2018届高三数学过关测试：第24练导数综合练含答案

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2018版高三新课标版·数学(理)总复习题组层级快练24含解析

题组层级快练(二十四）1．(2017·江苏无锡模拟)函数y＝sin(2x－错误!)在区间［－错误!，π]上的简图是（)答案A解析令x＝0得y＝sin（－错误!）＝－错误!，排除B、D项．由f（－错误!)＝0,f（错误!)＝0，排除C项．故选A。

2．（2016·浙江)函数y＝sinx2的图像是（）答案D解析由于函数y＝sinx2是一个偶函数，选项A、C的图像都关于原点对称，所以不正确；选项B与选项D的图像都关于y轴对称，在选项B中，当x＝±错误!时,函数y＝sinx2<1，显然不正确，当x＝±错误!，y＝sinx2＝1，而错误!<错误!，故选D。

3．为得到函数y＝cos（2x＋错误!）的图像，只需将函数y＝sin2x的图像( )A．向左平移错误!个长度单位B．向右平移错误!个长度单位C．向左平移错误!个长度单位D．向右平移错误!个长度单位答案A解析本题主要考查三角函数的平移，首先是化为同名函数．y＝cos （2x＋错误!)＝sin（2x＋错误!)．4．若把函数y＝f(x）的图像沿x轴向左平移错误!个单位，沿y轴向下平移1个单位，然后再把图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变），得到函数y＝sinx的图像，则y＝f（x)的解析式为( )A．y＝sin（2x－错误!)＋1 B．y＝sin(2x－错误!)＋1C．y＝sin（错误!x＋错误!）－1 D．y＝sin(错误!x＋错误!）－1答案B解析将y＝sinx的图像上每个点的横坐标变为原来的一半(纵坐标保持不变)，得到y＝sin2x的图像,再将所得图像向上平移1个单位,得到y＝sin2x＋1的图像，再把函数y＝sin2x＋1的图像向右平移错误!个单位，得到y＝sin2(x－错误!）＋1的图像,即函数f（x）的图像，所以f(x)＝sin2（x－错误!)＋1＝sin(2x－错误!)＋1，故选B.5．要得到函数y＝sin错误!x的图像，只需将函数y＝sin(错误!x－错误!）的图像( )A．向左平移错误!个单位B．向右平移错误!个单位C．向左平移错误!个单位D．向右平移错误!个单位答案C6．函数y＝sinx－cosx的图像可由y＝sinx＋cosx的图像向右平移( )A.错误!个单位B．π个单位C.错误!个单位D.错误!个单位答案D解析y＝sinx＋cosx＝错误!sin错误!，y＝sinx－cosx＝2sin错误!＝错误!sin错误!.7．（2017·河北石家庄模拟）若ω〉0，函数y＝cos（ωx＋错误!)的图像向右平移2π3个单位长度后与原图像重合，则ω的最小值为( ）A。

高考数学专题：导数大题专练含答案

高考数学专题：导数大题专练含答案一、解答题1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；(2)设()2xg x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求实数a 的取值范围. 2．已知函数()ln f x x =．(1)当()()sin 1g x x =-，求函数()()()T x f x g x =+在()0,1的单调性； (2)()()12h x f x b x=+-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 3．已知函数()21si cos n 2f x x x a x x =-++．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围．4．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<．（注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 5．求下列函数的导数： (1)2cos x xy x -=； (2)()e 1cos 2x x y x =+-； (3)()3log 51y x =-．6．已知函数()322f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值，且在点()()1,1f --处的切线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围.7．已知函数()323f x x ax x =-+.(1)若3x =是()f x 的极值点，求()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值；(2)若()f x 在[)1,+∞上是单调递增的，求实数a 的取值范围.8．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； ②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）9．已知函数()ln 2f x x x ax =++在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 的单调区间和极值．10．已知函数()222(0)e xmx x f x m +-=>. (1)判断()f x 的单调性；(2)若对[]12,1,2x x ∀∈，不等式()()1224e f x f x -≤恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】【分析】（1）由()()110ax f x a x xx+=+=>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解；（2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>， ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+；②当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-，在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)由题目知，只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，由变量分离可知2ln xa x-<，[]1,100x ∈，令()2ln xh x x -=，下面求()h x 的最小值，令()23ln xh x x-+'=，所以()0h x '=得3x e =，所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数，所以()()33min 1h x h e e -==，所以31a e ≤-. 2．(1)单调递增 (2)证明见解析【解析】【分析】（1）直接求导，判断出导数大于0，即可得到单调性；（2）直接由1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x =+-的两个零点得到1212122ln x xx x x x -=，分别解出1211212ln x xx x x -=，2121212ln xx x x x -=，再换元令12x t x =构造函数()12ln l t t t t=--，求导确定单调性即可求解. (1)由题意，函数()()sin 1ln T x x x =-+，则()()1cos 1T x x x'=--+，又∵()0,1x ∈，∴11x>，()()10,1,cos 11x x -∈-<，∴()0T x '>，∴()T x 在（0，1）上单调递增． (2)根据题意，()()1ln 02h x x b x x =+->， ∵1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x=+-的两个零点，∴111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=．两式相减，可得122111ln22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=， ∴1212122ln x x x x x x -=，则1211212ln x x x x x -=，2121212ln xx x x x -=．令12x t x =，()0,1t ∈，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=．记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，则()()221t l t t-'=．又∵()0,1t ∈，∴()0l t '>恒成立，∴()l t 在()0,1上单调递增，故()()1l t l <，即12ln 0t t t --<，即12ln t t t-<．因为ln 0t <，可得112ln t t t->，∴121x x +>．【点睛】本题关键点在于对双变量的处理，通过对111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=作差，化简得到1212122ln x x x x xx -=，分别得到12,x x 后，换元令12x t x =，这样就转换为1个变量，再求导确定单调性即可求解． 3．(1)10y +=； (2)[)1,+∞. 【解析】【分析】（1）将1a =-代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件可以将问题转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解. (1)当1a =-时，()2cos 1sin 2f x x x x x =--+()2cos 10000sin 012f =⨯--+=-，所以切点为0,1，()1sin cos x f x x x '=-++，∴(0)01sin 0cos00f '=-++=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为(0)0k f '==，所以曲线()y f x =在点0,1处的切线的斜率切线方程为()()100y x --=⨯-，即10y +=.(2)由()21si cos n 2f x x x a x x =-++，得()s 1co i s n f x x a x x '=--+因为函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设()()1c s os in g x f x x a x x '==--+，则()cos 1sin g x a x x '=--. 因为si (n 0)001cos00g a =--+=，所以使()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则至少满足()00g '≤，即10a -≤，解得1a ≥. 下证明当1a ≥时，()0f x '≤恒成立，因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0x ≥，因为1a ≥，所以()sin 1cos f x x x x '≤--+.记s ()cos n 1i h x x x x =--+，则π()1sin 14cos h x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎝-⎪⎭.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>. 所以函数()h x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增.因为ππ(),h h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭33001044，所以()h x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)0h =. 即()()1sin cos 0f x h x x x x '≤=--+≤在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.所以a 的取值范围为[)1,+∞.4．(1)(21y x =-+(2)（ⅰ）22e ,-；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）（ⅰ）原问题等价于12,x xa =-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x x x x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式. (1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x的方程a =-的两正根，设())0g x x =>，则()g x '=，令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>，所以函数()g x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<- 所以a的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-，因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011x xx x+<<<-，设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+，所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减，所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011x xx x+<<<-成立，因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<，所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，因为()22616212e 201ta tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<；因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<；所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a-<<<-，所以βα-> 所以21x x->综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x 21x x -<；再利用()21e 011x xx x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222m x ax ax =-++++21x x ->5．(1)'y ()31sin 2cos x x xx --=；(2)'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--；(3)'y ()551ln 3x =-⋅.【解析】【分析】根据导数的运算法则，对（1）（2）（3）逐个求导，即可求得结果. (1)因为2cos x x y x -=，故'y ()()()243sin 12cos 1sin 2cos x x x x x x x x x x------==. (2)因为()e 1cos 2x x y x =+-，故'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--.(3)因为()3log 51y x =-，故'y ()()155?51ln 351ln 3x x =⨯=--⋅. 6．(1)()3232f x x x =+-(2)()2,2- 【解析】【分析】（1）由已知可得()()2013f f ⎧-=⎪⎨-=-''⎪⎩，可得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）分析可知，直线y λ=与函数()f x 的图象有3个交点，利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，数形结合可得出实数λ的取值范围.(1)解：因为()322f x x ax bx =++-，则()232f x x ax b '=++，由题意可得()()212401323f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨-=-+=-''⎪⎩，解得30a b =⎧⎨=⎩，所以，()3232f x x x =+-.当3a =，0b =时，()236f x x x '=+，经检验可知，函数()f x 在2x =-处取得极值. 因此，()3232f x x x =+-.(2)解：问题等价于()f x λ=有三个不等的实数根，求λ的范围.由()2360f x x x '=+>，得2x <-或0x >，由()2360f x x x '=+<，得20x -<<，所以()f x 在(),2-∞-、()0,∞+上单调递增，在()2,0-上单调递减，则函数()f x 的极大值为()22f -=，极小值为()02f =-，如下图所示：由图可知，当22λ-<<时，直线y λ=与函数()f x 的图象有3个交点，因此，实数λ的取值范围是()2,2-. 7．(1)最大值为15，最小值为9- (2)3a ≤ 【解析】【分析】（1）由()30f '=可求得实数a 的值，再利用函数的最值与导数的关系可求得函数()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值；（2）分析可知()23230f x x ax '=-+≥对任意的1≥x 恒成立，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数a 的取值范围. (1)解：因为()323f x x ax x =-+，则()2323f x x ax =-+'，则()33060f a '=-=，解得5a =，所以，()3253f x x x x =-+，则()()()23103313f x x x x x '=-+=--，列表如下：所以，min 39f x f ==-，因为11f =-，515f =，则max 515f x f ==. (2)解：由题意可得()23230f x x ax '=-+≥对任意的1≥x 恒成立，即312a x x⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得313322x x ⎛⎫+≥⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，故3a ≤.8．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关； (2)①0310p =；②()73a b + 【解析】【分析】（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K 计算公式，将计算结果与195%0.05-=所对应的k 值比较大小即可；（2）①利用独立重复试验与二项分布的特点，写出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，再利用导数求出最值点； ②利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案. (1)由题中表格数据完成22⨯列联表如下：()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关. (2)①由题得，()()733101f p C p p =-，()0,1p ∈， ∴()()()()()763236321010C 3171C 1310f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦. 令()0f p '=，得310p =，当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>；当3,110p ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f p '<， ∴当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调选增；当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调递减， ∴()f p 的最大值点0310p =. ②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X 的数学期望. 由①知答错的概率为310，则()33101731010E X a b a b ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故要准备的礼品大致为73a b +元. 9．(1)3a =-；(2)增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ，极小值22e -，无极大值.【解析】【分析】（1）根据()1112f '⨯=-，代值计算即可求得参数值；（2）根据（1）中所求参数值，求得()f x '，利用导数的正负即可判断函数单调性和极值. (1)因为()ln 1f x x a '=++，在点()()1,1f 处的切线斜率为()11k f a '==+，又()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直，所以()1112f '⨯=-，解得3a =-. (2)由（1）得，()ln 2f x x '=-，()0,x ∈+∞，令()0f x '>，得2e x >，令()0f x '<，得20e x <<，即()f x 的增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ．又()22222e e ln e 3e 22ef =-+=-，所以()f x 在2e x =处取得极小值22e -，无极大值．【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属综合中档题.10．(1)单调增区间为2,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+⎥⎝⎦ (2)20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间，（2）由函数()f x 在[]1,2上为增函数，求出函数的最值，则()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=，然后将问题转化为()224e 24e e m -+≥，从而可求出实数m 的取值范围. (1)()()()()221422(0)e e xxmx m x mx x f x m -+-+-+-=>'=令()0f x '=，解得2x m =-或2x =，且22m-< 当2,x m ∞⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，()0f x '≤，当2,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当[)2,x ∞∈+时，()0f x '≤即()f x 的单调增区间为2,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+⎥⎝⎦(2)由（1）知，当[]0,1,2m x >∈时，()0f x '>恒成立所以()f x 在[]1,2上为增函数，即()()max min242()2,()1e em mf x f f x f +====. ()()12f x f x -的最大值为()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=()()1224e f x f x ⎡⎤≥-⎣⎦恒成立()224e 24e e m -+∴≥ 即24em ≤-，又0m > 20,4e m ⎛⎤∴∈ ⎥-⎝⎦ 故m 的取值范围20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦。

直击2024年高考——高三数学导数题型专练(全国版)

导数题型专练【利用公式和四则运算求导】【例1】下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1x ln 2x B ．(x 2e x )′＝2x ＋e x C.⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 D.⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2 【答案】 AD【解析】 ⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2x ，故A 正确；(x 2e x )′＝(x 2＋2x )e x ，故B 错误；⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故C 错误；⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2，故D 正确．【复合函数求导】【例2】设函数，若，则．【答案】 1; 【解析】函数，，，，解得，故答案为：．【根据导数构造抽象函数】【例3】已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（）．A.B.C.D.【答案】 A; 【解析】设，由，得：，故函数在递减，由为奇函数，得， ∴，即，∵不等式，∴，即，结合函数的单调性得：，故不等式的解集是．故选．【求在某点处的切线方程】【例4】曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为__________．【答案】 5x －y ＋2＝0【解析】 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.【求过某点处的切线方程】【例5】y =2x 2+8过点P(1,2)的切线方程是( )． A. y =−4x +6B. y =12x −10C. y =−4x +6或y =12x −10D. y =4x +6或y =12x −10【答案】 C;【解析】设切点坐标为(x 0 ,2x 02+8)，y ′=4x ，∴切线斜率k =4x 0，则2x 02+8−2x 0−1=4x 0，解得x 0=−1或3，∴所求切线方程为y =−4x +6或y =12x −10．【根据切线求参数问题】【例6】直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】 A【解析】 ∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，将P (1,2)代入y ＝kx ＋1，可得k ＋1＝2，解得k ＝1， ∵ f (x )＝a ln x ＋b ，∴ f ′(x )＝ax ，由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ， ∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上， ∴f (1)＝ln 1＋b ＝2，解得b ＝2，故2a ＋b ＝2＋2＝4.【例7】过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x (a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (1，＋∞)【解析】由y ′＝a e x ，若切点为(x 0，0e x a )，则切线方程的斜率k ＝0'|x x y =＝0e x a >0，∴切线方程为y ＝0e x a (x －x 0＋1)，又P (1，e)在切线上， ∴0e x a (2－x 0)＝e ，即ea ＝0e x (2－x 0)有两个不同的解，令φ(x )＝e x (2－x )， ∴φ′(x )＝(1－x )e x ，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝e ，又x →－∞时，φ(x )→0； x →＋∞时，φ(x )→－∞， ∴0<ea <e ，解得a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．【两曲线的公切线】【例8】已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－1或3【答案】 D【解析】由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1，因为直线l 与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，g x ＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根，因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3，所以a ＝－1或a ＝3.【利用导数确定函数图象】【例9】已知函数，则的图象大致为（）．A. B.C. D.【答案】A;【解析】令，则，由，得，即函数在上单调递增，由得，即函数在上单调递减，所以当时，函数有最小值，，于是对任意的，有，故排除、，因为函数在上单调递减，则函数在上单调递增，故排除．故选．【利用导数求具体函数的单调性】【例10】函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1,1)【答案】A【解析】∵f′(x)＝2x－2 x＝2(x＋1)(x－1)x(x>0)，令f′(x)＝0，得x＝1，∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．【例11】若函数f(x)＝ln x＋1e x，则函数f(x)的单调递减区间为________．【答案】(1，＋∞)【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ln x－1e x，令φ(x)＝1x－ln x－1(x>0)，φ′(x)＝－1x2－1x<0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．【利用导数求含参函数的单调性】【例12】已知函数．讨论的单调性．【答案】当时，增区间为，无减区间；当时，增区间为，减区间为．【解析】函数的定义域为：，，①当时，恒成立，在上单调递增，无减区间；②当时，令，解得，∴增区间为，减区间为综上：当时，增区间为，无减区间；当时，增区间为，减区间为．【例13】已知函数是自然对数的底数）．讨论的单调性．【答案】当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．【解析】，当时，，在上单调递减；当时，由得，所以在上单调递减；由得，所以在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．【导数解决单调性的应用-比较大小】【例14】已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 【答案】 A【解析】因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5.【导数解决单调性的应用-解不等式】【例15】已知函数f (x )＝e x －e －x －2x ＋1，则不等式f (2x －3)>1的解集为________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞【解析】 f (x )＝e x －e －x －2x ＋1，定义域为R ， f ′(x )＝e x ＋e －x －2≥2e x ·e －x －2＝0，当且仅当x ＝0时取“＝”， ∴f (x )在R 上单调递增，又f (0)＝1，∴原不等式可化为f (2x －3)>f (0)，即2x －3>0，解得x >32， ∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫32，＋∞.【导数解决单调性的应用-求参数范围】【例16】已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上单调递增，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 【解析】由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， ∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.【根据函数图象判断极值】【例17】设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3) C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)【答案】D【解析】由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．【利用导数求函数的极值】【例18】已知函数，其中．求函数的极值．【答案】当时，在单调递减，无极值，当时，在单调递增，上单调递减．∴有极大值．【解析】，，令得，，当时，在单调递减，无极值，当时，在单调递增，上单调递减．∴有极大值．【例19】已知函数．判断函数的极值点的个数，并说明理由．【答案】当时，函数有一个极值点；当或时，函数有两个极值点，当时，函数无极值点．【解析】因为，所以．（）当时，有，令，得．当变化时，和的变化情况如下：所以当时，函数只有一个极值点．（）当时，令，得，．①当时，．当变化时，和的变化情况如下：所以当时，函数有两个极值点．②当时，恒成立，所以在上单调递增，所以当时，函数无极值点．③当时，，当变化时，和的变化情况如下：所以当时，函数有两个极值点，综上，当时，函数有一个极值点；当或时，函数有两个极值点，当时，函数无极值点．【已知极值(点)求参数】【例20】函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则a ＋b 等于()A ．－7B ．0C ．－7或0D ．－15或6【答案】 A【解析】由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝1处取得极值10，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)，当x <－113或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意．所以a ＋b ＝－7.【利用导数求函数的最值】【例21】函数的最小值为．【答案】 ; 【解析】当时，，，此时单调递减，此时．当时，，，当时，，单调递减，时，，单调递增， ∴此时，∵，∴的最小值为．【例22】已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．【答案】(1) e 2－3e ＋1；(2) h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.【解析】 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1.(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ；③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.【数形结合法研究函数零点】【例23】已知函数f (x )＝e x －a (x ＋2)．(1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x －(x ＋2)，f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )<0，解得x <0，令f ′(x )>0，解得x >0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)令f (x )＝0，得e x ＝a (x ＋2)，即1a ＝x ＋2e x ，所以函数y ＝1a 的图象与函数φ(x )＝x ＋2e x 的图象有两个交点，φ′(x )＝－x －1e x ，当x ∈(－∞，－1)时，φ′(x )>0；当x ∈(－1，＋∞)时，φ′(x )<0，所以φ(x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，所以φ(x )max ＝φ(－1)＝e ，且x →－∞时，φ(x )→－∞；x →＋∞时，φ(x )→0，所以0<1a <e ，解得a >1e .所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞.【利用函数性质研究函数零点】【例24】已知函数f (x )＝x －a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数g (x )＝12x 2－ax －f (x )的零点个数．【解析】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝x －a ln x 可得f ′(x )＝1－a x ＝x －a x ，由f ′(x )>0可得x >a ；由f ′(x )<0可得0<x <a ，所以f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由g (x )＝12x 2－ax －x ＋a ln x＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x ，可得g ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x令g ′(x )＝0可得x ＝1或x ＝a ，因为g (1)＝12－a －1＝－a －12<0，g (2a ＋3)＝12(2a ＋3)2－(a ＋1)(2a ＋3)＋a ln(2a ＋3)＝a ＋a ln(2a ＋3)＋32>0，当a >1时，g (x )在(1，a )上单调递减，所以g (1)>g (a )，所以g (a )<0，所以g (x )有一个零点，当a ＝1时，g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g (x )有一个零点，当0<a <1时，g (x )在(0，a )上单调递增，在(a ,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，此时g (a )＝12a 2－(a ＋1)a ＋a ln a＝－12a 2－a ＋a ln a <0，g (x )只有一个零点，综上所述，g (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．【导数构造问题】【例25】已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数为f ′(x )，当x >0时，f ′(x )－f (x )x >0，若a＝2f (1)，b ＝f (2)，c ＝4f ⎝⎛⎭⎫12，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．a <b <c 【答案】 B【解析】构造函数g (x )＝f (x )x (x >0)，得g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＝1x ⎣⎡⎦⎤f ′(x )－f (x )x ，由题知当x >0时，f ′(x )－f (x )x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (2)2>f (1)1>f ⎝⎛⎭⎫1212，即f (2)>2f (1)>4f ⎝⎛⎭⎫12，即b >a >c .【例26】(多选)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)<e 2f (0)B ．f (2)>e 2f (0)C ．e 2f (－1)>f (1)D ．e 2f (－1)<f (1)【答案】 AC【解析】构造F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝e x f ′(x )－e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )，则F ′(x )<0，F (x )在R 上单调递减，根据单调性可知A ，C 选项正确．【例27】(多选)定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0成立，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫π6>2f ⎝⎛⎭⎫π4 B.3f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π3 D.2f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π4 【答案】 CD【解析】构造函数g (x )＝f (x )cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2. 则g ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x (cos x )2<0，即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，所以g ⎝⎛⎭⎫π6>g ⎝⎛⎭⎫π3，所以f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π3，同理g ⎝⎛⎭⎫π6>g ⎝⎛⎭⎫π4，即2f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π4.【同构法导数构造】【例28】若存在x ，y ∈(0，＋∞)使得x ln(2ax )＋y ＝x ln y ，则实数a 的最大值为( ) A.1eB.12eC.13eD.2e【答案】 B【解析】由x ln(2ax )＋y ＝x ln y ，得ln(2a )＝ln y x －y x ，令t ＝y x >0，g (t )＝ln t －t ，则g ′(t )＝1t －1＝1－t t ，当0<t <1时，g ′(t )>0，当t >1时，g ′(t )<0，所以g (t )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当t ＝1时，g (t )取得极大值即最大值g (1)＝－1，因为当t →0时，g (t )→－∞，所以g (t )∈(－∞，－1]，所以ln 2a ≤－1，所以0<a ≤12e ，所以实数a 的最大值为12e .【分参法解决恒成立问题】【例29】已知函数f (x )＝(x －2)e x －12ax 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当x ≥2时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝0时，f (x )＝(x －2)e x ，f (0)＝(0－2)e 0＝－2，f ′(x )＝(x －1)e x ，k ＝f ′(0)＝(0－1)e 0＝－1，所以切线方程为y ＋2＝－(x －0)，即x ＋y ＋2＝0.(2)方法一当x ≥2时，f (x )≥0恒成立，等价于当x ≥2时，(x －2)e x －12ax 2＋ax ≥0恒成立．即⎝⎛⎭⎫12x 2－x a ≤(x －2)e x 在[2，＋∞)上恒成立.当x ＝2时，0·a ≤0，所以a ∈R .当x >2时，12x 2－x >0，所以a ≤(x －2)e x 12x 2－x＝2e x x 恒成立．设g (x )＝2e x x ，则g ′(x )＝2(x －1)e x x 2，因为x >2，所以g ′(x )>0，所以g (x )在区间(2，＋∞)上单调递增．所以g (x )>g (2)＝e 2，所以a ≤e 2.综上所述，a 的取值范围是(－∞，e 2]．【整体法解决恒成立问题】【例30】已知函数f (x )＝e x －1－ax ＋ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处的切线与直线3x －y ＝0平行，求a 的值；(2)若不等式f (x )≥ln x －a ＋1对一切x ∈[1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)f ′(x )＝e x －1－a ＋1x ，∴f ′(1)＝2－a ＝3，∴a ＝－1，经检验a ＝－1满足题意，∴a ＝－1，(2)f (x )≥ln x －a ＋1可化为e x －1－ax ＋a －1≥0，x >0，令φ(x )＝e x －1－ax ＋a －1，则当x ∈[1，＋∞)时，φ(x )min ≥0，∵φ′(x )＝e x －1－a ，①当a ≤1e 时，φ′(x )>0，∴φ(x )在[1，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(1)＝1－a ＋a －1＝0≥0恒成立，∴a ≤1e 符合题意．②当a >1e 时，令φ′(x )＝0，得x ＝ln a ＋1.当x ∈(0，ln a ＋1)时，φ′(x )<0，当x ∈(ln a ＋1，＋∞)时，φ′(x )>0，∴φ(x )在(0，ln a ＋1)上单调递减，在(ln a ＋1，＋∞)上单调递增．当ln a ＋1≤1，即1e <a ≤1时，φ(x )在[1，＋∞)上单调递增，φ(x )min ＝φ(1)＝0≥0恒成立，∴1e <a ≤1符合题意．当ln a ＋1>1，即a >1时，φ(x )在[1，ln a ＋1)上单调递减，在(ln a ＋1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )min ＝φ(ln a ＋1)<φ(1)＝0与φ(x )≥0矛盾．故a >1不符合题意．综上，实数a 的取值范围为(－∞，1]．【双变量的恒(能)成立问题】【例31】设f (x )＝a x ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．解 (1)存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M 成立． g ′(x )＝3x 2－2x ＝x (3x －2)，令g ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23，∵g ⎝⎛⎭⎫23＝－8527，又g (0)＝－3，g (2)＝1， ∴当x ∈[0,2]时，g (x )max ＝g (2)＝1，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫23＝－8527， ∴M ≤1－⎝⎛⎭⎫－8527＝11227， ∴满足条件的最大整数M 为4.(2)对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2有f (s )≥g (t )，则f (x )min ≥g (x )max .由(1)知当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，g (x )max ＝g (2)＝1， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立，即a ≥x －x 2ln x 恒成立．令h (x )＝x －x 2ln x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，∴h ′(x )＝1－2x ln x －x ，令φ(x )＝1－2x ln x －x ， ∴φ′(x )＝－3－2ln x <0，h ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，又h ′(1)＝0，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，h ′(x )≥0，当x ∈[1,2]时，h ′(x )≤0，∴h (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，在[1,2]上单调递减，∴h (x )max ＝h (1)＝1，故a ≥1.∴实数a 的取值范围是[1，＋∞)．【利用导数证明不等式】【例32】已知函数g (x )＝x 3＋ax 2.(1)若函数g (x )在[1,3]上为单调函数，求a 的取值范围；(2)已知a >－1，x >0，求证：g (x )>x 2ln x .(1)解由题意知，函数g (x )＝x 3＋ax 2，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ，若g (x )在[1,3]上单调递增，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≥0在[1,3]上恒成立，则a ≥－32；若g (x )在[1,3]上单调递减，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≤0在[1,3]上恒成立，则a ≤－92.所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪⎣⎡⎭⎫－32，＋∞. (2)证明由题意得，要证g (x )>x 2ln x ，x >0，即证x 3＋ax 2>x 2ln x ，即证x ＋a >ln x ，令u (x )＝x ＋a －ln x ，x >0，可得u ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，x >0，当0<x <1时，u ′(x )<0，函数u (x )单调递减；当x >1时，u ′(x )>0，函数u (x )单调递增．所以u (x )≥u (1)＝1＋a ，因为a >－1，所以u (x )>0，故当a >－1时，对于任意x >0，g (x )>x 2ln x .【例33】已知函数f (x )＝a ln x ＋x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明：xf (x )<e x .(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋1＝x ＋a x .当a ≥0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，若x ∈(－a ，＋∞)，则f ′(x )>0；若x ∈(0，－a )，则f ′(x )<0.所以f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增，在(0，－a )上单调递减．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增，在(0，－a )上单调递减．(2)证明当a ＝1时，要证xf (x )<e x ，即证x 2＋x ln x <e x ，即证1＋ln x x <e x x 2.令函数g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝1－ln x x 2.令g ′(x )>0，得x ∈(0，e)；令g ′(x )<0，得x ∈(e ，＋∞)．所以g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (e)＝1＋1e ，令函数h (x )＝e x x 2，则h ′(x )＝e x (x －2)x 3.当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0.所以h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (2)＝e 24.因为e 24－⎝⎛⎭⎫1＋1e >0，所以h (x )min >g (x )max ，即1＋ln x x <e x x 2，从而xf (x )<e x 得证．【例34】已知函数f (x )＝e x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当x >－2时，求证：f (x )>ln(x ＋2)．(1)解由f (x )＝e x ，得f (0)＝1，f ′(x )＝e x ，则f ′(0)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝x －0，所以所求切线方程为x －y ＋1＝0.(2)证明设g (x )＝f (x )－(x ＋1)＝e x －x －1(x >－2)，则g ′(x )＝e x －1，当－2<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0，即g (x )在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，于是当x ＝0时，g (x )min ＝g (0)＝0，因此f (x )≥x ＋1(当且仅当x ＝0时取等号)，令h (x )＝x ＋1－ln(x ＋2)(x >－2)，则h ′(x )＝1－1x ＋2＝x ＋1x ＋2，则当－2<x <－1时，h ′(x )<0，当x >－1时，h ′(x )>0，即有h (x )在(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，于是当x ＝－1时，h (x )min ＝h (－1)＝0，因此x ＋1≥ln(x ＋2)(当且仅当x ＝－1时取等号)，所以当x >－2时，f (x )>ln(x ＋2)．【隐零点问题】【例35】已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明不等式e x －2－ax >f (x )恒成立．【解析】 (1) f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)设函数φ(x )＝e x －2－ln x (x >0)，则φ′(x )＝e x －2－1x ，可知φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又由φ′(1)<0，φ′(2)>0知，φ′(x )＝0在(0，＋∞)上有唯一实数根x 0，且1<x 0<2，则φ′(x 0)＝02ex −－1x 0＝0，即02e x −＝1x 0. 当x ∈(0，x 0)时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增，所以φ(x )≥φ(x 0)＝02ex −－ln x 0，结合02e x −＝1x 0，知x 0－2＝－ln x 0，所以φ(x )≥φ(x 0)＝1x 0＋x 0－2＝x 20－2x 0＋1x 0＝(x 0－1)2x 0>0，则φ(x )＝e x －2－ln x >0，即不等式e x －2－ax >f (x )恒成立．【极值点偏移问题】【例36】已知函数f (x )＝a e x －x ，a ∈R .若f (x )有两个不同的零点x 1，x 2.证明：x 1＋x 2>2.【解析】由f (x )＝a e x －x ＝0，得x e x －a ＝0，令g (x )＝x e x －a ，则g ′(x )＝1－x e x ，由g ′(x )＝1－x e x >0，得x <1；由g ′(x )＝1－x e x <0，得x >1.所以g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，由于x 1，x 2是方程g (x )＝0的实根，不妨设x 1<1<x 2，方法一 (对称化构造函数法)要证x 1＋x 2>2，只要证x 2>2－x 1>1.由于g (x )在(1，＋∞)上单调递减，故只要证g (x 2)<g (2－x 1)，由于g (x 1)＝g (x 2)＝0，故只要证g (x 1)<g (2－x 1)，令H (x )＝g (x )－g (2－x )＝x e x －2－x e 2－x (x <1)，则H ′(x )＝1－x e x －1－x e 2－x ＝(e 2－x －e x )(1－x )e 2，因为x <1，所以1－x >0,2－x >x ，所以e 2－x >e x ，即e 2－x －e x >0，所以H ′(x )>0，所以H (x )在(－∞，1)上单调递增．所以H (x 1)<H (1)＝0，即有g (x 1)<g (2－x 1)成立，所以x 1＋x 2>2.方法二 (比值代换法)设0<x 1<1<x 2，由g (x 1)＝g (x 2)，得1212e e x x x x −−=，等式两边取对数得ln x 1－x 1＝ln x 2－x 2.令t ＝x 2x 1>1，则x 2＝tx 1，代入上式得ln x 1－x 1＝ln t ＋ln x 1－tx 1，得x 1＝ln t t －1，x 2＝t ln t t －1. 所以x 1＋x 2＝(t ＋1)ln t t －1>2⇔ln t －2(t －1)t ＋1>0，设g (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t >1)，所以g ′(t )＝1t －2(t ＋1)－2(t －1)(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0，所以当t >1时，g (t )单调递增，所以g (t )>g (1)＝0，所以ln t －2(t －1)t ＋1>0，故x 1＋x 2>2.。

2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测24含答案

课时跟踪检测（二十四）1．在△ABC中，AB＝错误!,AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为错误!,则C＝（)A．30°B．45°C．60°D．75°答案：C解析：解法一:∵S△ABC＝错误!|AB｜｜AC|sin A＝错误!，即错误!×错误!×1×sin A＝错误!，∴sin A＝1，∴A＝90°，∴C＝60°，故选C.解法二：由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!,∴C＝60°或C＝120°。

当C＝120°时,A＝30°，S△ABC＝错误!≠错误!(舍去)．而当C＝60°时，A＝90°,S△ABC＝错误!,符合条件，故C＝60°.故选C.2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°答案：D解析：由条件及题图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°,所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.3．在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b,c，若b cos A＋a cos B＝c2,a＝b＝2，则△ABC的周长为( )A．5 B．6C．7 D．7。

5答案:A解析：由正弦定理得，sin B cos A＋sin A cos B＝c sin C，即sin（A＋B）＝sin C＝c sin C，又sin C>0，∴c＝1,故周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5，故选A。

4．已知△ABC中,内角A,B，C的对边分别为a，b，c,a2＝b2＋c2－bc,bc＝4，则△ABC的面积为( )A.错误!B．1C.错误!D．2答案：C解析：∵a2＝b2＋c2－bc，∴cos A＝错误!，∴A＝错误!，又bc＝4,∴△ABC的面积为错误!bc sin A＝错误!，故选C。

2018年高考数学(理科)总复习(福建专用)配套训练(人教版) 课时规范练24Word版含答案

课时规范练24平面向量的概念及线性运算一、基础巩固组1.下列关于平面向量的说法正确的是()A.零向量是唯一没有方向的向量B.平面内的单位向量是唯一的C.方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量D.共线向量就是相等向量2.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的充分条件是()A.a=-bB.a∥bC.a=2bD.a∥b,且|a|=|b|3.设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则()A.AD=-1AB+4ACB.AD=1AB−4ACC.AD=43AB+13ACD.AD=43AB−13AC4.(2017北京丰台一模,理4)设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且AE=1AB,BF=2BC.如果EF=m AB+n AC(m,n为实数),那么m+n的值为() A.-1 B.0C.1D.15.设向量a,b不共线,AB=2a+p b,BC=a+b,CD=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是()A.-2B.-1C.1D.26.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA+2OC=3OB,则|BC||AB|的值为()A.12B.1 3C.1 4D.167.在四边形ABCD中,O是四边形ABCD内一点,OA=a,OB=b,OC=c,OD=a-b+c,则四边形ABCD的形状为() A.梯形 B.正方形C.平行四边形D.菱形8.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的三等分点,AB=a,AC=b,则AD=()A.a-1bB.1a-bC.a+1bD.1a+b〚导学号21500726〛9.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5AM=AB+3AC,则△ABM与△ABC的面积比为.10.已知A,B,C为圆O上的三点,若AO=1(AB+AC),则AB与AC的夹角为.11.已知D为△ABC的边BC的中点,点P满足PA+BP+CP=0,AP=λPD,则实数λ的值为.12.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若EF=λAB+μDC,则λ+μ=.二、综合提升组13.在△ABC中,D是AB边上的一点,CD=λCA|CA|+CB|CB|,|CA|=2,|CB|=1.若CA=b,CB=a,则用a,b表示CD为()A.CD=23a+13b B.CD=13a+23bC.CD=1a+1bD.CD=2a+2b14.在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且与点C不重合,若AO=x AB+(1-x)AC,则实数x的取值范围是()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(0,1)15.A,B,C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O,存在实数t使得OC=t OA+OB.16.已知向量a,b,c中任意两个都不共线,且a+b与c共线,b+c与a共线,则a+b+c=.三、创新应用组17.已知A,B,C三点不共线,且点O满足OA+OB+OC=0,则下列结论正确的是()A.OA=1AB+2BCB.OA=2AB+1BCC.OA=13AB−23BCD.OA=-23AB−13BC18.(2017安徽马鞍山质检)已知△ABC是边长为4的正三角形,D,P是△ABC内的两点,且满足AD=1(AB+AC),AP=AD+1BC,则△APD的面积为()A.34B.32C.3D.23〚导学号21500727〛课时规范练24 平面向量的概念及线性运算1.C 对于A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A 不正确;对于B,单位向量的模为1,其方向可以是任意方向,故B 不正确;对于C,方向相反的向量一定是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量,故C 正确;对于D,由共线向量和相等向量的定义可知D 不正确.故选C .2.C 因为a |a |表示与a 同向的单位向量,b |b |表示与b 同向的单位向量,所以只要a 与b 同向即可,观察可知C 满足题意.3.A AD =AB +BD =AB +BC +CD =AB +4BC =AB +4(AC −AB )=-1AB +4AC .故选A .4.C 如图,EF =EA +AC +CF =-12AB +AC −13BC =-12AB +AC −13(BA +AC )=-16AB +23AC .∵EF =m AB +n AC , ∴m=-16,n=23,∴m+n=12.故选C .5.B ∵BC=a +b ,CD =a -2b , ∴BD=BC +CD =2a -b . 又A ,B ,D 三点共线, ∴AB,BD 共线.设AB =λBD , 则2a +p b =λ(2a -b ).即2=2λ,p=-λ.解得λ=1,p=-1.6.A 由OA +2OC =3OB ,得OA −OB =2OB -2OC ,即BA =2CB ,所以|BC||AB |=12.故选A . 7.C 因为OD =a-b+c ,所以AD =OD −OA =c-b . 又BC=OC −OB =c-b , 所以AD ∥BC 且|A D |=|BC|, 所以四边形ABCD 是平行四边形. 8.D 连接CD (图略),由点C ,D 是半圆弧的三等分点,得CD ∥AB ,且CD =12AB =12a ,所以AD =AC +CD =b +12a . 9.35 如图,设AB 的中点为D.由5AM=AB +3AC , 得3AM -3AC =2AD -2AM , 即3CM=2MD , 故C ,M ,D 三点共线,且MD =35C D ,也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 上的两高之比为3∶5,故△ABM 与△ABC 的面积比为35.10.90° 由AO =12(AB +AC ),得O 为BC 的中点,则BC 为圆O 的直径,即∠BAC=90°,故AB与AC 的夹角为90°.11.-2 如图,由AP=λPD ,且PA +BP +CP =0,得P 为以AB ,AC 为邻边的平行四边形的顶点,因此AP =-2PD,故λ=-2.12.1 如图,因为E ,F 分别是AD 与BC 的中点,所以EA +ED =0,BF+CF =0.又因为AB +BF +FE +EA=0, 所以EF =AB +BF +EA. ①同理EF=ED +DC +CF . ②由①+②,得2EF =AB +DC +(EA +ED )+(BF +CF )=AB +DC ,所以EF =12(AB +DC ), 所以λ=12,μ=12.所以λ+μ=1.13.A 由题意,得CD 是∠ACB 的平分线,则CD =CA +AD =CA +23AB =CA +23(CB−CA ) =23CB +13CA =23a +13b ,故选A.14.A 设BO =λBC(λ>1), 则AO =AB +BO =AB +λBC =(1-λ)AB +λAC . 又AO =x AB+(1-x )AC , 所以x AB+(1-x )AC =(1-λ)AB +λAC . 所以λ=1-x>1,解得x<0.15.(1-t ) 根据共线向量定理知,A ,B ,C 三点共线的充要条件是存在实数t 使得BC=t BA ,即OC −OB=t (OA −OB ),即OC =t OA +(1-t )OB . 16.0 因为a +b 与c 共线,所以a +b =λ1c . ① 又因为b +c 与a 共线, 所以b +c =λ2a . ② 由①得b =λ1c -a .所以b +c =(λ1+1)c -a =λ2a ,所以 λ1+1=0,λ2=-1,即 λ1=-1,λ2=-1.所以a +b +c =-c +c =0.17.D ∵OA +OB+OC =0, ∴O 为△ABC 的重心, ∴OA =-23×12(AB +AC )=-13(AB +AC )=-13(AB +AB +BC )=-13(2AB +BC )=-23A B −13BC ,故选D . 18.A 取BC 的中点E ,连接AE ,因为△ABC 是边长为4的正三角形,所以AE ⊥BC ,AE=12(AB +AC ).。

高考数学专题：导数大题专练含答案

高考数学专题：导数大题专练含答案一、解答题1．已知函数()ln ex f x x =，()2ln 1g x a x x =-+，e 是自然对数的底数．(1)求函数()f x 的最小值；(2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的值；(3)求证：2022202320232023e 20222022⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．2．已知函数()()e sin x f x rx r *=⋅∈N ，其中e 为自然对数的底数.(1)若1r =，求函数()y f x =的单调区间；(2)证明：对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数a ，b ，使得当[,]x a b ∈时，|()|1f x ≤.3．已知：()e xf x mx =+.(1)当1m =时，求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程；(2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-成立，求实数m 的范围4．设函数()1e ln 1xa f x a x -=--，其中0a > (1)当1a =时，讨论()f x 单调性；(2)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()00f x ≥.5．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2xg x x x x x x =-++-，)2e ,x -∈+∞⎡⎣．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值．6．已知函数()()32131.3f x x a x x =-++ (1)若1a =，求函数()f x 的单调区间; (2)证明：函数()2y f x a =-至多有一个零点. 7．已知函数()ln xf x x =， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．8．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； ②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）9．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值．(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．10．已知函数()ln 2f x x x ax =++在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 的单调区间和极值．【参考答案】一、解答题 1．(1)1- (2)2(3)证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数判断函数()f x 的单调性，进而可得最值；（2）将不等式恒成立转化为求函数()g x 的最大值问题，可得参数取值范围；（3）根据函数()f x 与()g x 的单调性直接可证不等式. (1)函数()ln ln ex f x x x x x ==-的定义域为()0,∞+，()ln f x x '=，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()1,x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11f x f ==-． (2)函数()2ln 1g x a x x =-+，0x >，则()()2220a a x g x x x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在()0,∞+上单调递减，此时存在()00,1x ∈，使得()()010g x g >=，与题设矛盾，当0a >时，x ⎛∈ ⎝时，()0g x '>，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0g x '<，故()g x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，所以()max 1ln 12222a a a ag x g a ==+=-+，要使()0g x ≤在()0,∞+恒成立，则()max 0g x ≤，即ln 10222aa a -+≤，又由（1）知()ln 1f x x x x =-≥-即ln 10x x x -+≥，（当且仅当1x =时，等号成立）．令2a x =有ln 10222a a a -+≥，故ln 1022a a -+=且12a =，所以2a =． (3)由（1）知()l n 1l n x f x x x x ex ==-≥-（当且仅当1x =时等号成立）．令()10t x t t +=>，则1x >，故111ln 1t t t t t t +++->-，即11ln 1tt t ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以11e tt t ++⎛⎫> ⎪⎝⎭令2022t =，则20232023e 2022⎛⎫> ⎪⎝⎭；由（2）知22ln 1x x ≤-在()0,∞+上恒成立，所以22ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立）．令()210m x m m +=>，则21x >，故11ln 1m m m m ++<-，即1ln 1mm m +⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以1e mm m +⎛⎫< ⎪⎝⎭．令2022m =，则20222023e 2022⎛⎫< ⎪⎝⎭综上，2022202320232023e 20222022⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2．(1)增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 减区间为52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)证明过程见解析. 【解析】【分析】（1）对函数求导，利用辅助角公式合并为同名三角函数，利用单调增减区间代入公式求解即可.（2）将绝对值不等式转化为11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，移向构造新函数，利用导数判定单调性，借助零点定理和隐零点证明新构造函数恒正，再结合三角函数的特有的周期特点寻找M 即可. (1)()e (sin cos )sin 4x x f x x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭令22242k x k πππππ-≤+≤+，得32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦令322242k x k ππππ+≤+≤π+，得24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦当32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时, ()0f x '>,()f x 单调递增当24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦时, ()0,()f x f x '< 单调递減综上() f x 单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为 52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)要证|()|1f x ≤，即证e sin 1xrx ⋅≤，即证11sin =e e xx rx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即证 11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[,]x a b ∈时成立即可,[,]x a b ∈时,1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 令1()sin e x h x rx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1()cos e xh x r rx ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭当222,k k x rr πππ⎛⎫+ ⎪∈⎪ ⎪⎝⎭时, cos 0,r rx > 所以1()cos 0,e xh x r rx ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭所以()h x 单调递增，2210,e k rk h rππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221210(0)e k r k h k r ππππ+⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪=±>> ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0(2)22,k k x rrπππ+∴∃∈ , 满足()00h x =由单调性可知02,k x x r π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 满足()0()0h x h x <= 又因为当021,,sin 0,0,xk x x rx r e π⎛⎫⎛⎫∈>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 0xrx e ⎛⎫∴+≥ ⎪⎝⎭，所以1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩能够同时满足，对于任意的正实数M ，总存在正整数k ，且满足2Mr k π>时, 使得 2k M r π>成立，所以不妨取 02,,2k Mr a k b x rππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭ 则,a b M >且[,]x a b ∈时，1sin 01sin 0xxrx e rx e ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，故对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数,a b ，使得当[,]x a b ∈ 时,|()|1f x ≤. 3．(1)21y x =+(2)ln 3m ⎡∈-⎣【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义直接可得切线方程；（2）()2213222m f x x ≥+-恒成立，可转化为()22130222xm g x e mx x =+--+≥恒成立，利用导数判断函数()g x 的单调性与最值情况. (1)当1m =时，()e xf x x =+，则()e 1xf x '=+，设切点为()()00,x f x ，故()00e 12xk f x '==+=，解得00x =，故()000e e 01x f x x =+=+=，即切点坐标为()0,1，所以切线方程()120y x -=-，即21y x =+； (2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-成立，即2213e 0222xm mx x +--+≥恒成立，设()2213e 222xm g x mx x =+--+，()e x g x x m '=-+， ()e 1x g x ''=-，因为0x ≥，故()e 10xg x ''=-≥恒成立，则()e xg x x m '=-+在()0,∞+上单调递增，所以()()01g x g m ''≥=+，当1m ≥-时，()()010g x g m ''≥=+≥恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，即()()2235012222m m g x g ≥=-+=-，所以25022m -≥，解得m ≤≤故1m -≤≤当1m <-时，()010g m '=+<，()e 2m g m m -'-=+，设()e 2mh m m -=+，1m <-，()e 20m h m -'=-+<恒成立，则()h m 在(),1-∞-上单调递减，所以()()120h m h e >-=->，即()e 20mg m m -'-=+>，所以存在()00,x m ∈-，使()00g x '=，即000xe x m -+=，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，故()()02200013e 222x m g x g x mx x ≥=+--+()()00000222000011313e e e e e 022222x x x x x x x x x =+----+=-++≥，解得0ln 3x ≤，即00ln 3x ≤≤，设()e xx m x ϕ==-，0ln3x ≤≤，()1e 0x x ϕ'=-≤恒成立，故()x ϕ在()0,3上单调递减，故()()3ln33x ϕϕ≥=-，即ln33m ≥-，所以ln331m -≤<-，综上所述，ln 3m ⎡∈-⎣.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．4．(1)()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； (2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）首先确定()f x 定义域，再应用二阶导数的符号判断f x 的单调性，进而分区间判断f x 的符号，即可确定()f x 的单调性.（2）求()f x 的二阶导，根据其符号知f x 在()0,+∞上单调递增，令0f x 得到ln 1x x a+=，构造()ln 1x h x x a=+-结合其单调性，注意利用导数研究()ln 1x x x ϕ=-+的符号，再用放缩法判断1a h a ⎛⎫⎪+⎝⎭、()1ea h +的符号，即可判断零点0x 的唯一性，进而得到00011ln ln x x a x -==-，结合基本不等式求证()00f x ≥. (1)当1a =时，()1e ln 1xf x x -=--，定义域为()0,+∞，则()11e x f x x -'=-，()121e 0xf x x -+'=>'，所以f x 在()0,+∞上单调递增，又()10f '=，当01x <<时，0f x ，所以()f x 在区间0,1上单调递减；当1x >时，0f x，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.综上，()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. (2)由题意，()11ex af x x -='-，()1211e 0x af x a x-=⋅+'>'，则f x 在()0,+∞上单调递增，至多有一个零点，令()ln 1x x x ϕ=-+，其中1x >，则()111xx x xϕ-'=-=，当()0,1x ∈时，()0ϕ'>x ，()ϕx 单调递增. 当()1,x ∈+∞时，()0ϕ'<x ，()ϕx 单调递减，所以()()10x ϕϕ≤=，即ln 10x x -+≤，于是ln 1≤-x x ，令0f x，则e e x a x ⋅=，两边取自然对数可得ln 1xx a+=，令()ln 1x h x x a=+-，则()h x 在()0,+∞上单调递增. 故11ln 1111011111a a a h a a a a a ⎛⎫=+-≤-+-=-<⎪+++++⎝⎭，又()11111e eln ee 10a a a a h a a a++++=+⋅-=+>，所以()h x 在()0,+∞上有唯一零点0x ，则f x 有唯一零点0x ，即()f x 有唯一极值点0x .下证()00f x ≥：因为()01001e0x af x x -'=-=，所以0101e x a x -=，可得00011ln ln x x a x -==-，所以()010000e ln 11120x ax a f x a x x a -=--=+--≥=，当且仅当0x a =时等号成立，综上，()f x 有唯一极值点0x 且()00f x ≥，得证. 【点睛】关键点点睛：第二问，利用二阶导数研究一阶导数的单调性，根据零点所得的等量关系构造()ln 1x h x x a=+-，结合单调性、零点存在性定理判断f x 零点的唯一性，进而利用基本不等式证明不等式. 5．(1)答案见解析； (2)12a =. 【解析】【分析】（1）由题可得()11ax f x a xx+'=+=，讨论0a ≥，0a <即得；（2）由题可得()g x '是一个单调递增的函数，利用零点存在定理可得()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，进而可得()0000111ln e e 1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用导数可得001e x x =，结合条件可得00ln 20x ax +=，即求. (1)()11ax f x a x x+'=+=，0x >，当0a ≥时，函数()f x 在定义域()0,∞+上单调递增；当0a <时，函数的单调性如表格所示：由题可得()()()22121e 1ln 2e ln 1x xg x x x x x x x x '=-++-++-=++-，0x >，则()g x '是一个单调递增的函数，当2e x -=时，()()2242e e e e e 30g ----'=+-<，当1x =时，()12e 10g '=->，故()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，且所以0x t =，00000e ln 10g x x x x '=++-=，整理该式有()02000e 1ln x xx x +=-，()000001111e ln xx x x x +=+， ∴()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭令()()21ln ,e m x x x x -=+>，则()2ln 0m x x '=+>，所以函数在()2e ,-+∞上单调递增，故()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解满足001e xx =；又()2ln h x x x ax x =++，()1ln 21h x x ax '=+++，()0002ln 22h x x ax '=++=，所以00ln 20x ax +=，由01e xx =知，0020x ax -+=，故12a =．6．(1)()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减 (2)证明见解析【解析】【分析】（1）直接求导后判断单调性即可；（2）先变形得到323033x a x x -=++，构造函数，求导后说明单调性即可证明.(1)当1a =时，()()321313f x x x x =-++，2()23f x x x '=--. 令()0f x '=，解得1x =-或3x =，当()(),13,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x '>；当(1,3)x ∈-时，()0f x '<，故()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减.(2)()321()2333y f x a x a x x =-=-++，由于2330x x ++>，所以()20f x a -=等价于3230.33x a x x -=++设()32333x g x a x x =-++，则()g x '()()222269033x x x xx ++=++，当且仅当0x =或3x =-时，()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，故()g x 至多有一个零点，从而()2y f x a =-至多有一个零点. 7．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】【分析】（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；（2）由2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再利用导数法求出()()n 1l xx x x ϕ-=在2e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解.(1)由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞，由()ln x f x x=，得()()2ln 1ln x f x x -'=，直线y g x 过定点()1,0，若直线yg x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，则()002000ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1=10h x x'+>，所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=，从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线. (2)由()()f x g x ≤，得()1ln xxk x ≤-， 22e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n xk x x -∴≥若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1xk x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可. 令()()n 1l x x x x ϕ-=，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦，令()ln 1t x x x =--+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()110t x x'=--<，所以()t x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x()ϕx 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e ee e 1ln e e 1ϕ==--，即ee 1k ≥-. 所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【点睛】解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解.8．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关； (2)①0310p =；②()73a b + 【解析】（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K 计算公式，将计算结果与195%0.05-=所对应的k 值比较大小即可；（2）①利用独立重复试验与二项分布的特点，写出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，再利用导数求出最值点； ②利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案. (1)由题中表格数据完成22⨯列联表如下：()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关. (2)①由题得，()()733101f p C p p =-，()0,1p ∈， ∴()()()()()763236321010C 3171C 1310f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦. 令()0f p '=，得310p =，当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>；当3,110p ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f p '<， ∴当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调选增；当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调递减， ∴()f p 的最大值点0310p =. ②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X 的数学期望. 由①知答错的概率为310，则()33101731010E X a b a b ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故要准备的礼品大致为73a b +元.9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2- (2)()max 312f x =，()min 163f x =-【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案. (1)解：（1）()226f x x ax '=+-，因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =．检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<，所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； (2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-；当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=，()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-，()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-，所以()max 312f x =，()min 163f x =-． 10．(1)3a =-；(2)增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ，极小值22e -，无极大值.【解析】【分析】（1）根据()1112f '⨯=-，代值计算即可求得参数值；（2）根据（1）中所求参数值，求得()f x '，利用导数的正负即可判断函数单调(1)因为()ln 1f x x a '=++，在点()()1,1f 处的切线斜率为()11k f a '==+，又()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直，所以()1112f '⨯=-，解得3a =-. (2)由（1）得，()ln 2f x x '=-，()0,x ∈+∞，令()0f x '>，得2e x >，令()0f x '<，得20e x <<，即()f x 的增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ．又()22222e e ln e 3e 22ef =-+=-，所以()f x 在2e x =处取得极小值22e -，无极大值．【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属综合中档题.。

高三数学导数与积分2024练习题及答案

高三数学导数与积分2024练习题及答案（正文开始）一、导数练习题1. 求函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7的导数f'(x)。

解答：对于f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7，使用幂函数的求导法则，得到其导数f'(x)为：f'(x) = 6x^2 - 10x + 3。

2. 已知函数g(x) = sin(x) + cos(x)，求g'(x)。

解答：对于函数g(x) = sin(x) + cos(x)，使用三角函数的求导法则，得到其导数g'(x)为：g'(x) = cos(x) - sin(x)。

3. 若函数h(x) = ln(x^2 + 1)，求h'(x)。

解答：根据对数函数的求导法则，针对函数h(x) = ln(x^2 + 1)进行求导，得到其导数h'(x)为：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)。

二、积分练习题1. 计算函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1的不定积分∫f(x)dx。

解答：对于函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，使用基本积分法则，得到其不定积分∫f(x)dx为：∫f(x)dx = (2/3)x^3 + (3/2)x^2 - x + C，其中C为积分常数。

2. 已知函数g(x) = 3e^x + 2sin(x)，求∫g(x)dx。

解答：对于函数g(x) = 3e^x + 2sin(x)，根据指数函数和三角函数的积分法则，得到其不定积分∫g(x)dx为：∫g(x)dx = 3e^x - 2cos(x) + C，其中C为积分常数。

3. 若函数h(x) = 1 / (x^2 + 1)，计算定积分∫[0, 1]h(x)dx。

解答：针对函数h(x) = 1 / (x^2 + 1)，计算其在区间[0, 1]上的定积分，得到结果为：∫[0, 1]h(x)dx = arctan(1) - arctan(0) = π/4。

2018年全国高考卷数学导数解答题含答案

2018年全国I -III 文理数学卷导数解答题1、(2018年全国I 理）已知函数1()ln f x x a x x=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x -=或2a x +=.当2()2a a x +∈+∞时，()0f x '<；当x ∈时，()0fx '>.所以()f x 在)+∞单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--. 2、(2018年全国I 文）已知函数()e ln 1x f x a x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．解：（1）f （x ）的定义域为(0)+∞，，f ′（x ）=a e x –1x．由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e ．从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-．当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --．设g （x ）=e ln 1e x x --，则e 1()e x g x x'=-．当0<x <1时，g ′（x ）<0；当x >1时，g ′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当1ea ≥时，()0f x ≥．3、(2018年全国II 理）已知函数2()e x f x ax =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；（2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．解：（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10xx -+-≤．设函数2()(1)e1xg x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--．当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减．而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．（2）设函数2()1e xh x ax -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（ii ）当0a >时，()(2)e xh'x ax x -=-．当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >．所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．故24(2)1eah =-是()h x 在[0,)+∞的最小值．学&科网 ①若(2)0h >，即2e 4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即2e 4a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即2e 4a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点，由（1）知，当x >时，2e x x >，所以33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a=-=->-=->．故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2e 4a =．4、(2018年全国II 文）已知函数()()32113f x x a x x =-++．（1）若3a =，求()f x 的单调区间；（2）证明：()f x 只有一个零点．解：（1）当a =3时，f （x ）=3213333x x x ---，f ′（x ）=263x x --．令f ′（x ）=0解得x =3-x =3+当x ∈（–∞，3-3++∞）时，f ′（x ）>0；当x ∈（3-3+ f ′（x ）<0．故f （x ）在（–∞，3-3++∞）单调递增，在（3-3+单调递减．（2）由于210x x ++>，所以()0f x =等价于32301x a x x -=++．设()g x =3231x a x x -++，则g ′（x ）=2222(23)(1)x x x x x ++++≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．学·科网又f （3a –1）=22111626()0366a a a -+-=---<，f （3a +1）=103>，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．5、(2018年全国III 理）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．解：（1）当时，，. 设函数，则. 当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，. 所以在单调递增.学#科网又，故当时，；当时，.（2）（i ）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾. （ii ）若，设函数.()()()22ln 12f x x ax x x =+++-0a =10x -<<()0f x <0x >()0f x >0x =()f x a 0a =()(2)ln(1)2f x x x x =++-()ln(1)1xf x x x'=+-+()()ln(1)1x g x f x x x '==+-+2()(1)x g x x '=+10x -<<()0g x '<0x >()0g x '>1x >-()(0)0g x g ≥=0x =()0g x =()0f x '≥0x =()0f x '=()f x (1,)-+∞(0)0f =10x -<<()0f x <0x >()0f x >0a ≥0x >()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=0x =()f x 0a <22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax ==+-++++由于当时，，故与符号相同. 又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点..如果，则当，且时，，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点. 如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，. 6、(2018年全国III 文）已知函数21()exax x f x +-=．（1）求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程；（2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥．解：（1）2(21)2()e xax a x f x -+-+'=，(0)2f '=．因此曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程是210x y --=．（2）当1a ≥时，21()e (1e )e x x f x x x +-+≥+-+．令21()1e x g x x x +≥+-+，则1()21e x g x x +'≥++．当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x (1)=0g ≥-．因此()e 0f x +≥．||min{x <220x ax ++>()h x ()f x (0)(0)0h f ==0x =()f x 0x =()h x 2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++610a +>6104a x a +<<-||min{x <()0h x '>0x =()h x 610a +<224610a x ax a +++=10x <1(,0)x x∈||min{x <()0h x '<0x =()h x 610a +=322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--(1,0)x ∈-()0h x '>(0,1)x ∈()0h x '<0x =()h x 0x =()f x 16a =-7、（2018•浙江）已知函数f x lnx =（）﹣．（Ⅰ）若f （x ）在x=x 1，x 2（x 1≠x 2）处导数相等，证明：12882f x f x ln +（）（）＞﹣；（Ⅰ）若342a ln ≤﹣，证明：对于任意k ＞0，直线y kx a =+与曲线y f x =（）有唯一公共点．证明：（Ⅰ）∵函数f （x ）=﹣lnx ，∴x ＞0，f′（x ）=﹣，∵f （x ）在x=x 1，x 2（x 1≠x 2）处导数相等， ∴=﹣，∵x 1≠x 2，∴+=，由基本不等式得：=≥，∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＞256，由题意得f （x 1）+f （x 2）==﹣ln （x 1x 2），设g （x ）=，则，∴列表讨论：x （0，16）16 （16，+∞）g′（x ） ﹣ 0 + g （x ）↓2﹣4ln2↑∴g （x ）在[256，+∞）上单调递增， ∴g （x 1x 2）＞g （256）=8﹣8ln2， ∴f （x 1）+f （x 2）＞8﹣8ln2．（Ⅰ）令m=e ﹣（|a |+k ），n=（）2+1，则f （m ）﹣km ﹣a ＞|a |+k ﹣k ﹣a ≥0， f （n ）﹣kn ﹣a ＜n （﹣﹣k ）≤n （﹣k ）＜0，∴存在x 0∈（m ，n ），使f （x 0）=kx 0+a ，∴对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点，由f（x）=kx+a，得k=，设h（x）=，则h′（x）==，其中g（x）=﹣lnx，由（1）知g（x）≥g（16），又a≤3﹣4ln2，∴﹣g（x）﹣1+a≤﹣g（16）﹣1+a=﹣3+4ln2+a≤0，∴h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴方程f（x）﹣kx﹣a=0至多有一个实根，综上，a≤3﹣4ln2时，对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．。

2018届高考理科数学第二轮限时规范训练24(单独成册)-有答案

[限时规范训练] 单独成册1．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有：⎩⎨⎧c a ＝63，a －c ＝3－2，解得：a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1，故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1.(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点．设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1，得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k 2， |AB |＝1＋k212k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝12k 2－12>0，63＋k 2≤12|AB |.解得：k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.2．已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长(P 到切点的距离)．记动点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程．(2)点Q 是直线l 上的动点，过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A ，B 两点，问是否存在常数λ，使得|AC |·|BC |＝λ|QC |2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解析：(1)由已知得圆心为C (2,0)，半径r ＝ 3.设P (x ，y )，依题意可得|x ＋1|＝(x －2)2＋y 2－3，整理得y 2＝6x .故曲线E 的方程为y 2＝6x . (2)设直线AB 的方程为my ＝x －2，则直线CQ 的方程为y ＝－m (x －2)，可得Q (－1,3m )．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理得y 2－6my －12＝0，那么y 1y 2＝－12，则|AC |·|BC |＝(1＋m 2)|y 1y 2|＝12(1＋m 2)，|QC |2＝9(1＋m 2)，即|AC |·|BC |＝43|QC |2，所以λ＝43. 3．如图所示，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (2，3)，Q (2，－3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当A ，B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解析：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． ∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线y ＝－2上， ∴－b ＝－2，解得b ＝2. 又c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝4，c ＝2 3.可得椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵∠APQ ＝∠BPQ ，则P A ，PB 的斜率互为相反数，可设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，直线P A 的方程为：y －3＝k (x －2)，联立⎩⎨⎧y －3＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝16，化为(1＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－16＝0，∴x 1＋2＝8k (2k －3)1＋4k 2.同理可得：x 2＋2＝－8k (－2k －3)1＋4k 2＝8k (2k ＋3)1＋4k 2，∴x 1＋x 2＝16k 2－41＋4k 2，x 1－x 2＝－163k1＋4k 2， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝36. ∴直线AB 的斜率为定值36.4．如图，设P 是抛物线C 1：x 2＝y 上的动点，过点P 作圆C 2：x 2＋(y ＋3)2＝1的两条切线，交直线l ：y ＝－3于A ，B 两点．(1)求圆C 2的圆心M 到抛物线C 1准线的距离．(2)是否存在点P ，使线段AB 被抛物线C 1在点P 处的切线平分？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为抛物线C 1的准线方程为y ＝－14，所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14－(－3)＝114.(2)设存在满足题意的点P ，其坐标为(x 0，x 20)，抛物线C 1在点P 处的切线交直线l 于点D . 再设A ，B ，D 的横坐标分别为x A ，x B ，x D ，过点P (x 0，x 20)的抛物线C 1的切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．①当x 0＝1时，过点P (1,1)的圆C 2的切线P A 为 y －1＝158(x －1)，可得x A ＝－1715，x B ＝1，x D ＝－1，x A ＋x B ≠2x D . 当x 0＝－1时，过点P (－1,1)的圆C 2的切线PB 为y －1＝－158(x ＋1)，可得x A ＝－1，x B ＝1715，x D ＝1，x A ＋x B ≠2x D .所以x 20－1≠0，设切线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则 P A ：y －x 20＝k 1(x －x 0)，② PB ：y －x 20＝k 2(x －x 0)．③ 将y ＝－3分别代入①②③得x D ＝x 20－32x 0(x 0≠0)；x A ＝x 0－x 20＋3k 1；x B ＝x 0－x 20＋3k 2(k 1，k 2≠0)．从而x A ＋x B ＝2x 0－(x 20＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 1＋1k 2，又|－x 0k 1＋x 20＋3|k 21＋1＝1，即(x 20－1)k 21－2(x 20＋3)x 0k 1＋(x 20＋3)2－1＝0，同理，(x 20－1)k 22－2(x 20＋3)x 0k 2＋(x 20＋3)2－1＝0.所以k 1，k 2是方程(x 20－1)k 2－2(x 20＋3)x 0k ＋(x 20＋3)2－1＝0的两个不相等的根，从而k 1＋k 2＝2(3＋x 20)x 0x 20－1， k 1·k 2＝(3＋x 20)2－1x 20－1.因为x A ＋x B ＝2x D ，所以2x 0－(3＋x 20)⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 1＋1k 2＝x 20－3x 0，即1k 1＋1k 2＝1x 0.从而2(3＋x 20)x 0(x 20＋3)2－1＝1x 0，进而得x 40＝8，x 0＝±48.综上所述，存在点P 满足题意，点P 的坐标为(±48，22)．5．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为A ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，b 3是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C的右焦点F .(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．解析：(1)F (c,0)，A (0，b )，由题设可知F A →·FP →＝0， ∴c 2－43c ＋b 23＝0. ①又点P 在椭圆C 上，∴169a 2＋b 29b 2＝1，∴a 2＝2. ② 又b 2＋c 2＝a 2＝2， ③ 联立①③，解得c ＝1，b 2＝1，故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，代入椭圆方程，消去y 整理得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，(*) 方程(*)有且只有一个实根，又2k 2＋1>0，所以Δ＝0，得m 2＝2k 2＋1，假设存在M 1(λ1,0)，M 2(λ2,0)满足题设，则d 1·d 2＝|(λ1k ＋m )(λ2k ＋m )|k 2＋1＝|λ1λ2k 2＋(λ1＋λ2)km ＋2k 2＋1|k 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(λ1λ2＋2)k 2＋(λ1＋λ2)km ＋1k 2＋1＝1对任意的实数k 恒成立．所以⎩⎨⎧ λ1λ2＝－1，λ1＋λ2＝0，解得⎩⎨⎧λ1＝1，λ2＝－1或⎩⎨⎧λ1＝－1，λ2＝1.当直线l 的斜率不存在时，经检验符合题意．综上所述，存在两个定点M 1(1,0)，M 2(－1，0)，使它们到直线l 的距离之积等于1.6．(2017·湖北黄冈模拟)如图，已知点F 1，F 2是椭圆C 1：x 22＋y 2＝1的两个焦点，椭圆C 2：x 22＋y 2＝λ经过点F 1，F 2，点P 是椭圆C 2上异于F 1，F 2的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆C 1的交点分别是A ，B 和C ，D .设AB ，CD 的斜率分别为k ，k ′.(1)求证：k ·k ′为定值； (2)求|AB |·|CD |的最大值．解析：(1)证明：因为点F 1，F 2是椭圆C 1的两个焦点，故F 1，F 2的坐标是F 1(－1,0)，F 2(1,0)．而点F 1，F 2是椭圆C 2上的点，将F 1，F 2的坐标代入C 2的方程得，λ＝12. 设点P 的坐标是(x 0，y 0)，∵直线PF 1和PF 2的斜率分别是k ，k ′(k ≠0，k ′≠0) ∴kk ′＝y 0x 0＋1·y 0x 0－1＝y 20x 20－1，①又点P 是椭圆C 2上的点，故x 202＋y 20＝12，② 联立①②两式可得kk ′＝－12，即k ·k ′为定值． (2)直线PF 1的方程可表示为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，与椭圆C 1的方程联立，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，由方程组得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 22(1＋k 2)1＋2k 2.同理可求得|CD |＝2(1＋4k 2)1＋2k 2，则|AB |·|CD |＝4(4k 4＋5k 2＋1)(1＋2k 2)2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋11k 2＋4k 2＋4≤92，当且仅当k ＝±22时等号成立．故|AB |·|CD |的最大值等于92.微课视频免费观看[内容包括：整个专题重点内容]。

福建省厦门市第二十四中学2018年高三数学理联考试题含解析

福建省厦门市第二十四中学2018年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合,集合,则等于（）A． B． C．D．参考答案：C2. 若过点的直线与圆x2+y2=4有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】当过点的直线与圆x2+y2=4相切时，设斜率为k，由圆心到直线的距离等于半径求得k的范围，即可求得该直线的倾斜角的取值范围．【解答】解：当过点的直线与圆x2+y2=4相切时，设斜率为k，则此直线方程为y+2=k（x+2），即 kx﹣y+2k﹣2=0．由圆心到直线的距离等于半径可得=2，求得k=0或 k=，故直线的倾斜角的取值范围是[0，]，故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．3. 函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A. B.C. D.参考答案：A4. 已知是函数图象的一个最高点,是与相邻的两个最低点．若，则的图象对称中心可以是（A）（B）（C）（D）参考答案：C【命题意图】本小题考查三角函数的图象和性质、解三角形、二倍角公式等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查数形结合思想、化归与转化思想以及函数与方程思想；考查数学抽象、直观想象和数学分析等.【试题简析】如图，取的中点，连结，则，设，则，由余弦定理可得，，解得，，的中点都是图象的对称中心.故选.【错选原因】错选A：平时缺乏训练，只记得正弦函数的对称中心是错选B：误把最高点的2当成了周期；错选D：这类同学可以求出函数的周期是6，但没注意到函数并未过原点.5. 已知k∈R，点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，则ab的最大值为（）A．15 B．9 C．1 D．﹣参考答案：B【分析】先根据直线与圆相交，圆心到直线的距离小于等于半径，以及圆半径为正数，求出k的范围，再根据P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，满足直线与圆方程，代入直线与圆方程，化简，求出用k表示的ab的式子，根据k的范围求ab的最大值．【解答】解：由题意，圆心（0.0）到直线的距离d=≤解得﹣3≤k≤1，又∵k2﹣2k+3＞0恒成立∴k的取值范围为﹣3≤k≤1，由点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，得（a+b）2﹣a2﹣b2=2ab=3k2+2k﹣3=3（k+）2﹣，∴k=﹣3时，ab的最大值为9．故选B．【点评】本题主要考查了直线与圆相交位置关系的判断，做题时考虑要全面，不要丢情况．6. 下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x3 C．y=lnx D．y=|x|参考答案：B【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数单调性的性质分别进行判断即可得到结论．【解答】解：对于选项A，y=e x为增函数，y=﹣x为减函数，故y=e﹣x为减函数，对于选项B，y′=3x2＞0，故y=x3为增函数，对于选项C，函数的定义域为x＞0，不为R，对于选项D，函数y=|x|为偶函数，在（﹣∞．0）上单调递减，在（0，∞）上单调递增，故选：B．7. 设，若，则=（）A. B.1C. D.参考答案：C8. 若第一象限内的点，落在经过点且具有方向向量的直线上，则有A．最大值 B．最大值1 C．最小值D．最小值1参考答案：B9. 已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第秒内的位移为，则数列是（）A.公差为的等差数列B.公差为的等差数列C.公比为的等比数列D.公比为的等比数列参考答案：A10. 设函数f（x）=，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2y2+ay，则正实数a的最小值是（）A．2 B．C．D．4参考答案：C【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】由已知函数解析式得到函数值域，结合存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2y2+ay，可得f（f（x））＞1，即f（x）＞2，进一步转化为2a2y2+ay＞1，y∈（2，+∞），求解不等式得到y的范围，进一步得到a的范围得答案．【解答】解：函数f（x）=的值域为R．∵f（x）=2x，（x≤0）的值域为（0，1]；f（x）=log2x，（x＞0）的值域为R．∴f（x）的值域为（0，1]上有两个解，要想f（f（x））=2a2y2+ay在y∈（2，+∞）上只有唯一的x∈R满足，必有f（f（x））＞1 （2a2y2+ay＞0）．∴f（x）＞2，即log2x＞2，解得：x＞4．当x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系．∴问题转化为2a2y2+ay＞1，y∈（2，+∞），且a＞0．∴（2ay﹣1）（ay+1）＞0，解得：y＞或者y＜﹣（舍去）．∴≤2，得a．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f(x)=的定义域为______________.参考答案：略12. （14）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）.若当0≤x≤1时。

【高三数学试题精选】2018届高考数学导数与复数单元验收试题(含答案)

2018届高考数学导数与复数单元验收试题(含答案)
5 2018—2018学年度上学期高三一轮复习
数学单元验收试题（12）【新人教】
命题范围导数与复数（理科加“积分”）
说明本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．若，为虚数单位，且，则（）
A．， B．
c． D．
2．曲线在点P(1，12)处的切线与轴交点的纵坐标是（）
A．―9 B．―3 c．9 D．15
3．（理）复数z= （为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）
A．第一象限 B．第二象限 c．第三象限 D．第四象限
（）如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为（）
A． B． c． D．
4．i是虚数单位，若集合S= ，则（）
A． B． c． D．
5．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2006(x)＝（）
A．sinx B．－sinx c．csx D．－csx
6．函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，。

2018届高三数学第24练导数综合练

第24练导数一、选择题1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛1f (x )d x 等于( )A ．－1B ．－13C.13D ．12．(2016·新余模拟)如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2,3)3．(2016·潍坊模拟)已知函数f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象是( )4．(2016·福建“四地六校”联考)已知曲线f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值范围为( ) A ．(3，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，72 D ．(0,3)5．(2017·沈阳质检)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x >0，若a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝ln 12·f (ln 12)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．c <a <b二、填空题6．函数y ＝ln 2xx的极小值为________．7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大(毛利润＝销售收入－进货支出)．8．对任意实数x 均有e 2x－(a －3)e x＋4－3a >0，则实数a 的取值范围为________．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －x 2)e x，x ≤0，－x 2＋4x ＋3，x >0，g (x )＝f (x )＋2k ，若函数g (x )恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为________________．三、解答题10．已知函数f (x )＝ln 1＋x1－x.(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求证：当x ∈(0,1)时，f (x )>2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33； (3)设实数k 使得f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33对x ∈(0,1)恒成立，求k 的最大值．答案精析1．B [∵f(x)＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝[13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x ]10|＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ， ∴⎠⎛01f (x )d x ＝-13.]2．C [由函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，得0<b <1，f (1)＝0，从而－2<a <－1.因为g (x )＝ln x ＋f ′(x )在其定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a <0，g (1)＝ln 1＋2＋a ＝2＋a >0，所以函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故选C.]3．A [因为f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝14x 2＋cos x ，所以f ′(x )＝12x －sin x ，其为奇函数，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<0.故选A.] 4．B [f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1的导数为f ′(x )＝2x 2－2x ＋a .由题意可得2x 2－2x ＋a ＝3，即2x 2－2x ＋a －3＝0有两个不相等的正实数根，则Δ＝4－8(a －3)>0，x 1＋x 2＝1>0，x 1x 2＝12(a －3)>0，解得3<a <72.故选B.]5．A [设h (x )＝xf (x )，∴h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )． ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴h (x )是定义在R 上的偶函数．当x >0时，h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0， ∴函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)＝2f (2)＝h (2)，c ＝ln 12·f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 12＝h ⎝⎛⎭⎪⎫ln 12＝h (－ln 2)＝h (ln 2)．又∵2>ln 2>12，∴b >c >a .故选A.]6．0解析函数的定义域为(0，＋∞)．令y ＝f (x )，f ′(x )＝2ln x －ln 2x x 2＝－ln x (ln x －2)x2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝e 2.f ′(x )与f (x )随x 的变化情况如下表：故当x ＝1时，函数y ＝ln x取到极小值0.7．30解析由题意知，毛利润＝销售收入－进货支出，设该商品的毛利润为L (p )，则L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8 300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700. 令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0.所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值． 8．(－∞，43]解析 e 2x－(a －3)e x ＋4－3a >0⇔(e x ＋3)a <e 2x ＋3e x＋4⇔a <e 2x＋3e x＋4e x＋3，令t ＝e x，则a <e 2x ＋3e x ＋4e x＋3⇔a <t 2＋3t ＋4t ＋3(t >0)，令h (t )＝t 2＋3t ＋4t ＋3＝t ＋4t ＋3(t >0)，h ′(t )＝1－4?t ＋3?2，因为t >0，所以h ′(t )>0，即当t >0时，h (t )>h (0)＝43，所以a ≤43，即实数a 的取值范围为(－∞，43]．9.⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－32∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，2＋1e 2解析由y ＝(2x －x 2)e x (x ≤0)求导，得y ′＝(2－x 2)e x ，故y ＝(2x －x 2)e x(x ≤0)在(－2，0]上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，且当x <0时，恒有y ＝(2x －x 2)e x<0.又y ＝－x 2＋4x ＋3(x >0)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以可作出函数y ＝f (x )的图象，如图．由图可知，要使函数g (x )恰有两个不同的零点，需－2k ＝0或－2k ＝－22－2e 2或3<－2k <7，即实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－32∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，2＋1e 2. 10．(1)解因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x，f ′(0)＝2.又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .(2)证明令g (x )＝f (x )－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33，则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x41－x2.因为g ′(x )>0(0<x <1)，所以g (x )在区间(0,1)上单调递增．所以g (x )>g (0)＝0，x ∈(0,1)，即当x ∈(0,1)时，f (x )>2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33. (3)解由(2)知，当k ≤2时，f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33对x ∈(0,1)恒成立．当k >2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33，则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－(k －2)1－x2. 所以当0<x <4k －2k时，h ′(x )<0，因此h (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，4k －2k 上单调递减．当0<x <4k －2k时，h (x )<h (0)＝0，即f (x )<k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33.所以当k >2时，f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33并非对x ∈(0,1)恒成立．综上可知，k 的最大值为2.。

2018届东北师范大学附属中学高三第一轮高考总复习阶段测试卷(第24周)理科数学试题及答案精品推荐

时量 180分钟总分180分【测试目标：了解外地考卷命题形式】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 如图：给定全集U 和集合A,B ，则如图阴影部分表示的集合是（） A.)(B C A U B.BA C U )( C.B B AC U )(D.A B A C U )( 2. 函数xx x f 1ln )(-=的一个零点所在的区间是（） A.)1,1(- B.)2,1( C.),2(e D.)3,(e 3. 化简对数式511log 3log 135+得到的值为（） A. 1 B. 2 C. - 1 D. 31- 4. 已知三个向量)2cos,(A a =，)2cos ,(B b =,)2cos ,(Cc =共线，其中C B A c b a ,,,,,分别是ABC ∆的三条边和三个角，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 5.函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图象如图示，将()y f x =的图象向右平移6π个单位后得到函数)(x g y =的图像，则)(x g 的单调递增区间为（）A.]32,62[ππππ+-k k B.]652,32[ππππ++k kC.]3,6[ππππ+-k k D.]65,3[ππππ++k k6.设函数x x a a k x f --⋅=)(（0>a 且1≠a ）在),(+∞-∞上既是奇函数A B CD7.设等差数列{}n a 的前n项和为nS 且满足,0,01615<>S S 则nn a S a S a S a S ,,,,332211 中最大的项为 .A 66a S.B 77a S.C88a S .D 99a S8.对于定义域为[0,1]的函数()f x ，如果同时满足以下三个条件：①对任意的]1,0[∈x ，总有0)(≥x f ②1)1(=f ③若0,021≥≥x x ，121≤+x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+ 成立；则称函数)(x f 为理想函数. 下面有三个命题：（1）若函数)(x f 为理想函数，则0)0(=f ；（2）函数])1,0[(12)(∈-=x x f x 是理想函数；（3）若函数)(x f 是理想函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]1,0[)(0∈x f ，且00)]([x x f f =，则00)(x x f =；其中正确的命题个数有（） A. 0个 B.1个 C.2个D.3个二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选作题（请考生在第9、18、 18三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9. 不等式521>-++x x 的解集为 . 18. 直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==242222t y t x （其中t 为参数），圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 . 18. 如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，32=PC ，若︒=∠30CAP ，则⊙O的直径=AB ．（二）必做题 18. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题：（1）2=z ；（2）i z 22=；（3）z 的共轭复数为i +1；（4）z 的虚部为1-；其中所有正确的命题序号是 .18.如果一个随机变量ξ~)21,15(B ，则使得)(k P =ξ取得最大值的k的值为 .18. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为 .18. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B 的人数为 . 18. 已知123{(,,,,)n n S A A a a a a ==，2012i a =或2013，1,2,}i n =(2)n ≥，对于,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令(2013,2013,2013,2013,2013)U =，存在m 个5V S ∈，使得(,)2d U V =，则m = ；（Ⅱ）令123(,,,,)n U a a a a =，若n V S ∈，则所有(,)d U V 之和为．高三周考数学(理科）答卷时量 180分钟总分180分一选择题：9. 18. 18.18. 18. 18.18. 18. .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18、（18分）已知βα，是三次函数),(22131(23R b a bx ax x x f ∈++=）的两个极值点，且()1,0∈α,()2,1∈β,求动点()b a ,所在的区域面积S .18、(18分）为迎接新年到来，某商场举办有奖竞猜活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A 有四个选项，问题B 有五个选项，但都只有一个选项是正确的。

2018版高考数学理科专题复习：专题3 导数及其应用第24练含解析

4．(2016·山东)已知 f(x)＝a(x－lnx)＋ (1)讨论 f(x)的单调性；
2x－1 ，a∈R. x2
3 (2)当 a＝1 时，证明 f(x)＞f′(x)＋对于任意的 x∈1,2]成立． 2 5．已知函数 f(x)＝xlnx 和 g(x)＝m(x2－1)(m∈R)． (1)m＝1 时，求方程 f(x)＝g(x)的实根； (2)若对任意的 x∈(1，＋∞)，函数 y＝g(x)的图象总在函数 y＝f(x)图象的上方，求 m 的取值范围；
ห้องสมุดไป่ตู้
f(x)在－1,0]上单调递减，在 0,1]上单调递增，故 f(x)在 x＝0 处取得最小值．所以对于任意 x1，x2 ∈－1,1]， |f(x1)－f(x2)|≤e－1 的充要条件是即 em－m≤e－1， e－m＋m≤e－1. ① f1－f0≤e－1， f－1－f0≤e－1，
设函数 g(t)＝et－t－e＋1，则 g′(t)＝et－1. 当 t＜0 时，g′(t)＜0；当 t＞0 时，g′(t)＞0. 故 g(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又 g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，
训练目标
(1)导数的综合应用；(2)压轴大题突破．
训练题型
(1)导数与不等式的综合；(2)利用导数研究函数零点；(3)利用导数求参数范围．
解题策略
(1)不等式恒成立(或有解)可转化为函数的最值问题，函数零点可以和函数图象相结合；(2)求参数范围可用分离参数法.
a 1．(2016·常州一模)已知函数 f(x)＝lnx－x－，a∈R. x (1)当 a＝0 时，求函数 f(x)的极大值； (2)求函数 f(x)的单调区间．
单调增区间为(0，综上所述， 1 当 a≤－时， 4

高三数学-[整理]大连二十四中学2018年高三模拟考试-人

大连二十四中学2018年高三模拟考试数学试卷命题:大连市第二十四中学高三数学备课组本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

参考公式：如果事件,A B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件,A B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概 343V R π=率()(1)k k n kn nP k C P P -=- 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}2,1P x y x y R y ==∈>且,集合{}21,0Q y y x x R x ==+∈≠且, 则PQ 等于（）(A)∅ (B)Q (C)P (D)R2.设函数21,0()lg(1),0x x f x x x -⎧-=⎨+>⎩…,若()1f m >,则m 的取值范围是（）(A)(1,1)- (B)(1,)-+∞ (C)(,9)-∞ (D)(,1)(9,)-∞-+∞3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,其中15512a a S +=且1120a =,则13S 等于（）(A)260 (B)160 (C)130 (D)604.设复数21(1)1iz i i+=+--,则7(1)z +展开式的第六项的虚部是（） (A)21- (B)35- (C)21i - (D)35i -5.一种零件的加工由两道工序组成,第一道工序的废品率为p ,第二道工序的废品率为q ,则该种零件加工的成品率为（）(A)1p q -- (B)(1)(1)p q -- (C)1p q pq --- (D)1pq -6.若O 为坐标原点,抛物线22y x =与过其焦点的直线交于,A B 两点,则OA OB ⋅的值为（） (A)34 (B)34- (C)3 (D)4-7.2cos553sin 5-的值为（）2 (D)18.已知离散型随机变量1(4,)3B ξ,则(33)D ξ+等于（）(A)9 (B)7 (C)11 (D)89.设曲线2:ln(1)C y x =+与直线1x =的交点为P ,曲线C 在P 点处的切线经过(,0)a 点,则实数a 的值为（）(A)2ln 2- (B)1ln 2- (C)12ln 2- (D)22ln 2-10.如图,正方体1111ABCD A BC D -中,,M N 分别是111,A B CC 的中点,P 为AD 上一动点,记α为异面直线PM 与1D N 所成的角,则α的取值集合是（）(A)62ππαα⎧⎫⎨⎬⎩⎭剟 (B)42ππαα⎧⎫⎨⎬⎩⎭?(C)2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭ (D)32ππαα⎧⎫⎨⎬⎩⎭剟11.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是（） (A)1252π(B)125π (C)50π (D)25π 12.有七名同学站成一排照毕业纪念相,其中甲必须站在正中间,并且乙丙两位同学要站在一起,则不同的站法有（）(A)240种 (B)192种 (C)96种 (D)48种ABC D P A 1B 1C 1D 1 N M第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.定义a *b min{,}a b =为集合中,a b 的较小者,若2()2,()f x x g x x =-=-, 则()f x *()g x 的最大值为___________.14.lim )1x x a →+∞+=-,则a =________.15.在平面直角坐标系中,若方程222(21)(23)m x y y x y +++=-+ 表示的曲线为椭圆,则实数m 的取值范围是_______________. 16.设正四面体A BCD-的棱,AB AC 的中点分别为,E F , 则DEF △在该四面体各面上的射影可能是______________.⑴ ⑵ ⑶ ⑷三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)()f x =⋅a b ,其中(2sin ,cos()),(2cos ,4cos())44x x x x ππ=+=-a b ,[0,]2x π∈.⑴求()8f π的值;⑵求()f x 的最小值.18.（本小题满分12分）已知10件产品中有3件是次品,并且各产品均可区分,现从中逐件抽样检测不放回. ⑴求前3次抽样中,只抽到1件次品的概率; ⑵求到第6次抽样时,3件次品全被抽出的概率;A B C DEF⑶求前3次抽样中抽到次品个数ξ的分布列,并求其期望.19.（本小题满分12分）如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B ⊥底面ABC ，侧棱1AA 与底面ABC 成60°的角,12AA =,底面ABC 是边长为2的正三角形,其重心为G 点.E 是线段1BC 上一点,且113BE BC =.⑴求证:GE ∥侧面11AA B B ；⑵求平面1BGE 与底面ABC 所成锐角二面角的大小.20.（本小题满分12分）ABCC 1A 1B 1G E已知函数22()4()f x x ax a a R =-+∈.⑴若关于x 的不等式()f x x …的解集为R ,求实数a 的最大值;⑵设函数3()23()g x x af x =+,若()g x 在开区间(0,1)上存在极小值,求实数a 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,(2,0)A 是长轴的一个端点,弦BC 过椭圆中心O ,且0,2AC BC OC OB BC BA ⋅=-=-.⑴求椭圆方程;⑵若AB 上一点F 满足23BO OA OF -+=0,求证:CF 平分BCA ∠;⑶对椭圆上两点,P Q ,PCQ ∠的平分线总垂直于x 轴时,是否存在实数λ,使得PQ AB λ=成立?证明你的结论.22.（本小题满分14分）设函数()f x 定义域为()0,+?，且对任意的实数,x y 有()()()f xy f x f y =+，已知(2)1f =且当1x >时，()0f x >. (1) 求1()2f 的值；(2) 试判断()y f x =在(0,)+?上的单调性，并证明；(3) 一个各项均为正数的数列{}n a 满足：()()(1)1(*)n n n f S f a f a n N =++-?，其中n S 是{}n a 的前n 项和，求{}n a 的通项； (4) 在⑶条件下，是否存在正数M ，使()121221)21(21)n n n a a a M a a a 鬃---L L …对一切*n N Î成立?若存在,求出M 的取值范围;若不存在,说明理由.2018年高三模拟考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题BDCBB BDDBC CB 二、填空题13.1- 14.0 15.5m > 16.⑴⑶⑷ 三、解答题 17.⑴(2sin ,cos()),(2cos ,4cos())44x x x x ππ=+=-a b()4sin cos 4cos()cos()44f x x x x x ππ∴=+-+2sin 22cos 2x x =+)4x π=+ -----------------------------------------(4分)()82f ππ∴==分)⑵ 由⑴知,())4f x x π=+,5[0,],2[,]2444x x ππππ∈∴+∈ -----(9分) 5244x ππ∴+=,即2x π=时,min ()2f x =-. ----------------------------(12分)18.⑴12373102140C C p C == ------------------------------------------------(3分) ⑵2353756112C C A p A == -------------------------------------------------(6分)⑶ 分)910E ξ=--------------------------------------------------(12分) 19.⑴延长1B E 交BC 于F ，111,2B EC FEB BE EC =△∽△, 1111,22BF B C BC ∴==从而F 为BC 的中点. ---------------------------(2分)G 为ABC △的重心，A ∴,,G F 三点共线，且11,3FG FE FAFB ==1,GE AB ∴∥又GE ⊄侧面11AA B B ，GE ∴∥侧面11AA B B . --------------------(6分) ⑵在侧面11AA B B 内，过1B 作1BH AB ⊥，垂足为H ，侧面11AA B B⊥底面ABC ，1B H ∴⊥底面ABC . 又侧棱1AA 与底面ABC 成60的角，1AA =2，1160,1,B BH BH B H ∴∠===在底面ABC 内，过H 作,HT AF ⊥垂足为T ，连1BT ,由三垂线定理有1BT AF ⊥, 又平面1BGE 与底面ABC 的交线为AF , 1BTH ∴∠为所求二面角的平面角 ---------------------------------------(9分) 3,30,AH AB BH HAT ∴=+=∠=3sin 30,2HT AH ∴==在1Rt B HT △中，11tan B H B TH∠==从而平面1BGE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为arctan . -------(12分) 20.⑴()f x x …解集为R ,22(41)0x a x a ∴-++…恒成立.22(41)40a a ∆=+-…,即212810a a ++…,1126a --剟,故a 的最大值为16-. -----------(4分)⑵由已知得 3223()23123g x x ax a x a =+-+,则2222()66126(2)6()(2)g x x ax a x ax a x a x a '=+-=+-=-+令()0g x '=得 x a =或2x a =-. --------------------------------(6分) ① 若0a =,则()0g x '…,()g x ∴在R 上单调递增,在(0,1)上无极值. ---(7分) ② 若0a >,则当2x a <-或x a >时,()0g x '>;当2a x a -<<时,()0g x '<. ∴当x a =时,()g x 有极小值.()g x 在(0,1)上存在极小值,01a ∴<<. ---(9分) ③ 若0a <,则当x a <或2x a >-时,()0g x '>;当2a x a <<-时,()0g x '<. ∴当2x a =-时,()g x 有极小值.()g x 在(0,1)上存在极小值,021a ∴<-<,即102a -<<. ----------------------------------------------(11分)综上,当102a -<<或01a <<时,()g x 在(0,1)上存在极小值. -------(12分)21.⑴0,,90AC BC AC BC ACB ⋅=∴⊥∠=,又2,OC OB BC BA OC OB -=-=-,22OC AC ∴=,AOC ∴△为等腰直角三角形.(2,0),(1,1)A C ∴±,设椭圆方程为22214x y b+=,则221141,43b b +=∴=,故椭圆方程为221443x y +=. ----------------------(4分) ⑵不妨设(1,1)C ,则(1,1)B --,设00(,)F x y ,23BO OA OF -+=0,00330,1x x ∴-+=∴=.CF x ∴⊥轴,CF ∴平分BCA ∠. ----------------(8分)⑶设1122(,),(,)P x y Q x y ,设,PC QC 的方程分别为1(1)y k x -=-与1(1)y k x -=--,即(1)1y k x =-+与(1)1y k x =--+.由2234(1)1x y y k x ⎧+=⎨=-+⎩得 222(13)6(1)3610k x k k x k k +--+--= 2211223613611,1313k k k k x x k k ----⋅=∴=++, 同理,22236113k k x k +-=+.2212121212262()211312313PQ k k y y k x x k k k k x x x x k -⋅-+-+====---+.又13AB k =,PQ AB ∴∥. 故存在R λ∈,使PQ AB λ=成立.当(1,1)C -时,同理可证. ------------(12分) 22.⑴()()(),1f xy f x f y x y =+\==Q 令有(1)(1)(1)2(1),(1)0112,,(1)(2)()22f f f f f x y f f f =+=\====+再令有11()(1)(2)011,()122f f f f \=-=-=-\=-. -------------------(3分)⑵()1110,,(1)()(),().x y f f x f f f x x x x >==+\=-若令有1112220,1()0x xx x f x x >>>\>令有.()()()()()111212221()()0,x f f x f f x f x f x f x x x =+=->\>而.\()f x 在()0,+?为增函数. -------------------------------------(6分)⑶11()()(1)1[(1)]()[(1)]22n n n n n n n f S f a f a f a a f f a a =++-=++=+又()y f x =Q 在()0,x ??时为单调递增函数，0n S > 1(1)02n n a a +>,1(1)2n n n S a a \=+L L L L ① 在上式中，令1n =有，11a ∴=.当2n …时，有1111(1)2n n n S a a ---=+②①-②有11111(1)(1)22n n n n n n n S S a a a a a ----=+-+=,2211()0n n n n a a a a --∴--+=11()(1)0n n n n a a a a --+--=,又110101n n n n n a a a a a -->∴--=∴-=∴数列{}n a 构成以11a =为首项，公差1d =的等差数列.1(1)1(1)n a a n d n n ∴=+-=+-=. -----------------------------(10分)⑷12221232!n n n n n a n a a a n n =∴⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅()1221(21)(21)135(21)n a a a n ---=⋅⋅-令1)(21)21135(21)n n n n b a n n ==-+⋅⋅⋅- 则11n n b ++=11n n b b +∴===>1n nb b +∴> ∴数列{}n b 为单调递增数列由题意n M b…恒成立则只需min ()n M b …即11M b ==…M ⎛∴∈ ⎝⎦. ------------------------------------------(14分)。

2018年高考数学(理)总复习双基过关检测“导数及其应用” Word版含解析

“导数及其应用”双基过关检测一、选择题．已知函数()＝－，则′()＝( )．－．－．－－．－＋解析：选′()＝－()))′＝( )′－′＝－.．已知函数()＝(>且≠)，若′()＝－，则＝( )．解析：选因为′()＝)，所以′()＝)＝－，所以＝－，所以＝.．曲线＝＋－在点(，－)处的切线方程为( )．＝－．＝－－．＝＋．＝－－解析：选因为′＝＋＋，所以曲线＝＋－在点(，－)处的切线的斜率＝′＝，∴切线方程为＝－.．已知曲线＝－的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )．．．解析：选已知曲线＝－(>)的一条切线的斜率为，由′＝－＝，得＝，故选.．函数()＝(－)的单调递增区间是( )．(－∞，) ．()．() ．(，＋∞)解析：选依题意得′()＝(－)′＋(－)()′＝(－)，令′()>，解得>，∴()的单调递增区间是(，＋∞)．故选.．已知函数()＝(－)在＝处取得极小值，则实数＝( )．．．．解析：选()＝(－＋)＝－＋，所以′()＝－＋＝(－)(－)．由′()＝可得＝或＝.当＝时，′()＝(－)(－)，当<<时，′()<，当<或>时，′()>，此时在＝处取得极大值，不合题意，∴＝，此时′()＝(－)(－)，当< <时，′()<，当<或>时，′()>，此时在＝处取得极小值．选.．已知函数()＝(\\(，－≤≤，＋，<≤，))则()的值为( )．．．若函数()＝(\\(－，≤，－＋，>))的值域为[，＋∞)，则实数的取值范围是( ) ．[]．(]．(－∞，] ．(－∞，)解析：选当≤时，>()＝－≥；当>时，()＝－＋，′()＝－，当∈()时，′()<，()单调递减，当∈(，＋∞)时，′()>，()单调递增，所以当＝时，函数()取得最小值()＝－＋＝－.由题意得≥－≥，解得≤≤，选.二、填空题．若函数()＝＋不是单调函数，则实数的取值范围是．解析：由题意知()的定义域为(，＋∞)，′()＝＋，要使函数()＝＋不是单调函数，则需方程＋＝在(，＋∞)上有解，即＝－，∴<.答案：(－∞，)．已知函数()＝－′(－)＋－，则′()＝.解析：∵′()＝－′(－)＋，′(－)＝－＋′(－)＋，∴′(－)＝－，∴′()＝＋＋＝.答案：．已知函数()的图象在点(，())处的切线方程是＝＋，则()＋′()＝.解析：由题意知′()＝，()＝×＋＝，∴()＋′()＝＋＝.答案：．已知函数()满足()＝′()－－()＋，且存在实数，使得不等式－≥()成立，则实数的取值范围为．解析：′()＝′()－－()＋，令＝时，得′()＝′()－()＋，∴()＝，()＝′()－＝，。

2018年高考数学(理)总复习双基过关检测：“导数及其应用”含解析

“导数及其应用”双基过关检测一、选择题1．已知函数f (x )＝sin x －12x ，则f ′(x )＝( )A ．sin x －12B ．cos x －12C ．－cos x －12D ．－sin x ＋12解析：选B f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －12x ′＝(sin x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝cos x －12. 2．已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( ) A ．e B.1eC.1e2 D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e.3．曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 因为y ′＝e x＋x e x＋2，所以曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝0＝3，∴切线方程为y ＝3x －1.4．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：选A 已知曲线y ＝x 24－3ln x (x >0)的一条切线的斜率为12，由y ′＝12x －3x ＝12，得x ＝3，故选A.5．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x )>0，解得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B f (x )＝x (x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ，所以f ′(x )＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m )(3x －m )．由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3.当m ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，当1<x <3时，f ′(x )<0，当x <1或x >3时，f ′(x )>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意，∴m ＝1，此时f ′(x )＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f ′(x )<0，当x <13或x >1时，f ′(x )>0，此时在x ＝1处取得极小值．选B.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－2≤x ≤0，x ＋1，0<x ≤2，则 f(x)d x 的值为( )A. 43 B ．4 C ．6D.2038．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,3]B ．(2,3]C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：选A 当x≤0时，1>f (x )＝1－2x≥0；当x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝1时，函数f(x)取得最小值f (1)＝1－3＋a ＝a －2.由题意得1≥a －2≥0，解得2≤a ≤3，选A .二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋a x，要使函数f (x )＝x ＋alnx 不是单调函数，则需方程1＋ax＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0.答案：(－∞，0)10．已知函数f(x)＝ln x －f′(－1)x 2＋3x －4，则f′(1)＝________. 解析：∵f′(x)＝1x －2f′(－1)x ＋3，f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：811．已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f(1)＋f′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.答案：412．已知函数g (x )满足g (x )＝g′(1)ex －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m －1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝g ′(1)ex －1－g (0)＋x ，令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－1＝1，∴g ′(1)＝e ，∴g (x )＝e x －x ＋12x 2，g ′(x )＝e x－1＋x ，当x<0时，g′(x)<0，当x>0时，g′(x)>0， ∴当x ＝0时，函数g(x)取得最小值g(0)＝1. 根据题意得2m －1≥g(x)min ＝1，∴m≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题13．已知函数f(x)＝x ＋ax＋b(x≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式；(2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立，求b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8. 由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：a )上是减函数．(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤10，f，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2成立，从而得b ≤74，所以满足条件的b 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，74.14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1x(x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值．。

辽宁大连市第二十四中学导数及其应用多选题试题含答案

辽宁大连市第二十四中学导数及其应用多选题试题含答案一、导数及其应用多选题1．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（） A ．()321f x x x =-+B ．()21xf x e x =--C ．()3ln 1,0()2,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩D ．4()sin f x x x =【答案】BC 【分析】运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论．【详解】解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()321f x x x =-+，()2132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得23x ≥，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；B 中，()21xf x e x =--，()21xf x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②， ∴函数()21xf x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=，当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③，故2()f x 是“偏对称函数”； C 中，由函数()3ln 1,0()2,x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当0x <时，31()01f x x =<-'，当0x >时，3()20f x '=>，符合条件②，∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-，设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1()201F x x '=-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<，即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数，而4()sin cos f x x x x '=+ ()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”；故选：BC ．【点睛】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．2．已知函数()xf x e =，()1ln22x g x =+的图象与直线y m =分别交于A 、B 两点，则（）A ．AB 的最小值为2ln2+B ．m ∃使得曲线()f x 在A 处的切线平行于曲线()g x 在B 处的切线C ．函数()()f x g x m -+至少存在一个零点D ．m ∃使得曲线()f x 在点A 处的切线也是曲线()g x 的切线【答案】ABD 【分析】求出A 、B 两点的坐标，得出AB 关于m 的函数表达式，利用导数求出AB 的最小值，即可判断出A 选项的正误；解方程()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误.进而得出结论. 【详解】令()xf x e m ==，得ln x m =，令()1ln22x g x m =+=，得122m x e -=，则点()ln ,A m m 、122,m B e m -⎛⎫⎪⎝⎭，如下图所示：由图象可知，122ln m AB e m -=-，其中0m >，令()122ln m h m em -=-，则()1212m h m em-'=-，则函数()y h m '=单调递增，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当102m <<时，0h m，当12m >时，0h m.所以，函数()122ln m h m e m -=-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以，min 112ln 2ln 222AB h ⎛⎫==-=+⎪⎝⎭，A 选项正确； ()x f x e =，()1ln 22x g x =+，则()x f x e '=，()1g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()ln f m m '=，曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为1212122m m g e e --⎛⎫'=⎪⎝⎭，令()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，即1212m m e -=，即1221m me -=，则12m =满足方程1221m me -=，所以，m ∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数()()()1ln22xx F x f x g x m e m =-+=-+-，可得()1x F x e x'=-，函数()1xF x e x '=-在()0,∞+上为增函数，由于120F e e ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()110F e -'=>，则存在1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()10t F t e t '=-=，可得ln t t =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>.()()min 1111ln ln ln 2ln 22222t t t F x F t e m e t m t m t ∴==-+-=-++-=+++-13ln 2ln 2022m m >+-=++>，所以，函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项错误；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()ln ln my m ex m -=-，即()1ln y mx m m =+-，同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为11ln 22n y x n =+-，所以，()111ln ln 22m nn m m ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得()11ln ln 202m m m --++=，令()()11ln ln 22G x x x x =--++，则()111ln ln x G x x x x x-'=--=-，函数()y G x '=在()0,∞+上为减函数，()110G '=>，()12ln 202G '=-<，则存在()1,2s ∈，使得()1ln 0G s s s'=-=，且1s s e =. 当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<.所以，函数()y G x =在()2,+∞上为减函数，()5202G =>，()17820ln 202G =-<，由零点存在定理知，函数()y G x =在()2,+∞上有零点，即方程()11ln ln 202m m m --++=有解. 所以，m ∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线. 故选：ABD. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，属于难题.3．函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e <D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y < 【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25xyk ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ．【详解】由ln (),0x f x x x=>得：21ln ()xf x x -'=令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f ===66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错B ．e e π<，且()f x 在(0,)e 单调递增ln f fe ππ∴<<<∴>，故：B 正确C ．()f x m =有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m ∴==不妨设120x e x <<<要证：212x x e <，即要证：221222,()e e x x e ef x x x<>∴<在(0,)e 单调递增，∴只需证：()212e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222e f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭只需证：()2220e f x f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭……① 令2()(),()e g x f x f x e x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则2211()(ln 1)g x x e x '⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 当x e >时，2211ln 1,()0()x g x g x e x'>>∴>∴在(,)e +∞单调递增 ()22()0x e g x g e >∴>=，即：()2220e f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭这与①矛盾，故C 错D ．设25x y k ==，且,x y 均为正数，则25ln ln log ,log ln 2ln 5k kx k y k ==== 252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ∴== 1152ln 2ln 5ln 2,ln 525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln 2ln 52502525ln 2ln 5x y ∴>>∴<∴<，故D 正确．故选：BD ．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x 的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x ，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．4．关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数yf xx 有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【分析】对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可；对于B ，利用导数判断函数y f xx 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；对于C ，参变分离得到22ln xk x x <+，构造函数()22ln x g x x x=+，利用导数判断函数()g x 的最小值的情况；对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()211x t t x =>，由()()12f x f x =得21222ln t x x t t-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构造函数即得．【详解】A ：函数()f x 的定义域为0,，()22212x f x x x x-'=-+=，当()0,2x ∈时，0f x，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．B ：()2ln y f x x x x x=-=+-，22221210x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在0,上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数yf xx 有且只有1个零点，故B 正确．C ：若()f x kx >，即2ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x=+，则()34ln x x xg x x-+-'=．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x，所以()22ln x g x x x=+在0,上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，∴2x =是()f x 的极小值点．∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<．令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得121222ln ln x x x x +=+， ∴211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t -=，()2121ln t t x tx t t-==，所以21222ln t x x t t-+=．故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t tt t-->． ∵211x t x =>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，()()()414401t H t t t t-''=-=>>，所以()H t '在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以2224ln 0ln t t tt t-->，∴124x x +>，故D 正确．故选：BD ．【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.5．对于函数2ln ()xf x x =，下列说法正确的有（） A ．()f x在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点 C．(2)f f f <<D ．若21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，则2e k <【答案】ACD 【分析】利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A ；利用函数的单调性和函数值的范围判断B ；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ；利用不等式有解问题的应用判断D ．【详解】函数2ln ()x f x x =，所以2431ln 212ln ()(0)x x xx x f x x x x⨯-⨯-'==>，令()0f x '=，即2ln 1x =，解得x =当0x <<()0f x '>，故()f x在上为单调递增函数．当x >()0f x '<，故()f x 在)+∞上为单调递减函数．所以()f x 在x =12f e=，故A 正确；当0x <<()0f x '>，()f x 在上为单调递增函数，因为()10f =，所以函数()f x 在上有唯一零点，当x ≥2ln ()0xf x x=>恒成立，即函数()f x 在)+∞上没有零点，综上，()f x 有唯一零点，故B 错误．由于当x >()0f x '<，()f x 在)+∞上为单调递减函数，因为2>>>(2)f f f <<，故C 正确；由于21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，故221ln 1()x k f x x x +<+=有解，所以2ln 1()max x k x +<，设2ln 1()x g x x+=，则32ln 1()x g x x --'=，令()0g x '=，解得x=当x>()0f x '<，故()f x 在)+∞上为单调递减函数．当0x<<时，()0f x '>，故()f x 在上为单调递增函数．所以()22max e eg x g e ==-=．故2ek <，故D 正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.6．下列说法正确的是（）A ．函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是1B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为(C ．函数()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数()222sin 42cos tx x xf x x xπ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t = 【答案】ACD 【分析】化简函数解析式为()2cos 1f x x ⎛=--+ ⎝⎭，利用二次函数的基本性质可判断A 选项的正误；令sin cos t x x =+，可得()()3231t t f x g t t -==-，利用导数法可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；计算出()()2f x f x t +-=，利用函数的对称性可判断D 选项的正误. 【详解】 A 选项，()222311cos cos cos 1442f x x x x x x ⎛=--=-+=--+ ⎝⎭，又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，则当cos 2x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x xf x x x x x+∴=+=⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x++-⋅=⋅()()2sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x⎡⎤++-⋅⎣⎦=⋅，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则21sin cos 2t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥⎪ ⎝⎭⎝⎦，(t ∴∈，令()223221323112t t t t t g t t t ⎛⎫--⨯ ⎪-⎝⎭==--，(t ∈，()()422301t g t t --'=<-，()g t ∴在区间(上单调递减，()()32min1g t g ===-所以，函数()f x的值域为)+∞，B 错； C 选项，()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，令sin t x =，(]0,1t ∈，即2210t at --+≥，12a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，()11a g ∴≤=-，C 对；D 选项，()2222cos tx x x xf x x x⎫+++⎪⎝⎭=+ ()()2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x xx x++⋅+⋅+==+++，所以，()()()()22sin sin 2cos 2cos t x x t x xf x t t x xx x --+-=+=-+⋅-+-，()()2f x f x t ∴+-=，所以，函数()f x 的图象关于点()0,t 对称，所以，22a b t +==，可得1t =，D 对. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立；（2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立；（3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.7．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项．【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227f =>，结合()f x 的单调性可知，方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确；对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦，则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确；对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.8．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+，则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.。

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