高等代数 第8章线性变换 8.5 不变子空间 特征值 特征向量
高等代数课件 第八章
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
高代考研辅导第8章线性变换
八．线性变换1.（中国科学院2006）若α为一实数，试计算11lim nn n nαα→+∞⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭。
解令11n A nαα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，容易求得A 的两个特征值为1,1i i n n αα+-，相应的特征向量为1,1i i ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
令11i P i ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1111112i i P i i --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，使得11001i n A P P i n αα-⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪-⎪⎝⎭，1(1)00(1)n nn i n A P P i n αα-⎛⎫+ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭。
注意1(1)1lim lim in in in n n i i e n ααααα→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦，(1)lim n i n i e nαα-→∞-=，所以11011120lim ini n i i e A i i e αα-→∞-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos sin 1sin cos 2i ii i iii i e e ie ie ie ie e e αααααααααααα----⎛⎫+-+⎛⎫== ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭。
2.（华南理工大学2006）设()n V M F =表示数域F 上n 阶全体矩阵的向量空间。
定义：(),()T n A A A M F σ=∀∈。
（1）证明：σ是线性变换；（2）求σ的全部特征子空间；（3）证明：σ可对角化。
证明（1）,(),n A B M F k F ∀∈∀∈，有()()()()T T T A B A B A B A B σσσ+=+=+=+，()()()T T kA kA kA k A σσ===，所以σ是线性变换；（2）设λ是σ的特征值，A 为对应于λ的特征向量（某个非零矩阵），则()A A σλ=，22()()T T A A A A σλ===，于是21λ=，得1λ=±。
高等代数课程标准
《高等代数》课程标准一、课程概述高等代数是高等师范院校数学教育专业的一门重要基础课程，本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论.此外,还介绍群丶环丶域的基本概念。
通过本课程的教学,应使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法,并能处理中学数学的有关教材内容。
同时,培养学生的科学思维丶逻辑推理和运算的能力,以及学生的辩证唯物论观点。
在教学中应注意理论联系实际,联系中学教学。
二、课程目标1、知道《高等代数》这门学科的性质、地位、研究对象及内容、研究方法、知识架构、学科进展及未来发展方向。
2、理解该学科的主要概念、基本原理。
如多项式、行列式、矩阵、向量空间、二次型等。
3、掌握该课程的基本方法和计算与证明技巧。
4、学会应用该学科的原理和基本方法解决实际问题，为学习其它课程打下必要的基础，高观点解决中学数学实际问题。
三、课程内容和教学要求本课程主要内容:基本概念、多项式、行列式、线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型以及群、环和域简介。
教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。
本标准中打“*”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。
第一章基本概念第二章多项式第三章行列式第四章线性方程组第五章矩阵第六章向量空间第七章线性变换第八章欧氏空间第九章二次型第十章群丶环和城简介*四、课程实施(一) 课时安排与教学建议高等代数是数学专业的基础必修课,系主干课程。
一般情况下,每周安排5课时,共165课时.具体课时安排如下:(二) 教学组织形式与教学方法要求教学组织形式：采用以教学班为单位进行授课的教学形式。
教学方法要求：以课堂讲授结合多媒体和讨论为主，辅以课外作业、单元测验、答疑等,有条件的话，可以进行专业调查和课程设计，或组织课外兴趣小组，培养学生对该课程知识综合运用能力和发现问题、分析问题、解决问题的能力。
五、教材编写与选用《高等代数》，张禾瑞、郝鈵新。
高等代数学习指导书-丘维声-例题截图
这是丘维声先生《高等代数学习指导书（下册）》里面例题的截图，只截了其中的大部分，而且每节所截例题的情况也可能不同，刚开始漏的比较多，后面的可能比较全了。
我也试着打印了一下，效果还不错；只是没有去排版，每节只写了标题，下面就是例题。
以后可以拿着一两张纸来做题思考，而且不用受答案的干扰。
我希望这个能对大家有用。
不过我要声明一下，这个文件或者习题截图只是用来学习，勿用做他处。
7.1 一元多项式环7.2 整除关系，带余除法7.3 最大公因式7.4 不可约多项式，唯一因式分解定理7.5 重因式7.6多项式的根，复数域上的不可约多项式7.7实数域上不可约多项式，实系数多项式的根7.8有理数域上的不可约多项式7.9多元多项式环7.10对称多项式7.11 结式7.12 域与域上的一元多项式环第八章线性空间8.1 域F上线性空间的基和维数8.2 子空间及其交与和，子空间的直和8.3域F上线性空间的同构8.4商空间第九章线性映射9.1 线性映射及其运算9.2 线性映射的核与像9.3 线性映射和线性变换的矩阵表示9.4线性变换的特征值和特征向量，线性变换的可对角化的条件9.5 线性变换的不变子空间，Hamilton-Cayley定理9.6 线性变换和矩阵的最小多项式9.7 幂零变换的Jordan的标准型9.8 线性变换的Jordan标准型9.9线性变换的有理标准型9.10 线性函数与对偶空间第10章具有度量的线性空间10.1 双线性函数10.2 欧几里得空间10.3正交补，正交投影10.4 正交变换，对称变换。
高等代数中的特征值与特征向量
高等代数中的特征值与特征向量在高等代数中，特征值与特征向量是研究矩阵性质和变换的重要工具。
特征值和特征向量描述了矩阵在线性变换下的一些重要特性，对于理解和解决许多实际问题具有重要意义。
一、特征值与特征向量的定义特征值是指矩阵A与其特征向量x相乘的结果与x的线性关系，即Ax=kx，其中k为常数。
特征向量是指在矩阵A的作用下，保持方向不变，只改变长度的非零向量。
二、特征值与特征向量的计算要计算矩阵的特征值与特征向量，可以通过求解特征方程来实现。
特征方程是通过将矩阵A减去kI（其中I为单位矩阵）后求解行列式的方式得到的，即det(A-kI)=0。
解特征方程可以得到矩阵的特征值，将特征值代入原方程可以求解对应的特征向量。
三、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在许多实际问题中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用案例：1. 矩阵对角化通过求解矩阵的特征值与特征向量，可以将矩阵对角化，即将矩阵表示为对角矩阵与特征向量的乘积。
对角化可以简化矩阵计算，使得问题的求解更加容易。
2. 线性变换特征值与特征向量描述了线性变换的一些重要性质。
通过求解矩阵的特征值与特征向量，可以了解线性变换对空间的拉伸、压缩、旋转等变化。
这对于图像处理、机器学习等领域有着重要的应用。
3. 差分方程的稳定性分析差分方程是描述离散时间系统动态行为的重要工具。
通过求解差分方程对应的矩阵的特征值，可以判断差分方程的稳定性。
稳定性分析对于控制系统设计、信号处理等领域非常重要。
4. 特征脸识别特征脸识别是一种基于特征值与特征向量的人脸识别方法。
通过将人脸图像转换为特征向量，并计算特征向量之间的距离，可以判断两张人脸是否相似。
这种方法在人脸识别、安防等领域得到了广泛应用。
四、特征值与特征向量的性质特征值与特征向量具有一些重要的性质：1. 矩阵的特征值之和等于其迹（矩阵对角线元素之和），特征值之积等于其行列式的值。
2. 矩阵的特征向量是线性无关的，且特征向量对应不同特征值的特征向量也是线性无关的。
高等代数 第8章线性变换 8.5 不变子空间 特征值 特征向量
表示阵，则是的特征根的充分
必要条件是： 行列式
I A 0
求线性变换的特征根与 特征 向量的具体方法如下： （ 1 ）在线性空间 V中找出一个 基底，求出线性变换在 基底 上的表示阵 A。 （2）求出的多项式： （） I A 0在数域F 上的所有根，即特征根 。
(3)设 0 是其一个根，求出齐次 线性 方程组： x1 0 x 2 0 0 I A 的基础解系： x 0 n
x1 0 0 x2 I A 0 0 x n
的全体向量组成的。
推论2：设是n维线性空间V上 的线性变换， ， 1， 2， n 是V的 基底，A是在 1， ， 2， n 上的
（证明略）
定义2：设是线性空间V上的 线性变换，是数域F中的一个 数，如果存在一个非零 向量 使得（） 则称是 的特征根，称 为属于特征根
的特征向量。
定理1：设V是n维线性空间， ， ， ， 是它的基底， V 上 1 2 n 的线性变换在基底上的表示阵 为A，是的特征1 b2 r 1 ,, r 则： b b n1 nr k 1 1 k 2 2 k r r 即为
的属于 0 的特征向量。
特征根与特征向量的性质
不变子空间，特征根与特征向量
定义1 设是数域F上线性空间V的线性变换， W是V的子空间，如果
则称W在之下不变，简称W为V的 —子空间。
命题1：设S是V n 子空间， t 是S 1， 2， 的基底，是V n 的线性变换，则 S是的 不变子空间的充分必要 条件是：
（ i ) S , i 0,1,2,t.
高等代数探索线性变换与特征值特征向量
高等代数探索线性变换与特征值特征向量在高等代数中，线性变换和特征值特征向量是两个重要的概念。
线性变换是指将一个向量空间的元素映射为另一个向量空间的元素的数学操作，而特征值特征向量则用于描述线性变换的性质和特点。
本文将探索线性变换和特征值特征向量的相关概念、性质以及在实际问题中的应用。
一、线性变换的定义线性变换是指对于一个向量空间V到自身的映射T，满足以下两个条件：1. 对于任意的向量u和v，以及标量k，都有T(u+v) = T(u) + T(v)和T(ku) = kT(u)；2. 对于零向量0，有T(0) = 0。
线性变换可以通过矩阵乘法的形式进行表示，即T(v) = Av，其中A 是一个n×n的矩阵。
线性变换可以描述多种几何变换，如旋转、缩放、投影等，因此在计算机图形学、物理学等领域有广泛应用。
二、特征值和特征向量的定义给定一个n维向量空间V和一个线性变换T，如果存在非零向量v使得T(v) = λv，其中λ是一个标量，那么称λ是线性变换T的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量可以帮助我们了解线性变换对向量空间的影响。
特征向量表示在该线性变换下不改变方向，只是进行拉伸或压缩，而特征值表示该方向上的拉伸或压缩的比例。
三、特征值和特征向量的计算要计算线性变换的特征值和特征向量，我们需要解特征方程Av = λv，其中A是线性变换矩阵，v是特征向量，λ是特征值。
特征方程的解是通过求解(A-λI)v = 0来实现的，其中I是单位矩阵。
解特征方程有两种方法，一种是通过求解(A-λI)v = 0的零空间，即线性方程组的解空间，来求得特征向量。
另一种方法是计算矩阵A的特征多项式，并找出其零点来求得特征值。
四、特征值和特征向量的性质1. 对于n阶矩阵A，它的特征值的个数不超过n个，而特征向量的个数必须等于n。
2. 对于特征值λ和它对应的特征向量v，如果存在特征值μ使得λ + μ = 0，那么对应的特征向量也满足T(v) = μv。
线性变换的特征值与特征向量
线性变换的特征值与特征向量
但是，一个线性变换的矩阵表示是与线性空间的一 组基联系在一起的，随着线性空间的基的变化，矩阵表示 可能是不同的.那么，将求线性变换的特征值与特征向量 转化为求矩阵的特征值与特征向量，会不会出现歧义呢？ 回答是否定的.这是因为，根据第五章的定理5-6，同一个 线性变换在不同基下的矩阵表示是相似的，而根据本章第 一节的定理6-2，相似矩阵的特征值相同.因此，线性变换 的矩阵表示的特征值与基的选取无关.于是，通常也将线 性变换σ的矩阵表示A的特征多项式和特征方程，称为线 性变换σ的特征多项式和特征方程.
与矩阵的特征值和特征向量一样，线性变换的特征向量是非零 向量，并且一个特征向量只能属于一个特征值，从而特征值由特征 向量所唯一决定；但是，特征向量却不是由特征值唯一决定的.
线性变换的特征值与特征向量
下面，利用线性变换与矩阵之间的对应，介绍求得线性 变换的特征值和特征向量的方法.
设V是数域F上的一个n维线性空间，α1,α2,…,αn是V的一 组基，σ是V上的一个线性变换，矩阵A为σ在基α1,α2,…,αn下 的矩阵表示.
线性变换的特征值与特征向量
再次根据第五章的定理5-4，有
因为(a1,a2,…,an) T非零，故ξ≠0.因此，λ是线性变换σ 的一个特征值，非零向量ξ是σ属于特征值λ的一个特征向 量.
于是，把上面的结论综合起来，即得下面的定理.
线性变换的特征值与特征向量
定理6-7
设V是数域F上的一个n维线性空间，α1,α2,…,αn 是V的一组基，σ是V上的一个线性变换，矩阵A为σ 在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示.则
线性变换的特征值与 特征向量
线性变换的特征值与特征向量
一、 线性变换的特征值与特征向量的定义
线性代数中的特征空间与不变子空间
线性代数中的特征空间与不变子空间线性代数是数学中重要的一个分支，它研究向量空间、线性方程组、线性变换等概念和性质。
在线性代数的学习过程中，特征空间和不变子空间是两个重要的概念。
本文将介绍特征空间和不变子空间的定义、性质和应用。
一、特征空间特征空间是指一个线性变换下所有的特征向量张成的子空间。
在介绍特征空间之前，我们先来了解一下特征向量的概念。
对于一个n维向量空间V和线性变换T，如果存在一个非零向量v使得T(v)=λv，其中λ为一个标量，那么向量v就是T的一个特征向量，λ称为它对应的特征值。
接下来，我们定义特征空间。
设V是一个n维向量空间，T是V上的一个线性变换。
对于T的一个特征值λ，所有属于特征值λ的特征向量构成的向量子空间称为特征空间，记作E(λ)。
特征空间的性质有以下几点：1. 特征空间是一个子空间，即它包含零向量，对加法和标量乘法封闭。
2. 对于T的不同特征值，它们对应的特征空间是不相交的。
3. 特征空间的维数等于对应特征值的重数。
特征空间的概念在许多实际问题中具有重要的应用。
比如，在图像处理中，可以利用特征空间来进行图像的分析和压缩；在信号处理中，通过对信号的特征空间进行变换，可以提取出信号的频谱特征等。
二、不变子空间不变子空间是指一个线性变换下保持不变的子空间。
设V是一个n维向量空间，T是V上的一个线性变换。
如果存在向量子空间U，使得T(U)⊆U，那么U称为T的一个不变子空间。
不变子空间的性质有以下几点：1. 对于不变子空间U，零向量一定属于U。
2. 对于不变子空间U，它对加法和标量乘法封闭。
3. 对于不变子空间U，它在T下的像空间T(U)也是U的子空间。
不变子空间在线性变换的研究中发挥了重要的作用。
在工程领域中，例如控制系统的研究中，通过寻找系统所对应的不变子空间，可以获取系统的稳定性信息，从而设计出更好的控制策略。
三、特征空间与不变子空间的关系特征空间和不变子空间在某些情况下是相关的。
线性变换的特征值与特征向量
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在奇异值分解中，可以将一个矩阵表 示为一个正交矩阵、一个对角矩阵和 一个正交矩阵的乘积，其中对角矩阵 的对角线元素即为特征值。
在求解微分方程中的应用
在求解微分方程时，特征值和特征向量可以用于分析解的性质。例如，对于常微分方程，特征值和特征向量可 以用于分析解的稳定性。
在偏微分方程中，特征值和特征向量可以用于分析解的振动频率和模式。例如，在波动方程中，特征值和特征 向量可以用于计算波速和波长。
在信号处理和图像处理中的应用
在信号处理中，特征值和特征向量可以用于信号压缩和降噪。例如，通过将信号表示为一组特征向量 的线性组合，可以去除噪声并保留信号的主要特征。
在图像处理中，特征值和特征向量可以用于图像识别和分类。例如，通过将图像表示为一组特征向量 的线性组合，可以提取图像的主要特征并进行识别。此外，在图像压缩中，也可以利用特征值和特征 向量的性质进行压缩和重建。
02
03
计算方法
特性
通过构建线性变换的矩阵，并对 其进行行列式运算，得到特征多 项式。
特征多项式的根即为特征值，根 的重数等于相应特征值的代数重 数。
特征值的求解
定义
特征值是线性变换在特征向量上的一个标量乘数， 它决定了特征向量的变化规律。
计算方法
通过解特征多项式得到特征值，也可以通过直接 计算矩阵的特征值得到。
对于给定的线性变换 $T$ 和标量 $lambda$，如果存在一个非零 向量 $vec{v}$ 使得 $T(vec{v}) = lambda vec{v}$，则 $vec{v}$ 是 $T$ 的对应于特征值 $lambda$ 的特征向量。 特征向量可以是实数向量或复数向量。
特征值与特征向量的关系01 Nhomakorabea04
线性变换的特征值与特征子空间
线性变换的特征值与特征子空间线性变换是线性代数中的基础概念之一，它在多个领域有着广泛的应用。
在研究线性变换的性质时，特征值与特征子空间是两个重要的概念。
本文将探讨线性变换的特征值与特征子空间的定义、性质和应用。
一、特征值与特征向量在线性代数中，我们知道线性变换将一个向量映射到另一个向量。
对于给定的线性变换T，如果存在一个非零向量v，使得T(v)与v方向相同，即T(v)与v共线，那么v就称为T的特征向量，对应的数值λ称为T的特征值。
我们可以用以下方式表示：T(v) = λv特征值与特征向量的定义揭示了线性变换对向量进行伸缩或反转的性质。
特征向量对应的特征值可以是实数或复数。
二、特征子空间根据特征值与特征向量的定义，我们可以得出一个结论：对于任意特征值λ，所有特征向量构成的集合组成了一个特征子空间，该子空间关于变换T是不变的。
这个特征子空间称为特征值λ的特征子空间。
特征子空间在理解线性变换的几何意义时起到了重要作用。
通过分析特征子空间的维数和结构，可以揭示变换T在不同方向上的变化特征。
三、特征值与特征子空间的性质1. 同一个特征值对应的特征向量构成的特征子空间是线性无关的。
2. 不同特征值对应的特征子空间是相互垂直的，即两个特征子空间的交集只包含零向量。
3. 特征值的个数不超过线性变换的维数，即一个n维线性变换最多具有n个特征值。
利用这些性质，我们可以对线性变换进行更深入的研究和应用。
四、特征值分解特征值与特征子空间的概念为我们提供了一种将线性变换进行简化的方法，即特征值分解。
对于一个n维线性变换T，如果我们找到了n 个线性无关的特征向量v₁，v₂，…，vₙ，并且它们对应的特征值分别是λ₁，λ₂，…，λₙ，那么我们可以将T表示为以下形式：T(x) = λ₁x₁+ λ₂x₂ + … + λₙxₙ通过特征值分解，我们可以将原始的线性变换转化为一组简单的伸缩变换，为问题的求解和研究提供了方便。
五、特征值与特征子空间的应用特征值与特征子空间在多个领域都有着广泛的应用。
线性变换的特征值与特征子空间
线性变换的特征值与特征子空间线性变换是线性代数中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
在研究线性变换时，特征值和特征子空间是两个核心概念。
本文将介绍线性变换的特征值和特征子空间，并探讨其在线性代数中的应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个n维线性空间V和一个线性变换T：V→V，若存在一个非零向量v∈V，使得T(v)=λv，其中λ是一个标量，则称λ为线性变换T的一个特征值，而v则称为对应于特征值λ的一个特征向量。
特征向量是指在线性变换下只发生伸缩变换而不改变方向的向量。
特征值则告诉我们特征向量在伸缩变换中的比例关系。
通过求解线性方程组(T-λI)v=0，可以得到特征值λ及其对应的特征向量v。
二、特征子空间的定义给定一个特征值λ，由于存在无数个与特征向量v成比例的向量，我们可以定义特征子空间，即同一个特征值下的所有特征向量所组成的子空间。
特征子空间可以用来描述线性变换的性质。
三、特征值的性质和求解方法特征值具有以下性质：1. 特征值的和等于线性变换的迹（trace），即所有特征值的代数和等于线性变换的主对角线元素之和。
2. 特征值的积等于线性变换的行列式，即所有特征值的乘积等于线性变换的行列式。
3. 不同特征值对应的特征向量是线性无关的。
求解特征值的方法有多种，常用的方法有幂迭代法、QR算法、Jacobi方法等。
这些方法通过迭代逼近的方式计算特征值和特征向量。
四、特征子空间的性质和应用特征子空间具有以下性质：1. 对于不同的特征值，对应的特征子空间是线性无关的。
2. 对于同一个特征值，特征子空间的维度可以大于等于1。
特征子空间在线性代数中有广泛的应用，例如：1. 矩阵的对角化：通过特征子空间的基变换可以将线性变换表示为对角矩阵，从而简化线性变换的计算。
2. 特征脸识别：通过特征子空间分析，可以将人脸图像表示为特定的特征向量组合，从而实现人脸识别的功能。
五、总结本文介绍了线性变换的特征值和特征子空间，并讨论了它们在线性代数中的应用。
线性变换与特征值
线性变换与特征值线性变换和特征值是线性代数中的重要概念，它们在矩阵和向量的运算以及数据分析中起着至关重要的作用。
本文将从理论和应用两个方面介绍线性变换和特征值的相关知识。
首先，我们来了解线性变换的基本概念。
线性变换是指从一个向量空间到另一个向量空间的一种映射，它保持向量的线性组合和加法运算不变。
在数学上，线性变换可以用一个矩阵来表示。
设有向量空间V和W，线性变换T表示从V到W的映射，如果对于V中任意的向量x和y，以及标量a和b，有T(ax+by)=aT(x)+bT(y)，则T是一个线性变换。
线性变换具有许多重要的性质。
首先，线性变换可以保持向量的线性关系。
这意味着，如果x和y在V中线性相关，那么T(x)和T(y)也在W中线性相关。
其次，线性变换可以保持向量的零空间不变。
即如果向量x在V中是T的零空间向量，那么T(x)也是W中的零空间向量。
此外，线性变换还可以保持向量的长度不变，即它们是等距映射。
接下来，我们介绍特征值与特征向量的概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax=λx，那么λ称为A的特征值，x称为相应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量描述了矩阵在某个方向上的缩放和拉伸效应。
它们在很多领域中都有广泛的应用，比如图像处理、物体识别和机器学习等。
对于一个n维方阵，它最多有n个不同的特征值。
如果一个特征值有k个线性无关的特征向量，那么该特征值的几何重数为k。
特征值的几何重数与代数重数不一定相等。
代数重数是特征值在矩阵的特征多项式中的重数，而几何重数则是对应特征值的特征向量的个数。
特征值与特征向量的求解通常涉及特征方程的求解。
特征方程是由矩阵的特征值和特征向量定义的方程。
设A是一个n阶方阵，λ是它的一个特征值，x是相应于λ的特征向量。
那么特征方程可以表示为Ax-λx=0，即(A-λI)x=0，其中I是单位矩阵。
特征方程的求根可通过行列式或特征值的性质进行计算。
除了特征值与特征向量的求解，特征值还可以用于矩阵的对角化。
不变子空间(高等代数课件)
V0
o E .
§7.7 不变子空间
三、不变子空间与线性变换的矩阵化简
1、设 是 n 维线性空间V的线性变换，W是V 的
－子空间， 1 , 2 , , k为W的一组基，把它扩允为
V的一组基： 1 , 2 ,
, k , k 1 ,
n.
k k , , , A P 若 W 在基 1 2 ，则 k 下的矩阵为 1
, s.
f1 ( ), f 2 ( ),
f s ( ) 1
∴ 存在多项式 u1 ( ), u2 ( ),
, us ( ),
使
u1 ( ) f ( )1 u2 ( ) f 2 ( )
us ( ) f s ( ) 1 us ( ) f s ( ) E
us ( ) f s ( )( )
f1 ( ) u1 ( )( ) f 2 ( ) u2 ( )( )
f s ( ) us ( )( )
这里 f i ( ) ui ( )( ) f i ( )V Wi , i 1,2,
§7.7 不变子空间
因为W为 －子空间，
( ) W , 即必存在 P , 使 .
在不变子空间W引起的线性变换 二、
定义：
设 是线性空间V的线性变换，W是V的一个 的 不变子空间. 把 看作W上的一个线性变换，称作
在不变子空间W上引起的线性变换，或称作 在
的不变子空间，而 i 1 , i 2 ,
, ini 是 Wi 的一组基，且
i i
W 在这组基下的矩阵为 Ai , Ai P n n , i 1,2, , s. i
第22讲. 不变子空间,特征值和特征向量
特征向量的性质: 1. 设 是 属于特征值 的特征向量, 即 = , 又设 kF, 则 (k) = k = k = k, 若 k 0, 则 k 是 属于特征值 的特征向量. 2. 设 1, 2 是 属于特征值 的特征向量, 即 1 = 1, 2 = 2, 则 (1+2) = 1+2 = 1+2 = (1+2), 若 1+2 0, 则它为 属于特征值 的特征向量. 由这两条性质, 属于特征值 的特征向量的任意非 零线性组合仍是属于 的特征向量, 加上零向量就构成 V 的一个子空间. 定义 设 L(V), 是 的一个特征值, 则称 V = {V| = } 为 的属于特征值 的特征子空间, 其维数称为特征值 的几何重数. 13
我们用 L(V) 来表示线性空间 V 的全部线性变换所作成 的集合.
1
定理 设 是 n 维线性空间 V 的一个线性变换, , , n 是 V 的一组基, 则 V 中任一向量 的象 由基的象 1, 2,, n) 所完全确定.
(1 ) a111 a21 2 an1 n ( ) a a a 2 12 1 22 2 n2 n ( n ) a1n1 a2 n 2 ann n
V Im ker dim(Im ker ) dim V dim(Im ker ) 0 Im ker {0} V ker I m
例 在Fn[X] 上定义微分运算如下： f ( X ) Fn [ X ], f ( X ) f ( X ), ker F , dim(Im ker ) n 1. Im Fn1[ X ], dim Im dim ker n,
高等代数(线性变换)
Im τ = L (ε 1 , ε 2 )
k e r τ = {0}
例 3
建立映射
σ : M 2 ( R) → M 2 ( R)
，
1 σ ( A) = ( A + AT ) ， σ 2
是线性映射。
E11, E12 , E21, E22
取
1 2
M2 (R)
的 一 组 基
， 则
σ ( Eij ) = ( Eij + E ji ) ，其中 i, j = 1,2 ，因此， σ
简记作 即可由
矩阵 A = (a ij )m ×n 完全描述。
, α n ) 。这样，线性映射 σ
反之，对于任意一个 m × n 阶矩阵 A ，都可以 定义一个由 n 维线性空间V1 到 m 维线性空间V2 的线 性映射 σ (α1 ,α 2 ,
,α n ) = (β1 , β 2 , , β m )A ，即：
, σ (α n ) ，即可确定线性
设V
1
,V 2
分别是 n , m 维线性空间，取定
,α n 和 V 2
V 1 的基 α 1 , α 2 ,
1 2
的基 β 1 , β 2 ,
, β m 。若
j
σ 是V 到V 的线性映射，由于 σ (α
则 σ (α
j
) ∈V2 ，
)=
∑a
i =1
m
ij
βi
， j = 1, 2 ,
北京科技大学应用学院数力系卫宏儒weihr168yahoocomcn线性变换线性变换这一章的主要内容一线性映射二线性映射的象和核三线性变换四不变子空间五特征值和特征向量一线性映射定义若21vv分别是数域f上的n维m维线性空间是1v到2v的一个映射且满足条件
线性变换的特征值与特征向量
则称λ0为σ的一个特征值,称α为σ的属于 特征值λ0的一个特征向量.
从几何直观上看,特征向量的方向经
过线性变换后保持在同一条直线上.当λ0
，
＞0时,变换后保持原方向;当λ0＜0时,变
， 换后与原方向相反;当λ0 = 0,特征向量被 变换到零向量.
当α是σ的属于特征值λ0的特征向量 时,kα (k≠0,k∈P)也必是σ的属于λ0的特
x1
A
x2
.
xn
， 由于σ(α) =λ0α,而λ0α在ε1,ε2,…,εn下的坐
标为
，
x1
0
x2
,
xn
故有
x1
x1
A
x2
0
x2
.
(8.2.1)
，
xn
xn
与第五章(5.1.1)式比较,可知若把α的
， 坐标看作数域P上n维向量,则线性变换σ的
特征值与特征向量与σ在取定基下的矩阵A
§8.3 线性变换的特征值与特征向量
在第五章中已经讨论了n阶方阵的特征 值与特征向量.由于线性变换与n阶方阵有 着密切的联系,可以把特征值与特征向量的 概念推广到一般线性空间的线性变换上.
定义8.3.1 设σ是数域P上线性空间V 的一个线性变换,如果对于数域P中某个数 λ0,存在一个V中的非零元素α,使得
特征向量是完全一致的.
由此可知,第五章中所有关于矩阵A的 特征值和特征向量的讨论可以完全适用于
线性变换σ的特征值与特征向量.例如,根据 定理5.2.3,线性变换σ在某组基下的矩阵为 对角形矩阵的充分必要条件是σ有n个线性 无关的特征向量α1,α2,…,αn.把这n个线性 无关的特征向量作为V的基,则σ在这组基
线性变换的特征值和特征向量 PPT
的基础解系.
特征子空间:
特征子空间
变换的特征值与特征向量的求法
(1) 特征多项式; (2) 求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间．
例题
因此, 矩阵R在实数域上没有特征值. 如果把R看成复数域上的矩阵, 则有两个特征值, 但没有几何意义. 特征值与特征向量与矩阵所在的数域有关系
一个n阶方阵在数域 K 上至多有 n 个特征值, 在复数域上正好有 n 个特征值(重根计算重数).
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
特征多项式的性质
➢线性变换的特征值是与基的取法没有关系的量 ➢ 在不同的基下的矩阵应该有相同的特征值
➢矩阵的特征向量是线性变换的特征向量在基下的坐标 ➢随着基的变化而变化
相似的矩阵有相同的特征多项式, 因此有相同的特征值
例题 3.5
解: (1) 特征多项式; (2) 求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间．
例3.5 续
解: 1) 特征多项式
特征值： 2) 特征向量
的基础解系.
…
例3.5 续
线性变换的特征值和特征向量
例子: 线性变换的矩阵
线性变换的特征值与特征向量
1) 特征向量与经过线性变镜像变换求出其特征值和特征向量.
特征子空间, 矩阵的特征值与特征向量
如果存在非零列向量X使得
变换的特征向量与矩阵的特征向量
特征矩阵与特征多项式
不变子空间里特征值
不变子空间里特征值一、特征值的定义与性质特征值是线性代数中的基本概念之一。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，那么λ就是A的一个特征值，v是对应的特征向量。
特征值与特征向量是一一对应的关系。
特征值有以下几个性质：1. 特征值与矩阵的行列式有关，一般来说，矩阵的特征值等于其行列式。
2. 特征值的和等于矩阵的迹，即特征值的总和等于矩阵的对角线元素之和。
3. 特征值与矩阵的秩有关，矩阵的秩等于其非零特征值的个数。
二、不变子空间的定义与性质不变子空间是指在线性变换下保持不变的向量子空间。
对于一个线性变换T，如果存在一个向量子空间V，使得对于V中的任意向量v，都有T(v)∈V，那么V就是T的一个不变子空间。
不变子空间有以下几个性质：1. 不变子空间是线性变换的核心概念，它可以将复杂的线性变换简化成在子空间上的变换。
2. 不变子空间的维数可以通过特征值的个数得到，即不变子空间的维数等于矩阵的秩。
3. 不变子空间的基向量可以通过特征向量得到，即不变子空间的基向量由对应于非零特征值的特征向量组成。
三、不变子空间与特征值的关系不变子空间与特征值有密切的关系。
对于一个线性变换T和其矩阵表示A，不变子空间是由特征向量张成的。
具体来说，对于T的每一个特征值λ，其对应的特征向量构成了以λ为特征值的不变子空间。
不变子空间与特征值的关系可以通过以下几个实例来说明：1. 二维平面上的旋转变换：对于一个二维平面上的旋转变换，不变子空间就是整个平面，其特征值为1，特征向量为平面上的任意向量。
2. 对角矩阵的特殊情况：对于一个对角矩阵，其不变子空间就是每个对角线上的一维子空间，特征值为对角线元素，特征向量为对应的单位向量。
3. 对称矩阵的特殊性质：对于一个对称矩阵，其不变子空间可以通过正交对角化得到，特征值为实数，特征向量可以正交归一化。
四、应用和拓展不变子空间和特征值在很多领域都有广泛的应用。
在物理学中，特征值可以表示量子力学系统的能级，不变子空间可以表示系统的稳定态。
线性变换的特征值与特征向量.2021优秀PPT文档
0 F 。那么我们有 f ( ) 0 AX 0 X
由此可得
（1.8.1）
定理：0是 f 的特征值 0是 A的特征值。 是 f 的属于0 的特征向量 X 是 A的 属于 0 的特征向量。
设 a1,a2, an是 n 维线性空间V 的一组基向量， 线性变换 A在这组
基下的矩阵表示是 A.若设0是 A的一个特征值， 它的一个特征向量 在基 a1,a2, an下的坐标是
( x1, x2 , xn )T ，即
=（a1,a2 ,
x1
an
）
x2
（1.8.2）
x4
把（1.8.2）代入式（1.8.1）得
A(a1 , a2 ,
x1
an
)
x2
=
0
(a1
,
a2
,
x4
x1
an
)
x2
x4
此即 (a1 , a2 ,
x1
an
)A
记及重数）。矩阵 A的所有特征值的全体称为
A的谱，并用 A表示。
定理 相似矩阵有相同的特征多项式。
推论 1 相似矩阵有相同的谱。
推论 2 设 是矩阵 A的特征值 所对应的特征 向量，则 P 1 是矩阵 B P 1 AP 的特征值 所
对应的特征向量。
线性变换的特征值和特征向量
定义 设 f 是数域 F 上的线性空间V 的一个线
对于特征值-6，解齐次线性方程组
(6I A)X 0
得到一个基础解系：
1 2 2T
从而 f 的属于-6 的极大线性无关特征向量组是
3 1 22 23
于是 f 的属于-6 的全部特征向量
k3 , k K
这里k 为数域 K 中任意非零数。
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b1 1 b2 2 bn n
是属于的特征向量的充分 必要条件是： b1 0 b2 0 I A b 0 n
推论1：设n维线性空间V上的 线性变换在基底上的表示阵 为A，是的特征根，则 V 是由V中坐标（在基底上的） 满足齐次线性方程组：
（证明略）
定义2：设是线性空间V上的 线性变换，是数域F中的一个 数，如果存在一个非零 向量 使得（） 则称是 的特征根，称 为属于特征根
的特征向量。
定理1：设V是n维线性空间， ， ， ， 是它的基底， V 上 1 2 n 的线性变换在基底上的表示阵 为A，是的特征根，则向量
b11 b1r b21 b2 r 1 ,, r 则： b b n1 nr k 1 1 k 2 2 k r r 即为
的属于 0 的特征向量。
Байду номын сангаас
特征根与特征向量的性质
定理1：若n维线性空间V的线性变换
在某基底 1， ， 2， n 上的表示阵
为A，A的特征多项式为： （） I A，如果 0 是其K重根 V V （）
0
则V
的维数不超过 K，这里：
0
0
定理2： 对应于的不同特征根的特征 向量是不同的 推论：如果n维线性空间的线性变换 有n个不同的特征根那么它有n 个线性无关的特征向量，因此 在这些特征向量上的表示阵是 对角阵。
不变子空间，特征根与特征向量
定义1 设是数域F上线性空间V的线性变换， W是V的子空间，如果
则称W在之下不变，简称W为V的 —子空间。
命题1：设S是V n 子空间， t 是S 1， 2， 的基底，是V n 的线性变换，则 S是的 不变子空间的充分必要 条件是：
（ i ) S , i 0,1,2,t.
表示阵，则是的特征根的充分
必要条件是： 行列式
I A 0
求线性变换的特征根与 特征 向量的具体方法如下： （ 1 ）在线性空间 V中找出一个 基底，求出线性变换在 基底 上的表示阵 A。 （2）求出的多项式： （） I A 0在数域F 上的所有根，即特征根 。
(3)设 0 是其一个根，求出齐次 线性 方程组： x1 0 x 2 0 0 I A 的基础解系： x 0 n
x1 0 0 x2 I A 0 0 x n
的全体向量组成的。
推论2：设是n维线性空间V上 的线性变换， ， 1， 2， n 是V的 基底，A是在 1， ， 2， n 上的