2016-2017人教版高中数学选修4-5练习:第一讲1.1-1.1.2基本不等式 Word版含解析
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第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.2 基本不等式
A 级 基础巩固
一、选择题
1.已知a ,b ∈R ,且ab ≠0,则下列结论恒成立的是( )
A .a +b ≥2ab
B.a b +b a ≥2
C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b +b a ≥2 D .a 2+b 2>2ab
解析:当a ,b 都是负数时,A 不成立;
当a ,b 一正一负时,B 不成立;
当a =b 时,D 不成立,因此只有C 是正确的.
答案:C
2.下列各式中,最小值等于2的是( )
A.x y +y x
B.x 2+5x 2+4 C .tan θ+1tan θ D .2x +2-x
解析:因为2x >0,2-x >0,
所以2x +2-x ≥22x 2-x =2.
当且仅当2x =2-x ,即x =0时,等号成立.
答案:D
3.设x ,y ∈R ,且x +y =5,则3x +3y 的最小值是( )
A .10
B .6 3
C .4 6
D .18 3 解析:3x +3y ≥23x ·3y =23x +y =235=183,
当且仅当x =y =52
时,等号成立. 答案:D
4.设x ,y 为正数,则(x +y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x +4y 的最小值为( ) A .6
B .9
C .12
D .15
解析:x ,y 为正数,(x +y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x +4y =1+4+y x +4x y ≥9,当且仅当y x =4x y
,即y =2x 时,等号成立,选B. 答案:B
5.(2015·福建卷)若直线x a +y b
=1(a >0,b >0)过点(1,1),则a +b 的最小值等于( )
A .2
B .3
C .4
D .5
解析:因为直线x a +y b =1过点(1,1),所以1a +1b
=1.
又a ,b 均大于0,
所以a +b =(a +b ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b =1+1+b a +a b ≥2+2b a ·a b
=2+2=4,当且仅当a =b 时,等号成立.
答案:C
二、填空题
6.设x >0,则函数y =3-3x -1x
的最大值是________. 解析:y =3-⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +1x ≤3-23, 当且仅当3x =1x ,即x =33
时,等号成立. 所以y max =3-2 3.
答案:3-23
7.已知函数f (x )=2x ,点P (a ,b )在函数y =1x
(x >0)的图象上,那么f (a )·f (b )的最小值是________.
解析:点P (a ,b )在函数y =1x
(x >0)的图象上,所以有ab =1. 因为a >0,b >0,所以f (a )·f (b )=2a ·2b =2a +b ≥22
ab =4,
当且仅当a =b =1时,等号成立.
答案:4
8.当x >0时,f (x )=2x x 2+1
的值域是________. 解析:因为x >0,所以x +1x ≥2,所以0<1x +1x
≤12.
所以0<2x +1x
≤1. 又因为f (x )=
2x x 2+1=2x +1x , 所以0<f (x )≤1,当且仅当x =1时,等号成立.故f (x )的值域是(0,1].
答案:(0,1]
三、解答题
9.已知x <0,求2x +1x
的最大值. 解:由x <0,得-x >0,
得-2x +1-x ≥2(-2x )⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1-x =22, 所以2x +1x
≤-22, 当且仅当-2x =1
-x
, 即x =-22
时等号成立. 故2x +1x
取得最大值-2 2. 10.若a ,b ,c >0,且a +b +c =1,求证:8abc ≤(1-a )·(1-b )(1-c ).
证明:因为a +b +c =1,
所以1-a =b +c >0,1-b =a +c >0,1-c =a +b >0.
所以(1-a )(1-b )(1-c )=(a +b )(b +c )(a +c ).
因为a +b ≥2ab >0,b +c ≥2bc >0,a +c ≥2ac >0,
三式相乘,得(a +b )(b +c )(a +c )≥2ab ·2bc ·2ca =8abc ,
当且仅当a =b =c =13
时,等号成立. 所以8abc ≤(1-a )(1-b )(1-c ).
B 级 能力提升
1.已知不等式(x +y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x +a y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )
A .2
B .4
C .6
D .8 解析:不等式(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +a y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,
则1+a +y x +ax y
≥a +2a +1≥9, 所以a ≥2或a ≤-4(舍去).
所以正实数a 的最小值为4.
答案:B
2.(2015·山东卷)定义运算“⊗”:x ⊗y =x 2-y 2xy
(x ,y ∈R ,xy ≠0),当x >0,y >0时,x ⊗y +(2y )⊗x 的最小值为________.
解析:因为x ⊗y =x 2-y 2xy
,