2015-2016学年江苏省苏州市张家港市高级中学高二(上)期中数学试卷(解析版)

2015-2016学年江苏省苏州市张家港市高级中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．直线的倾斜角为．2．空间两条直线a，b都平行于平面α，那么直线a，b的位置关系是．3．过圆x2+y2=4上一点P（1，﹣）的切线方程为．4．如果方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，则k的取值范围是．5．已知直线l：mx﹣y=4，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为．6．已知正四棱柱的底面边长是3cm，侧面的对角线长是5cm，则这个正四棱柱的侧面积为．7．已知圆C：x2+y2=r2与直线3x﹣4y+10=0相切，则圆C的半径r=．8．若一个球的表面积为12π，则该球的半径为．9．若直线ax+y+1=0与连接A（2，3），B（﹣3，2）两点的线段AB相交，则实数a的取值范围是．10．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的序号是（1）若m∥l，m∥α，则l∥α；（2）若m⊥α，l⊥m，则l∥α；（3）若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m；（4）若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β11．若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x﹣m）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB的长度是．12．若关于x的方程：有两个不相等的实数解，则实数k的取值范围：．13．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为．14．一只蚂蚁从棱长为1的正方体的表面上某一点P处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f（P），那么d的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥EF；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．16．已知直线m：2x﹣y﹣3=0，n：x+y﹣3=0．（Ⅰ）求过两直线m，n交点且与直线x+3y﹣1=0平行的直线方程；（Ⅱ）直线l过两直线m，n交点且与x，y正半轴交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线l的方程．17．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C；（3）求点D到平面D1AC的距离．19．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x 轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．20．在平面直角坐标系xOy中．已知圆C经过A（0，2），O（0，0），D（t，0）（t＞0）三点，M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B（1，0）且互相垂直的两条直线，其中l1交y 轴于点E，l2交圆C于P，Q两点．（1）若t=PQ=6，求直线l2的方程；（2）若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ的面积的最小值．2015-2016学年江苏省苏州市张家港市高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．直线的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】先将直线方程化为斜截式，可求斜率，再根据斜率与倾斜角的关系可求答案．【解答】解：将直线方程化为斜截式得，，故斜率为，∴，故答案为2．空间两条直线a，b都平行于平面α，那么直线a，b的位置关系是平行、相交或异面．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】结合空间面面平行的性质和线面平行的判定与性质，在正方体中举例说明，不难得到本题的答案．【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ACBD∥平面A1C1B1D1①记平面ABCD为α，若直线a、b为平面A1C1B1D1内的相交直线，则直线a、b都平行于平面α，此时直线a、b相交；②记平面ABCD为α，若直线a、b为平面A1C1B1D1内的平行直线，则直线a、b都平行于平面α，此时直线a、b平行；③设E、F分别为棱AA1、BB1的中点，直线a与直线B1C1重合，直线b与EF重合，若平面ABCD为α，则直线a、b都平行于平面α，此时直线a、b异面．故答案为：平行、相交或异面3．过圆x2+y2=4上一点P（1，﹣）的切线方程为x﹣y﹣4=0．【考点】圆的切线方程．【分析】先设切线方程的斜率为k，然后用点斜式表示出切线方程，根据圆与直线相切得出d=r，利用点到直线的距离公式构建出关于k的方程，解出k，即可求出切线方程．【解答】解：设切线的斜率为k，则切线方程可表示为y+=k（x﹣1）即kx﹣y﹣k﹣=0由圆与直线相切可得d=r，即=2化简得3k2﹣2k+1=0解得k=，所以切线方程为y+=（x﹣1）即x﹣y﹣4=0故答案为：x﹣y﹣4=0．4．如果方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，则k的取值范围是．【考点】二元二次方程表示圆的条件．【分析】由二元二次方程表示圆的条件得到k的不等式，解不等式即可．【解答】解：方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，则1+1﹣4k＞0，所以故答案为：5．已知直线l：mx﹣y=4，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为0，2．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：﹣y=4，x=2，此时两条直线垂直，因此m=0满足条件；当m=1时，两条直线分别化为：x﹣y=4，x=2，此时两条直线不垂直，因此m=1不满足条件；当m≠0，1时，两条直线分别化为：y=mx﹣4，y=x+，若两条直线垂直，则=﹣1，解得m=2．综上可得：m=0，2，两条直线相互垂直．故答案为：0，2．6．已知正四棱柱的底面边长是3cm，侧面的对角线长是5cm，则这个正四棱柱的侧面积为48cm2．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由正四棱柱的底面边长是3cm，侧面的对角线长是5cm，知该正棱柱的高为4cm，由此能求出这个正四棱柱的侧面积．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长是3cm，侧面的对角线长是5cm，∴该正棱柱的高为=4cm，∴这个正四棱柱的侧面积S=4×（4×3）=48cm2．故答案为：48cm2．7．已知圆C：x2+y2=r2与直线3x﹣4y+10=0相切，则圆C的半径r=2．【考点】圆的切线方程．【分析】由点到直线的距离公式，算出圆心到直线3x﹣4y+10=0的距离d=r，即可求出半径r的值．【解答】解：∵圆x2+y2=r2（r＞0）的圆心为原点、半径为r，∴由直线3x﹣4y+10=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，得原点到直线的距离d=r，即r==2．故答案为：2．8．若一个球的表面积为12π，则该球的半径为．【考点】球的体积和表面积．【分析】直接利用球的表面积公式，求出球的半径即可．【解答】解：因为球的表面积为12π，设球的半径为r，所以4πr2=12π，所以r=．故答案为：．9．若直线ax+y+1=0与连接A（2，3），B（﹣3，2）两点的线段AB相交，则实数a的取值范围是a≤﹣2或a≥1．【考点】过两条直线交点的直线系方程；两条直线的交点坐标．【分析】由直线ax+y+1=0的方程，判断恒过P（0，﹣1），求出K PA与K PB，判断过P点的竖直直线与AB两点的关系，求出满足条件的直线斜率的取值范围．【解答】解：由直线ax+y+1=0的方程，判断恒过P（0，﹣1），如下图示：∵K PA=2，K PB=﹣1，则实数a的取值范围是：a≤﹣2或a≥1．故答案为：a≤﹣2或a≥1．10．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的序号是（3）（1）若m∥l，m∥α，则l∥α；（2）若m⊥α，l⊥m，则l∥α；（3）若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m；（4）若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据命题条件举出反例或给出证明逐项判断各命题真假．【解答】解：对于（1），当l⊂α时，结论显然不成立；故（1）为假命题．对于（2），当l⊂α时，结论显然不成立；故（2）为假命题．对于（3），∵α∥β，l⊥α，∴l⊥β，∵m∥β，∴存在直线m′⊂β，使得m∥m′，∴l⊥m′，∴l⊥m．故命题（3）正确．对于（4），若α∩β=b，m∥b∥l，显然符合条件，但结论不成立，故（4）为假命题．故答案为：（3）．11．若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x﹣m）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB的长度是4．【考点】圆的标准方程；两条直线垂直的判定．【分析】画出草图，O1A⊥AO2，有勾股定理可得m的值，再用等面积法，求线段AB的长度．【解答】解：由题O1（0，0）与O2：（m，0），O1A⊥AO2，，∴m=±5AB=故答案为：412．若关于x的方程：有两个不相等的实数解，则实数k的取值范围：．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由题意得，直线y=kx+1 和半圆y=有两个交点，求出半圆的切线BD的斜率，以及AB 的斜率，即得实数k的取值范围．【解答】解：关于x的方程：，即kx+1=．由题意得，直线y=kx+1 和半圆y=有两个交点，如图所示：A（2，0），B（0，1）．由圆心（1，0）到直线的距离等于半径1得，1=，∴k=0，故半圆的切线BD的斜率为0．当直线和AB重合时，斜率k=k AB==﹣，故实数k的取值范围为[﹣，0）故答案为[﹣，0）．13．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为9．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，然后根据体积公式计算即可．【解答】解：根据题意几何体为正三棱锥，如图，PD=a；OD=a；OP==．设棱长为a，则OD+PD=×a+a=a=2⇒a=3，V=×a2×a=9，棱锥故答案是914．一只蚂蚁从棱长为1的正方体的表面上某一点P处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f（P），那么d的最大值是．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】欲求d的最大值，先将起始点定在正方体的一个顶点A点，再将正方体展开，找到6个面的中心点，经观察可知蚂蚁爬行最短程为6个正方体的棱长+展开图形中半个正方形对角线的长．【解答】解：欲求d的最大值，先将起始点定在正方体的一个顶点A点，正方体展开图形为：则蚂蚁爬行最短程的最大值S=5+=．故答案为：．．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥EF；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．【考点】平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，得到AB∥平面CDEF，由此能证明AB∥EF．（2）由已知条件推导出DE⊥BC，从而得到BC⊥平面CDEF，由此能证明平面BCF⊥平面CDEF．【解答】证明：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，因为AB⊄平面CDEF，CD⊂平面CDEF，所以AB∥平面CDEF．…4分因为AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF=EF，所以AB∥EF．…7分（2）因为DE⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以DE⊥BC．…9分因为BC⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE⊂平面CDEF，所以BC⊥平面CDEF．…12分因为BC⊂平面BCF，所以平面BCF⊥平面CDEF．…14分．16．已知直线m：2x﹣y﹣3=0，n：x+y﹣3=0．（Ⅰ）求过两直线m，n交点且与直线x+3y﹣1=0平行的直线方程；（Ⅱ）直线l过两直线m，n交点且与x，y正半轴交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线l的方程．【考点】两条直线的交点坐标；直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）求出两直线m，n交点，直线x+3y﹣1=0平行的斜率，然后求出直线方程；（Ⅱ）方法一：求出直线l过两直线m，n交点，与x，y正半轴交于A、B两点，利用△ABO 的面积为4，求出直线的斜率，然后求直线l的方程．方法二：设出截距式方程，利用三角形的面积，求出直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由，得，所以m，n的交点为（2，1）…又所求直线与x+3y﹣1=0平行，所以所求直线的斜率为，…所求直线方程为即…（Ⅱ）方法一：由题可知，直线l的斜率k存在，且k＜0．则直线l的方程为y=k（x﹣2）+1=kx﹣2k+1令x=0，得y=1﹣2k＞0令y=0，得＞0所以，解得…所以l的方程为…方法二：由题可知，直线l的横、纵截距a、b存在，且a＞0、b＞0，则l：又l过点（2，1），△ABO的面积为4所以，…解得，…所以l方程为即．…17．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长．【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y﹣2=（x﹣2），即x+2y﹣6=0．（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0．圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C；（3）求点D到平面D1AC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；由三视图求面积、体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）要证直线EE1∥平面FCC1，只要证面CC1F∥面ADD1A1，根据面面平行的判定定理，结合平行四边形的性质证明；（2）根据面面垂直的判定定理，只要证明AC⊥面BCC1B1，再由线面垂直的判定定理只要证明AC垂直于BC、CC1；（3）利用等积法即，求出点D到平面D1AC的距离．【解答】（1）证明：∵，∴CD∥AF，CD=AF∴四边形AFCD为平行四边形∴CF∥AD又∵AD⊂面ADD1A1，CF⊄面ADD1A1∴CF∥面ADD1A1…在直四棱柱中，CC1∥DD1，又∵AD⊂面ADD1A1，CF⊄面ADD1A1∴CC1∥面ADD1A1…又∵CC1∩CF=C，CC1，CF⊂面CC1F∴面CC1F∥面ADD1A1又EE1⊂面ADD1A1，∴EE1∥面CC1F…（2）证明：∵∴平行四边形AFCD是菱形∴DF⊥AC，易知BC∥DF∴AC⊥BC…在直四棱柱中，CC1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD∴AC⊥CC1又BC∩CC1=C∴AC⊥面BCC1B1…又AC⊂面D1AC∴面D1AC⊥面BCC1B1…（3）解：易知…∴设D到面D1AC的距离为d，则，又，，DD1=2，…∴d=，即D到面D1AC的距离为．…19．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x 轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）由已知中直线l1过点A（3，0），我们可以设出直线的点斜式方程，化为一般式方程后，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线l1的方程；（2）由已知我们易求出P，Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P′与Q′的坐标（含参数），进而得到以P′Q′为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论．【解答】解：（1）由题意，可设直线l1的方程为y=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k=0…又点O（0，0）到直线l1的距离为，解得，所以直线l1的方程为，即或…（2）对于圆O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（﹣1，0），Q（1，0）．又直线l2方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为．解方程组，得，同理可得：．…所以圆C的圆心C的坐标为，半径长为，又点M（s，t）在圆上，又s2+t2=1．故圆心C为，半径长．所以圆C的方程为，…即=0即，又s2+t2=1故圆C的方程为，令y=0，则（x﹣3）2=8，所以圆C经过定点，y=0，则x=，所以圆C经过定点且定点坐标为20．在平面直角坐标系xOy中．已知圆C经过A（0，2），O（0，0），D（t，0）（t＞0）三点，M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B（1，0）且互相垂直的两条直线，其中l1交y 轴于点E，l2交圆C于P，Q两点．（1）若t=PQ=6，求直线l2的方程；（2）若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ的面积的最小值．【考点】两点间距离公式的应用；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）求出圆心坐标与半径，设直线l2的方程y=k（x﹣1），利用PQ=6，可得圆心到直线的距离d==，即可求直线l2的方程；（2）设M（x，y），由点M在线段AD上，得2x+ty﹣2t=0，由AM≤2BM，得（x﹣）2+（y+）2≥，依题意，线段AD与圆（x﹣）2+（y+）2≥至多有一个公共点，故≥，由此入手能求出△EPQ的面积的最小值．【解答】解：（1）由题意，圆心坐标为（3，1），半径为，则设直线l2的方程y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∴圆心到直线的距离d==，∴k=0或，∴直线l2的方程为y=0或4x﹣3y﹣1=0；（2）设M（x，y），由点M在线段AD上，得=1，即2x+ty﹣2t=0，由AM≤2BM，得（x﹣）2+（y+）2≥，依题意，线段AD与圆（x﹣）2+（y+）2≥至多有一个公共点，故≥，解得t≤或t≥，∵t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，∴t=4，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．①当直线l2：x=1时，直线l1的方程为y=0，此时S△EPQ=2；②当直线l2的斜率存在时，设l2的方程为y=k（x﹣1），k≠0，则l1的方程为y=﹣（x﹣1），点E（0，），∴BE=，又圆心到l2的距离为，∴PQ=2，∴S△EPQ=••2==≥∵＜2，∴（S△EPQ）min=．2016年7月21日。