苏科版2020-2021学年九年级数学上册第1章 一元二次方程单元同步试题(含答案)
2020苏科版九年级上数学 一元二次方程综合练习含答案
第一章 一元二次方程 综合练习（一）一．选择题1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．x 2﹣6x +2B ．2x 2﹣y +1＝0C ．5x 2＝0D ．+x ＝22．方程x 2﹣4x ﹣4＝0进行配方后，得到的方程是（ ） A ．（x ﹣2）2＝8B ．（x +2）2＝8C ．（x ﹣2）2＝0D ．（x +2）2＝163．已知x 1，x 2分别为方程2x 2+4x ﹣3＝0的两根，则x 1+x 2的值等于（ ） A ．2B ．﹣2C ．D ．﹣4．一元二次方程x 2﹣2x ﹣1＝0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．无法确定5．已知一元二次方程x 2﹣4x ﹣5＝0的两根x 1、x 2，则x 12﹣4x 1+x 1x 2＝（ ） A ．0B ．1C ．2D ．﹣16．一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，则平均每次降价的百分率是（ ） A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%7．已知关于x 的方程（k ﹣2）2x 2+（2k +1）x +1＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞且k ≠2B ．k ≥且k ≠2C ．k ＞D ．k ≥8．一个长80cm ，宽70cm 的矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为xcm 的小正方形后，剩余部分刚好围成一个底面积为3000cm 2的无盖长方体盒子，求小正方形边长xcm 时，可根据下列方程（ ）A ．（80﹣x ）（70﹣x ）＝3000B ．（80﹣2x ）（70﹣2x ）＝3000C ．80×70﹣4x 2＝3000D ．80×70﹣4x 2﹣（80+70）x ＝30009．在解方程2x 2+4x +1＝0时，对方程进行配方，图1是小思做的，图2是小博做的，对于两人的做法，说法正确的是（ ）A．两人都正确B．小思正确，小博不正确C．小思不正确，小博正确D．两人都不正确10．已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，则代数式4﹣2a2+6a的值为（）A．6 B．9 C．14 D．﹣611．云南省某市2018年现有森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”，现计划在两年后将本市的绿化面积提高到24.2万亩，设每年平均增长率为x，则列方程为（）A．20（1+x）×2＝24.2B．20（1+x）2＝24.2×2C．20+20（1+x）+20（1+x）2＝24.2D．20（1+x）2＝24.212．某校九年级（1）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）A．B．x（x+1）＝1980C．2x（x+1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980二．填空题13．一个矩形的长比宽多2，面积是100，若设矩形的宽为x，列出关于x的方程是．14．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则代数式2015﹣2a+2b的值为．15．对于方程x2﹣px+4＝0①与方程x2﹣5x+q＝0②，已知方程②的一个根比方程①的较大根大2，方程②的另一个根比方程①的较小根小2，则q＝．16．已知实数x，y，w满足x﹣+y2＝0，w＝2x2﹣3x+y2﹣1，则w的最小值为17．要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）计划安排28场比赛应请多少个球队参加比赛？设邀请x 个队参加比赛则列方程为 ． 18．方程4x 3﹣9x ＝0的解为 ．19．若一元二次方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两根也是方程x 4+ax 2+bx +c ＝0的根，则a +b ﹣2c 的值为 ．三．解答题 20．解方程：（1）3x 2+4x ﹣4＝0； （2）3x （x ﹣1）＝2﹣2x ．21．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ﹣2＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2满足2x 1＝|x 2|+1，求m 的值．22．方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”﹣﹣化未知为已知，利用“转化”，我们还可以解一些新的方程． 认识新方程： 像＝x 这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以将方程两边平方转化为整式方程2x +3＝x 2，解得x 1＝3，x 2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，经检验，x 2＝﹣1是原方程的增根，应舍去，所以原方程的解是x ＝3．解下列方程： （1）x +＝5； （2）﹣＝2．23．如图，园林小组的同学用一段长16米的篱笆围成一个一边基墙的矩形菜园ABCD，墙的长度为9米，设AB的长为x米，BC的长为y米．（1）①写出y与x的函数关系是：；②自变量x的取值范围是；（2）园林小组的同学计划使矩形菜园的面积为30平方米，试求此时边AB的长．24．线上线下经济界限融合，新零售经济时代大势所趋，百联与阿里巴巴联手打造线上线下一体化的“新零售”业态一事，引起众多实体店店主关注，某童装店店主为了降低网络经济的冲击，开始采用线上线下同步销售．（1）该店主10月份线上线下共销售某款童装300件，其中线上销售量不低于线下销售量的25%，求该店主在10月线下销售量最多为多少？（2）已知该店主顺应双十一购物节潮流，11月11日决定线上销售价格在11月10日的100元每件的基础上下调m%，该店主在实体店的价格仍为每件100元的情况下，11日线上和线下总销售量比11月10日增加了m%，且线上销售量占总销量的，当天的总金额比11月10日提高了m%，求m的值．25．某类儿童服装以每件40元的价格购进800件，售价为每件80元，五月售出200件．六月，批发商决定采取“降价促销”的方式喜迎“六一”，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；七月，批发商将对剩余的童装一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设六月单价降低x元（1）填表时间五月六月七月清仓单价（元/件）80 40销售量（件）200（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么六月的单价应是多少元？参考答案一．选择1．解：A 、x 2﹣6x +2不是等式，不是一元二次方程，故此选项错误；B 、2x 2﹣y +1＝0，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项错误；C 、5x 2＝0，符合一元二次方程的定义，故此选项正确；D 、+x ＝2，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项错误．故选：C ． 2．解：由原方程，得x 2﹣4x ＝4，配方，得x 2﹣4x +4＝8，即（x ﹣2）2＝8．故选：A ．3．解：x 1+x 2＝﹣＝﹣2． 故选：B ．4．解：∵a ＝1，b ＝﹣2，c ＝﹣1， ∴△b 2﹣4ac ＝4+4＝8， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ．5．解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣5＝0的根， ∴x 12﹣4x 1＝5，x 1x 2＝﹣5， ∴x 12﹣4x 1+x 1x 2＝5﹣5＝0． 故选：A ．6．解：设平均每次降价的百分率为x ， 根据题意得：60（1﹣x ）2＝48.6，解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9（不合题意，舍去）． 故选：C ．7．解：当k ﹣2＝0，即k ＝2时，原方程为5x +1＝0，解得：x＝﹣，∴k＝2符合题意；当k﹣2≠0，即k≠2时，△＝（2k+1）2﹣4×1×（k﹣2）2＝20k﹣15≥0，解得：k≥且k≠2．综上所述：k≥．故选：D．8．解：由题意可得，（80﹣2x）（70﹣2x）＝3000，故选：B．9．解：由图知，两人的做法都正确，故选：A．10．解：把x＝a代入方程x2﹣3x﹣5＝0得a2﹣3a﹣5＝0，则a2﹣3a＝5，所以4﹣2a2+6a＝4﹣2（a2﹣3a）＝4﹣2×5＝﹣6．故选：D．11．解：由题意可得，20（1+x）2＝24.2，故选：D．12．解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，∴全班共送：（x﹣1）x＝1980，故选：D．二．填空题（共7小题）13．解：设矩形的宽为x，则矩形的长为（x+2），根据题意得：x（x+2）＝100．故答案为：x（x+2）＝100．14．解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，∴a﹣b﹣2＝0，∴a﹣b＝2，∴2015﹣2a+2b＝2015﹣2（a﹣b）＝2014﹣2×2＝2011．故答案为：2011．15．解：设方程①的两根为x 1、x 2（x 1＜x 2），方程②的两根为x 3、x 4， 由题意得x 1+x 2＝x 3+x 4，由根与系数的关系得x 1+x 2＝p ，x 3+x 4＝5，x 1x 2＝4，x 3x 4＝q ， ∴（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝9， ∴x 2﹣x 1＝3，∴x 3x 4＝（x 1﹣2）（x 2+2）＝x 1x 2+2（x 1﹣x 2）﹣4＝﹣6， ∴q ＝﹣6． 故答案为：﹣6． 16．解：∵x ﹣+y 2＝0， ∴y 2＝﹣x ， ∵y 2≥0，即﹣x ≥0， ∴x．∴w ＝2x 2﹣3x +y 2﹣1 ＝2x 2﹣3x +﹣x ﹣1 ＝2x 2﹣4x ﹣由于a ＝2＞0，抛物线开口向上，函数有最小值． 当x ＝时，w 最小＝2×（）2﹣4×﹣ ＝﹣2﹣ ＝﹣2． 故答案为：﹣2．17．解：设邀请x 个队，每个队都要赛（x ﹣1）场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得，x （x ﹣1）＝28， 故答案为：x （x ﹣1）＝28． 18．解：4x 3﹣9x ＝0，x （4x 2﹣9）＝0，x（2x+3）（2x﹣3）＝0．∴x＝0或2x+3＝0或2x﹣3＝0．所以原方程的解为：x1＝0，x2＝﹣，x3＝．故答案为：x1＝0，x2＝﹣，x3＝．19．解：设m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则m2﹣3m﹣1＝0，所以m2＝3m+1．由题意，m也是方程x4+ax2+bx+c＝0的根，所以m4+am2+bm+c＝0，把m2＝3m+1代入此式，得（3m+1）2+am2+bm+c＝0，整理得（9+a）m2+（6+b）m+c+1＝0．从而可知：方程x2﹣3x﹣1＝0的两根也是方程（9+a）x2+（6+b）x+c+1＝0的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有（9+a）x2+（6+b）x+c+1＝k（x2﹣3x﹣1）（其中k为常数），所以b＝﹣3a﹣33，c＝﹣a﹣10．因此，a+b﹣2c＝a+（﹣3a﹣33）﹣2（﹣a﹣10）＝﹣13，故答案为：﹣13．三．解答题（共6小题）20．解：（1）∵3x2+4x﹣4＝0；∴（x+2）（3x﹣2）＝0，∴x＝﹣2或x＝；（2）∵3x（x﹣1）＝2﹣2x，∴3x（x﹣1）﹣2（1﹣x）＝0，∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（3x+2）＝0，∴x＝1或x＝；21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣2＝0有两个实数根，∴△≥0，即9﹣4（m﹣2）≥0解得m≤．答：m的求值范围为m≤．（2））根据根与系数的关系：x 1+x 2＝3，x 1•x 2＝m ﹣2，∵x 1，x 2满足2x 1＝|x 2|+1， ①当x 2≥0时，2x 1＝x 2+1 把x 2＝3﹣x 1代入，得 2x 1＝3﹣x 1+1 解得x 1＝， ∴x 2＝， ∴m ﹣2＝x 1•x 2＝∴m ＝．②当x 2≤0时，2x 1＝﹣x 2+1 ∴2x 1+3﹣x 1＝1 解得x 1＝﹣2，x 2＝5， ∵2x 1＝|x 2|+1，∴x 1＝﹣2，x 2＝5（不符合题意，舍去） 答：m 的值为．22．解：（1）移项得：＝5﹣x ，两边平方得：x ﹣3＝25﹣10x +x 2， 解得：x 1＝4，x 2＝7，经检验x ＝7是原方程的增根，舍去；x ＝4是原方程的解， 所以原方程的解为x ＝4； （2）﹣＝2， ﹣2＝，两边平方得：x ﹣5+4﹣4＝2x ﹣7，16﹣x ＝4，两边平方得：256﹣32x +x 2＝16x +80，x 2﹣48x +176＝0， x 1＝4，x 2＝44，11 经检验x ＝44是原方程的增根，舍去；x ＝4是原方程的根， 所以原方程的解为x ＝4． 23．解：（1）①写出y 与x 的函数关系是：y ＝16﹣2x ．故答案是：y ＝16﹣2x ．②因为x ＞0，9≥y ＞0，∴3.5≤x ＜8．故答案是：3.5≤x ＜8；（2）依题意得：x （16﹣2x ）＝30，解得x 1＝5，x 2＝3（舍去），答：园林小组的同学计划使矩形菜园的面积为30平方米，此时边AB 的长为5米或3米．24．解：（1）设10月份线下销售量为x 件，300﹣x ≥25%x ，解得，x ≤240，答：该店主在10月线下销售量最多240件；（2）设11月10日的销售总量为a 件，100（1﹣m %）×[a （1+m %）]×+100×[a （1+m %）]×（1﹣）＝100a （1+m %）， 解得，m ＝25或m ＝0（舍去），答：m 的值是25．25．解：（1）80﹣x ，200+10x ，800﹣200﹣（200+10x ）或400﹣10x ．故答案是：时间第一个月 第二个月 清仓时 单价（元）80 80﹣x 40 销售量（件） 200 200+10x 800﹣200﹣（200+10x ）或400﹣10x（2）根据题意，得（40﹣x ）（200+10x ）＝9000，解得x 1＝x 2＝10．当x ＝10时，80﹣x ＝70＞40答：六月的单价应该是70元．。
2020-2021学年苏科版九年级数学第一学期第1章 一元二次方程单元同步试卷(含答案)
一元二次方程一．填空题（共8小题，每小题3分共24分）1．已知方程220x px q -+=的两根分别是2和3，则因式分解22x px q +-的结果是 ． 2．方程(3)0x x -=的解为 ．3．若一个一元二次方程的两个根分别是3-、2，请写出一个符合题意的一元二次方程 ． 4．已知关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 ．5．已知方程230x bx ++=，则方程的另一根为 ．6．关于x 的方程222(9)10x m x m +-++=，当m = 时， 两根互为倒数；当m = 时， 两根互为相反数 ．7．1x ，2x 是方程2230x x +-=的两个根，则代数式21123x x x ++= ． 8．已知方程2201910x x -+=的一个根为a ，则220191a a ++的值为 ． 二．选择题（共8小题，每小题3分共24分） 9．方程251x -=的一次项系数是( ) A ．3B ．1C ．1-D ．010．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21x y -=B ．2230x x +-=C ．213x x+= D ．56x y -=11．一元二次方程240x -=的解是( ) A ．12x =，22x =- B ．2x =-C ．2x =D ．12x =，20x =12．用配方法解一元二次方程2450x x +-=，此方程可变形为( ) A ．2(2)9x +=B ．2(2)9x -=C ．2(2)1x +=D ．2(2)1x -=13．关于x 的方程2(2)410m x x --+=有实数根，则m 的取值范围是( ) A ．6mB ．6m <C ．6m 且2m ≠D ．6m <且2m ≠14．若关于x 的方程2(2)30m x mx -+-=是一元二次方程，则m 的取值范围是( ) A ．2m ≠B ．2m =C ．2m >D ．0m ≠15．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元．如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是( ) A ．100(1)121x -=B ．100(1)121x +=C ．2100(1)121x -=D ．2100(1)121x +=16．关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根1x ，2x ，若121212(2)(2)23x x x x x x -+--+=-，则k 的值( ) A ．0或2B ．2-或2C ．2-D ．2三．解答题（共8小题，满分72分，其中17题20分，18、19题每小题6分，20题8分，21题6分，22题9分，23题8分，24题9分）17．用指定方法解下列一元二次方程 （1）23(21)120x --=（直接开平方法） （2）22470x x --=（配方法） （3）210x x +-=（公式法） （4）22(21)0x x --=（因式分解法）18．k 为何值时，方程2(2)90x k x --+=有两个相等的实数根；并求出这时方程的根． 19．已知m 是方程220x x --=的一个实数根，求代数式22()(1)m m m m--+的值． 20．已知1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． （1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在求出k 的值；若不存在，请说明理由．21．已知，下列(n n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：①210x -=，②220x x +-=，③2230x x +-=，④2340x x +-=，⋯，⑪，⋯ （1）上述一元二次方程的解为① ，② ，③ ，④ ． （2）猜想：第n 个方程为 ，其解为 ．（3）请你指出这n 个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）． 22．已知关于x 的方程2(1)(3)0x x x m --+=，m 为实数． （1）当4m =时，求方程的根；（2）若方程的三个实根中恰好有两个实根相等，求m 的值；（3）若方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，求m 的取值范围．23．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料造了宽为1米的两个小门． （1）设花圃的宽AB 为x 米，请你用含x 的代数式表示BC 的长 米； （2）若此时花圃的面积刚好为245m ，求此时花圃的宽．24．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（1）如果多种5棵橙子树，计算每棵橙子树的产量；（2）如果果园橙子的总产量要达到60375个，考虑到既要成本低，又要保证树与树间的距离不能过密，那么应该多种多少棵橙子树；（3）增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？参考答案一．填空题（共8小题）1． (2)(3)x x -- ． 2． 10x =，23x = ． 3． 260x x +-=．4． 2a <，且1a ≠ ． 5 6． 1 ，3- ．7． 1 ． 8． 2019 ． 二．选择题（共8小题）9．D ． 10．B ． 11．A ． 12．A ． 13．A ． 14．A ． 15．D ． 16．D ． 三．解答题（共8小题）17．用指定方法解下列一元二次方程 （1）23(21)120x --=（直接开平方法） （2）22470x x --=（配方法） （3）210x x +-=（公式法） （4）22(21)0x x --=（因式分解法） 【解】：（1）23(21)120x --=， 移项，得23(21)12x -=， 两边都除以3，得2(21)4x -=， 两边开平方，得212x -=±， 移项，得212x =±， 解得：132x =，212x =-；（2）22470x x --=， 两边都除以2，得27202x x --=， 移项，得2722x x -=， 配方，得29212x x -+=，即29(1)2x -=，解得：1x -=，即112x =+212x =-； （3）210x x +-=， 这里1a =，1b =，1c =-，224141(1)5b ac -=-⨯⨯-=，x ∴=，解得：1x =，2x =； （4）22(21)0x x --=，方程左边因式分解，得(21)(21)0x x x x -+--=，即(31)(1)0x x --=， 解得：113x =，21x =． 18．k 为何值时，方程2(2)90x k x --+=有两个相等的实数根；并求出这时方程的根． 【解】：方程2(2)90x k x --+=有两个相等的实数根，∴△22224[(2)]41944364320b ac k k k k k =-=---⨯⨯=-+-=--=，18k ∴=，24k =-．当8k =时，原方程为2690x x -+=，解得123x x ==． 当4k =-时，原方程为2690x x ++=，解得123x x ==-．19．已知m 是方程220x x --=的一个实数根，求代数式22()(1)m m m m--+的值． 【解】：m 是方程220x x --=的一个根， 220m m ∴--=，22m m ∴-=，22m m -=，∴原式222()(1)m m m m-=-+2(1)mm=⨯+224=⨯=．20．已知1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． （1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在求出k 的值；若不存在，请说明理由．【解】：（1）1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，∴△2241644(1)160b ac k k k k =-=-⨯+=-，且40k ≠，解得0k <；（2）1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根， 121x x ∴+=，1214k x x k+=，22221212112122121219(1)(2)(2)2422()9219244k k x x x x x x x x x x x x x x k k++∴--=--+=+-=⨯-⨯=-， 若9(1)3242k k +-=-成立， 解上述方程得，95k =， （1）中0k <，（2）中95k =， ∴矛盾，∴不存在这样k 的值．21．已知，下列(n n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：①210x -=，②220x x +-=，③2230x x +-=，④2340x x +-=，⋯，⑪，⋯ （1）上述一元二次方程的解为① 11x =，21x =- ，② ，③ ，④ ． （2）猜想：第n 个方程为 ，其解为 ．（3）请你指出这n 个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）． 【解】：（1）①(1)(1)0x x +-=， 11x ∴=，21x =-．②(2)(1)0x x +-=， 11x ∴=，22x =-．③(3)(1)0x x +-=， 11x ∴=，23x =-．④(4)(1)0x x +-=， 11x ∴=，24x =-．（2）由（1）找出规律，可写出第n 个方程为：2(1)0x n x n +--=， (1)()0x x n -+=，解得11x =，n x n =-．（3）这n 个方程都有一个根是1； 另一个根是n 的相反数；22．已知关于x 的方程2(1)(3)0x x x m --+=，m 为实数． （1）当4m =时，求方程的根；（2）若方程的三个实根中恰好有两个实根相等，求m 的值；（3）若方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，求m 的取值范围．【解】：（1）4m =时方程为2(1)(34)0x x x --+=， 得10x -=或2340x x -+=， 由10x -=得1x =，由2340x x -+=得△91670=-=-<，该方程无实数解， 故方程的实根为1x =； （2）由10x -=得11x =．由230x x m -+=，得△940m =-，设方程两根为2x ，3x ，若21x =，则130m -+=，得2m =，方程为2320x x -+=，解得得21x =，32x =符合题意； 若23x x =时，△940m =-=，得94m =，方程为29304x x -+=，得2332x x ==，符合题意． 综上知2m =或94m =； （3）方程的三个实根满足11x =，由230x x m -+=，得△940m =-，设方程两根为2x ，3x ， 则233x x +=，23x x m =，方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长， 则230940||1m m x x >⎧⎪=-⎨⎪-<⎩， 由2232223||()4941x x x x x x m -=+-=-<， 得2m >， 解得924m<． 23．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料造了宽为1米的两个小门． （1）设花圃的宽AB 为x 米，请你用含x 的代数式表示BC 的长 (243)x - 米； （2）若此时花圃的面积刚好为245m ，求此时花圃的宽．【解】：（1）2223243BC x x =+-=-． 故答案为(243)x -；（2）(243)45x x -=， 化简得：28150x x -+=， 解得：15x =，23x =．当5x =时，243914x -=<，符合要求；当3x =时，2431514x -=>，不符合要求，舍去． 答：花圃的宽为5米．24．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（1）如果多种5棵橙子树，计算每棵橙子树的产量；（2）如果果园橙子的总产量要达到60375个，考虑到既要成本低，又要保证树与树间的距离不能过密，那么应该多种多少棵橙子树；（3）增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？ 【解】：（1）60055-⨯ 60025=- 575=（棵)答：每棵橙子树的产量是575棵； （2）设应该多种x 棵橙子树，依题意有 (100)(6005)60375x x +-=，解得15x =，215x =（不合题意舍去）． 答：应该多种5棵橙子树；（3）设增种m 棵树，果园橙子的总产量为2(100)(6005)5(10)60500m m m +-=--+， 故当增种10棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多，最多为60500个．1、人生如逆旅，我亦是行人。
苏科版2020九年级数学上册第1章一元二次方程单元综合能力测试题1(附答案详解)
苏科版2020九年级数学上册第1章一元二次方程单元综合能力测试题1（附答案详解） 1．已知1x =是一元二次方程()21210m x x --+=的一个根，则m 等于（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．22．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．x 2-2x+y=0B ．x （x+2）=0C ．x 3+3=0D ．（x+5）x=x 2 3．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的面积为（ ）A ．12或6B ．12C ．6D ．以上都不对 4．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+4x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＜5 B ．k≥5 C ．k≤5且k≠1 D ．k ＞55．一个三角形的三边长都是方程27100x x -+=的根，则这个三角形的周长不可能是( )A ．6 B ．9 C ．12 D ．156．将方程2410x x --=的左边变成平方的形式是（ ）A ．2(2)1x -=B ．2(4)1x -=C ．2(2)5x -=D ．2(1)4x -=7．若关于x 的一元二次方程2(1)410k x x -++=有实数根，则k 的取值范围是( )A ．5kB ．5k 且1k ≠C ．5k <且1k ≠D ．5k <8．方程()()22130x x +-=的两根分别为（ ）A ．12和3B ．12-和3C ．12和3-D ．12-和3- 9．方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5 10．某市2016年投入教育经费3亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为x ，从2016年到2018年共投入教育经费12.5亿元，则下列方程正确的是（ ） A ．3x 2=12.5B ．3（1+x ）=12.5C ．3（1+x ）2=12.5D ．3+3（1+x ）+3（1+x ）2=12.511．方程34x x =的实数根是_______．12．如果一元二次方程230x x --=的两个根是α和β，那么22a βαβ+=________．13．已知关于x 的一元二次方程()223290a x x a --+-=的常数项是0，则a =_______．14．一元二次方程(5)50x x x -+-=的解为____________.15．关于x 的一元二次方程22(1)60k x x k k -++-=的1个根是0，则k 的值是__________．16．关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=的二根为12,x x ，且2112123x x x x x -+=，则m =_____________.17．若m ，n 是方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则代数式m 2﹣mn +3m +2n ＝_____． 18．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，点P 在AD 上，若△PBC 为直角三角形，则CP 的长为_____．19．若()22(||3)1x x x x ---+＝0，则x ＝_____． 20．关于x 的方程()2204k kx k x +++=，有两个不相等实数根． （1）求k 的范围． （2）是否存在实数k ，使两根倒数和为0，若存在求出k 值；若不存在说明理由． 21．解方程（1）()229x -=（直接开方法）（2）2660x x -+=（配方法）（3）23125x x -=+（公式法）（4）()()3222x x x -=-（因式分解法）（5）()()215140x x ---+=（6）22122x x x-=-- 22．（1342712-（2）解方程：2（x ﹣3）2＝5023．某商场购进一批运动服，销售时标价为每件100元，若按七折销售则可获利40%．为尽快减少库存，现该商场决定对这批运动服开展降价促销活动，每件在七折的基础上再降价x 元后，现在每天可销售（4x +10）件．（1）运动服的进价是每件______元；（2）促销期间，每天若要获得500元的利润，则x 的值为多少？24．为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x 个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x 个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有111个 人参与了本次活动．（1）x 的值是多少？（2）再经过几轮转发后，参与人数会超过10000人？25．解方程：（1）2x （x ﹣3）＝（x ﹣1）（x +1）（2）x （2﹣x ）＝x 2﹣226．解方程：（1）2x 2x 0-=（2）2x 3x 10++=27．解方程：（1）229(1)(21)x x -=+（2）3x 2+7x +4＝028．定义新运算：对于任意实数，a 、b ，都有()1a b a a b ⊕=-+，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：()()252251231615⊕=-+=⨯-+=-+=- （1）求()46x ⊕-=，求x 的值；（2）若3a ⊕的值小于10，请判断方程：220x bx a --=的根的情况．29．23(1)12x +=参考答案1．D【解析】【分析】直接把x=1代入方程得到关于m 的方程，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：把x=1代入()21210m x x --+= 得m-1-2+1=0， 解得m=2．故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义即可得．【详解】A 、该方程中含有两个未知数，属于二元二次方程，此项错误B 、该方程符合一元二次方程的定义，此项正确C 、该方程未知数的指数是3，不符合一元二次方程的定义，此项错误D 、由原方程得到50x =，该方程中含有未知数的项的最高次数是1，属于一元一次方程，此项错误故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义的要点是解题关键．3．C【解析】【分析】先利用因式分解法解方程得到x 1=5，x 2=7，再利用三角形三边的关系得三角形的第三边为5，则可根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解．解：212350x x -+=，因式分解得：(5)(7)0x x --=，所以x 1=5，x 2=7，而3+4=7，所以三角形的第三边为5，因为32+42=52，所以此三角形为直角三角形，所以三角形的面积=13462⨯⨯=， 故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法和三角形三边的关系，通过三角形的三边关系求得第三边是解题的关键．4．C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+4x +1＝0有实数根， ∴21044(1)0k k -≠⎧⎨=--⎩， 解得：k ≤5且k ≠1．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．5．B【解析】先求得方程的两根，分该三角形为等边三角形和等腰三角形两种情况，分别求其周长即可求得答案．【详解】解：方程即（x-2）（x-5）=0，则x-2=0或x-6=0，则x1=2，x2=5．当三角形为等边三角形时，则其三边为2、2、2或5、5、5两种情况，则其周长为6或15，当三角形为等腰三角形时，若底为2，则三角形三边长为2、5、5，满足三角形三边关系，其周长为12，若底为5，则三角形三边长为5、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，综上可知三角形的周长为6或15或12，∴不可能是9，故选：B．【点睛】此题考查一元二次方程的解法及等腰三角形的性质，求得方程的两根是解题的关键，注意分类讨论．6．C【解析】【分析】利用配方法，方程两边同时加5即可求解．【详解】2410--=x x2445x x+=-()225x-=故答案为：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的转换问题，掌握配方法是解题的关键．7．B【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】∵关于x 的一元二次方程2(1)410k x x -++=有实数根， ∴()2104410k k -≠⎧⎨=--≥⎩解得：5k 且1k ≠.故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：0>时，方程有两个不相等的实数根；0<时，方程没有实数根；0=时，方程有两个相等的实数根.8．B【解析】【分析】根据已知方程得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】∵()()22130x x +-=，∴210x +=，30x -=， ∴112x =-，23x = 故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．9．B【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程．解：(x －1)2－4(x ＋2)2＝0[][](1)2(2)(1)2(2)0x x x x -++--+=(1)(5)0x x ++=解得：x 1＝－1，x 2＝－5故选：B ．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握平方差公式的结构正确进行因式分解是本题的解题关键．10．D【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x ，根据从2016年到2018年共投入教育经费12.5亿元即可得出方程．【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x ，则2016的教育经费为：3（1+x ）万元，2018的教育经费为：3（1+x ）2万元，那么可得方程：3+3（1+x ）+3（1+x ）2=12.5.故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．11．10x =，22x =，32x =-【解析】【分析】先移项，再提取公因式后因式分解，即可得到方程的解.【详解】34x x =340x x -=2(4)0x x -=x （x-2）（x+2）=0∴10x =，22x =，32x =-.故答案为：10x =，22x =，32x =-.【点睛】此题考查解方程，根据方程的特点，利用提取公因式，再因式分解法解方程，注意首先应将方程化为一般形式.12．3-【解析】【分析】 先确定一元二次方程各项系数，再利用根与系数的关系得出111b a αβ-+=-=-=，331c a αβ-⋅===-，然后对22a βαβ+进行因式分解，最后代入求值即可得解． 【详解】解：∵一元二次方程230x x --=的两个根是α和β ∴111b a αβ-+=-=-=，331c a αβ-⋅===- ∴22a βαβ+ ()αβαβ=+()13=⨯-3=-故答案是：3-【点睛】本题考查了根与系数的关系、多项式因式分解中的提取公因式以及代数求值，熟记相关知识点即可正确求解．13．3-【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及常数项为0，列出方程解答即可．【详解】解：由题意可知：290a -=∴解得：3a =或3a =-，又∵30a -≠∴3a ≠∴3a =-故答案为：3-．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及相关概念，解题的关键是确定常数项，并注意二次项系数不为零的前提条件．14．121,5x x =-=【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程求解.【详解】解：(5)50x x x -+-=(5)(1)0x x -+=∴121,5x x =-=故答案为：121,5x x =-=【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧正确计算是本题的解题关键. 15．0【解析】【分析】把0x =代入方程可以求出字母系数k 的值．【详解】把0x =代入方程得：20k k -=，即()10k k -=，解得：10k =，21k =．∵10k -≠，∴0k =．故答案为：0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和因式分解法解一元二次方程，把方程的解代入方程得到关于k 的一元一次方程，解方程求出k 的值．16．12【解析】【分析】先降次，再利用韦达定理计算即可得出答案.【详解】∵x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=的二根为12,x x∴211()2x x m =-∴1121223x m x x x x --+=12123x x m x x +-=又122x x +=，12x x m =代入得23m m -=解得：m=12故答案为12. 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，若x 的一元二次方程20ax bx c ++=的二根为12,x x ，则12c x x a +=-，12c x x a=. 17．4【解析】【分析】根据韦达定理及方程的解的定义得出m ＋n ＝−1，mn ＝−3，m 2+m ＝3，代入原式＝()22m m m n mn +++-计算可得．【详解】解：∵m ，n 是方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，∴m+n ＝﹣1，mn ＝﹣3，m 2+m ﹣3＝0即m 2+m ＝3，则原式＝m 2+m+2（m+n ）﹣mn＝3+2×（﹣1）﹣（﹣3）＝3﹣2+3＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++＝（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a•=．也考查了一元二次方程解的概念．18．或2【解析】【分析】分情况讨论：①当∠PBC ＝90°时，P 与A 重合，由勾股定理得CP =当∠BPC ＝90°时，由勾股定理得22+AP 2+22+（4﹣AP ）2＝16，求出AP ＝2，DP ＝2，由勾股定理得出CP =；③当∠BCP ＝90°时，P 与D 重合，CP ＝CD ＝2．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝4，∠A ＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠D ＝90°，分情况讨论：①当∠PBC ＝90°时，P 与A 重合，由勾股定理得：CP =②当∠BPC ＝90°时，由勾股定理得：BP2＝AB2+AP2＝22+AP2，CP2＝CD2+DP2＝22+（4﹣AP）2，BC2＝BP2+CP2＝42，∴22+AP2+22+（4﹣AP）2＝16，解得：AP＝2，∴DP＝2，∴CP=；③当∠BCP＝90°时，P与D重合，CP＝CD＝2；综上所述，若△PBC为直角三角形，则CP的长为2；故答案为：或2．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程以及分类讨论等知识；熟练掌握勾股定理和分类讨论是解题的关键．19．﹣3或2或3【解析】【分析】直接利用分式的值为零的条件得出分子为零进而计算得出答案．【详解】解：若()22(||3)1x x xx---+＝0，则x2﹣x﹣2＝0或|x|﹣3＝0且x+1≠0，解得：x＝﹣3或2或3．故答案为：﹣3或2或3．【点睛】本题考查了求解分式方程，绝对值的性质应用，一元二次方程的解法，注意分式方程分母不为0的情况．20．（1）k＞-1且k≠0；（2）不存在，见详解【解析】【分析】（1）原方程有两个不相等实根，即△=b2-4ac＞0，代入a、b、c的值，解不等式即可．（2）先将两根的倒数和通分变形为含有两根和、两根积的形式，即121212110x x x x x x ++=＝，然后根据根与系数的关系，表示出两根和、两根积，再代入上式中，求出k 的值，利用（1）的结论进行判断即可．【详解】解：（1）由题意得，△=（k+2）2-4k 4k ⋅＞0， 解得，k ＞-1，又∵k ≠0∴k 的取值范围是k ＞-1且k ≠0；（2）不存在符合条件的实数k理由：∵关于x 的方程()2204k kx k x +++=的两根分别为x 1、x 2， 1212214k x x x x k +∴+=⋅=，， 1211x x +＝0即12120x x x x += 21-04k k +∴÷= ∴k=-2，由（1）知，k=-2时，△＜0，原方程无实数解，∴不存在符合条件的k 的值．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解答题目时一定要注意一元二次方程的二次项系数不能为0这一条件．21．（1）15=x ，21x =-；（2）13x =23x =（3）1x =2x =（4）12x =，223x =-；（5）12x =，25x =；（6）4x =-． 【解析】【分析】 （1）根据直接开方法的步骤进行求解；（2）根据配方法的步骤进行求解；（3）根据公式法的步骤进行求解；（4）根据因式分解法的步骤进行求解；（5）根据因式分解法的步骤进行求解；（6）将分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．【详解】解：（1）∵()229x -=，∴23x -=±，∴15=x ，21x =-；（2）移项得：266x x -=-，配方得：()233x -=，∴3x -=∴13x =23x =（3）方程整理得：23260x x --=，∵a ＝3，b ＝－2，c ＝－6，∴△＝4+72＝76＞0，∴2163x ±==，∴1x =2x = （4）移项得：()()32220x x x ---=，因式分解得：()()2320x x -+=，∴x －2＝0或3x+2＝0，∴12x =，223x =-；（5）因式分解得：()()11140x x ----=，∴110x --=或140x --=，∴12x =，25x =；（6）方程两边同乘()2x -得：222x x +=-，解得：4x =-，检验：当4x =-时，()20x -≠，故原方程的解为：4x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程及解分式方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法；解分式方程注意要检验．22．（1；（2）x ＝8或﹣2．【解析】【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的性质化简得出答案；（2）直接利用平方根的定义计算得出答案．【详解】（1）原式＝2﹣3﹣1）＝﹣1+1；（2）2（x ﹣3）2＝50（x ﹣3）2＝25，则x ﹣3＝±5， 解得：x ＝8或﹣2．【点睛】此题考查实数的运算，解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握运算法则.23．（1）50；（2）x 的值为7.5或10．【解析】【分析】（1）设进价为a元，根据“销售时标价为每件100元，若按七折销售则可获利40%．”列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）根据“现该商场决定对这批运动服开展降价促销活动，每件在七折的基础上再降价x 元后，现在每天可销售（4x+10）件列出方程”，列出利润500=（70-x-50）（4x+10），求出方程的解即可得到结果．【详解】解：（1）设进价为a元，根据题意得：（1+40%）a=100×0．7，解得：a=50，则运动服的进价是每件50元；故答案为：50；（2）根据题意得：（70-x-50）（4x+10）=500，（20-x）（2x+5）=250，即2x2-35x+150=0，分解因式得：（2x-15）（x-10）=0，解得：x=7．5或x=10，则x的值为7．5或10．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，弄清题意再根据题意列出方程是解题的关键．24．（1）10；（2）再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人．【解析】【分析】（1）第一轮转发了x个人，第二轮转发了x2个人，根据两轮转发共有111人参与列出方程求解即可；（2）根据103=1000，104=10000可得第四轮转发后参与人数会超过10000人，即可得答案．【详解】（1）∵第一轮转发了x个人，第二轮转发了x2个人，∴1+x+x2=111，解得：110x =，211x =-（舍），∴x 的值为10．（2）∵103=1000，104=10000，1+102+103＜10000，∴第四轮转发后参与人数会超过10000人，∴再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数根据两轮总人数为111人建立方程是关键．25．（1）x 1＝，x 2＝；（2）x 1，x 2＝12． 【解析】【分析】（1）化简整理为一般式，再利用公式法求解即可；（2）化简整理为一般式，再利用公式法求解即可．【详解】解：（1）2x （x ﹣3）＝（x ﹣1）（x +1），整理得：x 2﹣6x +1＝0，∴x=6=32±±∴x 1＝，x 2＝；（2）x （2﹣x ）＝x 2﹣2，整理得：x 2﹣x ﹣1＝0，∴x ，∴x 1＝12，x 2＝12． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键．26．（1）x 1=0， x 2=2；（2）12x x ==【解析】【分析】（1）用提公因式法因式分解可以求出方程的根.（2）用公式法解一元二次方程．直接利用一元二次方程的求根公式x = 求解即可．【详解】（1）2x 2x 0-=()x x 20∴-=，∴x 1=0， x 2=2（2）2x 3x 10++=a 1b 3c 1∴===，，，2Δ345∴=-=x ∴==，即方程的两个根为1233x x 22-+-== 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，能根据方程的特点选择适当的解方程的方法是关键． 27．（1）x 1＝25，x 2＝4；（2）x 1＝﹣43，x 2＝﹣1． 【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求得即可．【详解】解：（1）移项，得9（x ﹣1）2﹣（2x+1）2＝0，因式分解，得（3x ﹣3+2x+1）（3x ﹣3﹣2x ﹣1）＝0，即（5x ﹣2）（x ﹣4）＝0，5x ﹣2＝0，x ﹣4＝0，解得x 1＝25，x 2＝4； （2）因式分解，得（3x+4）（x+1）＝0，3x+4＝0，x+1＝0，解得x 1＝﹣43，x 2＝﹣1． 【点睛】本题是对一元二次方程解法的考查，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键.28．（1）1或-5；（2）有两个不相等的实数根【解析】【分析】（1）根据上面的算式列出等式，再解一元二次方程即可；（2）先求出a 的取值范围，然后根据2=4b ac -求出范围，从而判定根的情况.【详解】解：（1）x ⊕（﹣4）＝6 ()416--+=⎡⎤⎣⎦x x2450x x -=+121,5x x ==-；∴x 的值为1或-5.（2）3⊕a ＜10，3（3﹣a ）+1＜1010﹣3a ＜10a ＞0，∵220x bx a --=22=()880b a b a -+=+>△，所以该方程有两个不相等的实数根.【点睛】本题是对定义新运算的考查，准确根据题意列出算式和掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解决本题的关键.29．121,3x x ==-【解析】【分析】方程两边同时除以3，根据直接开平方法即可求出方程的解．【详解】23(1)12x +=2(1)4x +=12x +=±解得121,3x x ==-．【点睛】本题考查了解一元二次方程的问题，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．。
苏科版2020九年级数学上册第1章一元二次方程单元综合培优测试题2(附答案详解)
苏科版2020九年级数学上册第1章一元二次方程单元综合培优测试题2（附答案详解）1．方程2x 2﹣3=0的两根是（ ）A ．B ．C ．D ．2．若方程220x ax ++=和方程220x x a --=有一个相同的实数根，则a 的值为（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．03．方程()60x x -=的解是( )A ．6x =B ．120,6x x ==C ．6x =-D ．120,6x x ==- 4．方程3x 2=0的根是（ ）A ．0x =B ．120x x ==C ．3x =D ．12x x == 5．用配方法解方程x 2－23x+1=0正确的解法是（ ）A ．（x －13）2=89，x=13B ．（x －13）2=－89，原方程无解C ．（x －23）2=59，x 1=23+x 2D ．（x －23）2=1，x 1=53，x 2=－13 6．已知关于x 的方程）（0a 0c bx ax 2≠=++，且a-b+c=0，则此方程必有一解为（ ）A ．-1 B ．0 C ．1 D ．-1或17．规定：如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程x 2+2x ﹣8=0是倍根方程；②若关于x 的方程x 2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；③若关于x 的方程ax 2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax 2﹣6ax+c 与x 轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；④若点（m ，n ）在反比例函数y=4x的图象上，则关于x 的方程mx 2+5x+n=0是倍根方程．上述结论中正确的有（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④ 8．将方程2410x x --=的左边变成平方的形式是（ ）A ．2(2)1x -=B ．2(4)1x -=C ．2(2)5x -=D ．2(1)4x -= 9．下列方程中是一元二次方程的有（ ）①24x x = ②22x xy 40+= ③2x 0= ④2112x x -= ⑤()26x x 56x -=． A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 10．α,β是方程x 2+2x-5=0的两个实数根,则α2+2α+αβ的值为（ ）A ．5B ．- 5C ．0D ．1011．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支． 若主干、支干和小分支的总数是 57，设每个支干长出 x 个小分支，则可列方程为_______ 12．已知方程270x x --=的两个实数根分别为m ，n ，则2m n +的值为_______________13．已知1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，则2212x x +=______________14．方程x （x-1）=2（x-1）的解是 ．15．已知一元二次方程x 2-4x+3=0的两根x 1、x 2，则x 1 2-4x 1+x 1x 2=_______．16．方程()()533x x x -=-的根为13x =，215x =.（______） 17．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两条邻边的长，那么当k ＝_____时，矩形的对角线长为5．18．关于x 的一元二次方程x 2﹣（k+2）x+14k 2﹣1=0的两根互为倒数，则k 的值是________．19．配方：28x x -+________(x =-________2)．20．已知直角三角形的两条边长分别是方程214480x x -+=的两个根，则此三角形的第三边是_______.21．如图，用一块长为50cm 、宽为30cm 的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，当做成盒子的底面积为2300cm 时，求截去的小正方形的边长是多少cm ？22．（x+3）2=（1﹣2x ）2．23．关于x 的一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根，且x 12+x 22﹣x 1x 2=8，求m 的值．24．解方程：2132x x -=． 25．某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，问平均每年藏书增长的百分率是多少？26．如图，在菱形ABCD 中，m 、n 、t 分别是菱形ABCD 的两条对角线长和边长，这时我们把关于x 的形如“2220mx tx n ++=”的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）填空：①当6m =，8n =时，t = ．②用含m ，n 的代数式表示2t 值，2t = ．（2）求证：关于x 的“菱系一元二次方程”2220mx tx n ++=必有实数根；（3）若1x =-是“菱系一元二次方程”2220mx tx n ++=的一个根，且菱形的面积是25，BE 是菱形ABCD 的AD 边上的高，求BE 的值．27．某渔船出海捕鱼，2016年平均每次捕鱼量为10吨，2018年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2016年﹣2018年平均每次捕鱼量的年平均下降率．28．已知：关于x 的方程()21230x m x m -++-=（1）求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根（2）若方程的一个根为1，求m 的值及方程的另一根29．求满足的的值．30．已知关于x 的一元二次方程26(41)0x x m -++=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为1x ，2x ，且12112x x =-求m 的值参考答案1．B【解析】【分析】利用求根公式x=2b ±解方程. 【详解】方程：﹣3=0中∴故选：B.【点睛】考查用公式法解一元二次方程，利用求根公式解方程时，一定要弄清楚该公式中的字母a 、b 、c 所表示的意义．2．A【解析】【分析】两个方程有一个相同的实数根，即可联立解方程组，用其中一个未知数表示另一个未知数，再代入其中一个方程，即可求得a 的值．【详解】解：将方程x 2-ax+2=0与方程x 2-（a+1）x+a=0联立方程组，得222020x x a a x x -⎧++=-=⎪⎨⎪⎩由方程220x ax ++=得x 2=-ax-2，由方程220x x a --=得x 2=2x+a ．则-ax-2=2x+a ，即x=-1．把x=-1代入方程220x ax ++=，得1-a+2=0，解得a=3．故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，根据题意建立方程组是解题的关键．3．B【解析】【分析】利用因式分解法解方程，即可得到答案.【详解】解：()60x x -=，∴60x -=，0x =，∴120,6x x ==；故选择：B.【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法.4．B【解析】【分析】先系数化成1，再开方即可．【详解】解：3x 2=0，x 2=0，x 1=x 2=0，故选B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 5．B【解析】首先移项得：x 2－23x =－1，然后配方得：x 2－2 3x +（13）2=－1+（13）2，即（x －13）2=－89，方程无解. 故选B.点睛：若x 2为负数，则x 无解.6．A ．【解析】试题解析：∵a-b+c=0，且当x=-1时，a-b+c=0，∴x=-1是原方程的一个根．故选A ．考点：一元二次方程的解．7．C【解析】分析：①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设2x =21x ，得到1x •2x =221x =2，得到当1x =1时，2x =2，当1x =－1时，2x =－2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点（m ，n ）在反比例函数y=4x 的图象上，得到mn=4，然后解方程m 2x +5x+n=0即可得到正确的结论；详解：①由2x -2x-8=0，得：（x-4）（x+2）=0， 解得1x =4，2x =－2， ∵1x ≠22x ，或2x ≠21x ，∴方程2x -2x-8=0不是倍根方程；故①错误；②关于x 的方程2x +ax+2=0是倍根方程， ∴设2x =21x ， ∴1x •2x =221x =2， ∴1x =±1， 当1x =1时，2x =2， 当1x =－1时，2x =－2， ∴1x +2x =－a=±3， ∴a=±3，故②正确； ③关于x 的方程a 2x -6ax+c=0（a≠0）是倍根方程， ∴2x =21x ，∵抛物线y=a 2x -6ax+c 的对称轴是直线x=3， ∴抛物线y=a 2x -6ax+c 与x 轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0）， 故③正确；④∵点（m ，n ）在反比例函数y=4x的图象上， ∴mn=4， 解m 2x +5x+n=0得 1x =2m -，2x =8m-， ∴2x =41x ， ∴关于x 的方程m 2x +5x+n=0不是倍根方程； 故选C ．点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键．8．C【解析】【分析】利用配方法，方程两边同时加5即可求解．【详解】2410x x --=2445x x +=-()225x -=故答案为：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的转换问题，掌握配方法是解题的关键．9．A【解析】【分析】根据一元二次方程的的定义解答即可．【详解】解：①24x x = s 是一元二次方程； ②22x xy 40+= 不是一元二次方程；③2x 0= 是一元二次方程； ④2112x x-= 不是一元二次方程； ⑤()26x x 56x -=不是一元二次方程．所以是一元二次方程的为①③．故选A【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．10．C ．【解析】试题分析：∵α，β是方程x 2+2x-5=0的两个实数根，∴α+β=-2，又∵α2+αβ+2α=α（α+β）+2α，∴α2+αβ+2α=-2α+2α=0．故选C ．考点：根与系数的关系．11．x²+x+1=57【解析】【分析】由题意设每个支干长出 x 个小分支，每个小分支又长出 x 个分支，则又长出 x 2 个分支，则共有 x²+x+1 个分支，即可列方程． 【详解】设每个支干长出 x 个小分支， 根据题意列方程得：x²+x+1=57． 故答案为 x²+x+1=57． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解题的关键．12．8【解析】【分析】将x=m 代入解析式中，可得27m m =+，然后代入代数式中，然后根据韦达定理即可求出2m n +的值.【详解】解：由解的定义：270m m --=即27m m =+∴27m n m n +=++ 由韦达定理111m n -+=-= ∴78m n ++=故答案为：8.【点睛】此题考查的是一元二次方程解的定义和韦达定理，掌握“降次”的数学思想和韦达定理是解决此题的关键.13．2【解析】【分析】根据根与系数的关系变形后求解．【详解】解：∵x1、x2是方程x2−2x−1＝0的两根，∴x1＋x2＝2，x1×x2＝−1，∴x12＋x22＝（x1＋x2）2−2x1x2＝22−2×（−1）＝6．故答案为6．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1＋x2＝ba，x1•x2＝ca．14．x1=1，x2=2．【解析】【分析】移项后利用因式分解法进行求解即可.【详解】方程移项得：x（x-1）-2（x-1）=0，分解因式得：（x-1）（x-2）=0，可得x-1=0或x-2=0，解得：x1=1，x2=2．15．0【解析】试题解析：∵x1、x2是一元二次方程x2-4x+3=0的两根∴x1x2=3, x12-4x1+3=0∴x12-4x1=-3∴x1 2-4x1+x1x2=-3+3=0.16．√【解析】【分析】移项后用分解因式法解方程即可进行判断. 【详解】解：()()533x x x -=-， 移项，得()()5330x x x ---=， 即(51)(3)0x x --=， ∴5x ―1=0或x ―3=0， ∴13x =，215x =. 故答案为：√. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握分解因式法解方程的方法是正确判断的关键. 17．2． 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出AB +BC ＝k +1，AB •BC ＝14k 2+1，由勾股定理得出AB 2+BC 2＝5，得出方程（k +1）2﹣2（14k 2+1）＝5，求出方程的解即可． 【详解】解：根据根与系数的关系得：AB +BC ＝k +1，AB •BC ＝14k 2+1， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝90°，由勾股定理得：AB 2+BC 22＝5， （AB +BC ）2﹣2AB •BC ＝5， （k +1）2﹣2（14k 2+1）＝5， k ＝2，k ＝﹣6，当k ＝2时，AB +BC ＝K +1＝3，当k ＝﹣6时，AB +BC ＝k +1＝﹣5＜0，舍去， 故答案为：2．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，根与系数的关系的应用，关键是得出关于k 的方程． 18．2 【解析】试题解析：设方程221(2)104x k x k -++-=的两根为12,.x x 则有：2121212,14x x k x x k +=+=-，∵12,x x 互为倒数，221[(2)]41(1)04k k =-+-⨯⨯-≥2111,4k -= 解得：2 2.k = 故答案为：2 2.点睛：一元二次方程20ax bx c ++=的两根为12,.x x1212,.b cx x x x a a∴+=-=19．16 4 【解析】 【分析】根据完全平方式的特点，加上一次项系数一半的平方可得. 【详解】∵所给代数式的二次项系数为1，一次项系数为-8，等号右边正好是一个完全平方式， ∴常数项为（-8÷2）2 =16， ∴x 2 -8x+16=（x-4）2 ． 故答案为：(1). 16 (2). 4 【点睛】本题考核知识点：配方. 解题关键点：熟记完全平方式的特点. 20．7210或【解析】试题分析：先解出方程x 2﹣14x+48=0的两个根为6和8，再分长是8的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，根据勾股定理即可求得第三边的长。
2020-2021学年苏科版九年级数学第一学期第一章《一元二次方程》测试卷(含答案)
第一章《一元二次方程》 一、选择题（每题3分，共24分） 1.下列方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ）A.1122=+xx B.ax 2+bx+c=0 C 、x(x+2)=(x-1)(x-2) D. （x-1）(x+2)=1 2已知关于x 的一元二次方程x 2-kx-2=0的一个根是2，则k 的值是（ ）A.-2B.2C.1D.-13. 若一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ）A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-44. 一元二次方程5x 2-7x+5=0的根的情况为（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根5. 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x 米，则根据题意可列出方程为（ ）A.（22-x ）(17-x)=300B.(22-x)(17-x)-x 2=300C.(22-x)(17-x)+x 2=300D.22×17-x 2=3006. 若分式3652-+-x x x 的值为0，则x 的值为（ ） A.3 B.2 C.3或2 D.-37.已知一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长为方程（x-2）(x-4)=0的根，则这个三角形的周长为（ ）A.11B.11或13C.13D.以上选项都不正确8. 若方程()2519x -=的两根为a 和b ，且a b >，则下列结论中正确的是 （ ）A ．a 是19的算术平方根B ．b 是19的平方根C.5a -是19的算术平方根 D ．5b +是19的平方根 二、填空题：（每小题3分，共30分）9.若方程kx 2+x=3x 2+1是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是 .10. 如果a+b+c=0,则关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0,一定有一个根是 .11.若将方程x 2+6x=7化为（x+m ）2=16，则m= .12.已知方程4x 2=（1-x ）2，则x= .13. 已知关于x 的方程x ²－23x －k =0有两个相等的实数根，则k 的值为14.已知一个一元二次方程的根是3和-4，那么这个方程是 （写出一个符合要求的方程即可）.15.若（a 2+b 2+1）2=9,则a 2+b 2= .16.若关于x 的一元二次方程（2a+6）x 2+4x+2a 2-18=0的一个根是0，则a= .17. 已知x m =时，多项式2x x n ++的值为1-，则x m =-时，该多项式的值为 ．18.如图，在边长为6cm 的正方形ABCD 中，点P 从点A 开始沿AB 边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 和CD 边向D 点以2cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，△PBQ 的面积等于8cm 2．三、解答题：（共96分）19.（共20分）用适当方法解下列方程：（1）x²-2x-624=0 （2）4x 2-5x+1=0（3）4（2x-1）2-9(x+1)2=0 (4)x-3=4(x-3)220.（8分）已知实数m 是关于x 的方程2x 2-3x-1=0的一根，求代数式4m 2-6m-2017的值.21.（8分）对于二次三项式x 2-10x+36，小聪同学作出如下结论：无论x 取什么实数，它的值都不可能等于10，你同意他的说法吗？说明你的理由.22.（8分）已知：关于x 的方程01222=-++m mx x 。
2021年苏科版数学九年级上册第一章一元二次方程单元测试卷含答案
一元二次方程单元测试一、单选题（1-10题，每题3分，共30分）1．方程245x x +=化为一般形式后，,,a b c 的值分别是（ ） A ．4,1,5a b c === B ．1,4,5a b c === C ．4,1,5a b c ===-D ．4,5,1a b c ==-=2． a 是方程x 2+x ﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a 2﹣2a +2020的值是（ ） A ．2018B ．2019C ．2020D ．20213．关于x 的一元二次方程x （x +1）﹣3＝mx 的根的情况是（ ） A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判断4．已知关于x 的一元二次方程20x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为（ ） A ．3B ．6±C ．6D ．3±5．一元二次方程x 2﹣9＝0的两根分别是a ，b ，且a ＞b ，则2a ﹣b 的值为（ ） A ．3B ．﹣3C ．6D ．96．设a 、b 是方程x 2＋x －2021＝0的两个实数根，则a 2+ab ＋2a ＋b 的值是（ ） A ．2020B ．2021C ．-1D ．-27．关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋c ＝0有实数根，则c 应满足的条件是（ ） A ．c ≤4B ．c ≥4C ．c ＜4D ．c ＞48．有两个一元二次方程22:0,:0M ax bx c N cx bx a ++=++=，其中0,a c a c ⨯≠≠；下列四个结论中错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根B ．如果方程M 的两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同C ．如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =9．某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张照片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ） A ．()12550x x += B ．()12550x x -= C ．()212550x x +=D ．()125502x x -=⨯10．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n 行有n 个点…，前n 行的点数和不能是以下哪个结果 （ ）A ．741B ．600C ．465D ．300二、填空题(11-18题，每题2分，共16分)11．方程22(2)(3)20m m x m x --+--=是一元二次方程，则m=_____． 12．如果关于x 的方程2610x x m -+-=有一个根为2，那么m=_________． 13．如果m 是关于x 的方程x 2+2x ﹣3＝0的一个根，则2m 2+4m ＝_____．14．已知关于x 的一元二次方程()221210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为________．15．若m 是方程2x 2-3x ﹣1＝0的根，则式子6m -4m 2+2023的值为_____．16．已知a 是方程2202110x x -+=的一个根，则322202120211a a a --=+____． 17．关于x 的方程a （x+m ）2+b=0的根是x 1=5，x 2=-6，（a ，b ，m 均为常数，a ≠0），则关于x 的方程a （x+m+2）2+b=0的根是__________18．已知m 是方程x 2+x-1=0的根，则式子m 3+2m 2+2017的值为__________．三、解答题（共74分）19．（12分）解方程（1）（x+1）2﹣64=0 （2）x 2﹣4x+1=0（3）x 2 + 2x －2＝0（配方法） （4）x 2-2x-8=020．（8分）已知a ，b ，c 为有理数，且多项式32x ax bx c +++能够写成()2344c x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的形式．（1）求4a c +的值． （2）求22a b c --的值．（3）若a ，b ，c 为整数，且1c a ≥>，试求a ，b ，c 的值．21．（6分）已知关于x 的一元二次方程()222110x m x m ++++=．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221215x x +=，求实数m 的值．22．（6分）已知关于x 的方程2(41)10kx k x k -++-=（k 为实数，且0k ≠）的两根为α，β． （1）若3k =，求αββα+的值 （2）若α，β都是整数，求k 的值23．（10分）如果关于 x 的一元二次方程 a 2x +bx+c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程2x +x ＝0 的两个根是 1x ＝0，2x ＝﹣1，则方程 2x +x ＝0 是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ①2x ﹣x ﹣6＝0；②22x ﹣x+1＝0．（2）已知关于 x 的方程2x ﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值；（3）若关于 x 的方程 a 2x +bx+1＝0（a 、b 是常数，a ＞0）是“邻根方程”，令 t ＝8a-2b ，试求 t 的最大值．24．（10分）已知：如图所示，在ABC 中，90B ∠=︒，5AB cm =，7BC cm =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动．当P 、Q 两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PBQ △的面积等于24cm ？（2）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于？ （3）PQB △的面积能否等于27cm ？请说明理由．25．（10分）为了提高石柱县在全国的知名度，重庆市政府结合石柱县当地实际情况，重点扶持农户发展特色农业莼菜和黄连．石柱县在劳动节举办了蔬菜直销，石柱黄水镇一农户在现场销售“莼菜”和“黄连”两种农产品。
第1章 一元二次方程 单元测试题 (含详案)苏科版九年级数学上册
九年级数学上册《第1章一元二次方程》单元测试一、单选题（满分32分）1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．x2=1B．x2―2y+1=0C．x2+1x=2D．ax2+bx+c=0 2．一元二次方程2x2―12x―9=5的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，―12，14B．2，―12，―14C．2，12，14D．2，12，―143．关于x的一元二次方程(a―3)x2+x―a2+9=0的一个根为0，则a的值是（）A．3或―3B．3C．―3D．94．用配方法解一元二次方程x2―6x―10=0，此方程可变形为（ ）A．(x+3)2=19B．(x―3)2=19C．(x+2)2=1D．(x―3)2=15．若4a+2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一根为（）A．―2B．0C．2D．―2或26．一元二次方程(x―2)2=x―2的根是（）A．x=2B．x1=1,x2=3C．x=3D．x1=2，x2=3 7．若关于x的一元二次方程x2―4x+2k=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k>2B．k≥2C．k<2D．k≤28．某商品原价为100元，连续两次降价后为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（）A．81(1+x)2=100B．100(1―x)2=81C．100(1―2x)=81D．81(1+2x)=100二、填空题（满分32分）9．若(m+1)x m2+1―2x―5=0是关于x的一元二次方程，则m=．10．已知代数式x2―2比2x+1小4，则x=．11．已知关于x的一元二次方程(a―3)x2―2x―3=0有一根为1，则a的值为．12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，且x1+x2=5,x1⋅x2=6，则该一元二次方程是．13．若(a2+b2)2―2(a2+b2)―8=0，则代数式a2+b2的值为14．若x1，x2是方程2x2+6x―8=0的两个根，则1x1+1x2的值为．15．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都互相握一次手，一共握手28次，问这次参加聚会的人数是多少？若设这次参加聚会的人数为x人，则可列出的方程是．16．在“一圈两场三改”活动中，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形场地上修建三条同样宽且互相垂直的小路，剩余的空地上种植草坪．根据规划，小路分成的六块草坪总面积为570m2（如图所示）．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为x m，根据题意所列方程是．三、解答题（满分56分）17．用适当的方法解方程：(1)y2―2y―3=0(2)(2t+3)2=3(2t+3)18．已知关于x的一元二次方程mx2―(m+3)x+3=0有两个相等的实数根．求m的值．19．已知关于x的一元二次方程x2―(2k+1)x+2k2=0的两根x1，x2满足x21+x22=5，求k的值．20．已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1，x2是原方程的两根，且|x1―x2|=25，求m的值．21．如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡合的一边利用长为12m的墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1m宽的门．(1)矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为80m2(2)鸡舍面积能否达到86m222．商场销售某种商品，进价200元，每件售价250元，平均每天售出30件，经调查发现：当商品销售价每降低1元时，平均每天可多售出2件．(1)当商品售价降价5元时，每天销售量可达到____________件，每天盈利__________元；(2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2100元？(3)在（2）题条件下，降价后每件商品的利润率是____________．参考答案1．解：A．符合一元二次方程的定义，故A符合题意；B．含有两个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意；C．等式左边含有分式，不是一元二次方程，故C不符合题意；D．ax2+bx+c=0中应该a≠0才是一元二次方程，故D不符合题意．故选：A．2．解：∵一元二次方程2x2―12x―9=5可化为：2x2―12x―14=0，∴二次项系数为2、一次项系数为―12、常数项为―14．故选：B．3．解：将x=0代入方程(a―3)x2+x―a2+9=0得：―a2+9=0，解得：a=±3，∵a―3≠0，∴a=―3，故选：C．4．解：∵x2―6x―10=0，∴x2―6x=10，∴x2―6x+9=19，∴(x―3)2=19，故选：B．5．解：对于ax2+bx+c=0(a≠0)，当x=2时，4a+2b+c=0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一根为x=2．故选：C．6．解：(x―2)2=x―2，整理得：(x―2)2―(x―2)=0，∴(x―2)(x―2―1)=0，∴x1=2，x2=3，故选：D．7．解：Δ=(―4)2―4×1×2k=16―8k，∵一元二次方程x2―4x+2k=0有实数根，∴Δ≥0，∴16―8k≥0，∴k≤2．故选：D．8．解：由题意得：100(1―x)2=81．故选：B．9．解：由题意知：m2+1=2且m+1≠0，解得m=1，故答案为：1．10．解：根据题意得：x2―2=2x+1―4，解得：x1=x2=1，故答案为：1．11．解：由题意得：(a―3)×12―2×1―3=0，解得：a=8；故答案为：8．12．解：∵该方程的两个根x1，x2满足x1+x2=5,x1⋅x2=6，∴―b1=5，c1=6，则b=―5，c=6，∴此时该方程为x2―5x+6=0．故答案为：x2―5x+6=0．13．解：设a2+b2=x，则原方程换元为x2―2x―8=0，∴(x―4)(x+2)=0，解得x1=4，x2=―2（不合题意，舍去），∴a2+b2的值为4．故答案为：4．14．解：∵x1，x2是方程2x2+6x―8=0的两个根，∴x1+x2=―62=―3，x1⋅x2=―4则1x1+1x2=x1+x2x1x2=―3―4=34故答案为：3415．解：参加聚会的人数为x人，每个人都要握手(x―1)次，根据题意得：1x(x―1)=28，2x(x―1)=28．故答案为:1216．解：设道路的宽为x m，则草坪的长为（32―2x）m，宽为（20―x）m，根据题意得：(32―2x)(20―x)=570．故答案为：(32―2x)(20―x)=570．17．（1）解：配方得：(y―1)2=4，开平方得，y―1=±2，则y―1=2或y―1=―2，解得y1=3，y2=―1；（2）解：(2t+3)2=3(2t+3)，∴(2t+3)2―3(2t+3)=0，∴(2t+3)(2t+3―3)=0，∴2t(2t+3)=0，∴2t+3=0或2t=0，，t2=0．∴t1=―3218．解：∵方程mx2―(m+3)x+3=0有两个相等的实数根，∴Δ=(m+3)2―12m=m2―6m+9=0解得m1=m2=3，∴m的值为3．19．解：根据题意，得x1+x2=2k+1，x1x2=2k2．∵x21+x22=(x1+x2)2―2x1x2∴(2k+1)2―2×2k2=4k+1=5，解得k=1．20．（1）解：原方程总有两个不相等的实数根，x2+(m+3)x+m+1=0中a=1，b=m+3，c=m+1，∴Δ=b2―4ac=(m+3)2―4×1×(m+1)=m2+2m+5，∴Δ=(m+1)2+4>0，∴无论m取何值，原方程的判别式恒大于零，∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．（2）解：x2+(m+3)x+m+1=0中a=1，b=m+3，c=m+1，且x1，x2是原方程的两根，|x1―x2|=25，∴x1+x2=―ba =―(m+3)，x1•x2=ca=m+1，∴(x1+x2)2=x12+2x1x2+x22=(m+3)2，则x12+x22=(m+3)2―2(m+1)，∵|x1―x2|=25，即(x1―x2)2=(25)2，∴x12+x22―2x1x2=20，∴(m+3)2―2(m+1)―2(m+1)=20，整理得，m2+2m―15=0，解方程得，m1=3，m2=―5，∴m的值3或―5．21．（1）解：设矩形鸡舍垂直于房墙的一边AB长为am，则矩形鸡舍的另一边BC长为（26―2a）m．依题意，得a（26―2a）=80，解得a1=5，a2=8．当a=5时，26―2a=16＞12（舍去），当a=8时，26―2a=10＜12．答：矩形鸡舍的长为10m，宽为8m；（2）解：当S=86m2，则a（26―2a）=86，整理得：a2―13a+43=0，则Δ=169―172=―3＜0，故所围成鸡舍面积不能为86平方米．题的关键．22．（1）解：根据题意得，现在售出的件数是30+2×5=40，利润是(245―200)×40=45×40=1800元．（2）解：设每件商品降价x元，则现在售价是(250―x)元，利润是(250―x―200)元，售出件数是(30+2x)件，利润达到2100元，∴(250―x―200)(30+2x)=2100，解方程得，x1=20，x2=15，∵为了让顾客得到更多的实惠，∴x=20，即商品降价20元．（3）解：售价是250―20=230元，利润是230―200=30元，×100%=15%．∴利润率是30200。
苏科版2020九年级数学上册第1章一元二次方程单元综合基础测试题1(附答案详解)
苏科版2020九年级数学上册第1章一元二次方程单元综合基础测试题1（附答案详解） 1．已知关于x 的一元二次方程2210ax x --=有两个不相等的实数根，则二次项系数a 的取值范围是（ ）A ．1a >-B ．2a >-C ．1a >且0a ≠D ．1a >-且0a ≠2．若关于x 的方程 ()2m 110x mx -+-= 是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≠. B ．m 1=. C ．m 1≥ D ． m 0≠.3．若1x ，2x 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个根，则12x x 的值是（ ）A ．4B ．－3C ．－4D ．3 4．如果2212(3)93a ax x x m -+=-+，那么a ，m 的值分别为( ) A ．3，0 B ．9，89 C ．9，13D ．89，9 5．方程20+3-1x x =的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 6．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．x 2+2y ＝1B ．x 3﹣2x ＝3C ．x 2+21x ＝5D ．x 2＝07．若一元二次方程x 2﹣2x-m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m≥-1 B ．m≤1 C ．m ＞-1 D ．m ＜-18．用配方法解下列方程，其中应在两边都加上16的是( )A ．x 2﹣4x+2=0B ．2x 2﹣8x+3=0C ．x 2﹣8x=2D ．x 2+4x=29．方程2x(x ﹣3)＝7化成一般形式后，若二次项系数为2，则常数项为( )A ．﹣6B ．7C ．﹣7D ．610．我们知道方程x 2+2x ﹣3=0的解是x 1=1，x 2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是A ．x 1=1，x 2=3B ．x 1=1，x 2=﹣3C ．x 1=﹣1，x 2=3D ．x 1=﹣1，x 2=﹣3 11．某种品牌的笔记本电脑原价为5000元，如果连续两次降价的百分率都为10%，那么两次降价后的价格为_____元．12．方程2240x x --=的解是______.13．写出一个关于x 的一元二次方程，使方程的两根互为相反数，且二次项系数为1，此方程是______.14．当m =_____时，关于x 的一元二次方程21402x x m -+-=有两个相等的实数根. 15．用配方法解方程x 2﹣8x +2＝0，则方程可变形为（ ） A ．（x ﹣4）2＝5 B ．（x +4）2＝21 C ．（x ﹣4）2＝14D ．（x ﹣4）2＝8 16．已知 x=2 是一元二次方程 x²+x+m=0 的一个根，则方程的另一个根是 ( )A ．-3B ．-6C ．0D ．-117．一元二次方程4x 2= 3x 的解是_____________．18．有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程__．19．一元二次方程290x x +=的解是______．20．若方程x 2﹣4x +m ＝0有两个实数根，则m 的取值范围是_____．21．某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可售出20件，每件衬衣盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利1200元，每件衬衣降价多少元？22．解下列方程：（1）x 2﹣2x ﹣8＝0（2）3x （x ﹣1）＝﹣2（x ﹣1）23．解方程：（1）x 2﹣2x ﹣15＝0（2）4x 2﹣8x+1＝024．解下列方程（1）2430x x --= （2）231212x x -=-（配方法）25．对任意一个正整数m ，如果()m n n 1=+，其中n 是正整数，则称m 为“优数”，n 为m 的最优拆分点，例如：()72881=⨯+，则72是一个“优数”，8为72的最优拆分点．()1请写出一个大于40小于50的“优数”______，它的最优拆分点是______．()2把“优数”p 的2倍与“优数”q 的3倍的差记为()D p,q ，例如：2045=⨯，623=⨯，则()D 20,62203622.=⨯-⨯=若“优数”p 的最优拆分点为t 4+，“优数”q 的最优拆分点为t ，当()D p,q 76=时，求t 的值并判断它是否为“优数”．26．解方程：（1）x 2﹣2x ＝4﹣2x ；（2）x 2+3x+1＝0．27．关于x 的一元二次方程()2320x m x ---= ， （1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程有一个实数根为2，求m 的值及方程的另一个根．28．用适当的方法解下列一元二次方程：(1) 3(21)24x x x +=+ (2) 22x =-29．解下列方程：(1)2x 2﹣6x+3＝0(2)（x+2）2+4（x+2）﹣12＝030．用条长40厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为x 厘米．（1）若矩形的面积为96平方厘米，求x 的值；（2）矩形的面积是否可以为101平方厘米？如果能，请求x 的值；如果不能，请说明理由．参考答案1．D【解析】【分析】由关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围．【详解】∵一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，∴△=（-2）2-4×a×（-1）＞0，且a≠0，解得：a＞-1且a≠0，故选D．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△＞0．2．A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，再解即可．【详解】由题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故选A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．3．D【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=ca解答并作出选择．【详解】∵一元二次方程x2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3，∴x1•x2=ca=3．故选D．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系．解答此题时，注意，一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=ca中的a与c的意义．4．B【解析】【分析】先将右边的式子展开，再通过与给出的式子进行左右之间的对比，即可得到结果. 【详解】解：221139239x m x x m ⎛⎫-+=-++⎪⎝⎭，∴a=9，199am =+，∴m=8 9故选B.【点睛】本题主要考查学生对一元二次方程的理解与应用及对完全平方公式的掌握.5．B【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=13＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根．【详解】∴在方程x2+3x-1=0中，△=32-4×1×（-1）=13＞0，∴方程x2+3x-1=0有两个不相等的实数根．故选：B．【点睛】此题考查根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键． 6．D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：A 、x 2+2y ＝1是二元二次方程，故A 错误；B 、x 3﹣2x ＝3是一元三次方程，故B 错误；C 、x 2+21x＝5是分式方程，故C 错误； D 、x 2＝0是一元二次方程，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了一 元二次方程的定义，掌握其定义 是解题的关键.7．C【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式△>0,即可得出关于m 的一元一次不等式,解之即可得出实数m 的取值范围【详解】方程x 2-2x-m=0有两个不相同的实数根,∴△=(-2) 2+4m>0,解得:m ＞-1故选:C【点睛】此题考查一元二次方程的判别式，解题关键在于根据△>0，进行计算8．C【解析】A选项移项，得x2﹣4x=－2，配方，得x2﹣4x+22=－2+22，即（x－2）2=2；B选项移项，得2x2﹣8x=－3，二次项系数化为1，得x2－4x=－32，配方，得x2－4x+22=－32+22，即（x－2）2=52；C选项配方，得x2﹣8x+42=2+42，即（x－4）2=18；D选项配方，得x2+4x+22=2+22，即（x+2）2=6.故选C.点睛：配方的时候先移项，再将二次项系数化为1，然后方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方.9．C【解析】【分析】先将方程化为一般式后即可求出常数项．【详解】解：2x（x-3）=7化成一般形式2x2-6x-7=0，∴常数项为-7，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是正确理解一元二次方程的一般式．10．D【解析】【分析】将x1=1，x2=﹣3代入到方程中，对比前后的方程解的关系，即可列出新的方程.【详解】将x1=1，x2=﹣3代入到x2+2x﹣3=0得12+2×1﹣3=0，（-3）2+2×（-3）﹣3=0对比方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，可得2x+3=1或﹣3解得：x1=﹣1，x2=﹣3故选D.此题考查的是方程的解，掌握前后方程解的关系是解决此题的关键.11．4050【解析】【分析】根据题意可知第一次降价为5000（1-10%）=4500,第二次降价为4500（1-10%）=4050.【详解】解：依题意得：5000（1-10%）2=4050.【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,熟悉降价率的计算方法是解题关键.12．11x =21x =【解析】【分析】利用公式法求解可得.【详解】解：方程2240x x --=中，1a =，2b =-，4c =-，∴()()2242414200b ac ∆=-=--⨯⨯-=>方程有两个不等的实数根，∴()212x --=⨯，即：11x =21x =故答案为：11x =21x =【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 13．x 2−4=0.【解析】因为方程的两根互为相反数，所以两根之和为0，即一次项系数为0，方程可设为x2+a=0（a≤0）．任意取一a值，即得所求方程．故此题答案不唯一．【详解】∵方程的两根互为相反数，根据两根之和公式可知一次项系数为0，为了保证方程有意义，△必须大于等于0.所以一元二次方程可写为x2−4=0.故答案为：x2−4=0.【点睛】此题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，解题关键在于掌握其定义.14．4.5【解析】【分析】当△＝0，即△＝b2−4ac＝（−4）2−4×1×（m−12）＝18−4m＝0，关于x的一元二次方程21402x x m-+-=有两个相等的实数根，即可解得m的值. 解答：点评：【详解】解：当△＝0时，即△＝b2−4ac＝（−4）2−4×1×（m−12）＝18−4m＝0原方程有两个相等的实数根．由18−4m＝0，解得m＝4.5．故填：4.5.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2−4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．15．C【解析】【分析】按照配方法的过程进行配方，即可得出答案．【详解】解：x2﹣8x+2＝0，x2﹣8x＝﹣2，x2﹣8x+16＝﹣2+16，（x﹣4）2＝14，故选C．【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法——配方法. 掌握配方法的步骤是解题的关键．16．A【解析】【分析】设方程另一个根为x1，根据根与系数的关系得x1+2=-1，然后解方程即可．【详解】解：设方程另一个根为x1，根据根与系数的关系得:x1+2=-1，解得x1=-3．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x2=ca．17．x1 =0, x2=3 4【解析】【分析】先移项，然后利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解，再来解方程．【详解】由原方程得到：x(4x−3)=0，解得x 1 =0, x 2=34. 故答案为：x 1 =0, x 2=34. 【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则.18．1(1)452x x -= 【解析】【分析】先列出x 支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛1(1)2x x -场，再根据题意列出方程为1(1)452x x -=． 【详解】 解：有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为1(1)2x x -， ∴共比赛了45场， ∴1(1)452x x -=， 故答案为：1(1)452x x -=． 【点睛】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系． 19．0x =或9x =-【解析】【分析】因式分解法求解可得．【详解】解：()90x x +=，0x ∴=或90x +=，解得：0x =或9x =-，故答案为：0x =或9x =-．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 20．m ≤4【解析】【分析】由于方程有两个实数根，那么其判别式是非负数，列出关于m 的不等式、解不等式、即可求出m 的取值范围.【详解】解：∵方程x 2﹣4x +m ＝0有两个实数根，∴△＝b 2﹣4ac ＝16﹣4m ≥0，∴m ≤4．故答案为：m ≤4．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即（1）△>0-方程有两个不相等的实数根；（2）△=0-方程有两个相等的实数根；（3）△<0-方程没有实数根.21．20元．【解析】【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．【详解】解：设每件衬衫应降价x 元．根据题意，得（ 40-x ）（20+2x ）=1200整理，得x 2-30x +200=0解得x 1=10，x 2=20．∵“扩大销售量，减少库存”，∴x 1=10应略去，∴x =20．答：每件衬衫应降价20元．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是读清题意，进行解答.22．（1）x ＝﹣2或x ＝4；（2）x 1＝1，x 2＝﹣23． 【解析】【分析】（1）用分解因式法求解即可.(2)用分解因式法求解即可；【详解】解：（1）∵（x +2）（x ﹣4）＝0，∴x +2＝0或x ﹣4＝0，解得：x ＝﹣2或x ＝4；（2）3x （x ﹣1）+2（x ﹣1）＝0，（x ﹣1）（3x +2）＝0，x ﹣1＝0或3x +2＝0，所以x 1＝1，x 2＝﹣23． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的一半解法有：直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法.23．（1）x 1＝5，x 2＝﹣3（2）x 1＝12+，x 2＝12- 【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用配方法解方程．【详解】（1）（x ﹣5）（x+3）＝0，x ﹣5＝0或x+3＝0，所以x 1＝5，x 2＝﹣3；（2）x 2﹣2x ＝﹣14， x 2﹣2x+1＝﹣14+1， （x ﹣1）2＝34，x ﹣1＝±2，所以x 1＝1+x 2＝1 【点睛】 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解一元二次方程．24．（1）12x =，22x =；（2）122x x ==．【解析】【分析】（1）利用配方法解方程；（2）利用配方法解方程；【详解】解：（1）2430x x --=24=3-x x244=7-+x x()22=7-x∴2x -=解得：12x =，22x =（2）231212x x -=-244x x -=-2440x x -+=()220x -=∴122x x ==【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握直接开方法、因式分解法、公式法、配方法是解题的关键.25．()1426?，；()2t 3=或t 12= ；3不是“优数”，12是“优数”．【解析】【分析】()16742⨯=，根据优数和最优拆分点定义即可得出；()2先根据p ，q 为优数和(),76D p q =建立方程，再解方程求出t 的值，最后根据优数定义判断t 是否为“优数”．【详解】() 16742⨯=，∴“优数”为42，它的最优拆分点是6，故答案为42；6()2由题意知，()()p t 4t 5=++，()q t t 1=+，()D p,q 2p 3q =-，()()()2t 4t 53t t 176∴++-+=，t 3∴=或t 12= 3不能写成()n n 1+的形式，()12331=⨯+，3∴不是“优数”，12是“优数”．【点睛】本题是新定义问题，正确理解优数和最优拆分点的定义是解题的关键．26．（1）x 1＝﹣2，x 2＝2；（2）x 1x 2＝【解析】【分析】（1）整理得到x 2﹣4＝0，然后利用因式分解法解方程；（2）利用求根公式法解方程．【详解】（1）x 2﹣4＝0，（x +2）（x ﹣2）＝0，所以x 1＝﹣2，x 2＝2；（2）△＝32﹣4×1×1＝5，x =，所以x 1=，x 2= 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．27．（1）见解析；（2）－1【解析】【分析】（1）求出b 2-4ac 的值，再根据根的判别式的内容判断即可；（2）把2x =代入方程，求出m 的值，再解方程求出即可．【详解】（1）证明：∵()224380b ac m ∆=-=+->∴方程总有两个不相等的实数根.（2）解：把2x =代入方程，得：()42320m ---=解得4m =将4m =代入方程，得：220x x --=解得：x 1=-1，x 2=2，即4m =，方程的另一个根为-1．【点睛】本题考查了解一元二次方程和根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键．28．（1）1221,32x x ==-；（2）12x x ==【解析】【分析】（1）移项后用因式分解法求解即可；（2）移项后用完全平方公式分解因式求解即可.【详解】(1) ∵3(21)2(21)x x x +=+，∴(32)(21)0x x -+=， ∴1221,32x x ==-；(2) ∵220x -+= ，∴2(0x -= ，∴12x x ==.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.29．（1）x ＝32+或x 2）x ＝0或x ＝﹣8． 【解析】【分析】（1）利用公式法解一元二次方程；（2）利用设元法，化繁为简，解一元二次方程.【详解】解：（1）a ＝2，b ＝﹣6，c ＝3，b 2﹣4ac ＝36﹣24＝12，622x ±=⨯x=x=；（2）令x+2＝y，则原方程可化为y2+4y﹣12＝0，解得：y＝2或y＝﹣6，即：x+2＝2或x+2＝﹣6，解得：x＝0或x＝﹣8．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．30．(1) 8或12；(2)见解析.【解析】【分析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（20-x）cm，再利用矩形面积公式列出方程x（20-x）=96或x（20-x）=101，得出根据根的判别式的符号，进而得出答案．【详解】解：（1）根据题意得：402•2xx-＝96，解得：x＝8或12，答：x＝8或12；（2）矩形的面积不能为101平方厘米，理由是：假设矩形的面积可以为101平方厘米，则x（20﹣x）＝101，x2﹣20x+101＝0，△＝（﹣20）2﹣4×1×101＜0，此方程无解，所以矩形的面积不能为101平方厘米．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是熟练运用求根公式.。
苏科版 九年级上册第1章《一元二次方程》检测卷 含详细答案
苏科版2020年九年级上册第1章《一元二次方程》检测卷满分120分姓名：___________班级：___________学号：___________题号一二三总分得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2+2xy＝1 B．x2+x+1 C．x2＝4 D．ax2+bx+c＝0 2．方程2x2+4x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，﹣3，﹣4 B．2，﹣4，﹣3 C．2，﹣4，3 D．2，4，﹣33．一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（）A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝8 D．（x+3）2＝10 4．一元二次方程x2﹣kx+2＝0的一个根为2，则k的值是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣35．下列关于一元二次方程ax2+bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．方程没有实数根D．方程有一个实数根6．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20227．用公式法解一元二次方程，正确的应是（）A．B．C．D．8．下列说法中，正确的是（）A．方程＝4的根是x＝±16B．方程＝﹣x的根是x1＝0，x2＝3C．方程+1＝0没有实数根D．方程3﹣的根是x1＝2，x2＝69．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则＝（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣10．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（）A．（1+n）2＝931 B．n（n﹣1）＝931 C．1+n+n2＝931 D．n+n2＝931二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．已知，关于x的方程（a+5）x2﹣2ax＝1是一元二次方程，则a．12．一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的根是．13．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为14．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的两个根，且x1+x2＝3，则m的值是．15．关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0．其根的判别式的值为1，则该方程的根为．16．如图是一张长20cm、宽12cm的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是180cm2的无盖长方体纸盒，则x 的值为．三．解答题（共8小题，满分66分）17．（12分）用适当的方法解一元二次方程（1）（x﹣1）2＝4；（2）（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；（3）2x2+5x﹣1＝0 （4）（x﹣1）（x﹣3）＝818．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天赢利600元，每件衬衫应降价多少元？19．（7分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．20．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k+1＝0有二个不相等的实根x1和x2，（1）若，求k的值；（2）求m＝（）（）+2k2+2k的最大值．21．（8分）为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，已知每次下降的百分率相同．（1）求这种药品每次降价的百分率是多少？（2）已知这种药品的成本为100元，若按此降价幅度再一次降价，药厂是否亏本？22．（8分）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．（1）求该广场绿化区域的面积；（2）求广场中间小路的宽．23．（9分）已知关于x的方程．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；（3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？24．（9分）阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组，消去y化简得：2x2﹣7x+6＝0，∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A、该方程属于二元二次方程，故本选项不符合题意．B、它不是方程，故本选项不符合题意．C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．D、当a＝0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：C．2．解：方程2x2+4x﹣3＝0的二次项系数是2，一次项系数是4、常数项是﹣3，故选：D．3．解：∵x2﹣6x﹣1＝0，∴x2﹣6x＝1，∴（x﹣3）2＝10，故选：B．4．解：把x＝2代入x2﹣kx+2＝0得4﹣2k+2＝0，解得k＝3．故选：C．5．解：∵△＝b2﹣4a×0＝b2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B．6．解：∵把x＝﹣1代入ax2+bx﹣1＝0得：a﹣b﹣1＝0，∴a﹣b＝1，∴2014+2a﹣2b＝2020+2（a﹣b）＝2020+2＝2022．故选：C．7．解：方程整理得：4x2﹣8x﹣1＝0，这里a＝4，b＝﹣8，c＝﹣1，∵△＝64+16＝80，∴x＝＝，故选：B．8．解：当x＝﹣16时，没有意义，故选项A错误；当x＝3时，＝＝3，而﹣x＝﹣3，3≠﹣3，故选项B错误；∵≥0，则+1≥1，故选项C正确；3﹣不是方程，故选项D错误．故选：C．9．解：根据题意得m+n＝3，mn＝﹣1，所以＝．故选：B．10．解：由题意，得n2+n+1＝931，故选：C．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．解：由关于x的方程（a+5）x2﹣2ax＝1是一元二次方程，得a+5≠0，解得a≠﹣5．故答案为：≠﹣5．12．解：∵（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3，故答案为：x1＝2，x2＝3．13．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0 ∴m﹣2≠0，m2﹣3m+2＝0，解得：m＝1，故答案为：1．14．解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的两个根，且x1+x2＝3，∴m﹣1＝3，∴m＝4．故答案为：4．15．解：根据题意△＝（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣1）＝1，解得m1＝0，m2＝2，而m≠0，∴m＝2，此时方程化为2m2﹣5x+3＝0，（2x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x1＝，x2＝1．故答案为x1＝，x2＝1．16．解：依题意，得：（20﹣2x）（12﹣2x）＝180，整理，得：x2﹣16x+15＝0，解得：x1＝1，x2＝15．∵12﹣2x＞0，∴x＜6，∴x＝1．故答案为：1．三．解答题（共8小题，满分66分）17．解：（1）开方得：x﹣1＝±2，即x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，∴x1＝3，x2＝﹣1；（2））（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，∴x﹣3＝0或3x﹣3＝0，∴x1＝3，x2＝1；（3）这里a＝2，b＝5，c＝﹣1，∵b2﹣4ac＝25﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝；（4）整理为x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，∴x﹣5＝0或x+1＝0，∴x1＝5，x2＝﹣1．18．解：设每件衬衫降价x元，则每件赢利（40﹣x）元，每天可以售出（10+x）件，依题意，得：（40﹣x）（10+x）＝600，整理，得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．∵为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，∴x的值应为20．答：若商场平均每天要盈利600元，每件衬衫应降价20元．19．解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是整数）．∵a＝m2﹣1，b＝﹣9m+3，c＝18，∴b2﹣4ac＝（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）＝9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2＝＝，∴也是正整数，即m2﹣1＝1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m＝2；（2）把m＝2代入两等式，化简得a2﹣4a+2＝0，b2﹣4b+2＝0当a＝b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2＝0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b＝4＞0，ab ＝2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12＝c2故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝．②a＝b＝2﹣，c＝2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a＝b＝2+，c＝2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC＝×（2）×＝综上，△ABC的面积为1或．20．解：（1）∵x1、x2是方程x2﹣（2k+1）x+k+1＝0的实根，∴∴x1+x2＝2k+1，x1x2＝k+1．∵，∴＝＝﹣2＝，即8k2﹣k﹣7＝0，解得：k1＝﹣，k2＝1．∵方程x2﹣（2k+1）x+k+1＝0有二个不相等的实根，∴△＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k+1）＝4k2﹣3＞0，∴k＜﹣或k＞，∴k1＝﹣，k2＝1符合题意；（2）∵x1+x2＝2k+1，x1x2＝k+1．∴m＝（）（）+2k2+2k＝（x1x2）2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2+1+2k2+2k ＝﹣k2+2k+3＝﹣（k﹣1）2+4，∴k＝﹣1时，m有最大值4．21．解：（1）设这种药品每次降价的百分率是x，依题意，得：200（1﹣x）2＝128，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．答：这种药品每次降价的百分率是20%．（2）128×（1﹣20%）＝102.4（元），∵102.4＞100，∴按此降价幅度再一次降价，药厂不会亏本．22．解：（1）18×10×80%＝144（平方米）．答：该广场绿化区域的面积为144平方米．（2）设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18（不合题意，舍去）．答：广场中间小路的宽为1米．23．解：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）＝4（k﹣）2≥0，此时方程有两个实数根．综上所述，无论k取何值，此方程总有实数根．（2）若x＝1是这个方程的一个根，则1﹣（2k+1）+4（k﹣）＝0，解得k＝1，∴关于x的方程x2﹣3x+2＝0，解方程得x1＝1，x2＝2，∴方程的另一根是2；（3）当a＝4为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则△＝0．∴4（k﹣）2＝0，解得：k＝．此时原方程化为x2﹣4x+4＝0∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．此时△ABC三边为4，2，2，构不成三角形，当a＝4为腰，则b＝4为腰长，c为底，则16﹣4（2k+1）+4（k﹣）＝0，求得k＝，∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0．解得x＝2或4，∴c＝2，∴周长为4+4+2＝10．故这个等腰三角形的周长是10．24．解：（1）利用求根公式可知：x1＝＝，x2＝＝2．故答案为：；2．（2）设所求矩形的两边分别是x和y，根据题意得：，消去y化简得：2x2﹣3x+2＝0．∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，∴该方程无解，∴不存在满足要求的矩形B．（3）设所求矩形的两边分别是x和y，根据题意得：，消去y化简得：2x2﹣（m+n）x+mn＝0．∵矩形B存在，∴b2﹣4ac＝[﹣（m+n）]2﹣4×2mn≥0，∴（m﹣n）2≥4mn．故当m、n满足（m﹣n）2≥4mn时，矩形B存在．。
苏科版2020-2021学年九年级数学上册第1章一元二次方程单元检测题(含答案)
第1章 一元二次方程一、选择题(每小题3分，共21分)1．下列方程是一元二次方程的是( )A ．3x ＋1＝0B ．5x 2－6y －3＝0C ．ax 2－x ＋2＝0D ．3x 2－2x －1＝02．一元二次方程x 2－6x －6＝0配方后化为( )A ．(x －3)2＝15B ．(x －3)2＝3C ．(x ＋3)2＝15D ．(x ＋3)2＝33．一元二次方程3x 2－1＝2x ＋5的两实数根的和与积分别是( )A.32，－2 B.23，－2 C ．－23，2 D ．－32，2 4．已知m 是方程x 2－x －2＝0的一个根，则代数式m 2－m －3的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－15．关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－2x －1＝0有两个实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥0B ．m ＞0C ．m ≥0且m ≠1D ．m ＞0且m ≠16．为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x 米，则根据题意可列出方程( )A ．90%×(2＋x )(1＋x )＝2×1B ．90%×(2＋2x )(1＋2x )＝2×1C ．90%×(2－2x )(1－2x )＝2×1D ．(2＋2x )(1＋2x )＝2×1×90%7．我们知道方程x 2＋2x －3＝0的解是x 1＝1，x 2＝－3，现给出另一个方程(2x ＋3)2＋2(2x ＋3)－3＝0，则它的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝1，x 2＝－3C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－1，x 2＝－3二、填空题(每小题4分，共28分)8．方程5x 2＝6x －8化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是____________．9．若x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋m ，则m ＝________．10．已知x ＝－1是关于x 的方程2x 2＋ax －a 2＝0的一个根，则a ＝________．11．设一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2(x 22－3x 2)＝________．12．国庆节和中秋节双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到156个红包，则该群一共有________人．13．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2－8x ＋15＝0的根，则该等腰三角形的周长为____________．14．现定义运算“★”：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是________．三、解答题(共51分)15．(16分)解下列方程：(1)x2＋3x－2＝0；(2)x2－10x＋9＝0；(3)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7；(4)(x－3)2＋4x(x－3)＝0.16．(8分)已知y1＝x2－2x＋3，y2＝3x－k.(1)当k＝1时，求出使等式y1＝y2成立的实数x的值；(2)若关于x的方程y1＋k＝y2有实数根，求k的取值范围．17．(8分)已知关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．18．(8分)为了经济发展的需要，某市2016年投入科研经费500万元，2018年投入科研经费720万元．(1)求2016年至2018年该市投入科研经费的年平均增长率；(2)根据目前经济发展的实际情况，该市计划2019年投入的科研经费比2018年有所增加，但年增长率不超过15%.假定该市计划2019年投入的科研经费为a万元，请求出a的取值范围．19．(11分)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．详解详析1．D 2.A 3.B4．D [解析] 由题意可知m 2－m －2＝0，即m 2－m ＝2，∴原式＝2－3＝－1.故选D.5．C [解析] 若一元二次方程(m －1)x 2－2x －1＝0有两个实数根，则该一元二次方程根的判别式b 2－4ac ＝(－2)2－4(m －1)×(－1)＝4m ≥0，解得m ≥0.又由一元二次方程的二次项系数不为0，得m －1≠0，解得m ≠1.故m 的取值范围是m ≥0且m ≠1.故选C.6．B [解析] 设白边的宽为x 米，则整幅宣传版面的长为(2＋2x )米，宽为(1＋2x )米， 根据题意，得90%×(2＋2x )(1＋2x )＝2×1.故选B.7．D [解析] 设2x ＋3＝y ，则原方程可化为y 2＋2y －3＝0，由已知解，得y 1＝1，y 2＝－3，则2x ＋3＝1或2x ＋3＝－3，求得x 1＝－1，x 2＝－3.故选D.8．5，－6，8 9.110．－2或1 [解析] 根据题意，得2－a －a 2＝0，解得a ＝－2或a ＝1.故答案为－2或1.11．3 [解析] ∵x 1，x 2是x 2－3x －1＝0的两根，∴x 1＋x 2＝3，x 22－3x 2＝1，∴x 1＋x 2(x 22－3x 2)＝x 1＋x 2＝3.故答案为3.12．13 [解析] 设该群一共有x 人，依题意有x (x －1)＝156，解得x ＝－12(舍去)或x ＝13，所以这个群一共有13人．故答案为13.13．19或21或23 [解析] 解方程x 2－8x ＋15＝0，得x 1＝3，x 2＝5.①若9为腰长，三角形的三边长可以为9，9，3或9，9，5.这两种情况都可以构成三角形，故周长为9＋9＋3＝21或9＋9＋5＝23；②若9为底边长，因为9＞3＋3，故三边长不能为9，3，3.若三边长为9，5，5，能构成三角形，周长为9＋5＋5＝19.故答案为19或21或23.14．－1或4 [解析] 根据题中的新定义将x ★2＝6变形，得x 2－3x ＋2＝6，即x 2－3x －4＝0，因式分解，得(x －4)(x ＋1)＝0，解得x 1＝4，x 2＝－1.故实数x 的值是－1或4.15．解：(1)∵a ＝1，b ＝3，c ＝－2，b 2－4ac ＝32－4×1×(－2)＝17，∴x ＝－3±172， 即x 1＝－3＋172，x 2＝－3－172. (2)因式分解，得(x －9)(x －1)＝0，∴x －9＝0或x －1＝0，∴x 1＝9，x 2＝1.(3)∵(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7，∴4x 2－4x ＋1＝3x 2＋2x －7，即x 2－6x ＝－8，∴(x －3)2＝1，∴x －3＝±1，解得x 1＝2，x 2＝4.(4)原式可化为(x －3)(x －3＋4x )＝0，即(x －3)(5x －3)＝0，∴x －3＝0或5x －3＝0，解得x 1＝3，x 2＝35. 16．解：(1)当k ＝1时，y 2＝3x －1.根据题意，得x 2－2x ＋3＝3x －1，解得x 1＝1，x 2＝4.(2)由题意，得x 2－2x ＋3＋k ＝3x －k ，则x 2－5x ＋3＋2k ＝0有实数根，∴b 2－4ac ＝(－5)2－4(3＋2k )≥0，解得k ≤138. 17．解：(1)证明：b 2－4ac ＝[－(k ＋3)]2－4(2k ＋2)＝(k －1)2.∵(k －1)2≥0，∴方程总有两个实数根．(2)由求根公式，得x ＝（k ＋3）±（k －1）2， ∴x 1＝2，x 2＝k ＋1.∵方程有一个根小于1，即k ＋1＜1，∴k ＜0.18．解：(1)设2016年至2018年该市投入科研经费的年平均增长率为x . 根据题意，得500(1＋x )2＝720，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不符合题意，舍去)． 答：2016年至2018年该市投入科研经费的年平均增长率为20%.(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －720720×100%≤15%，a ＞720，解得720＜a ≤828.故a 的取值范围为720＜a ≤828.19．解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由：∵x ＝－1是方程的根，∴(a ＋c )×(－1)2－2b ＋(a －c )＝0，∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0，则a －b ＝0，∴a ＝b ，∴△ABC 是等腰三角形．(2)△ABC 是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0，∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0，则a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形．(3)∵△ABC 是等边三角形，∴(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0可变形为2ax 2＋2ax ＝0.∵a ≠0，∴x 2＋x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1.1、生活不相信眼泪，眼泪并不代表软弱。
苏科新版九年级数学上册《第1章_一元二次方程》有答案
苏科新版九年级数学上册《第1章一元二次方程》单元测试卷一、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）1. 把方程3x2+x=5x−2整理成一元二次方程的一般形式为________．2. 一元二次方程x2−x−2=0的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．3. 一元二次方程x2−3x−4=0的根的判别式的值为________，方程的根为________．4. 一元二次方程2x2−5x−1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=________，x1⋅x2=________．5. 方程(x+2)(x−3)=0的根为________；方程(x+2)2−2(x+2)=0的根为________．6. 当x=________，代数式x2−2的值与2x+1的值相等．7. 写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根________．8. 已知方程x2−5x+9−k=0的一个根是2，则k的值是________，方程的另一个根为________．9. 某县2014年的GDP是250亿元，要使2016年的GDP达到360亿元，求这两年该县GDP年平均增长率．设年平均增长率为x，可列方程________．10. 若关于x的一元二次方程(m−2)x2−4x+3=0有实数解，则m的取值范围为________．二、单项选择（每小题2分，共20分）下列方程中，一元二次方程有( )①3x2+x=20；②2x2−3xy+4=0；=4；③x2−1x④x2=1；+3=0⑤x2−x3方程x2=4的解为（）A.x=2B.x=−2C.x1=4，x2=−4D.x1=2，x2=−2若方程(x−4)2=a有实数解，则a的取值范围是()A.a≤0B.a≥0C.a>0D.无法确定方程(2x+3)(x−1)=1的解的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.有一个实数根用配方法将二次三项式a2−4a+5变形，结果是（）A.(a−2)2+1B.(a+2)2−1C.(a+2)2+1D.(a−2)2−1用配方法解一元二次方程m2−6m+8=0，结果是下列配方正确的是（）A.(m−3)2=1B.(m+3)2=1C.(m−3)2=−8D.(m+3)2=9若关于x的一元二次方程的两根为x1=1，x2=2，则这个方程是()A.x2+3x−2=0B.x2−3x+2=0C.x2−2x+3=0D.x2+3x+2=0以4、9为两边长的三角形的第三边长是方程x2−14x+40=0的根，则这个三角形的周长为（）A.17或23B.17C.23D.以上都不对若分式x2−5x−6x+1的值为0，则x的值为（）A.−1B.6C.−1或6D.无法确定已知实数a，b分别满足a2−6a+4=0，b2−6b+4=0，且a≠b，则ba +ab的值是( )A.7B.−7C.11D.−11三、解答题（共60分）②x2−2x−3=0；③2x2−7x+3=0；④5x2=7x；⑤x(x−3)−5(x−3)=0；⑥(x+3)(2x−1)=4．不解方程，判别方程根的情况．①3x2−5x+4=0；②x2−2x=5−x．某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg．经市场调查，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？已知关于x的一元二次方程x2+(2m−1)x+m2=0有两个实数根x1和x2．(1)求实数m的取值范围；(2)当x12−x22=0时，求m的值．已知关于x的方程(m2−1)x2−(m+1)x+m＝0．（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm．一只蝉从点C沿CB方向以1cm/s的速度爬行，一只螳螂为了捕捉这只蝉，由点A沿AB方向以2cm/s的速度爬行，一段时间后，它们分别到达了点M，N的位置．若此时△MNB的面积为24cm2，求它们爬行的时间．参考答案与试题解析苏科新版九年级数学上册《第1章 一元二次方程》单元测试卷一、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）1.【答案】3x 2−4x +2=0【考点】一元二次方程的一般形式【解析】方程移项合并，整理为一般形式即可．【解答】解：方程整理得：3x 2−4x +2=0，故答案为：3x 2−4x +2=02.【答案】1,−1,−2【考点】一元二次方程的一般形式【解析】找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．【解答】解：元二次方程x 2−x −2=0的二次项系数是1，一次项系数是−1，常数项是−2． 故答案为：1；−1；−23.【答案】25,−1和4【考点】根的判别式【解析】根据一元二次方程各项系数结合根的判别式即可求出△的值，再利用分解因式法解一元二次方程即可求出方程的根．【解答】解：方程x 2−3x −4=0中，△=(−3)2−4×1×(−4)=25．∵ x 2−3x −4=(x +1)(x −4)=0，解得：x 1=−1，x 2=4．过答案为：25；−1和4．4.【答案】52,−12 【考点】根与系数的关系根据韦达定理可直接得出．【解答】解：∵ 方程2x 2−5x −1=0的两根为x 1，x 2，∴ x 1+x 2=−−52=52，x 1x 2=−12， 故答案为：52，−12．5.【答案】x 1=−2，x 2=3,x 1=0，x 2=−2【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】分别令各因式等于0，求出x 的值即可；提取公因式，再求出x 的值即可．【解答】解：∵ 方程(x +2)(x −3)=0，∴ x +2=0，x −3=0，∴ x 1=−2，x 2=3；∵ 方程(x +2)2−2(x +2)=0，∴ (x +2)(x +2−2)=0，即x(x +2)=0，∴ x =0或x +2=0，∴ x 1=0，x 2=−2．故答案为：x 1=−2，x 2=3；x 1=0，x 2=−2．6.【答案】−1或3【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】根据题意得x 2−2=2x +1，然后把方程化为一般式后利用因式分解法解方程求出x 即可．【解答】解：根据题意得x 2−2=2x +1，整理得x 2−2x −3=0，(x +1)(x −3)=0，x +1=0或x −3=0，所以x 1=−1，x 2=3，即x =−1或3时，数式x 2−2的值与2x +1的值相等．故答案为−1或3．7.【答案】x 2+x −1=0【考点】根的判别式【解析】【解答】解：比如a=1，b=1，c=−1，∴△=b2−4ac=1+4=5>0，∴方程为x2+x−1=0．8.【答案】3,3【考点】根与系数的关系【解析】设方程的另一个根为x，根据根与系数的关系得：x+2=5，2x=9−k，求出即可．【解答】解：设方程的另一个根为x，则根据根与系数的关系得：x+2=5，2x=9−k，解得：x=3，k=3，故答案为：3，3．9.【答案】250(1+x)2=360【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】2016年的GDP360=2014年的GDP250×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．【解答】解：2015年的GDP为250×(1+x)，2014年的GDP为250×(1+x)(1+x)=250×(1+x)2，即所列的方程为250(1+x)2=360，故答案是：250(1+x)2=360．10.【答案】m≤10且m≠23【考点】根的判别式【解析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程(m−2)x2−4x+3=0有实数解，∴{m−2≠0△=(−4)2−4(m−2)×3≥0，解得：m≤10且m≠2．310二、单项选择（每小题2分，共20分）【答案】B【考点】一元二次方程的定义【解析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：①符合一元二次方程定义，正确；②方程含有两个未知数，错误；③不是整式方程，错误；④符合一元二次方程定义，正确；⑤符合一元二次方程定义，正确．故选B．【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】两边开方，即可得出方程的解．【解答】解：x2=4，x1=2，x2=2，故选D．【答案】B【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负数列出关于a的不等式方程，然后求得a的取值范围．【解答】解：∵方程(x−4)2=a有实数解，∴x−4=±√a，∴a≥0.故选B．【答案】A【考点】根的判别式将方程左边展开，化为一元二次方程的一般形式，求出根的判别式，即可做出判断．【解答】解：方程(2x+3)(x−1)=1，可化为2x2+x−4=0，∵Δ=1−4×2×(−4)=33>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【答案】A【考点】完全平方公式【解析】此题考查了配方法，解题时要注意常数项的确定方法，若二次项系数为1，则二次项与一次项再加上一次项系数的一半的平方即构成完全平方式，若二次项系数不为1，则可提取二次项系数，将其化为1．【解答】解：∵a2−4a+5=a2−4a+4−4+5，∴a2−4a+5=(a−2)2+1．故选A.【答案】A【考点】解一元二次方程-配方法【解析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：m2−6m+8=0，m2−6m=−8，m2−6m+9=−8+9，(m−3)2=1，故选A．【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和−ba 是否为3及两根之积ca是否为2即可．【解答】解：两个根为x1=1，x2=2，则两根的和是3，积是2．A，两根之和等于−3，两根之积等于−2，所以此选项不正确；B，两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C，两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D，两根之和等于−3，两根之积等于2，所以此选项不正确.故选B.C【考点】解一元二次方程-因式分解法三角形三边关系【解析】先利用因式分解法解方程得到x 1=4，x 2=10，再利用三角形三边的关系得x =10，然后计算三角形的周长．【解答】解：x 2−14x +40=0，(x −4)(x −10)=0，x −4=0或x −10=0，所以x 1=4，x 2=10，因为4+4<9，不符合三角形三边的关系，所以三角形的第三边长是10，所以三角形的周长=4+9+10=23．故选C ．【答案】B【考点】分式值为零的条件【解析】根据分式值为零的条件可得x 2−5x −6=0，且x +1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x 2−5x −6=0，且x +1≠0，解得：x =6，故选：B ．【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】根据已知两等式得到a 与b 为方程x 2−6x +4=0的两根，利用根与系数的关系求出a +b 与ab 的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将a +b 与ab 的值代入计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：a 与b 为方程x 2−6x +4=0的两根，∴ a +b =6，ab =4，则原式=(a+b)2−2ab ab =36−84=7．故选A .三、解答题（共60分）【答案】解：①x 2=25，x =±5，所以x 1=5，x 2=−5；③(2x−1)(x−3)=0，所以x1=1，x2=3；2④5x2−7x=0，x(5x−7)=0，所以x1=0，x2=7；5⑤(x−3)(x−5)=0，所以x1=3，x2=5；⑥2x2+5x−7=0，(2x+7)(x−1)=0，所以x1=−7，x2=1．2【考点】解一元二次方程-因式分解法解一元二次方程-直接开平方法【解析】①先把方程变形为x2=25，然后利用直接开平方法解方程；②利用因式分解法解方程；③利用因式分解法解方程；④先移项得到5x2−7x=0，利用因式分解法解方程；⑤利用因式分解法解方程；⑥先把方程化为一般式得到2x2+5x−7=0，利用因式分解法解方程．【解答】解：①x2=25，x=±5，所以x1=5，x2=−5；②(x+1)(x−3)=0，所以x1=−1，x2=3；③(2x−1)(x−3)=0，所以x1=1，x2=3；2④5x2−7x=0，x(5x−7)=0，；所以x1=0，x2=75⑤(x−3)(x−5)=0，所以x1=3，x2=5；⑥2x2+5x−7=0，(2x+7)(x−1)=0，，x2=1．所以x1=−72【答案】解：①∵△=(−5)2−4×3×4=−23<0，∴该方程无解；2∴该方程有两个不相等的实数根．【考点】根的判别式【解析】①根据方程的系数结合根的判别式得出△=−23<0，由此得出方程无解；②根据方程的系数结合根的判别式得出△=21>0，由此得出方程有两个不相等的实数根．【解答】解：①∵△=(−5)2−4×3×4=−23<0，∴该方程无解；②原方程可变形为x2−x−5=0，∴△=(−1)2−4×1×(−5)=21>0，∴该方程有两个不相等的实数根．【答案】解：设销售单价定为x元，根据题意得：(x−40)[500−(x−50)×10]=8000．解得：x1=60，x2=80，当x=60时，月销售成本为16000元，不合题意舍去．∴x=80．答：销售单价定为80元/kg．【考点】一元二次方程的应用【解析】先根据销售利润=每件利润×数量，再设出单价应定为x元，再根据这个等式列出方程，即可求出答案．【解答】解：设销售单价定为x元，根据题意得：(x−40)[500−(x−50)×10]=8000．解得：x1=60，x2=80，当x=60时，月销售成本为16000元，不合题意舍去．∴x=80．答：销售单价定为80元/kg．【答案】解：(1)由题意有Δ=(2m−1)2−4m2≥0，解得m≤14，∴实数m的取值范围是m≤14；(2)由两根关系，得x1+x2=−(2m−1)，x1⋅x2=m2，由x12−x22=0得(x1+x2)(x1−x2)=0，若x1+x2=0，即−(2m−1)=0，解得m=12，∵12>14，∴m=12不合题意，舍去，若x1−x2=0，即x1=x2∴Δ=0，由(1)知m=14，故当x12−x22=0时，m=14．【考点】根与系数的关系根的判别式【解析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2−4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；（2）由x12−x22=0得x1+x2=0或x1−x2=0；当x1+x2=0时，运用两根关系可以得到−2m−1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值．【解答】解：(1)由题意有Δ=(2m−1)2−4m2≥0，解得m≤14，∴实数m的取值范围是m≤14；(2)由两根关系，得x1+x2=−(2m−1)，x1⋅x2=m2，由x12−x22=0得(x1+x2)(x1−x2)=0，若x1+x2=0，即−(2m−1)=0，解得m=12，∵12>14，∴m=12不合题意，舍去，若x1−x2=0，即x1=x2∴Δ=0，由(1)知m=14，故当x12−x22=0时，m=14．【答案】②根据一元二次方程的定义可知：m2−1≠0，解得：m≠±1．一元二次方程的二次项系数m2−1、一次项系数−(m+【考点】一元二次方程的定义一元一次方程的定义一元二次方程的一般形式【解析】（1）根据一元一次方程的定义可得m2−1＝0，m+1≠0，解即可；（2）根据一元二次方程的定义可知：m2−1≠0，再解不等式即可．【解答】根据一元一次方程的定义可知：m2−1＝0，m+1≠0，解得：m＝1，答：m＝1时，此方程是一元一次方程；②根据一元二次方程的定义可知：m2−1≠0，解得：m≠±1．一元二次方程的二次项系数m2−1、一次项系数−(m+，常数项m．【答案】它们爬行的时间为2s．【考点】一元二次方程的应用【解析】设它们爬行的时间为ts，则BM=12−2t，BN=8−t，根据△MNB的面积为24cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出t的值，再将t的值代入12−2t中即可确定t的值，此题得解．【解答】解：设它们爬行的时间为ts，则BM=12−2t，BN=8−t，∵△MNB的面积为24cm2，∴1⋅(12−2t)⋅(8−t)=24，整理得：t2−14t+24=0，2解得：t1=2，t2=12．当t=12时，12−2t=−12<0，∴t=12不合适．。
2020-2021学年苏科版九年级数学第一学期第1章一元二次方程 单元测试卷(含答案)
苏科版数学九年级上册第1章《一元二次方程》单元练习卷一、选择题1.要使方程(a﹣3)x2+(b+1)x+c=0是关于x的一元二次方程，则( )A.a≠0B.a≠3C.a≠1且b≠﹣1D.a≠3且b≠﹣1且c≠02.方程4x2=81化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )A.4，0，81B.﹣4，0，81C.4，0，﹣81D.﹣4，0，﹣813.若a为方程x2+x-5=0的解，则a2+a+1的值为（）A.12B.6C.9D.164.若关于x的一元二次方程有一解是1，则m的值为（）A. B.-3 C.3 D.5.方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）A.(x+3)2=14B.(x﹣3)2=14C.(x+3)2=4D.(x﹣3)2=46.方程(x﹣2)(x﹣4)=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为( )A.6B.8C.10D.8或107.已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A.1B.﹣1C.2D.﹣28.若关于x的二次方程x2+m=3x有两个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A.m＞2.25B.m＜2.25C.m≥2.25D.m≤2.259.若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．1 B．5 C．﹣5 D．610.某机械厂七月份生产零件50万个，计划八、九月份共生产零件146万个，设八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A.50(1+x）2=146B.50+50(1+x)+50(1+x)2=146C.50(1+x)+50(1+x)2=146D.50+50(1+x)+50(1+2x)=14611.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A.x(x-1)=10B. =10C.x(x+1)=10D. =1012.某商品经过两次降价，由每件100元调至81元，则平均每次降价的百分率是( )A.8.5%B.9%C.9.5%D.10%二、填空题13.若(m＋1)x|m|＋1＋6x－2=0是关于x的一元二次方程，则m的值为 .14.方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1·x2，且x1>x2，则x1-2x2的值等于_______15.已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m= ．16.方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为．17.已知若分式的值为0，则x的值为．18.反比例函数y=kx-1的图象经过点P（a,b），其中a、b是一元二次方程x2+kx+4=0的两根，那么点P坐标是．三、解答题19.解方程:(x+3)(x-1)=1220.解方程:x(x+4)=8x+1221.已知关于x的方程(k﹣1)(k﹣2)x2+(k﹣1)x+5=0.求：(1)当k为何值时，原方程是一元二次方程；(2)当k为何值时，原方程是一元一次方程，并求出此时方程的解.22.已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9=0.(1) 求证：此方程有两个不相等的实数根；(2) 设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2.若2x1=x2+1，求 m的值.23.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为__________万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.24.如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？25.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每件文具的利润不低于为25元且不高于29元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．参考答案1.B.2.C3.B4.C5.A6.C.7.A8.B9.B10.C11.B12.D.13.答案为：1.14.答案为：015.答案为：6．16.答案为：15．17.答案为：3．18.答案为：（﹣2，﹣2）．19.x1=-5，x2=3.20.x1=-2,x2=6;21.解：(1)依题意，得(k﹣1)(k﹣2)≠0，解得k≠1且k≠2；(2)依题意，得(k﹣1)(k﹣2)=0，且k﹣1≠0，解得k=2.此时该方程为x+5=0，解得x=﹣5.22. (1)证明(略) ;(2)x1=2m-3,x2=2m+3 ,m=5.23.解：（1）2.6(1+x)2.（2）根据题意，得4+2.6(1+x)2=7.146.解得x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）．故可变成本平均每年增长的百分率是10%．24.解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得 x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20．答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．25.解：（1）由题意得，销售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500，则w=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000；（2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250．∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，w有最大值，当x=35时，w最大=2250，故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）A方案利润高．理由如下：A方案中：20＜x≤30，故当x=30时，w有最大值，此时w A=2000；B方案中：故x的取值范围为：45≤x≤49，∵函数w=﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x=35，∴当x=35时，w有最大值，此时w B=1250，∵w A＞w B，∴A方案利润更高．1、三人行，必有我师。
苏科新版九年级上册《第1章 一元二次方程》2021年单元测试卷(苏州市姑苏区振华中学)(附答案详解)
苏科新版九年级上册《第1章一元二次方程》2021年单元测试卷（江苏省苏州市姑苏区振华中学）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列方程是一元二次方程的是()A. ax2+bx+c=0B. x2−y+1=0+x=2C. x2=0D. 1x22.配方法解方程x2+8x+7=0，则方程可化为()A. (x−4)2=9B. (x+4)2=9C. (x−8)2=16D. (x+8)2=163.方程2x2=3(x−6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A. 2，3，−6B. 2，−3，18C. 2，−3，6D. 2，3，64.关于x的方程(x−1)(x+2)=p2(p为常数)的根的情况，下列结论中正确的是()A. 两个正根B. 两个负根C. 一个正根，一个负根D. 无实数根5.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是()A. 50(1+x)2=182B. 50+50(1+x)+50(1+x)2=182C. 50(1+2x)=182D. 50+50(1+x)+50(1+2x)2=1826.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是()A. a=cB. a=bC. b=cD. a=b=c二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）7.(1)若(m−2)x2−2x+3=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是______．(2)一元二次方程(m+1)x2+x+m2−1=0有一个根为0，则m=______．8.已知关于x的一元二次方程(x+1)2+m=0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是______．9.若x1=√3−2是二次方程x2+ax+1=0的一个根，则a=______，该方程的另一个根x2=______．10.已知方程x2−3x−1=0的两个根是x1，x2，则x1+x2=______，x1⋅x2=______，(x1−1)(x2−1)=______，x1−x2=______．11.某单位准备将院内一块长30米，宽20米的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532平方米，那么小道进出口的宽度应为______米．(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)12.已知多项式A=x2−x+(3−k2)，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是______．13.已知等腰三角形三边分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2−12x+m+2=0的两个根，则m的值是______．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）14.按要求解下列方程：(1)(2x+3)2−5=0；(2)2x2+1=3x(用配方法)；(3)(x−4)2=4x(4−x)；(4)2(x2−1)=7x；(5)(2x−3)2+2=(2x−3)；(6)x2−3xx2−1+2x+1x−1=0．15.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−4=0(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．16.某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“如果购买不超过40台学习机，则每台售价800元，如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均的减少5元”该学习机的进货价与进货数量关系如图所示：(1)当x>40时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；(2)当该商店一次性购进并销售学习机60台，每台学习机可以获利多少元；(3)若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台．17.已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+2=0．(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．18.如图，在矩形ABCD中，设AB=a，AD=b且a>b．(1)若a，b为方程x2−kx+k+4=0的两根，且a，b满足a2+b2=40，求k的值．(2)在(1)的条件下，P为CD上一点(异于C、D两点)，P在什么位置时，△APB为直角三角形？(3)P为CD上一动点(异于C、D两点)，当a，b满足什么条件时，使△APB为直角三角形的P点有且只有一个？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、方程二次项系数可能为0，故错误；B、方程含有两个未知数，故错误；C、符合一元二次方程的定义，正确；D、不是整式方程，故错误．故选C．本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.【答案】B【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上16变形即可得到结果．此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解决问题的关键．【解答】解：方程移项得：x2+8x=−7，配方得：x2+8x+16=9，即(x+4)2=9．故选B．3.【答案】B【解析】解：方程2x2=3(x−6)，去括号，得2x2=3x−18，整理，得2x2−3x+18=0，所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，−3，18，故选B．要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式，即可解答．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca.也考查了根的判别式．先把方程(x−1)(x+2)=p2化为x2+x−2−p2=0，再根据b2−4ac=1+8+4p2>0，可得方程有两个不相等的实数根，由−2−p2<0即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程(x−1)(x+2)=p2(p为常数)，∴x2+x−2−p2=0，∴b²−4ac=1+8+4p2=9+4p2>0，∴方程有两个不相等的实数根，∵两个根的积为−2−p2<0，∴一个正根，一个负根，故选C．5.【答案】B【解析】【分析】主要考查由实际问题抽象出一元二次方程增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2，∴50+50(1+x)+50(1+x)2=182．故选：B．6.【答案】A【解析】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，∴△=b2−4ac=0，又a+b+c=0，即b=−a−c，代入b2−4ac=0得(−a−c)2−4ac=0，即(a+c)2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c)2=0，∴a=c．故选：A．因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2−4ac=0，又a+b+c=0，即b=−a−c，代入b2−4ac=0得(−a−c)2−4ac=0，化简即可得到a与c的关系．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．7.【答案】m≠2 1【解析】解：(1)∵方程(m−2)x2−2x+3=0是关于x的一元二次方程，∴m−2≠0，解得m≠2．故答案为：m≠2；(2)将x=0代入(m+1)x2+x+m2−1=0，∴m2−1=0，∴m=1或m=−1，∵m+1≠0，∴m=1，故答案为：1．(1)直接根据一元二次方程的定义进行解答即可；(2)将x=0代入方程即可求出m的值．本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将x=0代入(m+1)x2+x+m2−1=0，本题属于基础题型．8.【答案】m≤0【解析】解：∵(x+1)2+m=0，∴(x+1)2=−m，∵方程(x+1)2+m=0可以用直接开平方法求解∴−m≥0，∴m≤0．故答案为m≤0．根据直接开平方法求解可得．此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．9.【答案】4 −√3−2【解析】解：设方程的另一个根为x2，∵x1=√3−2是二次方程x2+ax+1=0的一个根，∴x1⋅x2=1，即(√3−2)x2=1，∴x2=−√3−2，∴x1+x2=−a，即√3−2−√3−2=−a，解得a=4，故答案为4，−√3−2．根据根与系数的关系，根据两根之积，即可得到方程的另一根，再由两根之和即可得出一个关于a的方程，从而求得a的值．本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，注意在解题时要重视解题思路的逆向分析．10.【答案】3 −1−3±√13【解析】解：∵方程x2−3x−1=0的两个根是x1，x2，∴x1+x2=3，x1x2=−1，∴(x1−1)(x2−1)=x1x2−(x1+x2)+1=−1−3+1=−3，x1−x2=±√(x1+x2)2−4x1x2=±√9+4=±√13．故答案为：3，−1，−3，±√13．可以直接利用根与系数的关系，计算两根之积和两根之和，进而即可求得(x1−1)(x2−1)和x1−x2的值．本题考查的是一元二次方程的解，利用一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca得出是解题关键．11.【答案】1【解析】解：设小道进出口的宽度应为x米，则种植花草部分的面积与长为(30−2x)米、宽为(20−x)米的矩形的面积相等，依题意得：(30−2x)(20−x)=532，整理得：x²−35x+34=0，解得：x1=1，x2=34．当x=1时，30−2x=30−2×1=30−2=28>0，符合题意；当x=34时，30−2x=30−2×34=30−68=−38<0，不合题意，舍去．故答案为：1．设小道进出口的宽度应为x米，则种植花草部分的面积与长为(30−2x)米、宽为(20−x)米的矩形的面积相等，根据种植花草的面积为532平方米，即可得出关于x的一元二次方程，取其符合题意的值即可得出小道进出口的宽度．本题考查了一元二次方程的应用以及平行四边形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12.【答案】k≤112【解析】解：∵A=x2−x+(3−k2)=x2−x+14−14+(3−k2)=(x−12)2−14+(3−k2)，若x取任何实数，A的值都不是负数，∴−14+(3−k2)≥0，解得：k≤112；故答案为：k≤112．先把原式配方，再根据A的值都不是负数，得到−14+(3−k2)≥0，解不等式即可．本题考查了配方法，关键把原式进行配方．13.【答案】34【解析】解：当a=4时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2−12x+m+2=0的两根，∴4+b=12，∴b=8，而4+4≠0，不符合题意；当b=4时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2−12x+m+2=0的两根，∴4+a=12，而4+4=8，不符合题意；当a=b时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2−12x+m+2=0的两根，∴12=a+b，解得a=b=6，∴m+2=36，∴m=34，故m的值为34，故答案为34．讨论：当a=4时，则4+b=12，解得b=8，此时不符合三角形三边的关系；同理可得当b=4时，不符合三角形三边的关系；当a=b时，利用根与系数的关系得到12=a+ b，解得a=b=6，则m+2=36，从而得到m的值．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．14.【答案】解：(1)(2x +3)2−5=0，(2x +3)2=5，2x +3=±√5，2x +3=√5，2x +3=−√5，x 1=√5−32，x 2=−√5−32，(2)2x 2+1=3x ，x 2−32x =−12，x 2−32x +916=916−12，(x −34)2=116，x −34=±14，x −34=14，x −34=−14，x 1=1，x 2=12，(3)(x −4)2=4x(4−x)，(4−x)2−4x(4−x)=0，(4−x)(4−x −4x)=0，4−x =0，4−5x =0，x 1=4，x 2=45，(4)2(x 2−1)=7x ，2x 2−7x −2=0，a =2、b =−7、c =−2，b 2−4ac =65>0，∴此方程有两个不相等的解，x =7±√654，x 1=7+√654，x 2=7−√654，(5)(2x −3)2+2=(2x −3)，(2x −3)2−(2x −3)+2=0，2x 2−7x +7=0，a =2、b =−7、c =7，b 2−4ac =−7<0，∴此方程无解．(6)x2−3xx2−1+2x+1x−1=0，x2−3x (x+1)(x−1)+2x+1x−1=0，x2−3x+(2x+1)(x+1)=0，x2−3x+2x2+2x+x+1=0，3x2+1=0，3x2=−1，∴此方程无解．【解析】(1)用直接开平方法解方程；(2)先把二次项系数化为1，再配方，最后直接开平方求解；(3)用提取公因式法解方程；(4)用公式法解方程；(5)用公式法解方程；(6)先因式分解，去分母、去括号、移项、合并同类项、把x系数化为1，检验．本题主要考查了解分式方程、一元二次方程，掌握一元二次方程的四种解法，分式方程的解法，针对一元二次方程适当选取解题方法是解题关键15.【答案】解：(1)∵方程x2+(2m+1)x+m2−4=0有两个不相等的实数根，∴△=(2m+1)2−4(m2−4)=4m+17>0，解得：m>−174．∴当m>−174时，方程有两个不相等的实数根．(2)设方程的两根分别为a、b，根据题意得：a+b=−2m−1，ab=m2−4．∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，∴a2+b2=(a+b)2−2ab=(−2m−1)2−2(m2−4)=2m2+4m+9=52=25，解得：m=−4或m=2．∵a>0，b>0，∴a+b=−2m−1>0，∴m=−4．若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m 的值为−4．【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m +17>0，解之即可得出结论；(2)设方程的两根分别为a 、b ，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再根据a +b =−2m −1>0，即可确定m 的值．本题考查了根的判别式、根与系数的关系、菱形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)根据方程的系数结合根的判别式，找出△=4m +17>0；(2)根据根与系数的关系结合菱形的性质，找出关于m 的一元二次方程．16.【答案】解：(1)由题意得：当x >40时，每台学习机的售价为(单位：元)： 800−5(x −40)=−5x +1000；(2)设图中直线解析式为：y =kx +b ，把(0,700)和(50,600)代入得：{50k +b =600b =700， 解得：{k =−2b =700， 直线解析式为：y =−2x +700，当x =60时，进价为：y =−2×60+700=580，售价为：800−5×(60−40)=700， 则每台学习机可以获利：700−580=120(元)；(3)当x >40时，每台学习机的利润是：(−5x +1000)−(−2x +700)=−3x +300， 则x(−3x +300)=4800，解得：x 1=80，x 2=20(舍)，当x ≤40时，每台学习机的利润是：800−(−2x +700)=2x +100，则x(2x +100)=4800，解得：x 1=30，x 2=−80(舍)，答：则该商店可能购进并销售学习机80台或30台．【解析】(1)根据如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元，可列式；(2)先根据待定系数法计算直线的解析式，再计算x =60时的进价和售价，可得利润；(3)分当x >40和当x ≤40时，分别计算每台的售价，列方程解出即可．此题考查了一元二次方程和一次函数的应用，弄清题意是解本题的关键．17.【答案】(1)证明：△=(m+2)2−8m=m2−4m+4=(m−2)2，∵不论m为不为0的何值时，(m−2)2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；(2)解：解方程得，x=m+2±(m−2)，2mx1=2，x2=1，m∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【解析】(1)求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；(2)利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△>0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△<0⇔方程没有实数根是解题的关键．18.【答案】解：(1)∵a，b为方程x2−kx+k+4=0的两根，∴a+b=k，ab=k+4，∵a2+b2=40，∴(a+b)2−2ab=40，即k2−2(k+4)=40，解得：k=8，或k=−6(不合题意，舍去)，∴k=8；(2)如图所示：设PD=x，∵k=8，∴方程为x2−8x+12=0，解得：x=6，或x=8，∴AB=a=6，AD=b=2，∴CP=6−x，∵∠APB=90°，∴∠APD+∠BPC=90°，∵∠BPC+∠PBC=90°，∴∠APD=∠PBC，∵∠D=∠C=90°，∴△ADP∽△PCB，∴ADPC =PDBC，即26−x=x2，解得：x=3±√5，即PD=3±√5时，△APB为直角三角形．(3)当△APB为等腰直角三角形时，即PA=PB时，使△ABP为直角三角形的P点只有一个，∴∠PAB=∠PBA=45°，∴∠DAP=∠PBC=45°，∴△ADP与△PBC是等腰直角三角形，∴CD=2AD，即a=2b时，使△ABP为直角三角形的P点只有一个．【解析】(1)由一元二次方程的根与系数的关系得出a+b=k，ab=k+4，由已知条件得出(a+b)2−2ab=40，得出k的方程，解方程即可；(2)设PD=x，求出原方程的解得出AB=6，AD=2，则CP=6−x，证出△ADP∽△PCB，得出对应边成比例，解方程求出PD即可；(3)当△APB为等腰直角三角形时，即PA=PB时，使△ABP为直角三角形的P点只有一个，根据等腰直角三角形的性质得到∠PAB=∠PBA=45°，于是推出△ADP与△PBC是等腰直角三角形，于是得到CD=2AD，即a=2b时，使△ABP为直角三角形的P点只有一个．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、矩形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，由一元二次方程的根与系数的关系求出a、b是解决问题的关键．。
2020-2021学年苏科版九年级数学上册1.1一元二次方程同步练习(word版含答案)
1.1一元二次方程同步练习一、选择题（共4小题；共20分）1. 下列方程一定是一元二次方程的是( )A. √2x2=0B. 2x(3x−5)=6x2+4+3=0 D. (m+3)x2+5x=6C. 2x2−1x2. 将一元二次方程−3x2−2=−4x化成一般形式ax2+bx+c=0(a>0)后，一次项和常数项分别是( )A. −4，2B. −4x，2C. 4x，−2D. 3x2，23. 已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+∣a∣−1=0的一个根是x=0，则实数a的值是( )A. −1B. 0C. 1D. −1或14. 若x0是方程ax2+2x+c=0(a≠0)的一个根，设M=1−ac，N=(ax0+1)2，则M与N的大小关系为( )A. M>NB. M=NC. M<ND. 无法确定二、填空题（共8小题；共40分）5. 只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的左右两边都是整式，因此它是一个方程．6. 关于x的一元二次方程的一般形式是．其中，ax2，bx，c分别叫做二次项、和常数项，a，b分别叫做系数、一次项系数．7. 一元二次方程x2−4=6x的一般形式是，二次项系数是，一次项系数是，常数项是．8. 已知关于x的方程x2+x+2a−1=0的一个根是x=0，则a=．9. 用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为x cm，则可列方程为．=0；② (x−2)2=2x(x−2)；③ ax2+bx+c=0；10. 下列方程：① 2x2−x+3x④ (x−1)(2x+3)=0；⑤ mx2−3x+5=2x2（其中m≠0）．其中，一定属于一元二次方程的是（填序号）．11. （1）已知x=m是关于x的方程x2−2x−3=0的一个根，则2m2−4m的值为；（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，且a+b+c=0，则此方程必有一个根为．12. 观察下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：① x2−2x+1=0；②x2−3x+2=0；③ x2−4x+3=0；④ x2−5x+4=0；⋯请你根据观察到的规律，写出第⑩个满足规律的一元二次方程．三、解答题（共4小题；共40分）13. 用方程描述下面问题中的数量关系（不用求解）：（1）已知两个连续奇数的平方和为74，求这两个奇数；（2）某种品牌的运动服经过两次降价后，每件的零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．14. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式(a>0)，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）(x+4)(x−3)=12；（2）(x+2)2−2x(x−2)=4x+4；（3）3x(x+2)=2(3x+2)；（4）4(x−5)2=9(x−3)2．15. 用方程描述下面问题中的数量关系（不要求解）：（1）已知两个连续偶数的积为24，求这两个偶数．（2）如图，小明家有一块长150cm、宽100cm的矩形地毯，为了使地毯更美观，小明请工人在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后的新矩形地毯的面积是原矩形地毯面积的2倍，求花色地毯的宽度．16. 已知关于x的方程(m−1)x m2+1+(m−2)x−1=0，回答下面的问题：（1）若方程是一元二次方程，求m的值．（2）若方程是一元一次方程，则m的值是否存在?若存在，请求出m的值，并求出方程的解．答案第一部分1. A2. B3. A4. B第二部分5. 一，整式6. ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0），一次项，二次项7. x2−6x−4=0，1，−6，−48. 12−x)=649. x(40×1210. ②④11. （1）6，（2）x=112. x2−11x+10=0第三部分13. （1）设这两个奇数分别为x，x+2．根据题意，得x2+(x+2)2=74．（2）设每次降价的百分率为x．根据题意，得560(1−x)2=315．14. （1）x2+x−24=0，它的二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为−24．（2）x2−4x=0，它的二次项系数为1，一次项系数为−4，常数项为0．（3）3x2−4=0，它的二次项系数为3，一次项系数为0，常数项为−4．（4）5x2−14x−19=0，它的二次项系数为5，一次项系数为−14，常数项为−19．15. （1）设这两个偶数分别为x，x+2．根据题意，得x(x+2)=24．（2）设花色地毯的宽度为x cm．根据题意，得(150+2x)⋅(100+2x)=150×100×2．16. （1）根据题意，得m2+1=2，且m−1≠0，解得m=−1．（2）有两种情况：①当满足m2+1=1，且(m−1)+(m−2)≠0时，解得m=0，则方程变为−3x−1=0，解得x=−1；3②当满足m−1=0，且m−2≠0时，解得m=1，则方程变为−x−1=0，解得x=−1．。
2020-2021学年苏科版九年级数学上册1.1一元二次方程同步练习(word版含答案)
1.1一元二次方程同步练习一、选择题（共4小题；共20分）1. 下列方程一定是一元二次方程的是( )A. √2x2=0B. 2x(3x−5)=6x2+4+3=0 D. (m+3)x2+5x=6C. 2x2−1x2. 将一元二次方程−3x2−2=−4x化成一般形式ax2+bx+c=0(a>0)后，一次项和常数项分别是( )A. −4，2B. −4x，2C. 4x，−2D. 3x2，23. 已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+∣a∣−1=0的一个根是x=0，则实数a的值是( )A. −1B. 0C. 1D. −1或14. 若x0是方程ax2+2x+c=0(a≠0)的一个根，设M=1−ac，N=(ax0+1)2，则M与N的大小关系为( )A. M>NB. M=NC. M<ND. 无法确定二、填空题（共8小题；共40分）5. 只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的左右两边都是整式，因此它是一个方程．6. 关于x的一元二次方程的一般形式是．其中，ax2，bx，c分别叫做二次项、和常数项，a，b分别叫做系数、一次项系数．7. 一元二次方程x2−4=6x的一般形式是，二次项系数是，一次项系数是，常数项是．8. 已知关于x的方程x2+x+2a−1=0的一个根是x=0，则a=．9. 用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为x cm，则可列方程为．=0；② (x−2)2=2x(x−2)；③ ax2+bx+c=0；10. 下列方程：① 2x2−x+3x④ (x−1)(2x+3)=0；⑤ mx2−3x+5=2x2（其中m≠0）．其中，一定属于一元二次方程的是（填序号）．11. （1）已知x=m是关于x的方程x2−2x−3=0的一个根，则2m2−4m的值为；（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，且a+b+c=0，则此方程必有一个根为．12. 观察下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：① x2−2x+1=0；②x2−3x+2=0；③ x2−4x+3=0；④ x2−5x+4=0；⋯请你根据观察到的规律，写出第⑩个满足规律的一元二次方程．三、解答题（共4小题；共40分）13. 用方程描述下面问题中的数量关系（不用求解）：（1）已知两个连续奇数的平方和为74，求这两个奇数；（2）某种品牌的运动服经过两次降价后，每件的零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．14. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式(a>0)，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）(x+4)(x−3)=12；（2）(x+2)2−2x(x−2)=4x+4；（3）3x(x+2)=2(3x+2)；（4）4(x−5)2=9(x−3)2．15. 用方程描述下面问题中的数量关系（不要求解）：（1）已知两个连续偶数的积为24，求这两个偶数．（2）如图，小明家有一块长150cm、宽100cm的矩形地毯，为了使地毯更美观，小明请工人在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后的新矩形地毯的面积是原矩形地毯面积的2倍，求花色地毯的宽度．16. 已知关于x的方程(m−1)x m2+1+(m−2)x−1=0，回答下面的问题：（1）若方程是一元二次方程，求m的值．（2）若方程是一元一次方程，则m的值是否存在?若存在，请求出m的值，并求出方程的解．答案第一部分1. A2. B3. A4. B第二部分5. 一，整式6. ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0），一次项，二次项7. x2−6x−4=0，1，−6，−48. 12−x)=649. x(40×1210. ②④11. （1）6，（2）x=112. x2−11x+10=0第三部分13. （1）设这两个奇数分别为x，x+2．根据题意，得x2+(x+2)2=74．（2）设每次降价的百分率为x．根据题意，得560(1−x)2=315．14. （1）x2+x−24=0，它的二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为−24．（2）x2−4x=0，它的二次项系数为1，一次项系数为−4，常数项为0．（3）3x2−4=0，它的二次项系数为3，一次项系数为0，常数项为−4．（4）5x2−14x−19=0，它的二次项系数为5，一次项系数为−14，常数项为−19．15. （1）设这两个偶数分别为x，x+2．根据题意，得x(x+2)=24．（2）设花色地毯的宽度为x cm．根据题意，得(150+2x)⋅(100+2x)=150×100×2．16. （1）根据题意，得m2+1=2，且m−1≠0，解得m=−1．（2）有两种情况：①当满足m2+1=1，且(m−1)+(m−2)≠0时，解得m=0，则方程变为−3x−1=0，解得x=−1；3②当满足m−1=0，且m−2≠0时，解得m=1，则方程变为−x−1=0，解得x=−1．。
第1章 一元二次方程 单元测试题 2020—2021学年苏科版九年级数学上册
第1章一元二次方程一、选择题(每小题3分,共24分)1.下列方程是一元二次方程的是()A.x+2y=1B.2x(x-1)=2x2+3C.3x+1x=4D.x2-2=02.用配方法解方程x2-23x-1=0时,应将其变形为()A.x-132=89B.x+132=109C.x-232=0D.x-132=1093.已知方程2x2-x-3=0的两根分别为x1,x2,那么1x1+1x2的值为()A.-13B.13C.3D.-34.已知a是方程x2+3x-1=0的一个根,则代数式a2+3a+2021的值是()A.2020B.-2020C.2022D.-20225.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是()A.k≤54B.k>54C.k<54且k≠1D.k≤54且k≠16.某树的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数为57,则主干长出的支干个数为()A.7B.8C.9D.107.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a,b,c满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是()A.x1=1,x2=0B.x1=-1,x2=0C.x1=1,x2=-1D.无法确定8.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是()A.没有实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x=-1D.有两个相等的实数根二、填空题(每小题3分,共24分)9.已知2x(x+1)=x+1,则x=.10.若一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,则a=.11.若关于x的一元二次方程x2+(2a-1)x+5-a=ax+1的一次项系数为4,则常数项为.12.某校准备在艺术节期间举办学生绘画展览,为美化画面,在长30 cm、宽20 cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等.若设彩纸的宽度为x cm,则列方程整理成一般形式为.13.已知关于x的方程x2-2x+n=1没有实数根,那么化简|2-n|-|1-n|的结果是.14.设a,b是一个直角三角形的两条直角边的长,且(a2+b2)(a2+b2+1)=12,则这个直角三角形的斜边长为.15.若a为实数,则代数式a2+4a-6的最小值为.16.对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数,如min{1,2}=1,min{-2,-3}=-3.若min{(x-1)2,x2}=1,则x=.三、解答题(共52分)17.(12分)用适当的方法解下列方程:(1)2x2-10x=3;(2)(2x-1)-x(1-2x)=0;(3)x(x-4)=1;(4)(y+2)2=(3y-1)2.18.(6分)某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个,1月底因突然爆发新冠肺炎疫情,市场对口罩需求量大增,为满足市场需求,工厂决定从2月份起扩大产能,3月份平均日产量达到24200个.(1)求2,3月份口罩日产量的月平均增长率;(2)按照这个增长率,预计4月份平均日产量为多少?19.(6分)已知关于x的一元二次方程kx2-(4k+1)x+3k+3=0(k是整数).(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若方程的两个实数根都是整数,求k的值.20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)若此方程的两个实数根x1,x2满足x12+x22=11,求k的值.21.(10分)为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召,确保粮食安全,优选品种,提高产量,某农业科技小组对A,B两个玉米品种进行试验种植对比研究.去年A,B两个品种各种植了10亩.收获后A,B两个品种的售价均为2.4元/千克,且B品种的平均亩产量比A品种高100千克,A,B两个品种全部售出后总收入为21600元.(1)求A,B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克;(2)今年,科技小组优化了玉米的种植方法,在保持去年种植面积不变的情况下,预计A,B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于B品种深受市场欢迎,预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%,而A品种的售价保持不变,A,B两个品种全部售出后总收a%.求a的值.入将增加20922.(10分)(1)【阅读理解】在学习因式分解时,我们学习了提公因式法和运用公式法(平方差公式和完全平方公式),事实上,除了这两种方法外,还可以用其他方法来因式分解,比如配方法.例如,要因式分解x2+2x-3,发现既不能用提公因式法,又不能直接用公式法.这时,我们可以采用下面的办法:x2+2x-3=x2+2×x×1+12-1-3=(x+1)2-22.上述解题运用了转化的思想方法,使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解的形式,这种方法就是配方法.显然上述因式分解并未结束,请补全x2+2x-3的因式分解;(2)【实战演练】用配方法因式分解x2+4x+3;.(3)【拓展创新】请说明无论x取何值,多项式1+x-x2的值恒小于32答案1.D2.D3.[解析] A 根据题意,得x 1+x 2=12,x 1x 2=-32,所以1x 1+1x 2=x 1+x 2x1x 2=12-32=-13.故选A .4.[解析] C 根据题意,得a 2+3a -1=0,整理,得a 2+3a=1,所以a 2+3a+2021=1+2021=2022.故选C .5.[解析] D ∵关于x 的一元二次方程(k -1)x 2+x+1=0有两个实数根, ∴{k -1≠0,b 2-4ac =12-4×(k -1)×1≥0,解得k ≤54且k ≠1.故选D . 6.[解析] A 设主干长出的支干个数为x. 依题意,得1+x+x 2=57,解得x 1=7,x 2=-8(不合题意,舍去).故选A . 7.C8.[解析] A ∵小刚在解关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1,∴(-1)2-4+c=0,解得c=3,故原方程中c=5,则b 2-4ac=16-4×1×5=-4<0,则原方程的根的情况是没有实数根.故选A . 9.[答案] -1或12[解析] 移项,得2x (x+1)-(x+1)=0,所以(x+1)(2x -1)=0,所以x+1=0或2x -1=0,所以x 1=-1,x 2=12. 10.[答案] 1[解析] ∵一元二次方程(a+1)x 2-ax+a 2-1=0的一个根为0, ∴a+1≠0且a 2-1=0, ∴a=1. 11.[答案] -1[解析] 移项,得x 2+(2a -1)x+5-a -ax -1=0,∴x 2+(a -1)x+4-a=0.∵一次项系数为4,∴a -1=4,解得a=5,∴常数项为4-a=4-5=-1. 12.[答案] x 2+25x -150=0[解析] 设彩纸的宽度为x cm,则由题意列出方程为(30+2x )(20+2x )=2×30×20.整理,得x 2+25x -150=0.故答案为x 2+25x -150=0.[解析] x 2-2x+n -1=0,根据题意,得b 2-4ac=(-2)2-4(n -1)<0, 解得n>2,所以原式=n -2+1-n=-1. 14.[答案] √3[解析] 由题意,得(a 2+b 2)2+(a 2+b 2)-12=0, 解得a 2+b 2=3或a 2+b 2=-4(舍去). 所以这个直角三角形的斜边长为√3. 15.[答案] -10[解析] 原式=a 2+4a+4-10=(a+2)2-10. 因为(a+2)2≥0,所以(a+2)2-10≥-10, 则代数式a 2+4a -6的最小值是-10. 16.[答案] -1或2 [解析] 若x 2>(x -1)2, 则min{(x -1)2,x 2}=(x -1)2=1, ∴x 1=2,x 2=0(不合题意,舍去). 若(x -1)2≥x 2,则min{(x -1)2,x 2}=x 2=1, ∴x 1=1(不合题意,舍去),x 2=-1. 故答案为-1或2.17.解:(1)∵2x 2-10x=3,∴2x 2-10x -3=0, ∴a=2,b=-10,c=-3,b 2-4ac=124, ∴x 1=5+√312,x 2=5-√312.(2)∵(2x -1)-x (1-2x )=0, ∴(2x -1)+x (2x -1)=0, ∴(2x -1)(1+x )=0, ∴x 1=12,x 2=-1. (3)去括号,得x 2-4x=1, 配方,得x 2-4x+4=5, ∴(x -2)2=5,∴x 1=2+√5,x 2=2-√5.(4)两边开平方,得y+2=±(3y -1), ∴y+2=3y -1或y+2=1-3y , ∴y 1=32,y 2=-14.18.解:(1)设2,3月份口罩日产量的月平均增长率为x. 根据题意,得20000(1+x )2=24200. 解得x 1=-2.1(舍去),x 2=0.1=10%.答:2,3月份口罩日产量的月平均增长率为10%. (2)24200×(1+10%)=26620(个). 答:预计4月份平均日产量为26620个.19.解:(1)证明:b 2-4ac=[-(4k+1)]2-4k (3k+3)=(2k -1)2. ∵k 为整数,∴(2k -1)2>0,即b 2-4ac>0, ∴方程有两个不相等的实数根.(2)∵方程kx 2-(4k+1)x+3k+3=0为一元二次方程,∴k ≠0. ∵kx 2-(4k+1)x+3k+3=0, ∴x 1=3,x 2=k+1k=1+1k .∵方程的两个实数根都是整数,且k 为整数, ∴k=1或k=-1.20.解:(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(2k -1)x+k 2+k -1=0有实数根, ∴b 2-4ac ≥0,即(2k -1)2-4×1×(k 2+k -1)=-8k+5≥0,解得k ≤58. (2)由根与系数的关系可得x 1+x 2=1-2k ,x 1x 2=k 2+k -1,∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(1-2k )2-2(k 2+k -1)=2k 2-6k+3. ∵x 12+x 22=11,∴2k 2-6k+3=11,解得k 1=-1,k 2=4. ∵k ≤58,∴k=4不合题意,舍去,∴k=-1.21.解:(1)设A,B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克.根据题意,得{y -x =100,10×2.4(x +y )=21600,解得{x =400,y =500.答:A,B 两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克. (2)2.4×400×10(1+a %)+2.4(1+a %)×500×10(1+2a %)=216001+209a %,解得a 1=0(不合题意,舍去),a 2=10. 答:a 的值为10.22.解:(1)x 2+2x -3=(x+1)2-22=(x+1-2)·(x+1+2)=(x -1)(x+3). (2)x 2+4x+3=x 2+4x+4-4+3=(x+2)2-1=(x+2+1)(x+2-1)=(x+3)(x+1). (3)1+x -x 2=54-14+x -x 2=54-12-x 2≤54<32,∴无论x 取何值,多项式1+x -x 2的值恒小于32.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元二次方程一．填空题（共8小题，每小题3分共24分）1．已知方程220x px q -+=的两根分别是2和3，则因式分解22x px q +-的结果是 ． 2．方程(3)0x x -=的解为 ．3．若一个一元二次方程的两个根分别是3-、2，请写出一个符合题意的一元二次方程 ． 4．已知关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 ．5．已知方程230x bx ++=，则方程的另一根为 ．6．关于x 的方程222(9)10x m x m +-++=，当m = 时， 两根互为倒数；当m = 时， 两根互为相反数 ．7．1x ，2x 是方程2230x x +-=的两个根，则代数式21123x x x ++= ． 8．已知方程2201910x x -+=的一个根为a ，则220191a a ++的值为 ． 二．选择题（共8小题，每小题3分共24分） 9．方程251x -=的一次项系数是( ) A ．3B ．1C ．1-D ．010．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21x y -=B ．2230x x +-=C ．213x x+= D ．56x y -=11．一元二次方程240x -=的解是( ) A ．12x =，22x =- B ．2x =-C ．2x =D ．12x =，20x =12．用配方法解一元二次方程2450x x +-=，此方程可变形为( ) A ．2(2)9x +=B ．2(2)9x -=C ．2(2)1x +=D ．2(2)1x -=13．关于x 的方程2(2)410m x x --+=有实数根，则m 的取值范围是( ) A ．6mB ．6m <C ．6m 且2m ≠D ．6m <且2m ≠14．若关于x 的方程2(2)30m x mx -+-=是一元二次方程，则m 的取值范围是( ) A ．2m ≠B ．2m =C ．2m >D ．0m ≠15．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元．如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是( ) A ．100(1)121x -=B ．100(1)121x +=C ．2100(1)121x -=D ．2100(1)121x +=16．关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根1x ，2x ，若121212(2)(2)23x x x x x x -+--+=-，则k 的值( ) A ．0或2B ．2-或2C ．2-D ．2三．解答题（共8小题，满分72分，其中17题20分，18、19题每小题6分，20题8分，21题6分，22题9分，23题8分，24题9分）17．用指定方法解下列一元二次方程 （1）23(21)120x --=（直接开平方法） （2）22470x x --=（配方法） （3）210x x +-=（公式法） （4）22(21)0x x --=（因式分解法）18．k 为何值时，方程2(2)90x k x --+=有两个相等的实数根；并求出这时方程的根． 19．已知m 是方程220x x --=的一个实数根，求代数式22()(1)m m m m--+的值． 20．已知1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． （1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在求出k 的值；若不存在，请说明理由．21．已知，下列(n n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：①210x -=，②220x x +-=，③2230x x +-=，④2340x x +-=，⋯，⑪，⋯ （1）上述一元二次方程的解为① ，② ，③ ，④ ． （2）猜想：第n 个方程为 ，其解为 ．（3）请你指出这n 个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）． 22．已知关于x 的方程2(1)(3)0x x x m --+=，m 为实数． （1）当4m =时，求方程的根；（2）若方程的三个实根中恰好有两个实根相等，求m 的值；（3）若方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，求m 的取值范围．23．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料造了宽为1米的两个小门． （1）设花圃的宽AB 为x 米，请你用含x 的代数式表示BC 的长 米； （2）若此时花圃的面积刚好为245m ，求此时花圃的宽．24．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（1）如果多种5棵橙子树，计算每棵橙子树的产量；（2）如果果园橙子的总产量要达到60375个，考虑到既要成本低，又要保证树与树间的距离不能过密，那么应该多种多少棵橙子树；（3）增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？参考答案一．填空题（共8小题）1． (2)(3)x x -- ． 2． 10x =，23x = ． 3． 260x x +-=．4． 2a <，且1a ≠ ． 5 6． 1 ，3- ．7． 1 ． 8． 2019 ． 二．选择题（共8小题）9．D ． 10．B ． 11．A ． 12．A ． 13．A ． 14．A ． 15．D ． 16．D ． 三．解答题（共8小题）17．用指定方法解下列一元二次方程 （1）23(21)120x --=（直接开平方法） （2）22470x x --=（配方法） （3）210x x +-=（公式法） （4）22(21)0x x --=（因式分解法） 【解】：（1）23(21)120x --=， 移项，得23(21)12x -=， 两边都除以3，得2(21)4x -=， 两边开平方，得212x -=±， 移项，得212x =±， 解得：132x =，212x =-；（2）22470x x --=， 两边都除以2，得27202x x --=， 移项，得2722x x -=， 配方，得29212x x -+=，即29(1)2x -=，解得：1x -=，即112x =+212x =-； （3）210x x +-=， 这里1a =，1b =，1c =-，224141(1)5b ac -=-⨯⨯-=，x ∴=，解得：1x =，2x =； （4）22(21)0x x --=，方程左边因式分解，得(21)(21)0x x x x -+--=，即(31)(1)0x x --=， 解得：113x =，21x =． 18．k 为何值时，方程2(2)90x k x --+=有两个相等的实数根；并求出这时方程的根． 【解】：方程2(2)90x k x --+=有两个相等的实数根，∴△22224[(2)]41944364320b ac k k k k k =-=---⨯⨯=-+-=--=，18k ∴=，24k =-．当8k =时，原方程为2690x x -+=，解得123x x ==． 当4k =-时，原方程为2690x x ++=，解得123x x ==-．19．已知m 是方程220x x --=的一个实数根，求代数式22()(1)m m m m--+的值． 【解】：m 是方程220x x --=的一个根， 220m m ∴--=，22m m ∴-=，22m m -=，∴原式222()(1)m m m m-=-+2(1)mm=⨯+224=⨯=．20．已知1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． （1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在求出k 的值；若不存在，请说明理由．【解】：（1）1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，∴△2241644(1)160b ac k k k k =-=-⨯+=-，且40k ≠，解得0k <；（2）1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根， 121x x ∴+=，1214k x x k+=，22221212112122121219(1)(2)(2)2422()9219244k k x x x x x x x x x x x x x x k k++∴--=--+=+-=⨯-⨯=-， 若9(1)3242k k +-=-成立， 解上述方程得，95k =， （1）中0k <，（2）中95k =， ∴矛盾，∴不存在这样k 的值．21．已知，下列(n n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：①210x -=，②220x x +-=，③2230x x +-=，④2340x x +-=，⋯，⑪，⋯ （1）上述一元二次方程的解为① 11x =，21x =- ，② ，③ ，④ ． （2）猜想：第n 个方程为 ，其解为 ．（3）请你指出这n 个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）． 【解】：（1）①(1)(1)0x x +-=， 11x ∴=，21x =-．②(2)(1)0x x +-=， 11x ∴=，22x =-．③(3)(1)0x x +-=， 11x ∴=，23x =-．④(4)(1)0x x +-=， 11x ∴=，24x =-．（2）由（1）找出规律，可写出第n 个方程为：2(1)0x n x n +--=， (1)()0x x n -+=，解得11x =，n x n =-．（3）这n 个方程都有一个根是1； 另一个根是n 的相反数；22．已知关于x 的方程2(1)(3)0x x x m --+=，m 为实数． （1）当4m =时，求方程的根；（2）若方程的三个实根中恰好有两个实根相等，求m 的值；（3）若方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，求m 的取值范围．【解】：（1）4m =时方程为2(1)(34)0x x x --+=， 得10x -=或2340x x -+=， 由10x -=得1x =，由2340x x -+=得△91670=-=-<，该方程无实数解， 故方程的实根为1x =； （2）由10x -=得11x =．由230x x m -+=，得△940m =-，设方程两根为2x ，3x ，若21x =，则130m -+=，得2m =，方程为2320x x -+=，解得得21x =，32x =符合题意； 若23x x =时，△940m =-=，得94m =，方程为29304x x -+=，得2332x x ==，符合题意． 综上知2m =或94m =； （3）方程的三个实根满足11x =，由230x x m -+=，得△940m =-，设方程两根为2x ，3x ， 则233x x +=，23x x m =，方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长， 则230940||1m m x x >⎧⎪=-⎨⎪-<⎩， 由2232223||()4941x x x x x x m -=+-=-<， 得2m >， 解得924m<． 23．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料造了宽为1米的两个小门． （1）设花圃的宽AB 为x 米，请你用含x 的代数式表示BC 的长 (243)x - 米； （2）若此时花圃的面积刚好为245m ，求此时花圃的宽．【解】：（1）2223243BC x x =+-=-． 故答案为(243)x -；（2）(243)45x x -=， 化简得：28150x x -+=， 解得：15x =，23x =．当5x =时，243914x -=<，符合要求；当3x =时，2431514x -=>，不符合要求，舍去． 答：花圃的宽为5米．24．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（1）如果多种5棵橙子树，计算每棵橙子树的产量；（2）如果果园橙子的总产量要达到60375个，考虑到既要成本低，又要保证树与树间的距离不能过密，那么应该多种多少棵橙子树；（3）增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？ 【解】：（1）60055-⨯ 60025=- 575=（棵)答：每棵橙子树的产量是575棵； （2）设应该多种x 棵橙子树，依题意有 (100)(6005)60375x x +-=，解得15x =，215x =（不合题意舍去）． 答：应该多种5棵橙子树；（3）设增种m 棵树，果园橙子的总产量为2(100)(6005)5(10)60500m m m +-=--+， 故当增种10棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多，最多为60500个．1、生活不相信眼泪，眼泪并不代表软弱。