选修4-5-第1节 几何证明选讲 配套资料教师用书+教案

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(3)a>b⇒a＋c>b＋c. (4)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d. (5)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ ac<bc . (6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. (7)a>b>0⇒an > bn(n∈N，且 n>1)． n n (8)a>b>0⇒ a > b(n∈N，且 n>1)．
[答案] {x|x≤－3 或 x≥2}
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5．(2013· 陕西高考)设 a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数 x 的不 等式|x－a|＋|x＋b|>2 的解集是________．
[解析] b|>2， ∴x∈(－∞，＋∞)．
[答案] (－∞，＋∞)
∵|x－a|＋|x－b|＝|a－x|＋|x－b|≥|a－x＋x－b|＝|a－
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考向 1 含绝对值不等式的解法 【典例 1】 设函数 f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若 a＝－1，解不等式 f(x)≥3； (2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求 a 的取值范围．
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
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2 ． ( 教材习题改编 ) 设 ab>0 ，下面四个不等式中，正确的是 ________(填序号)． ①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|； ④|a＋b|>|a|－|b|.
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固 基 础 · 自 主 落 实
选修 4－5 第一节
不等式选讲
启 智 慧 · 高 考 研 析
不等式的基本性质与含绝对值不等式
课 后 限 时 自 测
提 知 能 · 典 例 探 究
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考 纲 传 真
内容 A 不等式的基本性质 含有绝对值的 不等式的求解
即|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|最小值为 3. (2)|2x － 1| ＋ |x ＋ 2| ＝
5 1 x－ －x＋2＝ ，当且仅当 2 2 1 x－ 2
＋
1 x－ ＋|x＋2| 2
≥0 ＋
1 x＝2时取等号，因此函数 y＝|2x－
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3．含有绝对值不等式的性质 (1)|a|＋|b| ≥ |a＋b|，(当且仅当 ab≥0 时，等号成立)． (2)|a|－|b| ≤ |a＋b|. (3)|a|－|b|≤|a－b|≤ |a|＋|b| .
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[解析] ∵ab＞0，即 a，b 同号，则|a＋b|＝|a|＋|b|， ∴①④正确，②③错误．
[答案] ①④
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3 ．已知 |x － a|<b(a 、 b ∈ R) 的解集为 {x|2<x<4} ，则 a － b ＝ ________.
[解析] 由|x－a|<b，得 a－b<x<a＋b， 又|x－a|<b(a，b∈R)的解集为{x|2<x<4}， 所以 a－b＝2.
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[解] (1)若 a＝－1 时，f(x)≥3，即|x－1|＋|x＋1|≥3， 3 ①当 x≤－1 时，不等式为 1－x＋[－(x＋1)]≥3，得 x≤－2； ②当－1<x<1 时，不等式为 1－x＋x＋1≥3，此时无解； 3 ③当 x>1 时，不等式为 x－1＋x＋1≥3，得 x≥2；
【思路点拨】 (1)利用绝对值不等式性质|a－b|≤|a|＋|b|求解． (2)利用绝对值不等式性质求|2x－1|＋|x＋2|的最小值进而可求 得 a 的取值范围．
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[解析] 1|＝3，
(1)|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥|x－1－x|＋|y－1－y－
(3)|x＋a|＋|x＋b|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a，b 的 距离之和．( ) )
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(4)|f(x)|>a⇔f(x)>a 或 f(x)<－a.(
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[解析] (1)是不等式的基本性质， 所以正确； (2)是含有绝对值 的不等式的性质，所以正确；|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴 上的点 x 到点 a，b 的距离之和，故(3)错；(4)中当 a>0 时前后才等 价，故错．
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：
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1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误 的打“×”) (1)若 a>b，c>0，则 ac>bc；若 a>b，c<0，则 ac<bc.( (2)对任意实数 a，b 都有不等式|a|－|b|≤|a＋b|.( ) )
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【变式训练 1】
已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围．
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要求 B √ √ C
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1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系 a>b⇔a－b > 0，a<b⇔a－b< 0，a＝b⇔a－b＝ 0. 2．不等式的性质 (1)a>b⇔b< a ；a<b⇔b > a. (2)a>b，b>c⇒ a>c ；a<b，b<c⇒ a<c .
－2x＋5，x≤2， [解] (1)当 a＝－3 时，f(x)＝1，2<x<3， 2x－5，x≥3. 由 f(x)≥3，得－2x＋5≥3，解得 x≤1；
当 x≤2 时，
当 2<x<3 时， f(x)≥3 无解； 当 x≥3 时， 由 f(x)≥3， 得 2x－5≥3， 解得 x≥4. 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥4}．
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考向 2 【典例 2】 a|(a>0)． (1)证明：f(x)≥2；
绝对值不等式的放缩功能
1 f(x)＝x＋a＋|x－
(2014· 课标全国卷Ⅱ)设函数
(2)若 f(3)<5，求 a 的取值范围．
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【通关锦囊】 1．正确合理地利用绝对值不等式性质|a± b|≤|a|＋|b|，消去变 量求最值，避免分类讨论造成的繁琐计算． 2． 利用绝对值三角不等式求最值时， 要指明取到等号的条件．
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1＋ 的取值范围是 2
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5 5＋ 21 ， 2 .

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【规律方法】 1．(1)利用“绝对值三角不等式”进行放缩，结合基本不等式 即得证．(2)明确不等式后解关于 a 的绝对值不等式，再分类讨论． 2．含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也可利 用重要不等式 |a ＋ b|≤|a| ＋ |b| 及推广形式 |a1 ＋ a2 ＋ „an|≤|a1| ＋ |a2| ＋„＋|an|进行放缩．
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【典例 3】
(1)(2014· 江西高考)对任意 x，y∈R，|x－1|＋|x|
＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为________． 1 (2)(2014· 重庆高考)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a ＋2a＋2 对任
2
意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
5 1 5 2 1|＋|x＋2|的最小值是2.所以 a ＋2a＋2≤2，即 2a2＋a－1≤0，解得
1 1 －1≤a≤2，即实数 a 的取值范围是－1，2.
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[答案] (1)3
1 (2)－1，2
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f(x)最小值为 1－a；
f(x)最小值为 a－1.
要满足题设的充要条件是|a－1|≥2，即 a 的取值范围为(－∞， －1]∪[3，＋∞)．
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【规律方法】 1．求解本题要注意两点：(1)要求的不等式的解集是各类情形 的并集，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论．(2) 对于第(2)要利用分类讨论的思想． 2．解决含绝对值问题关键是要去掉绝对值，即进行等价转换 的化归思想，去掉绝对值有两种方法：一是利用绝对值的定义，二 是利用几何意义．
[答案] 2
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4 ． (2014· 广 东 高 考 ) 不 等 式 |x － 1| ＋ |x ＋ 2|≥5 的 解 集 为 ________．
[解析] 当 x<－2 时， 原不等式即 1－x－x－2≥5， 得 x≤－3， 此时得到 x≤－3；当－2≤x≤1 时，原不等式即 1－x＋x＋2≥5， 此时无解；当 x>1 时，原不等式即 x－1＋x＋2≥5，x≥2，此时得 到 x≥2，于是原不等式解集为{x|x≤－3 或 x≥2}．
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1 1 【变式训练 2】 已知实数 x，y 满足：|x＋y|<3，|2x－y|<6， 5 求证：|y|<18.
[证明] ∵3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|， 1 1 由题设知|x＋y|<3，|2x－y|<6， 2 1 5 从而 3|y|<3＋6＝6， 5 ∴|y|<18.
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考向 3 含绝对值不等式的应用(高频考点) 命题视角 含绝对值不等式的应用是历年高考重点， 主要命题 角度：(1)利用绝对值三角不等式求最值；(2)利用绝对值三角不等 式求参数范围；(3)借助函数考查绝对值不等式．
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3 所以不等式解集为xx≤－2 3 或x≥2.
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(2)①若 a＝1，f(x)＝2|x－1|不满足题设； －2x＋a＋1，x≤a， ②若 a<1，f(x)＝1－a，a<x<1， 2x－a－1，x≥1， －2x＋a＋1，x≤1， ③若 a>1，f(x)＝1－a，1<x<a， 2x－a－1，x≥a，
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[解] (1)证明： 由 a>0， 有 ≥2. 所以 f(x)≥2.
1 (2)f(3)＝3＋a＋|3－a|.
1 1 f(x)＝x＋a＋|x－a|≥x＋a－x－a
5＋ 21 1 当 a>3 时，f(3)＝a＋a，由 f(3)<5 得 3<a< 2 . 1＋ 5 1 当 0<a≤3 时，f(3)＝6－a＋a，由 f(3)<5 得 2 <a≤3. 综上，a
4．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集 不等式 |x|<a |x|>a a>0 {x|－a＜x＜a} a＝0 ∅ a<0 ∅ R
{x|x＞a 或 x＜－a} {x∈R|x≠0}
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(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：
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(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当 x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔ －2－a≤x≤2－a. 由条件，得－2－a≤1 且 2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件 的 a 的取值范围为[－3,0]．