第5课 函数的定义域与值域
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数是数学中常见的概念，它描述了两个集合之间的映射关系。
在讨论函数时，我们经常会遇到两个重要的概念，即定义域和值域。
本文将详细介绍函数的定义域与值域，并探讨它们在函数理论和实际问题中的重要性。
一、定义域的概念及作用在定义函数时，我们需要明确函数的输入变量的取值范围，这个取值范围称为函数的定义域。
简单来说，定义域是指函数能够接受的实际参数的集合。
例如，考虑一个简单的函数f(x) = 2x，如果我们要求f(x)的定义域为实数集，那么定义域可以表示为D = R。
这意味着函数f(x)可以接受任意实数作为输入。
定义域在函数的数学性质和实际应用中都起着重要作用。
首先，定义域的确定可以帮助我们分析函数的性质。
对于某些函数来说，定义域的限制可能导致函数的不连续、无定义等特殊情况。
其次，在实际问题中，定义域的设定可以帮助我们剔除那些无法满足条件的输入值，从而使得函数描述的问题更加合理和实用。
二、值域的概念及意义值域是函数中输出变量的取值范围，也可以理解为函数所有可能的输出值组成的集合。
考虑函数f(x) = x^2，如果定义域为实数集，那么值域可以表示为R+，即非负实数集合。
这是因为对于任意实数x，函数f(x)总能输出一个非负实数。
值域的确定与函数的图像密切相关。
通过绘制函数的图像，我们可以直观地观察函数的值域。
但需要注意的是，并非所有函数都能通过图像判断值域。
对于某些复杂的函数来说，值域的确定需要借助数学分析和推导。
在实际应用中，值域的确定有助于我们了解问题的解空间和可能的输出结果。
通过对值域的分析，我们可以推断出函数的特性，帮助我们解决实际中遇到的问题。
三、定义域与值域的关系定义域和值域是函数中的两个重要概念，它们之间存在一定的关系。
首先，定义域决定了值域的范围。
也就是说，值域的元素必须是定义域中元素通过函数映射得到的结果。
例如，对于函数f(x) = x^2而言，如果定义域为实数集，则值域为非负实数集。
总复习《第05讲 函数的定义域与值域》
幂 函 数
y x2
Hale Waihona Puke y x 3 yx1 y x
函数的定义域与值域
x4 例1求函数 f ( x) 的定义域. 2 x 2 3x 3
3
x4 变1.若函数 f ( x) 2 的定义域 x 2ax 3
3
为R，求实数a的取值范围.
函数的定义域与值域
x4 例1求函数 f ( x) 的定义域. 2 x 2 3x 3
2
函数的定义域与值域
例题3 求函数
1 x y 2 1 x
2
的值域.（P15例2）
函数的定义域与值域
例题2 求函数 变1.求 变2.求 变3.求 . y x 2 x的值域 , xR
2 2
的值域 . y x 2x, x [0,3] . y x 2ax,的值域 x [0,3]
2
的值域 . y ax 2ax, x [0,3]
2
变4.求
的值域 y x 2x, x [0, .a]
函数的定义域与值域
x4 例1求函数 f ( x) 的定义域. 2 x 2 3x 3
3
变4.若函数 f ( x) lg( x 2ax 3)
2
的定义域为R，求实数a的取值范围. 变5.若函数 f ( x) lg( x2 2ax 3) 的值域为R，求实数a的取值范围.
3
x4 变2.若函数 f ( x) 2 的定义域 ax 2ax 3
3
为R，求实数a的取值范围.
函数的定义域与值域
x4 例1求函数 f ( x) 的定义域. 2 x 2 3x 3
3
变3.若函数 f ( x) x 2 2ax 3 的定义域
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数是数学中一个重要的概念，它描述了一种特定的对应关系。
在函数的定义中，有两个关键概念，即定义域和值域。
定义域是指函数中自变量的取值范围，而值域则是函数中因变量的取值范围。
本文将详细介绍函数的定义域与值域，并探讨它们在数学问题中的应用。
一、定义域的概念及求解方法在函数中，定义域指的是自变量的取值范围，即函数可以接受哪些输入。
为了确定一个函数的定义域，需要考虑自变量的限制条件。
常见的限制条件包括分式的分母不能为零，指数函数中指数不能为负数等。
下面以几个具体的例子来说明如何求解函数的定义域。
例1：求解函数f(x) = √(4-x) 的定义域。
由于根号内不能出现负数，所以要求 4-x ≥ 0。
解这个不等式，有 x ≤ 4。
因此，函数 f(x) 的定义域为x ≤ 4。
例2：求解函数 g(x) = 1/(x-2) 的定义域。
分式的分母不能为零，所以要求 x-2 ≠ 0。
解这个不等式，可得x ≠ 2。
因此，函数 g(x) 的定义域为x ≠ 2。
通过以上例子，可以看出求解定义域的方法是根据函数的特点，找出限制自变量的条件，并求解相应的不等式。
二、值域的概念及求解方法在函数中，值域指的是函数的因变量的取值范围，即函数可以得到哪些输出。
确定一个函数的值域，需要根据函数的性质来进行推导和分析。
下面以几个具体的例子来说明如何求解函数的值域。
例3：求解函数 h(x) = x^2 的值域。
对于任意实数 x，都有x^2 ≥ 0。
因此，函数 h(x) 的值域为y ≥ 0，即非负实数集。
例4：求解函数k(x) = √x 的值域。
由于根号函数的特点，要使得 k(x) 存在，需要x ≥ 0。
另外，根号函数的值永远大于等于零。
因此，函数 k(x) 的值域为y ≥ 0，即非负实数集。
通过以上例子，可以发现求解值域的方法是根据函数的性质，直接分析函数表达式得到。
三、定义域与值域的应用1. 函数的性质分析：通过确定函数的定义域和值域，可以深入了解函数的性质。
第5讲 函数的定义域和值域
纽威教育6T 教材系列函数专题 第五讲 函数的定义域和值域时间：年 月 日 陈老师 电话：66006266一、兴趣导入清朝名士纪晓岚,有一天和朋友一起上街.走在街上,看见前面有一家小店,店里的老板娘正忙着. 纪晓岚就和他的朋友打赌,"我会一句话,让老板娘笑,再一句话,让老板娘闹." 朋友们不相信,决定以一桌酒席为赌.只见纪晓岚走向小店,向店门前的看门狗鞠了一躬,叫 道"爹!", 老板娘"噗"地一声乐了.纪晓岚转过身又冲老板娘叫了一声"娘!".顿时,老板娘勃然大怒,直骂纪晓岚. 于是,纪晓岚赢得了一桌酒席........ 思考：由此你得到什么启示？二、知识梳理（一）求函数定义域的一般原则：（1）如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. （4）如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义. （二）：抽象函数的定义域求法：①函数f (x )的定义域是指x 的取值范围所组成的集合。
②函数[])(x f ϕ的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x ϕ的取值范围。
③已知f(x)的定义域为A ，求[])(x f ϕ的定义域:其实质是（求法）：已知)(x ϕ的取值范围为A ，求出x 的取值范围；解得的x 的取值范围即是[])(x f ϕ的定义域。
④已知[])(x f ϕ的定义域为B ，求f(x)的定义域:其实质是（求法）：已知[])(x f ϕ中x 的取值范围为B ，求出)(x ϕ的取值范围；解得的)(x ϕ的取值范围即是f(x)的定义域。
⑤同在对应法则f 下的范围相同：即[][])(,)(),(x h f x f t f ϕ三个函数中)(),(,x h x t ϕ的范围相同。
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数是数学中的重要概念，用于描述输入和输出之间的对应关系。
在函数中，定义域（Domain）指的是函数的所有可能输入值所构成的集合，值域（Range）则是函数的所有可能输出值所构成的集合。
函数的定义域和值域在数学中具有重要的意义和应用，并在各个学科领域中发挥着重要的作用。
1. 定义域在函数中，定义域是指函数的所有可能输入值的集合。
它决定了函数可接受的输入范围。
通常，定义域可以是实数集、整数集、有理数集等。
然而，有些函数可能会有特定的限制条件，如分母不能为零、根号内不能为负数等。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，其中x为实数。
在这种情况下，由于分母不能为零，所以x的定义域为除去0的实数集，即x∈R，x≠0。
这样，所有不为零的实数都可以作为这个函数的输入值。
2. 值域在函数中，值域是指函数的所有可能输出值的集合。
它表示了函数所能取得的所有可能结果。
值域的确定需要考虑函数在定义域中的取值范围以及函数本身的性质。
例如，再考虑函数f(x) = 1/x，其定义域为除去0的实数集，即x∈R，x≠0。
对于任意一个不为零的输入值x，在函数中，将其代入公式后可以得到一个相应的输出值，即f(x) = 1/x。
显然，输出值可以是任意实数，因此值域为实数集R，即f(x)∈R，f(x)≠0。
3. 定义域和值域的图示为了更好地理解函数的定义域和值域，可以通过图示来展示函数的输入输出关系。
在坐标系中，将定义域的值放在x轴上，将对应的函数值放在y轴上，可以绘制函数的图像。
例如，回顾函数f(x) = 1/x，在定义域除去0的实数集，可以绘制函数曲线。
这样，x轴上除了0以外的各个点，都对应着y轴上的一个值，而值域即为函数曲线所覆盖的y轴的范围。
4. 应用举例函数的定义域和值域在数学中具有广泛的应用和重要意义。
它们不仅可以帮助我们理解函数的性质，还能在实际问题中起到指导作用。
例如，在物理学和工程学中，定义域和值域的概念可以帮助我们描述和分析各种物理量之间的关系。
函数的定义域和值域知识点总结
函数的定义域和值域知识点总结函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。
在了解函数的定义域和值域之前，我们需要先了解函数的基本概念和表示方法。
函数可以理解为一个输入到输出的映射关系，如果将函数视为一个机器，输入是函数的自变量，输出是函数的因变量。
函数可以用数学符号表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)表示函数的表达式。
例如，y=2x+1就是一个简单的一次函数。
定义域是指所有自变量可能取值的集合，也可以简单理解为函数的输入范围。
根据函数的不同类型，定义域可以有不同的限制条件。
1.有理函数：有理函数是指可以表示为两个多项式相除的函数。
它的定义域包含所有不使得分母等于0的实数。
2.无理函数：无理函数是指不能表示为两个多项式相除的函数，例如平方根、立方根、指数函数等。
对于无理函数，它的定义域可以是任意实数，也可以有一些限制条件。
3.双曲函数：双曲函数是指以指数函数和对数函数为基础的函数。
对于双曲函数，它的定义域可以是任意实数。
4.指数函数和对数函数：指数函数和对数函数是互为反函数关系的两个函数。
指数函数的定义域为所有实数，对数函数的定义域为正实数。
在确定函数的定义域时，常常需要考虑到以下几点：1.分式中的分母不能为0。
2.做对数运算时，底数必须大于0且不等于13.做反三角函数时，函数的值域必须在对应的定义域内。
4.开方运算中，被开方数必须大于等于0。
在讨论函数的定义域时，我们常常需要注意以下几个特殊情况：1.绝对值函数：绝对值函数的定义域为所有实数。
2.常量函数：常量函数的定义域为所有实数。
3.单调函数：单调函数的定义域为所有实数。
4.双曲函数：双曲函数的定义域为所有实数。
接下来，我们来讨论函数的值域。
值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合，也就是函数的输出范围。
函数的值域可能存在上界、下界或者不受限。
确定函数的值域时需要考虑以下几点：1.对于连续函数，可以通过求导数来判断函数的极大值和极小值，从而确定值域的上界和下界。
函数的定义域、值域、最值
对于一些单调函数，可以通过求反函数，然后在反函数的定义域内求 最值。
常见函数的最值
一次函数
一次函数的最值出现在端点处 ，其最值为常数项。
二次函数
二次函数的最值出现在顶点处 ，其最值为顶点的纵坐标。
指数函数
指数函数在其定义域内单调递 增或递减，因此其最值为无穷 大或无穷小。
对数函数
对数函数在其定义域内单调递 增或递减，因此其最值为无穷
最值
函数在定义域内的最大值和最小值，是函数在特定条件下达到的极值。
如何在实际问题中灵活运用函数的性质
实际问题建模
将实际问题转化为数学模型，利用函数性质 进行分析和求解。
优化问题解决
利用函数最值性质，解决最优化问题，如最 大利润、最小成本等。
动态规划
利用函数性质进行动态规划，解决多阶段决 策问题。
数据分析
函数的定义域、值域、最值
• 函数的定义域 • 函数的值域 • 函数的最值 • 函数的最值在实际问题中的应用 • 总结与思考
01
函数的定义域
定义域的概念
定义域是函数中自变量x的取值范围， 它决定了函数中x可以取哪些值进行计 算。
定义域是函数存在的前提，没有定义 域的函数是不存在的。
确定定义域的方法
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最短路径问题
确定起点和终点
最短路径问题通常涉及从起点到终点的最短路径寻找。
定义路径函数
路径函数表示从起点到终点的所有可能路径，以及每 条路径的长度。
求解最短路径
通过比较所有可能的路径长度，可以找到最短路径， 即最小化路径函数值的路径。
最佳投资问题
确定投资目标和约束
01
最佳投资问题通常涉及在一定时间内实现最大的投资回报或最
函数的定义域与值域课件
复合函数
由内到外逐层分析，确保每层 函数在对应定义域内有意义。
图像法求定义域
01
观察函数图像，找出图像上所有 点的横坐标集合，即为函数的定 义域。
02
适用于直观易懂的函数图像，如 一次函数、二次函数等。
实际问题中定义域确定
根据实际问题的背景 和条件，确定自变量 的取值范围。
需要结合具体问题进 行具体分析，灵活应 用数学知识。
对于形如$y=a(x-h)^2+k$的 复合函数，可以通过配方的方 法将其转化为顶点式，进而求 得值域。
对于形如$y=ax^2+bx+c/x$ 的复合函数，可以通过判别式 的方法求得值域。首先将原式 化为关于$x$的二次方程，然 后根据判别式$Delta geq 0$ 求得$y$的取值范围。
对于某些特殊的复合函数，可 以通过求其反函数的方法求得 值域。例如，对于形如 $y=log_a[f(x)]$的复合函数， 可以先求出其反函数$x=a^y$， 然后根据反函数的定义域求得 原函数的值域。
取并集
将各区间定义域取并集， 得到分段函数的定义域。
注意分段点
分段点应包含在定义域内， 除非分段点处函数无定义。
分段函数值域求解
分别求解各区间值域
注意最值点
根据各区间内解析式的性质，分别求 解各区间的值域。
在各区间内和分段点处寻找最值点， 以确定值域的上下界。
取并集
将各区间值域取并集，得到分段函数 的值域。
05 分段函数定义域与值域
分段函数概念及性质
01
02
03
分段函数定义
在不同区间上，用不同解 析式表示的函数。
分段函数性质
各区间内函数性质可能不 同，如单调性、奇偶性等。
函数的定义域与值域的求解
函数的定义域与值域的求解函数的定义域与值域是数学中一个重要的概念，它们对于研究函数的性质和应用具有重要的作用。
本文将介绍函数的定义域与值域的概念，并介绍如何求解函数的定义域和值域。
一、函数的定义域函数的定义域是指函数所有可能的输入值的集合。
对于实函数，定义域一般是实数集，但也可以是某一部分实数集。
在确定函数的定义域时，需要考虑函数的基本性质和限制条件。
例如，对于一个简单的一元实函数f(x)，如果f(x)在实数集上有定义，那么函数的定义域就是整个实数集R。
但是，在某些情况下，函数的定义域可能受到限制。
比如，函数f(x) = √x在定义域时要求x≥0，因为负数的平方根在实数范围内没有定义。
所以，函数f(x) = √x的定义域为[0, +∞)。
在求解函数的定义域时，需要注意以下几个方面：1. 分式函数的定义域：对于分式函数，需要注意分母不能为零。
所以，在确定定义域时，需要将分母为零的情况排除。
例如，对于函数f(x) = 1/(x-1)，分母x-1不能为零，所以定义域为R-{1}。
2. 幂函数、指数函数和对数函数的定义域：幂函数的底数不能为负数或零，指数函数的底数不能为零且指数必须是实数，对数函数的底数不能为零且取对数的数必须是正数。
在求解这些函数的定义域时，需要根据这些限制条件进行判断。
3. 复合函数的定义域：对于复合函数，需要保证内层函数的定义域在外层函数的定义域范围内。
如果内层函数的定义域超出了外层函数的定义域，则需要调整定义域范围。
二、函数的值域函数的值域是指函数所有可能的输出值的集合。
对于实函数，值域一般是实数集，但也可以是某一部分实数集。
在求解函数的值域时，需要根据函数的性质来判断。
例如，对于函数f(x) = x^2，可以发现无论x取何值，函数的值都大于等于0。
所以，函数f(x)的值域为[0, +∞)。
在求解函数的值域时，需要注意以下几个方面：1. 幂函数、指数函数和对数函数的值域：根据幂函数、指数函数和对数函数的基本性质，可以确定它们的值域。
函数的值域与定义域
函数的值域与定义域在数学的世界里，函数就像是一座桥梁，连接着不同的数集。
而函数的值域和定义域，则是这座桥梁的两个重要基石。
我们先来聊聊什么是函数的定义域。
简单来说，定义域就是函数中自变量可以取值的范围。
比如说，对于函数 f(x) ＝√x ，因为在实数范围内，根号下的数不能是负数，所以 x 就必须大于等于 0 ，那么这个函数的定义域就是 0, ＋∞）。
再比如，f(x) ＝ 1 ／（x 1) ，由于分母不能为 0 ，所以 x 不能等于 1 ，它的定义域就是x ≠ 1 ，用区间表示就是（∞， 1) ∪（1, ＋∞）。
定义域的确定往往需要考虑多种因素。
有时候要考虑数学上的限制，比如分母不能为 0 ，根号下的数非负。
还有的时候要结合实际问题的背景。
比如一个描述物体运动时间的函数，时间就不能是负数。
那函数的值域又是什么呢？值域就是函数在其定义域上所有可能的输出值的集合。
比如说，对于函数 f(x) ＝ x²，因为 x²总是大于等于 0 的，所以它的值域就是 0, ＋∞）。
再看函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1 ，由于 x 可以取任意实数，那么 2x ＋ 1 也可以取任意实数，它的值域就是（∞，＋∞）。
理解函数的值域和定义域的关系非常重要。
定义域决定了函数的输入范围，而值域则是在这个输入范围内函数能够产生的输出结果的范围。
它们相互制约，共同描绘了函数的特性。
举个例子，假设有一个函数 f(x) ＝ 3x ，定义域是 1, 5 。
那么当 x取 1 时，f(1) ＝ 3 ；当 x 取 5 时，f(5) ＝ 15 。
所以这个函数在给定定义域内的值域就是 3, 15 。
再比如函数 f(x) ＝ x²＋ 4 ，定义域是（∞，＋∞）。
因为 x²总是大于等于 0 ，所以 x²总是小于等于 0 ，那么 x²＋ 4 就总是小于等于 4 。
所以这个函数的值域是（∞， 4 。
确定函数的值域有时候并不是一件容易的事情。
5：函数的定义域和值域高三复习数学知识点总结(全)
（二）函数的定义域（1）解决函数问题，优先考虑定义域.若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式有意义的x 的取值范围.实际问题中还要考虑自变量的实际意义.（2）分式中分母0≠；偶次根式中被开方数应为非负数；)0(10≠==x x y ；)10(≠>=a a a y x 且；,log x y a =真数,0>x 底数10≠>a a 且；x y sin =定义域为,R x y cos =定义域为,R x y tan =定义域为x {|},2Z k k x ∈+≠ππ.（3）复合函数的定义域方法：①定义域是输入值x 的集合；②同一对应法则下的括号内整体范围一样.例：已知)1(+=x f y 的定义域为],3,2[-则)12(-=x f y 的定义域为.答案：]25,0[小结：①若已知)(x f 的定义域为],,[b a 则复合函数))((x g f 的定义域可由b x g a ≤≤)(解出；②若已知))((x g f 的定义域为],,[b a 则)(x f 的定义域即为],[b a x ∈时)(x g 的值域.（三）函数的值域（数形结合）常用方法法一：图象法（形）1.)10(22≤<+-=x x x y 2..30,113<≤+-=x x x y 3..14,4-≤≤-+=x xx y 法二：换元法+图象法（形）4.3212++=x x y 5.x x y 21-+= 6.1212+-=x x y 7.)0(422>+=x x x y 8.).1(1542>-+-=x x x x y 9.)10(210212≤≤++=x x xy 法三：单调性（导数和单调性的性质）（数）10.x x y 21--=11.2,0[,sin π∈+=x x x y 12.]3,3[,8123-∈+-=x x x y 法四：几何意义（形）13.2cos 1sin --=x x y 答案：1.]81,1[-；2.)2,1[-；3.]4,5[--；4.]21,0(；5.]1,(-∞；6.)1,1(-；7.]21,0(；8.),222[+∞-；9.]10103,22[；10.21,(-∞；11.]12,0[+π；12.]24,8[-；13.34,0[。
函数的定义域和值域
第五讲 函数的定义域和值域一、 本周教学主要内容及重点难点说明本周教学主要内容是函数的定义域和函数的值域。
定义域是指原象的集合，通俗地说即自变量的取值范围，值域是象的集合，通俗地说 是所有函数值组成的集合，因初中与高中在函数定义上的差异，以及目前高一同学对函数的学习甚少（仅限于一次函数，反比例函数，二次函数的一部分），所以使得求函数的定义域与值域既是重点也是难点。
定义域和值域都是实数集的子集，定义域不同的函数一定是不同函数，定义域既是函数性质重要内容又是研究函数其它性质优先考虑的因素和赖以存在的前提。
值域中元素数目不多于定义域中元素数目，函数的值域取决于其定义域和对应法则，求函数值域的问题。
灵活性较大，就高一同学目前知识范围而言，还缺乏较完整、规范的办法。
下面将要介绍的几种方法，有的适用范围有限，有的也不介绍理论根据，所以目前还不能求出任意给定的函数的值域，请同学们不必苦钻难题。
二、 典型解析【例1】求下列函数的定义域⑴ x x y ---+=331 ⑵ )3)(3(++=x x y ⑶ 831522-+-=x x x y 分析：对于⑴因偶次根式的根号内的值非负，所以⎩⎨⎧≥-≥-0303x x 解得3=x 故定义域为{}3对于⑵因幂指数为零时，底数不可以为零，所以03≠+x 故函数定义域为),3()3,(+∞---∞对于⑶因分式函数分母不可以为零，，并且偶次根式的根号内的值非负，所以⎩⎨⎧≠-+≥--08301522x x x 解得 ⎩⎨⎧-≠≠≥-≤11553x x x x 或或 故其定义域 (]),5(3,11)11,(+∞----∞ 说明：对于给定解析式的函数的定义域的求法，通常考虑偶次根式的根号内的值应当非负，分式函数的分母不能为零，幂指数为零时，底数不为零等。
在有限个实数上定义的函数，其定义域就是这有限个实数的集合；有限个基本初算函数的四则运算而合成的新函数的定义域，是各个基本初算函数的定义域的交集，并考虑新出现的分母不能为零。
高考第5课函数的定义域与值域
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）第5课 函数的定义域与值域【自主学习】第5课 函数的定义域与值域(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修1P93习题1改编)函数f (x )=-1x +14x +的定义域为 . 【答案】[1，+∞)【解析】由-1040x x ≥⎧⎨+≠⎩，，解得x ≥1.2.(必修1P93习题5改编)已知函数y=x 2-x 的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为 . 【答案】{0，2，6}【解析】当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；当x=2时，y=2；当x=3时，y=6，所以值域为{0，2，6}.3.(必修1P27练习7改编)函数f(x)=x2-2x-3，x∈[-1，2]的最大值为.【答案】0【解析】因为f(x)=(x-1)2-4，所以当x=-1时，函数f(x)取得最大值0.4.(必修1P32例2改编)函数f(x)=11-(1-)x x的最大值是.【答案】4 3【解析】1-x(1-x)=x2-x+1=21-2x⎛⎫⎪⎝⎭+34≥34.因此，有0<11-(1-)x x≤43，所以f(x)的最大值为4 3.5.(必修1P36习题13改编)已知函数f(x)=x2的值域为{1，4}，则这样的函数有个.【答案】9【解析】定义域为两个元素有{-2，-1}，{-2，1}，{-1，2}，{1，2}；定义域为三个元素有{-2，-1，1}，{-2，-1，2}，{-1，1，2}，{-2，1，2}；定义域为四个元素有{-2，-1，1，2}，故这样的函数一共有9个.1.函数的定义域(1)函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式有意义的x的取值范围.(2)分式中分母应不等于0；偶次根式中被开方数应为非负数，奇次根式中被开方数为一切实数；零指数幂中底数不等于0.(3)对数式中，真数必须大于0，底数必须大于0且不等于1，含有三角函数的角要使该三角函数有意义等.(4)实际问题中还需考虑自变量的实际意义，若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.2.求函数值域的主要方法(1)函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可直接通过观察法求得值域.(2)二次函数或可转化为二次函数形式的问题，常用配方法求值域.(3)分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用分离变量法求值域；分子、分母中含有二次项的有理函数，常用判别式法求值域(主要适用于定义域为R的函数).(4)单调函数常根据函数的单调性求值域.(5)很多函数可拆配成基本不等式的形式，利用基本不等式求值域.(6)有些函数具有明显的几何意义，可根据几何意义的方法求值域.(7)只要是能求导数的函数常采用导数的方法求值域.【要点导学】要点导学各个击破求函数的定义域例1 (1)函数y=216--x x 的定义域是 .(2)设函数f (x )=ln 22-xx +，则函数g (x )=f 2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+f 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域是 .【思维引导】(1)分式函数中分母不等于零；偶次根式函数，被开方式大于或等于0；(2)对数式中真数大于0，列出不等式组，求解，对应法则“f ”作用下的12x x 和是f (x )的定义域内的值，同时要记住函数的定义域要用集合或区间表示.【答案】(1)(-3，2) (2)1-4-2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪142⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】(1)由函数解析式可知6-x-x 2>0， 即x 2+x-6<0，故-3<x<2.(2)由22-xx +>0，得f (x )的定义域为-2<x<2，故-2221-22xx ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，，解得-4<x<-12或12<x<4.【精要点评】(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集.(2)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f (g (x ))的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ].【高频考点·题组强化】1.(2016·苏州期中)函数y=ln(x2-x-2)的定义域是.【答案】(-∞，-1)∪(2，+∞)【解析】由题意知，x2-x-2>0，解得x>2或x<-1，故函数的定义域为(-∞，-1)∪(2，+∞).2.函数f(x)=2-11114-1x xxx⎧<≤⎪⎨<≤⎪⎩，，，的定义域是.【答案】(-1，4]【解析】两个分段区间是(-1，1]和(1，4]，取它们的并集得所求函数的定义域为(-1，4].3.(2014·山东卷)函数f(x)=221(log)-1x的定义域为.【答案】12⎛⎫⎪⎝⎭，∪(2，+∞)【解析】由题意得22(log)-10xx>⎧⎨>⎩，，解得1202xx x>⎧⎪⎨><<⎪⎩，或，所以f(x)的定义域为12⎛⎫⎪⎝⎭，∪(2，+∞).4.(2014·珠海模拟)函数y=(1)21xx++的定义域为.【答案】1-2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】由题意得10210x x +≠⎧⎨+>⎩，，解得x>-12，所以函数的定义域为1-2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，.5.已知函数f (x )的定义域是[3，10]，则函数f (x+1)的定义域是 . 【答案】[2，9]【解析】因为f (x )的定义域是[3，10]，所以使f (x+1)有意义的条件是3≤x+1≤10，即2≤x ≤9，所以函数f (x+1)的定义域是[2，9].求函数的值域微课1 ● 问题提出函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域，都应先考虑其定义域.有时我们需要求函数在某个区间上的值域，结合函数图象，根据函数图象的分布得出函数的值域.那么，求函数值域的方法有哪些呢?● 典型示例例2 求下列函数的值域.(1)y=3x 2-x+2，x ∈[1，3]；(2)y=31-2x x +；(3)y=x+41-x ；(4)y=22-112-12x x x x +⎛⎫> ⎪⎝⎭.【思维导图】【规范解答】(1)(配方法)因为y=3x 2-x+2=321-6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2312，所以函数y=3x 2-x+2在[1，3]上单调递增， 所以当x=1时，原函数取得最小值4； 当x=3时，原函数取得最大值26，所以函数y=3x 2-x+2(x ∈[1，3])的值域为[4，26].(2)(分离常数法)y=31-2x x +=3(-2)7-2x x +=3+7-2x ， 因为7-2x ≠0，所以3+7-2x ≠3，所以函数y=31-2x x +的值域为{y|y ≠3}.(3)(换元法)设t=1-x ，t ≥0，则x=1-t 2，所以原函数可化为y=1-t 2+4t=-(t-2)2+5(t ≥0)，所以y ≤5， 所以原函数的值域为(-∞，5].(4)(基本不等式法)y=22-12-1x x x +=(2-1)12-1x x x +=x+12-1x =x-12+121-2x +12，因为x>12，所以x-12>0，所以x-12+121-2x≥2112-12-2xx⎛⎫⋅⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭=2，当且仅当x-12=121-2x，即x=122+时等号成立，所以y ≥2+12，即原函数的值域为122∞⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，.【精要点评】配方法、分离常数法和换元法是求常见函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解；二次分式型函数求值域，多采用分离出整式利用基本不等式法求解.● 总结归纳(1)首先我们要掌握初中学过的基本初等函数，y=kx，y=kx+b(k≠0)，y=ax2+bx+c(a≠0)，y=kx(k≠0)的值域.(2)求函数值域的常用方法有：直接法、逆求法、换元法、配方法、基本不等式法、判别式法、单调性法等.● 题组强化1.(2016·苏州期中)函数f(x)=3sin x-cos x-2(x>0)的值域是.【答案】[-4，0]【解析】因为f(x)=3sin x-cos x-2=2sinπ-6x⎛⎫⎪⎝⎭-2，且x>0，所以sinπ-6x⎛⎫⎪⎝⎭∈[-1，1]，所以函数f(x)的值域是[-4，0].2.(2015·扬州调研)函数y=x-1-2x的值域为.【答案】1 -2∞⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】方法一：(换元法)令1-2x=t，t≥0，x=21-2t，于是y=21-2t-t=-12(t+1)2+1，由于t≥0，所以y≤12，故函数的值域为1-2∞⎛⎤⎥⎝⎦，.方法二：(单调性法)函数的定义域为1-2∞⎛⎤⎥⎝⎦，，且函数y=x-1-2x在1-2∞⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增，所以y≤12，故函数的值域为1-2∞⎛⎤⎥⎝⎦，.3.(2014·海门中学)函数f(x)=2log01-2(-1)(-3)1x xx x x<<⎧⎨≥⎩，，，的值域是.【答案】(-∞，2]【解析】当0<x<1时，值域为(-∞，0)；当x≥1时，值域为(-∞，2].故原函数的值域为(-∞，2].4.(2015·南通中学)函数y=252-43x x+的值域是. 【答案】(0，5]【解析】因为2x2-4x+3=2(x-1)2+1≥1，所以0<212-43x x+≤1，所以0<y≤5，所以值域为(0，5].5.(2014·青阳中学)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0，m]，值域为25--44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则实数m的取值范围是.【答案】33 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】因为f(x)=x2-3x-4=23-2x⎛⎫⎪⎝⎭-254，所以f32⎛⎫⎪⎝⎭=-254.又f(0)=f(3)=-4，故由二次函数图象可知32≤m≤3.已知函数定义域(值域)求参数的取值范围例3若函数y=222(-1)(-1)1a x a xa+++的定义域为R，求实数a的取值范围.【思维引导】可先求出使函数有意义的不等式(组)，再对其中的参数进行分类讨论即可.【解答】由题意知当x∈R时，(a2-1)x2+(a-1)x+21a+≥0恒成立.①当a2-1=0，即2-1010aa⎧=⎨+≠⎩，时，得a=1，此时有(a2-1)x2+(a-1)x+21a+=1.可知当x∈R时，(a2-1)x2+(a-1)x+21a+≥0恒成立.②当a2-1≠0，即222-102(-1)-4(-1)01aa aa⎧>⎪⎨∆=⋅≤⎪+⎩，时，有221-1090aa a⎧>⎨+≤⎩，，解得1<a≤9.综上所述，实数a的取值范围是[1，9].【精要点评】解决本题的关键是理解函数的定义域是R的意义，并会对函数式进行分类讨论，特别要注意不要遗漏对第一种情况a2-1=0的讨论.变式(1)(2014·常州一中)若函数f(x)=2-443 xmx mx++的定义域为R，则实数m 的取值范围是.(2)若函数y=lg(x2+2x+m)的值域是R，则实数m的取值范围是.【答案】(1)34⎡⎫⎪⎢⎣⎭，(2)(-∞，1]【解析】(1)f(x)的定义域为R，即mx2+4mx+3≠0恒成立.①当m=0时，符合题意.②当m≠0时，Δ=(4m)2-4×m×3<0，即m(4m-3)<0，所以0<m<3 4.综上所述，实数m的取值范围是34⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.(2)由题意可知x2+2x+m能取遍一切正实数，从而可知Δ=4-4m≥0，则m≤1.新定义下的函数值域创新问题例4 已知函数f M (x )的定义域为实数集R ，满足f M (x )=10x M x M ∈⎧⎨∉⎩，，，(M 是R 的非空真子集).在R 上有两个非空真子集A ，B ，且A ∩B=∅，则F (x )=()1()()1A B A B f x f x f x +++的值域为 .【思维引导】求F (x )的值域→确定f A (x )，f B (x )以及ABf (x )的取值−−−−→函数定义探讨x 与A ，B ，A ∪B 的关系.【答案】{1}(例4)【解析】因为A ，B 是R 的两个非空真子集，且A ∩B=∅，画出韦恩图如图所示，则实数x 与集合A ，B 的关系可分为x ∈A ，x ∈B ，x ∉A 且x∉B 三种.①当x ∈A 时，根据定义， 得f A (x )=1. 因为A ∩B=∅， 所以x ∉B ，故f B (x )=0.又因为A ⊆(A ∪B )，则必有x ∈A ∪B ， 所以f A ∪B (x )=1.所以F (x )=()1()()1A B A B f x f x f x +++=11101+++=1. ②当x ∈B 时，根据定义，得f B (x )=1. 因为A ∩B=∅，所以x ∉A ，故f A (x )=0. 又因为B ⊆(A ∪B )，则必有x ∈A ∪B ，所以f A∪B(x)=1.所以F(x)=()1()()1A BA Bf xf x f x+++=11011+++=1.③当x∉A且x∉B时，根据定义，得f A(x)=0，f B(x)=0.由图可知，显然x∉A∪B，故f A∪B(x)=0，所以F(x)=()1()()1A BA Bf xf x f x+++=01001+++=1.综上，函数的值域中只有一个元素1，即函数的值域为{1}.【精要点评】(1)如果函数f(x)的定义域为A，那么f(g(x))的定义域是使函数g(x)∈A的x的取值范围.(2)如果f(g(x))的定义域为A，那么函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域.(3)f(g(x))与f(h(x))联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同.本题以集合之间的关系为背景考查新定义函数值的计算，所以准确利用已知条件梳理各个集合之间的关系是解决该题的关键.可借助韦恩图表示出各个集合，再根据图形的直观性进行分类，简单又直接.变式把本例中“A∩B=∅”变为x∈A∩B，其他条件不变，试求之.【解答】当x∈A∩B时，因为(A∩B)⊆(A∪B)，所以必有x∈A∪B.由定义，可知f A(x)=1，f B(x)=1，f A∪B(x)=1，所以F(x)=()1()()1A BA Bf xf x f x+++=11111+++=23.故函数F(x)的值域为23⎧⎫⎨⎬⎩⎭.1.(2014·苏北四市期末)函数f(x)=lg(2x-3x)的定义域为. 【答案】(-∞，0)【解析】由2x-3x>0得23x⎛⎫⎪⎝⎭>1，所以x<0，即函数f(x)的定义域为(-∞，0).2.(2014·江西卷)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为. 【答案】(-∞，0)∪(1，+∞)【解析】由x2-x>0，得x>1或x<0.3.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为.【答案】(0，+∞)【解析】因为3x+1>1，所以f(x)=log2(3x+1)>log21=0.4.若函数f(x)=21(2-1)4ax a x++的值域为[0，+∞)，则实数a的取值范围是.【答案】1 |104 a a a⎧⎫≥≤≤⎨⎬⎩⎭或【解析】当a=0时，符合要求；当a>0时，方程ax2+(2a-1)x+14=0一定有解，所以Δ=(2a-1)2-4a×14≥0，所以a≥1或0<a≤1 4.综上，实数a的取值范围是1|104a a a⎧⎫≥≤≤⎨⎬⎩⎭或.5.已知函数f(x)=22(1-)3(1-)6 a x a x++.(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的定义域为[-2，1]，求实数a的值.【解答】(1)①若1-a2=0，即a=±1.当a=1时，f(x)=6，定义域为R，符合题意；当a=-1时，f(x)=66x+，定义域为[-1，+∞)，不合题意.②若1-a2≠0，则g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6为二次函数.由题意知g(x)≥0对x∈R恒成立，所以21-0a⎧>⎨∆≤⎩，，即-11(-1)(115)0aa a<<⎧⎨+≤⎩，，解得-511≤a<1.综上，实数a的取值范围是5,111⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由题意知，不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0的解集为[-2，1]，显然1-a2≠0且-2，1是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0的两个根，所以222221-03(1-)-21-16-21-[3(1-)]-24(1-)0aaaaa a⎧<⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪∆=>⎩，，，，解得a=2，即实数a的值为2.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第9~10页.【检测与评估】第5课 函数的定义域与值域一、 填空题1.(2014·江苏压题卷)函数y = 12x +的定义域是 .2.函数y =2ln(1)--34x x x ++的定义域是 .3.函数y =2-2-4x x +的值域是 .4.若函数f (x )=2-6(8)kx kx k ++的定义域是R ，则实数k 的取值范围为 .5.已知函数y =21mx mx ++的值域为[0，+∞)，那么实数m 的取值范围是 .6.若函数y =f (x )的值域是[1，3]，则函数F(x )=1-2f (x +3)的值域是 .7.(2015·福建卷)若函数f (x )=-623log 2a x x x x +≤⎧⎨+>⎩，，， (a >0 且a ≠1)的值域是[4，+∞)，则实数a 的取值范围是 .8.已知对于函数f (x )=2ax bx +，存在一个正数b ，使得f (x )的定义域和值域相同，则非零实数a 的值为 .二、解答题9.已知全集U=R，函数f(x )=12x++lg(3-x)的定义域为集合A，集合B={x|-2<x<a}.(1)求集合∁U A；(2)若A∪B=B，求实数a的取值范围.10.(2015·镇江中学)已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(a∈R).(1)若函数f(x)的值域为[0，+∞)，求实数a的值；(2)若函数f(x)的值域为非负数，求函数g(a)=2-a|a+3|的值域.11.已知函数g(x )=x+1，函数h(x)=13x+，x∈(-3，a]，其中a>0，令函数f(x)=g(x)·h(x).(1)求函数f(x)的解析式，并求其定义域；(2)当a=14时，求函数f(x)的值域.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知函数f(x)=|x+2|-|x-1|.(1)试求f(x)的值域；(2)设函数g(x)=2-33ax xx+(a>0)，若对∀s∈(0，+∞)，∀t∈(-∞，+∞)恒有g(s)≥f(t)成立，试求实数a的取值氛围.【检测与评估答案】第5课 函数的定义域与值域1.(-2，+∞) 【解析】由题意得12x +≥0，解得x>-2，故所求定义域为(-2，+∞).2.(-1，1) 【解析】函数y=2ln(1)--34x x x ++的定义域需满足210--340x x x +>⎧⎨+>⎩，， 解得-1<x<1.3. [0，2] 【解析】-x 2+4x=-(x-2)2+4≤4，所以0≤2-4x x +≤2，所以0≤2-2-4x x+≤2，所以0≤y ≤2.4.[0，1] 【解析】由题意知kx 2-6kx+(k+8)≥0在R 上恒成立.当k=0时，显然成立；当k>0时，有Δ=(-6k )2-4k (k+8)≤0，得0<k ≤1.综上，0≤k ≤1.5. [4，+∞) 【解析】当m=0时，不符合题意，所以20-40m m m >⎧⎨∆=≥⎩，，即m ≥4.6.[-5，-1] 【解析】因为1≤f (x )≤3，所以1≤f (x+3)≤3，所以-6≤-2f (x+3)≤-2，所以-5≤F (x )≤-1.7.(1，2] 【解析】当x ≤2时，-x+6≥4，要使得函数f (x )的值域为[4，+∞)，只需f 1(x )=3+log a x (x>2)的值域包含于[4，+∞)即可，故a>1，所以f 1(x )>3+log a 2，所以3+log a 2≥4，解得1<a ≤2，所以实数a 的取值范围是(1，2].8.-4 【解析】若a>0，对于正数b ，f (x )的定义域为D=--b a ∞⎛⎤⎥⎝⎦，∪[0，+∞)， 但f (x )的值域A ⊆[0，+∞)，故D ≠A ，不合要求.若a<0，对于正数b ，f (x )的定义域为D=0-b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.由于此时f (x )max =f -2b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2-b a ，故函数的值域A=02-b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.由题意得-ba =2-b a ，由于b>0，所以a=-4.9.(1) 因为集合A 表示y=12x ++lg(3-x )的定义域，所以203-0x x +>⎧⎨>⎩，，，即A=(-2，3)，所以∁U A=(-∞，-2]∪[3，+∞).(2) 因为A ∪B=B ， 所以A ⊆B ，所以a ≥3. 即实数a 的取值范围是[3，+∞).10.(1)因为函数的值域为[0，+∞)， 所以Δ=16a 2-4(2a+6)=0， 所以2a 2-a-3=0，解得a=-1或a=32.(2)因为对一切x ∈R ，函数值均为非负数，所以Δ=16a 2-4(2a+6)=8(2a 2-a-3)≤0，所以-1≤a ≤32，所以a+3>0，所以g (a )=2-a|a+3|=-a 2-3a+2=-232a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+174. 因为二次函数g (a )在3-12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，所以g 32⎛⎫ ⎪⎝⎭≤g (a )≤g (-1)，即-194≤g (a )≤4.所以函数g (a )的值域为19-44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.11. (1) f (x )=13x x ++，x ∈[0，a ](a>0). (2) 由(1)知函数f (x )的定义域为104⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 令x +1=t ，则x=(t-1)2，t ∈312⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则f (x )=F (t )=2-24tt t +=14-2t t +.因为当t=4t 时，t=±2∉312⎡⎤⎢⎥⎣⎦，， 又当t ∈312⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，y=t+4t 单调递减， 故F (t )单调递增，所以F (t )∈16313⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.所以函数f (x )的值域为16313⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.12.(1)f (x )∈[-3，3].(2) 当x>0时，g (x )=2-33ax x x +=ax-3+3x ≥23a -3，当且仅当ax 2=3时等号成立，即g (x )min =23a -3.由(1)知f (x )max =3. 对∀s ∈(0，+∞)，∀t ∈(-∞，+∞)恒有g (s )≥f (t )成立，即g (x )min ≥f (x )max ， 由23a -3≥3，得a ≥3，所以实数a 的取值范围是[3，+∞).。
函数的定义域与值域
第五节 函数的定义域与值域[归纳·知识整合]1．常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R .(4)y ＝a x(a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(6)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z . (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a ； 当a <0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a . (3)y ＝k x(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x(a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是 [－1,1]． (7)y ＝tan x 的值域是R .[探究] 1.若函数y ＝f (x )的定义域和值域相同，则称函数y ＝f (x )是圆满函数，则函数①y ＝1x；②y ＝2x ；③y ＝ x ；④y ＝x 2中是圆满函数的有哪几个2．分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f (x )＝4－xx －1的定义域为( ) A ．[－∞，4] B ．[4，＋∞) C ．(－∞，4) D ．(－∞，1)∪(1,4] 2．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )x0<x <55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y2345 A．[2,5] B．N C．(0,20] D．{2,3,4,5}3．若f(x)＝1log122x＋1，则f(x)的定义域为( )D．(0，＋∞)4．(教材改编题)函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的定义域为________，值域为________．5．(教材改编题)若x－4有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是________．求函数的定义域[例1] (1)(2012·山东高考)函数f(x)＝ln x＋1＋4－x2的定义域为( ) A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2](2)已知函数f(x2－1)的定义域为[0,3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．本例(2)改为f(x)的定义域为[0,3]，求y＝f(x2－1)的定义域．———————————————————简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)对抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．1．(1)(2012·江苏高考)函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．(2)已知f(x)的定义域是[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域．[例2] (1)y ＝x －3x ＋1；(2)y ＝x －1－2x ；(3)y ＝x ＋4x.若将本例(3)改为“y ＝x －4x”，如何求解———————————————————求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx2的函数用三角函数代换求值域．4分离常数法：形如y＝cx＋dax＋ba≠0的函数可用此法求值域.5单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.6数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围.2．求下列函数的值域．(1)y＝x2＋2x，x∈[0,3]； (2)y＝x2－xx2－x＋1； (3)y＝log3x＋log x3－1.[例3] 已知函数f(x)＝ax2＋bx.若至少存在一个正实数b，使得函数f(x)的定义域与值域相同，求实数a的值．———————————————————由函数的定义域或值域求参数的方法已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．3．(2013·温州模拟)若函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，则a ＋b ＝________.1种意识——定义域优先意识函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识．4个注意——求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x 的集合． (2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．4个准则——函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一般有：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.6种技巧——妙求函数的值域(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法； (2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法； (4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解； (5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解.易误警示——与定义域有关的易错问题[典例] (2013·福州模拟)函数f (x )＝x ＋12x ＋1－1－x 的定义域为________________．[易误辨析]1．本题若将函数f (x )的解析式化简为f (x )＝(x ＋1)－1－x 后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x 的取值范围．2．在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域．求函数的值域时，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．[变式训练] 1．若函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f x 的值域是( )2．已知函数f (x ＋2)＝x ＋2x ，则函数f (x )的值域为________．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是( )A ．f (x )＝x 2＋a B ．f (x )＝ax 2＋1 C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1 D ．f (x )＝x 2＋ax ＋1 2．已知等腰△ABC 周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}3．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )4．(2013·南昌模拟)函数y ＝ xx －1－lg 1x的定义域为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1，或x <0}D ．{x |0<x ≤1}5．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( )A ．[－2,2]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[－2， 2 ]6．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ＋x ＋4，x <g x ，g x －x ，x ≥g x ，则f (x )的值域是( )∪(1，＋∞) ∪(2，＋∞)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．函数y ＝16－x －x2的定义域是________．8．设x ≥2，则函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值是______．9．(2013·厦门模拟)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ] (b >1)，求a ，b 的值．11．设O 为坐标原点，给定一个定点A (4,3)，而点B (x,0)在x 轴的正半轴上移动，l (x )表示AB 的长，求函数y ＝xl x的值域．12．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．1．下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝e x2．函数y ＝ln x ＋1－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A ．[－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1) D ．(－1,1] 3．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )的解析式；(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列两个条件：①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．[探究] 1. 提示：①y ＝1x 的定义域和值域都是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y ＝1x是圆满函数；②y ＝2x 的定义域和值域都是R ，故函数y ＝2x 是圆满函数；③y ＝ x 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故y ＝ x 是圆满函数；④y ＝x 2的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故函数y ＝x 2不是圆满函数．2．提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集．[自测·牛刀小试]1．解析：选D 要使函数f (x )＝4－xx －1有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，x ≠1.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．2．解析：选D 函数值只有四个数2,3,4,5，故值域为{2,3,4,5}．3．解析：选A 根据题意得log 12(2x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1，解得－12<x <0，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. 4．解析：由图象可知，函数y ＝f (x )的定义域为[－6,0]∪[3,7)， 值域为[0，＋∞)．答案：[－6,0]∪[3,7) [0，＋∞)5．解析：∵x －4有意义，∴x －4≥0，即x ≥4.又∵y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2，∴y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1.∴其值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)[例1] [自主解答] (1)x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.解得－1<x <0或0<x ≤2.(2)∵0≤x ≤3，∴0≤x 2≤9，－1≤x 2－1≤8. ∴函数y ＝f (x )的定义域为[－1,8]． [答案] (1)B (2)[－1,8]解：∵y ＝f (x )的定义域为[0,3]，∴0≤x 2－1≤3，解得－2≤x ≤－1或1≤x ≤2，所以函数定义域为[－2，－1]∪[1,2]．1．解析：(1)由1－2log 6x ≥0解得log 6x ≤12⇒0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．答案：(0， 6 ](2)∵f (x )的定义域是[－2,4]，∴－2≤x 2－3x ≤4，由二次函数的图象可得，－1≤x ≤1或2≤x ≤4. ∴定义域为[－1,1]∪[2,4].[例2] [自主解答] (1)法一：(分离常数法)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1.因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}． 法二：由y ＝x －3x ＋1得yx ＋y ＝x －3. 解得x ＝y ＋31－y，所以y ≠1，即函数值域是{y |y ∈R ，y ≠1}． (2)法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.法二：(单调性法)容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12.所以y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.(3)法一：(基本不等式法)当x >0时，x ＋4x≥2x ×4x＝4， 当且仅当x ＝2时“＝”成立；当x <0时，x ＋4x＝－(－x －4x)≤－4，当且仅当x ＝－2时“＝”成立． 即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．法二：(导数法)f ′(x )＝1－4x 2＝x 2－4x2. x ∈(－∞，－2)或x ∈(2，＋∞)时，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)或x ∈(0,2)时，f (x )单调递减．故x ＝－2时，f (x )极大值＝f (－2)＝－4；x ＝2时，f (x )极小值＝f (2)＝4. 即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．解：易知函数y ＝x －4x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，故函数y ＝x －4x的值域为R .2．解：(1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵0≤x ≤3，∴1≤x ＋1≤4.∴1≤(x ＋1)2≤16. ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]．(2)y ＝x 2－x ＋1－1x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1，∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1，即值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1. (3)y ＝log 3x ＋1log 3x －1，令log 3x ＝t ，则y ＝t ＋1t －1(t ≠0)，当x >1时，t >0，y ≥2t ·1t－1＝1，当且仅当t ＝1t即log 3x ＝1，x ＝3时，等号成立；当0<x <1时，t <0，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t －1≤－2－1＝－3.当且仅当－t ＝－1t 即log 3x ＝－1，x ＝13时，等号成立．综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞).[例3] [自主解答] ①若a ＝0，则对于每个正数b ，f (x )＝bx 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a ＝0满足条件；②若a >0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域为D ＝{x |ax 2＋bx ≥0}＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b a∪[0，＋∞)，但f (x )的值域A ⊆[0，＋∞)，故D ≠A ，即a >0不符合条件；③若a <0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－b a，由于此时f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝b2－a ，故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b2－a ，则－b a ＝b2－a ⇒⎩⎨⎧a <0，2－a ＝－a⇒a ＝－4. 综上所述，a 的值为0或－4.3．解析：∵由题意知x －1>0，又x ∈[a ，b ]，∴a >1.则f (x )＝1x －1在[a ，b ]上为减函数， 则f (a )＝1a －1＝1且f (b )＝1b －1＝13，∴a ＝2，b ＝4，a ＋b ＝6. 答案：6 易误警示——与定义域有关的易错问题[典例] [解析] ∵要使函数f (x )＝x ＋12x ＋1－1－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－1，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．[答案] (－∞，－1)∪(－1,1] [变式训练]1．解析：选C 令t ＝f (x )，则12≤t ≤3. 易知函数g (t )＝t ＋1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数，在[1,3]上是增函数．又因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，g (1)＝2，g (3)＝103. 可知函数F (x )＝f (x )＋1f x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.2．解析：令2＋x ＝t ，则x ＝(t －2)2(t ≥2)．∴f (t )＝(t －2)2＋2(t －2)＝t 2－2t (t ≥2)． ∴f (x )＝x 2－2x (x ≥2)．∴f (x )＝(x －1)2－1≥(2－1)2－1＝0，即f (x )的值域为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．解析：选C 当a ＝0时，f (x )＝ax 2＋x ＋1＝x ＋1为一次函数，其定义域和值域都是R .2．解析：选D 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，10－2x >0，2x >10－2x ，即52<x <5. 3．解析：选A A 中定义域是[－2,2]，值域为[0,2]；B 中定义域为[－2,0]，值域为[0,2]；C 不表示函数；D 中的值域不是[0,2]．4．解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x x －1≥0，1x>0，得x ≥1.5．解析：选C ∵－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，0≤－x 2＋4x ≤2，－2≤－－x 2＋4x ≤0， 0≤2－－x 2＋4x ≤2，∴0≤y ≤2.6．解析：选D 令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2；令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，函数f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0，故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．解析：由函数解析式可知6－x －x 2>0，即x 2＋x －6<0，故－3<x <2. 答案：(－3,2) 8．解析：y ＝[x ＋1＋4][x ＋1＋1]x ＋1，设x ＋1＝t ，则t ≥3，那么y ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5，在区间[2，＋∞)上此函数为增函数，所以t ＝3时，函数取得最小值即y min ＝283. 答案：2839．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈1，2]. 当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6]．答案：[－4,6]三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即[1，b ]为f (x )的单调递增区间．∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，① f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b .② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.11．解：依题意有x ＞0，l (x )＝x －42＋32＝x 2－8x ＋25，所以y ＝x l x ＝xx 2－8x ＋25＝11－8x ＋25x2. 由于1－8x ＋25x 2＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4252＋925，所以1－8x ＋25x 2≥35，故0＜y ≤53. 即函数y ＝x l x 的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53. 12．解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32. (2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32. ∴a ＋3>0.∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32.∵二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.∴g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.1．解析：选A 当x >0时，1x有意义，因此函数y ＝1x的定义域为{x |x >0}．对于A ，函数f (x )＝ln x 的定义域为{x |x >0}；对于B ，函数f (x )＝1x的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }；对于C ，函数f (x )＝|x |的定义域为R ；对于D ，函数f (x )＝e x的定义域为R . 所以与函数y ＝1x有相同定义域的是f (x )＝ln x .2．解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4>0x ＋1>0得－1<x <1，因此该函数的定义域是(－1,1)．3．解析：选B 要使g (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.故定义域为[0,1)．4．解：(1)由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ∈[－1,1]，知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，令t ＝f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3记g (x )＝y ＝t 2－2at ＋3，则g (x )的对称轴为t ＝a ，故有：①当a ≤13时，g (x )的最小值h (a )＝289－2a3，②当a ≥3时，g (x )的最小值h (a )＝12－6a ，③当13<a <3时，g (x )的最小值h (a )＝3－a2综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a ≤13，3－a 2，13<a <3，12－6a ，a ≥3，(2)当a ≥3时，h (a )＝－6a ＋12，故m >n >3时，h (a )在[n ，m ]上为减函数， 所以h (a )在[n ，m ]上的值域为[h (m )，h (n )]．由题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧h m ＝n 2，hn ＝m 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋12＝n 2，－6n ＋12＝m 2，，两式相减得6n －6m ＝n 2－m 2，又m ≠n ，所以m ＋n ＝6，这与m >n >3矛盾，故不存在满足题中条件的m ，n 的值.。
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数是数学中常见的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在函数中，定义域和值域是两个重要的概念。
本文将介绍函数的定义域与值域的定义及其在数学中的应用。
一、定义域的定义在函数中，定义域表示输入的取值范围。
换句话说，对于一个函数f(x)，定义域是指在满足特定条件下x可以取值的范围。
通常情况下，定义域可以是实数集、有理数集或整数集等。
例如，对于函数f(x) = √(x - 1)，由于在实数范围内，被开方数不能为负数，所以定义域为x ≥ 1。
二、值域的定义在函数中，值域表示函数的输出结果的集合。
换句话说，对于函数f(x)，值域是指所有可能的输出值的集合。
值域可以是实数集、有理数集或整数集等。
例如，对于函数f(x) = x^2，所有的输出结果都是非负数，所以值域为y ≥ 0。
三、定义域与值域的关系定义域和值域之间存在一定的关系。
函数的定义域决定了函数的输入范围，而函数的值域决定了函数的输出结果。
在某些情况下，函数的定义域和值域可能具有一定的约束条件。
例如，对于函数f(x) = 1/x，定义域为除了x = 0之外的所有实数集。
然而，由于分母不能为零，值域为除了y = 0之外的所有实数集。
四、定义域和值域的确定方法确定函数的定义域和值域的方法主要依赖于函数的类型和特点。
以下是一些常见的方法：1. 对于基本函数，如多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等，定义域和值域可能由函数的特性直接决定。
2. 对于复合函数，函数的定义域和值域可以通过确定组成函数的子函数的定义域和值域，并进行合适的组合得出。
3. 对于有条件约束的函数，如分段函数和绝对值函数等，定义域和值域需要根据函数的条件进行确定。
五、应用举例以下是一些常见函数及其定义域和值域的示例：1. 函数f(x) = x^2，定义域为所有实数集，值域为y ≥ 0。
2. 函数f(x) = √(x - 1)，定义域为x ≥ 1，值域为y ≥ 0。
3. 函数f(x) = 1/x，定义域为除了x = 0之外的所有实数集，值域为除了y = 0之外的所有实数集。
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数的定义域与值域是数学中一个非常重要的概念。
它们可以帮助我们更好地理解和描述函数的特征和性质。
在这篇文章中，我们将深入探讨定义域和值域，并讨论它们在实际问题中的应用。
首先，我们需要明确什么是函数的定义域和值域。
简单来说，函数的定义域是指函数能够接受输入的所有可能值的集合，而函数的值域是指函数能够产生的所有可能输出的集合。
举个例子来说，考虑一个简单的函数：f(x) = x^2。
这个函数的定义域包括所有实数，因为我们可以用任何实数作为输入来计算函数的值。
然而，这个函数的值域仅限于非负实数，因为平方运算始终产生一个非负的结果。
在数学中，我们经常使用符号来描述函数的定义域和值域。
函数的定义域通常表示为D(f)，而函数的值域通常表示为R(f)。
函数的定义域可以通过多种方式确定。
首先，我们可以根据函数的表达式来确定定义域的范围。
例如，对于一个分式函数f(x) = 1/x，我们知道分母不能为零，因此定义域不包括0。
此外，对于某些函数，定义域可能受到其他限制，例如平方根函数f(x) = √x，定义域限制为x≥0，因为负数的平方根是无解的。
除了函数的表达式，定义域还可能受到问题的实际背景约束。
例如，考虑一个表示某个物体运动距离的函数f(t)，其中t表示时间。
在这种情况下，定义域可能受到时间的限制，例如t≥0，因为时间不能为负。
对于值域的确定，我们可以通过求解函数的表达式、观察图像或进行其他数学推导来确定。
有时，值域可能很容易确定，例如三角函数sin(x)的值域是[-1, 1]，因为正弦函数的值在此范围内变化。
然而，对于某些函数，值域可能更加复杂。
考虑另一个简单的函数f(x) = x^3。
从表达式来看，我们可以看出这个函数的值域是所有实数，因为平方运算可以得到任意实数结果。
但是，通过观察其图像，我们可以发现这个函数的值域实际上是所有实数，而不仅仅是平方运算所能得到的结果。
在实际问题中，定义域和值域的概念经常被用于描述各种情况。
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数是数学中常见的概念，它在实际问题中起到了非常重要的作用。
而函数的定义域与值域是函数的两个重要属性，它们决定了函数的输入与输出的范围。
本文将详细讨论函数的定义域与值域的概念、计算方法以及应用。
一、函数的定义域函数的定义域指的是函数中所有可能的输入值所构成的集合。
通俗地说，定义域就是函数的自变量（输入）的取值范围。
对于一元函数，我们可以通过分析函数的解析式来确定其定义域。
例如，对于函数f(x) = √(x + 1)，我们可以发现根号下的被开方数必须大于等于0，所以函数的定义域为x ≥ -1。
对于多元函数，定义域的确定更为复杂，需要考虑各个自变量之间的约束关系。
以二元函数f(x, y) = √(x + y)为例，需要满足x + y ≥ 0，因此定义域为x + y ≥ 0的平面区域。
二、函数的值域函数的值域指的是函数中所有可能的输出值所构成的集合。
通俗地说，值域就是函数的因变量（输出）的取值范围。
对于简单的函数来说，我们可以通过分析函数的图像来确定其值域。
例如，对于函数f(x) = x²，我们可以发现函数的图像是一个开口向上的抛物线，因此它的值域为y ≥ 0的区间。
对于复杂的函数，我们通常需要借助数学工具来计算其值域。
例如，对于函数f(x) = 1 / x，在无穷大、无穷小附近的值都可以取得，因此其值域为除了0以外的所有实数。
三、定义域与值域的应用函数的定义域与值域在实际问题中具有广泛的应用，下面以几个具体例子说明其用途。
1. 对于自然科学中的物理问题，函数的定义域和值域可以帮助我们确定问题的合理范围和可能结果。
例如，对于自由落体运动的位移函数，定义域可以告诉我们物体下落的时间范围，值域可以告诉我们物体的落地位置范围。
2. 在经济学中，函数的定义域和值域可以帮助我们理解和分析经济问题。
例如，对于需求曲线和供给曲线，定义域可以表示价格的取值范围，值域可以表示商品的数量范围。
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数是数学中一种重要的概念，它在解决实际问题和研究数学理论中发挥着重要的作用。
在函数的研究中，定义域与值域是两个十分关键的概念。
本文将对函数的定义域与值域进行详细的阐述和讨论。
1. 定义域的概念与表示方法在函数的定义中，定义域是指能够使函数有意义的输入值的集合。
也就是说，定义域是使函数能够被定义和使用的所有可能的输入值的范围。
在数学中，定义域可以是实数集、整数集、有理数集或其他特定的数集，根据具体问题的要求而定。
对于一元函数$f(x)$来说，定义域通常用数学符号来表示。
比如，当定义域为实数集时可以表示为$D_f=\mathbb{R}$，当定义域为正整数集时可以表示为$D_f=\mathbb{Z^+}$。
通过表示定义域，我们可以清楚地知道函数可以接受哪些输入值，以便正确地使用函数。
2. 定义域的确定方法确定函数的定义域需要从函数的定义以及问题的背景出发，结合实际情况进行分析。
一般来说，当函数存在根式、分数、对数、指数等运算时，需要注意分母不为零，对数的真数要大于零等限制条件。
考虑以下例子：设有函数$f(x)=\sqrt{x}$。
根据根式运算的性质，我们知道根号下的被开方数必须大于等于零，否则函数无定义。
所以，该函数的定义域为$D_f=\{x|x\geq0\}$。
通过类似的分析，我们可以确定其他函数的定义域。
3. 值域的概念与表示方法在函数的研究中，值域是指函数在定义域内所有可能的输出值所构成的集合。
也就是说，值域表示了函数在定义域范围内所能取得的所有可能的输出值。
对于一元函数$f(x)$来说，值域通常用数学符号来表示。
值域的表示方法与定义域类似，可以用数学符号表示。
例如，当值域为实数集时可以表示为$R_f=\mathbb{R}$，当值域为非负整数集时可以表示为$R_f=\{x|x\in\mathbb{Z},x\geq0\}$。
通过表示值域，我们可以清楚地知道函数可以取到哪些输出值，以便正确地使用函数。
定义域和值域的区别
定义域和值域的区别定义域定义域和值域是函数概念中的两个重要元素。
和值域是数学函数中两个重要的概念。
定义域指的是自变量的取值范围，即输入值的集合。
定义域指的是函数中自变量的取值范围，即函数能够接受的所有可能输入的集合。
换句话说，它是使函数有意义的自变量x 的取值范围。
在函数记号y = f(x)中，x的取值范围就是函数的定义域。
定义域可以是有限的，也可以是无限的。
例如，对于函数f(x) = 1/x，其定义域是所有非零实数，因为当x=0时，函数例如，如果函数f(x) = 1/x，那么其定义域就是所有非零实数，因为x不能为0，否则没有意义。
函数值将不存在。
值域是指因变量的取值范围，即输出值的集合。
值域则是因变量的取值范围，即函数所有可能输出的集合。
在函数记号y = f(x)中，y的取值范围就是函数的值域。
它是根据自变量在定义域内的取值，通过函数对应法则计算得到的因变量y的取值范围。
与定义域一样，值域也可以是有限的或无限的。
它表示在对应法则f的作用下，自变量x经过计算后所得到的所有可能的结果的集合。
继续以函数f(x) = 1/x为例，其值域是所有非零实数，因为无论x取何非零值，1/x都将得到一个非零的结果。
例如，对于函数f(x) = x^2，其值域是所有非负实数，因为平方运算的结果总是非负的。
简而言之，定义域是输入值的范围，而值域是输出值的范围。
这两个概念在理解和研究函数性质时起着至关重要的作用。
需要注意的是，函数的定义域和值域并不是随意选择的，而是根据函数的性质和对应法则来确定的。
在研究函数时，了解函数的定义域和值域是非常重要的，因为它们决定了函数能够处理哪些输入和产生哪些输出。
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第5课 函数的定义域与值域
一、学习目标
1、了解函数定义域与值域的定义；
2、会用常用的方法求一些简单函数的定义域和值域。
二、激活思维
1、函数0
y
=的定义域 ____________.
2、函数21()lg ()1f x x R x
=∈+的值域为 _. 3．函数34-=x y ))3,1[(-∈x 的定义域为 ，值域为 ．
4、若函数(1)f x +的定义域为[]0,1，则函数(31)f x -的定义域为 _.
5、已知2(2)443()f x x x x R +=++∈，则函数()f x 的值域为 .
三、典型例题
例1求下列函数的定义域:
(1) 1
2y x =-y = （3）已知()f x 的定义域为[]0,1，求函数24()()3
y f x f x =++的定义域.
例2、 求下列函数的值域：
(1) 2
42y x x =-+- [)0,3x ∈ (2) y x =+221223
x x y x x -+=-+
例3、 若函数y =R ，求函数a 的取值范围.
四、课堂评价
１．已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)
0(2)0(12x x x x y ，使函数值为10的x 的值是（ ）
Ａ．３或－３ Ｂ．３或－５ Ｃ．－３ Ｄ．３或－３或－５
2、函数x
x x y -+=||)1(0
的定义域为 3、函数()4,3(422-∈++=x x x y 的值域为
4、函数y =的值域为 ____________.
5、若函数)1(-x f 的定义域为]4,1[-，求函数)2(+x f 的定义域．
五、课后作业
1、函数(32)(21)
log x x y --=的定义域为 ________________.
2、y =的定义域 ，lgsin y x =的定义域 .
3、2sin 3sin 4y x x =-+的值域 .
23y x =-的值域 .
221
x x y x x -=-+的值域 .
4、记函数()f x =A ，[]()lg (1)(2)(1)g x x a a x a =---<的定义域为B （1）求A （2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围。
5、已知函数()⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+=2lg x a x x f ，其中0>a （1）求函数()x f 的定义域；
（2）若对任意[),2+∞∈x ，恒有()0>x f ，求a 的取值范围。