八年级数学上册第二章实数7二次根式第2课时二次根式的四则运算教案新版北师大版2020110239
八年级数学上册第二章实数7二次根式第2课时二次根式的运算教案新版北师大版
第2课时二次根式的运算1．经历二次根式的运算法则的探索过程，了解有理数的运算律在实数范围内仍然适用．2．会进行二次根式的四则运算．重点掌握二次根式的四则运算方法．难点正确应用二次根式的运算法则进行四则运算．一、复习导入师：二次根式的性质是什么？用公式如何表示？积的算数平方根，等于算数平方根的积．商的算数平方根，等于算数平方根的商．a·b＝a·b(a≥0，b≥0), ab＝ab(a≥0, b>0)．师：上一节课我们学习了二次根式，今天我们学习二次根式的运算．二、探究新知1．二次根式的乘除．分别把下面两个式子ab＝a·b(a≥0，b≥0)，ab＝ab(a≥0，b＞0)等号的左边与右边对换，就得到二次根式的乘法法则和除法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab ＝ab(a≥0，b>0)．课件出示教材第44页例3.教师引导学生完成，对学生错误及时纠正．2．有理数的运算律也适用于二次根式．课件出示教材第44页例4.教师引导学生复习类比有理数运算，使学生明白有理数中的运算律也适用于二次根式．3．二次根式的加减．课件出示教材第44页例5.让学生尝试完成，指名同学进行板演．教师讲解，共同归纳：先将所给的二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同的是同类二次根式，需要进行合并．师：怎样合并同类二次根式？小结：二次根式的加减，与整式的加减相类似，只需对同类二次根式进行合并，合并方法是将同类二次根式前面的系数相加减．4．二次根式混合运算．课件出示教材第46页例6.引导学生分析观察根式的特点，注意先化简，再合并，有困难的小组内交流完成． 师：对于第(3)题还有哪些做法？试一试看看结果是否一致． 归纳：解法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫24－16÷ 3 ＝24÷3－16÷ 3 ＝8－118 ＝22－16 2 ＝1162. 解法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫24－16÷ 3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫26－166÷ 3 ＝1166÷ 3 ＝1162. 三、练习巩固1．教材第45页“随堂练习”第1～2题．2．教材第47页“随堂练习”．四、小结在进行二次根式的混合运算时，应注意以下几点：(1)二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先算乘方，后算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．(2)在运算过程中，每个二次根式都可以看做一个“单项式”，多个不同的二次根式可以看做“多项式”，因此有理数中的运算律(交换律、结合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用．(3)二次根式的混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应该是最简二次根式，或几个非同类二次根式的和或差，或有理式．五、课外作业1．教材第45页习题2.10第1～2题．2．教材第48页习题2.11第1～3题．本节课主要学习二次根式的混合运算，通过练习，使学生掌握计算方法和运算技巧，能够灵活运用．习题可以分层次布置，以满足不同层次的学生的需要．。
八年级数学上册 第二章 实数2.7 二次根式说课稿 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中八年级上册
《二次根式》说课稿一、说教材《二次根式》是北师大版教材数学八年级上册第二章《实数》的第七节，是“数与代数”的重要内容。
这一内容是在平方根的基础上，进一步研究二次根式的概念和性质。
使学生对算数平方根有更深认识和理解。
因此，教材在编排上就围绕算数平方根这个知识的主轴，以学生熟悉的相关问题展开教学内容。
而本课时的教学内容就是让学生在积极的参与中来学习《二次根式》，丰富对二次根式意义的理解，为学生学会确定被开方数中字母的取值X围打下扎实的基础。
二、说教学目标课标要求：学生要学会学习，自主学习，要为学生的终生学习打下坚实的基础，根据新课程标准的要求和教材所处的地位，以及学生的心理特点和认知规律，我确定本节课的教学目标如下：1、知识目标：能够理解二次根式的意义，会确定被开方数中字母的取值X围。
2、能力目标：通过动手练习，应用拓展，体验经历知识的形成过程，培养学生分析问题，解决问题的能力。
3、情感目标：通过课堂练习，培养学生解决问题的能力，促进学生勇于面对问题的能力。
为达到以上教学目标，本节课的教学重点为：理解二次根式的意义和基本性质，会求解简单的被开方数中字母的取值X围。
本节课的教学难点是：二次根式的基本性质的灵活运用。
为辅助教学，我制作了多媒体课件。
三、说教法、学法《新课程标准》指出：“学生是学习活动的主体，教师是学习活动的组织者，引导者和合作者”。
在本节课教学方法中，根据学生的年龄特征和已有的知识基础，注重加强知识间的纵向联系，复习引入，揭示课题，让学生体会数学学科知识的联系性和严密性。
在具体的教学活动中，让学生新身经历由具体到抽象的认知过程，解决问题的过程，体验探索成功的快乐。
学生通过自主学习，动手练习，独立思索，完善自己的想法，形成自己独特的学习方法，古语说得好“授人以鱼，不如授之以渔。
”我们教师应当引导学生自主地去认识探究，解决问题，让学生体验学数学，用数学的快乐。
四、说教学过程接下来，我将介绍一下本节课的教学过程。
八年级数学上册第二章实数7二次根式教学课件(新版)北师大版
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.
知识讲解
塔座
50 m
?m
am 塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为___a_2 _2_5_0_0_ m.
下球体
【解析】选C. A项中只有当x≤ -2时，才是二次根式， 故A项不一定是二次根式；B项中当x≥0时是二次根式， 故B项不一定是二次根式；C项中无论x为何值，x2+2＞ 0，所以C项一定是二次根式；D项中当x=0时，不是二 次根式，所以D项也不正确.
3.（盐城·中考）使 x 2 有意义的x的取值范围是____.
1. 4 × 9 = _6_
4 9 _6_
2. 16 25 20
16 25 20
用你发现的规律填空，并用计算器验算： 1. 2 3 _＝__ 6 2. 2 5 _＝__ 10
一般地，对于二次根式的乘法有： a b ab (a≥0,b≥0)
a b ab (a≥0,b≥0)
学习目标
1.经历二次根式乘法法则的形成过程，会进行简单 的二次根式的乘法运算. 2.掌握二次根式的除法运算法则，并能够应用除法法则 进行计算.
温故知新
1.最简二次根式的定义
2. ab a· b (a 0,b 0).
3. a a a 0, b 0
b
b
知识讲解
计算下列各式， 观察计算结果，你发现什么规律？
【例题】 【例例21.化】简化简：： （1）16 81.（2） 4a 2b3 .
【解析解】: (1) 16 81 16 81 4 9 36.
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教案 新版北师大版
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教案新版北师大版一. 教材分析二次根式的运算是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，使学生掌握二次根式的加减乘除运算，以及能够熟练运用二次根式进行实际问题的解决。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握二次根式的运算方法，并能够灵活运用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的性质和运算法则，具备了一定的数学基础。
但是，对于二次根式的混合运算，部分学生可能会感到困难，需要通过实例和练习来进一步巩固。
三. 教学目标1.使学生掌握二次根式的加减乘除运算方法。
2.培养学生运用二次根式解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的加减运算。
2.二次根式的乘除运算。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲练结合的方法，通过实例和练习，引导学生掌握二次根式的运算方法。
同时，注重培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.练习题。
3.教学黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次根式的运算。
例如：一个圆的半径为根号2，求这个圆的面积。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的加减乘除运算方法，并通过PPT课件展示实例。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些二次根式的运算练习题，教师进行讲解和指导。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，巩固学生对二次根式运算的掌握。
5.拓展（10分钟）讲解二次根式在实际问题中的应用，让学生能够运用二次根式解决实际问题。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，使学生对二次根式的运算有一个清晰的认识。
7.家庭作业（5分钟）布置一些二次根式的运算练习题，让学生进行巩固。
8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和公式，方便学生复习。
教学过程每个环节所用时间：导入5分钟，呈现10分钟，操练10分钟，巩固10分钟，拓展10分钟，小结5分钟，家庭作业5分钟，板书5分钟。
北师版八年级数学上册第二章 实数7 二次根式
二次根式
乘、除法
运算
最后结果
加、减法
C. 2 2
D. 2
感悟新知
知识点 4 二次根式的乘除法
语言叙述
知4－讲
符号表示
a · b= ab ( a ≥
乘法 两个二次根式相乘，把被开
法则 方数相乘，根指数不变
0，b ≥ 0)
a
a
除法 两个二次根式相除，把被开
= (a≥0，
b
b
法则 方数相除，根指数不变
b ＞ 0)
感悟新知
知4－讲
法则
推广
9
9
9 3
122×(32＋中，正确的是(
A. ( － 6) 2= － 6
B.
4
9
3
=2
16
4
C. 21 ÷ 7 =3
D. 25a4 =5a2
D )
感悟新知
知识点 3 最简二次根式
概念
满足的条件
知3－讲
化简二次根式的一般方法
(1)如果被开方数是分数
(包括小数和分式)，先利
A. － 1
B.0
C.2
D.6
知1－练
例2
9
若y＝ x－3＋ 3－x＋2， 则xy＝________.
解题秘方：紧扣二次根式定义中的双重非负性“a ≥ 0，
a ≥ 0”进行解答.
知1－练
解：由二次根式的被开方数的非负性，
得 x － 3 ≥ 0，且3 － x ≥ 0，所以 x=3.
又因为y＝ x－3＋ 3－x ＋2，所以y＝2，
行运算 . 例如： m a ·n b =mn ab
感悟新知
知4－讲
特别提醒
北师大版初中数学八年级(上)第二章实数2-7二次根式(第2课时)教学详案
第二章实数7二次根式第2课时二次根式的运算教学目标1.掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.2.会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.3.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算，重要的是培养这种类比学习的能力.教学重难点重点：掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用；难点：会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.教学过程导入新课1.满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次根式：√8，√18，√80，√0.5， √18，√20.（2√2 ，3√2 ，4√5 ，√22，√24，2√5）2.上述化简后的二次根式有什么特点?你会怎么对它们进行分类?几个二次根式化简后被开方数相同.最简根式分别为√2 ，√5两类，即√8 ，√18 ，√0.5 ，√18为一组；√80 ，√20为一组.探究新知活动1：二次根式的乘除运算1．填空（1）√4×√9=6，√4×9= 6 ；√16×√25=20，√16×25=20；√4√9＝23， √49＝23；√16√25＝45， √1625＝45．（2）用计算器计算：√6×√7≈6.481，√6×7≈6.481 ；√6√7≈0.925 8， √67≈0.925 8.参考上面的结果，用“>”“<”或“＝”填空．√4×√9 = √4×9;√16×√25=√16×25; √6×√7= √6×7；√4√9=√49; √16√25=√1625; √6√7= √67.观察上面的式子得上节课的规律：√ab=√a·√b(a≥0,b≥0)；√ab =√a√b(a≥0,b＞0).反过来也成立：√a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0)；√a √b =√a b (a ≥0,b ＞0). 【例1】计算:（1）√6×√23； （2）√6×√3√2； （3）√2√5. 【解】（1）√6×√23 =√6×23=√4=2；（2）√6×√3√2=√6×3√2=√6×32=√9=3； （3）√2√5=√25=√2×55×5=√105. 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）√（−4）×（−9）=√−4×√−9 ；（2）√41225×√25=4×√1225×√25=4√1225×25=4√12=8√3.解：（1）错. √（−4）×（−9）=√36=6；（2）错. √41225×√25=√41225×25=√11225×25 =√112 =4√7.做一做：（1）3a 2·2a 3= 6a 5 ,（2）（a +b ）(a -b )= a 2−b 2 ,（3）(a ±b)2=222a ab b ±+， （4）(554−772) ×18= 554×18-772×18=112-. 【例2】计算：（1）3√2×2√3； （2）（√5+1）2；（3）（√13+3）（√13−3）；（4）（√12−√13）×√3； （5）√8+√18√2. 【解】（1）原式=（3×2）×（√2×√3）=6√6；（2）原式=（√5）2+2×√5×1+1=5+2√5+1=6+2√5；（3）原式=（√13）2−32=13-9=4； （4）原式=√12×√3−√13×√3=√12×3−√13×3=√36−√1=5;（5）原式=√8√2+√18√2=√82+√182=√4+√9=2+3=5.活动2：二次根式的加减运算1.（1）3x 2+2x 2= 5x 2 ;（2）x 2+2x 2+4y = 3x 2+4y .2.类比合并同类项的方法，想想如何计算√80−√45？ 解：√80−√45=4√5−3√5=√5.3. √3+√5能不能再进行计算?为什么?答：不能，因为它们都是最简二次根式，且被开方数不相同，所以不能合并.【例3】计算:（1）√48+√3 ； （2）√5−√15 ； （3）(√43+√3)×√6.【解】（1）原式=4√3+√3=（4+1）√3=5√3；（2）原式=√5−√55=(1-15)√5=45√5; （3）原式=√43×√6+√3×√6=√8+√18=2√2+3√2=5√2.二次根式的加减法法则：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.注意：1.加减法的运算步骤：一化简，二判断，三合并.2.合并的前提：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并.课堂练习1．下列运算错误的是（ ） A.2+3=5 B.2·3=6C.6÷2=3D.2(2=2.下列各式中，与√3是同类二次根式的是（ ）A. √2B. √5C. √8D. √123.估计√32×√12+√2·√5的结果在（ ） A.6至7之间 B.7至8之间C.8至9之间D.9至10之间4. √8与最简二次根式√m +1能合并，则m =________.5.若最简二次根式√3m −2n 2n+1与√3可以合并，求√mn 的值.参考答案1.A2.D3.B4.15.解：由题意得2n +1=2且3m -2n =3，解得n = 12,m = 43,即√mn =√12×43 =√23 =√63. 课堂小结1.二次根式的乘除运算法则√a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0)；√a√b =√ab (a ≥0,b ＞0). 2.二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.布置作业习题2.10第1，2题板书设计7 二次根式第2课时 二次根式的运算1.二次根式的乘除运算法则：√a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0)；√a √b=√a b (a ≥0,b ＞0). 2.二次根式的加减法法则：一化简，二判断，三合并.。
八年级数学上册第二章实数第七节二次根式时教案北师大版
二次根式教学目标(1).认识二次根式和最简二次根式的概念.(2).探索二次根式的性质．(3).利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．重点七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．难点学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．教学用具教学环节二次备课复习有理数新课导入复习引入新课问题1 ：5，11，2.7，12149，))((bcbc-+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？课程讲授第二环节：探究性质（一）内容：通过探究得出baba•=⋅，baba=．具体过程如下：（1）94⨯＝，94⨯＝；2516⨯＝，2516⨯＝；94＝，94＝；2516＝，2516＝．（2）用计算器计算：76⨯＝，76⨯＝；76＝，76＝ ．问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？ 意图：最终归纳出b a b a •=⋅（a ≥0，b ≥0），baba =（a ≥0， b ＞0）．说明：公式中字母a ≥0，b ≥0（或b ＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．第三环节：知识巩固例1 化简（1）6481⨯；（2）625⨯；（3）95。
观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数。
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。
例2.化简：（1）45；（2）27；（3）31；（4）98；（5）16125． 问题：（1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断714是最简二次根式的？（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。
北师大版八年级上册第二章实数第七节二次根式第二课时二次根式及其性质教案
第二章实数第七节二次根式第二课时二次根式及其性质教案二次根式的乘除运算教案一、教学目标1. 理解并掌握二次根式的乘除运算规则，理解其算术运算性质。
2. 学会对二次根式进行乘除运算，并能够应用于实际问题中。
3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点和难点1. 教学重点：二次根式的乘除运算规则及其算术运算性质。
2. 教学难点：二次根式乘除法的应用，以及运算符的使用。
三、教学过程1. 概念和定义：讲解二次根式的定义和相关概念，包括平方根、算术平方根等，使学生对二次根式有一个初步的认识。
2. 整数乘法口诀：回顾整数乘法口诀，引导学生总结规律，为后续学习打下基础。
3. 二次根式的乘除运算：通过具体的例子，讲解二次根式的乘除运算规则，并引导学生自己推导，加深理解。
4. 运算符的使用：强调运算符的优先级和运算顺序，通过练习题使学生掌握正确的运算方法。
四、教学方法和手段1. 利用多媒体讲解二次根式的乘除运算，形象生动，易于学生理解。
2. 通过小组讨论学习二次根式的乘除运算，互相交流，发现并解决问题。
3. 阅读相关题型进行练习，巩固所学知识，提高解题能力。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 选择练习题进行课堂练习，检验学习效果，巩固所学知识。
2. 布置作业题，要求学生在规定时间内完成，培养学生独立思考和解决问题的能力。
3. 对学生的练习和作业进行评价，给予肯定和鼓励，同时指出不足之处，提出改进意见。
六、辅助教学资源与工具1. PPT讲解：通过PPT展示，帮助学生更好地理解二次根式的概念和性质。
2. 各类题型练习：提供多种类型的练习题，包括选择题、填空题和计算题等，以便学生进行巩固和拓展。
3. 参考书籍：推荐一些相关的数学参考书籍，供学生自行阅读和学习。
七、结论本节课旨在使学生掌握二次根式的乘除运算规则和方法，并通过实际问题的解决提高其数学应用能力。
通过课堂讲解、小组讨论和练习与作业等多种方式，学生对二次根式的乘除运算有了更深入的理解和掌握。
北师大版数学八年上册《2.7.2二次根式的四则运算》教学设计
北师大版数学八年上册《2.7.2二次根式的四则运算》教学设计一. 教材分析《2.7.2二次根式的四则运算》这一节内容是北师大版数学八年上册的重点内容。
教材通过引入实际问题，让学生了解二次根式的加减乘除运算方法，并掌握运算规律。
本节课的内容与实际生活紧密相连，有利于培养学生的学习兴趣和解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的概念、性质和简单运算。
但部分学生对于二次根式的四则运算规律理解不深，容易出错。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习情况，针对性地进行指导和讲解。
三. 教学目标1.理解二次根式的加减乘除运算规律。
2.能够熟练地进行二次根式的四则运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的加减运算。
2.二次根式的乘除运算。
3.二次根式四则运算中的易错点。
五. 教学方法1.实例导入：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣。
2.讲解演示：通过讲解和演示，让学生掌握二次根式的四则运算方法。
3.练习巩固：通过大量练习，让学生熟练掌握二次根式的四则运算。
4.小组合作：引导学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。
5.总结拓展：引导学生总结二次根式四则运算的规律，提高学生的逻辑思维能力。
六. 教学准备1.PPT课件：制作二次根式四则运算的PPT课件，以便于教学演示。
2.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生进入学习状态，激发学生的学习兴趣。
例如：某商场举行抽奖活动，奖品为一个边长为4的的正方形桌子，桌子下面有一个边长为2的正方形抽奖箱。
假设抽奖箱里的奖金为x元，请你计算抽到奖金的概率。
2.呈现（10分钟）讲解演示二次根式的加减乘除运算方法，让学生理解并掌握运算规律。
例1：计算二次根式的加减法。
(√2 + √3) + (√3 - √2) = 2√3例2：计算二次根式的乘法。
北师大版八年级数学上册第二章实数2.7二次根式(教案)
-二次根式的应用：运用二次根式解决实际问题，如求长度、面积等，培养学生将数学知识应用于实际情境的能力。
-举例：计算矩形对角线长度，其中一边长为a，另一边长为b。
2.教学难点
-二次根式的化简：对于某些含有复杂因数的二次根式，学生难以迅速找到化简的方法，特别是涉及到无理数的化简。
-举例：化简根号下含有非平方数和非质数的二次根式，如√(18) = √(9×2) = 3√2。
-二次根式的加减运算：学生在合并同类项时可能会出现错误，特别是当根号下的数不同时，如何正确处理。
-举例：合并√3 + √2类型的二次根式，需明确这类根式不能直接合并。
-二次根式的乘除运算：在进行乘除运算时，学生可能会忽略乘除法则中关于系数和根号下数的乘除关系。
2.提升逻辑推理素养：引导学生运用二次根式的性质和运算法则进行推理，培养学生严谨的逻辑思维和推理能力。
3.发展数学建模素养：让学生在实际问题中运用二次根式建立数学模型，提高解决实际问题的能力，体会数学在现实生活中的应用价值。
4.增强数学运算素养：通过二次根式的化简和运算练习，提高学生的数学计算准确性和熟练度，培养高效运算能力。
北师大版八年级数学上册第二章实数2.7二次根式（教案）
一、教学内容
本节选自北师大版八年级数学上册第二章实数中的2.7节，主要教学内容包括：
1.二次根式的定义与性质：理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，如乘除法则、加减法则等。
2.二次根式的化简：学会将复杂的二次根式化简为最简形式，包括分解质因数、提取平方因子等方法。
-二次根式的化简：学会将复杂的二次根式化简为最简形式，包括分解质因数、提取平方因子等方法，这是解决二次根式相关问题的关键。
北师大版数学八上2-7二次根式(第2课时)教学设计
第二章 实数7．二次根式（第2课时）课标与教材：课标要求：了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算。
教材分析：教材用类比的方法，引入实数的运算法则，运算律等，并利用这些运算法则、运算率进行有关运算，解决有关实际问题．之前学生已学习了平方根、立方根，认识了无理数，了解了无理数是客观存在的，从而将有理数扩充到实数范围，使学生对数认识进一步深入。
教学建议：在教学中先复习有理数的运算律和运算法则，让学生多计算几个能开的尽的几个根式的乘法运算，通过类比，观察得出计算法则。
二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础． 学情分析：学生已经知道的：在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a=（a ≥0，b ＞0）进行简单的实数四则运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。
学生想知道的：怎样进行实数的运算学生能自己解决的：学生已经学习了有理数的运算法则，有了学习经验，单项式与多项式的乘法，多项式的乘法。
进行类比运算。
根据建构学生需要教师指导解决的：综合运用知识解决问题，进行确定评价。
教学目标：1、知识与技能目标（1）了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用．（2）用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则、运算律在实数范围进行正确计算．（3）正确运用公式：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0） ba b a=（a ≥0， b ＞0） 2、数学思考；能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式，能用类比的方法解决问题，用已有知识去探索新知识．3、问题解决：在与他人合作交流过程中，能较好的理解他人的思考方法和结论。
八年级数学上册-北师大版八年级上册数学 第2课时 二次根式的运算教案精选教案1
2.7 二次根式第2课时二次根式的运算【上节知识回顾】1．关于二次根式的概念，要注意以下几点：（1）从形式上看，二次根式是以根号“”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。
如，等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算；（2）当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是开方而是乘法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其相乘的有理数或有理式就叫做二次根式的系数；（3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数，但其中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数；（4）像“，”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。
2．二次根式的主要性质（1）；（2）；（3）；（4）积的算术平方根的性质：；（5）商的算术平方根的性质：；（6）若，则。
3．注意与的运用。
【新授】一、二次根式的乘法一、复习引入1．填空（1=______；（2=_______．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．×_____，×_____，×一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:例1．计算（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4（5）例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4二、二次根式的除法1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空；（2=________；（1；（4=________．（3一般地，对二次根式的除法规定：（2（3（4例1．计算：（1（1（2（3（4例3．=，且x 为偶数，求（1+x 的值． 三、分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。
对于有理化因式，要注意以下四点： (1)它们必须是成对出现的两个代数式； (2)这两个代数式都是二次根式；(3)这两个代数式的积不含有二次根式；(4)一个二次根式，可以与几个不同的代数式互为有理化因式。
北师大版数学八年级上册同步教案-第2章 实数-7 二次根式(3课时)
7二次根式第1课时二次根式的概念及性质一、基本目标1．了解二次根式及最简二次根式的概念．2．会化简二次根式．3．理解并掌握二次根式的性质．二、重难点目标【教学重点】二次根式及最简二次根式的概念．【教学难点】化简二次根式．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P41～P42的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数．强调条件：a≥0、a ≥0，也就是说二次根式具有双重非负性.2．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积；商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根.3．乘法法则的推广：a·b·c…n＝a·b·c…n.4．下列式子中，不是二次根式的是(B)A．45 B．－3C．a2＋3 D．2 35．计算：0.0196×22 500＝21；549＝7 3.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生对学)【例1】当x________，x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义．【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他条件？【解答】要使x ＋3＋1x ＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x ＋3≥0和分母x ＋1≠0，解得x ≥－3且x ≠－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．【例2】化简下列二次根式． (1)48； (2)8a 3b (a ≥0，b ≥0)； (3)(－36)×169×(－9).【互动探索】(引发学生思考)如何化简二次根式？什么样的二次根式是最简二次根式？【解答】(1)48＝16×3＝16×3＝4 3. (2)8a 3b ＝22·a 2·2ab ＝(2a )2·2ab ＝2a 2ab . (3)(－36)×169×(－9)＝36×169×9＝6×13×3＝234.【互动总结】(学生总结，老师点评)①若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．②将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列二次根式中的最简二次根式是( A )A ．30B ．12C ．8D ．122．下列各式正确的是( D ) A ．(－4)×(－9)＝－4×－9B ．16＋94＝16×94 C ．449＝4×49 D ．4×9＝4×93．把200化成最简二次根式是10 2.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式⎩⎨⎧定义⎩⎨⎧ 形如a(a ≥0)的式子有意义的条件：a ≥0性质：(a )2＝a (a ≥0)，a 2＝a (a ≥0)最简二次根式请完成本课时对应练习！第2课时 二次根式的四则运算一、基本目标 1．了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的．2．会进行简单的二次根式乘除以及加减运算．二、重难点目标 【教学重点】二次根式的四则运算．【教学难点】合并同类二次根式．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P43～P45的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．分别把下面两个式子：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)，a b ＝a b(a ≥0，b ＞0)等号的左边和右边对换，就得到二次根式的乘法法则和除法法则：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；除法法则：a b ＝a b(a ≥0，b ＞0). 2．二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根式，然后再将被开方数相同的二次根式分别合并．有括号时，要先去括号．3．计算：(1)13×27； (2)35； (3)80－45； (4)(25－2)2. 解：(1)3. (2)155. (3) 5.(4)22－410.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生对学)【例1】计算： (1)23－63； (2)80－20＋5； (3)239x ＋6x 4－2x 1x. 【互动探索】(引发学生思考)(1)直接把二次根式合并．(2)、(3)先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数中相同的二次根式合并．【解答】(1)23－63＝－4 3. (2)80－20＋5＝45－25＋5＝3 5. (3)239x ＋6x 4－2x 1x＝2x ＋3x －2x ＝3x . 【互动总结】(学生总结，老师点评)将各二次根式化简为最简二次根式，然后将被开方数相同的项合并．活动2 巩固练习(学生独学)1．计算32－2的值是( D )A ．2B ．3C ． 2D ．2 22．计算3×5的结果是( B )A ．8B ．15C ．3 5D ．5 3 3．若最简二次根式3a －8与17－2a 可以合并，则a ＝5.4．计算： (1)153； (2)6×15×10； (3)32－8； (4)212＋348.解：(1) 5. (2)30. (3)2 2. (4)16 3.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】计算：(23＋32－6)(23－32＋6)．【互动探索】将括号内的各项重新结合，构成平方差公式，再结合完全平方公式展开并化简．【解答】原式＝[23＋(32－6)][23－(32－6)]＝(23)2－(32－6)2＝12－(18－123＋6)＝123－12.【互动总结】(学生总结，老师点评)结合题目特点使用适当的运算方法，可以减少计算量．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式的四则运算⎩⎪⎨⎪⎧ 乘除法则加减法则乘法公式请完成本课时对应练习！ 第3课时 二次根式的混合运算一、基本目标正确进行二次根式的四则混合运算．二、重难点目标【教学重点】二次根式的混合运算．【教学难点】运用二次根式的混合运算解决问题．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P46～P47的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】计算：(1)⎝⎛⎭⎫827－53×6； (2)(5＋6)(52－23)； (3)(23＋32)×(23－32)；(4)(4＋35)2.解：(1)43－15 2. (2)19 2. (3)－6. (4)61＋24 5.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生对学)【例1】教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(2≈1.414)【互动探索】(引发学生思考)可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论．【解答】贺卡的周长为4×(288＋338)＝4×(122＋132)＝4×252≈141.4(厘米)． ∵1.5米＝150厘米，150>141.4，∴李欣的彩带够用．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．活动2 巩固练习(学生独学)计算： (1)25－110； (2)12－3＋13； (3)⎝⎛⎭⎫18－12×8； (4)275＋8－27.解：(1)11010. (2)433. (3)10. (4)73＋2 2. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知a ＝15－2，b ＝15＋2，求a 2＋b 2＋2的值． 【互动探索】要求代数式的值，可以先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ，最后代入求解． 【解答】∵a ＝15－2＝5＋2(5－2)(5＋2)＝5＋2，b ＝15＋2＝5－2(5＋2)(5－2)＝5－2， ∴a ＋b ＝25，ab ＝1.∴a 2＋b 2＋2＝(a ＋b )2－2ab ＋2＝(25)2－2＋2＝20＝2 5.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式⎩⎪⎨⎪⎧综合运算化简求值实际应用请完成本课时对应练习！。
北师版初中数学八年级上册精品教案 第2章 实数 7 二次根式 第2课时 二次根式的运算
第2课时 二次根式的运算教师备课 素材示例●置疑导入 问题1：上节课我们学习了二次根式和二次根式的化简，你能将下面两个式子化成最简二次根式吗？①25×7；②1249.问题2：请你说出这样做的依据是什么．【教学与建议】教学：以练习的形式帮助学生复习上节课的内容，为得到二次根式的乘、除法法则做好铺垫．建议：学生在自己的练习本上完成，做完之后小组讨论化简结果是不是最简二次根式．●归纳导入 (1)填空：__10__； __60____60__；，916＝__34__；④36121＝__611__，36121＝__611__．(2)观察上面计算的结果可以得出：④36121__＝__36121.【归纳】a ·b ＝b ≥0)；a b＝b＞0).【教学与建议】教学：通过对上节课内容的复习达到引入新课的目的，归纳二次根式的乘除运算．建议：完成后小组讨论归纳二次根式的运算法则．进行二次根式的乘除法运算时，要把乘除法法则与积的算术平方根和商的算术平方根的性质综合运用．【例1】(1)下列等式成立的是(D)A．45×25＝85B．53×42＝20 5C．43×32＝75D．53×42＝20 6(2)小明的作业本上有以下四题：①16a4＝4a2；②5a·10a＝52a；③a 1a＝a2·1a＝a；④8a÷2a＝4.做错的题是(D)A．①B．②C．③D．④进行二次根式乘除法计算时，结合乘法运算律、平方差公式、完全平方公式等进行简便计算．【例2】(1)计算：(2＋5)(2－5)＝__－1__．(2)已知a＝22＋3，b＝22－3，则a2＋b2＝__34__．解答此类问题经常涉及三角形、长方形、正方形、圆形等．用到它们的面积公式，只需根据题意列出式子进行计算、化简即可．【例3】(1)在△ABC中，BC＝46cm，BC边上的高为22cm，则△ABC 的面积为(C)A．63cm2B．43cm2C．83cm2D．163cm2(2)已知长方形的面积是72cm2，一边长为6cm，则另一边长为__cm.高效课堂教学设计1．熟记二次根式的乘法、除法法则及其条件．2．能运用法则进行二次根式的乘除运算，并能将结果化为最简二次根式．▲重点二次根式的加减乘除运算．▲难点能运用法则进行二次根式的运算．◆活动1 创设情境导入新课(课件)问题：分别把式子ab ＝a ·b (a≥0，b ≥0)，a b ＝ab(a≥0，b>0)的等号的左边的内容与右边的对换，等式是否依然成立？◆活动2 实践探究 交流新知 【探究1】计算下列各式：4×9＝__6__；16×25＝__20____20__； 49＝__23__，49＝__23__；1625＝__45__，1625＝__45__．【探究2】完成以下各题，看谁完成得又对又快：(课件展示)6×； 67＝77．问题：你有哪些发现？如何正确表述你的发现？【归纳】a ·b ＝a·b(a≥0，b ≥0)；a b＝ab (a≥0，b>0)◆活动3 开放训练 应用举例 【例1】教材P 44例3【方法指导】二次根式乘除法计算．解：(1)＝__2__；(2)原式＝＝__3__；(3)原式＝5．【例244【方法指导】运用运算律和公式计算．解：(1)原式＝__3__×__2__×；(2)原式＝－5＝__6__－5＝__1__；(3)原式＝＋＋(__1__)2＝__5__＋25＋__1__＝；(4)原式＝(13)2－__32__＝__13__－__9__＝__4__；(5)原式＝＝－__1__＝__6__－__1__＝__5__；(6)原式＝＋＝＋＝__2__＋__3__＝__5__．【例3】教材P 44例5【方法指导】先把每个二次根式化为最简二次根式．解：(1)原式＝＋＝；(2)原式＝－5＝5；(3)原式＝＋＝＋＝．◆活动4 随堂练习1．下列运算中错误的是(A)A ．2＋5＝7B ．2×5＝10C ．6÷2＝3D ．(－3)2＝3 2．计算并化简．(1)23×12；解：原式＝23×12 ＝8 ＝22；(2)45÷215； 解：原式＝45×152＝6；(3)(2＋3)2;(4)82＋218－1432.解：原式＝2＋62－ 2＝6 2.3．已知x＝3－1，求(x＋1)2－4(x＋1)＋4的值．解：(x＋1)2－4(x＋1)＋4＝(x＋1－2)2＝(x－1)2.当x＝3－1时，原式＝(3－2)2＝7－4 3.◆活动5 课堂小结与作业学生活动：这节课的收获是什么？还有哪些疑惑？教学说明：二次根式的运算，可以运用完全平方公式和平方差公式使计算简便．作业：课本P45随堂练习，习题2.10中的T1、T2.这节课经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系．。
八年级数学上册第2章实数7二次根式第2课时二次根式的四则运算新版北师大版
C
)
A. 7 －3 ＝4
B. 3＋ ＝3
C. × ＝3
D. ÷ ＝3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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17
9. [2024保定竞秀区阶段练习]下列各组二次根式中，能进行
合并的是(
B
)
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
C. a ≤0， b ≤0
D. a ≥0， b ≥0
1
2
3
4
5
6
7
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9
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15
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17
2. 下列计算正确的是(
C
)
A. × ＝10
C. 2 ÷3
1
2
3
B. × ＝
＝
4
5
D. ÷ ＝
6
7
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11
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13
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15
16
17
3. 【情境题 生活应用】蔬菜是人们日常饮食中必不可少的
14. [2024茂名期中]等式“(
应填入
1
.
6
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
15. 【新视角 新定义题】符号“*”表示一种新的运算，规
定a*b＝ · －
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第2课时 二次根式的四则运算
【知识与技能】
1.使学生能够利用积和商的算术平方根性质的反用进行二次根式的加减乘除运算.
2.让学生理解实数的运算法则和运算律对于二次根式同样适用.
3.学会运用把不是最简二次根式的要化成最简二次根式，如果被开方数相同，应当将这些项合并.
【过程与方法】
1.通过实数的运算与二次根式的运算比较体会类比的思想.
2.通过二次根式的运算培养学生的运算能力. 【情感态度】
通过对二次根式运算的学习使学生认识到事物之间是相互联系的.激发学生学习热情，让学生充分参与到数学学习过程中来，使他们体验到成功的乐趣.
【教学重点】
二次根式加减乘除的运算. 【教学难点】
探讨二次根式运算的方法，快速准确地运用公式和运算律进行二次根式的运算
.
一、创设情境，导入新课
前面我们学习了二次根式的两个性质：积的算术平方根和商的算术平方根的两个式子，即
现在把等号的左边与右边交换，就可得到二次根式的乘法法则和除法法则：
【教学说明】通过回忆旧知识得出新知识，学生并不陌生，有一定的基础，掌握起来也很容易，增强了学生学习数学的自信心和勇气.
二、思考探究，获取新知 二次根式的加减、乘除运算
依据上面的法则，下面的式子你会计算吗？
例1计算：
【教学说明】教师引导学生尝试着直接运用法则进行二次根式的乘除法运算，可以作适当点拨.
注：能约分的可以先约分，运算结果必须都是最简二次根式.
同样的，二次根式也可以进行加减运算，它和以前学过的实数的运算法则、运算律仍然适用.下面的计算不妨试一试？有困难的可以和同学交流.
例2计算：
【教学说明】对于有些二次根式的运算可以运用完全平方公式和平方差公式使计算简便，这就要在解题之前观察式子的特点，教师可以引导学生合作做题，错误较多的地方教师再作矫正、强调.
注：对于化简运算的结果中，如果被开方数相同，应当将这些项合并.根号前面是带分数的要化成假分数.
通过上面的学习，我们已经知道了怎样进行二次根式的加减乘除运算.下面的题，你能独立做吗？
例3计算：
【教学说明】通过前面两个例题的学习，学生进行二次根式的运算有了一定的基础，让学生体验成功的喜悦.
三、运用新知，深化理解
1.化简：
2.计算：
3.545cm,求这个直角三角形的面积.
【教学说明】学生自主完成，加深对二次根式运算方法和技巧的掌握，提高他们运算的正确率和计算速度.特别要结合式子的特点运用公式和法则使计算简便.
.
四、师生互动，课堂小结
通过这节课你有哪些收获？谈谈自己的想法.
【教学说明】鼓励学生用自己的语言进行总结、归纳，特别是运算过程中要注意的几个细节，教师可以适度提醒.
1.布置作业：习题
2.10中的1、3题.
2.完成练习册中本课时相应练习.
二次根式的运算并非一时就能熟练地掌握的，有待在今后的教学中花时间加大训练，以达到又准又快的目的.。