古典概率和几何概型

第一章 §1.3 古典概型和几何概型
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§1.3 古典概率和几何概型
1.3.1 古典概型
1.3.2 几何概型
第一章 §1.3 古典概型和几何概型
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1.3.1 古典概型
1. 古典概型 若试验E具有以下两个特征： (1) 所有可能的试验结果(基本事件)为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 每个基本事件发生的可能性相同， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类试验的数学模型为等可能概型（古典概型）。 ２. 古典概型中事件概率的计算公式 设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及事件A分别为： Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
10 1 P ( A) 40 4
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例2 在110这10个自然数中任取一数，求： （1）取到的数能被2或3整除的概率，
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（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。 解: 设 A =“取到的数能被2整除”; B =“取到的数能被3整除” 1 3 1 P ( A) P(B) P ( AB ) 2 10 10 故 (1) P ( A
(2) P( A B) 1 P( A B)
7 B) P( A) P( B) P ( AB) 10
3 10
2 (3) P ( A B) P ( A) P ( AB) 5
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例3 设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间的任意 一间去住（n≤N），求下列事件的概率． （1）指定的n个房间各住1人； （2）恰好有n个房间，其中各住1人 解 因为每一个人有N个房间可供选择，所以n个人住在N个房 间的方式共有Nn种，它们是等可能的． （1）指定的n个房间各住1人，其可能总数为n的全排列n!，于 是，所求概率为 P n! 1 Nn n （2）n个房间可以在N个房间中任意选取，其选法总数有 C N 种， 对每一选定的n个房间，按（1）的讨论可知又有n!种分配方式， n 所以恰有n个房间其中各住1人的住法数为 C N n!， 故所求概率 n CN n! 为 P2 Nn 这个例子常称为“分房问题”．
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4. 古典概型的概率计算举例
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例1 设有编号为1,2,…,40的四十张考签，一学生任意抽一张 进行考试，求“抽到前10号考签”这一事件的概率． 解 记A＝｛抽到前10号考签｝．显然，学生抽到任一考签 的可能性是一样的，这是一个古典概型，基本事件总数n=40， A中所含的基本事件数k=10，故所求概率为
故
( N 1) n1 P( A) 1 P( A) 1 . n N
第一章 §1.3 古典概型和几何概型 例6
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有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,
则至少有一个男孩的概率是多少? 解:设A=“至少有一个男孩”,以H表示某个孩子是男孩 以T表示某个孩子是女孩. N()={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
所求的概率为
N ( A) 7 P ( A) N ( ) 8
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例7 将3个球随机放入4个杯子中，问杯子中的球的个数最 多为1、2、3的概率各是多少？ 解 设 Ak = “杯子中的最多球数为k个”, k=1、2、3
k n k n P(A)= CM CN / C M N
摸球模型是概率论与数理统计中常用的模型，许多实际问 题都可用它来描述，例如，例3就可以把黑球解释为次品，白 球为合格品，欲求的是“抽查n个产品，查到k个次品”的概 率，经常使用摸球模型也正是由于这些原因．
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4 1 P ( A3 ) 3 4 16
(3) 由于三个球放在4个杯子中的可能放法为 事件 A1 A2 A3 ,显然 A1 A2 A3 ,且 A1 , A2 , A3 是互不相容,故
k 事件A中包含的基本事件数 P( A) n 中的基本事件总数
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3. 古典概型的概率计算步骤 (1) 计算样本空间中基本事件(样本点)总数n； (2) 指出事件A；
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(3) 计算事件A中基本事件(样本点)总数k；
(4) 计算事件A的概率P(A)。
Байду номын сангаас
k 事件A中包含的基本事件数 P( A) n 中的基本事件总数
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例5 一袋中共有N个球,其中一个黑球,N-1个白球,今从袋中 依次取球,每次一个,取后不放回,并且还加进去一个白球.求 第n次取到一个白球的概率 解 每次取球时球的总数均是N,样本总数为 N n 记A=“第n次取到白球,求 P( A). 由于
( N 1) n1 P( A) . n N
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例4 一个袋中装有N个球，其中M个是黑球，其余是白球， 从袋中任取n个球，求取到k（≤min(n, M)）个黑球的概率．
n 解 从N个球中取n个，样本点数是 CN ，我们关心的只是黑球 和白球的个数，不存在球的排列问题，故而用组合数，这样取 样本点是能保证等可能的．设A表示取到k个黑球这一事件，注 意到在取出k个黑球的同时也取出了n-k个白球，它们是分别从 M个黑球与N-M个白球中取出的，因此，A中的基本事件数 k nk 为 CM CN M ，所以
放球过程的所有可能结果数为 N(Ω) = 43
(1) A1所含的基本事件数:从4个杯子中任选3个杯 3 子,每个杯子有一球,有 C 4 种,球的放法有3! 种,故
3 C4 3! 3 P ( A1 ) 3 4 8
第一章 §1.3 古典概型和几何概型 (2) A3所含的基本事件数:3个球同时放在一个 杯子中,有4种方法,故