初三几何模型应用之线段和的最小值
线段和的最小值 万能方法
M1 A1
A2
N1
提高
例2：如图，已知AB是⊙OB中AC的 30直0 径，
，点D是线段AC上的任意一点1 C（DO不D 含端点），
连接OD，当
的最小2值为6时，求AB的
长。
在RtOO1F中
O1 D1 C
O1OF 600
DE
OO1 4 3
A
FB
AB 8 3
O
线段和的最小值
方法策略
初中数学经常遇到求PA+PB最小值问题，或 者是求△ABC的周长最小值。 1.题型：①两定一动
②一定两动 2.万能方法： ①作一定点关于动点所在直线的对称点
定点作了对称点后不用，对称点即为定点
②如果是两个定点则利用“两点之间，线段最 短”
如果是一个定点则利用“垂线段最短”
常见的数学模
存在一点P，使得△ABP的周长最
小A．B请 求BP出点APP的坐标． y 分析：因为AB的
长是确定的，故 △ABP的周长最 小时AP与BP的和
AO
x
P
为最小，所以可作 出右图所示的图
B
B
’
例3、已知：如图，AB是⊙O的直 径，AB=4，点C是半圆的三等份点， 点D是弧BC的中点，AB上有一动点 P，连接PC，PD，则PC+PD的最小 值是多2 2少？并画出点P的位置C .
型1、（浙教版数学课本八上，P50 例2）l 如
图，直线 表示草原上的一条河流。一骑
马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后
返回位于B地的家中。他沿怎样的路线行走， 能使路程最短？作出这条最B 短路P线'A P'B
直线l A为A'
线
的中垂
初中几何中线段和差最大值最小值典型分析最全
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
mmm mABm（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：nmnnmnnnm（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：m nmnmnm（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度mmmm恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：QQP练习题1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值为．Q2、如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．3、如图，在锐角三角形ABC中，AB=52，∠BAC=45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 .5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC 上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC 上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2(B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC 绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大；（1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧：mm A Bm B mA Bmnmnnmn（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：n点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nmnmnmmm三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：m m mmABmn m nnmn（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：nnm Bnn2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：mnmmmmm过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧： 练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少mABB'EQ PmABQPQ4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB 上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.v1.0 可编辑可修改二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
求线段之和的最小值问题的常用方法
求线段之和的最小值问题的常用方法嘿，咱今儿个就来唠唠求线段之和的最小值问题的那些常用法子！这可是数学里挺有意思的一块儿呢！你想想啊，就好像咱要在一个迷宫里找最短的路一样。
比如说，有两个固定的点 A 和 B，然后还有一条线，咱得找到从 A 到这条线再到B 的最短路径，这就是求线段之和最小值的一种常见情况。
先来说说对称法吧。
这就好比是给线段照镜子，通过找到某个点关于某条线的对称点，然后把问题转化一下，一下子就变得简单明了啦！就好像你本来要绕一大圈才能到的地方，突然发现有条捷径就在眼前。
再讲讲三角形三边关系法。
这就像是三根小棍儿，两边之和肯定得大于第三边呀，那咱就利用这个道理来找最小值。
就好比你知道走哪几条路组合起来最短，嘿，就是这么神奇！还有一种呢，就是利用一些特殊的几何图形的性质。
就像正方形、圆形之类的，它们都有自己独特的地方。
比如说在正方形里，对角线就是个很关键的线索，能帮咱找到那些最短的线段组合。
咱举个例子哈，想象有只小蚂蚁要从一个角落爬到另一个角落，但是中间有好多障碍，那咱就得开动脑筋，想想怎么让这小蚂蚁走最短的路呀！这时候这些方法就派上用场啦。
有时候啊，做这种题就跟玩游戏一样，一点点去探索，去发现其中的奥秘。
你得仔细观察题目中的条件，看看能不能找到那个关键的点或者线，然后运用合适的方法去求解。
哎呀，数学的世界就是这么奇妙！这些求线段之和最小值的方法就像是一把把钥匙，能打开各种难题的大门。
咱可得把这些宝贝方法好好记住，以后遇到问题就不怕啦！你说是不是？总之呢，求线段之和的最小值问题虽然有时候会让人觉得有点头疼，但只要咱掌握了这些常用方法，再加上一点点耐心和细心，那都不是事儿！相信自己，咱都能在数学的海洋里畅游，找到那些隐藏的宝藏！所以啊，别害怕这些问题，大胆去尝试，去探索，你会发现其中的乐趣无穷呢！。
中考几何中“线段和的最小值与定值”问题
中考几何中“线段和的最小值与定值”问题近年来，中考数学的一个热门考点就是“线段和的最值与定值”问题，也是难点之一。
学生常常找不到解题的突破口，此类试题往往同根而异形，利用两个“典型题例”进行“发散式”的概括和引申，是解决此类问题的一个捷径。
所谓“典型题例”，就是某些题例虽然不是几何公理或定理，却可以举一反三地运用于其他相关的系列问题的解答。
下面就“线段和的最值与定值”问题，运用两个“典型题例”的源命题进行探讨。
一、关于线段和的最小值源命题（北师大版七年级下册P228 第七章习题7.3“问题解决”第2 题）：如图1 所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短？本题的解答是：作出点B 的轴对称点B1，连接AB1 交直线l于点P，则点P为所求的奶站位置。
利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题，下面试举几例：【关联题1】（2008 年湖北荆门市中考题）如图2，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_____________．析解：利用菱形的对称性，在AD 上找出点M 关于AC 的对称点M＇（即AD 的中点），连结M＇N交AC 于P，则PM+PN 的最小值为线段M＇N 的长，而M＇、N 分别为边AD、BC的中点，故M＇N 的长等于菱形的边长5。
【关联题2】（2007 年乐山市中考题）如图3，MN 是⊙O的直径，MN=2，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧AN 的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（）析解：连结OA，由∠AMN=30°得∠AON=60°，取点B 关于MN 的对称点B＇，连结OB＇、AB＇，AB＇交MN 于点P，则AB＇的长为PA+PB 的最小值，且易知∠AOB＇=90°，即△AOB＇为等腰Rt△，故。
初三几何模型应用之线段和的最小值
几何模型----之”线段和”的最小值求法姓名_____求线段和的最小值有代数法模型——构造函数（二次函数）模型求最值方法；也有几何模型：“将军饮马”模型；“胡不归模型”; “阿氏圆”;费马点等理论基础：三角形两边之和大于第三边，垂线段最短，两点之间线段最短，圆内（或外）一点与圆上一动点的最短（或长）的连线段必过圆心，“折”大于“直”，“斜”大于“直”等思想方法。
一、“将军饮马”模型“将军饮马”：把河岸看作直线L，先取A（或B）关于直线L的对称点A′（或B′），连接A′B （或B′A），并与直线交于一点P，则点P就是将军饮马的地点，即PA+PB即为最短路线。
1、在直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴与y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。
2、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=302．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB的值为（）A．6 B．8 C．10 D．123、如图，在矩形ABCD中，5AB=，3AD=.动点P满足13PAB ABCDS S∆=矩形.则点P到A，B两点距离之和PA PB+的最小值为（）A′P′河岸A 29B 342414、如图8，已知OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且OA =15，OC =9，在边AB 上选取一点D ，将△AOD 沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上，记为点E .（1）求DE 所在直线的解析式；（2）设点P 在x 轴上，以点O 、E 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，问这样的点P 有几个，并求出所有满足条件的点P 的坐标；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使四边形MNED 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.xy MNEB DC O图8Axy M NEB DC O(备用图)A4、如图，直线y ＝kx ＋b （k 、b 为常数）分别与x 轴、y 轴交于点A (－4，0)、B (0，3)，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与y 轴交于点C ． （1）求直线y ＝kx ＋b 的解析式； （2）若点P (x ，y )是抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1上的任意一点，设点P 到直线AB 的距离为d ，求d 关于x 的函数解析式，并求d 取最小值时点P 的坐标； （3）若点E 在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，求CE ＋EF 的最小值．5、如图，抛物线21242y x x =-++交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA=2，过点A 作直线MN AB ⊥交抛物线于M ，N 两点， （1）求直线AB 的解析式；（2）连接BM ，BN ，P 为抛物线BN 段上的一动点，是否存在这一点，使得四边形MBPN 的面积最大，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使得以A 、N 、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？如果存在，请求出点QABC Oy=kx+b y ＝－ x 2+2 x +1 · P ( x ， y )的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）将线段AB 沿y 轴负方向平移t 个单位长度，得到线段A 1B 1，求MA 1+MB 1取最小值时实数t 的值。
中考数学“求两线段长度值和最小”问题全解析
“求两线段长度值和最小”问题全解析山东沂源县徐家庄中心学校左进祥在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC＋PD 和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP＝90°．因为∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB的最小值为．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA ＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG⊥BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC ＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE ＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN ＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P 为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．分析：在这里△PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ==，所以△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里△AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB 与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时△AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为△BCE∽△BAF,所以,所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以△的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E 的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∥EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E 的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。
初中几何中线段和差的最大值与最小值模型解析学习资料
精品文档初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：一）已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：mmB mA Bmn mnnmnnnm（4）台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二）一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、点与圆在直线两侧：mnmnmnmm m精品文档2、点与圆在直线同侧：（三）已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大；（1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
线段和的最值问题
例题1、几何模型：条件：如图"A、B是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P"使PA+PB的值最 小． 方法：作点A关于直线l的对称点A′"连接 A′B交l于点P"则PA+PB=A′P+PB=A′B" 由“两点之间"线段最短”可知"点P即为所求 的点．
注：充分利用正方形是轴对称图形这一特性来找对称点
例题2、如图"已知平面直角坐标系中A"B两点 的坐标分别为A2"－3"B4"－1。
2若Ca"0"Da+3"0 是x轴上的两个动点" 则当a=____时"四边形 ABDC的周长最短。
例题2、如图"已知平面直角坐标系中A"B两点 的坐标分别为A2"－3"B4"－1。
3设M"N分别为x轴和y轴上的动点。 是否存在这样的 点Mm"0" N0"n" 使四边形ABMN的周长最短 若存在"请写出m和n的值; 若不存在"请说明理由。
模型应用：
1如图1"正方形ABCD的边长为2"E为AB的中点
"P是AC上一动点．则PB+PE的最小值
是
；
模型应用： 2如图2"已知"⊙O的直径CD为4"
点A在⊙O上"∠ACD=30°"B为弧AD的中点"P为
直径CD上一动点"则BP+AP的最小值
是
．
注： 充分利用圆是轴对称图形这一特性来找对称点
模型应用：3如图3"在Rt△ABC中 "AB=10"∠BAC=45°"∠BAC的平分线交BC于点 D"E、F分别是线段AD和AB上的动点"求BE+EF的 最小值"并写出解答过程．
专题线段和最小值问题
在平面几何动态问题中，当某几何元素 在给定条件变动时，求某几何量（如线段的 长度、图形的周长或面积以及它们的和与差） 的最大值或最小值问题，称为几何最值问题.
基本模型一：两定点在一直线同侧确定单动点问题
直线l表示草原上的一条河流，一骑马将军从A地出发，去 河边让马饮水，然后返回位于B地的驻地.他应沿怎样的路 线行走，使路程最短？请作出这条最短路线.
(2) 在解决不同类型的几何最值问题时你能体会其中蕴含 哪些数学思想方法？
线段和最小问题
基本模型一：单动点问题
基本模型二：双动点问题
一次轴对称+两点间线段最短 两次轴对称+两点间线段最短
A' C
P
A'
AP+PB最小
D B' AC+CD+DB最小
线段和最小问题
基本模型三：双动点问题 平移+两点间线段最短
解：1.作点A关于直线l 的对称点A '; 2. 连接A 'B,交直线 l于点P;
3. 连接AP.
∴将军沿A P B的路线行走，
路程最短.
P
A'
模型应用——单动点问题
例1.（2016•南通）平面直角坐标系xoy中，已知A（－1，0）、 B（3，0）、C（0，－1）三点，D（1，m）是一个动点， 当△ACD的周长最小时，△ABD的面积为______.
3
当堂反馈：
3. 如图，AB是⊙O的直径，AB = 8，点M在⊙O上，∠MAB =
20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN =1，
则△PMN周长的最小值为（ B ）.
A. 4
B. 5
C. 6
中考几何中“线段和的最小值与定值”问题
中考几何中“线段和的最小值与定值”问题作者：莫秋燕来源：《新校园·理论版》2010年第08期近年来,中考数学的一个热门考点就是“线段和的最值与定值”问题,也是难点之一。
学生常常找不到解题的突破口,此类试题往往同根而异形,利用两个“典型题例”进行“发散式”的概括和引申,是解决此类问题的一个捷径。
所谓“典型题例”,就是某些题例虽然不是几何公理或定理,却可以举一反三地运用于其他相关的系列问题的解答。
下面就“线段和的最值与定值”问题,运用两个“典型题例”的源命题进行探讨。
一、关于线段和的最小值源命题(北师大版七年级下册P228第七章习题7.3“问题解决”第2题):如图1所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短?■本题的解答是:作出点B的轴对称点B1,连接AB1交直线l于点P,则点P为所求的奶站位置。
利用这一题例的结论,可以解决一些同根异形关联题,下面试举几例:【关联题1】(2008年湖北荆门市中考题)如图2,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N 分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是_____________.析解:利用菱形的对称性,在AD上找出点M关于AC的对称点M'(即AD的中点),连结M'N 交AC于P,则PM+PN的最小值为线段M'N的长,而M'、N分别为边AD、BC的中点,故M'N的长等于菱形的边长5。
【关联题2】(2007年乐山市中考题)如图3,MN是⊙O的直径,MN=2,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为()A.2■B.■C.1D.2析解:连结OA,由∠AMN=30°得∠AON=60°,取点B关于MN的对称点B',连结OB'、AB',AB'交MN于点P,则AB'的长为PA+PB的最小值,且易知∠AOB'=90°,即△AOB'为等腰Rt△,故AB'=■。
初中几何中线段和差的最大值与最小值模型解析
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析： 一）已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧： A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧： （4）台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.mnnm填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短. 二）一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： （二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：（三）已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)m（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大；（1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
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几何模型----之”线段和”的最小值求法 姓名_____求线段和的最小值有代数法模型——构造函数（二次函数）模型求最值方法； 也有几何模型：“将军饮马”模型；“胡不归模型”; “阿氏圆”;费马点等理论基础：三角形两边之和大于第三边，垂线段最短，两点之间线段最短，圆内（或外）一点与圆上一动点的最短（或长）的连线段必过圆心，“折”大于“直”，“斜”大于“直”等思想方法。
一、“将军饮马”模型“将军饮马”：把河岸看作直线L ，先取A （或B ）关于直线L 的对称点A ′（或B ′），连接A ′B （或B ′A ），并与直线交于一点P ，则点P 就是将军饮马的地点，即PA+PB 即为最短路线。
1、在直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点（1） 若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标（2） 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标。
2、如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB =302．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB 的值为 （ ）A ．6B ．8C ．10D ．123、如图，在矩形ABCD 中，5AB =，3AD =.动点P 满足13PAB ABCDS S ∆=矩形.则点P 到A ，B 两点距离之和PA PB +的最小值为（ ）A ′P ′ 河岸AB4、如图8，已知OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且OA =15，OC =9，在边AB 上选取一点D ，将△AOD 沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上，记为点E .（1）求DE 所在直线的解析式；（2）设点P 在x 轴上，以点O 、E 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，问这样的点P 有几个，并求出所有满足条件的点P 的坐标；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使四边形MNED 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.xy MNEB DC O图8Axy M NEB DC O(备用图)A4、如图，直线y ＝kx ＋b （k 、b 为常数）分别与x 轴、y 轴交于点A (－4，0)、B (0，3)，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与y 轴交于点C ． （1）求直线y ＝kx ＋b 的解析式； （2）若点P (x ，y )是抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1上的任意一点，设点P 到直线AB 的距离为d ，求d 关于x 的函数解析式，并求d 取最小值时点P 的坐标； （3）若点E 在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，求CE ＋EF 的最小值．5、如图，抛物线21242y x x =-++交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA=2，过点A 作直线MN AB ⊥交抛物线于M ，N 两点， （1）求直线AB 的解析式；（2）连接BM ，BN ，P 为抛物线BN 段上的一动点，是否存在这一点，使得四边形MBPN 的面积最大，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使得以A 、N 、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）将线段AB沿y轴负方向平移t个单位长度，得到线段A1B1，求MA1+MB1取最小值时实数t的值。
（逆向思维，点M竖直向上运动）的距离为AB，C为公路BD上的酒店，从海岛【套路归纳】①将所求线段和改写为“PA＋nm PB”的形式（nm＜1）；②在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα＝n m；③过A作第②步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值．【套路练习】1．如图，△ABC中，BC=2,∠ABC=300，则2AC+AB的最小值为____2.如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B 的直线距离是13千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）3.已知在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为)24,0(），点C的坐标为（-1,0），若P为线段OA上一动点，则APCP31最小值是．3．如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B(4，0)、C(0，3)，点A为x轴负半轴上一点，AM⊥BC于点M交y轴于点N，满足4CN＝5ON．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B、C．整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F 的坐标．4．如图，抛物线y ＝12x 2＋mx ＋n 与直线y ＝－12x ＋3交于A ，B 两点，交5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （-1，0），B （0，-3）、C （2，0），其中对称轴与x 轴交于点D 。
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则PD PB 21的最小值为________。
（3）M （s ，t ）为抛物线对称轴上的一个动点。
① 若平面内存在点N ，使得A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有个； ② 连接MA 、MB ，若∠AMB 不小于60°，求t 的取值范围。
图1 图26、已知抛物线y =a （x +3）（x ﹣1）（a ≠0），与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A 的直线y =﹣x +b 与抛物线的另一个交点为D ． （1）若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；※（2）若在第三象限内的点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E 是线段AD 上的一点（不含端点），连接BE ．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒个单位的速度运动到点D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？7、如图13，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，COD ∆关于CD 的对称图形为CED ∆．（1）求证：四边形OCED 是菱形；（2）连接AE ，若6cm AB =，BC =．①求sin EAD ∠的值；②若点P 为线段AE 上一动点（不与点A 重合），连接OP ，一动点Q 从点O 出发，以1/cm s 的速度沿线段OP 匀速运动到点P ，再以1.5cm /s 的速度沿线段PA 匀速运动到点A ，到达点A 后停止运动．当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，求AP 的长和点Q 走完全程所需的时间．阿氏圆（阿波罗尼斯圆）：已知平面上两点A 、B ，则所有满足PA/PB=k 且不等于1的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
在初中的题目中往往利用逆向思维构造“斜A ”型相似+两点间线段最短解决线段之和的最值问题。
问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求AP ＋12BP 的最小值．尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1则有CD CP ＝CP CB ＝12，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP ＝12，∴PD ＝12BP ，∴AP ＋12BP ＝AP ＋PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP ＋12BP 的最小值为 ．自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， 13AP ＋BP 的最小值为 ．拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90º，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是 ⌒CD上一点， 求2P A ＋PB 的最小值.如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为上一动点，求PC +PD 的最小值．2、如图，点A 、B 在⊙O 上，且OA=OB=12，OA ⊥OB ，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上，OD=10，动点P 在⊙O 上，则PC+12PD 的最小值为？C BPD图3PB DOCA图2 图1 CBP3、如图，点A （4，0），B （4，4），点P 在半径为2的⊙O 上运动，则21AP+BP 的最小值为____4、如图，点C （2，5），A （7，0），点B 是以点C 为圆心半径为10的圆上一动点，则OB+AB 55的最小值为_______E ′A 、E ′B ，求E ′A ＋23E ′B 的最小值．图1 图2FF费马点：是指位于三角形（或四边形等）内且到三角形（或四边形等）三个顶点距离之和最短的点 例：在等腰直角三角形ABC 中，腰长为2，点P 是三角形ABC 内一点，则PA+PB+PC 的最小值为_____2、如图，在Rt △AOC 中，∠A=30°，点O （0，0），C （1，0），点A 在y 轴正半轴上，以AC 为一边做等腰直角△ACP ，使得点P 在第一象限。
（1）求出所有符合题意的点P 的坐标；（2）在△AOC 内部存在一点Q ，使得AQ 、OQ 、CQ 之和最小，请求出这个和的最小值。
2、（1）阅读证明①如图1，在△ABC 所在平面上存在一点P ，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P 为△ABC 的费马点，此时PA +PB +PC 的值为△ABC 的费马距离． ②如图2，已知点P 为等边△ABC 外接圆的上任意一点．求证：PB +PC=PA ．（2）知识迁移根据（1）的结论，我们有如下探寻△ABC （其中∠A ，∠B，∠C 均小于120°）的费马点和费马距离。