现代控制理论-第三章 2 能控性

X 0 → 0 ；能达指在有限的时间 T 内， 0 → X f 。
图 3-11 ②在线性定常连续系统中，能控性与能达性是等价的。 推论： 如果存在控制作用 U (t ) ，能在有限时间 T 内，把系统从任意初始状 态 X 0 转移到有限终了状态 X f ，则称系统状态完全能控。 ③有这么多的定义原因，是对线性定常连续系统而言以上三个定义（甚至 更多）等价，但对于其他类型的系统，这些定义则有可能不等价。比如对线性定 常时间离散系统而言，系统的能控性与能达性就不等价。所以，有必要有许多概 念、定义，以便更深入细致地描述系统的能控性质的差异。 ④能控性的含义是指控制作用 U (t ) 对状态变量 X (t ) 的影响程度。在第二 章 3.1.4 节已指出 X (t ) 的运动只能通过 U (t ) 来影响，但未讨论 U (t ) 对 X (t ) 的影
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第三章 线性系统的结构特性
响能力问题。能控性是控制系统控制能力的标志， U (t ) 对 X (t ) 的影响能力由能 控性来描述。 例 3-8 已知系统的状态模拟图如图 3-12 所示，试判别其能控性。
图 3-12
解： 从图 3-12 可以看出， 系统的输入 u 只能影响系统的状态 x1 ， 不能影响 x 2 （ x 2 趋于零的运动是自由运动，有限时间 T 内做不到） ，因此系统是不能控的。 例 3-9 利用定义判断图 3-13 所示电路系统的能控性
0 1]1×n ⋅ S −1 ，为行向量。
因此，能控标准型具有一般意义,即只要系统能控，则可用能控标准型作为 其模型而不失一般性。 综上，能控标准型一定能控，若能控也能化为能控标准型。
例 3-11
⎡− 1⎤ ⎡ 1 0⎤ X =⎢ X + ⎢ ⎥U , Y = [1 0] X ,将其化为能控标准型。 ⎥ ⎣1⎦ ⎣ − 1 2⎦
2.系统能控性的定义 设线性定常连续系统的状态方程为
X (t ) = AX (t ) + BU (t )，其中A为n × n矩阵，B为n × m矩阵。
系统能控性的定义为： 如果有一个控制作用 U (t ) ，能在有限的时间 T 内， 把系统从任意初始状态 X (0) ≠ 0 ，转移到终了状态 X (T ) = 0 ,则称系统状态完全
Q , 可将该系统的原状态方程变换为能控标准型状态方程。
定理：若 SISO 线性定常连续系统的动态方程为：
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第三章 线性系统的结构特性
X = AX + Bu (t ) Y = CX
若系统能控，即能控性矩阵 S = B 则存在一个非奇异变换矩阵 Qn×n ,使 而得到能控标准型的状态方程：
[
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱAB
A n −1 B
⎡ x1 (k + 1) ⎤ ⎡− 1 0⎤ ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡0⎤ ⎡1⎤ ⎢ x (k + 1)⎥ = ⎢ 0 2⎥ ⎢ x (k )⎥ + ⎢1⎥u (k ) ， X (0) = ⎢1⎥ ⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎦ ⎣ ⎣ 2
试分析系统的输入 u (k ) 对系统状态 X (k ) 的影响。 解：用递推法解系统的状态方程，得
⎤ ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡ (−1) k = ⎥ ⎢ x (k )⎥ ⎢ k k −1 ⎣ 2 ⎦ ⎢ ⎣2 + 2 u (0) + + u (k − 1)⎥ ⎦
无论 u 取何值， 永远不受 u 的控制。 由上式可见， 系统的第一个状态变量 x1 ， 所以，系统的状态不能通过它的输入 u 的作用而转移到任意所需的状态上去。 例 3-10 见讲义 P81
⎡− 1 − 1⎤ =⎢ 3⎥ ⎣1 ⎦
−1
⎡0 ⎤ B = QB = ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦ C = CQ −1 = [2 − 1] .
4.能控性判据之二 判别系统{ A 、B }状态能控性的另一种方法是利用线性非奇异变换，将 A 阵 对角化或约当化，然后根据变换后的 B 阵来判别系统的能控性。 (1) 定理：线性非奇异变换不改变系统的状态能控性。 证明： 变换前系统{ A 、 B }的能控性矩阵 S 为：
0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥ ⎢0 ⎥ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ，B = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ − an ⎥ ⎦ n×1 ⎣1 ⎥ ⎦ n×n
1 ⎤ − an ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ n×n
S = [B
AB
A2 B
⎡0 ⎢ A n −1 B ] = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣1 − a n
系统的能控性矩阵 S 为下三角阵。因为 S = 1 ，所以 rank [S ] = n 。即能控标 准型的状态是完全能控的。 若 SISO 线性定常连续系统状态完全能控， 则存在一个非奇异变换矩阵 (2) 定理：
（2）
这实质上是由几个方程求 nm 个未知量的线性代数方程组。考虑到 X (0) 为任意的，则方 程（2）的解 f 0、f 1 能控性矩阵 S = B
f n −1 存在的充分必要条件为： AB A n −1 B
[
]
n×nm
满秩，即 rank[ S ] = n ，或 SS
T
≠0 .
若方程（2）的解存在，即 f 0、f 1
f n −1 存在，则 u(t)必定存在（由于 f i 是从状态方
程的解（1）中得到的， （2）又表明 f i 存在，又 b j 仅与 A 阵有关，故 u 必存在） ，系统｛A， B｝能控。矩阵 S 称为系统｛A，B｝的能控性矩阵。U(t)非唯一。 上面对 u(t)未加限制， 最优控制是求解某 u(t)使系统的某指标最小， 其时 u(t)应唯一。 即最优控制问题是求 X (0) → X f (T ) 中某指标 J 最小的 u(t)（用格拉姆矩阵证明则无
]
n×nm
非奇异，
X = QX
X = A X + Bu Y = CX
⎡ 0 ⎢ =⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣− a1 1 0 − a2 0 ⎤ ⎥ ⎥ ， 1 ⎥ ⎥ − an ⎦
其中： A = QAQ −1
⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ B = QB = ⎢ ⎥ ， C = CQ −1 ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦ ⎡ q ⎤ ⎢ qA ⎥ ⎥ ， q = [0 变换矩阵： Q = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ n −1 ⎥ ⎣qA ⎦
所以，rank [S ] = 2 < 3 = n 。因为初等变换不改变矩阵的秩，所以系统状态不 完全能控 例 3－10 试判别能控标准型状态的能控性。
解：在能控标准型状态方程中，有
1 ⎡ 0 ⎢ 0 0 ⎢ A=⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎣ − a1 − a 2 所以，其能控性矩阵为
0 1 0 − a3
图 3-13
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第三章 线性系统的结构特性
从上面的三个例子可以看出，对于简单系统来说，可以根据系统能控性的定 义，从状态方程的解或状态模拟图来判断；对较复杂的系统，求解往往很困难， 其状态图一般也较复杂，这时就需要借助能控性判据来判别系统的能控性。 注意：判据皆从定义而来，定义是源、本。当忘记了判据等公式，或遇到特 殊问题时，可以从定义入手解决问题，有时可能导致新的发现。这是面对“问题 本身”的方法。
3.能控性判据之一
系统的状态能控性指的是系统的输入 U (t ) 与系统的状态 X (t ) 之间的关系， 它与系统的输出 y (t ) 无关。也就是说，系统的状态能控性仅与系统的状态方程
X = AX + BU 有关，即只与 A 、 B 阵有关。为了简单起见，把上面的状态方程
简记作 [ A 、 B ]或{ A 、 B }, 其中A为n × n矩阵，B为n × m矩阵。
j =0
n −1
（1）
其中
f j (T ) = ∫ b j (−τ )u (τ )dτ , m × 1 ，为一个确定量（向量）
0
T
将（1）写成矩阵形式：
X (0) = −[ B
AB
⎡ f 0 (T ) ⎤ ⎢ f (T ) ⎥ n −1 ⎥ A B] n×nm ⋅ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ f n −1 (T )⎦ nm×1
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第三章 线性系统的结构特性
1.定理（能控性判据） ： 线性定常连续系统{ A 、 B }状态完全能控的充分必要条件是 其能控性矩阵 S = [ B
AB
A2 B
T
A n −1 B] n×nm 满秩，即 rank [S ] = n 。
证明：
∵ X (T ) = e AT X (0) + ∫ e A(T −τ ) Bu (τ )dτ , X (T ) = 0
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第三章 线性系统的结构特性
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第三章 线性系统的结构特性
(1) 定理（能控性判据） ： 线性定常连续系统{ A 、 B }状态完全能控的充分必要 条件是其能控性矩阵 S = [ B
AB A2 B A n −1 B] n×nm 满秩，即 rank [S ] = n 。
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第三章 线性系统的结构特性
S = [B AB 1 3 2 5 4 ⎤ ⎡2 ⎢ 1 2 2 4 4 ⎥ A B] = ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ − 1 − 1 − 2 − 2 − 4 − 4 ⎣ ⎦
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将上式中能控性矩阵的第二行加到第三行，则经过此初等变换后，有
⎡2 1 3 2 5 4⎤ ⎥。 S=⎢ ⎢1 1 2 2 4 4 ⎥ ⎢ ⎣0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎦
f∃ → u∃ 的问题，在那，甚至可以构造出 u） 。
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第三章 线性系统的结构特性
例 3-9
⎡1 3 2⎤ ⎡2 1⎤ ⎢ ⎥ 已知系统状态方程为 X = ⎢0 2 9⎥ X + ⎢ 1⎥ ⎢1 ⎥U ，试判别系统状态 ⎢ ⎢ ⎣0 1 3 ⎥ ⎦ ⎣− 1 − 1⎥ ⎦
是否完全能控。 解：系统的能控性矩阵为
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第三章 线性系统的结构特性
能控，简称系统能控。若系统中有一个或一些初始状态不能在有限的时间 T 内， 在输入控制 U (t ) 的作用下转移到终了状态 X (T ) = 0 ，则称系统状态不完全能控， 简称系统不能控。 能控态，不能控态。 有限时间 T，存在 U(t)，状态能控，系统能控。 系统能达性的定义为： 若把系统初态规定为状态空间原点，即 X (0) = 0 ,终 了状态规定为状态空间中的任意一个非 0 有限点 X (t ) ， 若存在一个控制作用 U (t ) , 能在有限时间 T 内使系统完成从初态到终态的转移，则称系统具有状态能达性。 讨论： ①能控与能达的几何解释见图 3-11 所示。能控指在有限的时间 T 内，