[推荐学习]2018高中数学必修四学案：1.3 三角函数的图象和性质 Word版缺答案

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高中数学必修4第一章第四节《三角函数的图像与性质》全套教案

三角函数的图像与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【教学目标】（1）了解正弦曲线的画法及原理，理解余弦曲线与正弦曲线的联系；（2）观察y=sin x，x∈［0，2］的图象，归纳出“五点法”，并推广到余弦函π数以及复合函数的图象的画法【教学重点难点】【教学重点】：五点法【教学难点】：正余弦曲线间的联系；数形结合、图象变换的思想方法【学前准备】：多媒体，预习例题电脑2、利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：（1）sin x ≥；（2）cos x ≤．解：（1）作出正弦函数y =sin x ，x ∈[0，2π]的图象：由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππ （2）作出余弦函数y =cos x ，x ∈[0，2π]的图象：由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,235,23ππππ21211.4.2正弦函数、余弦函数的性质【教学目标】1.借助图象理解正弦函数、余弦函数的基本性质，会求复合函数的单调区间.2.体会数形结合思想及整体换元思想【教学重难点】通过正弦函数、余弦函数的图象归纳其性质.整体换元思想的渗透，复合函数单调性的求法【学前准备】：多媒体，预习例题1、师生共同研究得出正弦函数的性质：①定义域：R ②值域：]1,1[- ③单调性：递增区间为Z k k k ∈++-],22,22[ππππ，函数值从-1增至1；递减区间为Z k k k ∈++],223,22[ππππ，函数值从1减至-1. ④最值：当Z k k x ∈+=,22ππ时，1max =y ；当Z k k x ∈+-=,22ππ时，1min -=y .⑤奇偶性：奇函数，x x sin )sin(-=- ⑥对称性：对称轴为Z k k x ∈+=,2ππ；对称中心为Z k k ∈),0,(π.2、小组合作探究得出余弦函数的性质：①定义域：R ②值域：]1,1[-③单调性：递增区间为Z k k k ∈+-],2,2[πππ，函数值从-1增至1；正切函数的性质与图象【教学目标】1.掌握正切函数的性质；2.掌握性质的简单应用；3.会解决一些实际问题。

三角函数的图像与性质教案

三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。

2. 能够运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

3. 提高学生的数学思维能力，培养学生的数学审美观念。

二、教学内容：1. 三角函数的定义与基本性质2. 正弦函数的图像与性质3. 余弦函数的图像与性质4. 正切函数的图像与性质5. 三角函数图像与性质的综合应用三、教学重点与难点：1. 重点：三角函数的定义，正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。

2. 难点：三角函数图像与性质的综合应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索三角函数的图像与性质。

2. 利用多媒体课件，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。

3. 结合实际例子，让学生学会运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

4. 开展小组讨论，培养学生的合作与交流能力。

五、教学过程：1. 导入：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入本节课的学习。

2. 三角函数的定义与基本性质：讲解三角函数的定义，引导学生掌握三角函数的基本性质。

3. 正弦函数的图像与性质：利用多媒体课件展示正弦函数的图像，讲解正弦函数的性质。

4. 余弦函数的图像与性质：利用多媒体课件展示余弦函数的图像，讲解余弦函数的性质。

5. 正切函数的图像与性质：利用多媒体课件展示正切函数的图像，讲解正切函数的性质。

6. 三角函数图像与性质的综合应用：结合实际例子，讲解如何运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

7. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。

8. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

9. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，总结经验教训。

10. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，了解学生对三角函数图像与性质的掌握程度。

六、教学策略与资源：1. 教学策略：采用问题引导式教学，鼓励学生主动发现问题、解决问题。

利用数学软件或在线工具，让学生亲自动手绘制三角函数图像，加深对函数性质的理解。

高中数学必修四教案：1.4三角函数的图象与性质(2)

格一课堂教学方案章节：课时： 2 备课人：二次备课人：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

《三角函数的图象与性质》高二数学必修四教案

《三角函数的图象与性质》高二数学必修四教案自己整理的《三角函数的图象与性质》高二数学必修四教案相关文档，希望能对大家有所帮助，谢谢阅读！教案[1]教学准备教学目标1、知识和技能(1)了解现实中普遍存在的周期性现象；(2)感受周期现象对实际工作的意义；(3)理解周期函数的概念；(4)能熟练判断简单应用题的循环；(5)周期函数的定义可以简单使用。

2.流程和方法通过创设情境：单摆运动、时钟圆周运动、潮汐、波浪、季节变化等。

学生能感知周期性现象；从数学的角度分析这个现象，就可以得到周期函数的定义。

根据周期性的定义，将其应用于实践。

3.情感态度和价值观通过这一节的学习，学生可以对周期现象有一个初步的认识，感受到数学在生活中无处不在，从而激发学生的学习热情，培养学生学好数学的信心，学会从联系的角度去理解事物。

教学重点和难点Focus :感受到周期现象的存在，会判断是否是周期现象。

难点：周期函数概念理解及简单应用。

教学工具投影仪教学过程[创设情境，揭示话题]学生：我们住在海南岛很开心。

我们可以经常看海，陶冶情操。

众所周知，潮汐现象发生在海水中，潮汐每天昼夜涨落两次。

这个现象就是我们今天要学的周期现象。

再比如，我们发现时钟上的时针、分针、秒针每周都会重复，这也是一种周期性现象。

所以我们这节课要学习的主要内容是周期现象和周期函数。

(板书)[探索新知识]1.我们已经知道潮汐和时钟是周期性的现象。

请观察钱塘江潮汐的图片(投影图)，注意海浪是如何变化的。

可以看出，波浪会以一定的间隔重复出现，这也是一种周期性现象。

请举例说明你生命中循环的存在。

(单摆运动，季节变化等。

)(板书：一、我们生活中的周期性现象)2.那么我们如何从数学的角度研究周期现象呢？教师指导学生独立学习教材P3——P4，思考回答以下问题：(1)如何理解“散点图”？图1-1中横坐标和纵坐标代表什么？如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？你对周期函数定义的理解是什么？以上问题均由学生回答，老师指出并总结：理解周期函数定义有三个条件，即存在不为零的常数t；x必须是域中的任何值；f(x T)=f(x).(板书：ii。

高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案

高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案【一】教学准备教学目标1、知识与技能(1)了解周期现象在现实中广泛存在;(2)感受周期现象对实际工作的意义;(3)理解周期函数的概念;(4)能熟练地判断简单的实际问题的周期;(5)能利用周期函数定义进行简单运用。

2、过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象;从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义，再在实践中加以应用。

3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。

教学重难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。

难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。

教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。

众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。

再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。

所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。

(板书课题)【探究新知】1.我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片(投影图片)，注意波浪是怎样变化的?可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。

请你举出生活中存在周期现象的例子。

(单摆运动、四季变化等)(板书：一、我们生活中的周期现象)2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”?②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么?③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”?④对于周期函数的定义，你的理解是怎样?以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T;x必须是定义域内的任意值;f(x+T)=f(x)。

高中数学必修四《三角函数的图像与性质》优秀教学设计

三角函数的图像与性质一、教学目标:【知识与技能】：熟练掌握正弦、余弦、正切函数的图像与性质，并能运用三角函数的性质解决对应的问题；【过程与方法】：通过观察正弦、余弦、正切函数的图像复习与三角函数的性质，并运用于解决对应问题的过程中；【情感态度与价值观】：体会数形结合与整体代换等数学思想；通过对图像的观察理解，体会从图形的直观到概括函数的抽象的过程、理解动与静的辩证关系，获得从感性认识到理性认识的进步.二、教学重点与难点：【重点】：熟练掌握正弦、余弦、正切函数的图像与性质，并能运用三角函数的性质解决对应的问题；【难点】：体会数形结合与整体代换等数学思想，并运用于相应的解题过程中.三、课型：复习课.四、课时安排：1课时.五、教学方法：讲练结合.六、教学过程:1、结合正弦曲线的特点复习回顾正弦函数的性质；（逐步完成下表）三角函数的图像和性质（1）2、根据上面复习的正弦函数的相关性质初步展开练习；【练习1】：函数y ＝2cos x －1的定义域：；【练习2】：函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]【练习3】（回归课本）求函数的单调增区间；3、对比正弦函数的性质回顾余弦函数的性质；4、继续展开练习：【练习4】：函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )A ．2π B.3π2 C ．π D.π2【练习5】：下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)【练习6】：（08广东文数第5题）已知函数2()(1cos2)sin f x x x =+，x ∈R,则()f x 是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数1sin(),[2,2]23y x x πππ=+∈-5、对比正弦、余弦函数的图像观察正切函数的图像，并回顾正切函数的性质；6、再次展开练习：【练习7】：是）的定义域（函数.4tan π+=x y ；【练习8】：（2006广东）已知函数R x x x x f ∈++=),2sin(sin )(π（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 的最大值和最小值；（3）若43)(=αf ，求α2sin 的值. 7、小结；师生共同回顾本节课所复习的内容及其应用. 8、作业：【2010广东】已知函数在时取得最大值4.（1）求的最小正周期；（2）求的解析式；（3）若，求.【2010湖南高考】已知函数f (x )＝sin 2x －2sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值及f (x )取最大值时x 的集合．()sin(3)(0,(,),0)f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<12x π=()f x ()f x 212()3125f πα+=sin α。

2017-2018学年高中数学苏教版必修4教案：第一章三角函数第11课时 1.3.2三角函数的图象与性质(2)

第十一课时 §1.3.2 三角函数的图象与性质（2）【教学目标】一、知识与技能：1.能指出正弦、余弦函数的定义域，并用集合符号来表示；2.能说出函数sin y x =，x R ∈和cos y x =，x R ∈的值域、最大值、最小值，以及使函数取得这些值的x 的集合。

3．理解三角函数的有关性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性等二、过程与方法通过作图来认识三角函数性质，充分发挥图象在认识和研究函数性质中的作用，渗透“数形结合”思想。

三、情感态度价值观：通过正余弦函数图象的理解，使学生从感性到理性的进步，体会从图形概括抽象，使学生理解动与静的辨证关系教学重点难点：与正、余弦函数相关的函数的定义域和值域的求法【教学过程】一．新课讲解：函数性质：1．定义域函数sin y x=cos y x=定义x R∈x R∈域2．值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx ｜≤1，｜cosx ｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝，k ∈Z 时，取得最大值1②当且仅当x ＝，k ∈Z 时，取得最小值－1而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝，k ∈Z 时，取得最大值1②当且仅当x ＝，k∈Z 时，取得最小值－13．周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z 且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π4．奇偶性由sin(－x)＝－sinx cos(－x)＝cosx 可知：y ＝sinx 为奇函数 y ＝cosx 为偶函数∴正弦曲线关于对称,余弦曲线关于对称5．单调性从y ＝sinx ，x∈［－23,2ππ］的图象上可看出：当x∈［－2π，2π］时，曲线逐渐，sinx 的值由_____增大到_____.函数sin y x=cos y x=值域[1,1]-[1,1]-当x∈［2π，23π］时，曲线逐渐，sinx 的值由____减小到_____结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间 (k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间 (k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1余弦函数在每一个闭区间 (k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间 (k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－16．对称性y ＝sin x ，x ∈R对称中心坐标_____________________对称轴方程_______________________y ＝cos x ，x ∈R对称中心坐标_____________________对称轴方程_______________________二、例题分析:例1、求下列函数最值并求取得最值时的x 取值集合（1） y=sin(3x+4π)-1 （2）y=sin 2x-4sinx+5 （3） y=xx cos 3cos 3+-（4）4tan cos y x x =⋅；（5）264sin cos y x x =--；例2、求下列函数的定义域和值域并判断函数的奇偶性：（1）21sin 1y x =+；（2）2sin 1sin xy x+=+（3）y asinx b =+（其中,a b 为常数且0,≠b a ）（4）y=)cos(sin x例3、指出下列函数的周期、单调区间和对称轴以及取得最值时的x 的取值集合：（1）y=1+sinx ，x∈R （2）y=-cosx ，x∈R （3）y ＝sin(x ＋4π) x∈R （4） y=sin （3π-2x ），x∈R（5)y＝3cos(－x) x∈R3课堂小结：掌握三角函数的有关性质并能熟练应用。

2017-2018学年高中数学人教B版必修4教学案：第一章 1.3 三角函数的图象与性质

1．3.1正弦函数的图象与性质第一课时正弦函数的图象与性质[对应学生用书P19]预习课本P37～43，思考并完成以下问题(1)如何把y＝sin x，x∈[0,2π]图象变换为y＝sin x，x∈R的图象？(2)正弦函数图象五个关键点是什么？(3)周期函数的定义是什么？(4)正弦函数的性质是什么？[新知初探]1．正弦函数的图象及作法(1)“正弦线”作图．①利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．②要想得到y＝sin x(x∈R)的图象，只需将y＝sin x，x∈[0,2π]的图象沿x轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图象叫做正弦曲线．(2)“五点法”.交点．这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．2．正弦函数的性质(1)周期函数①定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x 值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．[点睛]对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)如果T是函数ƒ(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是ƒ(x)的周期．(2)正弦函数的性质数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)画正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制．( )(2)若T 是函数ƒ(x )的周期，则kT ，k ∈N ＋也是函数f (x )的周期．( ) (3)函数y ＝3sin 2x 是奇函数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√2．函数y ＝sin 12x 的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．4πD ．6π解析：选C ∵sin ⎣⎡⎦⎤12(x ＋4π)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋2π＝sin 12x ，∴sin 12x 的周期为4π，故选C. 3．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)答案：C4．请补充完整下面用“五点法”作出y ＝－sin x (0≤x ≤2π)的图象时的列表.①________；②________；③________. 答案：π 0 1用“五点法”作简图[典例] 作函数y ＝3tan x cos x 的图象．[解] 由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z)，于是函数y ＝3tan x cos x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .又y ＝3tan x cos x ＝3sin x ，即y ＝3sin x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .按五个关键点列表：描点并将它们用平滑曲线连起来(如下图)：先作出y ＝3sin x ，x ∈[0,2π]的图象，然后向左、右扩展，去掉横坐标为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π2，k ∈Z 的点，得到y ＝3tan x cos x 的图象．用五点法画函数y ＝A sin x ＋b (A ≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下 (1)列表：(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y )，⎝⎛⎭⎫π2，y ，(π，y )，⎝⎛⎭⎫3π2，y ，(2π，y )，这里的y 是通过函数式计算得到的．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．[活学活用]用“五点法”画出函数y ＝3－sin x (x ∈[0,2π])的图象．解：(1)列表：(2)描点，连线，如图所示．正弦函数的周期性、奇偶性[典例] A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数(2)函数f (x )＝|sin x |的最小正周期为________．(3)定义在R 上的函数ƒ(x )既是偶函数又是周期函数，若ƒ(x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝sin x ，求ƒ⎝⎛⎭⎫5π3的值． [解析] (1)∵f (x )的定义域是R.且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )， ∴函数为奇函数． (2)法一：∵ƒ(x )＝|sin x |,∴ƒ(x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )的周期为π.法二：∵函数y ＝|sin x |的图象如图所示．由图象可知T ＝π. [答案] (1)A (2)π(3)解：∵ƒ(x )的最小正周期是π， ∴ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3∵ƒ(x )是R 上的偶函数， ∴ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝32. [一题多变]1．[变条件]若本例(3)中“偶”变“奇”其他条件不变，求ƒ⎝⎛⎭⎫5π3的值．解：ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ƒ⎝⎛⎭⎫π3 ＝－sin π3＝－32.2．[变设问]若本例(3)条件不变，求ƒ⎝⎛⎭⎫－19π6的值．解：ƒ⎝⎛⎭⎫－19π6＝ƒ⎝⎛⎭⎫19π6＝ƒ⎝⎛⎭⎫3π＋π6 ＝ƒ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6＝12. 3．[变条件]若本例(3)条件为：函数ƒ(x )为偶函数且ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－ƒ(x )，ƒ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求ƒ⎝⎛⎭⎫5π3的值．解：∵ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－ƒ(x )， ∴ƒ(x ＋π)＝ƒ(x )，即T ＝π，ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫π3＝1.求三角函数周期和判断奇偶性的方法(1)求三角函数周期的方法①定义法：即利用周期函数的定义求解． ②图象法：即通过观察函数图象求其周期．(2)判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．正弦函数的单调性[典例] 求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间． [解] ∵y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3是增函数时， y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 是减函数． ∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上是增函数， ∴－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z)．∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z)．与正弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦函数的图象，熟记其单调区间．(2)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，可令“z ＝ωx ＋φ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x 的系数转变为正数．[活学活用]1．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的值域是( ) A ．[1,3] B ．[－1,3] C ．[－3,1]D ．[－1,1]解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，∴sin x ∈[－1,1]， ∴－2sin x ＋1∈[－1,3]． 2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.根据正弦函数的单调性知sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.3．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4的单调区间．解：由－π2＋2k π≤2x ＋3π4≤π2＋2k π，k ∈Z得－5π8＋k π≤x ≤－π8＋k π，k ∈Z.∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4的单调增区间为 ⎣⎡⎦⎤－5π8＋k π，－π8＋k π(k ∈Z)．由π2＋2k π≤2x ＋3π4≤3π2＋2k π，k ∈Z 得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z.∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4的单调减区间为 ⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z)．层级一学业水平达标1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．2．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π](k ∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：选C 函数y ＝sin x 的图象关于原点中心对称，并不关于x 轴对称． 3．函数y ＝2－3sin x 的最大值、最小值分别是( )A ．2，－3B ．0,2C ．5,2D ．5，－1解析：选D ∵－1≤sin x ≤1，∴－3≤－3sin x ≤3， ∴－1≤2－3sin x ≤5.4．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称解析：选B y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，奇函数图象关于原点对称． 5．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，π B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D ．(0，π)解析：选C 作出函数y ＝|sin x |的图象，如图，观察图象知C 正确．6．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________. 解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3， ∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3. 答案：37．y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与y ＝32的交点的个数是________．解析：由y ＝sin x 的图象向上平移1个单位，得y ＝1＋sin x 的图象，故在[0,2π]上与y ＝32交点的个数是2个．答案：28．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________．解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎡⎦⎤π2，π. 答案：⎣⎡⎦⎤π2，π9．利用“五点法”作出函数y ＝sin x －π2x ∈π2，5π2的图象．解：列表如下：描点连线，如图所示．10．求函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调区间．解：函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调递增区间，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调递减区间．令π2＋2k π≤12x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k π＋π2≤x ≤4k π＋5π2，k ∈Z ，即函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π2，4k π＋5π2(k ∈Z)．同理，令－π2＋2k π≤12x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z ，即函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π－3π2，4k π＋π2(k ∈Z)．层级二应试能力达标1．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析：选B 由2x ＝0，π2，π，3π2，2π知五个点的横坐标是0，π4，π2，3π4，π.2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．0解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4有最小值－22. 3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z) 解析：选C 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 4．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3 D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π 解析：选C 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－32，sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－32.即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的x ＝4π3或5π3.可知不等式sin x <－32的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3.故选C. 5．函数值sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．解析：∵π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10. 答案：sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π106．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. 答案：227．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值．解：(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)，∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)． (2)令t ＝2x －π4，则由π8≤x ≤3π4可得0≤t ≤5π4，∴当t ＝5π4，即x ＝3π4时，y min ＝2×⎝⎛⎭⎫－22＝－1，∴当t ＝π2，即x ＝3π8时，y max ＝2×1＝ 2.8．已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x ＋2) ＝－1ƒ(x )(ƒ(x )≠0)． (1)求证：函数ƒ(x )是周期函数． (2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值．解：(1)证明：∵ƒ(x ＋2)＝－1ƒ(x )，∴ƒ(x ＋4)＝－1ƒ(x ＋2)＝－1－1ƒ(x )＝ƒ(x )，∴ƒ(x )是周期函数，4就是它的一个周期． (2)∵4是ƒ(x )的一个周期． ∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5，∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1)＝－1ƒ(－1＋2)＝－1ƒ(1)＝15.第二课时正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)预习课本P44～49，思考并完成以下问题(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相、振幅、周期、频率分别为多少？(2)将y ＝sin(x ＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y ＝sin x 的图象？(3)函数y ＝A sin x ，x ∈R(A ＞0且A ≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？(4)函数y ＝sin ωx ，x ∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？[新知初探]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义[点睛] 当A ＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π4. 2．φ，ω，A 对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响(2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响[点睛] (1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系． (2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( ) (2)函数y ＝3sin(2x －5)的初相为5.( )(3)由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象得到y ＝sin x 的图象，必须向左平移．( ) (4)把函数y ＝sin x 的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y ＝sin 3x 的图象．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π，13，π6B ．6π，13，π6C ．3π，3，－π6D ．6π，3，π6答案：B3．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度答案：A4．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得________的图象．答案：y ＝sin 4x函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换[典例] 说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到的． [解] [法一先伸缩后平移]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y＝－2sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――→向上平移1个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象． [法二先平移后伸缩]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x ＝－2sin x －π6的图象―――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――――→向上平移1个单位长度 y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤[活学活用]1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象．2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．左移π3个单位长度B ．右移π3个单位长度C ．左移π6个单位长度D ．右移π6个单位长度解析：选D 因为y ＝sin(2x －π3)＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6.所以把y ＝sin 2x 的图象上所有点向右平移π6个单位长度，就得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象.[典例] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ数的解析式．[解] [法一逐一定参法] 由图象知A ＝3， T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT ＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法二待定系数法]由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法三图象变换法]由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．[活学活用]如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) 的图象的一部分，试求该函数的解析式．解：由图可得：A ＝3，T ＝ 2|MN |＝π.从而ω＝2πT ＝2，故y ＝3sin(2x ＋φ)，又∵2×π3＋φ＝2 k π，k ∈Z ，∴φ＝－2π3＋2 k π，k ∈Z.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3.正弦型函数图象的对称性[典例] 在函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π4－π6(k ∈Z) ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π4－π6，0(k ∈Z)．取k ＝1得⎝⎛⎭⎫π12，0满足条件． [答案] ⎝⎛⎭⎫π12，0正弦型函数对称轴、对称中心的求法将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离y 轴最近的一条对称轴方程为________．解析：由4x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π4－π24，取k ＝0时，x ＝－π24满足题意．答案：x ＝－π24[典例] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解] 列表如下，描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.解三角函数应用问题的基本步骤[活学活用]交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．解：(1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V . (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s. (3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．1．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C.2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A T ＝2πω＝2ππ3＝6，∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.4．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6解析：选C 由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6.5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0，故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C. 6．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________.解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin (x ＋φ)的图象，而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6－2π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，即φ＝11π6. 答案：11π67.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________. 解析：由题意设函数周期为T ，则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32.答案：328．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象――――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3的图象．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π39．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，y ＝12sin x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，即f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2. 10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段如图所示，求它的解析式．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相．解：(1)由图象可知A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π3，∴T ＝4π3，ω＝2πT ＝32.将N ⎝⎛⎭⎫π6，－2代入y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ得， 2sin ⎝⎛⎭⎫32×π6＋φ＝－2，∴π4＋φ＝2k π－π2，φ＝2k π－3π4(k ∈Z)． ∵|φ|＜π，∴φ＝－3π4.∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x －3π4. (2)由(1)，知f (x )的最小正周期为4π3＝8，频率为34π，振幅为2，初相为－3π4.层级二应试能力达标1.如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π2，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是( ) A.12，1π B ．2，1πC.12，π D ．2，π解析：选A 当t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故单摆频率为1π，故选A.2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析：选A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0和点⎝⎛⎭⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4解析：选D 将原函数图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图象．5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象．解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象．答案：伸长 36．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：227．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心．解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z)．8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的一部分，如图所示．(1)求出f (x )的解析式；(2)若g (x )与f (x )的图象关于x ＝2对称，求g (x )的解析式．解：(1)由题图知A ＝2，∵周期T ＝8， ∴2πω＝8，∴ω＝π4.∵点(－1,0)在图象上，∴0＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4×(－1)＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝0，∴φ＝π4. ∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)在y ＝g (x )的图象上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x ＝2的对称点P ′为(4－x ，y )．又∵点P ′在y ＝f (x )的图象上，∴y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4·(4－x )＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4－π4x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4.∴g (x )的解析式为g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4.第一课时余弦函数的图象与性质预习课本P51～53，思考并完成以下问题 (1)余弦曲线五个关键点是什么？(2)余弦函数的性质是什么？[新知初探]1．余弦曲线余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫余弦曲线．2．余弦函数图象的画法(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度便可，这是由于cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2. (2)用“五点法”：画余弦函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 3．余弦函数的性质T ＝2πω.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝cos x 的图象与y 轴只有一个交点．( ) (2)将余弦曲线向右平移π2个单位就得到正弦曲线．( )(3)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图象与函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( )(4)在区间[0,2π]上，函数y ＝cos x 仅当x ＝0时取得最大值1.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的图象与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于原点和x 轴对称D ．关于y 轴对称答案：A3．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x2 D ．y ＝cos 4x答案：D4．函数y ＝3＋2cos x 的最大值为________．答案：5函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象[典例] (1)要得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，可以将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的图象沿x 轴( )A ．向左平移π2个单位B ．向左平移π个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π个单位(2)用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． [解析] (1)∵y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4 ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π4， ∴将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4图象上所有点向左平移π4个单位，便可得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，故选C. 答案：C (2)列表：描点并用光滑的曲线连接起来，如图．“五点法”画函数图象的三个步骤作形如y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b ，x ∈[0,2π]的图象时，可用“五点法”作图，其步骤是：①列表，取x ＝0，π2，π，3π2，2π；②描点；③用光滑曲线连成图．这是一种基本作图方法，应该熟练掌握．[活学活用]1．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( )A ．－23B ．－12C.23D.12解析：选A 由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋2π3＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23. 2．画出函数y ＝3－2cos x ，x ∈[0,2π]的简图．解：按五个关键点列表，描点画出图象(如图).x 0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 y ＝3－2cos x13531余弦函数的性质[典例] (1)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13(2)函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为________． [解析] (1)∵T ＝2πk 4＝8πk ≤2，∴k ≥4π，又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13. (2)y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π4. 令－π＋2k π≤x －π4≤2k π(k ∈Z)，则－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π(k ∈Z)．所以y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z)．[答案] (1)D (2)⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z)1．求三角函数的周期，通常有三种方法 (1)定义法．(2)公式法．对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|.(3)观察法(图象法)． 2．有关函数奇偶性的结论(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形．(2)对于奇函数，当x ＝0属于定义域时必有f (0)＝0.对于偶函数，任意属于定义域的x 都有f (|x |)＝f (x )． [活学活用]1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2. 2．比较大小：cos 158π________cos 149π.解析：cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.答案：＞正、余弦函数的最值1．若y ＝a cos x ＋b 的最大值为3，最小值为1，则ab ＝________.解析：当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－a ＋b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.答案：±2题点二：形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 型2．求函数y ＝3－4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6的最大、最小值及相应的x 值．解：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，从而－12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. 所以当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0，x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1. 当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝⎛⎭⎫－12＝5. 综上所述，当x ＝－π6时，y min ＝－1；当x ＝π6时，y max ＝5.题点三：形如y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C 型 3．求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域．解：y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝3－4sin x －4(1－sin 2x ) ＝4sin 2x －4sin x －1，令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1.∴y ＝4t 2－4t －1＝4⎝⎛⎭⎫t －122－2(－1≤t ≤1)． ∴当t ＝12时，y min ＝－2，当t ＝－1时，y max ＝7.即函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域为[－2,7]．三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．层级一学业水平达标1．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫25x －π6的最小正周期为( ) A.25π B.52πC ．2πD ．5π解析：选D T ＝2π25＝5π，因此选D.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R 在( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数D ．[－π，π]上是减函数解析：选B y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，故选B.3．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12，所以y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位长度得y ＝cos(2x ＋1)的图象．4．函数＝1＋cos x 的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝π2对称解析：选B y ＝1＋cos x ＝1＋cos(－x )，∴y ＝1＋cos x 是偶函数，即该函数的图象关于y 轴对称．5．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：选C 由于y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3，为得到该函数的图象，只需将y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度．6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值．解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3.答案：2k π＋π，k ∈Z7．函数ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π3，则ƒ(π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π3得ω＝3，∴ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3，∴ƒ(π)＝3cos ⎝⎛⎭⎫3π－π3 ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－3cos π3＝－32. 答案：－328．函数y ＝2cos x － 2 的定义域是______________________________________．解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0，即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z. 答案：⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z 9．画出函数y ＝1＋2cos 2x ，x ∈[0，π]的简图，并求使y ≥0成立的x 的取值范围．解：按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．令y ＝0，即1＋2cos 2x ＝0，则cos 2x ＝－12.∵x ∈[0，π]，∴2x ∈[0,2π]．从而2x ＝2π3或4π3，∴x ＝π3或2π3. 由图可知，使y ≥0成立的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎣⎡⎦⎤2π3，π.10．判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期和单调区间． (1)y ＝3cos 2x ；(2)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫34x ＋32π. 解：(1)3cos 2(－x )＝3cos(－2x )＝cos 2x ， ∴函数y ＝3cos 2x 是偶函数．最小正周期T ＝π，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z)，递减区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z)． (2)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2的周期为T ＝2π34＝8π3， ∵f (x )＝y ＝cos ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2＝sin 34x ， ∴f (－x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－34x ＝－sin 34x ＝－f (x )． ∴y ＝cos ⎝⎛⎭⎫34x ＋32π为奇函数．递增区间为⎣⎡⎦⎤－2π3＋8k π3，2π3＋8k π3(k ∈Z)，递减区间为⎣⎡⎦⎤2π3＋8k π3，2π＋8k π3(k ∈Z)．层级二应试能力达标1．把函数y ＝cos x 的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，然后将图象沿x 轴负方向平移π4个单位长度，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4解析：选B y ＝cos x 的图象上每一点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到y ＝cos 2x的图象；再把y ＝cos 2x 的图象沿x 轴负方向平移π4个单位长度，就得到y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象． 2．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6D ．9解析：选C 将函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)的图象向右平移π3个单位长度后，得函数y ＝cos ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3的图象． ∵所得图象与原图象重合， ∴－ωπ3＝2k π，k ∈Z.∴ω＝－6k .当k ＝－1时，ωmin ＝6.3．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈[0,2π))的部分图象如图，则f (2 017)＝( )A ．－1B ．1 C.12D ．－12解析：选B 由题图可知，T 4＝2，所以T ＝8，所以ω＝π4.由点(1,1)在函数图象上可得f (1)＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2k π(k ∈Z)，所以φ＝2k π－π4(k ∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝7π4.故f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π4x ＋7π4，f (2 017)＝cos ⎝⎛⎭⎫2 017π4＋7π4＝cos 506π＝cos(253×2π)＝1.4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1D ．－ 5解析：选C ∵⎝⎛⎭⎫π3－x ＋⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝π2， ∴y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∴y min ＝－1. 5．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数， ∴只有－π＜a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．答案：(－π，0]6．已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，则该函数的值域为________．解析：∵0≤x ≤π4，∴－π3≤2x －π3≤π6，∴12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，∴1≤2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤2，故该函数的值域为[1,2]．答案：[1,2]7．求下列函数式的最值： (1)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (2)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3. 解：(1)∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1.(2)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.8．求函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的对称中心坐标，对称轴方程，以及当x 为何值时，y 取最大值或最小值．解：由于y ＝cos x 的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z)，对称轴方程为x ＝k π(k ∈Z)．又由2x －π3＝k π＋π2，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)；由2x －π3＝k π，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，故y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2＋5π12，3(k ∈Z)，对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)．因为当θ＝2k π(k ∈Z)时，y ＝3－2cos θ取得最小值，所以当2x －π3＝2k π(k ∈Z)，即x ＝k π＋π6(k ∈Z)时，y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3取得最小值1. 同理可得当x ＝k π＋2π3(k ∈Z)时，y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3取得最大值5.第二课时正切函数的图象与性质预习课本P54～56，思考并完成以下问题 (1)正切函数有哪些性质？(2)正切函数在定义域内是不是单调函数？[新知初探]正切函数y ＝tan x 的图象与性质[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R.( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π3的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋5π6，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠k π－5π6，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠2k π－5π6，k ∈Z 答案：A3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的值域是________．答案：[0,1]正切函数的定义域[典例] 求下列函数的定义域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z)得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z .(2)由3－tan x ≥0得， tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z .求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .[活学活用] 求函数y ＝11＋tan x的定义域．解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z.因此，函数y ＝11＋tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .与正切函数有关的周期性、奇偶性问题[典例] (1)求f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，。

高中数学必修4《三角函数的图象和性质》教案

《三角函数的图象和性质》教案【教材分析】《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的对称性，【学习目标】1．掌握正弦函数和余弦函数图象的对称轴和对称中心2．会将y表示成以sinx(或cosx)为元的一次或二次等复合函数3. 在探究函数基本性质和图像的过程中，渗透化归思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．4. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．【教学重点难点】教学重点：1．掌握正弦函数和余弦函数图象的对称轴和对称中心2．会将y表示成以sinx(或cosx)为元的一次或二次等复合函数教学难点：在探究函数基本性质和图像的过程中，渗透化归思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．【学情分析】（1）知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象并通过观察图象总结性质的能力。

本节课是在学习了三角函数性质的基础上学习三角函数的对称性，以及对三角函数求值域进行一定的补充。

（2）心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。

但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

【课时安排】1课时【教学过程】一、复习导入1.定义域、值域（1）定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或).（2）值域：因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度, 所以,即也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是.2.周期性由知:正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.3.奇偶性由可知:()为奇函数,其图象关于原点对称()为偶函数,其图象关于轴对称4.单调性正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到; 在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.二、探索研究，导入新课给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考它们的图象有何对称性？正弦函数图象R ),(+∞-∞1|cos |,1|sin |≤≤x x 1cos 1,1sin 1≤≤-≤≤-x x ]1,1[-)(,cos )2cos(,sin )2sin(Z k x k x x k x ∈=+=+ππ)≠∈(0,2k Z k k ππ2x x x x cos )cos(,sin )sin(=--=-x y sin =R x ∈O x y cos =R x ∈y )](22,22[Z k k k ∈++-ππππ1-1)](22,22[Z k k k ∈+3+ππππ11-)](2,2[Z k k k ∈-πππ1-1)](2,2[Z k k k ∈+πππ11-对称轴：对称中心：余弦函数图象对称轴：对称中心：三、典例分析例1 求函数的对称轴和对称中心例2 求函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域．四、当堂检测练习 1 求函数的对称轴和对称中心练习2 求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合． 53113,,,,22222x πππππ=---,2x k k Z ππ=+∈(,0),(0,0),(,0),(2,0)πππ-(,0)k k Zπ∈,0,,2x πππ=-,x k k Z π=∈35(,0),(,0),(,0),(,0)2222ππππ-(,0)2k k Zππ+∈sin(2)sin 3y x z π=+=1cos()24y x π=+五、课堂总结（1）正弦函数的对称轴：对称中心：（2）余弦函数的对称轴：对称中心：（3）求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围。

2018版高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象导学案新人教A版必修420180424

1.4.3正切函数的性质与图象学习目标 1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法.知识点一正切函数的性质思考1正切函数的定义域是什么？π答案{x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}.2π思考2诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？2答案周期性.π思考3诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？2答案奇偶性.π思考4从正切线上看，在(0，2)上正切函数值是增大的吗？答案是.π梳理函数y＝tan x (x ∈R且x ≠kπ＋，k ∈Z)的图象与性质见下表：2解析式y＝tan x图象1π定义域 {x |x ∈R 且 x ≠k π＋，k ∈Z }2值域 R 周期 π 奇偶性奇ππ单调性在开区间(k π－，k π＋ (k ∈Z )内都是增函数 2)2知识点二正切函数的图象思考 1 利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？π π 答案根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间(－， )上的图象.作法如下：2 2 (1)作直角坐标系，并在直角坐标系 y 轴的左侧作单位圆. (2)把单位圆的右半圆分成 8等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点(横坐标是一个周期的 8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度). (4)连线，得到如图①所示的图象.(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数 y ＝tan x ，x ∈R π且 x ≠ ＋k π(k ∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示).可以看出，正切曲线是被相互2 π平行的直线 x ＝＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.2思考 2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函π π数 y ＝tan x ，x ∈(－的简图吗？怎样画？， 2)22ππππ 答案能，三个关键点：( ，1)，(0，0)，(－，－1)，两条平行线：x ＝，x ＝－ .4422梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征π正切曲线是被相互平行的直线 x ＝＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.2类型一正切函数的定义域例 1 求下列函数的定义域. 1 (1)y ＝； 1＋tan x (2)y ＝lg( 3－tan x ).1解 (1)要使函数 y ＝有意义，必须且只需Error! 1＋tan x 所以函数的定义域为π π {x |x ∈R 且 x ≠k π－，x ≠k π＋，k ∈Z }. 4 2 (2)因为 3－tan x >0，所以 tan x < 3. π又因为当 tan x ＝ 3时，x ＝＋k π(k ∈Z )，3π π根据正切函数图象，得 k π－＜x ＜k π＋ (k ∈Z )， 2 3 π π所以函数的定义域是{x |k π－＜x ＜k π＋，k ∈Z }. 2 3反思与感悟求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.跟踪训练 1 求函数 y ＝ tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域. 解由题意得Error!即－1≤tan x <1.π ππ π在(－内，满足上述不等式的 x 的取值范围是，又 y ＝tan x 的周期为 π，， 2)[－， 4)24ππ 所以函数的定义域是[k π－，k π＋ 4)(k ∈Z ).4类型二正切函数的单调性及其应用3命题角度 1 求正切函数的单调区间1 π x ＋例 2 求函数 y ＝tan (－4)的单调区间及最小正周期. 21 π 1 πx ＋解y ＝tan(－4)＝－tan (x －， 4)22π 1 π π由 k π－ < x － <k π＋ (k ∈Z )， 2 2 4 2 π 3得 2k π－ <x <2k π＋ π(k ∈Z )， 2 21 πx ＋所以函数 y ＝tan (－4)的单调递减区间是2 π3π(2k π－π)，2k π＋，k ∈Z ，周期 T ＝＝2π. 2 21|－2 |π 反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把 ωx ＋φ 看成一个整体，解－ 2π＋k π<ωx ＋φ< ＋k π，k ∈Z 即可.当 ω<0时，先用诱导公式把 ω 化为正值再求单调区间.2π跟踪训练 2 求函数 y ＝tan(2x － 3)的单调区间.ππππ π解 ∵y ＝tan x 在 x ∈(－(k ∈Z )上是增函数，∴－＋k π<2x － < ＋＋k π，＋k π)2 223 2k π，k ∈Z ，π k π 5π k π即－＋ <x < ＋，k ∈Z . 12 2 12 2ππ k π 5π k π∴函数 y ＝tan (2x －的单调递增区间是(k ∈Z ).3)(－＋＋，2)12 2 12命题角度 2 利用正切函数的单调性比较大小例 3 (1)比较大小：①tan 32°________tan 215°；18π28π②tan________tan(－).5 9(2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________.(用“<”连接)答案(1)①<②<(2)tan 2<tan 3<tan 1解析(1)①tan215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°，∵y＝tan x在(0°，90°)上单调递增，32°<35°，∴tan32°<tan35°＝tan 215°.18π2π2π②tan＝tan(4π－)＝tan(－)，5 5 5428πππtan(－)＝tan(－3π－)＝tan(－)，9 9 9ππ2ππ∵y＝tan x在(－，)上单调递增，且－<－，2 2 5 92ππ∴tan(－)<tan(－)，5 918π28π即tan <tan(－).5 9(2)tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，ππ∵－<2－π<3－π<1<，2 2ππ且y＝tan x在(－，)上单调递增，2 2∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1.反思与感悟运用正切函数的单调性比较大小的步骤：(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；(2)运用单调性比较大小关系.7π9π 跟(－4 )________tan(－5 ).踪训练3比较大小：tan答案>7πππ 解析∵tan(－4 )＝－tan(2π－4)＝tan ，49πππtan(－5 )＝－tan(2π－5)＝tan .5ππππ又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增，5 42 (0，2)ππ∴tan＜tan ，5 47π9π∴tan(－4 )＞tan(－5 ).类型三正切函数的图象及应用例4画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. 解由y＝|tan x|，得y＝Error!其图象如图所示.5。

三角函数的图像与性质复习教案

三角函数的图像与性质复习教案一、教学目标：1. 回顾和巩固三角函数的图像与性质的基本概念和公式。

2. 提高学生对三角函数图像与性质的理解和运用能力。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 三角函数的图像与性质的基本概念和公式。

2. 三角函数的周期性及其图像。

3. 三角函数的奇偶性及其图像。

4. 三角函数的单调性及其图像。

5. 三角函数的极值及其图像。

三、教学重点与难点：1. 三角函数的周期性及其图像。

2. 三角函数的奇偶性及其图像。

3. 三角函数的单调性及其图像。

4. 三角函数的极值及其图像。

四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生回顾和巩固三角函数的图像与性质的基本概念和公式。

2. 采用案例分析法，分析三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的图像特点。

3. 采用练习法，让学生通过练习题目的形式，巩固所学知识，提高解决问题的能力。

五、教学过程：1. 导入：通过复习三角函数的图像与性质的基本概念和公式，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解：讲解三角函数的周期性及其图像，引导学生理解周期性的含义和周期函数的图像特点。

3. 分析：分析三角函数的奇偶性及其图像，引导学生理解奇偶性的含义和奇偶函数的图像特点。

4. 讲解：讲解三角函数的单调性及其图像，引导学生理解单调性的含义和单调函数的图像特点。

5. 分析：分析三角函数的极值及其图像，引导学生理解极值的含义和极值函数的图像特点。

6. 练习：布置练习题目，让学生通过练习的形式，巩固所学知识，提高解决问题的能力。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调三角函数的图像与性质的重要性。

教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解和掌握三角函数的图像与性质的基本概念和公式，提高他们对三角函数图像与性质的理解和运用能力。

要关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导，帮助他们解决学习中的问题。

六、教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对三角函数图像与性质的基本概念和公式的掌握程度。

高一数学必修4示范教案：第一章第四节三角函数的图象与性质(第四课时)Word版含解析

新知探究提出问题
①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质．正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数．你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？
②我们学习了正弦线、余弦线、正切线，你能画出四个象限的正切线吗？ ③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象，然后向
x＝π＋ kπ， k∈ Z 所隔 2
开的无穷多支曲线组成的．教师引导学生进一步思考，这点反应了它的哪一性质 —— 定义域；
并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线，我们可以将这些直线称之为正切函数的什么
线—— 渐近线；从 y 轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质 —— 值域为 R；每隔 π个
单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质 —— 周期 π；在每个区间图象都是上升趋势，
得到它的哪一性质 —— 单调性，单调增区间是 ( －π2＋ kπ，π2＋ kπ，）k∈ Z，没有减区间．它的
图象是关于原点对称的，得到是哪一性质 —— 奇函数．通过图象我们还能发现是中心对称，
对称中心是 (k2π，0) ，k∈ Z .
教师可进一步引导学生通过图
象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照，对称中心是 (k2π，0) k∈ Z .
学生会发现正切函数也是中心对称函数，它的
(3)单调性
通过多媒体课件演示，由正切线的变化规律可以得出，正切函数在
(－π2，π2)内是增函数，
又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间
(－ π2＋ kπ， π2＋kπ，）k∈ Z 内都是增函数．
出函数
y＝
tanx，
x∈
(
－
π， 2

三角函数的图像和性质教案

三角函数的图像和性质教案阳光教育的课题是三角函数的图像和性质。

这是一个重要的内容，但学生可能还不太清楚其中的概念和理解。

因此，需要及时巩固这些知识。

教学目标是掌握三角函数的图像及其性质在图像交换中的应用，并在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中应用这些知识。

教学重点是三角函数图像与性质的应用。

教学方法包括导入法、讲授法和归纳总结法。

在基础梳理部分，学生需要掌握“五点法”描图。

对于y=sin x和y=cos x的图像，在[0,2π]上的五个关键点的坐标应该知道。

此外，学生还需要了解三角函数的图像和性质，包括函数、性质、定义域、值域、图像、对称轴、对称中心、周期、单调性和奇偶性。

这些知识将有助于学生更好地理解三角函数的图像和性质。

在教学重点部分，学生需要掌握三角函数图像与性质的应用。

这包括如何求解三角函数的值域（最值），以及如何在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中应用这些知识。

为此，教师可以采用三种方法：利用sin x、cos x的有界性；将复杂的函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；利用奇偶性来简化函数形式。

最后，教师应该鼓励学生在课后进行练，巩固所学知识。

只有通过不断地练，才能真正掌握三角函数的图像和性质。

换元法是解决三角函数问题的一种常用方法。

通过把sinx 或cosx看作一个整体，可以将其化为求函数在区间上的值域问题。

例如，对于函数y=cos(x+π/3)，可以将cos(x+π/3)看作cos(x)的平移，因此其最小正周期与cosx相同，即2π。

另外，对于函数y=tan(-x)，其定义域为R\{(2k+1)π/2 | k∈Z}，即除去所有奇数个π/2的点。

下面来看几个例题。

对于函数y=sin(-x)，其周期为π，因为sin(-x)与sinx的图像关于y轴对称。

对于函数y=tan(3x-π/2)，可以将其化为y=tan3x的平移，因此其最小正周期为2π/3.当求解三角函数的定义域和值域时，常常需要借助三角函数线或三角函数图像来解决。

(完整版)三角函数图像和性质教案

阳光教育课题学情解析授课目的与考点解析授课重点三角函数的图像和性质三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，学生方才刚学到，对好多看法还不很清楚，理解也不够透彻，需要及时加强坚固。

1．掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用；2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。

授课方法导入法、解说法、归纳总结法学习内容与过程基础梳理1．“五点法〞描图(1)y＝ sin x 的图象在 [0,2 π]上的五个重点点的坐标为(0,0)，(,1) ，(π，0)，(3, 1)，(2 π， 0)．22(2)y＝ cos x 的图象在 [0,2 π]上的五个重点点的坐标为(0,1)，(,0) ，(π，－1)， ( 3,0) ，(2π，1)．222．三角函数的图象和性质函数y＝ sin x y＝ cos x y＝tan x 性质定义域R R{x|x ≠πk2k Z}图象值域[－1,1][－1,1]R阳光教育π对称轴： x ＝k π＋2(k ∈Z)对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z)周期2π对称轴： x ＝k π(k ∈ Z)无对称轴对称中心：对称中心：(k,0)k Z( k,0)k Z222ππ单调增区间[ 2k ,2k ]k Z ；2 2单调性单调增区间[2k π－ π，2k π ](k ∈Z)；单调增区间单调减区间[ 2k,2k3]k Z22单调减区间 (k, k)k Z22[2k π，2k π＋π ](k ∈Z)奇偶性奇偶奇两条性质 (1)周期性2ππ函数 y ＝Asin(ωx＋ φ)和 y ＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 |ω|，y ＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 |ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝ Asin ωx 或 y ＝ Atan ωx，而偶函数一般可化为 y ＝Acos ωx＋b 的形式．三种方法求三角函数值域 (最值 )的方法：(1)利用 sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为 y ＝Asin(ωx ＋ φ)＋k 的形式渐渐解析 ωx ＋φ的范围，依照正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域 (最值 )问题．双基自测1．函数 ycos(x) ，x ∈R( )．3A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数．函数 y tan( x) 的定义域为 ()．24A ． { x | x k4 , k Z}B ． { x | x 2k,k Z}4C ． { x | x k, k Z} D ． { x | x 2k,k Z}443． y sin(x ) 的图象的一个对称中心是 ( )．4A ．(－π，0)B ． (3,0)4C ． (3,0)D ． ( ,0)224．函数 f(x)＝cos ( 2x) 的最小正周期为 ________． 6考向一三角函数的周期【例 1】?求以下函数的周期：(1) y sin(3 2x)；(2) y tan(3x)6考向二三角函数的定义域与值域(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域 (最值 )常有到以下几各种类的题目：①形如 y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设 sin x ＝t ，化为关于 t 的二次函数求值域 (最值 )；②形如 y ＝asin xcos x ＋ b(sin x ±cos x)＋c 的三角函数，可先设 t ＝sin x ±cos x ，化为关于 t 的二次函数求值域 (最值 )．【例 2】?(1)求函数 y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域．(2)求函数 y ＝cos 2x ＋sin x (| x |) 的最大值与最小值．4tan( x)sin xy41)【训练 2】 (1)求函数 y＝ sin x－ cos x的定义域； (2)lg( 2 cos x(3) f (x) 的定义域为 [0,1] ，求 f (cos x) 的定义域.考向三三角函数的单调性求形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x 的相应单调区间内即可，假设ω为负那么要先把ω化为正数．【例 3】?求以下函数的单调递加区间．(1) y cos( 2 x) ，(2) y 1sin(42x) ，(3) y tan(3x) .3233【训练 3】函数 f(x)＝sin ( 2x) 的单调减区间为______．3考向四三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象可是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．【例 4】?(1)函数 y ＝cos (2x) 图象的对称轴方程可能是 ()．3π ππ πA ．x ＝－ 6B ．x ＝－ 12C ．x ＝ 6D ．x ＝12(2)假设 0＜α＜ π ) 是偶函数，那么 α的值为________．， g( x) sin( 2x2 4π【训练 4】 (1)函数 y ＝2sin(3x ＋ φ) (| | 2) 的一条对称轴为 x ＝12，那么 φ＝ ________.(2)函数 y ＝ cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．那么 φ＝________.难点打破 —— 利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思想问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时平时将方程的思想与待定系数法相结合．【比方】 ? 函数 f(x)＝sin ( x) (ω＞0)的单调递加区间为 [ k 5,k] (k ∈Z)，单调递31212减区间为 [k, k 7] (k ∈Z)，那么 ω的值为 ________．1212课内练习与训练1、函数 f (x)sin(3x)3〔1〕判断函数的奇偶性；〔 2〕判断函数的对称性．2、设函数f ( x)sin( 2x)(0) 的图象的一条对称轴是直线x，那么______．8学生对本次课的小结及议论1、本次课你学到了什么知识2、你对老师下次上课的建议⊙ 特别满意⊙ 满意⊙ 一般⊙ 差学生签字：课后练习：〔详尽见附件〕课后小结教师签字：批阅签字 :时间:教务主任签字 :时间:龙文教育教务处。

三角函数的图像与性质复习教案

三角函数的图像与性质复习教案一、教学目标1. 回顾和巩固三角函数的图像与性质的基本概念。

2. 提高学生对三角函数图像与性质的理解和应用能力。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 三角函数的图像与性质的基本概念。

2. 三角函数图像的绘制方法。

3. 三角函数性质的推导和应用。

三、教学重点与难点1. 重点：三角函数的图像与性质的基本概念和应用。

2. 难点：三角函数性质的推导和应用。

四、教学方法与手段1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的教学方法。

2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段。

五、教学过程1. 导入：通过复习已学过的三角函数图像与性质的基本概念，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解：讲解三角函数图像与性质的基本概念，结合实际例子进行解释和演示。

3. 练习：布置相关的练习题，让学生巩固所学的知识。

4. 讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自的解题方法和思路。

六、教学评估1. 课堂练习：及时给予学生反馈，指出其错误，帮助学生纠正。

2. 课后作业：布置相关的作业，巩固所学知识，并及时批改，给予评价和建议。

3. 小组讨论：观察学生在讨论中的表现，了解其对知识的理解和应用能力。

七、教学拓展1. 邀请相关领域的专家或企业人士进行讲座或实践操作，让学生了解三角函数在实际生活中的应用。

2. 组织学生进行实地考察，如测量物体的高度等，运用三角函数解决实际问题。

3. 开展三角函数主题的研究性学习，培养学生的独立思考和探究能力。

八、教学反思1. 在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏。

2. 反思教学内容，确保涵盖了三角函数图像与性质的重点和难点。

3. 思考如何激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度和积极性。

九、教学计划与进度安排1. 制定详细的教学计划，明确每个阶段的教学目标和内容。

2. 根据学生的学习情况，合理调整教学进度，确保教学效果。

3. 定期进行教学评价，了解学生的学习进展，为后续教学提供参考。

三角函数的图像与性质教案

三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握三角函数的图像与性质，能够运用三角函数解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生探索三角函数的图像与性质。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和团队协作能力。

二、教学内容：1. 三角函数的定义与图像2. 三角函数的周期性3. 三角函数的奇偶性4. 三角函数的单调性5. 三角函数的极值三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数的图像与性质的掌握。

2. 教学难点：三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数的图像与性质。

2. 利用多媒体手段，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。

3. 组织小组讨论，培养学生的团队协作能力。

五、教学过程：1. 导入新课：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入高中阶段的学习。

2. 探究三角函数的图像与性质：引导学生观察三角函数的图像，分析其特点，归纳出性质。

3. 讲解与示范：教师讲解三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断方法，并进行示范。

4. 练习与反馈：学生进行课堂练习，教师及时给予反馈，巩固所学知识。

5. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。

教案编写完毕，仅供参考。

如有需要，请根据实际情况进行调整。

六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现，评价学生的学习态度和团队协作能力。

2. 作业评价：对学生的课后作业进行批改，评价学生对课堂所学知识的掌握程度。

3. 单元测试评价：在单元结束后进行测试，评价学生对三角函数图像与性质的掌握情况。

七、教学策略：1. 针对不同学生的学习基础，采取分层教学，使所有学生都能跟上教学进度。

人教版高一数学必修四导学案1.4三角函数的图像与性质(1)正弦余弦的图像

2018高一数学导学案10三角函数的图象与性质（1）【学习目标】 1.会用五点法画正弦、余弦函数的图象；2.记住正弦、余弦函数的特征；3.弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系。

【学习要求】请同学们预习课本第26页，完成下面的问题回答和练习问题1.我们已经学过的各种函数都是通过它的图象来研究性质.那么，现在我们正在学习的三角函数的图象是什么样子呢?问题2.函数x y sin =的定义域是什么？问题3．用单位圆中正弦线表示正弦值的方法，你能作出点)6sin ,6(ππ吗？用上述方法，再作出与3π=x 、2π对应的点，由此你能作出x y sin =（]2,0[π∈x ）的图象吗？函数x y cos =与函数x y sin =的关系如何？问题4.如何利用函数x y cos =与函数x y sin =的关系去作出x y cos =（R x ∈）的图象？问题5.观察正弦函数、余弦函数的图象，它们之间有什么关系？x y sin = x y cos = 定义域值域 _________；最大值___；最小值___。

________；最大值___；最小值___。

周期性最小正周期为________ 最小正周期为________ 奇偶性单调性在每个闭区间____________________上都是____函数；在每个闭区间____________________上都是____函数。

在每个闭区间____________________上都是____函数；在每个闭区间____________________上都是____函数。

问题6.在正弦函数、余弦函数的图象上，起关键作用的是哪几个点？在精确地不太高时，你能作出x y sin =和x y cos =的草图吗？问题7。

观察正弦曲线和余弦曲线，正弦函数和余弦函数有哪些性质？小结：对称轴对称中心。

2018版高中数学人教B版必修四学案：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)[学习目标] 1.会用“五点法”作出余弦函数的简图.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系．[知识链接]1．如何快速做出余弦函数的图象？答 (1)依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只须把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度即可．余弦函数的图象叫做余弦曲线，图象如下图所示：(2)在精度要求不高时，要画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象．2．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称． [预习导引]正弦函数和余弦函数的图象、性质对比(下表中k ∈Z )要点一余弦函数的单调性例1 求函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间．解 y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝3cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 由2k π－π≤x 2－π3≤2k π(k ∈Z )，解得4k π－43π≤x ≤4k π＋23π(k ∈Z )，∴函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间为4k π－43π，4k π＋23π(k ∈Z )．规律方法确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想．即将ωx ＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间．若x 的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解．有时还应兼顾函数的定义域．跟踪演练1 求函数y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间．解根据复合函数“同增异减”的规律，即求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递减区间，同时x 应使cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0. ∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )．整理得4k π＋2π3≤x <4k π＋5π3(k ∈Z )．所以函数y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫4k π＋2π3，4k π＋5π3(k ∈Z )．要点二余弦函数的值域例2 求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的值域．解 y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数值域为⎣⎡⎦⎤－14，154. 规律方法求三角函数最值的两种基本类型：(1)将三角函数式化为y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式，结合有界性求最值；(2)将三角函数式化为关于cos x (或sin x )的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值．跟踪演练2 已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值．解 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤12. 当a >0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3，∴12a ＋3＝4，∴a ＝2. 当a <0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3，∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1，综上可知，实数a 的值为2或－1. 要点三余弦曲线的对称性例3 已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. (1)在该函数的对称轴中，求离y 轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值．解 (1)令2x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z .令k ＝0，x ＝－π3；令k ＝1，x ＝π6.∴函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的对称轴中离y 轴最近的一条对称轴的方程是x ＝π6. (2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y ＝f (x )，则f (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－2φ. ∵y ＝f (x )的图象关于原点(0,0)对称，∴f (0)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2φ＝0. ∴2π3－2φ＝k π＋π2，k ∈Z .解得φ＝π12－k π2. 令k ＝0，得φ＝π12.∴φ的最小正值是π12.规律方法关于正弦、余弦函数的对称性有以下重要结论：(1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或A cos(ωx ＋φ))的图象关于x ＝x 0对称⇔f (x 0)＝A 或－A . (2)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或A cos(ωx ＋φ))的图象关于点(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0.跟踪演练3 把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3的图象向右平移φ个单位，正好关于y 轴对称，求φ的最小正值．解由题意平移后的函数为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3－φ，它是偶函数，因此，当x ＝0时，cos ⎝⎛⎭⎫4π3－φ取得最大值1或最小值－1，故4π3－φ＝2n π或(2n ＋1)π (n ∈Z )，即4π3－φ＝k π (k ∈Z )． ∴φ＝4π3－k π (k ∈Z )，当k ＝1时，φ取最小正值π3.1．函数f (x )＝cos(2x ＋π4)的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 答案 B解析最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.故选B.2．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 A解析由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称知，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝0. ∴8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )． ∴φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z )．|φ|的最小值为|φ|＝⎪⎪⎪⎪2π＋π2－8π3＝π6. 3．已知0≤x ≤2π，试探索sin x 与cos x 的大小关系．解用“五点法”作出y ＝sin x ，y ＝cos x (0≤x ≤2π)的简图．由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ；②当π4<x <5π4时，sin x >cos x ；③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x .4．(1)已知f (x )的定义域为[0,1)，求f (cos x )的定义域； (2)求函数y ＝lg sin(cos x )的定义域．解 (1)0≤cos x <1⇒2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，且x ≠2k π(k ∈Z )．∴所求函数的定义域为x ∈[2k π－π2，2k π)∪(2k π，2k π＋π2)，k ∈Z .(2)由sin(cos x )>0⇒2k π<c os x <2k π＋π(k ∈Z )．又∵－1≤cos x ≤1，∴0<cos x ≤1.故所求函数定义域为x ∈(2k π－π2，2k π＋π2)，k ∈Z .1.余弦函数y ＝cos x (x ∈R )是偶函数，而且是周期函数，最小正周期为2π.与y ＝A sin(ωx ＋φ)一样，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期也是2π|ω|.2．与正弦曲线类似，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象通过变换得到，变换规律相同．3．在研究y＝A cos(ωx＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx＋φ＝2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值．。

数学苏教版必修4教学设计：1.3.2三角函数的图象与性质 Word版含解析

教学设计1.3.2三角函数的图象与性质整体设计教学分析研究函数的性质常常以直观图象为基础，这点学生已经有些经验，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用．正弦函数、余弦函数的教学也是如此．先研究它们的图象，在此基础上再利用图象来研究它们的性质．显然，加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求．由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此，教科书把对周期性的研究放在了首位．这是对数学思考方向的一种引导．由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数，因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法．当然，我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．三维目标1．通过实验演示，让学生经历图象画法的过程及方法，通过对图象的感知，形成对正弦、余弦以及正切函数的初步认识，了解这三种曲线的准确作法．经历正弦、余弦、正切函数的性质的探索过程，熟练掌握这三种函数的性质．在探索学习的过程中，使学生养成善于发现、善于探究的良好习惯．学会遇到新问题时善于调动所学过的知识，较好地运用新旧知识之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力．2．通过学习本节，理解正弦、余弦、正切函数图象的画法．借助图象变换，了解函数之间的内在联系，加深学生对数形结合这一数学思想的认识．通过三角函数图象的三种画法：描点法、几何法、五点法，体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数图象．3．组织学生通过观察这三种函数的图象归纳出三种函数的性质，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣．通过学习，让学生体会数学中的图形美，体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦，树立科学的辩证唯物主义观．重点难点教学重点：1.会画正弦、余弦、正切函数的图象．2．掌握正弦、余弦、正切函数的性质及应用．教学难点：1.利用正弦线、正切线画正弦、正切函数的图象；由诱导公式和正弦曲线画余弦函数的图象．2．正弦、余弦、正切函数性质的应用．课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1.(复习导入)遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然的想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们的图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？进而引导学生通过取值，画出当x∈[0,2π]时y＝sinx的图象．思路2.(情境导入)指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况．有了上述实验，你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象？画函数的图象，最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法，但不够精确．下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象．推进新课新知探究教师先让学生阅读教材、思考讨论．为什么要用正弦线来作正弦函数的图象，怎样在x 轴上标横坐标？为什么将单位圆分成12份？学生思考探索仍不得要领时，教师可进行适时的点拨．只要解决了y ＝sinx ，x ∈[0,2π]的图象，就很容易得到y ＝sinx ，x ∈R 时的图象了．第一步，可以想象把单位圆圆周剪开并12等份，再把x 轴上从0到2π这一段分成12等分．由于单位圆周长是2π，这样就解决了横坐标问题．过⊙O 1上的各分点作x 轴的垂线，就可以得到对应于0、π6、π3、π2、…、2π等角的正弦线，这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”)．第二步，把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合，这就得到了函数对(x ，y)(相当于“描点”)．第三步，再把这些正弦线的终点用平滑曲线连结起来，我们就得到函数y ＝sinx 在[0,2π]上的一段光滑曲线(相当于“连线”)．如图1所示(这一过程用课件演示，让学生仔细观察平移和连线过程．然后让学生动手作图，形成对正弦函数图象的感知)．这是本节的难点，教师要和学生共同探讨．图1因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sinx 在x ∈[2kπ，2(k ＋1)π]，k ∈Z 且k ≠0上的图象与函数y ＝sinx 在x ∈[0,2π]上的图象的形状完全一致，只是位置不同．于是我们只要将函数y ＝sinx ，x ∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sinx ，x ∈R 的图象．(这一过程用课件处理，让同学们仔细观察整个图的形成过程，感知周期性)．图2教师引导学生观察诱导公式，思考探究正弦函数、余弦函数之间的关系，通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象？让学生从函数解析式之间的关系思考，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法．让学生动手做一做，体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同，感知两个函数的整体形状，为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础．把正弦函数y ＝sinx ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象，如图3.图3正弦函数y ＝sinx ，x ∈R 的图象和余弦函数y ＝cosx ，x ∈R 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象，发现在[0,2π]上有五个点起关键作用，只要描出这五个点后，函数y ＝sinx 在[0,2π]上的图象的形状就基本上确定了．这五点如下：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就可快速得到函数的简图．这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的，要求熟练掌握．应用示例例1课本本节例1. 变式训练1．画出下列函数的简图：(1)y ＝1＋sinx ，x ∈[0,2π]；(2)y ＝－cosx ，x ∈[0,2π]．解：(1)按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连结起来(图4).图4(2)按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连结起来(图5)．图5点评：“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，本例是最简单的变化．本例的目的是让学生熟悉“五点法”．如果是多媒体教学，要突破课件教学的互动性，多留给学生一些动手操作的时间，或者增加图象纠错的环节，效果将会令人满意，切不可教师画图学生看．2.在给定的直角坐标系如图6中，作出函数f(x)＝2cos(2x ＋π4)在区间[0，π]上的图象．解：列表取点如下：描点连线作出函数f(x)＝2cos(2x ＋π4)在区间[0，π]上的图象如图7.图6 图7例2画出函数y ＝|sinx|，x ∈R 的简图．活动：教师引导学生观察探究y ＝sinx 的图象并思考|sinx|的意义，发现只要将其x 轴下方的图象翻上去即可．进一步探究发现，只要画出y ＝|sinx|，x ∈[0，π]的图象，然后左、右平移(每次π个单位)就可以得到y ＝|sinx|，x ∈R 的图象．让学生尝试寻找在[0，π]上哪些点起关键作用，易看出起关键作用的点有三个：(0,0)，(π2，1)，(π，0)．然后列表、描点、连线，让学生自己独立操作完成，对其失误的地方再予以纠正．解：按三个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连结起来(图8)．图8点评：通过本例，让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义，并进一步从图象变换的角度认识函数之间的关系.变式训练1．方程sinx＝x10的根的个数为()A．7B．8C．9D．10解：这是一个超越方程，无法直接求解，可引导学生，考虑数形结合的思想方法，将其转化为函数y ＝x10的图象与y ＝sinx 的图象的交点个数问题，借助图形直观求解．解好本题的关键是正确地画出正弦函数的图象．如图9，从图中可看出，两个图象有7个交点.图9答案：A2．用“五点法”作函数y ＝2sin2x 的图象时，首先应描出的五点横坐标可以是( ) A ．0，π2，π，3π2，2π B ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3答案：B知能训练课本本节练习2、3.课堂小结以提问的方式，先由学生反思学习内容并回答，教师再作补充完善．1．怎样利用“周而复始”的特点，把区间[0,2π]上的图象扩展到整个定义域的？ 2．如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线？这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法．除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外，余弦函数图象还可由平移交换法得到．“五点法”作图是比较方便、实用的方法，应熟练掌握．数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．作业课本习题1.3 2.设计感想1．本节课操作性强，学生活动量较大．新课从实验演示入手，形成图象的感知后，升级问题，探索正弦曲线准确的作法，形成理性认识．问题设置层层深入，引导学生发现问题，解决问题，并对方法进行归纳总结，体现了新课标“以学生为主体，教师为主导”的课堂教学理念．如用多媒体课件，则可生动地表现出函数图象的变化过程，更好地突破难点．2．本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确地找到，然后迅速画出图象．备课资料备用习题1．用“五点法”画出下列函数的图象：(1)y＝2－sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝12＋sinx，x∈[0,2π]．2．方程2x＝cosx的解的个数为()A．0 B．1C．2 D．无穷多个3．图10中的曲线对应的函数解析式是()图10A．y＝|sinx| B．y＝sin|x| C．y＝－sin|x| D．y＝－|sinx|4．根据y＝cosx的图象解不等式：－32≤cosx≤12.参考答案：1.解：按五个关键点列表如下：在直角坐标系中描出这五个点，作出相应的函数图象，如下图所示．(1)如图11.图11(2)如图12.图122．D 3.C4．解：如图13.图13解集为{x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z}或{x|2kπ＋7π6≤x≤2kπ＋5π3，k∈Z}．二、潮汐与港口水深我国东汉时期的学者王充说过：“涛之兴也，随月盛衰”．唐代学者张若虚(约660年至约720年)在他的《江花月夜》中，更有“江潮水连海平，海上明月共潮生”这样的优美诗句．古人把海水白天的上涨叫做“潮”，晚上的上涨叫做“汐”．实际上，潮汐与月球、地球都有关系．在月球万有引力的作用下，就地球的海面上的每一点而言，海水会随着地球本身的自转，大约在一天里经历两次上涨、两次降落．由于潮汐与港口的水深有密切关系，任何一个港口的工作人员对此都十分重视，以便合理地加以利用．例如，某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下：(1)把上表中的九组对应值用直角坐标系中的九个点表示出来(如下图中实心圆点所示)，观察它们的位置关系，不难发现，我们可以选用正弦型函数d＝5＋2.5sin π6t，t∈[0,24)来近似地描述这个港口这一天的水深d与时间t的关系，并画出简图(如图14)．图14由此图或利用科学计算器，可以得到t取其他整数时d的近似值，从而把上表细化．(2)利用这个函数及其简图，例如这一年农历八月初二或九月初一，假设有一条货船的吃水深度(即船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(即船底与水底的距离)，那么根据5.5≤d≤7.5，就可以近似得到此船何时能进入港口和在港口能逗留多久．如果此船从凌晨2时开始卸货，吃水深度由于船减少了载重而按0.3 m/h的速度递减，还可以近似得到卸货必须在什么时间前停止才能将船驶向较深的某目标水域．不同的日子，潮汐的时刻和大小是不同的．农历初一和十五涨的是大潮，尤以八月十五中为甚．以上的估算必须结合其他数据一起考虑，才能加以科学利用．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sinx，y＝cosx是函数，我们当然也要探讨它的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．推进新课新知探究由正弦函数、余弦函数图象归纳它们的性质，并利用正、余弦函数的性质解决一些简单的问题．在研究正弦、余弦函数图象与性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R〔或(－∞，＋∞)〕；很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明：∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，∴|sinx|≤1，|cosx|≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1.也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．对于正弦函数y＝sinx，x∈R：(1)当且仅当x ＝π2＋2kπ，k ∈Z 时，取得最大值1.(2)当且仅当x ＝－π2＋2kπ，k ∈Z 时，取得最小值－1.对于余弦函数y ＝cosx ，x ∈R ：(1)当且仅当x ＝2kπ，k ∈Z 时，取得最大值1. (2)当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.关于正、余弦函数的变化趋势教师可引导、点拨学生先截取一段图象来看，选哪一段呢？如图1，通过学生充分讨论后确定：选图象上的[－π2，3π2]这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．这个变化情况也可从下表中显示出来：就是说，函数y ＝sinx ，x ∈[－π2，3π2]．当x ∈[－π2，π2]时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx 的值由－1增大到1；当x ∈[π2，3π2]时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx 的值由1减小到－1.类似地，同样可得y ＝cosx ，x ∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图3，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．图3并引导学生列出下表：结合正弦函数、余弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间[(2k －1)π，2kπ](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2kπ，(2k ＋1)π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.关于对称性，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．在R 上，y ＝sinx 为奇函数，y ＝cosx 为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式：∵sin(－x)＝－sinx ，cos(－x)＝cosx ， ∴y ＝sinx 为奇函数，y ＝cosx 为偶函数．至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x＝π2对称，余弦曲线还关于点(π2，0)对称，等等，这是由它的周期性而来的；教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习打下伏笔．当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y 轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴．但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y轴的位置改变，使增、减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变．由此可看出，图象的平移变换对函数的性质会产生怎样的影响？最后教师与学生一起归纳总结并填写如下表格(或打出幻灯)：应用示例思路1例1课本本节例2.变式训练下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．(1)y＝cosx＋1，x∈R；(2)y＝－3sin2x，x∈R.解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)sin(－π18)与sin(－π10)；(2)cos(－23π5)与cos(－17π4)．活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为在同一个单调区间，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．解：(1)因为－π2<－π10<－π18<0，正弦函数y ＝sinx 在区间[－π2，0]上是增函数，所以sin(－π18)>sin(－π10)．(2)cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4.因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cosx ，x ∈[0，π]是减函数，所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)．点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos π4>0，cos 3π5<0，显然大小可判．例3见课本本节例3.思路2例1求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋sinx；(2)y ＝cosx.活动：学生思考操作，教师提醒学生充分利用函数图象，根据实际情况进行适当地指导点拨，纠正出现的一些错误或书写不规范等．解：(1)由1＋sinx ≠0，得sinx ≠－1，即x ≠3π2＋2k π(k ∈Z )．∴原函数的定义域为{x|x ≠3π2＋2kπ，k ∈Z }． (2)由cosx ≥0，得－π2＋2kπ≤x ≤π2＋2kπ(k ∈Z )．∴原函数的定义域为[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k ∈Z )．点评：本例实际上是解三角不等式，可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果．本例分作两步，第一步转化，第二步利用三角函数曲线写出解集．例2在下列区间中，函数y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间是( )A ．[π2，π]B ．[0，π4]C ．[－π，0]D ．[π4，π2]活动：函数y ＝sin(x ＋π4)是一个复合函数，即y ＝sin[φ(x)]，φ(x)＝x ＋π4，欲求y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间，因φ(x)＝x ＋π4在实数集上恒递增，故应求使y 随φ(x)递增而递增的区间．也可从转化与化归思想的角度考虑，即把x ＋π4看成一个整体，其道理是一样的．解：∵φ(x)＝x ＋π4在实数集上恒递增，又y ＝sinx 在[2kπ－π2，2kπ＋π2](k ∈Z )上是递增的，故令2kπ－π2≤x ＋π4≤2kπ＋π2.∴2kπ－3π4≤x ≤2kπ＋π4.∴y ＝sin(x ＋π4)的递增区间是[2kπ－3π4，2kπ＋π4]．取k ＝－1、0、1分别得[－11π4，－7π4]、[－3π4，π4]、[5π4，9π4]，对照选择肢，可知应选B.答案：B点评：像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝Asin(ωx ＋φ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，如本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法．当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出．解题规律：求复合函数单调区间的一般思路是： (1)求定义域；(2)确定复合过程，y ＝f(t)，t ＝φ(x)； (3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的单调性；(4)写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并求出x 的范围； (5)得到x 的范围，与其定义域求交集，即是原函数的单调区间．结论：对于复合函数的单调性，可以直接根据构成函数的单调性来判断.知能训练课本练习1、4、5、6、7.课堂小结1．由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识，学习了哪些数学思想方法．这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法．2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比的思想方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点．作业判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝－1＋sinx ＋cos 2x1－sinx .解答：(1)函数的定义域为R ，它关于原点对称． ∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx ，f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx ＝f(x)， ∴函数为偶函数．(2)函数应满足1－sinx ≠0，∴函数的定义域为{x|x ∈R 且x ≠2kπ＋π2，k ∈Z }．∵函数的定义域关于原点不对称， ∴函数既不是奇函数也不是偶函数．设计感想1．本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．2．在讲完正弦函数性质的基础上，应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识，并在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，提高应用图象与性质解题的力度．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法．3．学习三角函数性质后，引导学生对过去所学的知识重新认识，例如sin(α＋2π)＝sinα这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了它表明正弦函数的周期性，以提升学生的思维层次．二、备用习题1．函数y ＝sin(π3－2x)的单调减区间是( )A ．[2kπ－π12，2kπ＋5π12](k ∈Z )B ．[4kπ－5π3，4kπ＋11π3](k ∈Z )C ．[kπ－5π12，kπ＋11π12](k ∈Z )D ．[kπ－π12，kπ＋5π12](k ∈Z )2．满足sin(x －π4)≥12的x 的集合是( )A ．{x|2kπ＋5π12≤x ≤2kπ＋13π12，k ∈Z } B ．{x|2kπ－π12≤x ≤2kπ＋7π12，k ∈Z }C ．{x|2kπ＋π6≤x ≤2kπ＋5π6，k ∈Z }D ．{x|2kπ≤x ≤2kπ＋π6，k ∈Z }∪{x|2kπ＋5π6≤x ≤(2k ＋1)π，k ∈Z }3．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝lgsinx ；(2)y ＝2cos3x.4．已知函数y ＝f(x)的定义域是[0，14]，求下列函数的定义域：(1)f(cos 2x)；(2)f(sin 2x －12)．5．已知函数f(x)＝12log |sinx －cosx|.(1)求出它的定义域和值域； (2)指出它的单调区间； (3)判断它的奇偶性； (4)求出它的周期．6．求函数y ＝sin 2x ＋psinx ＋q(p 、q ∈R )的最值．7．若cos 2θ＋2msinθ－2m －2<0恒成立，试求实数m 的取值范围．8．求函数y ＝lgsin(π4－x2)的单调增区间，以下甲、乙、丙有三种解法，请给予评判．同学甲：令t ＝sin(π4－x2)，则y ＝lgt.∵y ＝lgt 是增函数，∴原函数的单调增区间就是t ＝sin(π4－x2)的增区间．又sinμ的增区间为[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k ∈Z )，∴－π2＋2kπ≤π4－x 2≤π2＋2kπ(k ∈Z )，解得4kπ－π2≤x ≤4kπ＋3π2(k ∈Z )．∴原函数的增区间为[4kπ－π2，4kπ＋3π2](k ∈Z )．同学乙：令t ＝sin(π4－x2)，则y ＝lgt.∵y ＝lgt 是增函数，∴原函数的单调增区间就是t 的增区间． ∵t ＝sin(π4－x 2)＝cos(π4＋x 2)，∴只需求出cos(π4＋x2)的增区间，由于cosμ的增区间为[2kπ－π，2kπ](k ∈Z )，∴2kπ－π≤π4＋x 2≤2kπ 4kπ－5π2≤x ≤4kπ－π2(k ∈Z )．∴原函数的增区间为[4kπ－5π2，4kπ－π2](k ∈Z )．同学丙：令t ＝sin(π4－x2)，则y ＝lgt.∵y ＝lgt 是增函数，∴原函数的单调增区间是使t>0且t 为增函数的x 的范围． ∵t ＝sin(π4－x 2)＝cos(π4＋x2)，∴只需求出使t ＝cos(π4＋x2)>0且t 为增函数的x 的区间，于是有2kπ－π2<π4＋x 2≤2kπ4kπ－3π2<x ≤4kπ－π2(k ∈Z )，∴原函数的增区间为(4kπ－3π2，4kπ－π2](k ∈Z )．参考答案：1.D 2.A3．解：(1)由题意得sinx>0，∴2kπ<x<(2k ＋1)π，k ∈Z . 又∵0<sinx ≤1，∴lgsinx ≤0.故函数的定义域为[2kπ，(2k ＋1)π]，k ∈Z ，值域为(－∞，0]． (2)由题意得cos3x ≥0，。

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