[理学]第2章 谓词逻辑
第2章谓词逻辑
例2.2.2 将命题“没有最大的自然数”符号化。 解 命题中“没有最大的”显然是对所有的自然 数而言，所以可理解为“对所有的x，如果x是自然 数，则一定还有比x大的自然数”，再具体点，即 “对所有的x如果x是自然数，则一定存在y，y也是 自然数，并且y比x大”。令 N(x): x是自然数， G(x,y): x大于y， 则原命题表示为：
2.3 约束变元与自由变元
定义2.3.1 给定一个谓词公式A，其中有一 部分公式形如(x)B(x)或(x)B(x)，则称它为A 的x约束部分，称B(x)为相应量词的作用域或辖 域。在辖域中，x的所有出现称为约束出现，x 称为约束变元；A中不是约束出现的其它个体变 元的出现称为自由出现，这些个体变元称自由 变元。自由变元可以看作是公式中的参数。
有了项的定义，函数的概念就可用来表示 个体常元和个体变元。例如，令f(x,y)表示x+y， 谓词N(x)表示x是自然数，那么f(2,3)表示个体自 然数5，而N(f(2,3))表示5是自然数。这里函数是 就广义而言的，例如P(x): x是教授，f(x): x的父 亲，c:张强，那么P(f(c))便是表示“张强的父亲 是教授”这一命题。
(x)(N(x)(y)(N(y)∧G(y,x)))。
例2.2.3 将语句“今天有雨雪，有些人会跌跤” 符号化。
解 本语句可理解为“若今天下雨又下雪，则 存在x，x是人且x会跌跤”。
令R: 今天下雨，S: 今天下雪，M(x): x是人， F(x): x会跌跤，则本语句可表示为： R∧S(x)(M(x)∧F(x))。
2.1 个体、谓词和量词 2.2 谓词公式与翻译 2.3 约束变元与自由变元 2.4 公式解释与类型 2.5 等价式与蕴涵式 2.6 谓词公式范式 2.7 谓词逻辑的推理理论
2-123 谓词逻辑(Predicate Logic)
2-2.2 量词(quantifier)
定义：特性谓词 在讨论带有量词的命题函数时，必须确 定其个体域，为了方便，可使用全总个体域。 限定客体变元变化范围的谓词，称作特性谓 词。 利用特性谓词，对以上两个命题进行符 号化 (1) (x)( M(x)→F(x) ) (2) (x)( M(x)∧G(x) )
ax可以表示x是a类型的命题表达了客体的性质称为一元谓词可以表示x小于y类型的命题表达了客体之间的关系称为二元谓词可以表示点x在y与z之间类型的命题表达了客体之间的关系称为三元谓表示n元谓词在这里n个客体变元的顺序不能随意改动
第二章 谓词逻辑 Predicate Logic
前言
苏格拉底三段论(Socrates syllogism)： 所有人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。 （ Socrates, 古希腊哲学家,公元前470~前 399） (孔子,中国伟大哲学家,公元前551~前479)
定义2．存在量词(existential quantifier) 用符号 “ ” 表示。 x 表示存在个体域里的个体。 (x)P(x)表示存在个体域里的个体具有性质P。 符号“”称为存在量词，用以表达“某个”，“存在一 些”，“至少有一个”，“对于一些”等词。 The existential quantifier , a backward E is used to form propositions like （x）P(x), which we read as “there exists an x such that P(x),” “there is an x such that P(x),” or “for some x, P(x).” The compound proposition （x）P(x) has these truth values: （ x ） P(x) is true if P(x) is true for at least one x in U; （x）P(x) is false if P(x) is false for every x in
第2章谓词逻辑
例2-1.2 令S(x)：x是聪明的。 若以全总个体域来讨论是否聪明这样的 属性，和人类的日常思维形式未免相违， 因此为深入研究命题方便，通常采用一 个谓词如P(x)来限制个体变元x的取值范 围，并把P(x)称为特性谓词。 例如，令P(x)：x是大学生。在P(x)约束 的范围中讨论是否聪明是符合日常思维 的。
• 例2-1.1 令S(x)：x是大学生。若x的论域为 某大学的计算机系中的全体同学，则S(x) 是真的；若x的论域是某中学的全体学生， 则S(x)是假的；若x的论域是某剧场中的观 众，且观众中有大学生也有非大学生的其 他观众，则S(x)是真值是不确定的。 • 通常，把一个n元谓词中的每个个体的论 域综合在一起作为它的论域，称为n元谓 词的全总论域。当一个命题没有指明论域 时，一般都以全总个体域作为其论域。
（3）量词
利用n元谓词和它的论域概念，有时还是不能 用符号来很准确地表达某些命题，例如令S(x)： x是大学生，而x的个体域为某单位的职工，那 么S(x)可表示某单位职工都是大学生，也可表 示某单位有一些职工是大学生。为了避免理解 上的歧义，在谓词逻辑中，需要引入用以刻划 “所有的”、“存在一些”等用来表示个体常 项或变项之间数量关系的词，即量词。量词分 为以下两种。
§2-2-2 闭式
定义2-2.4 在公式(x)A(x)或(x)A(x)中，称x为 指导变元，A为相应量词的辖域。在x和x 的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A 中不是约束出现的其他变元均称为是自由出 现的。 注意：一般来说，如果量词后边只是一个原子 谓词公式时，该量词的辖域就是此原子谓词 公式。如果量词后边是括号，则此括号所表 示的区域就是该量词的辖域。如果多个量词 紧挨着出现，则后边的量词及其辖域就是前 边量词的辖域。
第2章 谓词逻辑
第2章谓词逻辑本章主要内容包括谓词逻辑的基本概念、谓词逻辑命题的符号化，谓词公式及其真值，谓词公式的前束范式，重言蕴含式与推理规则等。
下面就此作一简要介绍。
一、谓词逻辑的基本概念及其符号化个体是指可以独立存在的客观实体，它可以是具体的，也可以是抽象的。
具体的特定个体称为个体常量；抽象的、泛指的或在一定范围内变化的个体称为个体变量，也称为个体变元；个体变量的取值范围称为个体域(或论域)；在命题中，表示一个个体性质、特征或多个个体之间关系的成份称为谓词；表示具体性质或关系的谓词称为谓词常量或常谓词，否则称为谓词变量。
一般用大写字母F、G、H等表示谓词，而用X、Y、Z等表示谓词变量。
表示一个个体性质的谓词称为一元谓词：表示多个个体之间关系的谓词称为多元谓词。
在命题中除了个体和谓词外，有时还出现表示数量的词称为量词。
我们讨论的量词有两个，即存在量词和全称量词。
全称量词对应于汉语中的“每个”、“所有的”、“任意的”等，用符号“∀”表示。
存在量词对应于汉语中的“有的”、“至少有一个”、“存在”等，用符号“∃”表示。
在个体域事先给定的情形下，我们只有将个体域中的每个具体的个体代入到F(x)中去确定其真假，才能断定∀xF(x)的真假。
当每一个个体都使得F(x)=1时，就有∀xF(x)=l；否则∀xF(x)=0。
对于∃F(x)，我们只要发现个体域中有(一个或多个)个体使得F(x)=1时，就有∃xF(x)=1；否则(即任何个体都使得F(x)=O)∃xF(x)=0。
在用量词符号化命题时，首先强调的是个体域，同一命题在不同的个体域内可能有不同的符号化形式，同时也可能有不同的真值，因此必须先清楚个体域，不先确定所考虑的个体域就不能准确地表达原命题的意思。
为了解决这一问题，使得符号化表达式有确定的含义而不需事先考虑个体域，我们在符号化表达式中增加一个指出个体变量的变化范围的谓词，这样就可以不需事先考虑个体域而能够准确地把命题的意思表示出来。
第2章 谓词逻辑
谓词逻辑
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2、没有最大的自然数
理解为：“对所有x，若x是自然数，则存在y，y 也是自然数，且y>x”。
解：N(x):x是自然数，G(x,y):x>y,符号化为： (x)(N(x）(y)(N(y) ∧G(y,x))
理解为：“下句话是不对的‘存在一个x，x是自 然数且对一切自然数y，x均大于y’”。
谓词逻辑 25
例：
H(a,b), C(x)B(x), x(M(x)H(x)), x(M(x)C(x)B(x)), xy(M(x) H(x,y)L(x,y))
以上都是谓词公式。 以上出现的大写英文字母均是谓词符号。
谓词逻辑
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练习
例 在个体域分别限制为（a）和（b）条件时， 将下面的命题符号化： （1）对任意的x，都有 x2-5x+6 =(x-2)(x-3) （2）存在x，使得x+1=0。 其中：（a）个体域D1为自然数集合。 （b）个体域D2为实数集合。
命题函数本身不是命题。但是客体变元在哪些范围 内取特定的值，对是否称为命题及命题的真值有极 大的影响。 有限个简单命题函数用联结词联结而形成的表达式 称为复合命题函数。
谓词逻辑 12
量词：
全称量词：
“所有的”，“任何一个”，“每一个”，“凡是”， “一切”表示个体域中每一个，用符号“”表示， 称为全称量词。 例1：将下列命题符号化 (1)所有人都要呼吸 (2)每个人都是要死的
谓词逻辑 9
同一个n元谓词，取不同的客体，真假会不同。 例：A(x)：x是大学生。 A(a) 真值可能为真，而 A(b)真值可能为假。 对于同一谓词，个体域D不同，真值可能也不同。 例：对于A(x)，x是大学生。 如D={大学生全体}， A(x) 是重言式。 如D={学生全体}， A(x) 仅是可满足式。 如D={计算机全体}， A(x) 是永假式。 单独的个体词和谓词不能构成命题，将个体词和 谓词分开不是命题。 谓词不是命题，确定的个体将使其相应的谓词成 为一个命题，这是使谓词转化成命题的一个方法。
第二章谓词逻辑法
3 谓词演算 predicate calculus
3.1 语法和符号 syntax and notation 3.2 连词 conjunctions 3.3 量词 quantifiers
谓词
谓词
在谓词逻辑中，命题是用形如P(x1,x2,…,xn)的谓词来表 述的。一个谓词可分为谓词名与个体两个部分
3.1.2 原子公式（atomic formulas)
谓词公式
原子谓词公式：
是由谓词符号和若干项组成的谓词演算。 若t1,t2,…,tn是项，P是谓词，则称P(t1,t2,…,tn)为原子 谓词公式。
分子谓词公式：
可以用连词把原子谓词公式组成复合谓词公式，并 把它叫做分子谓词公式。
3.1.2 原子公式（atomic formulas)
只有当其对应的语句在定义域内为真时，才具 有值T(真)；而当其对应的语句在定义域内为假 时，该原子公式才具有值F(假)。
“老张是一个教师”：一元谓词 Teacher (Zhang) “机器人在1号房间中” ：INRoom(Robot,r1). “Smith作为一个工程师为IBM工作”： 三元谓词 Works (Smith, IBM, engineer)
谓词
谓词
在n元谓词 P(x1,x2,…,xn)中，若每个个体均为常量、变 元或函数，则称它为一阶谓词。 如果某个个体本身又是一个一阶谓词，则称它为二阶 谓词，如此类推。 个体变元的取值范围称为个体域。个体域可以是有限 的，也可以是无限的。例如用I（x）表示“x是整数” ，则个体域为所有整数，是无限的。 谓词与函数不同，谓词的真值是”T“或”F“，而函数 的值是个体域中的一个个体，无真值可言。
例如：（ x ) INROOM(x,r1) （1号房间内有个物体）
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第二章谓词逻辑在命题逻辑中，我们把原子命题看作命题演算和推理的基本单位，是不可再分的整体。
因而命题逻辑无法研究命题的内部结构及命题之间的内在联系，甚至无法有效地研究一些简单的推理。
例如，著名的“苏格拉底三段论”：凡是人都是要死的；苏格拉底是人；所以苏格拉底是要死的。
我们知道，这个推理是正确的，但用命题逻辑无法说明这一点。
设p:凡人都是要死的；q：苏格拉底是人；r：苏格拉底是要死的。
则“苏格拉底三段论”可符号化为（p∧q）→r。
显然（p∧q）→r不是重言式。
因此，为了能够进一步深入地研究推理，需要对原子命题做进一步的分析。
2.1 谓词逻辑的基本概念2.1.1 个体与谓词我们可以将原子命题的结构分解为个体和谓词。
定义2.1-1 个体(Individual)：个体是我们思维的对象，它是具有独立意义、可以独立存在的客体。
谓词(Predicate)：谓词是表示一个个体的性质或若干个个体之间的关系的词。
个体和谓词一起构成了原子命题中的主谓结构。
例2.1-1⑪海水是咸的。
⑫张强与张亮是兄弟。
⑬无锡位于上海与南京之间。
⑪、⑫、⑬都是原子命题，其中海水、张强、张亮、无锡、上海和南京都是个体，“…是咸的”、“…与…是兄弟”和“…位于…与…之间”都是谓词。
⑪中的谓词描述了一个个体的性质，称为一元谓词，⑫中的谓词表示两个个体之间的关系，称为二元谓词，⑬中的谓词表示三个个体之间的关系，称为三元谓词。
依次类推，我们将描述n个个体之间关系的谓词称为n元谓词，通常用大写英文字母来表示谓词。
为方便起见，将命题称为零元谓词。
例如，例2.1-1中的三个谓词可符号化为：P(x)：x是咸的；Q(x，y)：x与y是兄弟；R(x，y，z)：x位于y和z之间。
这里P 、Q 和R表示的都是具体的谓词，称为谓词常元；否则称为谓词变元。
P(x)、Q(x，y)和R(x，y，z)等都是谓词表示的函数形式，通常称为谓词函数，简称为谓词。
然而，仅仅一个谓词，即使是谓词常元，也不能构成一个命题。
2谓词逻辑
存在量词：“ ” 称为存在量词，用来表达 “某个”、 “存在一些”、“至少有一个”、“对于一些” 等词。 例4：采用存在量词翻译下列命题 1) 至少有一台微机是坏的 设 A(x): x是微机 B(x): x是坏的 (x) ( A(x) B(x) ) 2) 有些人没有来上课 设 M(x): x是人 C(x): x没来上课 (x)( M(x) C(x) ) 3) 存在小于3的自然数 设 N(x): x是自然数 L(x): x小于3 (x)( N(x) L(x) )
第2章 谓词逻辑
客体
a:张三
谓词 S(x):x是个大学生
S(a)
张三是个大学生
客体常元：表示确定的客体，以a，b，c…或带下 标的ai，bi，ci…表示。 客体变元：表示不确定的客体，以x，y，z…或xi， yi，zi…表示。 谓词常元：表示确定谓词。如S(x):x是个大学生 谓词变元：表示不确定的谓词。如S,R。
第2章 谓词逻辑
约定： 最外层括号可以省略；量词后面如果有括号，
则不能够省略。 例如： (x)(P(x) Q(x)) (x) P(x) Q(x) 2. 谓词公式的翻译 例1：并非名人的话都是名言 解：设 R(x): x是名人的话 F(x): x是名言
¬ (x)( R(x) F(x) )
解：设 M(x): x是人 P(x): x聪明 (x)( M(x) P(x) ) ¬ ((x)( M(x) P(x))) 例4：如果有限个数的乘积为零，那么至少有一个因子为零 解：设 A(x): x是有限个数的乘积 B(x): x为零 C(x): x是乘积中的一个因子 (x)( A(x) B(x) ) (y)( C(y) B(y))
2、如果没有给出个体域，都应该统一为全总个体域。
1第2章谓词逻辑本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，谓词....
第2章 谓词逻辑本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，谓词逻辑推理证明.一、重点内容1. 谓词与量词谓词，在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词. 个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念。
谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间关系的词. 个体词分个体常项(用a ,b ,c ,…表示)和个体变项(用x ,y ,z ,…表示)；谓词分谓词常项(表示具体性质和关系)和谓词变项(表示抽象的或泛指的谓词)，用F ,G ,P ,…表示.注意，单独的个体词和谓词不能构成命题，将个体词和谓词分开不是命题.量词，是在命题中表示数量的词，量词有两类：全称量词∀，表示“所有的”或“每一个”；存在量词∃，表示“存在某个”或“至少有一个”.在谓词逻辑中，使用量词应注意以下几点：(1) 在不同个体域中，命题符号化的形式可能不同，命题的真值也可能会改变.(2) 在考虑命题符号化时，如果对个体域未作说明，一律使用全总个体域.(3) 多个量词出现时，不能随意颠倒它们的顺序，否则可能会改变命题的含义.谓词公式只是一个符号串，没有什么意义，但我们给这个符号串一个解释，使它具有真值，就变成一个命题. 所谓解释就是使公式中的每一个变项都有个体域中的元素相对应.在谓词逻辑中，命题符号化必须明确个体域，无特别说明认为是全总个体域。
一般地，使用全称量词∀，特性谓词后用→；使用存在量词∃，特性谓词后用∧.2. 公式与解释谓词公式，由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定义见教材). 命题的符号化结果都是谓词公式.例如∀x (F (x )→G (x ))，∃x (F (x )∧G (x ))，∀x ∀y (F (x )∧F (y )∧L (x ,y )→H (x ,y ))等都是谓词公式. 变元与辖域，在谓词公式∀xA 和∃xA 中，x 是指导变元，A 是相应量词的辖域. 在∀x 和∃x 的辖域A 中，x 的所有出现都是约束出现，即x 是约束变元，不是约束出现的变元，就是自由变元. 也就是说，量词后面的式子是辖域. 量词只对辖域内的同一变元有效.换名规则，就是把公式中量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变.代入规则，就是把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号.解释(赋值)，谓词公式A 的个体域D 是非空集合，则 (1) 每一个常项指定D 中一个元素； (2) 每一个n 元函数指定D n 到D 的一个函数；(3) 每一个n 元谓词指定D n 到{0,1}的一个谓词；按这个规则做的一组指派，称为A 的一个解释或赋值.在有限个体域下，消除量词的规则为：如D ＝{a 1,a 2,…,a n }，则)(...)()()()(...)()()(2121n n a A a A a A x xA a A a A a A x xA ∨∨∨⇔∃∧∧∧⇔∀谓词公式分类，在任何解释下，谓词公式A 取真值1，公式A 为逻辑有效式(永真式)；在任何解释下谓词公式A 取真值0，公式A 为永假式；至少有一个解释使公式A 取真值1，公式A 称为可满足式.3. 前束范式 一个谓词公式的前束范式仍是谓词公式. 若谓词公式F 等值地转化成B x Q x Q x Q k k ...2211那么B x Q x Q x Q k k ...2211就是F 的前束范式，其中Q 1，Q 2，…，Q k 只能是∀或∃，x 1,x 2,…,x k 是个体变元，B 是不含量词的谓词公式.每个谓词公式F 都可以变换成与它等值的前束范式. 其步骤如下：① 消去联结词→，↔，⎺∨；② 将联结词⌝移至原子谓词公式之前；③ 利用换名或代入规则使所有约束变元的符号均不同，并且自由变元与约束变元的符号也不同；④将∀x ,∃x 移至整个公式最左边；⑤ 得到公式的前束范式.4.谓词逻辑的推理理论 谓词演算的推理是命题演算推理的推广和扩充，命题演算中的基本等值公式，重言蕴含式以及P ，T ，CP 规则在谓词演算中仍然使用. 在谓词演算推理中，某些前提和结论可能受到量词的限制，为了使用这些推理，引入消去和附加量词的规则，有US 规则(全称量词消去规则)，UG 规则(全称量词附加规则)，ES 规则(存在量词消去规则)，EG 规则(存在量词附加规则)等，以便使谓词演算公式的推理过程可类似于命题演算的推理进行.二、实例例2.1 将下列命题符号化：(1) 有某些实数是有理数；(2) 所有的人都呼吸；(3)每个母亲都爱自己的孩子.注意：一般地，全称量词“∀”后，跟蕴含联结词“→”；存在量词“∃”后，跟合取联结词“∧”.解 (1) 设R (x )：x 是实数，Q (x )：x 是有理数。
第二章谓词逻辑
第二章 谓词逻辑
2.1 谓词的概念与表示
苏格拉底三段论：
所有人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底 是要死的。
用P,Q,R分别表示以上三个命题。 则得到推理的形式结构为：
(P∧Q)→R
第二章 谓词逻辑
2.1 谓词的概念与表示
谓词逻辑命题符号化的三个基本要素：客体词、 谓词、量词。 反映判断的句子由主语和谓语组成。
第二章 谓词逻辑
2.2 命题函数与量词
每个由量词确定的表达式都与个体域有关。为了方便，
将所有命题函数的个体域全部统一，使用全总个体域，之
后，对每一个客体变元的变化范围，用特性谓词加以限制。 特性谓词：从全总个体域中分离出一个集合，定义的
谓词。
对全称量词，特性谓词常作蕴含的前件，对存在量 词，特性谓词常作合取项。
则: (1) x (M(x) → F(x));
(2) x (M(x)∧ G(x)).
第二章 谓词逻辑
由上面例子可见：
（1）在不同个体域中，同一个命题的符号化形式可能不同。 一般地，对全称量词，特性谓词应作为蕴含式的前件。
一般地，对存在量词，特性谓词应作为合取式的一项。 （2）同一个命题，在不同个体域中的真值也可能不同。
组成的表达式为复合命题函数。
逻辑联结词组、∧、∨、—>、<—>的意义与 命题演算中的解释完全类同。
第二章 谓词逻辑
2.2 命题函数与量词
有了个体词和谓词的概念之后，有些命题还是不能准确地符号化 。 以前面所讨论的三段论为例： 令：P(x)：x是偶数。 S(x) ： x能被2整除。 a：6。
符号化为： (1)P(x)→S(x) (2)P(a) (3)S(a) 我们知道，“凡偶数都能被2整除。”是一个真命题， 而“P(x)→S(x)”是一个一元函数，不是一个命题。原因是 “P(x)→S(x)”没有把命题(1) 中“凡”的意思表示出来。 即缺少表示个体常项或变项的数量关系的词。所以还要引入量 词的概念。
第二章 谓词逻辑
§5谓词演算的等价式与蕴含式 谓词演算的等价式与蕴含式
命题逻辑 ¬¬Ｐ⇔Ｐ Ｐ∨Ｐ⇔Ｐ
《定义》给定谓词公式A，E是A的个体域。若给A中客体 定义》 变元指派E中的每一个客体所得命题的值均为真，则称A在 在 E中是永真的 中是永真的。若E为任意域则称A是永真的 是永真的。 中是永真的 是永真的
§5谓词演算的等价式与蕴含式 谓词演算的等价式与蕴含式
《定义》给定谓词公式A，E是A的个体域。若给A中客体变 定义》 元指派E中客体时在E中存在一些客体，使得指派后的真值为 “T”，则A称是可满足的 可满足的。 可满足的 《定义》若给A中客体变元指派个体域中任一客体名称，使 定义》 命题的值均为“F”，则称A是永假的 永假的。 永假的 1.不含量词的谓词公式的永真式 : 不含量词的谓词公式的永真式 只要用原子谓词公式 原子谓词公式去代永真命题公式中的原子命题变元 原子命题变元， 原子谓词公式 原子命题变元 则在第一章中永真蕴含式和等价公式均可变成谓词演算中的 永真式。
§1 谓词的概念与表示法
1.谓词： 谓词： 谓词 定义》 谓词。 《定义》：用以刻划客体的性质或关系的词即是谓词 谓词 我们可把陈述句分解为二部分： 主语（名词，代词）和谓语（动词）。 例：张华是学生，李明是学生。则可把它表示成： H:表示“是学生”，j:表示“张华”，m:表示“李 明”，则可用下列符号表示上述二个命题：H(j)，H(m)。 H作为“谓词”（或者谓词字母）用大写英文字母表示， j,m为主语，称为“客体”或称“个体”。
§4 变元的约束
（2）个体域不同，则表示同一命题的值也不同。Q(x): x<5 ）
∀xQ(x) ∃xQ(x)
{-1,0,3} T T
{-3,6,2} F T
第2章谓词逻辑
显然，n元谓词不是命题。只有当个体变元用特定的个体 替代时，才成为一个命题。但个体变元的取值范围，对命题的 真值极有影响。例如，用F(x)表示x是大学生，当取值范围限 定为某大学的全体学生时，F(x)是真的，但当取值范围限定为 某中学的所有学生时，则F(x)是假的。因此，在谓词逻辑中， 我们要指定个体的取值范围。
2020/8/15
第2章 谓词逻辑 定义2.5 个体的取值范围称为个体域或论域；所有个体的
取值范围称为全总个体域。 一般情况下，如果没有特别说明，个体的取值范围为全总
个体域。当给定个体域后，个体常元为该个体域中的一个确定 的元素，个体变元则可取该个体域中的任一元素。
2020/8/15
第2章 谓词逻辑
第2章 谓词逻辑
例4 用谓词和量词将下列命题符号化： (1)所有的人都是要死的。 (2)每个自然数都是实数。 (3)一些大学生有远大的理想。 (4)有的学生选修了人工智能课。 解： (1)符号化为(x)(S(x)L(x))，其中，S(x)：x是人，L(x)： x是要死的。 (2)符号化为(x)(N(x)R(x))，其中，N(x)：x是自然数， R(x)：x是实数。 (3)符号化为(x)(P(x)∧Q(x))，其中，P(x)：x是大学生， Q(x)：x有远大理想。 (4)符号化为(x)(F(x)∧T(x))，其中，F(x)：x是学生，T(x)： x选修了人工智能课。
例3 将下列命题符号化： (1)张三和李四都是三好学生。 (2)赵斌是象棋迷或围棋迷。 (3)李林比张强高。 (4)如果你不出去，我就不进来。 解 (1)符号化为S(a)∧S(b)，其中，S(x)：x是三好学生， a：张三，b：李四。
第二章 谓词逻辑
练习：将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）凡正数都大于零。 （2）存在小于2的素数。 （3）没有不能表示成分数的有理数。 （4）并不是所有参加考试的人都能取得好 成绩。 解： （1） 令F (x): x是正数。M (x): x大于零。 则符号化为： (x) (F (x) M (x)) 真值为1。
（2） 令E (x): x小于2。S (x): x是素数。 则符号化为： (x) (E (x) ∧S (x)) 真值为0。 （3）令D (x): x是有理数。 F (x): x能表示成分数。 则符号化为： (x) (D (x) F (x)) 或¬(x) (D (x) ∧¬F (x)) 真值为１。 （4）令M (x)：x是人. Q (x): x参加考试。 H (x): x取得好成绩。则符号化为： ¬(x) (M (x)∧ Q (x) H (x)) 或 (x) (M (x)∧ Q (x) ∧¬H (x)) 真值不定。
例3：设x, y, z是整数，将下列命题符号化 （1）对一切x成立x+0=x。 （2）对于任意x, y有z满足x + y =z。 （3）对于任意x和任意y均有x y=y。 （4）有一个x使得x y=y对一切y成立。 解: (1)(x)(x+0=x) (2) (x) (y) (z) (x + y =z) (3) (x) (y) (x y =y) (4) (x) (y) (x y =y)
但这两个命题有共同点，即它们的谓语部 分是相同的，因此我们用符号表示这两个 命题时既要考虑它们的不同又要考虑它们 的相同之处，所以我们可以用P表示它们相 同的谓语部分“是工人”而用a, b 表示张 三；李四，则这两个命题可表示为P(a), P(b)。 谓词逻辑就是对原子命题的成份、结 构和原子命题间的共同特性等作了进一步 分析。引入了个体词、谓词、量词、谓词 公式等概念，在此基础上研究谓词公式间 的等值关系和蕴含关系，并且对命题逻辑 中的推理规则进行扩充和进行谓词演绎。
第二章 谓词逻辑2-1至2-3
谓词的概念和表示
2-1、谓词的概念和表示
命题是反映判断的句子，一般有主语和谓语两部 分组成。 例如：电子计算机是科学技术的工具。 其中：“电 子计算机”是主语，“是科学技术的工具”是谓语。 主语一般是客体，客体可以独立存在。 用以刻划客体的性质或关系的即是谓词。 例如（1）他是三好学生。 （2）7 是质数。
例如，简单而有名的苏格拉底三段论： 所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。 这个显然成立的推理在第一章中是不能进行推证的，比如令P表示： 所有的人都是要死的，Q表示：苏格拉底是人，R表示：苏格拉底是要 死的。于是该推理可以表示为： P∧Q R 但是，用第一章命题逻辑的方法并不能证明该推理成立，因为P∧Q→R 不是重言式。比如当P、Q为T，R为F时，P∧Q→R的真值为F。 苏格拉底三段论在命题逻辑中不能推证的原因是命题公式描述能力的 局限性。比如：“所有的人都是要死的”和“苏格拉底是要死的”这两 个命题所表述的性质都为：“是要死的”，但在命题逻辑中需用两个不 同的命题符号P和R来表示，两个不同的符号显然掩盖了两个命题描述 性质的共同性。这样必须要对命题的内部关系进行深入地研究。
例4： 用 存 在 量 词 表 述 “ 些 人 是 聪 明 的 ” 一 解 ： 设 （x） ：X是 人 。 （x） ：X是 聪 M R 明 的 。 则 上 述 命 题 表为 ： 述 （x） （M（x） R（x） ）
例：发光的不都是金子。
解：L(X):x是发光的。B(x):x是金子。
(x )(L( x ) B( x ))
例：有些人早饭吃面。 包 解 : M ( x ) : x是 人 。 E ( x ) : x早 饭 吃 面 包 ( x )( M ( X ) E ( x ))
第2章 谓词逻辑-1
定义2.1.1:由一个谓词H和n个客体变元组成的表 达式H(x1, x2 , …, xn)称为n元简单命题函数. 由定义可知, n元谓词就是有n个客体变元的命题 函数.当n=0时,称为0元谓词.因此,一般情况下,命题 函数不是命题;特殊情况0元谓词就变成一个命题. 复合命题函数:由一个或几个简单命题函数以及 逻辑联结词组合而成的表达式.
(x) A(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) (x) A(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
例6：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）所有的人都长头发。 （2）有的人吸烟。 （3）没有人登上过木星。 （4）清华大学的学生未必都是高素质的。 解：令 M(x): x是人。（特性谓词） （1） 令F(x): x长头发。则符号化为： （x）(M(x) F(x)) （2） 令S(x): x吸烟。则符号化为： （x）(M(x)∧S(x)) （3） 令D(x): x登上过木星。则符号化为： ┐(x)(M(x)∧D(x))
(4)一般来说，当多个量词同时出现时，它们的顺序不能
随意调换。如： 在实数域上用H(x,y)表示x+y=5,则命题“对于任意的x, 都存在y使得x+y=5”可符号化为： xyH(x,y) ,其真值 为1.若调换量词顺序后为： yx H(x,y) , 其真值为0。 (5) 当个体域为有限集合时,如D={a1, a2 …, an},对任 意谓词A(x),有
所有的人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。 根据常识，认为这个推理是正确的。但是，若用命题逻辑 （Ls）来表示，设P、Q和R分别表示这三个原子命题，则 有 P，QR 然而，(P∧Q)→R 并不是永真式，故上述推理形式又是错 误的。一个推理，得出矛盾的结论，问题在哪里呢? 问题就 在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系不是体现在原子 命题之间，而是体现在构成原子命题的内部成分之间，即 体现在命题结构的更深层次上。对此，Ls是无能为力的。 所以，在研究某些推理时，有必要对原子命题作进一步分 析，分析出其中的个体词，谓词和量词，研究它们的形式 结构的逻辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是谓词 逻辑（简称为Lp）的基本内容。
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命题逻辑的局限性： 在命题逻辑中，命题是命题演算的基本 单位，不再对原子命题进行分解，因而无法 研究命题的内部结构、成分及命题之间的内 在联系，甚至无法处理一些简单而又常见的 推理过程。
例如，下列推理： 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。 众所周知,这是真命题。但在命题逻辑中,如 果用P,Q,R表示以上三个命题，则上述推理过 程为：（P∧Q）R。借助命题演算的推理理 论不能证明其为重言式。
谓词：用来刻划客体的性质或客体之间的相互关系的词。 例如在下面命题中： （1）张明是个劳动模范。 （2）李华是个劳动模范。 刻划客体的性质 （3）王红是个大学生。 （4）小李比小赵高2cm。 （5）点a在b与c之间。 刻划客体之间的相互关系 （6）阿杜与阿寺同岁。 “是个劳动模范”、“是个大学生”、“…比…高2cm”、 “… 在…与…之间”都是谓词。
implications of predicate calculus) 2.5前束范式(Prenex normal form)
2.6谓词演算的推理理论(Inference theory of
predicate calculus)
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
定义2.1.1:由一个谓词H和n个客体变元组成的表 达式H(x1, x2 , …, xn)称为n元简单命题函数. 由定义可知, n元谓词就是有n个客体变元的命题 函数.当n=0时,称为0元谓词.因此,一般情况下,命题 函数不是命题;特殊情况0元谓词就变成一个命题. 复合命题函数:由一个或几个简单命题函数以及 逻辑联结词组合而成的表达式.
刻划一个客体性质的词称之为一元谓词 , 刻划 n 个客体 之间关系的词称之为n元谓词. 一般我们用大写英文字母表示谓词，用小写英文字母 表示客体名称，例如，将上述谓词分别记作大写字母F、 G、H、R，S则上述命题可表示为： (1) F(a) a：张明 (2) F(b) b：李华 (3) G(c) c：王红 (4) H(s,t) s：小李 t：小赵 (5) R(a,b,c) (6) S(a,b) a:阿杜。b:阿寺。 其中(1)、(2)、 (3)为一元谓词， (4) 、 (6)为二元谓词， (5)为三元谓词。
例如: H(x,y)∧H(y ,z)H(x,z)
若H(x,y)解释为: x大于y,当x,y,z都在实数中取值时,
则这个式子表示“若x大于y 且y 大于z，则x大于 z” 。这是一个永真式。 如果H(x,y)解释为: “x是y的儿子”, 当x,y,z都指人时， 则这个式子表示“若x为y的儿子 且y 是z的儿子， 则x是z的儿子” 。这是一个永假式。 如果H(x,y)解释为: “x距y10米”, 当x,y,z为平面上的 点，则这个式子表示“若x距y10米且y距z10米，则 x距z10米” 。这个命题的真值将由x,y,z的具体位 置而定，它可能是1，也可能是0。
原因：命题逻辑不能将命题之间的内在联系 和数量关系反映出来。 解决办法：将命题进行分解。
2.1 谓 词 的 概 念 与 表 示 (Predicate and its expression) 2.1.1 客体和谓词 在谓词逻辑中，可将原子命题划分为客体 和谓词两部分。 客体：可以独立存在的具体事物的或抽象的概 念。例如，电子计算机、李明、玫瑰花、黑 板、实数、中国、思想、唯物主义等，客体也 可称之为主语。
同理，客体变元x，y具有关系L，记作L(x,y); 客体变元x, y, z具有关系A，记作A(x,y,z). H(x)、L(x,y,z后，它们才成为 命题。我们称H(x)、L(x,y) 、A(x,y,z)为命题函数。 一般地我们有
例1:若x的学习好,则x的工作好 设S(x):x学习好；W(x):x工作好 则有S(x) W(x) 例2:将下列命题用0元谓词符号化. (1) 2是素数且是偶数. (2) 如果2大于3,则2大于4. (3) 如果张明比李民高, 李民比赵亮高,则张明比赵亮 高.
解:(1) 设F(x): x是素数. G(x): x是偶数. 则命题符号化为： F(2)∧G(2) (2) 设L(x,y) ：x大于y. 则命题符号化为： L(2,3) L(2,4) (3) 设 H(x,y): x比y高. a:张明 b:李民 c：赵亮 则命题符号化为： H(a,b)∧H(b ,c)H(a,c) 注意:命题函数中,客体变元在哪些范围内取特定的 值,对命题的真值极有影响.
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第二章 谓词逻辑 Predicate Logic
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
谓词逻辑
谓词的概念与表示
谓词公式与翻译
变元的约束 谓词演算的等价式与蕴含式
前束范式
谓词演算的推理理论
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and its expression) 2.2谓词公式与翻译(Predicate formulae) 2.3变元的约束(Bound of variable) 2.4谓词演算的等价式与蕴含式(Equivalences &
注: (1)单独一个谓词并不是命题，在谓词字母 后填上客体所得到的式子称之为谓词填式。 (2)在谓词填式中，若客体确定，则A(a1， a2...an)就变成了命题 (3)在多元谓词表达式中，客体字母出现的 先后次序与事先约定有关,一般不可以随意交 换位置(如,上例中H(s,t) 与H(t, s)代表两个不 同的命题) 。
设谓词H表示“是劳动模范”, a表示客体名称 张明, b表示客体名称李华,c表示客体名称这只老 虎，那么H(a) 、 H(b)、 H(c)表示三个不同的命 题,但它们有一个共同的形式,即H(x).一般地， H(x)表示客体x具有性质H。这里x表示抽象的或 泛指的客体，称为客体变元，常用小写英文字母 x, y, z, …表示。相应地，表示具体或特定的客体 的词称为客体常项，常用小写英文字母a,b,c, …表 示。