2016-2017人教版高中数学选修4-5练习:第一讲1.1-1.1.2基本不等式 Word版含解析

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第一讲 不等式和绝对值不等式

1.1 不等式

1.1.2 基本不等式

A 级 基础巩固

一、选择题

1.已知a ,b ∈R ,且ab ≠0,则下列结论恒成立的是( )

A .a +b ≥2ab

B.a b +b a ≥2

C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b +b a ≥2 D .a 2+b 2>2ab

解析:当a ,b 都是负数时,A 不成立;

当a ,b 一正一负时,B 不成立;

当a =b 时,D 不成立,因此只有C 是正确的.

答案:C

2.下列各式中,最小值等于2的是( )

A.x y +y x

B.x 2+5x 2+4 C .tan θ+1tan θ D .2x +2-x

解析:因为2x >0,2-x >0,

所以2x +2-x ≥22x 2-x =2.

当且仅当2x =2-x ,即x =0时,等号成立.

答案:D

3.设x ,y ∈R ,且x +y =5,则3x +3y 的最小值是( )

A .10

B .6 3

C .4 6

D .18 3 解析:3x +3y ≥23x ·3y =23x +y =235=183,

当且仅当x =y =52

时,等号成立. 答案:D

4.设x ,y 为正数,则(x +y )⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x +4y 的最小值为( ) A .6

B .9

C .12

D .15

解析:x ,y 为正数,(x +y )⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x +4y =1+4+y x +4x y ≥9,当且仅当y x =4x y

,即y =2x 时,等号成立,选B. 答案:B

5.(2015·福建卷)若直线x a +y b

=1(a >0,b >0)过点(1,1),则a +b 的最小值等于( )

A .2

B .3

C .4

D .5

解析:因为直线x a +y b =1过点(1,1),所以1a +1b

=1.

又a ,b 均大于0,

所以a +b =(a +b ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b =1+1+b a +a b ≥2+2b a ·a b

=2+2=4,当且仅当a =b 时,等号成立.

答案:C

二、填空题

6.设x >0,则函数y =3-3x -1x

的最大值是________. 解析:y =3-⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +1x ≤3-23, 当且仅当3x =1x ,即x =33

时,等号成立. 所以y max =3-2 3.

答案:3-23

7.已知函数f (x )=2x ,点P (a ,b )在函数y =1x

(x >0)的图象上,那么f (a )·f (b )的最小值是________.

解析:点P (a ,b )在函数y =1x

(x >0)的图象上,所以有ab =1. 因为a >0,b >0,所以f (a )·f (b )=2a ·2b =2a +b ≥22

ab =4,

当且仅当a =b =1时,等号成立.

答案:4

8.当x >0时,f (x )=2x x 2+1

的值域是________. 解析:因为x >0,所以x +1x ≥2,所以0<1x +1x

≤12.

所以0<2x +1x

≤1. 又因为f (x )=

2x x 2+1=2x +1x , 所以0<f (x )≤1,当且仅当x =1时,等号成立.故f (x )的值域是(0,1].

答案:(0,1]

三、解答题

9.已知x <0,求2x +1x

的最大值. 解:由x <0,得-x >0,

得-2x +1-x ≥2(-2x )⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫1-x =22, 所以2x +1x

≤-22, 当且仅当-2x =1

-x

, 即x =-22

时等号成立. 故2x +1x

取得最大值-2 2. 10.若a ,b ,c >0,且a +b +c =1,求证:8abc ≤(1-a )·(1-b )(1-c ).

证明:因为a +b +c =1,

所以1-a =b +c >0,1-b =a +c >0,1-c =a +b >0.

所以(1-a )(1-b )(1-c )=(a +b )(b +c )(a +c ).

因为a +b ≥2ab >0,b +c ≥2bc >0,a +c ≥2ac >0,

三式相乘,得(a +b )(b +c )(a +c )≥2ab ·2bc ·2ca =8abc ,

当且仅当a =b =c =13

时,等号成立. 所以8abc ≤(1-a )(1-b )(1-c ).

B 级 能力提升

1.已知不等式(x +y )⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x +a y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )

A .2

B .4

C .6

D .8 解析:不等式(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +a y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,

则1+a +y x +ax y

≥a +2a +1≥9, 所以a ≥2或a ≤-4(舍去).

所以正实数a 的最小值为4.

答案:B

2.(2015·山东卷)定义运算“⊗”:x ⊗y =x 2-y 2xy

(x ,y ∈R ,xy ≠0),当x >0,y >0时,x ⊗y +(2y )⊗x 的最小值为________.

解析:因为x ⊗y =x 2-y 2xy

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