饮酒驾车的数学模型

饮酒驾车
一、问题重述
饮酒驾车问题主要是分析驾驶员在喝过一定量的酒后，酒精在体内被吸收后，血液中酒精含量上升，影响司机驾车，所以司机饮酒后需经过一段时间后才能安全驾车，国家标准新规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，司机大李在中午12点喝下一瓶啤酒，6小时后检查符合新标准，晚饭地其又喝了一瓶啤酒，他到凌晨2点驾车，被检查时定为饮酒驾车，为什么喝相同量的酒，两次结果不一样？讨论以下问题：
1、对大李碰到的情况做出解释；
2、在喝了3瓶啤酒或半斤低度白酒后多长时间内驾车会违反上述标准，下情况回答：
a.酒是在很短时间内喝的；
b.酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

3、怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

4、根据你的模型讨论：如果天天喝酒，是否还能开车?
二、模型假设
1、酒精从胃转移到体液的速率与胃中的酒精浓度成正比。

2、酒精从体液转移到体外的速率与体液中的酒精浓度成正比。

3、酒精从胃转移到体液的过程中没有损失。

4、测量设备完善，不考虑不同因素所造成的误差。

5、酒精在体液中均匀分布。

三、符号说明
k
:酒精从体外进入胃的速率；
(t):酒精从胃转移到体液的速率；
f
1
(t):酒精从体液转移到体外的速率；
f
2
X(t):胃里的酒精含量；
Y(t)：体液中酒精含量；
V
:体液的容积；
:酒精从胃转移到体液的转移速率系数；
K
1
:酒精从体液转移到体外的转移速率系数；
K
2
C(t):体液中的酒精浓度。

0D ：短时间喝酒情况下进入胃中的初始酒精量。

T ：较长时间喝酒所用的时间或达到浓度最大值所需时间。

四、模型的分析与建立
（一）、模型分析：
假设酒精先以速率0k 进入胃中，然后以速率)(1t f 从胃进入体液，再以速率f 2(t)从体液中排到体外。

根据假设可以建立如图一所示的带有吸收室的单房室系统，其中胃为吸收室，体液为中心室。

图一
（二）模型建立：
用x(t)与y(t)分别表示酒精在胃、体液中的酒精量，c(t)表示酒精在体液中的浓度。

根据酒精从胃进入体液的速度f 1(t)与胃中的酒精量成正比，速率系数为K 1；酒精从血液中排出的速率f 2(t)与血液中的酒精量y(t)成正比，速率系数为K 2，可以建立方程如下：
)()(11t x k t f = （1） )()(22t y k t f = （2）
)()
(10t f k dt
t dx -= （3）
将（1）式代入（3）式可得：
)()
(10t x k k dt
t dx -= （4）
通过移项，上式可以转化为；
01)()
(k t x k dt
t dx =+ （5） 利用一阶线性常微分方程的常数变易法对（5）式求解，可以得到；
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧==+=+=-0
11101
11)0()(1x x A c k k A A e c t x t k （6）
又因为)()(11t x k t f = ，联合（6）式可得：
111111)(A k e c k t f t K +=- （7）
0111k e
c k t
k +=-
00011)(k e k x k t
k +-=-
又对中心室（即体液）可建立方程组如下；
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=0
21)0()()()
(y y t f t f dt
t dy （8） 将（2）式代入（8）式可得；
)()()
(21t y k t f dt
t dy -= 将上式转化为：)()()
(12t f t y k dt
t dy =+ 因为
000111)()(k e k x k t f t k +-=-，将其代入上式可得到：
000121)()()
(k e k x k t y k dt
t dy t k +-=+- （9） 求解（11）式可得；
t
k t k t
k t k e B A e c e k k k x k k k e c t y 121222212001202)(----++=--++
= （10）
（其中 202k k A =
， 1
20
012k k k x k B --=，0222)0(y y c B A ==++） 又酒精浓度为酒精量与体液容积之比，0
)
()(v t y t c =
，即： t k t k e B A e c t c 12333)(--++= （11）
（其中 02
3v c c =
，0203v k k A =，0
120013)(v k k k x k B --=，0333)0(c c C B A ==++）。

（三）模型的讨论：
1、 当酒是在较短时间内喝时
此时有00)0(x D x ==，00=k ，00=c 。

因为有 0203v k k A =
，0120013)(v k k k x k B --=，0
23v c
c = 所以经计算整理后可得：03=A ，0
120
13)(v k k D k B -=
，33B c -=
将A 3，B 3，C 3代入式（11）可以得到：酒在较短时间内喝下去时，体液中的酒精浓度与时间的函数关系式如下所示：
]
333121212[)()(t k t k t k t k t k t k e e A e e B e B e B t c -------=--=+-= （12）
（其中 0
210
13)(v k k D k B A -=
-=）
当t 比较大时，显然K1>>K2,因此可认为：
t k Ae t c 2)(-≈t K A t c 2ln )(ln -=⇒ 利用数表一：
通过Matlab 进行曲线拟合可得：A=14053.1240，K 2=0.388 根据查阅资料可知：一瓶啤酒的酒精量一般为640ml ，密度为810mg/ml 酒精浓度为84.5%所以两瓶啤酒的酒精总量mg D 46656%5.481064020=⨯⨯⨯=
由于体重为70kg,体重的65%左右，体液密度为1.05mg/ml ，所以可得体液的总体积为
33.433100
05.110%657030=⨯⨯⨯=v 毫克/百毫升。

由0
210
1)(v k k D k A -=
可求得：114.21=k 。

可得短时间内喝下两瓶啤酒时血液中的酒精含量与时间的关系式如下；
C （t ）=14053.1246{e -0.388t
-e
2.114t
} （13）
用Matlab 软件画出图形为：
（图二：拟合曲线）
2、 当酒是在较长时间内喝时 我们可将其进行分段讨论。

当t ](，T
0∈时，同样可以得到：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=)()()()()
(2210t y k t f dt t dy t x k k dt
t dx （14）
但此时T
D k 0
0=，x （0）=0，y （0）=0 可得：
t k t k e B A e c t y 12222)(--++=
（其中A 2=
2
k k ，120012k k k x k B --=，0222)0(y y C B A ==++）
根据上式可得到：
t k t k e B A e c t c 12333)(--++=
（ 其中 02
3x c c =， A 3=020y k k ， 0
120013)(v k k k x k B --=） 即：
)
()1()()(12223313333t
k t
k t
k t k t k e
e
B e
A e
B A e B A t c --------=+++-=
可以求得： A 3=
5025909.27732
.4331940.0246656020020=⨯⨯==v Tk D v k k B 33
.433)114.21940.0(246656
)()(012001203⨯--=--=--=v k k T D v k k k =28.0386772
所以可得 :
T
k T k T k T k T k t k Be e e B e e B e A T c 212122]
[)()1()(33------=-=---=
当t T >时，则此时血液中的浓度与时间关系式如下： )(2)(1)(20
211)(][)()
()(T t k T t k T t k e T C e e v k k T x k t c ------+-⨯-=
其中]1[1)(110011001T
k T k e k k k k e k k x k T x ---=+-=
][)
(]1[)(212102020T k T k T k e e k k k e y k k T c -----+-=
综上所述，可得，当T t ≥时 ⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧--+-=
-=+-⨯-=----------][]1[)(]1[)()(][)()()(2121212210
0201
0)()()(0
211T k T k t k T k T t k T t k T t k e e k k k e y k k T c e k k T x e T C e e v k k T x k t c （17） 五、问题的解答
问题一：
假设大李第一次喝酒是在短时间内喝的，根据所建立模型，可知人体中血液中的酒精含量与时间的函数关系式如下；
][0
)21(0
1)(12t k t k e e v k k D k t c ----=
根据求解可得，114.21=k ，K2=0.388，mg D 233280=，33.4330=v 。

所以可求得，][27295.59)(114.21940.0t t e e t c ---=
当6=t 时，可以求得百毫升/2778.18)(mg t c =，小于国家规定的新标准，所以第一次遭遇检查时没有被认定为是饮酒驾驶，见图二
图三
接着，大李在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，此时大李体内还留有第一次喝后残留酒精，所以第二次体内的酒精含量，应该是二喝酒后体内酒精的叠加，此时我们认为大李是在较长时间内喝的，根据所建模型，有：
][][)()()(1212T t k T t k t k t k e e A e e A t c -------+-=
已知，A=59.27295,k 2=0.1940,k 1=2.114,T=6.
所以可以求出当t=14时，ml mg t c 100/3618.20)(=大于国家新规定的20mg/100ml,所以第二次虽然迟了二个小时，但检查出来时，酒精还是超标的，见下图：
图四
所以从以上分析可知，虽然大李是喝相同量的酒，且第二次检查时离喝酒时间比第一次延长了二个小时，但由于第一次喝后体内还留有第一次剩余的酒精，并且第二次是较长时间内喝的比第一次短时间内喝的达到标准所需时间要大，所以第二次会被认定是饮酒驾车，大李的这种遭遇我们可知，一个人人体内血液中的酒精含量不仅与所喝的酒量有关，而且还与喝酒所用的时间快慢及体内血液中原来的酒精含量也有关。

问题二
（1）当酒是在较短时间内喝时，根据已建立的基本模型，可知，人体血液中的酒精含量与时间的函数关系式为：
200210112)()(v k k
e v k k x k ce t c t k t k +--
=-- （18）
因为是短时间喝，此时，00D x =，00=k ，所以上式可转化为：
t k t k e v k k D k ce t c 120
210
1)()(----
= （19）
由于0)0(=c ，所以
][)()(120
210
1t k t k e e v k k D k t c ----=
（20）
因为喝了三瓶啤酒，则有mg D 69984%5.481064030=⨯⨯⨯=，
百毫升33.433100
05.110%65703
0=⨯⨯⨯=v ，1915.02=k ，114.21=k 。

所以： ][81885.177)(114.21940.0t t e e t c ---= 当百毫升毫克/20)(=t c 时，可求得小时261.11=t 。

所以当驾驶员在较短时间内喝下三瓶啤酒时，必须经过11.261小时后开车才不会被认为是饮酒驾车。

（2）当酒是在较长时间内喝时，根据模型可知，人体中血液内洒精的含量与时间的关系式为：
20021012)()(v k k
e v k k k ce t c t k t k +-+
=--
且此时0)0(=x ，T
D k 0
0=
，0)0(=c ，所以上式可转化为： ][)()1()(2120210
020t k t k t k e e T
v k k D e T v k D t c -----+-=
因为已知mg D 699800=，114.21=k ，1940.02=k ，33.4330=v 百毫升，
当百毫升毫克/20)(=t c 时，可以求出407.13=t 小时，所以当驾驶员在较长时间（如二个小时）喝下三瓶啤酒后，必须经过13.407小时后开车才不被认为是饮酒驾车。

问题三：
（1） 短时间内喝酒时 根据所建立模型可知：
][)()(120
210
1t k t k e e V K K D k t c ----=
当)(t c 的导数等于0时，可解得：23.12
12
ln 1ln =--=k k k k T （21）
所以当23.1ln ln 2
12
1=--=
=k k k k T t 时，)(t c 取得最大值，因为T 只与k1,k2有关，从表达
式可知当在较短时间内喝酒时浓度达到最大值的时间与喝酒量无关。

（2）、当酒是在较长时间内喝时 当T t <<0时， ][)()1()(2120
210
020t k t k t k e e v k k k e v k k t c -----+-=
求导得：][)(][)()(122120
211
021********t k t k t k t k t k e e v k k k k e k e k v k k k e v k k k t c -------=+--+=
'
由K 1大于K 2知，0
)(>'t c
体液中酒精浓度不可能在（0，T ）内达到最大值。

当T t >时，)(2)(1)(20
211)(][)()
()(T t k T t k T t k e T c e e v k k T x k t c ------+--=
其中]1[)(21
1011001T k T k e k k k k e k k x k T x ---=+-=
当T 比较大时，)(T X 趋向于
1
k k ，)(T c 趋向于020v k k ，
)(2)(1)(20
211)(][)()
()(T t k T t k T t k e T c e e v k k T x k t c ------+--=
现对)(t c 求导得：
)(0
210)
(02211022)()()(T t k T t k e v k k k e v k k k k k t c -------=
可以由上式推出： )(0
211
0)(0211012)()()(T t k T t k e v k k k k e v k k k k t c -----+--
='
][)()()()(0
211
021T t k T t k e e v k k k k t c ------=
'⇒
由K 1大于K 2知，0
)(<'t c
体液中酒精浓度不可能在t>T 时达到最大值。

综上所述，长时间喝酒时，血液中的酒精含量当喝酒结束时达到最大值。

所以当喝酒时间是二个小时时，在第二小时时含量最高。

问题四:
假设天天喝酒,每次喝酒的量为均匀的,每隔T 时间喝一次酒;当喝酒n 次后,则时间t=nT,T>1.23小时.所以将根据所建的模型,可以进行n 次模型叠加,即表示为:
nT
k nT k T k n T k T k T k T nk T k T k e e e A
e e e A Ae Ae Ae nT c 2222222221)1()(................)([...........)(2----------=+++=+++=
当n ∞→时,上式可近似为T
k T
k e e A nT c 221)(---= 如果要使驾驶员,天天喝酒还能开车不被认定为是引饮酒驾车,则必
将之代入上式
得.20)(≤nT c : A=B
B v k k D k -⨯-1)(0210120≤ 所以33.433)1(20)()1(201210⨯-=-⨯-=B
B k k k B B D 所以可设啤酒瓶数为 a 瓶7.17297297.1124683
.2340≈=≤。

综上所述,如果驾驶员想天天喝酒,天天开车的话,那么必需每天饮酒数量不超过1.7瓶.
模型的评价及推广
1、所建立的模型简洁、明了，便于使用数学工具，如Matlab LINDO 等，降低了编程求
解的难度，缩短了运行时间，提高了工作效率。

2、易于推广，模型是根据酒精在血液里的变化消耗减小规律得出了酒精在血液中的浓
度变化类似药物，进入人体内起药里作用的浓度变化，所以该模型可进一步的推广到药物在人体中的浓度随时间的变化，对医学和临床的治疗，给药等提供了很好的参考价值。

3、不足之处，受到的限制的条件太多，实际情况时人的主观因素影响很大。

给司机朋友的忠告
4、
5、对于喜爱饮酒的司机朋友来说，只要在饮酒时把握住适量的尺度，便不会出现饮酒
驾车的尴尬场面，在现实生活中由于酒后驾车而造成的事故占总交通事故的一半以上，另据统计,我国道路交通事故死亡人数在全国总死亡人数居第七位.世界卫生组织认为,交通事故的“魁首”是酒后驾车，因此道路交通的执法人员对此很重视。

为此我们建立一个数学模型，通过该模型让广大司机朋友能对自己的饮酒情况有所了解，并作出判断自己是否能够驾车。

6、酒精在血液中的含量随时间的变化而减少，从而可以推算出当一名司机在饮酒后，
经过多长时间后驾车不影响其正常驾驶，也就是当司机饮酒后血液中的酒精浓度经过t 时间后，要小于20毫克/百毫升。

7、当以题中的大李为例，当他在中午12点喝酒后其身体内血液中酒精含量升高，经过
6小时，血液中的酒精大部分已排出体外，即血液中酒精含量低于20毫克/百毫升，符合新的驾车标准，但其体血液中仍存在部分酒精，当其晚上再次喝酒时，血液中的酒精浓度又一次升高，使二次进入血液中的酒精相叠加，再经过8小时，血液中酒精浓度便高于20毫克/百毫升超过国家标准。

第二种情况，如果该司机想天天喝酒又能正常开车，假设该司机每次喝酒的量都是一定的，则我们经计算可得出，只
要该司机喝啤酒的总数不超过1.7瓶，他便可以天天喝酒，也不会影响开车。

8、根据人体科学验证,科学家指出适量饮酒有益于身心健康!但是如果饮酒过量或长期
酗酒,会导致麻痹脑部神经,影响视觉,听觉,使人反应迟钝,肥肉失去控制能力,口齿不清等,酒精能破坏肝脏功能,易造成胃发炎,严重时可造成胃溃疡和十二指肠溃疡。

尤其是我们的司机朋友，更要引起高度的重视与关注。

下面我们就以提问的形式阐述饮酒驾车的危害。

9、为什么不能酒后驾车？从科学理论上说，酒精在人体血液内达到一定的浓度。

人对
外界的反应能力及控制能力会下降，尤其是处理紧急情况的能力下降。

一名驾驶员血液中酒精含量达0.064（每100毫升的血液中含有64毫克酒精）水平时，发生交通事故的机会较零点水平高3.5倍；达0.08水平时，发生交通事故的机会较零点水平3.5倍；达0.12水平时，发生交通事故的机会较零点水平高26倍。

对于青年驾驶员而言，血液含量相同的酒精，发生交通事故的机会更高，交通安全埋下了隐患，极有可能发生交通事故，既不利于架车者自身的交通安全，也对周围的交通安全构成了威胁，因此酒后不能架车。

10、我们结合所建立的数学模型和最新颁布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量
阀值与检验》国家标准,给出下面一些特别针对车辆驾驶人员的忠告:
11、(1) 养成良好的生活习惯,经常锻炼身体,增强体质,不酗酒驾车.
12、(2) 过多地、长时间、长期地饮酒对身体的不利影响很大，使体质减弱，体内器
官（特别是肝、胆囊、胃、心脏等）的破坏很大，影响器官的机能。

13、(3) 对车辆的驾驶人员,出车前应不能饮酒.
14、(4) 如果你是一个天天要喝一点酒的驾驶员,喝一瓶啤酒,则你只能呆到5.3小时
后,你血液中的酒精浓度才不会高于国家标准.
15、(5) 在你感觉身体不舒服时,不能喝酒.
16、希望广大的司机朋友们看了这篇文章后能有所启示，正确，科学，适量的饮酒，
既有益于身心健康，也有益于社会。

参考数据
1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物(包括酒精)在血液中的含量与在体液中的含量大体上是一样的。

2.体重约70Kg 的某人在短的时间内喝下两瓶啤酒后，阁一定时间测量他的血液中的酒精含量（毫克/百毫升），得到数据如下：。