第8章位移法

FP A B
3FP l/16 A B A
11FP/16 B 5FP/16
l/2
l/2
M
F AB
3FP l / 16
F FSAB 11FP l / 16 F FSBA 5FP l / 16
A
t1 t2 l
B
A
B
A
B
M
F AB

3 EI t1 t 2 2h 3 EI t1 t 2 2h
内力
在位移法中，求那些位移就可决定内力？ 如何求这些位移？
思路：结构内力实际就是各杆件内力，杆件内力与单跨超静定 梁内力相同，单跨超静定梁的内力计算成为位移法的基础。
§8-1 概 述
位移法：先确定某些位移，再推求内力。
图a所示刚架在荷载F作用下发生虚线所示变形。略去轴向变形，可将 结构分解如图b、c。
M Z1M1 M P
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
位移法计算步骤
（1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加
联系得到 基本结构。 （2）建立位移法的典型方程：各附加联系上的反力矩或反力均 应等于零。 （3）绘弯矩图：基本结构在各单位结点位移和外因作用下，由 平衡条件求系数和自由项。 （4）解典型方程：求出作为基本未知量的各结点位移。
（5）绘制最后弯矩图：用叠加法。
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
1. 无侧移刚架
基本未知量——结点B 转角B，设其为Z1 。在结 点B 附加刚臂得基本结构。
原结构
基本结构
基本体系
基本体系是指基本结构在荷载和基本未知位移共 同作用下的体系。
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
在基本结构上分别考虑： 2) 人为给予结点B以转角 B,由于转角而引起附加 约束的附加反力R11。 由线形系统的叠加原理得到位移法基本体系.
F M AB ql 2 / 12 F M BA ql 2 / 12
F FSAB ql / 2 F FSBA ql / 2
FP
A l/2 l/2 B
FP l/8 A
FP/2 FP l/8 B A FP/2 B
M
F AB
FP l / 8
F FSAB FP / 2 F FSBA FP / 2
如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
§8-1 概 述
力法是计算超静定结构的最基本方法。 当结构庞大复杂时，超静定次数很高，力法基本未知量 多，求解力法基本方程困难，限制力法在分析大型结构 中的应用。 力法 先求出内力 位移
在给定荷载条件下，内力与位移是1-1对应的
位移法
先求位移
由a图，取结点B为隔离体，由∑MB=0，可得r11=3i+3i=6i 由b图，取结点B为隔离体，由∑MB=0，可得R1P=-24kN· m
i
EI 8m
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
将 r11和R1P代入方程求出
R1P 4kN m Z1 r11 i
结构的最后弯矩图由叠加法绘制
符号规定：杆端弯矩以对杆端顺时针方向为正；
A、 B均以顺时针方向为正；
△AB 以使整个杆件顺时针方向转动为正。
力法典型方程为
11 X 1 12 X 2 Δ1Δ A 21 X 1 22 X 2 Δ2 Δ B
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
作X1、X2分别等于1时的弯矩图如图c、d。
l l 11 , 22 3EI 3EI l 12 21 6 EI
由图e可得 Δ1 Δ Δ2 Δ AB
ΔAB l
βAB—弦转角，顺时针方向为正。
4 EI 2 EI 6 EI X1 A B 2 ΔAB l l l 解典型方程得 4 EI 2 EI 6 EI X2 B A 2 ΔAB l l l
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
前面已经提到
结构内力
杆件内力
杆端位移
只要求得各杆端位移，就可求得结构内力 可将杆端位移作为基本未知量 ？有n根杆件，就有nX3个杆端位移，有3n个未知量
？能简化吗 杆端与结点和支座相连，因此杆端位移与结点和支座的 位移相等。
只需将未知的结点位移做为基本未知量。
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
确定独立的结点线位移另种一方法
把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点→铰结体系，如图b。 此铰结体系为几何不变，原结构无结点线位移。 此铰结体系为几何可变或瞬变，添加最少的支座链杆保证其几何不变， 添加的链杆数目既是原结构独立的结点线位移数目。如图b，加一个水 平支座链杆，体系成为几何不变的。
杆端弯矩
杆端剪力
对于一端固定另一端滑动的等截面梁，应如何分析呢？
1 A B A
2i
B A B
4i
M AB 4i M BA 2i
A B 1 A
6i/l
FS 6i / l
6i / l
B A
12i/l2
B
6i/l
M AB 6i / l M BA 6i / l
FS 12i / l 2
FP B A B
l/2
F FSAB FP F FSBA 0
FP
FPl/2 B A FPl/2
F M AB FP l / 2 F M BA FP l / 2
FP B A B
A
l
FSF FP
B B
A
t1 t2 l
B
A
A
F M AB EI t1 t 2 / h F M BA EI t1 t 2 / h
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
r11Z1+R1P=0
求系数 r11
Z 1 =1
（6-4）
------求解基本未知量Z1的位移法方程。
作基本结构当位移 Z1=1 时的弯矩图（ M 1 图）。
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
附加刚臂： 阻止刚结点的转动，但不能阻止结点的移动。 附加支座链杆：阻止结点的线位移。
图a所示刚架，在刚结点1、3处分别加上刚臂，在结点3处加上一根
水平支座链杆，则原结构的每根杆件都成为单跨超静定梁。
这个单跨超静定梁的组合体称为位移法的基本结构。如图c。
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
６＋2＝8
§6-3 位移法的基本未知量和基本结构
EI
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
图a所示连续梁（EI为常数），只有一个独立结点角位移Z1。在结点B 加一附加刚臂得到基本结构。令基本结构发生与原结构相同的角位移Z1，二 者的位移完全一致了。
基本结构在荷载和Z1共同作用下的体系称为基本体系，如图b。
R 1P
B B
1) 荷载引起的附加约束中的反力R1P。 NhomakorabeaFF
C
Z1
R11 =
rZ
11
1
R1 =R11 + R1P
C
B
B
Z1 Z1
F
C
Z1
C B
F
C
基本体系
Z1
Z1
A A F单独作用 l/2 l/ 2
+
l
A
Z1单独作用
A
=
A
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
思考：基本体系与原结构有何不同？ 原结构在结点B处并没有附加约束，因而也没有附 加约束反力矩。 思考：如何使基本体系的受力和变形情况与原 结构完全等价？ 要使基本体系与原结构完全相等，必须要有 R11+R1P=R1=0 即： R11+R1P=0 (6-3） R 的下标: 第一个下标表示产生附加反力矩的位臵， 第二个下标表示产生附加反力矩的原因。 设r11为单位转角Z1=1时附加约束反力矩，则 R11=r11Z1，将其代入公式（6-3）得
FSF 0
利用前面的公式，单跨超静定梁的杆端内力可以利用单位杆端 位移引起的杆端力和荷载引起的杆端力的叠加而求得 单位杆端位移引起的杆端力相当于系数，乘以相应的杆端位移 就可表示杆端位移引起的杆端力。
M AB 4i A 2i B M BA
6i F ΔAB M AB l 6i F 4i B 2i A ΔAB M BA l
图a所示刚架，结点角位移数目=4（注意结点2）
结点线位移数目=2
加上4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架，结点线位移数目=2
图b所示刚架，结点角位移数目=2 结点线位移数目=2
§6-3 位移法的基本未知量和基本结构
基本未知量，基本结构确定举例
思路：将结点1的角位移Z1 作为基本未知量，求 出Z1，进而求出各杆 内力。
需解决的问题：（1）用力法算出单跨超静定梁在各种外因作用 下的内力 （2）确定哪些位移作为基本未知量 （3）如何求出这些位移
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
图a所示两端固定的等截面梁， 两端支座发生了位移。取基本结构如 图 b。 X3对梁的弯矩无影响，可不考虑， 只需求解X1、X2。
F
F S
3 EI t1 t 2 2hl
F M BA
q A B
ql2/3 A B A
ql B
l
ql2/6
F M AB ql 2 / 3 F M BA ql 2 / 6
F FSAB ql F FSBA 0
A l/2
FP B
3FPl/8
A FP l/8
F M AB 3FP l / 8 F M BA FP l / 8
当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时， 其杆端弯矩为