空间解析几何1.4
解析几何第四版吕林根课后习题答案一至三章
第一章向量与坐标§1.1 向量的概念1.下列情形中的向量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在向量OA、、OC、、、OF、、BC、CD、、EF和FA中，哪些向量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的向量对是：图1-1.DEOFCDOEABOCFAOBEFOA和；和；和；和；和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC, 则在∆BAC中，21AC. KL与AC方向相同；在∆DAC中，21AC. NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量：(1) AB、; (2) AE、; (3) 、;(4) AD、; (5) BE、.[解]：相等的向量对是（2）、（3）和（5）；互为反向量的向量对是（1）和（4）。
§1.2 向量的加法1.要使下列各式成立，向量ba,应满足什么条件？（1-=+（2+=+（3-=+（4+=-E（5=[解]：（1）,-=+（2）,+=+（3≥且,=+ （4）,+=-（5）,≥-=-§1.3 数量乘向量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从向量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出向量→x ，→y ． 解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解 →→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线向量AL , BM ,可 以构成一个三角形.[证明]： )(21+=)(21BC BA BM +=)(21+=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线向量CN BM AL ,,构成一个三角形。
考研数学一大纲空间解析几何
考研数学一大纲空间解析几何空间解析几何是考研数学一科目的重要内容之一。
在考研数学一大纲中，空间解析几何包括平面方程与空间直线、平面及空间中的曲面方程、立体几何与相关计算方法等内容。
下面将对这些内容进行详细讨论。
一、平面方程与空间直线平面方程是空间解析几何的基础，在考研数学一大纲中要求掌握平面的一般方程、点法式方程、截距式方程以及向量法方程。
对于一般方程Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为方程的系数，D为常数项，可以通过法向量的系数A、B、C来确定该平面的法向量。
点法式方程是通过平面上的一点和法向量来表示平面方程的形式，截距式方程是通过平面与坐标轴的截距来表示平面方程的形式。
向量法方程是通过平面上的一点和与平面垂直的一个向量来表示平面方程的形式。
空间直线也是空间解析几何的重点内容之一。
在考研数学一大纲中要求掌握空间直线的点向式方程、对称式方程以及向量式方程。
点向式方程是通过直线上的一点和方向向量来表示直线方程的形式，对称式方程是通过直线与坐标轴的截距来表示直线方程的形式。
向量式方程是通过直线上一点和与该直线平行的一个向量来表示直线方程的形式。
二、平面及空间中的曲面方程在考研数学一的大纲中，平面与空间中的曲面方程也是重要的内容。
常见的曲面方程包括二次曲面方程、柱面方程、圆锥曲线方程等。
二次曲面方程的一般形式为Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Kz+L=0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、K、L为方程的系数。
不同的二次曲面有不同的特点和性质，例如椭球、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面等。
柱面方程是通过直线沿着某一方向无限延伸而形成的表面。
柱面方程的一般形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为方程的系数。
圆锥曲线方程是由一个点（焦点）和一个直线（准线）确定的曲线。
圆锥曲线方程的一般形式为(x-a)^2+(y-b)^2-(z-c)^2=0，其中(a, b, c)为焦点的坐标。
1-4解析几何吕林根第四版
证明： AG = λGD; BG = µGE;
CG = AG − AC = λ AD − AC
=
λ
•
1
(
1+ λ
AB + AC)
−
AC
1+λ 2
= λ AB − λ + 2 AC
2(1 + λ） 2(1 + λ）
CG = BG − BC = µ BE − BC 1+ µ
= µ • (AE − AB) − BC 1+ µ
八、共面向量的条件
定理1.4.7 三向量共面的充要条件是它们线性相关. 定理1.4.8 空间任何四个向量总是线性相关.
推论 空间四个以上向量总是线性相关.
例6
设 p = a − b + 5 − 1 b + b − 3a , q = 4a + 5b,
2
5
试证明 : p // q.
证明:
p
=
(1
−
5
组合，即
r = xe1 + ye2 + ze3 ，
C
并且其中系数 x, y, z 被
e1, e2, e3, r 惟一确定.
P
向量 e1, e2, e3 叫做空间向量的基底.
E3 e3 r
E1 e1 O e2 E2
B
A
例1 已知三角形OAB,其中= OA a= , OB b, 而M、N分别
是三角形OA，OB 两边上的点,且有OM= λ a (0 < λ < 1) ,
线性相关.
推论 一组向量如果含有零向量，那么这组向量必线性相关.
七、共线向量的条件
解析几何 第四版 课后答案
由上题结论知： AL + BM + CN = 0
∴OA + OB + OC = OL + OM + ON
4. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分. [证明]：如图 1-4，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点
∵ AD = OD − OA
BC = OC − OB
但 AD = BC
BM = 1 (BA + BC) 2
CN = 1 (CA + CB) 2
∴ AL + BM + CN = 1 ( AB + AC + BA + BC + CA + CB) = 0 2
从而三中线矢量 AL, BM ,CN 构成一个三角形。
3. 设 L、M、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明
第 1 章 矢量与坐标
§1.1 矢量的概念
1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？
（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；
（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；
（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；
（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.
[解]：（1Байду номын сангаас单位球面； （2）单位圆
＝3 PiGi ,
从而 OPi
＝ OAi + 3OGi 1+ 3
，
设 Ai (xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，则
G1
⎜⎛ ⎝
x2
+
x3 3
+
x4
,
y2 + y3 + y4 , 3
解析几何,吕林根,课后习题解答一到五
3. 设一直线上三点 A, B, P 满足 AP ＝ PB (－1),O 是空间任意一点，求证： OP ＝ OA OB 1
解：
图 1-7
4. 在 ABC中,设 AB e1, AC e2 . (1) 设 D、E 是边 BC 三等分点,将矢量 AD, AE 分解为 e1, e2 的线性组合; （2）设 AT 是角 A 的平分线(它与 BC 交于T 点),将 AT 分解为 e1, e2 的线性组合
解：
2 试证明：射影 l( a1 a2 +…+n an )＝1 射影 l a1 + 2 射影 l a2
+…+n 射影 l an . [证明]
1．证明：
§1.7 两矢量的数性积
（1） 矢量 a 垂直于矢量 (ab)c (ac)b ；
（2）在平面上如
果
m1
m2
，且
a
mi
＝b
mi
(i=1,2)，则有 a ＝ b .
证明：
2．已知矢量 a, b 互相垂直，矢量 c 与 a, b 的夹角都是 60 ，且 a 1, b 2, c 3 计算：
(1)(a b)2;(2)(a b)(a b); (3)(3a 2b).(b 3c); (4)(a 2b c)2
[解]：
3. 计算下列各题 . （1）已知等边△ ABC 的边长为1, 且 BC a , CA b , AB C, 求 ab bc ca ；
(2) 已知 a, b, c 两两垂直 , 且 a 1, b 2, c 3, 求 r a b c 的长和它与 a, b, c 的夹 角. (3) 已知 a 3b 与 7a 5b 垂直，求 a, b 的夹角.
(4) 已知 a 2, b 5, (a,b) 2 , p 3a b, q a 17b. 问系数 取何值时
《空间解析几何》课件
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通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
空间解析几何教学大纲
《空间解析几何》教学大纲课程代码：090131103课程英文名称：Analytic Geometry课程总学时：32 讲课：32 实验：0 上机：0适用专业：信息与计算科学大纲编写（修订）时间：2017.11一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标《空间解析几何》是信息与计算科学专业的一门重要基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是高等数学的基石，高等代数，数学分析，微分方程，微分几何，等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识以及研究方法。
空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。
通过本课程的教学，使学生受到几何直观化及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域，培养抽象的空间想象能力，运算能力和逻辑思维能力，能运用解析方法研究几何图形的性质，并对解析表达式予以几何解释，为进一步学习基础课程打下坚实基础。
同时通过学习，进一步提高学生对中学几何理论与方法的理解，联系中学数学的教学，充分利用矢量工具注意矢量法与坐标的联系，从而获得高观点下处理中学几何问题的能力，以及画图能力。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求基本知识：通过本课程的学习，要求学生掌握矢量的概念；矢量的运算及矢量的坐标法；平面与空间直线方程；空间中的点、直线、平面两两之间的相互关系的代数形式的联系；曲线与曲面的一般方程；参数方程、球面和旋转面、柱面和锥面、二次曲面（十七种）、直纹面、曲面的交线和曲面所围区域；平面仿射坐标变换平面直角坐标变换空间坐标变换等。
基本能力：培养学生空间想象能力和运用解析方法研究几何问题以及在实际中应用这一方法的能力；严密的科学思维及分析问题解决问题的能力；用空间的观点和结构的观点解决数学中的其它问题以及其它实际问题的能力。
基本技能：使学生获得空间解析几何的基本运算技能；运用数学软件进行具有一定难度和复杂度的空间解析几何运算技能。
（三）实施说明1 本大纲主要依据信息与计算科学专业2017-2020版教学计划、信息与计算科学专业建设和特色发展规划和沈阳理工大学编写本科教学大纲的有关规定及全国通用《空间解析几何教学大纲》并根据我校实际情况进行编写的。
空间解析几何ppt1.4
[解]：因为 且
BT
| BT | | e1 | | TC | ＝ | e1 | ,
与 TC 方向相同，
TC .
| e1 | 所以 BT ＝ | e | 2
AT
＝
| e2 | e1 | e1 | e2 | e1 | | e2 |
.
思考题：
2. 已知三个非零向量 a me1 ne2 , b pe2 me3 , c ne3 pe1 ， 其中 m,n,p 不全为零，试证明 a, b, c 共面.
P
E3
e3
r
e1 O e2 E2 E1
A
B
例题
例1 已知三角形OAB ，其中OA = a,OB = b ,而M 、N 分别是三角形OA，OB 两边上的点，且有 OM = λa 0 < < 1 ， ON = μb 0 < < 1，设AN 与BM 相交于P ，试把向量OP = p 分解成a 、 的线性组合. b B b N P b p A a M O a
a 1 a1 2 a2 n an ，
叫做向量的线性组合.
当向量 a 是向量 a1, a2 ,, an 的线性组合时，我们也说：向量 a 可以用向量 a1, a2 ,, an 线性表示.或者说，向量 a 可以分解成向量
例题
D
例2ห้องสมุดไป่ตู้
证明四面体对边中点的连线交
于一点，且互相平分.
e3
P1 A E
F
e2
C
e1
B
五、向量的线性关系
空间解析几何简介课件
一点 M 的线速度 的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
向径
它与 的夹角为 , 则
点 M离开转轴的距离
a r sin
a M
且
符合右手法则
l
v r
O
*三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
设 P是 中3一个平面， VP 定义如上，则 中3 与二维子
空间VP 正交的非零向量称为平面P的法向量；平面 P的
所有法向量添上零向量组成 的3 一个一维子空间， 中3
以平面 的P法向量为方向向量的直线称为平面 的法P 线 。
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
4. 数量积的坐标表示
设 a ax e1 ay e2 az e3 , b bx e1 by e2 bz e3 ,则
( ax e1 ay e2 az e3 ) (bx e1 by e2 bz e3 )
内容小结
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ), c (cx , cy , cz )
1. 向量运算
加减: 数乘: 点积:
a b (ax bx , ay by , az bz )
a (ax ,ay ,az )
a b axbx ayby azbz
叉积:
i jk ab ax ay az
bx by bz
ax ay az
混合积: a b c ( a b ) c bx by bz
2. 向量关系:
注册电气工程师(供配电、发输变电)基础+专业考试大纲
注册电气公共基础考试大纲(供配电、发输变电相同)I.工程科学基础一.数学1.1空间解析几何向量的线性运算；向量的数量积、向量积及混合积；两向量垂直、平行的条件；直线方程；平面方程；平面与平面、直线与直线、平面与直线之间的位置关系；点到平面、直线的距离；球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程；常用的二次曲面方程；空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。
1.2微分学函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；数列极限与函数极限的定义及其性质；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算；函数连续的概念；函数间断点及其类型；导数与微分的概念；导数的几何意义和物理意义；平面曲线的切线和法线；导数和微分的四则运算；高阶导数；微分中值定理；洛必达法则；函数的切线及法平面和切平面及切法线；函数单调性的判别；函数的极值；函数曲线的凹凸性、拐点；偏导数与全微分的概念；二阶偏导数；多元函数的极值和条件极值；多元函数的最大、最小值及其简单应用。
1.3积分学原函数与不定积分的概念；不定积分的基本性质；基本积分公式；定积分的基本概念和性质(包括定积分中值定理)；积分上限的函数及其导数；牛顿-莱布尼兹公式；不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法；有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分；广义积分；二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用；两类曲线积分的概念、性质和计算；求平面图形的面积、平面曲线的弧长和旋转体的体积。
1.4无穷级数数项级数的敛散性概念；收敛级数的和；级数的基本性质与级数收敛的必要条件；几何级数与级数及其收敛性；正项级数敛散性的判别法；任意项级数的绝对收敛与条件收敛；幂级数及其收敛半径、收敛区间和收敛域；幂级数的和函数；函数的泰勒级数展开；函数的傅里叶系数与傅里叶级数。
1.5常微分方程常微分方程的基本概念；变量可分离的微分方程；齐次微分方程；一阶线性微分方程；全微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程。
解析几何全册课件
e
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例5 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.
A
B
C
D
E
F
P1
e1
e2
e3
.
,
,
3
2
1
叫做空间向量的基底
这时
e
e
e
.
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
3
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
关系式
线性表示的
，
，
用
先求
取不共面的三向量
就可以了
三点重合
下只需证
两组对边中点分别为
其余
它的中点为
§1.5 标架与坐标
§1.7 两向量的数量积
§1.9 三向量的混合积
§1.8 两向量的向量积
第二章 轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程
§2.2 曲面的方程
§2.3 空间曲线的方程
第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程
§3.3 两平面的相关位置
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
关的向量叫做线性无关
性相
叫做线性相关，不是线
个向量
那么
（
＝
使得
个数
在不全为零的
，如果存
个向量
对于
定义
n
n
n
n
n
a
a
a
n
a
高等数学-01空间解析几何
添加标题
添加标题
空间直线的方程应用：用于表示 空间中的直线，以及进行空间几 何计算和图形绘制。
平面与直线的位置关系
平行：两条直线在同一平面 内，没有公共点
添加标题
异面：两条直线不在同一平 面内，没有公共点
添加标题
垂直于平面：直线与平面有 两个公共点
平行于平面：直线与平面没 有公共点
添加标题
添加标题
解析：向量法是 解析几何中常用 的方法，可以解 决许多几何问题
结论：两个平面 的交线是直线， 这是解析几何中 的基本定理
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空间解析几何是理解空间结构的基础，对于理解物理现象、解决工程问题等具有重要意义。
空间解析几何是现代数学的一个重要组成部分，对于培养数学思维和逻辑思维能力具有重 要作用。
空间解析几何的基本概念
空间解析几何是研究空间中点、线、面、体的位置关系和度量关系的数学 学科。
空间解析几何的基本概念包括向量、标量、矩阵、线性变换等。
向量的模和向量的数量积
添加标题
向量的模：表示向量的长度或大小，是向量的绝对值
添加标题
向量的数量积：表示两个向量的夹角，是向量的相对值
添加标题
向量的模和向量的数量积的关系：向量的模和向量的数量积是向量的两个基本属性，它们之间 的关系是向量的模的平方等于向量的数量积的平方加上向量的数量积的平方
添加标题
向量的向量积和混合积的应用：在空间解析几何中，向量的向量积和混合积可以用来求 解向量的夹角、向量的长度等。
向量的向量积和混合积的性质：向量的向量积和混合积具有交换律、结合律和分配律等性质。
空间解析几何1.4
(D) 20 3
例7 已知三点 A(1,0,0) , B(3,1,1) , C(2,0,1) 且
BC
求(1)
a
与a,CbA的 b夹, A角B ;c(2)
a
在
c
上的射影.
例8 利用数量积证明柯西——施瓦兹不等式
3
3
3
( aibi )2
ai2
bi2
i 1
i 1
i 1
证：设a={a1,a2,a3},b={b1,b2,b3} 因为 a﹒b=|a||b|cos(a,b) 而 -1cos(a,b)1, 所以 |a﹒b||a||b|
abe1 abe2 abe3 ab ab e1 e2
ab ab e1 e3 ab ab e2 e3
只要求出基向量 e1,e2,e3 之间的内积，就可以求出任意两
个向量的内积.
在直角坐标系 O;i, j,k 下:
i j j k k i 0,
i i j j k k 1.
4 3n
j p7在k
，
x轴
上的投影及在 y轴上的分向量.
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,
在 y 轴上的分向量为7 j .
由向量射影定义，设
a
从而 |a﹒b|2|a|2|b|2
3
3
3
所以 ( aibi )2
ai2
bi2
i 1
i 1
i 1
习题11. 证明：如果一个四面体有两对对棱互相垂直，则第 三对对棱也必垂直，并且三对对棱的长度的平方和相等.
高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理1.4.2ppt课件全省公开课一等奖
答案：D
4．设α为两条异面直线所成的角，则α满足( ) A．0°<α<90° B．0°<α≤90° C．0°≤α≤90° D．0°<α<180°
解析：异面直线所成的角为锐角或直角，故选B. 答案：B
5．已知a，b，c是空间三条直线，则下列命题中正确命题的 序号为________．
则sin∠EMH＝ 23，于是∠EMH＝60°， 则∠EMF＝2∠EMH＝120°. 所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线 AD、BC所成的角为60°.
方法归纳
求异面直线所成角的步骤 一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角； 二证：证明作出的角就是要求的角； 三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊 三角形求解．
跟踪训练 2 空间中角A的两边和角B的两边分别平行，若∠A ＝70°，则∠B＝________.
解析：由于角A的两边和角B的两边分别平行，所以有∠A＝ ∠B或∠A＋∠B＝180°.
因为∠A＝70°， 所以∠B＝70°或∠B＝110°. 故填70°或110°. 答案：70°或110°
类型三 异面直线所成的角 [例3] 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分 别是AB、CD的中点，若EF＝ 3 ，求异面直线AD、BC所成角的大 小．
由(*)知MD1綊BN， 所以四边形MBND1为平行四边形.
方法归纳
在空间中遇到线段中点的常用处理方法 (1)利用三角形的中位线来转移两直线的平行关系． (2)通过构造平行四边形来转移两直线的平行关系或寻求两直 线的平行关系．
跟踪训练
1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为
空间解析几何
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
空间解析几何
2.1 空间直角坐标系 2.2 空间曲面和曲线方程 2.3 二次曲面简介
2.1 空间点的直角坐标
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住z 轴，
当右手的四个手指
p
从正向 x轴以 角
2
度转向正向 y轴
时，大拇指的指向
就是z 轴的正向.
定点 o
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
Ⅲ
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
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向量的射影 向量内积的定义及计算 向量的方向角、方向余弦（直角坐标系）
空间一点在轴上的射影
A
u
A
过点 A 作轴u 的垂 直平面，交点 A 即为 点 A 在轴u 上的投影.
空间一向量在轴上的射影
已知向量的起点 A, 终点 B 在轴 u上的射影为 B ,
B
A e
B
u
则向量 AB称为向量 r AB在u轴上的射影向量 .
设 AB e , 则称为 向量 r 在轴 u上的射影.
记为 Pr j r 或 ( r )
u u
向量射影定义的说明：
(1) 0 , 射影为正； 2
( 2) , 射影为负； 2 ( 3) , 射影为零； 2
c
b
a
u
(4) 相等向量在同一轴上射影相等；
空间两向量的夹角的概念：
向量 a 与向量 b 的夹角
(a, b ) (b , a ) (0 )
a 0,
b 0,
b
a
类似地，可定义向量， 规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.
用坐标计算向量的内积
选取一个仿射坐标系O; e1 , e2 , e3 .设向量 a,b 的坐标分别为 a, a , a , b,b ,b 则
a b = ae1 ae2 ae3 be1 be2 be3 ab ab e1 e3 ab ab e2 e3
启示 两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
定义 向量a 与b 的数量积记为a b
b
a b | a || b | cos
a | b | cos Pr ja b , a b | b | Pr jb a | a | Pr ja b .
例2、试证如果一条直线与一个平面内的两条相交 直线都垂直，则它垂直于这个平面。 证：设直线n与平面α内两条直线a,b都垂直，即 na且n b, 故 na=0 ,nb=0
又对于平面α内的任意非零向量c，有 c=λa+μb 所以 nc=n(λa+μb)= λna+μnb=0 即n与平面α内的任意非零向量都垂直， 从而 n平面α。
射影定理2
两个向量的和在轴上的射影等于两个向量 （可推广到有限多个） 在该轴上的射影之和.
Pr ju a1 a2 Pr ju a1 Pr ju a2
A
C
a1
B
a2
C
A
u
B
射影定理3
Pr ju a Pr jua
例 1 设 m 3i 5 j 8k ， n 2i 4 j 7 k ， p 5i j 4k ，求向量a 4m 3n p 在 x 轴 上的投影及在 y 轴上的分向量.
abe1 abe2 abe3 ab ab e1 e2
只要求出基向量 e1 , e2 , e3 之间的内积，就可以求出任意两 个向量的内积. 在直角坐标系O; i , j, k 下: i j j k k i 0,
当 a,b
时，称向量 a 与 b 是互相垂直的，记作a b.
射影定理1
u 上的投影等于向量的模乘以 向量 AB 在轴 轴与向量的夹角的余弦： Pr ju AB | AB | cos
证
A
A
B
B
Pr ju AB Pr ju AB
B
u u
| AB | cos
关于数量积的说明：
(其中 为a 与 b 的夹角) | a | cos Pr jba ,
2 (1) a a | a | . ( 2) a b 0 ab .
(a 0, b 0)
定理1 数量积符合下列运算规律：
a b a x bx a y by a z bz
i i j j k k 1.
（1）交换律：a b b a; （2）分配律： (a b ) c a c b c ;
（3）若 为数： ( a ) b a ( b ) ( a b ), 若 、为数： ( a ) ( b ) ( a b ).
解 a 4m 3n p 4( 3i 5 j 8k ) 3( 2i 4 j 7k ) (5i j 4k ) 13i 7 j 15k ,
在 x 轴上的投影为a x 13 ,
N
1.4 向量的内积
向量的射影 向量内积的定义及计算 向量的方向角、方向余弦（直角坐标系）
两向量的内积（数量积）
实例
F
M1
s
M2
M F 作用下沿直线从点 一物体在常力 移动 1 s 表示位移，则力 F 所作的功为 到点 M 2 ，以 s 的夹角) W | F || s | cos (其中 为F 与
在 y 轴上的分向量为7 j .
由向量射影定义， 设 a ( x, y, z ), 则
x Pr j a ,
i
y Pr j a ,
j
z Pr j a .
k
z
R(0,0, z )
r
M ( x, y, z )
o
Q(0, y ,0)
y
x
P ( x ,0,0)