线性代数 向量组的秩
4向量组的秩
i a1i a2i L ami T (i 1,2,L , n)
T
i a1i a2i L ami am1,i (i 1, 2,L , n) 若Ａ线性无关，则向量组Ｂ也线性无关；反之，若 向量组Ｂ线性相关，则向量组Ａ也线性相关.
7
三、向量组的秩与矩阵的秩的关系
定义
a11
矩阵
A
a21
M
a12 L a22 L M
a1n
a2n
,
M
am1
am1
L
amn
Ａ的列向量组的秩称为列秩.
Ａ的行向量组的秩称为行秩.
8
定理3.11 A为m n矩阵,r(A) r的充分必要条件是：A
的行秩、列秩都为 r.
9
证 必要性.设A = (a1,a2 ,L ,am )，r( A) = r,并设r阶子式 Dr ¹ 0. 由Dr 0知所在的r列线性无关；
r 1 , 2 , s r1，2， n 由定理3.11知 rAB rA
类似，有 rAB rB
故，rAB minrA,rB.
17
五、向量空间的基与维数
定义 设Ｖ是一个向量空间，它的某ｒ个向量 1,2 ,L ,r 若满足：
① 1,2 ,L ,r 线性无关； ② j V , j ,1,2,L ,r 线性相关. 则称1,2 ,L ,r 为Ｖ的一个基.ｒ称为Ｖ的维数. 记作：dimＶ.
Ｖ中的任一向量均可以表示成基向量的线性组合，
且表达式唯一，其组合系数称为向量在该基下的坐标.
18
注意： 零空间的维数是0.
线性代数课件 第三章——向量 3 向量组的秩、向量空间简介
, m
, m 线性无关； , m 线性表示.
ii) V中任意向量都可由 1 , 2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1 , 2 , , m ) R{1 , 2 , , m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
, m 线性
, s )是 L(1 , 2 ,
, m ) 的子空间.
பைடு நூலகம்
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV. 规定：零向量空间没有基，维数定义为0. 判别.设 1 , 2 , , m是V中m个向量,则 1 , 2 , 是V的一个基的充要条件是 i) 1 , 2 ,
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1 , 2 , , m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为
k1 k2 , m ) k m
k11 k2 2
第三章 向量
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1 , 2 , , m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1 , 2 , 规定：零向量组的秩为0.
4 (1,2, k ,6)T , 5 (1,1,2,4)T ， 求向量组1 , 2 , 3 , 4 , 5
线性代数 向量组的秩
设 i (a1i
a11 a1r 由矩阵秩定义，不妨设 r阶子式Dr 0 T a r1 a rr 1 i r, , a , , a ) ，
2i ri
x1 5 ( 1 r k ) 0 有非零解， 1 r k 线性相关 ， A列秩 r xr 1 1 r 为A列向量组的极大无关组
这r 1个向量均可由 1 r 线性表示， 从而根据定理1，有 R (b1 , b2 ,, br 1 ) R (1 , 2 ,, r ) r r 1 . r 1 个向量 b1 ，b2 ， ，br 1线性相关, ， r , 是 A 中任意 r 1 个向量， 设 1 ， 2 ， ， r , 线性相关， 1 ， 2 ， ， r 线性无关， 1 ， 2 ， A中任意向量 均可由1 r 线性表示，
故 a1 , a2 , a4 为列向量组的一个极大 无关组. B (b1 , b2 , b3 , b4 , b5 ) 向量组 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 与 b1 , b2 , b3 , b4 , b5有相同的线性关系 .
1 解 设A a1 ,, a5 , 0 对 A 施行初等行变换 A 0 0 R ( A ) 3 , 变为行最简形
令A (1 m ), (列向量组） 把A行变换B（行阶梯形矩阵）
方法3：欲求向量组1 m的极大无关组并将余下向量 用极大无关组线性表示？
令A (1 m ), (列向量组） 把A行变换B（行最简形矩阵）
由B即可找出A的列向量组的极大无关 组，并可以把 余下向量用极大无关组 线性表示。
推论： 等价的向量组秩相同
注1： 向量组的任意两个极大无关组等价，秩相同。
向量组的秩的定义
向量组的秩的定义向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。
由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。
一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩；若向量组的向量都是0向量，则规定其秩为0。
定理根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理1、向量组α1，α2，···，αs线性毫无关系等价于r{α1，α2，···，αs}=s。
2、若向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则r{α1，α2，···，αs}小于等于r{β1，β2，···，βt}。
3、等价的向量组具备成正比的秩。
4、若向量组α1，α2，···，αs线性无关，且可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则s小于等于t。
5、向量组α1，α2，···，αs可以被向量组β1，β2，···，βt线性表出来，且s\uet，则α1，α2，···，αs线性相关。
6、任意n+1个n维向量线性相关。
矩阵的秩有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。
一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。
行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。
矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。
线性代数4-2 向量组的秩
第二节向量组的秩最大线性无关向量组第四章向量空间向量组的秩矩阵的秩与向量组的秩的关系12r r ∴≤推论等价向量组秩相等.反之不一定.定理1 给定向量组和，若设12V V {}{}1122,.r V r r V r ==且可由线性表出，则12V V .12r r ≤证明：设分别为的最大无关组，,12U U ,12V V 则所含向量个数分别为,12U U ,12r r 可由线性表出12V V 12U U ⇒可由线性表出又线性无关，1U,),,,(),,,,(2121k r r n n ==αααβααα ,1),,,,(21+=k r n γααα =),,,,,(21γβαααn r 【例1】已知且则（）(A) k (B) k + 1 (C) 2k + 1 (D) 1【解】由,),,,(),,,,(2121k r r n n ==αααβααα 知可由线性表出，βn ααα,,,21 所以向量组与等价，βααα,,,,21n n ααα,,,21 从而与等价, γβααα,,,,,21n γααα,,,,21n 1),,,,(),,,,,(2121+==k r r n n γαααγβααα 故【例2 】求向量组的最大无关组及秩．123456121021121020120111001111120111αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪======----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，,,,,,123456αααααα方法：将每一向量作为一列构造矩阵，再对其进行行变换化为行梯形阵，然后在每个台阶上取一列，则得最大无关组的序号。
定理3T()()()()()()()r A r A r A r A r A B r A r B λ==+≤+，，()r AB ()min ()()r A r B ≤，()()r A r B s +-≤(1) 若A , B 是任意的m ×n 矩阵，数，则0λ≠(2) 若A 是m ×s 矩阵, B 是s ×n 矩阵，则证明(1) 若A , B 是任意的m ×n 矩阵, 则r (A +B )≤r (A )+r (B ).1212,,,;,,,sti i i j j jαααβββ {}{}12121122,,,,,,,s t n n i i i j j j r r αβαβαβαααβββ∴+++≤ ，，，s t≤+()()()r A B r A r B ⇒+≤+()()1212n n A B αααβββ== ，，，，，，，将A , B 列分块，()1122n n A B αβαβαβ+=+++ ，，，则若r (A ) = s , r (B ) = t ，则可分别设向量组1212n n αααβββ ，，，，，，与的最大无关组为：从而向量组可由向量组1122n n αβαβαβ+++ ，，，1212,,,,,,,sti i i j j j αααβββ 线性表出．11()()s n A AB ααγγ== ，，，，，111111(,,)(,,)n n s s sn b b b b γγαα⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭ ()()r AB r A ∴≤利用此结论可得：()()()TTTT()r AB r BAr B =≤()()r AB r B ≤()()min ()()r AB r A r B ∴≤，(2) 对A m ×s , B s ×n 有()r AB ()min ()()r A r B ≤，将A 和AB 列分块：设B = ( b ij )，则由知矩阵AB 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表出即【例3】设A 为n 阶方阵，且A 2=I ，证明：()()r A I r A I n++-=()()()()r A I r A I r A I r I A ++-=++-()(2)r A I I A r I ≥++-=()()r A I r A I n++--()()()r A I A I ≤+-2()()0r A I r O =-==()()n r A I r A I n∴≤++-≤()()r A I r A I n⇒++-=()()r A r B n+≤【证明】n=又一般地，对n 阶方阵A ，B ，若A B ＝O ，则有。
线性代数课件chap33向量组的秩(2020)
命题
1. 向量组 1 , 2 ,..., m 线性无关
r 1 , 2 ,..., m m
2. 向量组 1 , 2 ,..., m
线性相关
r 1 , 2 ,..., m m
3. 等价向量组必有相同的秩
4. 若 r 1 , 2 ,..., m r则向量组中
的任意k行与B 的相应的k行具有相同的相关
性
即，矩阵的列变换不改变行的线性相关关系
例、 求向量组的秩和一个极大线性无关组，
并将其它向量用所求的极大线性无关组
线性表示。
1
1
0
1
2
1
2
1
3
6
1 , 2 , 3 4 5
1 1 0 2
0 0 1 3
0 0 0 0
1 2 3 4 5
所以， , , , , =
, , 为一个极大无关组
= + , = − − +
命题 设向量组 1 , 2 ,..., m
（3）设A，B均为m×n矩阵， 则
R(A+B) ≦ R(A)＋R(B)。
（4）设A，B均为m×n矩阵， 则
R(A-B) ？
例 设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，n<m,
证明：(AB)X=0有非零解。
例 设矩阵 Anm , Bmn 满足 AB E ，
且 n<m. 证明： B 的列向量线性无关。
证明 其中任意m个向量构成的向量组的ห้องสมุดไป่ตู้ ≥r+m-s
三、向量组的秩与矩阵秩的关系
线性代数—3.2 向量组的秩
❖ 线性相关性 设有向量组 a1, , am , 如果存在一组不全为零的数
k1, , km , 使 k1a1 L kmam = 0
那么称 a1, , am 线性相关. 否则, 称 a1, , am 线性无关. • a1, , am 线性无关, 也即向量方程 x1a1 L xmam = 0 只有零解. ❖ 定理1
§3.2 向量组的秩
一、向量组的秩和最大无关组 二、向量组间的线性关系
❖ 齐次通解结构定理
设 x1, , xn-r (r = R(A))为 n 元方程组 Ax = 0 的解, 且 满足条件 R(x1, , xn-r) = n- r, 则 Ax = 0 的通解为
x = k1x1 L kn-rxn-r , (k1, , kn-r 为任意数) • 称 x1, , xn-r 为方程组 Ax = 0 的一个基础解系.
则向量 b 可由 a1, , ar 线性表示.
❖ 向量组的最大无关组 设向量组 A 的秩为 r, 如果 a1, , ar 为 A 的一个线性
无关部分组, 那么称 a1, , ar 为 A 的一个最大无关组.
❖ 最大无关组的性质 设 A 为一向量组, 则部分组 a1, , ar 为 A 的一个最大
无关组的充分必要条件是 (1) a1, , ar 线性无关; (2) A 中任一向量可由 a1, , ar 线性表示. 充分性: 设 b1, , bs 为 A 中向量, s > r. 存在数 kij , 使得
一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为 n 维向量组( A {0}), 则 A 的任一线性无关部 分组所含向量个数不多于 n 个.
A 的线性无关部分组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中 任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
线性代数向量组的秩
512 24.
例2 求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并将 其余向量用此极大线性无关组线性表示
1 1 5 1
1
113,2
131,3
892,4
713.
解 1 1 5 1 1 1 5 1
1 1 2
3 1
1 3
8 9
3 1 7
0
0 0
2 2 4
7 7 14
r(A)r(B). AP1Br(A)r(B)
或用“初等变换不改变矩阵的秩”来证明。
例3 设 123 s,213 s, , s12 s1， 证 明 ： 向 量 组 1,2, ,s 与 向 量 组 1,2, ,s有 相 同 的 秩 。 (s2)
证 (1 ,2 , ,s) (1 ,2 , ,n )A ,
将向量组的秩的计算，转化为矩阵的秩的计算。
基本问题：
给定一个向量组，求它的一个极大无关组，并 将其余向量用这个极大无关组线性表示。
例1 设向量组
1
1
0
1
2
10 01,21 21,31 11,41 2 3,54 61,
求一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组
线性表示.
解
1 1 0 1 2
由等价的传递性可知, 一个向量组的任两个极大 无关组彼此等价, 由前面性质6可知,
向(6)量两组个任线意性两无个关极且大彼无此关等组价所的包向含量的组向，量必个含数有相相同同。 定个义数的向向量量组. 的任一极大无关组所包含的向量的个数 称为向量组的秩。
规定：只含零向量的向量组的秩为零. 性质：
(1) 若向量组(Ⅰ)能被向量组(Ⅱ)线性表出, 则秩(Ⅰ) 秩(Ⅱ).
10 3
det1T(,2T,3T) 0 1 1 1 0 ,
求向量组的秩的三种方法
求向量组的秩的三种方法一、概述向量组的秩，即向量组中线性无关向量的个数。
秩是线性代数中非常重要的概念，涉及到向量组的基、解空间及解的唯一性等概念。
本文将详细介绍求向量组秩的三种方法：高斯消元、矩阵的秩和行列式的秩，同时附上实例说明。
二、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种基本方法，用于消元、求解下三角矩阵和上三角矩阵。
在求向量组秩时，可以将向量组构成增广矩阵，通过高斯消元将其变为简化阶梯形矩阵，然后根据主元的数量，即非零行数，即可得到向量组的秩。
对于向量组：\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}构成增广矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}通过高斯消元可得简化阶梯形矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}可知主元是1，非零行数是1，因此向量组的秩是1。
三、矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中非常基础的概念之一，也是求向量组秩的一种方法。
矩阵的秩是指在矩阵的行（或列）空间中，线性无关的向量的个数。
对于一个m\times n矩阵A，如果它的秩为r，则有以下三条性质：1. 行秩：A的行空间的秩为r；2. 列秩：A的列空间的秩为r；3. 行列式：A的任意r\times r子式的行列式不为0，而r+1阶子式的行列式为0。
由此可知，对于一个向量组，可以将其构成矩阵，然后求出矩阵的秩来得到向量组的秩。
对于向量组：\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}构成矩阵：A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}通过对A做初等行变换，得到简化阶梯形矩阵：R=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}可知A的秩为1，因此向量组的秩也为1。
线性代数课件-3.3向量组的秩
i , i ,, i 是向量组 1 , 2 ,, m 的一个极大线性无关组 i , i ,, i 满足：
1 2 r 1 2 r
（1） i1 , i2 ,, ir 是 1 , 2 ,, m 的部分组
（2）i1 , i2 ,, ir 线性无关
（3）任意r+1个向量构成的部分组线性相关，
1 , 2 ,, m 的两个极大无关组，则有
因为
i1 ,i 2 ,,ir ≌ j1 , j 2 ,, js i1 ,i 2 ,,ir ≌ 1 , 2 ,, m 1 , 2 ,, m ≌ j1 , j 2 ,, js
• 等价的性质：
（1）反身性：任一向量组与自身等价。
即
1 , 2 ,,பைடு நூலகம் m
≌ 1 , 2 ,, m
（2）对称性：若1 , 2 ,, m ≌ 1 , 2 ,, s
则
1 , 2 ,, s ≌ 1 , 2 ,, m
由于 3可由1， 2线性表示
1 , 2 , 3 线性相关。
定理3· 若向量组1 , 2 ,, m 可由向量组 8 1 , 2 ,, s 线性表示，且m>s, 则向量组 1 , 2 ,, m 线性相关。
证明： 因为1 , 2 ,, m可由 1 , 2 ,, s线性表示
故
1 , 2 ,, m ≌ i1 ,i 2 ,,ir
定理3· 向量组 1 , 2 ,, m 和它的极大无关组 7
i1 , i 2 ,, ir 等价。
推论：同一向量组的任意两个极大无关组等价。 即 若 i1 , i 2 ,, ir 和 j1 , j 2 ,, js 是向量组
二、等价 定义3· 9 设有两个向量组
大学线性代数：向量组的秩
10
例：设 α1 = ( 2,1, 2, 2, −4), α 2 = (1,1, −1, 0, 2), α 3 = (0,1, 2,1, −1),
α 4 = ( −1, −1, −1, −1,1), α 5 = (1, 2,1,1,1).
求秩和一个极大线性无关组。
解：转置后排列为矩阵得 ⎛ 2 1 0 ⎜ ⎜ 1 1 1 ⎜ 2 −1 2 ⎜ ⎜ 2 0 1 ⎜ −4 2 −1 ⎝ ⎛1 ⎜ r3 ↔ r5 ⎜0 r2 ↔ r4 ⎯⎯⎯ →⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ −1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎟ ⎜ −1 2 ⎟ ⎜ 2 1 0 r1 ↔ r2 → ⎜ 2 −1 2 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 1 ⎟ ⎜ 2 0 1 ⎜ −4 2 −1 1 1⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1 2 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 0 ⎟ r − 2 r ⎜ 0 3 2 r4 + r1 →⎜0 2 1 −1 3 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 −2 1 −3 ⎟ ⎜0 ⎜0 −2 2 0 0 ⎟ ⎠ ⎝ −1 2 ⎞ ⎛1 1 r5 + 2 r4 ⎟ 4 − r3 ⎜ −1 1 ⎟ r r3 − r2 ⎜ 0 −1 r2 − 2 r1 → ⎜ 0 −2 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 1 ⎟ ⎜0 1 ⎜0 2 1 1⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1 2 ⎞ ⎛ 1 1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 3 −1 3 ⎟ → ⎜ 0 0 ⎟ ⎜ 0 −3 1 −3 ⎟ ⎜ 0 0 ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎠ ⎝0 0 1 −1 2 ⎞ ⎟ − 2 1 −3 ⎟ 2 0 0⎟ ⎟ −1 0 0 ⎟ 1 −1 3 ⎟ ⎠ 1 −1 2 ⎞ ⎟ −1 0 0 ⎟ 3 −1 3 ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ 0 0 0⎟ ⎠
线性代数-向量组的秩
= =
0, 0,
x1 − x2 − 5x3 + 7x4 = 0,
的全体解向量构成的向量组为S,
求S的秩.
解:先解方程,把系数矩阵A化成行最简形:
1 A = 21来自2 3 −11 0 −5
− 2 −1 7
r2 − 2r1 r3 − r1
1 0 0
2 −1 −3
1 −2 −6
− 2 3 9
r1 + 2r2 r3 − 3r2 r2 × (−1)
因B0组能由 B组线性表示， B组能由 A组线性 表示， A组能由 A0组线性表示 .
故B0组能由 A0组线性表示 . 即存在系数矩阵 K sr = (kij ),使得
k11 k1r
(b1 ,,br ) = (a1 ,,as )
ks1 ksr
x1
如果r > s，则方程组 K sr = 0 (简记为Kx = 0)
r3 − 5r2
~
r4 − 2r2
− 1 1 − 5 3 0 1 − 3 2
0 0
0 0
0 0
0 0
r1r1÷~−(−r21)
1 0 2 − 1
0 1 − 3
0 0
0 0
0 0
2 0 0
.
1 0 2 − 1
初等行变换
(a1 ,a2 ,b1 ,b2 ) ~
0
0 0
1 0 0
−3 0 0
二、矩阵与向量组秩的关系
定理１矩阵的秩等于它的列向 量组的秩，也等于 它的行向量组的秩 . 证 设A = (a1, a2 ,, am )，R( A) = r,并设r阶子式 Dr ≠ 0.根据4.2定理2由Dr ≠ 0知所在的r列线性无 关；又由A中所有r + 1阶子式均为零，知 A中任意 r + 1个列向量都线性相关 . 因此Dr所在的r列是A 的列向量的一个最大无 关组，所以列向量组的秩 等于r.类似可证A的行向量组的秩也等于 R( A).
线性代数11-向量组的秩
1
1 1 1 8 0 4 6 2
因此这就是 A 的一个最高阶非零子式．
结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩
是唯一的．
2 1 1 1 r 1 1 1 0 A0 (a1 , a2 , a4 ) ~ 4 6 2 0 3 6 7 0
具体地说，就是：
若 a ∈ V， b ∈ V，则a + b ∈ V ．（对加法封闭） 若 a ∈ V， l ∈ R，则 l a ∈ V ．（对乘数封闭） 那么就称集合 V 为向量空间．
试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性．
解：
1 0 2 1 0 2 r 1 2 4 ~ 0 2 2 1 5 7 0 0 0
可见 r(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关，
同时， r(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关，
无关组及 Rn 的秩．
1 0 解： n 阶单位矩阵 I e1 , e2 , , en 0 0 0 1 0 的列向 0 1
量组是 Rn 的一个最大无关组，Rn 的秩等于n ．
1 0 思考：上三角形矩阵 A 0 1 1 1 1 的列向量组是 Rn 的 0 1
从而 a1, a2 是向量组 a1, a2, a3 的一个最大无关组． 事实上， a1, a3 和 a2, a3 也是最大无关组．
最大无关组的等价定义
结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的． 定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …, ar，满足 ① 向量组 A0 ：a1, a2, …, ar 线性无关； ② 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有 r + 1个向量的 话）都线性相关； ② 向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组．
线性代数-向量组的秩
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7
极大无关组定义：
1 2 0 4 ERT 0 4 9 0
1 2 1 1 1 1 0 0
4 0 0 1 3 0 0 0
定理1 （1）若矩阵A经过有限次初等行变换变成B， 则A的行向量组与B的行向量组等价；而A的任意k 个列向量与B中对应的k个列向量有相同的线性相 关性。 显然极大线性无关组为1 , 2 , 4 ,
3. 定理1 （1）若矩阵A经过有限次初等行变 换变成B，则A的行向量组与B的行向量组 等价；而A的任意k个列向量与B中对应的 k个列向量有相同的线性相关性。
, s } r .
设 J 中第 i 个非零行第一个非零元所在列标号为 ji ,
i 1,2,
, r , 则 j1 , j2 ,, jr 就是一个极大无关组.
小结
1. 极大线性无关组、行秩、列秩
1. 任意两个极大无关组所含向量个数相同
2. 向量组等价
1. 三大性质 2. 极大组合向量组等价
附 求向量组1 , 2 ,
, s 的极大无关组的一般步骤： , s )
i 为列向量时 i 为行向量时
第一步：作矩阵 A (1 , 2 ,
, 2 , 或 A (1
) , s
第二步：用初等行变换化矩阵A为阶梯阵 J . 若 J 中有 r 个非零行，则秩 {1 , 2 ,
3 (3,0,7,14), 4 (1, 1,2,0), 5 (2,1,5,6)
的极大无关组. 解： 作矩阵
1 1 A 2 4
0 3 1 2
3 0 7 14
1 1 2 0
2 1 5 6