【最新】新课标高中数学选修2-3学案

新课标数学选修2－31．1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理，并能解决一些简单的实际问题．2．过程与方法通过对典型、熟悉的实例进行分析，继而探究计数方法；亲自参与体验两个原理的应用．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．●重点、难点重点：两个计数原理的内容及区别．难点：两个计数原理的应用．教学时采取先通过典型的、学生熟悉的实例(如座位编号问题)，经过抽象概括而得出两个计数原理，然后按照从单一到综合的方式安排例题，引导学生逐步体会两个计数原理的思想及区别应用，从而突出重点化解难点．(教师用书独具)●教学建议两个计数原理不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿本章内容的始终．教学时，应注意结合实例阐述两个计数原理的基本内容，分析原理的条件和结论，特别要注意使用对比的方法，引导学生认识它们的异同．为了帮助学生理解，教学时应当注意使用“树形图”，而且应当要求学生学会使用“树形图”分析问题．●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答所提问题，理解两个计数原理的内容．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握分类加法计数原理的应用．⇒通过例2及互动探究，使学生掌握分步乘数计数原理的应用．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握涂色问题的解决方法．⇒通过例4及变式训练，使学生掌握两种计数原理的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．【问题导思】2012年7月，第30届夏季奥林匹克运动会在伦敦召开，这是国际体坛的一大盛事．一名志愿者从曼彻斯特赶赴伦敦为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车．(1)该志愿者从曼彻斯特到伦敦的方案可分几类？(2)这几类方案中各有几种方法？(3)该志愿者从曼彻斯特到伦敦共有多少种不同的方法？【提示】(1)两类，即乘飞机、坐火车．(2)第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类(坐火车)有6种方法．(3)共有7＋6＝13种方法．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m ＋n种不同的方法．【问题导思】2012年7月，第30届夏季奥林匹克运动会在伦敦召开，这是国际体坛的一大盛事．一名志愿者从曼彻斯特赶赴伦敦为游客提供导游服务，但需在伯明翰停留，已知从曼彻斯特到伯明翰每天有7个航班，从伯明翰到伦敦每天有6列火车．(1)该志愿者从曼彻斯特到伦敦需要经历几个步骤？(2)完成每一步各有几种方法？(3)该志愿者从曼彻斯特到伦敦共有多少种不同的方法？【提示】(1)两个，即先乘飞机到伯明翰，再坐火车到伦敦．(2)第1步有7种方法，第2步有6种方法．(3)共有7×6＝42种方法．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人、5人、6人、7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？【思路探究】本题完成的一件事是“选出一人为组长”，所以只要从四个班中选出一人就算完成任务，故应用分类加法计数原理求解．【自主解答】分四类：从一班中选一人，有4种选法．从二班中选一人，有5种选法．从三班中选一人，有6种选法．从四班中选一人，有7种选法．共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．1．看准是分类还是分步是解答本题的关键．2．每个题中，标准不同，分类也不同．分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法，各类之间的交集为空集，各类的并集为全集，分类应该做到不重不漏．一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种．【解析】任选一名同学参加学科竞赛，有两类办法：第一类：从男同学中选取一名参加学科竞赛，有3种不同的选法；第二类：从女同学中选取一名参加学科竞赛，有5种不同的选法．由分类加法计数原理，不同的选派方法共有3＋5＝8(种)．【答案】8一种号码锁有4(各位上的数字允许重复)?【思路探究】根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理．【自主解答】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码．1．本题拨号问题，适合“分步”的特点．因为只在其中一个拨号盘上拨出1个号，这项“任务”没有完成．2．利用分步乘法计数原理解题的一般思路：(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．本题中，若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？【解】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，即m1＝10；第二步，去掉第一步拨的数字，有9种拨号方式，即m2＝9；第三步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m3＝8；第四步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m4＝7.根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×9×8×7＝5 040个四位数的号码.图1－1－1如图1－1－1所示，要给“非”、“常”、“学”、“案”四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？【思路探究】可以从“非”或“案”区域开始涂色，分四步完成，使用乘法原理．【自主解答】非、常、学、案四个区域依次涂色，分四步．第1步，涂“非”区域，有3种选择．第2步，涂“常”区域，有2种选择．第3步，涂“学”区域，由于它与“非”、“常”区域颜色不同，有1种选择．第4步，涂“案”区域，由于它与“常”“学”区域颜色不同，有1种选择．所以根据分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(种)．1．本题完成涂色需分4步，故使用分步乘法计数原理．2．涂色问题的一般思路：①为便于分析问题，先给区域标上相应序号；②按涂色的顺序分步或按颜色恰当选取情况分类；③利用两个原理计数．图1－1－2用6种不同颜色为如图1－1－2所示的广告牌着色，要求有公共边界的区域不能用同一种颜色，问一共有多少种不同的方法着色？【解】由分步乘法计数原理知第1步，涂①区有6种方法；第2步，涂②区有5种方法；第3步，涂③区有4种方法；第4步，涂④区有4种方法．由分步乘法计数原理知，共有N＝6×5×4×4＝480(种)方法．在7名学生中，有7人中选2人同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？【思路探究】解答本题重点关注“多面手”，按照这两位特殊元素进行恰当分类，利用分类加法计数原理解决．【自主解答】选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法；2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法．∴共有6＋6＋4＋2＝18种选法．所以共有18种不同的选法．1．本题也可以按参加象棋比赛的学生分成两类：一是只会象棋的，有3×4＝12种，二是多面手的，有2×3＝6种，故共有12＋6＝18种．2．分类讨论解决问题，必须思维清晰，保证分类标准的惟一性，这样才能保证分类不重复，不遗漏，运用两个原理解答时是先分类后分步还是先分步后分类，应视具体问题而定．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？【解】依题意得既会英语又会日语的有7＋3－9＝1人，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选一人有6种方法，此时会日语的有2＋1＝3种．由分步乘法计数原理可得N1＝6×3＝18种．第二类：不从只会英语的6人中选，只有1种方法，此时会日语的有2种．由分步乘法计数原理可得N2＝1×2＝2种综上可知，共有18＋2＝20种不同的选法．混淆分步、分类致误从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y＝ax2＋bx＋c的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？【错解】∵抛物线过原点∴c＝0，从而知c只有1种取值．又抛物线y＝ax2＋bx＋c顶点在第一象限．∴⎩⎨⎧－b 2a＞04ac －b 24a ＞0由c ＝0解得a ＜0，b ＞0.∴a ∈{－3，－2，－1}，b ∈{1,2,3}．这样要求的抛物线的条数可由a ，b ，c 的取值确定．确定a 的值，有3种方法，确定b 的值，有3种方法，确定c 的值，有1种方法． 由分类加法计数原理知，表示的不同的抛物线有N ＝3＋3＋1＝7条．【错因分析】 在解答过程中N ＝3＋3＋1＝7出错，误用加法计数原理．本应使用分步乘法计数原理N ＝3×3×1＝9.【防范措施】 利用两个计数原理解决具体问题时，应首先弄清是“分类”还是“分步”，其次要做到分类时不重不漏，分步时步骤完整．【正解】 因为抛物线经过原点，所以c ＝0，从而知c 只有1种取值．又抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 顶点在第一象限，所以顶点坐标满足⎩⎨⎧－b2a ＞0，4ac －b24a ＞0，由c ＝0，解得a ＜0，b ＞0，所以a ∈{－3，－2，－1}，b ∈{1,2,3}，这样要求的抛物线的条数可由a ，b ，c 的取值来确定： 第一步：确定a 的值，有3种方法； 第二步：确定b 的值，有3种方法； 第三步：确定c 的值，有1种方法．由分步乘法计数原理知，表示的不同的抛物线有N ＝3×3×1＝9条．1．使用两个原理解题的本质分类―→将问题分成互相排 斥的几类，逐类解决―→加法计 数原理分步―→把问题分化为几个 互相关联的步骤， 逐步解决―→乘法计 数原理2．利用两个计数原理解决实际问题的常用方法 列举法――→种数较少将各种情况一一列举 间接法――→正面复杂用总数减去不满 足条件的种数1．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有()A．3种B．6种C．7种D．9种【解析】分3类：买1本书、买2本书、买3本书，各类的方法依次为3种、3种、1种，故共有购买方法3＋3＋1＝7种．【答案】 C2．从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B 地不同的走法有()A．3＋2＋4＝9种B．1种C．3×2×4＝24种D．1＋1＋1＝3种【解析】由分步乘法计数原理知不同的走法有3×2×4＝24种．【答案】 C3．已知集合A＝{0,3,4}，B＝{1,2,7,8}，则集合C＝{x|x∈A或x∈B}，则单元素集C的可能情况有________种．【解析】单元素集C可能为{0}，{3}，{4}，{1}，{2}，{7}，{8}共7种．【答案】74．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．(1)从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？(2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？【解】(1)根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＝9种不同的取法．(2)根据分步乘法计数原理，共有N＝5×4＝20种不同的取法.一、选择题1．某小组有8名男生，4名女生，要从中选出一名当组长，不同的选法有()A．32种B．9种C．12种D．20种【解析】由分类加法计数原理知，不同的选法有N＝8＋4＝12种．【答案】 C2．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有()A．53种B．35种C．8种D．15种【解析】每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×3＝35种投法．【答案】 B3．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有()A．4种B．5种C．6种D．12种【解析】若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．【答案】 C4．(2013·滨州高二检测)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A．6种B．12种C．24种D．30种【解析】分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种)．【答案】 C5．(2013·山东高考)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252C．261 D．279【解析】0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．【答案】 B二、填空题6．为了准备晚饭，小张找出了3种冷冻蔬菜、5种罐装蔬菜和4种不同的新鲜蔬菜．如果晚饭时小张只吃1种蔬菜，那么不同的选择种数为________．【解析】由分类加法计数原理，N＝3＋5＋4＝12.【答案】127．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A、B的值，则可表示________条不同的直线．【解析】若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时有5×4＝20条，故共有20＋2＝22条不同的直线．【答案】228．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有________种．(用数字作答)【解析】分为两类完成，两名老队员、一名新队员时，有3种选法；两名新队员、一名老队员时，有2×3＝6种选法，即共有9种不同选法．【答案】9三、解答题9．某高中毕业生填报志愿时，了解到甲、乙两所大学有自己感兴趣的专业，具体情况如下：【解】由图表可知，分两类，第一类：甲所大学有5个专业，共有5种专业选择方法；第二类：乙所大学有3个专业，共有3种专业选择方法．由分类加法计数原理知，这名同学可能的专业选择有N＝5＋3＝8(种)．10．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？【解】(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第1步先确定a的值，共有6种方法；第2步确定b的值，也有6种方法．根据分步乘法计数原理得到平面上点的个数为6×6＝36.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第1步确定a，由于a<0，所以有3种确定方法；第2步确定b，由于b>0，所以有2种确定方法．由分步乘法计数原理得到第二象限的点的个数为3×2＝6.11．若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？【解】分两类完成．第1类，当A或B中有一个为0时，表示的直线为x＝0或y＝0，共2条．第2类，当A，B不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成．第1步，确定A的值，有4种不同的方法；第2步，确定B的值，有3种不同的方法．由分步乘法计数原理知，共可确定4×3＝12条直线．由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14条.(教师用书独具)有0,1,2,3,4五个数字，问：(1)可以组成多少个无重复数字的四位密码？(2)可以组成多少个无重复数字的四位数？【思路探究】(1)可以分步选取数字做四位密码的四个位置上的数字，且所取数字不能重复；(2)可以分步选取数字，分别做千位数字、百位数字、十位数字和个位数字，且所取数字不能重复，千位数字不能取0.【自主解答】(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤：第一步：选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2＝120个．(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤：第一步：从1,2,3,4中选取一个数字做千位数字，有4种不同的选取方法；第二步：从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；第三步：从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种不同的选取方法；第四步：从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96个．用数字2,3组成四位数，且数2,3，至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)．【解析】用2,3组成四位数共有2×2×2×2＝16(个)，其中不出现2或不出现3的共2个．因此满足条件的四位数共有16－2＝14(个)．【答案】141.2排列与组合1．2.1排列第1课时排列与排列数公式(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)理解排列的概念．(2)能正确写出一些简单排列问题的所有排列．2．过程与方法通过具体实例的分析，亲身经历排列概念的形成过程，在用列举法、树形图法列出数列的过程中体会排列数与计数原理的关系．3．情感、态度与价值观体会在列举时如何做到不重不漏，培养全面、有序地思考问题的习惯．●重点、难点重点：排列与排列数公式的简单应用．难点：排列数公式的推导．教学时先将问题1、2的答案列出，引导学生观察答案，对排列数公式产生一定的感性认识，教学时可引导学生对排列数公式进行猜想，再根据分步乘法计数原理推出排列数公式，从而化解难点．(教师用书独具)●教学建议●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，掌握排列的概念及排列数公式．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握排列的有关概念，理解排列问题．⇒通过例2及互动探究，使学生掌握排列数的计算与证明．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握简单的排列应用题的解法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．【问题导思】为提高员工身体素质，某公司举行职工运动会，其中编务部(A)、营销部(B)、行政部(C)参加篮球比赛，试按名次顺序列举所有可能的结果．【提示】ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.排列的概念个元素的一个排列．一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m根据分步乘法计数原理，你能求出上面问题中按名次顺序一共有多少种排列吗？【提示】3×2×1＝6种．排列数与排列数公式判断下列问题是否为排列问题．(1)选2个小组分别去植树和种菜；(2)选2个小组种菜；(3)选10人组成一个学习小组；(4)从1,2,3,4,5中任取两个数相除；(5)10个车站，站与站间的车票．【思路探究】解决本题的关键是要明确排列的定义，看选出的元素在安排时是否与顺序有关，若有关，则是排列问题，否则就不是．【自主解答】(1)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题．(2)(3)不存在顺序问题，不是排列问题．(4)两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题．(5)车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素”，二是“与顺序有关”．2．排列的特点是“与顺序有关”．因此，判断一个问题是否为排列问题，只需考察与顺序是否有关，有关则是排列问题，无关则不是排列问题．判断下列问题是否是排列问题：(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？【解】(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不需要考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序，所以是排列问题．∴(1)、(3)排列问题，(2)不是排列问题.(1)计算A59＋A49A610－A510；(2)证明：A m n＋1－A m n＝m A m－1n.【思路探究】 第(1)题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式； 第(2)题首先分析各项的关系，利用A m n ＝n ！(n －m )！进行变形推导．【自主解答】 (1)法一：A 59＋A 49A 610－A 510＝5A 49＋A 4950A 49－10A 49＝5＋150－10＝320. 法二：A 59＋A 49A 610－A 510＝9！4！＋9！5！10！4！－10！5！＝5×9！＋9！5×10！－10！＝6×9！4×10！＝320.(2)∵A m n ＋1－A mn ＝(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！＝n ！(n －m )！·(n ＋1n ＋1－m －1)＝n ！(n －m )！·m(n ＋1－m )＝m ·n ！(n ＋1－m )！＝m A m －1n ，∴A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n.1．本题中，第(1)题方法一巧妙应用了A m n 与A m n ＋1及A m －1n间的关系求解，方法二利用了排列数公式的阶乘式．当然也可以利用公式的乘积式分别求解．2．排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．将本例(1)改为2A 58＋7A 48A 88－A 59如何求值？【解】 2A 58＋7A 48A 88－A 59＝ 2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×(8＋7)8×7×6×5×(24－9)＝1.某信号兵用红、黄、蓝2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？【思路探究】 如果把3面旗看作3个元素，那么“表示信号”这件事则是从3个元素中每次取出1个、2个或3个元素的排列问题．【自主解答】第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同的方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15种．1．本题易出现只考虑3面旗表示信号的错误．2．对简单的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这类问题相对简单，分清元素和位置即可．沿途有四个车站，求这四个车站之间需要准备不同车票的种数．【解】要确定一种车票，即是从四个车站中任意选出2个车站，按起点站在前、终点站在后进行排列，共有A24种不同的排法，即共有A24种不同的车票，由排列数公式可得A24＝4×3＝12.树形图法在解决简单排列问题中的应用(12分)从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数．(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数．(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．【思路点拨】(1)按照“百”“十”“个”位的顺序分步解决．(2)注意所给条件的约束，利用树形图法求解．【规范解答】(1)组成三位数分三个步骤：第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法．由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18个不同的三位数.4分画出下列树形图：由树形图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.8分(2)直接画出树形图：。