25.7 第2课时 位似图形
位似图形及其性质
圆上任取一点P与定点O连线，在OP线段上取点Q,使OQ=a×OP(a是一个常数）,当P点取遍圆周，得到无数个符合条件的点Q，所有这些点形成的图形是什么呢?
这样的任意对应的三角形都相似，从而任意的曲线形都相似，如果下面的是圆，那么上面的图形也是圆。
该原理为祖暅原理提供了充分的证据！
上下平行的图形或几何体
平行投影
仿射几何学（affine geometry）是几何学的一个分支。属于高等数学的一种。主要应用于测量，建筑，摄影等等。
若一个图形具有某种性质或者某个量，在平行射影下，如果不变，称这个性质为仿射不变性质，这个量称为仿射不变量。经过仿射对应它们也是不变的。同素性、结合性都是仿射不变性质（也就是说，仿射对应把共点的线变成共点的线，把共线的点变成共线的点）。平行四边形在仿射对应下的象还是平行四边形。
位似图形（中心投影）
把幻灯片上的图形放大到屏幕上，形成的新图形和原图形就是典型的位似图形。
位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。
同侧的位似（两者在位似中心的同一侧）
异侧的位似（位似中心在两图像之间）
性质
1.位似图形对应线段的比等于相似比。
2.位似图形的对应角都相等。
3.位似图形对应点连线的交点是位似中心。
4.位似图形面积的比等于相似比的平方。
5.位似图形高、周长的比都等于相似比。
6.位似图形对应边互相平行或在同一直线上。
在平面上由O点出发，作射线OK,交平面上的正方形ABCD与点K，取点K1使OK1=1.7OK,如此任意、无限操作，在新作射线上所取的点形成一个新图形，这个图形将与原图形——正方形ABCD相似。
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根据定义判定
1 2
平行
如果两个图形是位似图形，那么它们的对应线 段互相平行或共线。
比例
如果两个图形是位似图形，那么它们的对应角 相等，并且对应线段成比例。
3
合同
如果两个图形是位似图形，那么它们具有相同 的形状和大小，只是位置不同。
利用坐标判定
设两个点$P(x_1, y_1)$和$Q(x_2, y_2)$，它们之间的坐标距离为$d(P,Q)$，如果存在一个实数$k$，使得$d(P,Q)=k\cdot d(P',Q')$，则称这两个点之间的距离为位似距离。
加强位似图形的基础理论研究和探索，为未来的应用 创新提供更多理论支撑和实践指导。
THANKS
旋转变换
要点一
平面直角坐标系下
将一个图形绕原点旋转一定的角度。
要点二
矩阵表示
旋转变换矩阵为$[\begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ \end{matrix}\begin{matrix} sin\theta & cos\theta \\ \end{matrix}]$，其中$\theta$为旋转 的角度。
位似中心
在位似图形中，对应线段的交点称为位似中心。
位似图形的分类
简单位似
位似中心与任意两对应点连线的交点重合。
复杂位似
位似中心与任意两对应点连线的交点不重合。
位似图形的几何意义
相似图形的对应线 段长度成比例。
位似图形之间的距 离可以表示相似比 。
位似图形的对应角 相等或互补。
02
位似图形的应用
在相似三角形中的应用
判定相似三角形
利用位似图形，可以将两个三角形的对应角相等，对应边成 比例，判定为相似三角形。
25.7相似多边形及图形的位似(1)
符合国家标准的两面共青团团旗的形状 相同吗？大小呢？
新课导入
四阶魔方和三阶魔方形状相同吗？大小呢？
知识要点
完全相同 两个图形的形状 ________ ，但图形的大小 不一定相同，这样的图形叫做相似图形。 __________
相似图形的关系：
两个图形相似，其中一个图形可以看作由 另一个图形放大或缩小得到。
4.在中国地理地图册上，连结上海、香港、台湾三地 构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图 所示．飞机从台湾直飞上海的距离 上海 约为1286千米，那么飞机从台湾 绕道香港再到上海的飞行距离 约为 3858 _______千米． 3cm 5.4cm
香港
3.6cm
台湾
5.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个矩形相似,它们的对角线之比是1:3,那么它们 的相似比是 1:3 ,周长比是 1:3 ,面积比 是 1:9 .
10.如图，矩形ABCD中，E，F分别 在BC，AD上，矩形ABCD∽矩形ECDF， 且AB＝2，S矩形ABCD＝3S矩形ECDF。 试求S矩形ABCD。
A2
B2
D2 C2
C1 B1 想一想：四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是
多少？面积比是多少？
类比与探索:
连接相应的对角线A1C1，A2C2，所得的△A1B1C1与 △A2B2C2相似吗？△A1C1D1与A2C2D2呢？如果相似， 它们的相似比各是多少？为什么？ A1 D1 A2 B2 D2
8.两个相似多边形最长的的边分别为10cm和25cm， 它们的周长之差为60cm，则这两个多边形的周长分 A 40cm、100cm 别为______________. 9.如图，在△ABC中，DE∥BC，且 S△ADE：S四边形BCED＝1：2，BC＝ 2 6 求DE的长。
图形的位似
图形的位似知识点一：位似的定义与位似作图图中的多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么特征？总结：位似图形：1.定义:如果两个相似图形的每组对应点所在的直线，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做中心，这两个图形的相似比又叫它们的2.性质：（1）位似变换是相似变换的特例，所有位似图形一定是但相似图形不一定是（2）位似图形的对应点和位似中心在，它们到位似中心的距离之比等于，（3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；（4）对应边平行或在一条直线上知识点二：位似与坐标变换如图,在平面直角坐标系中,有两点O(0，0),A（3,0），B(2，3)以原点O为位似中心，相似比为2：1，把△OAB扩大，观察对应点之间的坐标变化，你有什么发现总结：1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形的每个顶点的横坐标、纵坐标都乘以同一个数K（），所对应图形与原图形，位似中心是它们的相似比是2.在平面直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，相似比为K，那么位似图形对应点的坐标的比是练习1:如图，△ABC在方格中（1）请在方格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为A（2,3），C（5,2）并求出B点的坐标（2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形练习2：如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)．(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：①若点A(2.5，3)，则A′的坐标为；②△ABC与△A′B′C′的相似比；(2)若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积．(用含m的代数式表示)练习3:如图，平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别为（3,0），（2，-3），△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为（-1,0）.（1）画出△AB′O′；（2）点B′的坐标为．练习4:如图，将△ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△A3B3C3．（1）△ABC与△A1B1C1的位似比等于；（2）在网格中画出△A1B1C1关于y轴的轴对称图形△A2B2C2；（3）请写出△A3B3C3是由△A2B2C2怎样平移得到的？（4）设点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为．提高练习:1.如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和F的坐标分别是（3,2），（-1，-1），则两个正方形的位似中心的坐标是2.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是3.如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是4.如图，△ABC的两个顶点BC均在第一象限，以点A（0,1）为位似中心，在y轴左方作△ABC的位似图形△AB’C’，△ABC与△AB’C’的位似比为1:2，若设点C的纵坐标是m，则其对应点C’的纵坐标是。
位似图形的性质
２７．４
位似图形
这两个图形有哪些特征呢？ 放幻灯片
1．两图形相似． 在幻灯机放映图 2．每组对应点所在直线都 幻灯机在 片的过程中，这 经过同一点． 哪儿呢？ 些图片有什么关 3. 对应边互相平行， 系呢？
D/
B/ C/
观察下图中的五个图，回答下列问题： 在各图中，位似图形的位似中心与这两个图形有 什么位置关系？ D C D/ O C/
A D A B A/
B/
O
B C
A/
D
C
O
D/
A A/
C/
B/ B
位置不一样，位似 中心就不一样.
D/
B/ C/
如图位似图形中，我们可以看到， A △OAB∽△O A′B′,则 OA OB AB ＝ ＝ . OA′ OB′ A′B′ B 从下图中同样可以看到 AF AP AE EP FP ＝ ＝ ＝ ＝ AD AC AB BC DC
D
B E
0 F C
2.练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形， 哪些不是.
（1）正方形ABCD与正 方形A′B′C′D′.
（2）等边三角形ABC O 与等边三角形 A′B′C′
（3）扇形ABC与扇形 A′B′C′，（B、A 、B′在 一条直线上，C、A 、C′在 一条直线上）
（4）△ABC与△ADE（①DE∥BC ②∠AED＝∠B）
2.位似图形的性质 位似图形的对应点和位似中心在同一条直 线上,它们到位似中心的距离之比等于相 似比.（位似比）
（５）△ABC与△A′B′C′
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针对位似图形的算法设计和优化，研究更加高效的算 法，提高位似图形的处理速度和精度。
结合人工智能和机器学习的技术，研究更加智能的位 似图形处理方法，以满足更加复杂的应用需求。
加强位似图形的基础理论研究和探索，为未来的应用 创新提供更多可能性。
求解多边形的面积
通过位似变换，可以将一个多边形映射到另一个多边形上， 利用已知面积求解未知面积。
在测量学中的应用
地图比例尺
利用位似图形可以模拟地图的缩小和放大，从而得到地图比例尺。
距离测量
通过位似图形可以建立实际距离和地图距离之间的比例关系，从而进行距离定义判定
在动画制作中的应用
角色动画制作
位似图形可以用于制作角色动画，通过对角色模型的控制点进行调整，达到 调整角色姿势和表情等效果。
图形动画制作
利用位似图形还可以实现图形的动画效果，如将一张图片通过位似变换实现 动画效果，或者将一组图片通过位似变换实现无缝衔接的动画效果。
06
位似图形的学习总结与展望
位似图形的学习总结
图形识别
利用位似图形的方法可以识别特定的图形或标志，这种方法可以在计算机视觉和 模式识别领域中应用。
在三维建模中的应用
三维模型构建
位似图形可以用于构建复杂的三维模型，如通过将已有的二 维图形通过拉伸、旋转和放缩等操作生成三维模型。
三维模型处理
在三维模型处理中，可以利用位似图形进行模型的优化和简 化，改变模型的表现形式，以及进行模型的修复和检测等操 作。
THANKS
在几何、建筑、设计等领域中，平移变换被广泛用于图形的排列和组合。
旋转变换
定义
旋转变换是指将图形绕着某个 点旋转一定的角度。
冀教版九年级数学上册相似多边形和图形的位似课件(1)
做一做：如图所示，已知△ABC及△ABC外的一点O.
1.请按如下步骤画出△A'B'C'.
(1)画射线OA，OB，OC.
(2)分别在OA，OB，OC上截取点A'，B'，C'，使
A
OA'=2OA，OB'=2OB，OC'=2OC.
(3)连接A'B'，A'C'，B'C'，得△A'B'C'.
似比为2:1.还有其他作图方法吗？
B'
A
C'
O
B
A'
C
探究新知
思考：上述作出的类似图形，在位置上有何特殊之处呢？
归纳总结
定义：上述图形不仅类似，而且经过每对对应顶点的直线相
交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），我们把
这样的类似图形称为位似图形。对应顶点所在直线的交点叫
位似中心。
这时的类似比也叫位似比。
B．点N
C．点O
D．点P
拓展应用
3.如图△ABC与△A′B′C′是位似图形，点A，B，A′，B′，O共线，
点O为位似中心．
(1)AC与A′C′平行吗？为什么？
(2)若AB＝2A′B′，OC′＝5，求CC′的长．
拓展应用
解：(1)AC∥A′C′.
理由如下：
∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，
C．旋转
D．位似
当堂训练
2.如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF.若
AD＝OA，则△ABC 与△DEF 的面积之比为(
25.7 相似多边形和图形的位似 - 第2课时课件(共25张PPT)
位似图形有哪些性质？
可以发现
对应顶点的直线都相交于位似中心.对应边互相平行或在同一条直线上.
例题示范
例1 如图，以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△ ,以下说法错误的是( )A.△ABC∽△ B.点C,O, 三点在同一直线上C.D.AB∥
创设情境
如图是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？连接图片上对应的点，你有什么发现？
探索新知
知识点1 位似图形的概念
一起探究
如图，已知△ABC及△ABC外的一点O.1.请你按如下步骤画出△A'B'C'.（1）画射线OA，OB，OC.（2）分别在OA，OB，OC上截取点A'，B'，C'，使OA'=2OA，OB'=2OB，OC'=2OC.（3）连接A'B'，A'C'，B'C'，得△A'B'C'.2.请你判断AB与A'B'、AC与A'C'、BC与B'C'的位置关系，并说明理由.3.△ABC与△A'B'C'相似吗？为什么？
例3 把四边形ABCD缩小到原来的1/2.
解：(1) 在四边形外任选一点 O (如图);(2) 分别在线段 OA,OB,OC,OD 上取点 A' ,B' , C' ,D' ,使得 ；(3) 顺次连接点 A' ,B' ,C' ,D' ，所得四边形 A' B' C' D' 就是所要求的图形．
C
归纳
位似(共16张PPT)
探索1:
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O 为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
y A′(2,1),B′(2,0)
A
A'
x
o
B'
B
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O 为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
原图的关键点 3、根据相似比，确定能代表所作的位似
图形的关键点 4、顺次连接上述各点，得到放大或缩小
的图形
4、如何把三角形ABC放大为原来的
2倍?
E
B
放大后对应点的坐标分别是多少，你有什么发现?
O C 如图表示△ABC把它缩小后得到的△COD,求它们的相似比
图形才叫做位似图形．三条件缺一不可．
F
A′(2,1),B′(2,0)
放大后对应点的坐标分别是多少，你有什么发现?
A′( 4 ,6 ), B′( 4 ,2 ), C′( 12 ,4 )
y
A'
A
C'
B'
C
o
B
x
还有其他办法吗? A′( 4 ,6 ), B′( 4 ,2 ), C′( 12 ,4 )
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为 A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相似比为 2,将△ABC放大.
复习回顾
1.什么叫位似图形?
如果两个相似图形的每组对应顶点所在的 直线都交于一点,对应边互相平行，那么这 样的两个图形叫做位似图形, 这个交点叫 做位似中心, 这时两个相似图形的相似 比又叫做它们的位似比.
冀教版数学九年级上册25.7《相似多边形和图形的位似》说课稿
冀教版数学九年级上册25.7《相似多边形和图形的位似》说课稿一. 教材分析冀教版数学九年级上册25.7《相似多边形和图形的位似》一节，是在学生已经掌握了相似多边形的性质和判定方法的基础上进行教学的。
这部分内容是整个初中数学中重要的知识点，也是中考的热点。
通过这部分的学习，使学生能够理解和掌握相似多边形的性质，以及如何应用位似变换来解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对相似多边形的性质和判定方法已经有了一定的了解。
但是，对于位似变换的理解和应用，部分学生可能会感到困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际问题来理解和掌握位似变换的性质和应用。
三. 说教学目标1.理解相似多边形的性质，掌握位似变换的性质和应用。
2.能够运用相似多边形的性质和位似变换来解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：相似多边形的性质，位似变换的性质和应用。
2.教学难点：位似变换的应用，如何解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过实际问题来理解和掌握位似变换的性质和应用。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示位似变换的实例，帮助学生直观地理解和掌握位似变换的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际问题，引导学生运用已知的相似多边形的性质来解决这些问题，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍位似变换的定义和性质，引导学生理解和掌握位似变换的性质。
3.实例讲解：通过具体的实例，讲解位似变换的应用，引导学生如何运用位似变换来解决实际问题。
4.练习巩固：布置一些练习题，让学生运用所学的位似变换的知识来解决实际问题，巩固所学的内容。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，加深学生对位似变换的理解和掌握。
七. 说板书设计板书设计主要包括位似变换的定义、性质和应用，以及相关的例题。
通过板书，帮助学生直观地理解和掌握位似变换的性质和应用。
九年级数学下册精品教案 位似图形的概念及画法(2个课时)
27.3 位似第1课时位似图形的概念及画法1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的相关知识；(重点)2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．(难点)一、情境导入生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的．观察图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？二、合作探究探究点：位似图形【类型一】判定是否是位似图形下列3个图形中是位似图形的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：根据位似图形的定义可知两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行(或共线)，所以位似图形是第一个和第三个．故选C.方法总结：判断两个图形是不是位似图形，首先要看它们是不是相似图形，再看它们对应顶点的连线是否交于一点．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】确定位似中心找出下列图形的位似中心．解析：(1)连接对应点AE、BF，并延长的交点就是位似中心；(2)连接对应点AN、BM，并延长的交点就是位似中心；(3)连接AA′，BB′，它们的交点就是位似中心．解：(1)连接对应点AE、BF，分别延长AE、BF，使AE、BF交于点O，点O就是位似中心；(2)连接对应点AN、BM，延长AN、BM，使AN、BM的延长线交于点O，点O就是位似中心；(3)连接AA′、BB′，AA′、BB′的交点就是位似中心O.方法总结：确定位似图形的位似中心时，要找准对应顶点，再经过每组对应顶点作直线，交点即为位似中心．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】画位似图形按要求画位似图形：(1)图①中，以O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍；(2)图②中，以O为位似中心，把△ABC缩小为原来的1 3.解析：(1)连接OA、OB、OC并延长使AD＝OA，BE＝BO，CF＝CO，顺次连接D、E、F就得出图形；(2)连接OA、OB、OC，作射线CP，在CP上取点M、N、Q使MN＝NQ＝CQ，连接OM，作NF∥OM交OC于F，再依次作EF∥BC，DE∥AB，连接DF，就可以求出结论．解：(1)如图①，画图步骤：①连接OA、OB、OC；②分别延长OA至D，OB至E，OC 至F，使AD＝OA，BE＝BO，CF＝CO；③顺次连接D、E、F，∴△DEF是所求作的三角形；(2)如图②，画图步骤：①连接OA、OB、OC，②作射线CP，在CP上取点M、N、Q 使MN＝NQ＝CQ，③连接OM，④作NF∥OM交OC于F，⑤再依次作EF∥BC交OB于E，DE∥AB交OA于D，⑥连接DF，∴△DEF是所求作的三角形．方法总结：画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型四】位似图形的实际应用在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏．如图，点P 为放映机的光源，△ABC 是胶片上面的画面，△A ′B ′C ′为银幕上看到的画面．若胶片上图片的规格是2.5cm ×2.5cm ，放映的银幕规格是2m ×2m ，光源P 与胶片的距离是20cm ，则银幕应距离光源P 多远时，放映的图象正好布满整个银幕？解析：由题中条件可知△A ′B ′C ′是△ABC 的位似图形，所以其对应边成比例，进而即可求解．解：图中△A ′B ′C ′是△ABC 的位似图形，设银幕距离光源P 为x m 时，放映的图象正好布满整个银幕，则位似比为x 0.2＝22.5×10－2，解得x ＝16.即银幕距离光源P 16m 时，放映的图象正好布满整个银幕．方法总结：在位似变换中，任意一对对应点到位似中心的距离之比等于对应边的比，面积比等于相似比的平方．【类型五】 利用位似的性质进行证明或计算如图，F 在BD 上，BC 、AD 相交于点E ，且AB ∥CD ∥EF ，(1)图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；(2)若AB ＝2，CD ＝3，求EF 的长．解析：(1)利用相似三角形的判定方法以及位似图形的性质得出答案；(2)利用比例的性质以及相似三角形的性质求出BE BC ＝EF DC ＝25，求出EF 即可． 解：(1)△DFE 与△DBA ，△BFE 与△BDC ，△AEB 与△DEC 都是位似图形．理由：∵AB ∥CD ∥EF ，∴△DFE ∽△DBA ，△BFE ∽△BDC ，△AEB ∽△DEC ，且对应边都交于一点，∴△DFE 与△DBA ，△BFE 与△BDC ，△AEB 与△DEC 都是位似图形；(2)∵△BFE ∽△BDC ，△AEB ∽△DEC ，AB ＝2，CD ＝3，∴AB DC ＝BE EC ＝23，∴BE BC ＝EF DC ＝25，解得EF ＝65. 方法总结：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．位似图形的对应线段的比等于相似比．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计位似图形的概念及画法1．位似图形的概念；2．位似图形的性质及画法．在教学过程中，为了便于学生理解位似图形的特征，应注意让学生通过动手操作、猜想、试验等方式获得感性认识，然后通过归纳总结上升到理性认识，将形象与抽象有机结合，形成对位似图形的认识．教师应把学习的主动权充分放给学生，在每一环节及时归纳总结，使学生学有所收获.第2课时 平面直角坐标系中的位似1．学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换；(重点)2．掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律．(难点)一、情境导入观察如图所示的坐标系．试着发现坐标系中几个图形间的联系，然后自己作出一个类似的图形．二、合作探究探究点一：平面直角坐标系中的位似 【类型一】 利用位似求点的坐标如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( )A ．(3，3)B ．(4，3)C ．(3，1)D ．(4，1)解析：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半，∴端点C 的坐标为(3，3)．故选A.方法总结：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k ，则原图形上的点(x ，y )经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx ，ky )或(－kx ，－ky )．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第3题【类型二】 在坐标系中画位似图形在13×13的网格图中，已知△ABC 和点M (1，2)．(1)以点M 为位似中心，位似比为2，画出△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′；(2)写出△A ′B ′C ′的各顶点坐标．解析：(1)利用位似图形的性质及位似比为2，可得出各对应点的位置；(2)利用所画图形得出对应点坐标即可．解：(1)如图所示，△A ′B ′C ′即为所求；(2)△A ′B ′C ′的各顶点坐标分别为A ′(3，6)，B ′(5，2)，C ′(11，4)．方法总结：画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题【类型三】 在坐标系中确定位似比△ABC 三个顶点A (3，6)、B (6，2)、C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1，2)，B ′(2，23)，C ′(23，－13)，则△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是________．解析：∵△ABC 三个顶点A (3，6)、B (6，2)、C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1，2)，B ′(2，23)，C ′(23，－13)，∴△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是1∶3.方法总结：以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二：位似在坐标系中的简单应用【类型一】 确定图形的面积如图，原点O 是△ABC 和△A ′B ′C ′的位似中心，点A (1，0)与点A ′(－2，0)是对应点，△ABC 的面积是32，则△A ′B ′C ′的面积是________．解析：∵点A (1，0)与点A ′(－2，0)是对应点，原点O 是位似中心，∴△ABC 和△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，∴△ABC 和△A ′B ′C ′的面积比是1∶4，又∵△ABC 的面积是32，∴△A ′B ′C ′的面积是6.方法总结：位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型二】 位似变换与平移、旋转、轴对称的综合如图，点A 的坐标为(3，4)，点O 的坐标为(0，0)，点B 的坐标为(4，0)．(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位后得△A 1O 1B 1，则点A 1的坐标为(________)，△A 1O 1B 1的面积为________；(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得△A 2O 2B 2，则点A 2的坐标为(________)；(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3O 3B 3，则点A 3的坐标为(________)；(4)以O 为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB 放大后得△A 4O 4B 4，若点B 4在x 轴的负半轴上，则点A 4的坐标为(________)，△A 4O 4B 4的面积为________．解析：(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位后得△A 1O 1B 1，则点A 1的坐标为(2，4)，△A 1O 1B 1的面积为12×4×4＝8；(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得△A 2O 2B 2，则点A 2的坐标为(－3，－4)；(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3O 3B 3，则点A 3的坐标为(3，－4)；(4)以O 为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB 放大后得△A 4O 4B 4，若点B 4在x 轴的负半轴上，则点A 4的坐标为(－6，－8)，△A 4O 4B 4的面积为12×8×8＝32.故答案为(1)2，4；8；(2)－3，－4；(3)3，－4；(4)－6，－8；32.方法总结：此题主要考查了图形的旋转以及平移和位似变换、三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．三、板书设计位似变换的坐标特征：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k ，则原图形上的点(x ，y )经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx ，ky )或(－kx ，－ky )．这节课主要是让学生感受在平面直角坐标系中的位似图形根据坐标的变化而变化，教学过程中要提高学生学习积极性、使心情愉悦、思维活跃，这样才能真正激发学生学习数学的兴趣，提高课堂学习效率.。
位似图形的概念及画法数学PPT课件
01
新课导入
图片引入
在日常生活中，经常遇到一些把图形放大或缩小，但是图形的形状不改变的情形。 观
察下面的图形，它们有哪些相似点？
02
知识讲解
★ 位似图形的概念
问题：下面两个多边形相似，将两个图形的顶点相连，观察发现连结的直线相交于点O.
有什么关系？
A
B
C
E
D
A'
E'
B'
C'
D'
O
02
知识讲解
归纳：
例2 如图所示，四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′位似，相似比1 ＝ 2，四边形A′ B′ C′D′和
四边形A″ B″ C″D″位似，相似比2 ＝ 1. 则四边形A″ B″ C″ D″和四边形ABCD 是位似图形吗？
如果是，请说明理由并求出相似比.
02
知识讲解
解：∵ 四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′位似，
① 两个图形相似.
位似图形的概念
及画法
性质
②对应点的连线相交于一点，对应边互相
平行或在同一直线上.
③任意一对对应点到位似中心的距离之比
等于相似比.
画法
作位似图形：关键是确定位似中心、相似
比和找关键点的对应点.
部编版九年级下册数学课件
第二章 位似
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第二章 位似
2.4.1 位似图形的
概念及画法
CONTENTS
01
学习目标
1.理解位似图形的概念，理解位似变化是特殊的相似变化。
2. 会画位似图形，能够根据位似比的大小把一个图形放大或缩小。
第二十五章第7节《位似图形》ppt参考课件ppt课件
议一议 观察下图中的五个图，回答下列问题：
（1）在各图中，位似图形的位似中心与这两个图形有 PPT模板：./moban/ PPT背景：./beijing/ PPT下载：./xiazai/ 资料下载：./ziliao/ 试卷下载：./shiti/ PPT论坛： 语文课件：./kejian/yuwen/ 英语课件：./kejian/yingyu/ 科学课件：./kejian/kexue/ 化学课件：./kejian/huaxue/ 地理课件：./kejian/dili/
在下列每个图形中，位似图形的对
应线段AB与A′B′是否平行？BC与
B′C′，CD与C′D′，AD与A′D′是否平
行？为什么？
不经过位似
中心的对应
线段平行.
A
如图,已知△ABC∽△DEF， 它们对应顶点的连线
AD,BE,CF相交于点O,这 D
两个三角形是不是位似三 角形?
B E
0
F
C
课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
∆ABC是位似图形吗？为什么？ B
C
解：（1） ∆ADE和 ∆ABC是位似图形.理由是：
因为DE∥BC，所以∠ADE和＝∠B， ∠AED ＝∠C.所以∆ADE∽ ∆ABC.
又因为 点A是∆ADE和 ∆ABC的公共点，点D 和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线 BD与CE交于点A，所以∆ADE和 ∆ABC是位似 图形.
什么位置关系？ 位置不一样，位似中心就不一样.
（2）在各图中，任取一对对应点，度量这两个点到位 似中心的距离.它们的比与位似比有什么关系？再换一对 对应点试一试. 相等.
位似图形的对应点和位似中心在 同一条直线上,它们到位似中心的 距离之比等于相似比.
25.7 相似多边形和图形的位似 - 第1课时课件(共19张PPT)
3.如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度x.
解：因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应角相等，由此可得α=∠C=83°， ∠A=∠E=118°.在四边形ABCD中，β=360°-(78°+83°+118°) = 81°.因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应边成比例，由此可得解得x=28.
6
45°
45°
135°
135°
问题3 对应边成比例的两个多边形是相似多边形吗？
对应边成比例的两个多边形，不一定相似
5
3
4.5
7.5
45°
60°
135°
135°
归纳总结
问题4 怎么样才能保证两个多边形相似呢？
对应角相等，对应边成比例.
一般地，如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做它们的相似比.
第 二十五章 图形的相似
25.7 相似多边形和图形的位似第1课时
学习目标
1.通过具体实例认识图形的相似，掌握识别相似图形的方法.2.掌握相似多边形的特征,会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似.3.运用相似多边形的性质进行相关计算.
重点
掌握相似多边形的定义及性质.
难点
运用相似多边形的性质进行相关计算.
例 如图，五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，求C1D1的长和∠A的度数.
例题解析
由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
知识点3 相似多边形的性质
1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？
北师大版九年级数学上册 图形的位似 第2课时 课件
C1
A2
-8 -6 -4
y
8
B1
6
4
B
C
2
O （O1）
-2（O2）
2 A 4 6A1 8 x
如图，平面在直角坐标系中，四 边形OABC的顶点坐标分别是O（0， 0），A（3，0），B（4，4），C （-2，3）. 画出四边形OABC以O为 位似中心的位似图形，使它与四边 形OABC的相似比是2:1.
y
B1
8
6
C1
4 C
2
A2
O （O1）
-8 -6 -4 -2 （O2） 2
-2
-4
-6
B2
-8
B
以原点O为位似中心，与四边
形OABC相似比为3:2的位似图形有
两个，它们关于原点成中心对称.
A 4 6 8 A1 x
原坐标 O(0，0) A(6，0) B(3，6) C(-3，3)
横纵坐
C2
3
标× 2
O1(0，0) A1 (9，0) B1(4.5，9) C1(-4.5,4.5)
的横、纵坐标都乘
1 2
Байду номын сангаас，得到四个点，以
这四个点为顶点的四边形与四边形OABC位似吗？如果
位似，指出位似中心和相似比.
探究新知
y
5 C
4 B
3 2 1 O 1 2 3 4 5A
在平面直角坐标系中，四边
形OABC的顶点坐标分别为O（0，
0），A（5，0） ，B（5，3），
C（2，4）. 将点O，A，B，C 的
（1）将点O，A，B的横、纵坐标都乘 2，得到三个 点O1，A1，B1，请你在坐标系中找到这三个点.