乃岳谈高考数学

乃岳谈高考数学
(这是我曾经写给一篇报纸的关于高中生如何复习的文章)
首先预祝大家明年高考成功，现在离高考还有将近8个月的时间，希望大家做好自我管理。

高考成绩最好的人，不一定是最聪明的人，但一定是最善于管理自己的人。

“乃岳谈数学”这一版以后将伴随大家度过高考这一紧张，有趣，辛苦但又是人生最值得回忆的这一段历程，主要给大家介绍学习数学，复习数学以及解答数学问题的方法与途径，还将使用例题解析的方式让大家对所学的知识有一个具体的认知。

这一期先给大家谈一谈数学学习的方法，学习数学以及任何一门课程都请大家注意，这是一个学习的过程，而不是让学生自己发明创造的过程，我们现在所学习的东西都是前人归纳、总结、甚至是发明出来的，别人都能创造出来的东西，我们没有理由连学都学不好。

所以，同学们要有信心，我们一定能学会，学好数学。

再者，就是如何学习数学，几乎任何一门科学都有一个摸索和总结的过程，在摸索的过程中，人们只是一点一点地积累经验与创造条件和工具，这时人们所得出的结论也只是局部的，一块一块的，人们也容易只见树木，不见森林，这个过程要摸索过程要持续一段时间，要有一个由量变到质变的过程，等到一定的时候，就会有一个大师级的人物来总结前人积累的东西，创造出定理来，有时还可能创造出一个学科。

例如，牛顿就是总结伽利略，胡克，开普勒等前人的工作才总结出牛顿三大运动定律以及万有引力定律的；伟大的几何学家欧几里德，也是总结了前人的知识才写出了《几何原本》这一旷世巨典；美国第一个诺贝尔经济学奖获得者萨缪尔森教授，也是总结了亚当·斯密，阿尔弗雷德·马歇尔，以及凯恩斯等先辈经济学家的理念才提出了对经济学界影响深远的“新古典综合派“的概念；数学大师陈省身先生也是在高斯，黎曼，以及他的老师E·嘉当研究的基础上才创立了现代微分几何，并为大范围微分几何提供了不可缺少的工具；类似的例子还可以举出很多，我们就将这最后总结前人经验、知识最终形成定理，学科的人称为“集大成者”。

我们现在所学的数学，已经经过不知多少位“集大成者“的总结与概括，才成为了现在的模样。

因此，我们在学习时，就不能一味地按照数学学科历史的发展轨迹来学习，这是因为很多的数学都是首先有一些应用，后人看到这些应用的不足与缺陷之后再来补充其逻辑基础的，比如微积分这一数学分支，在应用了很长时间以后，后人才补充作出了它的一些基础
性的工作，比如极限理论和”“εδ
-语言”的基础。

那么，在我们学习微积分的时候就
不能按照微积分历史的真实发展过程来学习，我们只能先学习极限理论、εδ
-语言以致
导数等等知识，再学习不定积分，定积分等知识，这种学习的过程尽管不是历史真实的过程，但是这时数学学科发展的一个“逻辑过程”，任何历史事件都是“历史的过程”与“逻辑的过程”相统一，“历史的过程”非常困难，有时甚至非常艰辛，而“逻辑的过程”相对容易一些，也便于理解。

因此，在教学与学习的过程之中，要注意按照“逻辑的过程”来进行。

我们再来谈谈数学的用处，很多同学，特别是文科班的学生，认为数学对自己今后学习与工作的关系不大，所以对学习数学的热情不高。

总是应付考试，或者对数学浅尝辄止，其实这是不利于个人智趣发展的。

到了大学大家就会知道，很多以前看上去是文科的东西现在对数学的应用非常深入，比如经济学，管理学及其相关学科（大学中对于经济类学科的分类包括两个一级学科分别是理论经济学一级学科和应用经济学一级学科，而理论经济学一级学科包含6个二级学科，分别是政治经济学、经济思想史、经济史、西方经济学、世界经济、人口、资源与环境经济学；应用经济学一级学科包含10个二级学科，分别是国民经济学、区域经济学、财政学（含∶税收学）、金融学（含∶保险学）、产业经济学、国际贸易学、劳动经济学、统计学、数量经济学、国防经济。

而管理学包含5个一级学科，分别是管理科学与工程一级学科、工商管理一级学科、农林经济管理一级学科、公共管理一级学科以及图书馆、情报与档案管理一级学科，这5个一级学科共包含14个二级学科，分别是会计学、企业管理（含：财务管理、市场营销、人力资源管理）、旅游管理、技术经济及管理、农业经济管理、林业经济管理、行政管理、社会医学与卫生事业管理、教育经济与管理、社会保障、土地资源管理、图书馆学、情报学、档案学。

我不厌其烦地将这些二级学科一一列举出来的意思事项告诉同学们，几乎可以报考的所有所谓热门的财经管理类学科都包含在内了）都要用到很深的数学知识。

曾经有一个笑话，说是美国有一次召集了一批著名经济学家与物理学家进行对话，结果双方都对对方的数学水平表示惊讶。

物理学家未曾料到经济学家竟知晓这么多高深的数学知识；而经济学家则惊诧于物理学家的数学学识竟是如此“贫乏”。

尽管这个笑话可能是杜撰出来的，但是我确实对这个笑话所说的东西深有体会，现代经济学所用的数学确实大有超过物理学所用数学之势，不仅仅是经济管理类学科，还有很多学科都在应用数学作为研究手段，比如社会学及其分支学科，现代统计学的方法已经深入到社会学之中，没有统计学，社会学几乎就无法得到对某一观点有力的论据；再比如历史学，前几年刚刚完成的夏商周断代工程这一中华民族的洪篇大作，要应用到
古天文学等知识来进行演算，算出某一历史事件真正的时间来，这也需要大量的数学知识；被认为是纯粹文科的中文或者说文学也开始使用了一些数学的手段进行研究，比如有人把曹雪芹的《红楼梦》进行了一些用词方面的统计研究，证明了前80回的作者和后40回的作者确实不是同一个人。

再者，针对自然语言的计算机查询、翻译与理解，又诞生了一门学科叫做“计算语言学”，这门学科大量使用了数学模型作为研究的手段。

总之，现在如果想真正搞懂一个学科，乃至在这个学科中做出贡献，哪怕只是想学好这个学科的课程，得一个好的成绩，不懂数学几乎是无法办到的，我曾经有一个同学，他是当年贵州省的文科状元，他考入的是金融学系，上了大学之后居然在4年的本科学习中有5门功课不及格，其中就有2门是数学的。

究其原因，还是他对于大学作为大学数学基础课的高中数学没有学好。

另外，大学数学系的学生在完成了本科4年的数学教育之后，可以顺利地转行进入别的学科而没有太大的困难，法国大数学家、哲学家笛卡尔曾经试过：“一切问题化为数学问题,一切数学问题化为代数问题,一切代数问题化为代数方程求解问题。

”尽管这样做有些不切实际，但数学的这种包容能力确实不可忽视。

数学提供了一种普适的分析方法和分析框架，另外的学科提供的是分析的素材，简单地说，就是数学提供的是一个“骨骼”，别的学科如经济学，物理学，文学，计算机科学提供的是“肉”，把这些“肉”挂在数学这个“骨骼”之上就形成了一个完整的人，这些其它学科提供的“肉”是一些知识和数据，先是加以记忆即可，更深刻的道理可以以后慢慢领会。

从古至今，就有很多学数学的人成功地转到了其它学学科并做出了成绩，比如大经济学家，宏观经济学的创始人凯恩斯，也是一名数学家，他１９０５年毕业于英国剑桥大学，并获得数学学士学位。

；1994年诺贝尔经济学奖获得者，博弈论大师约翰·纳什也是一位数学家；对于现代来讲，华人著名经济学家杨小凯教授，北京大学金融数学与金融工程研究中心主任，数理金融界鼎鼎大名的史树中教授，清华大学经济管理学院院长钱颖一教授都是出身于数学界。

其它自然科学学科和计算机学科中，来自于数学家队伍的人更是数不胜数。

很多老师和家长在教育学生和子女时，总是一个劲地说什么”数学重要”,什么“学好数理化，走遍全天下”等口号式的说法，这对于学生和子女来讲是迷惘的，不知道数学究竟重要在那里，重要到何种程度，我上面讲的这些算是抛砖引玉，观点仅供大家参考。

下面我针对数学的学习方法给同学们几点建议。

大家所学的一切知识，实际上无非是一些概念以及概念之间的关系，数学这门学科充斥着各种各样的概念、定义，以及由这些概念所组成的关系，也就是命题、公理、定理等等。

记忆并且学会应用这些概念和定理就是我们学习数学的目的，考察一个人是否真正掌握了这些概念、定理的方法之一就是数学习题的演
算，用是否能做出数学问题来检验一个人的数学程度，这当然有些以偏概全，但是这也是目前为止最好的考察方法。

现在国内的数学教育有一个通病，就是教师在研究解题方法方面花的力气较大，对研究教学方法方面花的力气相对较少，实际上教育并不等于自己会做题，自己会做题未必能给别人讲解，让别人明白，针对这一点，我对于如何掌握数学中的概念、定理以及如何解题，谈谈自己多年来总结的方法。

先说数学学习的方法，大家现在离高考算来时间还算充裕，可以按照我所说的方法再将数学从头到尾复习一遍。

对数学中概念、定理的掌握分成4个阶段，第一阶段是对这些概念和定理的熟练记忆阶段，大家注意，是熟练记忆阶段，在此阶段，对大家的要求是对这些概念和定理的每个细节的记忆，定理的细节常常是同学们所不太注意的地方，也是考试经常考察的地方，比如一个关于直角三角形的定理：“在直角三角形中，如果有一个锐角是
30，那么这个锐角所对的直角边是斜边的一半。

”这个简单的定理就有很多处细节的地方需要记忆，诸如“在直角三角形中”“，说明此定理仅对直角三角形有效，再有”“一个锐角是30”中的“30”也是一个细节，“直角边是斜边的一半”，这个“一半”也是细节，这几个细节一个也不能错，否则的话，那怕记错一个地方，也会引起整个题目的错误。

再比如三角形
的著名的余弦定理：“在ABC中，A
∠所对的边是a，B
∠所对的边是b，C
∠
所对的边是
c，那么这个三角形的边和角满足式子
2222cos
a b c bc A
=+-”这个定理中的细节地方就比较多了，像三条边的平方运算，三条边在式子中出现的顺序，余弦中应该用哪个三个角中的哪个角等等。

根据我们的教学和调查，同学们普遍感到这些细节问题很难记，稍不注意就记错了，以至于做错题，得到不好的成绩，于是老师或家长就怪自己不努力，连定理都记不住。

有的教师甚至还对学生说：“定理记不住我没法帮你，只能靠你自己努力”这样的话。

我在给一些准备硕士生入学考试的人讲课时也发现，他们尽管有的人多年不接触数学，但是提到数学的一些定理和定义时，他们也能回忆起来，但就是记的不准确，不是将开区间记错成闭区间就是将余弦记错成正弦，类似的例子还有很多。

那么我们不禁要问，定理真的没有好的方法记忆吗？不是的，定理和定义是有办法记住的，当然我们这里所说的不是一点儿也不需要死记硬背，而是尽量将定理分解，条理化使死记的东西尽量少。

大家一定有过这样的经历，如果让大家背诵一篇文章，而你并不知道这篇文章的意思，那你就很难将其背诵下来，比如中国古代的蒙学，如《三字经》、《百家姓》、《千字文》等东西，有的先生并不讲解，只是让学生们背诵，
学生们在不知道意思的情况下只能死记硬背，没有什么兴趣，效率也比较低下。

相反地，如果你知道了文章的意思，你就可以理解地记忆，实际上是你将要背诵的一大篇文章按照意思的不同分成比原文小很多的意群，再分别记忆，这样就比一下子记一大篇文字要简单的多，快得多，也清晰的多，这种方法就叫做“分治法”，我们“乃岳谈数学”板块以后还要反复讲到“分治法”，它是一种非常有用而常用的方法。

那么我们记忆数学概念和定理时，也要用到分治法。

大部分数学定理都是以三段论的形式出现的，三段论是一个逻辑学术语，那就是大前提、小前提和结论，比如“所有的人都会死。

苏格拉底是人。

所以苏格拉底一定会死。

”这就是一个三段论，这个三段论的大前提是“所有的人都会死“，小前提是”“苏格拉底是人”，结论是“苏格拉底一定会死”。

大家对三段论有一个感性认识即可，我们这里由于篇幅的原因就不详细地讨论了，对三段论或逻辑学感兴趣的同学可以去看逻辑学的书以及相关的资料。

我们用刚才的定理举例子，在定理“在直角三角形中，如果有一个锐角是
30，那么这个锐角所对的直角边是斜边的一半。

”中，大前提是“在直角三角形中“，大前提所说的是此定理的适用范围是直角三角形，而不是随便的锐角三角形或钝角三角形，小前提是”“如果有一个锐角是
30”，小前提在大前提的基础上说明了所讨论的直角三角形要有一个锐角是
30，那么就可以得到结论“这个锐角所对的直角边是斜边的一半”。

同学们看，把这样一个定理分成了大前提，小前提和结论这三部分来记忆是不是清楚的多了，也更利于你们记忆。

当同学们把定理记熟了，你第一阶段的要求就达到了，下面我们进入数学定义、定理学习的第二个阶段——四种命题研究阶段，所谓四种命题研究阶段，是指将学过的一个定理衍生出其它的三个定理，对其它的三个定理进行研究从而达到对原定理乃至定理中知识点的深刻理解。

大家在刚上高中时应该学过简单的命题逻辑，知道什么是“原命题”，“逆命题”“，“否命题”以及“逆否命题”，知道什么是““充分条件”，“”必要条件“和”“充分必要条件”，我们就要用这些东西来根据定理构造新的命题，上面我说过，大部分的数学定理都分为大前提，小前提和结论三个部分，现在我们将大前提和小前提结合在一起，统称为
前提，这样的话每个定理就能写成“p推出q（p q
⇒）“的形式，其中p代表前提，
q代表结论，p推出q的意思是由前提p可以得到结论q，也就是p为真时，q一定为真。

那么由这个定理可以得到另外三个命题（由于衍生出来的三个命题未必都是真命题，
所以不能说成是定理，只能说成是命题），分别是原命题的逆命题：“q推出p（q p
⇒）
“; 原命题的否命题：“p ⌝推出q ⌝（
p q ⌝⇒⌝）“;以及原命题的逆否命题：“q ⌝推出p ⌝（q p ⌝⇒⌝）“。

我们下一步的工作是讨论与研究这衍生出来的三个命题的真假，如果是真命题，那就请给出证明，如果是假命题，那就请给出反例。

我们来举个例子，比如不等式中的一个定理：”“如果
,a b 是正实数，那么有不等式222a b ab +≥成立”。

这个定理的前提是“,a b 是正实数”，结论是“不等式222a b ab +≥成立””。

那么这个命题的逆命题是：“如果有不等式222a b ab +≥成立，那么,a b 是正实数”。

这个命题显然是错的，因为1,7a b =-=-时命题也成立，而1,7a b =-=-不是正实数，这就是反例。

原命题的否命题是：“如果
,a b 不全是正实数（请大家注意，“,a b 是正实数“的否定不是”“
,a b 全不是正实数”“而是”“,a b 不全是正实数”），那么不
等式222a b ab +≥不成立”，同样可以用反例1,7a b =-=-来说明此命题不成立。

原命题的逆否命题是：“如果不等式222a
b ab +≥不成立，那么,a b 不全是正实数”逆否命题实际上和原命题是等价的，这一点大家可以从教科书中学到，因此此命题也是真命题，请大家自己讨论一下为什么。

在这个例子中，只有原命题和原命题的逆否命题是真命题，原命题的逆命题和逆否命题都是假命题。

也有定理的逆命题、否命题、逆否命题都是真命题的定理，例如定理：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等“，请同学们自己证明。

在考试中，像这种考察原命题及其衍生命题真假的题目经常会出现，请同学们注意日常积累。

当完成四种命题研究这一阶段之后，同学们又对学过的定义、定理加深了认识，那就可以进入第三个阶段——对定理的重新证明阶段。

在对定理的重新证明阶段要求大家对学过的定理进行重新证明与计算。

在数学学习中，同学们一定要注意对“三基”的掌握，所谓”三基”，是指基本定理，基本题型和基本方法。

在我们教学的过程中，经常发现学生们拿到数学题后不知从何入手，不知道用哪些知识点，不知道用哪种方法。

有的同学买了很多的参考书，学习参考书上的例题的解题方法，这种做法当然有一定的效果，但我要说的是，最好的，最有效的解题方法实际上都在同学们的教科书上。

教科书上每一个定理的证明都是前辈数学家智慧的结晶，都是很简洁与巧妙的解题方法，很值得我们学习，但是我发现同学们普遍不重视教科书，这种做法是不对的，很多古代数学家证明定理时所用的方法现代人看来都是很美妙的，例如《几何原本》的作者欧几里德
在《几何原本》第四卷中有一个关于素数（也就是质数）的定理，欧几里德证明了素数有无穷多个，在证明过程中，他使用了反证法这种证明方法，证明如下：假设素数只有有限个，假设只有n 个素数，分别是12,,,n p p p ，那么，构造
121n M p p p =+也就是这n 个素数相乘的乘积再加上1，显然M 比
12,,,n p p p 这n 个数中的任何一个都要大，根据假设，M 不是素数，因为如果M 也是素数，那么素数的个数就至少是1n +个，与假设矛盾，所以M 不是素数，那M 就
只能是合数，因此M 可以被某个小于自身的素数整除，而素数只有
12,,,n p p p 这n 个，显然12,,,n p p p 这n 个素数都能整除12n p p p ，并且都不能整除
1，因此12,,
,n p p p 这n 个素数都不能整除M ，这与M 是合数矛盾，因此我们假设“素数只有有限个”是错的，因此，原假设不成立，那么原假设的反面成立，也就是素数有无穷多个。

请同学们好好体会欧几里德的这个证明方法。

综上所述，对定理的证明有助于大家对三基中对于基本方法的掌握，同学们经过第一阶段，相信对定理的内容已经记熟了，本阶段要做的是将定理的前提和结论默写出来，然后在不看书的条件下自己将定理证明一边，如果背着书没法证明定理的话就要找一找自己到底是哪部分内容不清楚，下去之后好好复习薄弱环节。

再多说一句，就是高考数学题中所用的方法都是非常常见的方法，非常怪，非常偏的方法几乎不会考，因此如果同学们选到一本不好的参考书，学到了一些非常怪，非常偏的方法，到了考试时反而想不起正常的解题方法，导致丢分，所以同学们最好不要把时间和精力浪费在这种参考书上，这种得不偿失的行为还是少做为妙。

我们高考专刊，以及我的“乃岳谈数学”版块可以保证同学们学到正规、基本的解题方法。

同学们经历了前三个阶段以后，就到了第四个阶段——对数学的整体把握阶段，这一阶段要求同学们对数学的各个分支有通感式的了解，对数学学科有一个宏观、整体上的把握，这个过程同学们自己一个人是无法完成的，要教师来帮助大家达到这一层次，当然我们“乃岳谈数学”版块也会帮助大家。

以上四个阶段，就是我们对于数学学习的一点思考，下面，我谈谈对于解答数学问题的解题方法方面的东西。

对于数学解题，大家肯定有过这样的经历，那就是：一道题，自己总也想不出解法，而
老师却给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解法的？”如果这个解法不是很难时，“我自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？尤其是当老师解题时所用到知识我们也知道，也就是说老师所用到的知识并未超出我们知识范围的时候，我们对于要知道老师是如何解题的想法就更加迫切了。

一位数学家曾经说过，我们解题的过程实际上是将不会的题或者是每做过的题转化成我们会做的题和做过的题去做。

美籍匈牙利数学家波利亚的在他的著作《怎样解题》中对此做了非常翔实的讲解，在今后的“乃岳谈数学”版块中，我们将详细介绍《怎样解题》这本书中的思想和方法。

我认为，数学知识在不同的人的头脑中组织的结构是不同的，在一流的数学家的头脑中，数学知识体系是一个没有任何洞的球，一流的数学家们可以毫不费力地，无缝地从一个知识点推导出或延伸到另一个不同的知识点，这当然是最理想的。

但是在一般的数学家或是普通的数学教育者脑中，数学知识体系是一张网网的每个结点都是一个知识点，这些人从一个知识点到另一个知识点的推导或延伸只能从几个有限的路径过去，而无法从任何一个路径过去，因为有些路径是他们不知道或想不到的。

一般来说，同学们在现阶段的数学知识体系既不是球也不是网，而是一个多支路的链条，如果知识体系是个网，那么如果网有断的地方，还可以从另外的路径过去，但是链条的话，如果一个路径断掉，可能会引起整个一个分支的瘫痪，造成所有有关此方面的题目全部不会做。

举例来说，如果一个同学的三角函数掌握得不好，会直接影响到他关于别的题目的解答。

下面我们以一个例题说明。

例1、若sin α和cosα都是关于x的一元二次方程
2
26(31)0
x kx k
---=
的根，试求k的值等于多少？
这是一道文理科都会考到的题目，如果考生的三角函数知识欠缺，忘记了甚至不知道三
角恒等式
22
sin cos1
αα
+=这个这道题的关键点（也称为“”题眼“）的话，
那他就对只能对这道并不困难的题束手无策了。

因此，我们要做的就是帮同学们找到自己数学方面的薄弱环节帮学生加强，这就是我们所谓的链式教学法（CHAIN），在以后的“乃岳谈数学”中，我会逐渐介绍给同学们。

下面我再谈谈“特征式解题法”，同学们一定有过这样的经验，那就是在上数学课时，每学完一章之后，对于书后的习题大部分都会做，但是到考试时，即使是同样的题也不会做，于是就努力去看，去做书后的题，但是效果甚微。

这到底是为什么呢？我先不说出原因，先给大家讲一个小故事。

在三国时，有一次武侯诸葛亮带领的大军和司马懿带领的大军在一个峡谷狭路相逢，双。