【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修三《概率》章末质量评估(三)及答案解析
新北师大版高中数学必修三第三章《概率》测试题(含答案解析)(4)
一、选择题1．在OMN 中，1OM =，3ON =，2MN =，在OMN 内任取一点，该点到点M 的距离大于1的概率为（ ）A ．39π B ．31π-C ．3π D ．31π-2．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A ．521B ．1021C ．1121D ．13．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率（ ） A ．110B ．310C ．12D ．7104．2020年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的12名医护人员支援湖北省黄冈市，现将这12人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医院，则甲､乙不在同一组的概率为（ ） A ．511B ．611C ．12D ．235．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．236．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5AD =，3BD =，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形(阴影部分)的概率为（ ）A ．964B ．449C ．225D ．277．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数2sin8y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中阴影部分小圆的周长均为4π，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．136B ．118C ．116D ．188．某比赛为甲、乙两名运动员制订下列发球规则：规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，否则乙发球；规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球. 其中对甲、乙公平的规则是（ ） A ．规则一和规则二B ．规则一和规则三C ．规则二和规则三D ．规则二9．素数指整数在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。
新北师大版高中数学必修三第三章《概率》测试题(答案解析)(5)
一、选择题1．某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[]1,e 上的均匀随机数i x 和10个区间[]0,1上的均匀随机数()*,110i y i N i ∈≤≤，其数据如下表的前两行． x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y 0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是A ．()215e + B ．()215e - C ．()315e + D ．()315e - 2．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率（ ） A ．110B ．310C ．12D ．7103．如图所示，已知圆1C 和2C 的半径都为2，且1223C C =，若在圆1C 或2C 中任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A 33533π+B 33533π+C 331033π+D 331033π+4．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点组成的几何体是“鳖臑”的概率为（ ） A ．435B ．635C ．1235D ．18355．口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（ ） A ．910B ．710C ．310D ．1106．已知三个村庄,,A B C 所处的位置恰好位于三角形的三个顶点处，且6,8,10AB km BC km AC km ===.现在ABC ∆内任取一点M 建一大型的超市，则M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km 的概率为（ ） A ．3324+ B ．12πC ．21324- D ．1212π- 7．已知0.5log 5a =、3log 2b =、0.32c =、212d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从这四个数中任取一个数m ，使函数()32123x mx x f x =+++有极值点的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．34D ．18．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：x 4 6 8 10 12 y12356由表中数据求得y 关于x 的回归方程为ˆˆ0.65yx a =+落在回归直线下方的概率为（ ） A ．25B ．35C ．34D ．129．如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润＝收入﹣支出）都不高于40万的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4510．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( ) A ．710B ．35C ．12D ．2511．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A ．0.24B ．0.26C ．0.288D ．0.29212．圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（） A ．mm n+ B ．nm n+ C ．4mm n+ D ．4nm n+ 二、填空题13．一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD -内的概率为______．14．重庆一中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为25，15，10，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取5名同学，若从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为__________.15．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.16．设{}{}1,3,5,7,2,4,6a b ∈∈，则函数()log a bf x x =是增函数的概率为__________．17．如图，在半径为1的圆上随机地取两点,B E ，连成一条弦BE ，则弦长超过圆内接正BCD ∆边长的概率是__________．18．从甲、乙、丙、丁四人中选3人当代表，则甲被选上的概率为______．19．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________20．某公司的班车在8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是__________三、解答题21．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球､黄球､绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是59，得到黄球或绿球的概率是23，试求：（1）从中任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率各是多少？（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？22．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y bx a=+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？23．某生产企业研发了一种新产品，该新产品在某网店试销一个阶段后得到销售单价x和月销售量y之间的一组数据，如下表所示：（Ⅰ）根据统计数据，求出y关于x的回归直线方程，并预测月销售量不低于12万件时销售单价的最大值；（Ⅱ）生产企业与网店约定：若该新产品的月销售量不低于10万件，则生产企业奖励网店1万元；若月销售量不低于8万件且不足10万件，则生产企业奖励网店5000元；若月销售量低于8万件，则没有奖励.现用样本估计总体，从上述5个销售单价中任选2个销售单价，求抽到的产品含有月销量量不低于10万件的概率.参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-.参考数据：51392i ii x y==∑，521502.5i i x ==∑.24．安庆市某中学教研室从高二年级随机抽取了50名学生的十月份语文成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图.（1）若该校高二年级共有学生1000人，试估计十月份月考语文成绩不低于60分的人数； （2）为提高学生学习语文的兴趣，学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组，即从成绩[]90,100中选两位同学，共同帮助[)40,50中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲乙恰好被安排在同一小组的概率.25．某市工会组织了一次工人综合技能比赛，一共有1000名工人参加，他们的成绩都分布在[]52,100内，数据经过汇总整理得到如下的频率分布直方图，规定成绩在76分及76分以上的为优秀.（1）求图中t 的值；（2）估计这次比赛成绩的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；（3）某工厂车间有25名工人参加这次比赛，他们的成绩分布和整体的成绩分布情况完全一致，若从该车间参赛的且成绩为优秀的工人中任选两人，求这两人成绩均低于92分的概率.26．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有6个粽子，其中豆沙粽1个，肉粽2个，白粽3个，这三种粽子的外观完全相同．（Ⅰ）从中不放回的任取3个，记X 表示取到的肉粽个数，求X 的分布列和()E X ； （Ⅱ）从中有放回的任取3个，记Y 表示取到的肉棕个数，求(2)P Y ≥； （Ⅲ）比较()E X 与()E Y 的大小（只需写出结论）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【详解】 由题意可得ACB ABCD=10SnS ∆曲线矩形，n 为阴影部分的点的个数，即满足y<lnx,共6个点，即ACB ABCD6=101S S S e ∆=-曲线矩形，所以S=()315e -,选D.2．B解析：B 【分析】列出所有的基本事件，并找出事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率． 【详解】所有的基本事件有：()1,3,5、()1,3,7、()1,3,9、()1,5,7、()1,5,9、()1,7,9、()3,5,7、()3,5,9、()3,7,9、()5,7,9，共10个，其中，事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件有：()3,5,7、()3,7,9、()5,7,9，共3个，由古典概型的概率公式可知，事件“所取三条线段能构成一个三角形”的概率为310， 故选：B ． 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，解题的关键就是列举基本事件，常见的列举方法有：枚举法和树状图法，列举时应遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于中等题．3．D解析：D 【分析】设两圆交于点,A B ，连接11,AC BC ,12,AB C C ，设12,AB C C 交于点D ，由已知的数据可得1AC B △为等边三角形，从而可求出阴影部分的面积，进而求出总面积，即可求出概率. 【详解】设两圆交于点,A B ，连接11,AC BC ,12,AB C C ，设12,AB C C 交于点D ， 则112132C D C C ==,190ADC ∠=︒， 所以1113cos C D AC D AC ∠==，所以130AC D ∠=︒，则160AC B ∠=︒, 所以1AC B △为等边三角形， 所以604342(4)233603S ππ⨯=-⨯=-阴， 图形的总面积42024(23)2333S πππ=⨯--=+总， 所以求概率为4232333201033233ππππ--=++，故选：D【点睛】此题考查几何概型概率的求法，关键是求阴影部分的面积，属于中档题.4．C解析：C 【分析】本题是一个等可能事件的概率，从正方体中任选四个顶点的选法是48C ，四个面都是直角三角形的三棱锥有4×6个，根据古典概型的概率公式进行求解即可求得． 【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，从长方体中任选四个顶点的选法是4870C =，以A 为顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥有：111111111111,,,,,A A D C A A B C A BB C A BCC A DCC DD C A ------共6个．同理以1111,,,,,,B C D A B C D 为顶点的也各有6个， 但是，所有列举的三棱锥均出现2次，∴四个面都是直角三角形的三棱锥有186242⨯⨯=个， ∴所求的概率是24127035= 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了古典概型问题，解题关键是掌握将问题转化为从正方体中任选四个顶点问题，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】根据题意,求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数,然后利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】由题意可知,从5个大小相同的小球中,一次性任意取出3个小球包含的总的基本事件数为n =35C 10=,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球包含的基本事件数为122123239m C C C C =+=,由古典概型的概率计算公式得,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球的概率为910m P n ==. 故选:A 【点睛】本题考查利用组合数公式和古典概型的概率计算公式求随机事件的概率；正确求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.6．D解析：D 【分析】采用数形结合，计算ABC S ∆，以及“M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km ”这部分区域的面积S ，然后结合几何概型，可得结果. 【详解】由题可知：222AB BC AC += 所以该三角形为直角三角形分别以,,A B C 作为圆心，作半径为2的圆 如图所以则 “M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km ” 该部分即上图阴影部分，记该部分面积为S11682422ABC S AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯=又三角形内角和为π，所以2122422ABC S S ππ∆=-⨯=- 设M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km 的概率为P所以242122412ABCS P S ππ∆--=== 故选：D 【点睛】本题考查面积型几何概型问题，重点在于计算面积，难点在于计算阴影部分面积，考验理解能力，属基础题.7．B解析：B 【分析】求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出m 的范围，通过判断a ，b ，c ，d 的范围，得到满足条件的概率值即可． 【详解】f ′（x ）＝x 2+2mx +1， 若函数f （x ）有极值点， 则f ′（x ）有2个不相等的实数根， 故△＝4m 2﹣4＞0，解得：m ＞1或m ＜﹣1，而a ＝log 0.55＜﹣2，0＜b ＝log 32＜1、c ＝20.3＞1，0＜d ＝（12）2＜1， 满足条件的有2个，分别是a ，c ， 故满足条件的概率p 2142==， 故选：B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质，是一道中档题．8．A解析：A 【分析】求出样本点的中心，求出ˆa的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，求出概率即可．【详解】8x =， 3.4y =，故3.40.658ˆa=⨯+，解得： 1.8a =-， 则0.65.8ˆ1yx =-， 故5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个， 故所求概率是25p =， 故选：A ． 【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．9．B解析：B 【分析】从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数2615n C ==，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）低于40万的有6月，9月，10月，由此即可得到所求． 【详解】如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据， 从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数2615n C ==，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）不高于40万的有6月，8月，9月，10月，∴这2个月的利润（利润=收入-支出）都不高于40万包含的基本事件个数246m C ==， ∴这2个月的利润（利润=收入-支出）都低于40万的概率为62155m P n ===， 故选：B 【点睛】本题主要考查了古典概型，考查了运算求解能力，属于中档题．10．B解析：B 【分析】先由题意写出成等比数列的10个数，然后找出小于8的项的个数，代入古典概率的计算公式即可求解 【详解】解：由题意()13n n a -=-成等比数列的10个数为：1，3-，2(3)-，39(3)(3)-⋯-其中小于8的项有：1，3-，3(3)-，5(3)-，7(3)-，9(3)-共6个数 这10个数中随机抽取一个数， 则它小于8的概率是63105P ==． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题11．C解析：C 【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率. 【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6， 所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故选C. 【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.12．C解析：C把每一个所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆221x y +=内，进一步得到211411+m m nπ⨯=⨯，则答案可求。
新北师大版高中数学必修三第三章《概率》测试卷(含答案解析)(3)
一、选择题1．已知ABCD 为正方形，其内切圆I 与各边分别切于,,,E F G H ,连接,,,EF FG GH HE ,现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子（豆子大小忽略不计），记事件A:豆子落在圆I 内；事件B:豆子落在四边形EFGH 外，则()P B A =( )A ．14π-B ．4π C ．21π-D ．2π2．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（ ）.A ．14B ．15C ．25D ．353．袋中有白球2个，红球3个，从中任取两个，则互斥且不对立的两个事件是（ ） A ．至少有一个白球；都是白球 B ．两个白球；至少有一个红球 C ．红球、白球各一个；都是白球D ．红球、白球各一个；至少有一个白球4．中国是发现､研究和运用勾股定理最古老的国家之一，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，已知四个直角三角形的两条直角边的长度之比为12，若向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为（ ）A ．125B ．19C ．15D ．135．已知sin y x =，在区间[],ππ-上任取一个实数x ，则y ≥12-的概率为（ ） A ．712B ．23C ．34 D ．566．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A ．310B ．25C ．825D ．357．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．238．若函数()201)((1)x lnx e x f x e x e ⎧+<<=⎨≤<⎩在区间()0,e 上随机取一个实数x ，则()f x 的值小于常数2e 的概率是（ ） A ．1eB ．11e-C ．2eD ．21e-9．某比赛为甲、乙两名运动员制订下列发球规则：规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，否则乙发球；规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球. 其中对甲、乙公平的规则是（ ） A ．规则一和规则二B ．规则一和规则三C ．规则二和规则三D ．规则二10．在二项式42nx x +的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ）A ．16B ．14C ．512D ．1311．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对()x y ，，再统计其中x ，y 能与1构成钝角三角形三边的数对()x y ，的个数m ，最后根据统计个数m 估计π的值．如果统计结果是34m =，那么可以估计π的值为（ ） A ．237B ．4715C ．1715D ．531712．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16二、填空题13．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．14．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1，则甲以3:1取得胜利的概率为______________.15．中国文化中有很多东西喜欢9或9的倍数.如：九连环、九阴白骨爪、降龙十八掌（1892=⨯）、三十六计（3694=⨯）、孙悟空七十二变（8972⨯=）、八十一难（9981⨯=）等.若一个三位数的各位数字之和为9，如207，126，则这样的三位数共有________.16．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为________.17．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.18．农历戊戌年即将结束，为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡，设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶.现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，则事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为___19．现有编号为1，2，3，…，100的100把锁，利用中国剩余定理的原理设置开锁密码，规则为：将锁的编号依次除以3，5，7所得的三个余数作为该锁的开锁密码，这样，每把锁都有一个三位数字的开锁密码.例如，编号为52的锁所对应的开锁密码是123，开锁密码为232所对应的锁的编号是23.若一把锁的开锁密码为203，则这把锁的编号是__________．20．在区间[]0,2中随机地取出一个数x ，则sin6x π>的概率是__________．三、解答题21．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列． （3）求这位挑战者闯关成功的概率．22．某班组织“2人组”投篮比赛，每队2人，在每轮比赛中，每队中的两人各投篮1次，规定：每队中2人都投中则该队得3分；若只有1人投中，则该队得1分若没有人投中，则该队得－1分．A 队由甲、乙两名同学组成，甲投球一次投中的概率为35，乙投球一次投中的概率为34，且甲、乙投中与否互不影响，在各轮比赛中投中与否也互不影响． （Ⅰ）求A 队在一轮比赛中的得分不低于1分的概率；（Ⅱ）若共进行五轮比赛，记“A 队在一轮比赛中得分不低于1分”恰有X 次，求X 的期望和方差；（Ⅲ）若进行两轮比赛，求A 队两轮比赛中得分之和Y 的分布列和期望．23．某公司结合公司的实际情况针对调休安排展开问卷调查，提出了A ，B ，C 三种放假方案，调查结果如下：”的人中抽取了6人，求n 的值；（2）在“支持B 方案”的人中，用分层抽样的方法抽取5人看作一个总体，从这5人中任意选取2人，求恰好有1人在35岁以上（含35岁）的概率.24．已知函数()f x ax b =+，分别在下列条件下，求函数图象经过第二、三、四象限的概率.（1）设,{2,1,1,2}a b ∈--且ab ；（2）实数,a b 满足条件11,1 1.a b -⎧⎨-⎩25．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组 [)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100频数2814106（1）在图中作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）.B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级不满意满意非常满意公司负责人为了解用户满意度情况，从B 地区中调查8户，其中有2户满意度等级是不满意，求从这8户中随机抽取2户检查，抽到不满意用户的概率.26．某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2019年足球世界杯比赛的情况，从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查，情况如下表:（1）求出表中数据b ，c ；（2）判断是否有99%的把握认为观看2019年足球世界杯比赛与性别有关；（3）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的．现有问题：在打算观看2019年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，现从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：设正方形ABCD 边长为a ,分别求解圆I 和正方形EFGH 的面积，得到在圆I 内且在正方形EFGH 内的面积，即可求解()P B A . 详解：设正方形ABCD 边长为a ,则圆I 的半径为,2a r =其面积为21.4a π设正方形EFGH 边长为b ,,2a b a =⇒=其面积为211,2S a =则在圆I 内且在正方形EFGH 内的面积为21,S S S =- 故()121.S S P B A S π-==- 故选C ．点睛：本题考查条件概率的计算，其中设正方形ABCD 边长和正方形EFGH 得到在圆I 内且在正方形EFGH 内的面积是解题的关键.2．B解析：B 【分析】根据πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，可以求得sin()1θϕ+=，tan 2ϕ=，求出小正方形的边长和直角三角形两直角边的长，进而得到大正方形的边长，然后根据几何概型概率公式求解即可． 【详解】 由πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得sin 2cos 5θθ+=， 即5sin()5θϕ+=，即sin()1θϕ+=，且tan 2ϕ=，所以2πθϕ+=，所以直角三角形较大的锐角为ϕ，较小的锐角为θ，如图，设小正方形的边长为a ，直角三角形较大的锐角为θ、较大的锐角为为ϕ， 较小的直角的边长b ，则直角三角形较大的直角边长为+a b ，∵tan 2a bbϕ+==， ∴a b =，∴22(2)5a a a +=， 由几何概型概率公式可得，所求概率为2215(5)P a ==． 故选：B ． 【点睛】解答几何概型概率的关键是分清概率是属于长度型的、面积型的、还是体积型的，然后再根据题意求出表示基本事件的点构成的线段的长度（或区域的面积、空间几何体的体积），最后根据公式计算即可．3．C解析：C【分析】从装有3个红球和2个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有3种：“2个白球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”．由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，结合所给的选项，逐一进行判断，从而得出结论． 【详解】从装有3个红球和2个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有3种：“2个白球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”．由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生， 对于A ，至少有1个白球；都是白球，不是互斥事件．故不符合．对于B 两个白球；至少有一个红球，是互斥事件，但也是对立事件，故不符合． 对于C 红球、白球各一个；都是白球是互斥事件，但不是对立事件，故符合． 对于D 红球、白球各一个；至少有一个白，不是互斥事件．故不符合． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．4．C解析：C 【分析】由已知的线段的长度比，得出两正方形的面积，运用概率公式可得选项. 【详解】设直角三角形的两直角边分别为1和2=所以小正方形的边长为211-=，面积为1，大正方形的面积为25=. 所以飞镖落在小正方形内的概率为15. 故选：C. 【点睛】本题考查几何概型，关键在于由长度的关系得出大正方形和小正方形的面积，属于中档题.5．B解析：B 【分析】 求出满足12y ≥-的角x 的范围，由长度比，即可得到该几何概型的概率. 【详解】1sin ,[,]2y x x ππ=≥-∈-，5[,][,]66x ππππ∴∈--⋃-，则满足12y ≥-的概率为： 5()()266()3P ππππππ---+--==--.故选：B. 【点睛】本题考查了三角不等式的求解，几何概型的计算，属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据部分平均分组分配的方法可求得分法总数和伯爵恰有两人的分法数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C A A A A A ⋅=种分法；其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C C C A C C A A A ⋅=种分法， ∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C A p C C A A ==.故选：B . 【点睛】本题考查数学史与古典概型概率问题的求解，关键是能够利用排列组合中不平均分组分配的方法确定分法总数和符合题意的分法数.7．A解析：A 【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可. 【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.8．C解析：C 【分析】首先求出分段函数在各区间段的值域，然后利用几何概型求其概率. 【详解】 由题意得，当01x <<时，2()ln f x x e =+，则恒有2()f x e <，满足题意； 当1x e ≤<时，()x f x e =，若满足2()x f x e e =<，可得12x ≤<； 所以()f x 的值小于常数2e 的概率是2e. 故选：C. 【点睛】本题主要考查长度比值类型的几何概型，同时考查了分段函数值域的求解，属于基础题.9．B解析：B 【分析】计算出三种规则下甲发球和乙发球的概率，当两人发球的概率均为12时，该规则对甲、乙公平，由此可得出正确选项. 【详解】对于规则一，每人发球的机率都是12，是公平的； 对于规则二，记2个红球分别为红1，红2，2个黑球分别为黑1、黑2，则随机取出2个球的所有可能的情况有（红1，红2），（红1，黑1），（红1，黑2），（红2，黑1），（红2，黑2），（黑1，黑2），共6种，其中同色的情况有2种， 所以甲发球的可能性为13，不公平； 对于规则三，记3个红球分别为红1、红2、红3，则随机取出2个球所有可能的情况有（红1，红2），（红1，红3），（红1，黑），（红2，红3），（红2，黑），（红3，黑），共6种，其中同色的情况有3种，所以两人发球的可能性均为12，是公平的. 因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三. 故选B. 【点睛】本题考查利用规则的公平性问题，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，正确理解题意是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.10．C解析：C【分析】先根据前三项的系数成等差数列求n ，再根据古典概型概率公式求结果 【详解】因为n前三项的系数为1212111(1)1,,112448n n n n n n C C C C n -⋅⋅∴=+⋅∴-= 163418118,0,1,2,82rr r r n n T C x r -+>∴=∴=⋅=，当0,4,8r =时，为有理项，从而概率为636799512A A A =,选C. 【点睛】本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.11．B解析：B 【分析】由试验结果知120对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y ≤<⎧⎨≤<⎩，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足221x y +<且0101x y ≤<⎧⎨≤<⎩， 1x y +>，面积为142π-，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值． 【详解】由题意，120名同学随机写下的实数对()x y ，落在由0101x y <<⎧⎨<<⎩的正方形内，其面积为1．两个数能与1构成钝角三角形应满足2211x y x y +>⎧⎨+<⎩且0101x y <<⎧⎨<<⎩， 此为一弓形区域，其面积为142π-．由题意134421120π-=，解得4715π=，故选B ． 【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题．12．B解析：B 【分析】由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，利用时间的长度比即可求出所求. 【详解】解：由题意知这是一个几何概型， ∵电台整点报时，∴事件总数包含的时间长度是60，∵满足他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15， 由几何概型公式得到151604P ==, 故选B ． 【点睛】本题主要考查了几何概型，本题先要判断该概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于中档题.二、填空题13．【解析】基本事件总数为36点数之和小于10的基本事件共有30种所以所求概率为【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查属于简单题江苏对古典概型概率的考查注重事件解析：56【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.14．174【分析】设甲在第一二三四局比赛中获胜分别为事件则所求概率为：再根据概率计算公式计算即可【详解】设甲在第一二三四局比赛中获胜分别为事件由题意甲要以取胜的可能是所以=故答案为：0174【点睛】本题解析：174 【分析】设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件1A 、2A 、3A、4A ，则所求概率为： 123412341234()()()P P A A A A P A A A A P A A A A =++，再根据概率计算公式计算即可.【详解】设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件1A 、2A 、3A 、4A ， 由题意，甲要以3:1取胜的可能是1234A A A A ，1234A A A A ，1234A A A A ，所以123412341234()()()P P A A A A P A A A A P A A A A =++=0.50.60.30.60.50.40.50.60.50.40.50.60.174⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：0.174. 【点睛】本题考查独立事件和互斥事件的概率计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.15．【分析】根据三位数的各位数字之和为9列举出所有符合要求的三位数即可【详解】三位数的各位数字之和为9符合要求的三位数如下所示:1081171261351441531621711802072162252 解析：45【分析】根据三位数的各位数字之和为9,列举出所有符合要求的三位数即可. 【详解】三位数的各位数字之和为9,符合要求的三位数如下所示: 108,117,126,135,144,153,162,171,180, 207,216,225,234,243,252,261,270, 306,315,324,333,342,351,360, 405,414,423,432,441,450, 504,513,522,531,540 603,612,621,630 702,711,720, 801,810, 900,由以上可知符合各位数字之和为9的三位数共有45个 故答案为:45 【点睛】本题考查了列举法在求数字排列中的应用,属于中档题.16．【分析】利用对立事件的概率公式计算即可【详解】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件事件为事件的对立事件则事件为一种新产品都没有成功因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和则再根据对立事件的概率之间 解析：1315【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可， 【详解】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件m ，事件n 为事件m 的对立事件，则事件n 为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为23和35．则()232(1)(1)3515p n =--=，再根据对立事件的概率之间的公式可得()()213111515P m P n =-=-=， 故至少有一种新产品研发成功的概率1315． 故答案为：1315． 【点睛】本题主要考查了对立事件的概率，考查学生的计算能力，属于基础题．17．2【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识点有长度解析：2 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可. 【详解】 如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23， 则有2263m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.18．【解析】【分析】基本事件总数事件至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶包含的基本事件个数由此能求出事件至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶的概率【详解】为了迎接新年小康小梁小谭小刘小林每人写了一张心愿卡设计了 解析：31120【解析】 【分析】基本事件总数55n A =，事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含的基本事件个数21335255m C C C C =++，由此能求出事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率．【详解】为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡， 设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶．现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，基本事件总数55120n A ==， 事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含的基本事件个数2133525531m C C C C =++=，∴事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为31120m p n ==， 故答案为31120． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．80【分析】本道题一一列举把满足条件的编号一一排除即可【详解】该数可以表示为故该数一定是5的倍数所以5的倍数有5101520253035404550556065707580859095100该数满足解析：80 【分析】本道题一一列举，把满足条件的编号一一排除，即可． 【详解】该数可以表示为32,5,73k m n ++，故该数一定是5的倍数，所以5的倍数有5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100，该数满足减去3能够被7整除，只有10,45,80，而同时要满足减去2被3整除，所以只有80. 【点睛】本道题考查了列举法计算锁编号问题，难度一般．20．【解析】分析：根据几何概型的概率公式即可得到结论详解：区间的两端点间距离是2在区间内任取一点该点表示的数都大于故在区间中随机地取出一个数这个数大于的概率为故答案为：点睛：本题主要考查概率的计算根据几解析：34【解析】分析：根据几何概型的概率公式即可得到结论． 详解：区间[]0,2的两端点间距离是2，在区间1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦内任取一点，该点表示的数都大于1sin62π=，故在区间中随机地取出一个数，这个数大于12的概率为 1232.204-=- ， 故答案为：34．点睛：本题主要考查概率的计算，根据几何概型的概率公式是解决本题的关键．三、解答题21．（Ⅰ）1718；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）1318. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为1718. （Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X 的分布列；（Ⅲ）结合(Ⅱ)中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为1318. 试题（Ⅰ）设至少回答对一个问题为事件A ,则()11117133218P A =-⨯⨯=.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-. 根据题意,()11111033218P X =-=⨯⨯=, ()2112023329P X ==⨯⨯⨯=, ()2212103329P X ==⨯⨯=, ()11112033218P X ==⨯⨯=,()21123023329P X ==⨯⨯⨯=,()2212403329P X ==⨯⨯=. 随机变量X 的分布列是:（Ⅲ）设这位挑战者闯关成功为事件B ,则()2122139189918P B =+++=. 22．（Ⅰ）910；（Ⅱ）92，920；（Ⅲ）分布列见解析，()175E Y =. 【分析】（Ⅰ）利用相互独立事件、互斥事件概率计算公式，计算出所求概率. （Ⅱ）利用二项分布期望和方差计算公式，计算出方差和期望. （Ⅲ）利用相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. 【详解】（Ⅰ）设事件“A 队在一轮比赛中的得分不低于1分”为B ，“甲在一轮中投中”为C ，“乙在一轮中投中”为D ，则C 、D 相互独立，B 包含CD ，CD ，CD ，且CD ，CD ，CD 两两互斥，()35P C =，()34P D =， ∴()()()()()910P B P CD CD CD P CD P CD P CD =++=++=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知“A 队在一轮比赛中的得分不低于1分”的概率为910， 故95,10XB ⎛⎫⎪⎝⎭，X 可以取0，1，2，3，4，5， ∴()995102E X =⨯=，()99951101020D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.（Ⅲ）Y 可以取2,0,2,4,6-，()2121125454100P Y =-=⨯⨯⨯=，()2131219025********P Y ⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，()2312333211172254545454400P Y ⎛⎫==⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()3123338142545454200P Y ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()23381654400P Y ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭. 所以Y 的分布列为∴()5E Y =． 【点睛】本小题主要考查相互独立事件、互斥事件概率计算，考查二项分布期望和方差公式，考查分布列和数学期望的求法，属于中档题. 23．（1）40n =（2）25【分析】(1)根据分层抽样按比例抽取，列出方程，能求出n 的值；(2)35岁以下有4人，35岁以上(含35岁) 有1人.设将35岁以下的4人标记为1，2, 3, 4, 35岁以上(含35岁) 的1人记为a , 利用列举法能求出恰好有1人在35岁以上(含35岁) 的概率. 【详解】（1）根据分层抽样按比例抽取，得：61020204080101040n=++++++，解得40n =.（2）35岁以下：540450⨯=（人）， 35岁以上（含35岁）：510150⨯=（人） 设将35岁以下的4人标记为1，2，3，4，35岁以上（含35岁）的1人记为a ，()()()()()()()()()(){}1,2,1,3, 1,4,1,,2,3,2,4,2,,3,4,3,,4,a a a a Ω=，共10个样本点.设A ：恰好有1人在35岁以上（含35岁）()()()(){}1,,2,,3,,4,A a a a a =，有4个样本点，故()42105P A ==. 【点睛】本题考查概率的求法，分层抽样、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力,属于中档题. 24．（1）16；（2）14。
(常考题)北师大版高中数学必修三第三章《概率》检测卷(含答案解析)(5)
一、选择题1．袋中有白球2个，红球3个，从中任取两个，则互斥且不对立的两个事件是（ ） A ．至少有一个白球；都是白球 B ．两个白球；至少有一个红球 C ．红球、白球各一个；都是白球D ．红球、白球各一个；至少有一个白球2．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（ ）A ．518B ．718C ．716D ．5163．口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（ ） A ．910B ．710C ．310D ．1104．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ．23B ．14C ．38D ．345．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+.（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．156．若即时起10分钟内,甲乙两同学等可能到达某咖啡厅,则这两同学到达咖啡厅的时间间隔不超过3分钟的概率为( ) A ．0.3B ．0.36C ．0.49D ．0.517．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -42锥内的概率为（ ）A ．1πB ．2πC ．3πD ．2π8．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据： x 4 6 8 10 12 y12356由表中数据求得y 关于x 的回归方程为ˆˆ0.65yx a =+，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ） A ．25B ．35C ．34D ．129．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2y x =和曲线y x =围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．1610．如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．949π B 33πC 23D ．9π 11．我国魏晋时期的数学家刘徽，创立了用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法，称为“割圆术”，为圆周率的研究提供了科学的方法.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自圆内接正十二边形外的概率为A．3πB．31π-C．3πD．31π-12．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A．15B．625C．825D．25二、填空题13．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为__________.14．如图，C是以AB为直径的半圆周上一点，已知在半圆内任取一点，该点恰好在ABC内部的概率为1π，则ABC的较小的内角为________.15．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成33⨯小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______.16．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线2222x y1a b-=的离心率e5>的概率是______．17．农历戊戌年即将结束，为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡，设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶.现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，则事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为___18．为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为________．19．如图，在半径为1的圆上随机地取两点,B E，连成一条弦BE，则弦长超过圆内接正∆边长的概率是__________．BCD20．袋中有2个白球，1个红球，这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球，每次任取1个记下颜色后放回，直到红球出现2次时停止，设停止时共取了X次球，则P X==_______．(4)三、解答题21．某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.（1）估计这次考试的平均分；（2）假设分数在[90，100]的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95，76，97，88，69，100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率.22．某市幸福社区在“9.9重阳节”向本社区征召100名义务宣传“敬老爱老”志愿者，现把该100名志愿者的成员按年龄分成5组，如表所示：（1）若从第1，2，3组中用分层抽样的方法选出6名志愿者参加某社区宣传活动，应从第1，2，3组各选出多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，宣传决定在这6名志愿者中随机选2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被选中的概率.23．某校从高三年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：（1）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（2）按分层抽样从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选取6人，再从这6人中选取两人作为代表参加交流活动，求他们在不同分数段的概率.24．某校抽取了100名学生期中考试的英语和数学成绩，已知成绩都不低于100分，其中英语成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150].（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生英语成绩的平均数和中位数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）若这100名学生数学成绩分数段的人数y的情况如下表所示：分组区间[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]y 15 40 40 m n且区间内英语人数与数学人数之比为，现从数学成绩在的学生中随机选取2人，求选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140,150]的概率.25．某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识.组织方从参加活动的1000名群众中随机抽取n 名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，其中第1组[20,30)有6人，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求m ，n 的值，并估计抽取的n 名群众中年龄在[40,60)的人数；（2）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女生的概率.26．近年来，石家庄经济快速发展，跻身新三线城市行列，备受全国瞩目.无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高铁路网，石家庄的交通优势在同级别的城市内无能出其右.为了调查石家庄市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中4a b =.（1）求a ，b 的值；（2）求被调查的市民的满意程度的平均数，中位数（保留小数点后两位），众数； （3）若按照分层抽样从[)50,60，[)60,70中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[)50,60的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】从装有3个红球和2个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有3种：“2个白球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”．由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，结合所给的选项，逐一进行判断，从而得出结论．【详解】从装有3个红球和2个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有3种：“2个白球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”．由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，对于A，至少有1个白球；都是白球，不是互斥事件．故不符合．对于B两个白球；至少有一个红球，是互斥事件，但也是对立事件，故不符合．对于C红球、白球各一个；都是白球是互斥事件，但不是对立事件，故符合．对于D红球、白球各一个；至少有一个白，不是互斥事件．故不符合．故选：C．【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．2．D解析：D【分析】根据题意把6根算筹所能表示的两位数列举出来后，计算哪些能被3整除即可得概率．【详解】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹可以表示5和9，因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个，其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除，所以所求概率为516P ．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，考查中国古代数学文化，解题关键是用列举法写出6根算筹所能表示的两位数．3．A解析：A【分析】根据题意,求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数,然后利用古典概型的概率计算公式求解即可.【详解】由题意可知,从5个大小相同的小球中,一次性任意取出3个小球包含的总的基本事件数为n =35C 10=,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球包含的基本事件数为122123239m C C C C =+=, 由古典概型的概率计算公式得,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球的概率为910m P n ==. 故选:A 【点睛】本题考查利用组合数公式和古典概型的概率计算公式求随机事件的概率；正确求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.4．D解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.5．A解析：A 【分析】先列出不超过11的素数,再列举出随机选取2个不同的数的情况,进而找到和小于等于10的情况,即可求解 【详解】不超过11的素数有:2,3,5,7,11,共有5个, 随机选取2个不同的数可能为:()2,3,()2,5,()2,7,()2,11,()3,5,()3,7,()3,11,()5,7,()5,11,()7,11,共有10种情况, 其中和小于等于10的有:()2,3,()2,5,()2,7,()3,5,()3,7,共有5种情况, 则概率为51102P,故选:A 【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率,属于基础题6．D解析：D 【分析】由几何概型中的面积型得：1277210.511010S P S ⨯⨯⨯==-=⨯阴正，即可得解.【详解】设甲、乙两同学等可能到达某咖啡厅的时间为(),x y ，则010x <≤，010y <≤，其基本事件可用正方形区域表示，如图，则甲、乙两同学等可能到达某咖啡厅的时间间隔不超过3分钟的事件为A ， 则事件A 为：3x y -≤，其基本事件可用阴影部分区域表示，由几何概型中的面积型可得：1277210.511010S P S ⨯⨯⨯==-=⨯阴正.故选：D. 【点睛】本题考查了几何概型中的面积型，属于基础题.7．A解析：A 【分析】先根据四棱锥的体积求出球的半径，再根据几何概型概率公式求结果. 【详解】42R ，则4211222332R R R R =⨯⨯⨯⨯∴=因此所求概率为3131423ππ=⨯，故选：A 【点睛】本题考查四棱锥体积、球体积以及几何概型概率公式，考查综合分析求解能力，属中档题.8．A解析：A 【分析】求出样本点的中心，求出ˆa的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，求出概率即可．【详解】8x =， 3.4y =，故3.40.658ˆa =⨯+，解得： 1.8a =-， 则0.65.8ˆ1yx =-， 故5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个， 故所求概率是25p =， 故选：A ． 【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．9．C解析：C 【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解． 【详解】联立2y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩(1,1)C . 由图可知基本事件空间所对应的几何度量1OBCA S =正方形， 满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A）3123120021)()|33x dx x x ==-⎰13=． 所以P （A ）1()1313OBCAS A S ===正方形．故选：C ． 【点睛】本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．B解析：B 【分析】设圆的半径为r ，利用几何关系得出正三角形ABC 的高为7r ，然后利用锐角三角函数计算出AD ，可得出该正三角形的边长，从而可计算出该正三角形的面积，然后将三个圆的面积之和除以正三角形的面积，可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，取AB 边的中线CD ，则三个圆心都在线段CD 上， 设最上面的圆的圆心为O ，圆O 与BC 的切点为E ， 易知30OCE ∠=，所以2OC OE =.设圆的半径OE r =，2OC r ∴=，则7CD r =，所以22tan 303AB AD CD ===.所以217233ABC S r ∆⨯==，而阴影部分的面积为23r π， 所以所求的概率22333493r P rππ==故选：B. 【点睛】本题考查平面区域型几何概型概率的计算，解题的关键就是计算出相应区域的面积，考查计算能力，属于中等题.11．D解析：D 【分析】由半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为6π，腰为1的等腰三角形，求得十二边形的面积，利用面积比的几何概型，即可求解. 【详解】由题意，半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为6π，腰为1的等腰三角形，所以该正十二边形的面积为21121sin 326S π=⨯⨯⨯=， 由几何概型的概率计算公式，可得所求概率31P π=-，故选D. 【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()N A PN求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 12．A解析：A 【分析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率. 【详解】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255P ==. 故选A. 【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数基本本事件的总个数.二、填空题13．【分析】基本事件总数选中的都是男医生包含的基本事件个数根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者所以随机选取2名医生赴湖北支援共有个基本事 解析：710【分析】基本事件总数2510n C ==，选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C ==，根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率.【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者， 所以随机选取2名医生赴湖北支援共有2510n C ==个基本事件，又因为选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C ==， 所以至少有1名女医生被选中的概率为3711010P =-=. 故答案为：710【点睛】本题主要考查了排列组合，古典概型，对立事件，属于中档题.14．【分析】由几何概型中的面积型圆的面积公式三角形的面积公式及直角三角形的射影定理可得：设则又不妨设即所以得：所以所以得解【详解】过作设则由在半圆内任取一点该点恰好在内部的概率为则则即又不妨设即所以得： 解析：12π【分析】由几何概型中的面积型、圆的面积公式，三角形的面积公式及直角三角形的射影定理可得：设2AB a =，则22a S π=半圆，||2aCD =，又2||||||CD AD BD =⨯， 不妨设||||AD BD <，即CBA CAB ∠<∠，所以得：23||BD a +=，所以||tan 23||CD CBA BD ∠==-，所以12CBA π∠=，得解． 【详解】 过C 作CD AB ⊥，设2AB a =， 则22a S π=半圆，由在半圆内任取一点，该点恰好在ABC ∆内部的概率为1π，则212ABC S a ∆=， 则211||||22AB CD a =，即||2a CD =， 又2||||||CD AD BD =⨯，不妨设||||AD BD <，即CBA CAB ∠<∠，所以得：||BD =，所以||tan 2||CD CBA BD ∠== 所以12CBA π∠=，故答案为：12π．【点睛】本题考查了几何概型中的面积型、圆的面积公式，三角形的面积公式及直角三角形的射影定理，属中档题．15．【分析】分两步进行：首先先排第一行再排第二行最后排第三行；其次对每一行选人；最后利用计算出概率即可【详解】首先第一行队伍的排法有种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后第一行的每个位 解析：1140【分析】分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可. 【详解】首先，第一行队伍的排法有33A 种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有111333C C C 种；第二行的每个位置的人员安排有111222C C C 种；第三行的每个位置的人员安排有111⨯⨯种.所以来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率311111133332229921140A C C C C C C P A ⋅⋅⋅==. 故答案为：1140. 【点睛】本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.16．【分析】基本事件总数由双曲线的离心率得利用列举法求出双曲线的离心率包含的基本事件有6个由此能求出双曲线的离心率的概率【详解】某同学同时掷两颗骰子得到点数分别为ab 基本事件总数双曲线的离心率解得双曲线解析：16【分析】基本事件总数n 6636=⨯=，由双曲线2222x y 1a b -=的离心率e >，得b 2a >，利用列举法求出双曲线2222x y 1a b -=的离心率e >()a,b 有6个，由此能求出双曲线2222x y 1a b -=的离心率e >【详解】某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ， 基本事件总数n 6636=⨯=，双曲线2222x y 1a b-=的离心率e >ca ∴=>b 2a >， ∴双曲线2222x y 1a b-=的离心率e >()a,b 有：()1,3，()1,4，()1,5，()2,5，(1，6)，()2,6，共6个，则双曲线2222x y 1a b-=的离心率e >61p 366==． 故答案为16． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、双曲线性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.17．【解析】【分析】基本事件总数事件至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶包含的基本事件个数由此能求出事件至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶的概率【详解】为了迎接新年小康小梁小谭小刘小林每人写了一张心愿卡设计了 解析：31120【解析】 【分析】基本事件总数55n A =，事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含的基本事件个数21335255m C C C C =++，由此能求出事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率．【详解】为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡， 设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶．现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，基本事件总数55120n A ==， 事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含的基本事件个数2133525531m C C C C =++=，∴事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为31120m p n ==， 故答案为31120． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．1-π12【解析】【分析】由题意得长方形的面积为S=3×2=6以O 点为原型半径为1作圆此时圆在长方形内部的部分的面积为Sn=π2再由面积比的几何概型即可求解【详解】由题意如图所示可得长方形的面积为S 解析：【解析】 【分析】由题意，得长方形的面积为，以O 点为原型，半径为1作圆，此时圆在长方形内部的部分的面积为，再由面积比的几何概型，即可求解.【详解】由题意，如图所示，可得长方形的面积为，以O 点为原型，半径为1作圆，此时圆在长方形内部的部分的面积为，所以取到的点到的距离大于1的表示圆的外部在矩形内部分部分， 所以概率为.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19．【解析】【分析】取圆内接等边三角形的顶点为弦的一个端点当另一端点在劣弧上时求出劣弧的长度运用几何概型的计算公式即可得结果【详解】记事件{弦长超过圆内接等边三角形的边长}如图取圆内接等边三角形的顶点为解析：1 3【解析】【分析】取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD上时，BE BC>，求出劣弧CD的长度，运用几何概型的计算公式，即可得结果.【详解】记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图，取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD上时，BE BC>，设圆的半径为r，劣弧CD的长度是23rπ，圆的周长为2rπ，所以()21323rP Arππ==，故答案为13.【点睛】本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 20．【解析】【分析】由题意可知最后一次取到的是红球前3次有1次取到红球由古典概型求得概率【详解】由题意可知最后一次取到的是红球前3次有1次取到红球所以填【点睛】求古典概型的概率关键是正确求出基本事件总数解析：427【解析】【分析】由题意可知最后一次取到的是红球，前3次有1次取到红球，由古典概型求得概率。
高中数学 第三章 概率章末综合测评(含解析)北师大版必修3-北师大版高一必修3数学试题
章末综合测评(三)(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( ) A ．随机事件的概率总在[0,1]内 B ．不可能事件的概率不一定为0 C ．必然事件的概率一定为1 D ．以上均不对C [随机事件的概率总在(0,1)内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.] 2．下列事件中，随机事件的个数为( )①在某学校校庆的田径运动会上，学生X 涛获得100米短跑冠军；②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯； ③从标有1,2,3,4的4X 号签中任取一X ，恰为1号签； ④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰． A ．1 B ．2 C ．3D ．4C [①在某学校校庆的田径运动会上，学生X 涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1,2,3,4的4X 号签中任取一X ，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰是不可能事件．故选C.]3．甲、乙、丙三人随意坐一排座位，乙正好坐中间的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D.16B [甲、乙、丙三人随意坐有6个基本事件，乙正好坐中间，甲、丙坐左右两侧有2个基本事件，故乙正好坐中间的概率为26＝13.]4．从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是 ( )A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥 C ．任何两个均互斥D ．任何两个均不互斥B [因为事件B 是表示“三件产品全是次品”，事件C 是表示“三件产品不全是次品”，显然这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥的，所以选B.]5．从含有3个元素的集合中任取一个子集，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( )A.310B.112C.4564D.38D [设集合为{a ，b ，c }，则所有子集共8个，其中含有2个元素的为{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，所以概率为38.]6．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是( )A.2－32B.2＋32C.1＋32D.1－32A [易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S 1＝(3－1)2＝4－23，大正方形的面积为S ＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P ＝S 1S ＝4－234＝2－32.]7．4X 卡片上分别写有数字1,2,3,4.从这4X 卡片中随机抽取2X ，则抽取的2X 卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12 C.23D.34C [基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6个，其中两数字之和为奇数的有(1,2)，(2,3)，(1,4)，(3,4)，所以概率为23.]8．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积不小于S3的概率是( )A.23B.13C.34D.14A [如图，设点M 为AB 的三等分点，要使△PBC 的面积不小于S3，则点P 只能在AM 上选取，由几何概型的概率公式得所求概率|AM ||AB |＝23|AB ||AB |＝23.]9．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件(2≤n ≤5，n ∈N)，若事件的概率最大，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4D [事件的总事件数为6.只要求出当n ＝2,3,4,5时的基本事件个数即可． 当n ＝2时，落在直线x ＋y ＝2上的点为(1,1)； 当n ＝3时，落在直线x ＋y ＝3上的点为(1,2)、(2,1)； 当n ＝4时，落在直线x ＋y ＝4上的点为(1,3)、(2,2)； 当n ＝5时，落在直线x ＋y ＝5上的点为(2,3)． 显然当n ＝3,4时，事件的概率最大，为13.]10．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.π8D ．1－π8B [长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2，取到的点到O 的距离大于1的概率为2－π22＝1－π4.]11．设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为( )A.23B.13C.12D.512A [若方程有两个不相等的实数根，则a 2－8>0.a 的所有取值情况共6种，满足a 2－8>0的有4种情况，故P ＝46＝23.]12．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1C.12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2D [如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE ，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18<12，事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于12，故p 2>12，则p 1<12<p 2，故选D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．一个盒子中有10个相同的球，分别标有1,2,3，…，10，从中任选一球，则此球的为偶数的概率是________．12[取2号，4号，6号，8号，10号是互斥事件，且概率均为110，故有110＋110＋110＋110＋110＝12.] 14.如图的矩形，长为5 m ，宽为2 m ，在矩形内随机地撒300粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138粒，则我们可以估计出阴影部分的面积为________m 2.235[由题意得138300＝S 阴5×2，S 阴＝235.] 15．在箱子中装有十X 卡片，分别写有1到10的十个整数；从箱子中任取一X 卡片，记下它的读数x ，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一X 卡片，记下它的读数y ，则x ＋y 是10的倍数的概率为______．110[先后两次取卡片，形成的有序数对有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(1,10)，…，(10,10)，共计100个．因为x ＋y 是10的倍数，这些数对应该是(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，(10,10)共10个，故x ＋y 是10的倍数的概率为P ＝10100＝110.]16．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．23[∵方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或p ≥2.故所求概率P ＝⎝⎛⎭⎫1－23＋(5－2)5－0＝23.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．求： (1)甲被选中的概率； (2)丁没被选中的概率．[解] (1)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，共有{甲、乙}，{甲、丙}，{甲、丁}，{乙、丙}，{乙、丁}，{丙、丁}6个基本事件，甲被选中的事件有{甲、乙}，{甲、丙}，{甲、丁}共3个，若记甲被选中为事件A ，则P (A )＝36＝12.(2)记丁被选中为事件B ，则P (B )＝1－P (B )＝1－12＝12.18．(本小题满分12分)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料．公司要求此员工从5杯饮料中选出3杯A 饮料一一品尝后，若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率； (2)求此人被评为良好及以上的概率．[解] 将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A 饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5种饮料中选出3杯的所有可能情况为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共有10种，令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件，则(1)P (D )＝110.(2)P (E )＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710.19．(本小题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y .(1)求事件“x ＋y ≤3”的概率； (2)求事件“|x －y |＝2”的概率．[解] 设(x ，y )表示一个基本事件，则掷两次骰子包括(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个基本事件．(1)用A 表示事件“x ＋y ≤3”，则A 的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件． 所以P (A )＝336＝112.即事件“x ＋y ≤3”的概率为112.(2)用B 表示事件“|x －y |＝2”，则B 的结果有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(4,6)，(6,4)，(5,3)，(4,2)，(3,1)共8个基本事件． 所以P (B )＝836＝29.即事件“|x －y |＝2”的概率为29.20．(本小题满分12分)袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n 个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是12.(1)求n 的值；(2)记从袋中随机取出的一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分．现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率．[解] (1)由题意可得n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2，(2)设红球为a ，黑球为b ，白球为c 1，c 2，从袋子中取出2个小球的所有基本事件为：(a ，b )，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(b ，c 1)，(b ，c 2)，(c 1，c 2)，共有6个，其中得2分的基本事件有(a ，c 1)，(a ，c 2)，所以总得分为2分的概率为26＝13.21．(本小题满分12分)把一颗骰子抛掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b .试就方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2解答下列各题：(1)求方程组只有一组解的概率；(2)求方程组只有正数解(x 与y 都为正)的概率．[解] (1)当且仅当a b ≠12时，方程组只有一组解；a b ＝12的情况有三种：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6. 而抛掷两次的所有情况有6×6＝36(种)，所以方程组只有一组解的概率为P ＝1－336＝1112. (2)因为方程组只有正数解，所以两直线的交点一定在第一象限，解方程组得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2b 2a －b ，y ＝2a －32a －b .当⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＞0，6－2b ＞0，2a －3＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＜0，6－2b ＜0，2a －3＜0，且a ＞0，b ＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＞b ，2a ＞3，b ＜3，a ＞0，b ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＜b ，2a ＜3，b ＞3，a ＞0，b ＞0，时，x ＞0，y ＞0.当b ＝1或2时，a ＝2,3,4,5,6； 当b ＝4或5或6时，a ＝1.所以方程组只有正数解的概率为P ＝1336.22．(本小题满分12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A ，B ，C 区中分别有18,27,18个工厂．(1)求从A ，B ，C 区中分别抽取的工厂个数；(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率．[解] (1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为763＝19，所以从A ，B ，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.(2)设A 1，A 2为在A 区中抽得的2个工厂，B 1，B 2，B 3为在B 区中抽得的3个工厂，C 1，C 2为在C 区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(C 1，C 2)，共有21种．随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A 区的结果(记为事件X )有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率为P (X )＝1121.。
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修三《概率》过关检测卷及解析
2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修三第三章过关测试卷（100分，45分钟）一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列结论正确的是（）A．事件A的概率P（A）的值满足0＜P（A）＜1B．若P（A）=0.999，则A为必然事件C．灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，这个是合格品的可能性为99%D．若P（A）=0.001，则A为不可能事件2. 从40张扑克牌（红心、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中任取一张，给出下列事件：①“抽出红心”与“抽出黑桃”；②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；③“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．其中既不是互斥事件又不是对立事件的序号是（）A．①B．②C．③ D. ②③3.在“计算机产生［0，1］之间的均匀随机数”试验中，记事件A表示“产生小于0.3的数”，记事件B表示“产生大于0.7的数”，则一次试验中，事件A+B发生的概率为（）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.74. 有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.14B. 12C. 23D. 345.〈温州期末考〉下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，其中不公平的游戏是( )游戏1 游戏2 游戏33个黑球和1个白球1个黑球和1个白球2个黑球和2个白球任取1个球，再任取1个球任取1个球任取1个球，再任取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的球是黑球→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的球是白球→乙胜取出的两个球不同色→乙胜A. 游戏1和游戏3B. 游戏1C. 游戏2 D．游戏36.〈顺义二模〉从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从{1，2，3}中随机选取一个数b，则关于x的方程x2+2ax+b2=0有两个不相等的实根的概率是（）A. 15B. 25C. 35D. 45二．填空题（每题5分，共20分）7. 我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：年降水量/mm ［100，150）［150，200）［200，250）［250，300］概率0.21 0.16 0.13 0.12则年降水量在［200，300］（mm ）范围内的概率是 .8.〈江苏〉现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为 ．9.〈北京一模〉设不等式组2222x y -≤≤-≤≤⎧⎨⎩，表示的区域为W ，圆C ：(x －2)2＋y 2＝4及其内部区域记为D .若向区域W 内随机投入一点，则该点落在区域D 内的概率为 ．10.〈易错题〉盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当取到红球时停止取球．那么取球次数恰为2次的概率是 .三．解答题（14题14分，其余每题12分，共50分）11. 某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示： 投篮次数n8 10 15 20 30 40 50进球次数m6 8 12 17 25 32 40进球频率m n（1）计算表中进球的频率；（2）这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？12.〈江西高安中学期末考〉已知集合A＝{－2,0,1,3}，在平面直角坐标系中，点M的坐标(x，y)满足x∈A，y∈A.(1)请列出点M的所有坐标；(2)求点M不在y轴上的概率；(3)求点M正好落在区域50x yxy+-<⎪⎩>>⎧⎪⎨，，上的概率．13.〈浙江期中考〉在正方形中随机地撒一把豆子，通过考察落在其内切圆内豆子的数目，用随机模拟的方法可计算圆周率π的近似值，如图1所示.（1）用两个均匀随机数x，y构成的一个点的坐标（x，y）代替一颗豆子，请写出随机模拟的方案；图1（2）以下程序框图（如图2）用以实现该模拟过程，请将它补充完整．（注：rand是计算机在Excel中产生［0，1］区间上的均匀随机数的函数）图214.〈江西模拟〉设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈[]1,2，都有｜f(x)+g(x)｜≤8，则称f（x）和g（x）是“友好函数”，设f(x)=ax,g(x)=bx.（1）若a∈{}-,求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；1,1,41,4,b∈{}（2）若a∈[]-，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率．1,41,4,b∈[]参考答案及点拨一、1. C 点拨：由概率的基本性质，事件A的概率P（A）的值满足0≤P（A）≤1，故A错误；必然事件概率为1，故B错误；不可能事件概率为0，故D错误．故选C.2. C 点拨：从40张扑克牌（红心、黑桃、方块、梅花各10张，且点数都是从1～10）中，任取一张，①“抽出红心”与“抽出黑桃”不可能同时发生，故它们是互斥事件．再由这两个事件的和不是必然事件（还有可能是“方块”或“梅花”），故它们不是对立事件．综上可得，“抽出红心”与“抽出黑桃”是互斥事件，但不是对立事件．②由于“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”不可能同时发生，故它们是互斥事件；再由这两个事件的和事件是必然事件，故它们是对立事件．③“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”不是互斥事件，它们可能同时发生（如抽出的牌点数为10），故它们不是互斥事件，更不可能是对立事件．故答案为C.3.C 点拨：易知事件A与B互斥，P（A）=P（B）=0.3，则根据互斥事件的概率加法公式可得P（A+B）=P（A）+P（B）=0.6，故选C．4. A 点拨：记4个兴趣小组分别为1,2,3,4，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲1,乙4;甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲2,乙4;甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3;甲3,乙4;甲4,乙1;甲4,乙2;甲4,乙3;甲4,乙4”，共16个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3;甲4,乙4”，共4个．因此P(A)＝416＝14.5. D 点拨：对于游戏1，基本事件数有12种，取出两球同色即全是黑球有6种取法，其概率是12，取出颜色不同的概率也是12，故游戏1公平；对于游戏2，基本事件数有2种，两个事件的概率都是12，故游戏2公平；对于游戏3，基本事件数有12种，两球同色的种数有4种，故其概率是13，颜色不同的概率是23，故此游戏不公平，乙胜的概率大．综上知，游戏3不公平．故选D.6.C 学科思想：此题利用转化与化归思想，由方程有两个不相等的实数根得到a与b的关系后求解.根据题意，a是从集合{1，2，3，4，5}中随机抽取的一个数，a有5种情况，b是从集合{1，2，3}中随机抽取的一个数，b有3种情况，则方程x2+2ax+b2=0有3×5=15(种)情况，若方程x2+2ax+b2=0有两个不相等的实根，则Δ=（2a）2－4b2＞0，即a＞b，其中总数有15种，a>b的情况有9种，概率为35.二、7. 0.25 点拨：“年降水量在［200，300］（mm）范围内”由“年降水量在［200，250）（mm）范围内”和“年降水量在［250，300］（mm）范围内”两个互斥事件构成，因此概率=0.13+0.12=0.25.8. 2063点拨：基本事件共有7×9＝63（种），m可以取1，3，5，7，n可以取1，3，5，7，9.所以m，n都取到奇数共有20种，故所求概率为2063.9.8π学科思想：利用数形结合思想，在平面直角坐标系中画出图形，根据几何概型概率公式求解.依题意得，平面区域W的面积等于(2＋2)2＝16，圆C及其内部区域与平面区域W的公共区域的面积等于12×(π×22)＝2π，因此所求的概率等于162π＝8π.10.625点拨：记两个白球为a,b，3个红球为1,2,3，则任意取两个球，其结果有(a,a) ,(a,b) ,(a,1),(a,2),(a,3),(b,a), (b,b), (b,1),(b,2),(b,3),(1,a),(1,b),(1,1),(1,2), (1,3), (2,a),(2,b),(2,1),(2,2),(2,3), (3,a),(3,b),(3,1),(3,2),(3,3)共25种结果，由于取到红球停止，因此第一个球为白球且第二个球为红球，它包含(a,1),(a,2),(a,3), (b,1),(b,2),(b,3)共6种结果，因此所求概率为625.此题容易误认为是“不放回”概率模型而致错，也容易忽视抽取的顺序性而致错.三、11. 解：（1）填入表中的数据依次为0.75,0.80,0.80,0.85,0.83,0.80,0.80.（2）由于上述频率接近0.80，因此，进球的概率约为0.80.12. 解：(1)∵集合A ＝{－2,0,1,3}，点M (x ，y )的坐标满足x ∈A ，y ∈A ，∴M 的坐标共有：4×4＝16（种）情况，分别是：(－2，－2)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,3)，(0，－2)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，(1，－2)，(1,0)，(1,1)，(1,3)，(3，－2)，(3,0)，(3,1)，(3,3)．(2)点M 不在y 轴上的坐标的情况共有12种，分别是：(－2，－2)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,3)，(1，－2)，(1,0)，（1，1），(1,3)，(3，－2)，(3,0)，(3,1)，(3,3)，∴点M 不在y 轴上的概率P 1＝1216＝34. (3)点M 正好落在区域5000x y x y ⎧⎪⎨⎪<>>⎩+－，，上的坐标的情况共有3种，分别是：(1,1)，(1,3)，(3,1)，故点M 正好落在该区域上的概率P 2＝316. 13. 解：（1）具体方案如下：①利用计算机产生两组［0，1］上的均匀随机数，通过变换，得到两组［－1，1］上的均匀随机数； ②统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1（满足条件x 2+y 2≤1的点（x ，y ）的个数）；③计算频率1N N，即为点落在圆内的概率的近似值； ④设圆的面积为S ，由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率P =4S ．∴4S ≈1N N ．∴S ≈14N N ，即为圆的面积的近似值．又S 圆=πr 2=π，∴π=S ≈14N N，即为圆周率的近似值． （2）由题意，第一个判断框中应填x 2+y 2≤1，其下的处理框中应填m =m +1，退出循环体后的处理框中应填P =m n .14. 解:（1）设事件A =f (x )和g （x ）是“友好函数”，则｜f （x ）+g （x ）｜（x ∈[]1,2）所有的情况有：x －1x ,x +1x ,x +4x ,4x －1x ,4x +1x ,4x +4x,共6种且每种情况被取到的可能性相同. 又当a ＞0,b ＞0时,ax +b x 在0b a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，上递减,在b a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝∞⎭+，上递增;x －1x 和4x －1x在(0,+∞)上递增，∴对x ∈[]1,2可使｜f (x )+g (x )｜≤8恒成立的有x －1x ,x +1x ,x +4x ，4x －1x ，故事件A 包含的基本事件有4种，∴P （A ）=46=23，∴所求概率是23.答图1（2）设事件B =f （x ）和g （x ）是“友好函数”，∵a 是从区间[]1,4中任取的数,b 是从区间[]-1,4中任取的数,∴点(a ,b )所在区域是长为5,宽为3的矩形ABCD ,如答图1,要使x ∈[]1,2时,｜f (x )+g (x )｜≤8恒成立,只需|f (1)+g (1)|=|a +b |≤8且|f (2)+g (2)|=|2a +2b |≤8.∴事件B 包含的点的区域是如答图1所示的阴影部分.∴P (B )=()122341335⨯+⨯+⨯⨯ =1315，∴所求概率是1315.。
北师大版(新课标)高中数学必修3第三章 概率单元检测卷
第5题图第三章 概率单元检测卷姓名：___________ 学号：____________ 难度系数：0.5 评价：__________ 本试卷共三大题，总分 150 分，考试时间 120 分钟一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．从一批产品中取出三件产品，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ） A . A 与C 互斥 B . 任何两个均互斥 C . B 与C 互斥D . 任何两个均不互斥2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P （A ）= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）A. 0.7B. 0.65C. 0.35D. 0.33． 取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为（ ）A．2π B ．2ππ- C D ．4π4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2=Y X 的概率为 （ ） A ．61 B ．365 C ．121 D ．21 5．如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 是圆O 的六个等分点，则转盘指针不落在阴影部分的概率为( ) A ．12 B ．13C ．23D ．146． 在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ） A ．310 B ．15 C ．110 D ．1127.把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ．则两直线mx+ny-1=O 与2x+y-2=O 相交的概率为（ ） A ．16 Ｂ．23 Ｃ．512 Ｄ．1112(第12题图)BD8．设M 是正△123PP P 及其内部的点所构成的集合，点0P 是正△123PP P 的中心，若集合 {}0|,,1,2,3iS P P M P P P P i =∈≤=，在M 中任取一点落在S 中的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ．23 D ．129．古代“五行”学说认为：物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，从五种具有不同属性的物质中任意选取两种，则这两种属性的物质不相克的概率为（ ） A ．103 Ｂ．25 C ．21 Ｄ．3510．（2010·山东泰安宁阳一中高一期末考试）如图所示，1=OA ，在以O 为圆心，OA 为半径的半圆弧长任取一点B ，则使AOB ∆的面积大于等于41的概率为（ ） A ．32B ．31 C ．41 D ．21二.填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在相应位置.)11．在圆心角为150°的扇形AOB 中，过圆心O 作射线交弧AB 于P ，≥45°且∠BOP ≥75°的概率为 ．12. 已知一颗粒子等可能地落入如右图所示的四边形ABCD 内的任意位置，如果通过大量的实验发现粒子落入△BCD 内的频率稳 定在25附近，那么点A 和点C 到时直线BD 的距离之比约为 ．13．甲、乙两人玩游戏，规则如框图所示，则甲胜的概率为 ． 14．任取一正整数，则该数的平方的末位数是1的概率为 ．15．下列说法中正确的有 ．①平均数不受少数几个极端值的影响，中位数受样本中的每一个数据影响；②抛掷两枚硬币，出现“两枚斗士正面朝上”、“两枚斗士反面朝上”、 “恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大 ③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确；④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分）（2010·安徽模拟）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组[)14,13；第二组[)15,14……第五组[]18,17．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设m 、n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知[)[],13,1417,18m n ∈，求事件“1>-n m ”的概率.17.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，平面区域W 中的点的坐标(),x y 满足1202x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩，从区域W 随机取点(),M x y ， （1）若,x Z y Z ∈∈，求点M 位于第一象限的概率； （2）若,x R y R ∈∈，求||2OM ≤的概率.18．（本小题满分13分）（2010·北京石景山区高三期末测试）联合国准备举办一次有关全球气候变化的会议，分组研讨时某组有6名代表参加，A 、B 两名代表来自亚洲，C 、D 两名代表来自北美洲，E 、F 两名代表来自非洲，小组讨论后将随机选出两名代表发言． （1）代表A 被选中的概率是多少？（2）选出的两名代表“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”的概率是多少？ 19．（本小题满分12分）某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装 有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次 取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个 小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等 奖，等于4或3中三等奖. （1）求中三等奖的概率； （2）求中奖的概率.20．（本小题满分13分）育新中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由. 21. （本小题满分13分）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为,a b .（1）设函数()f x x a =-，函数()g x x b =-，令()()()F x f x g x =-，求函数()F x 有且只有一个零点的概率；（2）将,,5a b 的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．概率单元检测解析与答案一、选择题1．A 解析：事件A 与B 互斥，事件A 与C 对立，事件B 与C 不互斥，故选A. 2．C 解析：抽到的产品不是一等品的概率为1-0.65＝0.35.3．B .提示：所求概率为圆面积与正方形面积的差值除以圆面积.4．C ．提示：总事件数为36种.而满足条件的(x ，y)为（1，2），（2，4），（3，6），共3种情形.5．B ．解析：阴影部分的面积占整个转盘面积的.3264=故指针不落在阴影部分的概率为21133-=． 6．A 解析：从五个球中任取两个共有10种情况，而1+2=3，2+4=6，1+5=6，取出的小球标注的数字之和为3或6的只有3种情况，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为103选A ． 7.D 解析：由两条直线相交得：2m n ≠,由于只有(2,1), (4,2), (6,3), 三对有序数对(m,n),使2m n =， ∴P(B)= 3111.6612-=⨯ 8．C ．9．C 解析：基本事件为金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，不相克的事件数为5,故所求概率为.21 10．A 解析：由题意可知21sin 210≤∠∙=∆AOB OB OA S B A ， 若面积大于等于41，则需AOB ∠的范围在]65,6[ππ之商，故所求概率为32665=-πππ． 二、填空题 11．15解析：P 点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为150°-45°-75°，即就是30°，3011505=．12．32． 13．21解析：由框图可以看出，甲胜即是取出的再球同色的时候，第一次取球，有4种取法，第二次取球有3种取法，共有1234=⨯种取法，第一次取红球有3种取法，第二次取白球有1种取法，共有3种取法，第一次取白球有1种取法，第二次取红球有3种取法，故取出的两球不同色共有63113=⨯+⨯（种）取法，因此取出的两球不同色的概率为21126=，所以甲胜的概率为.21 14．51解析：一个正整数的平方的末位数字只取决于该正整数的末位数，它必然是0， 1，2，…，9中的任意一个，因而基本事件为 Ω={1，2，3，…，9}，共10个．正整数的平方的末位数是1的事件A ={1，9}，共2个．因为所有这些事件都是等可能基本事件，故由概率的计算公式得21()105P A ==． 15．③ 三、解答题16.解析：（1）由直方图知，成绩在)[16,14内的人数为：2738.05016.050=⨯+⨯（人） 所以该班成绩良好的人数为27人.（2）由直方图知，成绩在[)14,13的人数为306.050=⨯人，设为x 、y 、z ；成绩在[)18,17 的人数为408.050=⨯人，设为A 、B 、C 、D . 若[)14,13,∈n m 时，有yz xz xy ,,3种情况；若[)18,17,∈n m 时，有CD BD BC AD AC AB ,,,,,6种情况； 若n m ,分别在[)14,13和[)18,17内时，所以基本事件总数为21种，事件“1>-n m ”所包含的基本事件个数有12种. ∴P （1>-n m ）=742112=17．解析：（1）若,x y Z ∈，则点M 的个数共有12个，列举如下：（-1，0），（-1，1），（-1，2），（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）；当点M 的坐标为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）时，点M 位于第一象限，故点M 位于第一象限得概率为13． (2)如图，若,x y R ∈，则区域W 的面积是3×2=6；满足||2OM ≤的点M 构成的区域为{(,)|12,02,4}x y x y x y -≤<≤≤+≤.即图中阴影部分，易知(1E -，060EOA ∠=.所以阴影BOE 的面积是43π；EOA 的面积是2，故:432(||2)6p OM π+≤==． 18.解析：（1）从这6名代表中随机选出2名，共有15种不同的选法，分别为（A ，B ）， （A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，C ）,（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ）， （C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ）．其中代表A 被选中的选法有（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ）共5种， 则代表A 被选中的概率为51153=． （2）解法一：随机选出的2名代表“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”的结果有9种，分别是（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ）,（B ，D ），（C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ）． “恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”这一事件的概率为93155=． 解法二：随机选出的2名代表“恰有1名来自北美洲”的结果有8种，概率为 815； 随机选出的2名代表“都来自非洲”的结果有1种，概率为115． “恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”这一事件的概率为81315155+=． 19．解析：（１）设“中三等奖”为事件A ，“中奖”为事件B ， 从四个小球中有放回的取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1）（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）16种不同的结果.两个小球号码相加之和等于4的取法有3种： （1，3），（2，2），（3，1）两个小球号相加之和等于3的取法有4种： （0，3），（1，2），（2，1），（3，0） 由互斥事件的加法公式得167164163)(=+=A P ， 即中三等奖的概率为716．（2）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种； 两个小球相加之和等于4的取法有3种； 两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：（2，3），（3，2） 两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：（3，3） 由互斥事件的加法公式得：12345()161616168P B =+++=，即中奖的概率为58． 20.解析：（1）416015n P m ===∴某同学被抽到的概率为115， 设有x 名男同学，则45604x=，3x ∴=∴男、女同学的人数分别为3,1 （2）把3名男同学和1名女同学记为123,,,a a a b ，则选取两名同学的基本事件有121312123231323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a b a a a a a b a a a a a b 123(,),(,),(,)b a b a b a 共12种，其中有一名女同学的有6种∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61122P == （3）16870717274715x ++++==，26970707274715x ++++== 2221(6871)(7471)45s -+-==，2222(6971)(7471) 3.25s -+-==∴第二同学的实验更稳定．21．解析：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为,a b ,事件总数为6636⨯=． ∵函数()F x 有且只有一个零点，∴函数()f x x a =-与函数()g x x b =-有且只有一个交点，所以b a <，且,{1,2,3,4,5,6}a b ∈，∴满足条件的情况有2,1a b ==；3,1,2a b ==；4,1,2,3a b ==；5,1,2,3,4a b ==；6,1,2,3,4,5a b ==.共1234515++++=种情况．∴函数()F x 有且只有一个零点的概率是1553612=． （2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为,a b ,事件总数为6636⨯=．∵三角形的一边长为5∴当1a =时，5b =,(1,5,5), 1种 ; 当2a =时，5b =，(2,5,5), 1 种; 当3a =时，3,5b =，(3,3,5)，(3,5,5), 2 种; 当4a =时，4,5b =，(4,4,5)，(4,5,5) ,2种; 当5a =，1,2,3,4,5,6b =，(5,1,5)，(5,2,5)，(5,3,5)，(5,4,5),(5,5,5),(5,6,5) ,6种; 当6a =,5,6b =，(6,5,5)，(6,6,5) ,2种故满足条件的不同情况共有14种，答：三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为147 3618．。
北师大版高二数学必修三第三章概率综合检测题(附答案)
北师大版高二数学必修三第三章概率综合检测题（附答案）数学是研讨理想世界空间方式和数量关系的一门迷信。
小编预备了高二数学必修三第三章概率综合检测题，详细请看以下内容。
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的)1.以下说法正确的选项是()A.假设一事情发作的概率为一百万分之一，说明此事情不能够发作B.假设一事情发作的概率为310，那么在10次实验中，该事情发作了3次C.假设某奖券的中奖率是10%，那么购置一张奖券中奖的能够性是10%D.假设一事情发作的概率为99.999 999 9%，说明此事情肯定发作【解析】某一事情发作的概率很小或很大，都还说明此事情是随机事情，概率描画描写了该事情发作能够性大小，所以A，D均不正确，B不正确，C正确，应选C.【答案】C2.从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2个球，以下状况是互斥而不统一的两个事情是()A.至少有一个红球，至少有一个白球B.恰有一个红球，都是白球C.至少有一个红球，都是白球D.至少有一个红球，都是红球【解析】A中，至少有一个红球能够为一红一白，至少有一个白球，能够为一白一红，两事情能够同时发作，故不是互斥事情.B中恰有一个红球，那么另一个必是白球，与都是白球是互斥事情，而任选两球还有两球都是红球的状况，故不是统一事情.C为统一事情，D为统一事情.【答案】B3.(2021吉安检测)取一个正方形及其外接圆，随机向圆内抛一颗豆子，那么豆子落在正方形外的概率为()A.2 -2C.2 4【解析】设圆的半径为a，那么S圆=a2，S正方形=(2a)2=2a2，故豆子落在正方形外的概率为a2-2a2-2.【答案】B图14.如图1所示，在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，那么△PBC 的面积大于S4的概率是()A.14B.12C.34D.23【解析】作PEBC，ADBC，垂足区分为E，D.当△PBC的面积刚好等于S4时，PE=14AD，要想S△PBC14S，那么PB14AB，故概率为P=34ABAB=34.【答案】C5.设a是甲抛掷一枚骰子失掉的点数，那么方程x2+ax+2=0有两个不相等的实数根的概率为()A.23B.13C.12D.512【解析】假定方程有实根，那么a2-80.a的一切取值状况共6种，满足a2-80的有4种状况，故P=46=23.【答案】A6.在一个袋子中装有区分标注着数字1,2,3,4,5,6的六个小球，这些小球除标注的数字外，完全相反.现从中随机地一次取出两个小球，那么取出的小球标注的数字之和为5或6的概率是()A.215B.15C.415D.13【解析】用(x，y)表示取出两球上标注的数字，那么一切的基身手情是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共有15个.数字之和为5或6包括的基身手情有：(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，共有4个.那么所求概率为415.【答案】C7.(2021九江检测)在三棱锥的六条棱中恣意选择两条，那么这两条棱是一对异面直线的概率为()A.120B.115C.15D.16【解析】在三棱锥的六条棱中恣意选择两条直线共有15种状况，其中异面的状况有3种，那么两条棱异面的概率为P=315=15.8.甲、乙两人玩猜数字，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b{1,2,3,4,5,6}，假定|a-b|1.就称甲乙心有灵犀，现恣意找两人玩这个游戏，那么他们心有灵犀的概率为()A.19B.29C.718D.49【解析】由于a，b{1,2,3,4,5,6}，那么满足要求的事情能够的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种.而依题意得基身手情的总数有36种.故P=1636=49.【答案】D9.从装有4粒相反的玻璃球的瓶中，随意倒出假定干粒玻璃球(至少1粒)，记倒出奇数粒玻璃球的概率为P1，倒出偶数粒玻璃球的概率为P2，那么()A.P1P2C.P1=P2D.P1，P2大小不能确定【解析】我们将4粒玻璃球编号为1、2、3、4号，倒出1粒有4种状况，倒出2粒有6种状况，倒出3粒有4种状况，倒出4粒有1种状况，我们可以为基身手情总数为4+6+4+1=15，那么倒出奇数粒玻璃球的概率为815，倒出偶数粒玻璃球的概率为715.10.(2021安徽高考)假定某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的时机均等，那么甲或乙被录用的概率为()A.23B.25C.35D.910【解析】由题意，从五位大学毕业生中录用三人，一切不同的能够结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中甲与乙均未被录用的一切不同的能够结果只要(丙，丁，戊)这1种，故其统一事情甲或乙被录用的能够结果有9种，所求概率P=910.【答案】D二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)11.假定以延续掷两次骰子区分失掉的点数m，n作为点p的坐标，那么点p落在圆x2+y2=25外的概率是________.【解析】易知p(x，y)共有36种，其中p落在x2+y2=25外的有(1,5)，(5,1)，(1,6)，(6,1)，(2,5)，(5,2)，(2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(3,6)，(6,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)共有21种，P=2136=712.【答案】71212.在正方形ABCD内任取一点P，那么使90的概率是________.【解析】如下图，以AB为直径作半圆，当点P落在AB上时，APB=90，所以使90的点落在图中的阴影局部.设正方形的边长为1，在正方形ABCD内任取一点P，那么使90为事情A，那么=1，A=1-12(12)2=1-8，P(A)=1-8.【答案】1-813.先后2次抛掷一枚骰子，所得点数区分为x，y，那么xy是整数的概率是________.【解析】先后两次抛掷一枚骰子，失掉的点数区分为x，y的状况一共有36种，其中xy是整数的状况有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6)共14种.故xy是整数的概率为718.【答案】718图214.如图2，一只蚂蚁在不时角边长为1 cm的等腰直角三角形ABC(B为直角)的边长匍匐，那么蚂蚁距A点不超越1 cm的概率为________.【解析】该效果属于几何概型，蚂蚁沿△ABC的边匍匐的总长度为2+2，其中距A点不超越1 cm时的长度为1+1=2，依据几何概型概率计算公式得P=22+2=2-2.【答案】2-215.设集合A={1,2}，B={1,2,3}，区分从集合A和B中随机取一个数a 和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记点P(a，b)落在直线x+y=n上为事情Cn(25，nN)，假定事情Cn的概率最大，那么n的一切能够值为________.【解析】点P的一切能够值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，点P(a，b)落在直线x+y=n上(25，nN)，且事情Cn的概率最大，当n=3时，P点能够是(1,2)，(2,1).当n=4时，P点能够为(1,3)，(2,2)，即事情C3，C4的概率最大，故n=3或4.【答案】3或4高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好掌握高中，编辑教员为大家整理的高二数学必修三第三章概率综合检测题，希望大家喜欢。
高一数学必修3第三章《概率》测试题(北师
高一数学必修3第三章《概率》测试题(北师一、选择题（每小题5分，共计50分）1、下列说法正确的是（）A、任何事件的概率总是在（0，1）之间B、频率是客观存在的，与试验次数无关C、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D、概率是随机的，在试验前不能确定2、掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是（）A、B、C、D、3、从装有个红球和个黒球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A、至少有一个黒球与都是黒球B、至少有一个黒球与都是黒球C、至少有一个黒球与至少有个红球D、恰有个黒球与恰有个黒球4、在根纤维中，有根的长度超过，从中任取一根，取到长度超过的纤维的概率是（）A、B、C、D、以上都不对5、从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4、8g的概率为0、3，质量小于4、85g的概率为0、32，那么质量在[4、8，4、85]（ g ）范围内的概率是（）A、0、62B、0、38C、0、02D、0、686、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（）A、B、C、D、7、甲，乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人各住一间房的概率是（）A、B、C、D、无法确定8、从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（）A、 1B、C、D、9、一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（）A、B、C、D、10、现有五个球分别记为A，C，J，K，S，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则K或S在盒中的概率是（）A、B、C、D、二、填空题（每小题5分，共计20分）11、在件产品中，有件一级品，件二级品，则下列事件：①在这件产品中任意选出件，全部是一级品；②在这件产品中任意选出件，全部是二级品；③在这件产品中任意选出件，不全是一级品；④在这件产品中任意选出件，其中不是一级品的件数小于，其中是必然事件；是不可能事件；是随机事件。
2018学年高中数学北师大版必修3章末综合测评3 概率 含
章末综合测评(三)概率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件：①如果a，b是实数，那么b＋a＝a＋b；②某地1月1日刮西北风；③当x是实数时，x2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%，其中是随机事件的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】由题意可知①③是必然事件，②④是随机事件．【答案】 B2．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nm B.2nmC.4mn D.2mn【解析】分别确定n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)和m个两数的平方和小于1的数对所在的平面区域，再用随机模拟的方法和几何概型求出圆周率π的近似值．因为x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得S扇形S正方形＝mn，即π4＝mn，所以π＝4mn.【答案】 C3．从含有3个元素的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是()A.310B.112C.4564D.38【解析】 所有子集共8个，其中含有2个元素的为{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，所以概率为38.【答案】 D4．(2016·山东青岛一模)如图1所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是( )图1A.2－32B.2＋32C.1＋32D.1－32【解析】 易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S 1＝(3－1)2＝4－23，大正方形的面积为S ＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P ＝S 1S ＝4－234＝2－32.【答案】 A5．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4.从这4张卡片中随机抽取2张，则抽取的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12C.23D.34【解析】 基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6个，其中两数字之和为奇数的有(1,2)，(2,3)，(1,4)，(3,4)，所以概率为23.【答案】 C6．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积不小于S3的概率是( )A.23B.13C.34D.14【解析】 如图，设点M 为AB 的三等分点，要使△PBC 的面积不小于S3，则点P 只能在AM 上选取，由几何概型的概率公式得所求概率|AM ||AB |＝23|AB ||AB |＝23.【答案】 A7．(2016·东北八校二模)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.19 B.29 C.718D.49【解析】 任意找两人玩这个游戏，共有6×6＝36种猜数字结果，其中满足|a －b |≤1的有如下情形：①a ＝1，b ＝1,2；②a ＝2，b ＝1,2,3；③a ＝3，b ＝2,3,4；④a ＝4，b ＝3,4,5；⑤a ＝5，b ＝4,5,6；⑥a ＝6，b ＝5,6，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为P ＝1636＝49.【答案】 D8．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4B ．1－π4C.π8 D ．1－π8【解析】 长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2，取到的点到O 的距离大于1的概率为2－π22＝1－π4.【答案】 B9．设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为( )A.23B.13C.12D.512【解析】 若方程有实根，则a 2－8>0.a 的所有取值情况共6种，满足a 2－8>0的有4种情况，故P ＝46＝23.【答案】 A10．(2016·石家庄高一检测)有分别写着数字1到120的120张卡片，从中取出1张，这张卡片上的数字是2的倍数或是3的倍数的概率是( )A.12B.34C.47D.23【解析】 是2的倍数的数有60个，是3的倍数的数有40个，是6的倍数的数有20个，∴P ＝60＋40－20120＝23.【答案】 D11．(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1C.12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2【解析】 如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE ，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18<12，事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于12，故p 2>12，则p 1<12<p 2，故选D.【答案】 D12．如图2所示，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝7.现在向该矩形内随机投一点P ，则∠APB ＞90°的概率为()图2A.536 B.556π C.18πD.18【解析】 由于是向该矩形内随机投一点P ，点P 落在矩形内的机会是均等的，故可以认为矩形ABCD 为区域Ω.要使得∠APB ＞90°，需满足点P 落在以线段AB 为直径的半圆内，以线段AB 为直径的半圆可看作区域A .记“点P 落在以线段AB 为直径的半圆内”为事件A ，于是求∠APB ＞90°的概率转化为求以线段AB 为直径的半圆的面积与矩形ABCD 的面积的比，依题意，得μA ＝12π×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25π8，矩形ABCD 的面积μΩ＝35，故所求的概率为P (A )＝25π835＝5π56.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是0.98，二级品的概率是0.21，则出现一级品与三级品的概率分别是________，________.【解析】 由题意知出现一级品的概率是0.98－0.21＝0.77，又由对立事件的概率公式可得出现三级品的概率是1－0.98＝0.02.【答案】 0.77 0.0214．如图3的矩形，长为5 m ，宽为2 m ，在矩形内随机地撒300粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138粒，则我们可以估计出阴影部分的面积为________m 2.图3【解析】 由题意得138300＝S 阴5×2，S 阴＝235.【答案】 23515．在箱子中装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数；从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x ，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y ，则x ＋y 是10的倍数的概率为________. 【导学号：63580044】【解析】 先后两次取卡片，形成的有序数对有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(1,10)，…，(10,10)，共计100个．因为x ＋y 是10的倍数，这些数对应该是(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，(10,10)共10个，故x ＋y 是10的倍数的概率为P ＝10100＝110.【答案】 11016．(2015·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．【解析】 ∵方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，∴⎩⎨⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或p ≥2.故所求概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋(5－2)5－0＝23.【答案】 23三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料，若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率； (2)求此人被评为良好及以上的概率．【解】 将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A 饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5种饮料中选出3杯的所有可能情况为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共有10种，令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件，则(1)P (D )＝110.(2)P (E )＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710.18．(本小题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y .(1)求事件“x ＋y ≤3”的概率； (2)求事件“|x －y |＝2”的概率．【解】 设(x ，y )表示一个基本事件，则掷两次骰子包括(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个基本事件．(1)用A表示事件“x＋y≤3”，则A的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件．∴P(A)＝336＝112.即事件“x＋y≤3”的概率为1 12.(2)用B表示事件“|x－y|＝2”，则B的结果有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(4,6)，(6,4)，(5,3)，(4,2)，(3,1)共8个基本事件．∴P(B)＝836＝29.即事件“|x－y|＝2”的概率为2 9.19．(本小题满分12分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4,5的五个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；(2)求取出的两个球上标号之和与标号之积都不小于5的概率．【解】设从甲、乙两个盒子中各取出1个球，编号分别为x，y，用(x，y)表示抽取的结果，结果有以下25种：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)．(1)取出的两个球上标号为相邻整数的结果有以下8种：(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，故所求概率为P＝825，即取出的两个球上标号为相邻整数的概率为8 25.(2)标号之和与标号之积都不小于5的结果有以下17种：(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，故所求概率为P＝17 25，故取出的两个球上标号之和与标号之积都不小于5的概率是17 25.20. (本小题满分12分)把一颗骰子抛掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b .试就方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2解答下列各题：(1)求方程组只有一组解的概率；(2)求方程组只有正数解(x 与y 都为正)的概率．【解】 (1)当且仅当a b ≠12时，方程组只有一组解；a b ＝12的情况有三种： ⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝2或⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝4或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝6. 而抛掷两次的所有情况有6×6＝36(种)，所以方程组只有一组解的概率为P ＝1－336＝1112.(2)因为方程组只有正数解，所以两直线的交点一定在第一象限，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2b 2a －b ，y ＝2a －32a －b .当⎩⎨⎧2a －b ＞0，6－2b ＞0，2a －3＞0，或⎩⎨⎧2a －b ＜0，6－2b ＜0，2a －3＜0，且a ＞0，b ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＞b ，2a ＞3，b ＜3，a ＞0，b ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＜b ，2a ＜3，b ＞3，a ＞0，b ＞0，时，x ＞0，y ＞0.当b ＝1或2时，a ＝2,3,4,5,6； 当b ＝4或5或6时，a ＝1.所以方程组只有正数解的概率为P ＝1336.21．(本小题满分12分)(2015·山东高考)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【解】(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝15 45＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝2 15.22．(本小题满分12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C 区中分别有18,27,18个工厂．(1)求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．【解】(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为7 63＝19，所以从A ，B ，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.(2)设A 1，A 2为在A 区中抽得的2个工厂，B 1，B 2，B 3为在B 区中抽得的3个工厂，C 1，C 2为在C 区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(C 1，C 2)，共有21种．随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A 区的结果(记为事件X )有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率为P (X )＝1121.。
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修三《统计》章末质量评估(一)及答案解析
2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修三章末质量评估(一)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．为了抽查某城市自行车年检情况，在该城市主干道上采取抽车牌个位数为6的自行车检查，这种抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．抽签法C ．系统抽样D ．分层抽样答案 C2．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为( ).分数 5 4 3 2 1 人数2010303010A. 3B.2105C ．3D.85解析 由标准差公式计算可得选B. 答案 B3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( )． A ．3.5 B ．3C ．0.5D ．－3答案 D4．某人从湖中打了一网鱼，共有m 条，做上记号再放入湖中，数日后在此湖中又打了一网鱼，共有n 条，其中k 条有记号，则估计湖中有鱼 ( )．A.nk条B ．m ·n k条C ．m ·k ·k n条 D ．无法估计答案 B5．下列命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归直线y ＝bx ＋a 及回归系数b ，可以估计和预测变量的取值和变化趋势．其中正确的命题是( )． A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③答案 D6．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( ).一年级 二年级 三年级女生 373 x y 男生377 370 z A.24B ．48C ．16D ．12解析 依题意知二年级的女生有380名，那么三年级学生的人数应该是 2 000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比例为3∶3∶2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×28＝16.答案 C7．有一学校高中部有学生2 000人，其中高一学生800人，高二学生600人，高三学生600人．现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( )．A ．15，10，25B ．20，15，15C ．10，10，30D ．10，20，20解析 抽取比例为502 000＝140，故高一抽取800×140＝20(人)，高二和高三都为600×140＝15(人)．答案 B8．在抽查某产品尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a ，b ]是其中一组，已知该组的频率为m ，该组上的直方图的高为h ，|a －b |等于( )．A．mh B.hm C.mhD．m＋h解析因为h＝m|a－b|.所以|a－b|＝mh.答案 C9．已知x、y之间的一组数据：x 012 3y 1357则y与x的线性回归直线y^＝bx＋a必过点( )．A．(2，2) B．(1.5，0)C．(1，2) D．(1.5，4)解析x－＝1.5，y－＝4，∴回归直线必过点(1.5，4)．答案 D10．某人对一个地区人均工资x与该地区人均消费y进行统计调查，y与x有相关关系，得到回归直线方程为y＝0.66x＋1.562 (单位：百元)．若该地区人均消费水平为7.675百元，估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )．A．66% B．72.3% C．67.3% D．83%解析令y＝7.675，解得x＝9.262.∴百分比约为7.6759.262≈83%.答案 D二、填空题(本题6个小题，每小题5分，共30分)11．在所给的一组数据中，有m 个x 1，n 个x 2，p 个x 3，则此组数据的平均数________．解析 该组数据共有m ＋n ＋p 个，它们的和为mx 1＋nx 2＋px 3， ∴x －＝mx 1＋nx 2＋px 3m ＋n ＋p.答案 mx 1＋nx 2＋px 3m ＋n ＋p12．甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图所示，则平均分数较高的是________，成绩较为稳定的是________．解析 甲的平均分为x －＝68＋69＋70＋71＋725＝70(分)，乙的平均分为y －＝68(分)； 甲的方差为s 21＝（68－70）2＋（69－70）2＋（70－70）2＋（71－70）2＋（72－70）25＝2(分2)．乙的方差为s 22＝7.2(分2)，故甲的平均分高于乙，甲的成绩比乙稳定． 答案 甲 甲13．在某路段路测点，对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如图所示的频率分布直方图，则车速不小于90 km/h 的汽车约有________辆．解析 频率＝频率组距×组距＝(0.02＋0.01)×10＝0.3，频数＝频率×样本总体＝0.3×200＝60(辆)． 答案 6014．某学校有教师300人，其中高级教师90人，中级教师150人，初级教师60人，为了了解教师健康状况，从中抽取40人进行体检．用分层抽样方法抽取高级、中级、初级教师人数分别为________． 解析 抽取比例为40300＝215，故分别抽取人数为90×215＝12，150×215＝20， 60×215＝8.答案 12，20，815．从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布表如下：分组 [90，100)[100，110)[110，120) [120，130) [130，140)[140，150) 频数123101这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的________%.解析样本容量为20，由20－1－2－3－10－1＝3知，频数对应[130，140)应为3，则样本中质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的10＋3＋120＝70 %.故这堆苹果中(即总体)质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的70 %.答案7016．已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y(万元)，有如下统计资料：使用年限x 2345 6维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.57.0若y对x呈线性相关关系，则回归直线方程y＝bx＋a表示的直线一定过定点________．解析回归直线一定过点(x－，y－)．∵x－＝2＋3＋4＋5＋65＝4(年)，y－＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5(万元)，∴回归直线方程y＝bx＋a一定过定点(4，5)．答案(4，5)三、解答题(每小题10分，共40分)17．某中学对高一年级学生进行身高统计，测量随机抽取的40名学生的身高，如下表(单位：cm)：分组频数频率[140，145) 1[145，150) 2[150，155) 5[155，160)9[160，165)13[165，170) 6[170，175) 3[175，180) 1合计40(1)完成上面的频率分布表；(2)根据上表，画出频率分布直方图；(3)根据图和表，估计数据落在[150，170)范围内的可能性是多少？解(1)频率分布表如下：分组频数频率[140，145)10.025[145，150)20.05[150，155)50.125[155，160)90.225[160，165)130.325[165，170)60.15[170，175)30.075[175，180)10.025合计40 1(2)频率分布直方图如下图所示：(3)由(1)知：0.125＋0.225＋0.325＋0.15＝0.825，即落在[150，170)范围内的可能性为0.825.18．为选派一名学生参加全市实践活动技能竞寒，A、B两位同学在学校学习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据如图所示．(单位：mm)平均数方差完全符合要求的个数A 200.026 2B 20s2B 5根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些；(2)计算出s2B的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．解(1)因为A、B两位同学成绩的平均数相同，同学B加工的零件中完全符合要求的个数较多，由此认为B的成绩好些．(2)∵s2B＝110[5×(20－20)2＋3(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋(20.2－20)2]＝0.008，且s2A＝0.026，∴s2A>s2B.在平均数相同的情况下，B的波动性小，∴B的成绩好些．(3)从图中折线图走势可知，尽管B 的成绩前面起伏较大，但后来逐渐稳定， 误差小，可选派B 去参赛．19．设x ′i ＝ax i ＋b (a 、b 是常数)(i ＝1，2，3，…，n )，x －′＝1n(x ′1＋x ′2＋…＋x ′n )， x －＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )， s 2x ′＝1n[(x ′1－x －′)2＋(x ′2－x －′)2＋…＋(x ′n －x －′)2]， s 2x ＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]． 试证：(1)x －′＝a x －＋b ；(2)s 2x ′＝a 2s 2x . 证明 (1)∵x ′i ＝ax i ＋b (i ＝1，2，…，n )，∴x ′1＋x ′2＋…＋x ′n ＝a (x 1＋x 2＋…＋x n )＋nb .∴1n (x ′1＋x ′2＋…＋x ′n )＝a ·1n(x 1＋x 2＋…＋x n )＋b . ∴x －′＝a x －＋b .(2)s 2x ′＝1n[(x ′1－x －′)2＋(x ′2－x －′)2＋…＋(x ′n －x －′)2] ＝1n{[ax 1＋b －(a x －＋b )]2＋[ax 2＋b －(a x －＋b )]2＋…＋[ax n ＋b －(a x －＋b )2]}＝1n[a 2(x 1－x －)2＋a 2(x 2－x －)2＋…＋a 2(x n －x －)2] ＝a 2·1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2] ＝a 2s 2x .20．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据. x3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝a＋bx ；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标 准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解 (1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．(2)对照数据，计算得 i ＝14x 2i ＝86，x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，已知 i ＝14x i y i ＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为a ＝y －－b x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此所求的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．。
高中数学(北师大版,必修3)第三章+概率(课件+同步练习+章末归纳总结+综合检测,12份)基础知识测试3
第三章基础知识测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
时间120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛掷一只骰子，落地时向上的点数是5的概率是( ) A.13 B ．14C.15 D ．16[答案] D[解析] 掷一次骰子相当于做一次试验，因为骰子是均匀的，它有6个面，每个面朝上的机会是均等的，故出现5点的可能性是16.2．下列结论正确的是( )A ．事件A 的概率P (A )必有0<P (A )<1B ．事件A 的概率P (A )＝0.999，则事件A 是必然事件C ．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其明显疗效的可能性为76%D ．某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖 [答案] C[解析] A ，B 明显不对，C 中，380÷500＝76%，正确．D 中，购买此券10张，可能一张也不中奖．3．两根电线杆相距100 m ，若电线遭受雷击，且雷击点距电线标10 m 之内时，电线杆上的输电设备将受损，则电线遭受雷击时设备受损的概率为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.05D ．0.5 [答案] B[解析] 概率P ＝10×2100＝0.2.4．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是( ) A.13 B ．17C.310 D ．710[答案] C[解析] 这是一个与长度有关的几何概型．所求的概率P ＝(10，13)的区间长度(10，20]的区间长度＝310.5．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取1张，取到卡片是7的倍数的概率是( ) A.750 B ．7100C.748 D ．15100[答案] A[解析] 令1≤7k ≤100(k ∈Z )，则17≤k ≤1427，所以k ＝1,2，…，14.即在1～100中共有14个7的倍数，故所求概率P ＝750.6．某产品的设计长度为20 cm ，规定误差不超过0.5 cm 为合格品，今对一批产品进行测量，测得结果如下表：A.580 B ．780C.1720 D ．320[答案] D[解析] P ＝5＋75＋68＋7＝320.7．(2014·辽宁文，6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2 B ．π4C.π6 D ．π8[答案] B[解析] 总面积2×1＝2. 半圆面积12×π×12＝π2.∴p ＝π22＝π4.8．将一枚均匀的硬币先后抛掷两次，至少出现一次正面向上的概率是( ) A.12 B ．14C.34 D ．1[答案] C[解析] 将一枚硬币先后抛掷两次包含的基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)4种可能的结果，至少出现一次正面向上包含了3个基本事件，故所求概率为34.9．已知某运动员每次投篮命中的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A ．0.35 B ．0.25 C ．0.20 D ．0.15 [答案] B[解析] 由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，故所求概率为520＝14＝0.25.10．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为( )A.16 B ．13C.23 D ．45[答案] C[解析] 本题考查几何概型问题． 由题意如图知点C 在C 1C 2线段上时分成两条线段围成的矩形面积小于32cm 2, ∴P ＝812＝23.注意几何概型用长度刻画．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)11．袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别是0.4和0.35，那么黑球共有________个．[答案] 25[解析] 可求得摸出黑球的概率为1－0.4－0.35＝0.25，袋中共有100个球，所以黑球有25个． 12.如图所示，在一个边长为a 、b (a >b >0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为13a 与12a ，高为b .向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________．[答案]512[解析] S 矩形＝ab ，S 梯形＝12(13a ＋12a )·b ＝512ab ，故所投的点落在梯形内部的概率为S 梯形S 矩形＝512ab ab ＝512.13．(2014·广东文，12)从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________． [答案] 25[解析] 本题考查古典概型．基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )(c ，e )，(d ，e )共10个，含a 的有4个，故概率为410＝25.写全基本事件个数是解决问题的关键．14．设集合P ＝{－2，－1,0,1,2}，x ∈P 且y ∈P ，则点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为________． [答案]925[解析] 以(x ，y )为基本事件，用列表法或坐标法可知满足x ∈P 且y ∈P 的基本事件有25个，且每个基本事件发生的可能性都相等．点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部，则x ，y ∈{－1,1,0}，用列表法或坐标法可知满足x ∈{－1,1,0}且y ∈{－1,1,0}的基本事件有9个．所以点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为925.15．有5根木棍，它们的长度分别是3,4,6,7,9，从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是________．[答案]710[解析]从长度为3,4,6,7,9的5根木棍中任取3根，基本事件总数为10，其中事件“不能构成三角形”用A表示，有长度为3,4,7；3,4,9；3,6,9的三种情况，所以P(A)＝310，故P(A)＝1－P(A)＝710.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：(1)(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？[解析](1)填表如下：(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9.17．(本小题满分12分)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，观察向上的点数，问：(1)共有多少种不同的结果？(2)所得点数之和是3的概率是多少？(3)所得点数之和是3的倍数的概率是多少？[解析](1)先后抛掷两枚骰子，第一枚骰子出现6种结果，对其每一种结果，第二枚又有6种可能结果，于是一共有6×6＝36(种)不同的结果．(2)所得点数之和为3记为事件A，共有两种结果：“第一枚点数为1，第二枚点数为2”和“第一枚点数为2，第二枚点数为1”，故所求概率为P(A)＝236＝118.(3)第一次抛掷，向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个，第二次抛掷时都可以有两种结果，使两次向上的点数和为3的倍数(例如第一次向上的点数为4，则当第二次向上的点数为2或5时，两次的点数之和都为3的倍数)，于是共有6×2＝12(种)不同的结果．因为抛掷两枚骰子得到的36种结果是等可能出现的，记“向上的点数之和是3的倍数”为事件概率为P (B )＝1236＝13.B ，则事件B 的结果有12种，故所求的18．(本小题满分12分)某城市为了发展地铁，事先对地铁现状做一份问卷调查，为此，成立了地铁运营发展指挥部，下设A ，B ，C 三个工作组，其分别有组员24人、24人、12人．为搜集意见，拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三个工作组抽取5名工作人员来完成．(1)求从三个工作组分别抽取的人数；(2)问卷调查搜集意见结束后，若从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，求这2名工作人员没有A 组工作人员的概率.[解析] (1)三个工作组的总人数为24＋24＋12＝60， 样本容量与总体中个体数的比为560＝112，所以从三个工作组分别抽取的人数为2,2,1.(2)设A 1，A 2为从A 组抽得的2名工作人员，B 1，B 2为从B 组抽得的工作人员，C 1为从C 组抽得的工作人员．若从这5名工作人员中随机抽取2名，其所有可能的结果有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共有10种，其中没有A 组工作人员的结果有(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共有3种，所以所求的概率P ＝310. 19．(本小题满分12分)设点(p ，q )在|p |≤3，|q |≤3中按均匀分布出现，试求方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数的概率．[解析] 基本事件总数的区域A 的测度为正方形的面积，即A 的测度＝62＝36. 由方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数Δ＝(2p )2－4(－q 2＋1)≥0， ∴p 2＋q 2≥1.∴当点(p ，q )落在如右图所示的阴影部分时，方程的两根均为实数，由图可知，区域B 的测度＝S 正方形－S ⊙O ＝36－π，∴原方程两根都是实数的概率是P ＝36－π36.20．(本小题满分13分)设x ∈(0,4)，y ∈(0,4)．(1)若x ∈N *，y ∈N *，以x ，y 作为矩形的边长，记矩形的面积为S ，求S <4的概率； (2)若x ∈R ，y ∈R ，求这两数之差不大于2的概率．[解析] (1)若x ∈N *，y ∈N *，则(x ，y )所有的结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共9个，满足S <4的(x ，y )所有的结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)共5个，故S <4的概率为59.(2)所有结果的区域为Ω＝{(x ，y )|0<x <4,0<y <4}，两数之差不大于2的所有的结果的区域为A ＝{(x ，y )|0<x <4,0<y <4，|x －y |≤2}，则P (A )＝42－2242＝34.21．(本小题满分14分)某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务(每人被安排是等可能的，每天只安排1人，每人最多排一天)．(1)一共有多少种安排方法？(2)其中甲、乙2人都被安排的概率是多少？ (3)甲、乙两人中至少有1人被安排的概率是多少？[解析] (1)用“甲乙”表示安排甲担任周六值班任务，安排乙担任周日值班任务，则所有的安排情况如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，共有12种安排方法．(2)由(1)知在甲、乙、丙、丁4人中安排2人的结果是有限个，属于古典概型．甲、乙2人都被安排的情况包括：甲乙，乙甲，共2种，所以甲、乙2人都被安排(记为事件A )的概率P (A )＝212＝16.(3)方法一：“甲、乙2人中至少有1人被安排”与“甲、乙2人都不被安排”这两个事件是对立事件，因为甲、乙2人都不被安排的情况包括：丙丁，丁丙，共2种，则甲、乙两人都不被安排的概率为212＝16，所以甲、乙2人中至少有1人被安排(记为事件B )的概率P (B )＝1－16＝56.方法二：甲、乙2人中至少有1人被安排的情况包括：甲乙，甲丙、甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙，共10种，所以甲、乙2人中至少有1人被安排(记为事件B )的概率P (B )＝1012＝56.。
2018秋新版高中数学北师大版必修3习题：第三章概率检测含解析
第三章检测(时间:120分钟 总分值:150分)一、选择题:本大题共12小题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 1.以下对古典概型的说法中正确的选项是 ()①试验中所有可能出现的根本领件只有有限个 ; ②每个事件出现的可能性相等 ; ③每个根本领件出现的可能性相等 ;④根本领件总数为 n,假设随机事件A 包含k 个根本领件,那么P(A) A.②④B.①③④ ①④③④C. D.答案:B2① ; ② 有两个不相等的实数根 ③ 2.以下事件:物体在重力作用下会自由下落方程x-2x+3=0 ;下周日会下雨;④某寻呼台每天某一时段内收到传呼的次数少于 10次.其中随机事件的个数为( )答案:B-1 2x,所3.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)的四个函数y1=x,y2=x,y3=3,y4=3x,从四个函数中任取两个函数相乘得函数为奇函数的概率是( )A解析:从四个函数中任取两个相乘得到以下情况 :y 1y 2,y 1y 3,y 1y 4,y 2y 3,y 2y 4,y 3y 4,其中是奇函数的有 y 1y 2,y 2y 4,故所求概率为 答案:B4.掷一枚均匀的硬币两次,事件M={ 一次正面向上 ,一次反面向上 };事件N={至少一次正面向上}.下列结果正确的选项是()A.P(M)B.P(M)C.P(M)D.P(M)解析:掷一枚均匀的硬币两次,所有根本领件为:{正,正}、{正、反}、{反,正}、{反,反},所以P(M) 答案:B5.设集合P={b,1},Q={c,1,2},P?Q,假设b,c ∈{2,3,4,5,6,7,8,9},那么b=c 的概率是( ) A解析:因为P={b,1},Q={c,1,2},P?Q, 所以b=c ≠2或b=2,c ≠2. b,c ∈{2,3,4,5,6,7,8,9},当b=c ≠2时,b,c 的取法共有 7种, b=2,c ≠2时,c 的取法共有7种.所以集合P,Q 的构成共有14种,其中b=c 的情况有7种,b=c 的概率为答案:C口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球 的概率是 0.28,那么摸出黑球的概率是 ( ) A 答案:C7.欧阳修在?卖油翁?中写道:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元〞,卖油翁的技艺让人叹为观止.铜钱是直径为3cm的圆,中间有边长为1cm的正方形孔.假设你随机向铜钱上滴一滴油,那么这滴油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是()A正方形的面积解析:用A表示事件“这滴油正好落入孔中〞,那么由几何概型的概率公式可得P(A)圆的面积答案:D8.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚刚所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},假设|a-b|≤1,就称甲乙“心有灵犀〞.现任意找两人玩这个游戏,他们“心有灵犀〞的概率为()A解析:首先要弄清楚“心有灵犀〞的实质是|a-b|≤1,由于a,b∈{1,2,3,4,5,6},那么满足要求的事件可能的结果有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16种,而依题意得根本领件的总数为36.因此他们“心有灵犀〞的概率为应选D.答案:D9.在正方形ABCD内任取一点P,使∠APB<90°的概率是()A解析:如图,以AB为直径作半圆,当点P落在上时,∠APB=90°,当点P落在图中的阴影局部时,∠APB<90°.P,那么使∠APB<90°〞为事件A,设正方形的边长为1,“在正方形ABCD内任取一点那么阴影局部的面积为1-所以P(A)答案:C10.假设a∈{1,2},b∈{-2,-1,0,1,2},那么关于x的方程x2+ax+b=0有实数根的概率为()A解析:假设方程有实数根,那么a2-4b≥0,即a2≥4b.那么满足条件的根本领件(a,b)有(1,0),(2,-1),(2,0),(1,-1),(1,-2),(2,-2),(2,1)共7种,而根本领件总数为10,故所求概率为答案:B11.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,那么所得的两条直线相互垂直的概率是()A解析:正方形四个顶点可以确定6条直线,甲、乙各自任选一条共有36个根本领件.两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和1组对角线),包括10个根本领件,所以所求概率等于答案:C12.阅读如下图的算法框图,假设函数的定义域(-3,4),那么输出函数的值在内的概率为为A解析:由算法框图得,f(x)=或假设-1≤x≤1,令即∴-2<x<-1(舍去);假设-3<x<-1或4>x>1,令即问题转化为长度的几何概型,总长度为4-(-3)=7,所求事件表示的长度为2-1=1,那么所求的概率为应选A.答案:A二、填空题:本大题共4小题,每题5分.13.口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球,其中红球45个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率为0.23,那么摸出黑球的概率为.解析:摸出红球的概率为因为摸出红球、白球和黑球是互斥事件,因此摸出黑球的概率为0.23=0.32.答案14.三张卡片上分别写有字母E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英语单词BEE的概率是.答案15.在区间[-2,4]上随机地取一个数x,假设x满足|x|≤m的概率为那么解析:由题意[-2,4]的区间长度为6,满足条件的x取值范围的区间长度为5,故m取3,x∈[-2,3].答案:316.如图,四边形ABCD为矩,AB以为圆心为半径画圆交线段于点在圆弧上任取一点那么直线与线段有公共点的概率为解析:如图,连接AC交于点F,那么点P在上时直线AP与线段BC有公共点.因为AB所以∠BAC故直线AP与线段BC有公共点的概率为答案三、解答题:解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题总分值10分)对一批U盘进行抽检,结果如下表:抽取件数a50100200250400500次品件数b345589次品率解计算表中各次品率;解(2)从这批U盘中任取一个是次品的概率是多少?解:(1)表中次品率分别为0.06,0.04,0.025,0.02,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在附近摆动,所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.18.(本小题总分值12分)随机地排列数字1,5,6得到一个三位数,计算以下事件的概率:所得的三位数大于400;所得的三位数是偶数.解:随机排列数字1,5,6可得三位数:156,165,516,561,615,651共6个.设“所得的三位数大于400〞为事A,“所得的三位数是偶数〞为事件B.由古典概型的概率公式可得:(1)P(A)(2)P(B)19.(本小题总分值12分)如图,在长为内随机投掷一个半径为1的小圆片52,宽为,求:42的大矩形内有一个边长为18的小正方形,现向大矩形(1)小圆片完全落在大矩形上及其内部时,其圆心形成的图形面积;(2)小圆片与小正方形及其内部有公共点的概率.解:(1)当小圆片完全落在大矩形上及其内部时,其圆心形成的图形为一个长为面积为50×40=2000.50,宽为40的矩形,故其(2)当小圆片与小正方形及其内部有公共点时,其圆心形成的图形面积为(18+2)×(18+2)-4×1×1+4故小圆片与小正方形及其内部有公共点的概率为20.(本小题总分值12分)如图,在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q,求过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率.解:弦长不超过1,即|OQ|≥而点Q在线段AB上是随机的,设事件A={弦长超过1}.由几何概型的概率公式得P(A)所以弦长不超过1的概率为1-P(A)=121.(本小题总分值12分)如图是两个可以自由转动的转盘,甲转盘被等分成3个扇形,乙转盘被等分成4个扇形,每一个扇形上都标有相应的数字.小明和小红利用它们做游戏,游戏规那么是:同两个,当停止后,指所指区域内的数字之和小于9,小明;指所指区域内的数字之和等于9,平局;指所指区域内的数字之和大于9,小(如果指恰好指在分割上,那么再一次,直到指指向一个数字止).(1)你通画状或列表法求小明的概率.你游是否公平?假设游公平,明理由;假设游不公平,你一种公平的游.:(1)列表法:乙678甲5167892789103891011或状:根据列表或状可知,小明的概率P1(2)个游不公平,因小明的概率P1小的概率P2所以,个游小不公平.游:当指所指区域数字之和小于9,小明;当指所指区域数字之和不小于9,小.22.(本小分12分)某算法框如所示,其中入的量x在1,2,3,⋯,2424个整数中等可能随机生.(1)分求出按算法框正确写算法运行出y的i的概率P i(i=1,2,3).(2)甲、乙两同学依据自己算法框的理解,各自写算法重复运行n次后,了出y的i(i=1,2,3)的数,以下是甲、乙所作数表的局部数据.甲的数表(局部)运行次数n出y的1的数出y的2的数出y的3的数3014610⋯⋯⋯⋯21001027376697乙的数表(局部)运行次数n出y的1的数出y的2的数出y的3的数3012117⋯⋯⋯⋯21001051696353当n=2100 ,根据表中的数据,分写出甲、乙所写算法各自出y的数表示),并判断两位同学中哪一位所写的算法符合算法要求的可能性大.解:(1)量x是在1,2,3,⋯,2424个整数中随机生的一个数,共有24种可能i(i=1,2,3)的率.(用分当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,2312个数中生,出y的1,故P1x从2,4,8,10,14,16,20,228个数中生,出y的2,故P2x从6,12,18,244个数中生,出y的3,故P3所以,出y的1的概率出y的2的概率出y的3的概率(2)当n=2100,甲、乙所写算法各自出y的i(i=1,2,3)的率如下:出y的1的率出y的2的率出y的3的率甲乙比率与(1)中所求概率,可得乙同学所写的算法符合算法要求的可能性大.。
2018版高中数学 第三章 概率 3.2.2 建立概率模型学业分层测评 北师大版必修3
3.2.2 建立概率(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从装有两个白球和一个红球的袋中逐个不放回地摸两个球，则摸出的两个小球中恰有一个红球的概率为( )A.13 B ．23 C.16D.12【解析】 不放回地摸出两球共有6种情况．即(白1，红)，(白2，红)，(白1，白2)，(白2，白1)，(红，白1)，(红，白2)，而恰有一个红球的结果有4个，所以P ＝23.【答案】 B2．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是( )A.15 B ．25 C.310D.710【解析】 从5张卡片中任取2张的基本事件总数为10，而恰好按字母顺序相邻的基本事件共有4个，故此事件的概率为410＝25.【答案】 B3．在5张卡片上分别写1,2,3,4,5，然后将它们混合，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是( )A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8【解析】 一个数能否被2或5整除取决于个位数字，故可只考虑个位数字的情况，因为组成的五位数中，个位数共有1,2,3,4,5，五种情况，其中个位数为2,4时能被2整除，个位数为5时能被5整除，故所求概率为P ＝35＝0.6.【答案】 C4．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )A.12 B ．13 C.14D.15【解析】 从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有31,32,34,41,42,43共6个，所以所得两位数大于30的概率为P ＝612＝12.【答案】 A5．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B ．18 C.16D.15【解析】 假设正六边形的6个顶点分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，则从6个顶点中任取4个顶点共有15种结果．以所取4个点作为顶点的四边形是矩形有3种结果．故所求概率为15.【答案】 D 二、填空题6．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字都是奇数的概率是________．【解析】 在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字有10种结果{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，其中两个数字都是奇数包含3个结果，{1,3}，{1,5}，{3,5}，故所求的概率为310.【答案】3107．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．【解析】 从5根竹竿中任取2根有(2.5,2.6)，(2.5，2.7)，(2.5,2.8)，(2.5,2.9)，(2.6,2.7)，(2.6,2.8)，(2.6,2.9)，(2.7,2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)共10种取法．其中长度恰好相差0.3 m 的情况有(2.5,2.8)，(2.6,2.9)共2种，故所求概率为P ＝210＝15.【答案】 158．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．【解析】 红色球分别用A 、B 、C 表示，黄色球分别用D 、E 表示，取出两球的所有可能结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共10种．从中取两球颜色不同的结果有(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )共6种，取出两球颜色不同的概率P ＝610＝35.【答案】 35三、解答题9．某乒乓球队有男乒乓球运动员4名，女乒乓球运动员3名．现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果；若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？【解】 由于男运动员从4人中任意选取，女运动员从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为A ，B ，C ，D ，女运动员为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员A ，从女运动员中选取的是女运动员1，可用列表法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件E .能事件有4个，故她参赛的概率为P (E )＝412＝13.10．某校高一年级开设研究性学习课程，(1)班和(2)班报名参加的人数分别是18和27.现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从(2)班抽取了3名同学．(1)求研究性学习小组的人数；(2)规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．【解】 (1)设从(1)班抽取的人数为m ，依题意，得m 18＝327，所以m ＝2.研究性学习小组的人数为m ＋3＝5.(2)设研究性学习小组中(1)班的2人为a 1，a 2，(2)班的3人为b 1，b 2，b 3. 2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，b 1)，(b 2，b 2)，(b 2，b 3)，(b 3，a 1)，(b 3，a 2)，(b 3，b 1)，(b 3，b 2)，(b 3，b 3)，共25种．2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 3，a 1)，(b 3，a 2)共12种．所以2次发言的学生恰好来自不同的班级的概率为P ＝1225.[能力提升]1．从集合A ＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率为( )A.29 B ．13 C.49D.59【解析】 从集合A ，B 中分别选取一个数记为(k ，b )，则共有9个基本事件，设直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限为事件M ，则k ＜0，b ≥0，从而M 包含的基本事件是(－1,1)，(－1,2)，共有2个基本事件，则P (M )＝29.【答案】 A2．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )A.310B ．25 C.12D.35【解析】 从5种物质随机抽取两种出现的情况有(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，火)，(木，水)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)共10种情况，根据相克原理相克的有5种，不相克的有5种，所以不相克的概率为12.【答案】 C3．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，其中恰有三个面涂有颜色的概率是________．【解析】 如图，每层分成9个小正方体，共分成了三层，其中8个顶点处的小正方体三个面涂有颜色，概率为827.【答案】8274．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ≥m ＋2的概率．【解】 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个，从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P ＝316.。
2018-2019学年北师大版- 必修三 第3章- 概率- 单元测试
第3章 概率 单元测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在菱形ABCD 中， 3AB =， 60BAD ∠=，以4个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在该菱形中任意选取一点，该点落在阴影部分的概率为0p ，则圆周率π的近似值为（ ）A ．07.74pB ．07.76pC ．07.79pD ．07.81p 【答案】C【解析】因为菱形的内角和为360°， 所以阴影部分的面积为半径为1的圆的面积，故由几何概型可知0p =解得0004.5 1.7327.791p p p π=≈⨯=.选C 。
2．某人在打靶中，连续射击2次，至多有一次中靶的对立事件是（ ） A ．至少有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．两次都不中靶 D ．恰有一次中靶 【答案】B【解析】分析：列出所有可能的结果，然后根据对立事件的定义求解．详解：某人在打靶中，连续射击2次的所有可能结果为：①第一次中靶，第二次中靶；②第一次中靶，第二次未中靶；③第一次未中靶，第二次中靶；④第一次未中靶，第二次未中靶．至多有一次中靶包含了②③④三种可能，故其对立事件为①，即两次都中靶． 故选B ．点睛：解题时注意对概念的理解，互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况．3．在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于率是（ ） A【答案】B 【解析】试题分析：如图，当P 点在EF （E ，F 分别为AD ，CB 即当P 落在矩形EFDC 内时符合题意，根据几何概型概率的计算公式得概率为 B.考点：几何概型概率的计算.4．已知高峰期间某地铁始发站的发车频率为5分钟1班，由于是始发站，每次停靠1分钟后发车，则小明在高峰期间到该站后1分钟之内能上车的概率为（ ） ABC D 【答案】D【解析】根据已知,从上一班车发出后开始的5分钟内，只要小明在第3分祌到第5分祌之间的任一时刻到达均能在到该站后1分祌之内能上车,由几何概率公式得：小明在高峰期间到该站后1分钟之内能上车的概率为故选D. 5．已知A ={(x,y)|−1≤x ≤1,0≤y ≤2},B ={(x,y)|√1−x 2≤y}.若在区域A 中随机的扔一颗豆子，求该豆子落在区域B 中的概率为（ ） A ．1−π8B ．π4C ．π4−1 D ．π8【答案】A 【解析】试题分析：集合A={(x,y)|−1≤x≤1,0≤y≤2}表示的区域是一正方形，其面积为4，集合B={(x,y)|√1−x2≤y}表示的区域为图中阴影部分，其面积为4−12×12×π．∴向区域A内随机抛掷一粒豆子，则豆子落在区域B内的概率为4−12×12×π4=1−π8，故选A考点：几何概型6．已知一个三角形的三边长分别是5,5,6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（）A．1−π2B．1−π3C．1−π12D．1−π6【答案】C【解析】∵三角形的三边长分别是5,5,6，∴三角形的高AD=4，则三角形ABC的面积S=12×6×4=12，则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2，对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的12，圆的半径为2，则阴影部分的面积为S1=12−12×π×22=12−2π，则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为12−2π12=1−π6，故选C.点睛：本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键，考查转化思想以及计算能力；分别求出该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的对应事件的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论.7．某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a、b，则双曲线x2a2−y2b2=1的离心率e>√5的概率是（）A．16B．14C．13D．136【答案】A【解析】由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6=36种结果满足条件的事件是e=ca =√a2+b2a>√5∴b＞√5a，符合b＞√5a的情况有：当a=1时，有b=3，4，5，6四种情况；当b=2时，有a=5，6两种情况，总共有6种情况．∴概率为16．故选A8．已知a、b、c为集合A＝{1,2,3,4,5,6}中三个不同的数，如图给出的一个算法运行后输出一个整数a，则输出的数a＝5的概率是( )ABCD【答案】C【解析】选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 9．投掷3枚硬币，至少有一枚出现正面的概率是( )A B C D 【答案】D【解析】P （至少有一枚正面）＝1－P （三枚均为反面）＝1 D.10．在区间[]1,1-上任取两数a b 、，则关于x 的二次方程个实数根的概率为 （ ）A B C D 【答案】B【解析】二次方程有两个实数根，则其判别式为非负数，即()2222440,1a b a b +-≥+≥.满足221a b +≥，在以()0,0为圆心， 1r =为半径的圆外. 点睛：本题主要考查一元二次方程有两个实数根的判断依据，考查几何概型等知识.一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ->，有两个相等的实数根，则240b ac -=，没有实数根则240b ac -<.几何概型的计算公式为11．已知函数f(x)=x 2+mx +n ，其中1≤m ≤3，0≤n ≤4，记函数f(x)满足条件{f(2)≤12f(−1)≤3的事件为A ，则事件A 发生的概率为（ ）A ．58 B ．1316 C ．38 D ．12 【答案】B【解析】{f(2)≤12， f(−1)≤3， {4+2m +n ≤12，1−m +n ≤3， {2m +n ≤8，−m +n ≤2， 所求概率为几何概型概率,测度为面积,如图,概率等于S 五边形AEFGB S 矩形ABCD=2×4−12×1×1−12×1×22×4=1316 故选B ．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．视频12．抽查 10 件产品，设事件 A 为至少有 2 件次品，则 A 的对立事件为 ()A ．至多有 2 件次品B ．至多有 1 件次品C ．至多有 2 件正品D ．至少有 2 件正品 【答案】B【解析】∵至少有n 个的否定是至多有n ﹣1个 又∵事件A ：“至少有两件次品”， ∴事件A 的对立事件为： 至多有一件次品． 故选B二、填空题13．从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字组成一个没有重复数字的四位数，这个数能被3整除的概率为____________.【解析】试题分析：从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字组成没有重复数字的四位数，共有31345335300C C A A +=（个），因为0+1+2+3+4+5=15，所以这个四位数能被3整除只能由数字：1，2，4，5； 0，3，4，5；0，2，3，4；0，1，3，5；0,1,2,3组成，所以能被3整除的有：413433496A C A +⨯=，考点：1.排列组合；2.概率.14．利用简单随机抽样的方法，从n 个个体中（n ＞13）中抽取13个个体，若第二次抽取时，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为．时，15．①某人射击一次,中靶;②从一副牌中抽到红桃A;③种下一粒种子发芽;④掷一枚骰子,出现6点.其中是随机现象的是_____.【答案】①②③④【解析】根据随机现象的定义知①②③④是随机现象，故填①②③④.16．从某学习小组10名同学中选出3人参加一项活动，其中甲、乙两人都被选中的概率是___ ．【解析】考点：排列组合、概率.三、解答题17．（本小题满分12分）某公司购买了一博览会门票10张，其中甲类票4张，乙类票6张，现从这10张票中任取3张奖励一名员工．（1）求该员工得到甲类票2张，乙类票1张的概率；（2）求该员工得到甲类票1张数的概率，【答案】(1) 该员工得到甲类票2张，乙类票1(2) 该员工至少得到甲类票1【解析】解：（I）设“该中曲得到甲类票2张，乙类票1张”为事件A，则∴该员工得到甲类票2张，乙类票1…………6分（II）设“该员工至少得到甲类票1张”为事件B，“该员工得到乙类票3张”为事件D，∵事件B 与事件D 为对立事件。
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2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修三章末质量评估(三)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列说法错误的是( )．A．不可能事件的概率为0B．必然事件的概率为1C．互斥事件一定是对立事件D．对立事件一定是互斥事件解析互斥不一定对立，对立一定互斥．答案 C2．先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是( )．A．“至少一枚硬币正面向上”B．“只有一枚正面向上”C．“两枚硬币都是正面向上”D．“两枚硬币一枚正面向上，一枚反面向上”答案 A3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则从产品中任意抽查一件抽得正品的概率为( )．A ．0.09B ．0.98C ．0.97D ．0.96解析 任意抽查一件抽得正品的概率为：1－0.03－0.01＝0.96. 答案 D4．同时投掷大小相同的两枚骰子，所得点数之和是8的概率是 ( )．A.14B.19C.536D.112解析 8＝2＋6＝3＋5＝4＋4＝5＋3＝6＋2. 故所求概率P ＝56×6＝536.答案 C5．向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率为( )．A.3518B.2536C.25144D.2572解析 随机地投掷飞镖，则飞镖落在正方形内每一个点的机会是等可能的， 所以符合几何概型的条件．S 阴影＝12×56×53＝2536，S 正＝22＝4，所以飞镖落在阴影部分的概率为P ＝S 阴影S 正＝25364＝25144.故选C.答案 C6．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0，1))有实根的概率为( )． A.12B.13C.14D.34解析 1－4n ≥0⇒n ≤14.答案 C7．如下图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23.则阴影区域的面积为( )．A.43B.83C.23D ．无法计算解析 设阴影区域的面积为S ，S 4＝23⇒S ＝83.答案 B8．一个射手进行射击，记事件E 1：“脱靶”，E 2：“中靶”，E 3：“中靶环数大于4”，E 4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( )． A ．1对 B ．2对 C ．3对D ．4对解析 E 1与E 3，E 1与E 4均为互斥而不对立的事件． 答案 B9．某游人上山游玩，从前山上山的道路有3条，从后山下山的道路有2条，其中有一条路最近，若该游人从上山到下山随意选择道路，那么所走路程最短的概率为( )．A.15B.16 C.119D.125解析 设上山的路分别为A 1，A 2，A 3.下山的路分别为B 1，B 2，则可能的走法有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2共6种，且每一种走法发生的可能性是相同的，而其中只有一条路最近，所以游人所走路程最短的概率为16.答案 B10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{1，2，3，4}，若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为( )．A.38B.58C.14D.34解析 总的基本事件的个数为4×4＝16，甲乙“心有灵犀”包含的基本事件 为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，共10个，其中前一个数字是甲在心中任想的一个数字，后一个数字是乙猜的数字，所以，甲乙“心有灵犀”的概率为：1016＝58. 答案 B二、填空题(本题6个小题，每小题5分，共30分)11．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，则它们颜色不同的概率是______．解析 从盒子里随机地摸出两只球，共有6种情况，而摸出两只球颜色不同 有3种情况，故所求的概率为P ＝36＝12.答案 1212．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是______．解析 如图所示，区域D 表示边长为4的正方形内部 (含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此所投的点落在E 中的概率：P ＝π×124×4＝π16.答案 π1613．以100～200中任取一个数，“取到的数能被2整除”的事件为A ，“取到的数能被3整除”为事件B ，则能被2或3整除的事件C 的概率为______． 解析 事件A 中所包含的基本事件共51个，事件B 所包含的基本事件共33 个，而A ∩B 中包含17个基本事件， ∴P (A )＝51101，P (B )＝33101，P (A ∩B )＝17101. ∴P (C )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝51101＋33101－17101＝67101.答案 6710114．口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从袋中任取一球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出黑球的概率是______． 答案 0.215．在正方形围栏内均匀散布着米粒，一只小鸡在其中随意啄食，则此刻小鸡正在正方形的内切圆中啄食的概率为______．解析 P ＝S 圆S 正＝π4.答案π416．在一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的3个小球，其中一个红色球，两个黄色球，如果第一次先从袋中摸出1个球后再放回，第二次再从袋中摸出1个球，那么两次都摸到黄色球的概率是______． 解析 从袋中取出两个球，画出树状图如图所示．由树状图知，基本事件的总数为9，两次都摸到黄色球所包含的基本事件的 个数为4，所以两次都摸到黄色球的概率是49.答案49三、解答题(每小题10分，共40分) 17．某战士射击一次(中靶环数为整数)，问：(1)若事件A (中靶)的概率为0.95，则事件E (不中靶)的概率为多少？ (2)若事件B (中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C (中靶环数小于6)的概率为多少？若事件F (不中靶)的概率为0.03，那么事件D (中靶环数大于0且 小于6)的概率是多少？解 (1)因为A 与E 互为对立事件P (A )＝0.95， 所以P (E )＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05； (2)因为事件B 与C 是对立事件，P (B )＝0.7， 所以P (C )＝1－P (B )＝1－0.7＝0.3.事件D 的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率， 即P (D )＝P (C )－P (F )＝0.3－0.03＝0.27.18．在集合{(x ，y )|0≤x ≤5且0≤y ≤4}内任取1个元素，使y 3＋x 4－1912≥0的概率是多少？解 如图：集合{(x ，y )|0≤x ≤5且0≤y ≤4}为矩形(包括边界)内的总的集合.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|y 3＋x 4－1912≥0表示坐标平面内直线y 3＋x 4－1920＝0上方(包括直线)所有点的集合．所以所求概率为S 阴影S 矩形＝12×4×34×5＝310.19．设M ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，任取x ，y ∈M ，x ≠y .求x ＋y 是3的倍数的概率．解 利用平面直角坐标系进行列举，如图所示．因此，基本事件总数n ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45.而x ＋y 是3的数的情况有m ＝1＋2＋4＋4＋3＋1＝15(种)．故所求事件的概率P ＝m n ＝13.20．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球2次终止的概率； (3)求甲取到白球的概率．解 (1)设袋中原有n 个白球，由题意知，17＝n （n －1）7×6，所以n (n －1)＝6，解得n ＝3(舍去n ＝－2)，即袋中原有3个白球． (2)记“取球2次终止”的事件为A ，则P (A )＝4×37×6＝27. (3)记“甲取到白球”的事件为B ，“第i 次取出的球是白球”的事件为A i ，i ＝1，2，3，4，5.因为甲先取，所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球，所以P (B )＝P (A 1＋A 3＋A 5)．因为事件A 1，A 3，A 5两两互斥，故P (B )＝P (A 1)＋P (A 3)＋P (A 5)＝37＋4×3×37×6×5＋4×3×2×1×37×6×5×4×3＝37＋635＋135＝2235.。