高一数学教案：《函数的表示方法》人教A版必修_1

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人教版高中数学必修第一册函数的表示方法教案(一)

函数的表示方法(一)三维目标一、知识与技能1.能熟练掌握函数的三种不同表示.2.了解函数不同表示法的优缺点.3.了解分段函数及其表示.4.会求某些函数的解析式.二、过程与方法1.自主学习，了解函数表示形式的多样性和转化方法.2.探究与活动，明白何时的函数用何种方法表示适宜.3.增强动态意识、通过观察、对比、分析，发展辩证思维能力.三、情感态度与价值观培养学生重要数学思想方法——数形结合与分类讨论思想方法，激发学生学习的热情.教学重点函数的三种不同表示的相互间转化.教学难点函数的解析式的表示，理解和表示分段函数.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的材料.教学过程一、创设情景，引入新课师：在前面的课中，我们已经初步研究函数的概念和表示方法.今天我们再专门研究函数的表示方法.〔板书：函数的表示方法〕师：请考察下面三个函数：投影胶片1〔或多媒体制作镜头1〕：估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如表所示，你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？师：该题是用的什么方法来表示函数的？生：这是一份表格.师：这位同学说得很好.这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.投影胶片2〔或多媒体制作镜头2〕：一物体从静止开始下落，下落的距离y〔m〕与下落时间x〔s〕之间近似地满足关系式y=4.9x2.假设一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？师：这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析式法.这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式.投影胶片3〔或多媒体制作镜头3〕：y4x上图为某市一天24请问：〔1〕上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？〔2〕在什么时刻，气温为0℃？师：这个问题我们用图象表示了时刻与气温的关系，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.二、讲解新课1.函数的表示法〔1〕解析法解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这个数学表达式叫做函数的解析式，简称为解析式，如S=60t2，S=2πrl，y=ax+b，y=ax2+bx+c〔a≠0〕等等，都是用解析式法表示的函数关系.解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段所研究的主要是能够用解析式表示的函数.〔2〕图象法图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质.图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股市走势图等.〔3〕列表法列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，表格法在实际生产和生活中也有广泛应用.如银行利率表、列车时刻表等.2.例题讲解[例1] 教科书P22例3.本例介绍了一个可以用三种表示方法来表示的函数.通过这个例子可以达到以下目的：〔1〕让学生体会到三种表示方法各自的优点.并且，本例后的“思考〞为学生比较三种表示方法提供了机会，教学时教师应注意不要让学生错过这个机会.对于“所有的函数是否能用解析法表示〞，学生比较难以回答，教学时不妨先举一些例子启发学生，然后再由学生试着举一些例子.〔2〕使学生看到函数的图象可以是一些离散的点，这与学生以前接触到的一次函数、二次函数的图象是连续的曲线有很大的差别，教学时要考虑到学生的认知基础，强调y=5x〔x∈R〕是连续的直线，但y=5x〔x∈{1，2，3，4，5}〕却是5个离散的点，由此又让学生看到，函数概念中，对应关系、定义域、值域是一个整体.函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.本例边框中的问题“判断一个图形是不是函数图象的依据是什么?〞，应在组织学生讨论后获得结论“平行于y轴的直线〔或y轴〕与图形至多一个交点〞.[例2] 教科书P23例4.本例利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、X 城、赵磊的各次考试成绩及各次考试的班级平均分.由表格区分三位同学的成绩高低不直观，所以教科书选择了图象法表示.教学时要培养学生根据实际需要选择恰当的函数表示法的能力.要注意的是，图中的虚线不是函数图象的组成部分，之所以用虚线连接散点，主要是为了区分这三个函数，并且让三个函数的图象具有整体性，以方便比较.教学时应引导学生观察图象，学习如何从图象上获取有用信息，为分析每位同学的学习情况提供依据.[例3] 教科书P 24例5.本例的主要目的有两个：一是让学生进一步体会数形结合在理解函数中的重要作用，二是为介绍分段函数作准备.[例4] 教科书P 24例6. 本例的主要目的有以下几点：〔1〕让学生尝试用数学表达式去表达实际问题；〔2〕学习分段函数及其表示；〔3〕注意在数学模型中全面反映问题的实际意义；〔4〕让学生根据这个例题的边框要求，自行设计任意两站之间的票价表以方便售票员与乘客，体会在不同情境中使用恰当的函数表示法.由上述例3和例4归纳出分段函数的概念如下： 2.分段函数有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值X 围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数.实际生活中，出租车的计费、电信资费、个人所得税额等均是分段函数. [例5] 求以下函数的解析式：〔1〕f 〔x 〕是二次函数，且f 〔0〕=2，f 〔x +1〕－f 〔x 〕=x －1，求f 〔x 〕；〔2〕f 〔x +1〕=x +2x ，求f 〔x 〕，f 〔x +1〕，f 〔x 2〕；〔3〕f 〔x x 1+〕=221xx ++x 1，求f 〔x 〕；〔4〕3f 〔x 〕+2f 〔－x 〕=x +3，求f 〔x 〕. 方法引导：〔1〕由f 〔x 〕是二次函数，所以可设f 〔x 〕=ax 2+bx +c 〔a ≠0〕设法求出a 、b 、c 即可.〔2〕假设能将x +2x 适当变形，用x +1的式子表示就好办了.〔3〕视xx 1+为一整体不妨设为t ，然后用t 表示x ，代入原表达式求解. 〔4〕x 、－x 同时使得f 〔x 〕有意义，用－x 代x 建立关于f 〔x 〕、f 〔－x 〕的两个方程就好了. 解：〔1〕设f 〔x 〕=ax 2+bx +c 〔a ≠0〕，由f 〔0〕=2，得c =2.由f 〔x +1〕－f 〔x 〕=x －1，得恒等式2ax +a +b =x －1，得a =21，b =－23.故所求函数的表达式为f 〔x 〕=21x 2－23x +2. 〔2〕∵f 〔x +1〕=x +2x =〔x 〕2+2x +1－1=〔x +1〕2－1，又∵x ≥0，x +1≥1， ∴f 〔x 〕=x 2－1〔x ≥1〕.〔3〕设x x 1+=t ，那么x =11-t ，t ≠1. 那么f 〔t 〕=f 〔x x 1+〕=221x x ++x 1=1+21x+x 1=1+〔t －1〕2+〔t －1〕=t 2－t +1. ∴f 〔x 〕=x 2－x +1〔x ≠1〕.〔4〕∵3f 〔x 〕+2f 〔－x 〕=x +3， ① x 用－x 代得3f 〔－x 〕+2f 〔x 〕=－x +3. ②解①②得f 〔x 〕=x +53. 方法技巧：求函数解析式常见的题型有：〔1〕解析式类型的，如本例〔1〕，一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意一般式〔y =ax 2+bx +c 〔a ≠0〕〕，顶点式〔y =a 〔x －h 〕2+k 〕和标根式〔y =a 〔x －x 1〕〔x －x 2〕〕的选择.〔2〕f ［g 〔x 〕］求f 〔x 〕型问题方法一是用配凑法；方法二是用换元法.如本例〔2〕、〔3〕.〔3〕函数方程问题，需建立关于f 〔x 〕的方程组，如本例〔4〕.假设函数方程中同时出现f 〔x 〕、f 〔x1〕，那么一般x 用x1代之，构造另一方程. 特别要指出的是，求函数解析式均应严格考虑函数的定义域. 三、课堂练习教科书P 27练习题1，2，3.答案：1.y =x 25002x -〔0＜x ＜50)，图象如下.140012001000800600400200102030405060O x y2.〔1〕题与D 图，〔2〕题与A 图，〔3〕题与B 图吻合得最好，剩下与C 图相符的一件事可能为：我出发后感到时间较紧，所以加速前进，后来发现时间还很充裕，于是放慢了速度. 3.x四、课堂小结1.本节学习的数学知识：函数的表示法、分段函数、函数解析式的求法. 2.本节学习的数学方法：定义法、换元法、待定系数法、数形结合与分类讨论的思想方法.五、布置作业板书设计1.2.2 函数的表示法〔1〕1.函数的表示法〔1〕解析法〔2〕图象法〔3〕列表法例1例2例3例42.分段函数例5课堂练习课堂小结。

高中数学函数的表示法教案新人教A版必修1

高中数学函数的表示法教案新人教A版必修1教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．教学过程：一、引入课题1.复习：函数的概念；2.常用的函数表示法及各自的优点：（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法．二．新课教学（一）典型例题例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略）注意：○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○2解析法：必须注明函数的定义域；○3图象法：是否连线；○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95张城90 76 88 75 86 80赵磊68 65 73 72 75 82班平均分88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：（略）注意：○1本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；○2本例能否用解析法？为什么？例3．画出函数y = | x | ．解：（略）例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．解：设票价为y元，里程为x公里，同根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x的取值范围是{x∈N*| x≤19}．由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：注意：○1本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；○2本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？说明：象上面两例中的函数，称为分段函数．注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．三、归纳小结，强化思想理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．。

函数的表示法第1课时高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册+

1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将
g(x)代入即可.
2.待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函
数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解
方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.
3.换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的
钱数y
1
5
2
10
3
15
4
20
5
25
用图象法可将函数y＝f(x)
表示为右图.
注意：
①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、
离散的点等等；
②解析法：必须注明函数的定义域；
③图象法：是否连线；
④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的
特征．
例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学
三、典例探究
例1．某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需
要y元，试用三种表示法表示函数y=f(x)．
解：这个函数的定义域是数集{1，2， 3，4，5}.
用解析法可将函数y=f（x）表示为 y=5x, x∈{1，2， 3，4，5}
用列表法可将函数y=f(x)表示为
笔记本数x
函数，用图象法表示函数y＝f(x)，
如图所示．
由图可看到：
王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比较稳定
而且成绩优秀；
张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，
而且波动幅度较大；
赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步
提高.
思考：三种表示方法各有什么特点？

【人教A版高一数学必修1教案】函数的表示方法(一)

《函数的表示方法(一)》教案一、教学目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.二、教学重点：图像法、列表法、解析法表示函数.三、教学过程：1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法.2、图像法：如果图形F 是函数)(x f y =的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.3、如果在函数)(x f y =)(A x ∈中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法.4、与x 轴垂直的直线至多与函数的曲线有一个交点.5、用计算机软件画出函数x x y 1+=，31)3(+++=x x y ，111-+-=x x y ，x x y 1+=的图像 420244202455-x 1x+x 3+()1x 3+()+x 1-()1x 1-()⎡⎢⎣⎤⎥⎦+x 1x +44-x6、讨论分别用a x -，a y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？7、讨论分别用x -，y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？8、讨论分别用ax ，by 分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？ 9、讨论分别用||x ，|)(|x f 分别替换函数)(x f y =中的x ，)(x f 以后函数的图像会发生哪些变化？10、试作出下列函数的图像：（1）43-+=x x y （2）11-=x y 11、若)3()3(x f x f +=-，那么函数)(x f 的图像有何性质？ 12、)3(x f y -=与)3(x f +的图像之间有何关系13、第44页例3课堂练习：教材第45页练习A 、B小结：本节课学习了图像法、列表法、解析法表示函数. 课后作业：第58页习题2-1B 第5题。

高一数学教案：《函数的表示方法》人教A版必修

教学目标：知识与技能：进一步理解函数的概念，了解函数表示的多样性，能熟练掌握函数的三种不同的表示方法；过程与方法：在理解掌握函数的三种表示方法基础上，了解函数不同表示法的优缺点，针对具体问题能合理地选择表示方法；情感态度与价值观：通过教学，培养学生重要的数学思想方法——分类思想方法．教学重点：函数的表示．教学难点：针对具体问题合理选择表示方法．教学过程：一、激趣导学：二、质疑讨论： 1．函数的表示方法：2．三种不同方法的优缺点：函数的表示方法缺点列表法对应关系清晰直接不连贯，容量小解析法便于用解析式研究函数的性质抽象，不直观图象法直观形象，整体把握图象过程比较繁3．三种不同方法的相互转化：能用解析式表示的，一般都能列出符合条件的表、画出符合条件的图，反之亦然；列表法也能通过图形来表示．三、反馈矫正：1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数，并指出该函数的值域．变题：某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个．将条件变换成：“某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出110个”呢?2．如图，是一个二次函数的图象的一部分，试根据图象中的有关数据，求出函数f (x )的解析式及其定义域．3．已知)(x f 是一次函数，且[]14)(-=x x f f ，求)(x f 的解析式。

四、归纳小结：1．函数表示的多样性；2．函数不同表示方法之间的联系性；3．待定系数法求函数的解析式．五、巩固迁移：1．1 nmile(海里)约为1854m ，根据这一关系，写出米数y 关于海里数x 的函数解析式．2．用长为30cm 的铁丝围成矩形，试将矩形的面积S(cm 2)表示为矩形一边长x (cm)的函数，并画出函数的图象．3．已知f (x )是一次函数，且图象经过(1，0)和(－2，3)两点，求f (x )的解析式．4．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x －4，求f (x )的解析式．六、教学反思：。

高中数学函数的表示方法教案(第一课时)新课标人教版必修1(A)

函数的表示方法〔第一课时〕教学目标：1.进一步理解函数的概念；2.使学生掌握函数的三种表示方法；教学重点：函数的表示方法教学难点：函数三种表示方法的选择教学方法：自学法和尝试指导法教学过程：〔Ⅰ〕引入问题 1.回忆函数的两种定义； 2.函数的三要素分别是什么？3．设函数22(2)()2(2)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，那么(4)f -= ，假设0()8f x =，那么0x = 。

〔II 〕讲授新课函数的三种表示方法〔1〕解析法〔将两个变量的函数关系，用一个等式表示〕：如222321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等。

优点：⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变〔2〕列表法〔列出表格表示两个变量的函数关系〕：如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。

优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。

〔3〕图象法〔用图象来表示两个变量的函数关系〕：如：优点：直观形象地表示自变量的变化。

〔III 〕例题分析：例1〔书P 22〕.某种笔记本的单价是5元，买x 〔{1,2,3,4,5}x ∈个笔记本需要y 元,试用函数的三种表示法表示函数()y f x =。

解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，用解析法可以将函数()y f x =表示为5y x =，{1,2,3,4,5}x ∈。

用列表法可以将函数()y f x =表示为笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 510152025图象法略。

说明：函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。

例2．下表是某校高一〔1〕班三名同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。

分析：画出“成绩〞与“测试时间〞的函数图象，可以直观地看出：王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀。

高中数学必修一(人教新A版)教案7函数的表示法1

难点
根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象．
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
（一）创设情景，揭示课题．
我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的定义域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题．
（二）研探新知
1．函数有哪些表示方法呢？
（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种）
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？
解：
注意：
①本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点：
②本例能否用解析法？为什么？
1
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班平均分
例3．画出函数的图象
解：
2
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计

新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第三章函数概念与性质《函数的概念及其表示：函数的表示方法》

教学设计：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第三章函数概念与性质《函数的概念及其表示：函数的表示方法》教学目标（核心素养）1.数学抽象：学生能够理解并掌握函数的三种基本表示方法（解析式、列表法、图像法），并能根据具体情境选择合适的表示方法。

2.逻辑推理：通过分析不同表示方法下的函数实例，学生能够推导出函数的基本性质，如定义域、值域、单调性等。

3.数学建模：培养学生将实际问题抽象为数学模型的能力，特别是能够运用函数的不同表示方法来构建数学模型。

4.数学运算：在理解函数表示方法的基础上，学生能够进行简单的函数运算和性质分析。

5.数学交流：通过小组合作和课堂展示，学生能够清晰、准确地表达自己对函数表示方法的理解和应用。

教学重点•掌握函数的三种基本表示方法（解析式、列表法、图像法）。

•理解并能灵活应用不同表示方法解决实际问题。

教学难点•理解函数图像与解析式、列表法之间的内在联系，能够相互转化。

•在复杂情境中准确选择和应用合适的函数表示方法。

教学资源•多媒体课件（包含函数实例、图像展示、动画演示等）。

•教材及配套习题册。

•黑板和粉笔/白板和笔，用于板书和演示。

•数学软件（如GeoGebra、Desmos）用于实时绘制函数图像和进行性质分析。

教学方法•讲授与演示结合：利用多媒体展示函数实例和图像，辅助讲解函数表示方法。

•小组合作学习：分组讨论函数实例，共同探究不同表示方法的优缺点和适用情境。

•问题驱动法：通过提出问题引导学生主动思考，加深对函数表示方法的理解和应用。

•实践操作法：利用数学软件绘制函数图像，进行性质分析，提高学生的实践能力。

教学过程导入新课•情境创设：展示一个实际问题的情境（如汽车速度随时间变化的问题），引导学生思考如何描述这种变化关系。

•问题引入：提问“我们有哪些方式来表示这种变化关系（即函数）？”引出函数的不同表示方法。

新课教学1.解析式法：•讲解解析式法的定义和特点，强调其精确性和一般性。

人教A版高中数学必修一人教①教案集函数的表示方法

2.1.2函数的表示方法(二)教学目标：根据要求求函数的解析式、了解分段函数及其简单应用教学重点：函数解析式的求法教学过程：1、分段函数由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表引出问题：若设信函的重量为（克）应支付的资费为元，能否建立函数的解析式？导出分段函数的概念。

通过分析课本第46页的例4、例5进一步巩固分段函数概念，明确建立分段函数解析式的一般步骤，学会分段函数图象的作法可选例：1、动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始运动，沿正方形ABCD 的运动路程为自变量，写出P 点与A 点距离与的函数关系式。

2、在矩形ABCD 中，AB ＝4m ，BC ＝6m ，动点P 以每秒1m 的速度，从A 点出发，沿着矩形的边按A→D→C→B 的顺序运动到B ，设点P 从点A 处出发经过秒后，所构成的△ABP 面积为m 2，求函数的解析式。

3、以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象。

2、补充综合例题例1根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式(1)221)1(xx x x f +=+ x x f x f 3)1(2)()2(=+ （3）13)2(2++=-x x x f 注：（1）观察法（2）方程法（3）换元法例2设二次函数)(x f 满足：)2()2(--=-x f x f 且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f 的解析式例3设)(x f 为定义在R 上的偶函数，当1-≤x 时，)(x f y =得图像经过)0,2(-，斜率为1的射线，又在)(x f y =的图像中有一部分是顶点为)2,0(，且过点（-1，1）的一段抛物线，试写出函数)(x f 的表达式，并作出函数)(x f 的图像例4用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为x 2，求此框架围成的面积y 与x 的函数解析式.例5．设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g (x )]。

人教A版高中数学必修一第二章教案函数的表示法,分段函数,区间

第四教时教材：函数的表示法，分段函数，区间。

目的：要求学生明确函数的三种表示方法，继而要求学生掌握分段函数的概念和区间的概念。

过程：一、复习：函数的概念提出课题：函数的表示法。

常用的函数表示法有三种：解析法、列表法、图象法。

二、解析法：定义：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式。

它的优点是：关系清楚，容易求函数值、研究性质。

例：加速度公式： 221gt s = （如 260t s =）圆面积公式： π=A 2r 圆柱表面积： rl s π2=二次函数 c bx ax y ++=2 )0(≠a 2-=x y （x ≥2）又例： 31--+=x x y 我们可用“零点法”把绝对值符号打开，即：31--+=x x y =⎪⎩⎪⎨⎧--4224x 3311>≤<--≤x x x这一种函数我们把它称为分段函数。

三、列表法：定义：列出表格来表示两个变量的函数关系。

它的优点是：不必通过计算就能知道函数对应值。

例：初中接触过的平方表，平方根表，立方表，立方根表，三角函数表，汽车、火车站的里程价目表等等。

又如：1984-1994年国民生产总值表。

P52四、图象法定义：用函数图象表示两个变量之间的关系。

例：平时作的函数图象：二次函数、一次函数、反比例函数图象。

又如：气象台温度的自动记录器，记录的温度随时间变化的曲线（略）人口出生率变化曲线（见P53）略它的优点是：直观形象地表示出函数变化情况。

注意：函数的图象可以是直线（如：一次函数）、曲线（如：抛物线），也可以是折线及一些孤立的点集（或点）。

例四、例五、例六见P55-56 （略）（注意强调分段函数概念）五、区间见课本P53-54注意：1）这是（关于区间）的定义2）今后视题目的要求，可用不等式、区间、集合表示（答案）3）“闭”与“开”在数轴上的表示4）关于“+∞”“ ∞”的概念六、小结：三种表示法及优点练习：P56 练习七、作业：P57 习题2、2 3，4，5，6。

人教A版高中数学必修一新教案函数的表示方法一

数学必修1：函数的表示方法(一)教学目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数教学重点：图像法、列表法、解析法表示函数[来源:]教学过程：1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法2、图像法：如果图形F 是函数)(x f y =的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.[来源:]3、如果在函数)(x f y =)(A x ∈中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法4、与x 轴垂直的直线至多与函数的曲线有一个交点5、用计算机软件画出函数x x y 1+=，31)3(+++=x x y ，111-+-=x x y ，xx y 1+=的图像 420244202455-x 1x+x 3+()1x 3+()+x 1-()1x 1-()⎡⎢⎣⎤⎥⎦+x 1x +44-x6、讨论分别用a x -，a y -分别替换函数)(x f y =中的x ， y 以后函数的图像会发生哪些变化？7、讨论分别用x -，y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？8、讨论分别用ax ，by 分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？9、讨论分别用||x ，|)(|x f 分别替换函数)(x f y =中的x ，)(x f 以后函数的图像会发生哪些变化？10、试作出下列函数的图像：[来源:]（1）43-+=x x y （2）11-=x y [来源:Z+X+X+K] 11、若)3()3(x f x f +=-，那么函数)(x f 的图像有何性质？12、)3(x f y -=与)3(x f +的图像之间有何关系13、第44页例3课堂练习：教材第45页练习A 、B[来源:]小结：本节课学习了图像法、列表法、解析法表示函数.课后作业：第58页习题2-1B 第5题。

高中数学(2.2函数的表示法第1课时)示范教案新人教a版必修1

高中数学(2整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法:解析法,图象法,列表法.函数的不同表示方法能丰富对函数的认识,关心明白得抽象的函数概念.专门是在信息技术环境下,能够使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现,使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.因此,在研究函数时,要充分发挥图象的直观作用.在研究图象时,又要注意代数刻画以求摸索和表述的精确性.课本将映射作为函数的一种推广,这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化.如此处理,要紧是想较好地衔接初中的学习,让学生将更多的精力集中明白得函数的概念,同时,也表达了从专门到一样的思维过程.三维目标1.了解函数的一些差不多表示法(列表法、图象法、解析法),会依照不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想.2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用,提高应用函数解决实际问题的能力,增加学习数学的爱好.3.会用描点法画一些简单函数的图象,培养学生应用函数的图象解决问题的能力.4.了解映射的概念及表示方法,会利用映射的概念来判定“对应关系”是否是映射,感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用,提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识.重点难点教学重点:函数的三种表示方法,分段函数和映射的概念.教学难点:分段函数的表示及其图象,映射概念的明白得;运用集合两种常用表示——列举法与描述法.课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路 1.语言是沟通人与人之间的联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日欢乐！”用繁体中文为:生日快樂！英文为:Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag!西班牙中称iFeliz CumpleaRos!印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日欢乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是С днем рождения!……那么关于函数,又有什么不同的表示方法呢？引出课题:函数的表示法.思路 2.我们前面差不多学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究那个问题(板书课题).推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法:解析法、图象法和列表法各是如何样表示函数的？讨论结果：(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,那个数学表达式叫做函数的解析式.(2)图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.(3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.应用示例思路11.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).活动：学生摸索函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它能够是解析表达式,能够是图象,也能够是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素. 解：那个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.笔记本数x 1 2 3 4 5钱数y 5 10 15 20 25图1-2-2-1点评：本题要紧考查函数的三种表示法.解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间的关系;能够通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域;图象法的特点是:直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生活中有许多应用,如企业生产图,股市走势图等;列表法的特点是:不需要运算就能够直截了当看出与自变量的值对应的函数值,列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用,如银行利率表、列车时刻表等等.然而并不是所有的函数都能用解析法表示,只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时,如此的函数才可能有解析式,否则写不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:张丹的年龄n(n∈N*)每取一个值,那么他的身高y(单位:cm)总有唯独确定的值与之对应,因此身高y是年龄n的函数y=f(n),然而那个函数的解析式不存在,函数y=f(n)不能用解析法来表示.注意：①函数图象既能够是连续的曲线,也能够是直线、折线、离散的点等等;②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范畴是函数的定义域;③图象法:依照实际情境来决定是否连线;④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特点.变式训练1.已知函数f(x)在［-1,2］上的图象如图1-2-2-2所示,求f(x)的解析式.图1-2-2-2解：观看图象,知此函数是分段函数,同时在每段上均是一次函数,利用待定系数法求出解析式为:当-1≤x≤0时,f(x)=x+1;当0<x<2时,f(x)=2x -,则有f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+.20,21,01,1x x x x2.2007山东青岛第一次调研,理13已知2f(x)+f(-x)=3x+2,则f(x)=________. 分析:由题意得⎩⎨⎧+=++=+2,-3x f(x)2f(-x)2,3x f(-x)2f(x)把f(x)和f(-x)看成未知数,解方程即得. 答案：3x+32 第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟 98 87 91 92 88 95 张城 90 76 88 75 86 80 赵磊 68 65 73 72 75 82 班平均分88.278.385.480.375.782.6活动：学生摸索做学情分析,具体要分析什么？如何分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采纳图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳固,成绩变化趋势. 解：把“成绩”y 看成“测试序号”x 的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2-2-3所示.图1-2-2-3由图1-2-2-3可看到:王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情形比较稳固而且成绩优秀;张城同学的数学成绩不稳固,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大; 赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,说明他的数学成绩稳步提高.点评：本题要紧考查依照实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势. 注意：本例为了研究学生的学习情形,将离散的点用虚线连接,如此便于研究成绩的变化特点.变式训练1.函数y=x 2-4x+6,x∈［1,5)的值域是_________.分析:画出函数的图象,图象上所有点的纵坐标的取值范畴确实是函数的值域. 答案：［2,11)2.将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积y 表示为x 的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去. 解：设矩形一边长为x,则另一边长为21(a-2x),则面积y=21(a-2x)x=-x 2+21ax. 又⎩⎨⎧>>0,2x -a 0,x 得0<x<2a ,即定义域为(0,2a).由于y=-(x 4a -)2+161a 2≤161a 2,如图1-2-2-4所示,结合函数的图象得值域为(0,161a 2］.图1-2-2-43.2007山东高考样题,文8向高为H 的水瓶中注水,注满为止,假如注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图1-2-2-5所示,那么水瓶的形状是( )图1-2-2-5 图1-2-2-6分析:要求由水瓶的形状识别容积V 和高度h 的函数关系,突出了对思维能力的考查. 观看图象,依照图象的特点发觉:取水深h=2H,注水量V′>20V , 即水深为一半时,实际注水量大于水瓶总水量的一半. A 中V′<20V ,C 、D 中V′=20V,故排除A 、C 、D. 答案：B思路21.2007宁夏银川一模,理14已知f(x x +-11)=2211xx +-,则f(x)=________. 活动：学生摸索函数的解析式表达的含义.设xx+-11=t,利用换元法,转化为求f(t).利用整体思想把xx+-11看成一个整体,即可得函数的解析式.要注意函数f(t)与f(x)是同一个函数. 分析:可设x x +-11=t,则有x=tt+-11, 因此f(t)=22)11(1)11(1t t t t +-++--=212t t +,因此f(x)=212x x+.答案：212x x+变式训练课本P 26练习1.点评：本题要紧考查函数的解析式.已知f ［g(x)］=φ(x),求f(x)的解析式时,通常用换元法,其步骤是:①设g(x)=t;②把t 看成常数,解关于x 的方程g(x)=t 得x=h(t);③将x=h(t)代入φ(x),得函数f(t)的解析式;④再用x 替换f(t)的解析式中的t 得函数f(x)的解析式. 事实上求函数的解析式方法专门多,例如方程法:关于已知等式中显现两个不同变量的函数关系式,依据这两个变量的关系,重新建立关于这两个变量的不同等式,利用整体思想,把f(x)和另一个函数看成未知数,解方程组得函数f(x)的解析式.类似于解二元一次方程组,故称为方程法.待定系数法:已知函数的模型求其解析式时,常用待定系数法. 2.已知函数f(x)=273++x x . (1)画出函数f(x)的图象;(2)观看图象写出函数的定义域和值域.活动：学生摸索函数图象的画法.利用变换法画函数f(x)的图象,利用图象法写出函数的定义域和值域.形如函数y=dcx b ax ++(c≠0,a 2+b 2≠0)的图象均可由反比例函数y=x k 的图象通过平移得到,因此函数y=dcx b ax ++(c≠0,a 2+b 2≠0)的图象形状是双曲线.解：(1)y=273++x x =2163+++x x =21+x .将y=x 1的图象向左平移两个单位得y=21+x 的图象,再向上平移三个单位得y=21+x +3的图象.图象如图1-2-2-7所示.图1-2-2-7(2)观看函数的图象图1-2-2-7,可知图象上所有点的横坐标的取值范畴是(-∞,-2)∪(-2,+∞), 图象上所有点的纵坐标的取值范畴是(-∞,3)∪(3,+∞).则函数的定义域是(-∞,-2)∪(-2,+∞),值域是(-∞,3)∪(3,+∞). 点评：本题要紧考查函数的定义域、值域和图象.画不熟悉的函数的图象,能够变形成由差不多函数,利用变换法画出图象,但要注意变形过程是否等价,注意x,y 的变化范畴.因此必须熟记差不多初等函数的图象,如:正、反比例函数,一次、二次函数的图象,在变换函数的解析式中运用了转化和分类讨论的思想. 求函数值域的方法:①图象法,借助于函数值域的几何意义,利用函数的图象求值域;②观看法,关于解析式比较简单的函数,利用常见的结论如x 2≥0,|x|≥0,x≥0等观看出函数的值域;③换元法,利用换元法转化为求常见函数如二次函数的值域等.注意：讨论函数的值域要先考虑函数的定义域,本例中(1)假如忽视函数的定义域,那么会错误地得函数值域为［-1,+∞).幸免此类错误的方法是研究函数时要遵守定义域优先的原则. 变式训练求下列函数的值域:(1)y=x2-2x(-1≤x≤2);(2)y=x4+1.分析:本题要紧考查函数的值域及其求法.(1)借助于函数值域的几何意义,利用函数的图象求值域;(2)观看得x4≥0,得函数的值域,也能够利用换元法转化为求二次函数的值域. (1)解：(图象法)在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-2x(-1≤x≤2)的图象,如图1-2-2-8所示:图1-2-2-8函数y=x2-2x(-1≤x≤2)的图象上所有点的纵坐标的取值范畴确实是函数的值域,观看图象知函数的值域是［-1,3］.(2)解法一：(观看法)函数的定义域是R,则x4≥0,有x4+1≥1,即函数y=x4+1的值域是［1,+∞).解法二：(换元法)函数的定义域是R,设x2=t,则t≥0,则有y=t2+1.利用图象可求得当t≥0时,二次函数y=t2+1的值域是［1,+∞),即函数y=x4+1的值域是［1,+∞).3.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次,其中电动车保管费是每辆一次0.5元,自行车保管费是每次一辆0.3元.(1)若设自行车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的函数关系式;(2)若估量前来停放的3 500辆次自行车中,电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,试求该保管站那个星期日收入保管费总数的范畴.活动：让学生审清题意读明白题.求解析式时不要不记得函数的定义域,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.然后再依照解析式列不等式求解.总的保管费=自行车保管费+电动车保管费.解：(1)由题意得y=0.3x+0.5(3500-x)=-0.2x+1750,x∈N*且0≤x≤3500.(2)若电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,则3500×(1-40%)≤x≤3 500×(1-25%),即2100≤x≤2 625,画出函数y=-0.2x+1750(2 100≤x≤2 625)的图象,可得函数y=-0.2x+1750(2100≤x≤2625)的值域是［1225,1330］,即收入在1225元至1330元之间.点评：本题要紧考查函数的解析式和值域,以及应用函数知识解决实际问题的能力.解函数应用题的步骤是①审清题意读明白题;②恰当设未知数;③列出函数解析式,并指明定义域;④转化为函数问题,并解决函数问题;⑤将数学问题的答案还原为实际答案.变式训练2007山东实验中学级第一次诊断性测试,文13水池有2个进水口,1个出水口,每个水口进出水的速度如图1-2-2-9甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图1-2-2-9丙所示(至少打开一个水口).图1-2-2-9给出以下三个论断:①0点到3点只进水不出水; ②3点到4点不进水只出水; ③4点到6点不进水不出水; 其中一定正确的论断是( )A.①B.①②C.①③D.①②③分析:由图1229甲可看出,假如进水口与出水口同时打开,每个进水口的速度为出水口速度的一半,即v 进水=21v 出水;由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加,因此在现在间段内一定是两个进水口均打开,出水口关闭,故①正确.由图丙可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少,因此在现在间段内一定是一个进水口打开,出水口打开,故②不正确.由图丙可看出在4点到6点之间蓄水量不变,因此在现在间段内一定是两个进水口打开,出水口打开,或者两个进水口关闭,出水口关闭,故③不正确.综上所述论断仅有①正确. 答案：A 知能训练课本P 23练习2、3. 【补充练习】1.等腰三角形的周长是20,底边长y 是一腰长x 的函数,则( ) A.y=10-x(0<x≤10) B.y=10-x(0<x<10) C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5<x<10) 分析:依照等腰三角形的周长列出函数解析式.∵2x+y=20,∴y=20-2x.则20-2x>0.∴x<10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x>20-2x,得x>5,因此函数的定义域为{x|5<x<10}.因此y=20-2x(5<x<10). 答案：D2.2007北京四中第一次统测,文4定义在R 上的函数y=f(x)的值域为[a,b],则y=f(x+1)的值域为( )A.[a,b]B.[a+1,b+1]C.[a-1,b-1]D.无法确定分析:将函数y=f(x)的图象向左平移一个单位得函数y=f(x+1)的图象,由于定义域均是R ,则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范畴相同,因此y=f(x+1)的值域也是[a,b]. 答案：A3.2006陕西高考,文2函数f(x)=211x +(x∈R )的值域是( ) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] 分析:(观看法)定义域是R ,由于x 2≥0,则1+x 2≥1,从而0<211x+≤1.答案：B拓展提升问题:变换法画函数的图象都有哪些?解答:变换法画函数的图象有三类:1.平移变换:(1)将函数y=f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位得函数y=f(x+a)的图象;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位得函数y=f(x-a)的图象;(3)将函数y=f(x)的图象向上平移b(b>0)个单位得函数y=f(x)+b的图象;(4)将函数y=f(x)的图象向下平移b(b>0)个单位得函数y=f(x)-b的图象.简记为“左加(+)右减(-),上加(+)下减(-)”.2.对称变换:(1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0即y轴对称;(2)函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于直线x=0即x轴对称;(3)函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图象关于原点对称.3.翻折变换:(1)函数y=|f(x)|的图象能够将函数y=f(x)的图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方,去掉原x轴下方部分,并保留y=f(x)的x轴上方部分即可得到.(2)函数y=f(|x|)的图象能够将函数y=f(x)的图象y轴右边部分翻折到y轴左边替代原y 轴左边部分并保留y=f(x)在y轴右边部分图象即可得到.函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示,能够直观地显示出函数的变化状况及其特性,它是研究函数性质时的重要参考,也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础.另一方面,函数的一些特性又能指导作图,函数与图象是同一事物的两个方面,是函数的不同表现形式.函数的图象能够比喻成人的相片,观看函数的图象能够解决研究其性质,因此,也能够由函数的性质确定函数图象的特点.借助函数的图象来解决函数问题,函数的图象问题是高考的热点之一,应引起重视.课堂小结本节课学习了:函数的三种表示方法,在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数.作业课本P24习题1.2A组7、8、9.设计感想本节教学设计容量较大,尽量借助于信息技术来完成.本节的设计重点是函数的三种表示方法,提出了表示法的应用,专门是用图象法求函数的值域,并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求.(设计者：张新军)。