武汉2015备考---第23题专项讲练

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2015-2018武汉四调、中考23题几何综合题(word无答案)

23.在△ABC和△DEC中，∠A=∠EDC=45°，∠ACB=∠DCE=30°，点D在AC上，点B和点E在AC两侧，AB=5，DC2= AC5.（1）求CE的长；（2）如图2，点F和点E在AC同侧，∠FAD=∠FDA=15°；①求证：AB=DF+DE；②连接BE，直接写出△BEF的面积。

2015中考23.如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE=BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q，记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3。

（1）求证：EF+PQ=BC（2）若S1+S3=S2，求PEAE的值（3）若S3-S1=S2，直接写出PEAE的值.23. 如图在△ABC中，AC＞AB，AD是角平分线，AE是中线。

BF⊥AD于点G，交AE于点F，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H。

（1）求证：AH=BH；（2）若∠BAC=60°，求FGDG的值。

2016中考23.在△ABC中，P为边AB上一点。

（1）如图1，若∠ACP=∠B，求证：AC2=AP·AB；（2）若M为CP的中点，AC=2。

①如图2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的长；②如图3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60°，直接写出BP的长。

23.在正六边形ABCDEF中，N、M为边上的点，BM、AN相交于点P.（1）如图1，若点N在边BC上，点M在边DC上，BN=CM.求证：BP·BM=BN·BC；（2）如图2，若N为边DC的中点，M在边ED上，AM//BN，求MEDE的值；（3）如图3，若N、M分别为边BC、EF的中点，正六边形ABCDEF的边长为2，请直接写出AP的长.2017中考23.已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E。

（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证过：ED·EA=EC·EB；（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于F。

武汉市中考第23题

武汉市中考第23题二次函数应用题题目设置与应考策略一、分段函数（一）一涨再涨或一降再降1．（10四月）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件.（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（二）涨、降结合型2．（10五月）某商品的进价为每件40元，售价每件不低于50元且不高于80元．售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．如果每件商品的售价每降价1元，则每个月多卖1件．设每件商品的售价为x元（x 为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）当每件商品的售价高于60元时，定价为多少元使得每个月的利润恰为2250元？解：（1）当50≤x ≤60时，6400200)60100)(40(2-+-=-+-=x x x x y ；当60＜x ≤80时，88003002)1202100)(40(2-+-=+--=x x x x y ；∴ 64002002-+-x x （50≤x ≤60且x 为整数） y ＝880030022-+-x x （60＜x ≤80且x 为整数）（2）当50≤x ≤60时，3600)100(2+--=x y ；∵a ＝-1＜0，且x 的取值在对称轴的左侧，∴y 随x 的增大而增大，∴当x ＝60时，y 有最大值2000；当60＜x ≤80时，2450)75(22+--=x y ；∵a ＝-2＜0，∴当x ＝75时，y 有最大值2450．综上所述，每件商品的售价定为75元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．（3）当60<x ≤80时，2450)75(22+--=x y ．当y ＝2250元时，22502450)75(22=+--x ，解得：;85,6521==x x其中，x ＝85不符合题意，舍去．∴当每件商品的售价为65元时，每个月的利润恰为2250元．二、一次函数与二次函数结合型，（注意自变量的取值范围）3．（2010中考）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：（1）y=50-10x （0≤x ＜160）；（2）w=（180+x-20）y=（180+x-20）（50-10x ）=800034102++-x x ；（3）因为w=800034102++-x x ，所以当x=a b 2-，即x=170时，利润最大，此时订房数y=50-10x =33．此时的利润是5110元．添“枝”加“叶”型5．某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）当售价的范围是是多少时，使得每件商品的利润率不超过80%且每个月的利润不低于2250元？（1）y ＝［100－2（x －60）］（x ﹣40）＝—2x 2＋300x —8800；(60≤x ≤110且x 为正整数)………………………3分（2）y ＝—2(x —75)2+2450，当x ＝75时，y 有最大值为2450元………………6分（3）当y ＝2250时，—2(x —75)2＋2450＝2250，解得x 1＝65，x 2＝85∵a ＝—2＜0，开口向下，当y ≥2250时，65≤x ≤85∵每件商品的利润率不超过80%，则x-4040≤80%，则x ≤72 则65≤x ≤72.……………………………………………………………………10分三、与二次等式有关类型（2009中考）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？解：（1）2(21010)(5040)101102100y x x x x =-+-=-++（015x <≤且x 为整数）；（2）210( 5.5)2402.5y x =--+．100a =-< ，∴当 5.5x =时，y 有最大值2402.5．015x < ≤，且x 为整数，当5x =时，5055x +=，2400y =（元），当6x =时，5056x +=，2400y =（元） ∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．（3）当2200y =时，21011021002200x x -++=，解得：12110x x ==，． ∴当1x =时，5051x +=，当10x =时，5060x +=．∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．（2009四月调考）某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个。

九年级数学上册第二十三章旋转经典大题例题(带答案)

九年级数学上册第二十三章旋转经典大题例题单选题1、如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=4√2，DE=4，则BC的长是（）A．1B．√2C．2D．4答案：C分析：根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点，AC=4√2∴AD=DC=1AC=2√22∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵OA2=OD2+AD2∴(4−x)2=x2+(2√2)2，解得x=1∴BC=2OD=2x=2故选：C小提示：本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．2、如图，有①～⑤5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有（）A．②③④B．③④⑤C．②④⑤D．②③⑤答案：C分析：根据旋转变换及全等图形的定义对应边相等，对应角相等的图形是全等图形对个图进行一一分析判断即可解：②以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后，两个实线图形刚好重合，③中为平行四边形，而①中为梯形，所以不能和①中图形完全重合，④可上下反转成②的情况，然后旋转可和①中图形完全重合，⑤可旋转180°后可和①中图形完全重合，∴与①中由实线围成的图形全等的有②④⑤．故选择C．小提示：本题考查多边形全等的判定，掌握全等图形的定义，关键是会通过图形的旋转使它们全等．3、在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（）A．﹣4B．4C．12D．﹣12答案：D分析：首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得a+2+4=0,2−b=0，可得a，b的值，再代入求解即可得到答案．解：∵点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），∴a+2+4=0,2−b=0，解得：a=−6,b=2,∴ab=−12,故选D小提示：本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数．4、如图，△OAB中，∠AOB=60°，OA=4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（）A．（7，3√3）B．（7，5）C．（5√3，5）D．（5√3，3√3）答案：A分析：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．证明△AOC是等边三角形，解直角三角形求出DE，CE，可得结论．解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．∵B（6，0），∴OB=6，由旋转的性质可知AO=AC=4，OB=CD=6，∠ACD=∠AOB=60°，∵∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OC=OA=4，∠ACO=60°，∴∠DCE=60°，∴CE=1CD=3，DE=√CD2−CE2=3√3，2∴OE=OC+CE=4+3=7，∴D（7，3√3），故选：A．小提示：本题考查了旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质．5、如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种答案：C分析：根据轴对称图形的概念，找到对称轴即可得答案．解：如下图，∵图形是轴对称图形，对称轴是直线AB，∴把1、2、3三个正方形涂黑，与原来涂黑的小正方形组成的新图案仍然是轴对称图形，故选：C．小提示：本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是找到对称轴．6、连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（）A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等B．连接HD，则HD平分∠CHEC．整个图形不是中心对称图形D．△CEH是等边三角形答案：D分析：根据正八边形和圆的性质进行解答即可．解：A．∵根据正八边形的性质，四边形ABCH与四边形EFGH能够完全重合，即四边形ABCH与四边形EFGH 全等∴四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等，故选项正确，不符合题意；B．连接DH，如图1，∵正八边形是轴对称图形，直线HD是对称轴，∴HD平分∠CHE故选项正确，不符合题意；C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确，不符合题意；D．∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，CH＝EH，设正八边形的中心是O，连接EO、DH，如图2，∠DOE＝360°=45°8∵OE＝OH∠DOE＝22.5°∴∠OEH＝∠OHE＝12∴∠CHE＝2∠OHE＝45°∴∠HCE＝∠HEC＝1（180°－∠CHE）＝67.5°2∴△CEH不是等边三角形，故选项错误，符合题意．故选：D．小提示：本题考查了正多边形和圆，熟记正八边形与等腰三角形的性质是解题的关键．7、平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(−5,1)，将OA绕原点按逆时针方向旋转90°得OB，则点B 的坐标为（）A．(−5,1)B．(−1,−5)C．(−5,−1)D．(−1,5)答案：B分析：根据题意证得△AOC≌△OBD，可得结论．解：如图，根据题意得∶∠AOB=90°，∠ACO=∠BDO=90°，OA=OB，∴∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BOD=∠OAC，∴△AOC≌△OBD，∴BD=OC，OD=AC，∵点A的坐标为(−5,1)，∴BD=OC=1，OD=AC=5，∴B(−1,−5)．故选：B．小提示：本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，属于中考常考题型．8、如图，正方形OABC的边长为√2，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．(−√2,0)B．(−√2,0)C．(0,√2)D．(0,2)答案：D分析：连接OB，由正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，推出∠A1OB1=45°，得到△A1OB1为等腰直角三角形，点B1在y轴上，利用勾股定理求出O B1即可．解：连接OB，∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，∴∠AOA1=45°，∠AOB=45°，∴∠A1OB1=45°，∴△A1OB1为等腰直角三角形，点B1在y轴上，∵∠B1A1O=90°,A1B1=OA1=√2，∴OB1=√A1B12+OA12=√2+2=2，∴B1（0，2），故选：D．小提示：本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形的性质．关键是根据旋转角证明点B1在y轴上．9、在平面直角坐标系中，点(3,2)关于原点对称的点的坐标是（）A．(2,3)B．(−3,2)C．(−3,−2)D．(−2,−3)答案：C分析：根据坐标系中对称点与原点的关系判断即可．关于原点对称的一组坐标横纵坐标互为相反数,所以(3,2)关于原点对称的点是(-3,-2),故选C．小提示：本题考查原点对称的性质,关键在于牢记基础知识．10、已知两点M1(x1,y1),M2(x2,y2)，若x1+x2=0,y1+y2=0，则点M1与M2（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．以上均不对答案：C分析：首先利用等式求出x1=−x2,y1=−y2,然后可以根据横纵坐标的关系得出结果．∵x1+x2=0,y1+y2=0，∴x1=−x2,y1=−y2,∵两点M1(x1,y1),M2(x2,y2)，∴点M1与M2关于原点对称，故选：C．小提示：本题主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的点，属于基础题，利用等式找到点M1与M2横纵坐标的关系是解题关键．填空题11、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，AB=5，BC=9，则BD=______．答案：√106分析：连接BE，如图，根据旋转的性质得∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，再判断△BCE为等边三角形得到BE=BC=9，∠CBE=60°，从而有∠ABE=90°，然后利用勾股定理计算出AE即可．解：连接BE，如图，∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，∴∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，∴△BCE为等边三角形，∴BE=BC=9，∠CBE=60°，∵∠ABC=30°，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，AE=√52+92=√106．所以答案是：√106．小提示：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．12、以原点为中心，把M(3,4)逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为______．答案：(−4,3)分析：建立平面直角坐标系，根据旋转的性质得出N点坐标，由此即可得出答案．解：如图：由旋转的性质可得：M点横坐标等于N点纵坐标的值，M点纵坐标的值等于N点横坐标的绝对值，又∵M（3，4），∴N（-4，3），所以答案是：（-4，3）．小提示：此题考查有关点的坐标旋转的性质，结合坐标轴和旋转的特点确定坐标即可．13、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__________．答案：2分析：点F 运动所形成的图象是一条直线，当OF ⊥F 1F 2时，垂线段OF 最短，当点F 1在x 轴上时，由勾股定理得：P 1O =F 1O =4√33，进而得P 1A =P 1F 1=AF 1=8√33，求得点F 1的坐标为(4√33,0)，当点F 2在y 轴上时，求得点F 2的坐标为（0，-4），最后根据待定系数法，求得直线F 1F 2的解析式为y =√3x -4，再由线段中垂线性质得出F 1F 2=AF 1=8√33，在Rt △OF 1F 2中，设点O 到F 1F 2的距离为h ，则根据面积法得12×OF 1×OF 2=12×F 1F 2×ℎ，即12×4√33×4=12×8√33×ℎ，解得h =2，根据垂线段最短，即可得到线段OF 的最小值为2．解：∵将线段PA 绕点P 顺时针旋转60°得到线段PF ，∴∠APF =60°，PF =PA ，∴△APF 是等边三角形，∴AP =AF ，如图，当点F 1在x 轴上时，△P 1AF 1为等边三角形，则P 1A =P 1F 1=AF 1，∠AP 1F 1=60°，∵AO ⊥P 1F 1，∴P 1O =F 1O ，∠AOP 1=90°，∴∠P 1AO =30°，且AO =4，由勾股定理得：P 1O =F 1O =4√33， ∴P 1A =P 1F 1=AF 1=8√33， ∴点F 1的坐标为(4√33,0)，如图，当点F 2在y 轴上时，∵△P 2AF 2为等边三角形，AO ⊥P 2O ，∴AO =F 2O =4，∴点F 2的坐标为（0，-4），∵tan∠OF 1F 2=OF 2OF 1=4√33=√3，∴∠OF 1F 2=60°，∴点F 运动所形成的图象是一条直线，∴当OF ⊥F 1F 2时，线段OF 最短，设直线F 1F 2的解析式为y =kx +b ，则{4√33k +b =0b =−4，解得{k =√3b =−4， ∴直线F 1F 2的解析式为y =√3x -4，∵AO =F 2O =4，AO ⊥P 1F 1，∴F 1F 2=AF 1=8√33，在Rt △OF 1F 2中，OF ⊥F 1F 2，设点O 到F 1F 2的距离为h ，则12×OF 1×OF 2=12×F 1F 2×ℎ，∴12×4√33×4=12×8√33×ℎ，解得h =2，即线段OF的最小值为2，故答案为2．小提示：本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用．14、已知点P(m−2,m)关于原点对称的点在第三象限，则m的取值范围是_______．答案：m>2分析：根据关于原点对称的点的性质可得点P在第一象限，进而得出不等式组，再解不等式组即可．解：∵点P（m−2，m）关于原点对称的点在第三象限，∴点P（m−2，m）在第一象限，∴{m−2>0，m>0解得：m＞2，所以答案是：m＞2．小提示：此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解一元一次不等式组，关键是掌握各象限内点的坐标符号．15、如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△AB，则线段B1D的长度为______．A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，OD=12答案：1.5cm##3cm2分析：先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB＝5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出ODAB＝2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1＝OB＝4cm，则问题得解．＝12∵在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm，∴AB＝√OA2+OB2＝5cm，∴OD＝1AB＝2.5cm，2∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，∴OB1＝OB＝4cm，∴B1D＝OB1-OD＝1.5cm．所以答案是：1.5cm．小提示：本题主要考查勾股定理和直角三角形的性质以及图形旋转的性质，掌握勾股定理是解题的关键．解答题16、如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；（2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2．答案：（1）画图见解析，（2）画图见解析分析：（1）分别确定A,B向右平移4个单位后的对应点A1,B1，再连接A1B1即可；（2）分别确定A,B绕原点O旋转180°后的对应点A2,B2，再连接A2B2即可.解：（1）如图，线段A1B1即为所求作的线段，（2）如图，线段A2B2即为所求作的线段，小提示：本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，掌握平移的性质与中心对称的性质是解题的关键. 17、如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形．(1)写出△OAB各顶点的坐标；(2)以点O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，写出A′，B′的坐标．答案：(1)A（-2，0），B（-1，√3），C（0，0）(2)A′（−1,√3），B′（1,√3）分析：（1）作高线BC，根据等边三角形的性质和勾股定理求OC和BC的长，写出三点的坐标，注意象限的符号问题；（2）如图2，由旋转可知：A′与B重合，B与B′关于y轴对称，可得：A′，B′的坐标．（1）解：如图1，过B作BC⊥OA于C，∵△AOB是等边三角形，且OA=2，OA=1，∴OC=12由勾股定理得：BC=√22−12=√3，∴A(−2，0)，B(−1，√3)，O(0，0)；（2）解：如图2，∵∠AOB=60°，OA=OB，∴A′与B重合，∴A′(−1，√3)，由旋转得：∠BOB′=60°，OB=OB′，∵∠AOD=90°，∴∠BOD=30°，∴∠DOB′=30°，∴BB′⊥OD，DB=DB′，∴B′(1，√3)．小提示：本题考查了坐标与图形变换、等边三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转和等边三角形的性质是关键，并注意点所在象限的符号问题．18、如图，一伞状图形，已知∠AOB=120°，点P是∠AOB角平分线上一点，且OP=2，∠MPN=60°，PM与OB交于点F，PN与OA交于点E．(1)如图一，当PN与PO重合时，探索PE，PF的数量关系(2)如图二，将∠MPN在(1)的情形下绕点P逆时针旋转α度(0<α<60°)，继续探索PE，PF的数量关系，并求四边形OEPF的面积．答案：（1）PE＝PF，证明详见解析；（2）PE＝PF，√3分析：（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF是等边三角形，得到PE=PF；（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，根据角平分线的性质得到PQ=PH，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF，S四边形OEPF=S四边形OQPH，求得OQ=1，QP=√3，根据三角形的面积公式即可得到结论．解：（1）∵∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，∴∠POF＝60°，∵∠MPN＝60°，∴∠MPN＝∠FOP＝60°，∴ΔPEF是等边三角形，∴PE＝PF；（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，∵OP平分∠AOB，∴PQ＝PH，∠PQO＝∠PHO＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠QPH＝60°，∴∠QPE+∠FPH+∠EPH，∴∠QPE＝∠EPF，在ΔQPE与ΔHPF中{∠EQP=∠FHP ∠QPE=∠HPFPQ=PH，∴ΔQPE≌ΔHPF（AAS），∴PE＝PF，S四边形OEPF ＝S四边形OQPH，∵PQ⊥OA，PH⊥OB，OP平分∠AOB，∴∠QPO＝30°，∴OQ＝1，QP＝√22−12＝√3，∴SΔOPQ＝12×1×√3＝√32，∴四边形OEPF的面积＝2SΔOPQ＝√3小提示：本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．。

武汉市中考23题专题1

龙文教育个性化辅导教案讲义( )任教科目：数学授课题目：武汉市中考23题专题年级：九年级任课教师：胡国东授课对象：武汉龙文个性化教育常青二校区教研组组长签字：教学主任签名：日期：武汉龙文教育学科辅导讲义授课对象授课教师胡国东课型专题复习使用教具教学目标教学重点和难点参考教材武汉市历届中考及模拟题23题选教学流程及授课详案23．（2012武模2 本题10分）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x （套）与每套的售价1y （万元）之间满足关系式x y 21701-=，月产量x （套）与生产总成本2y （万元）存在如图所示的函数关系.（1）求出2y 与x 之间的函数关系式并直接写出x 的取值范围；（2）当月产量x （套）为多少时，利润为1900万元？（3）求出月利润的范围。

23．（2012武昌模 10分）一家化工原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安2装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低了原料成本，据测算，使用回收净化设备后的1月至x 月（1≤x ≤12）的利润的月平均值w （万元）满足w=10x+90，第二年的月利润稳定在第一年的第12月的水平。

（1）设使用回收净化设备后1月至x 月（1≤x ≤12）的利润和为y ，写出y 关于x 的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元？（2）当x 为何值时，使用回收净化设备后的1至x 月的利润和与不安装使用回收净化设备时x 个月的利润和相等？（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和。

23.（2012知行报14模本题满分10分）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时，宽20m ，水位上升3m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10m. (1)以拱桥的最高点为原点建立如图的坐标系，求抛物线的解析式；(2)若洪水到来时，水位以每小时51m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶．23.（2012知行报13模本题满分10分）足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图1中的抛物线是足球的飞行高度y (m)关于飞行时间x(s)的函数图象（不考虑空气的阻力），已知足球飞出1s 时，足球的飞行高度是2.44m ，足球从飞出到落地共用3s.(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)足球的飞行高度能否达到4.88米？请说明理由；(3)假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44m （如图2所示，足球的大小忽略不计）．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框12m 处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左边框？23.（2012 知行报11模本题满分10分）汉口江滩有一个大型的圆形底面的喷水池，水池正中央装有一根高1613米的水管，水管顶端装有一个喷水头，已知喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3米处达到最高高度为1649米，(1)请建立适当的平面直角坐标系，使水管顶端的坐标为（0，1613），水柱的最高点的坐标为（3，1649），求此坐标系中抛物线对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．(2)如图，在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装了喷水龙头，相邻轨道之间的宽度为l 米，最内轨道的半径为r 米，其上每1.2米的弧长上装有一个喷水龙头，其他轨道上的喷水龙头个数与最内轨道上的个数相同．(1)中水柱落地处刚好在最外轨道上，求当r 为多少时，水池中安装的喷水龙头的个数最多？23.（2012知行报12模本题满分10分）根据对武汉市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y（千元）与进货量x（吨）之间的函数y=kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y(千元与进货量x吨)之间的函数y=ax2+ bx的图象如图②所示．(1)分别求出y，、y：与x之间的函数关系式；(2)如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨，写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和w（干元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？23.（2012六校联考3模10分）春节前期,某超市出售某种进价为每千克110元的开心果.调查发现,若每千克以130元的价格出售,平均每天销售这种开心果30千克,销售价格每降低1元,平均每天可多销售20千克（售价不得低于115元/千克）.设每千克降低售价x元（x为正整数）,每天的销售利润为y元.⑴求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;⑵每千克开心果的售价定为多少元时,每天可获得最大利润？每天获得的最大利润是多少？⑶若每天销售这种开心果的利润不低于1 950元, 则销售价应在什么范围？23．（2011武2模本题10分）小明和几个要好的朋友决定成立汽车销售公司，加盟某品牌汽车销售，前期共投入400万元，另外又购进了一批每辆进价为20万元的这种品牌的汽车，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每季度只能售出30辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每季度能多售出5辆，但是生产汽车的厂家为了厂家的利益规定：每辆汽车售价不得低于26万元，不得高于29万元，如果设每辆汽车售价为x万元，平均每季度的销售量y辆．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）第一季度公司是亏损还是盈利？求出盈利最大或亏损最小时的汽车售价；（3）在（2）的前提下（即在第一季度盈利最大或亏损最小时）第二季度公司重新确定汽车的售价，能否使两个季度共盈利达310万元，若能，求出第二季度的汽车售价；若不能，请说明理由。

武汉中考数学23题专题-二次函数应用

武汉中考数学23题专题-二次函数应用1．（2014•武汉四月调考）某工厂生产一种矩形材料板，其长宽之比为3：2．每张材料板的成本c（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张材料板的销售价格y（单位：元）与其宽x之间满足我们学习过的三种函（2）若一张材料板的利润w为销售价格y与成本c的差．①请直接写出一张材料板的利润w与其宽x之间的函数关系，不要求写出自变量的取值范围；②当材料板的宽为多少时，一张材料板的利润最大？最大利润是多少．2．（2001•安徽）某工厂生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销量为100万件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投入的广告费是x（十万元），产品的年销量将是原销售量的（1）求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元的函数关系式）；（3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是多少？3．（2014•合肥模拟）某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．每台机器产生的次品数p（千件）与每台机器的日产量x（千件）（生产条件要求4≤x≤12）之间变千元．（利润=盈利﹣亏损）（1）观察并分析表中p与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识求出p（千件）与x（千件）的函数解析式；（2）设该工厂每天生产这种元件所获得的利润为y（千元），试将y表示x的函数；并求当每台机器的日产量x（千件）为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？4．（2013•乌鲁木齐）某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y （万个）与x（元/个）的函数解析式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？5．（2013•沙市区三模）某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，得到了系，你觉得哪个合适？并写出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（2）按照（1）中的销售规律，请你推断，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为多少？此时，获得日销售利润是多少？（3）为了防范风险，该公司将日进货成本控制在900元（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要想获得的日销售利润最大，那么销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．6．（2012•新区二模）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下2+bx，B与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）求出y B与x的函数关系式；（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y A与x之间的关系，并求出y A与x的函数关系式；（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？7．“哪里的民营经济发展得好，哪里的经济就越发达．”恒强科技公司在重庆市委市政府这一执政理念的鼓舞下，在已有高科技产品A产生利润的情况下，决定制定一个开发利用高科技产品B的10年发展规划，该规翘晦年的专项投资资金是50万元，在前五年，每年从专项资金中最多拿出25万元投入到产品A使它产生利润，剩下的资金全部A中x万元时产生的利润y1（万元）满足下表的关系A继续产生利润的同时产品B也产生利润，每年投入到产品B中x万元时产生的利润y2（万元）满足．（1）请观察题目中的表格，用所学过的一次函数、二次函数或反比例函数的相关知识，求出y1与x的函数关系式？（2）按照此发展规划，求前5年产品A产生的最大利润之和是多少万元？（3）后5年，专项资金全部投入到产品A、产品B使它们产生利润，求后5年产品A、产品B产生的最大利润之和是多少万元？8．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．而且物价部门规定这种产品的销售价不得/千克）的变化如下表：设这种产品每天的销售利润为y（元）．（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出w与x所满足的函数关系式，并求出y与x所满足的函数关系式；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？9．某商品每件成本60元，试销阶段每件商品的销售价x（元）与商品的日销售量y（件）之间的关系如下表，其（2）要使每日的销售利润最大，每件商品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少？（3）要使这种商品每日的销售利润不低于600元，且每件商品的利润率不得高于40%，那么该商品的销售价x应定为多少？请直接写出结果．y与x 的函数关系，并求出函数关系式．（2）当销售单价定为多少时，该厂试销该公益品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）（3）当地民政部门规定，若该厂销售此公益品单价不低于成本价且不超过46元/件时，该厂每销售一件此公益品，国家就补贴该厂a元利润（a＞4），公司通过销售记录发现，日销售利润随销售单价的增大而增大，求a的取值范围．11．（2011•南昌模拟）阅读下列文字2010年广州亚运会前夕某公司生产一种时令商品每件成本为20元，经市场发现该商品在未来40天内的日销售量为未来40天内，前20天每天的价格b（元/件）与时间t的关系为b=t+25（1≤t≤20），后20天每天价格为c（元/件）与时间t的关系式为c=﹣t+40（21≤t≤40）解得下列问题（1）分析表中的数据，用所学过的一次函数，二次函数，反比例函数知识确定一个满足这些数据的a与t的函数关系式；（2）请预测未来40天中哪一天日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中该公司决定销售一件就捐赠n元（n＜4）利润给亚运会组委会，通过销售记录发现前20天中，每天扣除捐赠后利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．12．2009年11月4日，上海市人民政府新闻办宣布上海迪斯尼项目报告已获国家有关部门核准．相应的周边城市效应也随即带动，某周边城市计划开通至上海的磁悬浮列车，列车走完全程包含启动加速、均匀运行、制动减速三200秒，在这段时间内的相关数据如表所示：（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中选择合适的函数来分别表示在加速阶段（0≤t≤200）速度v与时间t的函数关系，路程s与时间t的函数关系．（2）最新研究表明，此种列车的稳定运行速度可达180米/秒，为了检测稳定运行时各项指标，在列车达到这一速度后至少要运行100秒，才能收集全相关数据．若在加速过程中，路程、速度随时间的变化关系任然满足（1）中的函数关系式，并且制动减速所需路程与启动加速的路程相同，根据以上要求，至少要建多长的轨道才能满足实验检测要求？13．（2013•蕲春县模拟）今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，4月份y与x 的函数关系式；（2）进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y=﹣x2+bx+c，请求出5月份y与x的函数关系式；（3）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？14．（2014•宜兴市模拟）在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活逐渐成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，今年前5个月二氧化碳排放量y（吨）与月份x（月）之间的关系如下（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数关系能表示y和x的变化规律，请写出y 与x的函数关系式；（2）随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润p （万元）与月份x（月）的函数关系如图所示，那么今年哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元？（3）受国家政策的鼓励，该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%，要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求a的值（精确到个位）（参考数据：，，，）15．（2010•安庆一模）某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如图．未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（1≤t≤20，且t为整数），后20天每天的价格30元/件（21≤t≤40，且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．16．中央综治委在对全国各省市自治区2010年社会治安综合治理考评中，重庆市以93.48分居全国第一，成为全国最安全、最稳定的城市之一．市政府非常重视交巡警平台的建设，据统计，某行政区在去年前7个月内，交巡警2x（月）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；（2）2012年一月份，政府计划该区的交巡警平台数量比去年12份减少a%，在去年12月份的基础上每一个交巡警平台所需的资金量将增加0.1a%，某民营企业为表示对“平安重庆”的鼎力支持，决定在1月份对每个交巡警平台分别赞助30000元．若政府计划一月份用于交巡警平台的资金总额为126万元，请参考以下数据，估计a的整数值．（参考数据：872=7569，882=7744，892=7921）17．（2012•重庆模拟）樱桃含铁量位于各种水果之首，常食樱桃可促进血红蛋白再生，既可防治缺铁性贫血，又可增强体质，健脑益智．樱桃营养丰富，具有调中益气，健脾和胃，祛风湿，“令人好颜色，美志性”之功效，对食欲不振，消化不良，风湿身痛等症状均有益处，今年4月份，某樱桃种植基地种植的樱桃喜获丰收，4月1日至10（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出z与x之间满足的一次函数关系式；（2）若采摘樱桃的人员费用m（元）与销售量z（千克）之间的函数关系式为：m=0.1z+100．则4月份前10天，哪天销售樱桃的利润最大，求出这个最大利润；（3）在（1）问的基础上，4月11日至4月12日，该樱桃种植基地调整了销售价格，每天都比前一天增加a%（0＜a＜20），在此影响下，销售量每天都比前一天减少100千克，若这两天销售樱桃的利润为80330元，请你参考以下数据，通过计算估算出整数值．（参考数据：742=5476，74.52=5550.25，752=5625）（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的y（个）与x（元∕个）之间的关系式；（2）当销售单价定为多少时，该厂试销这种镜子每天获得的总利润最大？最大利润是多少？（总利润=每个镜子的利润×销售量）参考答案与试题解析一．解答题（共18小题）1．（2014•武汉四月调考）某工厂生产一种矩形材料板，其长宽之比为3：2．每张材料板的成本c（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张材料板的销售价格y（单位：元）与其宽x之间满足我们学习过的三种函（2）若一张材料板的利润w为销售价格y与成本c的差．①请直接写出一张材料板的利润w与其宽x之间的函数关系，不要求写出自变量的取值范围；②当材料板的宽为多少时，一张材料板的利润最大？最大利润是多少．x﹣（x=2．（2001•安徽）某工厂生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销量为100万件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投入的广告费是x（十万元），产品的年销量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表：（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元的函数关系式）；（3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是多少？由题意得：，3．（2014•合肥模拟）某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．每台机器产生的次品数p（千件）与每台机器的日产量x（千件）（生产条件要求4≤x≤12）之间变千元．（利润=盈利﹣亏损）（1）观察并分析表中p与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识求出p（千件）与x（千件）的函数解析式；（2）设该工厂每天生产这种元件所获得的利润为y（千元），试将y表示x的函数；并求当每台机器的日产量x（千件）为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？4．（2013•乌鲁木齐）某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y （万个）与x（元/个）的函数解析式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？x+8x+8x（[（万元时，即﹣（x+85．（2013•沙市区三模）某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，得到了系，你觉得哪个合适？并写出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（2）按照（1）中的销售规律，请你推断，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为多少？此时，获得日销售利润是多少？（3）为了防范风险，该公司将日进货成本控制在900元（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要想获得的日销售利润最大，那么销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．，=136．（2012•新区二模）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下2+bx，B与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）求出y B与x的函数关系式；（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y A与x之间的关系，并求出y A与x的函数关系式；（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？求解得：，，7．“哪里的民营经济发展得好，哪里的经济就越发达．”恒强科技公司在重庆市委市政府这一执政理念的鼓舞下，在已有高科技产品A产生利润的情况下，决定制定一个开发利用高科技产品B的10年发展规划，该规翘晦年的专项投资资金是50万元，在前五年，每年从专项资金中最多拿出25万元投入到产品A使它产生利润，剩下的资金全部A中x万元时产生的利润y1（万元）满足下表的关系A继续产生利润的同时产品B也产生利润，每年投入到产品B中x万元时产生的利润y2（万元）满足．（1）请观察题目中的表格，用所学过的一次函数、二次函数或反比例函数的相关知识，求出y1与x的函数关系式？（2）按照此发展规划，求前5年产品A产生的最大利润之和是多少万元？（3）后5年，专项资金全部投入到产品A、产品B使它们产生利润，求后5年产品A、产品B产生的最大利润之和是多少万元？x﹣+（a a﹣+8．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．而且物价部门规定这种产品的销售价不得/千克）的变化如下表：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出w与x所满足的函数关系式，并求出y与x所满足的函数关系式；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？．9．某商品每件成本60元，试销阶段每件商品的销售价x（元）与商品的日销售量y（件）之间的关系如下表，其（2）要使每日的销售利润最大，每件商品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少？（3）要使这种商品每日的销售利润不低于600元，且每件商品的利润率不得高于40%，那么该商品的销售价x应定为多少？请直接写出结果．，y与x 的函数关系，并求出函数关系式．（2）当销售单价定为多少时，该厂试销该公益品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）（3）当地民政部门规定，若该厂销售此公益品单价不低于成本价且不超过46元/件时，该厂每销售一件此公益品，国家就补贴该厂a元利润（a＞4），公司通过销售记录发现，日销售利润随销售单价的增大而增大，求a的取值范围．，a（aa11．（2011•南昌模拟）阅读下列文字2010年广州亚运会前夕某公司生产一种时令商品每件成本为20元，经市场发现该商品在未来40天内的日销售量为未来40天内，前20天每天的价格b（元/件）与时间t的关系为b=t+25（1≤t≤20），后20天每天价格为c（元/件）与时间t的关系式为c=﹣t+40（21≤t≤40）解得下列问题（1）分析表中的数据，用所学过的一次函数，二次函数，反比例函数知识确定一个满足这些数据的a与t的函数关系式；（2）请预测未来40天中哪一天日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中该公司决定销售一件就捐赠n元（n＜4）利润给亚运会组委会，通过销售记录发现前20天中，每天扣除捐赠后利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．）将t+5t﹣（﹣（t12．2009年11月4日，上海市人民政府新闻办宣布上海迪斯尼项目报告已获国家有关部门核准．相应的周边城市效应也随即带动，某周边城市计划开通至上海的磁悬浮列车，列车走完全程包含启动加速、均匀运行、制动减速三200秒，在这段时间内的相关数据如表所示：0≤t≤200）速度v与时间t的函数关系，路程s与时间t的函数关系．（2）最新研究表明，此种列车的稳定运行速度可达180米/秒，为了检测稳定运行时各项指标，在列车达到这一速度后至少要运行100秒，才能收集全相关数据．若在加速过程中，路程、速度随时间的变化关系任然满足（1）中的函数关系式，并且制动减速所需路程与启动加速的路程相同，根据以上要求，至少要建多长的轨道才能满足实验检测要求？t tk=v=ttv=，s=ts=tt13．（2013•蕲春县模拟）今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，4月份y与x 的函数关系式；（2）进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y=﹣x2+bx+c，请求出5月份y与x的函数关系式；（3）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？x，x2）﹣（（2x+3.1）﹣（﹣x+2x x+1.1，W=﹣14．（2014•宜兴市模拟）在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活逐渐成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，今年前5个月二氧化碳排放量y（吨）与月份x（月）之间的关系如下（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数关系能表示y和x的变化规律，请写出y 与x的函数关系式；（2）随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润p （万元）与月份x（月）的函数关系如图所示，那么今年哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元？（3）受国家政策的鼓励，该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%，要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求a的值（精确到个位）（参考数据：，，，）∴15．（2010•安庆一模）某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如图．未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（1≤t≤20，且t为整数），后20天每天的价格30元/件（21≤t≤40，且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．，，，（，只有当。

(湖北专用)高考数学二轮复习专题限时集训(二十三)第23讲几何证明选讲配套作业理(解析版).pdf

专题限时集训(二十三)[第23讲　几何证明选讲](时间：30分钟) 1．如图23－1，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D.若PA＝PE，∠ABC＝60，PD＝1，PB＝9，则EC＝________ 图23－1已知AB是圆O的直径，AB＝2，AC和AD是圆O的两条弦，AC＝，AD＝，则∠CAD的度数是________如图23－2所示，EB，EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A，D是⊙O上两点，如果E＝46，∠DCF＝32，则∠A的度数是________图23－2 图23－3如图23－3所示，AC和AB分别是圆O的切线，且OC＝3，AB＝4，延长AO到D点，则△ABD的面积是________ 5．如图23－4，点A，B，C是圆O上的点，且BC＝6，∠BAC＝120，则圆O的面积等于________图23－4 图23－5如图23－5，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是⊙O的切线，B＝30，AC＝2，则OD的长为________如图23－6，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E.已知⊙O的半径为3，PA＝2，则PC＝________，OE＝________图23－6 图23－7如图23－7，若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝4，PD＝3，则AD·DC＝________如图23－8，△ABC中，∠BAC＝90，AB＝，＝，且DE把△ABC周长分为相等的两部分，则DE＝________ 图23－8如图23－9，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________. 图23－9　图23－10如图23－10，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________如图23－11，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________ 图23－11专题限时集训(二十三)【基础演练】4　[解析] 由弦切角定理知∠PAC＝∠ABC＝60，又PA＝PE，所以△PAE为等边三角形，又PA＝PD×PB＝9，所以PA＝3，所以AE＝PE＝3，故BE＝PB－PE＝6，DE＝PE－PE＝2.由相交弦定理得AE·EC＝DE·BE，所以EC＝4.或15　[解析] 很容易求出∠CAB＝45，∠DAB＝30若C，D在AB两侧，则∠CAD的度数是75；若C，D在AB同CAD的度数是15　[解析] 分别连接OB，OC，AC，∵EB，EC是⊙O的两条切线，，OC⊥EF，＝46，∴∠BOC＝134，∴∠BAC＝67，∵∠DCF＝32，∴∠CAD＝32，＝67＋32＝99　[解析] 由题意知AO＝5，AD＝8，B到AD＝，所以△ABD的面积是＝【能力训练】　[解析] 由正弦定理得＝2R，所以2R＝＝4，R＝2，S＝＝12　[解析] 连接OA，则∠COA＝2∠CBA＝60，且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2.又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD，所以OD＝2OA＝4. [解析] PA＝2，OA＝3，则PB＝8，故由切割线定理得PC＝＝4，连接OC，由＝，得CE＝，在中，由勾股定理得OE＝　[解析] ∵PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，所以A，B，C在以P为圆心，PA为半径的圆上．延长BP交⊙P于E，则BD＝PB－PD＝1，DE＝PD＋PE＝7.由相交弦定理得AD·DC＝BD·DE＝7.　[解析]∵∠BAC＝90BC＝5 设AD＝x ，AE＝y ，则x＋y＝6.①，得＝，即＝，②由①②得x＝，y＝，DE＝＝()．　[解析] 因为PAO切线，所以∠PAB＝∠ACB，又∠APB＝∠BAC，所以△PAB∽△ACB，所以＝，所以AB＝PB·CB＝35，所以AB＝　[解析] ∵∠ACD＝90，AD＝12，AC＝4，＝＝＝8又ABE∽Rt△ADC，所以＝，即BE＝＝＝4　[解析] 连接EC，AB，OA，由A，E是半圆周上的两个三等分点可知＝30，且△ABO是正三角形，∵AD⊥BC，∴∠BAD＝30＝∠ABE，∴BF＝AF，BD＝1.在DF中，BF＝＝，∴AF＝高考学习网：高考学习网：。

七年级数学下培优训练辅导讲座第23讲一元一次不等式(组)的应用拔尖训练能力提升竞赛辅导试题含答案

第23讲一元一次不等式（组）的应用【培优训练】1．某次测验共20道选择题，答对一题记5分，答错一题记－2分，不答记0分．某同学得48分，那么他答对的题目最多是道．2．将一筐橘子分给若干个小朋友，如果每人分4个橘子．则剩下9个橘子；如果每人分6个橘子，则最后一个小朋友分得的橘子数将少于3个．由以上可推知共有个小朋友分个橘子．3．小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板．三人的体重一共为150千克．爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的那一端仍然着地，请你猜一猜小芳的体重应小于千克．4．（2013，黄冈中考）为了支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表：如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．5．（2013，临沂中考）为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金购买A、B 两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A、B丙种学习用品各多少件？（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？6．（2013，南京中考）某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商注：根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如．若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×（1－80%）＋30＝110（元）．（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？（2）如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？7．（2012，内江中考）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况（1）符合题意的搭配方案有几种？（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说朗选用哪种方案成本最低？最低成本为多少元？8．现计划把1240吨甲种货物和880吨乙种货物用一列货车运往某地，已知这列货车挂了A、B两种不同规格的货车车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元．（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出用A型车厢节数x表示总费用y的公式．（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？9．（2010，盐城中考）整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%.根据相关信息解决下列问题：（1）降价前，甲、乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%，对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲、乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元，请问购进时有哪几种搭配方案？10.双蓉眼装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元．（1）求A、B两种型号服装每件分别为多少元？（2）销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获利30元．根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装的数量的2倍还多4件，A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的利润不少于699元．问有几种进货方案？11.2013年某厂制定某种产品的年度生产计划，现有如下数据供参考：（1）生产此产品的现有工人为400人；（2）每名工人的年工时约计2200小时；（3）预测2014年的销售量在10万箱到17万箱之间；（4）每箱需用工时4小时，需用料10千克；（5）目前存料1000吨，2013年还需用料1400吨，到2014年年底可补充原料2000吨．试根据以上数据确定2014年可能生产的产量，并根据产量确定工人人数．【参考答案】1. 12. [提示：设他答对x 道题，答错y 道题，则524820x y x y -=⎧⎨+⎩≤，解得427x ≤1．∵x 为整数，故x 最大取12．]2. 7；37. [提示：设小朋友人数为x 人，由题意可得0≤（4x ＋9）－6（x －1）<3，解得6<x ≤7.5．又∵人数是正整数，∴x ＝7，橘子数为4x ＋9＝4×7＋9＝37．]3. 25．[提示：设小芳的体重为x 千克，爸爸的体重为y 千克，则妈妈的体重为2x 千克，依题意得21502x x y x x y ++=⎧⎨+<⎩，解得x <25．] 4．设租用甲种货车x 辆，则租用乙种货车（6－x ）辆，依题意得45x ＋30（6－x ）≥240，解得x ≥4．则租车方案有3种．方案一：租甲种货车4辆，乙种货车2辆，总费用为4×400＋2×300＝2200元；方案二：租甲种货车5辆，乙种货车1辆，总费用为5×400＋1×300＝2300元；方案三：租甲种货车6辆，乙种货车0辆，总费用为6×400＝2400元，∴最省钱的租车方案是租用甲种货车4辆，乙种货车2辆．5．（1）设购买A 型学习用品x 件，则购买B 型学习用品（1000－x ）件．依题意得20x ＋30（1000－x ）＝26000，解得x ＝400．∴1000－x ＝1000－400＝600（件）.∴购买A 型学习用品400件，B 型学习用品600件．（2）设购买B 型学习用品a 件，则购买A 型学习用品（1000－a ）件，依题意得20（1000－a ）＋30a ≤28000，解得a ≤800.∴最多购买B 型学习用品800件．6．（1）标价为1000元的商品按80%的价格出售．消费金额为800元，消费金额800元在700元~900元之间，返还金额为150元，∴顾客获得的优惠额是1000×（1－80%）＋150＝350（元）．（2）设标价为x 元，当80%x ≤500，即x ≤625时，顾客获得的优惠额不超过625×（1－80%）＋60＝185<226;当500<80%x ≤600，即625<x ≤750时，（1－80%）x ＋100≥226，解得x ≥630.∴630≤x ≤750;当600<80%x <800×80%，即750<x ≤800时，顾客获得优惠额大于750×（1－80%）＋130＝280>226. 综上所述，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为630元．7．（1）设搭配A ，B 两种园艺造型分别为x 个，y 个，依题意得6080504200(,40703090x y x y x y x y +=⎧⎪+⎨⎪+⎩≤为正整数)≤，解得20≤y ≤23．∴符合题意的搭配方案有4种．4039383720212223x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或（2）设A ，B 两种园艺造型分别有x 个，y 个时，成本为W 元，则W ＝1000x ＋1500y .①当x ＝40，y ＝20时，W ＝1000X 40＋1500×20＝70000元；②当x ＝39，y ＝21时，W ＝1000×39＋1500×21＝70500元；③当x ＝38，y ＝22时，W ＝1000×38＋1500×22＝71000元；④当x ＝37，y ＝23时，W ＝1000×37＋1500×23＋71500元，∴当A ，B 两种园艺造型分别为40个，20个时，成本最低，最低成本为70000元．8．（1）依题意得y ＝0.6x ＋0.8（40－x ）＝32－0.2x .（2）依题意得3525(40)12401535(40)880x x x x +-⎧⎨+-⎩≥≥，解得24≤x ≤26． ∴共有3种安排车厢的方案．方案一:A 型车厢24节，B 型车厢16节，方案二：A 型车厢25节，B 型车厢15节，方案三：A 型车厢26节，B 型车厢14节．9．（1）设甲种药品的出厂价格为每盒x 元，乙种药品的出厂价格为每盒y 元．依题意得 6.65 2.2633.8x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解之得 3.63x y =⎧⎨=⎩． 5×3.6－2.2＝18－2.2＝15.8（元），6×3＝18（元）.答：降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元和18元．（2）设购进甲种药品x 箱（x 为非负整数），购进乙种药品（100—x ）箱，依题意得()815%10510%1010090010040x x x ⨯⨯+⨯⨯--⎧⎪⎨⎪⎩≥≥，解之得157607x ≤≤．则x 可取：58，59，60，此时100－x 的值分别是：42，41，40.故有3种方案供选择；第一种方案：甲种药品购买58箱，乙种药品购买42箱；第二种方案：甲种药品购买59箱，乙种药品购买41箱；第三种方案：甲种药品购买60箱，乙种药品购买40箱．10．（1）设A ，B 型号服装每件分别为x 元，y 元，依题意得91018101281880x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得90100x y =⎧⎨=⎩．（2）设B 种型号服装进m 件，则A 种型号服装进（2m ＋4）件，依题意得18(24)306992428m m m ++⎧⎨+⎩≥≤，解得19122m ≤≤． ∵m 为正整数，∴m ＝10，11，12，2m ＋4＝24，26，28．∴共有3种进货方案，方案～：A 型服装进24件，B 型服装进10件；方案二：A 型服装进26件，B 型服装进11件；方案三：A 型服装进28件，B 型服装进12件．11.设2014年该厂计划年产量为x 箱，需用工人y 人，依题意得()4220040010100014002000100010100001710000x x x <⨯-+⨯⎧⎪⎨⎪⨯⨯⎩，≤≤≤，解得100000x ≤≤160000由2200≤160000×4得y ≤291；由2200≥100000×4得y ≥182；∴2014年可能生产的产量在10万箱到16万箱之间，工人人数不需要超过291人，但应不少于182人．。

【最高考】2015届高考数学二轮专题突破课堂讲义第23讲高考题中的应用题解法

第23讲高考题中的应用题解法江苏近几年高考数学试卷加大了对应用题的考查力度，新高考(08年开始)以来，每年除了在小题(填空)考查外，都还有一道大题，其中2008年、2010年、2011年、2012年都是放在试卷的第17题，2013年放在试卷的第18题，2009年放在试卷的第19题，考查的知识点都是B 级考点的综合应用，试题的难度属于中档题．所谓数学应用题就是利用数学知识解决一些非数学领域中的问题．由于数学的高度抽象性，这就决定了数学应用的广泛性，而应用题的非数学背景的多样性，也就导致了解应用题往往是要在陌生的背景中去理解、分析所给出的有关问题，舍去与数学无关的非本质因素，通过抽象转化为相应的数学问题．江苏高考数学试题中，对数学应用于解决实际问题的考查已经趋于成熟，它主要考查函数、方程、三角、解三角形、导数、数列、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力、空间想象能力、数学阅读能力和解决实际问题的能力．解数学应用题的一般思路实际上就是(1) 读：理解文字(图形)表达的意图，分清条件和结论；(2) 建：进行语言转化(文字语言及图形语言转化为数学语言)，利用数学知识建立相应的数学模型；(3) 解：求解数学模型，得到数学结论；(4) 答：把用数学方法所得到的结论还原为实际问题，要符合实际意义．高考数学应用题常见模型：(1) 函数应用模型：涉及最值问题；(2) 三角应用模型：涉及测量问题；(3) 不等式(组)应用模型：涉及优化问题；(4) 方程(组)及坐标系应用模型：涉及等量问题；(5) 数列应用模型：涉及年代及预测问题；(6) 立体几何模型：涉及空间图形问题；(7) 概率、统计模型：涉及数据计算、预估等问题．1. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为________.答案：232. 已知某生产厂家的年利润y(万元)与年产量x(万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．答案：93. 如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD ＝2x ，梯形面积为S ，则S 的最大值是________．答案：3227解析：建立坐标系，B 点坐标为(1，－1)，求出抛物线方程为x 2＝－y ，得D 点坐标(x ，－x 2)，等腰梯形的高为1－x 2，S ＝2x ＋22(1－x 2)，0＜x ＜1，求导可以得到x ＝13时S 取最大值3227. 4. 某人于2009年7月1日去银行存款a 元，存的是一年定期储蓄，2010年7月1日他将到期存款的本息一起取出，再加a 元后，还存一年的定期储蓄，此后每年7月1日他都按照同样的方法，在银行取款和存款．设银行一年定期储蓄利率r 不变，则到2014年7月1日，他将所有的存款和利息全部取出时，取出的钱数共有________元．答案：a （1＋r ）[（1＋r ）5－1]r题型一通过建立坐标系，得到函数模型来解应用题例1 如图所示的镀锌铁皮材料ABCD ，上沿DC 为圆弧，其圆心为A ，圆半径为2 m ，AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，且BC 长1 m ．现要用这块材料裁一个矩形PEAF(其中P 在圆弧DC 上，E 在线段AB 上，F 在线段AD 上)作圆柱的侧面，若以PE 为母线，问如何裁剪可使圆柱的体积最大？其最大值是多少？解：分别以AB 、AD 所在直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系xOy ，则圆弧DC 的方程为x 2＋y 2＝4(0≤x≤3，y ＞0)，设P(x ，y)(0＜x≤3)，圆柱半径为r ，体积为V ，则PE ＝4－x 2，2πr ＝AE ＝x ，则r ＝x2π，∴ V ＝πr 2l ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2π2·4－x 2＝14πx 24－x 2，即V 2＝116π2x 4(4－x 2)．设t ＝x 2∈(0，3]，则u ＝t 2(4－t)，u ′＝－3t 2＋8t ＝－3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －83，令u′＝0，得t ＝83.当83＜t≤3时，u ′＜0，u 是减函数；当0＜t ＜83时，u ′＞0，u 是增函数，∴ 当t ＝83时，u 有极大值，也是最大值，∴ 当x ＝23 6 m 时，V 有最大值439π m 3，此时y ＝4－x 2＝233 m.故裁一个矩形，两边长分别为23 6 m 和23 3 m ，能使圆柱的体积最大，其最大值为439π m 3.某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入的x 万元之间满足：① y 与(a －x)和x 2的乘积成正比；② x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2am 2m ＋1，其中m 是常数．若x ＝a 2时，y ＝a 3.(1) 求产品增加值y 关于x 的表达式；(2) 求产品增加值y 的最大值及相应的x 的值．解：(1) 设y ＝f(x)＝k(a －x)x 2，因为当x ＝a 2时，y ＝a 3，所以k ＝8，所以f(x)＝8(a －x)x 2，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2am 2m ＋1.(2) 因为f′(x)＝－24x 2＋16ax ，令f′(x)＝0，则x ＝0(舍)，x ＝2a 3.① 当2am 2m ＋1≥2a 3，即m≥1时，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3时，f ′(x)＞0，所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3上是增函数，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2am 2m ＋1时，f ′(x)＜0，所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2am 2m ＋1上是减函数，所以y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＝3227a 3；② 当2am 2m ＋1＜2a 3，即0＜m ＜1时，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2am 2m ＋1时，f ′(x)＞0，所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2am 2m ＋1上是增函数，所以y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2am 2m ＋1＝32m 2（2m ＋1）3a 3.综上，当m≥1时，投入2a 3万元，最大增加值3227a 3；当0＜m ＜1时，投入2am2m ＋1万元，最大增加值32m 2（2m ＋1）3a 3.题型二通过建立不等式模型来解应用题例2 某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30 km(忽略内、外环线长度差异)．(1) 当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 min ，求内环线列车的最小平均速度；(2) 新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 km/h ，外环线列车平均速度为30 km/h.现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1 min ，问：内、外环线应各投入几列列车运行？解：(1) 设内环线列车运行的平均速度为v km/h ，由题意可知309v×60≤10v ≥20.所以，要使内环线乘客最长候车时间为10 min ，列车的最小平均速度是20 km/h.(2) 设内环线投入x 列列车运行，则外环线投入(18－x)列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t 1、t 2 min ，则t 1＝3025x ×60＝72x ，t 2＝3030（18－x ）×60＝6018－x.于是有|t 1－t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪72x －6018－x ≤1⎩⎪⎨⎪⎧x 2－150x ＋1 296≤0x 2＋114x －1 296≤0150－17 3162≤x ≤－114＋18 1802. 又x∈N *，所以x ＝10，所以当内环线投入10列，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1 min.如图，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6.设S 的眼睛距地面的距离为 3 m.(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2 m 的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．解：(1) 作SC 垂直OB 于C ，则∠CSB＝30°，∠ASB ＝60°.又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3，即摄影者到立柱的水平距离为3 m. 由SC ＝3，∠CSO ＝30°，在Rt △SCO 中，可求得OC ＝ 3. 因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为2 3 m. (2) 连结SM 、SN ，设SN ＝a ，SM ＝b. 在△SON 和△SOM 中，（23）2＋1－b 22·23·1＝－（23）2＋1－a 22·23·1，得a 2＋b 2＝26.cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113＞12.又∠MSN∈(0，π), 则∠MSN＜π3.故摄影者可以将彩杆全部摄入画面．题型三通过建立三角模型来解应用题例3 在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 和灯柱AB 所在平面与道路垂直，且∠ABC＝120°，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD ＝60°，路宽AD ＝24 m ．设灯柱高AB ＝h(m)，∠ACB ＝θ(30°≤θ≤45°)．(1) 求灯柱的高h(用θ表示)；(2) 若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．解：(1) ∵ ∠ABC＝120°，∠ACB ＝θ， ∴ ∠BAC ＝60°－θ.∵ ∠BAD ＝90°，∴ ∠CAD ＝30°＋θ. ∵ ∠ACD ＝60°，∴ ∠ADC ＝90°－θ.在△ACD 中，∵ AD sin ∠ACD ＝ACsin ∠ADC，∴ AC ＝24cos θsin60°＝163cos θ.在△ABC 中，∵ AB sin ∠ACB ＝ACsinB，∴ AB ＝ACsin θsin120°＝16sin2θ，即h ＝16sin2θ.(2) 在△ABC 中，∵ BC sin ∠BAC ＝ACsinB，∴ BC ＝ACsin （60°－θ）sin120°＝32cos θsin(60°－θ)＝83＋83cos2θ－8sin2θ.则S ＝AB ＋BC ＝83＋83cos2θ＋8sin2θ ＝83＋16sin(2θ＋60°)．∵ 30°≤θ≤45°，∴ 120°≤2θ＋60°≤150°. ∴ 当θ＝45°时，S 取得最小值为(83＋8)m.如图所示，一吊灯的下圆环直径为4 m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2 m ，在圆环上设置三个等分点A 1、A 2、A 3.点C 为OB 上一点(不包含端点O 、B)，同时点C 与点A 1、A 2、A 3、B 均用细绳相连接，且细绳CA 1、CA 2、CA 3的长度相等．设细绳的总长为y.(1) 设∠CA 1O ＝θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；(2) 请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长．解：(1) 在Rt △COA 1中，CA 1＝2cos θ，CO ＝2tan θ，则y ＝3CA 1＋CB ＝3·2cos θ＋(2－2tanθ)＝2（3－sin θ）cos θ＋2⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π4.(2) y′＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos 2θ－（3－sin θ）（－sin θ）cos 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin θ－1cos 2θ.令y′＝0，则sin θ＝13.当sin θ>13时，y ′>0；当sin θ<13时，y ′<0.∵ y ＝sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴ 当角θ满足sin θ＝13时，y 最小，最小值为42＋2，此时BC ＝⎝⎛⎭⎪⎫2－22 m.题型四通过建立方程来解决应用问题例4 将52名志愿者分成A 、B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A 、B 两组同时开始种植．(1) 根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用25 h ，种植一捆沙棘树苗用12h ．应如何分配A 、B 两组的人数，使植树活动持续时间最短；(2) 在按(1)分配的人数种植1 h 后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25h ，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23h ，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间.解：(1) 设A 组人数为x ，且0<x<52，x ∈N *，则A 组活动所需时间f(x)＝150×25x ＝60x ；B 组活动所需时间g(x)＝200×1252－x ＝10052－x .令f(x)＝g(x)，即60x ＝10052－x ，解得x ＝392.所以两组同时开始的植树活动所需时间F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x，x ≤19，x ∈N *，10052－x ，x ≥20，x ∈N *，而F(19)＝6019，F(20)＝258，故F(19)>F(20)．所以当A 、B 两组人数分别为20、32时，植树活动持续时间最短．(2) A 组所需时间为1＋150×25－20×120－6＝367(h)，B 组所需时间为1＋200×23－32×132＋6＝323(h),所以植树活动所持续的时间为367h.为了迎接青奥会，南京在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB 是抛物线y 2＝2x 的一部分，灯柱CD 经过该抛物线的焦点F 且与路面垂直，其中C 在抛物线上，B 为抛物线的顶点，DH 表示道路路面，BF ∥DH ，A 为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A 处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5 m ，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．(1) 求灯罩轴线所在的直线方程； (2) 若路宽为10 m ，求灯柱的高．解：(1) 由题意知，BF ＝12，则x A ＝1.5＋12＝2，代入y 2＝2x 得y A ＝2，故A(2，2)．设点A 处的切线方程为y －2＝k(x －2)，代入抛物线方程y 2＝2x 消去x ，得ky 2－2y ＋4－4k ＝0.则Δ＝4－4k(4－4k)＝0，解得k ＝12.故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y －2＝－2(x －2)，即y ＝－2x ＋6.(2) 由于路宽为10，则当x ＝112时，y ＝－5，从而FD ＝5.又CF ＝1，则CD ＝6.答：灯柱的高为6 m.1. (2013·四川卷)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．答案：2解析：AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，λ＝2.2. (2013·湖南卷)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件、80件、60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝________．答案：13解析：n ＝3×120＋80＋6060＝13.3. 设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1、F 2，若曲线r 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线r 的离心率等于________．答案：12或32解析：∵ |PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k ，k>0，若圆锥曲线为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6k ，2c ＝|F 1F 2|＝3k ，则离心率e ＝2c 2a ＝3k 6k ＝12；当圆锥曲线为双曲线时，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝2k ，2c ＝|F 1F 2|＝3k ，离心率e ＝2c 2a ＝3k 2k ＝32.4. (2014·江苏卷)设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.答案：24解析：由题意，在抽测的60株树木中，底面周长小于100 cm 的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.5. (2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cosA ＝1213，cosC ＝35.(1) 求索道AB 的长；(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3) 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1) ∵ cosA ＝1213，cosC ＝35.∴ A 、C∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ sinA ＝513，sinC ＝45.∴ sinB ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝6365.根据AB sinC ＝AC sinB，得AB ＝ACsinBsinC ＝1 040 m ，所以索道AB 的长为1 040 m.(2) 设乙出发t min 后，甲、乙距离为d ，则d 2＝(130t)2＋(100＋50t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．∵ 0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，∴ 当t ＝3537时，即乙出发3537min 后，乙在缆车上与甲的距离最短．(3) 由正弦定理BC sinA ＝AC sinB ，得BC ＝AC sinB sinA ＝1 2606365×513＝500(m)，乙从B 出发时，甲已经走了50(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C.设乙的步行速度为v m/min ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪500v－71050≤3.∴ －3≤500v －71050≤3，∴ 1 25043≤v ≤62514.∴ 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(m/min)范围内． 6. (2014·上海卷)如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35 m ，CB 长80 m ，设A 、B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.(1) 设计中CD 是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD 的长至多为多少(结果精确到0.01 m)? (2) 施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD 的长(结果精确到0.01 m)．解：(1) 由题得，∵α≥2β，且0<2β≤α<π2，∴ tan α≥tan2β，即|CD|35≥|CD|401－|CD|26 400，解得|CD|≤202，∴ |CD|≈28.28 m.(2) 由题得，∠ADB ＝180°－38.12°－18.45°＝123.43°，∵ 35＋80sin123.43°＝|AD|sin18.45°，∴ |AD|≈43.61 m. ∵ |CD|2＝352＋|AD|2－2×35×|AD|×cos38.12°， ∴ |CD|≈26.93 m.(本题模拟高考评分标准，满分14分)第十八届省运会于2014年9月在徐州市举办．为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为10 m 的圆弧围成，两圆心O 1、O 2之间的距离为10 m.(1) 如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A 、B 、C 、D 均在圆弧上，O 1O 2⊥AB 于点M.设∠AO 2M ＝θ，求矩形的宽AB 为多少时，可使喷泉ABCD 的面积最大；(2) 如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2 m 的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中NA ＝NB ，NO 2＝4 m ．若∠AO 2M ＝θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，求喷泉面积的取值范围．解：(1) 在直角△AO 2M 中，AM ＝10sin θ，O 2M ＝10cos θ，则AD ＝20cos θ＋10，所以矩形ABCD 的面积S ＝20sin θ(20cos θ＋10)＝200(2sin θcos θ＋sin θ)，(4分)令f(θ)＝2sin θcos θ＋sin θ，0<θ≤π3，则f′(θ)＝2cos2θ＋cos θ＝4cos 2θ＋cos θ－2，令f′(θ)＝0，得cos θ＝33－18.设cos θ0＝33－18，且0<θ0≤π3，列表如下：θ (0，θ0) θ0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π3 f ′(θ) ＋ 0 －f(θ) Z 极大值 ] 所以当θ＝θ0，即AB ＝530＋2332时，矩形ABCD 的面积最大．(10分)(2) 由(1)易得，喷泉的面积S ＝20sin θ(10cos θ＋4)＝100sin2θ＋80sin θ，由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4知，2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，所以函数g(θ)＝100sin2θ＋80sin θ是单调增函数，所以S∈[503＋40，100＋402]．(13分)答：(1) 矩形的宽AB ＝530＋2332m 时，可使喷泉ABCD 的面积最大；(2) 喷泉的面积的取值范围是[503＋40，100＋402](m 2)．(14分)1. 某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如△ABC 的支架，要求∠ACB＝60°，BC 的长度大于1 m ，且AC 比AB 长0.5 m ．为节省材料，要求AC 的长度越短越好．(1) 设BC ＝x m ，AC ＝y m ，将y 写成关于x 的函数，并写出定义域；(2) 当BC 的长度为多少时，AC 最短，求出最短长度．解：(1) 由题设知BC ＝x m(x>1)，AC ＝y m ，则AB ＝y －12.在△ABC 中，由余弦定理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝y 2＋x 2－2xycos60°.所以y ＝x 2－14x －1，定义域为{x|x>1}．(2) (解法1)y ＝x 2－14x －1＝(x －1)＋34（x －1）＋2≥2＋3，当且仅当x －1＝34（x －1），即x ＝1＋32时，y 有最小值2＋ 3. (解法2)y′＝2x （x －1）－⎝⎛⎭⎪⎫x 2－14（x －1）2＝x 2－2x ＋14（x －1）2.由y′＝0，得x ＝1＋32.因为当1<x<1＋32时，y ′<0；当x>1＋32时，y ′>0，所以当x ＝1＋32时，y 有最小值2＋ 3. 故AC 的最短长度为(2＋3) m ，此时BC 的长度为⎝⎛⎭⎪⎫1＋32 m. 2. 某商店经销一种纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的税收．设每件产品的售价为x 元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与e x(e 为自然对数的底数)成反比例．已知当每件产品的售价为40元时，日销售量为10件．(1) 求该商店的日利润L(x)元与每件产品的售价x 的函数关系式； (2) 当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．解：(1) 设日销售量为k e x ，则k e 40＝10，∴ k ＝10e 40，则日销售量为10e 40ex 件，售价为x 元时，每件利润为(x －30－a)元，则日利润L(x)＝(x －30－a)10e 40e x ＝10e 40·x －30－a ex(35≤x ≤41)． (2) L′(x)＝10e 40·31＋a －x e2x. ① 当2≤a≤4时，33≤31＋a≤35，而35≤x≤41，∴ L ′(x)≤0，L(x)在[35，41]上是单调递减函数，则当x ＝35时，L(x)取得最大值为10(5－a)e 5.② 当4<a≤5时，35<31＋a≤36，令L′(x)＝0，得x ＝a ＋31.当x∈[35，a ＋31)时，L ′(x)>0，L(x)在[35，a ＋31)上是单调递增函数；当x∈(a＋31，41]时，L ′(x)<0，L(x)在(a＋31，41]上是单调递减函数．∴ 当x ＝a ＋31时，L(x)取得最大值为10e 9－a.综上，当2≤a≤4时，L(x)max ＝10(5－a)e 5；当4<a≤5时，L(x)max ＝10e 9－a.。

武汉市中考23题专题2

参考教材武汉市中考及模拟题23题选教学流程及授课详案23．某商品的进价为每件40元，售价每件不低于50元且不高于80元．售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．如果每件商品的售价每降价1元，则每个月多卖1件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．⑴求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；⑵每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？⑶当每件商品的售价高于60元时，定价为多少元使得每个月的利润恰为2250元？23．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED 所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？O售价x （元）销量y （件）150805018021023.我市高新技术开发区的某公司,用480万元购得某种产品的生产技术后,并进一步投入资金1520万元购买生产设备,进行该产品的生产加工.已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调查发现:该产品的销售单价,需定在200元到300元之间较为合理,销售单价x 元与年销售量y 万件之间的变化可近似的看作是如下表所反应的一次函数：(1)请求出y 与x 间的函数关系式;并直接写出自变量x 的取值范围；(2)请说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损?若赢利,最大利润是多少?若亏损,最少亏损多少? (3) )在(2)的前提下，即在第一年盈利最大或亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1790万元，若能，求出第二年的产品售价；若不能，请说明理由。

五年级下册数学试题培优专题讲练：第23讲.巧用列方程解题人教版

第23讲巧用列方程解列方程解应用题是小学数学学习中的一项重要内容。

其一般步骤：（1）弄清题意，找出未知数，并用χ表示；（2）找出应用题中数量之间的相等关系，列出方程；（3）解方程;(4)检验，写出答案。

一、冲刺名校·基础点睛例1、明明今年11岁，爷爷今年74岁。

问：再过多少年，爷爷的年龄是明明的4倍？分析与解：根据题意，再过若干年，明明的年龄乘以4就等于爷爷的年龄。

如果设再过χ年，那时明明是（11+χ）岁，爷爷是（74+χ）岁，根据上述关系就可以列出方程。

设再过χ年，爷爷的年龄是明明的4倍，得4（11＋χ）=74＋χ44＋4χ=74＋χ4χ－χ=74－44χ=10（年）答：再过10年，爷爷的年龄是明明的4倍。

做一做：明明今年8岁，妈妈今年32岁。

问：多少年前，妈妈的年龄是明明的7倍？例2、实验小学一个小组的少先队员参加工地搬砖劳动，如果每人搬3块，则还剩5块不能搬走；如果每人搬4块，则最后一个人就要少搬3块。

问：这批砖有多少块？解法1：设这批砖有χ块，则（χ－5）÷3=（χ＋3）＋4从而4（χ－5）= 3（χ＋3）χ=29（块）解法2：设少先队员的人数为y人，则3y＋5=4y－3y=8故这批砖有3×8＋5=29（块）答：这批砖有29块。

做一做：光明小学买回一批图书，如果每班发12本，则少16本；如果每班发10本，则剩下20本。

问：这个学校一共有多少个班？买回图书多少本?例3、东、西两地相距5400米，甲和乙从东地、丙从西地同时出发，相向而行，甲每分钟行55米，乙每分钟行60米，丙每分钟行70米。

问：多少分钟后，乙正好走到甲、丙两人之间的中点？分析如下图，设χ（分）后，甲行到A点，乙行到AC的中点B，丙行到C点。

AB是在χ（分）里乙比甲多走的路程，即（60－55）χ（米）；BC路程是（5400－60χ－70χ）米，可根据AB=BC 列出方程。

解设χ(分)后乙正好走到甲与丙两人之间的中点。

2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1-23 特殊平行四边形“将军饮马”(培优篇)

专题1.23 特殊平行四边形“将军饮马”专题（培优篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】菱形将军饮马问题1．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 方向平移，得到△EFG ，连接EC 、GC ．则EC +GC 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．2．如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，120ABC ∠=︒．点E ，F 是AC 上的动点，且14EF AC =，若2AD =，则DE BF +的最小值为（）A B C ．2 D ．23．如图，已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM +PN 的最小值是（）A ．5B ．10C ．6D ．84．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B 点）上任意一点，将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF ，当AG+BG+CG 取最小值时EF 的长（）A ．B ．C ．D ．【知识点二】矩形将军饮马问题5．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是（）A ．4B ．8C ．D ．6．如图，矩形ABCD 中，AB AD <，∠EFG 为等腰直角三角形，90G ∠=︒，点E 、F分别为AB 、BC 边上的点（不与端点重合），4EF AB ==．现给出以下结论：∠GEA GFB ∠=∠；∠点G 始终在ABC ∠的平分线上；∠点G 可能在ADC ∠ 的平分线上；∠点G 到边BC 的距离的最大值为）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．如图，在Rt∠ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =4．点F 为射线CB 上一动点，过点C 作CM ∠AF 于M ，交AB 于E ，D 是AB 的中点，则DM 长度的最小值是（）AB C ．1 D 28．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线BD 上的点，点M ，N 分别是AB ，AD 的中点，连接PM ，PN ．若2AB =，4BD =，则PM PN +的最小值为（）AB ．2C ．2D ．1【知识点三】正方形将军饮马问题9．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，以点C 为圆心，2为半径作圆，P 是C 上的任意一点，将点P 绕点D 按逆时针方向旋转90︒，得到点Q ，连接BQ ，则BQ 的最大值是（）A ．6B ．2C ．4D ．410．如图，正方形ABCD 边长为4，点E 是CD 边上一点，且75ABE ∠=︒．P 是对角线BD 上一动点，则12AP BP +的最小值为（）A ．4B ．CD 11．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接,DF CF ，则当DF CF +之和取最小值时，DCF 的周长为（）A ．3B ．3C ．3D ．312．如图，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，P ，Q 分别是BC ，AB 上的两个动点，1AE =，AEQ △沿EQ 翻折形成FEQ ，连接PF ，PD ，则+PF PD 的最小值是（）A．5B ．4C ．D ．二、填空题【知识点一】菱形将军饮马问题13．如在菱形ABCD 中，2BC =，120C ∠=︒，E 为AB 的中点，P 为对角线BD 上的任意一点，则PA PE +的最小值为__________．14．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，对角线AC 、BD 交于点O ，BD ＝4，点E 为OD 的中点，点F 为AB 上一点，且AF ＝3BF ，点P 为AC 上一动点，连接PE 、PF ，则PF ﹣PE 的最大值为 ___．15．在菱形ABCD 中，∠D =60°，CD =4，E 为菱形内部一点，且AE =2，连接CE ，点F 为CE 中点，连接BF ，取BF 中点G ，连接AG ，则AG 的最大值为_____．16．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，E 是边AB 的中点，F 是边AD 上的一个动点，将线段EF 绕着点E 顺时针旋转60°得到EG ，连接DG 、CG ，则DG +CG 的最小值为 _____．【知识点二】矩形将军饮马问题17．如图，在等腰Rt ABC 中，CA BA =，90CAB ∠=︒，点M 是AB 上一点，点P 为射线CA （除点C 外）上一个动点，直线PM 交射线CB 于点D ，若1AM =，3BM =，CPD ∆的面积的最小值为________．18AD，点P为边AB上一点，以DP．如图，四边形ABCD为矩形，AB为折痕将∠DAP翻折，点A的对应点为点A′，连接AA′，AA′交PD于点M，点Q为线段BC 上一点，连接AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝4，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为_______．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD=8，E是AB边的中点，F是线段BC的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB´F，连接B´D，则B′D的最小值是_____．【知识点三】正方形将军饮马问题21．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD 于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是______．22．如图，在矩形ABCD 中，线段EF 在AB 边上，以EF 为边在矩形ABCD 内部作正方形EFGH ，连接AH ，CG ．若10AB =，6AD =，4EF =，则AH CG +的最小值为______．23．如图，在∠ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝3，E ，F 为边AC ，BC 上的两个动点，且CF ＝AE ，连接BE ，AF ，则BE +AF 的最小值为_________．24．如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 上一点，以AE 为对称轴将∠ABE 对折得到∠AFE ，再将AD 与AF 重合折叠，折痕与BF 的延长线交于点H ，BH 与AE 交于点G ，连接DH ．（1）∠AHB 的度数为______；（2）若AB ＝2，则点H 到AB 的距离最大值为______．三、解答题25．问题情境：在数学课上，老师给出了这样一道题：如图1，在∠ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，求BC的长．探究发现：（1）如图2，勤奋小组经过思考后发现：把∠ABC绕点A顺时针旋转90°得到∠ADE，连接BD，BE，利用直角三角形的性质可求BC的长，其解法如下：==-．过点B作BH∠DE交DE的延长线于点H，则BC DE DH HE∠ABC绕点A顺时针旋转90°得到∠ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，∠……请你根据勤奋小组的思路，完成求解过程．拓展延伸：（2）如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把∠ABC绕点A顺时针旋转120°后得到∠ADE，连接BD，CE交于点F，交AB于点G，请你判断四边形ADFC的形状并证明；（3）奇异小组的同学把图3中的∠BGF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，连接AF，发现AF的长度不断变化，直接写出AF的最大值和最小值．26．如图，矩形ABCD中，CD=4，∠CAD=30°，一动点P从A点出发沿对角线AC方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时另一动点Q从C点出发沿CD方向以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到这终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），过点P作PE∠AD于点E连接EQ，PQ．(1)求证：PE=CQ；(2)四边形PEQC能成为菱形吗？如果能，求出相应的t值：如果不能，说明理由(3)当t为何值时，∠PQE为直角三角形？请说明理由；(4)若动点Q从C点出发沿CD方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，其它条件不变，当t=____时，PQ+EQ有最小值．27．(1)【探究·发现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．已知正方形ABCD的对角线AC长为a，则正方形ABCD的周长为______，面积为______（都用含a 的代数式表示）．(2)【拓展·综合】如图1，若点M 、N 是某个正方形的两个对角顶点，则称M 、N 互为“正方形关联点”，这个正方形被称为M 、N 的“关联正方形”．∠在平面直角坐标系xOy 中，点P 是原点O 的“正方形关联点”．若()3,2P ，则O 、P 的“关联正方形”的周长是______；若点P 在直线3y x =-+上，则O 、P 的“关联正方形”面积的最小值是______．28．∠如图2，已知点33,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点B 在直线3:64l y x =-+上，正方形APBQ 是A 、B的“关联正方形”，顶点P 、Q 到直线l 的距离分别记为a 和b ，求22a b +的最小值．参考答案1．B【分析】连接AE ，作点D 关于直线AE 的对称点H ，连接DE ，DH ，EH ，AH ，CH ．由平移和菱形的性质可证明四边形CDEG 为平行四边形，即得出HE CG =，从而可得出EC GC EC HE CH +=+≥，即CH 的长为EC GC +的最小值．最后根据等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质与勾股定理求出CH 的长即可．解：如图，连接AE ，作点D 关于直线AE 的对称点H ，连接DE ，DH ，EH ，AH ，CH ．由平移的性质可知AB EG =，AB EG ． ∠四边形ABCD 为菱形，∠AB CD =，AB CD ，1302ADB ABD ABC ∠=∠=∠=︒，∠CD EG =，∥EG CD ， ∠四边形CDEG 为平行四边形， ∠GC DE =．由轴对称的性质可知HE DE =，DAE HAE ∠=∠，AH AD =， ∠HE CG =，∠EC GC EC HE CH +=+≥，即CH 的长为EC GC +的最小值． ∠AB EG =，AB EG ， ∠四边形ABGE 为平行四边形， ∠AE BG ∥，∠30EAD ADB ∠=∠=︒， ∠260HAD EAD ∠=∠=︒， ∠ADH 为等边三角形，∠4DH AD CD ===，60ADH ∠=︒， ∠2120CDH ADH ∠=∠=︒，∠30HCD ∠=︒，即CDH △为顶角是120°，底角为30°的等腰三角形，结合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求224CH === 故选B ．【点拨】本题考查平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称变换，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，综合性强，为选择题中的压轴题．正确的作出辅助线是解题关键．2．D 【分析】如图，作出辅助线，当点G ，F ，B 共线时，DE BF +有最小值，利用题目中的条件，在Rt BDG ∆中，求出BD ，DG 的长度，即可求出BG 的长度，即为DE BF +的最小值．解：如图，过点//DG EF ，过点F 作FG DE ∥，DG 与FG 交于点G ，则四边形DEFG 是平行四边形， ∠DG EF =，DE FG =，当点G ，F ，B 共线时，DE BF +有最小值．连接BD ，由菱形的性质可知AC BD ⊥，()111803022OAD BAD ABC ∠=∠=︒-∠=︒，∠112OD AD ==，OA ==22BD OD ==，AC =14DG AC ==，又∠DG AC ∥，∠603090BDG BDC CDG BDC ACD ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒．当G，F，B共线时，BG故DE BF+2故选：D．【点拨】本题主要考查了动点几何问题中的最短线段问题，正确作出辅助线，得到点G，F，B共线时，DE BF+有最小值，并利用菱形的性质和勾股定理求解是解题的关键．3．A【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点，∠四边形ABCD是菱形，∠AC∠BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∠MQ∠BD，∠AC∠MQ，∠M为BC中点，∠Q为AB中点，∠N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∠BQ∠CD，BQ=CN，∠四边形BQNC是平行四边形，∠PQ∠AD，而点Q是AB的中点，故PQ 是∠ABD 的中位线，即点P 是BD 的中点，同理可得，PM 是∠ABC 的中位线，故点P 是AC 的中点，即点P 是菱形ABCD 对角线的交点， ∠四边形ABCD 是菱形，则∠BPC 为直角三角形， 113,422CP AC BP BD ====, 在Rt ∠BPC 中，由勾股定理得：BC =5，即NQ =5，∠MP +NP =QP +NP =QN =5，故选：A ．【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P 的位置．4．D 【分析】根据“两点之间线段最短”，当G 点位于BD 与CE 的交点处时，AG+BG+CG 的值最小，即等于EC 的长．解：如图，∠将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF ， ∠BE=AB=BC ，BF=BG ，EF=AG ， ∠∠BFG 是等边三角形． ∠BF=BG=FG ，．∠AG+BG+CG=FE+GF+CG ．根据“两点之间线段最短”，∠当G 点位于BD 与CE 的交点处时，AG+BG+CG 的值最小，即等于EC 的长，过E 点作EF∠BC 交CB 的延长线于F ， ∠∠EBF=180°-120°=60°，∠BC=4，∠BF=2，Rt △EFC 中， ∠EF 2+FC 2=EC 2，∠∠CBE=120°， ∠∠BEF=30°， ∠∠EBF=∠ABG=30°， ∠EF=BF=FG ，∠EF=13故选：D ．【点拨】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．5．C 【分析】取CD 中点H ，连接AH ，BH ，根据矩形的性质题意得出四边形AECH 是平行四边形，可知AC CE ∥，然后根据三角形中位线的性质得PH CE ∥，得出点P 在AH 上，然后判断BP 的最小值，再求出值即可.解：如图，取CD 中点H ，连接AH ，BH ，设AH 与DE 的交点为O ，∠四边形ABCD 是矩形，∠AB ＝CD ＝8，AD ＝BC ＝4，CD AB ∥， ∠点E 是AB 中点，点H 是CD 中点， ∠CH ＝AE ＝DH ＝BE ＝4， ∠四边形AECH 是平行四边形， ∠AH CE ∥，∠点P 是DF 的中点，点H 是CD 的中点，∠PH 是∠CDF 的中位线， ∠PH CE ∥， ∠点P 在AH 上，∠当BP ∠AH 时，此时点P 与H 重合，BP 有最小值， ∠AD ＝DH ＝CH ＝BC ＝4，∠∠DHA ＝∠DAH ＝∠CBH ＝∠CHB ＝45°，AH BH == ∠∠AHB ＝90°，∠BP 的最小值为故选：C ．【点拨】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，中位线的性质和定义等，确定点P 的位置是解题的关键．6．B 【分析】根据矩形的性质可知90B ∠=︒，又因为90G ∠=︒，由四边形内角和为360°可判定结论∠；过点G 作GM AB ⊥、GN BC ⊥，垂足分别为M 、N ，根据△EFG 为等腰直角三角形，90G ∠=︒，可求出GEM GFN ∠=∠，证明GEM GFN △≌△，推导出GM GN =，可判定结论∠；由AB AD <，并由结论∠可判定结论∠；由Rt GFN △中GN GF ≤，可知当点F 、N 重合时点G 到边BC 的距离的最大，从而可以判定结论∠．解：∠四边形ABCD 为矩形，∠90B ∠=︒，又∠90G ∠=︒，四边形内角和为360°， ∠180GEB GFB ∠+∠=︒， ∠180GEB GEA ∠+∠=︒， ∠GEA GFB ∠=∠， ∠故结论∠正确；如下图，过点G 作GM AB ⊥、GM BC ⊥，垂足分别为M 、N ，∠△EFG 为等腰直角三角形，90G ∠=︒， ∠GE GF =，∠45GEF GFE ∠=∠=︒， ∠90B ∠=︒，∠90BEF BFE ∠+∠=︒，即90BFE BEF ∠=︒-∠，∠18018045(90)45GFN GFE BFE BEF BEF ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒-∠=∠+︒，又∠45GEM GEF BEF BEF ∠=∠+∠=∠+︒， ∠GEM GFN ∠=∠，在GEM △和GFN 中，90GEM GFN GME GNF GE GF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∠()GEM GFN AAS △≌△， ∠GM GN =，∠点G 在ABC ∠的平分线上，故结论∠正确；∠AB AD <，并由结论∠可知，点G 到边AD 、DC 的距离不相等， ∠点G 不可能在ADC ∠ 的平分线上，故结论∠不正确；在Rt GFN △中，GN GF ≤, 当点F 、N 重合时GN 最大， ∠4EF AB ==，∠4GE GF === 即点G 到边BC的距离的最大值为∠正确．故选：B ．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定以及三角形内角和定理等知识，解题关键是对相关知识的掌握和运用．7．C【分析】如图，取AC的中点T，连接DT，MT．利用三角形的中位线定理求出DT，利用直角三角形的中线的性质求出MT，再根据DM≥MT-DT，可得结论．解：如图，取AC的中点T，连接DT，MT．∠AD=DB，AT=TC，BC=2，∠DT=12∠CE∠AF，∠∠AMC=90°，AC=3，∠TM=12∠点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，∠DM≥TM-DT=3-2=1，∠DM的最小值为1，故选：C．【点拨】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题．8．A【分析】作出如图的图形，根据轴对称的性质得到PM+PN的最小值为M1N的长，利用三角形中位线定理以及勾股定理即可求解．解：如图，以BD为对称轴作∠ABD的轴对称图形∠A1BD，取A1B的中点M1，则点M 和点M1关于直线BD对称，连接MN，MM1，M1N，AA1，AA1与BD交于点O，M1N与BD交于点P，此时PM +PN 最小，最小值为M 1N 的长，在矩形中ABCD 中，AB =2，BD =4，则∠ABD =60°，∠BAO =30°，∠BO =12AB =1，则AO∠AA 1∠点M ，N ，M 1分别是AB ，AD ，A 1B 的中点，∠MM 1和MN 分别是∠ABA 1和∠ABD 的中位线，且AA 1∠BD ，∠MM 1//AA 1， MN //BD ， MM 1=12AA 1MN =12BD =2，MM 1∠M 1N ，∠M 1N则PM +PN故选：A ．【点拨】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，根据轴对称的性质得到PM +PN 的最小值为M 1N 的长是解题的关键．9．A【分析】连接CP ，AQ ，以A 为圆心，以AQ 为半径画圆，延长BA 交A 于E ．根据正方形的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质求出AQ 的长度，根据三角形三边关系确定当点Q 与点E 重合时，BQ 取得最大值，最后根据线段的和差关系计算即可．解：如下图所示，连接CP ，AQ ，以A 为圆心，以AQ 为半径画圆，延长BA 交A 于E ．∠正方形ABCD 的边长为4，C 的半径为2，∠AD =CD =AB =4，∠ADC =90°，CP =2．∠点P 绕点D 按逆时针方向旋转90°得到点Q ，∠∠QDP =90°，QD =PD ．∠∠ADC =∠QDP ．∠∠ADC -∠QDC =∠QDP -∠QDC ，即∠ADQ =∠CDP ．∠()SAS ADQ CDP △≌△．∠AQ =CP =2．∠AE =AQ =2．∠P 是C 上任意一点，∠点Q 在A 上移动．∠BE AE AB AQ AB BQ =+=+≥．∠当点Q 与点E 重合时，BQ 取得最大值为BE ．∠BE =AE +AB =6．故选：A ．【点拨】本题考查正方形的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质，三角形三边关系，线段的和差关系，综合应用这些知识点是解题关键．10．D【分析】连接AC ，作PG BE ⊥，证明当12AP BP +取最小值时，A ，P ，G 三点共线，且AG BE ⊥，此时最小值为AG ，再利用勾股定理，30所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．解：连接AC ，作PG BE ⊥∠ABCD 是正方形且边长为4，∠45ABO ∠=︒，AC BD ⊥，AO =∠75ABE ∠=︒，∠30PBG ∠=︒， ∠12PG BP =， ∠当12AP BP +取最小值时，A ，P ，G 三点共线，且AG BE ⊥，此时最小值为AG ， ∠75ABE ∠=︒，AG BE ⊥，∠15BAG ∠=︒，∠45BAO ∠=︒，∠30PAO ∠=︒，设OP b =，则2AP b =，∠(()222=2b b +，解得：b 设PG a =，则2BP a =，∠BO =∠2a b +=a∠2AG AP PG b a =+=+=故选：D【点拨】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，30所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当12AP BP +取最小值时，A ，P ，G 三点共线，且AG BE ⊥，此时最小值为AG ．11．A【分析】连接 BF ，过点F 作FG ∠AB 交AB 延长线于点G ，通过证明△AED ∠∠GFE （AAS ），确定F 点在BF 的射线上运动；作点C 关于BF 的对称点C '，由三角形全等得到∠CBF =45°，从而确定C '点在AB 的延长线上；当D 、F 、C '三点共线时，DF +CF =DC '最小，在Rt △ADC '中，AD=3，AC'=6，求出DC解：连接BF，过点F作FG∠AB交AB延长线于点G，∠将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∠EF∠DE，且EF=DE，∠∠AED∠∠GFE（AAS），∠FG=AE，∠F点在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C'，∠EG=DA，FG=AE，∠AE=BG，∠BG=FG，∠∠FBG=45°，∠∠CBF=45°，∠BF是∠CBC′的角平分线，即F点在∠CBC′的角平分线上运动，∠C'点在AB的延长线上，当D、F、C'三点共线时，DF+CF=DC'最小，在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，∠DC∠DF+CF的最小值为∠此时DCF的周长为3．故选：A．【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径；能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．12．B【分析】作点D 关于BC 的对称点D ′，连接PD ′，ED ′，证得DP =PD ′，推出PD +PF =PD ′+PF ，又EF =EA =2是定值，即可推出当E 、F 、P 、D ′四点共线时，PF +PD ′定值最小，最小值=ED ′-EF即可得出结果．解：作点D 关于BC 的对称点D ，连接PD '，ED '，如图所示：矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，1AE =，3DE AD AE BC AE ∴=-=-=，'224DD DC AB ===，'5ED ∴=，在PCD 和'PCD 中，''90CD CD PCD PCD PC PC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，PCD ∴∠()PCD SAS '，DP PD '∴=，PD PF PD PF '∴+=+，1EF EA ==是定值，∴当E 、F 、P 、'D 四点共线时，'PF PD +定值最小，最小值514=-=，PF PD ∴+的最小值为4，故选：B【点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题．13【分析】连接AC ，CE ，则CE 的长即为AP +PE 的最小值，再根据菱形ABCD 中，120BCD ∠=︒得出∠ABC 的度数，进而判断出∠ABC 是等边三角形，故∠BCE 是直角三角形，根据勾股定理即可得出CE 的长．解：连接AC ，CE ，∠四边形ABCD 是菱形，∠A 、C 关于直线BD 对称，∠CE 的长即为AP +PE 的最小值，∠120BCD ∠=︒，∠60ABC ∠=︒，∠∠ABC 是等边三角形，∠E 是AB 的中点，∠CE AB ⊥，112122BE BC ==⨯=∠CE ==【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键．14．1【分析】取OB 中点E '，连接PE '，作射线FE '交AC 于点P '．则PE ＝PE '，当P 与P '重合，P '、E '、F 三点在同一直线上时，PF ﹣PE '有最大值，即为FE '的长．解：如图，取OB 中点E '，连接PE '，作射线FE '交AC 于点P '．则PE ＝PE '，∠PF﹣PE＝PF﹣PE'≤FE'，当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长，∠在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∠∠ABD＝60°，∠DAB＝60°，∠∠ABD为等边三角形．∠AB＝BD＝AD＝4．∠OD＝OB＝2．∠点E'为OB的中点，E'B＝1，AF＝3BF，∠BF1=AB＝1，4∠∠ABD＝60°，∠∠BE'F为等边三角形，∠E'F＝FB＝1．故PF﹣PE的最大值为1．故答案为：1．【点拨】本题考查了轴对称﹣最大值问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练运用轴对称的性质和三角形三边关系是解题的关键．15．12【分析】先根据题目条件中的中点可联想中位线的性质，构造中位线将OF和GH的长度先求出=+时最大．来，再利用三角形的三边关系判断，当AG AH HG解：如图所示：连接BD交AC于点O，连接FO，取OB的中点H，连接HG和AH，在菱形ABCD 中，O ∴为AC 中点， F 为CE 中点，112OF AE ∴==，当C 、F 、E 、A 共线时，OF 也为1， G 为BF 中点、H 为OB 中点，1122GH OF ∴==，在菱形ABCD 中且60D ∠=︒，113022ABO ABC ADC ∴∠=∠=∠=︒，90BOA ∠=︒， 122OA AB ∴==，，OB ∴=，OH ∴=AH ∴=AG AH HG +， 172AG ∴+，AG ∴的最大值为12故答案为：12【点拨】本题难点在于辅助线的添加，要根据菱形的性质和题目条件中的中点构造中位线，然后借助三角形的三边关系可判断出当A、H、G三点共线时AG最大．16【分析】取AD的中点N．连接EN，EC，GN，作EH∠CB交CB的延长线于H．根据菱形的性质，可得∠ADB是等边三角形，从而得到∠AEN是等边三角形，可证得∠AEF∠∠NEG，进而得到点G的运动轨迹是射线NG，继而得到GD+GC＝GE+GC≥EC，在Rt∠BEH和Rt∠ECH 中，由勾股定理，即可求解．解：如图，取AD的中点N．连接EN，EC，GN，作EH∠CB交CB的延长线于H．∠四边形ABCD是菱形∠AD＝AB，∠∠A＝60°，∠∠ADB是等边三角形，∠AD＝BD，∠AE＝ED，AN＝NB，∠AE＝AN，∠∠A＝60°，∠∠AEN是等边三角形，∠∠AEN＝∠FEG＝60°，∠∠AEF＝∠NEG，∠EA＝EN，EF＝EG，∠∠AEF∠∠NEG（SAS），∠∠ENG ＝∠A ＝60°，∠∠ANE ＝60°，∠∠GND ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠点G 的运动轨迹是射线NG ，∠D ，E 关于射线NG 对称，∠GD ＝GE ，∠GD +GC ＝GE +GC ≥EC ，在Rt ∠BEH 中，∠H ＝90°，BE ＝1，∠EBH ＝60°，∠BH ＝12BE ＝12，EH在Rt ∠ECH 中，EC∠GD +GC∠GD +GC【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．17．6【分析】设点M 是PD 的中点，过点M 作直线P D ''与射线CA 、CB 分别交于点,P D ''，得到当点M 是PD 的中点时，CPD △的面积最小，再根据直角三角形的性质及三角形的面积公式求解即可．解：设点M 是PD 的中点，过点M 作直线P D ''与射线CA 、CB 分别交于点,P D ''，则点M 不是P D ''的中点当MD MP ''>时，在MD '上截取ME MP '=，连接DEPMP DME '∠=∠()PMP DME SAS '∴≅=P CD PCD P CDE S S S '''∴>四边形当MD MP ''<时，同理可得P CD PCD S S ''>∴当点M 是PD 的中点时，CPD △的面积最小如图，作DH AB ⊥于H则DHM PAM ≌,90,AM MH DHM PAM AP DH ∴=∠=∠=︒=90BHD =∴∠︒1AM =，3BM =1AM MH ∴==2BH ∴=在等腰Rt ABC △中，314CA BA ==+=45B C ∴∠=︒=∠45B BDH ∴∠=∠=︒2BH DH AP ∴===426CP AC AP ∴=+=+=过点D 作DK PC ⊥交于K∴四边形AKDH 是矩形2DK AH AM HM ∴==+=1162622CDP S CP DK ∴=⋅=⨯⨯= 故答案为：6【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．18．【分析】作点A 关于BC 的对称点T ，取AD 的中点R ，连接BT ，QT ，RT ，RM ．根据直角三角形斜边上中线性质和勾股定理求出RM ，RT ，根据△RMT 三边关系求出MT 的最小值，再根据QA ＋QM ＝QM ＋QT ≥MT ，可得结论．解：如图，作点A 关于BC 的对称点T ，取AD 的中点R ，连接BT ，QT ，RT ，RM ．∠四边形ABCD 是矩形，∠∠RAT ＝90°，∠AR ＝DRAT ＝2AB ＝∠RT， ∠A ，A′关于DP 对称，∠AA′∠DP ，∠∠AMD ＝90°，∠AR ＝RD ，∠RM ＝12AD ， ∠MT ≥RT −RM ，∠MT∠MT的最小值为∠QA ＋QM ＝QT ＋QM ≥MT ，∠QA ＋Q M ，∠QA ＋QM 的最小值为．故答案为：【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT 的最小值．19．38【分析】根据题目要求，要使四边形AGCD 的面积最小，因为ACD ∆的面积固定，只需使AGC ∆的面积最小即可，即AGC ∆的高最小即可，又在Rt BEF ∆中，4EF =，则BG =2，AGC ∆高的最小值为点B 到AC 的距离减去BG 的长度，则可求解．解：依题意，在Rt BEF ∆中， G 为EF 的中点，4EF =，122BG EF ∴==， ∴点G 在以B 为圆心，2为半径的圆与长方形重合的弧上运动，168242ACD S ∆=⨯⨯=, ∴要使四边形AGCD 的面积最小，则B 所在直线垂直线段AC ，又10AC =，点B 到AC 的距离为68 4.810⨯=， ∴此时点G 到AC 的距离为4.82 2.8-=，故AGC ∆的最小面积为110 2.8142⨯⨯=， ∴142438AGCD ACG ACD S S S ∆∆=+=+=，故答案为：38．【点拨】本题考查了动点问题中四边形的最小面积问题，利用勾股定理，直角三角形中线的性质，三角形等积法求高等性质定理进行求解，对于相关性质定理的熟练运用是解题的关键．203【分析】如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时，B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E＝BE＝2，即可求出B′D．解：如图：由折叠可得：EB´＝EB，∠E是AB边的中点，AB＝6，∠AE＝EB=EB´＝3，∠点B´在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时，B′D的值最小，∠四边形ABCD矩形，∠∠A=90º，在Rt△ADE中，∠AD＝8，AE=3，∠DE＝==∠B´D3．3．【点拨】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、两点之间线段最短、圆的性质的综合运用.确定点B′在何位置时，B′D的值最小是解决问题的关键．21．2【分析】根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠DCF，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DCG=∠DAG，从而得到∠ABE=∠DAG，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH = 12 AB =2，利用勾股定理列式求出OD ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小．解：在正方形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠BAD =∠CDA ，∠ADG =∠CDG ，在△ABE 和△DCF 中，AB CD BAD CDA AE DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠ABE ∠∠DCF （SAS ），∠∠ABE =∠DCF ，在△ADG 和△CDG 中，AD CD ADG CDG DG DG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠ADG ∠∠CDG （SAS ），∠∠DCG =∠DAG ，∠∠ABE =∠DAG ，∠∠BAH +∠DAG =∠BAD =90°，∠∠ABE +∠BAH =90°，∠∠AHB =180°-90°=90°，如图，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则OH =AO = 12 AB =2，在Rt △AOD中，OD =根据三角形的三边关系，OH +DH >OD ，∠当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值=OD -OH=2．故答案为：2．【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．22．【分析】延长DA 到点O ，使AO =HE =4，连接OC ，可证得四边形AOEH 是平行四边形，OE =AH ，可得当点E 、点G 在OC 上时，OE CG +最小，即AH CG +最小，再根据勾股定理即可求得．解：如图：延长DA 到点O ，使AO =HE =4，连接OE 、EG ，HE AB ⊥，AO AB ⊥，HE AO ∴∥，又==4AO HE ，∴四边形AOEH 是平行四边形，=OE AH ∴，∴当点E 、点G 在OC 上时，OE CG +最小，即AH CG +最小，EG==64=10DO AD AO ++，OC ∴=OE CG OC EG ∴+-故AH CG +的最小值为故答案为：【点拨】本题考查了矩形及正方形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．23．【分析】如图，作点C 关于直线AB 的对称点D ，连接AD ，BD ，延长DA 到H ，使得AH AD =，连接EH ，BH ，DE ．想办法证明AF DE EH ==，BE AF +的最小值转化为EH EB +的最小值．解：如图，作点C 关于直线AB 的对称点D ，连接AD ，BD ，延长DA 到H ，使得AH AD =，连接EH ，BH ，DE ，如图所示：CA CB =，90C ∠=︒，45CAB CBA ∴∠=∠=︒， C ，D 关于AB 对称，DA DB ∴=，45DAB CAB ∠=∠=︒，45ABD ABC ∠=∠=︒， 90CAD CBD ADC C ∴∠=∠=∠=∠=︒， ∴四边形ACBD 是矩形， CA CB =，∴四边形ACBD 是正方形， CF AE =，CA DA =，90C EAD ∠=∠=︒， ΔΔ()ACF DAE SAS ∴≅， AF DE ∴=，AF BE ED EB ∴+=+， CA 垂直平分线段DH ，ED EH ∴=，AF BE EB EH ∴+=+，EB EH BH +，AF BE ∴+的最小值为线段BH 的长，BH =∴+的最小值为AF BE故答案为【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24．45°##45度11【分析】（1）根据折叠的性质：折叠前后的两个图形是全等图形，对称轴垂直平分对应点的连线；即可解答；（2）连接AC，BD，设AC与BD相交于点O，过点O作OM∠AB于点M，连接OH，HM；由HM≤OM+OH，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求得OH的长即可解答；解：（1）∠四边形ABCD是正方形，∠∠BAD=90°，由折叠得，AB=AF=AD，AE∠BH，∠BAE=∠F AE，∠F AH=∠DAH，∠∠BAE+∠F AE+∠F AH+∠DAH=∠BAD，∠∠F AE+∠F AE+∠F AH+∠F AH=90°，∠∠F AE＋F AH=45°，即∠GAH=45°，∠∠AGH=90°，∠∠AHB=90-∠GAH=90°-45°=45°，故答案为：45°；（2）如图2，连接AC，BD，设AC与BD相交于点O，过点O作OM∠AB于点M，连接OH，HM，∠HM≤OM+OH，∠当M，O，H三点在同一条直线上时，点H到AB的距离最大，∠四边形ABCD是正方形，且AB=2，∠AC=BD∠OM =1AD=1，2将AD与AF重合折叠，折痕与BF的延长线交于点H，∠∠AHD=∠AHF =45°，∠BHD =∠AHD+∠AHB=45°+45°=90°，BD∠O2∠OM+OH=1∠HM≤1H到AB的距离最大值为1故答案为：1【点拨】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．25．（1）过程见分析；BC；（2）四边形ADFC是菱形；证明见分析；（3）AF的最大值是12-（1）过点B作BH∠DE交DE的延长线于点H，先证明∠AEB是等边三角形，再证明∠HBE 是等腰直角三角形，并且求得∠BDH＝30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理即可求出EH的长和DH的长，进而求出DE的长，再由DE＝BC求得BC 的长；（2）四边形ADFC是菱形，先求出∠ACF＝∠AEF＝30°，∠ADF＝∠ABF＝30°，∠CAD ＝∠CAE＋∠DAE＝150°，则∠CFD＝360°−∠ACF−∠ADF−∠CAD＝150°，可证明FC∠AD，FD∠AC，则四边形ADFC是平行四边形，而AD＝AC，即可证明四边形ADFC是菱形；（3）作FK∠AB于点K，连接AF，先证明∠KAF＝∠KF A＝45°，则AK＝FK，由∠FBK，然后再由FK＝6，求出FK的＝30°得BF＝2FK，根据勾股定理求得BK长，即可求出BF的长，再根据两点之间线段最短求出AF的最大值和最小值即可．解：（1）如图2，过点B作BH∠DE交DE的延长线于点H，则BC＝DE＝DH-HE．∠∠ABC绕点A顺时针旋转90°得到∠ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，∠∠CAE＝∠BAD＝90°，∠DAE＝∠BAC＝30°，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，∠∠BAE＝∠CAE-∠BAC＝60°，AD＝AB＝AE＝6，。

二次函数的应用-武汉中考第23题专题

二次函数的应用1、物价局规定A产品的市场销售单价在15元到40元之间，某商店在销售A产品的过程中发现：销售A产品的成本c（单位：元）与销售件数y（单位：件）成正比例，同时每天的销售件数y与销售价格x（单位：元/件）之间满足我们学习过的三种函数关系（一次函数、.（1）直接写出y（2）若一天的销售利润w=xy-c；①直接写出每一天的利润w与x之间的函数关系式；②当销售价格x为多少时，w最大？最大值是多少？2、端午节即将到来，武汉各大超市相关商品开始热销.某超市将成本为20元/盒的“江花牌”（1）上表中x、y的各组对应值满足我们学习过的三种函数（即一次函数、反比例函数和二次函数）关系中的一种，试求y与x的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围；（2）当销售单价定为多少时，超市试销该皮咸蛋每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）市物价部门规定，此种规格的皮咸蛋销售单价最高不能．．超过45元/盒，那么销售单价定为多少时，超市试销该皮咸蛋每天获得的利润最大？3、我市高新技术开发区的某公司,用480万元购得某种产品的生产技术后,并进一步投入资金1520万元购买生产设备,进行该产品的生产加工.已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调查发现:该产品的销售单价,需定在200元到300元之间较为合理,销售单价x 元与年销售量y 万件之间的变化可近似的看作是如下表所反应的一次函数：(1)请求出y 与x 间的函数关系式；并直接写出自变量x 的取值范围；(2)请说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损?若赢利,最大利润是多少?若亏损,最少亏损多少?(3) 在(2)的前提下，即在第一年盈利最大或亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达800万元，若能，求出第二年的产品售价；若不能，请说明理由。

4、我市某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销.经过调查，得到如下数据：（1）该工艺品的销量y （件）与销售单价x （元）之间满足我们所学过的一次函数、反比例函数、二次函数中的一种，请你判断y 与x 之间满足的函数关系，并简单说明不满足其它函数的理由；（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为w ，当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能．．超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？。

人教版九年级数学上典中点第二十三章阶段强化专训一（含答案）

阶段强化专训一：平移与旋转在解题中的巧用名师点金：图形变换的实质是图形位置的全等变换，在这个变换过程中有对应线段相等、对应角相等等一些等量关系，利用这些等量关系可以解决线段、角、面积的计算等有关问题．平移平移技巧1 利用平移求面积利用平移求面积1．如图，在长为50 m ，宽为30 m 的长方形土地上，有纵横交错的几条小路，宽均为1m ，其他部分均种植花草．试求种植花草部分的面积是多少．，其他部分均种植花草．试求种植花草部分的面积是多少．(第1题)技巧2 利用平移求线段长利用平移求线段长2．如图，长方形ABCD 的对角线AC ＝10，BC ＝8，则图中五个小长方形的周长之和为多少？为多少？(第2题)技巧3 利用平移比较线段利用平移比较线段3．王老师在黑板上写出了一道题，如图(1)，线段AB ＝CD ，AB 与CD 相交于点O ，且∠AOC ＝60°，试比较AC ＋BD 与AB 的大小．小聪思考片刻就想出来了，他说将AB 平移到CE 的位置，连接BE ，DE ，如图(2)，就可以比较AC ＋BD 与AB 的大小了，你知道他是怎样比较的吗？是怎样比较的吗？(第3题)旋转旋转利用旋转求角度技巧1 利用旋转求角度4．如图，已知OAB是正三角形，OC⊥OB，OC＝OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合得到△OCD，则旋转的角度是( )A．150° B．120° C．90° D．60°(第4题)(第5题)5．如图所示，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE.若∠CAE＝65°，∠E ＝70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为( )A．60° B．75° C．85° D．90°6．(2015·德州)如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为( )A．35° B．40° C．50° D．65°(第6题)(第7题)7．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α90°))．若∠1＝110°，则α＝________．＜90°8．如图，在正方形ABCD内有一点P，P A＝1，PD＝2，PC＝3，求∠APD的度数．的度数．(第8题)利用旋转求线段长技巧2 利用旋转求线段长9．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转至△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上，已知AB＝4 cm，BB′＝1 cm，则A′B的长是________cm.(第9题)(第10题)10．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为________． 11．(2015·吉林)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm.将△ABC中，∠绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC，交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为________cm.(第11题)(第12题)12．(2015·福州)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝ 2.将△ABC绕点C 逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是________．利用旋转确定点的坐标技巧3 利用旋转确定点的坐标13．(2014·德阳)如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到△A1B1O，则点A1的坐标为( )A．(3，1) B．(3，－1)C．(1，－3) D．(2，－1)(第13题)(第14题)(第15题)14．将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点B的横坐标为2，则点A′的坐标为( )A．(1，1) B．(2，2)C ．(－1，1)D ．(－2，2)15．(2014·孝感)如图，正方形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴上，点D(5，3)在边AB 上，以点C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D′的坐标是( )A ．(2，10)B ．(－2，0)C ．(2，10)或(－2，0)D ．(10，2)或(－2，0)16．(2015·济宁)在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A(4，5)逆时针旋转90°，得到的点A′的坐标为________．17．(2015·衡阳)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(3，2)，B(3，5)，C(1，2)．(1)在平面直角坐标系中画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1.(2)把△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度，得到图中的△AB 2C 2，点C 2在AB 上．上． ①旋转角为多少度？①旋转角为多少度？ ②写出点B 2的坐标．的坐标．(第17题)技巧4 利用旋转求面积利用旋转求面积18．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2.将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n(n ＜90)度后得到△EDC ，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为( )A ．30，2B ．60，2C ．60，32 D ．60， 3(第18题)(第19题)19．如图，将边长为3的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30°后得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为________．20．如图，在Rt △ABC 中，四边形DECF 是正方形，是正方形， (1)请简述图①经过怎样的变换形成图②；请简述图①经过怎样的变换形成图②；(2)当AD ＝5，BD ＝6时，设△ADE ，△BDF 的面积分别为S 1，S 2，求S 1＋S 2.(第20题)阶段强化专训一阶段强化专训一1．解：利用平移的知识，将除去小路其余的部分通过平移组合成一个新的长方形，长方形的长为49 m ，宽为29 m ，所以面积为49×49×2929＝1 421(m 2)．答：种植花草部分的面积是1 421 m 2.2．解：利用平移的知识将五个小长方形的边通过平移组合成一个大的长方形，则此长方形与长方形ABCD 重合，∵AC ＝10，BC ＝8，∴AB ＝102－82＝6.∴长方形ABCD 的周长为(6＋8)×8)×22＝28. 答：图中的五个小长方形的周长之和是28. 3．解：由平移的性质知，AB 綊CE ， ∴四边形ABEC 是平行四边形．是平行四边形． ∴BE ＝AC ，∠DCE ＝∠AOC ＝60°60°.. ∵AB ＝CE ，AB ＝CD ，∴CE ＝CD ，∴△CED 是等边三角形，∴DE ＝CE ＝AB ，根据三角形的三边关系知BE ＋BD ＞DE ， ∴AC ＋BD ＞AB. 4．A 5.C 6.C7．20 点拨：本题由∠1的度数可以求出∠1的对顶角为110°，然后根据四边形的内角和为360°，可得∠BAD′＝360°－(90°＋90°＋110°110°))＝70°，所以α＝90°－70°＝20°，本题体现了由分散到集中的思想．现了由分散到集中的思想．(第8题)8．解：如图，将△PCD 绕点D 顺时针旋转90°至CD 与AD 重合，连接PQ ，则△PDQ是一个等腰直角三角形．是一个等腰直角三角形．∴QD ＝PD ＝2，QA ＝PC ＝3.在等腰直角三角形PDQ 中，PQ 2＝DP 2＋DQ 2＝8. 在△P AQ 中，中，P A 2＋PQ 2＝1＋8＝9＝AQ 2， ∴∠APQ ＝90°，∴∠APD ＝∠APQ ＋∠DPQ ＝90°＋45°＝135°135°.. 9．3 10. 311．42 点拨：∵∠ACB ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，∴由勾股定理可得AB ＝13.由图形的旋转可得BC ＝BD ＝12，∠CBD ＝60°，∴△BCD 是等边三角形．∴CD ＝BC ＝BD ＝12，∴△ACF 和△BDF 的周长之和为AC ＋CF ＋AF ＋BF ＋BD ＋DF ＝AC ＋AB ＋CD ＋BD ＝5＋13＋12＋12＝42.(第12题)12.3＋1 点拨：连接BN ，设CA 与BM 相交于点D ，由题意易得：△BCN 为等边三角形，∴BN ＝NC ＝NM ，∠BNM ＝60°＋90°＝150°150°..∴∠NBM ＝∠NMB ＝ 15°，∠CBM ＝60°－15°＝45°，∴∠CDB ＝90°90°..∴△CBD 为等腰直角三角形，△CDM 为含30°、60°角的直角三角形，再根据BC ＝2可求得BD ＝CD ＝1，DM ＝3，最终求得BM ＝DM ＋BD ＝3＋1.13．B 14.C 15.C16．(－5，4) 点拨：根据点的坐标旋转的性质：点(a ，b)在平面直角坐标系中，以原点为中心，逆时针旋转90°，得到的对应点的坐标为(－b ，a)，可得点A′的坐标为(－5，4)．(第17题)17．解：(1)如图所示．如图所示．(2)①90°；②B2(6，2)．点拨：(1)分别作出点A(3，2)，B(3，5)，C(1，2)关于x轴的对称点A1(3，－2)，B1(3，－5)，C1(1，－2)，顺次连接A1，B1，C1，则△A1B1C1即为所求．即为所求．(2)由图形可知AC旋转到AC2的位置，AB旋转到AB2的位置，∴旋转角为∠CAC2＝∠BAB2＝90°90°..∵A(3，2)，B(3，5)，∴AB＝3，此时点B2的坐标为(6，2)． 18．C 19.3－ 320．解：(1)将题图①中△ADE绕点D逆时针旋转90°得题图②.(2)设△ADE绕点D逆时针旋转90°得△GDF，则S1＋S2＝S△BDG.由旋转知，∠ADG＝90°，DG＝AD＝5，∴∠BDG＝90°，∴S△BDG＝12BD·BD·DGDG＝12×6×6×55＝15.∴S1＋S2＝15.。