统计学7 相关与回归
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统计学课件第七章 相关与回归
2
( y y )
2
(公式2)
10
设 : L xy ( x x )( y y ), L xx ( x x ) 2 , L yy ( y y ) 2 则: r 或:r ( x x )( y y ) ( x x )
2
( y y ) (公式4)
4
第七章 相关与回归分析
STAT
二、相关关系的种类 （一）按相关的程度分 1、完全相关：一个变量的数量变化由另一个变量的数量变化 所唯一确定（函数关系）； 2、不相关：两个变量彼此的数量变化互相独立（没有关系）； 3、不完全相关：两个变量之间的关系介于完全相关和不相关 之间（相关关系有关系，但不确定）。 （二）按相关的方向分 1、正相关：当一个变量的数值增加或减少时，另一个变量的 数值也相应增加或减少。（二者变动方向一致，即同增同减） 2、负相关：当一个变量的数值增加或减少时，另一个变量的 数值则减少或增加。（二者变动方向相反，即一增一减）
（三）相关系数r的计算公式中，协方差与变量标准差的作用 1、协方差（积差平均数）的意义（略） （1）显示x与y是正相关还是负相关
8 3733 539 60
0.9864(高度负相关)
r
xy x
y
( x x )( y y ) ( x x )( y y ) n 2 2 ( x x ) ( y y ) ( x x ) 2 ( y y ) 2 n n 14
( y y )
2
(公式2)
10
设 : L xy ( x x )( y y ), L xx ( x x ) 2 , L yy ( y y ) 2 则: r 或:r ( x x )( y y ) ( x x )
2
( y y ) (公式4)
4
第七章 相关与回归分析
STAT
二、相关关系的种类 （一）按相关的程度分 1、完全相关：一个变量的数量变化由另一个变量的数量变化 所唯一确定（函数关系）； 2、不相关：两个变量彼此的数量变化互相独立（没有关系）； 3、不完全相关：两个变量之间的关系介于完全相关和不相关 之间（相关关系有关系，但不确定）。 （二）按相关的方向分 1、正相关：当一个变量的数值增加或减少时，另一个变量的 数值也相应增加或减少。（二者变动方向一致，即同增同减） 2、负相关：当一个变量的数值增加或减少时，另一个变量的 数值则减少或增加。（二者变动方向相反，即一增一减）
（三）相关系数r的计算公式中，协方差与变量标准差的作用 1、协方差（积差平均数）的意义（略） （1）显示x与y是正相关还是负相关
8 3733 539 60
0.9864(高度负相关)
r
xy x
y
( x x )( y y ) ( x x )( y y ) n 2 2 ( x x ) ( y y ) ( x x ) 2 ( y y ) 2 n n 14
统计学 第七章 相关回归分析
9 21589 .9 1080109.8
（3）分组资料的简捷计算法公式
r
x x y y f x x f y y
2
单变量分组
f
2
r
x x y y f x x f y y
xy 2 x
（5）直线相关系数r的取值含义
r界于-1与1之间 当r<0,表示负相关；r>0,表示正相关
绝对值r
绝对值r
越接近1，线性相关越密切
越接近0，相关程度越弱
经验判断：相关系数在0.3以下为无
相关，0.3～0.5为低度相关，0.5～0.8 为中度相关，0.8以上是高度相关。
三、等级相关系数的测定方法
-110 -104 -88 -80 -46 0 77 126 225 0
12100 10816 7744 6400 2116 0 5929 15876 50625 111606
-10.4 -9.1 -7 -4.5 -1.8 1.1 6.6 9 16.1 0
108.16 82.81 49 20.25 3.24 1.21 43.56 81 259.21 648.44
18 49.6 166.4 308 769.6 1596 3703.6 5215.2 9763.5 21589.9
r
n x 2 ( x ) 2 n y 2 ( y ) 2
统计学7 相关与回归
yy?yy??离差来源于两个方面由于自变量x的取值不同造成的除x以外的其他因素如x对y的非线性影响测量误差等的影响??中央财经大学统计学院46离差分解图xyyxy?10??????yy?y?y?yy???iiyx离差分解图中央财经大学统计学院47两端平方后求和有yy?y?y?y?yyyyyyy??????n??i????????????????????????????????????????????????sst????ssr????????i??i??i??i??i??i??i??i??i??i??i??i??i??i??i??i??i????????????????????????????????????nniinniinniinniiiinniiiinniinniiiiiinniiy?y?yyyyy?y?yyyyy?y?yyyyy?y?y?y?yyyyy?y?y?y?yyyyy?y?y?y?yyyyy?y?yyyy112211221122111111221122112211220022所以有
将 X201129 带入代入回归方程，得到 2011年人均消费支出的预测值。
Y ˆ20 10 1 .560 5 .78 2 2 4 9 2 6.5 1792
中央财经大学统计学院 42
一元线性回归方程的评价和检验
拟合优度 1、决定系数 2、估计标准误差
显著性检验 3、t检验 4、F检验
将 X201129 带入代入回归方程，得到 2011年人均消费支出的预测值。
Y ˆ20 10 1 .560 5 .78 2 2 4 9 2 6.5 1792
中央财经大学统计学院 42
一元线性回归方程的评价和检验
拟合优度 1、决定系数 2、估计标准误差
显著性检验 3、t检验 4、F检验
统计学第七章 相关与回归分析
2 2
y y
或 R 1
y y
ˆ y y
2 2
(7-2)
r的平方r2称为可决系数或判定系数，它就是回归 平方和所占的比重。
y y 2 r 2 y y
2
或
y y 2 r 1 2 y y
由表7－4资料计算相关系数如下：
r
n xy x y n x x
2 2
n y y
2 2
2
10 1213－15.1 731
2
10 26.25－15.1 10 56615－731 1091.9 1091.9 38.49 31789 6.2 178.3 1091.9 0.988 1105.5
若用单变量分组表来计算相关系数， 其计算公式为：
( x x )( y y ) f r ( x x) f ( y y) f f xyf xf yf f x f ( xf ) f y f ( yf )
2 2 2 2 2
最小平方法求出的回归方程及其所代表的回归直线，必 然是最接近各散点的直线，它使各散点与直线的离差总和 为0，离差的平方和为最小。以表7－1资料，求商品销售量 y倚广告费用x的直线回归方程如下：
b n xy x y n x x
大学统计学原理经典课件第七章 相关与回归分析
4000
家庭户数（户） 3 3 6 9 8 34 20 11 6
家庭月平均支出（元） 3025 2820 2652 2486 2255 1960 1536 976 662
家庭月支出
3000
散点图
2000
1000
0 0 2000 4000 6000 8000 10000
家庭月收入
四组数据(每个有两个变量的样本)的散点图
回归：退回 regression
平均身高
1877年 弗朗西斯•高尔顿爵士 学研究 回归线
遗传
（一）回归分析的概念及实质
1.回归分析概念：是对具有相关关系的 两个或两个以上变量之间的数量变化进行数 量测定，配合一定的模型，以便对因变量进 行预测的一种统计分析方法。
2.回归分析的实质：是在相关分析的基 础上，研究现象间的数量变化规律 。
销售额（万元） 10 16 32 40 74 120 197 246 345
流通费用（万元） 1.8 3.1 5.2 7.7 10.4 13.3 18.8 21.2 28.3
流通费用
20
散点图
10
0 0 100 200 300 400
销售额
（二）分组相关表和相关图
某市家庭收入与消费支出相关表
家庭月收入（元） 8000 以上 7000～8000 6000～7000 5000～6000 4000～5000 3000～4000 2000～3000 1000～2000 1000 以下
家庭户数（户） 3 3 6 9 8 34 20 11 6
家庭月平均支出（元） 3025 2820 2652 2486 2255 1960 1536 976 662
家庭月支出
3000
散点图
2000
1000
0 0 2000 4000 6000 8000 10000
家庭月收入
四组数据(每个有两个变量的样本)的散点图
回归：退回 regression
平均身高
1877年 弗朗西斯•高尔顿爵士 学研究 回归线
遗传
（一）回归分析的概念及实质
1.回归分析概念：是对具有相关关系的 两个或两个以上变量之间的数量变化进行数 量测定，配合一定的模型，以便对因变量进 行预测的一种统计分析方法。
2.回归分析的实质：是在相关分析的基 础上，研究现象间的数量变化规律 。
销售额（万元） 10 16 32 40 74 120 197 246 345
流通费用（万元） 1.8 3.1 5.2 7.7 10.4 13.3 18.8 21.2 28.3
流通费用
20
散点图
10
0 0 100 200 300 400
销售额
（二）分组相关表和相关图
某市家庭收入与消费支出相关表
家庭月收入（元） 8000 以上 7000～8000 6000～7000 5000～6000 4000～5000 3000～4000 2000～3000 1000～2000 1000 以下
7统计学相关分析与回归分析
37
某饮料公司销售量与气温之间关系数据， 试建立回归方程并检验
时期 销售量(箱) 气温(度) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
430 335 520 490 470 210 195 270 400 480 30 21 35 42 37 20 8 17 35 25
600 500 400 300 200 100 0 0 10 20 30 40 50
中度线性相关。 显著性检验略。
19
产出
回归分析
回归分析法。由著名的英国生物学家、统计学家高尔 顿（F.Gallton）——达尔文的表弟所创。 早年，高尔顿致力于化学和遗传学领域的研究。他研
究父亲们的身高与儿子们的身高之间的关系时1889年
F.Gallton和他的朋友K.Pearson收集了上千个家庭的身 高、臂长和腿长的记录，企图寻找出儿子们身高与父
1
n
1
n
10
10
ˆ b0 b1 x 117 9.74 x y
39
可决系数
总离差 和分解图
36
可决系数的特点
可决系数是非负的统计量； 可决系数取值范围： 0 r 2
1 ；
r2=1时，SSE=0,表示全部观测值落在所拟合的回归直线上
r2=0时，SSR=0,表示Y与X无关，离差完全由于随机因素解释
某饮料公司销售量与气温之间关系数据， 试建立回归方程并检验
时期 销售量(箱) 气温(度) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
430 335 520 490 470 210 195 270 400 480 30 21 35 42 37 20 8 17 35 25
600 500 400 300 200 100 0 0 10 20 30 40 50
中度线性相关。 显著性检验略。
19
产出
回归分析
回归分析法。由著名的英国生物学家、统计学家高尔 顿（F.Gallton）——达尔文的表弟所创。 早年，高尔顿致力于化学和遗传学领域的研究。他研
究父亲们的身高与儿子们的身高之间的关系时1889年
F.Gallton和他的朋友K.Pearson收集了上千个家庭的身 高、臂长和腿长的记录，企图寻找出儿子们身高与父
1
n
1
n
10
10
ˆ b0 b1 x 117 9.74 x y
39
可决系数
总离差 和分解图
36
可决系数的特点
可决系数是非负的统计量； 可决系数取值范围： 0 r 2
1 ；
r2=1时，SSE=0,表示全部观测值落在所拟合的回归直线上
r2=0时，SSR=0,表示Y与X无关，离差完全由于随机因素解释
统计学 第七章相关与回归分析
负线性相关
统计学
STATISTICS
非线性相关
不相关
统计学
STATISTICS
三、相关关系分析的方法
7 - 13
（一）相关分析
统计学
STATISTICS
1、相关分析主要用于测定具有相关关系的 变量之间相互关系的密切程度。
2、是回归分析的基础。
3、分析方法主要有：绘制散点图、编制相 关表、计算项关系数等。
统计学
STATISTICS
第二节相关分析
7 - 18
统计学
STATISTICS
一、相关表和相关图
7 - 19
相关表与相关图 （概念要点）
统计学
STATISTICS
1、相关表和相关图是研究相关关系的直观工具。一般在进 行详细的定量分析之前，可以利用它们对现象之间存在 的相关关系的方向、形式和密切程度做大致的判断。
2. 设有两个变量 x 和 y ，变量
y 随变量 x 一起变化，并完 y
全依赖于 x ，当变量 x 取某 个数值时， y 依确定的关系 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量
3. 各观测点落在一条线上
x
7 -6
函数关系
(几个例子)
统计学
统计学
STATISTICS
统计学相关分析与回归分析
r=1
完全正相关
r=-1
完全负相关
第七章 回归分析
12
相关关系散点图
完全正线性相关
正线性相关
第七章 回归分析
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
13
第三节 回归分析
▪ 一、回归分析的概念 ▪ 二、一元回归 ▪ 三、多元线性回归
第七章 回归分析
14
一、 回归分析的概念
变量之间的关系是确定的。
S=πR2
（二）相关关系：
变量之间的关系确实存在，但不明 确、不固定。
▪ 例：身高与体重的关系。
第七章 回归分析
4
二、相关关系的种类
（一）根据相关关系的方向划分
正相关 负相关
变量之间的变化方向一致 变量之间的变化方向相反
第七章 回归分析
5
（二）根据相关关系的表现形态不同划分
23
（1）回归统计表
▪ Multiple R（复相关系数R）：衡量变量x 和y之间相关程度的大小。
▪ R Square(复测定系数R2 )：说明用自变量
解释因变量变差的程度，以测量同因变量y 的拟合效果。
第七章 回归分析
24
▪ （2）方差分析表
36.42
13
629
6.675
36.58
14
统计学 第 七 章 相关与回归分析
第七章
相关与回归分析
第一节 第二节 第三节
第四节
相关分析 一元线性回归分析 线性回归的显著性检验与 回归预测 多元线性回归分析
第一节 相关分析
一、函数关系与相关关系
确定性的函数关系 Y = f(X)
变量之间的依存关系是严格的， 它们的关系是固定不变的，对于某一 种变量的取值，另一变量都有一完全 确定的值与之相对应；这种关系，我 们称之为函数关系。
y2
81 225 900 900
2025 1225
2500
5776 3600 6400 10000 12100 45732
解:r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
12 89394 1295 640
12 178207 1295 2 12 45732 640 2
0.9625
“回归”这个术语是英国著名统计学家 Francis Galton 在19 世纪末期研究孩子及 他们的父母的身高时提出来的。Galton 发现 身材高的父母，他们的孩子较高。但是这些 孩子平均起来并不象他们的父母那样高。对 于比较矮的父母情形也类似：他们的孩子比 较矮，但这些孩子的平均身高要比他们的父 母的平均身高高。正是因为子代的身高有回 到父辈平均身高的这种趋势，才使人类的身 高在一定时间内相对稳定，没有出现父辈个 子高其子女更高，父辈个子矮其子女更矮的 两极分化现象。
相关与回归分析
第一节 第二节 第三节
第四节
相关分析 一元线性回归分析 线性回归的显著性检验与 回归预测 多元线性回归分析
第一节 相关分析
一、函数关系与相关关系
确定性的函数关系 Y = f(X)
变量之间的依存关系是严格的， 它们的关系是固定不变的，对于某一 种变量的取值，另一变量都有一完全 确定的值与之相对应；这种关系，我 们称之为函数关系。
y2
81 225 900 900
2025 1225
2500
5776 3600 6400 10000 12100 45732
解:r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
12 89394 1295 640
12 178207 1295 2 12 45732 640 2
0.9625
“回归”这个术语是英国著名统计学家 Francis Galton 在19 世纪末期研究孩子及 他们的父母的身高时提出来的。Galton 发现 身材高的父母，他们的孩子较高。但是这些 孩子平均起来并不象他们的父母那样高。对 于比较矮的父母情形也类似：他们的孩子比 较矮，但这些孩子的平均身高要比他们的父 母的平均身高高。正是因为子代的身高有回 到父辈平均身高的这种趋势，才使人类的身 高在一定时间内相对稳定，没有出现父辈个 子高其子女更高，父辈个子矮其子女更矮的 两极分化现象。
统计学-第七章-相关分析与回归分析
其中
xi X i X yi Yi Y
xi 和 yi 是样本值与均值的离差。
特例 Yi X i ui
X iYi
X
2 i
第二节 一元线性回归分析
4. 模型参数的点估计：最小二乘法OLS
【例7-4】我们利用例7-1的表7-3的数据计算该公司广告费对 年销售收入的回归方程（直线）。 解：
第一，观察原始数据的散点图；
回归参数的估计值，求回归系数 ˆ1 的置信区间。 解：
由 [ˆ1 - t / 2 (n 2)
e2 i
(n 2)
x2 i
, ˆ1
t
/2
(n
2)
e2 i
]
(n 2)
x2 i
得 [0.3032 - 2.262 49.782 ,0.3032 2.262 49.782 ]
9 4598 .909
0.9459
(11 41487 6372 ) (11 4182 2022 )
可见，广告费与销售收入间存在高度的相关关系。
第一节 相关分析
4. 样本相关系数(Pearson)显著异于0的T检验
在二维总体(X,Y)服从正态分布的前提下，Fisher给出了 检验简单相关系数(Pearson)显著异于0的 t 统计量如下：
Yˆ ˆ0 ˆ1 X 0.8056 0.3032X
第二节 一元线性回归分析
《统计学》 第七章 相关与回归分析
第七章相关与回归分析
（一）填空题
1、相关关系按其相关的程度不同，可分为、和。
2、相关系数的正负表示相关关系的方向，r为正值，两变量是；r为负数，两变量是。
3、r=0，说明两个变量之间；r=+1，说明两个变量之间；
r=-1说明两个变量之间。
4、一元线性回归方程中的参数a代表，数学上称为；b代表，数学上称为。
5、分析要根据研究的目的确定哪一个为自变量，哪一个为因变量，在这一点与分析时不同。
6、相关关系按方向不同，可分为和。
7、完全线性相关的相关系数r值等于。
8、计算回归方程要注意资料中因变量是的，自变量是的。
9、回归方程只能用于由推算。
（二）单项选择题（在每小题备选答案中，选出一个正确答案）
1、相关分析研究的是( )
A. 变量之间关系的密切程度
B. 变量之间的因果关系
C. 变量之间严格的相互依存关系
D. 变量之间的线性关系
2、相关关系是（）
A、现象间客观存在的依存关系
B、现象间的一种非确定性的数量关系
C、现象间的一种确定性的数量关系
D、现象间存在的函数关系
3、下列情形中称为正相关的是( )
A. 随着一个变量的增加，另一个变量也增加
B. 随着一个变量的减少，另一个变量增加
C. 随着一个变量的增加，另一个变量减少
D. 两个变量无关
4、当自变量x的值增加，因变量y的值也随之增加，两变量之间存在着（）
A、曲线相关
B、正相关
C、负相关
D、无相关
5、相关系数r的取值范围是( )
A. B. C. D.
6、当自变量x的值增加，因变量y的值也随之减少，两变量之间存在着
（）
A、曲线相关
B、正相关
C、负相关
第7单元 相关与回归分析
联系与相互影响是普遍的现象
受教 育的 水平
工作 后的 收入
预防 疾病 支出
疾病 的发 病率
另外还有一种关系
例如：圆的周长与圆半径： 例如：圆的周长与圆半径： 圆周长=2 圆周长=2 π × 圆半径
确定性关系 函数关系
L = 2π × r
身高与体重： 身高与体重： 一般身高越高, 一般身高越高, 身高越高 一般身高越低, 一般身高越低, 身高越低
y 1608 2035 2396 2208 4490 7326 11546 31609
x2
∑x2
y2
∑y2
∑xy
7086244 20693401 23532201 29637136 126023076 504451600 1193495209 1904918867
2585664 4141225 5740816 4875264 20160100 53670276 133310116 224483461
相关图表和相关系数
一、相关关系的一般判断 二、相关关系的测定——相关系数 相关关系的测定 相关系数
一、相关关系的一般判断
（一）定性分析 （二）相关表 （三）相关图
（一）定性分析
在分析现象之间相关关系的具体数量之前， 在分析现象之间相关关系的具体数量之前， 先要对现象进行定性分析。 先要对现象进行定性分析。
统计学 第七章 相关与回归分析
( x − x ) 2 = ∑ x 2 − 1 (∑ x ) 2 ∑ n 2 = y 2 − 1 ( y)2 ∑ ( y − y) ∑ ∑ n
Lxy = n ∑ xy − (∑ x) ⋅ (∑ y)
Lxx = n ∑ x 2 − (∑ x ) 2
r=
L xy L xx L yy
L yy = n ∑ y 2 − (∑ y)2
xy
( y − y) 2 ∑
σ xσ y
3.相关系数的其他公式 相关系数的其他公式
• （1）积差法公式： ）积差法公式： • • （2）积差法简化式： ）积差法简化式： r= • • （3）简捷公式： ）简捷公式： •
∑ ( x − x)( y − y) r=
nσ xσ y
∑ ( x − x )( y − y ) ∑ (x − x) ⋅ ∑ ( y − y)
分组。 分组。 自变量→ 因变量→ 注：自变量→X轴；因变量→Y轴。
30 家同类企业的有关资料 单位成本 y 产量 x（件） (元/件) 20 30 40 50 18 4 — — — 16 4 3 1 1 15 1 2 3 3 14 — — 1 2 合计 9 5 5 6 合 计 4 9 10 7 30
x
（相关关系）
相关关系的例子
商品的消费量(y)与居民收入 之间的关系 商品的消费量 与居民收入(x)之间的关系 与居民收入 商品销售额(y)与广告费支出 之间的关系 商品销售额 与广告费支出(x)之间的关系 与广告费支出 粮食亩产量(y)与施肥量 1) 、降雨量 2) 、 降雨量(x 粮食亩产量 与施肥量(x 与施肥量 温度(x 之间的关系 温度 3)之间的关系 收入水平(y)与受教育程度 之间的关系 收入水平 与受教育程度(x)之间的关系 与受教育程度 父亲身高(y)与子女身高 之间的关系 父亲身高 与子女身高(x)之间的关系 与子女身高
管理统计学：第7章 相关与回归分析
华南理工大学精品课程
19
7.1.2 相关分析的测定
相关程度的判定 ①∣r∣< 0.3，为无线性相关； ②0.3≤∣r∣＜0.5，为低度线性相关； ③0.5≤∣r∣＜0.8，为显著线性相关； ④∣r∣≥0.8，一般称为高度线性相关。 以上说明必须建立在相关系数通过显著性检验的
基础之上。
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• 相关关系（非确定性关系）：它反映现象之间确实存 在的，但关系数值不固定的相互依存关系。这一概念 表明： (1)相关关系是指现象之间确实存在数量上的相互依存 关系。 (2)现象之间数量依存关系的具体关系值不是固定的。
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8
7.1.1 相关分析的概念及原理
• 相关关系与函数关系的联系
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14
7.1.2 相关分析的测定
3．相关系数
用来说明变量之间在直线相关条件下相关关系密切程
度和方向的统计分析指标。就参数统计而言，常用的是
皮尔逊积矩相关系数(Pearson)：即协方差与两变量标准
差乘积的比值，是没有量纲的、标准化的协方差。其公
式定义为：
(x x)(y y)
r
行分析、探讨，并修正你的模型？
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3
学习内容
相关分析与回归分析的基本概念和原理 线性回归方法的参数估计 线性回归方法的模型检验 线性回归方法的应用
第7章 相关与回归分析(高等教育出版社)
d
2
。
（5）代入斯皮尔曼等级相关系数公式,计算 rs 值。
7 - 24
统计学
STATISTICS
7．2 一元线性回归分析
一、相关与回归分析的联系 二、总体回归函数与样本回归函数 三、回归系数的最小二乘估计 四、拟合优度的检验
7 - 25
统计学
STATISTICS
一、相关分析与回归分析的联系
（一）回归的古典意义 高尔顿遗传学的回归概念
相关图：又称散点图，它是利用直角坐标系的x轴
代表一个变量，y轴代表另一个变量，将两个变量 间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来，用以 表明相关点分布状况的图形。例：教材第217页图 7.3所示。
7-9
统计学 二、相关系数的计算—积差法 STATISTICS
（一）简单线性相关系数 1.总体相关系数 对于所研究的总体，表示两个相互联系的变量之间的 相关程度。总体相关系数为：
值（即数量标志值）都是数值的情况下，而且是属于线性关 系。如果两个变量X和Y是以品质标志出现的，要研究它们之 间是否具有相关关系，则要用等级相关系数进行计算。 ☆等级相关系数侧重于观测现象的等级，就是把有关联的品质 标志按其表现排列成等级次序（当然数量标志值更容易排成 等级次序），形成X、Y的两个序数数列，再测定这两个序数 数列之间的相关程度，用这种方法计算的相关指标，就叫等 级相关系数。
2
。
（5）代入斯皮尔曼等级相关系数公式,计算 rs 值。
7 - 24
统计学
STATISTICS
7．2 一元线性回归分析
一、相关与回归分析的联系 二、总体回归函数与样本回归函数 三、回归系数的最小二乘估计 四、拟合优度的检验
7 - 25
统计学
STATISTICS
一、相关分析与回归分析的联系
（一）回归的古典意义 高尔顿遗传学的回归概念
相关图：又称散点图，它是利用直角坐标系的x轴
代表一个变量，y轴代表另一个变量，将两个变量 间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来，用以 表明相关点分布状况的图形。例：教材第217页图 7.3所示。
7-9
统计学 二、相关系数的计算—积差法 STATISTICS
（一）简单线性相关系数 1.总体相关系数 对于所研究的总体，表示两个相互联系的变量之间的 相关程度。总体相关系数为：
值（即数量标志值）都是数值的情况下，而且是属于线性关 系。如果两个变量X和Y是以品质标志出现的，要研究它们之 间是否具有相关关系，则要用等级相关系数进行计算。 ☆等级相关系数侧重于观测现象的等级，就是把有关联的品质 标志按其表现排列成等级次序（当然数量标志值更容易排成 等级次序），形成X、Y的两个序数数列，再测定这两个序数 数列之间的相关程度，用这种方法计算的相关指标，就叫等 级相关系数。
生物统计学第7章 回归与相关
Call: lm(formula = y ~ 1 + x)
Residuals: 123456
5.243 6.206 -7.631 -10.869 -6.406 13.457
例 7.1 R语言实现
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 458.5829 12.3986 36.99 3.19e-06 ***
相关关系的两种情况：一种是一个变量的变化受到另一个变量制约的主从 关系（又称为因果关系），另一种是两个变量间的关系是共同受到另 外因素影响的结果。
根据涉及的变量多少，相关可分为单相关、复相关和偏相关。
单相关：研究两个变量之间的关系，它包括直线相关和曲线相关 复相关和偏相关：研究三个或三个以上变量间的关系，统称为多元相关。
要使这条直线能最好地代表各点，各点离这条直线的距离平方和需最小，即
Q ( y yˆ)2 ( y a bx)2
为最小。
采用使误差平方和Q达到最小值的方法，即最小二乘法求a与b的值。根据微 分学，参数a，b应满足方程
Q a
2
Q
2
b
i i
( yi a bxi ) 0 ( yi a bxi )xi 0
xi )(
i
n
yi
) 174187
相关主题
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全正相关，而r＝－1为完全负相关。 注意：当r=0时，只是表明两个变量之间不
存在线性关系，它并不意味着X与Y之间不 存在其他类型的相关关系。
h15
相关系数的显著性检验
样本相关系数r受到抽样波动的影响，是一 个随机变量。
相关系数非常高的样本也有可能来自无相 关关系的总体。为了排除这种情况，需要 对相关系数进行假设检验。
h13
相关系数的计算
350 300 250 200 150 100
50 0 0
x x 0 y y 0
xx xx 0 y y 0
x x 0 y y 0
xx 0 y y 0
2
4
6
8
h14
y y
10
相关系数r 的特征
当r＞0时，X与Y为正相关；当r＜0时，X与 Y为负相关。
没有单位，取值介于－1与1之间。 绝对值越接近1说明关系越密切。r＝1为完
h10
散点图
人 均 20.00 消 费 支 出
15.00
10.00
5.00
0.00 0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
人均可支配收入
h11
相关系数的计算及其检验
相关系数（Coefficient of Correlation）是 用来衡量变量之间相关程度的指标，根据 变量的多少和属性可以有多种不同的计算 方法。
h3
函数关系与相关关系
当一个变量取一定数值时，另一个变量有确 定值与之相对应，这种关系称为函数关系。
当一个变量取一定数值时，与之相对应的另 一变量的数值虽然不确定，但它仍按某种规 律在一定的范围内变化，这种关系称为相关 关系。
对相关关系的分析是统计学的重要研究内容。 主要研究方法：相关分析和与回归分析。
h16
样本能代表总体吗？
如果红色的点碰巧为你的样本，则样 本相关系数为0.907，总体相关系数为
0.00005 350
300
250
200
150
100
50
0
2
4
6
8
h17
相关系数的显著性检验
检验的步骤是：
1、提出假设：H0： ；H1： 0
2、 计算检验的统计量：
t r n2 ~t(n2) 1r2
h4
相关分析与回归分析
相关分析（Correlation Analysis）研究变量 之间相关的方向和相关的程度，但无法给 出变量间相互关系的具体形式，因而无法 从一个变量推测另一个变量。
回归分析（Regression) 可以确定变量之间 相互关系的具体形式（回归方程），确定 一个变量对另一个变量的影响程度，并根 据回归方程进行预测。
h7
自变量和因变量
如果两个变量中一个变量是另一个变量变 化的结果，那么 代表原因的变量称为自变量 [Independent (Explanatory) Variable]， 代表结果的变量称为因变量 [Dependent (Response) Variable] 。
在散点图中习惯上把因变量绘制在纵 轴上。
h20
7．2 一元线性回归分析
总体回归函数 、样本回归函数 一元线性回归模型的估计 一元线性回归模型的检验
h21
趋向中间高度的回归
回归这个术语是由英国著名统计学家Francis Galton在19世纪末期研究孩子及他们的父母的身高 时提出来的。Galton发现身材高的父母，他们的孩 子也高。但这些孩子平均起来并不像他们的父母那 样高。对于比较矮的父母情形也类似：他们的孩子 比较矮，但这些孩子的平均身高要比他们的父母的 平均身高高。 Galton把这种孩子的身高向中间值 靠近的趋势称之为一种回归效应，而他发展的研究 两个数值变量的方法称为回归分析。
衡量两个定量变量之间线性相关程度的常 用指标是皮尔逊（ Pearson）相关系数。
通常以ρ表示总体的相关系数，以r表示样 本的相关系数。
h12
相关系数的计算及其检验
总体相关系数 的定义式是：
Co(vX,Y)
Va(rX)Va(Yr)
样本相关系数
r (xx)(yy)
的定义公式是：
(xx)2(yy)2
h22
Regression 的原始释义
h23
回归模型的类型
回归模型
一元回归
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
h24
总体回归函数
描述因变量y如何依赖于自变量x和随机误差项ε 的方 程称为回归函数。总体回归函数的形式如下：
h5
相关分析的类型
根据相关关系的类型和程度可以有以下分
类：
相关关系
完全相关
不完全相关
不相关
线性相关 非线性相关
h6
散点图 Scatter Diagram
散点图是观察两个变量之间的相关 程度和类型最直观的方法。
散点图是在直角坐标系中用相对应 的两个变量值作为图中一个点的横 坐标和纵坐标描点得到的图形。
第七章 相关与回归分析
相关分析 一元线性回归 多元线性回归 回归分析的其他问题
h
学习目标
掌握两个或多个变量之间相关关系的分析 方法。
能够根据收集到的数据估计一元和多元回 归方程，并对结果进行解释。
掌握回归分析模型的各类检验方法。
h2
7.1 相关分析
函数关系与相关关系 相关分析与回归分析 散点图 相关系数
h19
注意：相关关系≠因果关系！
典型的错误推断： 统计分析表明，庆祝生日次数越 多的人越长寿。因此，庆祝生日有利于健康。 调查表明，世界各国人均电视机拥有量与预期寿 命存在很强的正相关性。因此，电视机拥有量越 高，预期寿命越长。 对小学各年级学生的抽样调查表明，学生的识字 水平与他们鞋子的尺寸高度正相关。因此，学生 穿的鞋越大，他的识字水平就越高。
h8
用散点图观察变量之间的相关关系
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
h9
非线性相关
不相关
例题7.1
教材中的表7.1是 1985-2007年北京市城镇 居民人均年消费性支出（变量Y）和人均年 可支配收入（变量X）的有关资料，请对X 和Y变量进行相关分析 。
3、 确定显著性水平，并作出决策 • 若 t >t，拒绝H0 • 或者：若p值< ，拒绝H0
h18
消费支出和可支配收入的相关系数
计算结果：
t检验值为
Βιβλιοθήκη Baidu
消费支出
可支配收 入
消费支出 可支配收入 1
0.9968
1
tr n20.99682157.1981 1r2 10.99682
临界值t（21）＝2.08，故拒绝H0，认为相关系数 显著。
存在线性关系，它并不意味着X与Y之间不 存在其他类型的相关关系。
h15
相关系数的显著性检验
样本相关系数r受到抽样波动的影响，是一 个随机变量。
相关系数非常高的样本也有可能来自无相 关关系的总体。为了排除这种情况，需要 对相关系数进行假设检验。
h13
相关系数的计算
350 300 250 200 150 100
50 0 0
x x 0 y y 0
xx xx 0 y y 0
x x 0 y y 0
xx 0 y y 0
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y y
10
相关系数r 的特征
当r＞0时，X与Y为正相关；当r＜0时，X与 Y为负相关。
没有单位，取值介于－1与1之间。 绝对值越接近1说明关系越密切。r＝1为完
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散点图
人 均 20.00 消 费 支 出
15.00
10.00
5.00
0.00 0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
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人均可支配收入
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相关系数的计算及其检验
相关系数（Coefficient of Correlation）是 用来衡量变量之间相关程度的指标，根据 变量的多少和属性可以有多种不同的计算 方法。
h3
函数关系与相关关系
当一个变量取一定数值时，另一个变量有确 定值与之相对应，这种关系称为函数关系。
当一个变量取一定数值时，与之相对应的另 一变量的数值虽然不确定，但它仍按某种规 律在一定的范围内变化，这种关系称为相关 关系。
对相关关系的分析是统计学的重要研究内容。 主要研究方法：相关分析和与回归分析。
h16
样本能代表总体吗？
如果红色的点碰巧为你的样本，则样 本相关系数为0.907，总体相关系数为
0.00005 350
300
250
200
150
100
50
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相关系数的显著性检验
检验的步骤是：
1、提出假设：H0： ；H1： 0
2、 计算检验的统计量：
t r n2 ~t(n2) 1r2
h4
相关分析与回归分析
相关分析（Correlation Analysis）研究变量 之间相关的方向和相关的程度，但无法给 出变量间相互关系的具体形式，因而无法 从一个变量推测另一个变量。
回归分析（Regression) 可以确定变量之间 相互关系的具体形式（回归方程），确定 一个变量对另一个变量的影响程度，并根 据回归方程进行预测。
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自变量和因变量
如果两个变量中一个变量是另一个变量变 化的结果，那么 代表原因的变量称为自变量 [Independent (Explanatory) Variable]， 代表结果的变量称为因变量 [Dependent (Response) Variable] 。
在散点图中习惯上把因变量绘制在纵 轴上。
h20
7．2 一元线性回归分析
总体回归函数 、样本回归函数 一元线性回归模型的估计 一元线性回归模型的检验
h21
趋向中间高度的回归
回归这个术语是由英国著名统计学家Francis Galton在19世纪末期研究孩子及他们的父母的身高 时提出来的。Galton发现身材高的父母，他们的孩 子也高。但这些孩子平均起来并不像他们的父母那 样高。对于比较矮的父母情形也类似：他们的孩子 比较矮，但这些孩子的平均身高要比他们的父母的 平均身高高。 Galton把这种孩子的身高向中间值 靠近的趋势称之为一种回归效应，而他发展的研究 两个数值变量的方法称为回归分析。
衡量两个定量变量之间线性相关程度的常 用指标是皮尔逊（ Pearson）相关系数。
通常以ρ表示总体的相关系数，以r表示样 本的相关系数。
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相关系数的计算及其检验
总体相关系数 的定义式是：
Co(vX,Y)
Va(rX)Va(Yr)
样本相关系数
r (xx)(yy)
的定义公式是：
(xx)2(yy)2
h22
Regression 的原始释义
h23
回归模型的类型
回归模型
一元回归
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
h24
总体回归函数
描述因变量y如何依赖于自变量x和随机误差项ε 的方 程称为回归函数。总体回归函数的形式如下：
h5
相关分析的类型
根据相关关系的类型和程度可以有以下分
类：
相关关系
完全相关
不完全相关
不相关
线性相关 非线性相关
h6
散点图 Scatter Diagram
散点图是观察两个变量之间的相关 程度和类型最直观的方法。
散点图是在直角坐标系中用相对应 的两个变量值作为图中一个点的横 坐标和纵坐标描点得到的图形。
第七章 相关与回归分析
相关分析 一元线性回归 多元线性回归 回归分析的其他问题
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学习目标
掌握两个或多个变量之间相关关系的分析 方法。
能够根据收集到的数据估计一元和多元回 归方程，并对结果进行解释。
掌握回归分析模型的各类检验方法。
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7.1 相关分析
函数关系与相关关系 相关分析与回归分析 散点图 相关系数
h19
注意：相关关系≠因果关系！
典型的错误推断： 统计分析表明，庆祝生日次数越 多的人越长寿。因此，庆祝生日有利于健康。 调查表明，世界各国人均电视机拥有量与预期寿 命存在很强的正相关性。因此，电视机拥有量越 高，预期寿命越长。 对小学各年级学生的抽样调查表明，学生的识字 水平与他们鞋子的尺寸高度正相关。因此，学生 穿的鞋越大，他的识字水平就越高。
h8
用散点图观察变量之间的相关关系
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
h9
非线性相关
不相关
例题7.1
教材中的表7.1是 1985-2007年北京市城镇 居民人均年消费性支出（变量Y）和人均年 可支配收入（变量X）的有关资料，请对X 和Y变量进行相关分析 。
3、 确定显著性水平，并作出决策 • 若 t >t，拒绝H0 • 或者：若p值< ，拒绝H0
h18
消费支出和可支配收入的相关系数
计算结果：
t检验值为
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消费支出
可支配收 入
消费支出 可支配收入 1
0.9968
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tr n20.99682157.1981 1r2 10.99682
临界值t（21）＝2.08，故拒绝H0，认为相关系数 显著。