2019-2020年九年级数学上学期全等三角形学案

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中考数学全等三角形的复习课教学设计

全等三角形复习〔第1课时〕泰安六中苏晓林一、教材分析：本节课是全等三角形全章复习课，首先帮助学生理清全等三角形全章知识脉络，进一步了解全等三角形概念，理解性质、判定与运用；其次对学生所学全等三角形知识进展查缺补漏，再次通过拓展延伸以习题训练，提高学生综合运用全等三角形解决问题能力，并对中考对全等三角形考察方向有一个初步感知，为以后复习指明方向。

在练习过程中，要注意强调知识之间相互联系，使学生养成以联系与开展观点学习数学习惯.二、学情分析在知识上，学生经历全等三角形全章学习，对全等三角形性质、判定以及应用根本掌握，初步具有整体认识，但由于间隔时间有点长所以遗忘较多，全等三角形是学习初中几何根底与工具也是中考必考内容。

对全等三角形综合应用以及全章知识脉络形成正是以上各种能力综合表达，教学中要充分发挥学生主体作用，通过复习学生在全等三角形计算、证明对学生推理能力、发散思维能力与概括归纳能力将有所提高.三、教学目标1.进一步了解全等三角形概念，掌握三角形全等条件与性质；会应用全等三角形性质与判定解决有关问题.2.在题组训练过程中，引导学生总结出全等三角形解题模型，培养学生归纳总结能力，使学生体会数形结合思想、转化思想在解决问题中作用.3.培养学生把已有知识建立在联系思维习惯，并鼓励学生积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流与合作。

四、教学重难点重点：全等三角形性质与判定应用.难点：能理解运用三角形全等解题根本过程。

五、教法与学法以“自助探究〞为主，以小组合作、练习法为辅；在具体教学活动中，要给予学生充足时间让学生自主学习，先形成自己全等三角形知识认知体系，尝试完成练习；给予学生充足空间展示学习结果，通过讨论交流、学生互评、教师最后点评方式实现本节课教学目.六、教具准备多媒体课件，七、课时安排2课时八、教学过程本节课是全等三角形全章复习课，本节课我主要采用学生“练后思〞模式，帮助学生搜整?全等三角形?全章知识脉络，建构知识网络，通过根底训练、概念变式练习、典例探究、拓展应用等活动进展查缺补漏与拓展延伸；借助“根底了题目-变式题目-典型题目-拓展题目〞五个梯次递进教学活动达成教学目标，使用多媒体课件展示教学思路，引导学生思维方向，实现课堂教学最优化。

2019人教版中考数学三角形全等的判定word复习教案

三角形全等的判定教学目标教学重点和难点应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式.教学过程设计一、实例演示，发现公理1．教师出示几对三角形模板，让学生观察有几对全等三角形，并根据所学过的全等三角形的知识动手操作，加以验证，同时写出全等三角形的数学表达式.2．在此过程中应启发学生注意以下几点：（1）可用移动三角形使其重合的方法验证图3-49中的三对三角形分别全等，并根据图中已知的三对对应元素分别相等的条件，可以证明结论成立.如图3-49(c)中，由AB=AC=3cm,可将△ABC绕A点转到B与C重合；由于∠BAD=∠CAE=120°，保证AD能与AE重合；由AD=AE=5cm,可得到D与E重合.因此△BAD可与△CAE重合,说明△BAD ≌△CAE.（2）每次判断全等，若都根据定义检查是否重合是不便操作的，需要寻找更实用的判断方法——用全等三角形的性质来判定.（3）由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共六对对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.3.画图加以巩固.教师照课本上所叙述的过程带领学生分析画图步骤并画出图形,理解“已知两边及夹角画三角形”的方法，并加深对结论的印象.二、提出公理1.板书边角边公理，指出它可简记为“边角边”或“SAS”，说明记号“SAS’的含义．2．强调以下两点：（1）使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等．（2）使用时记号“SAS”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应顶点的字母顺序写在对应位置上．3．板书定理证明应使用标准图形、文字及数学表达式，正确书写证明过程．如图3-50，在△ABC与△A’B’C’中,（指明范围）三、应用举例、变式练习1．充分发挥一道例题的作用，将条件、结论加以变化，进行变式练习，例1已知：如图 3-51， AB＝CB，∠ABD＝∠CBD．求证：△ABD≌△CBD．分析：将已知条件与边角边公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可，这可由公共边相等 BD＝BD得到．说明：（1）证明全等缺条件时，从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公共角相等、对顶角相等，等等．（2）学习从结论出发分析证明思路的方法（分析法）．分析：△ABD≌△CBD因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与AB，CB夹两已知角的公共边BD．（3）可将此题做条种变式练习：练习1（改变结论）如图 3-51，已知 AB＝CB，∠ABD＝∠CBD.求证：AD=CD，BD平分∠ADC. 分析：在证毕全等的基础上，可继续利用全等三角形的性质得出对应边相等，即AD=CD；对应角相等∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC.因此，通过证明两三角形全等可证明两个三角形中的线段相等或和角相关的结论，如两直线平行、垂直、角平分线等等.练习2(改变条件）如图 3－51，已知 BD平分∠ABC， AB＝ CB．求证: ∠A＝∠C．分析：能直接使用的证明三角形全等的条件只有AB＝CB，所缺的其余条件分别由公共边相等、角平分线的定义得出．这样，在证明三角形全等之前需做一些准备工作．教师板书完整证明过程如下：以上四步是证明两三角形全等的基本证明格式．（4）将题目中的图形加以有规律地图形变换，可得到相关的一组变式练习，使刚才的解题思路得以充分地实施，并加强例题、习题之间的有机联系，熟悉常见图形，同时让学生总结常用的寻找所缺边、缺角条件的方法．练习 3如图 3-52（c），已知 AB＝AE， AD＝AF，∠ 1=∠2．求证： DB=FE．分析：关键由∠1＝∠2，利用等量公理证出∠BAD＝∠EAF.练习 4如图 3-52(d)，已知 A为 BC中点，AE证：BD=EC．分析：先选择BD和EC所在的两个三角形△ABD与△AEC，已知没有提供任一证两个三角形全等所需的直接条件，均需由等边三角形的定义提供．四、师生共同归纳小结1．证明两三角形全等的条件可由定义的六条件减弱到至少几个？边角边公理是哪三个条件？2．在遇到证明两三角形全等或用全等证明线段、角的大小关系时，最典型的分析问题的思路是怎样的？你体会这样做有些什么优点？3.遇到证明两个三角形全等而边、角的直接条件不够时，可从哪些角度入手寻找非已知条件？五、练习与作业练习：课本第28页中第1题，第30页中1，3题.作业：课本第32页中第6，7，8，9，10题.课堂教学设计说明本教学设计需2课时完成.1．课本第节内容安排3课时，前两课时学习三角形全等的边角边公理，重点练习直接应用公理及证明格式，初步学习寻找证明全等所需的非已知条件的方法，以及利用性质证明边角的数量关系及直线的位置关系，第3课时加以巩固并学习解决应用题和两次全等的问题. 2．本节将“理解全等三角形的判定方法的必要性“列为教学目标之一，目的是引起教师和学生的重视，只有学生真正认识到了研究判定方法的必要性，才能从思想上接受判定方法，并发挥出他们的学习主动性.3．本节课将“分析法和寻找证明全等三角形时非已知条件的方法”作为教学目标之一，意在给学生归纳一些常用的解题思路，以便将它作为证明全等三角形的一种技能加以强化. 4．教材中将“利用证明两个三角形全等来证明线段或角相等”的方法做为例5出现，为时过晚，达不到训练的目的，因此教师应提前到第一、二课时，就教给学生分析的方法，并从各种角度加以训练.5．教师可将例题1和几种变式练习制成投作影片（图3-52）提高课堂教学效率．教学使用时，重点放在题目的分析上，并体现出题目之间图形的变化和内在联系.6．本节教学内容的两课时既教会学生分析全等问题的思路——分析法和寻找非已知条件的方法，又要求他们落实证明的规范步骤——准备条件，指明范围，列齐条件和得出结论，使学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达．学生学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达。

九年级数学全等三角形复习教案【教案】

课题：全等三角形教课目的：使学生掌握全等三角形的几种证法及几何证题中的地点变换方法。

教课重点：几何证题中的地点变换方法。

教课过程：一．知识重点：全等三角形的判断方法：SAS、 ASA、 AAS、 SSS，HL。

例 1 已知：在 Rt △ ABC中， AB=AC，∠ A=90 ，点 D为 BC上任一点， DF⊥ AB于F，DE⊥ AC于 E， M为 BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论。

AEFB D M C例 2 如图，已知：∠BAD=∠ CAD， AD⊥ BD， M为 BC之中点，A求证： DM=12（ AB-AC）CM例 3 已知： BD、 CE 为角平线， M为 ED 的中点， MN⊥ BC 于 N， DP B D ⊥ AD于 P，DQ⊥ AE于 Q，求证： EP+DQ=2MN。

A A DQPE PMDB C B CN例 4 已知：梯形 ABCD中， AD∥ BC， DP、 CP分别均分∠ ADC、∠ BCD，求证： CD=AD+BC。

( 方法：①延伸 DP；②取 DE=DA；③作 PM∥ AD)例5 如图， AB=AC， M为 AC之中点， C 为 AD之中点，求证： BD=2BM。

专心爱心专心A1M例 6 已知，如图正方形ABCD中，AD （1）若∠ EPF=45°，则 EF=BF+DE；（ 2）若正方形的边长为1，△ CEF的周长为2，求∠ EAF。

E二 . 小结： B C三 . 作业：F1. 如图，已知： AC=AD， BC=BD C求证：∠ 1=∠ 2A 1 B2D2. 如图，已知MB=ND，∠ MBA=∠ NDC，以下条件不可以判断△ABM≌△ CDN的是（）A. ∠M=∠ NB.AB=CD MNC.AM=CND.AM∥ CN3.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F 在对角A 线个端点，和图中已注明字母的某一点连成一条新线段，一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。

直角三角形全等的判定-学案

19.7直角三角形全等的判定-学案(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--直角三角形全等的判定一、课前练习已知:如图,AB⊥BC,DC⊥BC,根据下列条件能否判定两个直角三角形ABC与DCB全等,为什么?(1)AB=DC;(2)∠A=∠D;(3)∠ACB=∠DBC;(4)AC=DB.二、阅读理解1.阅读教材P112～113.2.直角三角形全等的判定定理是3.判定直角三角形全等的方法有: 、、、 .4.尝试:想一想把斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形拼在一起,有哪几种不同的拼法其中,哪几种拼法可以创设边或角对应相等的条件,依据已学过的定理来判断这两个三角形全等5.阅读中遇到的问题有三、新课探索已知:如图,在Rt△ABC和Rt△A＇B′C′中,∠C=∠C′=90°,AC=A′C′,AB=A′B′.求证:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.由前面“的证明方法的启示,是否可以考虑也将这两个三角形拼在一起,构造图形,创设条件请尝试把两个图形拼在一起,看看有几种不同的拼法.拼法中,哪几种不可取为什么例题1 已知:如图,在△ABC中,BD⊥AC,CE⊥AB,BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形.例题2 求证:在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.四、课内练习1.如图,AB、CD垂直相交于点O,根据下列条件,要判定△AOC与△DOB全等,分别用哪条判定定理?(1)∠A=∠D,AC=DB;(2)AO=DO,CO=BO;(3)AC=DB,CO=BO;(4)∠C=∠B,CO=BO.2.已知:如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,垂足分别为点E、F.求证:EB=FC.3.已知:如图,EC⊥AB,FD⊥AB,垂足分别为C、D,AF=BE,FD=EC.求证:AC=BD.4.已知:如图,AB⊥BC,AE⊥ED,垂足分别为点B、E,AB=AE,∠1=∠2.求证:BC=ED.5.已知:如图,AD⊥CD,BC⊥CD,D、C分别为垂足,AB的垂直平分线EF交AB于点E,交CD于点F,BC=DF.求证:AD=FC.BM直角三角形全等的判定一、选择题1、如图，在△ABC 中，MD 垂直平分AB ，交AB 于M ，交BC 与D,NE 垂直平分AC ，交AC 于N ，交BC 于E ，若∠BAC=100°，则∠DAE 的度数为（）° ° ° °2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于点F ，则图中全等的直角三角形的对数为（） A ．3二、填空题1、已知Rt △ABC ≌Rt △A ’B ’C ’,∠C=∠C ’=90°,AB=5,BC=4,AC=3,则△A ’B ’C ’的周长为___________，面积为__________，斜边上的高_____________.2、如图，在△ABC 中，∠C=90°,AM 平分∠CAB ，CM=10cm ，那么点M 到AB的距离是_______cmABCDEM N ABCDEFOAC三、简答题1、已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同一直线上，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，垂足分别是B 、C ，AB=DC ，AE=DF 求证：AF=DEABCEFD。

第十一章全等三角形全章学案

第十一章全等三角形 11.1全等三角形学习目标1．知道什么是全等形、全等三角形；2．能熟练找出全等三角形的对应元素，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．掌握全等三角形的性质.重点: 全等三角形的概念、性质。

难点: 对应边和对应角的确定。

自主学习一、全等形、全等三角形的概念阅读课本P2内容，回答课本思考问题，并完成下面填空： 1．能够完全重合的两个图形叫做 .全等图形的特征：全等图形的和都相同. 2．能够完全重合的两个三角形叫做 . 二、全等三角形的对应元素及表示阅读课本P3第一个思考及下面两段内容，完成下面填空：1．平移翻折旋转甲DCABFE 乙DCAB丙DCABE启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了，•但、都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略．2．全等三角形的对应元素（1）对应顶点（三个）---重合的顶点（2）对应边（三条）--- 重合的边（3）对应角（三个）--- 重合的角请同学们写出上图甲、乙、丙的对应顶点、对应边、对应角图甲：对应边是：对应顶点是：对应角是：图乙：对应边是：对应顶点是：对应角是：图丙：对应顶点是：对应边是：对应角是：寻找对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是对应边；（2）有公共角的，公共角是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（5）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。

3．“全等”用“≌”表示，读作“全等于”如图甲记作:△ABC ≌△DEF 读作:△ABC 全等于△DEF 如图乙记作: 读作: 如图丙记作: 读作:注意：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 三、全等三角形的性质阅读课本P3第二个思考及下面内容，完成下面填空：全等三角形的性质:全等三角形的相等，相等. 练习1.如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．D CABODCABE图1 图22.如图2，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，•指出其他的对应边和对应角．课堂小结本节课你有哪些收获？巩固练习1.下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角.（1）（2）（3）2.如图，△ABE≌△ACD，AB与AC，AD与AE是对应边，已知：∠A=43°，∠B=30°，求∠ADC的大小.B C课堂检测1.全等用符号表示，读作： .2.若△BCE≌△CBF，则∠CBE= , ∠BEC= ,BE= , CE= .3.判断题1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.（）2）全等三角形的周长相等，面积也相等. （）3）面积相等的三角形是全等三角形. （）4）周长相等的三角形是全等三角形. （）4.如图:△ABC≌△DBF,找出图中的对应边,对应角.答:∠B的对应角是，∠C的对应角是，∠BAC的对应角是；AB的对应边是，AC的对应边是，BC的对应边是 .课后作业：课本P4习题第1、2题板书设计：11．1 全等三角形一、全等形、全等三角形的概念二、全等三角形的对应元素及表示三、全等三角形的性质教学反思：BDAC FBE 11.2.1三角形全等的判定学习目标1．理解三边对应相等的两个三角形全等的内容． 2．会运用“边边边”条件证明两个三角形全等． 3. 会作一个角等于已知角. 自主学习一、课前准备1. 叫做全等三角形2.全等三角形的和相等3.将△ABC 沿直线BC 平移，得到△DEF ，说出你得到的结论，说明理由？如果AB=5, ∠A=55°, ∠B=45°,那么DE= ，∠F= . 二、自主探究自主探究三角形全等的条件：阅读课本P6探究2之前，回答下面问题：通过探究（1）只给一个条件对应相等的两个三角形一定全等吗？①只给一条边时；②只给一个角时；（2）如果给出两个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？①给出两个角时；②给出两条边时；③给出一条边和一个角时；45◦ 45◦45◦3㎝ 3㎝ 3cm（3）由上面的几种情景，两个三角形满足一个或两个条件时，它们一定全等吗？（4）如果两个三角形有三个条件对应相等，这两个三角形全等吗？我们也可以分情况讨论，有哪几种情况？①我们先来探究两个三角形三个角相等的情况：②画出一个三角形，使它的三边长分别为3cm 、 4cm 、6cm ,把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？③上面的探究反映了什么规律？阅读课本P6-7探究2至例1前，回答下面问题：的两个三角形全等，简写为“ ”或“ ”．三、例题学习阅读课本P7例1，学习“边边边”证明两个三角形全等的格式．巩固练习1. 如图，AB=AD ，BC=CD ，求证：（1）△ABC ≌△ADC （2）∠B=∠D证明：（1）在△ABC 和△ADC 中（公共边）∴△ABC ≌△ADC （）（2）∵△ABC ≌△ADC∴∠B=∠D （）2.如图，已知AC=FE 、BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AD=FB ．要用“边边边”证明△ABC ≌△FDE ，除了已知中的AC=FE ，BC=DE 以外，还应该有什么条件？怎样才能得到AB CD 300 700 800300 800700FDCBEABCDA这个条件？证明：四、作一个角等于已知角阅读课本P7最后一段至P8，回答书中问题.课堂小结本节课你有哪些收获？课堂检测如图，AB=CD ，AC=BD ，△ABC 和△DCB 是否全等？试说明理由。

九年级数学全等三角形复习教案设计

九年级数学全等三角形复习教案设计教材分析：《三角形全等复习课内容》选用义务教育课程标准试验教材《数学》（华师大版）九年级上册，三角形全等是初中数学中首要的学习内容之一。

本套教材把三角形全等看做是三角形相似的特殊情况，同时三角形全等的概念，三角形全等的辨认法子，与命题与证明，尺规作图几部分内容互相联络紧密，尤其是尺规作图中作法的合理性和正确性的解释依赖于全等知识。

本章中三角形全等的辨认法子的给出都通过学生画图、讨论、交换、对比得出，重视学生实际操作能力，为培育学生介入意识和立异意识提供了机会。

设计理念：针对教材内容和初三学生的实际情况，组织学生通过摆拼全等三角形和探求全等三角形的流动，让学生感悟到图形全等与平移、旋转、对称之间的瓜葛，并通过学生动手操作，让学生掌握全等三角形的一些基本情势，在探求全等三角形的进程中，做到有的放矢。

然后应用角平分线为对称轴来画全等三角形的法子来解决实际问题，从而到达会辨、会找、会用全等三角形知识的目的。

教学目标：1、通过全等三角形的概念和辨认法子的复习，让学生体会区分、探访、应用全等三角形的一般法子，体会主动试验，探究新知的法子。

2、培育学生察看和理解能力，几何语言的叙述能力及应用全等知识解决实际问题的能力。

3、在学生操作进程中，激起学生学习的兴致，培育学生主动探索，敢于实践的精神，培育学生之间合作交换的习气。

教学的重点和难点：重点：应用全等三角形的辨认法子来探访三角形和应用全等三角形的知识解决实际问题。

难点：应用全等三角形知识来解决实际问题。

教学进程设计：一、创设问题情境：某同窗把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完整相同的玻璃，那末你认为它应保存哪一块？（教师用多媒体）师：请同窗们先独立思考，然后小组交换意见生：…………师：上述问题实质是判断三角形全等需要甚么前提的问题。

今天咱们这节课来复习全等三角形。

（引出课题）。

师：辨认三角形及等的法子有哪些？生：SAS 、 SSS、 ASA、 AAS 、 HL。

2019-2020学年九年级数学上册-三角形全等的条件导学案-苏科版

图（1）NO M图（3）2019-2020学年九年级数学上册三角形全等的条件导学案苏科版教学重点：会“作已知角的角平分线”和“过一点作已知直线的垂线教学过程：（一）情境创设工人师傅常常利用角尺平分一个角．如图（1），在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别任取OC ＝OD ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是∠AOB 的平分线．请同学们说明这样画角平分线的道理．（二）探索活动一1．说请按序．．说出木工师傅的“操作”过程． 2．作与写用直尺和圆规在图（2）中按序．．将木工师傅的“操作”过程作出来，并写出作法．3．证请证明你的作法是正确的． 4．用用直尺和圆规完成以下作图：（1）在图（3）中把∠MON 四等分．（2）在图（4）中作出平角∠AOB 的平分线．说明：过直线上一点作这条直线的垂线就是作以这点为顶点的平角的角平分线．图（2）图（4）BA P图（6）（图7）QDCBAPMD CBOA图（5）l（三）探索活动二1．观察思考．在图（2）作图的基础上，作过C 、D 的直线l （如图（5）），观察图中射线OM 与直线l 的位置关系，并说明理由．2．问题变式．你能用圆规和直尺过已知直线外一点作这条直线的垂线吗？（如图（6），经过直线AB 外一点P 作AB 的垂线PQ ）．3．比较分析．引导学生比较新旧两个问题之间的联系，寻求解决新问题的策略． 4．作图与证明．（1）作法步骤1 以点P 为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB 交于C 、D ．步骤2 分别以点C 、D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧交于点Q ．步骤3 作直线PQ ．b a 图（8）图（9）lPA B∴直线PQ 就是经过直线AB 外一点P 的AB 的垂线（如图（7））．（2）证明略． 5．归纳总结．根据活动一中的4（2）与活动二可知：经过一点可用直尺和与圆规作一条直线与已知直线垂直．（四）知识运用用直尺和圆规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于a 、b （如图（8））．（五）拓展延伸如图（9），已知A 、B 是l 上的两点，P 是l 外的一点．（1）按照下面画法作图（保留作图痕迹）：①以A 为圆心，AP 为半径画弧； ②以B 为圆心，BP 为半径画弧；③设两弧交于点Q （Q 与P 分别在l 的两旁）； ④连结PQ ．（2）求证：PQ ⊥l ．图（10）AO B（六）课后作业1．已知∠AOB （如图（10）），求作：（1）∠AOB 的平分线OC ．（2）作射线OD ⊥OC （两种作法）．（3）在OC 上取一点P ，作出点P 到∠AOB 两边的垂线段，并比较这两条垂线段的大小关系（要求保留作图痕迹，不写作法和证明过程）．2．查询资料：能利用直尺和圆规将一个角三等分吗（七)课堂小结知识联系网络图（教师逐一展示，引导学生回顾总结）：作已知角的角平分线过直线上的一点作已知直线的垂线过直线外的一点作已知直线的垂线特例变式作法方法1：活动二方法2：拓展延过平面上一点作已知直线的垂线作图依据：SSS活动一活动二知识应用：一题多解。

全等三角形的判定教案学案含答案

(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
注意：用作图的方法证明边边角和角角角判定的不可行性，注意证三角形全等时切忌不可以用它，这也是一个易错点。
2.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
解：的度数为
证明过程如下：
如图过点作的垂线，使，连接、，
于是因为且，所以四边形是平行四边形．
从而，
又因为，得到，进而在与中，
，
所以，
这样，而，
所以．
又因为，
所以得到是一个等腰直角三角形，
所以，利用，从而得到．
例12：如图，是的内心，且．若，求和的大小．
∴ ，∴ ，∴
例6：如图，，垂足分别为，试说明
解：因为 (已知)，所以，因为，所以 (直角三角形两锐角互余).所以 (同角的余角相等).因为， (已知)，所以 (垂直的定义).在和中，，所以 ,所以， (全等三角形的对应边相等)，所以
.所以
例7：如图，设和都是正三角形，且，则的度数是( )
解：解法一：如图，连结．
∵ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
在与中，，公共，，
∵ ，．
∵ ，．
∴ ．∴ ．
解法二：连结．
∵ ，
∴ ．
∵ ，．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
例11：( 年全国初中数学联赛天津赛区) 中，，为上一点，使得，为上一点，使得，连、交于点．试求的度数，并写出你的推理证明的过程．

2019-2020学年九年级数学《图形的相似与全等》教案人教新课标版.doc

2019-2020学年九年级数学《图形的相似与全等》教案人教新课标版教学目标：1．立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基本技能.2．让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．情感目标：通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展，激发学生的环保意识。

教学重点与难点重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，．难点：把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识．2段性质：若dcb a =，则ad =bc .在比例中运用设k 法.相似多边形，对应边成比例，对应角相等.（识别方法）相似三角形的相似比（当k =1时,得特殊的相似三角形，称为全等三角形）. 相似三角形的判定定理：(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么两个三角形相似；(2)如果一个三角形的两边分别与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角对应相等，那么两个三角形相似；(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么两个三角形相似；(4)如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．相似三角形的性质定理：(1)若两个三角形相似，则这两个三角形的对应边成比例，对应角相等.(2)若两个三角形相似，它们对应中线的比，角平分线的比，高的比都等于相似比. (3)若两个三角形相似，它们周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 直角三角形中的射影定理.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.画相似图形，利用位似方法，把一个多边形放大和缩小. 全等三角形的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL . 命题、定理、公理.五种基本作图及简单的作图题. 3、能力要求例1 已知△ABC 中，∠ACB =90º，CD ⊥AB 于D ， AD ∶BD =2∶3且CD =6. 求（1）AB ；（2）AC . 【分析】设AD =2k ，BD =3k .根据直角三角形和它斜边上的高，可知△ABC ∽△ACD ∽△CBD .通过相似三角形对应边成比例求出其中k 的大小；但是如果根据用射影定理，那么就可以直接计算出k 的大小.解：设AD =2k ，BD =3k （k >0）.∵∠ACB =90º， CD ⊥AB .∴CD 2=AD •BD ， ∴62=2k •3k ，∴k =6.∴AB =65.又∵AC 2=AD •AB ，∴AC =152.【说明】解题的方法可以不止一种，本题采用了补充的射影定理来解，其中通过设k 法将两线段的比转化成两线段的长2k 和3k ，建立关于k 的等式.在含有比例的解题中设k 法是常用的解题方法之一. 例2 已知△ABC 中，∠ACB =90º，CH ⊥AB ，HE ⊥BC ，HF ⊥AC . 求证：（1）△HEF ≌△EHC ；（2）△HEF ∽△HBC .【分析】从已知条件中可以获得四边形CEHF 是矩形，要证明三角形全等要收集到三个条件，有公共边EH ,根据矩形的性质可知EF =CH ,HF =EC .要证明三角形相似，从条件中得∠FHE =∠CHB =90º, A BC F E HA B C D ┐由全等三角形可知，∠HEF=∠HCB,这样就可以证明两个三角形相似.【证明】∵HE⊥BC，HF⊥AC，∴∠CEH =∠CFH=90º.又∵∠ACB=90º，∴四边形CEHF是矩形.∴EF=CH,HF=EC，∠FHE=90º.又∵HE=EH，∴△HFE≌△EHC.∴∠HEF=∠HCB.∵∠FHE=∠CHB=90º，∴△HEF∽△HBC.【说明】在这一题的分析过程中，走“两头凑”比较快捷，从已知出发，发现有用的信息，从结论出发，寻找解决问题需要的条件.解题中还要注意上下两小题的“台阶”关系.培养学生良好的思维习惯.例3 两个全等的含30º，60º角的三角板ADE和ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连结ME，MC.试判断△EMC的形状，并说明理由.形作出假设，或许是等腰三角形.这样就可以转化为另一个问题：尝试去证明E M=MC，要证线段相等可以寻找全等三角形来解决，然而图中没有形状大小一样的两个三角形.这时思考的问题就可以转化为这样一个新问题：如何构造一对全等三角形？根据已知点M是直角三角形斜边的中点，产生联想：直角三角形斜边上的中点是斜边的一半，得：MD=MB=MA.连结M A 后，可以证明△MDE≌△MAC.【答】：△EMC的形状是等腰直角三角形.【证明】连接AM,有题意得,DE = AC，AD=AB，∠DAE+∠BAC=90º. ∴∠DAB=90º.∴△DAB为等腰直角三角形.又∵MD= MB，∴M A= MD= MB，AM⊥DB，∠MAD=∠M AB=45º.∴∠MDE=∠MAC=105º，∠DMA=90º.∴△MDE≌△MAC.∴∠DME=∠AMC，ME=MC.又∠DME+∠EMA=90º，∴∠AMC+∠EMA=90º.∴MC⊥EM.∴△EMC的形状是等腰直角三角形.【说明】构造全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进行的呢？对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径.构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度.会转化，善于转化，更能体现思维的灵活性.在问题中创设三角板为情境也是考题的一个热点.2003年2月27日《广州日报》报道，2002年底广州市自然保护区覆盖率为4.65%，尚未达到国家级标准，因此，市政府决定加快绿化建设，力争到2004年底自然保护区覆盖率达到8%以上，若要达到最低目标8%，则广州市自然保护区面积的平均增长率应是多少？（结果保留三个有效数字）例4 如图，已知∠MON =90º，等边三角形ABC 的一个顶点A 是射线OM 上的一定点，顶点B 与点O 重合，顶点C 在∠MON 内部. （1）当顶点B 在射线ON 上移动到B 1时，连结AB 1为一边的等边三角形AB 1C 1（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）设AB 1与OC 交于点Q ，AC 的延长线与B 1C 1交于点D .求证：AQ AB AD AC ⋅=⋅1；（3）连结CC 1，试猜想∠ACC 1为多少度？并证明你的猜想.【分析】用尺规作图画出符合题意的等边三角形AB 1C 1是对问题（2）研究的关键.分别以A 、B 1两点为圆心，AB 1长为半径作弧，两弧的交点即为点C 1.然后把等积式改写比例式，找出所需的两个相似三角形. 【解】（1）如图所示；【证明】（2）∵△AOC 与△AB 1C 1等边三角形， ∴∠ACB =∠AB 1D =60º.又∵∠CAQ =∠B 1AD , ∴△ACQ ∽△AB 1D ；.,11AB AQ AD AC ADAQAB AC ⋅=⋅=∴即(3) 猜想∠ACC 1=90º.证明:∵△AOC 和△AB 1C 1为正三角形,AO =AC ，AB 1=AC 1， ∴∠OAC =∠C 1AB 1，∴∠OAC -∠CAQ =∠C 1AB 1-∠CAQ ，∴∠OAB 1=∠CAC 1 .∴△AO B 1 ≌ △AC C 1. ∴∠ACC 1=∠AOB 1=90º.【说明】问题中要求学生画出正△AB 1C 1，是对学生理解能力和动手能力的考验,教材中安排的五种基本作图，教学中应当给予一定的重视.同时通过比例线段确认要证的相似三角形是常用方法之一. 问题(3) 是一道结论开放的问题，根据对已知条件的分析，对图形的观察，猜想直角，再根据所推断出的目标，去证明猜想是正确的.这样既培养学生的合情推理能力，也给了学生一个探索的平台.例5 (1)已知如图①，在△AOB 和△COD 中，OA =OB ，OC =OD ，∠AOB =∠COD =60º. 求证：①AC =BD ,②∠APB =60º.(2) 如图②，在△AOB 和△COD 中，OA =OB ,OC =OD , ∠AOB =∠COD =α,则AC 与BD 间的等量关系式为______________；∠APB 的大小为_____________. (3) 如图③，在△AOB 和△COD 中，OA =kOB ,OC =kOD (k >1), ∠AOB =∠COD =α,则AC 与BD 间的等量关系式为_________________；∠APB 的大小为_____________.【分析】要证AC =BD ，在图①可以找AC 与BD 所在的两个三角形全等。

全等三角形的性质及判定学案

全等三角形的性质及判定适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域人教版课时时长（分钟）120知识点1、全等三角形的定义和表示方法2、全等三角形的性质3、全等三角形的判定教学目标1、了解判定两个三角形全等的5种方法,并能应用它们解决简单问题;2、学会用全等的方法证明线段(角)的相等3、了解全等的证明思路,学会合理思考.教学重点1、了解判定两个三角形全等的4种方法,并能应用它们解决简单问题;2、学会用全等的方法证明线段(角)的相等1教学难点1.如何灵活运用合适判定方法进行全等证明2.初步认识并获得全等的证明思路2学习过程一、复习预习温故知新：（直接导入复习内容）学生回顾旧知识1、全等三角形的定义？能够完全重合的两个三角形叫全等三角形2、全等三角形的性质？全等三角形对应边相等，对应角相等3、全等三角形的判定方法判定方法1 三边对应相等的两个三角形全等(可以简写为“边边边”或“SSS” )判定方法2 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)判定方法3 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）判定方法4 有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）判定方法5 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）3二、知识讲解考点/易错点1全等三角形的定义和表示方法（1）定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（2）全等三角形的形状和大小完全相同，只是位置不同，其中一个经过平移、旋转、翻折等变换后必定与另一个重合。

重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角（3）“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

4考点/易错点2寻找对应元素的方法：①根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

全等三角形的概念及性质学案(横版)

学习过程一、复习预习复习多边形的概念及其对角线、内外角和。

1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

2、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

①从n 边形的一个顶点出发，可以画()3n -条对角线，将多边形分成 n --2 个三角形.② n 边形一共有()32n n -条对角线。

3、多边形的内角和公式：n 边形的内角和为()2180n -⋅（n ≥2）。

4、多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°。

二、知识讲解1、全等三角形的基本概念:（1）全等形的定义: 能够完全重合的两个图形叫做全等形。

（2）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点。

重合的边叫做对应边。

重合的角叫做对应角。

（3）全等三角形的表示方法：△ABC ≌△A’B’C’2、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等。

考点/易错点1注意：对应边，对应角，对边，对角，夹边，夹角容易混淆。

对应边或对应角是对对应的两个三角形说的，是两条边之间或两个角之间的关系，而对边、对角是对同一个三角形中的边和角说的，对边是对某个角说的，对角是对某条边说的，夹边是已知两个角的公共边，夹角是已知两条边所形成的角。

三、例题精析【例题1】【题干】下列说法正确的有（）①用一张底片冲洗出来的10张一寸相片是全等形②我国国旗上的4颗小五星是全等形③所有的正方形是全等形④全等形的面积一定相等A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】用一张底片冲洗出来的10张一寸照片的形状和大小完全相同，它们是全等形，所以①正确；我国国旗上的四颗小五星的形状和大小也完全相同，它们也是全等形；所以②正确；所有的正方形只是形状相同，但大小不一定相同，所以它们不是全等形，所以③不正确；全等形的形状和大小完全相同，所以面积一定相等，所以④正确。

2019-2020年九年级数学上册几何证明的有力工具——全等三角形学案学案北师大版

2019-2020年九年级数学上册几何证明的有力工具——全等三角形学案学案北师大版一、同步辅导：全等三角形1、概念理解：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形，而两个三角形全等的判定是几何证明的有力工具。

2、三角形全等的判定公理及推论有：（1）“边角边”简称“SAS”（2）“角边角”简称“ASA”（3）“边边边”简称“SSS”（4）“角角边”简称“AAS”注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

3、全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。

注意：1）性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2）利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

二、例题分析：例1，如图△ABC≌△DEF，AB和DE，AC和DF是对应边，说出对应角和另一组对应边。

解：∵AB和DE，AC和DF分别为对应边，∴另一组对应边是BC和EF。

∴对应角为：∠A和∠D，∠B和∠E，∠ACB和∠DFE例2，如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，写出两个全等三角形的对应角与对应边，并问图中是否存在其它的全等三角形。

分析：由AB=AC，则AB和AC是对应边，可找AB的对角∠AEB，AC的对角∠ADC，则∠AEB和∠ADC为对应角。

由∠A是这两个三角形的公共角，它与其自身对应，因而∠A 的对边为BE、DC为对应边，于是剩下的∠B、∠C是对应角。

AE和AD是对应边。

解：对应边：AB和AC，BE和DC，AE和AD对应角：∠A和∠A、∠B和∠C、∠AEB和∠ADC∵AB=AC，AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE又由∠B=∠C，∠DFB=∠EFC（对顶角相等）于是构成一对全等三角形为△BFD和△CFE。

2019-2020学年九年级数学中考复习学案第19课时三角形及其全等(无答案)

第19课时平行线相交线学案【考点梳理】：一．三角形的概念(1)角的关系：三角形的内角和是；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和：三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．(2)边的关系：三角形的任意两边之和第三边：三角形的任意两边之差第三边．(3)三角形具有稳定性．⑷三角形的中位线：①定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线．②性质：三角形的中位线，平行于第三边，并且等于第三边的一半．二．全等三角形的判定：(1) “SSS”：若两个三角形的三条边分别＿对应相等＿，那么这两个三角形全等；(2) “SAS”：若两个三角形的两边及其＿夹角＿分别相等，那么这两个三角形全等．(3) “ASA”：若两个三角形的两角及其＿夹边＿分别相等，那么这两个三角形全等(4) “AAS”：若丙个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等．⑸“HL”直角三角形全等的判定：若两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．【典例分析】【例1】（1）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC＝( )A.118°B.119°C.120°D.121°（2）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为（）A．75°B．65°C．45°D．30°（3）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点（4）如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( ) A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD（5）如图，在△ABC中，△C＝90°，△A＝30°，BD是△ABC的平分线．若AB＝6，则点D到AB的距离＝________．【例2】如图，在□ABCD中，∠B＝∠AFE，EA是∠BEF的角平分线．求证：(1)△ABE≌△AFE；(2)∠F AD＝∠CDE．【随堂演练】1．广西中考)将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( ) A．60° B．65° C．75° D．85°2．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是( )A．γ＝2α＋βB．γ＝α＋2β C．γ＝α＋βD．γ＝180°－α－β3．如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E．∠1＝50°，则∠2的度数为() A．50°B．40°C．45°D．25°4．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是()5．如图，在锐角△ABC中．CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE交于点P，若∠A＝50°，则∠BPC的度数是()A．150° B．130°C．120° D．100°6．如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列哪个条件无法证明△ABC≌△DEF( ) A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F7．如图，□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，添加下列哪个条件，仍不能使△ABE≌△CDF () A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D．∠1＝∠28．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是() A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm9．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2－13x＋40＝0的根，则该三角形的周长为＿＿＿＿．10．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是________m.11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF ⊥AC交CD的延长线于点F．若EF＝5cm．则AB＝________cm．12．如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是______________．13．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分面积是________．14．已知，如图．AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF．15．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝F D．求证：AE＝F B．16．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，BM交CD 于点E，且点E为CD的中点，连接MD，过点D作ND⊥MD于点D，DN交BM于点N．（1）若BC＝22，求△BDE的周长；（2）求证：NE－ME＝CM．。

2020年中考数学复习之——三角形全等的证明学案设计

C E ODB A A2020年中考数学复习之——三角形全等的证明学案重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知：如图，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．例2 如图，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_____．2143CO B A（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知：如图，AB=AC ，∠1=∠2．求证：AO 平分∠BAC ．分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO ，要证∠BAO=∠BCO ，只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，G A B FDEC一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案﹒(1)画出测量图案﹒(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒ 图5(3)计算A 、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒OD A C BF CED B A分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB ，这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第(3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：(1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB ，这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．(3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ．又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．∴CD=AB=a ．（注意书写格式和书写过程，一定要严谨！）图6评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了学生用数学的意识﹒练习1．已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ．求证：AE=CE ．A OQ M C P B N CE D BA2．如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ．求证：BD=CD ．3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法：如图所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ，再取PM=QN ，连接PN 、QM ，得交点C ，则射线OC平分∠AOB ．你能说明道理吗？4．如图，△ABC 中，AB=AC ，过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．A D C P BH F E G AD C B A5．已知：如图，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为__________，你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．6．如图，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC ，∠B=∠C ．求证：△ABD ≌△ACD ．A O DC BAFCG B E A7．如图，直线AD 与BC 相交于点O ，且AC=BD ，AD=BC ．求证：CO=DO ．8．已知△ABC ，AB=AC ，E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点，且BE=CF ，EF 交BC 于G ．求证：EG=GF ．9．已知：如图，AB=AE ，BC=ED ，点F 是CD 的中点，AF ⊥CD ．求证：∠B=∠E ．。

九年级数学学案2 12.1 全等三角形

12.1 全等三角形学习目标1、了解全等三角形的有关概念，理解并掌握全等三角形的性质；2、能够准确辩认全等三角形的对应元素（对应顶点、对应边、对应角）学习重点：全等三角形性质的应用及准确辩认全等三角形的对应边、对应角.学习难点：理解全等三角形边、角之间的对应关系学法指导：观察思考，动手操作，参与概念的形成过程学习过程一、学前准备1、对于两条线段或两个角来说：如果它们的大小相等，那么放在一起能够；如果它们放在一起能够重合，那么它们的大小 .2、生活中的图片讨论：(1)从上面的片断中你有什么感受?(2)你能再举出生活中的一些类似例子吗?二、合作探究1、全等形、全等三角形的有关概念（1）观察思考：每组中的两个图形有什么特点？（形状，大小 .）②③（2）请再举出类似的例子（至少3个）.（3）由此，你发现上述图形的共同特征是：完全相同——放在一起能够 .（4）进而得出概念：叫做全等形.类似的，叫做全等三角形.2. 对应顶点，对应边和对应角用半透明的纸描绘下图中左边的△ABC，然后按要求在三个图中依次操作．体验“平移、翻折、旋转前后的两个图形全等”．你发现变换前后的两个三角形有什么关系？结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了，但、都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形。

（1）把两个全等三角形重合在一起，叫做对应顶点，叫做对应边，叫做对应角.（2）△ABC与△DEF全等，记作△ABC △DEF,读作△ABC △DEF.（注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置.）3、全等三角形的性质（1）把你自制的一对全等三角形纸片重合，你发现对应边、对应角有什么关系？（2）全等三角形的性质.全等三角形的相等；全等三角形的相等（3）如图，△ABC与△ADC全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角.DCA4、确定全等三角形的对应边、对应角（1）如图，将△ABC沿直线BC平移得到△DEF.A DB C E F那么，对应顶点是，对应边是，对应角是 .（3）确定全等三角形的对应边、对应角还有哪些规律？三、巩固练习1、课本练习.四、课堂小结1. 这节课在动手实际操作中，得到了全等三角形的哪些知识？2. 找全等三角形对应元素的方法有哪些？五、当堂清1、下列说法：①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②全等三角形的周长相等，面积也相等；③面积相等的三角形是全等三角形；④周长相等的三角形是全等三角形，正确的说法是（）A ②③B ③④C ①②D ①②③2、△ABC≌△DEF，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角∠E，则∠C与_______是对应角；AB与_______是对应边，BC与_______是对应边，AC与_______是对应边.3、如图△ ABD ≌△CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，求BC、CD的长.参考答案：1.C 2. ∠F，DE，EF，DF 3.5,4六、学习反思。

2019-2020学年九年级数学上册 4.4 探索三角形相似的条件学案 (新版)北师大版.doc

2019-2020学年九年级数学上册 4.4 探索三角形相似的条件学案（新版）北师大版【学习目标】：1.经历两个三角形相似条件的探索过程2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题【复习回顾】：1.各角分别，各边的两个多边形叫做相似多边形。

2.各角分别，各边的两个多边形叫做相似三角形。

（根据相似多边形定义）【导学一】：创设情境，类比猜想学校为改善环境，在一片空地是修建一块三角形的草坪地，图纸如图，完工后小明想要确定右图的草坪是否和图形中的三角形相似，你能帮帮他吗？同时满足角边【导学二】：小组合作，解决问题画一个△ABC，使得∠BAC = 30°。

与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？画一个△ABC，使得∠A=30º，∠B=50°。

你们所画的三角形相似吗？如果相似，你能用所学知识验证吗？画一个△ABC，使得∠A=α，∠B=β。

你们所画的三角形相似吗？如果相似，你能用所学知识验证吗？定理：的两个三角形相似。

【导学三】：应用迁移，解决问题习题1.下列两个三角珙相似吗？为什么？习题2. 如图每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC相似的是（）习题3. 例题：如图， D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，DE∥BC.AB=7，AD =5，DE=10，求BC 的长.【课堂小结】：在知识，技能的学习过程中你学到了哪些知识？掌握了那些方法？【课堂检测】：1.如图，D、E分别为AB、AC上的点，请你添加一个条件___________,使得△ABC ∽△ADE。

2.ΔABC和ΔDEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°，ΔABC与ΔDEF 。

（“相似”或“不相似”）3.判断题：（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似.（）（2）有一个角为110º的两个等腰三角形相似。

（）（3）有一个角为35º的两个等腰三角形相似.（）4. ΔABC和ΔDEF中，∠A=∠D=70°，∠B=60°，∠E=50°，这两个三角形相似吗？。