高中数学第一章集合与函数概念13函数的基本性质131单调性与最大(小)值(2)课后训练1新人教A版1.

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高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时(20191105100847)

第1课时函数的单调性学习目标： 1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)3.会求一些具体函数的单调区间．(重点)[自主预习·探新知]1．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)都有f(x1)＞f(x2)结论那么就说函数f(x)在区间D上是增函数那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图示思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？[提示]定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．思考2：函数y＝1x在定义域上是减函数吗？[提示]不是．y＝1x在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．[基础自测]1．思考辨析(1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上是增函数．( )(2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．( )(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( ) [答案](1)×(2)√(3)×2．函数y＝f(x)的图象如图1-3-1所示，其增区间是( )图1-3-1A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4]C[由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选 C.]3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )【导学号：37102125】A．y＝－1xB．y＝xC．y＝x2D．y＝1－xD[函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0，＋∞)上均为增函数，故选 D.] 4．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．(－∞，1) [因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)．][合作探究·攻重难]求函数的单调区间求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f(x)＝－1x；(2)f(x)＝2x＋1，x≥1，5－x，x<1；(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.【导学号：37102126】[解](1)函数f(x)＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．(2)当x≥１时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝－x2＋2x＋3，x≥0，－x2－2x＋3，x<0.根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．[规律方法]1．求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)．2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．[跟踪训练]1．(1)根据如图1-3-2说出函数在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数；图1-3-2(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．[解](1)函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数．(2)先画出f(x)＝x2－2x－3，x<－1或x>3，－x2－2x－，－1≤x≤３的图象，如图．所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．函数单调性的判定与证明证明函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数.【导学号：37102127】思路探究：设元0<x 1<x 2<1―→作差：f x 1－f x 2――→变形判号：fx 1f x 2――→结论减函数[证明]设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x1－x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)1－1x 1x 2＝x 1－x 2－1＋x 1x 2x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0，∴x 1－x 2－1＋x 1x 2x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．[规律方法]利用定义证明函数单调性的步骤取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.作差变形：作差f x 1－f x 2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子定号：确定f x 1－f x 2的符号结论：根据fx 1－fx 2的符号及定义判断单调性提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.[跟踪训练]2．试用函数单调性的定义证明：f (x )＝2xx －1在(1，＋∞)上是减函数．[证明]f (x )＝2＋2x －1，设x 1>x 2>1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝x 2－x 1x 1－x 2－，因为x 1>x 2>1，所以x 2－x 1<0，x 1－1>0，x 2－1>0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(1，＋∞)上是减函数．函数单调性的应用[探究问题]1．若函数f (x )是其定义域上的增函数，且f (a )>f (b )，则a ，b 满足什么关系．如果函数f (x )是减函数呢？提示：若函数f (x )是其定义域上的增函数，那么当f (a )>f (b )时，a >b ；若函数f (x )是其定义域上的减函数，那么当f (a )>f (b )时，a <b .2．若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是什么？提示：因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝a ，所以其单调增区间为(a ，＋∞)，由题意可得(2，＋∞）?(a ，＋∞)，所以a ≤2.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b .(1)若函数f (x )的图象过点(1,4)和(2,5)，求f (x )的解析式．(2)若函数f (x )在区间[1,2]上不单调，求实数a 的取值范围.【导学号：37102128】思路探究：待定系数法求f x――→数形结合分析f x 的对称与区间的关系――→建立不等式求a 的范围[解](1)∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 过点(1,4)和(2,5)，∴1＋a ＋b ＝4，4＋2a ＋b ＝5，解得a ＝－2，b ＝5，∴f (x )＝x 2－2x ＋5.(2)由f (x )在区间[1,2]上不单调可知1<－a2<2，即－4<a <－2.母题探究： 1.把本例(2)条件“不单调”改为“单调”，求实数a 的取值范围．[解]由f (x )在区间[1,2]上单调可知－a2≤１或－a2≥2，即a ≤－4或a ≥－2. 2．若把本例改为“函数g (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且g (2x －3)>g (5x ＋6)”，求实数x的取值范围．[解]∵g (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且g (2x －3)>g (5x ＋6)，∴２x －3>5x ＋6，即x <－3.所以实数x 的取值范围为(－∞，－3)．[规律方法]函数单调性的应用函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.[当堂达标·固双基]1．如图1-3-3是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )图1-3-3A．函数在区间[－5，－3]上单调递增B．函数在区间[1,4]上单调递增C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D．函数在区间[－5,5]上没有单调性C[由图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.]2．函数f(x)在R上是减函数，则有( )【导学号：37102129】A．f(3)<f(5) B．f(3)≤f(5)C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)C[∵3<5，且f(x)在R上是减函数，∴f(3)>f(5)．]3．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为( )A．b＝3 B．b≥３C．b≤3 D．b≠３C[函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选 C.]4．已知函数f(x)＝kx(k≠0)在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________.【导学号：37102130】(－∞，0)[结合反比例函数的单调性可知k<0.]5．证明：函数y＝xx＋1在(－1，＋∞)上是增函数．[证明]设x1>x2>－1，则y1－y2＝x1x1＋1－x2x2＋1＝x1－x2x1＋x2＋.∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，∴x1－x2x1＋x2＋>0，即y1－y2>0，y1>y2，x x＋1在(－1，＋∞)上是增函数．∴y＝。

高中数学_第一章集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件新人教版必修1

1，x是有理数，如：函数 y＝0，x是无理数；再如：函数 y＝x＋1(x∈Z)，它的定义域不能用区间表示，也不能说它在定义域上具有单调性.
答案
知识点二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. 思考若函数f(x)在定义域内的两个区间D1，D2上都是减函数，那么f(x) 的减区间能写成D1∪D2吗？答单调区间不能取并集，如 y＝1x在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说 y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减.
－1<1－a<1，正解由题意可知－1<2a－1<1，解得 0<a<1.①
又f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，
∴1－a>2a－1，即 a<23.②
由①②可知，0<a<23，即所求
a
的取值范围是
2 0<a<3.
易错警示
解析答案
解析答案
(2)函数 y＝x－1 1的单调递减区间是_(_－__∞__，__1_)，__(_1_，__＋__∞__)_. 解析 y＝x－1 1的图象可由函数 y＝1x的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(－∞，1)和(1，＋∞).
解析答案
例2 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间. 解 y＝－－xx22＋－22xx＋＋11，，xx≥ ＜00，，即 y＝－－xx＋－1122＋＋22，，xx＜≥00.，函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞).

(完整版)高中数学各章节内容

第一章集合与函数概念1．1集合1．2函数及其表示1．3函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1指数函数2．2对数函数2．3幂函数第三章函数的应用3．1函数与方程3．2函数模型及其应用【必修二】第一章空间几何体1．1空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．2直线、平面平行的判定及其性质2．3直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1直线的倾斜角与斜率3．2直线的方程3．3直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1圆的方程4．2直线、圆的位置关系4．3空间直角坐标系第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3算法案例第二章统计2．1随机抽样2．2用样本估计总体2．3变量间的相关关系第三章概率3．1随机事件的概率3．2古典概型3．3几何概型【必修四】第一章三角函数1．1任意角和弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的诱导公式1．4三角函数的图象和性质1．5函数的图象1．6三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念2．2平面向量的线性运算2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．4平面向量的数量积2．5平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2简单的三角恒等变换【必修五】第一章解三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列的概念与简单表示法2．2等差数列2．3等差数列的前n项和2．4等比数列2．5等比数列的前n项和第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2一元二次不等式及其解法3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3．4基本不等式选修2-1第一章常用逻辑用语1-1命题及其关系1-2充分条件与必要条件1-3简单的逻辑联结词1-4全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2-1曲线与方程2-2椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2-3双曲线探究与发现2-4抛物线探究与发现阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3-1空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3-2立体几何中的向量方法小结复习参考题选修2-2第一章导数及其应用1-1变化率与导数1-2导数的计算1-3导数在研究函数中的应用1-4生活中的优化问题举例1-5定积分的概念1-6微积分基本定理1-7定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2-1合情推理与演绎推理2-2直接证明与间接证明2-3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3-1数系的扩充和复数的概念3-2复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1-2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1-3二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2-1离散型随机变量及其分布列2-2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2-3离散型随机变量的均值与方差2-4正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3-1回归分析的基本思想及其初步应用3-2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题。

高中数学课本全套pdf

高中数学课本全套pdf篇一:人教版必修1高一数学全套打包,150页)人教版高中数学必修1精品教案(整套)课题:集合的含义与表示(1)课型:新授课教学目标:(1) 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;(2) 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系;(3) 掌握常用数集及其记法;教学重点:掌握集合的基本概念;教学难点:元素与集合的关系;教学过程:一、引入课题军训前学校通知:8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生,在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而1不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题)，即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容二、新课教学(一)集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2. 一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。

3. 思考1:判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1) 大于3小于11的偶数;(2) 我国的小河流;(3) 非负奇数;(4) 方程x2?1?0的解;(5) 某校2007级新生;(6) 血压很高的人;(7) 著名的数学家;(8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点(9) 全班成绩好的学生。

2对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4. 关于集合的元素的特征(1)确定性:设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

(2)互异性:一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

(3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。

高中数学第1章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值(第2课时)函数的最大(小)值

∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)是减函数．同理 f(x)在[2,4]上是增函数．
∴当 x＝2 时，f(x)取得最小值 4；当 x＝1 或 x＝4 时，f(x)取得最大值 5.
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函数最值的实际应用例 3 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元，年产量为 x(x∈N*)件．当 x≤20 时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当 x>20 时，年销售总收入为 260 万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资) (1)求 y(万元)与 x(件)的函数关系式． (2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
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(2)若函数 f(x)在区间[a，b]上是增减函数，在区间[b，c]上是减增函数，则 f(x) 在区间[a，c]上的最大小值是 f(b)，最小大值是 f(a)与 f(c)中较小大的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
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[跟踪训练]
x2，－1≤x≤1，
1．已知函数 f(x)＝1x，x>1，
求 f(x)的最大值、最小值.
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[解] 作出函数 f(x)的图象(如图)．
由图象可知，当 x＝±1 时，f(x)取最大值为 f(±1)＝1.当 x＝0 时，f(x)取最小值 f(0) ＝0，故 f(x)的最大值为 1，最小值为 0.

高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性aa高一数学

【解析】∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 ＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， ∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]. ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴对称轴x＝1－a必须在直线(zhíxiàn)x＝4的右侧或与其重合. ∴1－a≥4，解得a≤－3. 故实数a的取值范围为[－∞，－3].
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函数单调性的证明(zhèngmíng)与判断
【例 1】证明：函数 y＝x＋9x在区间(0,3]上单调递减. 【解题探究】取值 → 作差 → 变形 → 判断符号 → 得结论【证明】设 0＜x1＜x2≤3，则有 y1－y2＝x1＋x91－x2＋x92 ＝(x1－x2)－9xx11－x2x2＝(x1－x2)1－x19x2.
值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；(2)作差变形：作差 f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；(4)结论：根据f(x1) －f(x2)的符号及定义判断单调性.
2．证明抽象函数的单调性时，因为抽象函数不知道解析(jiě
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4.已知函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数
(shìshù)m的取值范围是( )
A．(－∞，－3)
B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
【答案】C
【解析】因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，
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2.作出函数 f(x)＝－ x－x－232＋，3x≤，1x＞，1 的图象，并指出函数

高中数学第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 1.3.1.2 函数的最大值、

方法归纳
图象法求最值的Leabharlann 般步骤跟踪训练 1 已知函数 y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
【解析】 y＝－|x－1|＋2＝x3＋－1x，，xx<≥11，图象如图所示．
由图象知，函数 y＝－|x－1|＋2 的最大值为 2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2]．
由于 x2>x1>12，所以 x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以 f(x1) －f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，所以函数 f(x)＝2x－3 1在区间12，＋∞上是减少的，所以函数 f(x)在[1,5]上是减少的，因此，函数 f(x)＝2x－3 1在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，
【解析】函数 f(x)的对称轴为 x＝a，且函数图象开口向上，如图所示：
当 a>1 时，f(x)在[－1,1]上单调递减，故 f(x)min＝f(1)＝3－2a；当－1≤a≤1 时，f(x)在[－1,1]上先减后增，故 f(x)min＝f(a)＝2－a2；当 a<－1 时，f(x)在[－1,1]上单调递增，故 f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.
(2)当 x≤a<1 时，由图(2)可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(2)＝3－4a. (3)当 1≤a≤2 时，由图(3)可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(0)＝－1. (4)当 a>2 时，由图(4)可知，
f(x)min＝f(2)＝3－4a， f(x)max＝f(0)＝－1.
所以函数 f(x)＝－x2－1在区间[2,6]的左、右端点处分别取得最小

高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性

时,f(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
-(-1)2 + 4, ≥ 0,
即 f(x) =
-( + 1)2 + 4, < 0.
(2)函数图象如图所示.
(3)函数 f(x)的图象在(-∞,-1]和[0,1]上是上升的,在(-1,0)和(1,+∞)
上是下降的,所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,-1],[0,1],单调递减区间
1
∴f(x)=x+ 在(0,1)内是减函数.
12/12/2021
第十五页，共二十八页。
=
(1 -2 )(1 2 -1)
.
1 2
IANLI TOUXI
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UBIAODAOHANG
题型一
题型二
题型三
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
证明:设 x1,x2 是区间(0,1)内的任意两个实数,且 x1<x2,则
1
1
f(x1)-f(x2) = 1 +
− 2 +
1
2
2 -1
1
=(x1-x2) +
= (x1-x2) 11 2
1 2
∵0<x1<x2<1,
∴x1x2-1<0,x 1-x2<0,x 1x2>0.
∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).
间 D 上的任意两个自变量的值 x 1,x2,当 x 1<x2 时,都有
f(x1)>f(x2)
定 f(x1)<f(x2)

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新课标人教版高中数学教材目录必修1第一章集合与函数概念1．1 集合 1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数 2．2 对数函数 2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程 3．3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1 圆的方程 4．2 直线、圆的位置关系 4．3 空间直角坐标系必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例第二章统计2．1 随机抽样 2．2 用样本估计总体 2．3 变量间的相关关系第三章概率3．1 随机事件的概率 3．2 古典概型 3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ） 1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2．2 平面向量的线性运算 2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理 1．2 应用举例 1．3 实习作业第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法 2．2 等差数列 2．3 等差数列的前n项和 2．4 等比数列 2．5 等比数列前n项和第三章不等式3．1 不等关系与不等式 3．2 一元二次不等式及其解法 3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3．4 基本不等式选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系 1．2 充分条件与必要条件 1．3 简单的逻辑联结词 1．4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆 2．2 双曲线 2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 变化率与导数 3．2 导数的计算 3．3 导数在研究函数中的应用 3．4 生活中的优化问题举例选修1－2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用 1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明 2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念 3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4．1 流程图 4．2 结构图选修3－4引言第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义 2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义 2．正多边形的对称变换 3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Ｓn 二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念 2．直积第二讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论。

高中数学必修一课件第一章集合与函数概念 1.3.1.1 函数的单调性

[规律方法] 1.本题逆用函数单调性，将函数值的不等关系，转化为与之等价的代数不等式组，但一定注意定义域．
2．设x1，x2∈D，且x1＜x2： (1)f(x1)＜f(x2)⇔f(x)在D上是增函数； (2)f(x1)＞f(x2)⇔f(x)在D上是减函数．
【活学活用 3】已知函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且 f(x)在区间[－2,2]上是增函数，f(1－m)＜f(m)，求实数 m 的取值范围．解 ∵f(x)在[－2,2]上是增函数，且 f(1－m)＜f(m)，
类型二求函数的单调区间【例 2】画出函数 y＝－x2＋2|x|＋1 的图象并写出函数的单调区间． [ 思路探索 ] 去绝对值 → 化为分段函数 → 作图象 → 求单调区间
解 y＝－－xx22＋－22xx＋＋11，，xx≥＜00，，即 y＝－－xx－＋1122＋＋22，，xx≥ ＜00，. 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
高一数学必修一
第一章集合与函数概念 1．3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性
【课标要求】 1．理解函数的单调性的概念． 2．掌握判断函数单调性的一般方法．【核心扫描】 1．单调性的概念．(重点、难点) 2．判断函数的单调性及函数单调性的应用．(重点)
新知导学 1．定义域为I的函数f(x)的增减性
探究点3 若函数f(x)在定义域内的两个区间A、B上都是减(增) 函数，你能认为f(x)在区间A∪B上是减(增)函数吗？提示不能．如f(x)＝在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但不能说它在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，如取x1＝－1＜1＝x2，有f(－1)＝－1＜1＝f(1)，不满足减函数．

高中数学人教A版必修1目录

高中数学人教A版必修1目录第一章集合与函数概念
1.1集合
1.1.1集合的含义与表示(2课时)
1.1.2集合的基本关系(1课时)
1.1.3 集合的基本运算(1课时)
1.2函数及其表示
1.2.1函数的概念(2课时)
1.2.2函数的表示方法(2课时)
1.3函数的基本性质
1.3.1单调性与最大(小)值(2课时)
1.3.2奇偶性(1课时)
第二章基本初等函数(1)
2.1指数函数
2.1.1指数与指数幂的运算(3课时) 2.1.2指数函数及其性质(1课时)
2.2对数函数
2.2.1对数与对数运算(3课时)
2.2.2对数函数及其性质(2课时) 2.3幂函数(1课时)
第三章函数的应用
3.1函数与方程
3.1.1方程的根与函数的零点(1课时)
3.1.2用二分法求方程的近似解(1课时)
3.2函数模型及其应用
3.2.1几类不同增长的函数模型(1课时)
3.2.2函数模型的应用实例(2课时)。

高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值(第2课时)函数的最大(小)值

坐标
第三页，共二十五页。
知识拓展(tuò zhǎn)1.定义中的M是一个函数值,它是值域的一个元素,如函数
f(x)=-x2(x∈R)的最大值为0,有f(0)=0.
2.最大(小)值定义中的“任意”是说对定义域内的每一个值都必须满足不等
式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立,也就是说,y=f(x)的图
大值是
.。答案:1。(2)依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值.。分析:(1)证明单调性
的流程为:取值→作差→变形→判断符号(fúhào)→结论。(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.。
论:
对称轴 x=h 与[m,n]
的位置关系
f(x)的单调性
最大值
最小值
h<m
在区间[m,n]
上单调递增
f(n)
f(m)
h>n
在区间[m,n]
上单调递减
f(m)
f(n)
f(n)
f(h)
f(m)或 f(n)
f(h)
f(m)
f(h)
m≤h<
m≤h≤n h=
2
m+n
m+n
2
m+n
2
< ℎ≤n
在区间[m,h]
D.既无最大值,也无最小值

解析:∵函数f(x)=2x-1在x∈[0,1)上单调(dāndiào)递增,
∴f(x)在x=0时取得最小值,无最大值.
答案:B
第五页，共二十五页。
2 . 最值
定义
几何意义
说明
函数的最大值和最小值统称为函数的最值
函数 y=f(x)的最值是图象最高点或最低点的纵坐标

高中数学第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值第2课时

第2课时函数的最大值、最小值学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(难点).2.会借助单调性求最值(重点).3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法(重点).知识点函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论称M 是函数y ＝f (x )的最大值称M 是函数y ＝f (x )的最小值几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标 f (x )图象上最低点的纵坐标【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数f (x )都有最大值和最小值.( )(2)若存在实数m ，使f (x )≥m ，则m 是函数f (x )的最小值.( )(3)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小值是f (a )，最大值是f (b ).( )提示 (1)× 反例：f (x )＝x 既无最大值，也无最小值.(2)× 若使m 是f (x )的最小值，还需在f (x )的定义域内存在x 0，使f (x 0)＝m .(3)√ 由于f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，所以f (a )≤f (x )≤f (b ).故f (x )的最小值是f (a )，最大值是f (b ).题型一用图象法和函数的单调性求函数的最值【例1】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.则f (x )的最大值、最小值分别为________，________. (2)求函数f (x )＝xx －1在区间[2，5]上的最大值与最小值.(1)解析作出函数f (x )的图象(如图).由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1.当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0. 答案 1 0(2)解任取2≤x 1<x 2≤5，则f (x 1)＝x 1x 1－1，f (x 2)＝x 2x 2－1， f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2（x 2－1）（x 1－1）.∵2≤x 1<x 2≤5，∴x 1－x 2<0，x 2－1>0，x 1－1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x 2)<f (x 1). ∴f (x )＝xx －1在区间[2，5]上是单调减函数.∴f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2，f (x )min ＝f (5)＝55－1＝54.规律方法1.图象法求最值的步骤2.利用函数的单调性求最值的两个易错点(1)求函数的最值时应首先求函数的定义域，在定义域内进行.(2)求函数在闭区间上的最值，易出现的失误是不判断函数的单调性而直接将两端点值代入，认为是函数的最值.【训练1】已知函数f (x )＝x ＋1x.(1)求证f (x )在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f (x )在[1，4]上的最大值及最小值. (1)证明任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋1x 1)－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2. ∵1≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， ∴x 1x 2－1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数.(2)解由(1)可知，f (x )在[1，4]上递增， ∴当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝2，当x ＝4时，f (x )max ＝f (4)＝174.综上所述，f (x )在[1，4]上的最大值是174，最小值是2.题型二函数最值的实际应用【例2】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2（0≤x ≤400），80 000 （x ＞400）.其中x 是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 解 (1)设月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000（0≤x ≤400），60 000－100x （x ＞400）.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000；∴当x ＝300时，f (x )max ＝25 000，当x ＞400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数，f (x )＜60 000－100×400＜25 000.∴当x ＝300时，f (x )max ＝25 000，即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元.规律方法求解实际问题的四个步骤(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系).(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转化成函数问题.(3)求解：选择合适的数学方法求解函数.(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测.特别提醒：求解实际问题的步骤也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤.【训练2】某水厂蓄水池有水450吨，水厂每小时向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为8020t吨.现在开始向池中注水并同时向居民供水，多少小时后蓄水池中水量最少？解设t小时后，池中水量为y吨，则y＝450＋80t－8020t＝4(20t－10)2＋50，当20t＝10，即t＝5时，y min＝50，所以5小时后蓄水池中水量最少，最少为50吨.(2)求函数y＝－x2－2x＋2的单调区间.解(1)函数y＝x2－2x＋2的图象是开口向上，对称轴为x＝1的抛物线，故其单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是(1，＋∞).(2)函数y＝－x2－2x＋2的图象是开口向下，对称轴为x＝－1的抛物线，故其单调递减区间是(－1，＋∞)，单调递增区间是(－∞，－1).【探究2】函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[－1，0]，[－1，2]，[2，3]上的最大值和最小值分别是什么？解函数f(x)＝x2－2x＋2的图象开口向上，对称轴为x＝1.(1)因为f(x)在区间[－1，0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1，0]上的最大值为f(－1)＝5，最小值为f(0)＝2；(2)因为f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，则f(x)在区间[－1，2]上的最小值为f (1)＝1，又因为f (－1)＝5，f (2)＝2，f (－1)>f (2)，所以f (x )在区间[－1，2]上的最大值为f (－1)＝5.(3)因为f (x )在区间[2，3]上单调递增，所以f (x )在区间[2，3]上的最小值为f (2)＝2，最大值为f (3)＝5.【探究3】已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1， (1)求f (x )在[0，1]上的最大值；(2)当a ＝1时，求f (x )在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值.解 (1)因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，其对称轴为x ＝a2，所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，当a 2≤12，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ；当a 2>12，即a >1时，f (x )的最大值为f (0)＝1. (2)当a ＝1时，f (x )＝x 2－x ＋1，其图象的对称轴为x ＝12.①当t ≥12时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数，∴f (x )min ＝f (t )＝t 2－t ＋1；②当t ＋1≤12，即t ≤－12时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数，∴f (x )min ＝f (t ＋1)＝t 2＋t ＋1；③当t <12<t ＋1，即－12<t <12时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t ＋1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34.规律方法含参数的二次函数最值问题的解法解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，再依a 的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴x ＝－h 得出顶点的位置，再根据x 的定义区间结合大致图象确定最大或最小值.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型： (1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值； (2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值； (3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.课堂达标1.函数f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2，2])的最小、最大值分别为( ) A.3，5 B.－3，5 C.1，5D.5，－3解析因为f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2，2])是单调递减函数，所以当x ＝2时，函数的最小值为－3.当x ＝－2时，函数的最大值为5. 答案 B2.函数y ＝x 2－2x ，x ∈[0，3]的值域为( ) A.[0，3] B.[－1，0] C.[－1，＋∞)D.[－1，3]解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0，3]，∴当x ＝1时，函数y 取得最小值为－1，当x ＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]，故选D. 答案 D3.若函数y ＝ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A.2 B.－2 C.2或－2D.0解析由题意a ≠0，当a >0时，有(2a ＋1)－(a ＋1)＝2，解得a ＝2；当a <0时，有(a ＋1)－(2a ＋1)＝2，解得a ＝－2.综上知a ＝±2. 答案 C4.函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上的最大值为________.解析 ∵6－x 在区间[2，4]上是减函数，－3x 在区间[2，4]上是减函数，∴函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝6－2－3×2＝－4. 答案－45.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x （0≤x ≤2），2x －1（x >2），求函数f (x )的最大值、最小值.解作出f (x )的图象如图：由图象可知，当x ＝2时，f (x )取最大值为2；当x ＝12时，f (x )取最小值为－14.所以f (x )的最大值为2，最小值为－14.课堂小结1.函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得，即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a ).2.二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.基础过关1.函数f (x )在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ) A.f (－2)，0 B.0，2 C.f (－2)，2D.f (2)，2解析由图象可知，此函数的最小值是f (－2)，最大值是2. 答案 C2.已知f (x )＝1x，则y ＝f (x )在区间[2，8]上的最小值与最大值分别为( )A.18与12B.13与1 C.19与13D.18与13解析 y ＝1x 在[2，8]上单调递减，故当x ＝8时，y min ＝18，当x ＝2时，y max ＝12.答案 A3.函数f (x )＝11－x （1－x ）的最大值是( )A.54B.45C.43D.34解析因为1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以0＜11－x （1－x ）≤43.故f (x )的最大值为43.答案 C4.函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－3，－1]，－x －1，x ∈（－1，4]的最小值为________，最大值为________.解析由题意可知，当x ∈[－3，－1]时，y min ＝－2；当x ∈(－1，4]时，y min ＝－5，故最小值为－5，同理可得，最大值为0. 答案－5 05.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析设矩形花园的宽为y ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大.答案 20 6.已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3，5]. (1)判断函数f (x )的单调性，并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值. (1)证明任取x 1，x 2∈[3，5]且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝3（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. ∵3≤x 1<x 2≤5，∴x 1－x 2<0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在[3，5]上为增函数.(2)解由(1)知，f (x )在[3，5]上为增函数，则f (x )max ＝f (5)＝47，f (x )min ＝f (3)＝25.7.如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m ，问每间笼舍的宽度x 为多少时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间最大面积为多少？解由题意知笼舍的宽为x m ，则笼舍的长为(30－3x )m ，每间笼舍的面积为y ＝12x (30－3x )＝－32(x －5)2＋37.5，x ∈(0，10).当x ＝5时，y 取得最大值37.5，即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积y 达到最大，最大面积为37.5 m 2.能力提升8.若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A.(0，4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析 ∵f (x )＝x 2－3x －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－254，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，又f (0)＝f (3)＝－4，故由二次函数图象可知(如图)：m 的值最小为32，最大为3，即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，故选C.答案 C9.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A.90万元 B.60万元 C.120万元D.120.25万元解析设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元.答案 C10.函数g (x )＝2x －x ＋1的值域为________.解析设x ＋1＝t (t ≥0)，则x ＋1＝t 2，即x ＝t 2－1，∴y ＝2t 2－t －2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－178，t ≥0，∴当t ＝14时，y min ＝－178，∴函数g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－178，＋∞.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－178，＋∞11.函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)上有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝________.解析 y ＝－(x －3)2＋18，∵a <b <3， ∴函数y 在区间[a ，b ]上单调递增，∴当x ＝b 时，y max ＝－b 2＋6b ＋9＝9，解得b ＝0(b ＝6不合题意，舍去)，当x ＝a 时，y min ＝－a 2＋6a ＋9＝－7，解得a ＝－2(a ＝8不合题意，舍去).答案－2 012.求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[－1，1]上的最小值.解函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a ，且函数图象开口向上.①当a >1时，f (x )在[－1，1]上单调递减(如图(1)所示)，故f (x )min ＝f (1)＝3－2a ；②当－1≤a ≤1时，f (x )在[－1，1]上先减后增(如图(2)所示)，故f (x )min ＝f (a )＝2－a 2；③当a <－1时，f (x )在[－1，1]上单调递增(如图(3)所示)，故f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .综上可知f (x )的最小值为f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a （a >1），2－a 2 （－1≤a ≤1），3＋2a （a <－1）.13.(选做题)某专营店销售某运动会纪念章，每枚进价5元，同时每销售一枚这种纪念章需向筹委会交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元，则增加销售400枚，而每增加一元，则减少销售100枚.现设每枚纪念章的销售价格为x 元，x 为整数.(1)写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x (元)的函数关系式，并写出这个函数的定义域；(2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出最大值.解 (1)依题意y ＝⎩⎪⎨⎪⎧[2 000＋400（20－x ）]（x －7），7<x ≤20，x ∈N *，[2 000－100（x －20）]（x －7），20<x <40，x ∈N *，所以y ＝⎩⎨⎧－400[（x －16）2－81]，7<x ≤20，x ∈N *，－100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4722－1 0894，20<x <40，x ∈N *，定义域为{x ∈N *|7<x <40}.(2)因为 y ＝⎩⎨⎧－400[（x －16）2－81]，7<x ≤20，x ∈N *，－100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4722－1 0894，20<x <40，x ∈N *，所以当7<x ≤20时，则x ＝16时，y max ＝32 400(元)；当20<x <40时，则x ＝23或24时，y max ＝27 200(元).综上，当x ＝16时，该特许专营店一年内获得的利润最大，为32 400元.。

2021学年高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1第2课时函数的最大(小)值课件

∵2≤x1＜x2≤5， ∴x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0. ∴f(x2)－f(x1)＜0. ∴f(x2)＜f(x1)． ∴f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上是单调减函数． ∴f(x)max＝f(2)＝2－2 1＝2， f(x)min＝f(5)＝5－5 1＝45.
函数最值的实际应用
设 0＜x1＜x2≤40，则
y1－y2＝1
600x1＋1
x6100－1
600x2＋1
600 x2
＝1
600x1－x2＋1
600x2－x1
x1x2
＝1 600(x1－x2)1－1x61x020
＝1
600(x1－x2)·x1x2－x1x12
600 .
∵0＜x1＜x22＞0，即 y1＞y2.
试画出函数 f(x) ＝ x ＋ |x － 1| 的图
思路点拨：去绝对值符号 ―→ 画分段函数图象 ―→
得最值情况
解：f(x)＝x＋|x－1|＝21xx－＜11x.≥1，图象如图所示．由图象可知，f(x)的最小值为 1，没有最大值．
1．利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对图象易作出的函数求最值较常用．
∵x1，x2∈[3,5]且 x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞ 0.
∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x1)＜f(x2)． ∴函数 f(x)＝xx－＋12在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，当 x＝3 时，函数 f(x)取得最小值 f(3)＝25，当 x ＝5 时，函数 f(x)取得最大值 f(5)＝74.
(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c) 上是增函数，那么函数y＝f(x)，x∈(a，c)，在x＝b处有最小值 f(b)；

高中数学第一章集合与函数的概念1.3函数的基本性质1.3.1第二课时函数的最大(小)值练习新人教A

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第二课时函数的最大(小)值【选题明细表】知识点、方法题号图象法求函数最值1,12单调性法求函数最值3，4,5,7二次函数的最值2,6,8，13函数最值的应用8，9，10,111.函数f（x）的部分图象如图所示，则此函数在[-2，2]上的最小值、最大值分别是（ C )（A）—1，3 （B）0，2 (C）—1,2 (D)3，2解析：当x∈[-2，2］时,由题图可知，x=-2时，f（x)的最小值为f(-2)=—1;x=1时，f(x）的最大值为2。

故选C.2。

函数f（x)=—x2+4x-6,x∈［0，5]的值域为( B ）(A)［—6,—2］(B)[-11，-2］（C)[-11,—6] （D)[—11,-1]解析:函数f（x)=—x2+4x-6=—（x-2)2—2,又x∈[0,5],所以当x=2时，f（x）取得最大值为-(2—2）2—2=—2;当x=5时，f（x)取得最小值为-（5—2)2-2=-11；所以函数f(x)的值域是［-11,—2].故选B。