2020中考数学 全等三角形与尺规作图(含答案)

2020中考数学全等三角形与尺规作图（含答案）

A组基础题组

一、选择题

1.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如下,则说明∠CAD=∠BAD的依据是( )

A.SSS

B.SAS

C.ASA

D.AAS

2.尺规作图要求:Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ.作线段的垂直平分线;Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ.作角的平分线.

下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图:

则正确的配对是( )

A.①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—Ⅲ

B.①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—Ⅰ

C.①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—Ⅰ

D.①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ

3.用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中,作法错误的是( )

4.在△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为( )

A. B.4 C.2 D.5

5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为( )

A.6

B.6

C.9

D.3

6.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下列四个结论:①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;④AE+DF=AF+DE.其中正确的是( )

A.②③

B.②④

C.①③④

D.②③④

7.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,某同学在探究筝形的性质时,得到如下结论:

①AC⊥BD;②AO=CO=AC;③△ABD≌△CBD.

其中正确的结论有( )

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

二、填空题

8.如图,OC为∠AOB的平分线.CM⊥OB,OC=5,OM=4.则点C到射线OA的距离为.

9.如图,AB=12 m,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,且AC=4 m,P点从B向A运动,每分钟走1 m,Q点从B向D运动,每分钟走2 m,P、Q两点同时出发,运动

分钟后△CAP与△PQB全等.

10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别是AB,AC的中点,点F是AD的中点.若AB=8,则EF= .

三、解答题

11.如图,∠A=∠B=50°,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设∠BPN=α.

(1)求证:△APM≌△BPN;

(2)当MN=2BN时,求α的度数;

(3)若△BPN的外心在该三角形的内部,直接

．．写出α的取值范围.

12.如图,△ABC中,D是AB上一点,DE⊥AC于点E,F是AD的中点,FG⊥BC于点G,与DE交于

点H,若FG=AF,AG平分∠CAB,连接GE,GD.

(1)求证:△ECG≌△GHD;

(2)小亮同学经过探究发现:AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论;

(3)若∠B=30°,判定四边形AEGF是不是菱形,并说明理由.

B组提升题组

一、选择题

1.如图,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为( )

A.a+c

B.b+c

C.a-b+c

D.a+b-c

2.数学活动课上,四位同学围绕作图问题“如图,已知直线l和直线l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥l于点Q”.分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是( )

3.如图,G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的点,且AG=CE,AE⊥EF,AE=EF,现有如下结论:

①BE=GE;②△AGE≌△ECF;③∠FCD=45°;④△GBE∽△ECH.

其中,正确的结论有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

二、填空题

4.如图,Rt△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,BD平分∠ABC且与AC边交于点D,AD=2,则点D到边BC的距离是.

5.如图,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件: ,使△AEH≌△CEB.

6.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF的长为.

三、解答题

7.如图,△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,四边形BCDE是平行四边形,E为AC中点,BD平分∠ABC,点F在AB上,且BF=BC.求证:

(1)DF=AE;

(2)DF⊥AC.

参考答案

A组基础题组

一、选择题

1.A 从角平分线的作法可得,△AFD与△AED的三边全部相等,则△AFD≌△AED.故选A.

2.D 根据尺规作图的方法可知正确的配对是①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ.故选D.

3.D A.根据作图的方法可知,CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,不符合题意.

B.根据“直径所对的圆周角是直角”知CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,不符合题意.

C.根据相交圆的公共弦的性质可知CD是斜边AB上的高线,不符合题意.

D.无法证明CD是Rt△ABC斜边上的高线,符合题意.故选D.

4.B∵∠ABC=45°,AD⊥BC,∴在等腰直角三角形ABD中,AD=BD,又∵∠ADB=∠ADC=90°,∠BHD+∠DBH=90°=∠EBC+∠C,∴∠BHD=∠C,∴△BHD≌△ACD,∴BH=A C=4.

5.C 由垂直平分线的性质定理得BD=AD,∴∠B=∠BAD=30°,∴AD平分∠BAC.

∴在Rt△ADC中,AD=2CD=6,即BD=6.

∴BC=BD+CD=9.

6.D 如果OA=OD,则结合已知条件易证得四边形AEDF是矩形,则∠BAC=90°,但由题中条件得不到∠BAC=90°,所以①不正确.首先根据全等三角形的判定方法,判断出△AED≌△AFD,则AE=AF,DE=DF.然后根据全等三角形的判定方法,判断出△AEO≌△AFO,则∠AOE=∠AOF=90°,即AD⊥EF,所以②正确.如果∠BAC=90°,则四边形AEDF的四个角都是直角,四边形AEDF是矩形,结合DE=DF,判断出四边形AEDF是正方形,故③正确.根据△AED≌△AFD,得到AE=AF,DE=DF,进而得到AE+DF=AF+DE,故④正确.故选D.

7.D 在△ABD与△CBD中,, , ,

∴△ABD≌△CBD(SSS),

故③正确.

∴∠ADB=∠CDB,

在△AOD与△COD中,

,

,

,