2017-2018学年广东省广州市天河区高一(上)期末数学试卷-普通用卷

2017-2018学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线x+y−3=0的倾斜角为()A. 45∘B. 60∘C. 120∘D. 135∘2.已知集合A={{1,2，3，4，5，6}，B={y|y=x,x∈A}，则A∩B=()A. {1,2}B. {1,2，3}C. {1,3，5}D. {1,2，3，4，5，6}3.函数f(x)=lg x+x−3的零点所在的区间是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)4.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是()A. 433πB. 12πC. 36πD. 33π5.已知a=0.80.7，b=log20.7，c=1.30.8，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. b<a<cC. c<b<aD. c<a<b6.已知直线l1：x+2my−1=0与直线l2：(m−2)x−my+2=0平行，则实数m的值是()A. 32B. 32或0 C. 23D. 23或07.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为()A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘8.已知圆心(−2,1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是()A. x2+y2+4x−2y−5=0B. x2+y2−4x+2y−5=0C. x2+y2+4x−2y=0D. x2+y2−4x+2y=09.已知lg a+lg b=0，函数f(x)=a x与函数g(x)=−log b x的图象可能是()A. B.C. D.10.给出下列命题：①如果不同直线m、n都平行于平面α，则m、n一定不相交；②如果不同直线m、n都垂直于平面α，则m、n一定平行；③如果平面α、β互相平行，若直线m⊂α，直线n⊂β，则m//n；④如果平面α、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β．其中正确的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(−m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90∘，则m的最大值为()A. 7B. 6C. 5D. 412.偶函数f(x)(x∈R)满足：f(−5)=f(2)=0，且在区间[0,4]与[4,+∞)上分别递增和递减，则不等式x⋅f(x)<0的解集为()A. (−∞,−5)∪(−2,2)∪(5,+∞)B. (−5,−2)∪(2,5)C. (0,2)∪(5,+∞)D. (−5,−2)∪(0,2)∪(5,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=12x−1+log2(x+1)的定义域为______．14.已知一个四棱柱，其底面是正方形，侧棱垂直于底面，它的各个顶点都在一个表面积为4πcm2的球面上.如果该四棱柱的底面边长为1cm，则其侧棱长为______cm．15.已知m∈R，过原点O作圆x2+(m+2)y2−4x−8y−16m=0的切线，则此时的切线方程为______．16.已知函数知f(x)=(2−a)x+1(x<1)a x (x≥1)满足对任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)成立，那么实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知直线l1：(m−2)x+my−8=0和直线l2：mx+y−3=0，其中m为常数．(Ⅰ)若l1⊥l2，求m的值；(Ⅱ)若点P(1,2m)在l2上，直线l过P点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1内接于一个圆柱，且底面是正三角形，如果圆柱的体积是2π，底面直径与母线长相等．(Ⅰ)求该圆柱的侧面积；(Ⅱ)求三棱柱ABC−A1B1C1的体积．+c是R上的奇函数(a,b，c是常数)，且满足f(1)=3，19.已知函数f(x)=ax+bxf(2)=9．2(Ⅰ)求a，b，c的值；(Ⅱ)试判断函数f(x)在区间(0,2)上的单调性，并用定义证明．220.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：(Ⅰ)BE//平面PAD；(Ⅱ)PA⊥BC；(Ⅲ)平面BEF⊥平面PCD．21.已知圆C的圆心为点C(0,3)，点D(−3,2)在圆C上，直线l过点A(−1,0)且与圆C相交P，Q两点，点M是线段PQ的中点．(1)求圆C的方程：(2)若|AM|=3，求直线l的方程．a)(其中a>0)．22.已知函数y=log2(4x+1)−kx是偶函数，g(x)=log2(a⋅2x−43(Ⅰ)求g(x)的定义域；(Ⅱ)求k的值；(Ⅲ)若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．答案和解析【答案】1. D2. A3. C4. C5. B6. A7. D8. C9. B10. A11. B12. D13. {x|x>−1且x≠12}14. 215. y=34x或x=016. 32≤a<217. 解：(Ⅰ)若m=0，则直线l1：−2x−8=0，即x=−4，l2：y=3，直线垂直，符合题意；若m≠0，则−m−2m⋅(−m)=−1，解得：m=1，综上：m=1或0；(Ⅱ)设直线l的方程是：x−y=a，由P(1,2m)在mx+y−3=0上，得：m+2m−3=0，解得：m=1，故P(1,2)代入x−y=a，解得：a=−1，故直线l的方程是：x−y+1=0．18. 解：(Ⅰ)∵三棱柱ABC−A1B1C1内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是2π，底面直径与母线长相等．设底面半径为r，则母线长为2r，∴V圆柱=πr2⋅2r=2π，解得r=1，∴该圆柱的侧面积：S侧=2πr⋅2r=4π．(Ⅱ)取AC中点O，连结AD，设底面圆圆心为O，则AO=23AD=1，∴AD=32，设AB=a，则AD=a2−(a2)2=3a2=32，解得a=3．∴三棱柱ABC−A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1=12×3×32×2=332．19. 解：(Ⅰ)∵函数f(x)=ax+bx+c是R上的奇函数，∴f(−x)=−f(x)，故c=0，∵f(1)=3，f(2)=92，∴a+b=32a+b2=92，解得：b=1a=2，故a=2，b=1，c=0；(Ⅱ)由(Ⅰ)f(x)=2x+1x，令0<x1<x2<22，则f(x1)−f(x2)=2x1+11−2x2−12=(x1−x2)(2−1x1x2)，∵0<x1<x2<22，∴x1−x2<0，x1x2<12，2−1x1x2<0，故f(x1)−f(x2)>0，故f(x)在(0,22)递减．20. 解：(Ⅰ)∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．(Ⅱ)∵AB//CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE//AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE//平面PAD．(Ⅲ)平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF//PD，∴CD⊥EF．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．21. 解：(1)∵圆C的圆心为点C(0,3)，点D(−3,2)在圆C上，∴圆的半径R= (3)2+(3−2)2=2．∴圆C的方程为：x2+(y−3)2=4，(2)∵点M是线段PQ的中点，∴AM⊥CM，可得AM2+d2=R2，当直线l的斜率为k时，设方程为kx−y+k=0d=k2+1解得k=43，即直线l的方程为：4x−3y+4=0，当直线l的斜率不存在时，直线x=−1符合题意．综上所述：直线l的方程为：4x−3y+4=0或x=−1．22. 解：(Ⅰ)由a⋅2x−43a>0得：2x−43>0，解得：x>log243，故函数的定义域是(log243,+∞)；(Ⅱ)∵f(x)=log2(4x+1)−kx(k∈R)是偶函数，∴f(−x)=log2(4−x+1)+kx=f(x)对任意x∈R恒成立，log2(4x+1)−2x+kx=log2(4x+1)−kx恒成立，则2(k−1)x=0恒成立，因此，k=1；(Ⅲ)由于a>0，所以g(x)=log2(a⋅2x−43a)定义域为(log243,+∞)，也就是满足2x>43，∵函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点，∴方程log2(4x+1)−x=log2(a⋅2x−43a)在(log243,+∞)上只有一解即：方程4x+12=a⋅2x−43a在(log243,+∞)上只有一解，令2x=t，则t>43，因而问题等价为：关于t的方程(a−1)t2−43at−1=0(∗)在(43,+∞)上只有一解，①当a=1时，解得t=−34∉(43,+∞)，不合题意；②当0<a<1时，记 (t)=(a−1)t2−43at−1，其图象的对称轴t=2a3(a−1)<0，∴函数f(2m−m cosθ)+f(−1−sin2θ)<f(0)在(0,+∞)上递减，而 (0)=−1，∴方程(∗)在(43,+∞)无解；③当a>1时，记 (t)=(a−1)t2−43at−1，其图象的对称轴t=2a3(a−1)>0， (0)=−1，所以，只需 (43)<0，即169(a−1)−169a−1<0，此恒成立，∴此时a的范围为a>1，综上所述，所求a的取值范围为a>1．【解析】1. 解：由直线x+y−3=0，可得直线的斜率为k=−1，设其倾斜角为α，(0∘≤α<180∘)，则tanα=−1，∴α=135∘．即直线x+y−3=0的倾斜角的大小为135∘．故选：D．由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得直线的倾斜角．本题考查直线倾斜角的求法，考查倾斜角与斜率的关系，是基础题．2. 解：因为A={1,2，3，4，5，6}，所以B={y|y=x,x∈A}={1,2,3,2，5，6}，则A∩B={1,2}，故选：A．由题意求出集合B，由交集的运算求出A∩B．本题考查交集及其运算，属于基础题．3. 解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且函数f(x)单调递增，∵f(2)=lg2+2−3=lg2−1<0，f(3)=lg3>0，∴在(2,3)内函数f(x)存在零点，故选：C．根据题意，分析函数的定义域，由函数零点的判定定理即可得到结论．本题主要考查函数零点存在区间的判断，根据函数的单调性以及函数零点的判断条件是解决本题的关键．4. 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为半圆，母线长为2的半圆锥体；且底面半圆的半径为1，∴该半圆锥个高为2×32=3，它的体积为V=12×13π⋅12×3=36π.故选：C．根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征，从而求出它的体积．本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．5. 解：∵0<a=0.80.7<0.80=1，b=log20.7<log21=0，c=1.30.8>1.30=1，∴b<a<c．故选：B．根据指数函数和对数函数的单调性可得答案．本题主要考查指数函数和对数函数的单调性，是基础题．6. 解：直线l1：x+2my−1=0与直线l2：(m−2)x−my+2=0平行，若m=0，则两直线为x−1=0，2−2x=0，则重合舍去；若m=2时，两直线为x+4y−1=0，2−2y=0，不平行，舍去；即有1m−2=2m−m≠−12，解得m=32，故选A．讨论m=0，m=2两直线的情况，再由1m−2=2m−m≠−12，解方程即可得到所求值．本题考查两直线平行的条件，注意讨论直线的斜率不存在的情况，考查运算能力，属于基础题．7. 解：如图：连接B1G，EG∵E，G分别是DD1，CC1的中点，∴A1B1//EG，A1B1=EG，∴四边形A1B1GE为平行四边形∴A1E//B1G，∴∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角在三角形B1GF中，B1G= B1C12+C1G2=1+1=2FG=FC2+C G2=2+1=3B1F= B1B2+BF2=4+1=5∵B1G2+FG2=B1F2∴∠B1GF=90∘∴异面直线A1E与GF所成角为90∘故选D连接B1G，EG，先利用长方形的特点，证明四边形A1B1GE为平行四边形，从而A1E//B1G，所以∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角，再在三角形B1GF中，分别计算三边的长度，利用勾股定理即可得此角的大小本题考查了空间异面直线所成的角的作法、证法、算法，长方体的性质及其中的数量关系的应用，将空间问题转化为平面问题的思想方法8. 解：设直径的两个端点分别A(a,0)、B(0,b)，圆心C为点(−2,1)，由中点坐标公式得a+02=−2，0+b2=1，解得a=−4，b=2．∴半径r=(−2+4)2+(1−0)2=5，∴圆的方程是：(x+2)2+(y−1)2=5，即x2+y2+4x−2y=0．故选：C．根据题意，设直径的两个端点分别A(a,0)、B(0,b)，由中点坐标公式可得a、b的值，由两点间距离公式计算可得圆的半径，将其代入圆的标准方程即可得答案．本题考查圆的标准方程，关键是求出直径的两个端点的坐标，求出圆的半径，是中档题．9. 解：∵lg a+lg b=0，∴ab=1，则b=1a从而g(x)=−log b x=log a x，所以函数f(x)与函数g(x)在定义域内同增同减，结合选项可知选B，故答案为B．先求出a、b的关系，将函数g(x)进行化简，得到函数f(x)与函数g(x)在定义域内同增同减，再进行判定．本题主要考查了对数函数的图象，以及指数函数的图象和对数运算等有关知识，属于基础题．10. 解：在①中，如果不同直线m、n都平行于平面α，则m、n相交、平行或异面，故①错误；在②中，如果不同直线m、n都垂直于平面α，则由线面垂直的性质定理得m、n一定平行，故②正确；在③中，如果平面α、β互相平行，若直线m⊂α，直线n⊂β，则m、n相交、平行或异面，故③错误；在④中，如果平面α、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α，则n与β相交或平行，故④错误．故选：A．在①中，m、n相交、平行或异面；在②中，由线面垂直的性质定理得m、n一定平行；在③中，m、n相交、平行或异面；在④中，n与β相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．11. 解：圆C：(x−3)2+(y−4)2=1的圆心C(3,4)，半径为1，∵圆心C到O(0,0)的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90∘可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=12AB=m，故有m≤6，故选：B．根据圆心C到O(0,0)的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6.再由∠APB =90∘，可得PO =12AB =m ，可得m ≤6，从而得到答案．本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．12. 解：∵偶函数f (x )(x ∈R )满足：f (−5)=f (2)=0，且在区间[0,4]与[4,+∞)上分别递增和递减，∴函数f (x )对应的图象如图： 则不等式x ⋅f (x )<0等价为 f (x )<0x >0或 f (x )>0x <0，即 0<x <2或x >5x >0或 −5<x <−2x <0，即0<x <2或x >5或−5<x <−2，即不等式的解集为(−5,−2)∪(0,2)∪(5,+∞)， 故选：D ．根据函数单调性和奇偶性的关系，作出函数的草图，结合不等式的关系进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性之间的关系作出函数的图象是解决本题的关键．13. 解：函数f (x )=12x−1+log 2(x +1)有意义，可得x +1>0且2x −1≠0， 解得x >−1且x ≠12， 则定义域为{x |x >−1且x ≠12}. 故答案为：{x |x >−1且x ≠12}.函数f (x )=12x−1+log 2(x +1)有意义，可得x +1>0且2x −1≠0，界不大合适即可得到所求定义域．本题考查函数的定义域的求法，注意分式分母不为0和对数的真数大于0，考查运算能力，属于基础题．14. 解：∵一个四棱柱，其底面是正方形，侧棱垂直于底面， 它的各个顶点都在一个表面积为4πcm 2的球面上． ∴球半径为r =1cm ，设该四棱柱的侧棱长为xm ， ∵该四棱柱的底面边长为1cm ， ∴r =12+12+x 22=1，解得x = 2cm ．故答案为： 2．球半径为r =1cm ，设该四棱柱的侧棱长为xm ，由该四棱柱的底面边长为1cm ，得r =12+12+x 22=1，由此能求出其侧棱长．本题考查四棱柱的侧棱长的求法，考查四棱柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．15. 解：由圆的方程得m+2=1，即m=−1，此时圆的方程为x2+y2−4x−8y+16= 0，即(x−2)2+(y−4)2=4，圆心坐标C(2,4)，半径为R=2，若切线斜率不存在，则x=0，圆心到直线x=0的距离d=2，满足x=0与圆相切，若斜率存在，设y=kx，即kx−y=0，圆心到直线的距离d=1+k2=2，即|k−2|=1+k2，平方得k2−4k+4=1+k2，即4k=3，得k=34，则切线方程为y=34x，综上所述，切线方程为y=34x或x=0，故答案为：y=34x或x=0．根据圆的方程特点先求出m=−1，然后求出圆心和半径，结合直线和圆相切的等价条件进行求解即可．本题主要考查直线和圆相切的等价条件，结合圆的方程先求出m是解决本题的关键．16. 解：∵函数f(x)满足对任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)成立，∴函数f(x)在定义域上是增函数，则满足2−a>0a>12−a+1≤a，即a<2a>1a≥32，得32≤a<2，故答案为：32≤a<2．根据条件判断函数是增函数，结合函数单调性的定义建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键．17. (Ⅰ)通过讨论m=0或m≠0的情况，结合直线的垂直关系求出m的值即可；(Ⅱ)求出m的值，求出P的坐标，代入直线方程即可．本题考查了直线的垂直关系，考查求直线方程问题，是一道中档题．18. (Ⅰ)设底面半径为r，则母线长为2r，由V圆柱=πr2⋅2r=2π，求出r=1，由此能求出该圆柱的侧面积．(Ⅱ)取AC中点O，连结AD，设底面圆圆心为O，则AO=23AD=1，求出AD=32，从而求出AB= 3.由此能求出三棱柱ABC−A1B1C1的体积．本题考查圆柱侧面积的求法，考查三棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19. (Ⅰ)运用奇函数的定义，可得c=0，再由条件得到a，b的方程，解得即可得到解析式；(Ⅱ)运用单调性的定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题．20. (Ⅰ)根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．(Ⅱ)根据已知条件判断ABED为平行四边形，故有BE//AD，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE//平面PAD．(Ⅲ)先证明ABED为矩形，可得BE⊥CD①.现证CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位线的性质可得EF//PD，从而证得CD⊥EF②.结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理证得平面BEF⊥平面PCD．题主要考查直线和平面垂直的判定定理，直线和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，属于中档题．21. (1)可得圆的半径R=(3)2+(3−2)2=2.即可得圆C的方程为：x2+(y−3)2=4，(2)设点M(x,y)，由|AM|=3，(x+1)2+y2=9，点M是线段PQ的中点，即y x+1⋅y−3x=−1，y2−3y+x2+x=0，由①②得x+3y−8=0，从而可得答案．本题考查了圆的方程、直线与圆的位置关系，属于中档题．22. (Ⅰ)根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；(Ⅱ)直接根据函数的奇偶性列式求出k的值；(Ⅲ)运用函数与方程思想解题，问题转化为关于t的方程(a−1)t2−43at−1=0在(43,+∞)上只有一解．本题主要考查了函数奇偶性的应用，运用对数函数的单调性解不等式，以及函数图象交点的确定，属于中档题．。