⎪⎩取x =，则)1n =-r ，设直线CD 与平面1A BD 所成角为θ，则22sin cos ,3DC n θ===.故直线CD 与平面1A BD 所成角的正弦值为223.21.已知抛物线E 的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过()()12312,1,2,2,1,4A A A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭三点中的两点.（1）求抛物线E 的方程；（2）设O 为坐标原点，E 的焦点为F ，过F 的直线BC 与E 交于,B C 两点，过F 的直线PQ 与E 交于,P Q 两点，点,P B 都在第二象限，记直线,BC PQ 的倾斜角分别为,αβ，且90αβ-=.若直线PB 与直线CQ 交于点M ，不同于点M 的点N 满足MN y ⊥轴，当ON PQ 时，设,NBC OBC 的面积分别为,m n ，求m nmn-的取值范围.【答案】（1）24x y =（2）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性，分类讨论进行求解即可；（2）根据直线的斜率公式、一元二次方程根与系数关系，结合三角形面积公式、点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可.【小问1详解】因为()12,1A 关于y 轴对称的点为()12,1A -，所以拋物线E 经过12,A A 两点中的一点，由题意可知，抛物线E 经过311,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当抛物线E 的方程为22(0)y px p =->时，将点311,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入E 的方程得，()21214p ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，解得132p =，验证可知，抛物线21:16E y x =-不经过点12,A A ，不满足题意；当抛物线E 的方程为22(0)x py p =>时，将点311,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入E 的方程得，()21124p -=⨯，解得2p =，验证可知，抛物线2:4E x y =经过点1A ，不经过点2A ，满足题意，故抛物线E 的方程为24x y =.【小问2详解】由（1）可知，()0,1F ，设BC 的方程为()10y kx k =+≠，设()()1122,,,B x y C x y ，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，12124,4x x k x x +==-，因为90αβ-=，所以BC PQ ⊥，设()()3344,,,P x y Q x y ，同理可知，34344,4x x x x k+=-=-.直线BP 的斜率为223131313131444BPx x y y x x k x x x x --+===--，其方程()2311144x x x y x x +-=-，即311344x x x x y x +=-①同理可知直线CQ 的方程422444x x x xy x +=-，即31311313134444444x x x x x x y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-⋅--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=-=--②由①②解得，1y =-，所以点M 在直线1y =-上，由MN y ⊥轴可知，点N 在直线1y =-上，设()0,1N x -，由ON PQ 可知，ON BC ⊥，则1ON BCk k ⋅=-，所以011x k-=-，解得0x k =，由上可知，()212122444BC y y k x x k =++=++=+，原点O 到直线BC的距离为1d =，N 到直线BC的距离为2d =所以221112222m BC d k n BC d =⋅=+=⋅=则11m n mn n m -=-=2=()211111122422k ==⋅≤⋅+，=，即0k =取得等号，因为0k ≠，所以14m n mn -<，由0m n ->得，104m n mn -<<，故m n mn -的取值范围为10,4⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：本题的关键是对m nmn-的表达式进行变形，用基本不等式进行求解.22.已知函数()()2ln 2f x a x x a x =---.（1）求函数()f x 的极值；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()1212,x x x x <为()f x 的两个零点，证明：()()211f x f x ''>-.【答案】（1）极大值为2ln 42a aa a +-.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用导数求得()f x 的单调区间，再利用极值定义即可求得函数()f x 的极值；（2）先将不等式()()211f x f x ''>-转化为2121212ln 0x x x x x x -->，再构造函数()12ln (1)g t t t t t=-->，并利用导数证得()()10g t g >=，进而证得原不等式成立.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()()()()2122x a x af x x a x x-+=---=-'，当0a ≤时，()0f x '<在()0,∞+上恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，此时()f x 无极值；当0a >时，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，当,2a x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 只存在极大值且为2ln 242a aa f a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由()1212,x x x x ≠为()f x 的两个零点得，()()22111222ln 2ln 2a x x a x a x x a x ---=---，所以()()()2221212121ln ln 2a x x x x x x x x ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，则()()()()()()22212121212212121122ln ln lnx x x x x x x x a x x x x x x x x -+--++==-+-+-，又()()()()1212122222a af x f x x a x a x x +=---+--'-'()121211222a x x x x ⎛⎫=++-++ ⎪⎝⎭()()()()212112212211211222ln x x x x x x xx x x x x -++⎛⎫=++-++ ⎪⎝⎭+-.由（1）可知，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，若()1212,x x x x <为()f x 的两个零点，则120,,,22a a x x ∞⎛⎫⎛⎫∈∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()120,0f x f x >'<'.要证()()211f x f x ''>-，需证()()120f x f x ''+>，需证()()()()2121122122112112220ln x x x x x x xx x x x x -++⎛⎫++-++> ⎪⎝⎭+-，又12220x x ++>>，即证()2121221111220ln x x x x x x x x ⎛⎫-++-> ⎪⎝⎭+-，因为120x x <<，则211x x >，则()2211ln 0xx x x +->，所以需证()()221211211122ln 0x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤-++-+->⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即证2121212ln 0x x x x x x -->，令21(1)x t t x =>，需证12ln 0t t t-->，设()12ln (1)g t t t t t =-->，则()22212(1)10t g t t t t-=+-=>'，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g t g >=，则12ln 0t t t-->，故()()211f x f x ''>-.。
湖南师范大学附属中学2024届高三上学期月考(二)化学试题及参考答案
大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（二）化学本试题卷分选择题和非选择题两部分，共10页。
时量75分钟，满分100分。
可能用到的相对原子质量：H ～1 C ～12 O ～16 Ti ～48一、选择题：本题共14小题，每小题3分，共42分。
每小题只有一个选项符合题目要求。
1.化学与生活、科技、社会发展息息相关。
下列有关说法正确的是（ ） A.节日燃放烟花过程中产生的焰色是化学反应B.铁磁流体液态机器人中驱动机器人运动的磁铁的主要成分是23Fe OC.“天问一号”火星车使用的热控保温材料——纳米气凝胶，可产生丁达尔效应D.“天和”核心舱电推进系统中使用的氮化硼陶瓷基复合材料属于新型有机高分子材料 2.下列图示或化学用语表示正确的是（ ）A.NaCl 的电子式B.基态47Ag 的价层电子轨道表示式C.2Fe +的结构示意图D.p x 轨道的电子云轮廓图3.设A N 为阿伏加德罗常数的值。
下列说法不正确的是（ ） A.181.8g O 中含有的中子数为A NB 标准状况下，22.4LHCl 气体中含有的H +数目为A N C.3223gCH CH OH 中3sp 杂化的原子数为A 1.5ND.2428gC H 和36C H 的混合气体中含有的碳原子数为A 2N4.我国科研人员发现了一种安全、高效的点击化学试剂23FSO N ，下列有关元素F 、O 、N 、S 及其化合物的说法正确的是（ ） A.沸点：223H O H S NH >> B.第一电离能：F>S>O>N C.最高正价：F>S=O>ND 稳定性：23HF H O NH >>5.下列离子方程式书写正确的是（ ）A.()32Mg HCO 溶液与足量的NaOH 溶液反应：223332Mg 2HCO 2OH MgCO CO 2H O +−−−++↓++B.将22molCl 通入到含21molFeBr 的溶液中：23222Fe 2Br 2Cl 2Fe 4Cl Br +−+−++++C.将少量2SO 通入到NaClO 溶液中：2224SO H O ClO Cl SO 2H −−−+++++D.1mol/L 的2NaAlO 溶液和2.5mol/L 的HCl 溶液等体积混合：32322AlO 5H Al Al(OH)H O −++++↓+6.汽车尾气中CO 与NO 转化的三段反应历程及各物质的相对能量如图所示，其中TS 代表过渡态，IM 表示反应过程中的复杂中间产物，每段历程的反应物相对总能量定义为0。
湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期月考卷(一)政治答案
长沙市一中2025届高三月考试卷（一）思想政治参考答案一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678910111213141516答案C B B A B D B C A A C B C A B D 1．C【解析】在资本主义社会，无产阶级与资产阶级的矛盾是不可调和的，A、B不选。
资本主义社会基本矛盾是生产社会化与生产资料私有制之间的矛盾，这是资本主义社会一切矛盾和冲突的总根源，C说法正确。
生产相对过剩是资本主义社会经济危机的基本特征，D不选。
2．B【解析】由材料可知，社会主义制度让百万农奴获得了新生，劳动人民被压迫、剥削的历史在西藏终结，①④符合题意。
农奴制相对于奴隶制是一种历史的进步，②表述过于绝对。
农奴不完全等同于奴隶，并没有丧失全部产品，农奴可以有自己的家庭和少量财产，且该选项与题意不符，③不选。
3．B【解析】坚持和加强从严治党，以自我革命引领社会革命，通过自我革命，党能够不断净化、自我完善、自我革新、自我提高，从而确保党的先进性和纯洁性，进而引领社会革命，才能确保中国式现代化劈波斩浪、行稳致远，B正确。
材料强调加强党的建设才能确保中国式现代化劈波斩浪、行稳致远，并未强调道路自信及用马克思主义理论体系武装全党、个人理想和国家梦想的关系，A、C不选。
党的建设是伟大工程，D不选。
4．A【解析】由广州地铁集团与腾讯公司共同成立的广州穗腾数字科技有限公司揭牌，该公司属于混合所有制性质，体现了国有企业与民营企业深化合作，发挥各自优势，取长补短，实现了多元资本间的交叉持股与融合，①正确。
该公司致力打造“数智城轨”新格局，体现了该公司的成立将加速推动新质生产力的形成和发展，③正确。
材料没有凸显民营经济在市场竞争中的优势，②不选。
国有经济对基础交通业具有控制力，④错误。
5．B【解析】我国政府通过加强和优化公共服务，保障社会公平正义，促进共同富裕，更好满足人民日益增长的美好生活需要，把罕见病用药纳入医保，体现了政府的公共服务职能，③符合题意。
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炎德·英才大联考湖南师大附中2012届高三月考试卷(四)
政治参考答案
一㊁选择题(本大题共25小题㊂每小题2分,共50分㊂在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的)
题号12345678910111213
答案A A A D D B B A D C C B B
题号141516171819202122232425
答案A C C A B D A B C D B C
二㊁非选择题(本大题共3小题,共50分)
26.(1)要根据新形势,制定正确的经营战略㊂(2分)(2)提高自主创新能力,依靠科技进步㊁科学管理,培育国际知名品牌,形成自己的竞争优势㊂(2分)(3)诚信经营,树立良好的信誉和企业形象㊂(2分)(4)积极参与国际竞争与合作,充分利用国外资金㊁技术等资源㊂(2分)(5)增强防范金融和经营风险的意识和能力㊂(2分)(6)加强企业文化建设,树立先进经营理念㊂(2分)
27.(1)原因:①文化有其自身的民族性和传承性㊂中国人独有的 家国伦理”沿袭了几千年㊂(2分)②传统文化具有相对稳定性㊂中国人独有的 家国伦理”对家更加看重,更愿意拥有自己的住房,而不愿意租房㊂(2分)③文化影响人的认识活动㊁实践活动和思维方式且具有深远持久的特点㊂ 家国伦理”使中国人把家和房看成最终的情感归宿地,在住房消费上有着强烈的愿望㊂(2分)
建议:①批判性地继承传统文化㊂当代中国人对于 家国伦理”要坚持批判地继承,在住房问题上要做到理性消费,避免成为 房奴”㊂(2分)②创造性地融入时代精神㊂随着我国社会政治㊁经济的发展,一些固有传统观念也应该随着社会发展而不断变化更新,否则就会阻碍社会进步㊂ 家国伦理”的购房观念已经不完全适应我们这个时代的发展,所以这种观念应该与时俱进,有所改进㊂(2分)
(2)①我国是人民民主专政的社会主义国家,人民是国家的主人㊂特别关注困难群体和中低收入家庭有利于维护人民当家作主的地位㊂(2分)②政府要坚持对人民负责的原则,保持房价稳定事关人民的切身利益㊂(2分)③政府要履行组织经济建设㊁保卫人民民主和维护国家长治久安的职能㊂保持房地产价格基本稳定㊁促进房地产业健康发展,是政府履行上述职能的体现㊂(2分)
(3)答案一:支持限购令㊂(2分)理由:①加强宏观调控是社会主义市场经济的内在要求,是由我国的社会主义本质决定的,实行限购是宏观调控的体现㊂(2分)②市场调节具有自发性㊁盲目性㊁滞后性的弱点和缺陷,纯粹的市场调节会扰乱正常的市场秩序,影响人民生活,需要国家的宏观调控㊂(2分)③供求影响价格,实行限购,会抑制投机性购房需求,促使房价回落㊂(2分)
答案二:反对限购令㊂(2分)理由:①市场在资源配置中起基础性作用,市场能够通过价格涨落,及时㊁准确㊁灵活地反映供求关系变化,传递供求信息,实现资源配置㊂(2分)②价值决定价格,供求关系影响价格,房地产市场供不应求的状况,地价成本㊁人力成本的上升,导致房价上涨㊂限购会影响房地产业的健康发展㊂(2分)③价格变动影响生活和生产,房价高会抑制购房需求,吸引大量生产者投入生产,从而使房价下跌㊂(2分)
28.(1)①文化塑造人生㊂优秀文化能丰富人的精神世界,增强人的精神力量,促进人的全面发展㊂(2分)人民
群众是社会主义文化服务的对象,要发展公益性文化事业,保障人民群众基本文化权益,让人民群众共享文化建设发展成果㊂因此, 人民需要文化”㊂(2分)②人民群众是文化创造的主体,文化创作的源泉存在于人民的实践中㊂只有人民群众广泛参与,充分发挥积极性㊁主动性和创造性,社会主义文化建设才能永葆生机和活力㊂(2分)当代中国的先进文化应该是人民大众喜闻乐见的中国特色社会主义文化㊂因此 文化更需要人民”㊂(2分)
(2)①文化在继承中发展㊂该作品继承了湘绣传统技艺双面绣针法,体现了继承对于发展的基础性作用㊂(2分)②文化发展的实质就在于文化创新,文化创新要立足于社会实践,继承传统,推陈出新,又要面向世界,博采众长㊂该作品继承传统技艺,又与当代审美理念发展并行,大胆借鉴西方现代艺术手法,在创作理念和表现形式上的创新使该作品展现出高超的艺术魅力㊂(2分)③文化在交流中传播,商业贸易是文化传播的主要途径㊂通过将湘绣请柬推向国内外市场,作品在交流中得到了传播㊂(2分)
炎德㊃英才大联考政治参考答案(附中版)-1。